ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ОПТИМИЗАЦИОННЫХ

В.Н. Шестаков
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕЛИОРАЦИИ
ГРУНТОВ
Учебное пособие
y2
C1
y1
x1
C2
C3
C4
Cmin
Cn
x1opt
y3
0
x2opt
Омск  2007
1
x2
Федеральное агентство по образованию
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибАДИ)
В.Н. Шестаков
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕЛИОРАЦИИ ГРУНТОВ
Учебное пособие
Допущено УМО вузов РФ по образованию
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по специальности «Автомобильные дороги
и аэродромы» направления подготовки дипломированных
специалистов «Транспортное строительство»
Омск
Издательство СибАДИ
2007
2
УДК 624.131
ББК 38.581
Ш 51
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. Б.А. Асматулаев («Дортранс», г. Алматы);
д-р техн. наук, проф. Б.Б. Телтаев (Каздорнии, г. Алматы)
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве
учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 270205.
Шестаков В.Н.
Ш 51 Планирование эксперимента в оптимизационных задачах технической
мелиорации грунтов: Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2007. – 95 с.
ISBN 978-5-93204-338-7
Изложена методика планирования эксперимента для получения регрессионных зависимостей свойств улучшенных грунтов от определяющих факторов с
последующим определением их оптимальных значений. Приведены примеры
применения различных методик планирования эксперимента и оптимизации состава улучшенных грунтов, параметров подушек из улучшенных грунтов под
фундаменты сооружений.
Табл. 39. Ил. 21. Прил. 5 . Библиогр.: 27 назв.
ISBN 978-5-93204-338-7
© В.Н. Шестаков, 2007
3
Введение
Техническая мелиорация грунтов является одним из разделов
грунтоведения, входящего в состав дисциплины «Инженерная геология». Техническая мелиорация грунтов изучает теорию и методы
улучшения свойств грунтов в инженерных целях. Цель технической
мелиорации грунтов заключается в направленном изменении свойств
грунтов в лучшую для строительства сторону путём изменения их состава, состояния и строения [2].
Целью учебного пособия является ознакомление студентов и аспирантов с элементами планирования эксперимента применительно к
решению оптимизационных задач технической мелиорации грунтов.
Решение таких задач можно разделить на получение полиномиальной
модели зависимости свойства улучшенного грунта от его состава и
(или) технологических факторов (например, степень уплотнения, время и температура твердения и т.д.) и последующую оптимизацию
значений этих параметров (например, по стоимости). Приступая к
решению задач планирования эксперимента, связанных с технической
мелиорацией грунта, следует, прежде всего, усвоить сущность того
или иного применяемого метода (механического, физического, химического, физико-химического) [4]. Формализованный подход к планированию эксперимента в такого класса задачах зачастую приводит
или к получению неадекватной модели, или к ошибочным выводам на
основе формально адекватной модели.
Учебное пособие составлено с учетом практического опыта планирования эксперимента в оптимизационных задачах технической
мелиорации грунтов применительно к транспортному строительству.
Раздел 3 пособия написан совместно со ст. преподавателем кафедры мостов СибАДИ Н.Н. Щетининой.
4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Эксперимент (лат. experimentum-проба, опыт) – научно поставленный опыт, наблюдение исследуемого явления в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и воссоздавать
его каждый раз при повторении этих условий.
Целью планирования эксперимента является нахождение таких
условий и правил проведения эксперимента, при которых удается получить наиболее надежную и достоверную информацию с наименьшей затратой ресурсов и подставить эту информацию в компактной и
удобной для использования форме с количественной оценкой её точности.
Существует два основных вида эксперимента: пассивный и активный. Пассивный эксперимент основан на регистрации значений
показателей качества во время нормальной эксплуатации объекта исследования без введения каких-либо преднамеренных возмущений.
Активный эксперимент подразумевает исследование объекта под действием заранее запланированных искусственных возмущений. При
этом процесс исследования объекта может вестись как на физической,
так и на математической моделях.
Простой иллюстрацией возможностей планирования эксперимента является следующий пример [11]. Допустим, на аналитических весах взвешиваются три образца: а, b, c. Обычно вначале делается холостое взвешивание для определения нулевой точки весов, а затем поочередно взвешивается каждый из образцов (табл. 1.1).
Таким образом, в данном случае масса каждого образца определяется раздельно, по результатам двух отчётов: первого, когда взвешивался непосредственно образец, и второго – холостого отсчёта.
Например, масса образца а:
А = y1 – y0 .
Обозначив через {А} ошибку взвешивания, получим следующее
выражение для дисперсии результатов взвешивания:
2{А} = 2{y1 – y0}= 2{y}.
5
Таблица 1.1
Традиционная схема взвешивания трёх образцов
Номер
Образцы
Результат
опыта
взвешивания
b
c
а
1
-1
-1
-1
y0
2
+1
-1
-1
y1
3
-1
+1
-1
y2
4
-1
-1
+1
y3
Примечание. Обозначение +1 указывает на то, что образец положен на
весы; -1 указывает на отсутствие образца на весах.
На основе теории планирования эксперимента взвешивание образцов
более эффективно осуществлять по иной схеме (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Планирование эксперимента при взвешивании трёх образцов
Номер
опыта
1
2
3
4
a
+1
+1
Образцы
b
-1
+1
-1
+1
c
-1
-1
+1
+1
Результат
взвешивания
y1
y2
y3
y4
Сначала раздельно взвешиваются образцы а, b и с, а в последнем
опыте взвешиваются все три образца совместно, т.е. «холостое»
взвешивание исключается. В этом случае масса каждого образца определяется формулами
y  y 2  y3  y 4
 y1  y 2  y 3  y 4
A= 1
;
B=
;
2
2
 y  y 2  y3  y 4
C= 1
,
2
в которых числители получены умножением элементов последнего
столбца табл. 1.2 на элементы столбцов а, b, c.
При вычислении массы образца (она входит в числитель дважды, поэтому
в знаменателе стоит 2) следует обратить внимание на то, что масса образца а не
искажена массами образцов b и c, поскольку масса каждого из них входит в
формулу массы а дважды и с разными знаками. В таком случае дисперсия результатов взвешивания по рассмотренной схеме:
6
 ó2  ó3  ó4  4 2 ó
 À   
  2 ó ,

2
4


что вдвое меньше, чем при взвешивании по традиционной схеме (см.
табл. 1.1), несмотря на такое же количество опытов – четыре.
В рассмотренном примере повышение точности опытов вдвое
связано с тем, что по традиционной схеме масса каждого образца получена по результатам только двух опытов, а по схеме, в основу которой положено планирование эксперимента, по результатам четырёх
опытов. Схема эксперимента, согласно табл. 1.2, является многофакторной, поскольку согласно ей варьируют всеми факторами таким образом, чтобы масса каждого образца вычислялась по результатам всех
взвешиваний, проведённых в данной серии.
Приступая к решению задач технической мелиорации грунтов,
исследователь не имеет исчерпывающих сведений о механизме процесса в объекте исследования. Чаще всего на этой стадии можно назвать только параметры, определяющие условия протекания процесса
и требования, предъявляемые к его результатам. В таких условиях для
описания объекта исследования удобно представить объект исследования кибернетической системой, которую называют «чёрным ящиком» (рис. 1.1).
2  ó1
2
ε1
ε2
ε3
y1
y2
ym
x1
x2
xk
z1
z2
zp
Рис. 1.1. Схема объекта исследования в виде «чёрного ящика»:
хk – управляемые факторы; zp– контролируемые неуправляемые
факторы; e – неконтролируемые факторы; ym – выход «чёрного
ящика» в виде целевой функции

Стрелки, входящие в объект исследования, обозначают входные
факторы: управляемые хk, контролируемые в процессе опытов, но
неуправляемые zp и неконтролируемые  e.
Стрелки, выходящие справа из объекта, изображают численные
характеристики целей исследования ym, которые в дальнейшем будем
7
называть целевыми функциями. Иными словами, целевая функция –
это признак, по которому намечается исследование объекта.
К целевой функции предъявляются следующие требования: количественное выражение одной цифрой, статистическая эффективность, физический смысл, простота и доступность вычисления, существование для различных состояний.
Целевая функция должна быть количественной, т.е. задаваться
числом. Множество значений, которое может принимать целевая
функция, называется областью ее определения. Она может быть непрерывной или дискретной. Например, прочность при сжатии цементогрунта – целевая функция с непрерывной областью определения, а
число ударов для погружения зонда в грунт – функция с дискретной
областью определения.
Проведение эксперимента осуществляется воздействием на объект исследования (рис. 1.1) управляемыми факторами xk, которыми
называются измеряемые переменные величины, принимающие в некоторый момент времени определенное значение.
Под управляемостью фактора понимается возможность устанавливать и поддерживать выбранный уровень фактора постоянным в
течение всего опыта или изменять его по заданной программе (например, в режиме термообработки грунта).
При планировании эксперимента одновременно изменяются несколько факторов, поэтому к совокупности факторов предъявляются
такие требования, как их совместимость и независимость. Под совместимостью факторов подразумевается осуществимость и безопасность всех запланированных комбинаций значений факторов, а под
независимостью факторов – возможность установления значений
факторов на любом уровне вне зависимости от уровня других факторов. Так, если рассматривать в качестве факторов такие, как дозировка воды, соли и плотность солевого раствора, то окажется, что для получения степени влияния этих факторов достаточно ввести в матрицу
планирования только два из них, например, дозировку воды и соли
или соли и плотности солевого раствора.
Связь целевой функции у с факторами хk характеризуется математической моделью объекта исследования
y = f (x1, x2, … хk ).
Функция f, связывающая целевую функцию y с факторами хk, называется функцией отклика, а геометрический образ, соответствующий функции отклика, – поверхностью отклика (рис. 1.2).
8
а)
б)
y
x1
0
y
0
x1
x2
x2
в)
y
x1
0
x2
Рис. 1.2. Двухфакторная поверхность отклика как геометрический образ
функции отклика: а – линейная; б – неполная квадратная (линейчатая);
в – квадратная
Наиболее часто встречающиеся задачи технической мелиорации
грунтов подразделяются на два класса: задачи анализа, когда задан
объект, а требуется определить его свойства и задачи синтеза, когда
заданы свойства объекта, а необходимо найти его параметры (например, из условия минимальной стоимости объекта).
Различают задачи планирования эксперимента экстремального и
интерполяционного типов.
В задачах экстремального планирования эксперимента значения
факторов, определяющих поведение объекта исследования, целенаправленно меняются на каждом шаге постановки опытов из условия
достижения в конечном итоге экстремального значения целевой
функции этого объекта.
В задачах интерполяционного типа необходимо определить характер и степень влияния каждого из факторов на целевую функцию в
9
виде математической зависимости. Учитывая, что для поиска оптимальных составов грунтов, укрепленных минеральным вяжущим, необходимо значительное время, следует ориентироваться на планирование интерполяционного типа с последующей оптимизацией параметров полученных моделей.
2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Процесс планирования эксперимента можно подразделить на две
категории – формальную и неформальную, связанную с интуицией
исследования.
Интуитивная категория в планировании эксперимента относится
к выбору математического объекта исследования, целевой функции,
факторов и диапазона их варьирования.
Исходным материалом для планирования является априорная
информация (информация, известная до начала эксперимента). Эта
информация в большей или меньшей мере, в зависимости от изученности объекта исследования, может быть получена в итоге анализа
данных литературных источников или теоретических предпосылок.
Так, например, при решении задач подбора состава цементогрунта,
зная разновидность укрепляемого грунта и рекомендации Пособия
[17], можно ориентировочно сказать о рациональном интервале варьирования дозировки цемента, оптимальной влажности, ожидаемой
прочности.
На основе априорной информации прежде всего определяется
одна из неформализованных категорий планирования эксперимента –
выбор диапазона варьирования каждого i-го фактора (Ximin и Ximax ).
Диапазон варьирования факторов задаёт область определения целевой
функции в факторном пространстве, которая на рис. 2.1 заштрихована. Размерность факторного пространства равна числу изучаемых
факторов.
Выбрав диапазон варьирования факторов, приступают к их кодированию. Кодирование факторов необходимо для последующего построения стандартной матрицы планирования эксперимента.
Рассмотрим схему кодирования факторов на следующем примере. Положим, что натуральные значения фактора X1 варьируют в диапазоне от X1min =8 до X1max =24, а X2 от X2min =0,2 до X2max =1,0. Тогда,
10
обозначив кодированные значения факторов соответственно через х1
и х2, схему кодирования получим в виде, приведённом на рис. 2.1.
X2
x2
1,0
+2
0,8
+1
0,6
-2
-1
0,4
0
+1
+2
x1
-1
-2
0,2
0
4
8
12
16
20
24
X1
Рис. 2.1. Пример кодирования факторов в различных переменных:
X1,2 – натуральных; х1,2 – условных
Взаимосвязь между кодированными и натуральными значениями
факторов следует из соотношения
X  X 0i
xi  i
,
(2.1)
i
где X0i – средний уровень i -го фактора в натуральных единицах, определяемый как полусумма верхнего Ximax и нижнего Ximin уровней
варьирования этого фактора;  i – шаг варьирования i-го фактора (  1=
4;  2= 0,2).
На шаг варьирования накладываются следующие ограничения:
во-первых, он не может быть меньше ошибки опыта, во-вторых, не
может быть таким большим, что верхний и нижний уровни оказались
за областью определения целевой функции.
Весьма важным этапом планирования эксперимента является выбор математической модели изучаемого объекта. Математическую
модель всегда следует искать среди полиномов
k
k
y  b0   bi xi   bij xi x j   bii xt2  .... ,
t 1
t j
(2.2)
t 1
где b0, bi, bij, bii – коэффициенты регрессии, которые вычисляются по результатам эксперимента.
11
В том случае, когда априорная информация не даёт представления о характере поверхности отклика, выбор математической модели
ведётся шаговым поиском (рис. 2.2). Идея шагового поиска сводится к
следующему.
1
Полный или дробный
факторный
эксперимент
1
Нет
Линейная
модель адекватна ?
Да
Постановка контрольных
2
опытов для проверки
адекватности неполной
2
Эксперимент
завершён
Модель
адекватна ?
Нет
Да
3
Эксперимент по плану
второго порядка
3
Нет
Квадратичная
модель адекватна ?
Повышение степени
4
полиномиальной
модели
Эксперимент
завершён
Да
Эксперимент
завершён
Рис. 2.2. Структурная схема шагового эксперимента в задачах
интерполяционного типа
На первом этапе поверхность отклика предполагается линейной:
k
y  b0   bi xi .
t 1
12
(2.3)
В основе построения таких моделей лежит полный и дробный
факторные эксперименты (см. разд. 4), в которых факторы варьируются на двух уровнях (+1, -1). Если полученная модель недостаточно
точно описывает экспериментальные данные, то следует на основе
полного факторного эксперимента поставить контрольные опыты для
проверки адекватности неполной квадратичной модели (линейчатой)
k
y  b0   bi xi   bij xi x j .
(2.4)
t j
t 1
Если полученный результат отрицателен, необходимо добавить
экспериментальные точки для получения квадратичной модели:
k
y  b0   bi xi   bij xi x j   bii xi2 .
t 1
(2.5)
t j
Двухфакторная модель (2.5) в зависимости от значения коэффициентов регрессии имеет следующую геометрическую интерпретацию:
– если b11=b22=b12=0, то она описывает плоскость (рис. 1.2,а), которая параллельна осям X1 и X2, если b1=b2=0;
– если b11=b22=0, но b12 не равен нулю, то она описывает поверхность гиперболического параболоида (рис. 1.2,б), которая имеет тем
большую седловитость, чем больше b12 ;
– если b11 и b12 отличны от нуля, то модель описывает поверхность второго порядка (параболоид, гиперболический цилиндр и т.п.)
(рис. 1.2,в).
Шаговый поиск адекватной математической модели не эффективен при исследовании свойств грунтов, укреплённых минеральными
вяжущими. Как и в задачах экстремального типа, недостаток шагового поиска адекватной модели заключается в значительной растянутости эксперимента во времени, связанной с твердением материала.
После кодирования факторов приступают к составлению матрицы планирования эксперимента. Матрицей планирования эксперимента называется таблица, в которой строки соответствуют различным опытам (u = 1, 2, …, N ), а столбцы – значениям факторов ( i = 1,
2, .., k ). Методика составления плана-матрицы эксперимента специфична для каждого вида плана. Она рассматривается в соответствующих разделах пособия.
Составив план-матрицу эксперимента, можно переходить к непосредственной постановке опытов. Каждый опыт содержит неопределённость вследствие ограниченности экспериментального материала.
Постановка повторных (параллельных) опытов не даёт полностью
13
совпадающих результатов, потому что всегда существует ошибка
опыта. Все ошибки разделяются на систематические и случайные.
Систематические ошибки порождаются причинами, действующими
регулярно в определенном направлении. Систематические ошибки
исключают, тарируя измерительные приборы (например, при тарировке пресса для определения прочности при сжатии используют динамометр). В том случае, когда систематические ошибки вызываются
внешними условиями (например, изменением температуры смеси, активности вяжущего во времени и т.д.), следует компенсировать их
влияние рандомизацией опытов. Термин «рандомизация» происходит
от английского слова random – случайный. Для обоснованного применения аппарата математической статистики необходимо внести
элемент случайности влияния контролируемых неуправляемых факторов zp и неконтролируемых факторов εe (см. рис. 2.1) путём случайного порядка постановки опытов во времени.
Строго говоря, рандомизировать необходимо и параллельные
опыты. Учитывая, что это усложняет экспериментальные работы,
можно ограничиваться рандомизацией опытов по столбцу матрицы
планирования. Для осуществления рандомизации опытов пользуются
таблицей случайных чисел (прил. 1).
Допустим, в соответствии с матрицей планирования эксперимента необходимо поставить 16 рандомизированных опытов. В случайных местах прил.1 выписываются числа с 1 по 16 с отбрасыванием
чисел больше 16 и уже выписанных. В нашем случае, начиная с четвёртого столбца, получим такую последовательность: 2, 15, 9, 5, 12,
14, 13, 16, 1, 3, 7, 6, 11, 10. Это значит, что первым ставится опыт 2,
затем 15 и т.д.
Весьма важно исключить из экспериментальных данных грубые
ошибки при повторных опытах. Для этого используют критерий
Стьюдента
y
max
min
Su
y
 t  tT  f 
,
(2.6)
max
min
где y – результат опыта, который ставится под сомнение; y – среднее арифметическое из k параллельных опытов, вычисляемое без результата y
max
min
; Su – среднеквадратичное отклонение  параллельных
14
опытов в и-й строке матрицы, вычисляемое без результата y
формуле


