Неклассическая модель «хищник

Ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå:
ìàòåðèàëû III Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè
(Îìñê, 12 íîÿáðÿ 2015 ã.). Îìñê, 2015. C. 4647.
ÓÄÊ 577.95
Ì.È. Ëåáåäåâà, À.Â. Íîðèí
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò
èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè,
ã. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
ÍÅÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ
¾ÕÈÙÍÈÊÆÅÐÒÂÀ¿
Ïîæàëóé, ñàìîé âàæíîé ïðîáëåìîé â ýêîëîãèè ïðè ïîñòðîåíèè
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè [5]. ×òîáû ïîïóëÿöèÿ ñóùåñòâîâàëà, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ åå, áûëà óñòîé÷èâà â êàêîì-òî ñìûñëå.
Ìû
îòêëîíèìñÿ
îò
êëàññè÷åñêîé
ìîäåëè
¾õèùíèêæåðòâà¿
ËîòêàÂîëüòåððà, ïðåäëîæåííîé â [3; 6], â êîòîðîé, î÷åâèäíî, äâèãàëèñü íå îò áèîëîãèè, à îò ìàòåìàòèêè, ïûòàÿñü ðåøèòü ïðîáëåìó óñòîé÷èâîñòè. Ïîñëå ýòîãî ïîÿâèëñÿ öåëûé ïîòîê ìîäåëåé
¾õèùíèêæåðòâà¿, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü íåêëàññè÷åñêèìè ìîäåëÿìè. Ïðåäñòàâëåíèå î íèõ ìîæíî ïîëó÷èòü â ðàáîòàõ [1; 2; 4].
Ñ áèîëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ìîäåëü ËîòêàÂîëüòåððà èìååò
íåäîñòàòêè, êîòîðûå ïðàâèëüíåé ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìîæíîñòè
ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ è ðàçâèòèÿ.  ðàáîòå [2] ïðåäëàãàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàâèñèìîñòü òðîôè÷åñêîé ôóíêöèè õèùíèêà ïðè åãî íàñûùå-
cxy
.
(1 + dx)
cxy
cy
cy
=−
+ , òî, îêà(1 + dx)
d(1 + dx) d
íèè è â îòñóòñòâèå êîíêóðåíöèè çà æåðòâó:
Åñëè åå ïðåäñòàâèòü â âèäå:
çûâàåòñÿ, ÷òî ìîäåëü ¾õèùíèêæåðòâà¿ ñ çàïàçäûâàíèåì ïî âðåìåíè, ïðè ëèíåéíîé ðîæäàåìîñòè õèùíèêà è æåðòâû óñòîé÷èâà ïî
Ëÿïóíîâó. Àâòîðàìè ïîêàçàíî àíàëèòè÷åñêè è ïîäòâåðæäåíî ÷èñëåííûì ñ÷åòîì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì èìååò îñîáåííîñòü òèïà öåíòðà, ÷òî ïðèâîäèò ê ïåðèîäè÷åñêèì êîëåáàíèÿì
÷èñëåííîñòåé îñîáåé â ìîäåëè ¾õèùíèêæåðòâà¿.
Ëèòåðàòóðà
1. Àïîíèí Þ.Ì., Àïîíèíà Å.À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîîáùåñòâà
¾õèùíèêæåðòâà¿ ñ íèæíèì ïîðîãîì ÷èñëåííîñòè æåðòâû // Êîìïüþòåðíûå èññëåäîâàíèÿ è ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 1,  1. C. 5156.
c Ëåáåäåâà Ì.È., Íîðèí À.Â., 2015
46
2. Áàçûêèí À.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîïóëÿöèé. Ì.: Íàóêà, 1985.
3. Âîëüòåððà Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ áîðüáû çà ñóùåñòâîâàíèå. Ì.:
Íàóêà, 1976.
4. Ãàéêî Â.À. Ãëîáàëüíûé áèôóðêàöèîííûé àíàëèç êâàðòè÷íîé ìîäåëè ¾õèùíèêæåðòâà¿ // Êîìïüþòåðíûå èññëåäîâàíèÿ è ìîäåëèðîâàíèå.
2011. Ò. 3,  2. C. 125134.
5. Ñâèðåæåâ Þ.Ì., Ëîãîôåò Ä.Î. Óñòîé÷èâîñòü áèîëîãè÷åñêèõ ñîîáùåñòâ. Ì.: Íàóêà, 1978.
6. Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimor, 1925.
47