Равновесное распределение частиц в дисперсной системе с

Равновесное распределение частиц в дисперсной системе
с коагуляцией и распадом агрегатов
Б. М. Долгоносов
Институт водных проблем Российской Академии наук,
119333, Москва, ул. Губкина, 3
Аннотация. Сформулированы кинетические уравнения, описывающие процесс коагуляциифрагментации в малоконцентрированной суспензии, движущейся в потоке с небольшой скоростью сдвига. В такой системе по мере приближения к равновесию происходит разделение дисперсной фазы на мелкую и крупную фракции. Сформулированы кинетические уравнения
двухфракционной модели. Получено приближенное, а в одном частном случае, точное решение этих уравнений в состоянии равновесия. Проведен детальный анализ равновесного распределения частиц по массе m для степенного ядра коагуляции β = β 0 mν и вырожденного ядра распада γ = γ 1γ 2 , в котором частота распадов является степенной функцией массы агрегата
γ 1 = γ 0 mν +α , а вероятность отрыва фрагмента от агрегата не зависит от m и экспоненциально
убывает с ростом массы μ фрагмента: γ 2 = μ 0−1 exp(− μ / μ 0 ) . Показано, что равновесное рас-
пределение существует только при α > 0 и, в частности, при ν = α = 1 описывается функциями f ( μ ) = λγ 0 β 0−1 exp(− μ / μ 0 ) для частиц мелкой фракции и F (m) = Cx −1 ( x + 1)
2 λ −1 − λx
e
для час-
тиц крупной фракции, где x = m / m0 , λ = m0 / μ 0 , m0 и μ 0 – характерные массы частиц крупной и мелкой фракций. Распределение частиц крупной фракции при λ >> 1 хорошо аппроксимируется гауссовским распределением ~ exp[−(m − m0 ) 2 /(4α −1m0 μ 0 )] .
ВВЕДЕНИЕ
В малоконцентрированной коагулирующей суспензии, движущейся в потоке с небольшой
скоростью сдвига, возможно установление динамического равновесия между процессами
формирования и распада агрегатов. Равновесный спектр агрегатов в такой системе расщепляется на две разномасштабные фракции, одна из которых соответствует мелким, а другая крупным агрегатам. Подобная картина является типичной для процессов коагуляционной очистки
2
воды. Она наблюдалась при формировании хлопьев гидроксида железа в сдвиговом потоке
[11], а также в экспериментах по коагуляции дисперсии гематита в аналогичных гидродинамических условиях [12]. В [12] представлена эволюция спектров частиц во времени при различных скоростях сдвига потока, которая наглядно иллюстрирует процесс формирования двухфракционной картины. Аналогичные наблюдения были сделаны в работе [11], где построены
графики интегральных функций распределения агрегатов по размеру. На интегральных кривых присутствует горизонтальный участок, отделяющий мелкую фракцию от крупной. Дифференцирование этих кривых приводит к бимодальным спектрам, показанным на рис. 1 (скорость сдвига G = 10 с-1). Аналогичные бимодальные спектры получаются и при других значениях скорости сдвига (500, 700 и 1000 с-1).
40
30
20
10
0
0
30
60
90
120
Рис. 1. Спектры агрегатов при коагуляции-фрагментации частиц гидроксида железа в потоке
со скоростью сдвига G = 10 с-1 в различные моменты времени: 1 – через 10 мин, 2 – через 20
мин после начала процесса. Получены путем дифференцирования интегральных кривых, приведенных в работе [11] на рис. 15.
3
Известно, что формирование крупных агрегатов (суперагрегатов) происходит за счет захвата образовавшихся ранее мелких агрегатов разных размеров, которые, таким образом, становятся фрагментами структуры суперагрегатов [10]. При небольшой скорости сдвига потока
распад крупных агрегатов будет происходить на эти фрагменты. С ростом скорости сдвига
процесс распада будет охватывать всё меньшие по размеру агрегаты. При большой скорости
сдвига возможен даже распад крупных агрегатов на соразмерные части [17]. Множественные
распады агрегатов могут происходить также при взаимных столкновениях агрегатов [5] (это
существенно для концентрированных суспензий) и при их ударах о твердые поверхности. При
малых скоростях сдвига в малоконцентрированных суспензиях коагуляцию и фрагментацию
можно рассматривать как последовательность актов присоединения и отрыва частиц (агрегатов, фрагментов) при выполнении двух условий [7]:
1) характерное время элементарных актов коагуляции и распада агрегатов значительно меньше характерного времени изменения спектра масс дисперсной системы;
2) существуют силы, которые перемешивают частицы так, что поведение их между актами
коагуляции и распада статистически независимо.