 y y  yu
y 1
max
min
по

2
,
(2.7)
n 1
где t T (f) – табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости  и числе степеней свободы f = n –1 (прил. 2).
Уровень значимости выражает вероятность, которой решено пренебречь, рассматривая какое-либо условие. Обычно в технических задачах принимают уровень значимости  = 0,05.
Числом степенной свободы в статистике называется разность
между числом опытов и числом коэффициентов, которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.
Su 
max
min
Если результат y
не будет признан бракованным, то он вклю
чается в перерасчёт y и Sи.
Убедившись в том, что параллельные опыты не содержат брака,
следует вычислить дисперсию эксперимента (ошибку целевой функции). Для этого вначале следует проверить однородность дисперсии
опытов, т.е. доказать, что среди всех дисперсий нет таких, которые
значительно превышают все остальные. Критерием однородности
дисперсии опытов при равномерном дублировании опытов в строках
матрицы служит критерий Кохрена G, который является отношением
максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий S u2 [см. формулу
(2.7)].
2
S max
G n
 GT  f1, f 2  ,
(2.8)
2
 S max
1
G (f1,f2
где
) – табличное значение критерия Кохрена при уровне значимости  и числе степеней свободы f1 = k – 1 и f2 = N (прил. 3).
Содержание гипотезы об однородности дисперсии опытов состоит в проверке того, что дисперсии всех N опытов получены из одной и
той же совокупности и дают одинаковое рассеяние. При неравномерном дублировании опытов в строках матрицы однородности дисперсии опытов оценивается критерием Фишера.
15
Для этого из всех N дисперсий выделяется наибольшая и наименьшая:
2
S max
F  2  FT  f 3, f 4  ,
(2.9)
S min
где FT  f 3, f 4  – табличное значение критерия Фишера при уровне
значимости  и числе степеней свободы f3 qи1 –1 и f4 = qи2 (прил. 4);
qи1, qи2 – число параллельных опытов, использованных для вычисления максимальной и минимальной дисперсий.
Если условие (2.8) или (2.9) не выполняется, то необходимо либо
повысить точность опытов, либо уменьшить интервалы варьирования
факторов и увеличить повторность опытов. Для вычисления дисперсии эксперимента необходимо квадрат разности между значением yq
в каждом опыте и среднем значением из  повторных наблюдений y
просуммировать по числу опытов в матрице N, а затем разделить на
число степеней свободы fy = N (n – 1):
N


  y uq  y q
S 2 y 
u 1 q 1
N n  1
2

SS y
fy
,
(2.10)
где u = 1,2, …, N; q = 1,2, …, .
Формула (2.10) справедлива в тех случаях, когда число повторных опытов  по всем строкам матрицы одинаково. Другие варианты
формул (например, для случая неравномерного дублирования параллельных опытов в строках матрицы) приведены в прил. 5.
Дисперсия эксперимента S2y является суммарной величиной,
слагающейся из ошибок при измерении факторов, целевой функции и
ошибок при проведении эксперимента.
Выполнив изложенную подготовительную работу в виде статистического анализа экспериментальных данных, можно приступать к
вычислению коэффициентов регрессии функции отклика.
Математической основой вычисления коэффициентов регрессии
функции отклика служит метод наименьших квадратов, согласно которому минимизируется сумма квадратов отклонений между экспериментальным y u и вычисленным по уравнению регрессии значе
ниями целевой функции y по всем N опытам матрицы планирования.
Вид уравнений для вычисления коэффициентов регрессии приведён в
соответствующих разделах пособия.
16
После вычисления коэффициентов регрессии следует проверить
адекватность математической модели, т.е. достаточность её точности. Она оценивается критерием Фишера
2
S LF
F 2
 FT  f LF , f y  .
(2.11)
S y
2
Здесь S LF
– дисперсия за счёт неадекватности модели, вычисляемая по формуле
SS
2
S LF
 LF ,
(2.12)
f LF
где SSLF – сумма квадратов отклонений, связанная с адекватностью
модели, определяемая при равномерном дублировании параллельных
опытов по формуле

N 

SS LF     y u  y u  ,
(2.13)
u 1 

в которой  – количество дублированных опытов в строке матрицы;

y u – среднее значение результата опыта в u-й строке матрицы; y u –
вычисленное значение целевой функции в u-й строке матрицы; fLF –
число степеней свободы;
fLF    n  1 ,
(2.14)
2
где n – число рассматриваемых факторов; S y в (2.11) – дисперсия
ошибки эксперимента, вычисляемая по формуле (2.10).
Другие варианты формул (например, для случая неравномерного
дублирования параллельных опытов в строках матрицы) приведены в
прил. 5. В условии (2.11) FT f LF  f 3 , f y  f 4  является табличным
значением критерия Фишера при уровне значимости  и числе степеней свободы [fLF, fy ] (прил. 4).
Убедившись в адекватности полученной модели, следует выявить незначимые коэффициенты регрессии. Незначимость коэффициента регрессии при отдельном факторе или парном взаимодействии с дисперсией эксперимента S2y не влияет на целевую функцию.
Повысив точность эксперимента, можно получить значимое значение
коэффициента регрессии, а следовательно, говорить о влиянии фактора или группы факторов на этот коэффициент. Следует иметь в виду,
что на величину коэффициента регрессии влияет выбранный интервал
варьирования. Чем он уже, тем слабее проявляется влияние фактора
или группы факторов.


17
Значимость коэффициентов регрессии оценивается с помощью
критерия Стьюдента. Для такой оценки необходимо вычислить критическое значение коэффициента регрессии bк и сопоставить его с
фактическим:
bк = S b  tT  f   b ,
(2.15)
где Sb – среднеквадратичное отклонение коэффициента регрессии,
вычисляемое в зависимости от характера применяемого плана по соответствующим формулам; tT  f  – табличное значение критерия
Стьюдента при уровне значимости  и числе степеней свободы
f =N – 1 (прил. 2).
Полученная в итоге обработки результатов эксперимента математическая модель может быть использована для интерполирования целевой функции при любых значениях факторов внутри интервала их
варьирования. Модель можно оптимизировать по одному из факторов
или по всем факторам.
3. ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКТИВНОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ УЛУЧШЕННЫХ
ГРУНТОВЫХ ОСНОВАНИЙ
Конечным этапом построения математических моделей свойств
улучшенных грунтов является оптимизация их параметров. Для решения этой задачи прежде всего необходимо определиться с критерием оптимизации. В качестве такого критерия, в зависимости от характера решаемой задачи, может быть, например, стоимость или энергоёмкость единицы продукции.
Допустим, вектор свойств материала ó  ( ó1 ,... ói ) обуславливается вектором его компонентов Õ ( Õ1 ,... Õ ì ) и вектором внешних

факторов F  ( F1 ,...FN ) . Под вектором внешних факторов F понимается, например, количество циклов
замораживания-оттаивания. На

вектор свойств материала óå X , F  , при требуемых значениях внеш
них факторов F , накладываются ограничения в виде максимальных
уеmax и минимальных уеmin требуемых свойств грунта

y emin  y e X , F   y emax .
(3.1)
Задача сводится к поиску такого вектора компонентов грунта, который минимизирует стоимость его единичного объёма, т. е.
18

min S y X , F , X  X ,
(3.2)
где Х – область изменения аргумента X согласно (3.1).
Задачи (3.1), (3.2) решаются методами нелинейного программирования [20].
Конкретизируем постановку и решение этой задачи на примере
оптимизации состава одномерного песка, укреплённого портландцементом М-400. В качестве добавки, регулирующей морозостойкость
цементогрунта, применена кремнеорганическая жидкость ГКЖ-94
(табл. 3.1) [25].
В итоге получены адекватные математические модели свойств
   

цементогрунта: прочность на растяжение при изгибе R в МПа, водо
насыщение после замораживания-оттаивания W в % от массы цементогрунта:

R = 0,666+0,202х1+0,018х2+0,083х3-0,124х4+0,043х12+0,054х22-0,032х32+0,110х42+0,067х1х2+0,026х1х3-0,059х1х4+0,030х2х3+0,070х2х4+
+0,012х3х4+0,014х1х2х3+0,020х1х3х4+0,025х2х3х4+0,036х1х2х4 ; (3.3)

W = 8,61-0,35х1-0,03х2-0,59х3+0,72х4-0,03х1х2-0,01х1х3+0,05х1х4+
+0,36х2х3+0,04х2х4-0,31х3х4+0,19х12+0,05х22-0,52х32-0,06х42. (3.4)
Согласно [17] для цементогрунта I класса прочность на растяжение при изгибе должна составить не менее 1,0 МПа, коэффициент морозостойкости не менее 0,75, а водонасыщение после испытания на
морозостойкость не более 2 % сверх оптимальной влажности. Требуемая морозостойкость цементогрунта положена равной 30 циклам
замораживания-оттаивания.
Функционал стоимости одного кубометра цементогрунта в факторном пространстве -1 xi 1 имеет вид (см. табл. 3.1)
S =123,2+28,1x1+1,0x2+16,3x3  min .
(3.5)
С учётом введённых условий ограничения на свойства цементогрунта следуют из моделей (3.3) и (3.4):
– прочность на растяжение при изгибе до испытания на морозостойкость (х4 = -1), МПа:
1,0  0,900+0,261х1-0,052х2+0,071х3+0,043х12+0,054х22+0,032х32+
+0,031х1х2+0,005х2х3+0,014х1х2х3;
(3.6)
– прочность на растяжение при изгибе после 30 циклов замораживания-оттаивания (х4 = 0), МПа:
19
0,75  0,666+0,202х1+0,018х2+0,083х3+0,043х12+0,054х22-0,032х32+
+0,067х1х2+0,026х1х3+0,030х2х3+0,014х1х2х3 ;
(3.7)
– водонасыщение после испытания на морозостойкость (х4=0), %:
3х2+10  8,61-0,35х1-0,03х2-0,59х3-0,03х1х2-0,01х1х3+
+0,36х2х3+0,19х12+0,05х22-0,52х32.
(3.8)
Решение задачи нелинейного программирования (3.5)…(3.8)
осуществлялось методом случайного поиска.
Исследовано совместное (строка 1 табл. 3.2) и раздельное (строки
2…4 табл. 3.2) влияние ограничений (3.6)…(3.8) на минимальный по
стоимости состав цементогрунта. Из табл. 3.2 следует, что для получения оптимального состава цементогрунта с учётом ограничений по
прочности (3.6), морозостойкости (3.7) и водонасыщению (3.8) введение ГКЖ-94 неэкономично. Требуемые свойства цементогрунта обеспечиваются укреплением песка 12 % цемента. При этом стоимость
единицы продукции составляет 127 руб./м3. Из ограничений (3.6)…(3.8)
наиболее сильным является условие по обеспечению морозостойкости (3.8). Для удовлетворения этого условия песок необходимо укрепить 11 % цемента с добавкой 0,013 % жидкости ГЖК-94 (124
руб./м3). Условие по водонасыщению после испытания на морозостойкость (3.8) довольно слабое и удовлетворяется уже на нижних
уровнях факторного пространства (78 руб./м3).
Следовательно, снижать стоимость цементогрунта следует прежде всего путём применения дешёвых и эффективных добавок, регулирующих его морозостойкость.
Таблица 3.2
Варианты оптимизации состава цементогрунта
Вариант
оптимизации
1
2
3
4
Ограничения
(3.6)…(3.8)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Дозировки компонентов, %,
от массы грунта
цемент
вода
ГЖК-94
12
13
0
11,2
7
0
11
13
0,013
7
7,6
0
Стоимость,
руб./м3
127
117
124
78
По изложенной схеме возможна оптимизация состава укреплённого грунта при ограниченных ресурсах, например цемента.
В практике улучшения свойств грунтов довольно распространённой задачей является определение их оптимальной влажности. Обо20
значив оптимальную влажность х2, рассмотрим схему её поиска на
модели второго порядка:
k
ó  b0   bi xi 
i 1
 bij x i x j .
(3.9)
1i  j  k
Таким образом, необходимо найти такую функцию
x2 = (x1, x3, x4, …, xk) ,
(3.10)
чтобы выполнялось условие
F(x1, x3, …, xk) F [x1 (x1, x3, …, xk) x3, …,].
Задача решается в рамках классического экстремального анализа
[24]. Будем рассматривать F(x1, x2 ,…, xk) как функцию аргумента х2, а
остальные факторы как параметры. Тогда (3.9) можно переписать в
виде
Р(х2)=Ах22+Вх2+С , (-  xi  ) ,
(3.11)
где
А  b22 ;
k
k
В  b2   b2 ;
хj 
i 1, j  2
 bi2 x i ;
i  1, j  2
k
k
i 1, j  2
i 1, j  2
C  b0   b j x j   bij xi x j .
Найдём максимум Р(х2). Стационарная точка определится равенством
dP( x 2 )
 2 Ax 2  B  0 ,
(3.12)
dx 2
откуда при А  0 имеем
B
х2 =
.
(3.13)
2A
Знак второй производной Р(х2) позволяет судить о характере лоd 2 P( x2 )
кального экстремума. Так как
 2 A , то при А>0 Р(х1) = min,
dx 22
при А<0 Р(х1) = max.
Поскольку нас в данном случае интересует глобальный максимум
на отрезке (- ;+), то возможны следующие варианты его поиска
(см. рис. 3.1):
1. При А< 0 (рис. 3.1,а)
B
Â
P x2  / x2 
, åñëè 
   ;  ,
max P x 2 
2A
2À
(3.14)
   x2  
Â
max Ð m  , åñëè 
  ;  .
2À
21
2. При А 0 (рис. 3.1,б)
max P x 2   max, Ð  , Ð  ,
(3.15)
   x2   
y достигает максимума в звёздных точках.
3. Если А= 0 (рис. 3.1,в), то
P , ïðè Â  0, ò .å. x 2   ,
max P  x2  
P(  ), ïðè Â  0, ò .å. x 2   ,
(3.16)
C ïðè Â  0, íå çàâèñèò îò x 2 .
а)
б)
A<0
P
0
-α
в)
A>0
P
+α
x3
0
-α
A=0
P
+α
x3
0
-α
+α
x3
Рис. 3.1. Варианты поиска максимума по одной переменной функции многих
переменных на локальном участке (-; )
Выражается оптимальная влажность цементогрунта по его прочности при растяжении в виде, МПа,

R p =0,304+0,119х1+0,004х2-0,013х3-0,014х4+0,034х12+0,015х22+
+0,026х32+0,012х42+0,005х12-0,025х13+0,011х24+0,009х34 (3.17)
и сводится к следующему. Так как в (3.17) А >0, то имеет место слу
чай 2 (рис. 3.1,б). Глобальный максимум R p (х2) в соответствии с
(3.15) будет в какой-то из звёздных точек. С учётом этого рассчитаны

