1 - ННГУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Контрольные вопросы по курсу
«Теория функций комплексного переменного»
Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК для студентов
ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010500 «Прикладная
математика и информатика» и специальности 010501
«Прикладная математика и информатика»
Практикум
Нижний Новгород
2011
УДК 517.987 (077)
ББК В162р
К-15
Контрольные вопросы по курсу «Теория функций комплексного
переменного».
Составители:
Калашников А.Л. Филиппов В.Н.,
Филиппова Н.М. Практикум.– Нижний Новгород: Нижегородский
госуниверситет, 2011.– 26 с.
Рецензент: доцент, кандидат физ.-мат. наук, А.Г. Панасенко
Контрольные вопросы предназначены для проверки знаний студентов
по теории функций комплексного переменного и представлены в виде вариантов ответов. Это способствует усвоению основных понятий из разделов
комплексные числа, функции и ряды комплексного переменного, а также
навыков решения задач у студентов 2 и 3 курсов факультета ВМК ННГУ.
Работа будет также полезна при проведении практических занятий, коллоквиумов и самостоятельного изучения этих тем студентами факультета.
УДК 517.987 (077)
ББК В162р
Содержание
стр.
Предисловие .............................................................................................................4
Контрольные вопросы по темам .........................................................................5
1. Комплексные числа ........................................................................................5
2. Функции комплексного переменного .........................................................9
3. Комплексные степенные ряды ...................................................................14
Ответы ....................................................................................................................17
Основные теоретические сведения к темам практикума ...........................18
1. Комплексные числа ......................................................................................18
2. Функции комплексного переменного .......................................................21
3. Комплексные степенные ряды ...................................................................25
Список литературы ..............................................................................................26
3
Предисловие
Настоящий практикум написан на основе многолетнего опыта проведения практических занятий по теории функций комплексного переменного в
Нижегородском Государственном университете на факультете Вычислительной Математики и Кибернетики, где математика является профилирующей
дисциплиной. Контрольные вопросы практикума составлены по темам: комплексные числа, функции и ряды комплексного переменного, представленные соответствующими разделами. Здесь поставлена цель: привить студенту
умение усваивать основные понятия по теории функций комплексного переменного на основе выбора альтернативного ответа сего обоснованием или доказательством.
По каждому заданию приведено достаточное количество вариантов ответов, что требует вдумчивого их выбора. Конечно, перед тем как начинать
решать любые задачи, имеет смысл познакомиться с теорией по учебникам,
которые обычно дается при чтении лекций по курсу теории функций комплексного переменного. В приложении приведены необходимые сведения по
тематике контрольных вопросов, которые определяются содержанием лекций
и порядком изложения материала курса. Приведен также список литературы
по функциям комплексного переменного. Кроме того, для проверочных работ эти вопросы можно представить в виде вариантов.
Контрольные вопросы практикума будут полезны на практических
занятиях, экспресс-контрольных, коллоквиумов, составлении экзаменационных задач, а также самопроверки знаний по теории функций комплексного
переменного и ее самостоятельного изучения студентами факультете ВМК
ННГУ.
4
Контрольные вопросы по темам
В приведенных вопросах требуется из перечисленных ответов выбрать
правильные. При этом необходимо осуществить доказательное обоснование
этого выбора. Все задания разбиты по разделам с внутренней нумерацией.
1. Комплексные числа
1. Аргумент комплексного числа z  cos
1.

4

4
 i sin

4
равен:

4
3
3.
4
3
4. 
4
2. 
2. Аргумент комплексного числа z  sin
3
4

2. 
4

4
 i cos

4
равен:
1.
3.

4
4. 
3
4
3. Аргумент комплексного числа z  1  cos
1.
2.

8

4
3. 

4
5

4
 i sin

4
равен:
4. 

8
4. Число z  sin( i ) есть:
1. 0
2. чисто мнимое
5. Число z  cos( i ) есть:
1. действительное число
2. чисто мнимое