Равновесные (стационарные) спектры частиц при различных ядрах коагуляции и распада
были найдены в работах [4, 5]. Кинетические уравнения записывались в дискретной форме, а
распад рассматривался в двух вариантах: как последовательный отрыв одиночных частиц от
агрегата за счет флуктуаций во внешней среде и как мгновенное множественное дробление
при парных соударениях агрегатов. За рамками этих работ остался случай, когда частота отрыва фрагментов является функцией массы агрегата и массы отрываемого фрагмента.
В работе [16] использовалось свойство однородности ядер коагуляции и распада для получения уравнения эволюции среднего размера агрегатов. Индексы ядер считались одинаковыми
для агрегатов всех размеров. Было показано существование равновесного среднего размера агрегатов и определены условия устойчивости равновесного состояния. Ограниченность данного
подхода состоит в том, что индексы ядер коагуляции и распада не одинаковы в разных частях
спектра. Так, для малых агрегатов, подверженных броуновской диффузии, индекс ядра коагуляции равен нулю, а для крупных агрегатов, столкновения которых обусловлены градиентом
скорости потока, этот индекс равен 1. Поэтому результат, полученный в [16], имеет смысл
лишь при условии, что вклад одной характерной части спектра значительно преобладает над
другой.
В работе [7] рассматривалась система, состоящая из частиц А, В и АВ, в которой частицы
А и АВ растут за счет частиц В. Для такой системы были получены обобщенные уравнения
коагуляции с распадом. Если считать частицы В мелкими агрегатами (включая и одиночные
4
частицы), а частицы А и АВ крупными агрегатами, то получаем систему, в которой крупные
агрегаты растут за счет мелких. При проведении конкретного анализа использовались следующие зависимости ядер коагуляции и распада от масс частиц: постоянные (не зависящие от
масс), равные сумме масс взаимодействующих частиц, произведению этих масс, а также линейной комбинации трех указанных членов. Представляет интерес рассмотреть другие типы
ядер, имеющие физический смысл. В работе [8] в качестве примера рассматривались ядра коагуляции и распада вида i α (n − i ) β exp[−b(n − i )] и i α +γ n −γ (n − i ) β соответственно, где i и n−i –
мерности агрегатов, из которых образуется агрегат n при акте коагуляции или на которые распадается агрегат n при дроблении, α, β, γ, b – положительные постоянные. Физические предпосылки для такого рода зависимостей не приводились.
Появление крупных, быстро растущих агрегатов сопряжено с радикальным изменением
частоты столкновений и вероятности захвата частиц. Частота столкновений изменяется при
укрупнении агрегатов и смене механизма роста с броуновского на градиентный [1, 2]. Вероятность захвата частиц также может изменяться в результате формирования агрегатов с фрактальной структурой, частично проницаемой для потока [3, 9, 14]. В этих условиях можно
предложить следующий сценарий развития процесса коагуляции-фрагментации для системы,
которая в исходном состоянии содержит только мелкие частицы:
1) начальная стадия процесса: идет коагуляция мелких агрегатов по механизму броуновской диффузии; ядро коагуляции слабо зависит от размера сталкивающихся частиц; распады
агрегатов отсутствуют ввиду их малых размеров;
2) промежуточная стадия: укрупнение агрегатов приводит к смене механизма коагуляции
на градиентный; градиентное ядро сильно зависит от размеров частиц (как сумма их размеров
в третьей степени); крупные агрегаты быстро поглощают мелкие частицы, резко уменьшая их
число; по мере роста агрегатов начинает действовать механизм их распада;
3) конечная стадия: слипанию крупных агрегатов между собой препятствуют силы, действующие со стороны сдвигового потока, которые разрушают еще не успевший сформироваться
объединенный агрегат; коагуляция мелких частиц заторможена ввиду их малого количества;
новые крупные агрегаты практически не образуются, их число стабилизируется; в то же время
увеличение размеров крупных агрегатов продолжается за счет присоединения мелких частиц,
число которых все более уменьшается;
4) равновесное состояние: поддерживается динамическое равновесие между частицами
крупной и мелкой фракций за счет равенства скоростей роста и распада крупных агрегатов.
