Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Федеральное государственное образовательное
бюджетное учреждение высшего профессионального
образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНУНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра
«Теория вероятностей и математическая статистика»
A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов
Теория вероятностей
и математическая статистика
Методические рекомендации по
самостоятельной работе
Часть 6
Для студентов, обучающихся
по направлению 080100.62 «Экономика»
(программа подготовки бакалавра)
Москва 2011
.
Федеральное государственное образовательное
бюджетное учреждение высшего профессионального
образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНУНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра
«Теория вероятностей и математическая статистика»
УТВЕРЖДАЮ
«
Ректор
М.A. Эскиндаров
»
2011 г.
A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов
Теория вероятностей
и математическая статистика
Методические рекомендации по
самостоятельной работе
Часть 6
Для студентов, обучающихся
по направлению 080100.62 «Экономика»
(программа подготовки бакалавра)
Рекомендовано Ученым советом факультета
математических методов и анализа рисков
(протокол № 14 от 22 марта 2011 г.)
Одобрено кафедрой
«Теория вероятностей и математическая
статистика»
(протокол № 7 от 2 марта 2011 г.)
Москва 2011
УДК
ББК
Б 87
Рецензент:
Б 87
XXXX
519.2(072)
22.17я 73
В.Б. Горяинов – к.ф.-м.н., доцент
кафедры «Математическое моделирование», МГТУ им. Н.Э. Баумана
Браилов А.В., Люлько Я.А., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 6. – М.: Финуниверситет, кафедра «Теория вероятностей и математическая
статистика», 2011. – 58 с.
Методические рекомендации предназначены для
организации самостоятельной работы студентов,
изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика». В теоретической справке
приведены решения типовых задач, которые вошли
в варианты контрольных работ. Учебное издание
содержит 30 вариантов контрольных заданий, требования к оформлению домашней контрольной работы.
В конце учебного издания приведена рекомендуемая
литература.
УДК
ББК
519.2(072)
22.17я 73
Учебное издание
Браилов Андрей Владимирович
Люлько Ярослав Александрович
Рябов Павел Евгеньевич
Теория вероятностей и математическая статистика
Методические рекомендации
по самостоятельной работе. Часть 6
Компьютерный набор, верстка Люлько Я.А.,Рябов П.Е.
Формат 60× 90/16. Гарнитура Times New Roman
Усл. 3,63 п.л. Изд. № 35.11 – 2011. Тираж – 206 экз.
Заказ №
Отпечатано в Финуниверситете
c
c
c
c
Браилов Андрей Владимирович, 2011
Люлько Ярослав Александрович, 2011
Рябов Павел Евгеньевич, 2011
Финуниверситет, 2011
Содержание
§1. Общая схема статистического критерия ............. 5
§2. Сравнение генеральных средних
двух нормальных распределений ....................... 6
§3. Сравнение дисперсий
двух нормальных распределений.......................10
§4. Критерий хи-квадрат Пирсона......................12
§5. Проверка гипотезы о совпадении нескольких генеральных средних методом дисперсионного анализа ... 15
Требования к оформлению домашней
контрольной работы .................................... 19
Вариант № 6-01.........................................20
Вариант № 6-02.........................................21
Вариант № 6-03.........................................22
Вариант № 6-04.........................................23
Вариант № 6-05.........................................24
Вариант № 6-06.........................................25
Вариант № 6-07.........................................26
Вариант № 6-08.........................................27
Вариант № 6-09.........................................28
Вариант № 6-10.........................................29
Вариант № 6-11.........................................30
Вариант № 6-12.........................................31
Вариант № 6-13.........................................32
Вариант № 6-14.........................................33
Вариант № 6-15.........................................34
Вариант № 6-16.........................................35
Вариант № 6-17.........................................36
Вариант № 6-18.........................................37
Вариант № 6-19.........................................38
Вариант № 6-20.........................................39
Вариант № 6-21.........................................40
Вариант № 6-22.........................................41
Вариант № 6-23.........................................42
3
Вариант № 6-24.........................................43
Вариант № 6-25.........................................44
Вариант № 6-26.........................................45
Вариант № 6-27.........................................46
Вариант № 6-28.........................................47
Вариант № 6-29.........................................48
Вариант № 6-30.........................................49
Рекомендуемая литература ............................ 50
Приложение. Статистические таблицы ............... 51
4
§1. Общая схема статистического критерия
Пусть X1 , . . . , Xn – случайная выборка объема n из некоторого генерального распределения. Не ограничивая общности можно считать, что существует определенная схема испытаний, при осуществлении которой вычисляется случайная величина X , а X1 , . . . , Xn – это те ее значения, которые X принимает в результате серии n независимых испытаний. Таким образом, случайные величины
X1 , . . . , Xn независимы и распределены по тому же закону,
что и X .
Статистической гипотезой называется любое утверждение о виде или параметрах генерального распределения. Пусть H0 и H1 – две взаимоисключающие статистические гипотезы. Проверяемая гипотеза H0 называется
основной, а дополнительная гипотеза H1 – альтернативной. Предполагается, что одна из этих гипотез выполняется.
Статистическим критерием с критической
областью K ⊂ Rn называется правило, в соответствии с
которым H0 отвергается, если выборка попадает в критическую область, (X1 , . . . , Xn ) ∈ K.
Критические области задаются либо при помощи неравенств вида K = {t < c1 } или K = {t > c2 }, либо как объединение K = {t < c1 } ∪ {t > c2 }, где t = t(x1 , . . . , xn ) – подходящая функция от выборочных значений, а c1 и c2 - некоторые константы, такие что c1 < c2 . Во всех этих случаях
числа c1 и c2 называются критическими значениями, а
функция t(x1 , . . . , xn ) – статистикой критерия. Статистикой критерия называется также случайная величина T = t(X1 , . . . , Xn )
Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается
верная гипотеза H0 . Ошибка второго рода состоит в том,
что отвергается верная гипотеза H1 .
Вероятность ошибки первого рода называется уровнем
5
значимости критерия и обозначается α . Вероятность
ошибки второго рода обозначается β , а величина 1 − β называется мощностью критерия.
§2. Сравнение генеральных средних двух нормальных распределений
~ = (X1 , . . . , Xm ) – выборка из N (µx , σx2 ),
Пусть X
~
а Y = (Y1 , . . . ,Yn ) – выборка из нормального распределения
~ и ~Y предполагаются независимыми,
N (µy , σy2 ). Выборки X
что означает независимость в совокупности m + n случайных величин X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . ,Yn . Способ проверки гипотез о соотношениях между генеральными средними µx и
µy определяется тем, известны или нет дисперсии σx2 и σy2 .
