Функция и уравнение Рауса

Уравнение Рауса
Из книги А.П.Маркеева Теоретическая механика, М.:Наука, 1990, с.250
Функция Рауса1 имеет вид
R=
n
X
pα q̇α − L(qi , qα , q̇i , q̇α , t)
(4)
α=k+1
Полный дифференциал функции Рауса вычисляется по формуле
dR =
k X
∂R
i=1
∂R
dqi +
dq̇i
∂qi
∂ q̇i
n
X
∂R
∂R
∂R
+
dqα +
dpα +
.
∂q
∂p
∂t
α
α
α=k+1
(5)
С другой стороны, вычислив полный дифференциал (4), получим
dR = −
k X
∂L
i=1
Так как
∂L
∂ q̇α
n
n
X
X
∂L
∂L
∂L
∂L
dqi +
dq̇i −
dqα +
dq̇α +
(pα dq̇α + q̇α dpα ) −
.
∂qi
∂ q̇i
∂qα
∂ q̇α
∂t
α=k+1
α=k+1
= pα , получаем после сокращения
dR = −
k X
∂L
i=1
∂L
dqi +
dq̇i
∂qi
∂ q̇i
∂L
dq̇α
∂ q̇α
и −pα dq̇α :
n
X
∂L
∂L
+
q̇α dpα −
dqα −
.
∂qα
∂t
α=k+1
(6)
Сравнение (5) и (6) дает
∂L ∂R
∂L
∂R
=− ,
= − , i = 1, 2, ..., k
∂qi
∂qi ∂ q̇i
∂ q̇i
(7)
∂R
∂L ∂R
=−
,
= q̇α , α = k + 1, ..., n
∂qα
∂qα ∂pα
(8)
∂R
∂L
=−
∂t
∂t
(9)
d ∂L ∂L
−
= 0, i = 1, ..., n
dt ∂ q̇i ∂qi
(10)
d ∂R ∂R
−
= 0, i = 1, ..., k
dt ∂ q̇i
∂qi
(11)
dqα
∂R dpα
∂R
=
,
=−
, α = k + 1, ..., n
dt
∂pα dt
∂qα
(12)
С учетом уравнения Лагранжа
получаем
и
Совокупность (11) и (12) образует систему уравнений Рауса.
1
Раус Эдвард (1831 – 1907) — английский ученый и педагог, см. А.А. Буров Эдвард Джон Раус//Сборник
научно-методических статей. Теоретическая механика, вып. 26 – М.: МГУ, 2006.