На правах рукописи ВОЛКОВА Наталья Владимировна Прогностическое моделирование и анализ двумерного перехода

На правах рукописи
ВОЛКОВА Наталья Владимировна
Прогностическое моделирование и анализ двумерного перехода
от упорядоченности к хаосу на основе итерационного
уравнения Ферхюльста - Пирла
Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление
и обработка информации
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико - математических наук
Воронеж - 2005
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель - доктор физико - математических наук, профессор
Родин Владимир Александрович
Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,
профессор ЛОЗГАЧЕВ Геннадий Иванович
доктор физико — математических наук,
доцент АГРАНОВИЧ Юрий Яковлевич
Ведущая организация - Ярославский государственный университет
Защита состоится «3*-^» иЮ/^ J'', 2005 г. B / J —" на заседании
диссертационного совета Д. 212.038.10 при Воронежском государственном
университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь. 1,
ВГУ, физический факультет, конференц - зал
С диссертацией можно ознакомиться
государственного
Университета
Автореферат разослан сс^
Ученый секретарь
диссертационного совета
>7 J(J(Q $
//'^/
в библиотеке
Воронежского
2005г.
^ «гГ^У^'
МАРШАКОВ В.К.
гщ-н
56М
01/^о4^л
'
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Огромное количество работ относится к
моделированию и изучению исторически первых по рассмотрению отношений
"хищник-жертва". Отношение "хищник-хищник" изучено, по мнению автора,
значительно хуже. Цикл замечательных работ Шапиро А.П., которые по
видимому впервые образовали целое направление изучения конкурирующих
популяций послужил отправной точкой для исследований, проведенных в
диссертационной работе. Недавно, в Ростовском университете была выполнена
интересная работа по изучению конкурирующих групп людей. Построена
модель для определения численности групп субъектов. Каждый субъект в
группе характеризовался двумя параметрами: силой (физической,
интеллектуальной и т.д.) и рейтингом (звание, должность и т.д.).
Взаимодействие заключалось в переходе участников из одной группы в другую,
в соответствии с функцией доход/рейтинг. Были выявлены: как явления
устойчивого существования групп, так и условия неустойчивости и раскола,
явления циклического обмена участников между группами. Именно эти работы,
в которых определены и вьщелены случаи возможного устойчивого ненулевого
существования двух конкурирующих популяций, послужили идеей
рассмотрения дискретной модели совместного существования двух хищных
популяций, которые не просто конкурируют, а осуществляют восстановление
за
счет
частичного
уничтожения
или
полного
использования
антагонистической популяции. Популяции рассматриваются как динамические
системы (образующие во времени "траектории", последовательности или
"орбиты"), связанные рекуррентными соотношениями,
регулирующими
численность. Полученный в работе сценарий имеет два управляющих
параметра (управляющие константы).
Анализ сценария перехода к хаосу, проведенный в средине 70-х годов
Митчеллом Фейгенбаумом, ознаменовал прорыв в понимании проблемы
перехода к хаосу. В модели двух систем, которые изучаются в диссертации
указанный сценарий (дерево Фейгенбаума) получается как частный случай из
более общей модели, при равенстве управляющих параметров а = Д.
Бесспорно, интересным и перспективным направлением является
изучение взаимодействия групп органов правопорядка и криминальных групп,
групп экономического роста и теневой экономики, перераспределение
финансовых потоков и Т.д. Построение и изучение таких моделей сверх
актуарная задача нашего времени.
Цели и задачи исследования. Основной целью работы являлось изучение
свойств модели отношения "хищник-хищник", построенной на основе
следующей системы итерационных уравнений, описывающей изменение
численности двух взаимодействующих популяций
>'„+1=ад:„(1-лг„)
^п-.Х^'РУгМ^-УпУд'
^^^
М>С. МАЦИОНАЛЬИАК
iBaxwiBlut
вимкотекА
оэ
..
Здесь х„ - численность одного вида, я у„ - другого в п -ом году.
В соответствии с поставленной целью задачами исследования являются:
1. Разработка аналитического метода исследования задачи управления
возможными состояниями системы, характеризующейся разным числом
решений, в зависимости от размеров управляющих параметров.