6. Число z  tg ( i ) :
2
1. не существует
2. существует
7. Для любого комплексного числа z  x  iy справедливо соотношение:
1. z  z  2 Re z
2. z  z  2 Im z
3. z  z  2i Im z
4. z  z  2i Re z
8. Для любого комплексного числа z  x  iy справедливо соотношение: .
1. z  z  2i Im z
2. z  z  2i Re z
3. z  z  2 Re z
4. z  z  2 Im z
9. Для любого комплексного числа z  x  iy справедливо соотношение:
1. z ∙ z  (Re z ) 2  (Im z ) 2
2. z ∙ z  (Re z ) 2  (Im z ) 2
3. z ∙ z  (Re z )(Im z )
4. z ∙ z  2(Re z ) 2
10. Для любого комплексного числа z  x  iy справедливо соотношение:
1. Re(iz )   Im( z )
2. Re(iz)  Im( z )
3. Re(iz )   Re( z )
4. Re(iz)  Re( z )
6
11. Для любого комплексного числа z  x  iy справедливо соотношение:
1. Im( iz)  i Re( z )
2. Im( iz)  Re( z )
3. Im( iz )  Im( z )
4. Im( iz )   Im( z )
12. Для любых комплексных чисел z1, z2 справедливо соотношение:
| z1 |  | z 2 | | z1  z 2 | .
1. да
2. нет
13. Если комплексные числа z1  0 , z2  0 и | z1  z2 || z1 |  | z2 | , то
1. Argz1  Argz2
2. Argz1  Argz2
14. Если комплексные числа z1  0 , z2  0 и Argz1  Argz2 , то
| z1  z2 || z1 |  | z2 | .
1. да
2. нет
3. не всегда
15. Для любых комплексных чисел z1, z2 справедлива формула бинома Ньютона
( z1  z2 ) 
n
n
 Cnk z1n  k z2 k .
k 0
1. да
2. нет
16. Если lim z n  z 0 в комплексной плоскости, то lim | z n || z 0 | .
n 
n
1. да
2. нет
3. не всегда
17. Если lim | z n || z 0 | в комплексной плоскости, то lim z n  z 0 .
n
n 
1. да
2. нет
3. не всегда
7
18. Равенство lim z n  0 в комплексной плоскости эквивалентно:
n 
1. lim | z n | 0
n 
2. lim Re z n  0
n 
3. lim | izn | 0
n
4. lim Im z n  0
n 
19. Если lim z n  0 в комплексной плоскости, то существует lim arg z n
n 
n
1. всегда
2. не всегда
20. Если три попарно не совпадающие точки z1, z2 , z3 комплексной плоскости лежат на одной прямой, то отношение
z3  z1
является действительным
z2  z1
числом.
1. да
2. нет
3. не всегда
21. Если для трех попарно не совпадающих точек z1, z2 , z3 комплексной
плоскости отношение
z3  z1
является действительным числом, то z1, z2 , z3
z2  z1
лежат на одной прямой.
1. да
2. нет
3. не всегда
8
2. Функции комплексного переменного
1. Является ли выполнение условий Коши-Римана в каждой точке области
комплексной плоскости достаточным для аналитичности функции в этой области?
1. да
2. нет
2. Пусть D область в комплексной плоскости и f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) − аналитическая функция в D . Тогда функции u ( x, y ), v( x, y ) − гармонические в
области D .
1. да
2. нет
3. не всегда
3. Пусть D область в комплексной плоскости и f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) - аналитическая функция в D . Тогда | f ( z ) | гармоническая в D функция.
1. да
2. нет
3. не всегда
4. Пусть D область в комплексной плоскости и f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) - аналитическая функция в D . Будет ли ln | f ( z ) | гармонической в D (за исключением нулей функции f ) функцией?
1. да
2. нет
3. не всегда
5. Пусть D область в комплексной плоскости и f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) - аналитическая функция в D . Если | f ( z ) | const , то будет ли и f ( z )  const ?
1. да
2. нет
3. не всегда
6. В простом нуле аналитической функции f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) кривые
u ( x, y )  0 и v( x, y )  0 пересекаются под прямым углом.
1. да
2. нет
3. не всегда
9
7. В нуле второго порядка аналитической функции f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y )
при z  x  iy кривые u ( x, y )  0 и v( x, y )  0 пересекаются под углом
1. да
2. нет
3. не всегда