Предположим, что дисперсии σx2 и σy2 известны, а генеральные средние µx и µy неизвестны. Основная гипотеза H0 : µx = µy , альтернативная гипотеза имеет вид
1) H1 : µx > µy ; 2) H1 : µx < µy ; или 3) H1 : µx ≠ µy .
При проверке H0 против H1 вида 1), 2) или 3) используX −Y
.
ется одна и та же статистика Z = s
σx2 σy2
+
m
n
Пусть Zα – (верхняя) процентная точка стандартного нормального распределения N (0, 1), это означает, что
P(Z > Zα ) = α , для Z ∼ N (0, 1). При проверке H0 против H1
применяется критерий с критической областью K, определяемой по таблице
H1
K
1) µx > µy
Z > Zα
2) µx < µy
Z < −Zα
3) µx ≠ µy
|Z| > Zα /2
6
.
При проверке гипотез о соотношениях между генеральными средними µx и µy при неизвестных генеральных дисперсиях σx2 и σy2 дополнительно предполагается, что они
равны: σx2 = σy2 = σ . В качестве несмещенной оценки s2 применяется следующая статистика:
s2 =
m−1 2
n−1 2
sx +
s ,
m+n−2
m+n−2 y
1 n
1 n
2
2=
(X
−
X
)
и
s
i
∑(Yi −Y )2 .
y
m−1 ∑
n
−
1
i=1
i=1
При проверке H0 против H1 при неизвестной генеральной дисперсии критическая область выбирается по таблице
где s2x =
H1
K
1) µx > µy
t > tα (m + n − 2)
2) µx < µy
3) µx ≠ µy
t < −tα (m + n − 2)
Решение. Поскольку генеральные дисперсии известны,
значение статистики критерия находим по формуле
488 − 487
Z=r
≈ 0, 387.
80 94
+
22 31
Так как альтернативная гипотеза имеет вид
H1 : E(X ) ≠ E(Y ), то критическая область задается неравенством |Z| > Zα /2 .
Находим критическое значение
Zα /2 = Z0,002 = Φ−1 (0, 5 − 0, 002) = Φ−1 (0, 498) = 2, 88,
.
|t| > tα /2 (m + n − 2)
Здесь t (может обозначаться как T ) – статистика критерия:
X −Y
t= r
,
1 1
s
+
m n
tα (m + n − 2) – верхняя процентная точка распределения
Стьюдента с m + n − 2 степенями свободы, α – требуемый
уровень значимости.
Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых nx = 22 и ny = 31, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: x = 488 и y = 487. Генеральные дисперсии известны:
D(X ) = 80 и D(Y ) = 94. Требуется при уровне значимости
7
α = 0, 004 проверить гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
где Φ−1 (x) – функция, обратная к функции Лапласа.
Поскольку |Z| = 0, 387 < 2, 88, основная гипотеза не отвергается.
Ответ: H0 принимается.
Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых nx = 27 и ny = 29, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: x = 693 и y = 688. Генеральные дисперсии известны:
D(X ) = 96 и D(Y ) = 69. Требуется при уровне значимости
α = 0, 03 проверить гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе H1 : E(X ) > E(Y ).
Решение. Поскольку генеральные дисперсии известны,
значение статистики критерия находим по формуле
693 − 688
Z=r
≈ 2, 052.
96 69
+
27 29
8
Так как альтернативная гипотеза имеет вид
H1 : E(X ) > E(Y ), то критическая область задается неравенством Z > Zα .
Находим критическое значение
§3. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений
Пусть по-прежнему имеется две независимые выборки:
Zα = Z0,03 = Φ−1 (0, 5 − 0, 03) = Φ−1 (0, 47) = 1, 88,
где Φ−1 (x) – функция, обратная к функции Лапласа.
Поскольку 2, 052 > 1, 88, основная гипотеза отвергается.
Ответ: H0 отвергается.
Пример 3. По двум независимым выборкам объемов 10
и 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями, найдены выборочные средние x = 569, 2; y = 581, 2 и исправленные дисперсии
s2x = 43, 2; s2y = 51, 2. Требуется при уровне значимости
α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при
альтернативной гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
Решение. Для решения задачи необходимо найти следующие статистики
s2 =
10 − 1
8−1
· 43, 2 +
· 51, 2 = 46, 7;
10 + 8 − 2
10 + 8 − 2
569, 2 − 581, 2
q
t=√
≈ −3, 705.
1
46, 7 10
+ 18
Для данного уровня значимости α = 0, 01 пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента, находим критическое значение
t0,01/2 (10 + 8 − 2) = t0,005 (16) = 2, 921.
Поскольку |t| = 3, 705 > 2, 921, основная гипотеза отвергается.
Ответ: H0 отвергается.
9
X1 , . . . , Xm ∼ N (µx , σx2 ),
Y1 , . . . ,Yn ∼ N (µy , σy2 ).
Предполагается, что все четыре параметра µx , µy , σx2 и
неизвестны. Основная гипотеза H0 : σx2 = σy2 , альтернативная – имеет вид:
σy2
1) H1 : σx2 > σy2 ; 2) H1 : σx2 < σy2 ; или 3) H1 : σx2 ≠ σy2 .
При построении критериев по проверке H0 против H1
с требуемым уровнем значимости α применяется критическая область K, заданная следующими неравенствами:
H1
K
1) s2x > s2y
2) s2x < s2y
3) s2x ≠ s2y
s2x
s2y
s2y
s2x
> Fα (m − 1, n − 1)
> Fα (n − 1, m − 1)
,
s21
> Fα /2 (k1 , k2 )
s22
где символы s21 , s22 , k1 и k2 в зависимости от соотношения
между s2x и s2y определяются таблицей
s2x > s2y
s2x < s2y
s21
s2x
s2y
s22
s2y
s2x
k1
m−1
n−1
k2
n−1
10
m−1
.
Другими словами, s21 – большая, а s22 – меньшая из двух
статистик: s2x и s2y . Здесь также используется верхняя процентная точка Fα (m − 1, n − 1) распределения Фишера
F (m − 1, n − 1) с m − 1 и n − 1 степенями свободы.
Пример 4. По двум независимым выборкам, объемы которых nx = 6 и ny = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 70 и s2y = 60. При уровне
значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу H0 : D(X ) = D(Y ) о
равенстве генеральных дисперсий при альтернативной
гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
Решение. Поскольку s2x > s2y , из таблицы квантилей распределения Фишера находим критическое значение
F0,01 (6 − 1, 15 − 1) = F0,01 (5, 14) = 4, 69.
Так как отношение значений исправленных выборочных дисперсий 70
60 < 4, 69, основная гипотеза не отвергается.
Ответ: H0 принимается.