Цель настоящей работы состоит в изучении кинетики коагуляции-фрагментации на конечной стадии развития процесса (вблизи равновесия) в малоконцентрированной суспензии, дви-
5
жущейся в сдвиговом потоке с небольшим градиентом скорости. Процессами множественной
коагуляции-фрагментации в этих условиях можно пренебречь. Для указанной системы будут
сформулированы уравнения двухфракционной модели, построены их равновесные решения и
определены условия существования равновесия.
ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Исходим из уравнения коагуляции с распадом в непрерывной форме Мелзака [1, 13]:
∂n / ∂t = S{n(m)} + D{n(m)} ,
(1)
m/2
∞
0
0
S{n(m)} = ∫ β (m − m′, m′)n(m − m′)n(m′)dm′ − ∫ β (m, m′)n(m)n(m′)dm′ ,
∞
(2)
m
n( m)
D{n(m)} = ∫ n(m′)γ (m′ | m)dm′ −
γ (m | m′)m′dm′ .
m ∫0
m
(3)
Ядро распада γ (m | m′) задает частоту распадов агрегатов массой m до агрегатов массой
m′, но не фиксирует ни количество фрагментов, ни их распределение по массам. Для рассматриваемой здесь системы множественные распады маловероятны, а основным механизмом распада является последовательный отрыв фрагментов от поверхности агрегатов. Тогда ядро распада для агрегата массой m можно записать как γ (m − m′, m′) , где m′ – масса оторвавшегося
фрагмента. Указанное ядро будем называть бинарным. Основное его свойство – симметричность относительно перестановки аргументов: γ ( x, y ) = γ ( y, x) . Заменяя в (3) ядро распада общего вида γ ( x | y ) на бинарное ядро γ ( x, y ) , получим:
∞
m/2
D{n(m)} = ∫ n(m + m′)γ (m, m′)dm′ − n(m) ∫ γ (m − m′, m′)dm′ .
0
(4)
0
Это выражение сохраняет полную массу системы и согласуется с дискретным вариантом теории [4, 6].
ДВУХФРАКЦИОННАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим коагулирующую дисперсную фазу, в которой уже произошло разделение на
две фракции. В соответствии со сказанным во введении, примем следующие предположения:
1) частицы из разных фракций существенно различаются по массам;
2) крупные агрегаты растут за счет присоединения мелких частиц;
3) распад агрегатов происходит за счет отрыва мелких фрагментов с их поверхности;
6
4) в одном акте распада отделяется только один фрагмент;
5) процесс коагуляционного роста мелких частиц до размера крупных агрегатов имеет пренебрежимо малую скорость по сравнению с прямым обменом материалом между двумя
фракциями.
Частицы мелкой фракции будем характеризовать массой μ, а частицы крупной фракции (агрегаты) – массой m. Распределение частиц по массам описывается функциями f ( μ ) для мелкой
фракции и F (m) для крупной. Обе функции нормированы на число частиц в соответствующей
фракции. Согласно первому предположению, области локализации функций f и F не перекрываются. Поэтому интегрирование в (2) и (4) по массам частиц мелкой фракции можно формально продолжить до бесконечности, а интегрирование по массам частиц крупной фракции –
до нуля. Применяя эти соображения к уравнениям (1), (2) и (4), запишем кинетические уравнения для крупной и мелкой фракций:
∞
∞
∂F (m)
= ∫ β (m − μ , μ ) F (m − μ ) f ( μ )dμ − ∫ β (m, μ ) F (m) f ( μ )dμ +
∂t
0
0
∞
∞
0
0
(5)
+ ∫ γ (m, μ ) F (m + μ )dμ − ∫ γ (m − μ , μ ) F (m)dμ ,
∞
∞
∂f ( μ )
= − ∫ β (m, μ ) F (m) f ( μ )dm + ∫ γ (m − μ , μ ) F (m)dm .
