МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА А.Л. Суркаев, М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова

А.Л. Суркаев, М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
А.Л. Суркаев, М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
Учебное пособие
(для студентов технических вузов)
Волгоград 2010
1
УДК 53 (075.5)
Рецензенты:
д.ф-м.н., профессор, зав. каф. “Общая физика ”
филиала ГОУ ВПО “МЭИ (ТУ)” В.Г. Кульков
к.т.н. доцент, зав. каф. “Энергообеспечения предприятий”
филиала ГОУ ВПО “МЭИ (ТУ)” П. Д. Васильев
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
А. Л. Суркаев, М. М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова
Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / А.Л. Суркаев,
М.М. Кумыш, Г. А. Рахманкулова / ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград,
2010. – 89 с.
ISBN 978-5-9948-0420-9
Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал и
примеры, иллюстрирующие основные понятия раздела «Молекулярная
физика и термодинамика» курса “Общая физика” предназначенного в
технических вузах. Подробно рассмотрены типовые задачи. Рассчитано
для студентов технических вузов.
ISBN 978-5-9948-0420-9
Илл. – 40. Библиогр. - 12 назв.
Таблиц - 5
 Волгоградский
государственный технический
университет, 2010
 Волжский политехнический
институт, 2010
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
4
Глава 1. Молекулярное строение вещества. Законы идеальных
газов
1.1. Основные определения и законы
5
1.2. Примеры решения задач
6
1.3. Задачи для самостоятельного решения
14
Глава 2. Молекулярно-кинетическая теория газов
2.1. Основные определения и законы
19
2.2. Примеры решения задач
20
2.3. Задачи для самостоятельного решения
25
Глава 3. Элементы статистической физики
3.1. Основные определения и законы
27
3.2. Примеры решения задач
30
3.3. Задачи для самостоятельного решения
44
Глава 4. Физические основы термодинамики
4.1. Основные определения и законы
46
4.2. Примеры решения задач
48
4.3. Задачи для самостоятельного решения
69
Глава 5. Реальные газы
5.1. Основные определения и законы
79
5.2. Примеры решения задач
79
5.3. Задачи для самостоятельного решения
81
Литература
84
Приложение
85
3
Введение
Усвоение теоретического материала по физике, а также взаимосвязь
с будущей специализацией студентов осуществляется полнее и прочнее в
процессе решения задач, т.к. в ходе разрешения задачных ситуаций те или
иные теоретические знания становятся насущной необходимостью. При
этом раскрывается с разных сторон практическая значимость физических
знаний, и устанавливаются границы применимости физических теорий.
Главная цель, поставленная в данном пособии, состоит в том, чтобы
как можно полнее показать пути использования и способы применения на
практике теоретического материала из раздела «МКТ и термодинамика»,
изучаемого на лекциях по общей физике на автомеханическом факультете.
Изложенный материал нацелен на решение следующих дидактических задач:
- глубокое усвоение и закрепление в памяти студентов основных
теоретических положений и законов по указанному разделу физики;
- формирование практических умений и навыков применения теории
в процессе решения задач;
- ознакомление с различными математическими приемами и способами решения физической задачи в общем виде;
- привлечение для вычислений различных информационных технологий.
Предлагаемое пособие содержит материал согласно образовательному стандарту и включает в себя: 1) подробные методические указания по
решению широкого спектра задач, 2) задачи для самостоятельного решения, 3) задачи с техническим содержанием. В конце пособия имеются приложения, содержащие дополнительный материал, перечень основных обозначений и используемых формул, справочные таблицы и данные.
Предлагаемые для самостоятельного решения задачи могут служить
материалом для семестровых заданий по усмотрению преподавателя.
Данное пособие содержит необходимый минимум материала для
подготовки студентов к практическим занятиям по выбранным темам, не
требует использования и поиска дополнительных литературных источников, и тем самым экономит время, отводимое студентам для усвоения программного материала по данной дисциплине.
4
Глава 1. Молекулярное строение вещества. Законы идеальных
газов
1.1. Основные определения и законы
Количество вещества тела (системы):
  N NA ,
где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); NA — постоянная Авогадро:
N A 6,02  10 23 моль1 .
Концентрация - количество частиц (молекул, атомов и т. п.) в единице
объема однородной систем:
n = N/V,
где V — объем системы.
Молярная масса вещества М  m  , где m — масса однородного тела
(системы);  — количество вещества этого тела.
Относительная молекулярная масса вещества:
M r   ni Ar, i ,
i
где ni — число атомов i-го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; Ar,i — относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.
Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой Mr
вещества M  M r  k , где k = 10-3 кг/моль.
Молярная масса смеси газов:
k
M см  mcм  см   mi
i
k
 vi ,
i 1
где mi — масса i-го компонента смеси; vi — количество вещества i-го компонента смеси; k — число компонентов смеси.
Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапейрона —
Менделеева):
m
PV 
RT , или PV   RT ,
M
где m — масса газа; М — его молярная масса; R  8,31 Дж моль  К — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; v — количество вещества.
Закон Дальтона:
p  p1  p2    p k ,
где р — давление смеси газов; рi — парциальное давление i-го компонента
смеси; k — число компонентов смеси.
5
1.2. Примеры решения задач
1.1. Давление в автомобильной шине объемом V  0,3м 3 равно
P0 = 1,5 атм. Шина накачивается насосом с емкостью хода поршня
V  0,003 атм до давления Р = 2 атм. Сколько ходов поршня N потребуется, если процесс накачки происходит достаточно медленно, так
что система сохраняет температуру окружающей среды? Атмосферное давление принять равным Pа = 1,5 атм.
Решение.
Из уравнения Менделеева - Клапейрона определим массу воздуха,
перекачиваемую за один ход поршня в шину:
M
m  Pa V
.
RT0
M
Следовательно, начальная масса воздуха в шине: m0  P0V
. ПоRT0
сле N ходов поршня масса воздуха в шине станет равной:
M
m N  m0  Nm  (P0V  NPa ДV)
.
RT0
m
ДV
Давление: PN V  N RT0 . Откуда: PN  P0  NPa
. Число ходов
M
V
поршня:
P  P0 V
N N
 50 .
Pa
ДV
Ответ: N  50 .
1.2. Плотность смеси водорода и азота при температуре
t = 47 0 С и давлении p = 2 атм равна  = 0,3 г/л. Найти концентрацию
молекул водорода в смеси. Молярная масса водорода µ1 = 2∙10-3 кг/моль,
азота – µ2 = 28∙10-3 кг/моль.
Решение.
Для смеси газов справедлив закон Дальтона:
р = р1+ р2,
(1)
где р1, р2 – парциальные давления водорода и азота, которые могут быть
определены из уравнения состояния
р1= n1 k T, р2 = n2k T,
(2)
где n1, n2 – концентрации соответствующих газов.
Сложив уравнения (2) с учетом закона Дальтона (1), получим
Р = (n1+n2) kT.
(3)
Плотность смеси газов
m m  m2
  1
,
(4)
V
V
6
где m1 , m2 – массы водорода и азота в данной смеси.
Учитывая, что концентрация газа, содержащегося в объеме V:
N m NA
,
n 
V  V
выразим массы газов через их концентрации:
мnV
мnV
m1  1 1 ;
m2  2 2 .
NA
NA
Подставив соотношения (5) и (4), находим:
м n  м2 n2
 1 1
.
NA
Решив систему уравнений (3), (6), получим:
N (pм /RT  с)
n1  A 2
 4,18  10 22 м -3 ,
м2  м1
где учтено, что k NA=R.
N (pм /RT  с)
Ответ: n1  A 2
 4,18  10 22 м -3 .
м2  м1
(5)
(6)
1.3 Лазерные трубки объемом 60см3 должны заполняться смесью
гелия и неона в молярном отношении 5:1; их общее давление должно
быть при этом равно 6 мм. рт. ст. Имеются два баллона с этими газами, каждый объемом 2∙10-3 м3. Давление в баллоне с гелием равно
50 мм. рт. ст., давление в баллоне с неоном – 200 мм. рт. ст. Сколько
трубок можно наполнить, используя эти баллоны с газами?
Решение.
Определим парциальные давления гелия и неона в лазерной трубке.
Для этого используем закон Дальтона:
р0 = p1 + p2,
где р0 – давление смеси в трубке; p1 - парциальное давление гелия; p2 - парциальное давление неона. По условию:
 p1V  н1 RT,
p1 н1


5

p 2 н2
 p 2V  н2 RT,
Отсюда: р1=5 р2; р0 = 5 р2 + р2 = 6 р2  р 2 
р0
;
6
5
5  6 мм.рт.ст.
р0 ; р1 
 5 мм.рт.ст.; р2  1мм. рт.ст.;
6
6
V = 60 см3 = 60∙10-6 м3 – объем трубки.
Найдем соотношение между массами газов в трубке:
н1
mм
m
5м 5  0,004
 5; 1 2  5  1  1 
 1; m1  m2 .
н2
м1 m2
m2
м2
0,020
р1  5р2 
7
µ1=0,004 кг/моль – молярная масса гелия; µ2=0,020 кг/моль – молярная
масса неона.
Определим соотношение между массами гелия и неона, содержащихся в баллонах:
 p1V1  н1 RT,
p1 н1


(V1  V2  2  10 3 м 3 )

p 2 н2
 p 2V2  н2 RT,
н2 p1
50 мм. рт.ст. 1


 ; н2  4н1 ;
н2 p 2 200 мм. рт.ст. 4
m2 4m1
m 4м 4  0,020

 2  2 
 20; m2  20m1 .
м2
м1
m1
м1
0,004
Приведем гелий, содержащийся в баллоне, к условиям в лазерной
трубке:
р1V1  p1V  ,
где V  - объем, который гелий займет при давлении р1=5мм.рт.ст.
р V
50 мм.рт.ст.  2  10 -3 м 3
V 1 1 
 20  10 3 м 3 .
p1
5 мм.рт.ст.
Отсюда определим количество трубок, которые можно наполнить
смесью газов:
V  20  10 3 м 3 1
N

  10 3  333
-6 3
V 60  10 м
3
Массы газов, наполняющих лазерную трубку, одинаковы, т.е. m1=m2.
Масса неона, наполняющего второй баллон, в 20раз больше массы гелия в
первом баллоне. Значит, для приготовления требуемой смеси газов необходимо использовать одну двадцатую часть массы неона в баллоне или одну двадцатую часть объема этого баллона.
V
p2 2  p 2V  ,
20
где V  - объем неона при давлении р2 = 1мм.рт.ст., существующем в лазерной трубке.
p 2V2 200 мм.рт.ст.  2  10 3 м 3
V  

 20  10 3 м 3 ;
20p 2
20  1 мм.рт.ст.
V  20  10 3 м 3 1
N

  10 3  333
6 3
V 60  10 м
3
Как видно из расчетов, число наполненных трубок можно определить как через параметры гелия, так и через параметры неона.
V  20  10 3 м 3 1
Ответ: N 

  10 3  333
6 3
V 60  10 м
3
8
1.4. В баллоне объемом V = 10-2 м3 содержится при температуре
Т=293 К водород под давлением Р = 10МПа. Сколько водорода было потеряно, если при сжигании оставшегося водорода образовалась вода
массой m = 0,5 кг?
Решение.
Запишем уравнение химической реакции сгорания водорода и найдем соотношение между массами водорода и воды:
2H 2
2H 2 О
m
0,036 кг
 О2 
; 2 
 9.
m
0,004
кг
1
m 0,004 кг
m 0,036 кг
1
2
Масса вступающего в химическую реакцию водорода в 9 раз меньше
массы продукта реакции – воды. Отсюда следует вывод, что для получения
0,5
0,5 кг воды необходимо использовать
кг. водорода. Определим массу
9
водорода, содержащегося в баллоне:
m0 RT
PVм
10  10 6  10 2  0,002
PV 
 m0 
; m0 
 82,1  10 3 (кг).
м
RT
8,31  293
Масса потерянного водорода составляет:
0,9
Дm  82,1  10 3 кг кг  26,6  10  3 кг  26,6 г.
5
0,9
Ответ: Дm  82,1  10 3 кг кг  26,6  10  3 кг  26,6 г.
5
1.5. Компрессор всасывает в 1 мин. 3 м3 сухого воздуха при температуре 290 К и давлении 100 кПа и нагнетает его в резервуар, объем
которого 8,5 м3. За какое время компрессор накачает воздух в резервуар
до давления 700 кПа? Температура в резервуаре 300 К, перед накачиванием он был заполнен воздухом при давлении 200 кПа.
Решение
Воспользуемся результатами решения предыдущей задачи.
 ДV 
V0  
t - объем воздуха, взятый компрессором из атмосферы;
 Дt 
ДV
- производительность компрессора; t – отрезок времени, необходимый
Дt
для нагнетания воздуха в резервуар.
P0V0 ДPV

.
T0
T1
По условию задачи Р = Р’+  Р, где Р’ – первоначальное давление
воздуха в резервуаре и P  NPn .
9
P0V0 (P  P)V

;
T0
T1
Отсюда:
Тогда:
 ДV 
P0 
t
 ДT   (P  P)V .
T0
T1
(P  P)V T0
.
 ДV 
T1 P0 

 Дt 
(700  200)  10 3  8,5  290
Вычислим результат: t 
 13,7 ( мин)
300  100  10 3  3
Решим задачу, исходя из других соображений. Приведем весь воздух, находящийся в резервуаре к моменту окончания накачки, к условиям,
при которых компрессор забирает воздух из атмосферы.
PV P0V0
PVT0

 V0 
.
T1
T0
p0T1
Теперь те же вычисления проведем для воздуха, который уже был в
резервуаре к моменту начала накачки:
PV P0V0
PVT0

 V0 
.
T1
T0
p0T1
ДV  V0  V0 - объем воздуха, непосредственно взятый компрессором из атмосферы. Тогда:
VT
 ДV 
ДV  0 (P  P)  
t.
P0T1
 Дt 
Отсюда:
VT (P  P)
t 0
; t  14(мин).
P0T1 ДV
Дt
Как видим, в обоих случаях получается один и тот же результат.
Ответ: t  14 (мин ).
t


1.6. Баллон емкостью 20л. наполнен сжатым воздухом. При 293 К
манометр показывает давление 11,8 МПа. Какой объем воды можно
вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если
впуск воздуха в цистерну производится на глубине 30 м при 288 К? Давление столба морской воды высотой 10 м принять равным 98 кПа.
Решение.
Объем, который займет в цистерне воздух, вышедший из баллона,
равен объему вытесненной из цистерны воды:
P1V0 P0  сgh V

,
T0
T1
10
где Р1 – давление воздуха в баллоне; V0 – объем баллона; Т0 – температура
воздуха в баллоне; р0 – атмосферное давление; V – объем воздуха, который
он займет в цистерне; gh - давление столба забортной морской воды высотой h.
сgh  3P0 ,
где р0 = gh0 - давление столба морской воды 10 м ( р 0 =98 кПа). Отсюда:
P1V0T1
V
.
T0 (P0  3P0 )
Вычислим результат:
11,8  10 6  20  10 3  288
V
 0,593( м 3 )  593( л) .
3
3
290  (101  10  3  98  10 )
Ответ: V  593(л) .
1.7. В закрытом горизонтальном цилиндрическом сосуде длиной
2 l находится 2 v молей идеального газа при температуре Т. Цилиндр
разделен пополам тонким гладким поршнем массой m. Найдите круговую частоту малых колебаний поршня, считая процесс изотермическим.
Решение.
Будем считать толщину поршня пренебрежимо малой по сравнению
с длиной сосуда.
lx
S
S
l
l
lx
Рис. 1
x
Рис. 2
Количества газа в левой и правой половинах сосуда одинаковы по
условию: (v1  v2  v) .
Допустим, что поршень был смещен влево на расстояние x (см рис. 1
и рис. 2). При этом давление газа на поршень в левой половине сосуда увеличилось и стало равным Р+∆Р1, в правой половине – уменьшилось и стало равным Р - ∆Р2.
Силы давления газа на поршень в левой и правой частях сосуда составляют, соответственно:
F1  (P  ДP1 )S;
F2  (P  ДP2 )S ,
где S – площадь поперечного сечения сосуда.
11
Результирующая сила Fp, действующая на поршень, направлена
вправо и равна по модулю:
Fp  F1  F2  (P  ДP1 )S  (P  ДP2 )S  (ДД1  ДP2 )S ,
Р – первоначальное давление газа в сосуде.
Вычислим значения: ДP1 и ДP2 :
PSl  (P  ДP1 )S(l  x) - для левой половины сосуда;
PSl  (P  ДP2 )S(l  x) - для правой половины сосуда.
Процесс в системе считается изотермическим. Отсюда:
Pl  (P  ДP1 )(l  x)  Pl  Px  (l  x)  Р2 ;
Px
Px  (l  x) P1  ДP1 
;
lx
Pl  (P  ДP1 )(l  x)  Pl  Px  (l  x)Д) 2 ;
Px
Px  (l  x) P2  ДP2 
.
lx
Для определения давления Р используем уравнение Менделеева –
Клапейрона:
vRT
PSl  vRT  P 
.
Sl
Px 
1  SPx2l
 Px
 1
Тогда: Fp  


;
 S  SPx
 2
2
l  x l  x
l  x l  x l  x
Sx2lvRT
2vRT
Fp 
 2
x.
2
2
Sl(l  x ) l  x 2
С учетом противоположных направлений смещения поршня x и силы Fp получим:
2vRT
x.
l 2  x2
Как видно из полученного выражения для Fp, эта сила не подчиняется закону Гука, т.е. зависимость не является линейной, следовательно и
колебания поршня не являются гармоническими.
Будем считать смещение поршня малым по сравнению с длиной соx
суда, т.е. x  l и  1. Преобразуем выражение для Fp:
l
2vRT
2vRT
Fp 
x


x.
2
2


l
 x
l 2 1    
 l 


В этом случае (т.е. при малых смещениях поршня) сила Fp линейно
зависит от смещения поршня х, т.е. является квазиупругой силой и применяя II - закон Ньютона, имеем:
Fp 
12
m a = - kx.
Тогда:
2vRT
2vRT
x;
a


x,
l2
ml 2
где a - ускорение поршня при его гармонических колебаниях; m – масса
поршня. Тогда получаем:
a  щ02 x ,
2vRT
где щ02 
- квадрат циклической (круговой) частоты колебаний
ml 2
2vRT
поршня. Отсюда: щ0 
.
ml 2
2vRT
Ответ: щ0 
.
ml 2
ma  
1.8. Баллон содержит 0,08 кг кислорода и 0,30 кг аргона. Давление
смеси Р = 1,01 МПа, температура Т = 288 К. Считая газы идеальными,
определить объем баллона.
Решение.
По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:
р = р 1 + р 2.
Используя уравнение Менделеева-Клайперона для определения парциальные давления кислорода и аргона соответственно, получим:
m RT
m RT
p1  1 
, p2  2 
.
м1 V
м2 V
Тогда суммарное давление равно:
RT  m1 m2 
 
.
p
V  м1 м2 
Отсюда следует, что объем газового баллона равен:
RT  m1 m2 
.
V


V  м1 м2 
Определим размерность полученного результата:

