ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ «Теория вероятностей»

ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАДАНИЯ
по учебной дисциплине
«Теория вероятностей»
Составитель: доцент кафедры информационных
технологий, канд.физ.-мат.наук
Поплавская Л.А.
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. Случайные события. ....................................................................... 4
Практическое занятие №1. Непосредственный подсчет вероятностей
событий. Применение элементов комбинаторики при вычислении
вероятностей событий. .................................................................................... 4
Практическое занятие №2. Применение теорем сложения и умножения
при вычислении вероятностей событий. ...................................................... 8
Практическое занятие №3. Применение теоремы Бернулли,
производящей функции, локальной и интегральной теорем Лапласа и
теоремы Пуассона при вычислении вероятностей событий. ................... 11
Практическое занятие №4. Формулы полной вероятности и ................... 14
Байеса. ............................................................................................................. 14
Тема 2. Случайные величины....................................................................... 17
Практическое занятие №5. Дискретные случайные величины и их
числовые характеристики. ............................................................................ 17
Практическое занятие №6. Непрерывные случайные величины и их
числовые характеристики. ............................................................................ 20
Практическое занятие №7. Основные законы распределения дискретных
случайных величин........................................................................................ 22
Практическое занятие №8. Основные законы распределения
непрерывных случайных величин. .............................................................. 25
Практическое занятие №9. Контрольная работа по разделам «Случайные
события и случайные величины»................................................................. 29
Приложения .................................................................................................. 30
1. Таблица значений функции  ( x) 
1
e
2

x2
2
................................ 30
2. Таблица значений функции Лапласа ( x) 
3. Таблица значений функции pk(λ) =
k
k!
2
2
z
e

t2
2
dt ............ 32
0
e   ..................................... 34
4. Таблица значений функции Cnk p k q n  k ............................................ 46
Литература .................................................................................................... 55
Тема 1. Случайные события.
Практическое занятие №1. Непосредственный подсчет вероятностей событий. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятностей событий.
Учебные цели: Добиться усвоения понятия случайного события,
суммы, разности и произведения событий, умения вычислять вероятность события непосредственно, используя классическую формулу и
элементы комбинаторики.
I. Контрольные вопросы.
1. Какие вопросы изучаются теорией вероятности и в каких областях
знаний она находит применение?
2. Какое понятие является основным в теории вероятностей?
3. Дать определение пространства элементарных событий. Привести
примеры.
4. Сформулировать понятие полной группы событий. Привести примеры.
5. Сформулировать классическое определение вероятности случайного события.
6. Изложить классификацию случайных событий.
7. Дать определение суммы, разности и произведения двух и более
событий.
8. Дать понятие перестановки и записать формулу вычисления числа
перестановок из n различных элементов.
9. Дать понятие размещений и записать формулу вычисления числа
размещений из n различных элементов по m элементов.
10. Дать понятие сочетаний и записать формулу вычисления числа сочетаний из n различных элементов по m элементов.
11. Сформулировать равенство, связывающее числа перестановок,
размещений и сочетаний.
12. Указать формулу вычисления числа перестановок из n элементов,
если некоторые элементы повторяются.
13. Указать формулу вычисления числа размещений по m элементов с
повторениями из n элементов.
14. Указать формулу вычисления числа сочетаний с повторениями из
n элементов по m элементов.
II. Задания на самоподготовку.
№1. Доказать справедливость тождеств
1. ( A \ B)  ( B \ A)  ( A  B) \  AB .
2. ( A  B)  ( A  B )  ( A  B )  A  A  B  
№2. Упростить выражения
1. ( A  B  C )  ( B  A  C )  (C  A  B) .
2. A  B  C  B  C  B .
№3. Найти случайное событие Х из равенств
1. ( X  A)  A  X  A  B .
2. ( A  X )  ( A  X )  X  A  X  A  B .
№4. Записать полную группу событий эксперимента, состоящего в
бросании двух игральных костей.
№5. Опыт состоит в извлечении шара из урны, содержащей шары
трех цветов: красного, синего и зеленого, пронумерованные цифрами от
1 до 10.
Пусть события

А – {извлечен шар красного цвета};

В – {извлечен шар синего цвета};

С – {извлечен шар зеленого цвета};

D – {извлечен шар с четным номером};

E – {извлечен шар с номером, кратным 3}.
Что собой представляют события: D+E, А+В, D-E, D  E ,ВD, A  С ,
АВ, АС+В, EB , DB  C , DA  C ?
№6. Исследуется работа прибора, состоящего из 2-х блоков первого
типа и 3-х блоков 2-го типа. Прибор работает, если исправен хотя бы
один блок 1-го типа и не менее 2-х блоков 2-го типа. Используя операции над событиями, выразить события А, В, С, D, Е через элементарные
события Ai={исправен i-ый блок 1-го типа} и Вj={исправен j-ый блок 2го типа}, если

A={прибор работает};

В={прибор работает, но один из блоков 2-го типа неисправен};

С={прибор не работает, но все блоки второго типа исправны};

D ={прибор работает, но один из блоков 1-го типа неисправен};

Е={прибор работает, но один из блоков 1-го типа и один из
блоков 2-го типа неисправны
№7. Из колонии бежали 3 особо опасных преступника Иванов, Петров и Сидоров. Используя операции над событиями А = {пойман Иванов}, В = {пойман Петров} и С = {пойман Сидоров}, записать выражения для событий, состоящих в том, что из трех сбежавших преступников

будет пойман только один;

ни один из преступников не будет пойман;

будут пойманы два преступника;

хотя бы один из преступников будет пойман;

будут пойманы все три преступника;

будут пойманы хотя бы два из преступников.

будет пойман хотя бы один из преступников;

хотя бы два из преступников не будут пойманы;

только один из преступников не будет пойман.
№8. На десяти карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И,
К. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово “математика”.
№9. При одном бросании двух игральных костей найти вероятность

выпадения 7 очков;

выпадения двух одинаковых чисел;

выпадения двух одинаковых чисел или 8 очков;

выпадения нечетного числа?
№10. Выполнить индивидуальные задания из №№ 1 – 3, согласно
заданным вариантам [3, с.4-19].
III. Подготовить тему «Теоремы сложения и умножения при вычислении вероятностей событий».
Практическое занятие №2. Применение теорем сложения и
умножения при вычислении вероятностей событий.
Учебные цели: Закрепить основные теоретические понятия темы.
Научить проводить предварительный анализ задачи и выбирать соответствующие теоремы для нахождения вероятностей событий. Научить вычислять вероятность событий с помощью теорем сложения и умножения
вероятностей. Дать навыки применения теорем сложения и умножения к
решению профильных задач.
I. Контрольные вопросы.
1.
Теорема сложения вероятностей для совместных и для
несовместных событий.
2.
Условная вероятность.
3.
Теорема умножения вероятностей для зависимых и для независимых событий.
4.
Вероятность появления хотя бы одного события.
II. Задания на самоподготовку.
№1. Вероятность поражения первого двигателя самолета равна 0,3,
второго – 0,4, кабины пилота – 0,8. Для поражения самолета достаточно
поразить оба двигатели или кабину пилота. Какова вероятность
поражения самолета?
№2. Правоохранительные органы занимаются розыском рецидивистов. Вероятность поимки одного из разыскиваемых преступников равна
0,2. Если один из преступников будет задержан, то вероятность поимки
другого возрастет до 0,5. Какова вероятность того, что будут задержаны
оба преступника?
№3. На предприятии, производящем высокоточную аппаратуру оборонного значения, происходит постоянная утечка сведений, составляющих государственную тайну. В результате расследования установлено,
что доступ к этой информации имели 5 человек. Для обнаружения ви-
новного производится последовательная замена каждого из этих сотрудников до тех пор, пока утечка информации не прекратится.
Какова вероятность того, что придется заменить

2 человека?

4 человека?
№4. У Вини-Пуха присутствует n гостей, причем, у каждого из них
один и тот же номер обуви. В силу некоторых обстоятельств гостям
приходится натягивать обувь в темноте. Найти вероятность того, что

гости натянут свои ботинки;

гости натянут парные ботинки, возможно, и не свои
при условии, что каждый из гостей может отличить правый ботинок от левого, но не может отличить свой от чужого;

гости натянут свои ботинки;

гости натянут парные ботинки, возможно, и не свои
при условии, что гости не могут отличить правый ботинок от левого и свой от чужого.
№5. Из урны, содержащей 20 красных и 16 зеленых шаров, наугад
вынимают
1)
два шара. Что более вероятно: вынуты два шара красного
цвета, вынуты два шара зеленого цвета или вынуты два шара разных
цветов?
2)
три шара. Что более вероятно: вынуты шары одного цвета,
вынуты два шара одного цвета, а один другого, вынуты шары разных
цветов?
№6. Для выявления свидетелей совершенного преступления правоохранительные органы поместили информацию о нем на специальных
информационных стендах «Их разыскивает милиция». Кроме того, примерное описание преступников и обстоятельств совершенного преступления постоянно передавали по телевидению в специальных информационных выпусках. Вероятность того, что возможный свидетель увидит
информационный выпуск по телевидению, равна 0,1, а сообщение на
информационном стенде — 0,05.
Какова вероятность того, что свидетель увидит

и информационную передачу, и информацию на стенде;