значения R p при оптимальной влажности (рис. 3.2).
22
Rpu , МПа
8 12
12
8
12
8
8
1,0
12
8
12
8
12
8
8
12% Ц
0,8
8
12
8
0,6
10 % Ц
12
12
8
8
8
12
8
12
8
8
12
12
12
0,2
12
12
8
12
12
6%Ц
12
12
8
8
8
12
8
0
0,4
0,2
8
0,4
0,8
12
12
12
12
12
0,6
0,8
1,6
CaCl2 , 
NaCl , %
Рис. 3.2. Зависимость прочности при растяжении Rpu супесчаного
цементогрунта от дозировок NaCl и CaCl2, цемента Ц, %.
Цифры на поверхностях – значения оптимальной влажности W, %
Перейдём к оптимизационной задаче конструктивно-технологических параметров улучшенных грунтовых оснований, например, под
водопропускные трубы.
Зачастую водопропускные трубы приурочены к местам со сложными грунтово-гидрологическими условиями (слабые грунты, высокий уровень подземных вод), в которых использование естественных
оснований чаще всего оказывается технико-экономически нецелесообразным. В таких случаях предпочтительно устраивать грунтовую
подушку, которая уменьшает интенсивность давления от фундамента,
плавно распределяя его по кровле слоя слабых грунтов, снижая возможность образования зон сдвигов (пластических деформаций) и для
уменьшения осадки фундамента.
23
Традиционно грунтовую подушку проектируют из несвязных материалов (песок, щебень) с постоянным по её толщине модулем деформации. Такое конструктивное решение неэкономично. Одним из
путей рационального использования свойств материала грунтовой
подушки является её проектирование по принципу закономерного
убывания модуля деформации с глубиной в соответствии с законом
затухания напряжений zр.
При этом грунтовая подушка рассматривается как упругая плита
на полупространстве, состоящая из однородных слоёв, связанных между собой непрерывностью напряжений и перемещений, загруженная
полосовой нагрузкой р. Каждый i-й слой характеризуется толщиной hi
и модулем деформации Еi.
Толщина каждого слоя hi должна быть равна или больше допустимой, исходя из условия его рационального уплотнения.
Таким образом, рассматривается грунтовая подушка с расположением слоёв, при котором модули деформации материала уменьшаются с глубиной по экспоненциальному закону
E ï zhï1  E 0  exp   zhn1 ,
(3.18)
где Е0 – модуль деформации материала грунтовой подушки под подошвой фундамента;
z – координата рассматриваемой точки;
hn – высота грунтовой подушки;
 – коэффициент, характеризующий интенсивность затухания
модуля.
Различные модули деформации материала подушки Еп могут
быть получены путём введения в грунт различных добавок: гранулометрических или вяжущих. Зависимость модуля Еп от величины упомянутых добавок xq рационально получать на основе планирования
эксперимента в виде полинома, зачастую, второго порядка (см. 2.5)



m

m
Eïi xq   b0   bq xq   bqr xq xr   bqq xq2
q r
q 1
.
(3.19)
q 1
Стоимость единицы объёма i-го слоя подушки сi(xq) определяется
стоимостью грунта и стоимостью добавок. Тогда целевая функция
рассматриваемой оптимизационной задачи запишется в виде (рис. 3.3)
n
C    Vi  ci x q   min ,
(3.20)
i 1
где Vi – объём i-го слоя многослойной грунтовой подушки;
сi(xq) – стоимость единицы объёма i-го слоя материала подушки.
24
y2
C1
y1
x1
C2
C3
C4
x1
Cmin
Cn
opt
y3
0
x2opt
x2
Рис. 3.3. К оптимизации конструктивно-технологических
параметров грунтовой подушки
Ограничениями на целевую функцию (3.20) являются условия
обеспечения первого и второго предельных состояний основания водопропускной трубы согласно СНиП 2.02.01-83[19].
Расчёт основания под подушкой по первой группе предельных
состояний – по несущей способности – производится из условия [20]:
 n  hn    hô    p    hô   R  1,7R0 1  k1 b  2 
(3.21)
 k 2   d  3 ,
где п и  – удельный вес грунта подушки и слабого слоя, кН/м3;
 – коэффициент затухания напряжений под ленточным фундаментом;
R – расчётное сопротивление грунта, кПа;
R0 – условное сопротивление грунта, кПа;
d – глубина, на которой определяется R, м;
k1, k2 – коэффициенты, принимаемые в зависимости от разновидности грунта.
Расчёт по второму предельному состоянию ограничивает деформации основания и фундамента трубы S. Осадка грунтовой подушки
Sп и нижележащих грунтов Sсл должна быть не более допустимой величины осадки основания и фундамента трубы Sи (рис.3.4):
 k  zp ,i  hi
n  zp ,i  hi 
  Sè ,
(3.22)
S  S n  S ñë  0,8   
 
 i 1 E ni

E
i  k 1
j


25
где zр,i – дополнительное вертикальное нормальное напряжение в i-м
слое грунта, кПа;
Ej – модули деформации нижележащих слоёв грунта, МПа;
к, n – соответственно число слоёв грунта, на которые разбита
эпюра давлений в пределах подушки и сжимаемой толщи основания.
Нн
1
3
2
4
zq
1:m
hф
zp
FL
x opt
hп Епi пi спi
b
WL
zq
zр
zq
Е1  1 с 1
zр
Е2  2 с 2
Водоупор Еj j сj
BC
z
Рис. 3.4. Расчётная схема грунтовой подушки фундамента
водопропускной трубы: 1 – водопропускная труба;
2 – лекальный блок фундамента; 3 – насыпь; 4 – многослойная
грунтовая подушка; Нн – высота насыпи
Вертикальные напряжения zр на глубине z от подошвы фундамента по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента,
определяются по формуле
 zp    po ;
p o  p    hô ,
(3.23)
где р0 – вертикальное давление на основание, кПа;
hф – расстояние от поверхности земли до подошвы фундамента, м.
Вертикальные напряжения zq от собственного веса на глубине z
от подошвы фундамента определяются следующим образом:
m
 zq    hô    i  hi ,
i 1
26
(3.24)
где m – число инженерно-геологических элементов (ИГЭ) от поверхности до нижней границы сжимаемой толщи основания;
i и hi – соответственно удельный вес и толщина i-го слоя ИГЭ.
Удельный вес грунтов, залегающих ниже уровня подземных вод,
но выше водоупора, должен приниматься с учётом взвешивающего
действия воды
 â    s   w   g / 1  e  ,
(3.25)
где s – плотность частиц грунта, т/м3;
w – плотность воды, 1 т/м3;
g – ускорение свободного падения, 9,81 м/с2;
е – коэффициент пористости грунта.
Предельно допустимая совместная деформация основания и трубы в формуле (3.22) имеет вид
S u    0,25 i  Lòð ,
(3.26)
в выражении для которой ордината строительного подъёма по оси насыпи , м, определяется формулой
  S  0,25 i  Lòð  0,5 S  i  Lòð  .
(3.27)
Здесь i – проектный уклон трубы, %;
Lтр – длина трубы, м.
В результате решения задачи нелинейного программирования в
виде линейной целевой функции (3.20) и нелинейных ограничений
(3.21) и (3.22) получим оптимальные параметры грунтовых подушек
фундаментов водопропускных труб (толщина i-го слоя грунта подушки и величина входящей в него добавки xq).
4. ПОЛНЫЙ И ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЕ
ЭКСПЕРИМЕНТЫ ТИПА 2k
Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется такой
эксперимент, при реализации которого определяется значение целевой функции при всех возможных сочетаниях уровней варьирования
факторов. Если рассматривается k факторов, каждый из которых устанавливается на h уровнях, то для постановки ПФЭ необходимо поставить N = hk опытов.
Наибольшее распространение получили эксперименты, в которых
факторы варьируются на двух уровнях, т.е. эксперименты типа 2k. В
кодированных значениях факторов этими уровнями будут –1 и +1.
27
Полный факторный эксперимент типа 2k позволяет построить линейную модель целевой функции y от k факторов
k
y  b0   bi xi ,
(4.1)
i 1
где b0 – свободный член; bi – коэффициенты регрессии.
Величины коэффициентов регрессии bi при независимых переменных указывают на силу влияния факторов xi. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор.
Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора значение целевой функции увеличивается, если минус – функция
уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного
фактора в величину целевой функции y при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.
Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ состоят
из следующих этапов: кодирования факторов, составления матрицы
планирования эксперимента, реализации плана эксперимента постановкой рандомизированных опытов, проверки воспроизводимости
опытов, проверки адекватности модели, оценки значимости коэффициентов регрессии. Рассмотрим те этапы, которые являются специфичными именно для ПФЭ. После кодирования факторов можно переходить к составлению матрицы планирования эксперимента.
Построение матрицы планирования полного факторного эксперимента покажем на простейшем примере, когда k=2. Число строк в
такой матрице составит 22=4, а число столбцов k=2. Порядок заполнения клеток получившейся таблицы следующий. Первый столбец
начнём с +1, -1, снова +1 и –1. Во втором столбце чередование знаков
осуществляем через две строки, т.е. +1,+1,-1,-1.
Матрица планирования ПФЭ для k=2 выделена в левом верхнем
углу табл. 4.1 линией. Следующим этапом построения математической модели является реализация плана эксперимента на основе матрицы ПФЭ (табл. 4.1) постановкой рандомизированных опытов.
Далее проверяется воспроизводимость параллельных опытов, которая осуществляется при одинаковом числе параллельных опытов на
каждом сочетании уровней факторов по критерию Кохрена [см. формулу (2.8)].
Полученные на этом этапе в каждом опыте дисперсии воспроизводимости Su используются для вычисления дисперсии воспроизводимости эксперимента по формуле (2.7).
28
Таблица 4.1
Матрица планирования полного факторного эксперимента типа 2k
№ опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
х1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
Х2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
Х3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
Х4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
х5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
Искомые коэффициенты регрессии уравнения рассчитывают по
следующим формулам:
N
 yu
b0 
29
u 1
N
;
(4.2)
N
 xiu y u
u 1
,
(4.3)
N
где у u – среднее значение целевой функции из u параллельных опытов.
Далее проводится оценка адекватности полученной модели с помощью критерия Фишера [см. формулу (2.11)]. В случае неадекватности линейной модели следует попытаться проверить адекватность
квадратного уравнения (см. рис.2.2)
bi
k
y  b0   bi xi   bij xi x j ,
i 1
(4.4)
i j
для которого коэффициент регрессии при парном взаимодействии xixj
вычисляется следующим образом:
N
 x iu x ju y u
u 1
.
(4.5)
N
Для такой проверки нет степеней свободы, т.к. число опытов N
совпадает с числом определённых коэффициентов регрессии. Такой
план эксперимента называется насыщенным. Чтобы устранить эту
трудность, необходимо поставить дополнительные опыты в центре
эксперимента, т.е. когда все факторы находятся на нижнем уровне
(xi= 0). Это даёт возможность провести косвенную оценку суммарного эффекта квадратных членов.
Сумма всех коэффициентов при квадратичных членах составит
(4.6)
 bn  b0  y 0 ,
где y0 – среднее значение целевой функции, полученное из опытов на
нулевом уровне факторов (xi=0).
Значимость коэффициентов при квадратичных членах уравнения
оценивается критерием Стьюдента (прил. 2)
b0  y 0  t  f S y .
(4.7)
Если условие (4.7) выполняется, то вклад квадратичных эффектов
равен нулю. Следует иметь в виду, что возможен вариант, когда сумма положительных коэффициентов при квадратичных членах будет
равна или близка сумме отрицательных, поэтому такая проверка не
является абсолютной.
Пример. Исследование морозоустойчивости горелой породы, укреплённой цементом, был использован ПФЭ 23 ортогонального планирования i-го порядка [11]. В качестве целевой функции принята веbij 
30
личина коэффициента пучения горелой породы, укреплённой цементом. В качестве факторов приняты: х1 – дозировка цемента; х2 – зерновой состав горелой породы; х3 – степень обжига породы; х1 и х2 – количественные факторы, х3 – качественный фактор, нижний уровень
которого соответствует плохо обожжённой породе, верхний – хорошо
обожжённой породе. Условия планирования, где приведены регулируемые факторы, их уровни и интервалы варьирования, приведены в
табл. 4.2.
Таблица 4.2
Условия планирования эксперимента при исследовании
морозоустойчивости горелой породы, укреплённой цементом
Фактор
Код
Интервал
Единица
варьироваизмерения
ния
Уровни
факторов
-1
0
+1
Количество цемента
х1
1,0
%
4
5
Зерновой состав горелой х2
породы
мм
0…5
Степень обжига горелой х3
п.о.
породы
Примечание. п.о. и х.о. – плохо и хорошо обожжённые породы.
6
5…25
х.о.
Испытания горелых пород на морозоустойчивость проводились
на образцах-цилиндрах размерами Н=Д=10 см, сформованных на
большом приборе стандартного уплотнения, из горелой породы фракций до 25 мм, укреплённой цементом при оптимальной влажности.
Образцы набирали прочность во влажной среде в течение 28 сут.
Промораживание образцов, помещённых в специальные цилиндрические формы, проводилось в морозильной камере до полного промерзания в течение 120 ч при температуре –50 С со скоростью не более 2 см/сут. Промораживание шло только сверху при неограниченном подтоке воды снизу. Деформации пучения замерялись индикаторами часового типа ИГМ-1 с ценой деления 0,01 мм.
Матрица планирования и результаты эксперимента приведены в
табл. 4.3.
По каждой строке матрицы на морозоустойчивость испытывалось
два образца, по которым определялось среднее значение коэффициента пучения.
31
Таблица 4.3
Матрица планирования и результаты эксперимента при
исследовании морозоустойчивости укреплённой цементом горелой породы
Уровни факторов
в условных единицах
в натуральных единицах
дозировка зерновой состепень
х1
х2
х3
цемента,
став породы,
обжига
%
мм
породы
+
+
+
6
5…25
х.о.
+
+
4
5…25
х.о.
+
+
6
0…5
х.о.
+
4
0… 5
х.о.
+
+
6
5…25
п.о.
+
4
5…25
п.о.
+
6
0…5
п.о.
4
0…5
п.о.
Результаты
опытов
l,
мм
Кп , %
0,09
0,46
0,56
0,36
1,45
1,94
1,40
2,18
0,11
0,60
0,73
0,43
2,02
2,45
1,82
3,02
По результатам расчётов линейных коэффициентов регрессии и
эффектов взаимодействия факторов получено: b0 = 1,4; b1 = -0,23; b =
-0,1; b3 = -0,93; b12 = 0,0625; b13 = 0,18; b23 = -0,01.
Проверка адекватности описания результатов эксперимента линейной моделью показала, что при 5 %-м уровне значимости представление экспериментальных данных полиномом 1-го порядка можно считать адекватным.
После проверки значимости найденных коэффициентов и отбрасывания незначимых коэффициентов уравнение регрессии, описывающее морозоустойчивость горелой породы, укреплённой цементом,
в зависимости от дозировки вяжущего х1, зернового состава горелой
породы х2 и её степени обжига х3 примет вид
Кп = 1,4 – 0,29х1 – 0,1х2 – 0,93х3 + 0,18х13.
Число опытов в ПФЭ превышает число коэффициентов линейной
модели (4.1). Эта разница с увеличением числа факторов очень быстро растёт, что создаёт предпосылки для сокращения числа необходимых опытов.
На основе априорной информации иногда возможно предположить, что влияние некоторого взаимодействия несущественно, т.е. коэффициент регрессии при таком взаимодействии незначимо отличается от нуля. Это позволяет использовать соответствующий столбец
расширенной матрицы для оценки влияния дополнительного фактора.
В подобных ситуациях следует переходить к планам, представляю32
щим собою части плана ПФЭ (половину, четверть и т.д.) и называемым дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Например, план
для трёх факторов, содержащий только четыре опыта, называется
ДФЭ 23-1, план для пяти факторов, содержащий всего восемь опытов,
называется ДФЭ 25-2 и т.д.
Для построения плана ДФЭ вначале строится план ПФЭ для числа факторов, равного разнице между факторами ПФЭ и степенью
дробности. Так, в приведённых выше примерах 3-1=2 и 5-2=3. Оставшиеся факторы варьируются как произведение каких-либо факторов,
включённых в первую группу.
В ДФЭ не удаётся найти раздельно все коэффициенты при факторах и их взаимодействиях. Поясним сказанное на примере. Если
допустить, что взаимодействие факторов х1 и х2 незначимо, то это обстоятельство позволит при этом же количестве опытов, что и в ПФЭ
типа 22, выяснить влияние на исследуемое свойство грунта фактора
х3. Матрица планирования эксперимента остается такой же (см. табл.
4.1), с той лишь разницей, что столбец х1 х2 означает уровни фактора
х3 (табл. 4.4). В табл. 4.4 приведено четыре опыта, по ним можно оценить влияние трёх линейных эффектов. Если бы при k=3 был поставлен ПФЭ, то согласно табл. 4.1 следовало бы поставить восемь опытов, т. е. в два раза больше. Если расширить матрицу планирования до
такой, как показано в табл. 4.5, то при сравнении столбцов можно
сделать выводы: столбец х2 х3 полностью повторяет столбец х1; столбец х1 х3 точно такой же, как столбец х2; столбец х1 х2 имеет те же
знаки, что столбец х3.
При построении планов ДФЭ важно знать, каким образом будут
смешаны между собой эффекты. Условия смешивания эффектов в
матрице ДФЭ задаются определяющим контрастом, который, в свою
очередь, зависит от того, какое взаимодействие в матрице планирования заменено эффектом. Так, в табл. 4.4 х3= х1 х2 .
Таблица 4.4
Матрица планирования
дробного факторного эксперимента типа 23-1
№
опыта
1
2
3
4
х1
х2
х3=х1 х2
+
+
-
+
+
-
+
+
33
Таблица 4.5
Расширенная матрица планирования
дробного факторного эксперимента типа 23-1 (полуреплика)
№
опыта
1
2
3
4
х1
х2
х3
х1 х2
х1 х3
x2 х 3
х1 х2 х3
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
Это выражение называется генерирующим соотношением. Умножив генерирующее соотношение на х3 , получим
х32= х1 х2 х3 .
Поскольку х32=1 независимо от того, на каком уровне этот фактор находится, т. е. равен +1 или -1 , можно записать
1= х1 х2 х3 .
Это выражение и называется определяющим контрастом. С его
помощью можно определить, каким образом в матрице планирования
смешаны различные эффекты. Для этого необходимо определяющий
контраст умножить на интересующий нас эффект. Например, для полуреплики, приведённой в табл. 4.4, генерирующее соотношение равно х3 = х1 х2 , а определяющий контраст имеет вид 1= х1 х2 х3 . Отсюда
условия смешения следующие:
для х1
х1= х12 х2 х3 = х2 х3;
для х2
х2= х1 х22 х3 = х1 х3;
для х3
х3= х1 х2 х32 = х1 х2 (так как хi2 = 1).
Выбор степени дробности эксперимента проводится в зависимости от поставленной задачи и априорной информации. Иногда важно
иметь раздельные, независимые оценки не линейных эффектов, а эффектов парных взаимодействий.
Итак, планы ПФЭ типа 2n или ДФЭ 2k-p позволяют найти коэффициенты регрессии в уравнении (4.4), если аппроксимирующая поверхность хорошо описывается неполным квадратичным полиномом.
Определим признаки аппроксимирующей поверхности, по которым
можно судить о допустимости использования такого полинома.
Рассмотрим двухфакторные поверхности отклика на рис. 4.1 .
На рис. 4.1,а показана поверхность существенно криволинейная,
однако хорошо аппроксимируемая неполным квадратичным полиномом. Эта поверхность линейна в любом сечении, т.е. любая зависимость y=f(xi) при xj=const(j  i) представляет собою прямую линию, а
34
кривизна обусловлена изменением угловых коэффициентов этих прямых. Неполный квадратичный полином даёт тот же результат, если в
нём зафиксировать все факторы, кроме одного. Описываемая им поверхность при учёте всех членов строго проходит через точки, по которым определялись коэффициенты.
a)
б)
y
y
x2
x2
x1
в)
x1
y
x2
x1
Рис. 4.1. Варианты аппроксимации различных поверхностей
отклика у неполным квадратичным полиномом (пунктиром
обозначена аппроксимируемая поверхность, а сплошными
линиями – аппроксимирующая)
Иная ситуация показана на рис. 4.1,б. Здесь кривизна поверхности меньше, чем на рис. 4.1,а, однако она порождена не взаимодействием факторов, а нелинейностью сечений y= f(x1) при x2=const . В
данном случае аппроксимация неполным квадратичным полиномом
может оказаться неудовлетворительной.
35
Это обстоятельство можно уточнить, поставив дополнительный
опыт в нулевой точке ( х1= х2= 0 ). Отметим случай, когда опыт в нулевой точке дает хороший результат, а аппроксимация неудовлетворительная (рис. 4.1,в). Это возможно, когда коэффициенты при квадратичных членах имеют различные знаки, следовательно, мало искажают свободный член b0, т.е. аппроксимирующая поверхность близко
подходит к исходной в пяти точках (точки ПФЭ и центр плана), но
далеко отстоит от неё во всех остальных точках.
Итак, признак невозможности или малой пригодности использования плана ПФЭ или ДФЭ заключается в нелинейности каких-либо
сечений поверхности отклика. Косвенно об этом можно судить по