R T  m Дж  моль -1  К 1  К  кг Дж
V  



 м3
-1
Н
P м
Па  кг  моль
м2
RT  m1 m2 
  V  0,024 м 3 .
Ответ: V 
 

P  м1 м2 
13
1.3. Задачи для самостоятельного решения
1) Для измерения собственного объема сыпучего материала его помещают в цилиндр, который герметически закрывают поршнем. Затем измеряют давление воздуха Р1 и Р2 при одной и той же температуре в двух
положениях поршня, когда суммарный объем воздуха и материала равен
P V  P1V1  )
V1 и V2. Каков объем материала по этим данным? (Ответ: V  2 2
P2  P1
2) На какую глубину в жидкость плотностью  надо погрузить открытую трубку длиной L , чтобы, закрыв верхнее отверстие, вынуть столбик жидкости высотой L/2? Атмосферное давление Ро. (Ответ:
x  1 2 L1  сgL 2P0  )
3) Чтобы измерить массу воды в капельках тумана, пробу воздуха
при давлении 100 кПа и температуре 00С герметически закрывают в сосуде
с прозрачными стенками, нагревают до температуры, при которой туман в
пробе исчезает, и измеряют давление при этой температуре. Оцените массу
тумана в 1 см3 пробы, если температура исчезновения тумана 820С, давление в сосуде при этой температуре 180 кПа. (Ответ: m  210 г см 3 )
4) Атмосфера Венеры почти полностью состоит из углекислого газа.
Температура у его поверхности планеты около 5000С, а давление примерно
100 атм. Какой объем должен иметь исследовательский зонд массой 1 т,
чтобы плавать в нижних слоях атмосферы Венеры? (Ответ: V  15м 3 )
5) Барометр дает неверные показания из-за наличия небольшого количества воздуха над столбиком ртути. При давлении Р1=755мм рт.ст.
барометр показывает 748 мм рт.ст., а при Р2=740 мм рт.ст.-736 мм
рт.ст. Каково будет показание барометра при давлении Р3=760 мм
рт.ст.. Температура одна и та же во всех случаях. Изменением уровня
ртути в чашке пренебречь. (Ответ: 751,4 мм рт.ст.)
6) Сколько качаний n надо сделать, чтобы при помощи насоса, захватывающего при каждом качании V1=40 см3 воздуха, наполнить камеру
колеса велосипеда, имеющую объем V=2000 см3, настолько, чтобы площадь ее соприкосновения с дорогой была S=60 см2, при нагрузке на колесо
F=350 Н. (Ответ: n=41)
7) Поршневым воздушным насосом откачивают воздух из сосуда. За
один ход поршня откачивается б  1 объема воздуха в сосуде. Во сколь10
ко раз уменьшится давление в сосуде после двух ходов поршня? Темпера2
туру считать неизменной. (Ответ: В n  1  б   1,21 раза )
8) Метеорит пробивает в обшивке космического корабля отверстие,
площадь которого S=1 мм2. Объем жилых помещений корабля V=1000см3,
температура воздуха в них t  27 0 C при давлении Р= 105Па. Оценить запас
14
времени, имеющийся у космонавтов для надевания скафандров. (Ответ:
ф V S 12M RT  1,4  107 c )
9) Самое низкое давление, получаемое с помощью самой совершенной вакуумной техники, приблизительно равно 10-12Па. Сколько молекул
содержится при таком давлении в 1 см3 при температуре 00С? (Ответ:
270см3)
10) Оценить число ударов молекул воздуха о поверхность стекла
площадью S  1м 2 со стороны комнаты за интервал времени t  1c . Температура воздуха в аудитории t=270С, давление Р= 105Па, молярная масса
воздуха М=29 г/моль. (Ответ: ДN  N A PSt 3MRT  6,45  10 24 )
11) Электрическая газонаполненная лампа накаливания наполнена
азотом при давлении в 600 мм рт.ст. Емкость лампы 500 см3. Какое количество воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой при
нормальном атмосферном давлении? (Ответ: m  105г )
12) В плохо просушенном баллоне при температуре t=200С содержится смесь воздуха и водяного пара, парциальные давления которых соответственно равны 0,25 и 0,1 мм рт. ст. Определить ошибку в показании
манометра Мак-Леода, присоединенного к баллону для измерения давления, если объем баллона манометра V =50 cм3, радиус капилляра r=1мм.
Давление водяного пара при температуре t=200С равно 17,5 мм рт. ст.
(Ответ: Вместо 0,35 мм рт.ст. манометр будет показывать 0,33 мм рт.ст.)
13) Аэростат объемом V м3 наполнен водородом при температуре
t1=150С. При неизменном давлении атмосферы под влиянием солнечной
радиации его температура поднялась до t2=370С, а излишек газа вышел через аппендикс, благодаря чему масса аэростата с газом уменьшилась на
M=6,05 кг. Плотность водорода  0  0,000089 г см 3 и где  - коэффициент
расширения
газов)
Определить
объем
аэростата.
(Ответ:
1
1
3
V  M с0 1  бt 1   1  бt 2   1000 м ,
14) Сухой воздух состоит в основном из кислорода и азота. Если
пренебречь остальными составными частями воздуха, то можно считать,
что массовые доли кислорода и азота соответственно 1=0,232, 2=0,768.
Определить относительную молекулярную массу Мr воздуха. (Ответ: 28,8)
15) Баллон вместимостью V=30 л содержит смесь водорода и гелия
при температуре T=300 К и давлении Р=828 кПа. Масса m смеси равна 24
г. Определить массу m1 водорода и массу m2 гелия. (Ответ: m1=16г, m2=8г.)
16) В сосуде вместимостью V=15 л находится смесь азота и водорода при температуре t=23°С и давлении Р=200кПа. Определить массы смеси и ее компонентов, если массовая доля 1 азота в смеси равна 0,7.(Ответ:
6,7г; 4,81г; 2,06г)
17) Оболочка аэростата объемом v = 800м3, находящегося на поверхности земли, наполнена водородом на α = 7/8 своего объема при тем-


15
пературе
t1 = 17оС. Аэростат поднялся на высоту, где давление
Р2 = 80кПа и температура t2 = -3оС. Сколько водорода потерял при подъеме аэростат в результате расширения газа? На поверхности земли атмосферное давление Р1 = 100кПа. (Ответ: Δm = 1,0кг)
18) Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, если наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара
пренебречь. (Ответ: FH2 / FHe = 1,08)
19) Сосуд разделен легкими подвижными поршнями на три равные
части, в которых находятся гелий, водород и азот. Левый поршень проницаем для гелия и водорода, правый проницаем только для водорода. Найти
расстояние, на которое сместится правый поршень после окончания процесса диффузии газов. Начальное давление гелия в три раза больше начального давления водорода и азота. Длина сосуда равна L. (Ответ:
ΔL = L/12)
20) Герметично закрытая с одного конца трубка опускается в воду
закрытым концом кверху и плавает в вертикальном положении, что обеспечивается незначительными внешними боковыми усилиями. Длина трубки, погруженная в воду, равна Н = 1,75м, длина всей трубки L = 2м. Найти
высоту слоя воды, зашедшей в трубку. Атмосферное давление принять
равным 105Па. Давлением насыщенного пара пренебречь. (Ответ: h =
=0,24м)
21) В запаянной с обоих концов U-образной трубке, частично заполненной водой, в одном из колен находится воздух, а из другого колена воздух полностью удален. При температуре t1 = 27oC уровень воды в колене,
содержащем воздух, ниже запаянного торца трубки на L1 = 80см, а перепад
уровней воды в коленах равен h1= 50 см. Найти изменение разности уровней воды в коленах после нагревания трубки до температуры t2=87ºC, пренебрегая тепловым расширением и объемом испарившейся воды. (Ответ:
x=-( h1/2 + L1)+{( h1/2 + L1)2+2 L1 h(T2/ T1 -1)}1/2 ~ 7,4 см)
22) Найти формулу некоторого соединения углерода с кислородом,
если известно, что m =1г этого вещества в газообразном состоянии создает
в объеме V = 1л при температуре Т = 27оС давление Р = 56к Па. (Ответ:
СО2 – углекислый газ)

23) Цилиндрический сосуд с тонкими двойны- Н
g
ми стенками наполнили до краев жидкостью плотностью ρ (см. рис.3). Высота сосуда равна Н, площадь
дна равна S, площадь сечения внутренего цилиндраРис. 3
½ S. Между внутренним цилиндром и дном имеется
щель. Найти значение атмосферного давления, если масса жидкости в сосуде равна m. Стенки сосуда хорошо проводят тепло. Давление насыщенных паров жидкости мало по сравнению с атмосферным. (Ответ: Po =
4g(ρHS – m)2 / [S(2m – ρHS)])
16
24) При комнатной температуре четырехокись азота частично диссоциирует на двуокись азота: N2O4 ↔ 2NO2. В откаченный сосуд объемом
V = 250см3 вводится m = 0,92г жидкой четырехокиси азота. Когда температура в сосуде увеличивается до t =27oC, жидкость полностью испаряется, а давление становится равным Р = 129кПа. Какая масса четырехокиси
при этом диссоциирует? (Ответ: m1 ~ 0,27г)
25) Компрессор захватывает при каждом такте нагнетания ΔV = 0,5л
воздуха при давлении Ро = 100кПа и температуре Т1 = 276К и нагнетает
его в автомобильный баллон объемом VБ = 0,5м3. Температура воздуха в
баллоне Т2 =290К. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы
уменьшить площадь соприкосновения покрышки с полотном дороги на ΔS
= 100см2 До этого площадь соприкосновения была равна S1 = 450см2. Колесо находится под нагрузкой F =5 кН. (Ответ: n = 300)
26) Шахта глубиной h = 224м пробурена в

склоне горы и имеет горизонтальный выход. F
Температура атмосферного воздуха to=0оС.
Средняя температура воздуха внутри шахты
Р0
t = 14оС. Вертикальный ствол шахты имеет сечение S = 3,5м2. Какую силу нужно приложить к
Рис. 4
невесомой заслонке, чтобы закрыть сверху вертикальный ствол. Давление воздуха на уровне
горизонтального ствола шахты Ро = 100кПа. (Ответ: 500Н)
27) Колокол для подводных работ объемом 10 м3 опускается вниз
дном с борта корабля на дно водоема глубиной 20м. Зашедшая в колокол
вода вытесняется из него с помощью баллонов со сжатым воздухом. Объем
одного баллона 40 л., давление внутри 200 атм. Найти минимальное количество баллонов, которое нужно подсоединить к колоколу, чтобы вытеснить из него воду? Температуру считать постоянной. (Ответ: n = 3)
28) Резиновый шарик массой m = 2 г надувается гелием при температуре t = 17оС. По достижении в шарике давления, равного Р = 1,1 атм,
он лопается. Какая масса гелия была в шарике, если перед тем как лопнуть,
он имел сферическую форму? Известно, что резиновая пленка рвется при
толщине Δ = 2,10-3см. Плотность резины ρ = 1,1 г/см3. (Ответ: mГ = 0,47 г)
29) В блюдце налито m=30г воды, а сверху на воду поставлен перевернутый вверх дном разогретый цилиндрический стакан с тонкими стенками. До какой минимальной температуры должен быть нагрет стакан,
чтобы после остывания его до температуры окружающего воздуха То =
=300 К в него оказалась бы втянута вся вода? Давление 1 атм, площадь
сечения стакана S = 20 см2, высота Н = 10 см, плотность воды ρ = 1 г/см3.
Явлением испарения поверхностным натяжением и расширением самого
стакана пренебречь. (Ответ: T≈80oC.)
30) В горизонтально закрепленной, открытой с торцов трубе сечения
S находятся два поршня. В исходном состоянии левый поршень соединен
17
недеформированной пружиной жесткости k со стенкой. Давление газа Ро
между поршнями равно атмосферному, расстояние L от правого поршня до края трубы
равно расстоянию между поршнями (см. рис Р
Ро
5.). Правый поршень медленно вытянули до
Ро
Ро
края трубы. Какую силу надо приложить к
поршню, чтобы удерживать его в этом положеL
L
нии? Температуру газа считать постоянной.
Трением пренебречь.
Рис. 5
(Ответ: F = kL + ½ PoS – [(kL)2 + ( ½ PoS)2]1/2.
31) В баллоне вместимостью V = 3 л находится кислород массой m = 4 г. Определить количество вещества  и
число N молекул газа.
(Ответ: 0,125 моль; 7,52 1021 молекул).
32) Определить количество вещества  водорода, заполняющего сосуд вместимостью V = 3 л, если плотность газа  = 6,6510-3 кг/моль.
(Ответ:  =  V/М = 9,97 10-3 моль).
33) В сосуде вместимостью V = 1,12 л находиться азот при нормальных условиях. Часть молекул газа при нагревании до некоторой температуры оказалась диссоциированной на атомы. Степень диссоциации
 = 0,3. Определить количество вещества: 1)  - азота до нагревания; 2)
мол – молекулярного азота после нагревания; 3) ат – атомного азота после
нагревания; 4) пол – всего азота после нагревания.
Примечание. Степенью диссоциации называют отношение числа молекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул газа. Степень диссоциации показывает, какая часть молекул распалась на атомы.
(Ответ:  = V/Vm = 50 ммоль; (Vm–молярный объем); Vm = 22,410-3
м3/моль; мол = (1-) = 35 ммоль; ат = 2 = 30 ммоль; пол = 65 ммоль)
34) В баллоне вместимостью V=25л находится водород при температуре T=290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в
баллоне понизилось на ∆Р = 0,4 МПа. Определить массу m израсходованного водорода.
MV
(Ответ: m 
= ∆Р =8,3 г)
RT
35) Оболочка аэростата вместимостью V=1600 м3, находящегося на
поверхности Земли, на k =7/8 наполнена водородом при температуре
Т1=290 К и давлении Р1=100 кПа. Аэростат подняли на некоторую высоту,
где давление Р2=80 кПа и температура Т2=280 К. Определить массу ∆m
водорода, вышедшего из оболочки при его подъеме.
V
P P
(Ответ: ∆ m  M ( k 1  2 ) =6,16 кг)
R T1 T2
18
Глава 2. Молекулярно-кинетическая теория газов
2.1. Основные определения и законы
Основное уравнение кинетической теории газов:
2
P  n п ,
3
где P — давление газа; <п>— средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, где n-концентрация частиц.
Средняя кинетическая энергия:
приходящаяся на одну степень свободы молекулы:
kT
i 
;
2
приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия ):
ikT
 
;
2
поступательного движения молекулы:
3kT
i 
,
2
вращательного движения молекулы:
i  3 kT ,
в 
2
где i- число степеней свободы (i=3 для одноатомной молекулы, i=5 для
двухатомной (или трехатомной полярной молекулы) и i=6 для трех- и более атомной молекулы) k  1,38  10 23 Дж К — постоянная Больцмана;
Т — термодинамическая температура; i — число степеней свободы молекулы;
Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры:
P  nkT .
Скорость молекул:
средняя квадратичная:
 кв  3kT m1 , или  кв  3 RT M ;
средняя арифметическая:
  8 kT рm1  , или   8 RT M  ;
наиболее вероятная:
 в  2kT m 1 , или  в  2RT M ,
где m1 — масса одной молекулы.
19
2.2. Примеры решения задач
2.1. В комнате объемом V = 60 м3 испарили капельку духов, содержащую m = 10-4 г ароматического вещества с относительной молекулярной массой µ’=50 а.е.м. Сколько молекул этого вещества попадает в легкие человека при каждом вдохе? Объем легких принять равным
V0=2,2 л.
Решение.
Вследствие теплового движения молекул через некоторое время после того, как в комнате испарили капельку духов, их концентрация (т.е. количество молекул в единице объема) станет одинаковой во всей комнате:
n=N/V.
Количество молекул N ароматического вещества, содержащегося в
массе m, равно:
m
N  NA,
м
-3
где малярная масса: µ=µ’∙10 кг/моль.
Поскольку число молекул в единице объема:
mN A
n
,
м  10 3 V
то при каждом вдохе в легкие человека попадает:
mN AV0
N 0  nV0 
 4,4  10 16 молекул.
3
м  10 V
mN AV0
Ответ: N 0 
 4,4  10 16 молекул.
3
м  10 V
2.2. Сосуд объемом 2л заполнен оксидом углерода (СО) и оксидом
азота (N2O). При температуре 400 К давление в сосуде 415 кПа. Определите массу каждого газа в сосуде, если молярная масса смеси равна
3,7∙10-2 кг/моль.
Решение:
*
P0V

*
m1  m2  RT  v
P0V 415  10 3  2  10 3
v


 0,25( моль )
 m m
p0V
1
2
RT
8,31

400


v

 1  2 RT
m1  m2  v *  m1  v *  m2 ,

 *
Тогда:
 m1  m2  v   v  m2 m2

v
 1 2
 
2

1
20

m1  v *  m 2 ,

 *
v  2  m2  2  m 2 1  v1  2
m 2 (1   2 )  v 2 ( 1   * );
v (   * )
.
m2  2 1
1   2
Вычислим результат:
0,25  0,044  (0,028  0,037)
 6,2  10  3 ( кг )  6,2 ( г )
0,028  0,044
m1  0,25 3,7  102  6,2 103  3,1 103 ( кг )  3,1(г) .
m2 
Ответ: m2  6,2(г ) m1  3,1(г ) .
2.3. В сосуд объемом V = 8 л. Находится m = 8 г. Гелия при давлении Р = 1 атм. Определить количество молекул гелия и их суммарную
кинетическую энергию. Молярная масса гелия µ = 4∙10-3 кг/моль.
Решение.
В газе молекулы находятся на таких больших расстояниях друг от
друга, что их можно считать практически не взаимодействующими. Каждая из молекул движется свободно по отношению к другим молекулам, испытывая относительно редкие столкновения. При этом каждая молекула
участвует в трех типах движения: поступательном, вращательном и колебательном (атомы внутри молекул колеблются друг относительно друга).
Если молекула одноатомная, например, молекула гелия, то имеет место
только поступательное движение.
Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы
гелия, усредненная по всем N молекулам газа, равна
3
 еi  kT .
2
Следовательно, энергия всех молекул будет равна произведению
  i  на число молекул N газа в сосуде, т.е.:
3
   NkT ,
2
m
где N  ( N A  1,2  10 24 молекул).

Отсюда с учетом уравнения Менделеева – Клапейрона, записанного для
гелия при заданных параметрах состояния Р и V, получим:
3m
3m
3
  
N A kT 
RT  PV  1,2 Дж ,
2 м
2 м
2
где учтено, что NA k = R.
3
m
Ответ: N  N A  1,2  10 24 молекул;    PV  1,2 кДж .