хотя бы одно информационное сообщение;
только одно информационное сообщение?
№7. В театральной кассе к некоторому моменту времени осталось 1
билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр
комедии. Известно, что два первых очередных покупателя приобретают
по одному билету с равной вероятностью в любой из возможных театров.
Два первых очередника приобрели по билету. Какова вероятность того, что
 А={куплены билеты в разные театры};
 В={куплены билеты в один театр};
 С={все билеты в театр эстрады распроданы },
 D={билет в театр комедии куплен раньше, чем в театр эстрады},
№8. У туристов было три банки с мясом, 2 банки с овощами и 2 – с
фруктами. Во время дождя надписи на банках были стерты. Туристам
надо открыть 3 банки. Какова вероятность того, что банки будут отличаться содержимым?
№9. При перевозке контейнера с деталями, в котором содержалось
190 стандартных и 10 нестандартных деталей, утеряны две детали. Какие
из деталей вероятнее всего были утеряны: две стандартные детали, одна
стандартная и одна нестандартная или две нестандартные детали?
№10. Выполнить индивидуальное задание из №4, согласно заданным вариантам [3, с.14-20].
III. Подготовить тему «Применение формулы Бернулли, производящей функции, локальной и интегральной формул Лапласа и формулы
Пуассона при вычислении вероятностей событий».
IV. Подготовиться к контрольному срезу по теме «Вычисление вероятностей событий непосредственным подсчетом и с использованием
теорем сложения и умножения».
Практическое занятие №3. Применение теоремы Бернулли, производящей функции, локальной и интегральной теорем Лапласа и теоремы Пуассона при вычислении вероятностей событий.
Учебные цели: Закрепить основные теоретические понятия темы.
Научить проводить предварительный анализ задачи и выбирать соответствующие теоремы для нахождения вероятностей событий. Научить вычислять вероятность событий с помощью теорем Бернулли, Лапласа,
Пуассона и производящей функции в задачах о повторении опытов. Дать
навыки применения данных теорем к решению профильных задач.
I. Контрольные вопросы.
5.
Постановка задачи, в которой вероятность события может
быть вычислена по формуле Бернулли.
6.
Сформулировать теорему о повторении опытов. Записать
данные формулы.
7.
Наивероятнейшее число наступления события А в n опытах.
8.
Дать понятие производящей функции.
9.
Записать формулу нахождения вероятности того, что событие А в n опытах появится m раз через коэффициенты при zm в разложении по степеням z производящей функции.
10. Сформулировать общую теорему о повторении опытов.
11. Постановка задачи, в которой вероятность события может
быть вычислена по локальной и интегральной формулам Лапласа и по
формуле Пуассона.
12. Сформулировать локальную и интегральную теоремы
Лапласа и теорему Пуассона.
13. Сформулировать условия применения формул Лапласа и
Пуассона при вычислениях вероятностей событий.
II. Задания на самоподготовку.
№1. Одинаковы ли шансы на успех у двух игроков, если первому
необходимо получить хотя бы одну шестерку при 7-кратном бросании
игральной кости, а второму не менее двух шестерок при 12-кратном бросании?
№2. Какова вероятность того, что при n бросках баскетболист попадет в мишень k раз, если вероятность попадания при одном броске равна
р?
 n =8, р =0,6, k =5;
 n =100, р =0,4, k =45;
 n =1000, р =0,002, k =3.
№3. Вероятности попадания в цель для каждого из четырех футболистов равны соответственно 0,9, 0,8, 0,6 и 0,7. Используя производящую
функцию, найти вероятность того, что после произведенных по одному
бросков каждым из футболистов

не будет ни одного попадания;

два, три, четыре попадания;


не менее двух попаданий;
не более трех попаданий.
№4. Среди 10000 обследованных были выявлены 2 человека с редким
заболеванием. Какова вероятность того, что из 1000 случайно отобранных человек: а) у двух окажется редкое заболевание; б) менее чем у двух
окажется редкое заболевание?
№5. Найти пределы, в которых заключена вероятность наступления
события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее
число наступления события в этих испытаниях равно 30?
№6. Вероятность выигрыша в каждой шахматной партии для игрока
А равна 0,3. Найти вероятность того, что в семи партиях игрок А
 проиграл два раза;
 выиграл не более трех раз;
 проиграл хотя бы один раз.
№7. Вероятность выиграть по одному билету «Спортлото» равна 1/5.
Найти вероятность того, что имея 6 билетов «ЛОТО» можно выиграть
 по четырем билетам;
 не менее, чем по трем билетам;
 хотя бы по двум билетам.
Сколько билетов надо купить, чтобы вероятность выиграть хотя бы
по одному из них была не менее 0,3?
№8. Вероятность выиграть отдельному игроку в игре «Кто хочет
стать миллионером» выигрыш в сумме 1000 рублей равна 0,3, а 32 000
рублей – 0,01. За сезон в игре принимают участие 300 человек. Какова
вероятность того, что за сезон

по 1000 рублей получат от 80 до 100 игроков;

по 32 000 рублей получат не более четырех игроков?
№9. Доля производимых на данном предприятии изделий первого
сорта, составляет 80%. Найти вероятность того, что в случайно отобранной партии из 900 изделий, число изделий первого сорта: а) равно 750;
б) будет заключено между 630 и 750?
№10. Выполнить индивидуальное задание из №5, согласно заданным вариантам [3, c.20-25].
III. Подготовиться к контрольному срезу на тему «Вычисление вероятностей событий с использованием теорем Бернулли, производящей
функции, локальной и интегральной Лапласа и Пуассона».
IV. Подготовить тему «Формулы полной вероятности и Байеса».
Практическое занятие №4. Формулы полной вероятности и
Байеса.
Учебные цели: Добиться умения различать типы задач, решаемых по
формуле полной вероятности по формуле Байеса, умения применять
данные формулы при вычислении вероятностей событий.
I. Контрольные вопросы.
1.
Постановка задачи, в которой вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности.
2.
Записать формулу полной вероятности и дать интерпретацию входящих в нее слагаемых.
3.
Сформулировать задачу, решаемую по формуле Байеса и записать формулу Байеса вычисления вероятностей гипотез после испытания.
II. Задания на самоподготовку.
№1. На двух станках изготавливаются однотипные изделия. Производительность первого станка в четыре раза больше производительности
второго. Вероятность изготовления бракованного изделия первым станком равна 0,01, вторым – 0,05.
Наугад взяты два изделия. Какова вероятность того, что хотя бы одно
из них окажется бракованным? Какова вероятность того, что они изготовлены на первом станке?
Одно из двух наугад взятых изделий оказалось бракованным. Какова
вероятность того, что он изготовлены на разных станках?
Наугад взяты два изделия. Какова вероятность того, что оба они окажутся без брака? Какова вероятность того, что они изготовлены на втором станке?
№2. Два оператора радиолокационной установки производят соответственно 40% и 60% всех измерений, допуская при этом 5% и 4% ошибок.
Случайно проверенные два измерения оказались ошибочными. Како-
ва вероятность того, что они были произведены первым оператором?
Одно из двух случайно проверенных измерений оказалось ошибочным. Какова вероятность того, что эти измерения были произведены
разными операторами?
Какова вероятность того, что хотя бы одно из двух случайно проверенных измерение окажется ошибочным?
№3. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на жизненные обстоятельства. Результаты
исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них
негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили по анкете, в которых выразили свое отношение к предлагаемым ситуациям.
Какова вероятность того, что хотя бы одна из двух случайно извлеченных анкет будет содержать негативное отношение к предлагаемым
ситуациям?
Случайно извлеченные две анкеты содержат негативную реакцию.
Какова вероятность того, что ее заполняли мужчины?
Одна из двух случайно извлеченных анкет содержит негативное отношение к предлагаемым ситуациям. Какова вероятность того, что ее заполняли мужчина и женщина?
№4. В первой урне 6 красных и 4 зеленых шара, во второй – 8 зеленых и 4 красных шара. Из первой урны переложили во вторую 2 шара,
затем, перемешав шары, из второй урны извлекли 2 шара.
Какова вероятность того, что извлеченные шары разных цветов?
Какова вероятность того, что хотя бы один из двух извлеченных шаров окажется красно цвета?
Извлеченные шары оказались зеленого цвета? Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 зеленых шара?
№5. Выполнить индивидуальное задание из №6, согласно заданным вариантам [3, c.25-34].
III. Подготовиться к контрольному срезу по теме «Вычисление вероятностей событий с использованием формул полной вероятности и
Байеса».
IV. Подготовить тему «Дискретные случайные величины и их законы распределения».
Тема 2. Случайные величины.
Практическое занятие №5. Дискретные случайные величины и их
числовые характеристики.
Учебные цели: Добиться четкого понимания понятия случайной величины, законов распределения случайных величин и умения находить
числовые характеристики дискретных случайных величин.
I. Контрольные вопросы.
1. Понятие случайной величины. Типы случайных величин. Обозна-
чения СВ и ее возможных значений?
2. Закон распределения дискретной случайной величины. Виды законов распределения ДСВ. Многоугольник распределения, ряд распределения.
3. Функции распределения и ее свойства.
4. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин. Может ли быть mX<0, mX=0, DX>0, DX=0?
5. Нахождение вероятности попадания случайной величины на произвольный интервал.
6. Какова размерность функции распределения, математического
ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения?
7. Неосновные числовые характеристики дискретных случайных величин. Формулы вычисления центральных моментов с помощью
начальных.
II. Задания на самоподготовку.
№1. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных
значения:
х1 = 4 с вероятностью р1 = 0,5;
х2 = 6 с вероятностью р2 = 0,3;
х3 с вероятностью р3.
Найти х3 и р3, зная, что mX=8.
№2. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: mX=5, mY=7, DX=4, DY=3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z =4X -5Y.
№3. В лотерее разыгрывается
автомобиль стоимостью 5 000$;
4 телевизора стоимостью по 250$;
5 видеомагнитофонов стоимостью по 200$.
Продано 1000 билетов по 7$.
Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного
участником лотереи, купившим один билет.
№4. Двое играют в игру: первый загадывает число от 1 до 6, второй
должен угадать это число. Пусть случайная величина Х – число попыток,
сделанных вторым игроком при угадывании числа. Требуется
 cоставить закон распределения СВ Х.
 найти функцию распределения СВ Х и построить ее график.
 определить вероятность того, что сделано не менее 2 и не более 5 попыток.
 найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение СВ.
№5. При установившемся технологическом процессе предприятие
выпускает 3/5 своих изделий первым сортом и 2/5 – вторым. Требуется
 построить ряд распределения случайной величины Х – числа изделий
второго сорта среди трех наугад взятых;
 найти ее числовые характеристики;
 найти вероятность того, что хотя бы одно из 3-х изделий окажется
первого сорта.
№6. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока каждого из 3-х узлов прибора соответственно равна 0,1, 0,3 и 0,2. Требуется
построить ряд распределения случайной величины Х – числа узлов, не
вышедших из строя в течение гарантийного срока;
 найти ее числовые характеристики;
 найти вероятность выхода из строя хотя бы одного из трех узлов.
№7. В партии из 20 телефонных аппаратов 8 неисправных. Требуется
построить ряд распределения случайной величины Х – числа неисправных аппаратов среди трех случайно отобранных;
 найти ее числовые характеристики;
 найти вероятность того, что среди трех случайно отобранных аппаратов хотя бы два неисправны.
№8. Стрелок выстрелил по мишени 3 раза. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле равна 0,7. Требуется
 построить ряд распределения случайной величины Х – числа промахов;
 найти ее числовые характеристики;
 найти вероятность более 2-х попаданий.
№9. В течение часа коммутатор получает в среднем 120 вызовов. Какова вероятность того, что в течение 40 сек не будет ни одного вызова?
№10. На аварийную станцию за 2 час работы поступает в среднем 0,3
вызова.
Какова вероятность того, что
 в течение 2-х часов поступит не более 2-х вызовов?
 за 5 часов работы поступит не менее 3-х вызовов?
 в течение часа поступит менее 2-х вызовов?
 за 10 часов работы поступит не менее 3-х вызовов?
№11. Выполнить индивидуальное задание из №7, согласно заданным вариантам [3, c.35-39].
III. Подготовиться к контрольному срезу по теме «Дискретные
случайные величины и их числовые характеристики».
IV. Подготовить тему «Законы распределения и числовые характеристики непрерывных случайных величин».
Практическое занятие №6. Непрерывные случайные величины и
их числовые характеристики.
Учебные цели: Добиться четкого понимания понятия непрерывной
случайной величины, закона ее распределения и умения находить ее числовые характеристики.
I. Контрольные вопросы.
1. Определение непрерывной случайной величины.
2. Различия между дискретной и непрерывной случайными величинами.
3. Можно ли построить ряд распределения для непрерывной случайной величины?
4. Формы законов распределения для непрерывных случайных величин?
5. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
6. Чем отличаются графики функции распределения НСВ и ДСВ?
7. Плотность вероятности случайной величины и ее свойства.
8. Формула для выражения функции распределения через плотность вероятности.
9. Определение и формулы вычисления основных числовых характеристик
непрерывной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение) и формулы их вычисления.
Может ли быть mX=0? mX<0? DX=0? DX<0?
10.Определение и формулы вычисления неосновных числовых характеристик
непрерывной случайной величины.
11.Нахождение вероятности попадания случайной величины в произвольный
интервал. Геометрическое истолкование формулы.
II. Задания на самоподготовку.
№1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией
если x  3,
0,