∂t
0
0
(6)
Для сходимости двух последних интегралов в (5) ядро распада должно быстро затухать с ростом массы μ отрываемого фрагмента. Интегральные уравнения (5)-(6) составляют основу
двухфракционной модели коагуляции-фрагментации для дисперсной системы вблизи равновесия.
В связи с тем, что частицы крупной и мелкой фракций существенно отличаются по массам, проведем разложение подынтегральных выражений в первом и третьем интегралах в (5)
по степеням μ (аналогичное разложение применялось в работе [15] к уравнению коагуляции
без распада, см. также [2]). Затем сгруппируем члены, содержащие производные по m одного
порядка. В результате придем к дифференциальному уравнению бесконечного порядка, эквивалентному интегральному уравнению (5):
n
∞
∂F
⎞
⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂
Dn F − Vn F ⎟ ,
= ∑⎜
⎟ ⎜
∂t n=1 ⎝ ∂m ⎠ ⎝ ∂m
⎠
(7)
∞
Vn (m) =
1
[β (m, μ ) f ( μ ) − γ (m − μ , μ )]μ n dμ ,
∫
n! 0
(8)
7
∞
Dn (m) =
1
[β (m, μ ) f ( μ ) + γ (m − μ , μ )]μ n+1dμ ,
∫
(n + 1)! 0
(9)
где величины Vn и Dn можно назвать соответственно скоростью роста и коэффициентом диффузии n-го порядка в пространстве масс частиц. В частности, V1 и D1 есть обычная скорость
роста агрегата (размерность MT-1) и коэффициент диффузии в пространстве масс (M2T-1).
ЯДРА КОАГУЛЯЦИИ И РАСПАДА
Ядро коагуляции β (m, μ ) слабо изменяется с μ в том узком интервале, где распределение
f ( μ ) отлично от нуля. Поэтому далее будем считать:
β (m, μ ) ≈ β (m, μ 0 ) ≡ β (m) ,
(10)
где μ 0 – характерная масса частиц мелкой фракции. Ввиду малости μ 0 , для несингулярных
ядер можно в (10) вместо β (m, μ 0 ) использовать β (m,0) .
Ядро распада представим в виде произведения γ (m − μ , μ ) = γ 1 (m)γ 2 ( μ | m) , где первый
множитель задает частоту распадов агрегатов массой m, а второй – вероятность того, что при
распаде образуется фрагмент μ. Как и в [6], положим, что вероятность γ 2 образования фрагмента не зависит от массы исходного агрегата. Это приводит к вырожденному ядру:
γ (m − μ , μ ) = γ 1 (m)γ 2 ( μ ) .
(11)
Вероятность γ 2 , естественно, нормирована на 1:
∞
∫γ
2
( μ ) dμ = 1 .
(12)
0
РАВНОВЕСНЫЙ СПЕКТР ЧАСТИЦ
Рассмотрим состояние равновесия при сделанных допущениях (10)-(11). Из (6) следует:
f ( μ ) = N1γ 2 ( μ ),
N1 =
γ 1 ( m)
,
β ( m)
∞
... = ∫ ...F (m)dm .
(13)
0
Получим приближенное решение уравнения (7), оставляя в нем только члены с n = 1 и отбрасывая все остальные как малые. Это приводит к уравнению:
d ⎛ d
⎞
D1 F − V1 F ⎟ = 0 .
⎜
dm ⎝ dm
⎠
(14)
8
Первое интегрирование (14) показывает, что выражение в скобках равно постоянной. Ее значение должно быть нулевым, чтобы удовлетворить граничному условию на бесконечности, где
функция F вместе со своими производными стремится к нулю. Повторное интегрирование,
очевидно, дает:
⎞
⎛m V
C
exp⎜⎜ ∫ 1 dm ⎟⎟ .
D1
⎠
⎝ 0 D1
F=
(15)
Постоянная C определяется из условия нормировки.
