Учебное пособие - Факультет информационных технологий и

1
СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ № 1 ....................................................................................................... 2
1.
Основы математического моделирования и теории принятия
решений ............................................................................................................ 2
Оптимизационные модели принятия решений ................................. 10
2.
2.1.
Использование оптимизационных моделей при принятии решений ............... 10
2.2.
Линейные модели оптимизации в управлении ................................................... 11
2.3.
Нелинейные модели оптимизации в управлении ............................................... 18
РАЗДЕЛ № 2 ..................................................................................................... 21
3.
Экспертные оценки при принятии решений ...................................... 21
3.1.
Понятие об экспертизах ..................................................................................... 21
3.2.
Экспертное оценивание важности объектов .................................................. 24
Принятие решений в условиях риска ................................................. 30
4.
4.1.
Решение простого дерева.................................................................................... 30
4.2.
Деревья с несколькими точками принятия решения ........................................ 34
4.3.
Построение индивидуальной функции полезности .......................................... 37
Принятие решений в условиях неопределённости ........................... 39
5.
5.1.
Теория игр в контексте теории принятия решений ........................................ 39
5.2.
Матричные игры с нулевой суммой.................................................................... 43
РАЗДЕЛ № 3 ..................................................................................................... 51
6.
Методы сетевого планирования .......................................................... 51
6.1.
Информационные технологии сетевого планирования в управлении ............. 51
6.2.
Построение сетевых графиков .......................................................................... 52
6.3.
Расчет временных параметров сетевого графика .......................................... 55
6.4.
Оптимизация комплекса операций ..................................................................... 59
Методы анализа временных рядов ..................................................... 65
7.
7.1.
Методы сетевого планирования без сезонной составляющей ....................... 66
7.2.
Подбор кривой тренда ......................................................................................... 74
7.3.
Метод Хольта ...................................................................................................... 75
7.4.
Учет сезонных изменений ................................................................................... 78
РАЗДЕЛ № 4 ..................................................................................................... 86
8.
Системный подход и основы системной динамики .......................... 86
8.1.
Системный подход к принятию решений .......................................................... 86
8.2.
Моделирование систем. Системная динамика ................................................. 90
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................. 96
2
РАЗДЕЛ № 1
Общие сведения и основные понятия математического
моделирования и теории принятия решений
1.
Основы математического моделирования и теории
принятия решений
Реальные ситуации, складывающиеся в общественной жизни любой
страны, и, в частности, в экономической сфере, отличаются возрастающей
сложностью задач, непрерывным изменением и неполнотой данных об
экономической конъюнктуре, высокой динамичностью процессов. В этих
условиях интеллектуальные возможности человека могут войти
в противоречие с объемом информации, который необходимо осмыслить
и переработать в ходе управления разнообразными технологическими
и социальными процессами. Вследствие этого возрастает опасность срыва
управления.
Основой управления, как известно, является решение. Научнотехническая революция настолько повысила уровень энерговооруженности
лиц, принимающих решения (ЛПР), что ошибки от неверно принятых
решений могут привести не только к экономической катастрофе для
отдельного предпринимателя или отрасли, но и к глобальной катастрофе
для человечества.
Действенным способом повышения эффективности и качества
управления является овладение менеджерами всех уровней методологией
системного анализа и принятия решений на основе математических
методов. При этом в роли интеллектуального помощника человека
выступает компьютер. Чтобы наделить компьютер ― интеллектуальными
способностями,
необходимо
реальную
экономическую
или
управленческую задачу заменить ее математическим аналогом, а опыт
и интуицию человека — его моделями предпочтений. Именно эти вопросы
составляют предмет математической теории принятия решений.
Математическая теория принятия решений в сложных ситуациях,
которую часто называют теорией принятия решений (ТПР), занимается
разработкой общих методов анализа ситуаций принятия решений. При
помощи этих методов вся информация о проблеме, включая сведения
о предпочтениях ЛПР и его отношении к риску, а также суждения ЛПР
о возможных реакциях других субъектов на принятые им решения,
используется для получения вывода о том, какой из вариантов решения
является наилучшим.
3
Методологическую основу ТПР составляют элементы научной базы
системного подхода. Системный подход обобщает теоретические посылки
и методы социально-прикладных и технических наук, а его концепции
и принципы
составляют
основу
для
дальнейшего
уточнения
и конкретизации в других науках. Принципы системного подхода
практически реализуются в элементах научной базы системного анализа.
Сам системный анализ — это совокупность конкретных, имеющих
практическую направленность методических подходов, практических
методов и алгоритмов, позволяющих реализовать теоретические
концепции и главные идеи системного подхода в рамках социальноэкономических и технических проблем. Системный подход и системный
анализ составляют базу таких научных дисциплин, как теория управления
и ее социально-прикладная форма — менеджмент.
Теория принятия решений ориентируется на разработку и поиск
оптимальных результатов по достаточно сложным проблемам, со
значительным количеством связей и зависимостей, ограничений
и вариантов решений. В связи с этим использование системного подхода
в качестве методологической базы разрешения подобных проблем является
совершенно необходимым.
Принципиальная особенность системного подхода состоит
в рассмотрении
объекта
управления
как
сложной
системы
с многообразными внутрисистемными связями между ее отдельными
элементами и внешними связями с другими системами.
Достоинством системного подхода является возможность учета
неопределенности поведения элементов и системы в целом, а также
обеспечение согласованности множества целей при принятии решения,
в частности, целей элементов подсистем с общими целями системы
(например, целей заводов и цехов, участков).
Достоинством системного подхода является возможность учета
неопределенности поведения элементов и системы в целом, а также
обеспечение согласованности множества целей при принятии решения,
в частности, целей элементов подсистем с общими целями системы
(например, целей заводов и цехов, участков).
Цель системного анализа заключается в выяснении реальных целей
принимаемого решения, возможных вариантов достижения этих целей,
установлении условий появления проблемы, ограничений и последствий
решения. Логический системный анализ дополняется математическим
анализом системы. Характерными признаками системного анализа
являются следующие:
 решения принимаются, как правило, относительно отдельных
элементов системы, поэтому необходимо учитывать взаимосвязь
элемента с другими и общую цель системы (т.е. реализовывать
системный подход);
4
 анализ осуществляется по принципу – от общего к частному, сначала
для всего комплекса проблем, а далее для отдельных составляющих;
 первостепенное значение имеют такие факторы, как время,
стоимость, качество работы;
 нередко данные анализа ориентируют на выбор соответствующего
решения;
 по отношению к логическим суждениям системный анализ является
вспомогательным элементом;
 системный анализ позволяет выделить области, где принимаются
логические суждения и определить значение каждого из возможных
вариантов решения;
 широкое использование компьютеров на всех стадиях анализа
проблемы и процесса принятия соответствующего решения.
При решении практических задач управления, в частности, задач
принятия решений, ЛПР постоянно использует анализ и синтез, системный
подход и конкретно-формальные методы.
Функции, выполняемые ЛПР по организации разработки (принятия)
решения, заключаются в следующем:
 управление процессом выработки решения;
 определение задачи, участие в ее конкретизации и выборе критериев
оценки эффективности решения;
 окончательный выбор из имеющихся вариантов решения
и ответственность за него;
 организация реализации разработанного решения исполнителями.
В разработке сложных решений, требующих использования
системного анализа, принимают участие специалисты — системные
аналитики (системотехники).
Кратко изложим функции системных аналитиков и руководителей
в процессе выработки решений. Системные аналитики характеризуются
выполнением следующих задач:
 выявляют цели, в том числе посредством количественных методов;
 составляют перечень возможных целей и представляют его
руководителю;
 определяют подходы к решению проблемы;
 выявляют и оценивают альтернативы решения проблемы;
 устанавливают причинно-следственные связи между факторами;
 выявляют тенденции изменений в развитии объектов;
 осуществляют выбор альтернатив и критериев оценки;
 проводят необходимые расчеты.
Руководитель характеризуется выполнением следующих задач:
 рассматривает состав целей (уточняет старые и оценивает новые);
5
 участвует в постановке задачи, выборе способов решения;
 учитывает объективные и субъективные факторы, влияющие на
решение проблем;
 участвует в оценке степени риска при принятии решения;
 рассматривает данные анализа;
 контролирует своевременность подготовки решения.
Таким образом, несмотря на определяющую роль ЛПР в процессе
выработки решения, в данном процессе часто задействована большая
группа специалистов.
Объектом исследования ТПР является ситуация принятия решений,
или так называемая проблемная ситуация (ПС).
Предметом исследования ТПР выступают общие закономерности
выработки решений в проблемных ситуациях, а также закономерности,
присущие процессу моделирования основных элементов проблемной
ситуации.
Основным назначением ТПР является разработка для практики
научно обоснованных рекомендаций по организации и технологии
построения процедур подготовки и принятия решений в сложных
ситуациях с применением современных методов и средств (в первую
очередь, компьютеров и компьютерных систем).
В основе современной ТПР лежит комплексная концепция принятия
решений, которая требует учета всех существенных аспектов проблемной
ситуации и рациональной интеграции как логического мышления
и интуиции человека, так и математических и технических средств.
Согласно этой концепции принятие решения — это сознательный выбор из
ряда альтернатив. Этот выбор производит ЛПР. В роли ЛПР выступает
человек или коллектив, обладающие правами выбора решения и несущие
ответственность за его последствия.
Суть концепции принятия решений состоит в том, что вначале ЛПР
(а при необходимости и специалисты по проблемам принятия решений)
содержательно анализирует возникшую социальную, экономическую или
др. проблему. В итоге этой творческой логической деятельности и на
основе личной интуиции ЛПР формулирует цель, достижение которой, по
его мнению, разрешит проблему. Подробно разобравшись в существе цели
и собственных предпочтениях, ЛПР формирует способы достижения цели
и, наконец, принимает решение о том, какой из возможных способов, по
его мнению, наилучший, то есть осуществляет обоснованный выбор.
Для принятия решения на научной основе широко используются
методы такой прикладной научной дисциплины, как исследование
операций. Однако применение формальных методов исследования
операций может быть начато только после формулировки цели. В этом и
состоит существенное различие в предмете исследования этих двух наук.
Теория принятия решений в качестве объекта исследования берет
6
проблему и начинает с формулирования цели. Промежуточными этапами
являются выбор наилучшего решения и интерпретация его для практики.
ТПР заканчивает применение своего аппарата только после изучения
степени разрешения стоявшей перед ЛПР проблемы и фиксации
практического опыта.
Применение же аппарата исследования операций начинается только
после того, как цель задана, и заканчивается отысканием оптимального
решения, которое максимизирует (или минимизирует) целевую функцию,
моделирующую степень предпочтительности в смысле достижения цели.
Предпочтительность того или иного исхода операции оценивают
величиной специальной числовой функции, называемой критерием.
Оптимальным считается такой вариант проведения операции, который
обеспечивает
наилучшее
значение
критерия
или
наилучшее
(компромиссное) сочетание значений всех критериев (если их несколько).
Существует круг задач, для которых построены отработанные
математические модели, позволяющие находить решение без участия ЛПР.
Это задачи распределения ресурсов, транспортные задачи, задачи
массового обслуживания, управления запасами и ряд других.
Однако имеется широкий круг задач, не укладывающихся в рамки
перечисленных разделов исследования операций. Прежде всего — это
многокритериальные задачи, решаемые в сложных ситуациях. Таким
образом, сложными будем считать ситуации, которые отличаются
наличием нескольких критериев, или действием неопределенных
факторов, или необходимостью учета мнения нескольких лиц, а также
другие ― нестандартные ситуации.
Многокритериальность объясняется тем, что при оценке
действительно сложных ситуаций редко удается обойтись одним
критерием.
Например, при оценке деятельности торгового предприятия
рассматриваются такие важные частные результаты, как объем продаж,
издержки хранения товаров, прибыль, оборачиваемость средств и др.
Именно на значениях этих результатов чаще всего строят критерии. Одни
из них (например, прибыль) желательно максимизировать, другие
(например, издержки хранения) — минимизировать. Как правило, в этом
смысле критерии эффективности решения всегда противоречивы.
В результате оказывается, что не существует решения, наилучшего
одновременно по всем критериям. Например, фирма не может получить
максимальный доход при минимальных издержках.
Наличие неопределенных факторов, особенно в сочетании
с многокритериальностью, существенно осложняет принятие решений.
Даже если действует наиболее изученный в теоретическом отношении
фактор «случайность», и даже если задача однокритериальная, то принять
решение не просто, так как нужно учитывать отношение ЛПР к риску,
7
к возможности понести потери или убытки из-за неблагоприятного
стечения обстоятельств.
Для случая с иными по своей природе неопределенностями
(поведенческой, природной) ситуация принятия решения еще более
осложняется. Например, доля в рынке сбыта, на которую может
рассчитывать ЛПР, часто не определена. На ― сопредельных сегментах
рынка конкуренты, как правило, преследуют собственные цели, часто
неизвестные ЛПР, что делает процесс выработки решения чрезвычайно
сложным.
Одним из важнейших исходных положений ТПР является тезис
о том, что не существует абсолютно лучшего решения. Наилучшим
решение может считаться лишь для данного ЛПР, в отношении
поставленных им целей, только в данном месте и на данный момент
времени. Основная задача ТПР состоит не в том, чтобы заменить человека
в процессе выработки решения, а в том, чтобы помочь ему разобраться
в существе сложной ситуации.
В заключение рассмотрим вопрос формирования информационных
ресурсов и использования информационных технологий в процессе
разрешения проблемных ситуаций.
Система управления имеет информационную природу, организует
согласованные потоки информации, которые доступны группе лиц,
ответственных за ситуационный анализ, организующих контроль
неопределенности ситуации, а также осуществляющих натурное,
экспертное и модельное исследования альтернатив.
Кратко охарактеризуем отмеченные выше типы исследований.
Натурный эксперимент всегда ограничен по времени и ресурсам. Во
всех ситуациях он приводит к снижению неопределенности. Натурный
эксперимент часто невозможен, однако обладает максимальной
достоверностью, являясь критерием фактического разрешения проблемной
ситуации.
Экспертное исследование проблемной ситуации характеризуется
тем, что общая информация о ситуации ограничивается личностным
знанием эксперта. Однако экспертное знание обладает важнейшим
свойством концентрированности на важнейших группах альтернатив.
Модельные исследования ситуации связаны с формализацией
описания ситуации, выбором надлежащего критерия адекватности
моделей и моделируемых ситуаций. Непосредственное исследование
ситуации на модели завершается интерпретацией результатов
моделирования для перераспределения предпочтительности альтернатив.
Свойства всех трех классов натурных, модельных, экспертных
операций над альтернативами ситуаций вынуждают для достижения
максимальной эффективности системного анализа осуществлять
рациональное комбинирование экспертных, модельных и натурных
исследований при выборе альтернатив. Конечным результатом операций
8
натурного, модельного и экспертного исследования альтернатив является
либо выигрыш во времени, либо экономия ресурсов, необходимых для
достижения заданного уровня определенности проблемной ситуации.
Средства разрешения ПС включают компьютерные информационные
технологии и специальные информационные организационные структуры,
например, группы системного анализа. Компьютерные технологии
поддерживают все виды экспериментов и методов получения информации
о предпочтениях альтернатив. Существуют различные компьютерные
технологии планирования и управления ситуационным экспериментом.
К компьютерным технологиям относятся и технологии экспертных
систем. Компьютерные информационные технологии моделирования
ситуации чаще всего реализуют технологию деловых игр, проводимых
группами системного анализа.
Натурные исследования ситуации включают выбор факторов,
которые должны влиять на выбор каждой группы альтернатив. Различают
управляемые и наблюдаемые факторы. Для управляемых факторов
выделяются возможные уровни.
Сочетание факторов и их уровней образует факторное
пространство натурного исследования. Вводится также критерий
эффективности натурного исследования, который зависит от значений
факторов. Этот критерий при натурном исследовании ситуаций является
функцией отклика, которая отображает реакцию реальной проблемной
ситуации на воздействия факторов и их уровни.
Сочетание всех возможных факторов и их уровней образует
множество допустимых состояний ПС. Для проведения полного
факторного эксперимента могут потребоваться чрезвычайно большие
ресурсы и большое время, поэтому в ситуационном анализе так стремятся
спланировать натурный эксперимент, чтобы за минимально-допустимое
количество опытов получить максимальную информацию о свойствах
различных альтернатив. Чаще всего выбирают ограниченный эксперимент,
который достаточно полно характеризует ситуацию
После окончания эксперимента строится уравнение регрессии,
связывающее значение функции отклика со значениями факторов и их
уровней. Например, если функцией отклика является прибыль, то
компонентами уравнения регрессии могут быть такие факторы, как цена,
спрос. Это уравнение, отображающее результаты натурного исследования,
несет в себе данные для перераспределения вероятностей альтернатив,
характеризующих ситуацию.
Экспертные исследования ситуации часто осуществляются
с помощью экспертных систем, которые относятся к системам
искусственного интеллекта. Различают механизмы проведения экспертиз
с одним или многими экспертами, при которых стремятся достичь
согласованной оценки одной и той же группы альтернатив ситуации
за счет высокого значения коэффициента согласия независимых экспертов.
9
Экспертная система включает:
 базу знаний по конкретной предметной области. Знания
предполагают выделение процедурной и фактологической
информации таким образом, что новые факты, обработанные
с помощью процедур, дают новые знания;
 лингвистический процессор, формирующий вопросы и ответы;
 решающие правила по схеме ―если - то‖;
 блок логического вывода, который с учетом решающих правил
формирует выводы;
 блок интерпретации результатов;
 блок верификации логического вывода с возможным анализом
и верификацией каждой из альтернатив ПС.
Интерпретация логического вывода также осуществляется
в терминах альтернатив ситуации. Экспертные системы поставляются в 2-х
вариантах:
 в виде пустой оболочки.
 в виде экспертной системы с конкретной предметной областью.
Это дает возможность системному аналитику, принимающему
решения, поэтапно формировать авторскую экспертную систему, которая
должна быть сертифицирована.
Экспертные
системы
расширяют
диапазон
достоверного
исследования ПС и выделяют из данных информацию, существенную для
перераспределения альтернатив ПС.
Моделирование объекта включает:
 выбор критерия соответствия (адекватности) модели и объекта;
 выбор математического аппарата;
 получение и первичную обработку исходных данных для
моделирования;
 алгоритмизацию поведения объекта моделирования.
 составление или применение готовой компьютерной программы;
 компьютерное моделирование с оценкой фактической адекватности
результатов моделирования.
Кроме аналитического моделирования в системном ситуационном
анализе применяется компьютерное имитационное моделирование,
например, с помощью датчиков случайных чисел. Результаты
аналитического и имитационного моделирования также нуждаются
в интерпретации и содержат знания о свойствах исследованных
альтернатив ПС.
Таким образом, комплекс системного информационного обеспечения
ситуационного анализа включает рациональные методы сочетания
модельного, натурного и экспертного исследования ПС.
10
По результатам ситуационного анализа формируется ситуационный
отчет, в котором отображаются все рассмотренные операции. Комплекс
таких отчетов, имеющих типовой характер, помещают в базу данных
управленческих ситуаций.
2. Оптимизационные модели принятия решений
2.1. Использование оптимизационных моделей при принятии
решений
Успешность решения подавляющего большинства экономических
задач зависит от наиболее эффективного способа использования ресурсов
(денег, товаров, сырья, оборудования, рабочей силы и др.). Именно
эффективностью использования, как правило, ограниченных, ресурсов
определяется конечный результат деятельности любой экономической
системы (фирмы, предприятия, отрасли).
Экономическая суть методов оптимизации заключается в том, что
исходя из наличия определенных ресурсов выбирается такой способ их
использования (распределения), при котором обеспечивается максимум
(или минимум) интересующего ЛПР показателя.
Задачи нахождения значений параметров, обеспечивающих
экстремум функции 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) при наличии ограничений,
наложенных на аргументы (независимые переменные) 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , носят
общее название задач математического программирования.
Трудности, возникающие при решении задач математического
программирования, определяются, в частности:
 видом функциональной зависимости критерия эффективности,
называемого также целевой функцией, от независимых переменных;
 размерностью задачи, то есть количеством независимых
переменных;
 видом и количеством ограничений, которым удовлетворяют
независимые переменные.
Среди задач математического программирования самыми простыми
и наиболее хорошо изученными являются так называемые задачи
линейного программирования (линейной оптимизации). Для них характерно
то, что целевая функция линейно зависит от 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , а также то, что
ограничения, накладываемые на независимые переменные, имеют вид
линейных равенств или неравенств относительно этих переменных.
Такие задачи часто встречаются на практике — например, при
решении проблем, связанных с распределением ресурсов, планированием
производства, организацией работы транспорта и т.д. Во многих случаях
расходы и доходы линейно зависят от количества закупленных или
11
утилизированных средств (например, суммарная стоимость партии товаров
линейно зависит от количества закупленных единиц; оплата перевозок
производится пропорционально весам перевозимых грузов и т.п.).
