4. Динамические модели типа "хищник - жертва"

4. Динамические модели типа
"хищник - жертва"
4.1. Постановка задачи и уравнения.
4.2. Исследование системы.
4.3 Результаты численного моделирования
системы "хищник-жертва".
4.4. Более сложные экологические модели.
4.5. Модель периодических оледенений.
4.6. Значение подобных задач для геологии.
4.1. Постановка задачи и уравнения.
dF
dR
= −cF
кролики
лисы
= aR
dt
dt
a – коэффициент размножения кроликов
c - смертность лис
Взаимодействие кроликов и лис:
dR
= aR − bRF
dt
dF
= −cF + eFR
dt
b - коэффициент гибели кроликов
за счёт прожорливости лис.
e - скорость роста популяции лис
за счёт поедания кроликов.
 dR
 dt = (a − bF ) R

 dF = ( −c + eR ) F
 dt
Если запасы корма ограничены:
 dR
2
R
FR
gR
a
b
=
−
−
 dt

 dF = −cF + eRF − hF 2
 dt
g - коэффициент, описывающий ограниченность пищи (травы) для кроликов,
h – коэффициент, описывающий ограниченность добычи пищи хищниками.
4.2 Стационарное состояние:
dR
dF
=0и
=0
dt
dt
тогда:
(a –b F)R = 0
(-c + eR)F = 0
Req = c/e ; Feq = a/b
4.3 Моделирование системы "хищник-жертва".
Временная диаграмма системы «хищник-жертва».
Демонстрация динамики
Фазовая диаграмма
системы «хищник-жертва».
Фазовая диаграмма системы «хищник-жертва»
с ограниченными ресурсами (g=1).
Колебания в пушном промысле по данным компании Гудзонова залива
(Сетон-Томсон, 1987)
4.4 Более сложные экологические модели.


∂N i

= N i  ai − ∑ d ij N j 
∂t
j


Ni – количество особей в i-ой
популяции, ai – коэффициенты,
описывающие интенсивность
рождения/смертности в i-ой
популяции, dij – коэффициенты,
описывающие интенсивность
взаимодействия популяций.
Хаотическая динамика в системе
рыси-зайцы-трава
(Gamarra, Sole, Alonso, 2001)
4.5. Модель периодических оледенений
Изменение климатических
характеристик в прошлом по
палеоклиматическим данным
1 – освещенность;
2 – объем льда;
3 – температура Южного океана;
4 – отличие температуры в Антарктиде
от современной;
5 - концентрация CO2 в атмосфере
Антарктиды
Модель Сергиных
Изменение объема континентального льда в северном полушарии .
(а) при различных значениях коэффициента переноса энергии через экватор;
(б) с учетом внешних возмущений (освещенность и т.п.)
Модель системы "ледник - теплое течение"
a - коэффициент, характеризующий скорость прироста мощности
ледника; c - коэффициент, характеризующий скорость
восстановления прогиба литосферы; b - коэффициент,
характеризующий влияние теплого течения на ледник; e коэффициент, характеризующий изменения в характере течения
за счет роста ледника.
Результат: колебания, аналогичные системе кролики-лисы
 dG
 dt = aG − bGS

 dS = −cS + eSG
 dt
4.6. Значение подобных задач для геологии
¾Изменения в данных моделях никак не связаны
с глобальным изменениями внешних
параметров.
¾Периодическая (или почти периодическая)
динамика здесь является следствием
взаимодействия между элементами системы.
¾Проблемы для палеонтологии: выявленные
периодические изменения численности тех или
иных видов – это следствие внешнего
периодического воздействия на систему, или
проявление динамических свойств самой
системы?
Дополнительная литература к главе 4
• Cushing J.M., Henson S.M., Desharnais R.A., Dennis B., Costantino R.F.,
King A. A chaotic attractor in ecology: theory and experimental data. //
Chaos, Solitons and Fractals. 2001, v.12, pp. 219-234.
• Gamarra J.G.P., Sole R.V., Alonso D. Control, synchrony and the
persistence of chaotic populations. Chaos, Solitons and Fractals, 2001, 12,
pp.235-249.
• Paillard D. Glacial cycles: toward a new paradigm. // Review Geophysics,
2001, 39, 3, pp.325-346.
• Tarasov L., Peltier W. R., Greenland glacial history, borehole constraints,
and Eemian extent. J. Geophys. Res., 2003, 108,B3, 2143,
doi:10.1029/2001JB001731.
• Upadhyay R.K., Rai V. Crisis-limited chaotic dynamics in ecological
systems. // Chaos, Solitons and Fractals. 2001, v.12, pp.205-218.