расхождению между значениями у и ó в нулевой точке плана.
Пример. При подборе оптимальных составов грунтов, укреплённых нефелиновым шламом, использовалось ортогональное планирование первого порядка типа ДФЭ 25-2 [10]. Определяющий контраст
выбранной четверть-реплики
1 = х1х2х3 = х3х4х5 = х1х2х3х4 .
Основными нормируемыми свойствами укреплённых грунтов являются их прочность и морозостойкость. Поэтому прочность при
сжатии Rсж суглинка и песка, укреплённых нефелиновым шламом,
была выбрана в качестве функции отклика, а морозостойкость, измеряемая количеством циклов замораживания – оттаивания (ЦЗО),
включена в качестве одного из действующих факторов (х5).
В качестве управляемых факторов были приняты: х1 – дозировка
нефелинового шлама; х2 – дозировка воды; х3 – время между увлажнением и уплотнением смеси; х4 – возраст образцов в сутках; х5 – количество циклов замораживания-оттаивания.
Условия планирования эксперимента, матрица планирования и
результаты эксперимента по подбору составов грунтов, укреплённых
нефелиновым шламом, приведены в табл. 4.6 и 4.7.
После оценки значимости рассчитанных коэффициентов регрессии математические модели прочности грунтов, укреплённых нефелиновым шламом, под воздействием вышеприведённых факторов
имеют вид:
 для укреплённого суглинка
Rссж = 0,653 + 0,227х1 + 0,212х4 – 0,186х5 ,
 для укреплённого песка
Rпсж = 1,05 + 0,591х1 + 0,171х2 + 0,248х4 – 0,126х5 .
36
Таблица 4.6
Условия планирования эксперимента
при укреплении грунтов нефелиновым шламом
Фактор
Код
Ед.
изм.
Интервал
варьирования
1. Дозировка шлама
2. Дозировка воды
3.Время между увлажнением и уплотнением
4. Возраст образцов
х1
х2
%
%
4 (3)
4 (3)
х3
х4
ч
сут
2
-
Уровни варьирования
факторов
-1
+1
6 (8)
14
6 (8)
14
5. Количество ЦЗО
х5 Циклы
) в скобках – дозировка шлама и вода для песка
0,5
7
4,5
28
0
15
Таблица 4.7
№
опытов
Матрица планирования и результаты эксперимента
при укреплении грунтов нефелиновым шламом
Rсж укреплённых грунтов,
МПа
Значения факторов в единицах
х1
условных
х2 х3 х4
х5
1
-
-
-
-
-
2
+
+
-
-
-
3
-
-
+
+
-
4
+
-
+
-
+
5
-
+
+
-
+
6
+
-
-
+
+
7
-
+
-
+
+
8
+
+
+
+
-
х1
6
8
14
6
8
14
14
6
8
14
14
6
8
14
натуральных
х2
х3
х4
6 0,5
7
8 0,5
7
14 0,5
7
6 4,5 28
8 4,5 28
6 4,5
7
8 4,5
7
14 4,5
7
14 4,5
7
6 0,5 28
8 0,5 28
14 0,5 28
14 0,5 28
14 4,5 28
х5
0
0
0
0
0
15
15
15
15
15
15
15
15
0
суглинка
песка
0,45
0,32
0,77
1,33
0,9
0,52
0,59
1,25
0
0,34
0,93
1,45
0,35
0,68
1,23
2,56
При этом влияние на прочность при сжатии Rcж укреплённых
грунтов фактора времени между увлажнением смеси и её уплотнением х3 незначимо, т.е. смесь в течение 4,5 ч остаётся удобоукладываемой и удобоуплотняемой. Это свойство весьма практично при производстве работ по укреплению грунтов нефелиновым шламом по сравнению с другими минеральными вяжущими, например с цементом.
37
Наибольшее влияние на Rcж грунтов, укреплённых нефелиновым шламом, оказывает дозировка вяжущего, затем следует влияние
возраста испытываемых образцов, причём оно сильнее сказывается
при увеличении дозировки вяжущего.
Так, при 8 % дозировке нефелинового шлама Rсж укреплённого
песка при 28-суточном наборе прочности равна 1 МПа, а к 90-м суткам она повышается незначительно. При 14 % дозировке шлама зависимость Rсж от возраста имеет линейный вид, и по сравнению с Rсж
в 28-суточном возрасте прочность к 90-м суткам увеличивается в 2
раза.
Третий класс прочности, при котором укреплённые грунты, согласно Пособию [17], можно применять в дополнительных слоях дорожных оснований, достигается при 10 % укреплении нефелиновым шламом
суглинка и при 8 % укреплении песка. Если песок укрепить 13 % шлама,
смесь достигнет второго класса прочности, и её можно будет использовать для устройства верхних слоёв оснований на автомобильных
дорогах III и IV категорий или устройства покрытий (с двойной поверхностной обработкой) на дорогах V категории.
Важно, чтобы морозостойкость грунтов, укреплённых нефелиновым шламом, соответствовала нормам. Исследования показали, что
коэффициент морозостойкости суглинка, укреплённого 10 % нефелинового шлама, равен 0,65, песка, укреплённого 8 % шлама, – 0,75,
13 % – 0,8.
5. РОТАТАБЕЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ЭКСПЕРИМЕНТА ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ротатабельными планами называются такие, которые дают возможность предсказывать значение целевой функции с дисперсией,
одинаковой во всех точках факторного пространства с радиусом
k
  (  xi2 ) 0,5 . Помимо этого ротатабельные планы обеспечивают раi 1
венство предсказанных дисперсий уравнением регрессии в любой
точке   0,1. Это свойство называется униформностью плана.
Построение ротатабельных планов сводится к добавлению опытов к ядру полного факторного эксперимента ПФЭ типа 2k или дробного факторного эксперимента ДФЭ типа 2k-p, рассмотренных в разд.
4. Одна часть опытов добавляется в центре плана (на нулевом уровне), а другая часть – на расстоянии  от центра (рис 5.1). Расстояние
38
 называется звёздным плечом, величину которого можно вычислить
для ядра, содержащего ПФЭ по формуле  = 2k/4, а для ядра, содержащего полуреплику ПФЭ, по формуле   2 (k-l)/4. Необходимые данные для построения ротатабельных планов второго порядка приведены в табл. 5.1. Общее количество опытов в ротатабельном плане второго порядка
N = 2k + 2k + n0 ,
(5.1)
где n0 – число опытов в центре плана.
а)
б)
x3
x2
7
2
+1
-а
6
-1
1
8
7
+а
9-13 0
x1
-а
+1 5
12
4
-1
11
+а
10
3
x2
5
6
9 x1
+а
2
1
-а
8
4
14
3
Рис. 5.1. Схема построения планов второго порядка для эксперимента:
а – двухфакторного; б – трёхфакторного
Таблица 5.1
Параметры ротатабельных планов второго порядка
Число
Число
факторов
точек ядра
k
2k
2
4
3
8
4
16
5
32
к
5
16
6
64
6х
32
7
128
х
7
64
х
– полуреплика
Число
звёздных
точек 2k
4
6
8
10
10
12
12
14
14
39
Число
нулевых
точек n0
5
6
7
10
6
15
9
21
14
Величина
звёздного
плеча 
1,414
1,682
2,000
2,378
2,000
2,828
2,378
3,333
2,828
Общее
число опытов N
13
20
31
52
32
91
53
163
92
В табл. 5.2 приведён пример расширенной матрицы ротатабельного двухфакторного плана.
В том случае, когда ротатабельный план второго порядка, в соответствии с шаговым поиском адекватной модели (см. рис. 2.2), достраивается на ПФЭ или ДФЭ, следует иметь в виду два немаловажных
обстоятельства.
В табл. 5.2 приведён пример расширенной матрицы ротатабельного двухфакторного плана. В том случае, когда ротатабельный план
второго порядка, в соответствии с шаговым поиском адекватной модели (см. рис. 2.2), достраивается на ПФЭ или ДФЭ, следует иметь в
виду два немаловажных обстоятельства.
Изучая влияние какой-либо i-й добавки на свойства грунта, для
выявления её эффективности небезынтересно включить в область определения целевой функции нижним уровнем хimin = 0. Однако равенство нулю нижнего уровня по этой добавке исключает переход, например, от ПФЭ к ротатабельному плану, т. к. нижний уровень ротатабельного плана находится в звёздной точке ximin = -, которая в натуральных переменных примет отрицательное значение.
Применение ротатабельных планов для дискретных областей определения целевых функций несколько увеличивает дисперсию эксперимента. Это является следствием нецелочисленности звёздного
плеча  (табл. 5.1).
Таблица 5.2
Расширенная матрица ротатабельного плана
второго порядка для k=2
2
Планирование типа 2
Звёздные точки
Нулевые точки
№
х1
х2
опыта
1
+1
+1
2
+1
+1
3
+1
-1
4
-1
-1
5
+1,414
0
6
-1,414
0
7
0
+1,414
8
0
-1,414
9
0
0
10
0
0
11
0
0
12
0
0
40
x1 2
х2 2
x1 х2
y
+1
+1
+1
+1
2
2
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
0
0
2
2
0
0
0
0
+1
-1
-1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y10
y11
y12
13
0
0
0
0
0
y13
Вышеперечисленные недостатки исключаются применением Dоптимальных планов, рассмотренных в разд. 6 пособия.
Расчёт коэффициентов регрессии полинома второго порядка (2.5)
выполняется по следующим формулам:
N
k N
b0  a1  y u  a 2   xiu2 y u ;
u 1
(5.2)
1 u 1
N
bi  a3  xiu y u ;
(5.3)
bij  a 4  xiu x ju y u ;
(5.4)
u 1
N
u 1
N
k
N
u 1
1
u 1
bii  a5  xiu2 y u  a 6  x iu2 y u  a 7  y u .
(5.5)
В выражениях (5.2)…(5.5) использованы обозначения: уu – среднее значение целевой функции в u-м опыте из k повторностей; xiu , xju
– текущее значение факторов хi и xj в u-м опыте.
Значения коэффициентов а1, а2 ,…, а7 для числа факторов 2  n  7
приведены в табл. 5.3.
Таблица 5.3
Значение коэффициентов аi в формулах (5.2)…(5.9)
Число Общее
b0
факчисло
а1
а2
торов опытов
2
13
0,2000 0,1000
3
20
0,1663 0,0568
4
31
0,1428 0,0357
5
52
0,0988 0,0191
х
5
32
0,1591 0,0341
6
91
0,6250 0,0098
6х
53
0,1108 0,0187
7
163
0,0398 0,0052
х
7
92
0,0703 0,0098
х
– полуреплика ПФЭ
bi
bij
bii
а3
А4
а5
а6
а7
0,1250
0,0732
0,0414
0,0231
0,0417
0,0125
0,0231
0,0066
0,0125
0,2500
0,1250
0,0625
0,0312
0,0625
0,0156
0,0312
0,0078
0,0156
0,1251
0,6250
0,0312
0,0156
0,0312
0,0078
0,0156
0,0039
0,0078
0,0187
0,0069
0,0037
0,0015
0,0028
0,0005
0,0012
0,0002
0,0005
0,1000
0,0568
0,0357
0,0191
0,0341
0,0098
0,0187
0,0052
0,0098
Адекватность полученной математической модели оценивается
критерием Фишера по формуле (2.12).
41
Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется
по формуле (2.16). Входящая в это выражение дисперсия коэффициента регрессии для рассматриваемого планирования определяется по
формулам
S 2 b0   a1 S 2 y ;
(5.6)
S 2 bi   a3 S 2 y ;
(5.7)
S 2 bij   a 4 S 2 y ;
(5.8)
S 2 bii   a5 S 2 y ,
(5.9)
где S2{у} – дисперсия эксперимента, вычисляемая по формуле (2.10).
Пример. Необходимо изучить влияние хлоридов натрия и кальция на прочность при растяжении супесчаного цементогрунта. Принятый ротатабельный план второго порядка состоит из полного факторного эксперимента 24, восьми звёздных точек ( = 2,0) и семи центральных (табл. 5.4).
Таблица 5.4
Факторы и их уровни в условном и натуральном масштабах
Фактор
Единица
Код
Шаг
измерения фактора варьирования
 хi
%
x1
2,0
%
x2
1,0
Уровни факторов
-2
-1
0
+1
+2
Цемент
4
6
8 10 12
Вода
8
9
10 11 12
Хлористый
натрий
%
x3
0,4
0
0,4 0,8 1,2 1,6
Хлористый
кальций
%
x4
0,2
0
0,2 0,4 0,6 0,8
Примечание. Дозировки компонентов назначены от массы сухого грунта.
Факторы и их уровни в условном и натуральном масштабах сведены в табл. 5.4, а матрица планирования – в табл. 5.5.
Результаты опытов с трёхкратной повторностью Rр1, Rр2, Rр3 и их
среднее значение R p сведены в табл. 5.5.
В рассматриваемом плане коэффициенты а1…а6 для вычисления
коэффициентов регрессии полинома второго порядка (2.5) имеют
следующие значения (см. табл. 5.3):
а1= 0,1428; а2 = 0,0357; а3 = 0,0414; а4 = 0,0625;
а5 = 0,0312; а6 = 0,0037; а7 = 0,0357.
42
Для определения коэффициентов регрессии по формулам
(5.2)…(5.5) на основе табл. 5.5 рассчитываются суммы:
N
 y u  0,49  0,28  0,44  ..........  0,26  ;
u 1
N
 yu x1u  0,49(1)  0,28( 1)  0,44(1)  ...  0,65(2)  0,23( 2) 
u 1
.
.
.
.
.
.
+ 0,26(0) = ;
.
.
.
.
.
.
.
.
N
 yu x4u  0,49(1)  0,28(1)  0,44(1)  ...  0,33( 2)  0,38(2) 
u 1
+ 0,26(0) = ;
N
2
 yu x1u  0,49(1)  0,28(1)  0,44(1)  ...  0,65( 4)  0,23(4)  ...  0,26(0) ;
u 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N
2
 yu x4u  0,49(1)  0,28(1)  0,44(1)  ...  0,33( 4)  0,38(4)  ...  0,26(0) ;
u 1
N
 yu x1u x2u  0,49(1)(1)  0,28(1)(1)  0,44(1)(1)  ...  0,65(2)(0) 
u 1
.
.
.
.
+0,23(2)(0) +…+0,26(0)(0) = ;
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N
 yu x3u x4u  0,49(1)(1)  0,28(1)(1)  0,44(1)(1)  ...  0,41(2)(0) 
u 1
+0,41(-2)(0)+…+0,26(0)(0) = .
После чего вычисляются коэффициенты регрессии:
b0=0,3051; b1=0,1178;
b2=0,0033;
b3=0,0138;
b4=0,0152;
b11=0,0337; b22=0,0153; b33=0,0253;
b44=0,0124;
b12=0,0050; b13= -0,0250; b14= -0,0017; b23=0,0004;
b24=0,0112; b34=0,0088.
Адекватность полученной модели оценивается с помощью критерия Фишера (2.9). Для этого вначале по формуле (2.14) вычисляем
сумму квадратов, связанную с адекватностью модели
SS LF  3 0,49  0,482  0,28  0,292  ...  0,26  0,312  0,52 МПа2.
Затем вычисляем сумму квадратов, связанную с ошибкой опытов,
по формуле (2.10):