Задачи линейного программирования, естественно, не исчерпывают
все возможные типы взаимосвязей экономических параметров. Более
сложными для анализа и численного решения являются задачи
нелинейного
программирования
(нелинейной
оптимизации),
характеризуемые нелинейной зависимостью целевой функции и (или)
функций-ограничений от независимых переменных 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
Отметим еще два типа задач математического программирования,
имеющих широкую распространенность в практике принятия
управленческих решений.
Динамическое программирование служит для выбора наилучшего
плана выполнения многоэтапных действий. В общем виде постановка
задачи динамического программирования сводится к следующему.
Имеется некоторая управляемая операция (целенаправленное действие),
распадающаяся (естественно или искусственно) на ряд шагов (этапов). На
каждом этапе осуществляется распределение и перераспределение
ресурсов (управление) с целью улучшения ее результата в целом. Задача
динамического программирования — определить оптимальное управление
на каждом шаге и, тем самым, оптимальное управление всей операцией в
целом.
Следует отметить также задачи стохастического программирования.
Особенность данного класса задач заключается в том, что ищется
оптимальное решение в условиях неполной определенности, когда ряд
параметров, входящих в целевую функцию и ограничения, представляют
собой случайные величины.
Решение задач динамического и стохастического программирования,
а
также
ряда
других
задач
(например,
параметрического
программирования), выходит за рамки настоящего курса лекций.
2.2. Линейные модели оптимизации в управлении
Сначала рассмотрим задачи линейной оптимизации (или
оптимизационные задачи линейного программирования), математические
модели которых содержат лишь линейные зависимости от переменных.
Как уже отмечалось, оптимизация, включающая теорию и методы
решения задач, в которых критерий оптимальности (целевая функция)
линейно зависит от параметров задачи, является наиболее разработанным
разделом информационных технологий оптимальных решений. Линейные
модели широко используются в теории и практике принятия
управленческих решений.
Современные информационные технологии оптимизации решений
широкого класса практических задач включают их формулировку
12
(построение
математической
модели),
математические
методы
и компьютерные программы решения этих задач, а также методы
экономико-математического анализа оптимальных решений.
Общая задача линейной оптимизации заключается в нахождении
максимума (минимума) линейной целевой функции:
𝑛
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → max⁡(𝑚𝑖𝑛)
(2.1)
𝑖=1
при ограничениях
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘
(2.2),
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 𝑘 + 1, … , 𝑚
(2.3),
𝑗=1
(2.4)
𝑥(𝑗) ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Функция 𝑓(𝑥) называется
целевой
функцией,
критерием
оптимальности или линейной формой.
Вектор значений неизвестных 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) удовлетворяющих
условию задачи (2.1) – (2.4), называется допустимым решением или
допустимым планом задачи линейной оптимизации. Совокупность всех
допустимых планов называется множеством допустимых планов.
Допустимое решение 𝑥 ∗ = (𝑥 ∗1 , 𝑥 ∗ 2 , … , 𝑥 ∗ 𝑛 ) называется оптимальным,
если оно обеспечивает максимальное (или, в зависимости от условий
задачи, — минимальное) значение целевой функции.
Решение задач линейной оптимизации может быть получено без
особых затруднений (естественно, при корректной формулировке
проблемы). Классическим методом решения задач данного типа является
симплекс-метод. В случае лишь двух переменных успешно может
использоваться также графический метод решения, обладающий
преимуществом наглядности. Очевидно, в случае 𝑛 > 2 применение
графического метода невозможно.
При решении ряда оптимизационных задач требуется, чтобы
значения неизвестных 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) выражались в целых числах.
Естественно, к задачам подобного типа относятся те, в которых требуется
определить необходимые для принятия решений значения физически
цельных объектов (машин, агрегатов различного типа, людей,
транспортных единиц и т.д. и т.п.). Такие задачи относятся к задачам
целочисленной оптимизации. Математическая модель задачи линейной
нецелочисленной оптимизации также определяется формулами (2.1) –
(2.4), но в данном случае налагается дополнительное требование
13
целочисленности всех (или части) неизвестных. Если требование
целочисленности распространяется лишь на часть неизвестных величин
задачи, то такая задача называется частично целочисленной.
Процесс построения математической модели для решения задачи
начинается, как правило, с ответов на следующие вопросы:
 Для определения каких величин должна быть построена модель, т.е.
как идентифицировать переменные задачи?
 Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы
выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
 В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех
допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут
соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?
После ответа на данные вопросы для построения модели остается
только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения
в виде математических функций этих переменных.
Надлежащий анализ вопросов подобного рода и корректная
формулировка математической модели являются центральным звеном
решения задач линейной (и не только линейной) оптимизации.
Эффективным средством решения задач линейной оптимизации
является MS Excel. Входящий в состав данного программного продукта
пакет Поиск решения (Solver) позволяет проводить решения задач
подобного рода с большим (свыше 200) числом переменных
и ограничений.
Отметим,
что
применительно
к
задачам
оптимизации
производственной программы предприятия наиболее типичными задачами
линейной оптимизации являются оптимизация дохода, прибыли,
себестоимости, номенклатуры производимой
продукции, затрат
станочного времени и т.п.
Рассмотрим использование информационных технологий решения
задач линейной оптимизации на ряде конкретных примеров, имеющих
непосредственное отношение к практике принятия управленческих
решений.
2.2.1. Пример 1. Определение оптимального ассортимента продукции
Предприятие изготавливает два вида продукции П1 и П2 , которая
поступает в оптовую продажу. Для производства используются два вида
сырья A и B . Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9
и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции приведен
в таблице.
Таблица 2.1
Сырьё
A
Расход сырья на единицу продукции
П1
П2
2
3
Запас сырья, ед.
9
14
B
3
2
13
Маркетинговые исследования показали, что суточный спрос на
продукцию П1 не превышает спрос на продукцию П2 более чем на 1 ед.
Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 не превышает 2 единиц
в сутки.
Оптовые цены единицы продукции равны для П1 — 3 д.е., для П2 —
4 д.е. Какое количество продукции каждого вида должно производить
предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Решение.
Очевидно, фирме требуется определить объемы производства
каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д.е. от
реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных
продуктов. Предположим, что предприятие изготовит 𝑥1 единиц продукции
П1 и 𝑥2 единиц продукции П2. Поскольку производство продукции
ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем каждого
вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество
изготовляемых изделий не может быть отрицательным, получим
следующую систему ограничений:
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 13
𝑥1 − 𝑥2 ≤ 1
𝑥2 ≤ 2
𝑥1 , 𝑥2 > 0
Доход от реализации продукции (целевая функция) составит
𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = 3𝑥1 + 4𝑥2 . Таким образом, данная простая задача сводится
к максимизации целевой функции 𝑓 при учете вышеприведенных
ограничений.
Проведем решение задачи в Excel.
Введем данные на рабочий лист так, как показано на Рис 2.1.
15
Рис. 2.1.
Искомые значения переменных 𝑥1 , 𝑥2 будут располагаться в ячейках
B3 и C3 соответственно, целевая функция – в ячейке E7.
В ячейки D9-D14 введем левые части функций – ограничений в той
последовательности, в которой они были представлены выше.
Далее, запускаем пакет Поиск решения и устанавливаем целевую
и изменяемые ячейки, а также вводим ограничения (Рис.2.2).
Рис. 2.2. Окно диалога Поиск решения
16
Поиск решения дает ответ 𝑥1 = 2,4⁡, 𝑥2 = 1,4⁡, 𝑓𝑜𝑝𝑡 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 12,8.
2.2.2. Пример 2. Использование мощностей оборудования
Предприятие имеет m моделей машин различных мощностей. Задан
план по времени и номенклатуре: 𝑇 — время работы каждой машины;
продукции -го вида должно быть выпущено не менее 𝑁𝑗 единиц.
Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы
обеспечить минимальные затраты на производство, если известны
производительность каждой i - машины по выпуску j-го вида продукции
𝑏𝑖𝑗 и стоимость единицы времени, затрачиваемого i-й машиной на выпуск
j-го вида продукции 𝑐𝑖𝑗 .
Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем:
требуется определить время работы время работы i — машины по выпуску
j-го вида продукции 𝑥𝑖𝑗 , обеспечивающее минимальные затраты на
производство при соблюдении ограничений по общему времени работы
машин T и заданному количеству продукции 𝑁𝑗 .
Решение.
По условию задачи машины работают заданное время T, поэтому
данное ограничение можно представить в следующем виде:
𝑛
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑇 ,
𝑖 = 1,2, … , 𝑚.
𝑗=1
Ограничение по заданному количеству продукции имеет вид:
𝑚
∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑁𝑗 ,
𝑗 = 1,2, … , 𝑛⁡.
𝑖=1
Задача решается на минимум затрат на производство:
𝑚
𝑛
𝑓(𝑥) = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 → 𝑚𝑖𝑛,
𝑥𝑖𝑗 = 0⁡.
𝑖=1 𝑗=1
В данной постановке задачи предполагается, что количество
выпускаемой продукции должно быть, по крайней мере, не менее 𝑁𝑗 . В
некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре;
очевидно в этом случае в ограничениях по количеству продукции
необходимо использовать знак равенства.
Проведем решение задачи в Excel. Введем данные на рабочий лист
так, как показано на Рис 2.3.
В ячейки B7:E7 введем формулы для ограничений по объему
выпускаемой продукции (∑𝑚
𝑖=1 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑁𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛⁡.), в диапазон ячеек
F19:F21 – формулы для ограничений по времени работы машин (∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 =
𝑇 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚.). В качестве целевой ячейки выберем H11 и введем в нее
формулу минимизируемой функции.
17
Рис. 2.3. Данные для решения примера 2
С помощью Поиска решения получим следующий ответ:
Машина
1
2
3
1
803,92
625,00
0,00
Время работы 𝒙𝒊𝒋
2
3
0,00
0,00
0,00
375,00
1000,00
0,00
4
196,07
0,00
0,00
Искомое значение минимальных затрат на производство составляет
725,32 д.е.
Следующий рассматриваемый пример относятся к области
целочисленной оптимизации.
2.2.3. Пример 3. Оптимизация производственной программы
Автомобилестроительный завод выпускает три модели автомобилей,
которые изготавливаются последовательно в трех цехах. Мощность цехов
составляет 300, 250 и 200 человеко-дней в декаду. В первом цехе для
сборки одного автомобиля первой модели требуется 6 человеко-дней,
второй модели – 4 и третьей модели – 2 человеко-дня в неделю
соответственно. Во втором цехе трудоемкость равна 3, 4 и 5 человеко-дней
соответственно, в третьем – по 3 человеко-дня на каждую модель.
Прибыль, получаемая от продажи автомобиля каждой модели, составляет
соответственно 15, 13 и 10 тыс. д.е. Требуется построить модель
18
оптимального плана и определить оптимальные количества моделей
каждого типа, т.е. такие, при которых прибыль завода будет максимальной.
Решение. Пусть 𝑥𝑖 — количество выпускаемых автомобилей i-й
модели в течение декады (i=1,2,3). Модель может быть описана
следующей целевой функцией и системами ограничений:
𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 15𝑥1 + 13𝑥2 + 10𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥,
6𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 300,
(2.5).
3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 250,
3(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) ≤ 200,
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 − целые
Решение.
Введем данные на рабочий лист так, как показано на Рис. 2.4.
Искомые значения переменных 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 будут размещаться в
ячейках A10:B10, целевая функция — в ячейке E10.
В ячейки A3:A5 введем левые части функций — ограничений,
соответствующих второму, третьему и четвертому соотношению из (2.5).
С помощью Поиска решения получим ответ 𝑥1 = 18, 𝑥2 = 48, 𝑥3 = 0
𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 894
Рис. 2.4. Данные для решения примера 3.
2.3. Нелинейные модели оптимизации в управлении
В настоящем разделе мы кратко рассмотрим задачи нелинейной
оптимизации
(называемые
иначе
оптимизационными
задачами
нелинейного программирования), математические модели которых
содержат нелинейные зависимости от переменных. Источники
нелинейности в задачах подобного типа могут относиться, в частности, к
одной из двух категорий:
 Реально существующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные
соотношения, например непропорциональные зависимости между
объемом производства и затратами, между количеством
используемого в производстве компонента и некоторыми
19
показателями качества готовой продукции, между затратами сырья и
физическими параметрами (давление, температура и т.п.)
соответствующего производственного процесса, между выручкой и
объемом реализации и т.п.
 Установленные (постулируемые) руководством правила поведения
или задаваемые зависимости, например, правила расчета с
потребителями энергии или других видов услуг, правила
определения страховых уровней запаса продукции, гипотезы о
характере вероятностного распределения рассматриваемых в модели
случайных величин, различного рода договорные условия
взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.
В качестве примера можно рассмотреть формирование оптимальной
производственной программы предприятия. По критерию затрат
учитывается себестоимость единицы продукции, которая уменьшается при
увеличении объема выпускаемой продукции, что приводит к нелинейному
критерию эффективности. Нелинейные зависимости возникают также в
ограничениях задачи при точном учете норм расхода ресурсов на единицу
производимой продукции.
Вообще говоря, решение нелинейных задач по сложности
значительно превосходит решение рассмотренных ранее задач линейной
оптимизации. В связи с этим долгое время в практике экономического
управления модели линейной оптимизации успешно применялись даже
при наличии нелинейности. В одних случаях нелинейность была
несущественна и ею можно было пренебречь, в других – проводилась
линеаризация нелинейных соотношений или применялись специальные
приемы, например строились так называемые аппроксимационные модели,
благодаря чему достигалась требуемая адекватность. Тем не менее, часто
встречаются задачи, для которых нелинейность является существенной и
упомянутые выше методы аппроксимации неэффективны, в связи с чем
нелинейность необходимо учитывать в явном виде.
В отличие от задачи линейной оптимизации (линейного
программирования), не существует одного или нескольких алгоритмов,
эффективных для решения любых нелинейных задач. Какой-то алгоритм
может быть эффективен при решении задач одного типа и неприемлемым
для задач другого типа. В связи с этим разработаны алгоритмы для
решения каждого класса (типа) задач. Следует иметь в виду, что даже
программы, ориентированные на решение определенного класса задач, не
гарантируют правильность решения любых задач этого класса и
оптимальность решения следует проверять в каждом конкретном случае.
Перечислим некоторые наиболее употребительные методы решения
задач нелинейной оптимизации (нелинейного программирования):
 Оптимизация нелинейной функции с ограничениями на
неотрицательность значений переменных (наиболее широко
20
используемыми моделями данного класса являются модели
квадратичного программирования, в которых целевая функция
является квадратичной функцией переменных 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
 Модели выпуклого программирования; в моделях данного класса
целевая функция является вогнутой (или выпуклой), а функцииограничения являются выпуклыми функциями. При данных
условиях локальный максимум (или минимум) функции является
также глобальным. При решении таких задач используется метод
множителей Лагранжа, а также теорема Куна-Таккера.
 Сепарабельное программирование. В задачах данного класса целевая
функция и функции-ограничения могут быть представлены в виде
сумм отдельных компонент. Данные задачи могут быть сведены к
задачам линейного программирования.
 Дробно-нелинейное программирование. В этих задачах производится
максимизация (минимизация) целевой функции вида 𝐹(𝑥) =
𝐹1 (𝑥)/𝐹2 (𝑥) . Если функции 𝐹1 , ⁡𝐹2 линейны (задача дробнолинейного программирования), то задача сводится к линейной.
 Невыпуклое программирование. Задачи данного типа принадлежат к
наименее изученным и наиболее сложным задачам нелинейной
оптимизации. В данном случае целевая функция и (или) функцииограничения не выпуклы. Надежных методов решения таких задач в
настоящее время не существует.
Мы ограничимся рассмотрением лишь наиболее простых задач
нелинейной оптимизации, не требующих использования сложных
аналитических выкладок и анализа, задач, которые могут эффективно
решаться на базе табличного процессора Excel.
Задача нелинейной оптимизации в общем случае состоит в
отыскании такого вектора неизвестных 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) , который
обращал бы в максимум (минимум) функцию
(2.6)
𝑍 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
и удовлетворял бы системе ограничений
𝜑 (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚1 ⁡
(2.7)
{ 𝑖 1 2
𝜑𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏𝑖 , 𝑖 = 𝑚1 + 1, … , 𝑚
где на некоторые или на все переменные налагается условие
неотрицательности.
21
РАЗДЕЛ № 2
Принятие решений в условиях многокритериальности
3. Экспертные оценки при принятии решений
3.1. Понятие об экспертизах
Многие проблемы различных сфер человеческой деятельности не
поддаются формализации путем прямого использования определенных
количественных соотношений. Тем не менее, часто проблемы такого типа
чрезвычайно важны и от их решения зависит выбор стратегии развития
политических, экономических, социальных, военных и др. систем
различного иерархического уровня.
Как уже отмечалось, принципиально ЛПР может получить
необходимую для принятия решения информацию, воспользовавшись
всего тремя источниками:
— личными знаниями, опытом и интуицией;
— чужим опытом, анализируя эмпирические данные;
— советами специалистов – экспертов.
Однако при решении действительно сложных, комплексных
проблем, особенно в условиях неопределенности и неполноты
информации, часто единственным способом определиться в сложной
ситуации оказывается способ анализа, базирующийся на экспертном
оценивании.
Идея экспертного оценивания состоит в том, что для получения
необходимой новой информации из имеющейся исходной привлекаются
компетентные в данной области люди — эксперты, которые проводят
интуитивно-логический анализ какого-либо вопроса с целью вынесения по
нему суждения.
Суждения
экспертов
определенным
образом
обрабатываются с использованием специальных математических
процедур. В результате получают так называемые экспертные оценки.
По-существу, все многообразие решаемых экспертами задач
сводится к двум: построению (синтезу) каких-то неизвестных в настоящее
время объектов и к оцениванию характеристик (анализу) представленных
им объектов.
Построение объектов предполагает формулировку целей, условий
и способов проведения операции, формирование модели цели операции,
определение характеристик для описания свойств объектов и их
взаимосвязей и т.п. При оценивании характеристик элементов эксперты
проводят измерение важности целей, приоритетов, предпочтений,
возможностей наступления тех или иных событий и т.п.
22
Важно иметь в виду, что экспертная оценка не является решением.
Это лишь информация, необходимая или помогающая ЛПР выработать
обоснованное решение.
В общем случае предпочтения ЛПР могут не совпадать
с предпочтениями экспертов. Однако суждения экспертов, их советы
помогают ЛПР критически осмыслить различные точки зрения, уточнить
или изменить свою систему предпочтений и тем самым уменьшить
вероятность принятия решений, неадекватных ситуации.
Обращение к экспертам можно рассматривать как проведение
своеобразного эксперимента, позволяющего учитывать и использовать
при выборе решения коллективный опыт и знания экспертов.
Неформальные процедуры выбора решения, базирующиеся на
привлечении экспертов, называют экспертизами.
Экспертизы классифицируются на простые и сложные. Рассмотрим
вначале понятие простой экспертизы.
Для простых экспертиз характерно, что каждый из экспертов
способен дать окончательный и официальный ответ на поставленный
вопрос. При этом считается, что эксперт достаточно компетентен для того,
чтобы используя его мнение, можно было принять определенное решение.
Ответ эксперта на поставленный вопрос называется экспертной оценкой.
Экспертная оценка может быть дана в качественной или в количественной
форме. Порядок проведения простой экспертизы может быть различным
и зависит от характера решаемой проблемы. В некоторых случаях
экспертиза может осуществляться в виде дискуссии (например, при
проведении медицинского консилиума в случае диагностирования
заболевания, при отыскании проектных решений и т.п.), в других же
дискуссия не допускается. Характерным примером использования
дискуссий при проведении экспертиз служит экспертиза при выработке
решений, определяющих экономическую стратегию и тактику фирм или
предприятий в условиях конкуренции. При этом не следует опасаться
противодействия или даже негативного отношения экспертов
к возможным решениям (альтернативам) и к оценке их последствий. Более
того, обоснование решения может быть эффективным лишь при наличии
и при учете противодействия.
Часто чрезвычайно эффективными при решении сложных
многоаспектных проблем являются экспертизы, осуществляемые в форме
«мозгового штурма». Обычно экспертизы в виде «мозгового штурма»
применяются тогда, когда обычные, лежащие на поверхности решения
являются неэффективными и требуются нестандартные, неочевидные
подходы. Экспертиза в виде «мозгового штурма» осуществляется в два
этапа. На первом эксперты выступают в роли «генераторов идей».
Выдвигаемые идеи на данном этапе не обсуждаются и не оцениваются.
Необходимо, чтобы генерация идей не ограничивалась какими-либо
факторами (например, критическими замечаниями). Фиксируются
23
абсолютно все, даже самые фантастические, идеи. На втором этапе
осуществляется анализ предложений, а также оценка их реализуемости
и эффективности. На данном этапе возможно использование как тех же
экспертов, принимавших участие в генерации идей, так и привлечение
новых.