.
4
8. Пусть D односвязная область в комплексной плоскости и F ( z )  f ( z )
для аналитической в D функции f . Тогда справедлива формула
z2
 f ( z )dz  F ( z2 )  F ( z 2 ) , ( z1 , z 2  D ).
z1
1. да
2. нет
3. не всегда
9. Пусть D односвязная область в комплексной плоскости и  - простая замкнутая линия уровня аналитической функции f (z ) , т.е. | f ( z ) | const для
z   . Тогда функция f (z ) имеет внутри  по крайней мере один нуль.
1. да
2. нет
10. Функция w 
z
отображает действительную ось на окружность с ценzi
тром
1. на действительной оси
2. на мнимой оси
11. Какое из приведенных равенств истинное в комплексной плоскости:
sin z
1
z 0 z
sin iz
1
2. lim
z 0 z
sin iz
1
3. lim
z  0 iz
sin z
1
4. lim
z  0 iz
1. lim
10
1
образами окружностей x 2  y 2  ax , где a ─
z
действительное число, будут на комплексной плоскости w  u  iv
12. При отображении w 
1.
2.
3.
4.
прямые, параллельные мнимой оси
прямые, параллельные действительной оси
окружности с центрами на действительной оси
окружности с центрами на мнимой оси
13. При отображении w 
1
образами окружностей x 2  y 2  by , где b ─
z
действительное число, будут
1. прямые, перпендикулярные мнимой оси
2. прямые, перпендикулярные действительной оси
3. окружности с центрами на мнимой оси
4. окружности с центрами на действительной оси
14. Для любых комплексных чисел z область значений функции sin z
1. ограничена
2. не ограничена
15. Для любых комплексных чисел z область значений функции sin iz
1. ограничена
2. не ограничена
16. Для любых комплексных чисел z  0 область значений функции
1. ограничена
2. не ограничена
17. Для любых комплексных чисел z  0 область значений функции
1. ограничена
2. не ограничена
sin z
z
sin iz
z
18. Для любых комплексных чисел z область значений функции z sin z
1. ограничена
2. не ограничена
19. Для любых комплексных чисел z  0 область значений функции
1. ограничена
2. не ограничена
11
sin z
z2
20. Пусть z  x  iy ─ фиксированное комплексное число. Тогда для послеn
z n
2x x2  y 2 2
довательности wn  (1  ) с модулем | wn | (1 

)
n
n
n2
1. lim | wn | e x
n 
2. lim | wn | e y
n 
3. lim | wn | e x
2
 y2
n
4. lim | wn | e x  y
n 
21. Пусть z  x  iy ─ фиксированное комплексное число. Тогда для после-
z
n
довательности wn  (1  ) n
1. lim arg wn  y
n 
2. lim arg wn  x
n 
3. lim arg wn  0
n 
4. lim arg wn  
n 
22. При отображении w 
1
образом окружности | z  1 | 1 на комплексной
z
плоскости w  u  iv будет прямая
1
2
2. Re w  0
1
3. Im w 
2
1. Re w 
23. При отображении w 
1
образом пучка прямых y  kx на комплексной
z
плоскости w  u  iv будет
1. пучок прямых v  ku
2. пучок прямых u  kv
3. пучок прямых u  kv
12
Re z
определена для всех z  0 на комплексной плоскости.
|z|
Можно ли ее доопределить до непрерывности при z  0 ?
24. Функция z
1. да
2. нет
Re z
определена для всех z  0 на комплексной плоскости.
z
Можно ли ее доопределить до непрерывности при z  0 ?
25. Функция
1. да
2. нет
13
3. Комплексные степенные ряды
1. На комплексной плоскости радиусы сходящихся рядов


n 0
n 0


n 0
n 0


n 0
n 0
 an z n ,  bn z n
равны R1 и R2 соответственно( R1  0, R2  0) . Тогда радиус сходимости R
ряда

 (an  bn ) z n :
n 0
1.
2.
3.
4.
R  min( R1 , R2 )
R  min( R1 , R2 )
R  max( R1, R2 )
R  max( R1, R2 )
2. На комплексной плоскости радиусы сходящихся рядов
 an z n ,  bn z n
соответственно равны R1 и R2 ( R1  0, R2  0) . Тогда радиус сходимости R
ряда

 (a n  bn ) z n :
n 0
1.
2.
3.
4.
R  max( R1 , R2 )
R  min( R1 , R2 )
R  max( R1, R2 )
R  min( R1 , R2 )
3. На комплексной плоскости радиусы сходящихся рядов
 an z n ,  bn z n
соответственно равны R1 и R2 ( R1  0, R2  0) . Тогда для ряда


 c n z  (  an z
n 0
n
n 0
n

)(
 bn z
n 0
n
) , cn 
радиус сходимости R :
1. R  min( R1 , R2 )
2. R  min( R1 , R2 )
3. R  max( R1, R2 )
4. R  max( R1 , R2 )
14
n
 a k bnk
k 0
4. На комплексной плоскости радиусы сходящихся рядов