§4. Критерий хи-квадрат Пирсона
Производится серия повторных независимых испытаний, n – число испытаний с общим вероятностным пространством (Ω , F, P). Предположим, что A1 , . . . , Al ∈ F –
попарно несовместные события, такие что A1 + . . . + Al = Ω .
В качестве H0 примем гипотезу, состоящую в том, что вероятности событий Ai (i = 1, . . . , l) заданы таблицей
События
A1
...
Al
Вероятности
p1
...
pl
.
Пусть ni – эмпирическая частота события Ai , т.е. число испытаний, в которых Ai наступило. Исходными данными для критерия χ 2 Пирсона является таблица эмпирических частот
События
A1
...
Al
Частота
n1
...
nl
.
Пример 5. По двум независимым выборкам, объемы которых nx = 3 и ny = 5, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 10 и s2y = 19. При уровне
значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу H0 : D(X ) = D(Y ) о
равенстве генеральных дисперсий при альтернативной
гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
Если основная гипотеза верна, согласно статистическому определению вероятности p̂i ≈ pi , где p̂i = ni /n – относительная частота события Ai . В качестве меры одновременной близости l пар чисел ( p̂i , pi ) принимается статистика Пирсона:
Решение. Поскольку s2x < s2y , из таблицы квантилей распределения Фишера находим критическое значение
Так как отношение значений б’ольшей исправленной выборочной дисперсии к меньшей 19
10 < 99, 25, основная гипотеза не отвергается.
Ответ: H0 принимается.
распределение которой при n → ∞ перестает зависеть от
конкретных значений вероятностей pi и стремится к распределению χ 2 (l − 1) (хи-квадрат с l − 1 степенями свободы).
При верной H0 случайные величины ni распределены
по биномиальному закону с параметрами n и pi , вследствие чего npi = E(ni ) называется ожидаемой (теоретической) частотой события Ai .
11
12
F0,02/2 (5 − 1, 3 − 1) = F0,01 (4, 2) = 99, 25.
l
χ2 = ∑
i=1
l
n
(ni − npi )2
( p̂i − pi )2 = ∑
,
pi
npi
i=1
Можно также доказать, что если гипотеза H0 не верна,
то при n → ∞ вероятность P(χ 2 > c) → 1 для любого c, что
в конечном счете определяет достаточно высокую мощность критерия Пирсона, по крайней мере, для выборок
большого объема.
Для проверки H0 с асимптотическим уровнем значимости α применяется критерий согласия, основанный на
статистике χ 2 и критической области χ 2 > χα2 (l − 1). Здесь
χα2 (l − 1) – верхняя процентная точка распределения
χ 2 (l − 1). На практике данный критерий Пирсона применяется, если объем выборки n > 50 и все ожидаемые частоты npi > 5.
Пример 6. В некоторой стране немцы составляют 50%,
французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 21, французов – 17 и итальянцев – 12.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о том,
что отклонение процентного состава постояльцев по
национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
Решение. Разделим все население страны Ω на три группы
A1 = {немцы}, A2 = {французы}, A3 = {итальянцы}.
Обозначим тем же символом Ai событие, состоящее в том,
что постоялец гостиницы принадлежит к соответствующей группе.
Основная гипотеза H0 состоит в том, что pi , i = 1, 2, 3 задаются таблицей:
Событие
A1
A2
A3
pi
0, 5
0, 3
0, 2
.
Таблица эмпирических частот имеет вид:
13
Событие
A1
A2
A3
ni
21
17
12
.
Так как ожидаемые частоты npi ≥ 5 для всех событий,
то для проверки основной гипотезы с уровнем значимости α = 0, 05 воспользуемся критерием χ 2 -Пирсона.
По таблице квантилей распределения χ 2 находим критическое значение, затем значение статистики критерия:
2 (3 − 1) = χ 2 (2) = 5, 991;
χ0,05
0,05
(21 − 25)2 (17 − 15)2 (12 − 10)2
+
+
≈ 1, 307.
25
15
10
Поскольку 1, 307 < 5, 991, основная гипотеза не отвергается.
Ответ: H0 принимается.
χ2 =
Пример 7. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две решки выпали в 105 бросках, орел и решка – в 196
бросках и два орла – в 99 бросках. При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при
броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
Решение. Рассмотрим опыт, состоящий в том, что подбрасываем две монеты один раз. Введем события: A1 – выпали две решки, A2 – выпали орел и решка, A3 – выпали
два орла. Основная гипотеза состоит в том, что вероятности событий A1 , A2 , A3 задаются таблицей:
Событие
A1
A2
A3
pi
0, 25
0, 5
0, 25
.
Таблица эмпирических частот имеет вид:
Событие
A1
A2
A3
ni
105
196
99
14
.
Так как ожидаемые частоты npi ≥ 5 для всех событий, то
для проверки основной гипотезы с уровнем значимости
α = 0, 05 воспользуемся критерием χ 2 -Пирсона.
По таблице квантилей распределения χ 2 находим критическое значение, затем значение статистики критерия:
2 (3 − 1) = χ 2 (2) = 5, 991;
χ0,05
0,05
χ2 =
(105 − 100)2 (196 − 200)2 (99 − 100)2
+
+
= 0, 34.
100
200
100
Поскольку 0, 34 < 5, 991, основная гипотеза не отклоняется.
Ответ: H0 принимается.
§5. Проверка гипотезы о совпадении нескольких генеральных средних методом дисперсионного анализа
~ i = (Xi1 , . . . , Xini ) – выборка объема ni из N (µi , σ 2 ),
Пусть X
где i = 1, . . . , k. Предположим также, что n = n1 + . . . + nk случайных величин
X11 , . . . , X1n1 ; X21 , . . . , X2n2 ; . . . ; Xk1 , . . . , Xknk
независимы в совокупности. Таким образом, выборки
~ 1, . . . , X
~ k независимы и получены из нормальных распреX
делений с одинаковой дисперсией σ 2 и, возможно, различными средними µ1 , . . . , µk . Гипотеза о равенстве всех
средних одновременно записывается как
Рассмотрим объединенную выборку объема n = n1 + . . . + nk
~ = (X11 , . . . , X1n ; X21 , . . . , X2n ; . . . ; Xk1 , . . . , Xkn ).
X
1
2
k
~1, . . . , X
~ k как группы, на котоИнтерпретируя выборки X
~ , введем обозначения, аналорые разбита совокупность X
гичные тем, что использовались при изучении межгрупповой дисперсии:
1 ni
X i = ∑ Xi j
ni j=1
– выборочное среднее в i-й совокупности;
σ̂i2 =
H1 : (∃i, j) µi ≠ µ j .
ni
∑(Xi j − X i )2
j=1
– выборочная дисперсия в той же выборке;
X =
1 k
1 k ni
X
n
=
i
i
∑ Xi j
n∑
n∑
i=1
i=1 j=1
~.
