3 Методические указания к практической работе

Министерство образования и науки Челябинской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«Южно-Уральский многопрофильный колледж»
КОМПЛЕКС ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Исследование систем автоматического управления
и регулирования на устойчивость
15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)
ПМ 01 Контроль и метрологическое обеспечение
средств и систем автоматизации
МДК01.03 Теоретические основы контроля и анализа функционирования
систем автоматического управления
Автор:
преподаватель специальных дисциплин
Ефимова Ирина Викторовна
Челябинск, 2015
ОДОБРЕНА
Цикловой методической комиссией
ТЭО и АП
специальностей ТЭО и АП
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора
_____И.Н.Тихонова
«___»_____20_ г.
Протокол № ___
«___»____________ 20__ г.
Председатель ЦМК
____________ Н.А.Зайцева
Согласовано:
________________ Заместитель директора И.Н. Тихонова
________________Начальник цеха КИП и Автоматики ОАО «Челябинский
металлургический комбинат» С.И.Хаустов
Разработчик:
Ефимова И.В., преподаватель специальных дисциплин ГБОУ СПО (ССУЗ)
«Южно-Уральский многопрофильный колледж»
АННОТАЦИЯ
Методическое пособие составлено для закрепления и углубления знаний
в процессе выполнения комплекса практических работ по теме «Устойчивость
автоматических
Теоретические
систем
основы
регулирования
контроля
и
и
управления»
анализа
по
МДК01.03
функционирования
систем
автоматического управления.
В пособие приведена таблица индивидуальных вариантов практической
работы.
После изучения теоретического материала предлагается определить
устойчивость системы автоматического регулирования и управления, используя
критерии устойчивости - алгебраические критерии Гурвица и Рауса, и
графический критерий Михайлова.
Также с помощью программ на ПК необходимо убедиться в
правильности
определения
устойчивости
системы
автоматического
регулирования и управления.
После изучения материала, выполнения практического задания и
составления отчета студентам предлагается ответить на контрольные вопросы.
Критерии оценки:
Оценка «5»:
- порядок проведения практической работы соответствует заданию;
- определена устойчивость системы по критериям устойчивости –
алгебраическим критериям Гурвица и Рауса, и графическому критерию
Михайлова;
- на ПК проверена правильность определения устойчивости системы;
- дано полное объяснение и сделаны выводы;
- даны правильные ответы на контрольные вопросы.
Оценка «4»:
- порядок проведения практической работы соответствует заданию;
- определена устойчивость системы по критериям устойчивости –
алгебраическим критериям Гурвица и Рауса и графическому критерию
Михайлова;
- на ПК проверена правильность определения устойчивости системы;
- допущено 2 и более ошибок при ответах на контрольные вопросы.
Оценка «3»:
- порядок проведения практической работы соответствует заданию;
- допущены существенные ошибки при определении устойчивости
системы по критериям устойчивости;
- на ПК проверена правильность определения устойчивости системы;
- допущено 2 и более ошибок при ответах на контрольные вопросы.
Оценка «2»:
- практическая работа не выполнена.
ВВЕДЕНИЕ
Основным назначением АСР является поддержание постоянного
значения параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении
этого параметра в результате появления возмущающих воздействий в системе или
при
изменении
заданного
значения
регулируемой
величины,
регулятор
воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. В
системе возникает переходный процесс, зависящий от динамических свойств
АСР.
Если после окончания переходного процесса система снова приходит в
первоначальное состояние или другое равновесное состояние, то такую систему
называют устойчивой.
Устойчивость характеризуется степенью (запасом) устойчивости. Чем
больше степень устойчивости, тем меньше время переходного процесса. С
уменьшением степени устойчивости увеличиваются колебания.
На
практике
определяют
устойчивость
по
коэффициентам
характеристического уравнения без вычисления его корней. Эти оценки
называются критериями устойчивости.
Министерство образования и науки Челябинской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«Южно-Уральский многопрофильный колледж»
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Челябинск, 2015
1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Используя критерий Гурвица, по характеристическому уравнению
определить устойчивость системы.
2 ПЛАН РАБОТЫ
1) по виду характеристическому уравнению своего варианта (таблица
1) определить его порядок;
2) по характеристическому уравнению системы составить главный
определитель Гурвица;
3) на основании главного определителя Гурвица подсчитать все
остальные определители;
4) определить устойчивость системы;
5) с
помощью
программ
на
ЭВМ
убедиться
в
правильности
определения устойчивости системы;
6) сделать выводы;
7) ответить на контрольные вопросы.