Покажем, что выражение (15) является точным решением уравнения (7) [а значит, и интегрального уравнения (5)] в том случае, когда вероятность отрыва фрагмента описывается экспоненциальным законом
γ 2 ( μ ) = μ 0−1 exp(− μ / μ 0 )
(16)
[выражение (16) нормировано в соответствии с (12)]. Заданная таким образом вероятность отрыва быстро уменьшается с ростом массы фрагмента, что физически объяснимо, так как малые фрагменты слабее связаны с агрегатом, чем крупные. В этом случае кинетические коэффициенты (8)-(9) выглядят как
Vn = μ 0n [N1 β (m) − γ 1 (m)] = μ 0n−1V1 ,
(17)
Dn = μ 0n+1 [N1 β (m) + γ 1 (m)] = μ 0n−1 D1 ,
(18)
а уравнение (7) принимает вид
∞
∑μ
n =1
n
n −1
0
⎛ d ⎞ ⎛ d
⎞
D1 F − V1 F ⎟ = 0 .
⎜
⎟ ⎜
⎝ dm ⎠ ⎝ dm
⎠
(19)
Отсюда видно, что функция F, удовлетворяющая уравнению
d
D1 F − V1 F = 0 ,
dm
(20)
является решением и для (19). Решение же уравнения (20) совпадает с (15).
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ: СТЕПЕННЫЕ ЯДРА
Используем полученные соотношения для анализа одного частного случая, когда, наряду с
экспоненциальной вероятностью отрыва фрагмента (16), ядро коагуляции и частота распадов
зависят от массы агрегата по степенным законам:
β (m) = β 0 mν , γ 1 (m) = γ 0 mν +α .
(21)
Увеличение частоты распадов с ростом агрегатов можно объяснить уменьшением прочности
их поверхностных слоев. Частота распадов должна расти быстрее, чем ядро коагуляции, т.е.
9
должно быть α > 0 . Только это может ограничить рост крупных агрегатов и обеспечить существование равновесного состояния.
Подставляя (21) в (13) и (17)-(18), найдем сначала число частиц в мелкой фракции и кинетические коэффициенты
N1 = m0α γ 0 β 0−1 , V1 = μ 0γ 0 mν0 +α xν (1 − xα ), D1 = μ 02γ 0 mν0 +α xν (1 + xα ) ,
(22)
а затем функции распределения
f (μ ) =
⎛ μ ⎞
γ 0 m0α
exp⎜⎜ − ⎟⎟ ,
β 0 μ0
⎝ μ0 ⎠
(23)
F1 ( x) =
⎛ x 1 − xα ⎞
C
⎜λ ∫
dx ⎟⎟ ,
exp
α
⎜
+
1
xν (1 + xα )
x
⎝ 0
⎠
(24)
где
x=
mν +α
m
m
, λ = 0 , m0α =
.
m0
μ0
mν
(25)
Параметр λ задается отношением масс частиц в крупной и мелкой фракциях и, в соответствии
с исходными предположениями, удовлетворяет условию λ >> 1 .
Функция F1 ( x) нормирована на 1. Распределения F (m) и F1 ( x) связаны соотношением
F ( m) =
N2 ⎛ m ⎞
F1 ⎜ ⎟ .
m0 ⎜⎝ m0 ⎟⎠
В частности, при ν = α = 1 имеем
F1 ( x) = Cx −1 ( x + 1)
2 λ −1 − λx
e
.
(26)
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Проанализируем распределение F1 ( x) . Оно должно исчезать в области малых x, где действует распределение f ( μ ) . Однако, как видно из (26), F1 ( x) расходится при x → 0 . Это свидетельствует о том, что принятые степенные законы (21) для ядер коагуляции и распада не справедливы в области малых частиц, где действуют другие механизмы. В связи с этим, выражение
(26) применимо только в области достаточно больших масс частиц, что, впрочем, предполагалось с самого начала, когда вводилось представление о крупной и мелкой фракциях. Имея в
виду данное обстоятельство, найдем максимум функции F1 ( x) . Уравнение F1′( x) = 0 дает две
точки экстремума:
10
x± =
[
]
1
λ − 2 ± (λ − 2) 2 − 4λ .
