Алгебра высказываний (начало)
advertisement
"…Употребляйте с пользой время: Учиться надо по системе. Сперва хочу Вам в долг вменить На курсы логики ходить. Ваш ум, не тронутый доныне, На них приучат к дисциплине, Чтоб взял он направленья ось, Не разбредаясь вкривь и вкось”. В.Гете "Фауст” ч. I "Ночь” Ло́гос (от греч. λόγος — «слово», «мысль», «смысл», «понятие») — термин древнегреческой философии, означающий одновременно «слово» (высказывание, речь) и «понятие» (суждение, смысл). Гераклит, впервые использовавший его, называл логосом «вечную и всеобщую необходимость», устойчивую закономерность. В последующем значение этого термина неоднократно изменялось, тем не менее, под логосом понимают наиболее глубинную, устойчивую и существенную структуру бытия, наиболее существенные закономерности мира. Оглавление 1. Введение 2. Формы человеческого мышления Понятие Объемы понятий Виды отношений Суждение Умозаключение 3. Алгебра высказываний 4. Логические операции 5. Соответствие между всевозможными наборами значений для трех (четырех) переменных 6. Решение задачи с помощью кругов Эйлера 7. Решение задачи с помощью таблицы истинности 8. Графическое изображение сложных логических выражений 9. Запросы Интернета Логика как наука Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, т.е. логические законы. Существует мнение, что всякое движение нашей мысли, постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы. В Древней Греции, Древней Индии, Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки. Логика – одна из древнейших наук. Её основателем считается АРИСТОТЕЛЬ (383-322 г.г. до н.э.), который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал категории «понятие» и «суждение», подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления. Формы человеческого мышления Итак, предметом исследования науки логики является человеческое мышление. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. В логике выделяют следующие формы мышления: понятие суждение умозаключение Примеры понятий: • апельсин • трапеция • река Нил • ученик лицея № 1550 • директор • директор лицея Понятие Форма мышления, в которой отражаются отличительные существенные признаки предметов. Существенными признаками называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а вместе достаточны, чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество. Понятие имеет две основные логические характеристики: содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия. Например, объем понятия река – это множество, состоящее из рек, носящих имена Обь, Волга, Енисей, Москва и др. Объемы понятий Наглядная геометрическая иллюстрация объемов понятий и отношений между ними была предложена крупным швейцарским, немецким и российским математиком, физиком, астрономом, механиком Леонардом Эйлером (1707-1783) и носит название кругов Эйлера. Хотя одним из первых авторов этого метода был выдающийся немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) Если имеются два каких-либо понятия X и Y, то объемы каждого из этих понятий можно представить в виде круга, а отношение между этими объемами - в виде пары кругов. Виды отношений Тождество X – Ю.Гагарин Y – первый космонавт Пересечение X – школьник Y – спортсмен Подчинение X – лев Y – хищник Соподчинение А – береза В – ель С – дерево Противоречие А – большой дом В – не большой дом Противоположность А – большой дом В – маленький дом Суждение (высказывание, утверждение) Форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Суждение выражается в форме повествовательного предложения. Суждения бывают простыми и сложными. Примеры суждений • Этот апельсин вкусный • Если прошел дождь, то на улице весна • Наступила весна, и прилетели грачи Всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным по своему содержанию. Содержание суждения – это то, о чем в нем идет речь, его смысл. Одно и тоже суждение разными людьми может восприниматься как истинное так и ложное в зависимости от их взглядов, образования и т.д., Поэтому необходимо прежде договориться по каждому суждению ложно оно или истинно в данном конкретном случае. Интерес представляет то, что характеризует каждое из них и неизменно для каждого из них, а именно их форма. Логическая форма суждения Это его строение, способ связи его составных частей. Форма суждения, в отличие от его содержания, объективна, т.