Выбор той или иной формы проведения экспертизы зависит от
характера решаемой проблемы, стиля работы ЛПР, а также ряда других
факторов.
Следует отметить, что при экспертизах могут использоваться
различные процедуры голосования. В частности, возможно голосование:
— в целом (списком), или по каждому обсуждаемому вопросу
в отдельности;
— в несколько этапов (при этом сначала путем «мягкого», или
рейтингового, голосования определяется порядок обсуждения
вопросов, а затем проводится собственно голосование.
Решение может приниматься простым или квалифицированным (не
менее 2/3) большинством. Возможно также применение «права вето»,
когда решение принимается при согласии с ним всех участников
голосования.
Следует отметить, что встречаются ситуации (например в научнотехнической сфере), когда мнение одного эксперта может быть более
ценным и правильным, чем мнение всех остальных, так как иногда
наилучшими являются решения, принятые не на основании накопленного
опыта, а вопреки ему.
Кратко охарактеризуем сложные экспертизы.
В ряде случаев простые экспертизы не дают результата из-за того,
что не удается подобрать экспертов, способных дать обоснованные ответы
на поставленные перед ними вопросы. При этом часто неэффективность
простой экспертизы связана не с некомпетентностью экспертов,
а обусловлена чрезвычайной сложностью проблемы и принципиальной
невозможностью найти экспертов, оценки которых можно было бы
использовать при выборе решения. Например, просто невозможно на
данном этапе развития науки и техники предсказать, хотя бы
ориентировочно, дату ввода в действие термоядерных электростанций,
начало добычи полезных ископаемых на других планетах Солнечной
системы, создание эффективно функционирующего электрического
автомобильного двигателя, способного конкурировать с традиционным
двигателем внутреннего сгорания, и т.д. и т.п. Между тем от ответов на
вопросы подобного типа зависят, в частности, размеры инвестиций
в соответствующие отрасли науки, промышленности, образования.
В большинстве случаев решение сложных проблем не может быть
получено в рамках простых экспертиз. Сложные экспертизы,
использующие специальные процедуры экспертного исследования,
24
базируются на расчленении (декомпозиции) сложной проблемы на ряд
более простых, исследование которых позволяют проводить опыт и
квалификация экспертов. По каждой частной проблеме проводится простая
экспертиза, а затем, после соответствующей обработки полученных на
первом этапе экспертных оценок формируются выводы по проблеме
в целом.
Успех сложной экспертизы во многом определяется тем, каким
образом
осуществлена
декомпозиция
сложной
проблемы
на
составляющие. Следует отметить, что в настоящий момент отсутствуют
универсальные подходы к решению данной проблемы, в связи с чем все
определяется характером исходной проблемы, надлежащим подбором
специалистов, привлекаемых к ее решению, и множеством других
факторов, влияние которых редко можно учесть заранее.
3.2. Экспертное оценивание важности объектов
Очень часто в процессе экспертизы суждение экспертов
представляется в количественной форме (в виде чисел). Примерами могут
служить оценка качества изделия в некоторой шкале (например,
десятибальной), оценка уровня мастерства спортсменов на соревнованиях
и т.п. Важно, что в экспертизах с количественными оценками необходима
определенная математическая обработка экспертных оценок, например,
выставление среднего балла. Иногда в целях защиты от возможной
некомпетентности или предвзятости экспертов используется более
сложная обработка – например, отбрасывание наибольшей и наименьшей
оценок и расчет среднего балла по оставшимся оценкам. В данном разделе
мы рассмотрим некоторые вычислительные процедуры обработки
экспертных оценок при определении важности некоторых объектов.
В качестве объектов такого рода могут, например, рассматриваться
показатели эффективности в многокритериальных задачах выбора
решений.
3.2.1. Усреднение экспертных оценок
Пусть экспертам необходимо сравнить S объектов. Предположим,
что существует набор чисел 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑆 , характеризующих истинные
значения важности исследуемых объектов. При этом предполагается, что
наиболее важному объекту соответствует наибольшее по величине число
из набора 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑆 , а наименее важному – наименьшее. Естественно,
числа 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑆 неизвестны экспертам и ЛПР. При оценке важности
объектов абсолютные значения чисел не имеют значения и ранжирование
объектов по важности определяются относительными величинами чисел
совокупности 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑆 . В связи с этим, будем считать, что
𝛼1 ≥ 0, ⁡𝛼2 ≥ 0, … , ⁡𝛼𝑆 ≥ 0, 𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + ⁡ 𝛼𝑆 = 1
25
Пусть важность объектов оценивают n экспертов. Обозначим через
𝛼̂𝑖𝑗 ⁡ оценку важности i-го объекта (i=1,2,...,S) , данную j-м экспертом
(j=1,2,...,n) . Полученные оценки представим в виде матрицы
𝛼̂11 𝛼̂12 … 𝛼̂1𝑛 ⁡
̂22 … 𝛼̂2𝑛 ⁡)
21 𝛼
(3.1),
𝐴 = (𝛼̂…
… … …
𝛼̂𝑆1 𝛼̂𝑆2 … 𝛼̂𝑆𝑛 ⁡
в которой число строк соответствует числу объектов, а число столбцов —
числу экспертов. Поскольку оценки важности одного и того же объекта,
полученные от разных экспертов, могут не совпадать (числа в строках,
вообще говоря, различны), то возникает задача определения показателей
важности 𝑎∗ 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑆 , представляющих собой усредненное мнение
всех n экспертов.
Определение значений 𝑎∗1 , 𝑎∗ 2 , … , 𝑎∗𝑆 по матрице A можно
осуществить, выбирая в качестве меры близости между 𝑎∗ 𝑖 и элементами
соответствующей строки среднеквадратическую
𝑆
𝑛
𝛿 = ∑ ∑(𝛼̂𝑖𝑗 − 𝛼 ∗ 𝑖 )
2
(3.2).
𝑖=1 𝑗=1
Величины 𝑎∗1 , 𝑎∗ 2 , … , 𝑎∗𝑆 выбираются таким образом, чтобы среднее
квадратическое отклонение 𝛿 было минимальным. При этом необходимо
обеспечить, чтобы 𝑎∗1 , 𝑎∗ 2 , … , 𝑎∗𝑆 удовлетворяли условию нормировки
𝑎 ∗1 + ⁡ 𝑎 ∗ 2 + ⋯ + 𝑎 ∗ 𝑆 = 1
В результате усредненные показатели важности рассчитываются по
формулам вида:
𝑛
1
𝑎∗ 𝑖 = ∑ 𝛼̂𝑖𝑗 ,
𝑛
𝑖 = 1,2, … , 𝑆
(3.3).
𝑗=1
Таким образом, относительные оценки важности объектов
вычисляются как среднеарифметические оценок, выставленных всеми
экспертами. Отметим, что полученный результат является простейшим и
применяется в тех случаях, когда ЛПР уверено в одинаковой
компетентности и объективности экспертов.
Если у ЛПР нет уверенности в равном уровне компетентности
экспертов, то применяется более сложная процедура обработки
экспертных оценок. Вводятся коэффициенты компетентности экспертов
𝛾1 , 𝛾2 , … , 𝛾𝑛 , отвечающие условиям:
0 ≤ 𝛾𝑖 ≤ 1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,
(3.4).
{
𝛾1 + 𝛾2 + ⋯ + 𝛾𝑛 = 1
При этом формула (3.3) обобщается и принимает вид
26
𝑛
1
𝑎∗ 𝑖 = ∑ 𝛼̂𝑖𝑗 ∗ 𝛾𝑗 ,
𝑛
𝑖 = 1,2, … , 𝑆
(3.5).
𝑗=1
Представим последнее равенство в матричной форме. Для этого
введем векторы-столбцы
𝑎∗ = (𝑎∗1 , 𝑎∗ 2 , … , 𝑎∗𝑆 )𝑇 , 𝛾 = (𝛾1 , 𝛾2 , … , 𝛾𝑆 )𝑇
где верхний символ T обозначает операцию транспонирования.
В результате формула (3.5) примет следующий вид:
(3.6).
𝑎∗ = 𝐴𝛾
Если компетентность экспертов известна, то расчет усредненных
оценок важности следует производить по формулам (3.5) или (3.6).
Очевидно, в случае одинаковой компетентности экспертов 𝛾1 = 𝛾2 = ⋯ =
1
𝛾𝑛 = формула (3.5) сводится к (3.3).
𝑛
Более сложным (и реалистическим) является случай, когда
коэффициенты компетентности неизвестны и подлежат определению.
Обычно в этом случае используется рекуррентный метод расчета
с использованием матрицы экспертных оценок A, который мы кратко
опишем ниже.
Обозначим через 𝛾 (𝑘) = (𝛾1 (𝑘) , 𝛾2 (𝑘) , … , 𝛾𝑛 (𝑘) ) вектор коэффициентов
компетентности на k-м шаге вычислений (k=1,2,3,...). Примем, что на
первом шаге
11
1 𝑟
(1)
𝛾 =(
…… )
𝑛𝑛
𝑛
Для k-го шага оказываются справедливыми соотношения
(3.7),
𝑎∗(𝑘) = 𝐴𝛾 (𝑘−1)
𝛾 (𝑘) = 𝛽 (𝑘) 𝐴𝑇 𝑎∗(𝑘)
где — нормирующий множитель, вычисляемый из условия
(3.8),
𝛾1 (𝑘) + 𝛾2 (𝑘) + ⋯ + 𝛾𝑛 (𝑘) = 1.
Подставляя (3.7) в (3.8) получим более удобное для использования
соотношение
(3.9),
𝛾 (𝑘) = 𝛽 (𝑘) 𝐵𝛾 (𝑘−1)
где квадратная симметрическая матрица B называется матрицей
взаимосвязи экспертных оценок и определяется равенством
(3.9),
𝐵 = 𝐴𝑇 𝐴
3.2.2. Метод анализа иерархий
Метод анализа иерархий, разработанный под руководством
американского специалиста по исследованию операций Т. Саати,
27
применяется в настоящее время при решении самых разнообразных
проблем, среди которых, в частности:
 Проектирование транспортных систем крупных городов;
 Разработка планов обеспечения энергетическими ресурсами
отраслей промышленности;
 Оценка сценария развития высшего образования;
 Определение приоритетных направлений научных исследований;
 Прогнозирование цен на различную продукцию;
 Планирование развития фирм;
 Аттестация персонала учреждений и предприятий;
 Решение эколого-экономических проблем регионов;
 Проектирование сложных технических систем.
Развитие идеи декомпозиции приводит к необходимости разработки
и освоения такой концепции исследования сложных проблем, которая
базировалась бы на их структурировании, упорядочении конкурирующих
решений на основе оценки степени влияния всех выявленных структурных
элементов: показателей эффективности, ограничений, возможных решений
и т.п. Эта концепция должна органически включать человека в процесс
исследования, учитывать в возможно более полном объеме роль
человеческого фактора, примирять многочисленные и подчас
противоречивые устремления людей, чьи интересы затрагивают те или
иные решения.
В общем случае иерархия определяет расположение некоторых
объектов (элементов иерархии) в порядке от высшего к низшему, от
старшего к младшему по степени подчиненности.
Существуют различные разновидности иерархий. Простейшими и
наиболее распространенными являются доминантные иерархии,
схематически изображаемые в виде древовидной структуры (Рис. 3.1).
Рис. 3.1. Схематическое изображение доминантной иерархии.
28
Доминантная иерархия называется полной, если любой ее элемент
какого-либо уровня связан со всеми элементами подчиненного ему
нижнего уровня. В противном случае иерархия является неполной.
Если иерархия включает k уровней, то она называется k-уровневой
(на Рис. 3.1 для простоты изображены лишь три уровня).
Метод анализа иерархий, как метод решения сложных
неформализуемых проблем, включает следующие процедуры:
 иерархическое структурирование проблемы;
 попарное сравнение элементов иерархии;
 поэтапное выявление приоритетов.
При иерархическом структурировании проблемы первый (высший)
уровень соответствует цели проблемы. Элементы последующих уровней
отождествляются:
 с возможными решениями (альтернативами);
 с ограничениями;
 со сторонами, заинтересованными в том или ином решении
проблемы;
 с показателями (критериями) эффективности и т.п.
В простейшем случае иерархия является трехуровневой
включает (Рис.3.2):
 уровень цели – первый уровень;
 уровень альтернатив (возможных решений) – второй уровень;
 уровень критериев – третий уровень.
и
Рис. 3.2. Простейшая трехуровневая иерархия
В качестве иллюстрации применения технологии иерархического
структурирования можно рассмотреть следующий простой пример.
Менеджер по персоналу отбирает одного из нескольких претендентов на
вакантную должность.
29
Пусть имеется три претендента (A, B, C) . Выбор осуществляется с
учетом следующих критериев: 1) возраст, 2) образование, 3) владение
современными информационными технологиями, 4) знание иностранного
языка, 5) коммуникабельность, 6) психологическая устойчивость, 7)
способность к самообучению.
Менеджер стремится подобрать работника, наилучшим образом
отвечающего совокупности перечисленных требований. Иерархия
проблемы в данном случае является трехуровневой, при этом число
элементов второго уровня (уровня альтернатив) равно трем, а третьего
(уровень критериев) — семи.
Следует отметить некоторые общие требования, которые
необходимо соблюдать при структурировании проблемы:
 Все элементы верхних уровней должны быть попарно сравнимы по
отношению ко всем связанным с ними элементами нижних.
Определяя иерархию проблемы, необходимо следить, чтобы можно
было получить осмысленные ответы на вопросы типа
(применительно к рассмотренному выше случаю): Насколько
работник A с точки зрения интересов фирмы ценнее работников B
или C по показателю «владение современными информационными
технологиями»? При выполнении этого требования удается выявить
приоритеты (предпочтения) среди альтернатив и тем самым
определить решение, наилучшим образом отвечающее всем
условиям проблемы.
 Структурирование проблемы предполагает участие на этом этапе
исследования всех заинтересованных субъектов. Это обеспечивает
полноту перечня возможных решений, позволяет предположить, что
рассматриваемые
альтернативы
и
введенные
показатели
эффективности отражают весь диапазон точек зрения и
предпочтений всех участников. На этом этапе не должны, как
несущественные,
отбрасываться
какие-либо
предложения.
Участники процесса выбора решения смогут позже (на следующих
этапах исследования) выразить свои индивидуальные предпочтения.
 Единогласия участников следует добиваться только при определении
цели – высшего уровня иерархии, так как выбор цели
предопределяет характер всех суждений и оценок, необходимых для
выяснения предпочтений на множестве альтернатив.
 Практика решения задач с помощью метода анализа иерархий
показывает, что число элементов на любом уровне иерархии не
должно превышать 7 – 9. В противном случае затрудняется
сопоставление элементов иерархии между собой, усложняется
получение взаимосогласованных оценок (суждений), возрастает
трудоемкость расчетов и риск получения ошибочных решений.
30
4. Принятие решений в условиях риска
К задачам принятия решений в условиях риска, относятся задачи, в
которых исходные данные можно описать с помощью вероятностных
распределений. В подобных моделях термин риск имеет смысл наличия
нескольких исходов, одни из которых рассматриваются более
предпочтительным другим.
Если решение принимается в условиях риска, то стоимости
альтернатив описываются вероятностными распределениями, т.е. прибыль
(затраты), связанная с каждым альтернативным решением, является
случайной величиной (вернут или вернут кредит: в одном случае мы
получим прибыль, в другом — убытки). Поэтому в качестве критерия
принятия решения в случае случайного события используется ожидаемое
значение стоимости — математическое ожидание М. Все альтернативы
сравниваются с точки зрения максимизации ожидаемой прибыли или
минимизации ожидаемых затрат.
4.1. Решение простого дерева
Рассмотрим процесс решения задачи в условиях риска на примере.
Для финансирования проекта Предприятию нужно занять сроком на
один год 15 млн. руб. Для этого начальник финансово-экономического
отдела обращается в Банк. Банк может дать кредит Предприятию под 15%
годовых или вложить те же деньги в другое дело со 100%-ным возвратом
суммы, но под 9% годовых. После анализа статистики прошлого опыта
кредитования, кредитный специалист Банка определил, что 4%
аналогичных клиентов кредит не возвращают.
Как должен поступить кредитный специалист Банка в сложившейся
ситуации: кредитовать Предприятие или вложить средства в другое дело?
4.1.1. Построение дерева решений
Одним из методов решения задачи в условиях риска является
использование деревьев решений. Деревья решений содержат в себе
информацию о ходе принятия решений ЛПР и о случайных событиях,
происходящих после принятия решений. Дерево, соответствующее
представленной задаче, будет выглядеть так, как отображает Рис.4.1.
31
Рис.4.1.
На схеме дерева решений используются следующие обозначения
узлов:
1. Узел дерева в форме квадрата (
) — принятие решения ЛПРом.
Потомками узла принятия решения на дереве являются альтернативы;
2. Узел дерева в форме окружности (
) — это случайные события.
Потомками случайных событий являются возможные исходы
случайного события;
3. Узел дерева в форме ромба (
) — терминальный узел дерева,
возможный конечный исход ситуации принятия решения. Данный узел
не имеет потомков.
Численные значения конечных исходов просчитываются, начиная с
терминальных узлов дерева по направлению к основному узлу так, как
показано далее:
Результат А1 = 15000000 + 0,15 * 15000000 = 17250000
Результат A0 = 0
Результат Б1 = 15000000 + 0,09 * 15000000 = 16350000
Чистый доход, получаемый в случае выбора альтернативы А:
Mдавать_заем = (17250000 * 0,96 + 0 * 0,04) - 15000000 = 16560000 - 15000000
= 1560000
Выбор альтернативы Б дает:
Mне_давать_заем = (16350000 * 1,0 – 15000000) = 1350000
Поскольку ожидаемый чистый доход больше для альтернативы А, то
требуется принять решение — выдать заем.
4.1.2. Анализ чувствительности решения
Решения, принимаемые в условиях риска, очевидно, зависят от
значений вероятностей исходов. Чувствительность решения от
вероятностей
определяется
величиной
допустимого
изменения
вероятностей исходов событий, с которыми связано принимаемое
32
решение. Знать, насколько решение чувствительно необходимо, чтобы
понимать насколько можно полагаться на производимый выбор.
Проанализируем чувствительность в только что рассмотренном
примере. Ожидаемые чистые доходы в узлах А и Б довольно близки: 1,56 и
1,35 млн. руб. Выбор решения зависит от значения вероятностей. Анализ
чувствительности позволяет вычислить разброс вероятностей, в рамках
которых не меняется выбор.
Обозначим вероятность невозврата займа через p. Тогда вариант А
дает чистый доход:
17250000*(1-p) + 0*p – 15000000 = 2250000 – 17250000*p
Вариант Б приносит чистый доход 1350 000 руб.
Уравнивание чистого дохода А и Б позволяет определить, при какой
вероятности p решения будут иметь равную полезность:
2250000 – 17250000*p = 1350000 => p = 900000/17250000 = 0,052
Результат p≈0,05 оказался близок к p≈0,04, что показывает сильную
чувствительность результата выбора решения к расчетам величины
вероятности.
4.1.3. Решение дерева в MS Excel
Рассмотрим решение более сложных задач принятия решений в
условиях риска на новом примере. Для решения таких задач предлагается
использовать MS Excel.
Небольшая овощная лавка еженедельно закупает и продаёт
различные овощи и фрукты, в том числе помидоры. Стоимость закупки
ящика помидоров составляет 1500 руб., прибыль от продажи ящика —
2400 руб. Статистика исследования спроса приведена в Табл. 4.1.
Таблица 1.1.
Недельный
спрос ящиков,
шт.
11
12
13
Вероятность
0,4
0,4
0,2
Если закупленный ящик остался непроданным, лавка несет убыток
1500 руб. Определить размер запаса, который целесообразно формировать
в начале неделе лавке. Изменится ли решение, если неудовлетворенный
спрос клиента будет оценен в 1350 руб.?
Дерево решений, соответствующее задаче представлено показывает
Рис.4.2.
33
Рис.4.2.
Данное дерево можно решить, используя таблицы Excel. Итоговую
таблицу решения задачи в Excel отображает Рис. 4.3.
Рис.4.3.
Ожидаемый чистый доход максимален при выборе альтернативы А
— 9900 руб. С учетом штрафов за неудовлетворенный спрос
максимальный чистый доход дает альтернатива Б — 9570 руб.
34
4.2. Деревья с несколькими точками принятия решения
Более сложные задачи принятия решений в условиях риска
характерны большим количеством узлов принятия решения в дереве.
Возьмём дополнительные условия к примеру 1, чтобы рассмотреть ход
решения задач с несколькими узлами принятия решения.
В дополнение условий примера 1, банк решает вопрос, проверять ли
конкурентоспособность клиента, перед тем, как выдавать ему заём. За
проверку аудиторская фирма берет с банка 80000 руб. Т.о. перед банком
встают две проблемы (две задачи принятия решения): первая — проводить
проверку или нет, вторая — выдавать после проверки заём или нет.