– выборочное среднее в объединенной выборке X
σ2 =
1 k 2
σ̂i ni
n∑
i=1
– средняя групповая дисперсия;
δ2 =
H0 : µ1 = . . . = µk ,
а альтернативная гипотеза – как
1
ni
1 k
(X i − X )2 ni
n∑
i=1
– межгрупповая дисперсия;
σ̂ 2 =
1 k ni
∑(Xi j − X )2
n∑
i=1 j=1
Заметим, что при верной H0 генеральные распределения
совпадают:
N (µ1 , σ 2 ) = . . . = N (µk , σ 2 ).
– выборочная дисперсия признака в объединенной вы~.
борке X
15
16
Известно, что выборочную дисперсию σ̂ 2 можно представить в виде суммы σ̂ 2 = σ 2 + δ 2 , где первое слагаемое σ 2
характеризует среднюю изменчивость признака в каж~1, . . . , X
~ k , а второе слагаемое δ 2 характеридой выборке X
зует разброс выборочных средних X 1 , . . . , X k .
Критерий проверки H0 против H1 использует так называемое отношение Фишера:
1 k
(X i − X )2 ni
k−1 ∑
i=1
1
nδ 2 /s2
k
−
1
F=
=
.
1
2
2
1 k ni
(Xi j − X i )2 n − k nσ /s
n−k ∑∑
i=1 j=1
Можно доказать, что F ∼ F (k − 1, n− k), где F (n− 1, n− k)
– распределение Фишера с k − 1 и n − k степенями свободы. Для проверки H0 с уровнем значимости α применяется критерий с критической областью F > Fα (k − 1, n − k),
где Fα (k − 1, n − k) – верхняя процентная точка распределения F (k − 1, n − k).
Найдем также выборочные дисперсии внутри групп, необходимые для средней групповой и межгрупповой дисперсий:
(7 − x1 )2 + (8 − x1 )2 + (9 − x1 )2 2
= ,
3
3
2 + (10 − x )2 + (11 − x )2
(9
−
2
x
)
2
2
3
σ̂22 =
= ,
3
3
2 + (12 − x )2 + (13 − x )2
x
)
(11
−
2
3
2
3
σ̂32 =
= .
3
3
σ̂12 =
Средняя групповая и межгрупповая дисперсии равны соответственно:
n1 σˆ1 2 + n2 σˆ2 2 + n3 σˆ3 2 2
= ,
n
3
2 n + (x − x)2 n + (x − x)2 n
(x
−
x)
1
1
2
2
3
3
δ2 =
=
n
(8 − 10)2 + (10 − 10)2 + (12 − 10)2 8
=
= .
3
3
σ2 =
Пример 8. Из трех нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 7, 8, 9; 2) 9, 10, 11; 3) 11, 12, 13. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую
дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на
уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о совпадении всех
трех генеральных средних.
Для проверки основной гипотезы с уровнем значимости α = 0, 01 воспользуемся критерием Фишера.
Найдем значение статистики критерия
Решение. Для решения задачи найдем средние значения
в каждой из трех групп и выборочное среднее в объединенной выборке:
затем по таблице квантилей распределения Фишера – критическое значение
1 8
·
F = 2 3 = 12,
1 2
·
6 3
F0,01 (3 − 1, 9 − 3) = F0,01 (2, 6) = 10, 92.
7+8+9
9 + 10 + 11
11 + 12 + 13
x1 =
= 8, x2 =
= 10, x3 =
= 12,
3
3
3
n1 x1 + n2 x2 + n3 x2 8 + 10 + 12
=
= 10.
x=
n
3
Поскольку 12 > 10, 92, основная гипотеза отвергается.
Ответ: H0 отвергается.
17
18
Требования к оформлению домашней контрольной
работы
✔ Порядок записи решений задач повторяет порядок
условий в варианте контрольной работы.
✔ Перед решением указывается порядковый номер задачи, условие не переписывается.
✔ Номер задачи выделяется маркером или иным образом. В конце решения приводится ответ по форме: «Ответ:. . . ».
✔ Как правило, ответ записывается как десятичная
дробь или целое. Допускается также запись в виде
несократимой дроби, если такая запись содержит не
11
более 5 символов (например: 36
). Ошибка округления в ответе не должна превосходить 0, 1%.
✔ Если задача не решена, после ее номера ставится прочерк.
✔ Решения, которые содержат грубые ошибки (отрицательная дисперсия, вероятность больше 1, . . . ),
считаются неправильными.
✔ Неправильное решение, решение задачи из другого варианта или задачи с измененным условием, отсутствие решения или ответа приводит к минимальной оценке задачи (0 баллов).
✔ Отсутствие обоснования при правильном решении
влечет снижение оценки на 2 балла.
✔ Неправильный ответ (в том числе из-за ошибок округления) при правильном решении снижает оценку.
Вариант № 6-01
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 426, 9; y = 435, 9 и
исправленные дисперсии s2x = 24, 3; s2y = 28, 8. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 6 и ny = 14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y , найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 90 и s2y = 60.
При уровне значимости α = 0, 05 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 26, французов – 11 и итальянцев – 13.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 8, 9, 10; 2) 10, 11, 12; 3) 12, 13, 14. Для объединенной
выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о совпадении всех трех генеральных средних.
✔ Оценка также снижается за плохое оформление работы (зачеркнутый текст, вставки, . . . ).
19
20
Вариант № 6-02
Вариант № 6-03
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 38 и ny = 23, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 638 и y = 620. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 96 и D(Y ) = 62. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 13 и ny = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 818 и y = 805. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 95 и D(Y ) = 53. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 03
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 12 и ny = 7, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y , найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 28 и s2y = 30.
При уровне значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 6 и ny = 17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 50 и s2y = 10.
При уровне значимости α = 0, 05 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 93 бросках, орел и решка – в 203
бросках и два орла – в 104 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 91 бросках, орел и решка – в 199
бросках и два орла – в 110 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 2, 3, 4; 2) 4, 5, 6; 3) 6, 7, 8. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 3, 4, 5; 2) 5, 6, 7; 3) 7, 8, 9. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
21
22
Вариант № 6-04
Вариант № 6-05
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 15 и ny = 22, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 613 и y = 607. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 79 и D(Y ) = 67. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 05
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 426, 9; y = 435, 9 и
исправленные дисперсии s2x = 24, 3; s2y = 28, 8. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 4 и ny = 5, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 9 и s2y = 23. При
уровне значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 15 и ny = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 7 и s2y = 28.