е. не зависит от тех или иных взглядов человека. Пример: определить логическую форму следующих суждений: 1. Все лошади едят овес 2. Все реки впадают в море 3. Все школьники отличники 4. Все книги имеют страницы 5. Все планеты вращаются вокруг звезд Во всех рассуждениях говорится о разном (у них разное содержание), но они имеют одинаковую логическую форму: Все S есть Р 6. Все медузы не имеют головы 7. Люди не боги имеют другую логическую форму: Все S не есть Р Умозаключение Форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения). Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения: Все люди смертны. Все S есть Р Сократ – человек. Некоторые А есть S Сократ смертен. Некоторые А есть Р Алгебра высказываний (алгебра логики) Основоположники математической логики: Джордж Буль (1815-1864) и Огастес де Морган (1806-1871) В 20 веке большой вклад в развитии математической логики привнесли также советские математики А.Н. Колмогоров, П.С. Новиков, А.А. Марков Алгебра логики – раздел математической (формализованной) логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. Под высказыванием (суждением) ― будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. ― обозначаются прописными буквами: А=1 (высказывание истинно) А=0 (высказывание ложно) Примеры высказываний: 1) А = Солнце светит для всех = 1 2) В = Все ученики любят информатику = 0 3) С = Некоторые из учеников любят информатику = 1 4) Д = А ты любишь информатику? – не высказывание, не является повествовательным предложением 5) Е = Посмотри в окно – не высказывание 6) Ж = (х*х<0) = 0 7) З = 2*х-5 >0 – не высказывание, не имеет однозначного значения 8) И = Крокодилы летают очень низко – высказывание Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может интересовать зоологов, но не логиков, Логика как наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний, и устанавливается с помощью специально разработанных объективных методов (логических операций) Логические операции НЕ – Логическое отрицание (инверсия) Образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…». А А А – множество отличников А -- множество неотличников Обозначение инверсии: Не А ¬А 𝐴 Not(А) И – Логическое умножение (конъюнкция) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И» Пример: А = Множество отличников В = Множество спортсменов А И В = Множество отличников и спорсменов (одновременно) Обозначение конъюнкции: АИВ А˄В А*В А&В А and В АВ (знак операции можно не писать) Логические операции ИЛИ – Логическое сложение (дизъюнкция) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» Обозначение конъюнкции: А ИЛИ В А ИЛИ В = Множество учеников класса, АВ которые являются отличниками А|В или спортсменами А or В Таблицы истинности основных логических операций Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы. Приоритеты операций: Логических Арифмет. 1 Инверсия 2 3 4 5 -2 (унарный минус) Конъюнкция умножен Дизъюнкция сложение Импликация Эквиваленция Логические операции Логическое следование (импликация) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то…» Обозначение: X Y (Y следует из X) Таблица истинности Примеры: 1. Если клятва дана (А), то она должна выполняться (В) 2. Если число делится на 9 (А), то оно делится на 3 (В) 3. Пусть даны высказывания: А= На улице дождь В= Асфальт мокрый АВ – если на улице дождь, то асфальт мокрый Графическое изображение Выберем те строки таблицы истинности, в которых АВ = 1 (A=0)(B=0) (A=0)(B=1) (A=1)(B=1) Логические операции Логическое равенство (эквиваленция) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …» Обозначение: X Y X ~Y X Y Пример Даны два высказывания: А = Число делится на 3 без остатка (кратно 3) В = Сумма цифр числа делится нацело на 3 Таблица истинности А В = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 Графическое изображение Выберем те строки таблицы истинности, в которых АВ = 1 (A=0)(B=0) (A=1)(B=1) Соответствие между всевозможными наборами значений для трех переменных АВС Вопрос: Если переменных -4. Сколько строк будет в таблице и как ее можно заполнить быстро и правильно, не потеряв ни одной комбинации? Графическое изображение сложных логических выражений Соответствие между всевозможными наборами значений для четырех переменных 13 11 14 7 Графическое изображение сложных логических выражений Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача В классе 36 учеников . Ученики класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический – 14, химический -10. Кроме того известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 учеников – математический и химический, 3 – физический и химический. Сколько учеников класса не посещают никаких кружков? Обозначения: В = все ученики класса М = математический Ф = физический Х = химический МФ = математическом и физическом (возможно и в химическом) МФХ = математическом и физическом, но не в химическом ... МФХ = все три кружка Дано: В = 36 М = 18 Ф = 14 Х = 10 МФХ = 2 МФ = 8 МХ = 5 ФХ=3 Найти: М Ф Х Решение задач с помощью кругов Эйлера Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию. Дано: В = 36 М = 18 Ф = 14 Х = 10 МФХ = 2 МФ = 8 МХ = 5 ФХ=3 Найти: М Ф Х Диаграмма Эйлера-Венна Графическое изображение сложных логических выражений Джон Венн (18341923). Великобритания МФХ Решение задач с помощью кругов Эйлера 1. 2. 3. 4. В – множество всех учеников класса Три круга М, Ф, Х – множество членов трех кружков Подпишем полученные области и обратимся к числовым данным Впишем исходные данные и результаты вычислений: (1) МФХ = 2 МФХ = 8 - 2 = 6 Решение задач с помощью кругов Эйлера (2) МХ = 5 МФХ=5 -2=3 Решение задач с помощью кругов Эйлера (3) М = 18 МФХ = 18 -(6 + 2+ 3) =7 (4) ФХ= 3 МФХ= 3 - 2 =1 Решение задач с помощью кругов Эйлера (5) Х = 10 МФХ = 10 -(3 + 2+ 1) = 4 (6) Ф= 14 МФХ= 14 –(6 + 2 + 1) =5 Ответ: М Ф Х = 36 – (7+6+5+3+2+1+4) = 8 Решение задачи с помощью таблицы истинности Графическое изображение сложных логических выражений НЕ А И В А ИЛИ В И С 1 1 2 (А ИЛИ С) И (В ИЛИ С) 3 А И НЕ (В ИЛИ С) 4 2 3 Установите соответствие Правильно Как можно упростить логическое выражение № 3 (анализируя представленные схемы)? Проверить? Логические операции 4 Выведение логических законов с помощью кругов Эйлера. Доказательство с помощью таблицы истинности 1 2 5 Закон Де Моргана 𝑩𝑪 = 𝐁&𝐂 Доказать самостоятельно 𝑩&𝑪 = 𝐁 𝐂 Закон дистрибутивности (AС)& (ВС) = С(А&В) Доказать самостоятельно (A&С) (В&С) = С&(АВ) 5 Запросы интернета В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&». Предположим, что запрос состоит из трех слов: Чацкий (Ч), Молчалин (М), Фамусов (Ф). Т.к. на странице либо есть слово либо его нет (два состояния), то количество возможных комбинаций = 8 (N=2𝑖 , где i – количество слов). Строка, где все значения = 0 – не берется в расчет. ПОЧЕМУ? Вид запроса Страницы, которые выдаст поисковая система Ч Ч + ЧМ + ЧФ + ЧМФ 4 Ч|M М + ФМ + Ч + ЧМ + ЧФ + ЧМФ 6 Ч|М|Ф М + Ф + ФМ + Ч + ЧМ + ЧФ +ЧФМ 7 Ч&М ЧМ + ЧМФ 2 Ч&М&Ф ЧМФ 1 0 Ч&(М|Ф) ЧМ + ЧФ + ЧФМ 3 1 Ч|(М&Ф) Ч + ЧМ + ЧФ + ЧФМ + ФМ 5 Ч Ф М 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 Кол. видов страниц Запросы интернета Задача (решить двумя способами: с помощью кругов Эйлера с помощью таблиц истинности В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Запрос Чацкий & (Молчалин | Фамусов) Чацкий & Молчалин Чацкий & Фамусов Найдено страниц (в тысячах) 440 250 290 Компьютер печатает количество страниц (в тысячах), которое будет найдено по следующему запросу: Чацкий & Молчалин & Фамусов Укажите целое число, которое напечатает компьютер. Запросы интернета с помощью таблиц истинности ЧМ = 250-ЧМФ ЧФ = 290-ЧМФ ЧМ + ЧФ + ЧМФ = 440 250-ЧМФ + 290-ЧМФ +ЧМФ = 440 540-440 = ЧМФ ЧМФ = 100 с помощью кругов Эйлера – исходные данные Запросы интернета КЯ + КС+КЯС КЯ + КЯС КЯС КС+КЯС = 210+50= 260 КЯ+КС+КЯС=390 КЯ+КЯС=180 КЯС=50 Получаем: КЯ=180-50=130 КС=390-50-130=210 210+50=260 Запросы интернета Запрос Черника Малина Брусника Черника&Брусника Черника&Малина Найдено страниц 350 200 500 50 Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц в этом сегменте. Сколько сайтов будет найдено по запросу: Черника ИЛИ Малина ИЛИ Брусника? 20 Малина&Брусника 10 Малина&Черника& Брусника 5 975