распределения F ( x )  a x  32 , если  3  x  0,
1,
если x  0,

содержащей параметр а. Требуется найти

значение параметра а;

плотность распределения вероятностей f(х);

основные числовые характеристики НСВ X
и построить графики функций f(х) и F(x).
№2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распре0,
деления вероятности f ( x )   a
если x  1,
 x 3 , если x  1






Требуется найти
значение параметра а;
функцию распределения F(x) непрерывной случайной величины X;
основные числовые характеристики НСВ X;
четвертый начальный и третий центральный моменты НСВ X;
вероятность попадания случайной величины X в интервал (2,3);
вероятность того, что при 4-х испытаниях НСВ Х
 ни разу не попадет в интервал (2,3);
 не менее двух раз попадет в интервал (2,3).
№3. Выполнить индивидуальное задание из №№ 9.1–9.2, согласно
заданным вариантам [3. c.42-52].
III. Подготовиться к контрольному срезу по данной теме.
IV. Подготовить тему «Законы распределения дискретных случайных величин».
Практическое занятие №7. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
Учебные цели: Добиться распознавания биномиального и пуассоновского распределений СВ и привить навыки нахождения числовых характеристик для заданных законов распределения и вычисления вероятности
попадания случайной величины в заданный интервал.
I. Контрольные вопросы.
1. Сформулировать общую задачу, приводящую к биномиальному
распределению.
2. Записать возможные значения случайной величины, распределенной биномиально.
3. Записать формулу вычисления вероятностей этих возможных значений.
4. Характерная особенность биномиального распределения: формулы
вычисления основных числовых характеристик распределения.
5. Сформулировать общую задачу, приводящую к распределению
Пуассона.
6. Записать возможные значения случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
7. Записать формулу вычисления вероятностей этих возможных значений.
8. Характерная особенность распределения Пуассона?
9. Связь биномиального и пуассоновского распределений?
II. Задания на самоподготовку.
№1. В городе N 20% горожан добираются на работу личным автотранспортом. Требуется

составить закон распределения числа горожан из четырех
случайно выбранных, добирающихся на работу личным
автотранспортом;

найти основные числовые характеристики распределения;

найти функцию распределения и построить ее график;

записать аналитическое выражение для функции плотности
вероятностей распределения.
№2. Клиенты банка независимо друг от друга не возвращают в срок
кредиты с вероятностью 0,1. Требуется

составить закон распределения числа возвращенных в срок
кредитов из 4-х взятых;

найти основные числовые характеристики распределения;

записать аналитические выражения для функции
распределения и плотности вероятностей распределения СВ Х .
№3. Вероятность того, что в течение года изделие не выдержит испытание, равна 0,0001. Найти вероятность того, что из 400 изделий
1. A = {в течение года не менее 2-х изделий не выдержат испытание}; Λ=np=0,4.
2. B = {в течение двух лет более 4-х изделий не выдержат испытание}. Λ= 0,4*2
3. С = {в течение 0,5 года два изделия не выдержат испытание}.
Λ=0,4*0,5=0,2.
№4. В течение часа коммутатор получает в среднем 120 вызовов. Какова вероятность того, что в течение 40 сек не будет ни одного вызова?
№5. На факультете 700 студентов. Какова вероятность того, что у 3-х
студентов днем рождения будет 1 сентября?
№6. Автомобиль, подъезжая к перекрестку, может продолжить движение по любой из трех дорог А, В или С с одинаковой вероятностью. К
перекрестку подъезжают 7 автомобилей. Найти

среднее число автомашин, которое поедет по дороге А;

вероятность того, что по дороге С поедет не более 2 автомобилей.
№7. При разрыве баллона в ходе испытания на прочность образовалось 600 осколков, равномерно распределившихся в области D площадью 200 м2. Найти вероятность попадания не менее 4-х осколков в выбранной наугад подобласти из D площадью 0,5 м2.
№8. При приемке заказов на поставляемые услуги время от времени
на фирме возникают сбои. Среднее число сбоев за сутки равно 0,5.
Найти вероятность следующих событий
1. A = {в течение суток произойдет хотя бы один сбой};
2. B = {за двое суток произойдет 4 сбоя};
3. C = {за 10 суток произойдет не менее 4-х сбоев}.
№9. Вероятность отказа в течение месяца работы каждой из 5000 интегральных микросхем, содержащихся в автоматизированной системе
управления, равна 0,001 и не зависит от состояния других микросхем, а
число отказов микросхем в системе является простейшим пуассоновским потоком. Требуется определить вероятность того, что за месяц работы откажет
 ровно 6 микросхем;
 не более 4 микросхем;
 хотя бы одна микросхема.
№10. Выполнить индивидуальное задание из №8, согласно заданным вариантам [3, c.39-41].
III. Подготовиться к контрольному срезу по данной теме.
IV. Подготовить тему «Основные законы распределения непрерывных случайных величин».
Практическое занятие №8. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Учебные цели: Добиться распознавания равномерного и показательного распределений НСВ и привить навыки нахождения числовых характеристик для заданных законов распределения и вычисления вероятности
попадания случайной величины в заданный интервал.
I. Контрольные вопросы.
1. Какое распределение вероятностей называют равномерным на отрез2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ке [a,b]?
Записать выражения для функции распределения и плотности вероятности непрерывной случайной величины, имеющей равномерное
распределение на отрезке [a,b].
Записать формулы для вычисления основных числовых характеристик непрерывной случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [a,b].
Записать формулу для нахождения вероятности попадания НСВ Х,
имеющей равномерное распределение, в произвольный интервал (α,
β), принадлежащий данному отрезку [a,b].
Записать выражения для функции распределения и плотности вероятности непрерывной случайной величины, имеющей показательное
распределение.
Сформулировать общую задачу, приводящую к показательному распределению.
Сформулировать замечательное свойство показательного распределения (при наступлении события Х  х НСВ Y=Х-х имеет такой же закон распределения, что и НСВ Х).
Связь параметра распределения с математическим ожиданием НСВ
Х.
Нахождение вероятности попадания НСВ Х, имеющей показательное
распределение, в произвольный интервал [α, β].
10. Какое распределение НСВ Х называется нормальным? Охарактеризо-
вать его параметры.
11. Записать выражения для функции распределения и плотности веро-
ятности НСВ Х, имеющей нормальное распределение. Что геометрически представляет собой плотность вероятности НСВ Х?
12. Формула нахождения вероятности попадания НСВ Х, имеющей нормальное распределение, в произвольный интервал [α, β]?
13. Записать правило трех сигм и дать его интерпретацию.
II. Задания на самоподготовку.
№1. Непрерывная случайная величина распределена равномерно в
некотором интервале. Найти концы этого интервала, если математическое ожидание и дисперсия распределения равны 5 и 25/3 соответственно.
№2. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Считая ошибку округления случайной величиной Х, равномерно распределенной в интервале
между двумя соседними делениями, найти
- вероятность того, что при снятии отсчета будет сделана ошибка,
меньшая 0,04;
- среднюю ошибку измерения и дисперсию ошибки измерения.
№3. Интервал движения электропоездов Минск-Борисов составляет
10 мин. Случайная величина Х – время ожидания пассажиром электропоезда распределена равномерно. Требуется найти
1) плотность вероятности f(x) и функцию распределения F(x) времени
ожидания пассажиром электропоезда;
2) вероятность ожидания пассажиром электропоезда менее 5 минут;
3) среднее время ожидания пассажиром электропоезда и дисперсию
времени ожидания.
№4. Прибыль в отрасли имеет нормальный закон распределения со
средним значением 1 млн.$ и средним квадратическим отклонением 0,25
млн.$ .
Что вероятнее: получить прибыль не более 0,8 млн.$ или в пределах
от 1,2 млн.$ до 1,5 млн.$?
№5. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если
модуль отклонения СВ Х от контрольного размера не превышает 0,8мм.
Указать наиболее вероятное число годных деталей из 150 изготовленных, если СВ Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением в 0,4 мм.
№6. Автомат изготавливает детали, диаметр которых есть СВ Х, распределенная по нормальному закону со средним значением 10мм и
средним квадратическим отклонением в 0,05мм. Если диаметр детали
отличается от номинального больше чем на 0,1мм, то деталь бракуется.
Определить, какой процент деталей в среднем отбраковывается.
№7. Автомат изготавливает кольца, диаметр которых есть СВ Х, распределенная по нормальному закону. В среднем брак составляет 12%, а
среднее квадратическое отклонением – 2%. Определить, какой процент
колец будет отбракован из 100 только что изготовленных .
№8. Время восстановления (устранения повреждения) канала связи
есть непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону. Среднее время восстановления канала равно 10 мин. Определить вероятность того, что на восстановление канала связи потребуется
 ровно 10 мин.;
 от 8 до 25 мин.;
 более 10 мин.;
 не более 15 мин.
№9. Компания, производящая автопокрышки, планирует выпустить
80% покрышек со сроком службы не менее 25 000 миль. Какой
наименьший средний срок службы автопокрышек должен быть заложен
в расчетах технического отдела, если стандартное отклонение срока
службы постоянно и равно 2 500 миль, а срок службы подчинен нормальному закону?
№10. Менеджер торгово-посреднической службы проверяет жалобы на
затягивание времени выполнения заказов. Проверка показала, что среднее время выполнения заказа составляет 6,6 дней, однако для выполнения 20% заказов потребовалось 15 дней и более. Определить фактическое стандартное отклонение времени обслуживания в предположении
нормального распределения времени выполнения заказа.
№11. Выполнить индивидуальные задания из №№ 10 – 12, согласно заданным вариантам [3, c.52-63].
III. Подготовиться к контрольной работе по разделам «Случайные
события и случайные величины».
.
Практическое занятие №9. Контрольная работа по разделам
«Случайные события и случайные величины».
Примерный перечень заданий
№1. Известно, что вероятность заболевания мочекаменной болезнью
любого жителя мужского пола равна 0,8, а женского пола - равна 0,6.
Наугад обследованы два жителя РБ из контрольной группы в 30 человек,
среди которых 20 мужчин. Что вероятнее: один из них окажется страдающим данным заболеванием или хотя бы один из них окажется страдающим мочекаменной болезнью?
№2. Мишень состоит из круга и 2-х концентрических колец с №2 и №3.
Попадание в круг дает 10 очков, в кольцо №1 дает 7 очков, в кольцо №2
дает (-1) очко. Вероятности попадания в круг, кольца №1 и №2 равны
соответственно 0,2, 0,15 и 0,05. Построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в результате 2-х попаданий и найти ее основные числовые характеристики.
№3. Для НСВ Х, заданной плотностью распределения вероятностей
0, если x  3,
x 3