 an z n ,  bn z n
n 0
соответственно равны R1 и R2 ( R1  0, R2  0) .Тогда для ряда

n 0
 a n bn z n ра-
n 0
диус сходимости R
1. R  R1 R2
2. R  R1 R2
3. R  R1  R2
4. R  max( R1, R2 )
5. На комплексной плоскости радиусы сходящихся рядов


n 0
n 0
 an z n ,  bn z n с
bn  0 соответственно равны R1 и R2 ( R1  0, R2  0) . Тогда для ряда
 a
 n z n радиус сходимости R :
n 0 bn
R
1. R  1
R2
R
2. R  1
R2
3. R  min( R1 , R2 )
4. R  max( R1, R2 )
6. Для ряда

 2 n z n с коэффициентами
2
n 0
n
2 , k  n 2
ck  
0,
k  n2.
Верна ли следующая цепочка рассуждений:
lim k | ck |  lim n | cn 2 |  lim 2
2
k 
n 
следовательно, R  1 ?
1. да
2. нет

1
n
n 
15
1 ,
7. Для степенного ряда

  n z n
2
радиус сходимости R  1 . В замкнутом
n 0
круге | z | 1 этот ряд сходится равномерно к некоторой функции f (z ) . В
этом же круге равномерно будут сходиться и продифференцированные (любое число раз!) ряды. Следовательно, функция f (z ) непрерывна в | z | 1 и
имеет относительно этого круга производные всех порядков.
Не противоречит ли это проведённое рассуждение известному факту,
что на границе круга сходимости сумма степенного ряда имеет хотя бы одну
особую точку?
1. да
2. нет
1
аналитична в некоторой окрестности точки z  0
cos z
1

(особые точки функции
− это нули функции cos z , т.е. точки  k ,
2
cos z
1
разлагается в степенной ряд
k  0,1,2,... ). Следовательно, функция
cos z
8. Функция f ( z ) 
вида

 cn z n . Тогда R
n 0
1. R 
− радиус сходимости этого ряда равен:

2
2. R  1
2
3. R 

4. R 

2
16
Ответы
Здесь 1-ая цифра указывает номер темы, 2-ая номер вопроса, а 3-я номер правильного ответа − одного или двух. При этом, если имеются два правильных ответа, то они заключены в скобки (№ , №).
1. Комплексные числа
1.1.2; 1.2.2; 1.3.1; 1.4.2; 1.5.1; 1.6.2; 1.7.1; 1.8.1; 1.9.1;
1.10.1; 1.11.2; 1.12.1; 1.13.2; 1.14.1; 1.15.1; 1.16.1; 1.17.3;
1.18.(1,3); 1.19.2; 1.20.1; 1.21.1.
2. Функции комплексного переменного
2.1.2; 2.2.1; 2.3.3; 2.4.1; 2.5.1; 2.6.1; 2.7.1; 2.8.1; 2.9.1;
2.10.1; 2.11.(1,3); 2.12.1; 2.13.1; 2.14.2; 2.15.2; 2.16.2; 2.17.2;
2.18.2; 2.19.2; 2.20.1; 2.21.1; 2.22.1; 2.23.1; 2.24.1; 2.25.2.
3. Комплексные ряды
3.1.2; 3.2.2; 3.3.1; 3.4.2; 3.5.1; 3.6.1; 3.7.2; 3.8.1.
17
Основные теоретические сведения к темам практикума
Здесь представлены необходимые теоретические сведения к вышеизложенным темам, содержащим контрольные вопросы. Это поможет лучшему их
усвоению для получения правильного ответа и его обоснования.
1. Комплексные числа
1. Рассмотрим понятие комплексных чисел и их различных представлений, а также арифметических действий над ними.
Определение 1.1. Число z  x  iy , где х и у ─ любые действительные
числа, а i ─ мнимая единица, называется комплексным числом. Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются x = Re z, y = Im z. Здесь i 2  1 .
Два комплексных числа считаются равными, если равны порознь их
действительные и мнимые части. Так как две точки, определенные своими
координатами в декартовой прямоугольной системе координат, совпадают
тогда и только тогда, когда они имеют равные абсциссы и равные ординаты,
то можно установить взаимно однозначное соответствие между всевозможными точками плоскости, с одной стороны и всевозможными комплексными
числами с другой.
Иначе говоря, будем изображать комплексное число z  x  iy с помощью точки, абсцисса которой равна х, а ордината у. Тогда всякое комплексное
число изобразится с помощью определенной точки плоскости («комплексной
плоскости») и, обратно, всякой точке (х,у) плоскости будет соответствовать
определенное комплексное число z  x  iy .
В дальнейшем мы часто не будем делать различия между комплексным
числом и точкой, его изображающей. Действительной и мнимой частям комплексного числа можно также поставить в соответствие координаты вектора,
т. е. проекции на координатные оси вектора, начало которого совмещено,
например, с началом координат, а конец — с данной точкой, и, следовательно, изображать комплексные числа с помощью векторов.
Комплексное число с мнимой частью равной нулю будем отождествлять с его действительной частью и считать действительное число частным
случаем комплексного. Действительные числа изображаются точками, лежащими на оси Ох; эту ось будем называть действительной осью. Комплексные
числа, действительные части которых равны нулю (чисто мнимые числа),
изображаются с помощью точек, лежащих на оси Оу. Эту ось будем называть
мнимой осью.
Положение точки, изображающей комплексное число z, можно определять также с помощью полярных координат r и  или, что то же самое, с по-
18
мощью длины вектора, соответствующего комплексному числу, и величины
угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси. Числа r и  будем называть соответственно модулем и аргументом комплексного числа z и пользоваться обозначениями r | z | ,   Arg z .
Для действительного числа введенное здесь определение модуля совпадает с
определением абсолютной величины этого числа. Модулем чисто мнимого
числа является абсолютная величина его мнимой части.
Из определения модуля и аргумента следует, что если z  x  iy , то
x  r cos  | z | cos Arg z , y  r sin  | z | sin Arg z .
Кроме того, имеем:
| z | r  x 2  y 2 , tgArg z  tg 
и также
cos  
x
x y
2
2
, sin  
y
,
x
y
x y
2
2
.
Величина Arg z многозначна и определена лишь с точностью до целого
кратного числа 2 . В качестве главного значения величины Arg z обычно
выбирают значение, определенное неравенствами    Ar g z   . Главное
значение аргумента z обозначают arg z. Если z − действительное положительное число, то arg z = 0; если z − действительное отрицательное число, то
arg z   .Если z − чисто мнимое число с положительной мнимой частью, то
arg z 