Для решения первой проблемы, банк собирает дополнительные
данные: проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой
сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены
аудиторами и которым впоследствии выдавались ссуды. Рекомендации
аудиторской фирмы и фактический результат возврата возврат ссуды
содержит Таблица 4.2.
Таблица 4.2.
Рекомендации
аудитора после
проверки
Выдавать ссуду
Не выдавать ссуду
Итого:
Всего
клиенто
в
750
250
1000
Ссуда
возвращена
Кол-во
%
клиентов
735
98
225
90
960
96
Ссуда НЕ
возвращена
Кол-во
%
клиентов
15
2
25
10
40
4
Решение задачи при наличии дополнительной информации сводится
к построению дерева и его решению.
4.2.1. Построение дерева решений
Дерево решений для примера 3 приведено ниже (см. Рис.4.4).
4.2.2. Решение дерева
Справа налево проставим исходы каждого из узлов дерева в
денежном эквиваленте. Любые встречающиеся расходы требуется вычесть
из ожидаемых доходов. Таким образом подсчитывается всё дерево. В узлах
принятия решения выбирается ветвь, ведущая к наибольшему из
возможных при данном решении ожидаемому доходу.
Сначала рассмотрим случайные события Б и В, являющиеся
следствием принятия решения 2 (Выдавать ли заем клиенту?).
Доход, ожидаемый от исхода Б:
M(Б) = 17250000 * 0,98 + 0 * 0,02 = 16905000
35
Рис.4.4.
Чистый ожидаемый доход:
NM(Б) = 16905000 - 15000000 = 1905000
Доход, ожидаемый от исхода В:
M(В) = 16350000 * 1,0 = 16350000
Чистый ожидаемый доход:
NM (В) = 16350000 - 15000000 = 1350000
Исходя из последних расчётов, наиболее рационально при принятии
решения 2 является альтернатива выдать заём с итоговым чистым
ожидаемым доходом 1 905 000 руб., соответствующее значение чистого
ожидаемого дохода принимает узел 2.
Аналогично рассчитываются случайные события Г и Д:
M(Г) = 15 525 000
NM(Г) = 525 000
M(Д) = 16 350 000
NМ(Д) = 1 350 000
36
При принятии решения в узле 3 наиболее рациональным решением
будет не выдавать заём, соответственно узел принимает значение 1 350 000
руб.
Аналогично рассчитываются узлы Е, Ж и 4, принимающие значения
1 560 000, 1 350 000 и 1 560 000 руб. соответственно.
Теперь требуется вернуться к узлам А и 1. Используя ожидаемые
чистые доходы в узлах 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для
случайного события А:
M(А) = (1905000 * 0,75) + (1350000 * 0,25) = 1766000
Так как аудиторская проверка стоит 80000 руб., ожидаемый чистый
доход составит:
NM(А) = 1766000 - 80000 = 1686000
Теперь есть все необходимые данные, чтобы выявить наиболее
рациональное решение в узле 1 (Должен ли банк воспользоваться
аудиторской проверкой?). В этом узле максимальное математическое
ожидание — 1 686 000, поэтому должна быть выбрана ветвь с проверкой, а
альтернативная ветвь перечёркивается.
Ниже приведено решённое дерево (см. Рис.4.5).
Рис.4.5.
37
4.3. Построение индивидуальной функции полезности
В предыдущих примерах платежи выражались в виде денег.
Зачастую возникают ситуации, когда при анализе следует использовать
полезность решения, а не величину реальных денежных платежей. Для
примера предположим, что существует шанс 50 на 50, что инвестиция в 20
млн. руб. или принесет прибыль в 40 млн. руб., или будет полностью
потеряна. Соответствующая этому условию ожидаемая прибыль равна:
40 * 0,5 – 20 * 0,5 = 10 млн. руб.
Хотя ожидается прибыль в виде чистого дохода, разные люди могут
по-разному интерпретировать полученный результат. Инвестор, который
идет на риск, может вложить деньги, чтобы с вероятностью 50 % получить
прибыль в 40 млн. руб. Наоборот, осторожный инвестор может не захотеть
рисковать потерей 20 млн. руб.
Определение полезности является субъективным. Оно зависит от
индивидуального отношения к риску. Рассмотрим, как можно построить
функцию полезности, отражающую собственное отношение к деньгам,
например, к риску выиграть или проиграть определенную сумму.
В примере, приведенном выше, наилучший платеж равен
40 млн. руб., а наихудший — (–20) млн. руб. Установим шкалу полезности
П, изменяющуюся от 0 до 1, где 0 соответствует полезности (–20), а 1 —
40, т.е. П(–20) = 0 и П(40) = 1. 0 и 1 как границы шкалы выбраны для
удобства. Наиболее часто шкалу нормируют от 0 до 1 или от 0 до 100.
Если отношение ЛПР беспристрастно к риску, то график
результирующей функции полезности является прямой линией,
соединяющей точки (0; –20) и (1; 40). В этом случае график функции
полезности совпадает с графиком денежной оценки результата.
В различных реальных ситуациях функция полезности может
принимать совершенно разный вид. Ниже иллюстрируется вид функции
полезности для трех индивидуумов X, Y и Z (см. Рис.4.6).
X осторожен и не склонен к риску, так как проявляет большую
чувствительность к потере, чем к прибыли. Это следует из того, что для
индивидуума X при изменении в 10 млн. руб. вправо и влево от точки,
соответствующей 0 рублей, увеличение прибыли изменяет полезность на
величину ab, которая меньше изменения полезности bс, обусловленной
потерями такой же величины, т.е. ab < bс.
Z, наоборот, настроен на риск. Такие же изменения в ±10 млн. руб.,
обнаруживают противоположное поведение, здесь de > ef.
А индивидуум Y является нейтральным к риску, так как упомянутые
изменения порождают одинаковые изменения полезности.
В общем случае индивидуум может быть, как не расположен к риску,
так и настроен на риск, в зависимости от суммы риска. В этом случае
38
соответствующая кривая полезности будет иметь вид удлиненной буквы S
(логистической кривой).
Рис.4.6. График функции полезности
Определим теперь полезность, соответствующую промежуточным
значениям платежей, например, –10, 0, 10, 20 или 30. Для определения
полезности суммы реальных денег, будем использовать следующую
формулу:
П(x) = p*П(-20) + (1-p)*П(40) = 100*(1-p), 0<p<1 .
Для определения значения П(x) просят ЛПР сообщить свое
предпочтение между гарантированной наличной суммой х и
возможностью сыграть в лотерею, в которой с вероятностью р реализуется
проигрыш в сумме 20 млн. руб. и с вероятностью (1-р) имеет место
выигрыш в 40 млн. руб. Под предпочтением понимается выбор значения
«нейтральной» вероятности р, при котором с точки зрения ЛПР
возможности сыграть в лотерею или получить гарантированную сумму х
являются одинаково привлекательными. Например, если х = 10 млн. руб.,
ЛПР может заявить, что гарантированные 10 млн. руб. наличными и
лотерея одинаково привлекательны при р = 0,3. В этом случае вычисляется
полезность для х = 10 млн. руб. по следующей формуле:
П(10) = 100*(1 - 0,3) = 70 .
Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет получено
достаточное количество точек (х, П(х)) для определения формы функции
полезности. Затем можно определить П(х) путем интерполяции между
полученными точками.
39
5. Принятие решений в условиях неопределённости
5.1. Теория игр в контексте теории принятия решений
Рассмотренные до сих пор задачи формулировались и решались,
в основном, в предположении наличия полной информации. Их можно
отнести к совокупности задач принятия решений в условиях
определенности. В реальных экономических условиях, однако, часто
приходится действовать при ограниченности, неточности исходной
информации о самом объекте и внешней среде, в которой он
функционирует.
При
принятии
управленческих
решений,
влияющих
на
функционирование и развитие экономического объекта, необходимо
учитывать
важнейшую
характеристику
внешней
среды
—
неопределенность.
Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту,
недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или
неуверенность в достоверности информации. В экономической сфере
имеется множество источников возникновения неопределенности для
систем самого различного уровня сложности и масштабов.
Неопределенность обуславливает появление ситуаций, не имеющих
однозначного исхода (решения). Среди тех из них, с которыми в процессе
производства сталкиваются предприятия, особое место занимают
ситуации риска.
Ситуации риска сопутствуют три условия:
— наличие неопределенности;
— необходимость выбора альтернативы;
— возможность оценить вероятность осуществления выбираемых
альтернатив.
Таким образом, ситуация риска характеризуется возможностью
количественного и качественного определения степени вероятности того
или иного варианта развития событий.
Экономический риск предстает в виде совокупности вероятных
экономических, политических, нравственных и других последствий (как
благоприятных, так и неблагоприятных), которые могут наступить при
реализации выбранных решений.
Существуют различные виды неопределенности в зависимости от
причин ее появления. В частности выделяется неопределенность:
— количественная, обусловленная значительным числом объектов или
элементов в ситуации;
— информационная, вызванная недостатком информации или ее
неточностью по техническим, социальным и другим причинам;
— стоимостная из-за слишком дорогой или недоступной платы за
определенность;
40
— профессиональная как следствие недостаточного профессионализма
ЛПР (не учитывается, например, требуемое количество влияющих
факторов);
— ограничительная (вызванная ограничениями в ситуации принятия
решений, например ограничения по времени и др.);
— внешней среды, связанная с поведением среды или реакцией
конкурента на процесс принятия решения.
Природа риска в рыночной экономике обусловлена следующими
факторами:
— ограниченной
сферой
государственного
регулирования
хозяйственной деятельности;
— усилением роли случайных факторов во взаимодействии
предприятия с внешней средой;
— частной (и ее видами) собственностью предпринимателя, ее
владением, пользованием, распоряжением;
— конкурентной
борьбой
товаропроизводителей
и
других
хозяйствующих субъектов;
— всеобъемлющим характером риска, распространяющимся на сферы
общественной
жизни,
как
производственную,
так
и непроизводственную. Он имеет место на этапах производства,
продажи, закупки и др.
Рыночные отношения порождают различные виды рисковых
ситуаций, более того, в работе предприятий риск становится необходимым
и обязательным компонентом.
Для иллюстрации различия между ситуациями, когда приходится
принимать решения в условиях риска или в условиях неопределенности,
рассмотрим задачу оптимального выбора ассортимента выпускаемой
продукции.
В условиях риска доход 𝑐𝑘 от реализации единицы продукции k не
является фиксированной величиной. Это — случайная величина, точное
численное значение которой неизвестно, но описывается с помощью
известной функции распределения 𝑓(𝑐𝑘 ).
В условиях неопределенности функция распределения 𝑓(𝑐𝑘 )
неизвестна. Вообще говоря, неопределенность не означает полного
отсутствия информации о задаче. Например, 𝑐𝑘 может принимать
некоторое число определенных значений, но вероятности этих значений
неизвестны.
Таким образом, с точки зрения полноты исходных данных
определенность и неопределенность представляют два крайних случая,
а риск определяет промежуточную ситуацию.
Уровень имеющейся информации о проблеме определяет, каким
образом может быть формализована и решена задача принятия решения.
41
При решении задач в условиях неопределенности внешней среды
наиболее часто возникают две ситуации. При первой сама система
препятствует принятию решений (задачи «природной неопределенности»
— например, задача производства сельскохозяйственной продукции на
некоторой территории, когда неизвестны погодные условия предстоящего
сезона). В этой ситуации природа может рассматриваться как
«доброжелательный противник», в том смысле, что она не преследует
целей, противоположных целям человека.
Во второй ситуации возможно наличие конкуренции, когда два или
более участника находятся в конфликте, и каждый стремится как можно
больше выиграть у конкурента (конкурентов). В этом случае лицу,
принимающему решения, противостоит мыслящий противник. Для
ситуаций этого типа (называемых конфликтными) характерно, что
эффективность решений, принимаемой каждой из сторон, существенно
зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может
полностью контролировать положение. Например, при определении
объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать
размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях.
В реальных условиях часто также возникают ситуации, в которых
антагонизм отсутствует, но необходимо учитывать противоположные
тенденции. Например, для нормального функционирования производства,
с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но
с другой, их хранение вызывает появление дополнительных расходов.
Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их
математических моделей, называется теорией игр. Можно также сказать,
что теория игр — математическая теория конфликтных ситуаций,
разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу
действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких
действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат.
Игровые схемы можно применять во многих экономических
ситуациях. Выигрышем могут при этом выступать величина прибыли,
себестоимость, эффективность использования дефицитных ресурсов,
производственных фондов, и т.д.
Существенным обстоятельством является то, что методы
и рекомендации теории игр разработаны применительно к таким
конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной
повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или
ограниченное число раз, то рекомендации теории игр становятся
малоэффективными.
Анализ реальной конфликтной ситуации требует ее существенного
(иногда радикального) упрощения — учета лишь наиболее существенных
для конфликта факторов. В связи с этим, можно рассматривать игру как
упрощенную
математическую
модель
конфликтной
ситуации,
42
характеризующуюся наличием определенных правил. Эти правила
устанавливают:
— выбор образа действия игроков на каждом этапе игры;
— информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении
таких выборов;
— плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.
Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих
поведение игрока на протяжении всей игры. Стратегии каждого игрока
определяют результаты или платежи в игре; при этом каждый игрок
имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных
стратегий.
К числу определяющих характеристик игр можно отнести
следующие:
— имеется n конфликтующих сторон (игроков), принимающих
решения, интересы которых не совпадают;
— сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные
игрокам;
— определен набор возможных конечных состояний игры (например,
выигрыш, проигрыш, ничья);
— всем участникам игры (игрокам) заранее известны платежи,
соответствующие каждому возможному конечному состоянию.
Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают
различные виды игр. Классификация игр возможна по разным признакам:
1. По количеству игроков. В игре может принимать участие любое
конечное число игроков. Если игроков всего двое, или игроки
объединяются в две группы, преследующие противоположные цели,
то имеет место парная игра. В зависимости от количества стратегий
в игре они делятся на конечные и бесконечные.
2. В зависимости от взаимоотношений участников различают
бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения)
и коалиционные игры (иногда используются синонимы —
некооперативные и кооперативные игры соответственно).
3. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой
и ненулевой суммой. В играх с нулевой суммой общий капитал
игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи
с чем сумма выигрышей равна нулю (при этом проигрыш
рассматривается как отрицательный выигрыш). В играх с ненулевой
суммой сумма выигрышей отлична от нуля.
4. По виду функции выигрыша игры делятся на матричные,
биматричные и др. В матричных играх (при двух участниках)
выигрыши первого игрока задаются матрицей, в биматричных —
выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей.
43
5. По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш
распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые
(выигрыш распределяется после нескольких ходов).
Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает
данному игроку при многократном повторении игры максимально
возможный средний выигрыш или минимально возможный средний
проигрыш, независимо от поведения противника.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением парных матричных
игр с нулевой суммой. Задание стратегий двух игроков в парной игре
такого типа полностью определяет ее исход, т.е. выигрыш одного или
проигрыш другого. Как уже отмечалось, результаты конечной парной игры
с нулевой суммой можно задавать матрицей, строки и столбцы которой
соответствуют различным стратегиям 1-го и 2-го игроков соответственно,
а ее элементы — выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой).
Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.
5.2. Матричные игры с нулевой суммой
Рассмотрим парную игру с нулевой суммой. Пусть игрок I имеет m
стратегий (1,2,…,m), а игрок II — n стратегий (1,2,…,n). Такая игра
называется матричной игрой размерности mn.
Предположим, игрок I выбрал одну из своих возможных стратегий
̅̅̅̅̅̅
i ( 𝑖 = 1, 𝑚 ), а игрок II, не зная результата выбора игрока I, — стратегию
j ( 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛 ). Выигрыши игрока I 𝑊1 (𝑖, 𝑗) и игрока II 𝑊2 (𝑖, 𝑗) в результате
выбора стратегий удовлетворяют соотношению 𝑊1 (𝑖, 𝑗) + 𝑊2 (𝑖, 𝑗) =0; таким
образом, если ввести обозначение 𝑊1 (𝑖, 𝑗) = 𝑎𝑖𝑗 , то 𝑊2 (𝑖, 𝑗) = −𝑎𝑖𝑗 .
Элементы 𝑎𝑖𝑗 для каждой пары стратегий (𝑖, 𝑗) считаются известными
и записываются в платежную матрицу (табл. 5.1), строки которой
соответствуют стратегиям игрока I, а столбцы — стратегиям игрока II.
Каждый положительный элемент 𝑎𝑖𝑗 a матрицы определяет величину
выигрыша игрока I и, соответственно, проигрыша игрока II при
применении ими соответствующих стратегий. Естественно, целью игрока
I является максимизация своего выигрыша, тогда как игрока II —
минимизация своего проигрыша.
Таблица 5.1. Платёжная матрица парной игры с нулевой суммой
1
2
…
n
…
1
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
…
2
𝑎21
𝑎22
𝑎2𝑛
…
…
…
…
…
…
m
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
44
5.2.1. Решение парных матричных игр с нулевой суммой. Принцип
минимакса
Используя платежную матрицу парной игры с нулевой суммой (табл.
5.1), определим наилучшую стратегию игрока I среди стратегий i (𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚)
̅̅̅̅̅
и наилучшую стратегию игрока II среди стратегий j (𝑗 = 1, 𝑛).
В теории игр предполагается, что противники, участвующие в игре,
одинаково разумны, и каждый из них делает все возможное для того
достижения своей цели.
Проанализируем стратегии игрока I. Игрок I, выбирая стратегию
i, должен рассчитывать, что игрок II ответит на нее той из своих стратегий
j, для которой выигрыш игрока I будет минимальным. Найдем
минимальное число 𝑎𝑖𝑗 в каждой строке матрицы и, обозначив его 𝛼𝑖 (𝑖 =
̅̅̅̅̅
1, 𝑚), запишем в добавочный столбец платежной матрицы (см. табл. 5.2)
𝛼𝑖 = min 𝑎𝑖𝑗 ,
𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
(5.1).
𝑗
Зная числа 𝛼𝑖 (свои выигрыши при применении i-х стратегий
и разумном ответе игрока II), игрок I должен выбрать такую стратегию,
для которой 𝛼𝑖 максимально. Обозначив это максимальное значение как
𝛼, (т.е. 𝛼 = max 𝛼𝑖 ) и используя (5.1), получим:
𝑗
𝛼 = max min 𝑎𝑖𝑗
𝑖
(5.2).
𝑗
Таблица 5.2.
1
2
…
m
1
𝑎11
𝑎21
…
𝑎𝑚1
2
𝑎12
𝑎22
…
𝑎𝑚2
𝛽𝑗
𝛽1
𝛽2
…
…
…
…
…
…
n
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
…
𝑎𝑚𝑛
𝛼𝑖
𝛼1
𝛼2
…
𝛼𝑚
𝛽𝑛
Величина 𝛼 представляет собой гарантированный выигрыш,
который может обеспечить себе игрок I; она называется нижней ценой
игры (максимином). Стратегия, обеспечивающая получение нижней цены
игры 𝛼 , называется максиминной стратегией. Если игрок I будет
придерживаться своей максиминной (перестраховочной) стратегии, то ему
гарантирован выигрыш, не меньший 𝛼 при любом поведении игрока II.
В свою очередь, второй игрок стремится уменьшить свой проигрыш
или, что то же самое, выигрыш игрока I обратить в минимум. В связи с
этим, для выбора своей наилучшей стратегии он должен найти
максимальное значение выигрыша игрока I в каждом из столбцов и среди
этих значений выбрать наименьшее. Обозначим через ⁡𝛽𝑗 максимальный
элемент в каждом столбце j и запишем эти элементы в дополнительной
строке табл. 5.2. Наименьшее значение среди ⁡𝛽𝑗 обозначим через ⁡𝛽; эта
45
величина представляет собой верхнюю цену игры (минимакс), которая
определяется по формуле:
𝛽 = minmax 𝑎𝑖𝑗
(5.3).
𝑗
𝑖
Стратегия игрока II, обеспечивающая «выигрыш» 𝛽 , является его
минимаксной стратегией. Выбор минимаксной стратегии игроком II
гарантирует ему проигрыш не больше 𝛽.
В теории игр доказывается, что для нижней и верхней цены игры
всегда справедливо неравенство:
max min 𝑎𝑖𝑗 ≤ minmax 𝑎𝑖𝑗 ⁡, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛⁡⁡𝑎 ≤ 𝛽⁡
𝑖
𝑗
𝑗
𝑖
Игры, для которых нижняя цена равна верхней, т. е. 𝑎 = 𝛽 ,
называются играми с седловой точкой.
Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой
точкой называется чистой ценой игры 𝛾, а стратегии (𝑖 ∗ , 𝑗 ∗ ), позволяющие
достичь этого значения, — оптимальными чистыми стратегиями;
элемент 𝑎∗ 𝑖𝑗 = 𝛾 является одновременно минимальным в i-й строке
и максимальным в j-м столбце. Оптимальные стратегии определяют в игре
положение равновесия, поскольку каждому из игроков невыгодно
отходить от своей оптимальной стратегии. Чистую цену игры 𝛾 в игре
с седловой точкой игрок I не может увеличить, а игрок II — уменьшить.
Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых
стратегиях.
5.2.2. Игры без седловых точек
Итак, если матрица игры содержит седловую точку, то ее решение
находится по принципу минимакса. Рассмотрим методику решения игры,
в платежной матрице которой отсутствует седловая точка. Применение
минимаксных стратегий каждым из игроков обеспечивает первому
выигрыш не меньше 𝑎, а второму проигрыш не больше 𝛽. Учитывая, что
𝑎 < 𝛽, естественно для игрока I желание увеличить выигрыш, а для игрока
II — уменьшить проигрыш. Поиск такого решения приводит
к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении
двух и более чистых стратегий с определенными вероятностями. Такая
сложная стратегия в теории игр называется смешанной. Смешанные
стратегии игроков I и II будем обозначать, соответственно, 𝑝𝐼 =
(𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 ) и 𝑞𝐼𝐼 = (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 ) , где 𝑝𝑖 ≥ 0, 𝑞𝑖 ≥ 0 — вероятности
применения соответствующих чистых стратегий. Очевидно, должны
выполняться условия нормировки для вероятностей:
𝑚
𝑛
∑ 𝑝𝑖 = 1, ∑ 𝑞𝑗 = 1
𝑖=1
𝑗=1
46
Одна из основных теорем теории игр утверждает, что любая
конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно
решение, возможно, в смешанных стратегиях. Из этой теоремы следует,
что каждая конечная игра имеет цену. Обозначим ее так же, как чистую
цену игры, через 𝛾. Цена игры 𝛾 — средний выигрыш, приходящийся на
одну партию, — всегда удовлетворяет условию 𝛼 ≤ 𝛾 ≤ 𝛽 , т. е. лежит
между нижней (𝛼) и верхней (𝛽) ценами игры. Следовательно, каждый
игрок при многократном повторении игры, придерживаясь смешанных
стратегий, получает более выгодный для себя результат. Оптимальное
решение игры в смешанных стратегиях, так же как и решение в чистых
стратегиях, характеризуется тем, что каждый из игроков не заинтересован
в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии, если его противник
применяет оптимальную смешанную стратегию, так как это ему
невыгодно.
Стратегии игроков, входящие в их оптимальные смешанные
стратегии, называются активными.
5.2.3. Использование линейной оптимизации при решении матричных
игр
Пусть игра mn не имеет оптимального решения в чистых
стратегиях, т.е. седловая точка отсутствует (𝑎 ≠ 𝛽) .
Будем считать, что все элементы платежной матрицы
неотрицательны (если это не так, то можно ко всем элементам матрицы
добавить некоторое число L, переводящее платежи в область
неотрицательных значений — очевидно, при этом цена игры увеличится на
L, а решение задачи не изменится). Таким образом, предполагаем, что 𝛾 >
0.
Будем искать решение игры в смешанных стратегиях:
𝑝∗ 𝐼 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 );⁡𝑞 ∗ 𝐼𝐼 = (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 )
Применение игроком I оптимальной смешанной стратегии 𝑝∗ 𝐼
гарантирует ему, независимо от поведения игрока II, выигрыш, не
меньший цены игры 𝛾.
Пусть игрок II применяет свою активную чистую j-ю стратегию,
а игрок I — свою оптимальную стратегию 𝑝∗ 𝐼 . Тогда средний выигрыш
игрока I будет равен
𝛾𝑗 = 𝑎1𝑗 𝑝1 + 𝑎2𝑗 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑗 𝑝𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑗 𝑝𝑚 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
Учитывая, что 𝛾𝑗 (𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) не может быть меньше 𝛾 , запишем
условия:
47
𝑎11 𝑝1 + 𝑎21 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖1 𝑝𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚1 𝑝𝑚 ≥ 𝛾
𝑎12 𝑝1 + 𝑎22 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖2 𝑝𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚2 𝑝𝑚 ≥ 𝛾
…
(5.4).
𝑎1𝑗 𝑝1 + 𝑎2𝑗 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑗 𝑝𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑗 𝑝𝑚 ≥ 𝛾
…
{𝑎1𝑛 𝑝1 + 𝑎2𝑛 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑝𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑝𝑚 ≥ 𝛾
Разделив левую и правую части каждого из неравенств (5.4) на цену
игры 𝛾>0, получим:
𝑝1
𝑝2
𝑝𝑖
𝑝𝑚
𝑎1𝑗 + 𝑎2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑗
≥ 1,
𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
(5.5).
𝛾
𝛾
𝛾
𝛾
При использовании обозначений
𝑝𝑖
= 𝑥𝑖 ,
𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
(5.6)
𝛾
неравенства (5.5) примут вид:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎21 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖1 𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚1 𝑥𝑚 ≥ 1
𝑎12 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖2 𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚2 𝑥𝑚 ≥ 1
…
(5.7),
𝑎1𝑗 𝑥1 + 𝑎2𝑗 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑗 𝑥𝑚 ≥ 1
…
{𝑎1𝑛 𝑥1 + 𝑎2𝑛 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑚 ≥ 1
где, очевидно, все 𝑥𝑖 ≥ 0, так как 𝑝𝑖 ≥ 0, 𝛾 ≥ 0.
Из равенства 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑚 = 1 и в силу определения (5.6)
следует, что переменные (𝑥𝑖 ) удовлетворяют условию
1
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑥𝑚 =
𝛾
Учитывая, что игрок I стремится максимизировать 𝛾 , получаем
линейную функцию
(5.8).
𝑓(𝑥) = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑥𝑚 → 𝑚𝑖𝑛
Таким образом, задача решения игры свелась к следующей задаче
линейной оптимизации: найти неотрицательные значения переменных
𝑥𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
минимизирующие
линейную
функцию
(5.8)
и
удовлетворяющие ограничениям (5.7).
Из решения задачи линейной оптимизации легко найти цену игры 𝛾
и оптимальную стратегию 𝑝∗ 𝐼 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 ) игрока I:
1
𝑥𝑖
𝛾= 𝑚
;⁡𝑝𝑖 = 𝑚
,
𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚.
∑𝑖=1 𝑥𝑖
∑𝑖=1 𝑥𝑖
В свою очередь, оптимальная стратегия
(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 )⁡может быть найдена из выражения
игрока
II 𝑞 ∗ 𝐼𝐼 =
48
𝑞𝑗 =
𝑢𝑗
∑𝑛𝑗=1 𝑢𝑗
,
𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛,
где 𝑢𝑗 — неотрицательные переменные задачи линейной оптимизации:
𝑓(𝑢) = 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑗 + ⋯ + 𝑢𝑛 → 𝑚𝑎𝑥
𝑎11 𝑢1 + 𝑎12 𝑢2 + ⋯ + 𝑎1𝑗 𝑢𝑗 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑢𝑛 ≤ 1
𝑎 𝑢 + 𝑎22 𝑢2 + ⋯ + 𝑎2𝑗 𝑢𝑗 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑢𝑛 ≤ 1 ,
{ 21 1
…
𝑎𝑚1 𝑢1 + 𝑎𝑚2 𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑗 𝑢𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑢𝑛 ≤ 1
которая является двойственной по отношению к задаче, представленной
условиями (5.7) и (5.8).
𝑞𝑗
В этой системе неравенств переменные 𝑢𝑗 = , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
𝛾
Таким
образом,
оптимальные
стратегии
∗
𝑝 𝐼 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 ) и 𝑞 𝐼𝐼 = (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 ) игры с платежной матрицей
𝑎𝑖𝑗 (𝑚 × 𝑛) могут быть найдены путем решения симметричной пары
двойственных задач линейной оптимизации.
∗
Исходная задача
Двойственная задача
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 → 𝑚𝑖𝑛
𝑓(𝑢) = ∑ 𝑢𝑖 → 𝑚𝑎𝑥
𝑚
𝑚
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑗=1
1, 𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 ≥ 1, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑚
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑗 ≤ 1, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
𝑖=1
𝑗=1
𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
𝑢𝑖 ≥ 0, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
Цена игры и вероятности применения стратегий игроками I и II
равны:
1
1
𝛾=
=
;
𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑢)𝑚𝑎𝑥
𝑝𝑖 = 𝛾 ∗ 𝑥𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚,
𝑞𝑗 = 𝛾 ∗ 𝑢𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
5.2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях с помощью Excel
Как уже отмечалось, любая парная игра с нулевой суммой может быть
сведена к решению задачи линейной оптимизации. Используя значение
функции и неизвестных взаимно двойственных задач линейной
оптимизации, легко найти цену игры и вероятности применения стратегий
каждым из игроков.
В качестве примера применения информационных технологий Excel
найдем решение парной игры с платежной матрицей:
49
1
2
3
1
24
19
14
2
20
22
16
3
18
24
20
4
21
20
25
Решение.
Для данной задачи 𝑎 ≠ 𝛽 (седловая точка отсутствует). Запишем
пару двойственных задач линейной оптимизации для решения игры.
𝑍 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛
𝐹 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 → 𝑚𝑎𝑥
24𝑥1 + 19𝑥2 + 14𝑥3 ≥ 1
24𝑢1 + 20𝑢2 + 18𝑢3 + 21𝑢4 ≤ 1
20𝑥1 + 22𝑥2 + 16𝑥3 ≥ 1
{19𝑢1 + 22𝑢2 + 24𝑢3 + 20𝑢4 ≤ 1
{
18𝑥1 + 24𝑥2 + 20𝑥3 ≥ 1
14𝑢1 + 16𝑢2 + 20𝑢3 + 25𝑢4 ≤ 1
̅̅̅̅).
21𝑥1 + 20𝑥2 + 25𝑥3 ≥ 1
𝑢𝑖 ≥ 0⁡(𝑖 = 1,4
̅̅̅̅).
𝑥𝑗 ≥ 0⁡(𝑗 = 1,3
Решим исходную и двойственную задачи с помощью Excel.
Внесем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 4.1.
Рис. 4.1. Данные для решения исходной задачи примера 1
В ячейки E3:E6 введем формулы для расчета функций —
ограничений, ячейки B9:D9 отведем для переменных 𝑥𝑗 , ячейку B15 — для
расчетного значения цены игры 𝛾 , диапазон ячеек F12:H12 — для
расчетных значений вероятностей применения стратегий игроком I, и,
наконец, ячейку F9 – для расчета целевой функции. Введем все
необходимые формулы в соответствующие ячейки. Установим все
необходимые ограничения исходной задачи перед запуском Поиска
решения. С помощью Поиска решения получим следующий результат:
50
Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока I:
= (𝑝𝐼∗ ; 𝑝2∗ ; 𝑝3∗ ) = (0,4189; 0,5135; 0,0676).
Решим двойственную задачу. Во избежание возможных ошибок
расположим данные для ее решения на отдельном рабочем листе Excel
(Рис. 4.2.).
𝑝𝐼∗
Рис. 4.2. Данные для решения двойственной задачи примера 1.
Ввод данных и формул производится аналогично предыдущему
случаю. Поиск решения дает ответ:
𝑞𝐼𝐼∗
Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока II есть:
= (𝑞𝐼∗ ; 𝑞2∗ ; 𝑞3∗ ) = (0,0541; 0,4054; 0; 0,5305).
51
РАЗДЕЛ № 3
Методы планирования и прогнозирования
6. Методы сетевого планирования
6.1. Информационные технологии сетевого планирования в
управлении
В практике управления сложными системами широко применяются
методы сетевого планирования и управления (СПУ). Эти методы
включают несколько разновидностей, наиболее широко используемыми из
которых являются PERT (Program Evaluation and Review Technique —
метод оценки и обзора программ) и СРМ (Critical Path Method — метод
критического пути).
Метод
РЕRТ
применяется
в
планировании
научноисследовательских и опытно-конструкторских разработок, для которых
характерна неопределенность в оценке затрат времени, необходимого для
выполнения отдельных операций (работ). Метод СРМ применяется тогда,
когда оценки времени операций являются детерминированными. В данном
пособии мы ограничимся рассмотрением метода CPM.
Методы СПУ используются при планировании сложных
комплексных проектов, таких как
— Строительство и реконструкция каких-либо объектов;
— Выполнение научно-исследовательских и конструкторных работ;
— Подготовка производства к выпуску продукции;
— Развертывание системы медицинских или профилактических
мероприятий;
— Перевооружение армии и т.п.
Характерной особенностью таких проектов является то, что они
состоят из ряда отдельных, элементарных работ. Работы обуславливают
друг друга так, что выполнение некоторых из них не может быть начато
раньше, чем завершены некоторые другие. Например, укладка фундамента
не может быть начата раньше, чем будут доставлены необходимые
материалы; эти материалы не могут быть доставлены раньше, чем будут
построены подъездные пути; любой этап строительства не может быть
начат без составления соответствующей технической документации и т.д.
СПУ состоит из трех основных этапов:
— Структурное планирование;
— Календарное планирование;
— Оперативное управление.
52
Структурное планирование начинается с разбиения проекта на четко
определенные операции, для которых определяется продолжительность.
Затем строится сетевой график, который представляет взаимосвязи работ
проекта. Это позволяет детально анализировать все работы и вносить
улучшения в структуру проекта еще до начала его реализации.
Календарное
планирование
предусматривает
построение
календарного графика, определяющего моменты начала и окончания
каждой работы и другие временные характеристики сетевого графика. Это
позволяет, в частности, выявлять критические операции, которым
необходимо уделять особое внимание, чтобы закончить проект в
директивный срок. Во время календарного планирования определяются
временные характеристики всех работ с целью оптимизации сетевой
модели, которая улучшает эффективность использования какого-либо
ресурса.
В ходе оперативного управления используются сетевой и
календарный графики для составления периодических отчетов о ходе
выполнения проекта. При этом сетевая модель может подвергаться
оперативной корректировке, вследствие чего будет разрабатываться новый
календарный план остальной части проекта.
6.2. Построение сетевых графиков
Основой метода СПУ является сетевой график (сетевая модель),
определяющий логическую взаимосвязь и взаимообусловленность
входящих в него элементарных операций (работ).
Сетевые графики представляют собой ориентированные графы,
дугам или вершинам которых приписаны некоторые числовые значения.
Как правило, вершины, называемые событиями, соответствуют
моментам времени начала или окончания одной или нескольких операций,
а дуги — операциям.
Различают три вида событий: исходное, завершающее и
промежуточное. Исходное — это такое событие, с которого начинается
выполнение
комплекса
операций.
Завершающее
соответствует
достижению конечной цели, т. е. завершению комплекса операций.
Сетевые графики с несколькими завершающими событиями называются
многоцелевыми. К промежуточным относятся все прочие события.
События, как правило, обозначаются кружками. Предполагается, что
события не имеют продолжительности во времени.
Моментом свершения события считается момент окончания
выполнения всех входящих в это событие операций. Пока не выполнены
все входящие в событие операции, не может свершиться само событие, и,
соответственно, не может быть начата ни одна из непосредственно
следующих за ним операций.
53
Различают три вида операций:
1. действительная операция (
) — процесс, требующий затрат
времени и ресурсов (разработка проекта, подвоз материалов,
выполнение монтажных работ и т. д.);
2. операция-ожидание (
) — процесс, требующий только затрат
времени (затвердение бетона, естественная сушка штукатурки перед
началом малярных работ, рост растений и т. д.);
3. фиктивная операция (
), или логическая зависимость, отражает
технологическую или ресурсную зависимость в выполнении некоторых
операций.
При построении сетевых графиков необходимо соблюдать
определенные правила:
1. в сети не должно быть событий (кроме исходного), в которые не входит
ни одна дуга;
2. не должно быть событий (кроме завершающего), из которых не
выходит ни одной дуги;
3. сеть не должна содержать контуров;
4. любая пара событий сетевого графика может быть соединена не более
чем одной дугой. Если изобразить одновременно выполняемые три
различные операции b, c, d с общими начальным и конечным
событиями (Рис. 6.1), то возникает путаница из-за того, что различные
операции имеют одно и то же обозначение (2,5). В этом случае
рекомендуется ввести дополнительные события и соединить их с
последующими фиктивными операциями (Рис. 6.2);
5. номер начального события любой операции должен быть меньше
номера ее конечного события.
Рис. 6.1
Для отражения технологической или ресурсной зависимости в
выполнении операций применяют фиктивные операции. Предположим,
что операция c может выполняться после завершения операций a и b, а
операция d — только после завершения операции b.
54
Рис. 6.2
Эта зависимость представлена на Рис. 6.3, из которого видно, что
операция c следует за операцией a и фиктивной операцией (2,З).
Рис. 6.3
В свою очередь, операция (2,3) следует за операцией b. Тогда в силу
транзитивности выполнение операции b предшествует выполнению
операции c.
Построение сетевого графика начинается с составления списка
операций (работ), подлежащих выполнению. Последовательность
операций в списке является произвольной. Порядок нумерации операций
осуществляется в соответствии с последовательностью их записи в списке.
Перечень операций в зависимости от конкретных условий детализируется.
Операции, включенные в список, характеризуются определенной
продолжительностью, которая устанавливается на основе действующих
нормативов или по аналогии с ранее выполнявшимися операциями. Такие
временные оценки называются детерминированными. В случае отсутствия
нормативных временных оценок определяются вероятностные оценки.
После составления списка операций приступают к процедуре
построения сети.
55
Приведем пример построения простого сетевого графика.
Рассмотрим проект, представленный с помощью следующей таблицы:
Работа
A
B
C
D
E
F
G
Таблица 6.1. Описание составных работ проекта
Непосредственно
Время выполнения
предшествующие работы
—
𝑡𝐴
—
𝑡𝐵
B
𝑡𝐶
A, C
𝑡𝐷
C
𝑡𝐸
C
𝑡𝐹
D, E, F
𝑡𝐺
Анализ данных, приведенных в этой таблице, — более конкретно —
последовательности и взаимозависимости работ, позволяет построить
сетевой график вида
Рис. 6.4. Пример сетевого графика простого проекта
В данном сетевом графике помимо работ, указанных в таблице,
использованы две фиктивные работы (3,4) и (5,6), обозначенные
штриховыми линиями. Эти работы не требуют времени на их выполнение
и используются в графическом представлении проекта лишь для того,
чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами.
6.3. Расчет временных параметров сетевого графика
Для управления ходом выполнения комплекса операций,
представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией
о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о
продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках
выполнения отдельных операций и их резервах времени. Различают
56
следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий
за событием.
Путь сетевого графика называется полным, если его начальная
вершина совпадает с исходным событием, а конечная — с завершающим.
Предшествующий событию путь представляет собой путь от
исходного события до данного.
Следующий за событием путь — путь от данного события до
завершающего.
Важнейшим параметром сетевого графика является критический
путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую
продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие
критическому пути, называются соответственно критическими операциями
и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций,
принадлежащих критическому пути, равна критическому времени
выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение
𝑡𝑘𝑝 ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной
линией.
Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.
Пусть продолжительности выполнения операций 𝑡𝑖𝑗 известны
(Рис. 6.5; продолжительности операций расположены у соответствующих
дуг графика).
Рис. 6.5
Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий 𝑡𝑖
сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения
комплекса операций, следовательно, 𝑡1 = 0 . Событие (2) свершится,
очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время
выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑡12 = 0 + 2 = 2.
Событию (3) предшествуют два пути: 𝜇1 = (1 − 3) и 𝜇2 = (1 − 2 − 3) .
Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед.
времени, так как 𝑡12 + 𝑡23 = 2 + 0 = 2 . Продолжительность второго пути
можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2)
времени выполнения операции (2,3), т. е. 𝑡2 + 𝑡23 = 2 + 0 = 2 . Поскольку
57
событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех
входящих в него операций, то
𝑡3 = 𝑚𝑎𝑥(𝑡1 + 𝑡13 ; 𝑡2 + 𝑡23 ) = 𝑚𝑎𝑥(0 + 1; 2 + 0) = 2
В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для
которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно,
ожидаемый срок свершения события (4)
𝑡4 = 𝑚𝑎𝑥(𝑡1 + 𝑡14 ; 𝑡3 + 𝑡34 ) = 𝑚𝑎𝑥(0 + 3; 2 + 2) = 4
Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6)
̅̅̅̅ приписаны соответствующим событиям.
и (7). Значения 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1,7
Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий
имеет вид:
𝑡1 = 0
𝑡𝑗 = max
𝑗 = 2,3, … , 𝑛,
(𝑡𝑖 + 𝑡𝑖𝑗 ) ,
>
{(𝑖,𝑗)}
>
где {(𝑖, 𝑗)} — подмножество дуг сети, входящих в событие (j).
Ожидаемый срок свершения события 𝑡1 = 11 совпадает с
критическим временем (суммарной продолжительностью операций,
принадлежащих критическому пути).