f ( x)  
, если 3  x  5,
a

0, если x  5,
найти параметр а, функцию распределения F(x) и математическое ожидание mx.
№4. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно
получает по почте заказы, число которых есть нормальная СВ со средним квадратическим отклонением в 560 ед. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти ожидаемое среднее число заказов на месяц.
Приложения
1. Таблица значений функции  ( x) 
x
1
e
2

x2
2
cотые доли x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,39894
0,39892
0,39886
0,39876
0,39862
0,39844
0,39822
0,39797
0,39767
0,39733
0,39695
0,39654
0,39608
0,39559
0,39505
0,39448
0,39387
0,39322
0,39253
0,39181
0,39104
0,39024
0,38940
0,38853
0,38762
0,38667
0,38568
0,38466
0,38361
0,38251
0,38139
0,38023
0,37903
0,37780
0,37654
0,37524
0,37391
0,37255
0,37115
0,36973
0,36827
0,36678
0,36526
0,36371
0,36213
0,36053
0,35889
0,35723
0,35553
0,35381
0,35207
0,35029
0,34849
0,34667
0,34482
0,34294
0,34105
0,33912
0,33718
0,33521
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,33322
0,33121
0,32918
0,32713
0,32506
0,32297
0,32086
0,31874
0,31659
0,31443
0,31225
0,31006
0,30785
0,30563
0,30339
0,30114
0,29887
0,29659
0,29431
0,29200
0,28969
0,28737
0,28504
0,28269
0,28034
0,27798
0,27562
0,27324
0,27086
0,26848
0,26609
0,26369
0,26129
0,25888
0,25647
0,25406
0,25164
0,24923
0,24681
0,24439
0,24197
0,23955
0,23713
0,23471
0,23230
0,22988
0,22747
0,22506
0,22265
0,22025
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0,21785
0,21546
0,21307
0,21069
0,20831
0,20594
0,20357
0,20121
0,19886
0,19652
0,19419
0,19186
0,18954
0,18724
0,18494
0,18265
0,18037
0,17810
0,17585
0,17360
0,17137
0,16915
0,16694
0,16474
0,16256
0,16038
0,15822
0,15608
0,15395
0,15183
0,14973
0,14764
0,14556
0,14350
0,14146
0,13943
0,13742
0,13542
0,13344
0,13147
0,12952
0,12758
0,12566
0,12376
0,12188
0,12001
0,11816
0,11632
0,11450
0,11270
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
0,11092
0,10915
0,10741
0,10567
0,10396
0,10226
0,10059
0,09893
0,09728
0,09566
0,09405
0,09246
0,09089
0,08933
0,08780
0,08628
0,08478
0,08329
0,08183
0,08038
0,07895
0,07754
0,07614
0,07477
0,07341
0,07206
0,07074
0,06943
0,06814
0,06687
0,06562
0,06438
0,06316
0,06195
0,06077
0,05959
0,05844
0,05730
0,05618
0,05508
0,05399
0,05292
0,05186
0,05082
0,04980
0,04879
0,04780
0,04682
0,04586
0,04491
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
0,04398
0,04307
0,04217
0,04128
0,04041
0,03955
0,03871
0,03788
0,03706
0,03626
0,03547
0,03470
0,03394
0,03319
0,03246
0,03174
0,03103
0,03034
0,02965
0,02898
0,02833
0,02768
0,02705
0,02643
0,02582
0,02522
0,02463
0,02406
0,02349
0,02294
0,02239
0,02186
0,02134
0,02083
0,02033
0,01984
0,01936
0,01888
0,01842
0,01797
0,01753
0,01709
0,01667
0,01625
0,01585
0,01545
0,01506
0,01468
0,01431
0,01394
2,6
2,7
2,8
2,9
0,01358
0,01323
0,01289
0,01256
0,01223
0,01191
0,01160
0,01130
0,01100
0,01071
0,01042
0,01014
0,00987
0,00961
0,00935
0,00909
0,00885
0,00861
0,00837
0,00814
0,00792
0,00770
0,00748
0,00727
0,00707
0,00687
0,00668
0,00649
0,00631
0,00613
0,00595
0,00578
0,00562
0,00545
0,00530
0,00514
0,00499
0,00485
0,00470
0,00457
x
cотые доли x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3,0 0,00443 0,00430 0,00417 0,00405 0,00393 0,00381 0,00370 0,00358 0,00348 0,00337
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
0,00327
0,00317
0,00307
0,00298
0,00288
0,00279
0,00271
0,00262
0,00254
0,00246
0,00238
0,00231
0,00224
0,00216
0,00210
0,00203
0,00196
0,00190
0,00184
0,00178
0,00172
0,00167
0,00161
0,00156
0,00151
0,00146
0,00141
0,00136
0,00132
0,00127
0,00123
0,00119
0,00115
0,00111
0,00107
0,00104
0,00100
0,00097
0,00094
0,00090
0,00087
0,00084
0,00081
0,00079
0,00076
0,00073
0,00071
0,00068
0,00066
0,00063
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,00061
0,00059
0,00057
0,00055
0,00053
0,00051
0,00049
0,00047
0,00046
0,00044
0,00042
0,00041
0,00039
0,00038
0,00037
0,00035
0,00034
0,00033
0,00031
0,00030
0,00029
0,00028
0,00027
0,00026
0,00025
0,00024
0,00023
0,00022
0,00021
0,00021
0,00020
0,00019
0,00018
0,00018
0,00017
0,00016
0,00016
0,00015
0,00014
0,00014
0,00013
0,00013
0,00012
0,00012
0,00011
0,00011
0,00011
0,00010
0,00010
0,00009
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
0,00009
0,00009
0,00008
0,00008
0,00008
0,00007
0,00007
0,00007
0,00006
0,00006
0,00006
0,00006
0,00005
0,00005
0,00005
0,00005
0,00005
0,00004
0,00004
0,00004
0,00004
0,00004
0,00004
0,00003
0,00003
0,00003
0,00003
0,00003
0,00003
0,00003
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00002
0,00001
0,00001
0,00001
0,00001
0,00001
0,00001
0,00001
0,00001
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
0,000010 0,000010 0,000009 0,000009 0,000008 0,000008 0,000008 0,000007 0,000007 0,000007
0,000006 0,000006 0,000006 0,000006 0,000005 0,000005 0,000005 0,000005 0,000004 0,000004
0,000004 0,000004 0,000004 0,000003 0,000003 0,000003 0,000003 0,000003 0,000003 0,000003
0,000002 0,000002 0,000002 0,000002 0,000002 0,000002 0,000002 0,000002 0,000002 0,000002
0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001 0,000001
2. Таблица значений функции Лапласа ( x) 
x
2
2
z
e