2. Построение численной модели для качественного исследования
траекторий решений системы итерационных уравнений Ферхюльста Пирла на основе компьютерной программы, улавливающей такие явления
как: устойчивость решений, число решений, появление циклов и
хаотическое поведение.
3. Получение аналитического описания и графического изображения зон
появления циклов в итерационной системе, зон непредсказуемости и
зоны хаоса, а так же поведения траекторий решений в случае
произвольного изменения управляющих параметров.
4. Проведение приближенного ренормгруппового анализа системы «в
целом».
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертации задач
использовались методы теории динамических систем, математического
моделирования, теории систем и управления, геометрические методы
исследования алгебраических уравнений, методы теории функций
действительной переменной, методы вычислительной математики и
программирования.
Основные результаты работы. На защиту выносятся следующие
результаты, отличающиеся научной новизной:
1. Алгебраический метод, основанный на
применении
новой
конфигурации диаграмм Ламерея в виде двух парабол, и ряд
теоретических утверждений позволивших точно описать зоны,
характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров
управляющих параметров, как для случая а = /?, так и для ранее
неизвестного случая а* fi.
2. Аналитический метод, основанный на ренормгрупповом анализе системы
итерационных уравнений и позволяющий описать эволюцию поведения
траекторий решений в случае произвольного изменения управляющих
параметров ("фрактальная капуста").
3. Алгоритм численного моделирования, приближенно улавливающий зоны
с такими явлениями как: устойчивость решений,
существование
различных циклов и хаотическое поведение решений системы двух
уравнений Ферхюльста - Пирла с разными управляющими параметрами
4. Комплекс алгоритмов и программ, позволяющих визуализировать зоны
появления циклов в итерационной системе, зоны непредсказуемости и
зоны хаоса.
Научная новизна основных результатов работы определяется следующим.
1. Рассмотрены системы итерационных уравнений, моделирующих
антагонистические отношения вида "хищник - хищник", которые не просто
конкурируют, а осущестияямт восхгйновление численности за счет частичного
. ж f « I о ! ..•»
.*- » »
'
..
г. -
:
*
•
<
уничтожения или полного использования антагонистической популяции.
Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во
времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные
рекуррентными соотношениями, регулирующими численность. Полученный в
работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы).
Первоначально система на базе уравнения Ферхюльста — Пирла изучается
численными методами. А именно создана программа " вылавливающая
появление точек бифуркации, циклов различного порядка и хаотического
поведения". Полученная диаграмма послужила отправным пунктом для
дальнейших исследований.
2. Использование новой основы в виде двух парабол для моделирования
поведения решений системы двух уравнений Ферхюльста - Пирла с разными
параметрами позволило доказать ряд вспомогательных геометрических
утверждений. Данные утверждения в свою очередь позволили разработать
аналитические методы точного определения границ различного числа решений
для (а,/?)6 [0,4]х[0,4] Ранее, существование таких зон в квадрате 10,4]х[0,4] бьшо
предсказано численным моделированием и изучением различных литературных
источников.
3. Исследования, проведенные в работе показали, что в зависимости от
значения управляющих параметров "траектории решений" могут иметь от
одной точки сходи.мости (0,0) (эффект вырождения) до четырех (из них три
невырожденных (xi,x2) и xj *:0, хг 5*0). При этом каждая из невырожденных
точек может быть устойчивой и неустойчивой, может не быть точкой
сходимости а иметь "вокруг себя" некоторый аттрактор (в простейшем случае
это прямоугольник с центром в этой точке). Этот прямоугольник является
предельным множеством для траектории. Получены необходимые и
достаточные условия сходимости метода парабол для многочленов вида
- ^ 1 - — 1 - — 1 - — , связанных с моделью Ферхюльста-Пирла к одному из
корней.
4. Как следствие всех видов исследований проведенных в работе впервые
получено трехмерное графическое изображение эволюции перехода через
удвоение к хаосу ("фрактальная капуста").
Актуальность, ценность и достоверность полученных результатов
подтверждается тем фактом, что в сечении указанной выше диаграммы, при
равенстве управляющих параметров а =р, получено известное классическое
дерево Фейгенбаума.