2
. Если z − чисто мнимое с отрицательной мнимой частью,
то arg z  

2
. При z = 0 величина Arg z не имеет смысла.
Пользуясь вышеприведенными формулами , можно всякое комплексное
число, отличное от нуля, представить в так называемой тригонометрической
форме:
z  x  iy = r cos   ir sin   r (cos   i sin  ) .
С помощью формулы Эйлера
ei  cos   i sin 
можно перейти от тригонометрической формы комплексного числа к его показательной: z  rei .
Два комплексных числа, имеющих одну и ту же действительную часть,
а мнимые части равные по абсолютной величине, но противоположные по
знаку, называются взаимно сопряженными. Число, сопряженное числу z ,
обозначается z . Если z  x  iy , то z  x  iy Из этого определения слеследует, что дважды сопряженное z  z . Модули взаимно сопряженных чисел одинаковы, а аргументы отличаются только знаком. Всякое действитель-
19
ное число совпадает с числом, ему сопряженным. Сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси.
Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам
сложения и умножения алгебраических многочленов: последнее из этих правил дополняется требованием замены i 2 числом  1 (и, следовательно, i 3
числом  i , i 4 числом 1, i 5 числом i и т. д.). При записи результата действий, произведенных над комплексными числами, следует отделить действительную часть от мнимой, т. е. собрать отдельно члены, не содержащие
множителя i , и члены, содержащие этот множитель.
Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное
умножению. Пользуясь свойствами сопряженных чисел, удобнее всего деление комплексных чисел производить следующим образом: сначала умножить
делимое и делитель на число, сопряженное делителю, после чего делитель
станет действительным положительным числом, а затем произвести деление
действительной и мнимой частей отдельно.
2. Рассмотрим здесь понятие предела комплексных чисел.
Определение 1.2. Число z0 называют пределом последовательности
комплексных чисел z1, z2 ,..., zn ,.... и пишут lim zn = z0 , если для любого
n
числа   0 можно подобрать такой номер N (N зависит от  ), что при n  N
выполняется неравенство | zn  z0 |  . Последовательность, имеющую конечный предел, называют сходящейся.
Иначе говоря, равенство lim zn = z0 означает, что как бы мала ни была
n
 -окрестность точки z0 , то вне этой окрестности может остаться лишь конечное число точек последовательности, так как все точки zn последовательности, начиная с номера n = N, попадут внутрь этой  -окрестности.
Здесь  -окрестность точки z0 есть внутренность круга радиуса   0 с
центром в данной точке z0 , т. е. совокупность точек, удовлетворяющих неравенству | z  z0 |  . Вообще, под окрестностью точки понимают не обязательно круговую область, а любую область, внутри которой лежит точка z0 .
Далее будем пользоваться, однако, только круговыми окрестностями.
Если zn  xn  iyn и z0  x0  iy0 , то, учитывая равенство
| zn  z 0 | ( xn  x0 ) 2  ( yn  y0 ) 2
нетрудно заключить (непосредственно из определения), что существование
предела lim zn = z0 равносильно существованию двух пределов:
n
lim xn = x0 , lim yn = y0 .
n
n
20
С учетом последних предельных равенств: покомпонентных, арифметические свойства предела для последовательностей комплексных чисел такие же
как и для действительных чисел. Из этого нетрудно получить и предельные
свойства для аргумента комплексного числа.
2. Функции комплексного переменного
1. Рассмотрим здесь понятие функций комплексного переменного, а
также действий над ними. Отметим, что понятие функции комплексного переменного аналогично как и для функции действительного переменного.
Определение 2.1. Говорят, что на некотором множестве точек, изображающих значения комплексной переменной z, задана (определена) функция
w  f (z ) , если каждой точке z этого множества поставлено в соответствие
одно (в случае однозначной функции) или большее число (в случае многозначной) комплексных значений w.
В дальнейшем, как правило, будут рассматриваться функции, заданные
либо на всей плоскости, за исключением отдельных ее точек, либо на части
плоскости, ограниченной одной (односвязная область) или несколькими