t2
2
dt
0
cотые доли x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0000
0,0080
0,0160
0,0080
0,0319
0,0399
0,0478
0,0558
0,0638
0,0718
0,1
0,0797
0,0876
0,0955
0,1034
0,1113
0,1192
0,1271
0,135
0,1428
0,1507
0,2
0,1585
0,1663
0,1741
0,1819
0,1897
0,1974
0,2051
0,2128
0,2205
0,2282
0,3
0,2358
0,2434
0,251
0,2586
0,2661
0,2737
0,2812
0,2887
0,2961
0,3035
0,4
0,3108
0,3182
0,3255
0,3328
0,3401
0,3473
0,3545
0,3617
0,3688
0,3774
0,5
0,3859
0,3914
0,3969
0,4039
0,4108
0,4177
0,4245
0,4313
0,4381
0,4448
0,6
0,4515
0,4581
0,4647
0,4581
0,4778
0,4843
0,4907
0,4971
0,5035
0,5098
0,7
0,5161
0,5223
0,5285
0,5346
0,5407
0,5467
0,5527
0,5587
0,5646
0,5705
0,8
0,5763
0,5821
0,5878
0,5935
0,5991
0,6047
0,6102
0,6157
0,6211
0,6265
0,9
0,6319
0,6372
0,6424
0,6476
0,6528
0,6579
0,6629
0,6679
0,6729
0,6778
1,0
0,6827
0,6875
0,6923
0,697
0,7017
0,7063
0,7109
0,7154
0,7199
0,7243
1,1
0,7287
0,7330
0,7373
0,7415
0,7457
0,7499
0,7540
0,7580
0,7620
0,7660
1,2
0,7699
0,7737
0,7775
0,7737
0,785
0,7887
0,7923
0,7959
0,7995
0,8030
1,3
0,8064
0,8098
0,8132
0,8165
0,8198
0,823
0,8262
0,8293
0,8324
0,8355
1,4
0,8385
0,8415
0,8444
0,8473
0,8501
0,8529
0,8557
0,8584
0,8611
0,8638
1,5
0,8664
0,8690
0,8715
0,8740
0,8764
0,8788
0,8812
0,8836
0,8859
0,8882
1,6
0,8904
0,8926
0,8948
0,8969
0,899
0,9011
0,9031
0,9051
0,9070
0,9090
1,7
0,9109
0,9128
0,9146
0,9164
0,9181
0,9199
0,9216
0,9233
0,9249
0,9265
1,8
0,9281
0,9297
0,9312
0,9297
0,9342
0,9357
0,9371
0,9385
0,9399
0,9413
1,9
0,9426
0,9439
0,9451
0,9464
0,9476
0,9488
0,95
0,9512
0,9523
0,9534
2,0
0,9545
0,9554
0,9562
0,9571
0,9584
0,9596
0,9604
0,9612
0,9620
0,9632
2,1
0,9643
0,965
0,9657
0,9664
0,9674
0,9684
0,969
0,9697
0,9703
0,9713
2,2
0,9722
0,9728
0,9733
0,9739
0,9748
0,9756
0,9761
0,9766
0,9771
0,9779
2,3
0,9786
0,979
0,9795
0,9799
0,9806
0,9812
0,9816
0,982
0,9824
0,983
2,4
0,9836
0,984
0,9843
0,9847
0,9852
0,9857
0,986
0,9864
0,9867
0,9872
2,5
0,9876
0,9879
0,9881
0,9884
0,9888
0,9892
0,9895
0,9897
0,9900
0,9904
2,6
0,9907
0,9909
0,9912
0,9914
0,9917
0,992
0,9922
0,9924
0,9926
0,9929
2,7
0,9931
0,9933
0,9934
0,9936
0,9938
0,994
0,9942
0,9943
0,9945
0,9947
2,8
0,9949
0,995
0,9952
0,9953
0,9955
0,9956
0,9957
0,9959
0,996
0,9962
2,9
0,9963
0,9964
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,997
0,9971
0,9972
3,0
0,9973
0,9974
0,9975
0,9975
0,9976
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
3,1
0,9981
0,998
0,9979
0,9979
0,9978
0,9977
0,9979
0,9981
0,9982
0,9984
x
cотые доли x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3,2
0,9986
0,9986
0,9987
0,9987
0,9988
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9990
3,3
0,9990
0,999
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
3,4
0,9993
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
3,5
0,9995
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
3,6
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
3,7
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,8
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,9
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,0
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,1
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,2
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,3
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,4
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,5
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,6
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,7
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,8
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,9
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
5,0
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3. Таблица значений функции pk(λ) =
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
λ
k
0
1
2
3
4
5
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
k
k!
e
0,35
0,40
0,45
0,50
0,95123 0,90484 0,86071 0,81873 0,77880 0,74082 0,70469 0,67032 0,63763 0,60653
0,04756 0,09048 0,12911 0,16375 0,19470 0,22225 0,24664 0,26813 0,28693 0,30327
0,00119 0,00452 0,00968 0,01637 0,02434 0,03334 0,04316 0,05363 0,06456 0,07582
0,00002 0,00015 0,00048 0,00109 0,00203 0,00333 0,00504 0,00715 0,00968 0,01264
–
–
0,00002 0,00005 0,00013 0,00025 0,00044 0,00072 0,00109 0,00158
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,00001 0,00002 0,00003 0,00006 0,00010 0,00016
0,00001 0,00001
0,95
1,00
0,57695 0,54881 0,52205 0,49659 0,47237 0,44933 0,42741 0,40657 0,38674 0,36788
0,31732 0,32929 0,33933 0,34761 0,35427 0,35946 0,36330 0,36591 0,36740 0,36788
0,08726 0,09879 0,11028 0,12166 0,13285 0,14379 0,15440 0,16466 0,17452 0,18394
0,01600 0,01976 0,02389 0,02839 0,03321 0,03834 0,04375 0,04940 0,05526 0,06131
0,00220 0,00296 0,00388 0,00497 0,00623 0,00767 0,00930 0,01111 0,01313 0,01533
0,00024 0,00036 0,00050 0,00070 0,00093 0,00123 0,00158 0,00200 0,00249 0,00307
0,00002 0,00004 0,00005 0,00008 0,00012 0,00016 0,00022 0,00030 0,00039 0,00051
–
–
0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00007
–
–
–
–
1,05
1,1
1,15
1,2
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00001
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
0,34994 0,33287 0,31664 0,30119 0,28650 0,27253 0,25924 0,24660 0,23457 0,22313
0,36743 0,36616 0,36413 0,36143 0,35813 0,35429 0,34997 0,34524 0,34013 0,33470
0,19290 0,20139 0,20938 0,21686 0,22383 0,23029 0,23623 0,24167 0,24659 0,25102
0,06752 0,07384 0,08026 0,08674 0,09326 0,09979 0,10630 0,11278 0,11919 0,12551
0,01772 0,02031 0,02307 0,02602 0,02914 0,03243 0,03588 0,03947 0,04320 0,04707
0,00372 0,00447 0,00531 0,00625 0,00729 0,00843 0,00969 0,01105 0,01253 0,01412
6 0,00065 0,00082 0,00102 0,00125 0,00152 0,00183 0,00218
7 0,00010 0,00013 0,00017 0,00021 0,00027 0,00034 0,00042
8 0,00001 0,00002 0,00002 0,00003 0,00004 0,00006 0,00007
9
–
–
–
–
0,00001 0,00001 0,00001
0,00258 0,00303 0,00353
0,00052 0,00063 0,00076
0,00009 0,00011 0,00014
0,00001 0,00002 0,00002
λ
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
1,95
k
0
1
2
3
4
5
6
7
0,22313 0,21225 0,20190 0,19205 0,18268 0,17377 0,16530 0,15724 0,14957 0,14227
0,33470 0,32898 0,32303 0,31688 0,31056 0,30410 0,29754 0,29089 0,28418 0,27743
0,25102 0,25496 0,25843 0,26143 0,26398 0,26609 0,26778 0,26907 0,26997 0,27050
0,12551 0,13173 0,13783 0,14379 0,14959 0,15522 0,16067 0,16593 0,17098 0,17582
0,04707 0,05105 0,05513 0,05931 0,06357 0,06791 0,07230 0,07674 0,08122 0,08571
0,01412 0,01582 0,01764 0,01957 0,02162 0,02377 0,02603 0,02839 0,03086 0,03343
0,00353 0,00409 0,00470 0,00538 0,00612 0,00693 0,00781 0,00875 0,00977 0,01086
0,00076 0,00091 0,00108 0,00127 0,00149 0,00173 0,00201 0,00231 0,00265 0,00303
8 0,00014 0,00018 0,00022
9 0,00002 0,00003 0,00004
10
–
–
0,00001
11
–
–
–
λ
2
2,05
2,1
k
0 0,13534 0,12873 0,12246
1 0,27067 0,26391 0,25716
2 0,27067 0,27050 0,27002
3 0,18045 0,18484 0,18901
4
5
6
7
8
9
10
11
12
λ
k
0
1
2
3
4
0,00026 0,00032 0,00038 0,00045 0,00054 0,00063 0,00074
0,00005 0,00006 0,00007 0,00009 0,00011 0,00013 0,00016
0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003
–
–
–
–
–
–
0,00001
2,15
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
0,11648 0,11080 0,10540 0,10026 0,09537 0,09072 0,08629
0,25044 0,24377 0,23715 0,23060 0,22412 0,21772 0,21142
0,26922 0,26814 0,26679 0,26518 0,26334 0,26127 0,25899
0,19294 0,19664 0,20009 0,20331 0,20628 0,20901 0,21151
0,09022 0,09473 0,09923 0,10371 0,10815 0,11255 0,11690 0,12119 0,12541 0,12955
0,03609 0,03884 0,04168 0,04459 0,04759 0,05065 0,05378 0,05696 0,06020 0,06348
0,01203 0,01327 0,01459 0,01598 0,01745 0,01899 0,02061 0,02231 0,02408 0,02592
0,00344 0,00389 0,00438 0,00491 0,00548 0,00610 0,00677 0,00749 0,00826 0,00907
0,00086 0,00100 0,00115 0,00132 0,00151 0,00172 0,00195 0,00220 0,00248 0,00278
0,00019 0,00023 0,00027 0,00032 0,00037 0,00043 0,00050 0,00057 0,00066 0,00076
0,00004 0,00005 0,00006 0,00007 0,00008 0,00010 0,00011 0,00013 0,00016 0,00019
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00004
–
–
–
–
–
–
–
2,5
2,55
2,6
2,65
2,7
2,75
2,8
0,00001 0,00001 0,00001
2,85
2,9
2,95
0,08208 0,07808 0,07427 0,07065 0,06721 0,06393 0,06081 0,05784 0,05502 0,05234
0,20521 0,19911 0,19311 0,18723 0,18145 0,17580 0,17027 0,16486 0,15957 0,15440
0,25652 0,25386 0,25104 0,24807 0,24496 0,24173 0,23838 0,23492 0,23137 0,22774
0,21376 0,21578 0,21757 0,21913 0,22047 0,22158 0,22248 0,22317 0,22366 0,22395
0,13360 0,13756 0,14142 0,14518 0,14882 0,15234 0,15574 0,15901 0,16215 0,16516