Практическая значимость результатов работы состоит в том, что
исследуя моменты пересечения двух аттракторов обнаружено, доказано и
фафически проиллюстрировано явление регулярного переброса траекторий
решений от одного аттрактора к другому. Впервые получено наглядное
трехмерное изображение перехода эволюции решений через удвоение к хаосу.
Данное изображение в динамике своего развития и роста может служить
наглядным пособием о сосуществовании детерминированности и хаоса.
Результаты работы могут найти практическое применение при исследовании
(для прогноза развития) сосуществования антагонистических групп
(социальных, экономических, финансовых, криминальных и т.д.).
Кроме того, результаты работы уже нашли применение в педагогической
деятельности.
Внедрение научных результатов. Полученные в диссертационной работе
результаты, диаграммы и рисунки нашли применение в педагогической
деятельности кафедры теории функций и геометрии ВГУ и кафедры
теоретических и прикладных математических дисциплин Воронежского
института МВД России, что подтверждается соответствующими актами.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы
докладывались и обсуждались на:
• Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти
Н.В.Ефимова. Лиманчик, Ростов-на-Дону,. 2002, 2004г.
• Конференции "Современные проблемы функционального анализа и
дифференциальных уравнений." ВГУ, Воронеж, 2003 г.
• Всероссийская научно - практическая конференция. "Современные
проблемы борьбы с преступностью". Радиотехнические. Науки.
Институт. МВД, Воронеж, 2004 г.
• Всероссийская научно - практическая конференция "Охрана,
безопасность и связь ", Институт. МВД, Воронеж, 2004 г.
• Конференции "Современные методы теории функций и смежные
проблемы" ВГУ, Воронеж, Материалы зимн. Мат. Шк. 2005 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 3
статьи в центральной печати. В работах, опубликованных в соавторстве, лично
соискателем предложены: в [1],[4],[6],[8] - дискретная модель совместного
сушествованйя двух популяций хищников, условия возникновения положения
равновесия этой системы и циклов, в [5],[11] - области изменения
управляющих параметров, гарантирующие появление зоны хаоса и
неопределенности, в [7],[9] - области изменения управляющих параметров,
условия появления бифуркации и циклов, в [10] ~ алгоритм получения
приближенных значений известных констант бифуркационных раздвоений.
Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из
введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем
диссертации составляет 118 страниц машинописного текста, содержит 6
приложений.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
•
Во введении
диссертации обоснована актуальность темы
исследования, сформулированы цели и задачи работы, ее научргая новизна,
практическая значимость полученных результатов и научные положения,
выносимые на защиту.
•
В первой главе диссертации приведены необходимые определения
и сведения из общей теории систем и управления, собраны известные
результаты для одного итерационного уравнения, приведены известные
диаграммы Ламерея для модели конкуренции, представленной в виде системы
дифференциальных уравнений, показана возможность устойчивого равновесия
между конкурирующими видами, приведены
основы ренормгруппового
анализа, приведены сведения из теории динамических систем и теории
фракталов. Разобран классический
сценарии Фейгенбаума. Эта глава
необходима для определения места положения исследований, проведенных в
диссертации, их значимости и актуальности.
•
Во второй главе проведен приближенный ренормгрупповой анализ
системы (1). Показано, что более естественным путем в ситуации исследования
системы является путь проведения анализа сразу в двух уравнениях системы, а
не сведения системы к одному уравнению более высокого порядка и
дальнейшего анализа по известной схеме. Результатом анализа является
получение приближенных значений известных констант бифуркационных
раздвоений.
•
В третьей главе приведено исторически первое, качественное,
компьютерное моделирование поведения траекторий решений системы
итерационных уравнений Ферхюльста - Пирла с разными управляющими
параметрами.
Рис.1. Результаты численного моделирования системы
при изменении
параметров 0<а,р<А. 1-область,
оба вида вырождаются; 2-область,
численность обоих видов стабилизируется; 3-область, появляется устойчивый
цикл S^; 4-область, появляются циклы периода 3 и больше и возникает
неопределенность переходящая в хаос. Точные границы раздела были
неопределенны.