Возвращаясь
теперь от
завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие
критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7), 𝑡𝑘𝑝 = 11
определила операция (5,7), выполнение которой начинается после
свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени (𝑡5 + 𝑡53 = 8 + 3 =
11). Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как
𝑡2 + 𝑡35 = 2 + 6 = 8 . В свою очередь момент свершения события (3)
определила операция (2,3), а события (2) — операция (1,2). Эти операции
на рис. 8.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь
𝜇𝑘𝑝 = (1 − 2 − 3 − 5 − 7) . Увеличение времени выполнения любой
операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению
времени выполнения всего комплекса операций. Напротив, увеличение
времени выполнения или задержка с выполнением некритически операций
может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так,
например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или
начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не
отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего
комплекса операций.
Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед.
времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на
критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения.
Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика
через 𝑡𝑖∗ , 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛. Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения
завершающего события (n) совпадают 𝑡𝑛 = 𝑡𝑛∗ тогда предельный срок
58
свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности
между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного
события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение
предельного срока осуществляется по формуле
𝑡𝑛∗ = 𝑡𝑛
∗
𝑡𝑖∗ = min
+ 𝑡𝑖𝑗 ) ,
𝑖 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1, 𝑛 − 1,
(𝑡
𝑗
<
{(𝑖,𝑗)}
<
где {(𝑖, 𝑗)} — подмножество дуг сети, входящих в событие (i).
В нашем примере 𝑡7∗ = 𝑡7 = 11 . Определим этот показатель для
оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция,
следовательно, ⁡𝑡5∗ = 𝑡7∗ − 𝑡57 = 11 − 3 = 8. Аналогично 𝑡6∗ = 𝑡7∗ − 𝑡67 = 10.
Из события (4) исходят три операции, поэтому
𝑡4∗ = 𝑚𝑖𝑛(𝑡5∗ − 𝑡45 ; 𝑡6∗ − 𝑡46 ; 𝑡7∗ − 𝑡47 ) = ⁡𝑚𝑖𝑛(8 − 3; 10 − 1; 11 −
4) = 5
Аналогично 𝑡3∗ = 2, 𝑡2∗ = 2, 𝑡1∗ = 0 (на Рис. 6.4 предельные сроки
свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти
сроки совпадают с ожидаемыми.
Некритические события имеют резервы времени, которые
показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться
свершение событий без изменения срока свершения завершающего
события. Резерв времени 𝑅𝑖 события (i) равен разности между предельным
и ожидаемым сроками его свершения:
𝑅𝑖 = 𝑡𝑖∗ − 𝑡𝑖 .
Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в
тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок
начала выполнения операции (i, j) равен ожидаемому сроку свершения (i)р.н
го события (𝑡𝑖𝑗 = 𝑡𝑖 ) поздний срок окончания операции совпадает с
𝑛.𝑜
поздним сроком свершения ее конечного события (𝑡𝑖𝑗
= 𝑡𝑗∗ ) поздний срок
начала операции равен разности между предельным сроком свершения ее
𝑛.н
конечного события и продолжительностью (𝑡𝑖𝑗
= 𝑡𝑗∗ − 𝑡𝑖𝑗 ) ранний срок
окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее
р.𝑜
начального события и продолжительности (𝑡𝑖𝑗 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑖𝑗 )
Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых
р.н 𝑛.н р.𝑜 𝑛.𝑜
параметрами: 𝑡𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗
, 𝑡𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 . Следовательно, операции, как и события,
могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько
разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее
важными являются полный и свободный резервы.
𝑛
Полный резерв времени операции 𝑅𝑖𝑗
показывает, насколько можно
сдвинуть
начало
выполнения
операции
или
увеличить
ее
59
продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального
события, при условии, что конечное для данной операции событие
свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного
резерва времени вычисляется по формуле
р.𝑜
𝑛
𝑅𝑖𝑗
= 𝑡𝑗∗ − (𝑡𝑖 + 𝑡𝑖𝑗 ) = 𝑡𝑗∗ − 𝑡𝑖𝑗
𝑐
Свободный резерв времени операции 𝑅𝑖𝑗
показывает, насколько
можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения
операции (i, j) , при условии, что начальное и конечное ее события
свершаются в ожидаемое время:
р.𝑜
𝑐
𝑅𝑖𝑗
= 𝑡𝑗 − (𝑡𝑖 + 𝑡𝑖𝑗 ) = 𝑡𝑗 − 𝑡𝑖𝑗
Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют
(Рис. 6.5):
𝑛
𝑅46
= 𝑡6∗ − (𝑡4 + 𝑡46 ) = 10 − (4 + 1) = 5
𝑐
𝑅46
= 𝑡6 − (𝑡4 + 𝑡46 ) = 5 − (4 + 1) = 0
6.4. Оптимизация комплекса операций
6.4.1. Оптимизация комплекса операций по времени
Оптимизация комплекса операций по времени сводится к
сокращению продолжительности критического пути. Необходимость
проведения оптимизации сетевого графика по времени возникает тогда,
когда критическое время выполнения комплекса операций превосходит
срок 𝑇0 , на котором настаивает ЛПР. Очевидно, подобная задача требует
проведения определенных мероприятий и (или) вложения дополнительных
средств.
Иногда оптимизация достигается за счет перепланировки сетевого
проекта (изменения топологии сети). Например, одновременно
выполняемые операции, имеющие резервы времени и не лежащие на
критическом пути могут выполняться последовательно (если это
допускается технологией). Освободившиеся при этом ресурсы можно
использовать на критических операциях, что ускорит их выполнение.
Сокращение времени выполнения операций возможно также за счет
автоматизации производственных процессов, улучшения организации
работ, использования передовых технологий и т.д.
Оптимизация комплекса операций по времени может проводиться с
привлечением дополнительных средств и с использованием внутренних
резервов.
Приведем математическую формулировку процесса оптимизации по
времени.
Пусть задан сетевой график выполнения комплекса операций. Время
выполнения каждой операции равно 𝑡𝑖𝑗 . Пусть также вложение 𝑥𝑖𝑗
60
Дополнительных средств в операцию (i,j) сокращает время выполнения с
∗
𝑡𝑖𝑗 до 𝑡𝑖𝑗
< 𝑡𝑖𝑗 . Естественно, для каждой операции существует минимально
возможное время ее выполнения, равное 𝑑𝑖𝑗 . Требуется определить время
начала 𝑇𝑖𝑗н и окончания 𝑇𝑖𝑗𝑜 выполнения операций, а также величину
дополнительных средств 𝑥𝑖𝑗 , которые необходимо вложить в каждую из
операций (i,j) , чтобы общее время выполнения комплекса операций было
минимальным. При этом сумма вложенных дополнительных средств не
должна превышать заданной величины C, а время выполнения каждой
операции должно быть не меньше минимально возможного времени 𝑑𝑖𝑗 .
Математически условия задачи можно записать следующим образом:
𝑜
𝑡𝑘𝑝 = 𝑇𝑛−1,𝑛
→ 𝑚𝑖𝑛;
(6.1)
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝐶;
(6.2)
𝑖,𝑗
𝑇𝑖𝑗𝑜 − 𝑇𝑖𝑗н ≥ 𝑑𝑖𝑗 ,
для⁡всех⁡𝑖, 𝑗;
𝑡𝑖𝑗 (𝑥𝑖𝑗 ) = 𝑇𝑖𝑗𝑜 − 𝑇𝑖𝑗н ,
𝑇𝑗𝑟н ≥ 𝑇𝑖𝑗𝑜 ,
для⁡всех⁡𝑖, 𝑗;
для⁡всех⁡𝑖, 𝑗, 𝑟;
𝑇𝑖𝑗н ≥ 0, 𝑇𝑖𝑗𝑜 ≥ 0, 𝑥𝑖𝑗 ≥ 0,
для⁡всех⁡𝑖, 𝑗;
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Добавив при необходимости фиктивную операцию, выходящую из
последнего события, целевую функцию любого графика можно записать в
виде выражения (6.1).
Ограничения-равенства
(6.4)
показывают
зависимость
продолжительности выполнения операций от вложенных средств.
Ограничения (6.5) обеспечивают выполнение условий предшествования
операций в соответствии с топологией сети (время начала выполнения
каждой операции должно быть не меньше времени окончания
непосредственно предшествующей ей операции).
Критический путь 𝜇𝑘𝑝 в данной задаче является функцией от
объемов дополнительно вкладываемых средств 𝑥𝑖𝑗 .
Сформулированная задача относится к классу оптимизационных
задач и может быть решена методами линейной или нелинейной
оптимизации в зависимости от вида функций 𝑓𝑖𝑗 (𝑥𝑖𝑗 ).
Приведем пример решения задачи оптимизации комплекса операций
по времени путем затрат дополнительных средств.
61
Пример.
Комплекс операций представлен сетевым графиком (рис. 6.6).
Цифры, приписанные дугам, означают соответственно продолжительность
𝑡𝑖𝑗 и минимально возможное время 𝑑𝑖𝑗 выполнения операций (в днях).
Рис. 6.6
Продолжительность выполнения операций зависит линейно от
дополнительно вложенных средств и выражается соотношением
∗
𝑡𝑖𝑗
= 𝑡𝑖𝑗 (1 − 𝑘𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ),
где 𝑘12 = 0,01, 𝑘13 = 0,02, 𝑘23 = 0,05, 𝑘24 = 0,03, 𝑘35 = 0,04, 𝑘45 = 0,02.
Требуется оптимизировать сетевой график по времени, т.е.
определить время выполнения каждой операции сетевого графика таким
образом, чтобы время выполнения комплекса операций было
минимальным, а сумма вложенных средств С не превышала 15 единиц.
Решение.
Добавив на сетевом графике фиктивную операцию (5,6), запишем
целевую функцию в виде:
𝑜
𝑡𝑘𝑝 = 𝑇56
→ 𝑚𝑖𝑛;
Запишем ограничения задачи:
 сумма вложенных средств не должна превышать наличного их
количества:
𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥24 + 𝑥35 + 𝑥45 ≤ 15;
 время выполнения каждой операции должно быть не меньше
минимально возможного времени:
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
н
н
н
н
𝑇12
− 𝑇12
≥ 6; 𝑇13
− 𝑇13
≥ 12; 𝑇23
− 𝑇23
≥ 5; 𝑇24
− 𝑇24
≥ 6;
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
н
н
н
н
𝑇34
− 𝑇34
≥ 0; 𝑇35
− 𝑇35
≥ 10; 𝑇45
− 𝑇45
≥ 4; 𝑇56
− 𝑇56
≥ 0;
 зависимость продолжительностей операций от вложенных средств
дает ограничения-равенства:
𝑜
𝑜
н
н
𝑇12
− 𝑇12
= 10(1 − 0,01𝑥12 ); 𝑇13
− 𝑇13
= 20(1 − 0,02𝑥13 );
𝑜
𝑜
н
н
𝑇23
− 𝑇23
= 12(1 − 0,05𝑥23 ); 𝑇24
− 𝑇24
= 14(1 − 0,03𝑥24 );
62
𝑜
𝑜
н
н
𝑇35
− 𝑇35
= 16(1 − 0,04𝑥35 ); 𝑇45
− 𝑇45
= 6(1 − 0,02𝑥45 );
 время начала выполнения каждой операции должно быть не меньше
времени окончания непосредственно предшествующей ей операции
н
н
(моменты времени 𝑇12
= 𝑇13
= 0):
𝑜
𝑜
н
𝑜
н
𝑜
𝑜
н
н
н
𝑇23
≥ 𝑇12
; 𝑇24
≥ 𝑇12
; 𝑇35
≥ 𝑇13
; 𝑇35
≥ 𝑇23
; 𝑇34
≥ 𝑇13
;
𝑜
𝑜
𝑜
н
𝑜
н
𝑜
н
н
н
𝑇34
≥ 𝑇23
; 𝑇45
≥ 𝑇24
; 𝑇45
≥ 𝑇34
; 𝑇56
≥ 𝑇35
; 𝑇56
≥ 𝑇45
;
 условие неотрицательности неизвестных:
𝑇𝑖𝑗н ≥ 0, 𝑇𝑖𝑗𝑜 ≥ 0, 𝑥𝑖𝑗 ≥ 0,
для⁡всех⁡𝑖, 𝑗.
Создадим на рабочем листе Excel форму для ввода данных,
необходимых для решения задачи (Рис. 6.7).
Рис. 6.7. Форма для ввода данных примера
Введем обозначения для переменных согласно Рис. 6.7, и отведем
под расчетные значения X1-X20 диапазон ячеек A8:T8. Далее, введем
формулы для расчета функций-ограничений в соответствии с приводимой
ниже таблицей
Ячейка
C9
E9
Формула
=D8-C8
=F8-E8
Ячейка
K13
K14
Формула
=A8+0,1*O8
=B8+0,4*P8
63
Ячейка
G9
I9
K9
M9
C13
C14
C15
C16
C17
C18
C19
C20
C21
C21
𝑡𝑘𝑝
Формула
=H8-G8
=J8-I8
=L8-K8
=N8-M8
=C8-A8
=E8-A8
=I8-B8
=I8-D8
=G8-B8
=G8-D8
=K8-F8
=K8-H8
=M8-J8
=M8-L8
Ячейка
K15
K16
K17
K18
Формула
=D8-C8+0,6*Q8
=F8-E8+0,42*R8
=J8-I8+0,64*S8
=L8-K8+0,12*T8
G22
=O8+P8+Q8+R8+S8+T8
O14
=N8
Целевой ячейкой является O14.
Вызываем Поиск решения и вводим все необходимые ограничения.
Ответ:
𝑜
𝑜
𝑜
н
н
= 10; 𝑇12
= 10; 𝑇13
= 19,65; 𝑇23
= 10; 𝑇23
= 19,65; 𝑇24
= 10;
𝑜
𝑜
𝑜
н
н
𝑇24
= 23,66; 𝑇34
= 19,66; 𝑇34
= 19,65; 𝑇35
= 19,65; 𝑇35
= 29,65;
𝑜
𝑜
н
н
𝑇45
= 23,65; 𝑇45
= 29,65; 𝑇56
= 𝑇56
= 29,65; ⁡𝑥12 = 0; 𝑥13 = 0,88;
𝑥23 = 3,92; 𝑥24 = 0,83; 𝑥35 = 9,38; 𝑥45 = 0.
Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за 29,65 дней,
необходимо вложить в операцию (1,3) 0,88 д.е., в операцию (2,3) 3,92 д.е., в
(2,4) 0,83 д.е., и в операцию (3,5) - 9,38 д.е..
6.4.2. Оптимизация комплекса операций по стоимости при
фиксированном сроке выполнения проекта
Рассмотрим частный случай оптимизации комплекса операций по
стоимости (затратам). Будем предполагать, что затраты на выполнение
отдельных операций находятся в обратной зависимости от
продолжительности их выполнения. Коэффициент дополнительных
затрат (КДЗ) 𝑘𝑖𝑗 этой зависимости для операции (i,j) вычисляется по
формуле
с′𝑖𝑗 − с′′𝑖𝑗 ⁡
𝑘𝑖𝑗 =
(6.7),
𝑡′′𝑖𝑗 − 𝑡 ′ 𝑖𝑗
где 𝑡 ′ 𝑖𝑗 — срочный режим выполнения операции (наименьшая
продолжительность), которому соответствуют наибольшие затраты с′𝑖𝑗 ;
𝑡′′𝑖𝑗 — нормальный режим выполнения операции (наибольшая
продолжительность), которому соответствуют минимальные затраты с′′𝑖𝑗 .
64
Коэффициент дополнительных затрат показывает, насколько
увеличится стоимость операции при уменьшении продолжительности на
единицу времени.
Отличительная особенность оптимизации при фиксированном сроке
выполнения комплекса операций заключается в том, что в исходном
варианте сети оценки для каждой операции установлены на уровне
минимальных продолжительностей 𝑡 ′ 𝑖𝑗 и максимальных затрат с′𝑖𝑗 .
Следовательно, стоимость выполнения всего комплекса операций является
максимальной. Предполагается, что увеличение продолжительности
операции (i,j) на 1 ед. вызывает уменьшение стоимости на величину 𝑘𝑖𝑗 .
Таким образом, ставится задача: при фиксированном сроке завершения 𝑇𝑜
минимизировать стоимость выполнения комплекса операций, используя
резервы времени. Критическое время 𝑡𝑘𝑝 может быть меньше заданного
срока 𝑇𝑜 или равно ему. Если 𝑡𝑘𝑝 = 𝑇𝑜 , то оптимизация возможна за счет
увеличения времени выполнения некритических операций; если 𝑡𝑘𝑝 < 𝑇𝑜 ,
то оптимизировать можно за счет всех операций комплекса.
Рассмотрим более общий случай, когда 𝑡𝑘𝑝 < 𝑇𝑜 .
Обозначим стоимость выполнения операции (i,j) через с′𝑖𝑗 . Исходя из
условия задачи, стоимость каждой операции (i,j) за время ее выполнения
𝑡𝑖𝑗 определим по формуле
𝑐𝑖𝑗 = с′𝑖𝑗 − 𝑘𝑖𝑗 (𝑡𝑖𝑗 − 𝑡 ′ 𝑖𝑗 )
(6.8),
где 𝑡 ′ 𝑖𝑗 ≤ 𝑡𝑖𝑗 ≤ 𝑡 ′′ 𝑖𝑗 . Учитывая, что величины 𝑐𝑖𝑗 , 𝑡 ′ 𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗 известны,
раскроем скобки в правой части (6.8) и обозначим через 𝑏𝑖𝑗 сумму 𝑐 ′ 𝑖𝑗 +
𝑜
н
𝑘𝑖𝑗 ⁡𝑡 ′ 𝑖𝑗 . В результате получим 𝑐𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 − 𝑘𝑖𝑗 ⁡𝑡𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 − 𝑘𝑖𝑗 (𝑡𝑖𝑗
− 𝑡𝑖𝑗
). Здесь
время выполнения операции (i,j) равно разности между временем ее
𝑜
н
окончания (𝑡𝑖𝑗
) и временем начала (𝑡𝑖𝑗
).
Математическая модель задачи может быть сформулирована
следующим образом: найти такое время начала и окончания каждой
операции сетевого графика, при котором стоимость выполнения комплекса
операций будет минимальной:
𝑜
н
𝐶 = ∑ 𝑐𝑖𝑗 = ∑[𝑏𝑖𝑗 − 𝑘𝑖𝑗 (𝑡𝑖𝑗
− 𝑡𝑖𝑗
)]
𝑖,𝑗
𝑖,𝑗
На неизвестные величины задачи налагаются следующие
ограничения:
 продолжительность выполнения каждой операции должна быть не
меньше 𝑡 ′ 𝑖𝑗 и не больше 𝑡 ′′ 𝑖𝑗 :
𝑜
н
𝑡 ′ 𝑖𝑗 ≤ 𝑡𝑖𝑗
− 𝑡𝑖𝑗
≤ 𝑡 ′′ 𝑖𝑗 ;
 время окончания любой операции сетевого графика должно быть не
больше времени начала непосредственно следующей за ней
65
операции, т.е. для любых смежных операций сети (i,j) и (j,r) должно
выполняться условие:
𝑜
н
𝑡𝑖𝑗
≤ 𝑡𝑗𝑟
;
 выполнение комплекса операций должно быть завершено не позже
директивного срока 𝑇𝑜 :
𝑜
𝑡𝑖𝑛
≤ 𝑇𝑜 , 𝑖 = 1, ̅̅̅̅̅̅̅
𝑛 − 1, где n — номер завершающего события;
 переменные должны быть неотрицательными:
𝑜
н
𝑜
̅̅̅̅̅
𝑡𝑖𝑗
≥ 0; 𝑡𝑗𝑟
≥ 0⁡для⁡всех⁡(𝑖, 𝑗), при⁡этом⁡𝑡1𝑗
= 0, 𝑗 = 2,
𝑛.
7. Методы анализа временных рядов
Временным рядом называется последовательность значений
некоторого показателя во времени.
Анализ временных рядов является способом выявления тенденций
прошлого и продления их в будущее. Методы анализа временных рядов
осуществляют прогноз путем экстраполяции значений отдельной
переменной на основе статистических данных за прошлый временной
период. Основное допущение, которое при этом делается, заключается в
том, что происшедшее в прошлом дает хорошее приближение в оценке
будущего.
Развитие процессов, реально наблюдаемых в жизни, складывается из
некоторой устойчивой тенденции и некоторой случайной составляющей,
выражающейся в колебании значений показателя вокруг тренда. Рис.7.1
показывает, как могут зависеть объемы продаж одного и того же товара на
двух стадиях его жизненного цикла (в начале и в конце продаж).
Рис.7.1
66
Кривые тренда сглаживают временной ряд значений показателя,
выделяя общую тенденцию. Именно выбор кривой тенденции во многом
определяет результаты прогнозирования.
В большинстве случаев временной ряд, кроме тенденции и
случайных отклонений от него, характеризуется еще сезонной
составляющей. Сезонная составляющая — это периодические изменения
показателя. Обычная продолжительность сезонной составляющей
измеряется днями, неделями или месяцами.