Таблица 1 - Варианты практической работы
Вариант
1
2
3
4
Характеристическое
уравнение
4
6р +3р3+р2+р+1=0
Р3+5р2+3р+1=0
7р4+3р3+р2+4р+1=0
7р3+12р2+5р+1=0
Вариант
17
18
19
20
Характеристическое
уравнение
3
9р +11р2+5р+1=0
7р3+4р2+11р+1=0
Р4+5р3+6р2+р+1=0
19р3+9р2+9р+1=0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3р3+4р2+9р+1=0
21
2р4+5р3+4р2+р+1=0
Р4+5р3+6р2+р+1=0
22
4р3+7р2+12р+1=0
12р3+15р2+12р+1=0
23
6р3+10р2+9р+1=0
2р4+р3+4р2+7р+1=0
24
11р3+4р2+11р+1=0
3р3+4р2+12р+1=0
25
7р4+6р3+9р2+4р+1=0
7р3+4р2+р+1=0
26
4р4+3р3+9р2+2р+1=0
12р4+р3+р2+5р+1=0
27
9р3+р2+6р+1=0
Р3+р2+р+1=0
28
5р3+4р2+3р+16р+1=0
р4+5р3+7р2+6р+1=0
29
7р4+р3+3р2+р+1=0
9р3+12р2+10р+1=0
30
6р3+4р2+4р+1=0
10р4+7р3+2р2+14р+1=0
31
3р3+р2+9р+1=0
11р3+7р2+3р+1=0
32
8р3+2р2+4р+1=0
Примечание: номер варианта соответствует порядковому номеру
студента в журнале.
3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Критерий Гурвица относится к разряду алгебраических критериев. Он
выражает условия устойчивости в форме определителей, составленных из
коэффициентов характеристического уравнения.
Критерий Гурвица читается:
Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы все
коэффициенты характеристического уравнения и все определители Гурвица были
положительными.
Анализ устойчивости ведется в следующем порядке:
1) составляется характеристическое уравнение системы:
a 0 p n  a1 p n 1  ...  a n 1 p  a n  0.
2) составляется главный определитель Гурвица:
-
по главной диагонали выписываются все коэффициенты уравнения,
начиная с a1 до последнего a n в порядке возрастания индексов;
-
столбцы дополняются вверх от диагонали, путем вписывая
коэффициентов с последовательно возрастающим индексом;
-
вниз
от
диагонали
столбцы
дополняются
коэффициентов с последовательно убывающим индексом;
вписыванием
-
на место коэффициентов, имеющих индексы больше и меньше нуля,
подставляются нули.
a1
a0
n  0
a3
a2
a1
a5
a4
a3
0
0
0
.
0
an
3) на основании главного определителя подсчитываются все остальные
определители Гурвица.
a
2  1
a0
1  a1 ;
a3
;
a2
a1
a3
a5
 3  a0
0
a2
a1
a4
a3
и т.д.
Примеры:
1) Для системы первого порядка с уравнением a0 p  a1  0 , условие
устойчивости - a0  0, a1  0 .
2) Система второго порядка a0 p 2  a1 p  a 2  0 , условие устойчивости a0  0, a1  0, a2  0 .
3) Система третьего порядка с уравнением a0 p 3  a1 p 2  a 2 p  a3  0 ,
условия устойчивости:
- a0  0, a1  0, a2  0, a3  0;
-
2 
a1
a0
a3
 a1a2  a0 a3  0 .
a2
4) Система четвертого порядка a0 p 4  a1 p 3  a 2 p 2  a3 p  a 4  0 , условия
устойчивости:
-
a0  0, a1  0, a2  0, a3  0, a4  0;
-
2 
-
a1
a0
a3
 a1a2  a0 a3  0;
a2
a1
a3
0
 3  a0
0
a2
a1
a 4  а1  а 2  а3  а0  а3  а3  а1  а 4  а1  0.
a3
4 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
С помощью программы на ПК необходимо убедиться в правильности
определения
устойчивости
системы
автоматического
регулирования
и
управления.
Для этого необходимо ввести порядок характеристического уравнения, а
так же все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с
a1
до
последнего a n .
Машина проведет анализ устойчивости: составит главный определить
Гурвица, на основании главного определителя подсчитает все остальные
определители Гурвица, сделает вывод об устойчивости системы автоматического
регулирования и управления.
5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1) Какую систему называют устойчивой?
2) Как читается критерий Гурвица?
3) В каком порядке ведется анализ устойчивости Гурвица?
4) Как составляется главный определитель Гурвица?
Министерство образования и науки Челябинской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«Южно-Уральский многопрофильный колледж»
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА
Челябинск, 2015
1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Используя критерий Рауса, по характеристическому
уравнению
определить устойчивость системы.