Подробно разобрана ситуация с моментом появления циклов. Для этого
проиллюстрирована и доказана серия несложных геометрических утверждений.
Приведем одно из них:
Теорема Если а = р,
(а* 2), то для угловых коэффициентов
касательных к параболам, составляющим систему (I), в точке их пересечения
лежащей на диагонали, справедливо равенство \ к\-х.к2 1 = 1.
Для случая равенства параметров получено новое оригинальное
представление (в виде эллипса) о множестве точек, которое может содержать
неподвижные точки системы при равенстве управляющих параметров.
Проследим за эволюцией решений системы (1) на рис.2. Для 0<,а<,\ имеется
одно решение (0,0), для 1<а<3 два решения (0,0) и (xi,i))- точка на отрезке
ОМ. Для а = 3 точка бифуркации М является точкой касания прямой
x + j; = i + i/a
эллипса
х^+у^+ху-х-у-0
и одновременно точкой
X, = 7 , = 1-1/а = 2 / 3 . Если 3 < а < 4 , то кроме нулевой точки мы имеем три
точки, одна лежит на диагонали вне эллипса Л/] и имеет координаты
(1 -\1а,\-\1а).
Две симметричные точки Л) и Aj - точки пересечения эллипса
.,2 .-У^
„2 j^+ху„, . . д , = о и прямой д; + )' = 1 + 1/а
У*
,
1
(3/4,3/4)
Рис.2.
•
В четвертой главе получены все основные результаты работы. В
пункте 4.1 получено аналитическое описание различных зон, в которых система
у = а х(1 - jc)
(2)
х = ру{\у)
имеет различное число решений.
Получены значения неподвижных точек системы (2):
2 А(г1 + гЧ/З) (а - 3)Д 1 + (Ч/З)
дгз = - + х,=0,
^ 3
Хгра
ЗА
6^
2(g - 3)>8
ЗА
Н
2
А(\ + ;УЗ)
Ира
(а -3)/3(-1 + /73)
ЗА
(3)
где
Л=^(36afi-8a^fi-108+1
Zlg)afi'-,
и выражение под знаком радикала имеет вид
(4)
Положительность данной функции определяет точную границу
существования четырех устойчивых решений. Формулы (3) содержат в общем
случае комплексные числа и, в зависимости от величины параметров, содержат
различное количество вещественных значений (от 1 до 4). Точку (х,у)^[0,\]
как обычно будем называть стационарной или точкой положения равновесия,
если она удовлетворяет системе (2). Определены зоны изменения параметров
(а,;5)е[0,4]^ точно гарантирующие определенное количество стационарных,
устойчивых точек. Основным инструментом для определения этих зон
послужил анализ взаимного расположения графиков парабол с
перпендикулярными осями симметрии.
(2.2)
(2.1)
РисЗ.Система имеет 1 или 2 корня.
Рис.4. Система имеет 3 или 4 корня.
/ 4-roots
А ^ 3-roofs
9(а,Р)=0
•кация
О
1 2
3
4 а
О
1 2
3
4
Рис.б.Карта устойчивости корней.
Рис.5.Карта числа корней.
Запишем систему (2) в виде одного уравнения х = F(.x ), где
F[x)=a/k-a^l+a)x'
+2а^/?дг' -а^/Зх*.
10
Согласно теореме о сжимающих отображениях, получим условие
локальной устойчивости нулевой точки в виде \F'(0)\<1, или ар<\. Это
неравенство определяет зону (лежащую ниже гиперболы ар -\) существования
одного устойчивого корня x^ =0 системы (2) и автоматически дает границу
области для появления второго корня системы. Если afi = l, то л, = О имеет
кратность 2, ^"ф) = 1 и на всей границе afl = 1 ноль теряет устойчивость.