7.1. Методы сетевого планирования без сезонной составляющей
Вначале
рассмотрим
несколько
простейших
методов
прогнозирования, не учитывающих наличия сезонности во временном
ряде. Предположим, что в журнале РБК приведена сводка за последние 12
дней (включая сегодняшний) цен на апельсины, сложившихся на момент
закрытия биржи. Используя эти данные, нужно предсказать завтрашнюю
цену на какао (также на момент закрытия биржи). Рассмотрим несколько
способов сделать это.
1. Если последнее (сегодняшнее) значение наиболее значимо по
сравнению с остальными, то оно является наилучшим прогнозом на
завтра.
2. Возможно, из-за быстрого изменения цен на бирже первые шесть
значений уже устарели и не актуальны, в то время как последние
шесть значимы и имеют равную ценность для прогноза. Тогда в
качестве прогноза на завтра можно взять среднее последних шести
значений.
3. Если все значения существенны, но сегодняшнее 12-е значение
наиболее значимо, а предыдущие 11-е, 10-е, 9-е и т.д. имеют все
меньшую и меньшую значимость, следует найти взвешенное среднее
всех 12 значений. Причем весовые коэффициенты для последних
значений должны быть больше, чем для предыдущих, и сумма всех
весовых коэффициентов должна равняться 1.
Первый способ называется «наивным» прогнозом и достаточно
очевиден. Рассмотрим подробнее остальные способы.
7.1.1. Метод скользящего среднего
Одним из предположений, лежащих в основе данного метода,
является то, что более точный прогноз на будущее можно получить, если
67
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
использовались недавние наблюдения, причем, чем «новее» данные, тем
их вес для прогноза должен быть больше. Удивительно, но такой
«наивный» подход оказывается чрезвычайно полезным для практики.
Например, многие авиакомпании используют частный тип скользящего
среднего для создания прогнозов спроса на авиаперелеты, которые, в свою
очередь, используются в сложных механизмах управления и оптимизации
доходов. Более того, практически все программные пакеты управления
запасами содержат модули, выполняющие прогнозы на основе того или
иного типа скользящего среднего.
Рассмотрим
следующий
пример.
Маркетологу
нужно
спрогнозировать спрос на производимые его компанией станки. Данные по
объемам продаж приведены далее:
Объемы
продаж, тыс.
20
24
27
31
37
47
53
62
54
36
32
29
Простое скользящее среднее. В этом методе среднее
фиксированного числа N последних наблюдений используется для оценки
следующего значения временно ряда. Например, используя данные о
продажах станков за первые три месяца года, менеджер получает для
апреля значение, используя формулу, приведённую ниже:
xˆ 4 
x1  x2  x3 20  24  27

 23,67
3
3
(7.1).
В случае произвольного числа N узлов расчетная формула
обобщается следующим образом:
1 N
xˆ k   xk i
(7.2).
N i 1
Менеджер вычислил объем продаж на основе простого скользящего
среднего за 3 и 4 месяца. Однако требуется определить, какое количество
узлов даёт более точный прогноз. Для оценки точности прогнозов
используются среднее абсолютных отклонений (САО) и среднее
относительных ошибок, в процентах (СООП), вычисляемые по формулам
(7.3) и (7.4).
∑𝑁|𝑥𝑖 − 𝑥′𝑖 |
(7.3),
САО = ⁡
𝑁
68
|𝑥𝑖 − 𝑥̂𝑖 |
∗ 100%
𝑥𝑖
(7.4).
СООП = ⁡
𝑁
где xi – i-ое реальное значение переменной в i-й момент времени, а x’i – i-ое
спрогнозированное значение переменной в i-й момент времени, N —
количество прогнозов.
Согласно результатам (см. 7.2), скользящее среднее за три месяца
имеет значение САО равное 12,67 (ячейка D16), тогда как для скользящего
среднего за 4 месяца значение САО равно 15,59 (ячейка F16). Тогда можно
выдвинуть гипотезу, что использование большего количества
статистических данных скорее ухудшает, чем улучшает точность прогноза
методом скользящего среднего.
∑𝑁
Рис.7.2.
На графике (см. Рис.7.3), построенном по результатам наблюдений и
прогнозов с интервалом 3 месяца, можно заметить ряд особенностей,
общих для всех применений метода скользящего среднего.
69
Рис.7.3.
Значение прогноза, полученное методом простого скользящего
среднего, всегда меньше фактического значения, если исходные данные
монотонно возрастают, и больше фактического значения, если исходные
данные монотонно убывают. Поэтому, если данные монотонно возрастают
или убывают, то с помощью простого скользящего среднего нельзя
получить точных прогнозов. Этот метод лучше всего подходит для данных
с небольшими случайными отклонениями от некоторого постоянного или
медленно меняющегося значения.
Основной недостаток метода простого скользящего среднего
возникает в результате того, что при вычислении прогнозируемого
значения самое последнее наблюдение имеет такой же вес (т. е.
значимость), как и предыдущие. Это происходит потому, что вес всех N
последних наблюдений, участвующих в вычислении скользящего
среднего, равен 1/N. Присвоение равного веса противоречит интуитивному
представлению о том, что во многих случаях последние данные могут
больше сказать о том, что произойдет в ближайшем будущем, чем
предыдущие.
Взвешенное скользящее среднее. Вклад различных моментов
времени можно учесть, вводя вес для каждого значения показателя в
скользящем интервале. В результате получается метод взвешенного
скользящего среднего, который математически можно записать так:
∑𝑁
𝑖=1(𝑤𝑘−𝑖 ∗ 𝑥𝑘−𝑖 )
(7.4).
𝑥̂𝑘 =
∑𝑁
𝑖=1 𝑤𝑘−𝑖
где wk i — вес, с которым используется показатель xk i при расчете.
Вес — это всегда положительное число. В случае, когда все веса
одинаковы, вырождается метод простого скользящего среднего.
70
Теперь маркетолог может использовать метод взвешенного
скользящего среднего за 3 месяца. Но прежде требуется понять, как
выбрать веса. Используя средство Поиск решения, можно определить
оптимальный вес узлов. Чтобы определить вес узлов с помощью средства
Поиск решения, при котором значение среднего абсолютных отклонений
было бы минимально, выполните следующие действия:
1. Выберите команду Сервис -> Поиск решения.
2. В диалоговом окне Поиска решения установите ячейку G16 целевой
(см. лист «Веса»), минимизируя её.
3. Изменяемыми ячейками укажите диапазон В1:В3.
4. Установите ограничения В4 = 1,0; В1:ВЗ ≥ 0; В1:В3 ≤ 1; B1 ≤ В2 и
В2 ≤ В3.
5. Запустите поиск решения (результат отображает).
Рис.7.4
Полученные
результаты
показывают,
что
оптимальное
распределение весов таково, что весь вес сосредоточен на самом
последнем наблюдении, при этом значение среднего абсолютных
отклонений равно 7,56 (см. также Рис.7.5). Этот результат подтверждает
предположение о том, что более поздние наблюдения должны иметь
больший вес.
7.1.2. Метод экспоненциального сглаживания
Прогнозы в методах скользящего среднего зависят от предыдущих
значений показателя временного ряда, но не от качества предыдущих
прогнозов. Рассмотрим один из методов прогнозирования, который
71
учитывает отклонение предыдущего прогноза от реального значения
показателя ряда.
Рис. 7.5
Очевидно, что в методе взвешенного скользящего среднего
существует множество способов задавать значения весов так, чтобы их
сумма была равной 1,и экспоненциальное сглаживание – один из таких
способов. В этой схеме метода взвешенного среднего для любого t > 1
прогнозируемое значение xˆt 1 в момент времени (t+1) представляет собой
взвешенную сумму фактического объема продаж x t , за период времени t и
прогнозируемого объема продаж x̂ t , за период времени t (см. формулу
(7.5)).
𝑥̂𝑡+1 =∝ 𝑥𝑡 + (1−∝)𝑥̂𝑡
(7.5).
Экспоненциальное
сглаживание
имеет
вычислительные
преимущества перед скользящим средним. Здесь, чтобы вычислить xˆt 1 ,
необходимо знать только значения x t и x̂ t , (а также значение α), вместо
значений показателя ряда во всех узлах, по которым происходит
сглаживание. Сохраняя значение α и последний прогноз, мы также неявно
сохраняем и все предыдущие прогнозы.
Рассмотрим некоторые свойства модели экспоненциального
сглаживания. Для начала заметим, что если t > 2, то в формуле (7.5) t
можно заменить на t–1, т.е.:
(7.6).
𝑥̂𝑡 =∝ 𝑥𝑡−1 + (1−∝)𝑥̂𝑡−1
72
𝑥̂𝑡+1
Подставив формулу (7.6) в первоначальную формулу (7.5), получим:
(7.7).
=∝ 𝑥𝑡 +∝ (1−∝)𝑥𝑡−1 + (1−∝)2 𝑥̂𝑡−1
Выполняя последовательно аналогичные подстановки, получим
следующее выражение для xˆt 1 :
𝑥̂𝑡−1 =∝ 𝑥𝑡 +∝ (1−∝)𝑥𝑡−1 +∝ (1−∝)2 𝑥𝑡−2 + ⋯ +
∝ (1−∝)𝑡−1 𝑥1 + (1−∝)𝑡 𝑥̂1
(7.8).
Поскольку из неравенства 0 < α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то
α>α(1-α)>α(1-α)2… Другими словами, наблюдение x t , имеет больший вес,
чем наблюдение xt 1 , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем
xt  2 . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального
сглаживания — коэффициенты при xk убывают при уменьшении номера k.
Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая
коэффициент при x1 ), равна 1.
Из приведенной формулы видно также, что значение xˆt 1 является
взвешенной суммой всех предыдущих наблюдений (включая последнее
наблюдение x t ). Последнее слагаемое этой суммы является не
статистическим
наблюдением, а «предположением» x̂1 (можно
предположить, например, что xˆ1  x1 ). Очевидно, что с ростом t влияние x̂1 ,
на прогноз уменьшается, и в определенный момент им можно будет
пренебречь. Даже если значение α достаточно малое (такое, что (1 – α)
приблизительно равно 1), значение (1  )t будет быстро убывать.
Значение параметра α сильно влияет на функционирование модели
прогнозирования, поскольку α представляет собой вес самого последнего
наблюдения x t . Это значит, что следует назначать большее значение α в
том случае, когда в модели наиболее прогностическим является именно
последнее наблюдение. Если же α близко к 0, это означает практически
полное доверие к прошлому прогнозу и игнорирование последнего
наблюдения.
Перед маректологом возникает проблема: как наилучшим образом
подобрать значение α? В этом поможет средство Поиск решения. Чтобы
найти оптимальное значение α (т.е. такое, при котором прогнозная кривая
будет менее всего отклоняться от кривой значений временного ряда),
выполните следующие действия.
73
1. Выберите команду Сервис -> Поиск решения.
2. В диалоговом окне Поиск решения установите целевую ячейку G16
(см. лист «Экспо»), минимизируя значение.
3. Укажите изменяемой ячейкой ячейку В1.
4. Установите ограничения В1 > 0 и B1 < 1
5. Запустите расчёт (см. результат, Рис. 7.6).
Рис.7.6
Опять, как и в методе взвешенного скользящего среднего,
наилучший прогноз будет получен, если назначить весь вес последнему
наблюдению (см. Рис.7.7). Следовательно, оптимальное значение α равно
1, при этом среднее абсолютных отклонений равно 6,82 (ячейка G16).
Метод экспоненциального сглаживания хорошо работает в
ситуациях, когда переменная имеет стационарный характер, а ее
отклонения от постоянного значения вызваны случайными факторами и не
носят регулярного характера. Но этим методом, как и методами
скользящего среднего не удастся спрогнозировать монотонно
возрастающие или монотонно убывающие данные. Прогнозируемы
значения будут всегда меньше или больше наблюдаемых, соответственно,
а точность данных будет сравнима с точностью «наивного прогноза». Эти
методы также не учитывают сезонных изменений показателя ряда.
74
Рис.7.7
Если статистические данные монотонно изменяются или
подвержены сезонным изменениям, необходимы специальные методы
прогнозирования, которые будут рассмотрены ниже.
7.2. Подбор кривой тренда
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
В качестве примера, воспользуемся данными, приведёнными ниже:
Объемы
продаж, тыс.
20
24
27
31
37
47
53
62
61
66
72
79
Вначале построим точечную диаграмму, отображающие реальные
объемы продаж. Чтобы построить по этим данным линию тренда,
отражающую тенденцию в изменении объемов продаж, надо выполнить
такие действия.
1. Выберите любую точку выбранного ряда данных. В результате будут
выделены все точки ряда.
2. Вызовите через контекстное меню функцию «Добавить линию
тренда».
3. В диалоговом окне Линия тренда по умолчанию будет выбран
линейный тип функции.
4. Нажмите «Ок».
75
После этого на графике появится прямая линия тренда (см. Рис.7.8).
Рис. 7.8
Для того чтобы осуществить прогноз, нужно в диалоговом окне
Линия тренда отметить интересующий интервал времени в пункте «вперед
на» (или «назад на»).
В меню Линия тренда можно также задать параметры подбираемой
кривой. Например, он может быть экспоненциальной или полиномом
заданной степени.
В рассматриваемом случае кривой тренда является прямая линия с
уравнением y = ax + b. Коэффициенты a и b для этой кривой можно также
найти с помощью надстройки Пакет Анализа, выбрав средство Регрессия.
7.3. Метод Хольта
Метод
Хольта
представляет
собой
развитие
метода
экспоненциального сглаживания, с учетом наличия тренда. Формулировка
метода имеет вид
(7.8),
𝑦̂𝑡+𝑘 = 𝐿𝑡 + 𝑘𝑇𝑡
где
(7.9),
𝐿𝑡 =∝ 𝑥𝑡 + (1−∝)(𝐿𝑡−1 + 𝑇𝑡−1 )
(7.10).
𝑇𝑡 = 𝛽(𝐿𝑡 − 𝐿𝑡−1 ) + (1 − 𝛽)𝑇𝑡−1
Метод Хольта позволяет прогнозировать на k периодов времени
вперед. Метод, как видно, использует два параметра α и β, значения
которых находятся в пределах от 0 до 1. Переменная L, указывает на
долгосрочный уровень значений или базовое значение данных временного
76
ряда. Переменная Т указывает на возможное возрастание или убывание
значений за один период, т.е. на присутствие тренда.
Рассмотрим работу этого метода на следующем примере. Светлана
работает аналитиком в большой брокерской фирме. На основе имеющихся
у нее квартальных отчетов компании RusWind Airlines она хочет
спрогнозировать доход этой компании в следующем квартале. Имеющиеся
данные и диаграмма, построенная на их основе показаны на Рис. 7.9.
Рис. 7.9
Видно, что данные имеют явный тренд (почти монотонно
возрастают). Светлана хочет применить метод Хольта, чтобы
спрогнозировать значение прибыли на одну акцию на тринадцатый
квартал. Для этого необходимо задать начальные значения для L и Т. Есть
несколько вариантов выбора:
1. L равно значению прибыли на одну акцию за первый квартал и T = 0;
2. L равно среднему значению прибыли на одну акцию за 12 кварталов
и T равно среднему изменению за все 12 кварталов.
Существуют и другие варианты начальных значений для L и Т, но
Светлана выбрала первый вариант.
Она решила воспользоваться средством Поиск решения, чтобы найти
оптимальное значение параметров α и β, при которых значение среднего
абсолютных ошибок в процентах было бы минимально. Для этого нужно
выполнить следующие действия.
1. Выбрать команду Сервис -> Поиск решения.
2. В диалоговом окне Поиск решения задать ячейку F18 целевой,
минимизируя её.
77
3. Выбрать диапазон ячеек В1:В2 изменяемыми.
4. Добавить ограничения В1:В2 > 0 и В1:В2 < 1.
5. Выполнить поиск.
Полученный прогноз показан отображают Рис.7.10, Рис.7.11,
Рис.7.12. Как видно, оптимальными оказались значения α = 0,59 и β = 0,42,
при этом среднее абсолютных ошибок в процентах равно около 38%.
Рис.7.10
Рис. 7.11
78
Рис.7.12
Однако метод Хольта, как и рассмотренные ранее простейшие
методы прогнозирования, не учитывает наличие во временном ряде
сезонных изменений.
7.4. Учет сезонных изменений
Спрос на значительное число товаров меняется в течение года.
Например, если посмотреть на объемы продаж мороженого по месяцам, то
можно увидеть в теплые месяцы (с июня по август в северном полушарии)
более высокий уровень продаж, чем зимой, и так каждый год. Здесь
сезонные колебания имеют период в 12 месяцев. Другой пример:
анализируются еженедельные отчеты о количестве постояльцев, которые
оставались на ночь в отеле, расположенном в бизнес-центре города.
Предположительно можно сказать, что большое число клиентов ожидается
в ночи на вторник, среду и четверг, меньше всего клиентов будет в ночи на
субботу и воскресенье, и среднее число постояльцев ожидается в ночи на
пятницу и понедельник. Такая структура данных, отображающая
количество клиентов в разные дни недели, будет повторяться через каждые
семь дней.
Подобные циклические изменения показателя временного ряда носят
название сезонных колебаний (хотя сезон, как мы видели, может
продлиться и неделю и год). Процедура, которая позволяет сделать
прогноз с учетом сезонных изменений, состоит из следующих этапов.
1. На основе исходных данных определяется структура сезонных
колебаний и период этих колебаний.
79
2. Используя численный метод, описанный далее, из исходных данных
исключают сезонную составляющую.
3. На основе данных, из которых исключена сезонная составляющая,
делается наилучший возможный прогноз.
4. К полученному прогнозу добавляется сезонная составляющая.
Проиллюстрируем этот подход на данных об объемах сбыта угля
(измеряемого в тысячах тонн) в США на протяжении девяти лет. Пусть
некто Фрэнк работает менеджером в компании Gillette Coal Mine, и ему
необходимо спрогнозировать спрос на уголь на ближайшие два квартала.
Он ввел данные по всей угольной отрасли и построил по этим данным
график (см. Рис.7.13):
Период годквартал
(1)
1-1
1-2
1-3
1-4
2-1
2-2
2-3
2-4
3-1
3-2
3-3
3-4
Исходные
данные
(1)
2 159
1 203
1 094
1 996
2 081
1 332
1 476
2 533
2 249
1 533
1 935
2 523
Период годквартал
(2)
4-1
4-2
4-3
4-4
5-1
5-2
5-3
5-4
6-1
6-2
6-3
6-4
Исходные
данные
(2)
2 208
1 597
1 917
2 726
2 612
1 931
2 223
2 363
2 074
1 589
1 673
2 443
Рис.7.13
Период годквартал
(3)
7-1
7-2
7-3
7-4
8-1
8-2
8-3
8-4
9-1
9-2
9-3
9-4
Исходные
данные
(4)
2 231
1 675
1 503
2 259
1 809
1 254
1 613
2 238
2 004
1 406
1 725
1 994
80
Определение структуры и периода сезонных колебаний. Из
графика, приведённого выше видно, что объемы продаж выше среднего
уровня в первом и четвертом кварталах (зимнее время года) и ниже
среднего во втором и третьем кварталах (весенне-летние месяцы).
Исключение сезонной составляющей. Прежде всего необходимо
вычислить среднее значение всех отклонений за один период сезонных
изменений. Чтобы исключить сезонную составляющую в пределах одного
года, используются данные за четыре периода (квартала). А чтобы
исключить сезонную составляющую из всего временного ряда,
вычисляется последовательность скользящих средних по T узлам, где T —
продолжительность сезонных колебаний. Для выполнения необходимых
вычислений Фрэнк использовал столбцы С и D, как показано на рисунке
ниже. Столбец С содержит значения скользящего среднего по 4 узлам на
основе данных, которые находятся в столбце В.
Далее требуется назначить полученные значения скользящего
среднего средним точкам последовательности данных, на основе которых
эти значения были вычислены. Эта операция называется центрированием
значений. Если T нечетное, то первое значение скользящего среднего
(среднее значений от первой до T-й точки) надо присвоить (T + 1)/2 точке
(например, если T = 7, то первое скользящее среднее будет назначено
четвертой точке). Аналогично среднее значений от второй до (T + 1)-й
точки центрируется в (T + 3)/2 точке и т. д. Центр n-го интервала
находится в точке (T+(2n-1))/2.
Если T четное, как в рассматриваемом случае, то задача несколько
усложняется, поскольку центральные (средние) точки расположены между
точками, по которым вычислялось значение скользящего среднего.
Поэтому центрированное значение для третьей точки вычисляется как
среднее первого и второго значений скользящего среднего. Например,
первое число в столбце D отцентрированных средних (см. Рис.7.14), слева
равняется (1613 + 1594) / 2 = 1603.
Графики исходных данных и отцентрированных средних показаны
ниже (см. Рис.7.15).