43
SSE = (0,56–0,48)2+(0,49–0,48)2+(0,49–0,48)2+(0,28–0,29)2+(0,28–
–0,29)2+(0,42–0,44)2+(0,42–0,44)2+(0,49–0,44)2+...+(0,28–0,31)2+(0,23–
–0,31)2+(0,28–0,31)=0,24 МПа.
По формулам (2.10) и (2.15) определяем число степеней свободы fLF и
fy :
f y  31(3  1)  62 ;
f LF  31  4  1  26.
Тогда расчётное значение критерия Фишера составит
0,52 / 26
F
 0,53.
0,24 / 62
Таблица 5.5
Матрица планирования, результаты опытов и расчётов по модели
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Факторы в условных
единицах
Прочность при растяжении, МПа

х1
х2
х3
х4
Rp1
R2h2
R
Rp
Rp
+
+
+
+
+
+
+
+
+2
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
+2
-2
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
+2
-2
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
+2
-2
0
0
0,56
0,28
0,42
0,27
0,63
0,23
0,5
0,27
0,35
0,35
0,56
0,27
0,56
0,35
0,49
0,28
0,69
0,23
0,43
0,35
0,50
0,43
0,35
0,36
0,36
0,35
0,49
0,28
0,42
0,27
0,69
0,23
0,56
0,27
0,49
0,28
0,49
0,27
0,63
0,28
0,69
0,36
0,63
0,23
0,36
0,42
0,43
0,50
0,28
0,43
0,35
0,42
0,42
0,28
0,49
0,27
0,49
0,23
0,35
0,23
0,56
0,28
0,49
0,23
0,56
0,23
0,63
0,28
0,63
0,23
0,29
0,35
0,29
0,29
0,35
0,36
0,23
0,28
0,49
0,28
0,44
0,27
0,60
0,23
0,49
0,25
0,47
0,30
0,51
0,25
0,58
0,28
0,60
0,30
0,65
0,23
0,36
0,37
0,41
0,41
0,33
0,38
0,31
0,35
0,48
0,29
0,44
0,27
0,54
0,25
0,50
0,23
0,45
0,28
0,48
0,30
0,57
0,27
0,58
0,30
0,68
0,20
0,37
0,36
0,38
0,43
0,32
0,39
0,31
0,31
44
27
28
29
30
31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,35
0,29
0,36
0,36
0,28
0,35
0,29
0,29
0,29
0,23
0,24
0,29
0,29
0,24
0,23
0,31
0,29
0,31
0,30
0,26
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
Табличное значение критерия Фишера при 5 % уровне значимости
равно (приведено в прил. 4)
F0Ò,05 ( 26;62)  1,7 .
Так как F=0,53< F0T,05 =1,7, то полученная модель адекватно описывает зависимость рассматриваемого свойства от компонентов смеси.
Перейдём к оценке значимости коэффициентов регрессии. Дисперсии коэффициентов регрессии вычисляются по формулам
(5.6)…(5.7). Вычислив дисперсию ошибки опытов по формуле (2.10),
, 24
S 2 y  062
 0,04 ÌÏà 2 ,
получим следующие значения дисперсий коэффициентов регрессии:
S 2 b0   0,1428  0,04  0,0057;
S 2 bi   0,0414  0,04  0,0017;
S 2 bii   0,0349  0,04  0,0014;
S 2 bij   2  0,0312  0,04  0,0025.
Пользуясь t-критерием [см. формулу (2.16)], вычисляем критические значения коэффициентов регрессии (при Р = 0,95; t = 1,96, см.
прил. 2). Результаты расчётов приведены в табл. 5.6.
Таблица 5.6
Среднеквадратичное отклонение коэффициентов регрессии
и их критические значения bk
Коэффициенты регрессии
Параметр
b0
bi
bii
bij
S{b}
0,075
0,041
0,037
0,050
bк
0,147
0,080
0,073
0,098
45
Сопоставляя критические значения коэффициентов (табл. 5.6) с
вычисленными, видим, что незначимым являются коэффициенты регрессии b2= 0,033; b12= 0,050; b14= -0,017; b23= 0,004; b34= 0,088.
В итоге, искомая модель имеет вид, МПа:
^
R p  0,31+0,117x1+0,033x2 –0,0138x3 –0,0152x4+0,0337x12+0,153x22+
+0,253x32+0,124x42-0,025x13+0,0112x24 .
Результаты расчётов по этой модели приведены в последнем
столбце табл. 5.5.
6. D - ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотренные выше ротатабельные планы второго порядка, нашедшие широкое применение при изучении поверхностей отклика,
имеют ряд недостатков. Во-первых, не полностью используется пространство, выделенное для эксперимента; углы многомерного куба,
которым задаются границы варьирования переменных, оказываются
незаполненными, так как эксперимент планируется на сфере. Вовторых, с увеличением размерности относительный объем неиспользованных углов куба возрастает, что приводит к потере точности эксперимента в этой области. В-третьих, при использовании ротатабельных планов эффективность оценок задается только оптимальным способом обработки результатов наблюдений. В-четвертых, реализация
ротатабельных планов довольно трудоемка из-за большого числа
опытов. Очевидно, что для случая кубической области определения
факторов применять ротатабельное планирование нецелесообразно.
В последнее время разработки по теории планирования эксперимента выдвинули ряд новых планов. Среди них наиболее доступными
для использования в практике являются D-оптимальные планы. Основаны эти планы на теоретической концепции совместных эффективных оценок, развитой американским математиком Кифером. Основным из преимуществ D-оптимальных планов является то, что они минимизируют обобщенную дисперсию или объем элипсоида рассеяния
оценок параметров. Кроме того, D-оптимальные планы совпадают с
планами, минимизирующими максимальную дисперсию в заданной
области планирования. Эффективность D-оптимальных планов в концепции Кифера обуславливается оптимальным расположением опытов в пространстве факторов. Если ротатабельные планы основаны на
эмпирико-интуитивном подходе, то D-оптимальные планы Кифера
являются логическим развитием идей математической статистики. С
46
экспериментальной точки зрения D-оптимальные планы очень выгодны, так как предполагается варьирование факторов на трёх уровнях
вместо пяти у ротатабельных.
Наиболее приемлемые для практического использования Dоптимальные планы приведены в табл. 6.1…6.6.
Обработка результатов эксперимента проводится методом наименьших квадратов. Для этого вводится фиктивная переменная х0=1 и
члены второго порядка заменяются линейными
õ12  õk 1 ; õ 22  õk  2 , ... , õ 2k  x2 k ; x1 x2  x2 k 1 , ... , xk 1 xk  xk' . (6.1)
Таблица 6.1
План для трёх факторов (Бокса В3)
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
х1
х2
х3
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
№
опыта
8
9
10
11
12
13
14
Х1
Х2
Х3
-1
1
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1
-1
0
0
-1
0
0
0
0
1
-1
Таблица 6.2
План для четырёх факторов (Бокса В4)
№
опыта
х1
х2
х3
х4
№
опыта
х1
Х2
х3
х4
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
10
11
12
13
14
15
16
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
№
х
опыта 1
17
18
19
20
21
22
23
24
1
-1
0
0
0
0
0
0
Х2
х3
Х4
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
Таблица 6.3
План для четырёх факторов (Хартли-Кона На-Ко34)
№
опыта
х1
Х2
х3
№
опыта
х4
47
Х1
х2
х3
Х4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
0
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
0
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0
-1
1
-1
-1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
1
1
1
0
1
1
-1
1
0
1
-1
0
1
-1
Таблица 6.4
План для пяти факторов (Бокса В5)
№
опыта
1
2
3
4
5
6
х1
х2
Х3
х4
х5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
-1
1
-1
1
-1
№
опыта
22
23
24
25
26
27
х1
х2
х3
х4
Х5
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
Таблица 6.5
План для пяти факторов (Хартли На5)
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
х1
х2
Х3
х4
х5
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
№
опыта
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
48
х1
х2
х3
х4
Х5
1
-1
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
В новой системе обозначений уравнение регрессии второго порядка запишется как однородное линейное уравнение
d
ó  b0 x0  b1 x1  ...  b ' x k' , где k '  ckd
.
k
Для нахождения коэффициентов регрессии методом наименьших
квадратов необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений
N
'
2
 ( y u  b0 x 0u  b1 x1u  ...  bk ' x ku ) .
u 1
Приравнивая к нулю частные производные от этой квадратичной
формы, взятые по переменным b0 , b1 ,..., bk , получим систему так называемых нормальных уравнений
b0 (00)  b1 (01)  ...  b ' (0k ' )  (0 y ) ;
k


'
b0 (10)  b1 (11)  ...  bk ' (1k )  (1y ) ;