2λ
(27)
Разложение (27) по обратным степеням большого параметра λ дает в 1-м приближении:
x− ≈ λ−1 ,
x+ ≈ 1 − 3λ−1 .
(28)
Минимум в точке x− не имеет физического смысла, так как находится в области малых x, где
распределение F1 ( x) теряет смысл. В точке x+ указанное распределение достигает максимума.
Разлагая F1 ( x) в окрестности x+ , получим его аппроксимацию в виде гауссовского распределения
⎡ ( x − x+ ) 2 ⎤
F1 ( x) ≈ C exp ⎢−
⎥
2σ x2 ⎦
⎣
(29)
с дисперсией
σ x2 ≈ 2λ−1 .
(30)
Сопоставление точного распределения (26) и его аппроксимации (29) при различных значениях λ показано на рис. 2.
0.06
0.05
F1(x)
0.04
0.03
0.02
1'
0.01
4'
2'
2
3'
1
4
3
0
0
0.5
1
1.5
2
x
Рис. 2. Распределение частиц крупной фракции по массе: 1,1′ – λ = 10; 2,2′ – λ = 20; 3,3′ –
λ = 50; 4,4′ – λ = 100. 1−4 – точная зависимость (26); 1′−4′ – аппроксимация гауссовским распределением (29).
11
При λ > 10 имеется удовлетворительное согласие, которое улучшается с ростом λ.
Исходя из (24), нетрудно показать, что аппроксимация (29) справедлива для произвольных
ν , α . В этом случае центр и дисперсия распределения таковы:
x+ ≈ 1 − (2ν + α )λ−1 , σ x2 ≈ 2α −1λ−1 ,
(31)
что обобщает формулы (28) и (30).
Возвращаясь к распределению частиц крупной фракции F (m) , констатируем, что, согласно (29) и (31), можно использовать гауссовскую аппроксимацию
F ( m) ≈
⎡ (m − mc ) 2 ⎤
exp
⎥.
⎢−
2σ m2 ⎦
2πσ m2
⎣
N2
Центр этого распределения находится в точке mc = m0 − (2ν + α ) μ 0 , а дисперсия составляет
σ m2 = 2α −1m0 μ 0 , т.е. зависит от ширины μ 0 распределения частиц мелкой фракции. При α → 0
дисперсия неограниченно увеличивается.
Распределение частиц мелкой фракции f ( μ ) зависит как от характерных масс частиц в
обеих фракциях m0 и μ 0 , так и от коэффициентов распада γ 0 и коагуляции β 0 . Согласно (22)
число частиц мелкой фракции увеличивается как с ростом агрегатов крупной фракции, так и с
повышением коэффициента распада, но уменьшается с повышением коэффициента коагуляции.
Рассмотрим условия существования равновесного состояния в виде двух фракций.
Для существования равновесия выражение (15) должно сходиться при m → ∞ . Формулы
(8)-(9) показывают, что сходимость имеет место, когда скорость роста агрегата V1 (m) становится отрицательной с увеличением m. Согласно (8) это происходит, если ядро распада превышает ядро коагуляции при больших m. Отсюда следует, что для степенных ядер (21) должно
быть α > 0 . Аналогичный результат в дискретном варианте теории был получен в работе [4].
Для существования распределения в виде двух разномасштабных фракций необходимо,
наряду с указанным условием, чтобы по мере увеличения m скорость роста агрегата V1 (m) была сначала положительной, а затем меняла знак. Точка смены знака должна быть достаточно
удалена от начала координат, чтобы исключить перекрывание фракций.
12
ВЫВОДЫ
1. Сформулированы кинетические уравнения двухфракционной модели в интегральном
виде (5)-(6) и в дифференциальном виде [(7)-(9) вместо (5)], описывающие дисперсную систему с коагуляцией и распадом агрегатов, которая приближается к состоянию равновесия.
2. Получено приближенное решение (13), (15) кинетических уравнений в состоянии равновесия для случая, когда ядро коагуляции слабо зависит от размеров мелких частиц, захватываемых агрегатом, а вероятность отрыва малого фрагмента от агрегата не зависит от массы
этого агрегата [см. (10)-(11)].
