Уравнения - МАТЕМАТИКА
advertisement
Уравнения Как решать уравнения? Тождественные преобразования. В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х». Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберѐмся. Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всѐ их бесконечное многообразие можно разбить всего на три типа. 1. Линейные уравнения. Это уравнения, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причѐм в уравнении нет дробей с делением на неизвестное, это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например: Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов во второй, третьей и т.д. степени и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс. А вот уравнение нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом. После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всѐ, что угодно. В общем виде любое линейное уравнение сводится к виду: ax + b = 0 Здесь b – любое число. Совсем любое. Дробь, целое, иррациональное, ноль и т.д. А а – любое, кроме нуля. Кстати, сообразите, почему так? Почему а не может быть нулѐм? Если вы из запутанного и длинного уравнения путѐм упрощений, приведения подобных, промежуточных вычислений пришли к виду ax + b = 0, можно вздохнуть свободно. Как решать уравнение дальше - уже понятно. 2. Квадратные уравнения. Если в уравнении есть неизвестное в квадрате, уравнение называется квадратным. Кроме этого, в нѐм может быть (а может и не быть) просто икс (неизвестное в первой степени), всякие числа и коэффициенты и нет дробей с делением на неизвестное. Ну и, конечно, нет иксов в третьей, четвѐртой и т.д. степенях. Например: Любое квадратное уравнение сводится к виду: Здесь a, b и с – тоже числа. b и c – совсем любые, а а – опять не равно нулю. Почему? Подставьте вместо а ноль. У нас исчезнет квадрат неизвестного! Уравнение станет линейным. Иначе уже решается… Здесь та же песня, что и в линейных уравнениях. Если, после всяких упрощений и преобразований, вы получили уравнение вида , можно не волноваться. Как решать это уравнение дальше уже понятно. А если непонятно, читайте следующую тему - и всѐ поймѐте! 3. Все остальные уравнения. Этих больше всего, да… И зачем нам эти три типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, просто для них нет единой надежной и безотказной технологии. Приходится всякий раз как-то изворачиваться. Но для линейных и квадратных такая технология есть. Если уж мы добрались до выражений вида ax + b = 0, или , то решим их наверняка. Если добрались… Это и есть самое интересное. Как хитрое исходное уравнение привести к приличному (т.е. вполне решаемому) виду? В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования. Их два. Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – тригонометрическим, показательным, иррациональным и т.д. и т.п. Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое, но одно и то же число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Вы постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа: Дело знакомое, переносим 2 вправо, и получаем: На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения 2: И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах…. Это в разделе на четвѐрку. Загляните, там просто всѐ! Второе тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете чтонибудь крутое, типа Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. Ещѐ уравнение, чуть похитрее: Здесь кое-кто и запутается…. Озарение не наступит, а делить обе части на дробь 1/5 не очень в уме удобно… Чтобы не опозориться на ровном месте, нужно просто сказать себе: слева нам нужен чистый х. Нам мешает дробь 1/5. Чтобы избавиться от неѐ, надо левую часть поделить на 1/5. Или, что проще, умножить на 5. Или на дробь 5/1, это всѐ едино. Это нам надо. Чтобы пятѐрки сократились, и остался чистый х. А математике надо, чтобы вы тогда уж и правую часть умножили на 5. Тогда всем будет хорошо: Умножение обеих частей на нужное число, позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, вполне можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок! Вот и всѐ. Забавно, но эти два (всего два!) действия с уравнениями решают кучу проблем! Если их делать правильно, разумеется. Посмотрим, как эти тождественные преобразования применяются на практике. Для начала решим простенькое уравнение: Это линейное уравнение. С чего начнѐм? Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении? 95 человек из 100 ответят: дроби! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Здесь нам пригодится второе тождественное преобразование. На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число. Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвѐрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком. Вот как выглядит первый шаг: Раскрываем скобки: Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно: Раскрываем оставшиеся скобки: А теперь – одно удовольствие! Вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! Приводим подобные: И делим обе части на 25: Вот и всѐ. Ответ: х=0,16 Берѐм на заметку: чтобы преобразовать исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влевовправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Но на этой страничке потренируемся с простыми линейными уравнениями. Так что, меняем мышку на ручку и решаем. Ответы даны в беспорядке: 2,5; нет решений; 51; 17. Как решать квадратные уравнения? Дискриминант. Поработаем с квадратными уравнениями. Это очень популярные уравнения! В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так: Например: Здесь а =1; b = 3; c = -4 Или: Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2 Или: Здесь а =-3; b = 6; c = -18 Ну, вы поняли… Как решать квадратные уравнения? Если перед вами квадратное уравнение именно в таком виде, дальше уже всѐ просто. Вспоминаем волшебное слово дискриминант. Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадѐживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении. Итак, формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так: Выражение под знаком корня – и есть тот самый дискриминант. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в это формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, для первого уравнения а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем: Пример практически решѐн: Вот и всѐ. Какие случаи возможны при использовании этой формулы? Всего три случая. 1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения. 2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но это играет роль в неравенствах, там мы поподробнее вопрос изучим. 3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет. Всѐ очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же… Самые распространѐнные ошибки – путаница со знаками значений a, b и с. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте! Предположим, надо вот такой примерчик решить: Здесь a = -6; b = -5; c = -1 Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются. Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займѐт секунд 30. А количество ошибок резко сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками: Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадѐт нужда так тщательно всѐ расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приѐмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок! Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант мы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо. Умеете правильно определять a, b и с. Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно? Однако частенько квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так: Или так: Это неполные квадратные уравнения. Их тоже можно решать через дискриминант. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с. Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всѐ. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всѐ у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с, а b ! Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всякого дискриминанта. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем. И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут! Не получается? То-то… Следовательно, можно уверенно записать: х = 0, или х = 4 Всѐ. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант. Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим: Остаѐтся корень извлечь из 9, и всѐ. Получится: Тоже два корня. х = +3 и х = -3. Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти приѐмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего… А теперь примите к сведению практические приѐмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно… Приѐм первый. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает? Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение: Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так: И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всѐ уравнение на -1. Получим: А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1. Приѐм второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всѐ объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку. Если получилось - надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b, который перед иксом, равен -1. Значит, всѐ верно! Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всѐ меньше ошибок будет. Приѐм третий. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в предыдущем разделе. При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут… Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он. Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем: Вот и всѐ! Решать – одно удовольствие! Итак, подытожим тему. Практические советы: 1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно. 2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1. 3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель. 4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нѐм равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это! Дробные уравнения. ОДЗ. Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения. Или их ещѐ называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения. Это одно и то же. Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе. Хотя бы в одном. Например: Или: Напомню, если в знаменателях только числа, это линейные уравнения. Как решать дробные уравнения? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну. Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всѐ те же тождественные преобразования. Нам надо умножить всѐ уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всѐ сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение: Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение? В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2). Умножаем: Это обычное умножение дробей, но распишу подробно: Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х – 2)! Так, целиком, еѐ и пишу: В левой части сокращается целиком (х+2), а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение: А это уравнение уже решит всякий! х = 2. Решим ещѐ один пример, чуть посложнее: Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/1, можно записать: И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей. Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2). А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть: Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку! А вот теперь уже раскрываем скобки: Приводим получаем: подобные, переносим всѐ в левую часть и Классическое квадратное уравнение. Но минус впереди – нехорош. От него можно всегда избавиться, умножением или делением на -1. Но если присмотреться к примеру, можно заметить, что лучше всего это уравнение разделить на -2! Одним махом и минус исчезнет, и коэффициенты посимпатичнее станут! Делим на -2. В левой части – почленно, а в правой – просто ноль делим на -2, ноль и получим: Решаем через дискриминант и проверяем по теореме Виета. Получаем х = 1 и х = 3. Два корня. Как видим, в первом случае уравнение после преобразования стало линейным, а здесь – квадратным. Бывает так, что после избавления от дробей, все иксы сокращаются. Остаѐтся что-нибудь, типа 5=5. Это означает, что икс может быть любым. Каким бы он не был, всѐ равно сократится. И получится чистая правда, 5=5. Но, после избавления от дробей, может получиться и совсем неправда, типа 2=7. А это означает, что решений нет! При любом иксе получается неправда. Осознали главный способ решения дробных уравнений? Он прост и логичен. Мы меняем исходное выражение так, чтобы исчезло всѐ то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. Точно так же мы будем поступать и со всякими сложными примерами с логарифмами, синусами и прочими ужасами. Мы всегда будем от всего этого избавляться. Однако менять исходное выражение в нужную нам сторону надо по правилам, да… Освоение которых и есть подготовка к ЕГЭ по математике. Вот и осваиваем. Сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных засад на ЕГЭ! Но для начала посмотрим, попадаете вы в неѐ, или нет? Разберѐм простой пример: Дело уже знакомое, умножаем обе части на (х – 2), получаем: Напоминаю, со скобками (х – 2) работаем как с одним, цельным выражением! Здесь я уже не писал единичку в знаменателях, несолидно… И скобки в знаменателях рисовать не стал, там кроме х – 2 ничего нет, можно и не рисовать. Сокращаем: Раскрываем подобные: скобки, переносим всѐ влево, приводим Решаем, проверяем, получаем два корня. х = 2 и х = 3. Отлично. Предположим в задании сказано записать корень, или их сумму, если корней больше одного. Что писать будем? Если решите, что ответ 5, – вы попали в засаду. И задание вам не засчитают. Зря трудились… Правильный ответ 3. В чѐм дело?! А вы попробуйте проверку сделать. Подставить значения неизвестного в исходный пример. И если при х = 3 у нас всѐ чудненько срастѐтся, получим 9 = 9, то при х = 2 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Значит х = 2 решением не является, и в ответе никак не учитывается. Это так называемый посторонний или лишний корень. Мы его просто отбрасываем. Окончательный корень один. х = 3. Как так?! – слышу возмущѐнные возгласы. Нас учили, что уравнение можно умножать на выражение! Это тождественное преобразование! Да, тождественное. При маленьком условии – выражение, на которое умножаем (делим) – отлично от нуля. А х – 2 при х = 2 равно нулю! Так что всѐ честно. И что теперь делать?! Не умножать на выражение? Каждый раз проверку делать? Опять непонятно! Спокойно! Без паники! В этой тяжелой ситуации нас спасут три магических буквы. Я знаю, о чем вы подумали. Правильно! Это ОДЗ. Область Допустимых Значений. Это те значения икса, которые могут быть в принципе. Скажем, в уравнении: мы не знаем пока, чему равен икс. Мы пока уравнение не решили. Но уже твѐрдо знаем, что икс не может равняться нулю ни при каких обстоятельствах! На ноль делить нельзя! На любое другое число – целое, дробное, отрицательное – пожалуйста, а на ноль – ни в коем разе! Иначе исходное выражение становится бессмыслицей. Это означает, что ОДЗ в этом примере: х – любое, кроме нуля. Уловили? Как записывать ОДЗ, как вообще с этим работать? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Или можно наоборот: найти запретные значения х, при которых исходный пример теряет всякий смысл, и исключить их из ОДЗ. Я специально акцентирую внимание на словах исходный пример. Это важно. Преобразование может изменить ОДЗ и, соответственно, ответ. Далее мы спокойно решаем уравнение, находим корни. И проверяем их на соответствие ОДЗ. Те решения или корни, которые не входят в ОДЗ – безжалостно выбрасываются. А как искать это самое ОДЗ? Тоже просто. Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия. Таких запретных действий в математике очень мало. Но и их не все помнят… Нельзя делить на ноль. Это актуально в этой теме. Есть ещѐ запреты в корнях чѐтной степени и логарифмах – это мы рассмотрим в соответствующих темах. Всѐ. Когда мы нашли опасные места, вычисляем иксы, которые приведут к бессмыслице. И исключаем их из ОДЗ. Важно! Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных иксов. Это сложно выглядит в разъяснениях, но практически – очень легко. До удивления. Смотрите сами. Возьмѐм предыдущий пример: Сразу замечаем, что в примере есть операция деления на х – 2. Вот и пишем: ОДЗ. Вот и всѐ. Соломки подстелили. Теперь мы можем умножать всѐ уравнение на (х – 2). Это по-прежнему будет не совсем тождественное преобразование, но все вредные последствия от нарушения тождественности мы исключим по ОДЗ. А как же первые два уравнения? Там что, нет ОДЗ? Есть конечно. Есть деление на неизвестное – есть ОДЗ. В примере: ОДЗ А в примере: ОДЗ Я специально в этих примерах ничего не сказал про ОДЗ. Чтобы вас не спугнуть… В этих двух примерах ОДЗ никак не сказалось на ответах. Такое бывает. Но в заданиях ЕГЭ ОДЗ, как правило, влияет на ответ! ОДЗ писать надо. Не для проверяющих, для себя. ОДЗ не пишут, если очевидно, что икс – любое число. Как, например, в линейных уравнениях. Мы с ОДЗ дружить будем. Во всех темах, где потребуется, будем ОДЗ вспоминать. Чтобы не попасть в засаду. Практические советы: 1. Перед решением внимательно исследуем пример. Ищем опасные места, определяем ОДЗ. 2. Определяем множитель, который позволит полностью избавиться от дробей. Умножаем на него уравнение. 3. Решаем получившееся уравнение, находим корни. Проверяем их на соответствие ОДЗ. Те корни, что не входят в ОДЗ, из ответа исключаем. А сейчас, вооружившись глубокими познаниями и практическими советами, решаем примеры. Посказка: в каждом уравнении только одно решение. Один корень. Ответы в традиционном беспорядке: 0, 21, 12, 3, 2. Что, у вас иксов поболее будет? Бывает. Про ОДЗ не забыли, часом? Кое-какие корни выкидывать надо... Ну вот, основы дробных уравнений освоили. Это оч-ч-чень нам пригодится в теме про задачи! Материал взят отсюда http://www.egesdam.ru/page222.html