(многосвязная область) гладкими или кусочно-гладкими) кривыми. При этом
кривая называется гладкой, если в каждой ее точке можно провести касательную, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении
точки по кривой. Дуга непрерывной кривой, состоящая из конечного числа
гладких дуг, называется кусочно-гладкой. Из области могут быть удалены отдельные точки.
Так как задание комплексного числа z равносильно заданию двух действительных чисел х и у, являющихся соответственно его действительной и
мнимой частями z  x  iy , а числу w  u  iv точно так же однозначно соответствует пара действительных чисел u и v , то зависимость w  f (z ) между
комплексной функцией w и комплексной переменной z равносильна двум зависимостям: u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) , определяющим действительные величины u, v как функции действительных переменных х и у.
Если значения переменной z изображать с помощью точек некоторой
плоскости (плоскости z), а, значения функции w с помощью точек другой
плоскости (плоскости w), то функция w  f (z ) устанавливает соответствие
между точками плоскости z, в которых эта функция определена, и точками
плоскости w. Другими словами, функция w  f (z ) осуществляет отображение точек плоскости z на соответствующие точки плоскости w.
Обозначим через g множество точек плоскости z, на котором определена функция w  f (z ) ,а через G—множество, состоящее из тех точек плоскости w, на которые с помощью функции w  f (z ) отображаются точки множества g. Точки множества G называют образами соответствующих точек мно21
жества g при отображении w  f (z ) , а точки множества g— прообразами соответствующих точек множества G.
Выбрав какую-либо определенную точку множества G, найдем те точки
множества g, которые отобразились в выбранную точку, т. е. все прообразы
выбранной точки. Таким образом, каждой точке множества G будет соответствовать одна или несколько точек множества g. В соответствии с определением функции это будет означать, что на множестве G определена некоторая
функция z   (w) , которую называют обратной по отношению к функции
w  f (z ) . Если функция w  f (z ) однозначна, то каждой точке плоскости z,
в которой функция определена, соответствует одна точка плоскости w.
Пусть при этом некоторое множество точек g плоскости z отображается
взаимно однозначно на некоторое множество G плоскости w , т.е. функция
w  f (z ) такова, что не только каждой точке множества g соответствует одна
и только одна точка множества G, но и обратно, каждой точке множества G
соответствует в точности одна точка множества g. Тогда функция z   (w) ,
определенная на множестве G и отображающая его на множество g обратная
по отношению к функции w  f (z ) также является однозначной. В этом случае говорят, что функция w  f (z ) однолистна на множестве g.
Пусть в плоскости z кривая L задана уравнением F ( x, y )  0 .Чтобы
найти уравнение кривой С, в плоскости w, на которую отображается кривая L
с помощью функции w  f (z ) нужно исключить х и у из уравнения.
Если L задана параметрическими уравнениями: x  x(t ), y  y (t ) ,то,
подставляя x(t) и y(t) вместо x, y в равенства u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) при задании w( x, y )  u ( x, y )  iv( x, y ) , получим уравнения кривой С также в параметрической форме:
u  u ( x(t ), y (t ))  U (t ) , v  v( x(t ), y (t ))  V (t ) .
Отметим, что параметрические уравнения x  x(t ), y  y (t ) ,линии в
плоскости z могут быть заменены одним уравнением z  z (t )  x(t )  iy(t ) .
Арифметические действия и сложная функция комплексного переменного и предел функции комплексного переменного определяются аналогично
как и для действительного переменного.
2. Рассмотрим далее предел функции комплексного переменного.
Определение 2.2. Число w0  lim f (z ) называют пределом функции
z  z0
f (z ) при z  z0 (стремящемся к числу z0 ), если для любого числа   0
существует число   0 , что для всех значений z ( z  z0 ), удовлетворяющих
условию | z  z0 |  выполнено неравенство | f ( z )  w0 |  .
Если z0 или w0 или оба вместе бесконечны, то в соответствии с определением
окрестности бесконечно удаленной точки неравенства