При уровне значимости α = 0, 1 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 29, французов – 13 и итальянцев – 8.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 93 бросках, орел и решка – в 207
бросках и два орла – в 100 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 4, 5, 6; 2) 6, 7, 8; 3) 8, 9, 10. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
23
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 6, 7, 8; 2) 8, 9, 10; 3) 10, 11, 12. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
24
Вариант № 6-06
Вариант № 6-07
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 12 и ny = 26, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 203 и y = 218. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 86 и D(Y ) = 56. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 27 и ny = 32, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 540 и y = 525. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 54 и D(Y ) = 51. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 03
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 8 и ny = 14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 50 и s2y = 40.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 4 и ny = 17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 40 и s2y = 30.
При уровне значимости α = 0, 05 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 28, французов – 14 и итальянцев – 8.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 30, французов – 15 и итальянцев – 5.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 2, 3, 4; 2) 4, 5, 6; 3) 6, 7, 8. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 1, 2, 3; 2) 3, 4, 5; 3) 5, 6, 7. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
25
26
Вариант № 6-08
Вариант № 6-09
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 33 и ny = 30, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 860 и y = 863. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 54 и D(Y ) = 84. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 426, 9; y = 435, 9 и
исправленные дисперсии s2x = 24, 3; s2y = 28, 8. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 3 и ny = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 9 и s2y = 19. При
уровне значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 18 и ny = 5, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 19 и s2y = 28.
При уровне значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 109 бросках, орел и решка – в 198
бросках и два орла – в 93 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 104 бросках, орел и решка – в 199
бросках и два орла – в 97 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 2, 3, 4; 2) 4, 5, 6; 3) 6, 7, 8. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 7, 8, 9; 2) 9, 10, 11; 3) 11, 12, 13. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
27
28
Вариант № 6-10
Вариант № 6-11
1. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями, найдены выборочные средние x = 711, 5;
y = 726, 5 и исправленные дисперсии s2x = 67, 5; s2y = 80, 0.
Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить
нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 32 и ny = 12, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 611 и y = 605. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 95 и D(Y ) = 87. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 03
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 8 и ny = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 60 и s2y = 20.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 5 и ny = 13, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 90 и s2y = 50.
При уровне значимости α = 0, 05 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 29, французов – 11 и итальянцев – 10.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 98 бросках, орел и решка – в 192
бросках и два орла – в 110 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 2, 3, 4; 2) 4, 5, 6; 3) 6, 7, 8. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
29
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 9, 10, 11; 2) 11, 12, 13; 3) 13, 14, 15. Для объединенной
выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о совпадении всех трех генеральных средних.
30
Вариант № 6-12
Вариант № 6-13
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 27 и ny = 14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 406 и y = 396. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 68 и D(Y ) = 51. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 284, 6; y = 290, 6 и
исправленные дисперсии s2x = 10, 8; s2y = 12, 8. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 8 и ny = 3, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 20 и s2y = 29. При
уровне значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 5 и ny = 4, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 2 и s2y = 14. При
уровне значимости α = 0, 1 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 22, французов – 15 и итальянцев – 13.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 92 бросках, орел и решка – в 206
бросках и два орла – в 102 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 5, 6, 7; 2) 7, 8, 9; 3) 9, 10, 11. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
31
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 5, 6, 7; 2) 7, 8, 9; 3) 9, 10, 11. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
32
Вариант № 6-14
Вариант № 6-15
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 24 и ny = 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 697 и y = 695. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 75 и D(Y ) = 90. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 19 и ny = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 858 и y = 853. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 59 и D(Y ) = 54. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 03
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 9 и ny = 19, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 100 и s2y = 80.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 15 и ny = 3, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 15 и s2y = 18.
При уровне значимости α = 0.1 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 20, французов – 16 и итальянцев – 14.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 96 бросках, орел и решка – в 204
бросках и два орла – в 100 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 6, 7, 8; 2) 8, 9, 10; 3) 10, 11, 12. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите
межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на уровне значимости α = 0, 01
гипотезу о совпадении всех трех генеральных средних.
33
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 3, 4, 5; 2) 5, 6, 7; 3) 7, 8, 9. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
34
Вариант № 6-16
Вариант № 6-17
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 21 и ny = 22, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 653 и y = 668. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 93 и D(Y ) = 68. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 284, 6; y = 290, 6 и
исправленные дисперсии s2x = 10, 8; s2y = 12, 8. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 9 и ny = 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 100 и s2y = 30.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 10 и ny = 19, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 30 и s2y = 10.
При уровне значимости α = 0, 05 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 29, французов – 14 и итальянцев – 7.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 30, французов – 14 и итальянцев – 6.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 4, 5, 6; 2) 6, 7, 8; 3) 8, 9, 10. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 4, 5, 6; 2) 6, 7, 8; 3) 8, 9, 10. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
35
36
Вариант № 6-18
Вариант № 6-19
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 18 и ny = 33, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 243 и y = 228. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 50 и D(Y ) = 57. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 13 и ny = 35, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 404 и y = 409. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 84 и D(Y ) = 71. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 05
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 6 и ny = 7, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 14 и s2y = 15. При уровне
значимости α = 0, 1 проверьте гипотезу H0 : D(X ) = D(Y )
о равенстве генеральных дисперсий при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 12 и ny = 7, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 4 и s2y = 8.
При уровне значимости α = 0, 1 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 113 бросках, орел и решка – в 195
бросках и два орла – в 92 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 25, французов – 15 и итальянцев – 10.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 5, 6, 7; 2) 7, 8, 9; 3) 9, 10, 11. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
37
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 6, 7, 8; 2) 8, 9, 10; 3) 10, 11, 12. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите
межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на уровне значимости α = 0, 01
гипотезу о совпадении всех трех генеральных средних.
38
Вариант № 6-20
Вариант № 6-21
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 39 и ny = 37, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 900 и y = 896. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 57 и D(Y ) = 85. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 284, 6; y = 290, 6 и
исправленные дисперсии s2x = 10, 8; s2y = 12, 8. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 7 и ny = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 60 и s2y = 40.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 3 и ny = 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 80 и s2y = 20.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 86 бросках, орел и решка – в 206
бросках и два орла – в 108 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 29, французов – 11 и итальянцев – 10.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 7, 8, 9; 2) 9, 10, 11; 3) 11, 12, 13. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите
межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на уровне значимости α = 0, 05
гипотезу о совпадении всех трех генеральных средних.