Используя вспомогательные утверждения и графическое изображение ЭВМ,
получены карты Рис.5, 6, значительно уточняющие результаты численного
моделирования - Рис. 1. Получены аналитически точные выражения для границ
8
8
(6) и (7) Рис.6: р =
а=
Это
области, в
а(4-о;)
Ж4-ув)
которых возможно появление итерационных циклов. Точки пересечения этих
функций: а = fl = 2 и a = /3 = l + ^/5 определяют фаницы неустойчивости
решений, что совпадает с поведением на диагонали (глава 2 п. 2.2.). Однако
такой переход еще не гарантирует появление итерационных циклов, поскольку
для них еще должно выполнятся условие / \ -/^ = "•!. Выписывая это условие
в виде afi(l-2x){l-2y) = -], где х,у решение системы (2) получим область
возникновения бифуркаций (области закрашены серым цветом на Рис 6).
Наиболее интересные, сложные и трудно исследуемые явления
происходят в зонах, которые определяются управляющими параметрами
неравенствами: 3 < в < 4 , 3 < / 3 < 4 . Прежде чем исследовать эту область,
приведем новые, полученные в работе паутинные диаграммы Ламерея,
демонстрирующие такие явления, как появление аттракторов, переброс
траекторий от одного аттрактора к другому, непредсказуемости, переходящей в
хаос.
С помощью этих диаграмм, которые бьши получены поточечным
рисованием в программе MathCad в приложении 5 диссертации, было
установлено необычное явление переброса траектории с одного атфактора в
окрестность другого.
1
о
Рис. 7.
Рис. 8.
11
На рис. 7 изображено появление цикла вокруг неподвижной устойчивой
точки при а = 2,fl= 3,5. В зависимости от начальных
данных
траектория
сходится
к
одной
из
устойчивых
точек
а=3,6, ^ = 3,5.Рис. 8.
Появилась задача: определить условия возникновения данного явления. В
работе доказано, что условием появления переброса служит не пустое
пересечения аттракторов лежащих по разную сторону от диагонали первой
четверти. Поясним на рис.9, условия возникновения переброса.
4
1
Li
0
/"
2
\
А
^
3%^3
л)»
2' <^
"
35-
1'
i-fc.
1
-*
3
35
Рис.9.
Рис.10.
Ширина цикла ограничивается максимумом функций (вершиной
параболы). Пусть мы имеем два цикла проходящие через максимумы функций
стоящих в правой части первого и второго уравнений системы (2).
Первоначальная эволюция одного цикла протекает через состояния
О -> 1 -• 2 -» 3, эволюция другого - через состояния 0'->^ 1'^ 2'-)- 3' Очевидно, что
ключевую роль здесь играет точка «А» - пересечения фафиков. Если ширина
аттрактора оказывается больше чем превышение точки «О» (или «О'») над
точкой «А», то итерационный цикл 0^1-»2->3 не сможет достичь своего
аттрактора, поскольку перейдет в зону действия другого аттрактора. Возникает
явление переброса траекторий решений.
В работе
это явление было обнаружено с помощью компьютерного
моделирования.
Теорема Зона хаоса ограничена двумя ветвями уравнения
-1'-
4 1^ 4J[ 4 I, 4JJ
4
Данная теорема совместно с другими, доказанными в работе утверждениями,
позволяет получить карту более тонких явлений в зоне 3<а<4, 3</?<4.
(Рис 10). Важным следствием, показывающим значимость результата является
тот факт, что для а = р выражение в теореме принимает вид —11 - — -1 = о и
12
имеет вещественное решение, удовлетворяющее офаничению на управляющие
параметры, а =: л/19 + Зл/зЗ-
. + 1 «3 678.
л/19 + Зл/зЗ
Таким образом, при значениях a,fi^367& возникает то, что принято
называть хаосом. Это число встречается в одномерных моделях. Например, при
исследовании решений одного уравнения Ферхюльста - Пирла.
Итак, при «,^^3 678 'Траектория" может принимать практически любые
значения, пытаясь равномерно заполнить все пространство состояний (Рис.11)
Используя пространственное числовое моделирования, пошаговым
изменением значений управляющих параметров a,fi и выбирая опытным
путем нужную подсветку и ракурс, в работе удалось в динамики проследить
развитие фрактальной поверхности Рис 12.
Отметим, что данная поверхность в сечении точно дает нам известное
дерево Фейгенбаума, являясь тем самым его прямым расширением.
В работе данная поверхность (Рис.12) детально не изучалась.