2
21
2.4. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы аммиака NH3 при температуре t = 27 0С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.
Решение.
Средняя полная энергия молекулы определяются по формуле:
 
i
kT ,
2
где i - число степеней свободы молекулы; k – постоянная Больцмана; Т –
термодинамическая температура газа: Т = t +Т0, где Т0 =273 К.
Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой является молекула аммиака, равно 6, тогда:
6
  1,38  10 23 (27  273) Дж  1,24  10 20 Дж .
2
Средняя энергия вращательного движения молекулы определяется
i3
по формуле  вр 
kT , где число 3 означает число степеней свободы
2
поступательного движения.
6 3
 вр 
 1,38  10  23 (27  273) Дж  6,21  10 -21 Дж .
2
Заметим, что энергия вращательного движения молекул аммиака
можно было получить иначе, разделив полную энергию на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и вращательное движение, одинаково (3), поэтому энергии поступательного и вращательного движений
одинаковы.
Ответ: евр  епос  6,21  10 -21 Дж
2.5. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их вероятной скорости на 100 м/с. Определить
при этой температуре среднюю арифметическую и квадратичную
скорости, а также вероятную.
Решение.
Средняя квадратичная скорость определяется как:
хкв  3RT M .
Наиболее вероятная скорость рассчитывается:
хв  2RT M .
По условию задачи хкв  хв  100 м с . Из вышеперечисленных уравнений определим разность скоростей:
22
хкв  хв 

3 2

RT
.
M
Отсюда искомая температура:
2
M  х  хв 
 .
Т   кв
R  3  2 
Подставив значения в искомую формулу, получим: Т  381К .
Определим среднюю арифметическую скорость:
х  8RT рM  .
Подставив значения в искомую формулу, получим: х  502,1 м с .
Подставив значения параметров в расчетную формулу для средней
квадратичной скорости, получим: хкв  544,8 м с .
Вероятная скорость: хв  хкв  100 м с  444,8 м с
Ответ: Т  381К ; х  502,1 м с ; хкв  544,8 м с ; хв  444,8 м с .
2.6. В закрытом сосуде находится воздух и капля воды массой
m=0,5 г. Объем сосуда V=25 л, давление в нем p1=104 Па и температура
T=300 К. Каким будет давление в сосуде, когда капля испарится? (Температуру считать неизменной.)
Решение.
По основному уравнению МКТ давление газа прямо пропорционально его концентрации при условии, что температура постоянна, т.е.:
P  nkT .
I способ. До испарения капли в сосуде давление Р1 и концентрация:
P
n1  1 .
kT
После испарения капли концентрация увеличилась на величину:
m
n2  N A ,
м
где  - молярная масса воды. Тогда давление можно найти по основному
уравнению МКТ:
P  (n1  n2 )kT .
II способ. После испарения капли в сосуде образуется смесь воздуха
(сухого) и водяного пара. Давление смеси найдем по закону Дальтона:
P  P1  P2 .
Здесь Р1 – исходное давление, данное в условии задачи, т.к. парциальное давление газа не зависит от присутствия других компонентов смеси, а следовательно не изменится после испарения капли. Меняться будет
только давление смеси в целом.
23
Учитывая, что n2 
 NA
, давление Р2 найдем по основному уравнеV
нию МКТ:
P2  n2 kT .
Ответ: P  P1 
mRT
= 12770 Па
мV
2.7. Средняя энергия одной молекулы газа в широком диапазоне
i
температуры достаточно точно определяется формулой:   kT ,
2
где i -число степеней свободы молекулы, равное числу координат, определяющих положение молекулы. Найдите, пользуясь этой формулой,
среднюю энергию молекул Н2, N2, Н2О, СН4 при температуре Т.
Решение.
Согласно материалу, изложенному в Приложении 3, при средних
температурах двух-, трех- и пятиатомный газы обладают степенями свободы поступательного и вращательного движений, т.е. для Н2, N2 i=5, а для
Н2О, СН4 i = 6.
Используя принцип Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы, считаем, что на каждую степень свободы прихо1
дится средняя энергия одной молекулы, равная: е  kT , тогда полная
2
i
средняя кинетическая энергия молекулы: е  kT . Подставляя найден2
ные значения величины i, получим искомые энергии молекул данных газов
с учетом числа атомов в молекуле:
5
еH 2  еN 2  kT ; еH 2O  еCH 4  3kT .
2
5
Ответ:  H 2  еN 2  kT ; еH 2O  еCH 4  3kT .
2
2.8. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа,
плотность которого при давлении Р =40 кПа составляет  = 0,35 кг/м3.
Решение.
Воспользуемся формулой:
RT
.
м
Из уравнения состояния выражаем плотность газа:
хв  2
24
m
сRT
RT P
2P
.
RT  P 

 , тогда хв 
м
м
м с
с
Ответ: вер =478 м/с.
PV 
2.3. Задачи для самостоятельного решения
31) В озеро глубиной h = 20 м и площадью S = 10 км2 бросили кристаллик поваренной соли массой m = 0,01 г. Сколько молекул этой соли
оказалось бы в наперстке воды объемом V = 2,0 см3, зачерпнутым из этого
озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась
в озере? (Ответ: N ~ 106)
32) Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при
нормальных условиях равна 460м/с. Какое число молекул содержится в
m = 1 г этого газа? Газ считать идеальным. (Ответ: N ~ 1,9 1022 )
33) Найти среднее расстояние между молекулами насыщенного водяного пара при температуре t = 100 0С. (Ответ: λ = 8,7510-8 м.)
34) В воздухе комнаты объемом V = 75 м3 находится m = 20 кг кислорода. Найти величину средней квадратичная скорости молекул кислорода. Воздух комнаты состоит из кислорода и азота. Давление 1атм. Концентрация молекул кислорода в β = 4 раза меньше концентрации молекул
азота.. (Ответ:   474 м с )
35) В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре
25% молекул углекислого газа диссоциировало на атомарный кислород и
окись углерода. Как изменится давление в сосуде при этих условиях по
сравнению с давлением до диссоциации? (Ответ: Р2/P1 = 1,25)
36) Закрытый сосуд разделен на две равные части твердой неподвижной полупроницаемой перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь аргона и водорода при давлении P  1,5  10 5 Па , во второй половине вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород.
После окончания процесса диффузии давление в первой половине оказалось равным Р0 = 105Па. Определить отношение масс аргона и водорода в
сосуде. Атомная масса аргона μа = 40 г/моль, молярная масса водорода
μв = 2 г/моль. Считать, что температура во время процесса поддерживалась
постоянной. (Ответ: ma/mв=10)
37) С какой скоростью растет толщина покрытия стенки серебром
при напылении, если атомы серебра, обладая энергией Е = 10-17 Дж, производят давление на стенку Р = 0,1 Па? Атомная масса серебра А = 108,
его плотность ρ = 10,5 г/см3 (Ответ: dτ = 910-8 см/с)
38) При взрыве атомной бомбы (М = 1 кг плутония Pu242) получается
одна радиоактивная частица на каждый атом плутония. Предполагая, что
ветры равномерно перемешивают эти частицы во всей атмосфере, подсчи25
тать число радиоактивных частиц, попадающих в объем V = 1 дм3 воздуха
у поверхности Земли. Радиус Земли принять равным R = 6,106 м.
(Ответ: n = 700 дм-3).
39) Сосуд сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружающем пространстве Т, давление Р,
причем оно настолько мало, что молекулы газа при пролете в сосуд и из
сосуда не сталкиваются друг с другом на протяжении размеров отверстия.
В сосуде поддерживается температура 4Т. Каким будет давление в сосуде?
(Ответ: Р1=2Р)
40) Теплоизолированная полость с очень маленькими отверстиями
соединена с двумя сосудами, содержащими газообразный гелий. Давления
гелия в этих сосудах поддерживаются равными Р, а температуры равны Т
в одном сосуде и 2Т в другом. Найти установившиеся давление и температуру внутри полости. (Ответ: Px  P 1  2 / 24 2 ; Tx  2T )
41) Определите скорости молекул азота при 27 оС: 1) наиболее вероятную; 2) среднюю арифметическую; 3) среднюю квадратичную.
(Ответ: 422 м/с; 476 м/с; 517 м/с)
42) Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если
его плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость молекул
газа составляет 480 м/с. (Ответ: 768 Па)
43) Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа равна 0,35 кг/м3. (Ответ: 478 м/с)
44) При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул
кислорода больше их наиболее вероятной на 100 м/с. (Ответ: 381 К)
45) Считая воздух газом, состоящим из одинаковых молекул, определите среднеквадратичную скорость молекул при нормальных условиях,
если плотность воздуха при нормальных условиях равна 1,3 кг/м3.
(Ответ: 480 м/с)
46) Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных
условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?
(Ответ: 2,041022)
47) Средняя квадратичная скорость молекул газа равна 400 м/с. Определите объем, который занимает газ при среднем давлении 105 Па и
массе 1 кг. (Ответ: 0,533 м3 )
48) Определите среднюю скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м3. (Ответ: 545 м/с)
49) Определите среднюю кинетическую энергию поступательного
движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па. Концентрация молекул газа равна 1013 см-3. (Ответ: 1,510-20 Дж)
50) Двухатомный газ массой 2 кг находится под давлением 105 Па и
имеет плотность 4 кг/м3. Найдите энергию теплового движения газа при
этих условиях (Ответ: 125кДж)

26

Глава 3. Элементы статистической физики
3.1. Основные определения и законы
Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле):

П
кТ
n  n0 e ,
где п — концентрация частиц; П – их потенциальная энергия; n0 –
концентрация частиц в точках поля, где П = 0; k — постоянная Больцмана;
T – термодинамическая температура; е – основание натуральных логарифмов.
Барометрическая формула (распределение давления в однородном
поле силы тяжести):

mgz
kT

Mgz
RT
, или P  P0 e
,
где Р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой;
Р0 — давление на этом уровне; g — ускорение свободного падения; R —
молярная газовая постоянная.
Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x + dx, определяется по формуле:
dW  x   f  x dx ,
где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности). Приведенная формула выражает
также долю молекул, для которых физическая величина х заключена в интервале от х до х+dх.
Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx:
dN  NdW  x   Nf  x dx .
Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям)
выражается двумя соотношениями:
а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от  до
  d :
32
 m 
- mх 2 /  2kT  2
dN х   N f х  dх  4р N 
х dх ,
 e
 2kT 
где f( ) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до   d , к величине этого интервала, а также долю числа
молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;
P  P0 e
27
б) число молекул, относительные скорости которых заключены в
пределах от u до u + du:
2
4
Ne u u 2 du ,

где u=υ/υв — относительная скорость, равная отношению скорости υ к
наивероятнейшей скорости υв; f(u) — функция распределения по относительным скоростям.
Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до p + dp,
dN u   Nf u du 
 1 
dN  p   Nf  p dp  4N 

 2mkT 
32
2
e  p / 2mkT  p 2 dp ,
где f(p) — функция распределения по импульсам.
Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от  до +d:
2
e  е kT  1 2
dN е   Nf е dе 
N
е dе ,
р kT 3 2
где f()–функция распределения по энергиям.
Среднее значение физической величины х в общем случае:
x f  x  dx
x 
,
f  x  x
а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу:
x   x f  x  dx
где f(x) — функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.
Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя ариф
метическая скорость):
х   х f х dх ; средняя квадратичная скорость:
0
хкв  х 2
12

, где х 2   х 2 f х dх ; средняя кинетическая энергия посту0

пательного движения молекулы: е   е f е dе .
0
Интегралы удобно находить в системе Mathcad или использовать
численные методы.
Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в
единицу времени:
z  2рd 2 n х ,
28
где d – эффективный диаметр молекулы (значение берут из справочных таблиц); п – концентрация молекул; <υ> – средняя арифметическая скорость .
Средняя длина свободного пробега молекул газа:
1
l 
.
2
2l n
Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности:
d
dp  з
ДS ,
dz
d
где  – динамическая вязкость газа; dz – градиент (поперечный) скорости
течения его слоев; S – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.
Динамическая вязкость:
з 1 3с х l ,
где  – плотность газа (жидкости); < υ > – средняя скорость хаотического
движения его молекул; <l> – их средняя длина свободного пробега.
Закон Ньютона:
dp
dх
F
з
ДS ,
dt
dz
где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.
Закон Фурье:
dT
Q  
St ,
dx
где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечеdT
ние площадью S за время  t;  — теплопроводность;
- градиент темпеdx
ратуры.
Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа:
л  1 3 cV с х l или л  1 6 k n х l ,
где cv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;  – плотность
газа; <υ> – средняя арифметическая скорость его молекулы.
Закон Фика:
dn
m   D
m1 S t ,
dx
где  m – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность
dn
площадью S за время  t; D –коэффициент диффузии);
– градиент конценdx
трации молекул; m1 –масса одной молекулы.
Диффузия (коэффициент диффузии): D  1 3 х l
29
3.2. Примеры решения задач
3.1.Цилиндр высотой h и радиусом R вращается вокруг своей оси с
угловой скоростью  , вовлекая во вращение газ, находящийся внутри
цилиндра. Температура газа Т, общее число молекул в цилиндре N.
Найти давление газа на боковую стенку.
Решение.
В системе координат, связанной с вращающимся цилиндром, молекулы газа находятся в поле центробежной силы инерции F  m 2 r , направленной по радиусу. Работа этой силы по перемещению молекулы от
оси в точку, отстоящую от радиуса на расстояние r, равна:
r 
 m 2r 2
A   Fdr 
.
2
0
Распределение Больцмана принимает вид:
nr  n0
 m 2 r 2 kT 

e
.
R
(1)
Общее число молекул в цилиндре: N  h  n 0 e m r
2 2
kT

2r dr .
0
После интегрирования получаем соотношение для концентраций молекул:
Nm  2
1
n0 

.
(2)
 m  2 R 2 kT 
 h 2 kT
 1
e
Подставив (2) в (1), получим концентрацию молекул у стенки:
Nm щ 2
e m щ R kT 
nR 

.
рh2kT e m щ R kT   1
2
2
2
2
Давление на стенку:
2 2
2 2
kTNmщ2
e mщ R kT 
Nmщ2
e mщ R kT 
P  n R kT 



.
2 2
2 2
рh2kT e mщ R kT   1
рh2 e mщ R kT   1
Nm  2
e m  R kT 
Ответ: P 

.
2 2
h 2
e m  R kT   1
2
2
3.2. Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле зависит от расстояния r до центра поля как U r   ar 2 , где аположительная постоянная. Температура газа Т, концентрация молекул в центре поля n0. Найти: 1) число молекул, находящихся в интервале расстояний r , r  dr  ; 2) наиболее вероятное расстояние молекул
от центра поля; 3) относительное число всех молекул в слое r , r  dr  ;
30
4) число молекул с потенциальной энергией U ,U  dU  ; 5) наиболее вероятное значение потенциальной энергией U.
Решение.
Искомое число молекул определяется как:
dN  ndV ,
(1)
где dV -элементарный объем, соответствующий интервалу расстояний
r , r  dr . По условию задачи данное поле обладает сферической симметрией:
(2)
dV  4рr 2 dr .
По формуле распределения Больцмана:
(3)
n  n0 e U kT  .
Подставив (3), (2) в (1), получим:
dN  n0 e  ar kT  4r 2 dr .
(4)
Наиболее вероятное расстояние определяется значением абсциссы,
соответствующей максимуму функции dN n0 dr , описываемой формулой:
2
dN n0 dr  e  ar kT 4рr 2 . Для нахождения максимального значения надо
взять производную этой функции по r и приравнять ее к нулю. Искомое
значение: rвер  kT a . Относительное число всех молекул в слое:
r , r  dr -   dN N ,
где N-полное число частиц во всем пространстве.
Число частиц во всем пространстве:
2

N 
 dN
0


 n0 e
 ar 2
kT
 4 р r 2 dr .
0
3
 рkT  2
N  n0 
 .
 a 
Окончательно получаем:
3
 рkT  2  ar 2 kT 
е  dN N  
4рr 2 dr .
 e
 a 
Определим число молекул с потенциальной энергией U,U  dU  . По
условию U r   ar 2 . Отсюда r  U a и dr  dU 2 aU . Подставим в (4)
3
2
последнее выражения, получим: dN  2n0 a e U kT  U dU . Для нахождения наиболее вероятного значения потенциальной энергии необходимо
3
рассмотреть отношение:
dN
2
 2рn0 a e U kT  U . Эта функция имеет смысл
dU
плотности вероятности распределения частиц по энергиям и имеет вид
31
кривой с максимумом. Найдем производную от функции и приравняем к
нулю, получим:
kT
U вер 
.
2
3
 рkT  2
Ответ: 1) N  n 0 
 ; 2) rвер 
 a 
3
2
4) dN  2рn0 a  e U
kT 
kT a ; 3) dN  n0 e  ar
 U dU ; 5) U вер 
2
kT
4р r 2 dr ;
kT
.
2
3.3. При взрыве атомной (урановой) бомбы в ее центре достигается температура, при котором средняя энергия частиц   10 кэВ . Полагая плотность урана в центре бомбы порядка   20 г см 3 , найти
давление внутри бомбы. Сравнить с давлением внутри Земли, считать
плотность Земли постоянной и равной  з  5,5 г см3 . Давление светового излучения не учитывать.
Решение.
При взрыве бомбы в течение нескольких наносекунд произойдет полная ионизация атомов урана. Образовавшийся электронный газ можно считать идеальным. Определим давление в центре бомбы: Pu  Znu kT ,
где Z=92 - атомный номер урана, nu   N A / М -концентрация ядер урана.
Средняя энергия электронов:   3kT 2 .
2е
Отсюда:
T
.
3k
Давление:
с NA 2 е
Pu  Z
 7  10 15 Па .
M
3
Давление в центре Земли равно весу земного вещества в цилиндре
высотой, равной радиусу Земли Rз=6400км, и площадью основания 1м2.
Учитывая линейную зависимость ускорения свободного падения от расстояния до центра Земли, в итоге имеем:
Rз
Pз 
 с з grdr/R 3
 с з grR з /2  1,7  10 11 Па .
0
15
Ответ: Pu  7  10 Па ; Pз  1,7  10 11 Па .
3.4. Для изоляции используется асбестовая прокладка. Температура поверхности прокладки, прилегающей к источнику тепла, равна
4000 С. Определить температуры слоев прокладки, удаленных на рас32
стояния х1 = 1 см и х2 = 2 см от горячей поверхности, если через каждый квадратный метр этой поверхности каждые 5 минут передается
количество тепла, равное 159 кДж. Теплопроводность асбеста постоянна и равна k = 0,106 Вт/мК.
Решение.
ДT
x.
Дx
Для точек с координатами х1=1 см и х2=2 см, температуры определяДT
ДT
ются как T1  T0 
x1 T2  T0 
x2 . Задача сводится к определению
Дx
Дx
ДT
градиента температуры
.
Дx
ДT
Из закона Фурье: Q   Fфk
определим градиент температуры:
Дx
ДT
Q

.
Дx
Fфk
Q
Q
Отсюда: T1  T0 
x1  350K и T2  T0 
x2  300K .
Fфk
Fфk
Ответ: T1  350K T2  300K .
Температура в слое асбеста нарастает линейно: T  T0 
3.5. На какой высоте плотность воздуха в 2 раза меньше, чем его
плотность на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде
одинакова и равна T =273 К.
Решение.
Рассмотрим барометрическую формулу Лапласа:

m 0 gh
kT
,
где Р и Р0 – давления на разных уровнях с разностью высот h, m0 - масса
молекулы, T - температура, причем предполагается, что T = const и не меняется при переходе от начального рассматриваемого уровня к конечному.
Далее с учетом основного уравнения МКТ в виде: Р = nkT, при условии T =const получим:
P  P0 e

m0 gh
kT

m0 gh
kT

мgh
RT ,
nkT  n0 kTe
 nkT  n0 e
 n0 e
где  – молярная масса газа (в данной задаче =2910-3 кг/моль - молярная
масса воздуха).
Теперь, вспомнив определения плотности и концентрации вещества,
запишем:
 = nm0.
33
Имеем:

мgh
RT
 =0 e
.
Согласно условию задачи выполняем рисунок (рис. 6).
По условию:
мgh

1
1
с  с0 , т.е. с0  с0 e RT .
2
2
Логарифмируем по основанию e
мgh
e RT
 2 . Отсюда:
h
RTln2
.
мg
Рис. 6
Ответ: h  5,5 км.
3.6. Используя идею установки Перрена для определения числа
Авогадро и применив к частицам краски, взвешенных в воде, больцмановское распределение, найдите объем частиц, если при расстоянии
между двумя слоями h = 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое
вдвое больше, чем в другом. Считать плотность растворенной краски
 =1700 кг/м3, а температура окружающей среды T=300 К.
Решение.
Людвиг Больцман разработал теорию распределения частиц в силовом поле. Если энергия частицы в этом поле U, то концентрация частиц с

U
kT
такой энергией определяется формулой: n  n0 e - распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.Идея установки Перрена состоит в
том, что взвешенные в жидкости частицы, совершающие броуновское
движение, подчиняются законам МКТ, как и сами молекулы вещества.
Выполняем рисунок (рис. 7).
Известно, что N = nV  считая объемы
слоев равными, получим по условию n0 =2 n.
Внешним потенциальным полем служит
гравитационное поле Земли, т.е.:
U = mgh,
где m – масса частицы, h – высота от нулевого
Рис. 7
уровня отсчета потенциальной энергии, за который примем нижний из рассматриваемых
уровней (уровень, на котором находится нижний слой с концентрацией
частиц n0).
Получаем:
n  n0 e
34

mgh
kT
,
mgh
kT
mgh
 ln2 .
kT
Отсюда масса частицы растворенной краски:
n  2ne

,
kT ln2
.
gh
m kT ln2
Объем одной частицы: V  
.
с
сgh
m
Ответ: V = 5,2210-21 м3
3.7. Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно направление и лежат в интервале от 0 до 2  0 . График функции распределения частиц по скоростям имеет вид прямоугольника. Чему равно значение функции распределения? Как изменится функция распределения,
если на частицы в течение времени  вдоль их скорости действует сила F ? Масса каждой частицы равна m.
Решение.
Рассмотрим интервал скоростей от некоторого значения  до   d .
Тогда число частиц (среднее), скорости которых попадают в этот интервал,
равно dN(  ). Пусть всего частиц N, тогда доля частиц с указанными скороdN
стями
. По определению функция расN
пределения входит в равенство:
f()
dN(  )
dN(  ) 1 dN(  )
 f(  )d  f( ) 