2 ПЛАН РАБОТЫ
1) по характеристическому уравнению своего варианта (таблица 1)
заполнить таблицу Рауса;
2) определить устойчивость системы;
3) с помощью программ на ПК убедиться в правильности определения
устойчивости системы;
4) сделать выводы;
5) Ответить на контрольные вопросы.
Таблица 1 – Варианты практической работы
Вариант
1
2
3
4
Характеристическое
уравнение
4
6р +3р3+р2+р+1=0
Р3+5р2+3р+1=0
7р4+3р3+р2+4р+1=0
7р3+12р2+5р+1=0
Вариант
17
18
19
20
Характеристическое
уравнение
3
9р +11р2+5р+1=0
7р3+4р2+11р+1=0
Р4+5р3+6р2+р+1=0
19р3+9р2+9р+1=0
3р3+4р2+9р+1=0
Р4+5р3+6р2+р+1=0
12р3+15р2+12р+1=0
2р4+р3+4р2+7р+1=0
3р3+4р2+12р+1=0
7р3+4р2+р+1=0
12р4+р3+р2+5р+1=0
Р3+р2+р+1=0
р4+5р3+7р2+6р+1=0
9р3+12р2+10р+1=0
10р4+7р3+2р2+14р+1=0
11р3+7р2+3р+1=0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2р4+5р3+4р2+р+1=0
4р3+7р2+12р+1=0
6р3+10р2+9р+1=0
11р3+4р2+11р+1=0
7р4+6р3+9р2+4р+1=0
4р4+3р3+9р2+2р+1=0
9р3+р2+6р+1=0
5р3+4р2+3р+16р+1=0
7р4+р3+3р2+р+1=0
6р3+4р2+4р+1=0
3р3+р2+9р+1=0
8р3+2р2+4р+1=0
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Примечание: номер варианта соответствует порядковому номеру
студента в журнале.
3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ
Устойчивость систем определяется путем заполнения таблицы Рауса,
которая является упрощенной схемой определителей Гурвица.
Таблица 2 – Таблица Рауса
Номер
строки
Значение 
Номер столбца
1
2
3
1
-
с11  а0
с21  а2
с31  а4
2
-
с12  а1
с 22  а3
с32  а5
3
3 
а0
а1
с13  а2  3  а3
с23  а4  3  а5
с33  а6  3  а7
4
4 
а1
с13
с14  а3  4  с23
с24  а5  4  с33
с34  а7  4  с43
5
5 
с13
с14
с15  с23  5  с24
с25  с33  5  с34
с35  с34  5  с44
Таблица Рауса заполняется в следующем порядке:
1) первая строка заполняется вписыванием коэффициентов с четными
индексами;
2) вторая строка заполняется вписыванием коэффициентов с нечетными
индексами;
3) подсчитываются вспомогательные величины  ;
4) подсчитываются коэффициенты всех остальных строк и столбцов.
Любой коэффициент таблицы Рауса определяется по формуле:
C К ,i  C K 1,i  2  i C K 1,i 1 ,
где к  номер столбца;
i
номер строки.
Формулировка критерия Рауса:
Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно,
чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все величины первого
столбца таблицы Рауса были положительными.
4 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
С помощью программы на ПК необходимо убедиться в правильности
определения
устойчивости
системы
автоматического
регулирования
и
управления.
Для этого необходимо ввести порядок характеристического уравнения, а
так же все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с
a1
до
последнего a n .
Машина проведет анализ устойчивости: заполнит таблицу Рауса,
выполнит все условия устойчивости и сделает вывод об устойчивости системы
автоматического регулирования и управления.
5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1) Какую систему называют устойчивой?
2) Как читается критерий Рауса?
3) Как заполняется таблица Рауса?
Министерство образования и науки Челябинской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«Южно-Уральский многопрофильный колледж»
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
МИХАЙЛОВА
Челябинск, 2015
1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Используя графический критерий Михайлова, по характеристическому
уравнению определить устойчивость системы.
2 ПЛАН РАБОТЫ
1) по характеристическому уравнению своего варианта (таблица 1)
построить годограф в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до  ;
2) по виду годографа определить устойчивость системы;
3) с помощью программ на ЭВМ убедиться в правильности определения
устойчивости системы;
4) сделать выводы;
5) ответить на контрольные вопросы.