| z  z0 |  или | f ( z)  w0 |  , или оба вместе должны быть заменены дру22
гими. Так, например, равенство w0  lim f (z ) ( w0 конечно) означает, что
z 
для всякого числа   0 существует число A  0 , для которого при всех
| z | A будет | f ( z)  w0 |  .
Введенное нами определение предела функции ничем не отличается от
определения предела функции действительного переменного, следовательно,
все доказываемые в курсе математического анализа теоремы о пределах и
бесконечно малых остаются в силе для функций комплексного переменного.
Дадим, теперь, определение непрерывной функции комплексного переменного.
Определение 2.3. Если функция w  f (z ) определена в точке z0 и в
некоторой ее окрестности и существует lim f (z )  f ( z 0 ) , то функция
z  z0
w  f (z ) называется непрерывной в точке z0 .
В соответствии с определением предела функции, нетрудно сформулировать это определение в терминах  ,   0 .
'Гак как сформулированное выше определение непрерывности совпадает с определением непрерывности для функций действительного переменного, то доказываемые в курсе математического анализа теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного непрерывных функций, а также
непрерывной функции от непрерывной функции остаются в силе для функций комплексного переменного.
Как уже указывалось выше, равенство w  f (z ) ,где w  u  iv и
z  x  iy , равносильно системе равенств u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) . Тогда непрерывность w  f (z ) в точке z0  x0  iy0 , как нетрудно установить, эквивалентно непрерывности функций u ( x, y ) , v( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) .
Заметим, что если вспомнить способ, с помощью которого, зная уравнение некоторой кривой в плоскости z , можно найти уравнение ее образа на
плоскости w при отображении w  f (z ) , то легко убедиться в справедливости следующего утверждения: непрерывная кривая отображается с помощью
непрерывной функции на непрерывную кривую или, если f (z ) постоянна
вдоль заданной кривой , то в одну точку.
3. Рассмотрим, далее, понятие производной функции комплексного переменного и связанных с этим различных свойств. Отметим, что определения
производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно
совпадают с соответствующими определениями для функций действительного переменного. Поэтому почти все основные теоремы и формулы дифференциального исчисления без изменения распространяются и на функции комплексного переменного.
Однако дифференцируемые функции комплексного переменного обладают по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного многими дополнительными свойствами, причина появления кото23
рых заключается в том, что условие для существования производной функции
комплексного переменного является несравненно более ограничительным,
чем условие для существования производной функции действительного переменного.
Определение 2.4. Если существует предел отношения
w
при стремлеz
нии приращения z к нулю по любому закону, то этот предел называется
производной функции f (z ) в точке z0 и обозначается как f ' ( z0 ) = lim
z  z0
w
.
z
Здесь приращения аргумента и функции
z  z  z0 , w  f ( z0  z)  f ( z0 ) .
При этом предполагается существование функции не только в точке, но и в ее
окрестности. Нетрудно установить, что производная
f ' ( z0 ) =
u ( x0 , y0 )
v( x0 , y0 ) u ( x0 , y0 ) v( x0 , y0 )
i
i
=
x
x
y
y
Показывается, что для существования производной необходимо выполнение условий Коши – Римана:
u
u v v
 .
 ,
y
x y x
Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функций комплексного переменного, а определение производной функции комплексного
переменного также не отличается от соответствующего определения для
функции действительного переменного, то нетрудно проверить, что известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного,
степени, функции от функции, обратной функции остаются справедливыми и
в случае функций комплексного переменного.
Известно, что действительная и мнимая части функции f ( z )  u  iv ,
аналитической в некоторой области D, являются в этой области решениями
уравнения Лапласа
 2u
x 2