N
N d
N d
Если для некоторого интервала скоростей верно то, что частиц с такими скоро0
20 
стями нет, т.е. dN(  )  0 , то т.к. d  0 (шиРис. 8
рина интервала отлична от нуля), имеем
f (  )  0 . Иначе, f (  )  0 , если есть частицы
со скоростями, близкими к  . Согласно условию задачи скорости частиц
лежат в интервале [  0; 2  0], тогда для значений  [  0; 2  0] f (  )  0 , а для
всех других значений f (  )  0 .
Построим график f (  ) (рис. 8).
По свойству нормировки для функции распределения имеем:

 f(  ) d  1 ,
0
следовательно, площадь под графиком функции f (  ) равна S=1.
Получаем:
S  (20  0 ) f(v)  1  f(  ) 
35
1
при 0    20 .
0
Итак, получаем функцию распределения частиц в заданном потоке по
скоростям:
0 при 0    0 ,

1
f(  )  
при 0    20 ,
0
0 при   20 .
Далее известно, что под действием силы скорости всех частиц меняются в соответствии со вторым законом Ньютона:
 p=F t,
где p = m – импульс частицы. Тогда:
Д 
F Дt
,
m
где  t =  по условию.
Т.к. на все частицы действует одинаковая сила F, и массы частиц

равны, то скорости всех частиц увеличатся (т.к. F   ) на одну и ту же величину   . Это соответствует тому, что основание прямоугольника (график функции f (  ) ) совпадет с интервалом скоростей [  0+  ; 2  0+ ],
его ширина не изменится, т.е.:
20  Д  0  Д   0 ,
а площадь остается равной единице  значение f (  ) не изменится, а граF
.
m
Ответ: f ( )=1  /0 при  0   2  0, f ( )=0 в остальной области значений
 . Функция распределения f (  ) сдвинется на  = F /m в область боль-
фик сдвинется вправо на Д 
ших скоростей.
3.8. Температура окиси азота Т = 300 К. Определите долю молекул, скорости которых лежат в интервале от v1=820 м/с до v2=830 м/с.
Решение.
Используем закон распределения молекул газа по скоростям (распределение Максвелла). Функция распределения в этом случае имеет вид:
3

 m 2
f(  )  4р  0   2e
 2рkT 
m0 2
2kT
.
По определению функции распределения:
f   
где
d N(  )
,
N d
dN (  )
 f (  )d - доля молекул со скоростями от  до  + d .
N
По условию:
  1 , Д  2  1
36
Рассмотрим график f (  ) (рис. 9). На нем доля
под графиком на участке от от
 до  + d  (заштрихована).
Поэтому в расчетах в случае
конечных значений   , принимаемых приближенно за d  ,
получаем замену истинной
площади площадью прямоугольника. В данной задаче,
согласно этой методике расчета, получаем:
dN (  )
равна площади
N
Рис. 9
3
  820 м
dN
k1 
 f 1 Д   1
N
 Д  10 м
2
m0 1
с
 m0  2 2  2kT
 4 
Д .
 1 e
с 
 2рkT 
Вычислим:
3
2
3

 30  10 3  820 2 
30  10
2
  820  exp 
  10  0,004  0,4%
k1  4  3,14
2

3,14

8,31

300
2

8,31

300




Точный расчет соответствует нахождению интеграла:

2
dN
  f(  ) d .
N 1
Вычислим в системе Mathcad:
830
k2 
 f(  ) d  3,776  10
3
.
820
Найдем погрешность первого приближения:
k  k1
е 2
 100%  3,786%  4% .
k2
Ответ: е  4% .
3.9. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по
относительным скоростям, определите, какая доля молекул кислорода, находящегося при температуре 0 оС, имеет скорости от v1=110 м/с
до v2=110 м/с.
Решение.
Функция распределения молекул по относительным скоростям имеет
вид:
f(u) 
37
4 2 u 2
u e ,
р
где относительная скорость u 

.
в
Наиболее вероятная скорость находится по формуле: в 
Вычислим: в 
Тогда: u1 
2RT
.
м
2  8,31  273
 376,549 (м/с).
32  10  3
110
1
100

 0,26557 , u 2 
 0,292126 .
в 376,549
376,549
I способ (приближение).
Т.к. Дu  u 2  u1  0,026556 мало, то доля молекул приближенно равна:
k1 
dN(u)
 f(u1 ) u .
N
Вычисление дает значение:
2
4
2
k1 
 0,26557  e 0,26557  0,026556  0,38 % .
3,14
II способ (интегрирование).
u
dN(u) 2
k2 
  f(u)du .
N
u
1
Вычисляя, получаем:
k 2  4,313  10 3  0,43 % .
Погрешность приближения:
k  k1
е 2
 100%  0,121  100 %  12,12 % .
k2
Ответ: е  12,12 %
3.10. Какая часть молекул азота при температуре t = 150 оС имеет скорости, лежащие в интервале от v1 = 300 м/с до v2 = 800 м/с?
Решение.
Так как интервал значений довольно широк, то метод приближения
использовать нельзя. Искомую величину можно вычислить, используя закон распределения молекул по скоростям (I способ) или закон распределения молекул по относительным скоростям (II способ).

dN(  ) 2
I способ:
  f(  ) d  0,704 .
N
1
u
dN(u) 2
II способ:
  f(u)du ,
N
u
1
38
2RT
2  8,31  423

 501,08 (м/с),
м
28  10 3
300
800
тогда: u1 
 0,5987  0,60 и u 2 
 1,59655  1,60
501,08
501,08
dN (u ) 1,60
  f (u )du  0,704
Получаем:
N
0 , 60
где u в 
Ответ: 70,4 %
3.11. Какой средней скоростью vср. обладала молекула паров серебра, если ее угловое смещение в опыте Штерна составляло  = 5,40, при
частоте вращения прибора n = 150 с-1. Расстояние между внутренним
и внешним цилиндрами равно d = 2 см.
Решение.
Опыт Штерна осуществляется на установке (рис. 10): два коаксиальных цилиндра, по оси внутреннего цилиндра с щелью натянута платиновая
проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током при откачанном воздухе. При нагревании серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра,
давая изображение щели О.
Если прибор привести во вращательное движение вокруг общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки
О на некоторое расстояние S. Изображение щели
получается размытым. Исследуя толщину осажРис. 10
денного слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует распределению Максвелла.
Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а также измеряя S, можно вычислить скорость движения атомов серебра при данной
температуре проволоки. Результаты опытов показали, что средняя скорость атомов серебра близка к той, которая следует из закона Максвелла.
Итак, за время прохождения молекулы Ag расстояния d между цилиндрами они повернутся, двигаясь с частотой n, на угол . Получаем:
d

2р nd

 ср 
.
ср 2рn

Ответ: ср 
2 n d
 200 м с .

3.12. При атмосферном давлении p0 и температуре t0 = 0° С длина
свободного пробега молекулы водорода равна l = 0,1 мкм. Оцените
диаметр d этой молекулы.
39
Решение.
Т.к. при столкновении молекулы сближаются на расстояния того же
порядка величины, что и размеры самих молекул, то в качестве оценки
диаметра молекулы примем значение эффективного диаметра молекул водорода. Средняя длина свободного пробега молекулы газа вычисляется по
формуле:
1
,
l 
2рd 2 n
где d – эффективный диаметр молекулы, n - концентрация молекул. Из осp
новного уравнения МКТ p = n k T выразим n 
,
kT
тогда:
kT
kT
l 

d

.
2 l p
2d 2 p
Ответ: d  0,3 нм.
3.13. Плотность газа увеличили в k1 = 3 раза, а температуру
уменьшили в k2 = 4 раза. Как изменилось число столкновений молекул в
единицу времени?
Решение.
Среднее число столкновений молекул в единицу времени находится
по формуле z  2 d 2 n  , где  - средняя скорость движения молекул, d
– эффективный диаметр молекул, n – концентрация молекул.
Известна формула для вычисления средней скорости:  
8 kT
,
 m0
а также связь концентрации молекул с плотностью газа:   n m0 .
Эффективный диаметр молекул d, т.е. минимальное расстояние, на
которое сближаются при столкновении центры молекул, зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько увеличивается при понижении температуры). Но при решении данной задачи это
изменение величины d учитывать не будем. Подставляем записанные выражения в первую формулу:
z  2р d 2
с
m0
8kT
,
р m0
тогда после изменения давления и температуры:
z'  2р d 2
k1 с
m0
8kT
k
 1 z ,
k2р m0
k2
т.е. длина свободного пробега при этом увеличится:
40
k
z'
 1 .
z
k2
Ответ: увеличилось в 1,5 раза.
3.14. Оцените тепловой поток из комнаты, размеры которой
5х5х4 м, наружу через два окна с рамами площадью 1,5 х 2 м, расположенными на расстоянии x = 0,2 м друг от друга, и время, в течение
которого температура в комнате уменьшится на 1 оС, если температура комнатного воздуха Т1 = +20 оС, а наружного Т2 = - 20 оС. Почему
тепловой поток через окна всегда значительно больше?
Решение.
По закону Фурье плотность теплового потока jE прямо пропорциональна градиенту температуры:
ДQ
dT
jE 
 л
,
ДSДt
dx
где  - коэффициент теплопроводности, значение которого можно найти
по формуле:
1
i
1
л  n v l k  с v l c удV .
3
2
3
Искомый тепловой поток легко вычислить, найдя его плотность из
закона Фурье:
W
ДQ
dT
 jE ДS  л
ДS .
Дt
dx
Здесь S – площадь поверхности, через которую тепло покидает комdT
нату, т.е. в данном случае суммарная площадь двух окон;
- градиент
dx
температуры между рамами окна, т.е.:
dT T T1  T2


.
dx x
x
Покажем, как найти коэффициент теплопроводности из формулы:
1
i
л n l k.
3
2
Средняя скорость молекул равна:
 
8RT
,
рм
где Т = 273 К, что соответствует 0 оС (средняя температура между рамами),
а длина свободного пробега молекул воздуха:
1
,
l 
2рd 2 n
41
где d – эффективный диаметр молекул газа. Воздух – это смесь различных
газов, для каждого их которых эта величина различна. Но в задаче требуется лишь провести оценку искомой величины. В соответствии с этим выберем для расчета значение эффективного диаметра для молекул азота и кислорода, доля которых в составе воздуха значительно больше доли других
компонентов смеси. Получаем:
d =3,410-10 м = 0,34 нм.
Также известна молярная масса воздуха:  =29 г/моль. Кроме того, число
степеней свободы примем равным I =5, как для двухатомного газа.
Подставляя записанные выражения в формулу теплового потока, получим:
W л
dT
ink
ДS 
dx
6
8RT
рм
T1  T2  ДS  i k
1
2
3рd 2
2рd n Дx
RT T1  T2
ДS ,
рм Дx
где k – постоянная Больцмана.
Теперь найдем время, за которое температура воздуха в комнате
уменьшится на 1 оС. Для этого по определению теплоемкости необходимо,
чтобы из комнаты наружу было передано количество теплоты, равное теплоемкости СV воздуха в комнате при постоянном объеме (V – объем комнаты согласно указанным в условии линейным размерам):
Q  CV  н cмV 
mi
R.
м2
Из уравнения состояния выражаем:
m
pV
pV i
R
, т.е. Q  CV 
.
T 2
м
T1
Искомое время будет равно:
Q
t  .
W
Ответ: W  12 Вт, t  2 часа, из-за конвекции воздуха.
3.15. Оцените коэффициент диффузии пара воды в воздухе при
температуре 20 оС. Радиус молекул воды r1 = 0,21 нм. Радиус молекул
азота и кислорода r2 = 0,18 нм.
Решение.
Рассматриваем диффузию пара воды в воздухе, т.е. для воздуха водяной пар в этом случае служит примесью (диффузантом). Коэффициент
диффузии определяется по формуле:
kT
1
8RT
D   l , где  
и l 
.
3
рм
2d 2 p
В ходе диффузии молекулы воды движутся из мест, где их концентрация больше, в места, где их концентрация меньше. При этом молекулы
42
Н2О испытывают соударения с молекулами воздуха, т.е. газа, в котором
они диффундируют. Из этого следует (согласно определению эффективного диаметра молекул), что в качестве величины d необходимо брать сумму
r1+ r2, т.к. по определению d – это минимальное расстояние, на которое
молекула воды может приблизиться к молекулам воздуха.
Ответ: D  12 мкм/с.
3.16. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты
диффузии азота и углекислого газа, если оба газа находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих
газов считать одинаковыми.
Решение.
Рассматриваем диффузию каждого газа (азота с радиусом r1 молекулы N2 и углекислого газа с радиусом r2 молекулы СО2) в одном и том же
«чужом» газе с радиусом «чужих» молекул r3. В соответствии с решением
задачи № 3.15 коэффициент диффузии равен:
D
1
1 8RT
 l 
3
3 рм
kT
,
2d 2 p
где эффективный диаметр молекул равен r1 + r3 в случае диффузии азота и
r2 + r3 в случае диффузии углекислого газа. Т.к. по условию радиусы равны
r1 = r2, то d1 = d2 = d, т.е. при делении эта величина сократится.
Тогда отношение коэффициента диффузии азота к коэффициенту
диффузии углекислого газа равно:
DN 2
м2

.
DCO2
м1
Заметим также, что температура – мера средней кинетической энергии молекул газа, т.е. при одинаковой температуре равны средние энергии
движения молекул N2 и СО2. Поэтому, чем больше масса молекулы, тем
меньше скорость ее движения. Т.к. m0 (N2) < m0 (СО2)  DN 2  DCO2 , т.к.
молекулы N2 будут двигаться быстрее.
D
Ответ: 1  1,25 .
D2
3.17. Рассчитать среднюю длину свободного пробега l молекул
азота, коэффициент диффузии D, вязкость  и теплопроводность 
при давлении р = 1105 Па и температуре t = 17 оС.
Решение.
Длина свободного пробега, как показано выше, может быть найдена
kT
по формуле l 
, где эффективный диаметр молекул азота
2d 2 p
43
d N 2 =3,1510-10 м (по данным из таблицы при 20 °С). Коэффициент диффузии вычислим согласно D 
1
 l , где средняя скорость также неодно3
кратно вычислялась ранее.
Отметим, что коэффициент диффузии найден при условии, что размеры молекул «чужого» газа (в котором N2 диффундирует) равны размерам молекул N2. Для дальнейшего нахождения величин вязкости и теплопроводности будем использовать следующие соотношения между этими
величинами:
   D
,

   c удV
здесь плотность  следует выразить из уравнения состояния газа, а удельную теплоемкость найти как отношение молярной теплоемкости к молярной массе:
cV
c удV 
,

i
где cV  R .
2
Ответ: 6,510-8 м; 110-5 м2/с; 1,210-5 кг/мс.
3.3. Задачи для самостоятельного решения
51) Спутник сечения S = 1 м2 движется с первой космической скоростью  = 7,9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте орбиты ( h = 200 км) Р = 1,37  10 4 Па, температура Т = 1226К. Определить
число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени.
(Ответ: z = 6,1019 c-1)
52) Оценить длину свободного пробега молекулы в воздухе (диаметр
d = 3,7  10 10 м) при нормальных условиях. (Ответ: l = 8,75  10 8 м)
53) На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления на
уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна
10 оС. (Ответ: 4,22 км)
54) Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать,
что температура по всей высоте постоянная и равна 22 оС, а ускорение
свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли принять равным Р0. (Ответ:1,12 Р0)
55) Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при н.у., и его температура не зависит от высоты. (Ответ:0,778)
44
56) На какой высоте плотность воздуха в е раз меньше по сравнению
с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считать независящими от высоты. (Ответ:7,98 км)
57) У поверхности Земли молекул гелия почти в 108 раз, а водорода
почти в 106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул гелия будет равно числу молекул азота? Водорода? Принять среднюю
температуру атмосферы равной 0 оС. (Ответ:111 км, 123 км)
58) На высоте 3 км над поверхностью Земли в 1 см3 воздуха содержится примерно 102 пылинок, а у поверхности – примерно 105. Определите
среднюю массу пылинки и оцените ее размер, предполагая, что плотность
пылинки 1,5 г/см3. Температура воздуха 27 оС. (Ответ:10-24 кг, 10-9 м)
59) При какой температуре функции распределения по скоростям
молекул водорода будет совпадать с функцией распределения по скоростям молекул азота при комнатной температуре? (Ответ: 21 K)
60) Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось х в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул
водорода, имеющих проекцию скорости на ту же ось в интервале от 1500
до 1510 м/с. Температура водорода 300 К. (Ответ: 0,13)
61) Источник атомов серебра создает
узкий ленточный пучок, который попадает на
внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиусом 30 см и образует на ней
пятно. Устройство начинает вращаться с угловой скоростью 100 рад/с (рис. 11). Определите скорость атомов серебра, если пятно
отклонилось на угол 0,314 рад от первоначального положения. (Ответ: 300 м/с)
62) Используя функцию распределения
Рис. 11
молекул идеального газа по энергиям, найдите наиболее вероятное значение энергии молекул. (Ответ: kT/2)
63) Оцените длину свободного пробега молекулы азота в воздухе при
нормальных условиях. Радиус молекул азота и кислорода принять равными 0,18 нм. (Ответ: l  60 нм)
64) В баллоне вместимостью V=2,53 л содержится углекислый газ
СО2 при температуре Т = 400 К и давлении р =1,3 Па. Сколько столкновений z происходит между молекулами за t = 1 с? (Ответ: 9,3 109 )
65) Определите среднюю длину свободного пробега молекул кислорода, находящегося при температуре 0 оС, если среднее число столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7109. (Ответ: 115 нм)
66) Определите коэффициент теплопроводности азота, находящегося
в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм. (Ответ: λ =8,25 мВт/мК )
45
67) Пространство между двумя параллельными пластинами площадью
S=150 см 2 каждая, находящимися на расстоянии L=5 мм друг от друга,
заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре
t1=17° С, другая - при температуре t2=27° С. Определите количество теплоты Q, прошедшее за t=5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при н.у. Эффективный диаметр молекулы кислорода считать равным d = 0,36 нм. (Ответ: 76,6 Дж)
68) В разреженном газе нагретое тело остывает за время t. За какое
время остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры
увеличить в n раз? ( Ответ: t   nt )
69) Коэффициент диффузии кислорода при температуре 0 °С равен
0,19 см2/с. Определите среднюю длину свободного пробега молекул кислорода. (Ответ: 12,5нм)
70) Эффективный диаметр молекул аргона 2,710-9 см. Определите
коэффициент внутреннего трения для аргона при температуре 50 °С.
(Ответ: η=13,8 мкПас )
71) Коэффициент теплопроводности кислорода при температуре 100
°С равен 3,2510-2 Вт/мК. Вычислите коэффициент вязкости кислорода
при этой температуре. (Ответ: η=50,6 мкПас )
72) Найдите коэффициент внутреннего трения  азота при нормальных условиях, если коэффициент диффузии D=1,4210-5 м2/с.
(Ответ: η=18,3 мкПас )
Глава 4. Физические основы термодинамики
4.1. Основные определения и законы
Связь между молярной (Cm) и удельной (с) теплоемкостями газа:
C m  c ,
где  — молярная масса газа.
Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны:
CV  iR 2 ;
C P  i  2 R 2
где i — число степеней свободы; R — молярная газовая постоянная.
Удельные теплоемкости при постоянной объеме и постоянном давлении соответственно равны:
i R
i2 R
,
.
cV 
cP 
2
2 
Уравнение Майера:
C P  CV  R .
46
Показатель адиабаты:
cP
C
i2
, или   P , или  
.
cV
CV
2
Внутренняя энергия идеального газа:
U  N  или U   CV T ,

где  — средняя кинетическая энергия молекулы; N—число молекул газа;  — количество вещества.
Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле:
V2
A   PdV ,
V1
где V1 — начальный объем газа; V2 — его конечный объем.
Работа газа:
а) при изобарном процессе (Р = const):
A  PV2  V1  ;
б) при изотермическом процессе (T=const):
V
m
А
RT ln 2 ;

V1
в) при адиабатном процессе:
г 1
 V1  
RT 1 m 
m
  ,
1  
A  CV T1  T2  , или A 

г1  
V
 2  

где T1 — начальная температура газа; T2 — его конечная температура.
Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном
процессе):
PV г  const .
Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатном процессе:
p2
p 2 г  1  г
V1  г T2
V 1  г1 T 2



;

;

.




p1
p1
T1
 V 2  T1
V2 
Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде:
Q = U + A,
где Q – количество теплоты, сообщённое газу; U—изменение его внутренней энергии; А — работа, совершаемая газом против внешних сил.
Первое начало термодинамики:
а) при изобарном процессе:
m
m
m
Q  ДU  A  CV ДT  RT C PT



 
47
б) при изохорном процессе (A = 0):
Q  ДU 
m
C ДT ;
 V
в) при изотермическом процессе (U=0):
Q A
m
V
RT ln 2 ,

V1
г) при адиабатном процессе (Q = 0):
m
C ДT .
 V
Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае:
Q  Q2
 1
Q1
где Q1 — количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q2 — количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.
КПД цикла Карно:
A   ДU  

Q1  Q2
, или з 
Q1
T1  T2
T1
,
где T1 — температура нагревателя; T2 — температура охладителя.
Изменение энтропии:
B
dQ
,
T
A
S  
где A и B — пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.
Формула Больцмана:
S = k lnW,
где S — энтропия системы; W — термодинамическая вероятность ее состояния; k — постоянная Больцмана.
4.2. Примеры решения задач
4.1. Один килограмм кислорода адиабатно расширяется от начального состояния, определяемого давлением 1МПа и температурой
2770 C, до конечного состояния с давлением 0,1 МПа. Определить
удельный объем кислорода в начале и конце процесса, а также его конечную температуру и работу расширения.
48
Решение.
Из уравнения Менделеева-Клайперона находим удельный объем газа
в начале процесса:
m
V
1 RT1
P1V1  RT1 ; х1  1 
;
м
m м P1
М3 
1  8,314  550

.

