Дроби Простые дроби

Дроби
Начнем с понимания того, что же такое дробь. Дробью называют число, состоящее из
одной или нескольких равных частей от единицы. По виду записи различают два вида
дробей – простые (например -
1 2 5 11
, , , ) и десятичные (например - 0.25,0.38,0.724 ).
3 7 4 13
Простые дроби
У простой дроби есть числитель и знаменатель. Знаменатель это количество частей, на
которые делят единицу, числитель – количество взятых частей. Например, в дроби
2
,2
7
- числитель, 7 - знаменатель, то есть единицу разделили на 7 равных частей и взяли 2 из
них.
По соотношению числителя и знаменателя, простые дроби можно разделить на правильные и неправильные. Если числитель меньше знаменателя , дробь называется правильной, такая дробь меньше единицы. Если числитель больше знаменателя, дробь неправильная, она больше единицы. Особый вид неправильной дроби – дробь, в которой числитель и знаменатель равны, такая дробь будет равна единице (
7
 1) .
7
Примеры:
3
 3  8 , значит дробь правильная.
8
9
2.
 9  2 , значит дробь неправильная.
2
2
3. 5 - дробь больше единицы, значит дробь неправильная.
3
1.
Обратим внимание на последний пример. Это, так называемое, смешанное число, дополнительный вид записи неправильной дроби.
Правило:
Для того, чтобы перейти от смешанного числа к неправильной дроби, нужно целую часть
смешанного числа умножить на знаменатель ( 5  3  15 ), и результат прибавить к числителю ( 15  2  17 ), для получения числителя неправильной дроби. Знаменатель останется
без изменения. Таким образом, из смешанного числа 5
дробь
17
.
3
2
мы получаем неправильную
3
Действия с простыми дробями
1. Расширение и сокращение дробей.
Любую дробь, правильную или неправильную, можно сократить или расширить, с
помощью умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число,
отличное от нуля. Такое действие не изменит значения дроби. Для того, чтобы сократить дробь, разделим числитель и знаменатель на одно и то же число. Для того, чтобы
расширить дробь – умножим числитель и знаменатель на одно и то же число.
Примеры:
8
2 4
2

 .
44 11 4 11
Сокращение:
Мы разделили и числитель и знаменатель дроби на 4 и получили равную дробь
Расширение:
2
.
11
3 3 2 6

 .
4 42 8
Здесь числитель и знаменатель дроби мы умножили на 2, получив в результате равную дробь
6
.
8
2. Сложение и вычитание дробей.
Для того чтобы выполнить сложение или вычитание двух (или более) дробей, необходимо убедиться, что у данных дробей одинаковый знаменатель. Если знаменатель
дробей одинаков, для сложения/вычитания этих дробей, сложим/вычтем числители,
знаменатель оставим тем же. Например:
1 3 1 3 4
 

5 5
5
5
7 4 74 3
 

11 11 11 11
Если знаменатели дробей, которые нужно сложить/вычесть отличаются, прежде чем
выполнить действие сложения/вычитания, необходимо привести дроби к одинаковову
знаменателю и расширить обе дроби до общего знаменателя.
Нахождение одинакового знаменателя:
1) Самый прямой способ нахождения общего знаменателя – умножение знаменате1
2
лей данных дробей. Например:
и , общий знаменатель будет равен 2  3  6 .
2
3
Обратите внимание, этот способ не всегда приведет нас к наименьшему общему
знаменателю!
2) Для получения наименьшего общего знаменателя необходимо проверить делиться
ли наибольший из знаменателей на остальные знаменатели. Если да – он и есть
наименьший общий знаменатель. Если нет – проверяем делимость кратных наибольшему из знаменателей на остальные знаменатели, до нахождения общего
3
1
знаменателя. Например:
и
4
6
Делится ли 6 на 4? Нет! Значит, продолжаем проверять.
Умножим 6  2  12 . Делится ли 12 на 4? Да!
Это и есть наш наименьший общий знаменатель.
Обратите внимание, что в последнем примере, общий знаменатель, найденный
путем произведения знаменателей – 24. Как мы и говорили, это не наименьший
общий знаменатель.
3. Умножение дробей.
При умножении дробей, умножаем числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Например:
2 4 24 8
 