39
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 2, 3, 4; 2) 4, 5, 6; 3) 6, 7, 8. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
40
Вариант № 6-22
Вариант № 6-23
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 36 и ny = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 490 и y = 507. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 75 и D(Y ) = 74. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 284, 6; y = 290, 6 и
исправленные дисперсии s2x = 10, 8; s2y = 12, 8. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 8 и ny = 7, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 3 и s2y = 5. При уровне
значимости α = 0, 1 проверьте гипотезу H0 : D(X ) = D(Y )
о равенстве генеральных дисперсий при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 9 и ny = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 5 и s2y = 22. При
уровне значимости α = 0, 1 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 110 бросках, орел и решка – в 196
бросках и два орла – в 94 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 110 бросках, орел и решка – в 200
бросках и два орла – в 90 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 1, 2, 3; 2) 3, 4, 5; 3) 5, 6, 7. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 4, 5, 6; 2) 6, 7, 8; 3) 8, 9, 10. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию
и проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу
о совпадении всех трех генеральных средних.
41
42
Вариант № 6-24
Вариант № 6-25
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 33 и ny = 14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 446 и y = 441. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 82 и D(Y ) = 52. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 28 и ny = 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 241 и y = 230. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 55 и D(Y ) = 77. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 05
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 4 и ny = 13, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 80 и s2y = 10.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 15 и ny = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 2 и s2y = 11.
При уровне значимости α = 0, 1 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 23, французов – 13 и итальянцев – 14.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 23, французов – 12 и итальянцев – 15.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 1, 2, 3; 2) 3, 4, 5; 3) 5, 6, 7. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 1, 2, 3; 2) 3, 4, 5; 3) 5, 6, 7. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
43
44
Вариант № 6-26
Вариант № 6-27
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 569, 2; y = 581, 2 и
исправленные дисперсии s2x = 43, 2; s2y = 51, 2. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 25 и ny = 27, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 898 и y = 891. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 73 и D(Y ) = 55. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 05
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 6 и ny = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 60 и s2y = 10.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 8 и ny = 13, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 60 и s2y = 40.
При уровне значимости α = 0, 01 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 103 бросках, орел и решка – в 203
бросках и два орла – в 94 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 103 бросках, орел и решка – в 207
бросках и два орла – в 90 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 1, 2, 3; 2) 3, 4, 5; 3) 5, 6, 7. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 3, 4, 5; 2) 5, 6, 7; 3) 7, 8, 9. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
45
46
Вариант № 6-28
Вариант № 6-29
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 27 и ny = 29, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 693 и y = 682. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 96 и D(Y ) = 69. Требуется при уровне
значимости α = 0, 004 проверить гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) > E(Y ).
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 22 и ny = 31, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние: x = 488 и y = 480. Генеральные дисперсии известны: D(X ) = 80 и D(Y ) = 94. Требуется при уровне
значимости
α = 0, 05
проверить
гипотезу
H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной гипотезе
H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 17 и ny = 3, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 23 и s2y = 29.
При уровне значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 6 и ny = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные оценки генеральных дисперсий s2x = 70 и s2y = 60.
При уровне значимости α = 0, 05 проверьте гипотезу
H1 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) > D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 26, французов – 15 и итальянцев – 9.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по нацинальностям от среднего по стране объясняется исключительно случайными факторами.
3. Две монеты подброшены 400 раз. В результате две
решки выпали в 105 бросках, орел и решка – в 196
бросках и два орла – в 99 бросках. При 5%-м уровне
значимости проверьте гипотезу о том, что число орлов при броске двух монет распределено по биномиальному закону с параметрами 2 и 1/2.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 1, 2, 3; 2) 3, 4, 5; 3) 5, 6, 7. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и
проверьте на уровне значимости α = 0, 01 гипотезу о
совпадении всех трех генеральных средних.
47
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 9, 10, 11; 2) 11, 12, 13; 3) 13, 14, 15. Для объединенной
выборочной совокупности объема 9 вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу о совпадении всех трех генеральных средних.
48
Вариант № 6-30
1. По двум независимым выборкам, объемы которых
n = 10 и l = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y с равными дисперсиями,
найдены выборочные средние x = 569, 2; y = 581, 2 и
исправленные дисперсии s2x = 43, 2, s2y = 51, 2. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить нулевую гипотезу H0 : E(X ) = E(Y ) при альтернативной
гипотезе H1 : E(X ) ≠ E(Y ).
Рекомендуемая литература
[1] Солодовников A.C., Бабайцев В.A., Браилов A.B. Математика в экономике: учебник: В 3-х ч. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Финансы и статистика, 2008. – 464 с.
2. По двум независимым выборкам, объемы которых
nx = 3 и ny = 5, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены несмещенные
оценки генеральных дисперсий s2x = 10 и s2y = 19. При
уровне значимости α = 0, 02 проверьте гипотезу
H0 : D(X ) = D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий
при альтернативной гипотезе H1 : D(X ) ≠ D(Y ).
3. В некоторой стране немцы составляют 50%, французы – 30%, итальянцы – 20%. В гостинице остановились: немцев – 21, французов – 17 и итальянцев – 12.
При 5%-м уровне значимости проверьте гипотезу о
том, что отклонение процентного состава постояльцев по национальностям от среднего по стране объсняется исключительно случайными факторами.
4. Из трех нормальных генеральных совокупностей с
одинаковыми дисперсиями извлечены выборки:
1) 7, 8, 9; 2) 9, 10, 11; 3) 11, 12, 13. Для объединенной выборочной совокупности объема 9 вычислите
межгрупповую дисперсию, среднюю групповую дисперсию и проверьте на уровне значимости α = 0, 01
гипотезу о совпадении всех трех генеральных средних.
49
50
!"#$%&'"&. ()*)"+)",&+-"& )*.#"/0
!"#$%! &'!()'$* +,'-%$$ # ( x ) !