0,143
кг
32  10 3  10 6


Поскольку кислород является двухатомным газом, число степеней
i2 7
свободы I = 5. Тогда показатель адиабаты  
  1,4 . Используя
i
2
г
г
уравнение адиабатного процесса P1 х 1  P2 х 2 , можно найти удельный объем в конце процесса:
х1 
1
г1
 10 6  1,4
 м3 
 P1 


 .
 х 1 ; х 2  0,143 
 2  
 0,74 
5 
P
кг
 2 
 10 


Температура газа в конце процесса может быть определена из уравнения политропного процесса:
г 1
0,4
х 
 0,143 
T1 х  T2 х ; T2  T1  1  ;T2  550
  285K;
х
0,74


 2
0
(t2 = 12 C). Работа адиабатного расширения определяется формулой:
P х 2  P1х1 P1х1  P2 х2
;
A 2

1 г
г 1
10 6  0,143  10 5  0,74
A
Дж  172,5  10 3 Дж  172,5 КДж.
0,4
Ответ: х1  0,143 М 3 кг ; х2  0,74 М 3 кг ; А = 172,5 КДж; Т2 = 285 К.
г 1
1
г 1
2
4.2. Одноступенчатый компрессор засасывает воздух при давлении 1 бар и температуре 27 0С и изотермически сжимает его до давления 5 бар. Считая компрессор идеальным, определить развиваемую им
мощность, а также параметры сжатого воздуха. Производительность компрессора при нормальных физических условиях составляет
1440 м3/ч. При этих условиях плотность воздуха равна 1,293 кг/м3.
Решение.
Мощность, развиваемая компрессором, равна:
N = GA,
(1)
где А – работа компрессора при изотермическом сжатии. Для определения
мощности необходимо найти производительность G. Для этого необходимо определить объем воздуха, всасываемого компрессором при Р1 = 1 бар
и t1 = 27 0C. Уравнение состояния газа можно записать в виде:
49
P1 х 1
Pх
 0 0 .
T1
T0
Отсюда:
1,013  10 5  300 м 3
м3

0,445
.
с
с
10 5  273
Масса всасываемого воздуха: m1 =  1
Производительность компрессора при Т1 и Р1 равна:
m
V
G  1  с 1  сх1
t
t
G = 1,2930,445 кг/с = 0,575 кг/с. При изотермическом процессе работа
х1  0,4 
сжатия определяется формулой: A 
N 
P
R
T1 ln 2 . Подстановка (2) в (1) дает:
м
P1
P
R
T 1 Gln 2 ;
м
P1
8,314 Дж
моль  300 К  0,575 кг ln5  7957 Вт.
с
моль
Из уравнения изотермического процесса P1х1  P2 х 2 можно определить:
3
 2  х1 P1 P ; х2  0,089 м .
с
2
3
Ответ: N  7957Вт ;  2  0,089 м
с
N 
0,029 кг
4.3. Определить основные параметры рабочего тела в характерных точках идеального цикла двигателя внутреннего сгорания с подводом теплоты при постоянном объеме (рис. 12) и термический КПД
цикла по следующим данным: Р1 = 0,1 МПа, t1 = 27 0С, степень сжатия
 = 4, степень повышения давления  = 1,5.
Решение.
Для точки 1определим состояние га- Р
Из уравнения Менделеева-Клайперона
определим объем газа:
m
P1V1  RT1 .
м
за.
3
4
2
Удельный объем газа для данного
состояния (P1 и V1 – известны):
3
V
RT
1  1  1 ;1  0,86 м кг .
m мP1
Для точки 2 определим удельный объем газа:
50
1
V
Рис. 12
3
1 0,86

 0,215 м
.
кг
е
4
Поскольку процесс 1-2 адиабатический, то из уравнения Пуассона
определим температуру газа в этом состоянии:
2 
k 1
V 
T2  T1  1  .
 V2 
Учитывая условие задачи, T2  T1 е k 1 . Отсюда: Т2 = 30040,4 = 522,3 (К).
Давление газа из уравнения Пуассона:
k
V 
P2  P1  1  ;
 V2 
задачи, P2  P1 е k . Рассчитаем
или, учитывая условие
это давление
5 1,4
5
Р2 = 10 4 = 6,9610 (Па).
3
Для точки 3 удельный объем газа 3   2  0,215 м
, поскольку
кг
процесс изохорный. По условию задачи:
P3  P2 л; P3  6,96  10 5  1,5  10,4  10 5 (Па).
Из уравнения Гей-Люссака для изохорного процесса определим температуру газа для этого состояния:
T3 
T2 P3
 T2 л; T3  522,3  1,5  783,5(K) .
T3
3
Для точки 4 удельный объем  4  1  0,86 м
, поскольку процесс
кг;
изохорный. Процесс 3-4 адиабатический. Из уравнения Пуассона определим температуру и давление газа:
к 1
4
Т4 
к 1
3
 Т3 
 
; Т 4  Т 3  3 
 4 
к 1
V
Р4  Р3  4
 V3
 
; Т 4  Т 3  2 
 1 
k
к 1
 1
; Т4  Т3  
 е
к 1
 1
; Т 4  783,5  
4
0,4
 450( К )
k

1
10,4  10 5
  P3   ; P4 
 1,49  10 5 (Па)
1,4
4
е

Определим термический КПД двигателя внутреннего сгорания, учитывая, что Q1 - количество теплоты передается газу только в процессе 2-3,
а Q2 – количество теплоты получает газ в процессе 4-1, получим:
Q
150
C T  T 
T  T1
Q
 t  1  2  1  V 4 1  1  4
. tv  1  2  1 
 0,43
Q1
CV T3  T2 
T3  T2
Q1
261,2
Ответ:
№ точки
1
2
3
4
параметр
3
υ, м кг
Р105, Па
Т, К
0,86
0,215
0,215
0,86
1
300
6,96
522,3
10,4
783,5
1,49
450
51
4.4. Температура в холодильной камере воздушной холодильной
установки составляет -13 0С, а температура охлаждающей воды в
теплообменнике равна +17 0С. Определить параметры состояния характерных точек цикла, работу детандера, работу компрессора, работу цикла, холодильный коэффициент и холодопроизводительность, если давление хладоагента в процессе работы изменяется в пределах от
105 до 5105 Па.
Решение.
Для того чтобы записать краткое условие
Р 1
задачи, необходимо выяснить, какие точки
4
цикла характеризуются температурами -130 С
и +17 0С и давлением 105 и 5105 Па. Давление
хладоагента изменяется от 105 Па до 5105 Па,
следовательно, как видно из P – V диаграммы,
3
2
Р1=Р4=5105 Па; Р2=Р3=1105 Па. (рис. 13)
В условии сказано, что температура хоV
лодильной камеры составляет -130 С. Но проРис. 13
цесс 2 – 3 отвода тепла Q2 из холодильной камеры завершается в точке 3, параметры которой характеризуют температуру камеры. Следовательно, Т3=263 К.
Температура охлажденной воды равна +170 С. Так как процесс 1 – 4
охлаждения, в ходе которого температура воздуха сравнивается с температурой воды, завершается в точке 1, то Т1 = 290 К.
Запишем для точки 1 уравнение Менделеева - Клапейрона:
P1V1 
m
RT .
м
Определим объем газа:
mRT
.
P1 м
V1  0,166 м
3
.
кг
Процесс 1-2 – адиабатный. Из уравнения Пуассона определим объем
для 2-го состояния:
V1 
1
P
P V  P2V ; V2  V1  1
 P2
г
1 1
г
2
 г
3
 ; V2  0,514 м
.
кг

Используя также уравнение Пуассона в другом виде, определим температуру газа для 2-го состояния:
л 1
1
T1 V
 T2 V
г 1
2
V
; T2  T1  1
 V2



г 1
;
Т2 = 183 К.
Процесс 2-3 – изобарный. Из закона Шарля определим объем 3-го
состояния:
52
3
V3 V2

; V3  V2T3 /T2 ; V3 = 0,744 м
кг
T3 T2
Процесс 3-4 – адиабатный. Из уравнения Пуассона определим объем
газа в состоянии 4:
1
P3 V 3г  P4 V 4л ;
P
V4  V3  3
 P4
3
 г
 ; V4  0,236 м
.
кг

Температуру газа в 4-м состоянии определим из уравнения Пуассона:
г 1
V 
T3 T
 T4 V
; T 4  T 3  3  ; T4  412K .
 V4 
г 1


г


RT
P
г
3 
4
   1 ;
Работа компрессора: Ak 


г  1 м  P3 


г 1
3
г1
4
Работа детандера:
г 1


г RT1   P3  г
АД 
1     1 ; АД  108 кДж .

кг
г  1 м   P4 


Работа цикла: АЦ  АК  АД ; АЦ  44 кДж
кг
.
Удельная холодопроизводительность:
Q2 
m i

R  1 T3  T2  ; Q2  77 кДж .
кг
м 2

Холодильный коэффициент:
Q2
;  = 1,75.
QЦ
Ад = 108 кДж/кг;

Ответ: Ак = 152 кДж/кг;
АQ = 77 кДж/кг;  = 1,75.
Р10-5 Па
Т, К
3
υ, м кг
Ац = 44
кДж/кг;
1
2
3
4
5
290
0,166
1
183
0,524
1
260
0,744
5
412
0,236
4.5. Теплоизолированный сосуд наполнен газообразным гелием при
температуре Т0 = 10 К (выше критической точки). Газ медленно вытекает через капиллярную трубку до тех пор, пока давление в сосуде не
станет равным Р1 = 1 атм, а температура Т1 = 4,2 К (точка кипения
гелия при нормальном давлении). Найти начальное давление газа в сосуде Р, если в конце процесса сосуд оказался полностью заполнен жид53
ким гелием. Молярная теплота испарения гелия при 4,2 К равна q =
= 20 кал/моль. Газообразный гелий считать идеальным газом.
Решение.
При медленном вытекании состояние вещества в сосуде может считаться равновесным. А так как сосуд теплоизолирован, то удельная (а, следовательно, и молярная) энтропия газа в сосуде должна оставаться неизменной. При обратимом адиабатическом расширении с совершением
внешней работы газ охлаждается. По достижении некоторой температуры
дальнейшее понижение давления газа сопровождается не только понижением температуры, но и конденсацией его в жидкость. Этот процесс также
является равновесным и идет без изменения энтропии. Изменение энтропии моля вещества при переходе из начального (газообразного) состояния
в конечное (жидкое) можно записать в виде:
dt
dV  q

ДS    CV  P
 .
T
T  T1

Подставив сюда:
dP
PdV  RdT  VdT  RdT  RT
P
и учтя соотношение C P  CV  R , получим:
 г
T1
P
q
T
P
q 
.
 R ln 1   R
ln 1  ln 1 
T0
P0 T1
P0 RT1 
 г  1 T0
Приравнивая S нулю, находим:
S  C P ln
г
 T  г 1 q RT1 
P0  P1  0 
e
 100 атм.
T
 1
Ответ: P0  100 атм.
4.6. Кислород массой m = 1 кг находится при температуре
Т=320 К. Определите: 1) внутреннюю энергию кислорода; 2) среднюю
кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода.
Газ считать идеальным.
Решение.
Внутренняя энергия газа вычисляется по формуле:
i
i m
U  нRT 
RT .
2
2 м
Указание в условии задачи, какой имеется газ, т.е. задание молярной
массы и числа степеней свободы, дает возможность воспользоваться записанной выше формулой. Покажем, как найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Вращательных степеней
свободы у двухатомного газа iвращ.  2 . На каждую из них в соответствии с
теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы
54
приходится энергия, равная
1
kT . Тогда каждая молекула обладает сред2
1
2
ней кинетической энергией вращательного движения 2 kT . Зная число
молей газа и число Авогадро (число молекул в одном моле), можно найти
полное число молекул в заданной массе газа и далее их суммарную энергию вращательного движения.
Ответ: U = 208 кДж; Uвращ = 83,1 кДж
4.7. На рисунке (рис. 14) дан график зависимости давления газа
от объема. Найдите, используя график, работу газа при расширении его
от 2 до 6 л.
Решение.
В условии задачи на диаграмме (PV) изображен график функции
P(V). По определению работа расширения газа:
V2
A   P(V)dV .
V1
Рис. 14
Рис. 15
Значение определенного интеграла, численно равное работе газа, на диаграмме изображается
площадью под графиком на участке
от V1 до V2 (на рис. 15 заштрихована). Для нахождения этой площади
разбиваем ее на 3 прямоугольника
и 1 треугольник. Площадь треугольника найдем как половину
площади соответствующего ему
прямоугольника с теми же сторонами.
Получаем: A  S  S1  S 2  S 3  S 4 .
Ответ: А = 460 Дж
4.8. Двухатомный идеальный
газ
занимает
при
давлении
5
P1=310 Па объем V1 = 4 л, его расширяют до объема V2 = 6 л, при этом
давление падает до значения P3=1,0105 Па. Процесс происходит сначала по адиабате, затем по изохоре. Определите работу сил давления газа A, изменение внутренней энергии U и количество теплоты Q, поглощенной при переходе.
Решение.
55
Изобразим для наглядности на диаграмме (PV) процесс перехода газа
из начального состояния 1 в конечное состояние 3 через промежуточное
(переход от адиабаты к изохоре) состояние 2 (рис. 16).
1) Найдем работу расширения газа. Графически она равна площади
под графиком процесса (площадь заP
штрихованной криволинейной трапеции на рисунке). Так как давление на
1
P1
участке 1-2 меняется, то:
2
A  P( V )dV  A   P(V)dV .
1
Зависимость P(V) найдем из
уравнения адиабаты (уравнение Пуассона): PV   const , где const  P1V1г ,
P2
2
P3
3
0
V
const P1V1г
V2
V1
тогда P 

.
Vг
Vг
Рис. 16
Получаем:
V2
V2 
 1
dV
1
A   P1V1г г  P1V1г 
V  г  1   P1V1г
V21  г  V11 г 
1 г
V
V1 
V1
г 1



P1  V1г
P1 
V1г 




 V1  
V1  V г 1  ,
1  г  V2г 1
г

1
2



cP i  2

- показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Т.к. по
cV
i
условию газ двухатомный, то i = 5 и  = 1,4. Вычислим:
1,4

3  10 5 
4  10  2
2
  4 491,5  4,5 кДж  .
A
4  10 
0,4
0,4 
6  10  2 

2) Найдем изменение внутренней энергииU. Внутренняя энергия
i
газа находится по формуле: U   RT и является функцией состояния, т.е.
2
не зависит от процесса перехода газа из начального состояния в конечное,
а определяется лишь изменением температуры при переходе T.
Имеем:
i
U   RT ,
2
где T  T3  T1 . Значение T1 найдем из уравнения состояния 1:
PV
P1V1  нRT1  T1  1 1 .
нR
Далее из уравнения адиабаты ищем T2:
где  




56
г 1
V 
 T2  T1  1  ;
 V2 
наконец, находим T3 из уравнения изохоры 2-3:
P
T2 T3
  T3  T2 3 ,
P2 P3
P2
T
где из уравнения состояния P2  нR 2 .
V2
Подставляем и находим:
P
P V PV
PV
1
ДT  T3  T1  T2 3 V2  1 1  3 2  1 1 
P3V2  P1V1  .
нRT2
нR
нR
нR нR
Получаем для U:
i
1
i
ДU  нR P3V2  P1V1    P3V2  P1V1  .
2 нR
2
Вычислим:
5
ДU  10 5  6  10  2  3  10 5  4  10  2  15  10 3  15 кДж  .
2
Знак  означает, что внутренняя энергия уменьшилась, т.е. газ остывает в
процессе перехода 1-3.
3) Найдем количество теплоты Q, поглощенное газом при переходе.
На участке 1-2 теплообмена нет (по определению адиабатного процесса), а
i
на участке 2-3 V = const, где CV  R ,
2
Q=CV T,
T1V1г 1
 T2V2г 1


PV
PV
ДT  T3  T2  3 2  1 1
нR
нR
 V1

 V2



г 1
V
1 

P3V2  P1V1  1
нR 
 V2




г 1

.


Получаем:
V
i
1 
Q  нR
P3V 2  P1V1  1

2
нR
 V2




г 1

.