λ
2,5
2,55
2,6
2,65
2,7
2,75
2,8
2,85
2,9
2,95
k
5
6
7
8
9
10
11
12
13
λ
0,06680 0,07016 0,07354 0,07694 0,08036 0,08379 0,08721 0,09064 0,09405 0,09745
0,02783 0,02982 0,03187 0,03398 0,03616 0,03840 0,04070 0,04305 0,04546 0,04791
0,00994 0,01086 0,01184 0,01287 0,01395 0,01509 0,01628 0,01753 0,01883 0,02019
0,00311 0,00346 0,00385 0,00426 0,00471 0,00519 0,00570 0,00624 0,00683 0,00745
0,00086 0,00098 0,00111 0,00125 0,00141 0,00158 0,00177 0,00198 0,00220 0,00244
0,00022 0,00025 0,00029 0,00033 0,00038 0,00044 0,00050 0,00056 0,00064 0,00072
0,00005 0,00006 0,00007 0,00008 0,00009 0,00011 0,00013 0,00015 0,00017 0,00019
0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00004 0,00005
–
–
–
–
–
3
3,05
3,1
3,15
3,2
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
3,25
3,3
3,35
3,4
3,45
k
0 0,04979
1 0,14936
2 0,22404
3 0,22404
4 0,16803
5 0,10082
6 0,05041
7 0,02160
0,04736 0,04505 0,04285 0,04076 0,03877 0,03688 0,03508 0,03337 0,03175
0,14444 0,13965 0,13498 0,13044 0,12602 0,12171 0,11753 0,11347 0,10952
0,22028 0,21646 0,21260 0,20870 0,20478 0,20083 0,19687 0,19290 0,18893
0,22395 0,22368 0,22323 0,22262 0,22184 0,22091 0,21983 0,21862 0,21727
0,17076 0,17335 0,17579 0,17809 0,18025 0,18225 0,18411 0,18582 0,18739
0,10416 0,10748 0,11075 0,11398 0,11716 0,12029 0,12335 0,12636 0,12930
0,05295 0,05553 0,05814 0,06079 0,06346 0,06616 0,06887 0,07160 0,07435
0,02307 0,02459 0,02616 0,02779 0,02946 0,03119 0,03296 0,03478 0,03664
8
9
10
11
12
13
14
λ
k
0
0,00810 0,00880 0,00953 0,01030 0,01112 0,01197 0,01287 0,01380 0,01478 0,01580
1
2
3
4
5
0,10569 0,10197 0,09837 0,09487 0,09148 0,08819 0,08501 0,08193 0,07894 0,07606
0,00270 0,00298 0,00328 0,00361 0,00395 0,00432 0,00472 0,00514 0,00558 0,00606
0,00081 0,00091 0,00102 0,00114 0,00126 0,00140 0,00156 0,00172 0,00190 0,00209
0,00022 0,00025 0,00029 0,00033 0,00037 0,00042 0,00047 0,00052 0,00059 0,00066
0,00006 0,00006 0,00007 0,00009 0,00010 0,00011 0,00013 0,00015 0,00017 0,00019
0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00005
–
–
–
–
3,5
3,55
3,6
3,65
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
3,7
3,75
3,8
3,85
3,9
3,95
0,03020 0,02872 0,02732 0,02599 0,02472 0,02352 0,02237 0,02128 0,02024 0,01925
0,18496 0,18100 0,17706 0,17313 0,16923 0,16536 0,16152 0,15771 0,15394 0,15021
0,21579 0,21418 0,21247 0,21065 0,20872 0,20670 0,20459 0,20239 0,20012 0,19778
0,18881 0,19009 0,19122 0,19221 0,19307 0,19378 0,19436 0,19480 0,19512 0,19531
0,13217 0,13496 0,13768 0,14032 0,14287 0,14534 0,14771 0,15000 0,15219 0,15429
6 0,07710 0,07985 0,08261 0,08536 0,08810 0,09083 0,09355 0,09625 0,09893 0,10158
λ
k
7
8
9
10
11
12
13
14
15
λ
3,5
3,55
3,6
3,65
3,7
3,75
3,8
3,85
3,9
3,95
0,03855 0,04050 0,04248 0,04451 0,04657 0,04866 0,05079 0,05294 0,05512 0,05732
0,01687 0,01797 0,01912 0,02031 0,02154 0,02281 0,02412 0,02548 0,02687 0,02830
0,00656 0,00709 0,00765 0,00824 0,00885 0,00950 0,01019 0,01090 0,01164 0,01242
0,00230 0,00252 0,00275 0,00301 0,00328 0,00356 0,00387 0,00420 0,00454 0,00491
0,00073 0,00081 0,00090 0,00100 0,00110 0,00122 0,00134 0,00147 0,00161 0,00176
0,00021 0,00024 0,00027 0,00030 0,00034 0,00038 0,00042 0,00047 0,00052 0,00058
0,00006 0,00007 0,00007 0,00009 0,00010 0,00011 0,00012 0,00014 0,00016 0,00018
0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00005
–
–
–
4
4,05
4,1
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
4,15
4,2
4,25
4,3
4,35
4,4
4,45
k
0 0,01832
1 0,07326
2 0,14653
3 0,19537
4 0,19537
5 0,15629
6 0,10420
7 0,05954
8
9
10
11
12
13
14
15
16
λ
k
0
1
2
3
0,01742 0,01657 0,01576 0,01500 0,01426 0,01357 0,01291 0,01228 0,01168
0,07056 0,06795 0,06542 0,06298 0,06062 0,05834 0,05614 0,05402 0,05197
0,14289 0,13929 0,13575 0,13226 0,12882 0,12544 0,12211 0,11884 0,11563
0,19290 0,19037 0,18779 0,18517 0,18250 0,17980 0,17707 0,17431 0,17152
0,19531 0,19513 0,19483 0,19442 0,19391 0,19328 0,19256 0,19174 0,19082
0,15820 0,16000 0,16171 0,16332 0,16482 0,16622 0,16753 0,16873 0,16983
0,10678 0,10934 0,11185 0,11432 0,11675 0,11913 0,12146 0,12373 0,12596
0,06178 0,06404 0,06631 0,06859 0,07088 0,07318 0,07548 0,07778 0,08007
0,02977 0,03128 0,03282 0,03440 0,03601 0,03766 0,03933 0,04104 0,04278 0,04454
0,01323 0,01407 0,01495 0,01586 0,01681 0,01778 0,01879 0,01984 0,02091 0,02202
0,00529 0,00570 0,00613 0,00658 0,00706 0,00756 0,00808 0,00863 0,00920 0,00980
0,00192 0,00210 0,00228 0,00248 0,00269 0,00292 0,00316 0,00341 0,00368 0,00396
0,00064 0,00071 0,00078 0,00086 0,00094 0,00103 0,00113 0,00124 0,00135 0,00147
0,00020 0,00022 0,00025 0,00027 0,00030 0,00034 0,00037 0,00041 0,00046 0,00050
0,00006 0,00006 0,00007 0,00008 0,00009 0,00010 0,00011 0,00013 0,00014 0,00016
0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00005
–
–
4,5
4,55
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
4,6
4,65
4,7
4,75
4,8
4,85
4,9
4,95
0,01111 0,01057 0,01005 0,00956 0,00910 0,00865 0,00823 0,00783 0,00745 0,00708
0,04999 0,04808 0,04624 0,04446 0,04275 0,04110 0,03950 0,03797 0,03649 0,03506
0,11248 0,10938 0,10635 0,10337 0,10046 0,09760 0,09481 0,09207 0,08940 0,08678
0,16872 0,16590 0,16307 0,16023 0,15738 0,15454 0,15169 0,14885 0,14601 0,14319
4 0,18981 0,18871 0,18753 0,18626 0,18493 0,18351 0,18203 0,18048 0,17887 0,17720
λ
4,5
4,55
4,6
4,65
4,7
4,75
4,8
4,85
4,9
4,95
k
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0,17083 0,17173 0,17253 0,17323 0,17383 0,17434 0,17475 0,17506 0,17529 0,17542
14
15
16
17
λ
k
0
1
2
3
0,00018 0,00020 0,00022 0,00024 0,00027 0,00030 0,00033 0,00036 0,00039 0,00043
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0,17547 0,17369 0,17186 0,16998 0,16806 0,16610 0,16411 0,16208 0,16002 0,15793
14
15
16
17
18
0,00047 0,00052 0,00056 0,00061 0,00067 0,00073 0,00079 0,00086 0,00093 0,00101
0,12812 0,13023 0,13227 0,13425 0,13617 0,13802 0,13980 0,14151 0,14315 0,14472
0,08236 0,08465 0,08692 0,08918 0,09143 0,09365 0,09586 0,09805 0,10021 0,10234
0,04633 0,04814 0,04998 0,05184 0,05371 0,05561 0,05752 0,05944 0,06138 0,06332
0,02316 0,02434 0,02554 0,02678 0,02805 0,02935 0,03068 0,03203 0,03342 0,03483
0,01042 0,01107 0,01175 0,01245 0,01318 0,01394 0,01472 0,01554 0,01637 0,01724
0,00426 0,00458 0,00491 0,00526 0,00563 0,00602 0,00643 0,00685 0,00729 0,00776
0,00160 0,00174 0,00188 0,00204 0,00221 0,00238 0,00257 0,00277 0,00298 0,00320
0,00055 0,00061 0,00067 0,00073 0,00080 0,00087 0,00095 0,00103 0,00112 0,00122
0,00005 0,00006 0,00007 0,00008 0,00008 0,00009 0,00010 0,00012 0,00013 0,00014
0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00004
–
–
5
5,05
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
5,1
5,15
5,2
5,25
5,3
5,35
5,4
5,45
0,00674 0,00641 0,00610 0,00580 0,00552 0,00525 0,00499 0,00475 0,00452 0,00430
0,03369 0,03237 0,03109 0,02987 0,02869 0,02755 0,02646 0,02540 0,02439 0,02341
0,08422 0,08173 0,07929 0,07691 0,07458 0,07232 0,07011 0,06795 0,06585 0,06381
0,14037 0,13757 0,13479 0,13202 0,12928 0,12656 0,12386 0,12118 0,11853 0,11591
0,17547 0,17542 0,17529 0,17508 0,17479 0,17441 0,17396 0,17343 0,17282 0,17215
0,14622 0,14765 0,14900 0,15028 0,15148 0,15261 0,15366 0,15464 0,15554 0,15637
0,10444 0,10652 0,10856 0,11056 0,11253 0,11446 0,11634 0,11819 0,11999 0,12174
0,06528 0,06724 0,06921 0,07117 0,07314 0,07511 0,07708 0,07904 0,08099 0,08294
0,03627 0,03773 0,03922 0,04073 0,04226 0,04382 0,04539 0,04698 0,04859 0,05022
0,01813 0,01905 0,02000 0,02097 0,02198 0,02300 0,02406 0,02514 0,02624 0,02737
0,00824 0,00875 0,00927 0,00982 0,01039 0,01098 0,01159 0,01223 0,01288 0,01356
0,00343 0,00368 0,00394 0,00421 0,00450 0,00480 0,00512 0,00545 0,00580 0,00616
0,00132 0,00143 0,00155 0,00167 0,00180 0,00194 0,00209 0,00224 0,00241 0,00258
0,00016 0,00017 0,00019 0,00021 0,00023 0,00025 0,00028 0,00031 0,00033 0,00037
0,00005 0,00005 0,00006 0,00007 0,00008 0,00008 0,00009 0,00010 0,00011 0,00012
0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004
–
–
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
λ
5,5
5,55
5,6
5,65
5,7
5,75
5,8
5,85
5,9
5,95
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,00409 0,00389 0,00370 0,00352 0,00335 0,00318 0,00303 0,00288 0,00274 0,00261
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0,05187 0,05352 0,05519 0,05687 0,05856 0,06026 0,06197 0,06368 0,06540 0,06712
19
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,02248 0,02158 0,02071 0,01987 0,01907 0,01830 0,01756 0,01685 0,01616 0,01550