Предположительно в ее сечениях можно обнаружить обобщенный ковер
Серпинского и пыль Кантора, фрактальные явления пространственного
самоподобия с изменением масштаба (скайлинга) и др. Исследование свойств
полученной поверхности является отдельной самостоятельной работой. В
случае произвольных перебрасываний (рис.11), кривая стремиться заполнить
весь квадрат.
' 4 " | j i|i
IL_,
...
05
пм
Рис.11. Эволюция системы при а = 3 95, fi = 3 9
13
ф
6)
Рис.12. Эволюция бифуркационной диаграммы двумерного отображения
Ферхьюльста-Пирла(3.3). а) а,/3<3.6,б)
a,fi<3.9.
В пункте 4.3 в отличие от всех предыдущих пунктов главы, в которых
конкурирующая популяция полностью использовала ресурс другой, изучается
возможность совместного существования двух популяций, каждая из которых
лишь частично поддерживает свою численность за счет сокращения
численности другого вида, а также имеет некоторую воспроизводящую
функцию. Построена модель и найдены условия на управляющие параметры
для устойчивости ненулевого равновесия совместного существования этих
видов. В силу более общего вида уравнений модели, детальное изучение не так
прозрачно. Важным выводом является тот факт, установленный в работе, что
совместное устойчивое сосуществование возможно при определенных
условиях.
Система разностных уравнений описывает совместное существование
особей двух видов.
Уп-и = /2(.Уг,)-х„(а + ^у„)
^п+1 =Л(.Х„}-УЛР+ГХ„)
Изучаются
две
модели
с
наиболее
'
распространенными
функциями
воспроизводства: экспоненциальная модели Риккера или f {х) = А хе
; и
at-^
модель Шапиро. f(x) =
г-. Показано, что медленно растущая и
Ь+г
ограниченная функция Шапиро не обеспечивает устойчивое ненулевое
состояние ни при каких управляющих параметрах, а модель Риккера
обеспечивает. Предложенные в главе 4
модели не ограничены
«биологической» сферой применения. Разновидности описанных моделей
могу г найти применение в задачах финансовой математики, экономике,
военном деле, юриспруденции и др Основной вывод работы заключается в
том, что устойчивое положение сосуществования двух «хищных» популяций
14
ВОЗМОЖНО и не является в дискретных моделях исключительным явлением, в
отличие от непрерывных дифференцируемых моделей.
•
В заключении подведены итоги по диссертационной работе в целом
и сформулированы основные результаты, которые сводятся к следующему:
1. Рассмотрены системы итерационных уравнений, моделирующих
антагонистические отношения вида "хищник - хищник", которые не просто
конкурируют, а осуществляют восстановление численности за счет частичного
уничтожения или полного использования антагонистической популяции.
Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во
времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные
рекуррентными соотношениями, регулирующими численность Полученный в
работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы).
Первоначально система на базе уравнения Ферхюльста - Пирла изучается
численными методами А именно создана профамма "вылавливающая"
появление точек бифуркации, циклов различного порядка и хаотического
поведения. Полученная диаграмма послужила отправным пунктом для
дальнейших исследований.
2. Использование новой основы в виде двух парабол для моделирования
поведения решений системы двух уравнений Ферхюльста - Пирла с разными
параметрами позволило доказать ряд вспомогательных геометрических
утверждений. Данные утверждения в свою очередь позволили разработать
аналитические методы точного определения границ различного числа решений
для (в,^)е р,4]х[0,4] Ранее, существование таких зон в квадрате [0,4]х|р,4]
бьшо предсказано численным моделированием и изучением различных
литературных источников.
3. Исследования, проведенные в работе показали, что в зависимости от
значения управляющих параметров "траектории решений" мог>т иметь от
одной точки сходимости (0,0) (эффект вырождения) до четырех (из них три
невьфожденных (дсьлг) и JC; ^^ О, x-i* 0). При этом каждая из невырожденных
точек может быть устойчивой и неустойчивой, может не быть точкой
сходимости а иметь "вокруг себя" некоторый аттрактор (в простейшем случае
это прямоугольник с центром в этой точке). Этот прямоугольмик явJыeтcя
предельным множеством для траектории. Получены необходимые и
достаточные условия сходимости метода парабол для многочленов вида
^ 7 , § 1 - — 1 - — , связанных с моделью Ферхюльста-Пирла к одному из
4 I 4
корней.