Вычислим:
Q  10 508,49  10,5 (кДж).
Проверку правильности полученных результатов удобно производить на основе I начала термодинамики:
Q=U+A. -10,5= -15+4,5 или -10,5= -10,5 (верно).
Ответ: А = 4,5 кДж; U = 15 кДж; Q = -10,5 кДж.
4.9. Воздух, занимавший объем V1 = 2 л при давлении P1 = 0,8 МПа,
изотермически расширился до V2 = 10 л. Определите работу А, совершенную воздухом.
57
Решение.
Работа газа при P  const вычисляется по формуле:
V2
2
AT   dA   P(V)dV ,
1
V1
где зависимость P(V) выразим из уравнения состояния:
1
P(V)  нRT ,
V
где Т = const. – температура, при которой происходит расширение воздуха.
Получаем:
V2
V
dV
AT   нRT
 нRT ln 2 .
V
V1
V
1
С учетом уравнения начального состояния P1V1  нRT получаем искомую величину:
V
A  P1V1 ln 2 .
V1
Ответ: P = 2,6 кДж
4.10. Один моль водорода, имевший температуру 0о С, нагревается при постоянном давлении. Какое количество теплоты необходимо
сообщить газу, чтобы его объем удвоился? Какая работа при этом будет совершена газом?
Решение.
При P = const передаваемое газу количество теплоты вычисляется:
Q   C P T ,
i2
где C P 
R , i – число степеней свободы, i = 5, так как водород (Н2) 2
двухатомный газ. Изменение температуры найдем из уравнений состояния
для   1 моль:
PV1  PV  RT1 , PV2  P 2V  RT2 .
i2
Отсюда ясно, что T2  2T1 и ДT  T1 . Тогда Q 
RT1 .
2
Вычитая из второго уравнения состояния первое, получаем:
P(V 2  V1 )  RT1 , т.е. A  PV  RT1 .
Вычисления произведите самостоятельно и сравните ответ.
Ответ: Q = 7,94 кДж; A = 2,27 кДж.
4.11. При нагревании 1 кг неизвестного газа на 1 К при постоянном давлении требуется 912 Дж, а при нагревании при постоянном
объеме требуется 649 Дж. Что это за газ?
58
Решение.
По определению теплоемкости в условии даны значения удельных
теплоемкостей газа:
cP = 912 Дж/К, cV = 649 Дж/К.
Рассмотрим связь удельной и молекулярной теплоемкостей:
C
C
c P  P и cV  V ,


где  - молярная масса газа. Далее берем выражения для молярных теплоемкостей и, подставляя, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными i и ::
i2 R

c P  2 м ,


c  i R .
 V 2 м
Отсюда:
( c P  cV )  R
 
R
 32  10 3 кг моль  .
c P  cV
2
 5.
c P cV  1
Таким образом, имеем двухатомный газ с  = 32 г/моль. Как известно, это – кислород.
Ответ: кислород О2.
Также:
i
4.12. Определите удельные теплоемкости cV и сP смеси углекислого газа массой m1 = 3 г и азота массой т2 = 4 г.
Решение.
По определению удельной теплоемкости имеем:
c
Q
.
mT
Рассмотрим Т = 1 К. Для нагревания смеси на 1 К требуется затратить Q1 для нагревания углекислого газа СО2 и Q2, для нагревания азота N2:
Q=Q1 + Q2.
Имеем:
Q1  c1 m1 ДT 
C1
m1 ДT ,
м1
аналогично:
Q2 
Тогда для смеси получаем:
59
C2
m2 ДT .
м2
c смеси
C1
C
m1  2 m2
м
м2
,
 1
m1  m2
где m = m1 + m2 – масса смеси, а на Т сократили дробь.
В соответствии с полученным выражением искомые величины равны:
C

C
cV   1V m1  2V m2  m1  m2  ,
2
 1

C

C
c P   1P m1  2 P m2  m1  m2  ,
2
 1

где молярные теплоемкости изохорного и изобарного процессов вычисляются как:
i
i 2
C1V  1 R , C1 P  1
R
2
2
i
i 2
C2V  2 R , C 2P  2
R,
2
2
здесь i1  6 – число степеней свободы для СО2, т.к. СО2 – трехатомный газ,
а i2  5 – число степеней свободы для N2, т.к. N2 – двухатомный газ.
Ответ: cV = 667 Дж/(кг К); сP=917 Дж/(кг К)
4.13. Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся по закону PV 2= const.
Решение.
Т.к. по условию газ расширяется, то V2  V1. Согласно заданному закону расширения запишем:
P1 V22
2
2
P1V1  P2V2 

,
P2 V12
из уравнений состояния:
P1V1  нRT1 
P1 T1 V2

.

P2V2  нRT2 
P2 T2 V1
Приравниваем правые части:
V22 T1 V2
T V

 1  2 1  T1  T2,
2
T2 V1
V1 T2 V1
следовательно, газ охлаждается.
Ответ: Охлаждается.
4.14. Газ переходит из одного и того же начального состояния 1
в одно и то же конечное состояние 2 в результате следующих процессов: а) изобарного; б) последовательных изохорного и изотермического.
Рассмотрите эти переходы графически. Одинаковы или различны в
60
обоих случаях: 1) изменение внутренней энергии? 2) затраченное количество теплоты?
Решение.
Изобразим оба процесса перехода на диаграмме (PV) (рис. 17). Сравнивая площади под графиками перехода 1-2 в обоих случаях, наглядно
видно, что работа расширения газа больше в случае б).
а)
P
P1
1
V1
2
V2
б) P
1'
P1
1
V
V1
2
V2
V
Рис. 17
Так как начальное и конечное состояния одинаковы, а U – функция
состояния, то U в обоих случаях одинаково.
Попробуем сравнить затраченное количество теплоты.
В случае а) P = const, тогда:
i2
C  CP 
и Qa )   C P ( T2  T1 ) .
2
В случае б) имеем:
Qб )  QV  QT ,
где QV   CV ( T1  T1 ) , так как V=const при переходе 1- 1 .
Заметим, поскольку точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, то Т 1  Т 2 , т.е.:
QV   CV ( T2  T1 ) .
Переход 1 -2 осуществляется при T=const. Известно, что тогда
сТ   и формула QT   CT T не применима.
Забегая вперед, отметим, что исходя из закона сохранения энергии
(отраженного в I начале термодинамики), можно показать, что все тепло,
полученное в изотермическом процессе, расходуется не на нагревание, а на
работу расширения газа при Т = const:
V
QT  A11  нRT2 ln 2 .
V1
V
Ответ: QT  A11  нRT2 ln 2
V1
4.15. Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при температуре T = 300 К от давления P1 = 100 кПа до давления P2 = 500 кПа.
61
Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия;
3) количество выделившейся теплоты.
Решение.
1) Т.к. T = const, то U = 0 .
2) Работа сжатия – работа внешних сил против сил давления газа:
P
AT   AT  нRT ln 1 .
P2
Изотермическое сжатие возможно лишь при повышении давления,
т.е. P1  P2 , тогда:
P1
P
 1  ln 1  0 ,
P2
P2
Получаем:
AT < 0, а AT  0 .
3) По I началу термодинамики в изотермическом процессе:
Q = A,
где Q – количество поглощенной энергии, A – работа газа. Тогда при сжатии выделившаяся теплота равна:
Q =A.
Ответ: U = 0 Дж; AT  -2,01 кДж ; AT  2,01 кДж
4.16. Азот массой m = 500 г, находящийся под давлением P1 =
= 1 МПа при температуре t1 = 127 °С, изотермически расширяется, в
результате чего давление газа уменьшилось в k = 3 раза. После этого
газ адиабатно сжимают до начального давления, а затем изобарно
сжимают до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл.
Решение.
Изображаем на диаграмме (PV) процессы перехода газа из состояния
1 в состояние 2 и т.д. (рис. 18).
P
Имеем:
1) 1-2: Т = const,
3
1
P
1
2) 2-3: Q = 0,
3) 3-1: P = const.
Работа газа положительна, если газ
расширяется, и отрицательна в противном P1
2
случае. Т.е. имеем:
k
А1-2 >0, А2-3<0, А3-1<0.
V
Суммарная работа А = А1-2 + А2-3 + А3-1 есть
Рис. 18
искомая величина.
Будем искать каждое слагаемое по отдельности, рассматривая соответствующий процесс перехода.
1) Рассмотрим переход 1-2 при Т1 = const. Из уравнения состояния:
62
P(V) 
m
1
RT1 .
м
V
Тогда:
V2
A1  2 
 P(V)dV

V1
m
V
RT 1 ln 2 .
м
V1
Но при изотермическом переходе:
P1V1  P2V2 
P1 V2
 .
P2 V1
Тогда:
P
m
m
RT 1 ln 1 
RT 1 lnk .
м
P2
м
2) Адиабатный процесс 2-3 – это процесс без теплообмена, т.е.
Q2 3  0 , тогда из I начала термодинамики имеем:
ДU  A2 3 или ДU   A2 3 ,
где A2  3 - работа внешних сил по сжатию газа, U – изменение внутренней
энергии. В данном случае U > 0, т.к. температура газа увеличивается
(точка 3 лежит правее изотермы 1-2). Тогда:
i m
A2 3   ДU 
R(T1  T3 ) .
2 м
Значение температуры Т3 найдем из уравнения Пуассона
г 1 г
T P  const :
1 1г
г P1 1 г
г 1 г
г
г
г 1
T1 ( )  T3 P1 , T3  T1  k
T3  T1  k
k
3) При P = const A31  P1 ДV  P1 (V1  V3 ) ,
где V1 можно найти из уравнения состояния 1, а V3 – из уравнения изобары:
1 1
V1 V3
T

 V3  3 V1  k гV1 .
T1 T3
T1
Ответ: A = -11,5 кДж
A1  2 
4.17. Работа расширения некоторого двухатомного идеального
газа составляет А=2кДж. Определите количество подведенной к газу
теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.
Решение.
По первому началу термодинамики подведенное к газу количество
теплоты Q расходуется им на изменение внутренней энергии и на совершение работы расширения: Q = U + A.
1) В случае T = const U = 0 и Q1 = A,
63
i
2) При P = const получаем Q2   RT  PV , где T – изменение
2
температуры при изобарном увеличении объема на V. Из уравнений начального и конечного состояний получаем: PV   RT , т.е. A   RT .
i
2
i
2
Итак Q2  A  A  A(  1) ,где I = 5, т.к. газ двухатомный.
Отет:1) Q1 = 2 кДж; 2) Q2 = 7 кДж.
4.18. Идеальный двухатомный газ (ν=3 моль), занимающий
объем V1=5 л и находящийся под давлением P1=1 МПа, подвергают изохорному нагреванию до Т2=500 К. После этого газ подвергли
изотермическому расширению до начального давления, а затем он
в результате изобарного сжатия возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла и
P
определите
термодинамический
2
P
1
КПД цикла.
T2
Решение.
Для наглядности изобразим процессы перехода газа на диаграмме (PV). На
3
рис. 19 изображен полученный замкнутый P2
1
цикл. В результате кругового процесса
0 V1
V2 V
(цикла) система возвращается в исходное
Рис. 19
состояние, следовательно, U=0. Поэтому
I начало термодинамики для цикла
Q=U+A=A, т.е. работа цикла равна полученному извне количеству
теплоты. Но в ходе кругового процесса газ не только получает теплоту, но
и отдает, т.е. Q=Q1 – Q2, где Q1 – полученное количество теплоты, Q2 –
отданное. По определению термический КПД кругового процесса равен
Q
A Q1  Q2


 1 2 .
Q1
Q1
Q1
Для решения задачи потребуется определить величины Q1 и А или Q1
и Q 2.
Рассмотрим процессы перехода по отдельности.
1) 1-2: V1 = const  А1-2=0, тогда из I начала термодинамики следует:
i
i
Q1 2  ДU   RT  нR(T2  T1 ) ,
2
2
где Т1 легко выразить из уравнения состояния 1. Т.к. Т>0 (температура
увеличивается), то газ в этом переходе получает тепло извне, т.е. Q1-2>0.
2) 2-3: Т = const  U = 0, тогда
P
Q2  3  A2 3  нRT2 ln 2  0 ,
P1
64
т.е. газ снова получает тепло. Здесь значение P2 снова легко найти из уравнения состояния 2.
3) 3-1: P = const, тогда
A31  P1 (V1  V2 )  0 ,
где V2 можно найти из уравнения состояния 3, т.к. р1 и Т2 даны в условии
задачи. По I началу термодинамики:
i
Q31  ДU 3 1  A3 1  нR(T1  T2 )  p1 (V1  V2 ) ,
2
здесь оба слагаемых отрицательны, поэтому Q3-1<0, т.е. газ отдает тепло. Итак, в ходе кругового процесса газом получено количество теплоты:
Q1  Q1 2  Q2  3 ,
отдано:
Q2  Q3 1 .
Зная Q1 и Q2, можно найти термический КПД цикла по формуле:
Q
з  1 2 .
Q1
Иначе, можно найти работу цикла:
A  A2 3  A3 1
и, зная Q1, произвести расчет по формуле:
A

.
Q1
Для проверки правильности расчетов произведите вычисления двумя указанными способами и сравните ответ.
Ответ:  = 13,3 %.
Q1
P 1
4.19. Газ, совершающий цикл
2
Карно, КПД которого  =25%, при
изотермическом расширении производит работу A1 = 240 Дж. Какова работа А2, совершаемая газом при изо4
Q2
термическом сжатии.
3
Указания по решению. Изобра- 0
V3 V
V2
V4
V1
зим на диаграмме (PV) цикл Карно
Рис. 20
(рис. 20), состоящий из двух изотерм
(1-2 – расширение газа и 3-4 – сжатие
газа) и двух адиабат: 2-3 и 4-1. При адиабатном процессе система не получает и не отдает тепла (теплообмена с внешней средой нет), в ходе процесса 1-2 газ получает тепло Q1, при переходе 3-4 – отдает Q2.
Запишем I начало термодинамики для перехода 1-2. Т.к. Т1=const, то
U = 0, тогда Q1  A1 2  A1 , т.е. полученное количество теплоты равно ра-
65
боте газа в процессе изотермического расширения. Аналогично для перехода 3-4: Q2  A2 .
Q  Q2
Тогда формулу з  1
можно в данном случае переписать так:
Q1
A  A2
A
 1
 1  2 или A2  1    A1 .
A1
A1
Отсюда, зная А1 и , можно найти искомую величину А2:
Ответ: A2  180 Дж
4.20. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при
этом в процессе адиабатического расширения объем газа увеличивается в
k = 4 раза. Определите термический КПД цикла.
Решение.
Изображаем на диаграмме цикл Карно (рис. 20). Адиабатному расV
ширению соответствует переход 2-3, следовательно, по условию 3  k .
V2
Запишем уравнение адиабаты 2-3:
 -1
 -1
T V 
1
T1V2  T2V3 , отсюда 2   2     .
T1  V3 
k
T
1
Термический КПД цикла Карно   1  2  1  ( )г 1 .
T1
k
c
C
i2
Здесь   P  P 
– показатель адиабаты, i – число степеней
cV CV
i
свободы, для многоатомного газа i = 6.
Ответ:  37 %
г 1
г 1
4.21. При нагревании двухатомного идеального газа (ν = 2 моль)
его термодинамическая температура увеличилась в k = 2 раза. Определите изменение энтропии, еcли нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.
Решение.
Рассмотрим определение и основные свойства величины энтропии S.
Энтропия системы – это функция состояния системы. Приращение энтропии dS равно приведенному количеству теплоты, полученному в результаQ
те перехода из одного состояния в другое: dS 
. Обозначение Q озT
начает малое количество теплоты, а значок «» у величины Q указывает
на то, что величина Q не является функцией состояния и зависит от вида
66
процесса перехода. В то же время dS – полный дифференциал функции состояния S, значение которой не зависит от того, как пришла система в данное состояние, и полностью определяется параметрами этого состояния.
Изменение энтропии dS в результате перехода системы из одного состояния в другое определяется лишь начальным и конечным состояниями этой
системы и не зависит от пути перехода.
В соответствии с определением:
2
дQ 2 ДU  дA
S 1 2  S 2  S 1  

.
T
T
1
1
1) При V = const А = 0 
2
dU i 2 dT i
T
i
SV  
 нR 
 нR ln 2  нR lnk .
T
2 1 T
2
T1 2
1
dV
2) При P = const А=P dV =  RT
, тогда:
V
i
нRdT  нRT dV
2
V
i 2 dT 2 dV
i T
V
2
S P  
 нR( 

)  нR( ln 2  ln 2 ) .
T
21 T
V
2 T1
V1
1
1
При изобарном переходе:
V2 T2

k,
V1 T1
поэтому:
i
S p  нR ln[(  1)k]  нC P lnk ,
2
где для двухатомного газа i = 5.
Ответ: 1) S V = 28,8 Дж/К; 2) S P = 40,3 Дж/К.
4.22. Кислород, масса которого m = 200 г, нагревают от температуры t1 = 27° C до t2 = 127° C. Найдите изменение энтропии, если известно, что начальное и конечное давления одинаковы и близки к атмосферному.
Решение.
В условии задачи не указан процесс, в результате которого осуществляется переход газа из состояний 1 в состояние 2. По свойству энтропии
величина S не зависит от вида процесса перехода. Убедимся в этом, рассмотрев 2 пути перехода и сравнив полученные при расчете значения S.
1) Пусть газ изобарно расширяется от Т1 до Т2 при атмосферном давлении р0 = 105 Па (рис. 21).
T
m i
S p  (  1)R ln 2 .
м 2
T1
67
2) Пусть газ переходит из состояния 1 в состояние 2 через промежуточное
состояние 1 так (рис. 22), что переход 1-1 есть изотермическое расширеP
P0
P
1
2
1
P0
2
1'
V1
V2
V
V1
Рис. 21
V2
V
Рис. 22
ние, а переход 1-2 – изохорное нагревание до исходного давления р0.
Находим:
1
дA
S 11   , т.к. dU=0.
T
1
1 m
м
S 11  
1
RT1 dV
V
T1

m
V
R ln 2 .
м
V1
Далее:
V  const  2 dU
T2
i m
.
 S 1  2  


Rln
  T
2 м
T1
 дA  0
 1
Суммарное изменение энтропии:
V
T
m
i m
S1 2  ДS11  ДS1 2  R ln 2 
R ln 2 .
м
V1 2 м
T1
Но из уравнений изопроцессов 1-1 и 1-2 имеем:
P1 V2
P T

и 1  2,
P2 V1
P2 T1
V2 T2
 .
V1 T1
Получаем окончательно:
T
m
i
S12  R ln 2 (1  ) .
м
T1
2
Сравнение полученных в обоих случаях формул подтверждает независимость изменения энтропии от вида процесса перехода. Таким свойством обладают и другие термодинамические функции состояния системы,
например, внутренняя энергия U.
Ответ: S1-2 = 52 Дж/К
68
4.23. Азот массой m = 28 г адиабатно расширили в k = 2 раза, а
затем изобарно сжали до первоначального
1
объема (рис. 23). Определите изменение эн- P
тропии газа в ходе указанных процессов.
адиабата
Решение.
2
При адиабатном расширении 1-2 Q = 0
3
 S=0, т.е. энтропия не меняется. При изо- 0 V
kV1 V
1
барном сжатии система тепло отдает, поэтому
Рис. 23
S2-3<0:
3
3
T
дQ 3 н C P dT
dT m i
S 2  3  