0,06181 0,05987 0,05798 0,05614 0,05436 0,05262 0,05092 0,04928 0,04768 0,04613
0,11332 0,11076 0,10823 0,10574 0,10327 0,10085 0,09845 0,09609 0,09377 0,09148
0,15582 0,15368 0,15153 0,14935 0,14717 0,14497 0,14276 0,14054 0,13831 0,13608
0,17140 0,17059 0,16971 0,16877 0,16777 0,16671 0,16560 0,16443 0,16321 0,16194
0,15712 0,15779 0,15840 0,15893 0,15938 0,15976 0,16008 0,16032 0,16049 0,16059
0,12345 0,12511 0,12672 0,12828 0,12978 0,13124 0,13263 0,13398 0,13527 0,13650
0,08487 0,08679 0,08870 0,09059 0,09247 0,09433 0,09616 0,09797 0,09976 0,10152
0,02853 0,02971 0,03091 0,03213 0,03338 0,03465 0,03594 0,03725 0,03859 0,03994
0,01426 0,01499 0,01573 0,01650 0,01730 0,01811 0,01895 0,01981 0,02070 0,02160
0,00654 0,00693 0,00734 0,00777 0,00822 0,00868 0,00916 0,00966 0,01018 0,01071
0,00277 0,00296 0,00316 0,00338 0,00360 0,00384 0,00409 0,00435 0,00462 0,00490
0,00109 0,00117 0,00127 0,00136 0,00147 0,00158 0,00169 0,00182 0,00195 0,00208
0,00040 0,00043 0,00047 0,00051 0,00056 0,00060 0,00065 0,00071 0,00077 0,00083
0,00014 0,00015 0,00017 0,00018 0,00020 0,00022 0,00024 0,00026 0,00028 0,00031
0,00004 0,00005 0,00005 0,00006 0,00007 0,00007 0,00008 0,00009 0,00010 0,00011
0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00004
–
–
–
6
6,05
6,1
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
6,15
6,2
6,25
6,3
6,35
6,4
6,45
0,00248 0,00236 0,00224 0,00213 0,00203 0,00193 0,00184 0,00175 0,00166 0,00158
0,01487 0,01427 0,01368 0,01312 0,01258 0,01207 0,01157 0,01109 0,01063 0,01019
0,04462 0,04315 0,04173 0,04035 0,03901 0,03770 0,03644 0,03522 0,03403 0,03288
0,08924 0,08702 0,08485 0,08271 0,08061 0,07855 0,07653 0,07454 0,07259 0,07069
0,13385 0,13162 0,12939 0,12717 0,12495 0,12273 0,12053 0,11834 0,11615 0,11398
0,16062 0,15926 0,15786 0,15642 0,15494 0,15342 0,15187 0,15029 0,14867 0,14703
0,16062 0,16059 0,16049 0,16033 0,16010 0,15981 0,15946 0,15905 0,15859 0,15806
0,13768 0,13880 0,13986 0,14086 0,14180 0,14269 0,14352 0,14428 0,14499 0,14564
0,10326 0,10496 0,10664 0,10829 0,10990 0,11148 0,11302 0,11452 0,11599 0,11742
0,06884 0,07056 0,07228 0,07399 0,07571 0,07741 0,07911 0,08080 0,08248 0,08415
0,04130 0,04269 0,04409 0,04551 0,04694 0,04838 0,04984 0,05131 0,05279 0,05428
0,02253 0,02348 0,02445 0,02544 0,02646 0,02749 0,02855 0,02962 0,03071 0,03183
λ
k
12
13
14
15
16
17
18
19
20
λ
k
6
6,05
6,1
6,15
6,2
6,25
6,3
6,35
6,4
6,45
0,01126 0,01184 0,01243 0,01304 0,01367 0,01432 0,01499 0,01567 0,01638 0,01711
0,00520 0,00551 0,00583 0,00617 0,00652 0,00688 0,00726 0,00766 0,00806 0,00849
0,00223 0,00238 0,00254 0,00271 0,00289 0,00307 0,00327 0,00347 0,00369 0,00391
0,00089 0,00096 0,00103 0,00111 0,00119 0,00128 0,00137 0,00147 0,00157 0,00168
0,00033 0,00036 0,00039 0,00043 0,00046 0,00050 0,00054 0,00058 0,00063 0,00068
0,00012 0,00013 0,00014 0,00015 0,00017 0,00018 0,00020 0,00022 0,00024 0,00026
0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00007 0,00008 0,00008 0,00009
0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003
–
–
–
6,5
6,55
6,6
0 0,00150
1 0,00977
2 0,03176
3 0,06881
4 0,11182
5 0,14537
6 0,15748
7 0,14623
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
6,65
6,7
6,75
6,8
6,85
6,9
6,95
0,00143 0,00136 0,00129 0,00123 0,00117 0,00111 0,00106 0,00101 0,00096
0,00937 0,00898 0,00861 0,00825 0,00790 0,00757 0,00726 0,00695 0,00666
0,03068 0,02963 0,02861 0,02763 0,02667 0,02575 0,02486 0,02399 0,02315
0,06698 0,06518 0,06342 0,06170 0,06002 0,05837 0,05675 0,05518 0,05364
0,10968 0,10755 0,10544 0,10335 0,10128 0,09923 0,09719 0,09518 0,09319
0,14368 0,14197 0,14024 0,13849 0,13673 0,13495 0,13315 0,13135 0,12954
0,15685 0,15617 0,15543 0,15465 0,15382 0,15294 0,15202 0,15105 0,15005
0,14677 0,14724 0,14766 0,14802 0,14832 0,14857 0,14876 0,14890 0,14898
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0,11882 0,12017 0,12148 0,12274 0,12397 0,12515 0,12628 0,12738 0,12842 0,12942
18
19
20
21
0,00010 0,00011 0,00012 0,00013 0,00014 0,00015 0,00017 0,00018 0,00020 0,00021
0,08581 0,08745 0,08908 0,09069 0,09229 0,09386 0,09541 0,09695 0,09846 0,09994
0,05578 0,05728 0,05879 0,06031 0,06183 0,06336 0,06488 0,06641 0,06794 0,06946
0,03296 0,03411 0,03528 0,03646 0,03766 0,03888 0,04011 0,04135 0,04261 0,04389
0,01785 0,01862 0,01940 0,02021 0,02103 0,02187 0,02273 0,02361 0,02450 0,02542
0,00893 0,00938 0,00985 0,01034 0,01084 0,01135 0,01189 0,01244 0,01301 0,01359
0,00414 0,00439 0,00464 0,00491 0,00519 0,00547 0,00577 0,00609 0,00641 0,00675
0,00180 0,00192 0,00204 0,00218 0,00232 0,00246 0,00262 0,00278 0,00295 0,00313
0,00073 0,00078 0,00084 0,00090 0,00097 0,00104 0,00111 0,00119 0,00127 0,00136
0,00028 0,00030 0,00033 0,00035 0,00038 0,00041 0,00045 0,00048 0,00052 0,00056
0,00003 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00005 0,00006 0,00007 0,00007 0,00008
0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
λ
7
7,05
7,1
7,15
7,2
7,25
7,3
7,35
7,4
7,45
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,00091 0,00087 0,00083 0,00078 0,00075 0,00071 0,00068 0,00064 0,00061 0,00058
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0,10140 0,10284 0,10425 0,10563 0,10698 0,10830 0,10960 0,11086 0,11208 0,11328
19
20
21
22
λ
k
0
1
2
3
0,00009 0,00009 0,00010 0,00011 0,00012 0,00013 0,00014 0,00015 0,00016 0,00018
4
5
6
7
8
0,07292 0,07123 0,06957 0,06793 0,06633 0,06475 0,06319 0,06167 0,06017 0,05870
0,00638 0,00612 0,00586 0,00561 0,00538 0,00515 0,00493 0,00472 0,00452 0,00433
0,02234 0,02156 0,02080 0,02006 0,01935 0,01866 0,01800 0,01736 0,01674 0,01614
0,05213 0,05066 0,04922 0,04781 0,04644 0,04511 0,04380 0,04253 0,04128 0,04007
0,09123 0,08928 0,08736 0,08547 0,08360 0,08175 0,07993 0,07814 0,07637 0,07463
0,12772 0,12589 0,12406 0,12222 0,12038 0,11854 0,11670 0,11487 0,11303 0,11120
0,14900 0,14792 0,14680 0,14565 0,14446 0,14324 0,14199 0,14071 0,13941 0,13807
0,14900 0,14898 0,14890 0,14877 0,14859 0,14835 0,14807 0,14775 0,14737 0,14695
0,13038 0,13129 0,13215 0,13296 0,13373 0,13445 0,13512 0,13574 0,13632 0,13685
0,07098 0,07250 0,07402 0,07553 0,07703 0,07852 0,08000 0,08148 0,08294 0,08439
0,04517 0,04647 0,04777 0,04909 0,05042 0,05175 0,05309 0,05444 0,05580 0,05716
0,02635 0,02730 0,02827 0,02925 0,03025 0,03127 0,03230 0,03335 0,03441 0,03548
0,01419 0,01480 0,01544 0,01609 0,01675 0,01744 0,01814 0,01885 0,01959 0,02034
0,00709 0,00746 0,00783 0,00822 0,00862 0,00903 0,00946 0,00990 0,01035 0,01082
0,00331 0,00350 0,00371 0,00392 0,00414 0,00436 0,00460 0,00485 0,00511 0,00537
0,00145 0,00154 0,00164 0,00175 0,00186 0,00198 0,00210 0,00223 0,00236 0,00250
0,00060 0,00064 0,00069 0,00074 0,00079 0,00084 0,00090 0,00096 0,00103 0,00110
0,00023 0,00025 0,00027 0,00029 0,00032 0,00034 0,00037 0,00039 0,00042 0,00045
0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00007
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002
–
–
–
–
–
7,5
7,55
7,6
7,65
7,7
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
7,75
7,8
7,85
7,9
7,95
0,00055 0,00053 0,00050 0,00048 0,00045 0,00043 0,00041 0,00039 0,00037 0,00035
0,00415 0,00397 0,00380 0,00364 0,00349 0,00334 0,00320 0,00306 0,00293 0,00280
0,01556 0,01499 0,01445 0,01393 0,01342 0,01294 0,01246 0,01201 0,01157 0,01114
0,03889 0,03774 0,03661 0,03552 0,03446 0,03342 0,03241 0,03142 0,03047 0,02953
0,10937 0,10755 0,10574 0,10394 0,10214 0,10036 0,09858 0,09682 0,09507 0,09333
0,13672 0,13534 0,13394 0,13252 0,13108 0,12963 0,12816 0,12667 0,12517 0,12366
0,14648 0,14597 0,14542 0,14483 0,14419 0,14352 0,14280 0,14205 0,14126 0,14044
0,13733 0,13776 0,13815 0,13849 0,13878 0,13903 0,13923 0,13939 0,13950 0,13956
λ
7,5
7,55
7,6
7,65
7,7
7,75
7,8
7,85
7,9
7,95
k
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0,11444 0,11557 0,11666 0,11772 0,11874 0,11972 0,12067 0,12158 0,12245 0,12328
18
19
20
21
22
23
λ
k
0
1
0,00049 0,00052 0,00056 0,00060 0,00064 0,00068 0,00073 0,00078 0,00083 0,00089
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,01073 0,01034 0,00996 0,00959 0,00923 0,00889 0,00856 0,00824 0,00793 0,00764
12
13
14
15
16
0,04813 0,04933 0,05055 0,05177 0,05299 0,05422 0,05546 0,05669 0,05793 0,05918
0,08583 0,08725 0,08866 0,09005 0,09143 0,09278 0,09412 0,09544 0,09673 0,09801
0,05852 0,05989 0,06126 0,06263 0,06400 0,06537 0,06674 0,06811 0,06947 0,07083
0,03658 0,03768 0,03880 0,03993 0,04107 0,04222 0,04338 0,04455 0,04574 0,04693
0,02110 0,02188 0,02268 0,02349 0,02432 0,02517 0,02603 0,02690 0,02779 0,02870