'
'
' '
'
b0 (k 0 )  b1 (k1 )  ...  bk ' ( k k )  ( k y ) ,
'
N
где
N
(ij )  ( ji)   xiu x ju ;
(ii)  
u 1
u 1
xiu2 ;
N
(iy )   xiu yu .
u 1
Таблица 6.6
План для пяти факторов (Кифера Ki5)
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Х1
х2
Х3
х4
х5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
№
опыта
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
49
х1
Х2
х3
х4
Х5
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
1
0
-1
0
-1
-1
-1
1
1
0
0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
-1
-1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
0
-1
1
0
0
1
0
0
-1
-1
0
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
0
1
1
1
1
-1
0
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
1
0
1
1
0
0
-1
-1
0
1
19
20
21
22
23
24
25
26
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
45
46
47
48
49
50
51
52
1
-1
0
1
1
0
-1
-1
0
0
1
1
1
-1
0
0
0
1
1
-1
0
-1
-1
-1
-1
0
-1
0
-1
0
0
-1
1
-1
0
0
0
-1
-1
0
Коэффициенты регрессии находятся решением системы нормальных уравнений относительно неизвестных b0 , b1, …, bk .
Для удобства вычислений оценок коэффициентов регрессии модели второго порядка рационально использовать матрицу-алгоритм
(табл. 6.7). Такая матрица строится по данным матрицы планирования
эксперимента. Cначала записывается вспомогательная строка значений переменных (факторов), начиная с х0 и кончая õk2 , в которую
включены факторы в первой степени их взаимодействия и квадратичные формы. Затем эта строка в той же последовательности записывается слева в форме столбца. Клетки, получившиеся в пересечении i-х
элементов строки с j-ми элементами столбца, образуют матрицу Х.
Элементы cij симметричной матрицы получаются как произведения
элементов i-й строки на j-й столбец в пересекающихся клетках. Подсчёт этих элементов удобно вести по матрице планирования эксперимента, суммируя переменные по числу точек плана. К матрице Х необходимо справа добавить матрицу-столбец у. Расчёт элементов матрицы у проводится по формулам, приведённым в табл. 6.7 (столбец у).
Полученная матрица представляет собой систему нормальных уравнений. Как правило, такая система имеет единственное решение.
Адекватность полученной математической модели оценивается
критерием Фишера по формуле (2.12).
Значимость коэффициентов регрессии устанавливается формулой
(2.16). Дисперсии коэффициентов регрессии, входящие в эту формулу, вычисляются следующим образом:
S 2 y
2
S b0  
N
  xu 0 
u 1
50
2
;
(6.2)
2
S bi  
S 2 y
N
  xui 
;
(6.3)
;
(6.4)
,
(6.5)
2
u 1
S bij  
2
S 2 y
N
 xuij 
2
u 1
S 2 y
2
S bii  
N
 x uii 
2
u 1
2
где S y – дисперсия эксперимента [см. формулу 2.10)].
Пример. Исследуем влияние состава песчаного грунта, укреплённого цементом, на изменение предела прочности при сжатии в процессе замораживания-оттаивания. В качестве факторов выбраны: вода
(х2), цемент (х1), кремнеорганическая жидкость ГКЖ-94 (х3), циклы
замораживания-оттаивания (х4). Для решения поставленной задачи
использован D-оптимальный план четырёх факторов (Бокса В4) (табл.
6.8).
После реализации эксперимента проводится расчёт коэффициентов регрессии. Для этого оформляется развёрнутая матрица планирования с результатами эксперимента (табл. 6.9). Затем составляется
вспомогательная таблица (табл. 6.10). Элементы этой таблицы получаются перемножением соответствующих столбцов развёрнутой матрицы планирования на столбец у, в котором записаны результаты
эксперимента.
Матрица-алгоритм для расчёта коэффициентов регрессии составляется следующим образом (табл. 6.11). Сначала записываются элементы х0, хi, xij, xi2 (i=1,2,3,n) в виде строки. Затем те же элементы записываются в виде столбца. Элементы матрицы Х получаются перемножением соответствующих столбцов развёрнутой матрицы (см.
табл. 6.2) планирования и суммированием элементов нового столбца
по числу строк. Например, элементы на пересечении столбца х0 и
строки х0 (см. табл. 6.4) получаются умножением столбца х0 (см. табл.
6.2) самого на себя и суммированием от 1 до 24. Элемент на пересечении столбца х1х4 и строки х2х3 (см. табл. 6.11) получается перемножением соответствующих столбцов (см. табл. 6.9) и суммированием
от 1 до 24.
51
Элементы матрицы у (см. табл. 6.11) представляют собой суммы
элементов соответствующих столбцов табл. 6.10.
Коэффициенты при линейных членах bi и парных взаимодействиях bij определяются раздельно по формулам
N
N
bi 
 xi x j y
 xi y
; bij 
.
cijij
cii
Рассматриваем
36,3
11,1
 2,02 ,
b12 
0,7 и т. д.
18
18
Коэффициенты b0 и bii определяются совместно, для чего необходимо решить систему уравнений
b0 24  b1118  b2218  b3318  b4418  160,3 ;
b 18  b 18  b 16  b 16  b 16  121,9 ;
11
22
33
44
 0
b018  b1116  b2218  b3316  b4416  122,5 ;
b 18  b 16  b 16  b 18  b 16  118,5 ;
11
22
33
44
 0
b018  b1116  b2216  b3316  b4418  125,3 .
b1 
Проверка адекватности приводится по критерию Фишера (табл.
6.12).
Таблица 6.12
Результаты проверки адекватности полученной модели по формуле (2.12)
SSlf
24,7
flf
19
Slf2
1,30
SSy
27,4
fy
48
Sy 2
0,57
Fp
2,34
F200.5(19.48)
2,37
Так как расчётное значение критерия Фишера Fp меньше табличного
F200.5(19.48), то полученная модель адекватна.
Значимость коэффициентов регрессии оценивается неравенством
(2.16) с вычислением дисперсий коэффициентов регрессии по формулам (6.2)…(6.5) (табл. 6.13).
Таблица 6.13
Критические значения коэффициентов регрессии
b0 к
0,047
bi к
0,064
biiк
0,064
52
bijк
0,070
При сопоставлении вычисленных коэффициентов регрессии с их
критическими значениями оказалось, что все коэффициенты значимы.
В итоге имеем искомую математическую модель в виде, МПа:
Rñæ  0,666  0,202 õ1  0,018õ2  0,083õ3  0,124õ4  0,067 õ1 õ2 
 0,026 õ1 õ3  0,059 õ1 õ4  0,030 õ2 õ3  0,07 õ2 õ4  0,012 õ3 õ4 
 0,043õ12  0,054õ22  0,032 õ32  0,110õ42 .
7. СИМПЛЕКС-РЕШЁТЧАТОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Задачи подбора составов грунтовых смесей эффективно решаются на основе симплекс-решётчатых планов.
Геометрически симплекс определяется как простейший n-мерный
выпуклый многоугольник. Например, одномерный симплекс представляет собой отрезок, двухмерный произвольный треугольник,
трёхмерный произвольный тетраэдр. В правильном симплексе n+1
точки (вершины), определяющие симплекс, равноудалены друг от
друга. Иными словами, правильный двухмерный симплекс – это равносторонний треугольник, трёхмерный симплекс–правильная треугольная пирамида и т.д. Для диаграмм «состав-свойство» должно
выполняться условие
n
 xi  1.
(7.1)
i 1
Заметим следующее. Методы подбора состава укреплённых
грунтов предусматривают назначение дозировки вяжущего сверх 100
%, за которые принимается минеральная часть. В этих случаях для
возможности использования симплекс-решётчатого планирования
следует изначально исходить из условия (7.1), т.е. все компоненты
принимать за 100 % с последующим пересчётом их дозировок по полученной математической модели на традиционное соотношение
компонентов.
Состав q-мерной системы задаётся (q – 1) – мерным симплексом.
Идея шагового поиска, изложенная во 2-м разделе пособия, используется и в симплекс-решётчатом планировании. Повышение степени
полинома на каждом шаге осуществляется после анализа адекватно53
сти модели. Чем выше степень полинома, тем больше число опытов
необходимо поставить для определения его коэффициентов регрессии. Экспериментальные точки представляют q, n – решётку на симплексе. Необходимое число опытов рассчитывается по формуле
(m  q  1)!
n
,
(7.2)
m!(q  1)!
где m – степень полинома; q – число компонентов в смеси.
Условие (7.1) облегчает задачу. Так, для квадратичного приближения тройной системы
y  b0  b1 x1  b2 x 2  b3 x3  b12 x1 x 2  b13 x1 x3  b23 x 2 x3 
(7.3)
2
2
2
 b11 x1  b22 x 2  b33 x3
условие
x1+x2+x3=1
(7.4)
позволяет описать экспериментальные точки неполным квадратичным уравнением
y  1 x1   2 x2   3 x3  12 x1 x2  13 x1 x3   23 x2 x3 ,
(7.5)
в котором
1  b0  b1  b11 ;
 2  b0  b2  b22 ;
 3  b0  b3  b33 ;
12  b12  b11  b22 ; 13  b13  b11  b33 ;  23  b23  b22  b33 .
Таким образом, число определяемых коэффициентов регрессии в
рассматриваемом случае уменьшилось с десяти в (7.3) до шести в
(7.5), что снижает необходимое количество экспериментальных точек
на симплексе.
Параметры для построения симплексной решётки в зависимости
от степени модели и числа компонентов приведены в табл. 7.1 (рис.
7.1).
а)
б)
3
в)
3
3
133
23
13
1
2
2
123
1
12
г)
д)
3
1333
13
1113
2333
23
2223
1
2
1112 12 1222
223
113
123
1
233
112 112
е)
54
2
Рис. 7.1. Симплексные решётки для построения приближений.
В тройной системе: а – квадратичного; б – неполного кубического;
в – кубического; г – четвёртой степени;
в четвёртой системе: д – квадратичного; е – кубического
Таблица 7.1
Структура симплекс-решётчатых планов
Модель
Квадратичная
Неполная кубическая
Кубическая
Четвёртой степени
Узлы
решётки
смеси
i
ij
Всего
i
ij
ijl
Всего
i
ij
ijl
Всего
i
ij
iiij
ijlm
iijl
Всего
Количество опытов при числе
компонентов в смеси
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
3
6
10
15
21
6
10
15
21
28
3
4
5
6
7
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
7
14
25
41
63
3
4
5
6
7
6
12
20
30
42
1
4
10
20
35
10
20
35
56
84
3
4
5
6
7
3
6
10
15
21
6
12
20
30
42
Нет
1
5
15
35
3
12
30
60
105
15
35
70
126
210
Рассмотрим расположение экспериментальных точек на симплексе трёхкомпонентной смеси. Состав такой смеси можно представить
на треугольной диаграмме. При этом каждая точка диаграммы соответствует одному, вполне определённому составу смеси. В каждой
вершине диаграммы содержание одного из компонентов составляет
55
100 %, в то время как на вершине, противоположной этой стороне,
содержание данного компонента равно нулю (рис. 7.2).
Для построения модели второй степени ставится шесть опытов
(рис. 7.1,а). Матрица планирования данного эксперимента приведена
в табл. 7.2.
В симплекс-решётчатом планировании каждому плану соответствует вполне определённая полиномиальная модель. Число коэффициентов полинома равно числу точек симплексной решётки. Коэффициенты представляют собой линейные комбинации результатов опытов
в точках решётки. Например, для квадратичного приближения (7.3) в
случае х1=1, х2=0, х3=0 это выражение обращается в у1  1 .
100
0
90
10
80
20
70
30
60
Компонента X1
40
50
Компонента X2
50
А
40
60
30
70
20
80
10
90
0
100
100 90
0
80
70
60 50 40 30
Компонента X3
20
10
Рис. 7.2. Треугольная диаграмма для исследования
трёхкомпонентных смесей. Состав А: х1 = 40, х2 = 20, х3 = 40
Таблица 7.2
Матрица планирования эксперимента
для построения квадратичной модели трёхкомпонентной смеси
№ опыта
1
х1
1
Содержание компонентов
х2
0
56
х3
0
Результат
опыта
у1
2
3
4
5
6
0
0
1/2
1/2
0
1
0
1/2
0
1/2
Соответственно  2  ó2 и  3  ó3 .
0
1
0
1/2
1/2
1
При õ1  ,
2
у2
у3
у12
у13
у23
õ2 
1
и
2
1
1
1
 1   2   12 или 12  4 ó12  2 ó1  2 ó2 .
2
2
4
Соответственно 13  4 ó13  2 ó1  2 ó3 , а  23  4 ó23  2 ó2  2 ó3 .
Формулы для расчёта коэффициентов и виды полиномов приведены в
прил.7.
õ3  0  ó12 
57
Довольно часто в задачах подбора составов грунтовых смесей дозировками их компонентов по физическим соображениям можно
варьировать только в определённых интервалах. Например, для супесчаных цементогрунтов оптимальная влажность находится в интервале от 8 до 12 %. Такое обстоятельство обуславливает необходимость исследования локального участка симплексной решётки.
В подобных ситуациях производится переход к новой системе
координат. Вершины локального участка симплекса zi принимаются
за самостоятельные, так называемые псевдокомпоненты, относительно которых строится симплексная решётка при нормировке
q
 zi  1.
i 1
Переход к исходным компонентам для любой смеси М рассматриваемого локального симплекса можно провести согласно формуле
xiм= xi1+ k2(xi2-xi1)+ k3(xi3-xi1)+ … +kq(xiq-xi1),
(7.6)
где хij – содержание i-го компонента в вершине; zjk1, …, kq – содержание псевдокомпонентов z1, …, zq в смеси.
Поскольку в моделях на основе симплекс-решётчатого планирования число коэффициентов регрессии равно числу опытов в плане,
то при этом не остаётся ни одной степени свободы для проверки её
адекватности. Адекватность модели проверяется постановкой контрольных опытов. Общие рекомендации для постановки контрольных
опытов сводятся, во-первых, к необходимости изучать область диаграммы, наиболее интересную для экспериментатора, во-вторых, к
возможности использовать эти данные или, по крайней мере, часть их
для построения приближений следующих степеней.
Оценка адекватности модели осуществляется с помощью t- критерия. При равном числе опытов в каждой точке симплекса экспериментальное значение t-критерия вычисляется по формуле
y n
t ( / l ; f ) 
,
(7.7)
 y 1
где y  y ýêñï  ó ðàñ÷ ; n – число опытов;  у – среднеквадратичная
ошибка опыта;  – величина, зависящая от положения серии контрольных опытов в факторном пространстве, определяется формулами, приведёнными в [13]; α – уровень значимости; l – число кон58
трольных точек; f – число степеней свободы при определении дисперсии опыта.
Следует иметь в виду, что в формуле (7.7) величина t-критерия
относится не к α, а к α/l точкам t-распределения.
Если табличное значение t-критерия (см.прил.2) больше экспериментального, можно утверждать, что полученная модель адекватна.
Пример. Рассмотрим влияние зернового состава золошлаковой
смеси на её плотность. Факторами, определяющими плотность смеси,
являются: х1 – зола с четвёртого поля электрофильтров; х2 – зола со
второго поля электрофильтров; х3 – зола с циклонов; х4 – золошлак; х5
– вода.
На основе априорной информации можно полагать, что область
варьирования дозировки воды (х5) заключается в интервале 0,2–0,3
долей смеси. Таким образом, необходимо исследовать локальную
часть диаграммы «состав-свойство» с координатами вершин: z1(0,80;
0; 0; 0; 0,2); z2(0; 0,80; 0; 0; 0,2); z3(0; 0; 0,80; 0; 0,20); z4(0; 0; 0; 0,80;
0,20); z5(0,175; 0,175; 0,175; 0,175; 0,30).
Учитывая довольно сложный характер зависимости плотности
золошлаковой смеси ρ от дозировок её компонентов, приближение к
исследуемой поверхности отклика начнём с неполной кубической модели
   i zi   ij zi z j 
(7.8)
 ijk zi z j z k1 ,
1 i  5
1 i  j  5
1 i  j  k  5
где i , ij ,ijk – коэффициенты регрессии; zi – компоненты смеси.
Матрица планирования рассматриваемого плана и результаты
опытов приведены в табл. 7.3, в которой плотность золошлаковой
смеси  получена как среднее из результатов трёх параллельных
опытов.
Коэффициенты полинома (7.8) вычисляли по формулам, приведённым в [13]. Результаты расчётов сведены в табл. 7.4.
Прежде чем перейти к системе с координатами хi, проведём оценку адекватности модели в координатах псевдокомпонентов zi .
Адекватность модели (7.8) оценивали в трёх контрольных точках
t-критерием по формуле (7.7). Результаты проверки адекватности полученной модели плотности золошлаковой смеси в координатах псевдокомпонентов zi приведены в табл. 7.5. Анализ этих данных позволяет утверждать, что полученная модель достаточно точно описывает
экспериментальные данные.
59
Таблица 7.4
Коэффициенты регрессии уравнения
плотности золошлаковой смеси в координатах zi
i
1
2
3
4
5
ή
0,839
0,816
0,795
0,489
0,914
ij
12
13
14
15
23
ή
0,004
0,038
0,086
0,148
0,149
ij
24
25
34
35
45
ή
0,229
-0,060
-0,079
-0,118
-0,054
ijk
123
124
125
234
235
ή
1,184
1,051
-0,479
-1,071
-1,098
ijk
345
134
145
135
245
ή
0,648
0,793
1,036
0,635
0,743
После перехода от координат псевдокомпонентов zi к исходным
хi по формуле (7.6) получили выражения следующего вида, г/см3:
 =1,468х1+1,264х2+1,266х3+1,732х4+8,372х5 –1,587х12+1,926х13+
+ 2,079х14 –12,553х15-0,281х23+2,821х24 –11,686х25+0,273х34 –
–11,828х35 –12,945х45+1,622х123+2,259х124+7,966х125 –9,332х235 –
–9,723х345+1,217х134+2,577х145–12,309х135–1,988х245.
(7.9)
Численный анализ уравнения (7.9) показал, что влияние золы циклонов х3 на плотность смеси несущественно, а оптимальная влажность смеси составляет х5=25 %. Очевидно, размеры частиц золы циклонов х3 в количестве, достаточном для формирования плотной упаковки, присутствуют в золе с электрофильтров х1, второго поля х2 и
золошлаковой смеси х4.
Исключив компонент х3 из дальнейшего анализа, построим диаграмму «состав-плотность» смеси компонентов х1, х2, х4 при оптимальной влажности, равной 25 % (рис. 7.3).
Как видно из диаграммы, максимальная плотность смеси зол достигается в двух составах: в первом – 45 % золы четвёртого поля х1, 55
% золы второго поля х2 - =1,02 г/см3; 2…12,5 % золы четвёртого поля х1; 27,5 % золы второго поля х2, 60 % золошлакового материала
х4 - =0,99 г/см3.
60
100
0
90
10
80
20
70
30
0,92
60
Зола 4 поля (x1)
50
40
0,94
0,96
40
30
Зола 2 поля (x2)
50
1,02
60
70
0,95
20
10
80
0,99
0,94
90
0,92
0
100 90
80
70 60 50 40 30 20
Золошлаковый материал (x4)
100
10
0
Рис. 7.3. Диаграмма « состав-плотность» золошлаковой смеси
8. СИНТЕЗИРОВАНИЕ ГРУНТОВЫХ СМЕСЕЙ
ПО ЗЕРНОВОМУ СОСТАВУ
В практике нередко возникает необходимость получить грунтовые смеси с требуемым зерновым составом, для чего осуществляют
рассев исходных смесей, а затем полученные узкие фракции соединяют в необходимых соотношениях. Более рациональный путь – получить требуемый зерновой состав смешиванием исходных смесей в
определенных пропорциях [9].
Рассмотрим задачу в общем виде. Допустим, необходимо получить смесь массой Рх, состоящую из m фракций, в которой доля i-й
m
фракции должна равняться pi (i  1,2,..., m;  pi  1) .
i 1
Имеется n смесей с известными зерновыми составами, т. е. задаm
ны доли pij (i  1,2,...m;  pij  1; j  1,2,..., n) . Известны также массы
i 1
этих проб Pj. Исходную информацию можно представить в табличной
форме (табл. 8.1).
61
Ищем такие числа x j , 0  x j  1, j  1,2,...n , чтобы смесь
x1 P1  x2 P2  .....  x j Pj  .....  xn Pn  Px
(8.1)
содержала доли Pi .
Заменив в равенстве (8.1) массы проб суммами масс, составляющими их классы, получим
х1(р11Р1+ р12Р1+…..+ р1iP1+…..+ p1mP1)+
x2(p21P2+p22P2+…..+ p2iP2+…..+ p2mP2)+
+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +
+xn(pn1Pn+pn2Pn+…..+pniPn+…..+pnmPn)=Px .
(8.2)
Таблица 8.1
Матрица исходной информации
к синтезу грунтовых смесей по зерновому составу
Смесь, j
1
2
1
р11
р21
2
р12
p22



j
pj1
pj2



n
Доли фракций
синтезируемой смеси
pт1
p1
pn2
P2
Фракции
…
i
...
р1i
...
p2i
...

...
pij
...