3 7 3  7 21
Если это возможно, сокращаем дроби перед умножением. Например:
2 9 2 9 3 23 6
 


3 11 3 11 111 11
При умножении целого числа на дробь, умножаем его на числитель данной дроби.
Например:
7
2 7  2 14


5
5
5
4. Деление дробей.
При делении одной дроби на другую, умножаем первую дробь на дробь, обратную
второй.
Определение: Чтобы получить дробь, обратную данной, нужно поменять местами
числитель и знаменатель данной дроби.
Например:
5 4 5 7 5  7 35
   

9 7 9 4 9  4 36
Как и в случае с умножением, если это возможно, сокращаем дроби на этапе умножения первой дроби на дробь, обратную второй. Например:
5 10 5 7
5  7 35
   2

9 7 9 10
9  2 18
5. Сравнение дробей.
Сравнивать можно только дроби с одинаковым знаменателем или дроби с одинаковым числителем.
1) Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой
меньше. Например:
2
2
2
2
и , 15  17, значит

15 17
15 17
2) Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой
больше. Например:
2
4
2
4
и , 2  4, значит

15 15
15 15
Десятичные дроби
Десятичная дробь получается путем деления единицы на 10, 100, 1000 и т.д. Такие дроби
очень удобны для использования, так как действия с ними очень похожи на действия,
выполняемые с целыми числами. До точки в десятичных числах пишется целая часть
числа, первая цифра после точки – число десятых частей единицы, вторая – сотых и т.д.
Например:
3.745  3 
7
4
5


10 100 1000
Для решения некоторых психометрических задач, нам необходимо уметь переходить от
простой дроби в десятичную и наоборот.
1) Превращение простой дроби в десятичную:
Есть два способа для превращения простой дроби в десятичную:
Если это возможно, расширим простую дробь до знаменателя 10/100/1000/...
Например:
1 1 20 20


 0.20
5 5  20 100
Если же такое расширение невозможно, разделим числитель простой дроби на ее
знаменатель. Например:
3
 3  12  0.25
12
2) Превращение десятичной дроби в простую:
Способ превращения десятичной дроби в простую следует напрямую из определения
десятичной дроби. Например, мы знаем, что 5.3  5 
3
3
, поэтому 5.3  5
10
10
Задачи для самостоятельного решения:
1.
Сократите, насколько это возможно:
16

48
21
(2)

84
(1)
2.
Превратите смешанное число в неправильную дробь и наоборот:
13

9
2
(2) 8 
5
(1)
3.
3

20
(2) 0.33 
1645

500
(4) 2.596 
(3)
Решите:
5 2
 
6 15
11 3
(2)
 
18 8
(1)
5.
133

11
5
(4) 3 
7
(3)
Превратите десятичную дробь в обычную и наоборот:
(1)
4.
15

120
26
(4)

143
(3)
7 3
 
9 7
4 2 3 1
(4)
   
7 15 7 5
(3)
Поставьте знак < / > / = между двумя дробями:
3 11
13 26
1 3
(2)
19 57
(1)
3 9
13 29
5 2
(4)
21 14
(3)
6.
 6 2 4 9  14
    ?
 25 3 5 75  15
Чему равно значение выражения : 
21
30
7
(2)
10
(3) 0.7
(1)
(4) Все ответы верны
7.
Какая из следующих дробей наибольшая?
8
67
3
(2)
34
12
(3)
78
2
(4)
17
(1)
Ответы:
1.
(1)
2
3
(2)
1
4
1
8
2
(4)
11
(3)
2.
4
9
42
(2)
5
1
11
26
(4)
7
(1) 1
(3) 12
(1) 0.15
(3) 3.290
3.
(2)
33
100
(4)
2
596
1000
4.
29
30
11
(2)
48
49
27
3
(4)
7
(1)
(3)
(1) <
(2) =
(3) <
(4) >
5.
6.
(4)
7.
(3)