Таблица 1 – Варианты практической работы
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Характеристическое
уравнение
4
6р +3р3+р2+р+1=0
Р3+5р2+3р+1=0
7р4+3р3+р2+4р+1=0
7р3+12р2+5р+1=0
3р3+4р2+9р+1=0
Р4+5р3+6р2+р+1=0
12р3+15р2+12р+1=0
2р4+р3+4р2+7р+1=0
3р3+4р2+12р+1=0
7р3+4р2+р+1=0
12р4+р3+р2+5р+1=0
Р3+р2+р+1=0
р4+5р3+7р2+6р+1=0
9р3+12р2+10р+1=0
10р4+7р3+2р2+14р+1=0
11р3+7р2+3р+1=0
Вариант
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Характеристическое
уравнение
3
9р +11р2+5р+1=0
7р3+4р2+11р+1=0
Р4+5р3+6р2+р+1=0
19р3+9р2+9р+1=0
2р4+5р3+4р2+р+1=0
4р3+7р2+12р+1=0
6р3+10р2+9р+1=0
11р3+4р2+11р+1=0
7р4+6р3+9р2+4р+1=0
4р4+3р3+9р2+2р+1=0
9р3+р2+6р+1=0
5р3+4р2+3р+16р+1=0
7р4+р3+3р2+р+1=0
6р3+4р2+4р+1=0
3р3+р2+9р+1=0
8р3+2р2+4р+1=0
Примечание: номер варианта соответствует порядковому номеру
студента в журнале.
3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ
Критерий Михайлова относится к группе частотных критериев. Анализ
устойчивости сводится к построению годографа в комплексной плоскости при
изменении частоты от 0 до  . Годограф строится на базе характеристического
уравнения замкнутой системы.
Анализ устойчивости осуществляется в следующем порядке:
1) находят характеристическое уравнение замкнутой системы:
a0 p n  a1 p n 1  ...  a n 1 p  a n  0  M ( j ) ;
2) в характеристическом уравнении производят замену p  j :
M ( j )  a 0 ( j ) n  a1 ( j ) n 1  ...  a n 1 j  a n .
3) из уравнения M ( j ) выделяют вещественную и мнимую части U ( )
и V ( ) , учитывая, что j   1 , j 2  1 , j 3   j , j 4  1 ; ( j ) 2   2 , ( j ) 3   j 3 ,
( j ) 4   4 и т.д., т.е. четные степени ( j )  вещественны, а нечетные степени –
мнимы:
U ( )  a n  a n 2 2  a n  4  4  ...
V ( )  a n 1  a n 3 3  a n 5 5  ...
4) задаваясь определенными значениями частоты  от 0 до   ,
подсчитывается для каждого значения частоты U ( ) и V ( ) , результаты подсчетов
можно свести в таблицу:
Таблица 2 – Таблица результатов

0
1
2
3
…

U ( )
U ( 0)
U (1 )
U ( 2 )
U ( 3 )
…
U ()
V ( )
V ( 0)
V (1 )
V ( 2 )
V ( 3 )
…
V ( )
5) по данным таблицы на комплексной плоскости в координатах U ( )
и V ( ) наносят координаты точек в вещественной и мнимой части, через
полученные точки проводят плавную кривую, по виду которой судят об
устойчивости системы.
Критерий устойчивости Михайлова формулируется:
Для того чтобы система n  го порядка была устойчивой, необходимо и
достаточно, чтобы вектор годографа Михайлова при изменении частоты от 0 до
  , начав свое движение с положительной вещественной полуоси, вращаясь
против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, обходил последовательно
n  квадрантов комплексной плоскости, т.е. повернувшись на угол, равный

2
 n,
где n  степень характеристического уравнения.
4 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
С помощью программы на ПК необходимо убедиться в правильности
определения
управления.
устойчивости
системы
автоматического
регулирования
и
Для этого необходимо ввести порядок характеристического уравнения, а
так же все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с
a1
до
последнего a n .
Машина проведет анализ устойчивости: построит годограф Михайлова и
сделает вывод об устойчивости системы автоматического регулирования и
управления.
5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4) Какую систему называют устойчивой?
5) Как читается критерий Михайлова?
6) Порядок анализа устойчивости Михайлова.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Горюнов
И.И. Автоматическое регулирование /
И.И.Горюнов, К.Ю.
Евстафьев, А.А.Рульнов. – М.: Инфра-М, 2011. – 219 с.
2. Дойнико В.В.
Справочник инженера по контрольно-измерительным
приборам и автоматике/ В.В. Дойников, А.В.Калиниченко, Н.В.Уваров. – М.:
Изд-во «Инфра-Инженерия», 2008. – 576 с.
3.
Москаленко
В.В.
Системы
автоматизированного
управления
электропривода: Учебник. М.: ИНФРА – М, 2014. – 208 с.
4. Шандров Б.В. Технические средства автоматизации / Б.В.Шандров – М.:
Издательский центр «Академия», 2007. – 368с.