...
pni
...
pi
…
...
...
...
...
...
...
...
m
p1m
p2m
Масса
смеси
Р1
Р2


pjm
Рj


pnm
pm
Pn
Px
Раскрыв в (8.2) скобки и сгруппировав члены, выражающие массы грунта, относящиеся к первой фракции, можно записать условие,
чтобы в создаваемой смеси доля первой фракции составила р1:
õ ð11Ð1  õ ð21Ð2  .....  õn pn 1Pn
 p1 .
(8.3)
Px
Аналогично получаем уравнения для остальных m-2 долей фракций. При этом следует иметь в виду, что уравнение для доли m-й
m 1
фракции не является независимым, так как pm  1   pi .
i 1
Таким образом, приходим к системе m-1 линейных уравнений с n
неизвестными хj:
n
 x j p ji Pj  pi Px ,
j 1
62
i  1,2,... m  1 .
(8.4)
С учетом (8.1) получаем однородную линейную систему
n
 x j Pj ( p ji  pi )  0,
i  1,2,... m  1 .
(8.5)
j 1
Из линейной алгебры известно, что система (8.5) имеет бесчисленное множество ненулевых решений при n>m-1. При n=m-1 ненулевое единственное решение получается тогда и только тогда, когда
определитель системы (8.5) равен нулю, что практически невероятно.
Если n>m-1, то, придавая n-(m-1) неизвестным произвольные допустимые и удобные с нашей точки зрения значения, придём к единственному решению системы (8.5).
Однако требование 0  õ j  1 накладывает некоторые дополнительные ограничения на значения рi . Ответить на вопрос, при каких
исходных данных pji , pi можно получить допустимое решение задачи, довольно сложно. Можно лишь указать на необходимый признак
получения допустимого значения:
min{ p ji }  pi  max { p ji } , i  1,2,... m .
(8.6)
Найденные значения хj можно пропорционально увеличивать или
уменьшать при сохранении условия x j  1 .
Вполне практичной является задача, когда необходимо получить
максимальный выход смеси требуемого зернового состава Рх . В такой постановке необходимо решить задачу линейного программирования с максимизацией функционала
n
 x j p j  max
(8.7)
j 1
при ограничениях вида (8.5) при i=1,2, ... m.
Возможна и такая постановка задачи, когда необходимо найти
требуемый зерновой состав смеси минимальной стоимости, т. е.
n
 c j x j Pi  min ,
(8.8)
j 1
где cj – стоимость единицы массы j-й смеси.
Пример. Требуется из имеющихся пяти навесок гравийнопесчаной смеси с известным зерновым составом получить смесь, содержащую фракцию 0…5 мм – 20 %; фракцию 5…20 мм – 55 % и
фракцию 20…40 мм – 25 %. Матрица исходной информации приведена в табл. 8.2.
В рассматриваемом примере количество фракций зернового состава т=3, а количество смесей п=5.
63
Таблица 8.2
Матрица исходной информации к синтезу грунтовых смесей
по зерновому составу
Смесь j
1
2
3
4
5
Доли фракций
синтезируемой смеси рi
0…5
0,35
0,40
0,25
0,15
0,10
Фракция i
5…20
0,60
0,40
0,75
0,45
0,55
0,20
0,55
20…40
0,05
0,20
0,40
0,35
Масса пробы Рj,
кг
1600
2200
950
1250
3100
0,25
Рх=?
Тогда система (8.5) запишется в виде
х11600(0,35 - 0,2)+ х22200(0,40 - 0,2)+ х3950(0,25 - 0,2)+
+ х41250(0,15 - 0,20)+ х53100(0,10 - 0,20)=0
х11600(0,6 - 0,55)+ х22200(0,40 - 0,55)+ х3950(0,75 - 0,55)+
+х41250(0,45-0,55)+х53100(0,55-0,55)=0
(8.9)
или после упрощений
240х1+ 440х2+ 47,5х3 -62,5х4 –310х5=0;
80х1–330х2+190х3-125х4+0х5=0.
(8.10)
Так как п-(т-1)=3, то трём неизвестным придаём произвольные
допустимые значения. Пусть х2=0,3; х3=0,4; х4=0.
Получим
240х1 –310х5= -151;
(8.11)
80х1+0х5=23.
Решением системы (8.11) являются значения х1=0,29; х5=0,71. В
итоге получим смесь требуемого зернового состава массой Рх=3700
кг.
Можно показать на основе формулы (8.3), что полученная смесь
содержит требуемые доли классов:
0,29  1600  0,35  0,3  2900  0,40  0,40  950  0,25 
ð1 
3700
 0,71  3100  0,10
 0,20.
3700
Аналогично получим р2=2035…3700=0,55 и р3=925…3700=0,25.
64
9. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СОСТАВА
ГРУНТОЩЕБЁНОЧНЫХ СМЕСЕЙ
Для получения материала с прочной и устойчивой (при переменном режиме увлажнения и промерзания) структурой очень важным
является определение состава грунтощебня. При этом следует исходить из условия достижения наилучшей технологичности и наиболее
высокой прочности грунтощебня.
Технологичность грунтощебня оценивается показателями перемещения, уплотняемости, оптимальной влажности и плотности, а
прочность – модулем упругости, пределом длительного сопротивления сжатию.
Одним из основных вопросов при проектировании состава грунтощебня является определение оптимального количества щебня в
смеси, которое зависит от прочности каменного материала, из которого готовят щебень. Чем прочнее щебень, тем большее его количество
можно использовать в смеси из условия необламывания рёбер щебёнок: чем слабее щебень, тем относительно меньшее количество его
можно применять в смеси из условия недопущения работы грунтощебня по схеме заклинивания, при которой слабый щебень интенсивно разрушается.
Оптимальное количество щебня по прочности соотносится с оптимальным количеством щебня по плотности грунтощебёночных смесей различного состава, которое оценивается величиной средней скорости роста нагрузки для уплотнения при постоянной скорости деформирования. Другими словами, необходимо получить зависимость
увеличения нагрузки за единицу времени от объёмной массы грунтощебня при условии, что скорость относительной деформации будет
постоянной, т.е. d /dt = f () при d /dt = const. При этом, чем выше
скорость увеличения нагрузки при постоянной скорости деформирования, тем материал слабее сопротивляется уплотнению, т.е. тем
лучше его уплотняемость. Исходя из этого, при различном составе
щебня в грунтощебёночных смесях уплотняемость будет тем лучше,
чем меньше скорость увеличения нагрузки.
Требования к материалам. Грунтощебень – это строительный
материал, который получают уплотнением рационально составленной
смеси грунтов, щебня, воды и вяжущих веществ. Если в составе грунтощебня вяжущие вещества не применяются, то такой грунтощебень
называется неукреплённым.
65
Грунтощебень применяют для устройства подушек под фундаменты зданий, сооружений, строительства слоёв оснований дорожной
одежды на дорогах II, III категорий и покрытий – на дорогах IV, V категорий.
Щебень. В составе грунтощебня применяют щебень как прочных, так и слабых горных пород. Кроме этого, могут применяться
кварциты, кварцевые песчаники, стекловидные шлаки, которые не
поддаются обкатыванию в чистом виде, и другие вторичные продукты промышленности.
При возможности выбора преимущество отдают щебню, который
выдерживает необходимое количество циклов замораживания – оттаивания и имеет как можно меньше водонасыщения.
Максимальный размер щебня не должен превышать 2/3 толщины
уплотняемого слоя.
Грунты. В составе грунтощебня применяются различные по генезису и гранулометрическому составу связные грунты (глинистые,
суглинистые, песчаные). При возможности выбора предпочтение необходимо отдавать грунтам с оптимальным гранулометрическим составом. Предварительное улучшение грансостава тяжёлых суглинистых и глинистых грунтов пескованием, а также песчаных грунтов
глинованием может быть рациональным при наличии в непосредственной близости от трассы карьеров крупно- и среднезернистых песков, гравия или глины соответственно. Требования к грунтам при их
укреплении вяжущими веществами такие. При применении цементов
в составе грунтощебня применяются все связные грунты различных
генетических типов с нейтральной и кислой реакцией грунтового раствора (рН = 6…10) при ограничении показателей: предел текучести не
выше 40 %, число пластичности не выше 17.
Чем больше в грунте пылеватых, глинистых частиц и гумусовых
веществ, тем больше будет расход цемента, тем труднее измельчать
агрегаты грунтов и получить равномерное распределение цемента и
воды в процессе выполнения работ. Не следует применять чернозём с
содержанием гумусовых веществ выше 10 %.
При применении битумов и полимерных смол в составе грунтощебня можно использовать грунты с влажностью предела текучести
не выше 40 % и числом пластичности не больше 22.
Вяжущие вещества в составе грунтощебня используются как органические, так и неорганические. Применяют также полимерные
смолы:
66
 органические вяжущие – жидкие битумы марок СГ-15/25, СГ25/40, МГ40/70;
 портландцементы марок не ниже «400»;
 кумароновые, фурфурол-анилиновые и карбомидные смолы.
Расчёт оптимальной влажности и максимальной плотности
грунтощебня. 1. Определяем характеристики грунта: предел раскатывания, предел текучести, плотность частиц грунта s, максимальную плотность d(max) и оптимальную влажность Wopt.
2. Находим удельную и объёмную массу щебня.
3. Готовим смеси с содержанием щебня по массе Р=0,3; 0,4; 0,5;
0,6 при влажности (%), рассчитанной по формуле
Wîê  Wopt  1  Ù   B  p  È ,
(9.1)
где Wоpt – оптимальная влажность грунтов в составе грунтощебня, %;
Щ – содержание щебня по массе, доли ед.;
В – водопоглощение щебня, %;
И – испарение воды при перемещении составляющих грунтощебня, %.
Нужно сформовать не меньше 3 образцов с указанным содержанием щебня. Ориентировочная масса одного образца составляет
4,5…5,0 кг.
4. На гидравлическом прессе формуем образцы с постоянной
скоростью формования 3 мм/мин.
Эффективным сжатием называется сжатие, при котором в конце
процесса уплотняемый грунт в составе грунтощебня будет иметь максимальную плотность dmax.
Если возьмём обозначение А – площадь поперечного сечения образца, см2; mг – масса сухого грунта в массе грунтощебня, г; d – максимальная плотность сухого грунта, г/см3; sщ – плотность отдельных
щебёнок, г/см3, то исходя из определения плотности грунта конечную
высоту образца (см), до которой необходимо уплотнять грунт, запишем:
mù 
1 m
 .
(9.2)
H   ã 

À   d  sù 
Грунтощебень уплотняем на гидравлическом прессе со скоростью 3 мм/мин до высоты, рассчитанной по формуле (9.2). Запишем
величину эффективного давления рэ. Выдержим образец под таким
давлением 5 мин.
67
5. Построим график зависимости эффективного давления от содержания щебня (рис. 9.1).
Рэ, МПа
Рис. 9.1. Зависимость эффективного давления Рэ грунтощебёночных образцов от содержания щебня Щ по массе
Щ, %
6. Для необходимого состава формуем эффективным давлением
3…4 серии образцов с влажностью (1,1…1,0…1,2) Wок, где Wок берётся из формулы (9.1). Определим объём и массу каждого образца.
По результатам расчётов строим график «плотность – влажность»
(рис. 9.2). Точка пересечения на этом графике означает величину максимальной плотности dmax и оптимальной влажности W0 грунтощебня данного состава (см. рис. 9.2).
ρdГЩ , г/cм3
ρdmaxГЩ , г/cм3
W, %
ÃÙ
Рис. 9.2. Зависимость плотности сухого грунтощебня  d
от влажности W по массе
68
Такие графики строят, когда начинают работать с новыми материалами, потому что величина оптимальной влажности и максимальной плотности грунтощебня зависит от гранулометрического состава
грунта, материала исходной горной породы, количества щебня и т.д.
Для контрольных постов и строительных лабораторий такой способ
является достаточно громоздким. С некоторым приближением для
них можно рекомендовать расчётный способ определения стандартной плотности и оптимальной влажности грунтощебня или найти эти
величины, пользуясь соответствующими номограммами.
При расчётном методе определения максимальной плотности и
оптимальной влажности грунтощебня выполняем такие операции:
1. Определяем границы текучести, WТ , и раскатывания грунта, WРТ.
2. Рассчитываем плотность частиц щебня sщ .
3. Определяем оптимальную влажность, %,
Wo  1,5 0,5 WT  0,25 W Ï  1 ,
(9.3)
где WП – число пластичности грунта, %;
и максимальную плотность грунта, г/см3,
  1  Vo 
 d max 
,
(9.4)
1  Wo  
где  – удельная масса минеральных частиц грунта, г/см3 (табл.9.1);
Vo – объём защемлённого воздуха в грунте, доли ед. (см.табл. 9.1);
Wо – оптимальная влажность грунтов, доли ед. (9.3).
Таблица 9.1
Расчётные характеристики грунтов
Грунт
Тяжёлые глины
Глины
Суглинки
Супесь
Песок
Число пластичности
WП
27
17…27
7…17
1…7
1
Удельный вес
, г/см3
2,74
2,72
2,71
2,70
2,66
Объём защемлённого воздуха в
грунте Vo, доли ед.
0,035
0,030
0,040
0,050
0,100
4. Определяем максимальную плотность грунтощебня, г/см3. Если содержание щебня даётся в процентах или долях единицы по объёму рv, то
(9.5)
 ãð. ù  p v   sù  1  p v    d .
69
Если содержание щебня даётся в процентах или долях единицы
по массе р, то
 d   sù
 ãð. ù 
.
(9.6)
 sù  p    sù   d 
5. Определяем оптимальную влажность грунтощебня по формуле
(9.1).
Пользуясь формулами (9.5) и (9.6), построены номограммы, по которым
при заданных значениях максимальной плотности грунтов, плотности щебёнок и содержанию щебня находят максимальную плотность грунтощебня. На рис. 9.3 приведена номограмма, на которой содержание щебня даётся в процентах от общего объёма грунтощебня, а на рис. 9.4 – в процентах от общей массы грунтощебня.
Оценка уплотнения грунтощебня. 1. Готовим грунтощебёночные смеси при содержании щебня 30, 40, 50 и 60 % по весу при влажности (0,8, 1,0, 1,1 и 1,2) Wок .
ρdmax, г/cм3
ρdГЩ, г/cм3
2,70
2,70
2,50
2,50
2,30
2,30
2,10
2,10
1,90
1,90
1,70
1,70
1,50
1,50
1,30
0
20
40
60
80
W, % по объёму
Рис. 9.3. Номограмма для определения максимальной
плотности грунтощебня dmax в зависимости
от количества щебня по объёму Що
70
ρdГЩ, г/cм3
ρdmaxГЩ, г/cм3
2,70
2,70
2,50
2,50
2,30
2,30
2,10
2,10
1,90
1,90
1,70
1,70
1,50
1,50
1,30
0
20
40
60
80
W, % по массе
Рис. 9.4. Номограмма для определения максимальной
плотности грунтощебня dmax в зависимости
от количества щебня по массе ЩМ
2. Приготовленную смесь данного состава засыпаем в стальную
форму и легко обжимаем за счёт массы штампа и подставки.
3. Определяем начальную высоту слоя грунтощебня и рассчитываем нужную величину скорости абсолютной деформации h/t при
условии, что скорость изменения относительной деформации
 /t = const = 0,002 с-1.
4. Уплотняем грунтощебень в стальном цилиндре (d=16 см, Hц =
20 см) на гидравлическом прессе мощностью не меньше 50 тс при постоянной скорости деформирования.
Нагрузка прикладывается ступенями
0…0,1; 0,1…0,3; 0,3…0,5;
0,5…0,7; 0,7…1,0; 1,0…1,5 МПа. Время действия каждой ступени нагружения регистрируют секундомером, величину осадки – двумя прогибомерами Максимова (ПМ-3), которые прикрепляются один против другого.
5. Все измерения записываются в журнал (табл. 9.2).
6. Рассчитываем среднюю скорость увеличения нагрузки на каждой ступени: на первой она равняется 1/t1, на второй – 1/t2 и т.д.
Таблица 9.2
71
Журнал испытаний образцов грунтощебня на уплотнение
(Образец №3: Р = 4590 г; НП = 18 см; НК = 11,16 см)
Нагружение,
МПа
0
0,1
0,3
Время
действия
нагрузки,
с
115
45
и т.д.
Показания
Осадка, см
прогибомеров, см
№1
№2 №1 №2 среднее
0,20
0,01
0
0
0
4,46
4,22 4,26 4,21
4,24
5,48
5,23 5,28 5,22
5,25
Относительное
оседание
Плотность,
г/см3
0
0,233
0,289
1,25
1,64
1,77
7. Рассчитываем плотность грунтощебня  на каждой ступени
нагружения.
8. Строим график зависимости скорости увеличения нагрузки от
плотности грунтощебня данного состава, т.е. d /dt = f () (рис. 9.5).
Δσ/Δt (Vн), МПа
Щ2
Щ4
Щ1
Щ3
Рис. 9.5. Зависимость скорости увеличения нагрузки d /dt
от плотности грунтощебёночных
смесей
при разном количестве
щебня Щ1, …Щ4
ρ, г/cм3
9. Строим график зависимости скорости увеличения нагрузки
(уплотнение) от влажности грунтощебёночной смеси (рис. 9.6) и от
содержания щебня в смеси (рис. 9.7) при  = const. Точка минимума
на этих кривых означает оптимальные влажность и содержание щебня в смеси по её плотности.
72
Δσ/Δt (Vн), МПа
Щ2
Щ1
Рис. 9.6. Зависимость скорости увеличения нагрузки d /dt грунтощебёночных
смесей от количества щебня Щ при разной
влажности W1, …W3
Щ3
Щ0
Щ, %
Δσ/Δt (Vн), МПа
Щ1
Щ2
Щ3
Щ01
Рис. 9.7. Зависимость скорости увеличения нагрузки грунтощебёночных
смесей от относительной влажности
грунтов при разном количестве щебня
Щ1,… Щ3
Щ02
Щ03
W/WT
Испытание прочности грунтощебня. Для оценки прочности
грунтощебня определяем мгновенный (моментальный) и длительный
модуль упругости путём испытания образцов постоянным нагружением за время. Порядок определения модулей следующий:
1. Формуем по 3 образца с содержанием щебня 30, 40, 50 и 60 %
при оптимальной влажности, уплотняя их до максимальных плотностей.
2. Ставим образцы в гидравлическую ванну или эксикатор для
формирования структуры при постоянной влажности воздуха в течение 7 сут.
73
3. После выдерживания образцов определяем их прочность при
сжатии Rсж.
4. Испытываем образцы этой же серии на рычажном прессе постоянным нагружением, равным 0,1 RCТ . Время действия нагрузки
фиксируем секундомером, а оседание – двумя индикаторами часового
типа с точностью до 0,01 мм.
5. Измерения записываем в журнал по форме (табл. 9.3).
Таблица 9.3
Журнал испытаний грунтощебёночных образцов на прочность
(Образец №3: Н = 11,16 см; Р = 0,1; RсТ = 0,04 МПа)
Время
Показания индикатора,
мм
№1
№2
0с
7,28
5,46
1с
7,10
5,26
20 мин
7,05
5,21
Деформации h, мм
№1
0
0,18
0,23
№2
0
0,20
0,25
Относительная
деформация, h/H
среднее
0
0,19
0,24
0
0,0017
0,0022
Примечание. Цифры в табл. 9.2 и 9.3 приведены по результатам одного
эксперимента.
6. По результатам измерений рассчитываем величины мгновенного ЕМ и длительного ЕД модулей упругости грунтощебня данного
состава. Мгновенный для времени действия нагружения 1 с, длительный – для 20 мин.
Так, пользуясь данными табл. 3, можно получить ЕМ (1 с) и ЕД
(20 мин) по формулам
0,04
 23,5 МПа ;
0,0017
0,04
 ð h H 
 18,2 МПа .
0,0022
Å M  ð h H 
ÅÄ
7. Строим график зависимости модуля упругости грунтощебня от
количества щебня (рис. 9.8). Точка максимума на этой кривой означает оптимальное количество щебня с точки зрения прочности.
74
ЕМ, МПа
Щорt
О
Рис. 9.8. Зависимость мгновенного
модуля упругости ЕМ грунтощебня
от количества щебня Щ
Щ, %
Проектирование состава грунтощебня. Проектирование состава грунтощебёночных смесей выполняем в такой последовательности:
1. На основе существующих рекомендаций принимаем норму вяжущего для данного типа грунтощебня.
2. Определяем оптимальную влажность и максимальную плотность грунтощебня при различном количестве щебня в смеси.
3. Находим максимальное количество щебня в грунтощебёночной
смеси, исходя из условия достижения лучшего его перемешивания и
уплотнения.
4. Определяем оптимальное количество щебня в грунтощебёночной смеси с точки зрения прочности.
5. В итоге находим количество щебня и других составляющих
смеси, исходя из условия наилучшей уплотняемости и прочности
грунтощебня.
Для практических целей нужно выполнить расчёты состава грунтощебня, учитывая, что единица объёма грунтощебня складывается
из суммы объёмов щебня, грунта, воды, вяжущих веществ, воздуха,
т.е.
1  Vù  Vã  Vâ  Vî  Và .
(9.7)
Состав композитных материалов, к которым относится и грунтощебень, обычно выражают в единицах массы на единицу объёма материала. Например, г/см3. Если обозначим mв , mо , mг и mщ соответственно по массе вяжущих веществ, воды, грунтовых и щебневых час75
тиц в единице объёма грунтощебня, а в , о , г и щ – соответственно
по удельной массе вяжущих, воды, грунтовых и щебневых частиц, то
(9.7) можно записать:
mù mã mâ mî