Далее найдём отношения значений точек данных к соответствующим
значениям отцентрированных средних (см. Рис.7.16). Поскольку точкам в
начале и конце последовательности данных нет соответствующих
отцентрированных средних (см. первые и последние значения в столбце
D), такое действие на эти точки не распространяется. Эти отношения
показывают степень отклонения значений данных относительно типового
81
уровня, определяемого отцентрированными средними. Заметим, что
значения отношений для третьих кварталов меньше 1, а для четвертых —
больше 1.
Рис. 7.14
Рис. 7.15
82
Эти отношения являются основой для создания сезонных индексов.
Для их вычисления группируются вычисленные отношения по кварталам,
как показано в столбцах C—K (см. Рис.7.17).
Рис.7.16
Затем требуется найти средние значения отношений по каждому
кварталу (см. столбец A, Рис.7.17). Например, среднее всех отношений для
первого квартала равно 1,108. Это значение является сезонным индексом
первого квартала, на основе которого можно сделать вывод, что объем
сбыта угля за первый квартал составляет в среднем около 110,8%
относительного среднего годового объема сбыта.
Рис.7.17.
83
Сезонный индекс — это среднее отношение данных, относящихся к
одному сезону (в данном случае сезоном является квартал), ко всем
данным. Если сезонный индекс больше 1, значит, показатели этого сезона
выше средних показателей за год, аналогично, если сезонный индекс ниже
1, то показатели сезона ниже средних показателей за год.
Наконец, чтобы исключить из исходных данных сезонную
составляющую, следует поделить значения исходных данных на
соответствующий сезонный индекс. Результаты этой операции приведены
в столбцах F и G (см. Рис.7.18). График данных, которые уже не содержат
сезонной составляющей, отражает Рис.7.19.
Рис. 7.18
Прогнозирование без сезонной составляющей. На основе данных,
из которых исключена сезонная составляющая, строится прогноз. Для
84
этого используется соответствующий метод, который учитывает характер
поведения данных (например, данные имеют тренд или относительно
постоянны). В этом примере прогноз строится с помощью простого
экспоненциального сглаживания. Оптимальное значение параметра α
находится с помощью средства Поиск решения. Графики прогноза и
реальных данных с исключенной сезонной составляющей приведены ниже
(см. Рис.7.20).
Рис. 7.19
Рис.7.20
Учет сезонной структуры. После нахождения прогноза без
сезонной составляющей требуется учесть в полученном прогнозе (1726,5)
сезонную составляющую. Для этого следует умножить 1726 на сезонный
индекс первого квартала 1,108, в результате чего получим значение 1912.
Аналогичная операция (умножение 1726 на сезонный индекс 0,784) даст
85
прогноз на второй квартал, равный 1353. Результат добавления сезонной
структуры к полученному прогнозу показан ниже (см. Рис.7.21).
Рис. 7.21
86
РАЗДЕЛ № 4
Системная динамика
8. Системный подход и основы системной динамики
8.1. Системный подход к принятию решений
Начиная со второй половины XIX века, инженерам и ученым все
чаще приходится иметь дело с объектами, обладающими новыми
свойствами. Такими свойствами явились, в частности, нелинейность и
саморегуляция.
Известно, что одним из основных приемов познания является анализ,
т. е. разделение изучаемого объекта на части. Это позволяет учёным
исследовать полученные части по отдельности. Нелинейность
характеристик объекта означает, в первую очередь, невозможность
подобного разделения. Действительно, для линейных систем справедлив
принцип суперпозиции, т. е. если
𝑅 = 𝛼𝑆,
где 𝑆 — стимул, 𝑅 — реакция, а 𝛼 — коэффициент пропорциональности, и
𝑅1 = 𝛼𝑆1 , 𝑅2 = 𝛼𝑆2 ,
то для суммарного стимула 𝑆3 = 𝑆1 + 𝑆2 будет справедливо
𝑅3 = 𝛼(𝑆1 + 𝑆2 ) = 𝛼𝑆1 + 𝛼𝑆2 = 𝑅1 + 𝑅2 , 𝑅2 = 𝛼𝑆2 ,
т. е. суммарная реакция 𝑅3 будет равна сумме реакций на отдельные
стимулы.
Если же реакция на стимул нелинейна, например,
𝑅 = 𝛼𝑆 2 ,
то принцип суперпозиции перестает выполняться и
𝑅3 = 𝛼(𝑆1 + 𝑆2 )2 ≠ 𝛼𝑆1 + 𝛼𝑆2 = 𝑅1 + 𝑅2 , 𝑅2 = 𝛼𝑆2 ,
Таким образом, мы уже не можем заменить изучение реакции
системы на сложный стимул 𝑆3 изучением ее реакций на более простые
стимулы 𝑆1 и 𝑆2 .
Саморегуляция означает способность объекта сохранять постоянство
своего состояния посредством скоординированных реакций на изменение
этого состояния. Это означает, например, способность объекта сохранять
заданное направление или закон движения, а также способность
поддерживать постоянство своей внутренней среды или даже способность
воспроизводить себя. Первые два примера характерны, в первую очередь,
для техники (разнообразные системы стабилизации). Вторые — для
биологии (гомеостаз — способность организма поддерживать постоянство
87
своей внутренней среды). Для нас важно то, что саморегулирующийся
объект перестает быть пассивным, и его реакция на внешнее воздействие
не может быть описана только законами физики.
Кроме того, появились новые задачи, связанные с этими новыми
объектами и свойствами. В частности, задачи стабилизации и управления
движением (а позже и — задачи самовоспроизведения и самоорганизации
автоматов).
Оказалось, что закономерности поведения этих новых объектов
исследований имеют много общего, хотя сами объекты относятся к разным
областям науки. Дело в том, что такие объекты, как правило, состоят из
множества частей, сложным образом взаимосвязанных между собой и их
поведение зависит, главным образом, от этой взаимосвязи, а не
конкретного вида самих частей. Поэтому возможно, опираясь на одни и те
же принципы, понять поведение самых разных систем.
Все это вызвало к жизни многочисленные междисциплинарные
научные подходы, в названии которых, как правило, фигурировало слово
«система»: теория систем, системный анализ, наконец, системный подход.
Дадим определение понятию «система».
Система есть сущность, которая в результате взаимодействия ее
частей может поддерживать свое существование и функционировать
как единое целое.
Системное мышление означает, что внимание исследователя
сосредоточено на свойствах системы как целого.
То, что системы функционируют как целое, означает, что у них есть
свойства, отличающиеся от свойств составляющих их частей. Эти свойства
систем известны как эмерджентные, или возникающие — они
«возникают», когда система работает.
Благодаря тому, что мы имеем пару глаз, мы не просто расширяем
поле зрения, но и воспринимаем мир объемно. Благодаря паре ушей наш
слух не становится вдвое лучше, но мы слышим стереозвучание. Никакое
знание о водороде и кислороде по отдельности не сможет подготовить вас
к тому, что вода мокрая, и уж тем более — к появлению водоворотов.
Система обеспечивает свою целостность благодаря взаимодействию
частей. Эти взаимосвязи между частями, а значит, и сама система могут
быть простыми или сложными.
Сложность может проявляться двумя различными путями. Называя
что-либо сложным, мы, как правило, представляем себе очень много
различных частей. Это сложность, вызванная детализацией, количеством
рассматриваемых элементов.
Сложность другого типа — динамическая. Она возникает в тех
случаях, когда элементы могут вступать между собой в самые
разнообразные отношения. Поскольку каждый из них способен пребывать
во множестве различных состояний, то даже при небольшом числе
элементов они могут быть соединены бессчетным множеством способов.
88
Нельзя судить о сложности, руководствуясь количеством элементов, а не
возможными способами их соединения.
Новые связи между образующими систему частями увеличивают
сложность, а появление еще одного элемента может привести к созданию
множества дополнительных связей. При этом их количество увеличивается
не на единицу. Число возможных связей может вырасти экспоненциально
— иными словами, добавление каждого последующего элемента
увеличивает количество связей в большей степени, чем добавление
предыдущего. Например, представьте, что мы начинаем всего с двух
элементов, А и В. Здесь возможны только две связи и два направления
влияния: А на В и В на А. Добавим еще один элемент. Теперь в системе
три элемента: А, В и С. Число возможных связей, однако, выросло до 6 и
даже до 12, если мы сочтем возможным, что два элемента вступают в союз
и совместно влияют на третий (скажем, А и В влияют на С). Таким
образом, для создания динамически сложной системы нужно не так уж
много элементов, даже если каждый может пребывать только в одном
состоянии.
Петли обратной связи. Привычное мышление склонно везде
усматривать действие простых, локализованных в пространстве и во
времени причинно-следственных связей. Однако когда речь идет о
системах, вопросы, вроде: «кто в этом виноват?» зачастую не имеют
прямого ответа. Поскольку все части системы связаны прямо или
косвенно, то изменение в одной части порождает волны изменений,
которые доходят до всех остальных частей. Значит, они тоже изменятся, а
волны от этого процесса, в конце концов, достигнут той части, в которой
началось изменение, т. е. возникнет обратная связь. В технике обратная
связь означает, что на вход системы подаётся сигнал, пропорциональный
её выходному сигналу.
На Рис. 8.1 показан общий вид замкнутой системы управления.
Входом системы является эталонный сигнал; обычно мы хотим, чтобы
выход системы был равен этому входному сигналу. Например, если речь
идет о системе управления температурой в помещении, то таким входом
может быть заданное пользователем значение температуры. Выход
системы измеряется датчиком, и измеренное значение температуры
сравнивается со входом (вычитается из него). Если выход равен входу, то
разность между ними (ошибка) равна нулю, на объект не поступает
никакой сигнал и выход объекта сохраняет текущее значение. Если ошибка
не равна нулю, то корректирующее устройство заставляет объект
реагировать таким образом, чтобы уменьшить величину ошибки.
89
Рис. 8.1
Итак, обратная связь предполагает, что часть выхода из системы
снова подается на ее вход или система использует информацию о выходе
на предшествующем шаге, чтобы внести изменения в то, что она делает на
следующем. Самой важной концепцией в установлении структуры
системы является идея, что все изменения обусловливаются «петлями
обратных связей».
Наш опыт складывается в результате действий подобных петель
обратной связи, хотя нам привычнее представлять себе одностороннее
влияние. Проделайте следующий эксперимент. Попробуйте кончиком
указательного пальца накрыть точку в конце этого предложения. Вы
только что продемонстрировали действие петли обратной связи.
Сомневаетесь? Попробуйте еще раз, только на этот раз с закрытыми
глазами. Ну, как результат? Чтобы накрыть цель, глаза должны постоянно
снабжать вас информацией о положении кончика указательного пальца
относительно точки в конце предложения. Пока палец движется к цели, вы
непрерывно корректируете его движение. Проделав то же самое с
закрытыми глазами, вы доказываете, что палец нельзя уподобить стреле,
сорвавшейся с тетивы лука и дальше летящей свободно по направлению к
выбранной цели. На самом деле ваши глаза постоянно измеряют
отклонение пальца от цели, а мышцы действуют так, чтобы уменьшить его.
Наличие обратных связей — неотъемлемая характеристика систем:
нет обратных связей, нет и систем. Существует два основных типа
обратной связи:
 Уравновешивающая (отрицательная) обратная связь — когда
изменение состояния системы служит сигналом к началу движения в
противоположном направлении, чтобы восстановить утраченное
равновесие (любая система стабилизации, например, регулятор
сливного бачка; система «хищник-жертва»).
 Усиливающая (положительная) обратная связь — когда изменение
состояния системы служит сигналом к усилению первоначального
изменения. Иными словами, система удаляется от первоначального
состояния со всевозрастающей скоростью. Представьте себе
снежный ком, скатывающийся по склону холма. С каждым оборотом
на него налипает все больше снега, и он становится все больше, пока
90
не превратится в снежную лавину. Другой пример: рост капитала в
соответствии с формулой сложного процента.
8.2. Моделирование систем. Системная динамика
8.2.3. Происхождение системной динамики
Большинство систем, которые в настоящее время привлекают
внимание ученых, достаточно сложны. Как поведет себя глобальная
экономика под влиянием кризиса, в каком направлении нужно развивать
реформу здравоохранения, как может измениться экологическая
обстановка в регионе при строительстве того или иного предприятия —
все эти вопросы представляют собой проблемы, состоящие из большого
числа взаимодействующих друг с другом элементов, т. е. системные
вопросы. Такие вопросы характеризуются нелинейностью, задержками во
времени, обратными связями и многими другими сложными для
понимания явлениями.
В результате модели подобных систем также становятся очень
сложными, и их создание требует значительной математической
подготовки. Для специалистов из многих отраслей это является серьезной
проблемой. Получается, что математические модели способны создавать
лишь немногие избранные, в то время как остальным отводится роль
пользователей или, в лучшем случае, консультантов.
С этой проблемой столкнулся Джей Форрестер во время
преподавания в Слоановской бизнес-школе при МТИ. Результатом его
работ конца 1950-х гг. стала системная динамика — новый «язык»,
описывающий поведение сложных систем, в зависимости от их структуры
и взаимодействий (обратных связей, задержек реакции, влияния среды и
др.). Системная динамика позволяла разрабатывать не только
«формульное», но и визуальное представление системы, схему ее
устройства.
Особое
внимание
при
этом
уделялось
компьютерному
моделированию подобных систем. В настоящее время для этого
используются пакеты AnyLogic, PowerSim, Vensim, STELLA и iThink.
Последний используется нами далее для иллюстрации концепций
системной динамики. Рассмотрим подробнее нотацию системной
динамики.
8.2.4. Основы системного моделирования в iThink
Одними из основных понятий в нотации моделирования являются
понятия резервуара (stock) и потока (flow). Далее будет показано, как
используя эти понятия создавать модели систем и исследовать их
поведение с помощью iThink.
91
Резервуары отражают существующие в системе накопления
(количество товаров на складе, денег в банке). Представьте себе бассейн.
Как и бассейн, резервуар может быть полон, частично заполнен или
вообще пуст. В системной динамике (и в пакете iThink) резервуары
представляются прямоугольниками. Резервуары могут накапливать все что
угодно — воду, деньги, людей, мотивацию, раздражение — как
материальные, так и нематериальные объекты.
Потоки позволяют добавлять или отнимать что-либо из резервуаров.
Это как труба, через которую вода вливается в бассейн или вытекает
наружу. Кроме того, мы можем регулировать интенсивность потоков,
также как регулируем количество воды при помощи крана.
В примере ниже (Рис. 8.2) резервуар Population (Население)
представляет собой количество населения и пополняется за счет потока
births (рождение) — т.е. за счет рождения людей.
Рис. 8.2
«Облака», из которых начинаются и которыми заканчиваются
потоки, представляют собой бесконечные источники (стоки) — источники,
находящиеся за пределами системы.
Чтобы задать изменение потока birth можно, например, ввести
значение интенсивности этого потока (birth rate) и связать его с birth
специальным элементом — соединителем (англ. — connector, красные
стрелки на рисунках ниже). Если люди рожаются с постоянной
интенсивностью, то население в Population будет расти линейно (Рис. 8.3 и
Рис. 8.4).
Рис. 8.3
92
Рис. 8.4
Аналогично, поток deaths (смертность) моделирует убыль населения.
Если смертность постоянна, то население убывает с постоянной скоростью
(Рис 8.5.).
Рис. 8.5
Связи указывают на взаимодействие между частями системы. В
модели ниже (Рис. 8.6 и Рис. 8.7) рождаемость (поток births) зависит от
коэффициента рождаемости birth rate и от количества населения
(Population).
Рис. 8.6
Кружок, представляющий коэффициент рождаемости birth rate
называется конвертером (converter). Конвертеры могут содержать
константы или выражения и используются для модификации остальных
частей модели.
93
Рис. 8.7
Поток births flow определяется как Population*birth rate. Задавая
конкретное значение — сделать это можно двойным щелчком мыши на
соответствующем элементе — коэффициента рождаемости в birth rate,
получаем график изменения численности населения.
Здесь мы видим пример положительной обратной связи: количество
населения увеличивается и это, в свою очередь, увеличивает прирост
населения.
Составим математическую модель нашей системы. Обозначим
количество населения через 𝑥 (для краткости, хотя можно было бы
продолжать использовать Population). Тогда прирост населения, т.е. поток
births представляет собой производную от 𝑥 по времени и равен
𝑑𝑥
= 𝛼𝑥,
𝑑𝑡
где 𝛼 — коэффициент рождаемости (birth rate).
Решение этого уравнения запишется в виде
𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝛼𝑡 ,
где 𝑥0 — начальная численность населения.
Заметим, что население в нашей модели растет экспоненциально с
течением времени. iThink позволяет построить эти уравнения
автоматически, по созданной нами схеме модели. Сгенерированные
уравнения находятся на вкладке Equation (Рис. 8.8).
Рис. 8.8
Эта закономерность была впервые обнаружена англичанином
Томасом Робертом Мальтусом на рубеже XVIII-XIX веков и стала
обоснованием идеи о том, что «пряников сладких всегда не хватает на
всех». По мнению Мальтуса бедность была вызвана исключительно
94
перенаселённостью, а справиться с перенаселенностью «помогают» войны,
голод, болезни.
Эта точка зрения («мальтузианство») вызвала масштабную критику.
В частности, К. Маркс справедливо указывал, что есть, как минимум, еще
один путь решения проблемы — изменение общественного устройства.
Еще один вариант решения отмеченной Мальтусом проблемы появился в
1830-х гг. в работах бельгийца Пьера Франсуа Ферхюльста.
Вернемся к модели на Рис. 8.6. В ней нет каких-либо средств,
ограничивающих рост населения. Добавим в нее фрагмент, отражающий
смертность населения (deaths). Смертность зависит от коэффициента
смертности (death rate) и от численности населения (Population).
Таким образом, в системе появляется отрицательная обратная связь
(больше население → больше смертей → быстрее убыль населения),
отвечающая за стабилизацию поведения системы (Рис. 8.9).
Рис. 8.9
Заметим, что коэффициент смертности death rate, в свою очередь,
зависит от численности населения: если плотность населения становится
слишком велика, смертность увеличивается.
Математически эта модель записывается так
𝑑𝑥
𝑥
= 𝛼𝑥(1 − ),
𝑑𝑡
𝐾
где 𝐾 — ёмкость среды, т. е., максимально возможная численность
населения.
Перепишем уравнение следующим образом
𝑑𝑥
𝛼𝑥
= 𝛼𝑥 −
= 𝛼𝑥 − 𝛾(𝑥)𝑥,
𝑑𝑡
𝐾
где 𝛾 — коэффициент смертности.
Для моделирования влияния численности населения на коэффициент
смертности 𝛾 в модели Ферхюльста, как видно, используется простейшая
линейная зависимость
𝛼
𝛾(𝑥) = 𝑥.
𝐾
95
Уравнение Ферхюльста также имеет аналитическое решение
𝐾𝑥0 𝑒 𝛼𝑡
𝑥=
,
𝐾 + 𝑥0 (𝑒 𝛼𝑡 − 1)
которому соответствует логистическая зависимость (рис. 8.10).
Рис. 8.10
iThink в этом случае «конструирует» такую систему уравнений:
96
ЛИТЕРАТУРА
1. Системный анализ и принятие решений. Словарь-справочник; под ред.
В. Н. Волковой, В. Н. Козлова .— М.: Высшая школа, 2004 .— 614 с.:
ил.
2. Алексинская Т. В. Учебное пособие по решению задач по курсу
экономико-математические методы и модели. — Таганрог: Изд-во
ТРТУ, 2002. — 153 с.
3. Вентцель Е.С. Популярные лекции по математике. Элементы теории
игр (Выпуск 32). — М.: Физматгиз, 1961. — 72 с.
4. Грешилов А. А. Математические методы принятия решений — М.:
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006 .— 583, [1] с.: ил.
5. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов. — М.: Высшая
школа, 1983. — 383 с.
6. Емельянов А.А. Имитационное моделирование в экономических
информационных системах./ А.А. Емельянов, Е.А. Власова - М.: Изд-во
МЭСИ, 1998.-108 с.
7. Коломоец, Ф. Г. Основы системного анализа и теории принятия
решений — M.: Тесей, 2006 .— 318, [2] с.: ил.
8. Кузнецов Ю. А., Перова В. И Применение пакетов имитационного
моделирования для анализа математических моделей экономических
систем. — Нижний Новгород: ННГУ, 2007. — 98 с.
9. Минько А.А. Принятие решений с помощью Excel. — М.: Эксмо, 2007.
— 240 с. , [1] с.: ил.
10.Мур Дж., Уэдерфорд Л. и др. Экономическое моделирование в MS
Excel. — М.: Вильямс, 2004. — 1024 с.
11.Петровский А. Б. Теория принятия решений — М.: Издательский центр
«Академия», 2009 .— 398, [1] с.: ил.
12.Сидоренко В.Н. Системная динамика. - М.: ТЕИС, 1998. – 205 с.
13.Таха Х. Введение в исследование операций. — М.: Вильямс, 2005. —
912 с.
14.Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в
управлении. — М.: Дело, 2000. — 431 с.
15.Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. — М.: Аудит,
ЮНИТИ, 1997. — 590 с.