1
e
1 2
x
2
!"#$%! &'!()'$* +,'-%$$ # ( x ) "
2"
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
1
0,3989
0,3965
0,3902
0,3802
0,3668
2
0,3989
0,3961
0,3894
0,3790
0,3653
3
0,3988
0,3956
0,3885
0,3778
0,3637
4
0,3986
0,3951
0,3876
0,3765
0,3621
5
0,3984
0,3945
0,3867
0,3752
0,3605
6
0,3982
0,3939
0,3857
0,3739
0,3589
7
0,3980
0,3932
0,3847
0,3725
0,3572
8
0,3977
0,3925
0,3836
0,3712
0,3555
9
0,3973
0,3918
0,3825
0,3697
0,3538
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,3503
0,3312
0,3101
0,2874
0,2637
0,3485
0,3292
0,3079
0,2850
0,2613
0,3467
0,3271
0,3056
0,2827
0,2589
0,3448
0,3251
0,3034
0,2803
0,2565
0,3429
0,3230
0,3011
0,2780
0,2541
0,3410
0,3209
0,2989
0,2756
0,2516
0,3391
0,3187
0,2966
0,2732
0,2492
0,3372
0,3166
0,2943
0,2709
0,2468
0,3352
0,3144
0,2920
0,2685
0,2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,2396
0,2155
0,1919
0,1691
0,1476
0,2371
0,2131
0,1895
0,1669
0,1456
0,2347
0,2107
0,1872
0,1647
0,1435
0,2323
0,2083
0,1849
0,1626
0,1415
0,2299
0,2059
0,1826
0,1604
0,1394
0,2275
0,2036
0,1804
0,1582
0,1374
0,2251
0,2012
0,1781
0,1561
0,1354
0,2227
0,1989
0,1758
0,1539
0,1334
0,2203
0,1965
0,1736
0,1518
0,1315
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
0,1276
0,1092
0,0925
0,0775
0,0644
0,1257
0,1074
0,0909
0,0761
0,0632
0,1238
0,1057
0,0893
0,0748
0,0620
0,1219
0,1040
0,0878
0,0734
0,0608
0,1200
0,1023
0,0863
0,0721
0,0596
0,1182
0,1006
0,0848
0,0707
0,0584
0,1163
0,0989
0,0833
0,0694
0,0573
0,1145
0,0973
0,0818
0,0681
0,0562
0,1127
0,0957
0,0804
0,0669
0,0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,0540
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0529
0,0431
0,0347
0,0277
0,0219
0,0519
0,0422
0,0339
0,0270
0,0213
0,0508
0,0413
0,0332
0,0264
0,0208
0,0498
0,0404
0,0325
0,0258
0,0203
0,0488
0,0396
0,0317
0,0252
0,0198
0,0478
0,0387
0,0310
0,0246
0,0194
0,0468
0,0379
0,0303
0,0241
0,0189
0,0459
0,0371
0,0297
0,0235
0,0184
0,0449
0,0363
0,0290
0,0229
0,0180
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,0171
0,0132
0,0101
0,0077
0,0058
0,0167
0,0129
0,0099
0,0075
0,0056
0,0163
0,0126
0,0096
0,0073
0,0055
0,0158
0,0122
0,0093
0,0071
0,0053
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0151
0,0116
0,0088
0,0067
0,0050
0,0147
0,0113
0,0086
0,0065
0,0048
0,0143
0,0110
0,0084
0,0063
0,0047
0,0139
0,0107
0,0081
0,0061
0,0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
0,0044
0,0033
0,0024
0,0017
0,0012
0,0009
0,0043
0,0032
0,0023
0,0017
0,0012
0,0008
0,0042
0,0031
0,0022
0,0016
0,0012
0,0008
0,0040
0,0030
0,0022
0,0016
0,0011
0,0008
0,0039
0,0029
0,0021
0,0015
0,0011
0,0008
0,0038
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0007
0,0037
0,0027
0,0020
0,0014
0,0010
0,0007
0,0036
0,0026
0,0019
0,0014
0,0010
0,0007
0,0035
0,0025
0,0018
0,0013
0,0009
0,0007
0,0034
0,0025
0,0018
0,0013
0,0009
0,0006
51
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
1
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,4991
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
2
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,4991
0,4994
0,4995
0,4997
0,4998
0,4999
3
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
4
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
52
1
2$
5
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
x
e
1
! t2
2
dt
0
6
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
7
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
8
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
9
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
!"#$%! &'()*$) +(,%'*-*.) -,/'0 t (k ) (!1+('2'#'*$3 4-562'*-!
1 k 1-'+'*37$ 1&,",2.
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
!
= 0,05
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,684
1,671
1,664
1,660
1,645
= 0,025
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,000
1,990
1,984
1,960
= 0,01
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,390
2,374
2,364
2,326
= 0,005
63,656
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,660
2,639
2,626
2,576
= 0,0025
127,321
14,089
7,453
5,598
4,773
4,317
4,029
3,833
3,690
3,581
3,497
3,428
3,372
3,326
3,286
3,252
3,222
3,197
3,174
3,153
3,135
3,119
3,104
3,091
3,078
3,067
3,057
3,047
3,038
3,030
2,971
2,915
2,887
2,871
2,807
= 0,001
318,289
22,328
10,214
7,173
5,894
5,208
4,785
4,501
4,297
4,144
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
3,686
3,646
3,610
3,579
3,552
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
3,435
3,421
3,408
3,396
3,385
3,307
3,232
3,195
3,174
3,090
= 0,0005
636,578
31,600
12,924
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,768
3,745
3,725
3,707
3,689
3,674
3,660
3,646
3,551
3,460
3,416
3,390
3,291
!"#$%! &'(%)*+*,- .)'-*$-$-0.!2'!+ 1 k 1+)&)*34$ 1.("(2,
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
= 0,99
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,647
2,088
2,558
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,878
13,565
14,256
14,953
22,164
37,485
53,540
70,065
= 0,975
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
15,308
16,047
16,791
24,433
40,482
57,153
74,222
+(/)0
= 0,95
= 0,05
0,00393
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
26,509
43,188
60,391
77,929
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
55,758
79,082
101,879
124,342
!"#$!. X ~ ! 2 (16) $ P ( X # 32) " 0,01.
!"#$!. X ~ t (100) $ P ( X # 1,66) " 0,05.
53
54
! 2 (k )
'!1&')2)#)*$3
= 0,025
5,024
7,378
9,348
11,143
12,832
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
44,461
45,722
46,979
59,342
83,298
106,629
129,561
= 0,01
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
63,691
88,379
112,329
135,807
!"#$%! &'()*$) +(,%'*-*.) -,/'0 F0, 05 (k , l ) (!1+('2'#'*$3
4$5'(! 1 k $ l 1-'+'*36$ 1&,",2., k = 1, 2, …, 10.
l k=1
161
1
2 18,51
3 10,13
7,71
4
6,61
5
5,99
6
5,59
7
5,32
8
5,12
9
10 4,96
11 4,84
12 4,75
13 4,67
14 4,60
15 4,54
16 4,49
17 4,45
18 4,41
19 4,38
20 4,35
21 4,32
22 4,30
23 4,28
24 4,26
25 4,24
26 4,23
27 4,21
28 4,20
29 4,18
30 4,17
40 4,08
60 4,00
120 3,92
3,84
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
k=7
k=8
k = 9 k = 10
199
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,23
3,15
3,07
3,00
216
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,84
2,76
2,68
2,60
225
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,61
2,53
2,45
2,37
230
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,45
2,37
2,29
2,21
234
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,34
2,25
2,18
2,10
237
19,35
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,25
2,17
2,09
2,01
239
19,37
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,18
2,10
2,02
1,94
241
19,38
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,12
2,04
1,96
1,88
242
19,40
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,08
1,99
1,91
1,83
!"#$%! &'()*$) +(,%'*-*.) -,/'0 F0, 05 ( k , l ) (!1+('2'#'*$3
4$5'(! 1 k $ l 1-'+'*36$ 1&,",2., k >10.
l
k=11
k=12
k=15
k=20
k=24
k=30
k=40
k=60 k=120 k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
243
19,40
8,76
5,94
4,70
4,03
3,60
3,31
3,10
2,94
2,82
2,72
2,63
2,57
2,51
2,46
2,41
2,37
2,34
2,31
2,28
2,26
2,24
2,22
2,20
2,18
2,17
2,15
2,14
2,13
2,04
1,95
1,87
1,79
244
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,00
1,92
1,83
1,75
246
19,43
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,92
1,84
1,75
1,67
248
19,45
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,84
1,75
1,66
1,57
249
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,79
1,70
1,61
1,52
250
19,46
8,62
5,75
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,74
1,65
1,55
1,46
251
19,47
8,59
5,72
4,46
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,69
1,59
1,50
1,39
252
19,48
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,64
1,53
1,43
1,32
!"#$!. X ~ F ( 2,10) # P ( X " 4,1) ! 0,05.