 2u
y 2
 0,
 2v
x 2

 2v
y 2
 0.
При этом ее можно дифференцировать любое число раз. Решения уравнения
Лапласа называются гармоническими функциями. Таким образом, мнимая и
действительная части аналитической функции являются гармоническими
функциями. Однако, если u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) − гармонические функции,
то f ( z )  u  iv , вообще говоря, не будет аналитической функцией.
24
3. Комплексные степенные ряды
Приведем, теперь, сведения о комплексных степенных рядах.
Определение 3.1. Ряд вида
c0  c1z  c2 z 2  .....  cn z n  ... ,
где ck − заданные комплексные постоянные, называется степенным.
Основной теоремой теории степенных рядов является
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке z0 , то он сходится и притом абсолютно во всех точках, лежащих внутри окружности С с
центром в точке z = 0 и проходящей через точку z0 (т. е. во всех точках z, для
которых | z || z0 | .
Известно, что для всякого степенного ряда существует круг G абсолютной сходимости вне которого ряд расходится. При этом R − радиус этого
1 ____
 lim | cn |1 / n . Здесь верхкруга вычисляется по формуле Коши-Адамара:
R n
____
ний предел
lim | cn |1 / n = lim ( sup | cn |1/ n ). Если R  0 , то ряд сходится
n
p 
n p
только в точке z  0 . Если же R   , то ряд сходится на всей комплексной
плоскости. По аналогии со степенными рядами на действительной оси из математического анализа, можно привести и другие формулы вычисления радиуса сходимости комплексного ряда. Например, по формуле Даламбера или
Коши:
|c | 1
1
 lim n 1 ,
 lim n | cn | ,
R n   |c n |
R n
(если эти пределы существуют).
В общем виде рассматривается степенной ряд с центром z 0 :
c0  c1 ( z  z0 )  c2 ( z  z 0 ) 2  .....  cn ( z  z0 ) n  ...
Осуществляя замену w  z  z0 , получаем ряд из определение 3.1.:
c0  c1w  c2 w2  .....  cn wn  ...
Для него будет круг сходимости Q с центром в точке z 0 и радиусом, вычис-
ляемым по формуле Кощи-Адамара.
Для степенных комплексных рядов по аналогии с числовыми рядами
верны арифметические свойства, подстановка ряда в ряд, дифференцирование
и интегрирование. При этом в этих случаях имеются схожие утверждения.
Определение 3.2. Функция f (z ) комплексного переменного, определенная в открытом множестве D , называется аналитической в этом множестве, если она разлагается в степенной ряд в каждой точке этого множества.
Свойства аналитических функций следующие:
25
1) бесконечная дифференцируемость, причем все ее производные тоже
аналитические в том же множестве;
2) алгебраическая сумма и произведение также аналитические в том же
множестве;
3) частное аналитических функций тоже аналитическая в том же открытом множестве при удалении точек, где знаменатель обращается в нуль;
4) суперпозиция аналитических функций тоже аналитическая;
5) в комплексной плоскости всякая дифференцируемая функция является аналитической;
6) всякая аналитическая в области D функция раскладывается в
окрестности любой точки z0  D в ряд Тейлора:

f ( n) ( z0 )( z  z0 ) n
.
f ( z )  f ( z0 )  
n
!
n 1
Ряд Тейлора можно почленно дифференцировать. Полученный после
дифференцирования ряд имеет тот же круг сходимости, что и исходный ряд.
7) разложение функции в степенной ряд единственно.
Замечание. Дополнительные сведения, относящиеся к изложенной теории можно получить из предлагаемого списка литературы, который представляет классические учебники и задачники по теории функций комплексного переменного.
Список литературы
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного.− М.: Наука, 1965.
2. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. −М.:
Наука, 1966.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.− М.: Наука, 1977.
4. Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по
теории функций комплексного переменного. −М.: Физматлит, 2002.
26