 Va  1 .
(9.8)
ù
 ã â î
Определяем количество каждой составляющей грунтощебня, которые входят в (9.8).
Количество воды в единице объёма грунтощебня, г/см3,
W
mî  mã  mù  îê ,
(9.9)
100
где Wок – оптимальная влажность грунтощебня (9.1).
Масса вяжущих веществ в единице объёма грунтощебня, г/см3,
Q
mâ  mã  mù 
,
(9.10)
100
где Q – количество вяжущих веществ, % .
При применении в составе грунтощебня для укрепления грунтов
цемента и ему подобных материалов их расход в процентах следующий:
Q  1  ð   ê1  ê 2  WÒ  ,
(9.11)
где к1 и к2 – коэффициенты, которые учитывают местоположение слоя
грунтощебня в конструкции дорожной одежды;
к1 = 4; к2 = (0,15 – 0,25)WТ , где WТ – предел текучести грунта, %.
При применении для укрепления грунтощебня битума и ему подобных материалов количество вяжущих веществ
Q  1  p  q  WÒ   á ,
(9.12)
где q – коэффициент, который равен 0,22;
б – удельная масса вяжущих веществ.
Количество воздуха в единице объёма грунтощебня
Và    ðv  Vo 1  pv  ,
(9.13)
где  – количество защемлённого воздуха в щебневых частицах зависит от материала горной породы;
Vo – объём защемлённого воздуха в грунте, доли ед. (см. табл. 9.1);
рv – количество щебневых частиц в долях единицы объёма.
Используя (9.5), количество щебня можно выразить через количество грунтов в единице объёма грунтощебня
ðv   sù
ð
mù 
 mã 
m .
(9.14)
1 ð
1  ðv    d ã
76
Содержание щебня в долях единицы объёма грунтощебня
Åãð. ù  Åã
mv 
,
(9.15)
ê  Åù  Å ã
где к – структурный коэффициент;
Ещ , Ег , Егр.щ – соответственно модули упругости щебня, грунта и
грунтощебня, МПа.
Количество грунта в единице объёма грунтощебня определяем из
(9.8), подставляя в него рассчитанные выше значения для всех других
составляющих грунтощебня.
Пример. Рассчитать состав грунтощебня, укреплённого цементом, при следующих исходных данных:
Модуль упругости грунтощебня: Егр.щ=500 МПа, грунта Ег= 54
МПа, щебня Ещ = 18 000 МПа.
Грунт суглинистый: WТ =27 %; WР =14 %; WП = 13; г = 2,71 г/см3;
г = 1,56 г/см3.
Щебень-известняк: щ = 2,70 г/см3; щ = 2,44 г/см3; пористость
9,2 %; водопоглощение 3,8 %.
Цемент портландцемент марки «400»; в = 3,15 г/см3.
1. Определяем:
а) по формуле (9.15) содержание щебня по объёму
Åãð. ù  Åã
500  54
Pv 

 0,425 ;
ê  Åù  Åã 0,06  18 000  54
б) максимальную плотность грунтощебня по (9.5)
 ãð. ù  ðv   sù  1  ðv    d 
3
 0,425  2,44  1  0,425  1,56  1,932 т/м ;
в) содержание щебня по массе по формулам (9.5) и (9.6)
mv   sù
0,425  2,44
mq 

 0,535 ;
 d  mv  sù   d  1,56  0,425  2,44  1.56
г) оптимальную влажность грунтощебня по (9.1)
Wîê  Wo 1  p   B  p  C  16,5  (1  0,535)  3,8  0,535  1,5  11,2 % .
2. Определяем количество составляющих грунтощебня:
а) щебня, т/м3, по (9.14)
ðv   sù
0,425  2,44
mù 
 mã 
 m  1,153  mã ;
1  ðv    ã
1  0,425  1,56 ã
б) вода, т/м3, по (9.9)
77
Wîê
11,2
 mã  1,153  mã  
 0,242  mã ;
100
100
в) грунтов, т/м3, по (9.10)
Q
mâ  mã  mù  
,
100
где Q  1  p   ê1  ê 2  WÒ   1  0,535  4  0,25  27   5,0 % ,
5
тогда mâ  mã  1,153  mã  
 0,108  mã ;
100
mo  mã  mù  
г) воздуха по (9.13)
V    ðv  Vo  1  pv   0,054  0,425  0,0041  0,425  0,036 ;
д) грунтов в единице объёма грунтощебня по (9.8)
mã mù mâ


 Va  1 ;
ã ù
â
mã 1,153  mã 0,108  mã


 0,036  1 ;
2,71
2,70
1,0
1,369  mã  0,426  mã  0,034  mã  0,964 ;
1,073  mã  0,964 ;
mã  0,898 ;
е) на основе п. 2 а, б, в составляющих грунтощебня, количество
по массе будет:
т/м3 ;
mù  1,153  mã  1,153  0,898  1,035
т/м3 ;
3
mâ  0,108  mã  0,108  0,898  0,088 т/м .
Проверка. Плотность грунтощебня гр.щ по формуле (9.5) равняется 1,932 т/м3 (см. п. 1,б); она состоит из массы щебня, грунтов и вяжущего на единицу объёма грунтощебня, т.е.
 ãð. ù  mù  mã  mâ ,
где mщ , mг , mв – см. п. 2, а, б, в,
тогда гр.щ= 1,035 + 0,898 + 0,088 = 2,021 т/м3.
Погрешность в расчётах:
2,021  1,932
 100  4,6  5 % .
1,932
mî  0,242  mã  0,242  0,898  0,217
Вывод. Затраты материалов на 1м3 грунтощебня составляют 2238
кг, из них грунта – 898, щебня – 1035, цементов – 81, воды – 217.
78
10. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое эксперимент и его цель
2. В чём отличие активного эксперимента от пассивного
3. Требования, предъявляемые к целевой функции эксперимента.
4. Чему равна размерность факторного пространства
5. В чём состоит кодирование факторов в условиях переменных
6. Что такое матрица планирования эксперимента
7. Содержание процедуры рандомизации опытов.
8. С помощью какого критерия исключают ошибки при повторных
опытах
9. Что выражает уровень значимости
10. Каким критерием оценивается однородность дисперсии опытов
при их равномерном дублировании
11. Сущность метода наименьших квадратов.
12. В чём состоит содержание термина «оптимизация»
13. Дайте определение полному факторному эксперименту.
14. Дайте определение дробному факторному эксперименту.
15. Достоинства и недостатки полного и дробного факторного экспериментов.
16. Сущность ротатабельного планирования эксперимента второго
порядка.
17. В чём состоит D-оптимальность планов второго порядка
18. Область применения симплекс-решётчатого планирования.
19. Содержание задачи синтезирования грунтовых смесей по зерновому составу.
20. Основные положения по проектированию состава грунтощебёночных смесей.
79
Библиографический список
1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента
при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1971.
2. Безрук В.М. Укрепление грунтов. – М.: Транспорт, 1965.
3. Водопропускные трубы под насыпями Под ред. О.А. Янковского. – М.:
Транспорт, 1982. – 232 с.
4. Гончарова Л.В. Основы искусственного улучшения грунтов. – М.: МГУ,
1973.
5. Зазимко В.Г. Оптимизация свойств строительных материалов: Учебное
пособие. – М.: Транспорт, 1981.
6. Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. – М.: Наука, 1976.
7. Исаенко М.В., Шестаков В.Н. Моделирование свойств цементогрунтового материала с противоморозными добавками методами планирования эксперимента // Вопросы фундаментостроения и геотехники: Сб. науч. трудов. – Омск:
Изд-во СибАДИ, 2002.
8. Исследование диаграмм «состав-свойство» с применением симплексрешётчатого плана. Программы для решения задач дорожного строительства на
ЭВМ. Вып. II. – М., 1973.
9. Менчер Э.М. Получение мелкодисперсных материалов с заданным гранулометрическим составом //Труды ВНИИнеруд, вып. 36. – Тольятти, 1973.
10. Методические указания по технологии и организации строительства
грунтощебёночных слоёв дорожных одежд в курсовом и дипломном проектировании /Составитель В.Г. Кравченко. – Харьков: ХДАДТУ, 1994.
11. Миронов А.А. Применение планирования эксперимента в решении задач
дорожного строительства //Проблемы проектирования, строительства и эксплуатации автомобильных дорог: Сб. науч. трудов /МАДИ (ГТУ); УФ МАДИ (ГТУ).
– М., 2001.
12. Налимов В.В. Теория эксперимента. – М.: Наука, 1971.
13. Новик Ф.С., Минц Р.С., Малков Ю.С. Применение метода симплексных
решёток для построения диаграмм «состав-свойство» //Заводская лаборатория. –
1967.– № 7.
14. Новые идеи в планировании эксперимента /Под ред. В.В. Налимова.–
М.: Наука, 1969.
15. Основы научных исследований: Учеб. для техн. вузов /В.И. Крутов,
И.М. Грушко, В.В. Попов и др.; Под ред. В.И. Крутова, В.В. Попова. – М.: Высшая школа, 1989.
16. Планирование эксперимента. Программы для решения задач дорожного
строительства на ЭВМ / Союздорнии. – М., 1986.
17. Пособие по строительству покрытий и оснований автомобильных дорог
и аэродромов из грунтов, укреплённых вяжущими материалами (к СНиП
3.06.03-85 и СниП 3.06.06-88) /Союздорнии. – М., 1990.
18. Применение симплекс-решётчатого планирования при изучении влияния зернового состава золошлакового материала на его уплотняемость /В.Н.
80
Шестаков, В.П. Никитин, В.Г. Морозов, О.Д. Фролова //Повышение эффективности применения цементных и асфальтобетонных бетонов в Сибири: Межвуз.
сб. трудов. – Новосибирск, 1977.
19. СНиП 2.02.01-83.Основания зданий и сооружений. – М., 1995.
20. СНиП 2.05.03-84. Мосты и трубы. – М., 1995.
21. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир,
1975.
22. Шестаков В.Н., Смирнов А.Н. О подборе состава цементогрунта с применением математического планирования эксперимента //Известия вузов. Строительство и архитектура. – 1973. – № 3.
23. Шестаков В.Н., Шестаков А.Н. Оптимизация конструкций дорожных
одежд с учётом требований к свойствам материалов //Известия вузов. Строительство и архитектура. – 1976. – № 2.
24. Шестаков В.Н., Шестаков А.Н., Смирнов А.Н. О построении математических моделей свойств дорожно-строительных материалов и поиске по ним оптимальных значений факторов // Повышение эффективности применения цементных и асфальтовых бетонов Сибири: Межвуз. сб. трудов. – Новосибирск,
1977.
25. Шестаков В.Н. Планирование эксперимента в технологии дорожного
строительства / СибАДИ. – Омск, 1978.
26. Шестаков В.Н., Старцев И.Б. Оптимизация состава укреплённых грунтов для дорожных одежд //Закрепление и уплотнение грунтов в строительстве:
Тезисы докл. на IX Всесоюзн. научно-техн. совещании. – М.: Стройиздат, 1978.
27. Щетинина Н.Н. Об оптимизации параметров грунтовых подушек фундаментов водопропускных труб //Международная научно-практическая конференция «Городское строительство на слабых грунтах». – Архангельск: АГТУ,
2007.
81
82
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 2
Значения критерия Стьюдента t0,05 ( f )
f
t
f
t
f
t
f
t
1
2
3
4
5
f
12,71
4,30
6,18
2,78
2,57
t
6
7
8
9
10
f
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
t
11
12
13
14
15
f
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
t
16
17
18
19
20
f
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
t
21
22
23
24
25
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
26
27
28
29
30
2,06
2,05
2,05
2,04
2,04
40
50
60
80
100
2,02
2,01
2,00
1,99
1,98
200
500
1,87
1,96
1,95

Приложение 4
T

Значения критерия Фишера F0,05 f lf ( f1 ), f y ( f 2 )
F3
1
2
3
4
5
83
6
8
12

24

F4
1
2
3
4
5
161,4
18,51
10,13
7,71
661
199,5
19,00
9,55
6,94
5.79
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
234,0
19,33
8,94
6,16
4,95
238,9
19,37
8,84
6,04
4,82
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
249,0
19,45
8,64
5,77
4,53
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
6
7
8
9
10
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
11
12
13
14
15
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,61
2,50
2,42
2,35
2,29
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
16
17
18
19
20
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
21
22
23
24
25
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
3,47
3,44
3,42
3,40
3,38
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,42
2,40
2,38
2,36
2,34
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,05
2,03
2,00
1,98
1,96
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
26
27
28
29
30
4,22
4,21
4,20
4,18
4,17
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
1,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,59
2,57
2,56
2,54
2,53
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,32
2,30
2,29
2,28
2,27
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
40
60
120
4,08
4,00
3,92
3,84
3,23
3,15
3,07
2,99
2,84
2,76
2,68
2,60
2,61
2,52
2,45
2,37
2,45
2,37
2,29
2,21
2,34
2,25
2,17
2,09
2,18
2,10
2,02
1,94
2,00
1,92
1,83
1,75
1,79
1,70
1,61
1,52
1,52
1,39
1,25
1,00

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………..
1. Основные понятия планирования эксперимента………………………
2. Элементы математического планирования эксперимента…………….
3. Оптимизация конструктивно-технологических параметров улучшенных грунтовых оснований…………………………………………..
84
3
4
9
17
4. Полный и дробный факторные эксперименты типа 2k………………...
5. Ротатабельное планирование эксперимента второго порядка………...
6. D-оптимальные планы второго порядка………………………………..
7. Симплекс-решётчатое планирование……………………….…………..
8. Синтезирование грунтовых смесей по зерновому составу……………
9. Проектирование состава грунтощебёночных смесей………………….
10. Контрольные вопросы …………………………………………………...
Библиографический список……………………………………….…………...
Приложение 1. Случайные числа……………………………………………...
T
Приложение 2. Значения критерия Стьюдента t 0,05 ( f ) …………………….
T
Приложение 3. Значения критерия Кохнера G0,05 ( f1 , f 2 ) …………………
T


27
38
46
58
67
71
85
86
90
91
92
Приложение 4. Значения критерия Фишера F0,05 f lf ( f1 ), f y ( f 2 ) ……….
93
Приложение 5. Формулы для расчёта сумм квадратов и чисел степеней
свободы………………………………………………………………………….
94
Учебное издание
Владимир Николаевич Шестаков
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕЛИОРАЦИИ ГРУНТОВ
Учебное пособие



Редактор Н.И. Косенкова



Подписано к печати
.10.2007
Формат 6090 1/16. Бумага писчая
85
Оперативный способ печати
Гарнитура Times New Roman
Усл. п.л. 6,0 , уч.-изд. л. 6,0
Тираж 100 экз. Заказ №
Цена договорная
Издательство СибАДИ
644099, Омск, ул. Некрасова, 10
Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ
644099 Омск, ул. Некрасова, 10
86