!"#$!. X ~ F (12,40) # P ( X " 2) ! 0,05.
55
56
253
19,49
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,58
1,47
1,35
1,22
254
19,50
8,53
5,63
4,37
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,51
1,39
1,25
–
!"#$%! &'()*$) +(,%'*-*.) -,/'0 F0, 01 ( k , l ) (!1+('2'#'*$3 4$5'(!
!"#$%! &'()*$) +(,%'*-*.) -,/'0
1 k $ l 1-'+'*36$ 1&,",2., k = 1, 2, …, 10.
F0, 01 ( k , l )
(!1+('2'#'*$3
4$5'(! 1 k $ l 1-'+'*36$ 1&,",2., k >10.
l
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
k=7
k=8
k = 9 k = 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
4052
98,50
34,12
21,20
16,26
13,75
12,25
11,26
10,56
10,04
9,65
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
8,29
8,18
8,10
8,02
7,95
7,88
7,82
7,77
7,72
7,68
7,64
7,60
7,56
7,31
7,08
6,85
6,63
4999
99,00
30,82
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,21
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,78
5,72
5,66
5,61
5,57
5,53
5,49
5,45
5,42
5,39
5,18
4,98
4,79
4,61
5404
99,16
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,19
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,64
4,60
4,57
4,54
4,51
4,31
4,13
3,95
3,78
5624
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,21
5,04
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,14
4,11
4,07
4,04
4,02
3,83
3,65
3,48
3,32
5764
99,30
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
4,04
3,99
3,94
3,90
3,85
3,82
3,78
3,75
3,73
3,70
3,51
3,34
3,17
3,02
5859
99,33
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,81
3,76
3,71
3,67
3,63
3,59
3,56
3,53
3,50
3,47
3,29
3,12
2,96
2,80
5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,64
3,59
3,54
3,50
3,46
3,42
3,39
3,36
3,33
3,30
3,12
2,95
2,79
2,64
5981
99,38
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,29
3,26
3,23
3,20
3,17
2,99
2,82
2,66
2,51
6022
99,39
27,34
14,66
10,16
7,98
6,72
5,91
5,35
4,94
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
3,60
3,52
3,46
3,40
3,35
3,30
3,26
3,22
3,18
3,15
3,12
3,09
3,07
2,89
2,72
2,56
2,41
!"#$!. X ~ F (5,30) # P ( X " 3,7) ! 0,01.
6056
99,40
27,23
14,55
10,05
7,87
6,62
5,81
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
3,51
3,43
3,37
3,31
3,26
3,21
3,17
3,13
3,09
3,06
3,03
3,00
2,98
2,80
2,63
2,47
2,32
l
k=11
k=12
k=15
k=20
k=24
k=30
k=40
k=60 k=120 k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
6083
99,41
27,13
14,45
9,96
7,79
6,54
5,73
5,18
4,77
4,46
4,22
4,02
3,86
3,73
3,62
3,52
3,43
3,36
3,29
3,24
3,18
3,14
3,09
3,06
3,02
2,99
2,96
2,93
2,91
2,73
2,56
2,40
2,25
6107
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
3,55
3,46
3,37
3,30
3,23
3,17
3,12
3,07
3,03
2,99
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,66
2,50
2,34
2,18
6157
99,43
26,87
14,20
9,72
7,56
6,31
5,52
4,96
4,56
4,25
4,01
3,82
3,66
3,52
3,41
3,31
3,23
3,15
3,09
3,03
2,98
2,93
2,89
2,85
2,81
2,78
2,75
2,73
2,70
2,52
2,35
2,19
2,04
6209
99,45
26,69
14,02
9,55
7,40
6,16
5,36
4,81
4,41
4,10
3,86
3,66
3,51
3,37
3,26
3,16
3,08
3,00
2,94
2,88
2,83
2,78
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,37
2,20
2,03
1,88
6234
99,46
26,60
13,93
9,47
7,31
6,07
5,28
4,73
4,33
4,02
3,78
3,59
3,43
3,29
3,18
3,08
3,00
2,92
2,86
2,80
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
2,55
2,52
2,49
2,47
2,29
2,12
1,95
1,79
6260
99,47
26,50
13,84
9,38
7,23
5,99
5,20
4,65
4,25
3,94
3,70
3,51
3,35
3,21
3,10
3,00
2,92
2,84
2,78
2,72
2,67
2,62
2,58
2,54
2,50
2,47
2,44
2,41
2,39
2,20
2,03
1,86
1,70
6286
99,48
26,41
13,75
9,29
7,14
5,91
5,12
4,57
4,17
3,86
3,62
3,43
3,27
3,13
3,02
2,92
2,84
2,76
2,69
2,64
2,58
2,54
2,49
2,45
2,42
2,38
2,35
2,33
2,30
2,11
1,94
1,76
1,59
6313
99,48
26,32
13,65
9,20
7,06
5,82
5,03
4,48
4,08
3,78
3,54
3,34
3,18
3,05
2,93
2,83
2,75
2,67
2,61
2,55
2,50
2,45
2,40
2,36
2,33
2,29
2,26
2,23
2,21
2,02
1,84
1,66
1,47
!"#$!. X ~ F ( 20,60) # P ( X " 2,2) ! 0,01.
57
58
6340
99,49
26,22
13,56
9,11
6,97
5,74
4,95
4,40
4,00
3,69
3,45
3,25
3,09
2,96
2,84
2,75
2,66
2,58
2,52
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,17
2,14
2,11
1,92
1,73
1,53
1,32
6366
99,50
26,13
13,46
9,02
6,88
5,65
4,86
4,31
3,91
3,60
3,36
3,17
3,00
2,87
2,75
2,65
2,57
2,49
2,42
2,36
2,31
2,26
2,21
2,17
2,13
2,10
2,06
2,03
2,01
1,80
1,60
1,38
–