4, Как следствие всех видов исследований проведенных в работе впервые
получено трехмерное графическое изображение эволюции перехода через
удвоение к хаосу ("фрактальная капуста").
5. Полученные в диссертационной работе результаты, диаграммы и рисунки
нашли применение в педагогической деятельности кафедры теории функций и
геометрии ВГУ и кафедры теоретических и прикладных математических
15
ДИСЦИПЛИН Воронежского института МВД России, что подтверждается
соответствующими актами.
Основные результаты днссертации опубликованы в работах:
1. Волкова, Н.В. О совместном существовании двух популяций хищников /
Н.В.Волкова, В.А.Родин // Промышленная информатика. Межвузовский
сборник трудов ВГГГУ, Исследования в смежных областях. Воронеж. 2002.-С. 131-134.
2. Волкова, Н.В. Об одной модели естествознания, основанной на системе
разностных уравнений / Н.В.Волкова // Междунар. Школа-семинар по
геометрии и анализу. Лиманчик, Ростов-на-Дону, Тез. Докл. - 2002.С.182.
3. Волкова Н.В. О некоторых особенностях решения системы рекуррентных
уравнений, основанной на дискретном аналоге модели ФерхюльстаПирла / Н.В.Волкова // ВГУ, факультет ПММ, Сб. матем.
моделирование.- 2003 - № 2. - С. 46-49.
4. Волкова, Н.В. Особенности решения системы разностных уравнений,
моделирующих
динамику
численности
двух
конкурирующих
агрессивных систем / Н.В.Волкова, В.А.Родин // Труды конференции
"Современные проблемы функционального анализа и дифф.ур." ВГУ,
Воронеж. - 2003,- С. 65-67.
5. Волкова Н.В. О сценарии перехода к фрактальности и хаосу в двумерной
модели Ферхюльста-Пирла / Н В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин //
Сборник материалов. Всероссийская науч. - практ. Конф. "Современные
проблемы борьбы с преступностью", Радиотех. Науки. Инс. МВД,
Воронеж. - 2004. - С. 32-33.
6. Волкова Н.В. Устойчивость решения системы разностных уравнений,
моделирующих
динамику
численности
двух
конкурирующих
агрессивных систем / Н.В.Волкова, В.А.Родин // Сборник материалов.
Всероссийская науч. - практ. конф. "Охрана, безопасность и связь", Часть
1, Инс. МВД, Воронеж. - 2004.- С. 38.
7. Волкова Н.В. О расширении модели Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова,
В.Н. Думачев, В.А. Родин // Вестник ВИ МВД России, Воронеж. - 2004. 1(16). - С. 21-25.
8. Волкова Н.В. О совместном существовании двух популяций хищников /
Н.В.Волкова, В.А.Родин // Промышленная информатика. Межвуз.
Сборник трудов ВГПУ. - 2002. - С. 130-134.
9. Волкова Н.В. Система рекуррентных уравнений на базе модели
Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин // Вестник
ВГУ, Серия Физика, Математика. - 2004. - № 1. - С. 88-95.
10. Волкова Н.В. Приближенный ренормгрупповой анализ двумерной
модели Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин //
Труды участников межд. шк.- семинара по геом. и анализу памяти
Н.В.Ефимова. Лиманчик, Ростов-на-Дону. - 2004. - С. 182-184.
11. Волкова Н.В. Сценарий перехода к хаосу в двумерной модели
Ферхюльста-Пирла / Н.В. Волкова, В.Н. Думачев, В.А. Родин // Системы
№12400
16
управления и информационные технологии. Воронеж. - 2004. - № 4 (16).
- С . 5-11.
12. Моделирование сосуществования двух конкурирующих видов,
непосредственно влияющих на численность друг друга / Н.В. Волкова //
Известия РАЕН серия МММИУ. - 2003. - т.7. - № 3-4. -С.80-87.
РНБ Русский фонд
2006-4
5631
Заказ № 384 от2б 05 05 г Тир 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