 нCP 
 (  1)R ln 3
T
T
T
м 2
T2
2
2
2
.
kV T
T
1
Из уравнения изобары 2-3: 1  2  k  3  .
T2 k
V1 T3
Подставим: S 23 
m i
1
(  1)R ln .
м 2
k
1
1
 1 , то ln  0 , т.е., действительно, S 2 3  0 . Общее изменеk
k
ние энтропии в ходе указанных процессов:
m i
S 13  0  ДS2 3   (  1)R lnk .
м 2
Ответ: S = -20,2 Дж/К.
Т.к.
4.24. Найдите приращение энтропии 1 кг льда при его плавлении.
Решение.
Плавление льда – это процесс, протекающий при постоянной темпе2
дQ 1 2
Q
о
ратуре Т=0 С. Поэтому S  
  дQ  , где Q – количество теплоT
T1
T
1
ты, полученное льдом при плавлении. Т.к. тепло поглощается, то энтропия
увеличивается, т.е. S  0 . Т.к. масса равна 1 кг, то Q= - удельной теплоте плавления льда (=330 кДж/кг).
Ответ: S=1,2 кДж/К
4.3. Задачи для самостоятельного решения
71) В теплоизолированном сосуде находится насыщенный водяной
пар. Через сосуд по змеевику пропускается холодная вода (см. рис. 24).
Температура воды на входе равна to = 18o C. Если пропускать воду со ско69
ростью v1 = = 3 м/с, то ее температура на выходе равна t1 = 68o C. Если
пропускать воду со скоростью v2 = 6 м/с, масса пара, сконденсировавшегося на змеевике, оказывается такой же, как в первом случае. Чему равна при этом температура
воды на выходе? (Ответ: t2= 43o C)
72) Некоторое количество воды нагревают
электронагревателем мощностью N = 500 Вт.
При включенном нагревателе за Δt1 = 4 мин температура воды повысилась на ΔТ = 5 К, а после
отключения нагревателя – остыла за Δt2 = 10 мин.
Какова масса нагреваемой воды, если потери тепла за счет рассеяния в окружающую среду пропорциональны времени? Удельная теплоемкость
воды с = 4200 Дж/(кгК). (Ответ: m = 4,1 кг)
Рис. 24
73) В теплоизолированном герметичном
сосуде находится ν = = 2 моля одноатомного
идеального газа при температуре Т = 300К и нормальном атмосферном
давлении. Найти давление газа после включения на время t = 3 мин небольшого электронагревателя мощностью N = 16,6 Вт, помещенного в сосуд. (Ответ: P = Po[1 +2Nt/(3 νRT)] = 1,4 105 Па)
74) Два сосуда заполнены одним и тем же идеальным газом и сообщаются при помощи узкой трубки. Отношение объемов сосудов
V1/V2=2. Первоначально газ в первом сосуде имел температуру Т1 = 300 К.
В результате перемешивания происходит выравнивание температур. Найти
первоначальную температуру газа во втором сосуде, если конечная температура Т = 350 К. Теплообменом газов со стенP
ками сосудов и трубки пренебречь. (Ответ: Т2 =
1
525К)
2
75) В калориметр, содержащий m1= 2 кг
льда при температуре t1 = -5о С, добавили m2 =
= 200 г воды при температуре t2 = +5о С.
3
Сколько льда будет в калориметре после установления равновесия? (Ответ: mл= 2,05 кг)
V
Рис. 25
76) Моль идеального одноатомного газа описывает замкнутый цикл, совершая в нем
работу 2026 Дж. Цикл состоит из процесса 1-2, в котором давление является линейной функцией объема, изохоры 2-3 и процесса 3-1, в котором
теплоемкость газа остается постоянной (см. рис. 25). Найти указанную теплоемкость, если известно, что Т1 = Т2 = 2Т3 = 100К, V2/V1 = 8. (Ответ:
С = - 12,5Дж/К)
77) Найти молярную теплоемкость идеального одноатомного газа,
температура которого меняется по закону Т = αV2, где α – постоянная величина. (Ответ: С = 2R)
70
78) Тепловая машина работает по циклу (см. рис. 26), состоящему
из изобары, изохоры и политропы, на которой давление газа и объем связаны соотношением P = αV, где α – постоянная веP
личина. Найти коэффициент полезного действия
2
P2
тепловой машины, если в ней в качестве рабочего
тела используется идеальный газ с молярной тепло1
емкостью при постоянном объеме СV = 3/2R. ОтP1
3
ношение максимальной температуры в цикле к ми0 V1
V2 V
нимальной равно 4. (Ответ: η = [1 – (T1 / T2)1/2]/{4[1
+ (T1 / T2)1/2]} = 1/12)
Рис. 26
79) Один моль одноатомного идеально1
3
го газа совершает замкнутый цикл, состоящий
из процесса с линейной зависимостью давления
от объема, изохоры и изобары (см. рис 27.)
2
Найти тепло, подведенное к газу на участках
V1
V3
цикла, где температура газа растет. Температура газа в состояниях 1 и 2 равна Т1 = 300 К, отРис.27
ношение объемов на изобаре V3/V1 = 5/2, направление обхода цикла указано стрелками. (Ответ: Q =Q23 + Q14
=(129/40)RT1)
80) Замкнутый цилиндрический сосуд разделен на две части свободно перемещающимся поршнем,
прикрепленным с помощью упругой
пружины к левому торцу сосуда. В левой части сосуда – вакуум, в правой –
моль идеального газа (см. рис. 28).
Рис. 28
Найти теплоемкость газа, находящегося в таких условиях. Недеформированное состояние пружины соответствует положению поршня у правого
2
P
торца сосуда. (Ответ: с = 2R)
81) КПД цикла
1-2-4-1
1
(см. рис. 29) равен η1 , а цикла 23-4-2 равен η2. Найти КПД цикла
1-2-3-4-1 . Участки 4-1 и 2-3 –
3
4
изохоры, участок 3-4- изобара,
V
участки 1-2 и 2-4 представляют
Рис. 29
собой линейные зависимости давления от объема. Все циклы обходятся по часовой стрелке. Рабочее вещество – идеальный газ. (Ответ: η =
η1 + η2 - η1η2)
82) С одним грамм-молем идеального газа проводят замкнутый
процесс (цикл), изображенный на рисунке 30, причем точки 2 и 4 лежат на
P
71
одной изотерме. Температура в точках 1 и 3 P
2
равна Т1 и Т3. Определить работу, совершен3
2
ную газам за цикл. (Ответ: A = R(√T1 - √T3) )
83) В качестве рабочего вещества в те4
1
пловой машине используется постоянное количество идеального одноатомного газа, изменеV
ние состояния которого изображено на P-V –
Рис. 30
диаграмме (см. рис. 31). При надлежащем выборе масштабов по осям этой диаграммы цикл
изображается двумя четвертями окружностей, P
причем точки пересечения дуг 1 и 2 лежат на
2
3
биссектрисе угла, образуемого осями диаграммы. Найти КПД цикла, если отношение максимального и минимального объемов газа в этом
4
1
цикле равно n = 3 . (Ответ: η = [ 2(π – 2)(n-1)] /
V
[(6+ +π)n+10- π] ~ 0.13)
Рис. 31
84) Один моль гелия, имевшего температуру T1 , нагревают так, что его давление увеличивается пропорционально среднеквадратичной скорости с теплового движения его атомов. Сколько теплоты необходимо передать гелию, чтобы увеличить скорость с в n =
2 раза? (Ответ: Q = 2 R T1 ( n2 -1 ) =6 R T1)
85) Зависимость от температуСμ
ры молярной теплоемкости С идеаль1
3
5/2R
ного одноатомного газа в цикле тепловой машины, который состоит из трех
2
1
11/6R
последовательных процессов 1-2, 2-3,
3/2R
2
3-1 (см. рис. 32). Найти отношение дав3
лений газа при максимальной T2 и минимальной T1 абсолютных температуT1
T2 T рах, в этом цикле, если КПД машины
Рис. 32
равен η = 1/11, количество газа в цикле
неизменно и отношение T2 /T1= n=2
(Ответ: P2 /P1 = 6n/{ 2(2+n) - 11η (n-1) })
86) В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем массой М, находится газ. Газ нагревают. Поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость . Найти количество теплоты,
сообщенной газу. Внутренняя энергия моля газа U = cT. Теплоемкостью
сосуда и поршня, а также внешним давлением пренебречь. (Ответ:
Q=½M2[1+ (c/R)])
87) В калориметр налили две жидкости с удельными теплоемкостями С1 и С2. После установления теплового равновесия оказалось, что
разность между начальной температурой первой жидкости t1 и установившейся температурой t смеси в k раз меньше разности начальных темпера72
тур жидкостей. Пренебрегая теплоемкостью калориметра, определить отношение масс налитых жидкостей. (Ответ:
m1/m2=(C2/C1) (k–1))
88) В проточном калориметре исследуеT1
T2
мый газ пропускают по трубопроводу с нагреваq
телем. Газ поступает в калориметр при Т1
=293К. При мощности нагревателя N1 = 1кВт и
расходе газа q1 = 540кг/ч температура Т2 газа за
N
нагревателем оказалась такой же, как и при удРис. 33
военной мощности нагревателя и увеличении
расхода газа до q2 = 720кг/ч. Найти температуру Т2 газа, если его молярная
теплоемкость в этом процессе (Р = = const) CР = 29,3 Дж/(мольК), а молекулярная масса μ = 29 г/моль. (Ответ: Т2 = 312,8К)
89) Моль идеального одноатомного газа
1
2
расширяется сначала изобарически (1-2), а затем в
процессе с линейной зависимостью давления от
объема (2-3) (см. рис. 34). При этом V3/V2 = V2/V1 и
3
Т2 = Т3. Найти отношение объемов V2/V1, если известно, что количество тепла подведенное к газу на
V
Рис. 34
участке 1-2 , в два раза больше величины работы ,
совершенной газом на участке 2-3. (Ответ: V2/V1 = 1,5)
90) Равные массы гелия и водорода находятся в теплоизолированном цилиндре под поршнем. Начальный объем смеси Vo = 1л, давление Ро
= 9атм . При адиабатическом расширении газ совершает работу
А = 650Дж. Найти относительное изменение температуры смеси. (Ответ:
T/To=- 6/13 A/(PoVo)=-1/3)
91) КПД тепловой машины, рабо1
P
тающей по циклу (см. рис. 35), состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1, равен , а
2
разность максимальной и минимальной
температур газа в цикле равна ΔТ. Найти
3
работу, совершенную  молями одноатомного идеального газа в изотермичеV
ском процессе. (Ответ: A=3/2RТ/(1-))
Рис. 35
92) К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость этого газа, если
давлением снаружи можно пренебречь. (Ответ: С = 3R ~ 25Дж/(мольК))
93) Теплоизолированный сосуд разделен на две части перегородкой.
В одной части находится ν1 молей молекулярного кислорода (О2) при температуре Т1, а в другой – ν2 молей азота (N2) при температуре Т2. Какая
73
температура установится после того, как в перегородке появится отверстие? (Ответ: Т=(ν1 Т1 + ν2 Т2)/ (ν1 + ν2).
94) Идеальный газ массой m = 1кг находится под давлением
Р = 1,5.105 Па. Газ нагрели, давая ему расширяться. Какова удельная теплоемкость в этом процессе, если температура газа повысилась на ΔТ =2 К,
а объем увеличился на ΔV = 0.002 м3? Удельная теплоемкость этого газа
при постоянном объеме cV = 700 Дж/кг. Предполагается, что изменение
давления газа при проведении процесса мало. (Ответ: c = 850Дж/(кгК) )
95) В латунном калориметре массой m1 = 200 г находится кусок льда
массой m2 = 100 г при температуре t1 = -10о С. Сколько пара, имеющего
температуру t2 = 100о С, необходимо впустить в калориметр, чтобы образовавшаяся вода имела температуру t = 40о С? Удельные теплоемкости латуни, льда и воды равны соответственно: С1= 0,4103 Дж/кгК, С2 =
= 2,1103 Дж/кгК, С3 = 4,19103 Дж/кгК; удельная теплота плавления льда
λ = 33,6 104 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r =
= 22,6105 Дж/кг. (Ответ: m = 22 г )
96) Найти КПД тепловой машины, раP 1
ботающей с ν молями одноатомного идеального газа по циклу, состоящему из адиабатического
расширения
1-2,
изотермического сжатия 2-3 и изохорического процесса 3-1 (см. рис. 36). Работа ,
совершенная над газом в изотермическом
процессе, равна А. Разность максимальной и
3
2
минимальной температур газа равна ΔТ.
(Ответ: η = 1 – 2А/ (3νRΔT))
V
Рис. 36
97) Над идеальным газом постоянной
массы проводится
циклический про- P
3
цесс, состоящий из двух изобар и двух изохор P2 2
(см. рис. 37). Заданы значения давлений Р1 и Р2 и
температуры Т2. При каком соотношении температур Т2 и Т4 полная работа за цикл больше: в P1
1
случае Т4>Т2 или Т4< Т2 ? (Ответ: при Т4 > Т2)
98) Идеальный газ массой m = 80 г и молярной массой μ = 40 г/моль нагревают в цилинРис. 37
дре под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления (Т ~ P2) от начального значения
Т1 = 300 К до конечного Т2 = = 400 К. Определить работу, совершаемую
газом в этом процессе, и количество подведенного к нему тепла. (Ответ:
Q = 3,3 кДж)
99) Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из
двух изобар и двух изохор. Отношение давлений на изобарах α = 1,25, а
74
отношение объемов на изохорах β = 1,2 . Найти работу, совершенную газом за цикл, если разность максимальной и минимальной температур газа в
цикле составляет ΔТ = 100 К. (Ответ: A = R ΔТ(α –1)( β –1)/(α β –1))
100) Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении, а
затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой,
равной начальной То = 300 К. Оказалось, что в итоге газу сообщено количество теплоты Q = 5 кДж. Во сколько раз изменился объем, занимаемый
газом? (Ответ: n = Q/RTo + 1~3)
101) В горизонтальном неподвижном циPo,To,Vo
линдрическом сосуде, закрытом поршнем, плоQ Po
щадь сечения которого равна S, находится один
моль газа при температуре То и давлении Ро (см.
рис. 38). Внешнее давление постоянно и равно
Ро. Газ нагревают внешним источником теплоРис. 38
ты. Поршень начинает двигаться, причем сила
трения скольжения равна f. Найти зависимость температуры газа Т от получаемого им от внешнего источника количества теплоты, если в газ поступает еще и половина количества теплоты, выделяющегося при трении
поршня о стенки сосуда. Построить график. Внутренняя энергия одного
моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь. (Ответ:
m1/m2=(C2/C1)(k–1))
102) Паровая машина мощностью N=14,7кВт потребляет за t=1ч
работы m = 8,1кг угля с удельной теплотой сгорания q=3,3.107Дж/кг. Температура котла to1=200oC, температура холодильника to2=58oC. Найти фактический КПД ηф этой машины. Определить, во сколько раз КПД ηид идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно при тех же
температурах нагревателя и холодильника, превосходит КПД этой паровой
машины. (Ответ: ηф=20%, ηид/ηф =1,5)
103) Сν = 5 моль идеального одноатомноP
го газа осуществляют круговой цикл, состоящий
2
из двух изохор и двух адиабат (см. рис. 39). Определить КПД η теплового двигателя, работающего в соответствии с данным циклом. Оп3
ределить
максимальный
КПД
ηmax,
1
4
соответствующий этому циклу. В состоянии 2
V
Рис. 39
газ находится в тепловом равновесии с нагревателем, а в состоянии 4-с холодильником. Известно, что Р1=200 кПа, Р2=1200 кПа, Р3=300 кПа, Р4=100кПа, V1 = V2 =
= 2 м3, V3 = V4 = 6 м3. (Ответ: η = 40%, ηmax = 75%)
104) Азот массой m=10 г находится при температуре Т=290 К. Определите: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2)
среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул
азота. Газ считать идеальным. (Ответ: 10-20 Дж; 860 Дж)
75
105) В закрытом сосуде находится смесь азота массой m1 = 56 г и
кислорода массой т2 = 64 г. Определите изменение внутренней энергии
этой смеси, если ее охладили на 20о С. (Ответ: 1,66 кДж)
106) Чему равна внутренняя энергия (в джоулях) при нормальных
условиях 1 см3 воздуха? 1 кг воздуха? (Ответ: 0,25 Дж; 0,2 МДж)
107) Воздух в комнате нагрели от температуры Т0 до Т, при этом
давление не изменилось. Изменилась ли внутренняя энергия воздуха внутри комнаты? (Ответ: нет)
108) Газ, занимавший объем 2 л при давлении 0,1 МПа, расширялся
изотермически до 4 л. После этого, охлаждая газ изохорно (при постоянном объеме), уменьшили его давление в два раза. Далее газ изобарно расширился до 8 л. Найдите работу, совершенную газом. Начертите график
зависимости давления от объема. (Ответ: 240 Дж)
109) Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре 300 К и
под давлением 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление
газа увеличилось в 2 раза. Работа, затраченная на сжатие, равна 432 кДж.
Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.
(Ответ: 1,25 м3/кг)
110) При адиабатном расширении кислорода (v = 2 моль), находящегося при н.у., его объем увеличился в п = 3 раза. Определите: 1)
изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа.(Ответ:
1)-4,03 кДж; 2) 4,03 кДж)
111) Азот, находившийся при температуре 400 К, подвергли адиабатному расширению, в результате которого его объем увеличился в п= 5
раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определите массу
азота. (Ответ: 28 г)
112) Определите количество теплоты, сообщенное газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объемом V = 20 л его давление изменилось на P = 100 кПа. (Ответ:Q = iVP/2=5 Дж)
113) 1 м3 водорода при 0о С находится в цилиндрическом сосуде, закрытом сверху легко скользящим поршнем массой 1 т и сечением 0,5 м2.
Атмосферное давление 973 гПа. Какое количество теплоты потребуется на
нагревание водорода до 300о С ? Найдите изменение его внутренней энергии. (Ответ: 370 кДж; 290 кДж)
114) Газ, для которого сp/сV= 4/3, находится под давлением р =
= 0,20 МПа и занимает объем V = 3,0 дм3. В результате изобарного нагревания объем его увеличился в k = 3 раза. Определите количество теплоты
Q, переданное газу. (Ответ: 39,9 кДж)
115) Определите удельные теплоемкости сV и сP смеси углекислого
газа массой 3 г и азота массой 4 г. (Ответ: 667 Дж/(кгК); 917 Дж/(кгК))
116) Отношение удельных теплоемкостей смеси, состоящей из нескольких молей азота N2 и v2 = 5 молей аммиака NH3, равно  = 1,35. Определите число молей азота в смеси. (Ответ: 12,5 моль)
76
117) Определите отношение удельных теплоемкостей для газовой
смеси, состоящей из водорода массой m1 = 4 г (1 = 210-3 кг/моль) и углекислого газа массой m2 = 22,0 г (2 = 4410-3 кг/моль). (Ответ: 1,65)
118) Плотность некоторого газа при н.у.  = 1,25 кг/м3. Отношение
удельных теплоемкостей  = 1,4. Определите удельные теплоемкости сP и
cV этого газа. (Ответ: ср = 1038,75 Дж/кгК; сV = 742 Дж/кгК )
119) Считая азот идеальным газом, определите его удельную теплоемкость: 1) для изобарного процесса; 2) для изохорного процесса.
(Ответ: с P = 1,04 кДж/(кг К); сV = 742 Дж/(кг К))
120) Определите удельные теплоемкости ср и сV некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях
1,43 кг/м3. (Ответ: сV = 650 Дж/(кгК), cp = 650 Дж/(кгК))
121) Определите удельные теплоемкости cV и сP некоторого газа,
если известно, что его удельный объем при нормальных условиях
0,7 м3/кг. Что это за газ? (Ответ: сV = 649 Дж/(кг К), сP = 909 Дж/(кг К))
122) Углекислый газ массой m = 4,4 кг ( = 4410-3 кг/моль) под давлением р1 = 0,1 МПа при температуре t1 = 87° С адиабатно сжимают до 1/20 его
начального объема. Определите конечную температуру t2 и давление газа р2,
приращение внутренней энергии U и работу А, совершенную газом. (Ответ:
951К; 5,375 МПа; 15,14кДж;- 15,14кДж)
123) Азот массой т = 50 г находится при температуре Т1 = 280 К. В
результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в п = 2
раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в
конечном состоянии стала равной первоначальной. Определите: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа. (Ответ:
1) 2,08 кДж; 2) 0)
124) Идеальный двухатомный газ (v = 3 моль), занимающий объем
Vl = 5 л и находящийся под давлением Р1 = 1 МПа, изохорно нагревают
до Т2 = 500 К. После этого газ изотермически расширяется до начального
давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращается в
первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите термический КПД цикла. (Ответ: 13,3%)
125) Рабочее тело — идеальный газ — теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последовательных процессов: изобарного,
адиабатного и изотермического. В ре- P
2
3
зультате изобарного процесса газ нагревается от Т 1 = 300 К до Т 2 = 600 К. Определите КПД теплового двигателя.
(Ответ: 30,7%)
4
1
126) Один моль газа участвует в
V
Рис. 40
циклическом процессе, график которого,
состоящий из двух изохор и двух изобар,
77
представлен на рис. 40. Температура в точках 1 и 3 равна Т1 и Т3. Определите работу, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4
лежат на одной изотерме. (Ответ: А R( T3  T1 )2 )
127) Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при
этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в п = 4
раза. Определите термический КПД цикла. (Ответ: 37 %)
128) Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т1
= 470 К, а температура холодильника Т2 = 280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу А = 100 Дж. Определите термический КПД
цикла, а также количество теплоты Q2, которое газ отдает холодильнику при
изотермическом сжатии. (Ответ: 40%; 150Дж)
129) Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т 1 = 500 К, холодильника Т 2 = 300 К. Работа изотермического
расширения газа составляет А = 2 кДж. Определите: 1) термический
КПД цикла; 2) количество теплоты, отданное газом холодильнику при
изотермическом сжатии. (Ответ: 40%; 2) 1,2 кДж)
130) Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя T1 = 327° С. Определите КПД цикла и температуру Т2 холодильника
тепловой машины, если за счет Q1 = 2 кДж теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 400 Дж. (Ответ: 480 К)
131) Паровая машина мощностью 14,7 кВт потребляет за 1 час работы 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания 3,3107 Дж/кг. Температура
котла 200° С, холодильника 58° С. Найдите КПД этой машины и сравните
его с КПД идеальной тепловой машины. (Ответ:  19,8 %, 0  30 %)
132) Покажите, что КПД тепловой машины в циклическом процессе
максимален, когда энтропия системы не меняется. (Ответ: Для любого теплового циклического процесса – Qн Tн  Q x Tx  0 , Qн-Qх=А, =А/Qн)
133) Во сколько раз необходимо увеличить объем 5 моль идеального
газа при изотермическом расширении, чтобы его энтропия увеличилась на
S = 57,6 Дж/К? (Ответ: 4 раза)
134) Водород массой m = 100 г ( = 210-3 кг/моль) был изобарно нагрет так, что его объем увеличился в n = 4 раза, затем водород был изохорно охлажден так, что давление его уменьшилось в k = 3 раза. Найдите
изменение энтропии в ходе указанных процессов. (Ответ: S = 2,8 кДж/К;
S = -379,3 кДж)
135) Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются.
Покажите, что при этом процессе энтропия системы увеличивается.
136) На сколько возрастет энтропия 1 кг воды, находящейся при температуре 293 К, при превращении ее в пар? (Ответ: S = 7 кДж/К)
137) Найдите приращение энтропии водорода при расширении его от
объема V до объема 2V: а) в вакууме, б) при изотермическом процессе. Мас78
са газа m. (Ответ: a), б) S = (m/)R ln2)
138) Идеальный газ (ν = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что
объем газа увеличился в n1 = 2 раза, а затем изохорно охладили, так что
давление его уменьшилось в п = 2 раза. Определите приращение энтропии в ходе указанных процессов. (Ответ: 11,5 Дж/К)
139) Азот массой 28 г адиабатно расширили в п = 2 раза, а затем
изобарно сжали до первоначального объема. Определите изменение энтропии газа в ходе указанных процессов. (Ответ: -20,2 Дж/К)
Глава 5. Реальные газы.
5.1. Основные определения и законы
Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа:
(Р
a
)(Vm  b)  RT ,
V 2m
для произвольного количества вещества ν газа:
(Р 
н2 a
)(V  нb)  нRT ,
V2
где a и b — постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа); V – объем, занимаемый газом; Vm — молярный объем; Р — давление.
Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул:
Р 
a
a
, или P  н2 2 .
2
V m
V
Объем, связанный с собственным объемом молекул:
m
b  Vм .

Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:
8a
a
Vm кр= 3b; P 
; Tкр 
.
2
27b
27Rb
Внутренняя энергия реального газа:
a
U   (CVT  ) ,
Vm
где СV — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
кр
5.2. Примеры решения задач
5.1. Углекислый газ, содержащий количество вещества v = l моль
находится в критическом состоянии. При изобарном нагревании газа
79
его объем V увеличился в k = 2 раза. Определить изменение Т температуры газа, если его критическая температура Ткр = 304 К.
Решение.
Для решения задачи удобно воспользоваться уравнением Ван-дерВаальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда давление Р, молярный объем Vm и температура T реального газа с соответствующими
критическими параметрами представлены в виде следующих отношений:
  P / Pкр ;   Vm / Vmкр ;   T / Tкр .
Из этих равенств получим:
P   p кр ; V m   V mкр ; T   Tкр .
Подставив сюда выражения Ркр,, Vm кр и Tкр через постоянные Вандер-Ваальса а и b, найдем:
P
a
8a
р; Vm  3bщb T 
ф.
2
27b
27bR
Полученные выражения Р, Vm и Т подставим в обычное уравнение
Ван-дер-Ваальса:
a
a
8a
[

][3b
щ

b]

R
ф.
27bR
27b 2 (3b щ32
После сокращения на а/(27b) и в правой части на R получим:
(р  3/щ2 )(3щ  1)  8ф.
(1)
Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенной форме. Оно не
содержит никаких параметров, характеризующих индивидуальные свойства газа, и поэтому является универсальным.
Теперь ответим на вопрос задачи. Так как давление остается постоянным (Р = Ркр), то  = 1; молярный объем газа согласно условию, увеличился в два раза, т. е. Vm=2Vm кр, следовательно,  = 2. Из уравнения (1)
выразим приведенную температуру :  =1/8( + 3/2)(3 -1). Подставив
сюда значения  и  и произведя вычисления, найдем,  =35/32. Температура Т, как отмечалось, связана с приведенной температурой  и критической Tкр соотношением Т= Ткр. Произведя вычисления по этой формуле,
получим T=332 К.
Ответ: T=332 К
5.2. В цилиндре под поршнем находится хлор массой m = 20 г. Определить изменение U внутренней энергии хлора при изотермическом
расширении его от V1 = 200 см3 до V2 = 500 см3.
Решение.
Внутренняя энергия U реального (ван-дер-ваальсового) газа определяется выражением:
80
a
).
(1)
Vm
Выразив в равенстве (1) молярный объем Vm через объем V и количество вещества v(Vm=V/v) и учтя, что v = m/M, получим:
m
ma
U  (CV T 
).
(2)
M
mv
Изменение U внутренней энергии в результате изотермического
расширения найдем как разность двух значений внутренней энергии при
объемах V2 и V1:
m 2 a(V2  V1 )
U  U 2  U 1 
.
(3)
M 2V1V2
Подставив значения величин в формулу (3) и произведя вычисления,
(20  10 3 )2  0,650(5  2)  10 4
получим U  U 2  U 1 
Дж  154 Дж .
(71  10 3 )  2  10 4  5  10 4
Отметим, что для идеального газа такое изменение внутренней энергии соответствовало бы нагреванию на 21 Дж.
Ответ: 21 Дж.
U   (CVT 
5.3. Задачи для самостоятельного решения
141) В газовом баллоне вместимостью V = 10 л находится азот массой m = 0,25 кг. Определить: 1) внутреннее давление Р' газа: 2) собственный объем V молекул. (Ответ: 108 кПа, 86,2 см3)
142) Определить давление Р, которое будет производить кислород,
содержащий количество вещества  = l моль, если он занимает объём
V=0,5 л при температуре T=300 К. Сравнить полученный результат с давлением, вычисленным по уравнению Менделеева – Клапейрона. (Ответ:
4,78 МПа, 4,99 МПа)
143) В сосуде вместимостью V = 0,3 л находится углекислый газ, содержащий количество вещества =l моль при температуре Т = 300 К. Определить давление Р газа: 1) по уравнению Менделеева – Клапейрона; 2)
по уравнению Ван-дер-Ваальса. (Ответ: 8,31МПа, 5,67МПа)
144) Криптон, содержащий количество вещества  = l моль, находится при температуре T = 300 К. Определить относительную погрешность
 =p/p, которая будет допущена при вычислении давления, если вместо
уравнения Ван-дер-Ваальса воспользоваться уравнением Менделеева –
Клапейрона. Вычисления выполнить для двух значений объема: 1) V=2 л;
2) V=0,2 л. (Ответ: 0,0264; 0,272)
145) Полость толстостенного стального баллона наполовину заполнили водой при комнатной температуре. После этого баллон герметически
81
закупорили и нагрели до температуры T = 650 К. Определить давление Р
водяного пара в баллоне при этой температуре.( Ответ: 544 МПа)
146) Давление Р кислорода равно 7 МПа, его плотность р=100 кг/м3.
Найти температуру Т кислорода. (Ответ: 287К)
147) Определить давление Р водяного пара массой m = 1 кг, взятого
при температуре Т = 380 К и объеме V: 1) 1000 л; 2) 10 л; 3) 2 л. (Ответ:
174кПа; 3,94МПа; 101МПа)
148) Вычислить постоянные коэффициенты а и b в уравнении Вандер-Ваальса для азота, если известны критические температура Tкр=126 К и
давление Ркр=3,39 МПа. (Ответ: 0 ,136 Нм 4 моль2 )
149) Вычислить критические температуру Ткр и давление Ркр.: 1) кислорода; 2) воды. (Ответ: 105 К; 5 МПа)
150) Критическая температура Tкр аргона равна 151 К и критическое
давление Ркр=4,86 МПа. Определить по этим данным критический молярный объем Vm кр аргона. (Ответ: 96,8 см3/моль)
151) Жидким пентаном C5,H12, плотность которого   626 кг / м 3 ,
частично заполняют прочную кварцевую колбу и запаивают ее так, что над
пентаном остаются только насыщающие пары. Определить, какую часть 
внутреннего объема колбы должен занимать пентан, чтобы можно было
наблюдать при нагревании переход вещества через критическую точку .
Постоянная b Ван-дер-Ваальса равна 14,510-5 м3/моль. (Ответ: 0,264)
152) Определить наибольший объем Vmax который может занимать
вода, содержащая количество вещества =l моль. (Ответ: 91,2 см3)
153) Определить плотность  водяных паров в критическом состоянии. (Ответ: 197 кг/м3)
154) Определить наибольшее давление pmax насыщающих водяных
паров. (Ответ: 21,8 МПа)
155) Во сколько раз концентрация nкр молекул азота в критическом
состоянии больше концентрации n0 молекул при нормальных условиях?
(Ответ: в 193 раза)
156) Найти критический объем Vкp веществ: 1) кислорода массой
m=0,5 г; 2) воды массой m = l г. (Ответ: 1,45 см3)
157) Газ, содержащий количество вещества  = l моль, находится
при критической температуре и занимает объем V, в n = 3 раза превышающий критический объем Vкр. Во сколько раз давление P газа в этом состоянии меньше критического давления Ркр? (Ответ: в 1,5 раза)
158) При какой температуре Т находится оксид азота, если ее объем
V и давление Р в k = 3 раза превышают соответствующие критические значения Vкр и Ркр? Критическая температура Ткр оксида азота равна 180 К.
(Ответ: 600К)
159) Газ находится в критическом состоянии. Как и во сколько раз
его давление Р будет отличаться от критического Ркр при одновременном
82
увеличении температуры Т и объема V газа в k=2 раза? (Ответ: увеличивается в 2,45 раза)
160) Газ находится в критическом состоянии. Во сколько раз возрастет давление Р газа, если его температуру Т увеличить в k = 2 раза. Процесс считать изохорным? (Ответ: в 5 раз)
161) Определить внутреннюю энергию U азота, содержащего количество вещества  = l моль, при критической температуре Ткр=126 К. Вычисления выполнить для четырех значений объемов V: 1) 20л; 2) 2л, 3) 0,2л;
4) Vкр. (Ответ: 2,61 кДж; 2,55 кДж; 1,94 кДж)
162) Кислород, содержащий количество вещества  = l моль, находится при температуре Т = 350 К. Найти относительную погрешность  в
вычислении внутренней энергии газа, если газ рассматривать как идеальный. Расчеты выполнить для двух значений объема V: 1) 2 л; 2) 0,2 л. (Ответ: 0,00943; 0,103)
163) Найти внутреннюю энергию U углекислого газа при нормальном давлении Р0 и температуре T = 300 К массой m =132 г в двух случаях,
когда газ рассматривают: 1) как идеальный; 2) как реальный. (Ответ: 22,4
кДж; 9,2 кДж)
164) Кислород массой т = 8 г занимает объем V = 20 см при температуре T =300 К. Определить внутреннюю энергию U кислорода. (Ответ:
1,13 кДж)
165) Определить изменение U внутренней энергии неона, содержащего количество вещества  = l моль, при изотермическом расширении
его объема от V1 =1 л до V2 = 2 л. (Ответ: 104 Дж)
166) Объем углекислого газа массой m = 0,1 кг увеличился от V1=103
л до V2=104 л. Найти работу А внутренних сил взаимодействия молекул при
этом расширении газа. (Ответ: 1.65 Дж)
167) В сосуде вместимостью V1= 1 л содержится m =10 г азота. Определить изменение T температуры азота, если он расширяется в пустоту
до объема V2=10 л. (Ответ: -20,9 К)
168) Газообразный хлор массой m =7,l г находится в сосуде вместимостью V1 = 0,l л. Какое количество теплоты Q необходимо подвести к
хлору, чтобы при расширении его в пустоту до объема V2 =1 л температура
газа осталась неизменной? (Ответ: 58,5 кДж)
83
Литература
1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. 5-е изд., стер. –
М.: «Высшая школа», 1998 – 542 с., ил.
2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов / Т.И. Трофимова. – 3-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО
«Издательство «Мир и образование», 2003. – 384 с., ил.
3. Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов /
Т.И. Трофимова. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство
АСТ», 2001. – 400 с., ил.
4. Задачи по физике: Учеб. пособие / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука. гл. ред.
физ.- мат. лит., 1988. – 416 с., ил.
5. Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи. –
М.: Высш.шк.,2001.- 669 с.:ил.
6. Филимонова Л.Н. Методические указания для практических занятий по
общей и экспериментальной физике. Часть 2. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2005. – 103 с.: ил.
7. Калашников Н.П. Основы физики. Упражнения и задачи: учебное пособие для вузов / Н.П. Калашников, М.А. Смондырев.-М.: Дрофа,2004.464с.: ил.
8. Сивухин Д.В. Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика
и молекулярная физика. –М: «Наука» 1976.-208с.
9. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике.-М: «Наука» 1988.-288с
10. Кудрявцев Б.Б. Курс физики. Теплота и молекулярная физика. М.:
Учпедгиз, 1960. – 210 с.
11. Ларионова Н.Н., Чернышов В.В., Ларионов А.Н. Сборник задач по
термодинамике. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2007.- 91с.
12. Мишаков В.Г., Ткаченко Т.Л. Решение задач по физике (Распределение Максвелла и Больцмана), СПб.,2008,- 32с.
84
Приложение
Таблица 1
Множители и приставки для образования десятичных кратных и
дольных единиц и их наименований
Название
приставки
Обозначение
приставки
Множитель
Название
приставки
Обозначение
приставки
Множитель
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
Т
Г
М
к
г
да
1012
109
106
103
102
101
деци
санти
милли
микро
нано
пико
д
с
м
мк
н
п
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Таблица 2
Обозначения используемых величин и их единицы измерения
Величина
Обозначение
Единицы измерения
Масса
Молярная масса
Масса одной молекулы
Количество вещества
Число молекул
Постоянная Авогадро
Давление
Объем
Температура по шкале Цельсия
Термодинамическая температура
Газовая постоянная
Постоянная Больцмана
Плотность
Концентрация
Скорость
Средняя скорость
Средняя квадратичная скорость
Наиболее вероятная скорость
Функция распределения по
скоростям
Относительная скорость
m

m0

N
NA
Р
V
t
T
R
k

n
в
f( )
кг
кг/моль
кг
моль
—
1/моль
Па
м3
о
С
К
Дж/(мольК)
Дж/К
кг/м3
1/м3
м/с
м/с
м/с
м/с
—
u
—


кв
85
Функция распределения по
относительным скоростям
Средняя длина свободного
пробега
Среднее число столкновений
в единицу времени
Эффективный диаметр молекул
Коэффициент диффузии
Коэффициент теплопроводности
Коэффициент вязкости
Давление Лапласа
Поверхностное натяжение
Радиус кривизны
Работа расширения газа
Работа по сжатию газа
Количество теплоты
Внутренняя энергия
Изменение внутренней энергии
Теплоемкость
Удельная теплоемкость
f(u)
—
l
м
z
—
d
м
D

м2/с
Н/(Кс)

p

R
А
А
Q
U
U
c
c уд
Пас
Па
Н/м
м
Дж
Дж
Дж
Дж
Дж
Дж/К
Дж/(кгК)
Молярная теплоемкость
c
Дж/(мольК)
Молярная теплоемкость
при постоянном объеме
Молярная теплоемкость
при постоянном давлении
Коэффициент Пуассона
Число степеней свободы
Энтропия
cV
Дж/(мольК)
cp
Дж/(мольК)

i
S
—
—
Дж/К
Таблица 3
Размеры молекул
Вещество
Диаметр молекулы,
(нм)
Вещество
Диаметр молекулы,
(нм)
Азот (N2)
Вода (H2O)
Водород (Н2)
Кислород (О2)
0,32
0,30
0,25
0,30
Гелий (Не)
Аргон (Ar)
Углекислота (СО2)
0,20
0,29
0,33
86
Таблица 4
Буквы греческого алфавита
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.














альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
 
 
 
 
 
 
 
тэта
каппа
ламбда
мю
ню
кси
пи
15.
16.
17.
18.
19.
20.
 
 
 
 
 
 
ро
сигма
тау
фи
пси
омега
Таблица 5
Плотность вещества ρ
Твердые тела
ρ, 103 кг/м3
Жидкости и газы
(Н.У.)
ρ, 103 кг/м3
Алюминий
2,69
Азотная кислота
1,50
Береза
Бетон
Бронза
Висмут
Вольфрам
Ацетон
Бензин
Вода
Глицерин
Дизельное топливо
0,80
0,70
1,00
1,26
0,86
Керосин
Мазут
0,80
 0,95
Дюралюминий
 0,60
 2,20
 8,30
9,78
19,35
 2,60
 0,80
 2,80
Масло касторовое
Железо, сталь
Золото
7,87
19,32
Масло растительное
Масло трансформаторное
0,96
 0,94
 0,87
Инвар
7,90
Молоко
Иридий
22,42
Нефть
1,03
 0,84
Каменная соль
Латунь
Лед
Магний
Марганец
Медь
2,18
 8,5
0,917
1,738
 7,30
8,96
Олифа
Ртуть
Серная кислота
Сероуглерод
Скипидар
Соляная кислота
0,94
13,60
1,83
1,26
0,87
1,10
Гранит
Дуб
87
Мрамор
 2,70
Спирт
Никель
Опал
Платина
Плутоний
Пробка
8,91
2,20
21,45
19,84
0,24
Эфир
Азот
Аргон
Водород
Воздух
Свинец
11,336
Гелий
0,1785
Серебро
Сосна
10,50
 0,50
 2,60
Кислород
Криптон
1,429
3,733
4,505
3,60
Ксенон
Углекислый газ
Фтор
5,897
1,98
1,696
Цинк
7,133
Хлор
3,214
Уголь (антрацит)
 1,60
Уран
19,04
Стекло
Титан
Топаз
Значения некоторых постоянных
Постоянная Авогадро: NA=6,0221023 1/моль.
Постоянная Больцмана: k=1,3810-23 Дж/К.
Газовая постоянная: R=8,31 Дж/(мольК).
Параметры нормальных условий (н.у.): Р0=1,013105 Па,
Т0=273,15 К, Vm=22,4110-3 м3/моль.
Число Лошмидта: NL= р0/(kT0)=2,681025 1/м3.
88
0,79
0,72
1,25
1,78
8,988 ∙10-2
1,29
Учебное издание
Анатолий Леонидович Суркаев
Михаил Маркович Кумыш
Галия Алиевна Рахманкулова
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Учебное пособие (для студентов
технических вузов)
Темплан 2010 г. Поз. № 16 B/ 17 ЭН
Подписано в печать15.04.2010 г. Формат 6084 1/16. Бумага газетная.
Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л.
Тираж 30 экз. Заказ
.
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в типографии ВолгГТУ
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 7.
89