3. Показано, что в случае, когда частицы мелкой фракции распределены по массам в соответствии с экспоненциальным законом, решение (13), (15) является точным.
4. Найдены распределения по массам частиц мелкой и крупной фракций (23)-(24) при
степенной зависимости (21) ядра коагуляции и частоты распадов от массы агрегата. Для существования равновесного состояния частота распадов должна увеличиваться с ростом массы агрегата быстрее, чем увеличивается ядро коагуляции. Показано, что распределение частиц
крупной фракции по массам (24) или (26) хорошо аппроксимируется гауссовским распределением (29).
ОБОЗНАЧЕНИЯ
C
нормировочный множитель
D{n(m)} распадный член в кинетическом уравнении
Dn
коэффициент диффузии n-го порядка в пространстве масс частиц
F(m)
плотность распределения крупных агрегатов по массе, нормированная на число
частиц в крупной фракции
F1(x)
плотность распределения крупных агрегатов по безразмерной массе, нормированная на 1
f(μ)
плотность распределения частиц мелкой фракции по массе, нормированная на
число частиц в этой фракции
m
масса частицы (агрегата) крупной фракции
m0
характерная масса частиц крупной фракции, см. (25)
N1
число частиц мелкой фракции в единице объема системы
N2
число частиц крупной фракции (агрегатов) в единице объема системы
n(m)
обобщенная плотность распределения частиц дисперсной фазы по массе
R
радиус агрегата
13
S{n(m)} коагуляционный член в кинетическом уравнении
t
время
Vn
скорость роста n-го порядка в расчете на массу агрегата
x
безразмерная масса агрегата
x+
точка максимума распределения F1(x)
x−
точка минимума распределения F1(x)
α
показатель степени, см. (21)
β
ядро коагуляции
β0
коэффициент коагуляции
γ
ядро распада
γ0
коэффициент распада
γ1
частота распадов агрегатов заданной массы
γ2
плотность вероятности отрыва фрагмента определенной массы от агрегата
λ
параметр, определяемый как отношение характерных масс частиц крупной и
мелкой фракций
μ
масса частицы мелкой фракции
μ0
характерная масса частиц мелкой фракции – параметр функции γ 2 ( μ )
ν
показатель степени, см. (21)
σx
стандартное отклонение для распределения F1(x)
...
усреднение по распределению F(m)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.
2. Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
3. Выгорницкий Н.В., Лебовка Н.И., Манк В.В. // Коллоид. журн. 1995. Т. 57. №6. С. 788.
4. Лушников А.А., Пискунов В.Н. // Коллоид. журн. 1977. Т. 39. №5. С. 857.
5. Лушников А.А., Пискунов В.Н. // Коллоид. журн. 1984. Т. 46. №2. С. 272.
6. Мартынов Г.А., Муллер В.М. // Поверхностные силы в тонких пленках и дисперсных системах. М.: Наука, 1972. С. 7.
7. Пеньков Н.В. // Журн. прикл. химии. 1989. Т. 62. №6. С. 1393.
8. Пеньков Н.В. // Журн. прикл. химии. 1990. Т. 63. №12. С. 2705.
14
9. Потанин А.А. // Коллоид. журн. 1990. Т. 52. №6. С. 1101.
10. Урьев Н.Б., Потанин А.А. Текучесть суспензий и порошков. М.: Химия, 1992.
11. Camp T.R. // J. Amer. Water Works Assoc. 1962. V. 60. No. 6. P.656.
12. Gardner K.H., Theis T.L., Young T.C. // Water Research. 1998. V. 32. No. 9. P. 2660.
13. Melzak Z.A. // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. V. 85. P. 547.
14. Potanin A.A., Uriev N.B. // J. Colloid Interface Sci. 1990. V. 142. No. 2. P. 385.
15. Slinn W.J., Gibbs A.G. // J. Atm. Sci. 1971. V. 28. P. 973.
16. Sorensen C.M., Zhang H.X., Taylor T.W. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. No. 3. P. 363.
17. Spicer P.T., Keller W., Pratsinis S.E. // J. Colloid Interface Sci. 1996. V. 184. No. 1. P. 112.