0,01130 0,01180 0,01231 0,01284 0,01338 0,01393 0,01450 0,01509 0,01568 0,01630
0,00565 0,00594 0,00624 0,00655 0,00687 0,00720 0,00754 0,00789 0,00826 0,00864
0,00265 0,00280 0,00296 0,00313 0,00330 0,00349 0,00368 0,00387 0,00408 0,00429
0,00117 0,00124 0,00132 0,00141 0,00150 0,00159 0,00169 0,00179 0,00190 0,00201
0,00019 0,00021 0,00022 0,00024 0,00026 0,00028 0,00030 0,00032 0,00035 0,00037
0,00007 0,00008 0,00009 0,00009 0,00010 0,00011 0,00012 0,00013 0,00014 0,00015
0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00006
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002
–
–
–
–
–
–
8
8,05
8,1
8,15
8,2
8,25
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
8,3
8,35
8,4
8,45
0,00034 0,00032 0,00030 0,00029 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024 0,00022 0,00021
0,00268 0,00257 0,00246 0,00235 0,00225 0,00216 0,00206 0,00197 0,00189 0,00181
0,02863 0,02774 0,02689 0,02605 0,02524 0,02445 0,02368 0,02294 0,02221 0,02151
0,05725 0,05583 0,05444 0,05308 0,05174 0,05043 0,04914 0,04788 0,04665 0,04544
0,09160 0,08989 0,08820 0,08652 0,08485 0,08321 0,08158 0,07996 0,07837 0,07679
0,12214 0,12061 0,11907 0,11752 0,11597 0,11441 0,11285 0,11128 0,10972 0,10815
0,13959 0,13870 0,13778 0,13683 0,13585 0,13484 0,13380 0,13274 0,13166 0,13055
0,13959 0,13956 0,13950 0,13939 0,13924 0,13905 0,13882 0,13855 0,13824 0,13789
0,12408 0,12483 0,12555 0,12623 0,12687 0,12747 0,12803 0,12855 0,12903 0,12947
0,09926 0,10049 0,10170 0,10288 0,10403 0,10516 0,10626 0,10734 0,10838 0,10940
0,07219 0,07354 0,07488 0,07622 0,07755 0,07887 0,08018 0,08148 0,08276 0,08404
0,02962 0,03055 0,03149 0,03245 0,03343 0,03441 0,03541 0,03642 0,03743 0,03847
0,01692 0,01757 0,01822 0,01889 0,01958 0,02028 0,02099 0,02172 0,02246 0,02322
0,00903 0,00943 0,00984 0,01027 0,01070 0,01115 0,01162 0,01209 0,01258 0,01308
0,00451 0,00474 0,00498 0,00523 0,00549 0,00575 0,00603 0,00631 0,00660 0,00691
λ
k
17
18
19
20
21
22
23
24
λ
k
0
1
8
8,05
8,1
8,15
8,2
8,25
8,3
8,35
8,4
8,45
0,00212 0,00225 0,00237 0,00251 0,00265 0,00279 0,00294 0,00310 0,00326 0,00343
0,00094 0,00100 0,00107 0,00114 0,00121 0,00128 0,00136 0,00144 0,00152 0,00161
0,00040 0,00043 0,00046 0,00049 0,00052 0,00056 0,00059 0,00063 0,00067 0,00072
0,00016 0,00017 0,00018 0,00020 0,00021 0,00023 0,00025 0,00026 0,00028 0,00030
0,00006 0,00007 0,00007 0,00008 0,00008 0,00009 0,00010 0,00010 0,00011 0,00012
0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00004 0,00005
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002
–
–
–
–
–
–
–
8,5
8,55
8,6
8,65
8,7
8,75
8,8
0,00001 0,00001 0,00001
8,85
8,9
8,95
0,00020 0,00019 0,00018 0,00018 0,00017 0,00016 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013
0,00173 0,00165 0,00158 0,00151 0,00145 0,00139 0,00133 0,00127 0,00121 0,00116
2
3
4
5
6
7
8
0,00735 0,00707 0,00681 0,00655 0,00630 0,00607 0,00584 0,00562 0,00540 0,00520
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0,12987 0,13023 0,13055 0,13084 0,13108 0,13129 0,13146 0,13159 0,13168 0,13174
19
20
21
22
23
0,00076 0,00081 0,00086 0,00092 0,00097 0,00103 0,00109 0,00116 0,00122 0,00130
0,02083 0,02016 0,01952 0,01889 0,01828 0,01769 0,01712 0,01656 0,01602 0,01550
0,04425 0,04310 0,04196 0,04085 0,03977 0,03870 0,03766 0,03665 0,03566 0,03469
0,07523 0,07369 0,07217 0,07067 0,06919 0,06773 0,06629 0,06487 0,06347 0,06209
0,10658 0,10501 0,10345 0,10189 0,10033 0,09877 0,09722 0,09568 0,09414 0,09261
0,12942 0,12827 0,12709 0,12590 0,12469 0,12347 0,12222 0,12097 0,11970 0,11841
0,13751 0,13709 0,13663 0,13613 0,13560 0,13504 0,13445 0,13382 0,13316 0,13247
0,11039 0,11135 0,11228 0,11318 0,11404 0,11488 0,11568 0,11646 0,11720 0,11790
0,08530 0,08655 0,08778 0,08900 0,09020 0,09138 0,09255 0,09369 0,09482 0,09593
0,06042 0,06166 0,06291 0,06415 0,06539 0,06663 0,06787 0,06910 0,07033 0,07155
0,03951 0,04056 0,04162 0,04269 0,04376 0,04485 0,04594 0,04704 0,04815 0,04926
0,02399 0,02477 0,02556 0,02637 0,02720 0,02803 0,02888 0,02974 0,03061 0,03149
0,01359 0,01412 0,01466 0,01521 0,01577 0,01635 0,01694 0,01754 0,01816 0,01879
0,00722 0,00754 0,00788 0,00822 0,00858 0,00894 0,00932 0,00970 0,01010 0,01051
0,00361 0,00379 0,00399 0,00418 0,00439 0,00460 0,00482 0,00505 0,00529 0,00553
0,00170 0,00180 0,00190 0,00201 0,00212 0,00224 0,00236 0,00248 0,00261 0,00275
0,00032 0,00035 0,00037 0,00040 0,00042 0,00045 0,00048 0,00051 0,00055 0,00058
0,00013 0,00014 0,00015 0,00016 0,00018 0,00019 0,00020 0,00022 0,00023 0,00025
0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00007 0,00007 0,00008 0,00009 0,00009 0,00010
0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004
λ
k
24
25
λ
k
0
1
2
3
4
8,5
8,55
8,6
8,7
8,75
8,8
8,85
8,9
8,95
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00001
9
9,05
9,1
9,15
9,2
9,25
9,3
9,35
9,4
9,45
0,00012 0,00012 0,00011 0,00011 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008
0,00111 0,00106 0,00102 0,00097 0,00093 0,00089 0,00085 0,00081 0,00078 0,00074
0,00500 0,00481 0,00462 0,00445 0,00428 0,00411 0,00395 0,00380 0,00365 0,00351
0,01499 0,01450 0,01402 0,01356 0,01311 0,01268 0,01226 0,01185 0,01145 0,01107
0,03374 0,03281 0,03191 0,03102 0,03016 0,02932 0,02850 0,02769 0,02691 0,02615
5 0,06073 0,05939 0,05807
6 0,09109 0,08958 0,08807
7 0,11712 0,11581 0,11449
8 0,13176 0,13101 0,13024
9 0,13176 0,13174 0,13168
10 0,11858 0,11922 0,11983
11 0,09702 0,09809 0,09913
12 0,07277 0,07397 0,07518
13 0,05038 0,05150 0,05262
14 0,03238 0,03329 0,03421
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
8,65
0,05677 0,05549 0,05424 0,05300 0,05179 0,05059 0,04942
0,08658 0,08509 0,08362 0,08215 0,08070 0,07926 0,07784
0,11317 0,11183 0,11049 0,10915 0,10779 0,10644 0,10508
0,12944 0,12861 0,12776 0,12688 0,12599 0,12506 0,12412
0,13159 0,13147 0,13131 0,13111 0,13088 0,13062 0,13033
0,12041 0,12095 0,12146 0,12193 0,12238 0,12279 0,12316
0,10016 0,10116 0,10214 0,10309 0,10402 0,10493 0,10581
0,07637 0,07755 0,07873 0,07990 0,08105 0,08219 0,08332
0,05375 0,05488 0,05602 0,05716 0,05829 0,05943 0,06057
0,03513 0,03607 0,03701 0,03797 0,03893 0,03990 0,04088
0,01943 0,02008 0,02075 0,02143 0,02212 0,02282 0,02354 0,02427 0,02501 0,02576
0,01093 0,01136 0,01180 0,01226 0,01272 0,01320 0,01368 0,01418 0,01469 0,01521
0,00579 0,00605 0,00632 0,00660 0,00688 0,00718 0,00749 0,00780 0,00812 0,00846
0,00289 0,00304 0,00319 0,00335 0,00352 0,00369 0,00387 0,00405 0,00424 0,00444
0,00137 0,00145 0,00153 0,00161 0,00170 0,00180 0,00189 0,00199 0,00210 0,00221
0,00062 0,00066 0,00070 0,00074 0,00078 0,00083 0,00088 0,00093 0,00099 0,00104
0,00026 0,00028 0,00030 0,00032 0,00034 0,00037 0,00039 0,00041 0,00044 0,00047
0,00011 0,00012 0,00012 0,00013 0,00014 0,00015 0,00016 0,00018 0,00019 0,00020
0,00004 0,00005 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00007 0,00007 0,00008 0,00008
0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003
25 0,00001 0,00001 0,00001
λ
9,5
9,55
9,6
k
0 0,00007 0,00007 0,00007
1 0,00071 0,00068 0,00065
2 0,00338 0,00325 0,00312
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
9,65
9,7
9,75
9,8
9,85
9,9
9,95
0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,00005
0,00062 0,00059 0,00057 0,00054 0,00052 0,00050 0,00047
0,00300 0,00288 0,00277 0,00266 0,00256 0,00246 0,00236
λ
9,5
9,55
9,6
9,65
9,7
9,75
9,8
9,85
9,9
9,95
k
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,01070 0,01034 0,00999 0,00965 0,00932 0,00901 0,00870 0,00840 0,00811 0,00784
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0,08444 0,08554 0,08663 0,08771 0,08877 0,08981 0,09084 0,09185 0,09285 0,09382
22
23
24
25
26
0,00022 0,00023 0,00025 0,00026 0,00028 0,00030 0,00032 0,00034 0,00036 0,00038
0,02540 0,02468 0,02397 0,02328 0,02261 0,02195 0,02131 0,02069 0,02008 0,01949
0,04827 0,04713 0,04602 0,04493 0,04386 0,04280 0,04177 0,04076 0,03976 0,03879
0,07642 0,07502 0,07363 0,07226 0,07090 0,06955 0,06822 0,06691 0,06561 0,06432
0,10371 0,10235 0,10098 0,09961 0,09825 0,09688 0,09551 0,09415 0,09279 0,09143
0,12316 0,12218 0,12118 0,12016 0,11912 0,11807 0,11700 0,11592 0,11483 0,11372
0,13000 0,12964 0,12926 0,12884 0,12839 0,12791 0,12740 0,12687 0,12631 0,12572
0,12350 0,12381 0,12409 0,12433 0,12454 0,12471 0,12486 0,12497 0,12505 0,12509
0,10666 0,10749 0,10829 0,10907 0,10982 0,11054 0,11124 0,11190 0,11254 0,11315
0,06171 0,06284 0,06398 0,06511 0,06624 0,06736 0,06848 0,06960 0,07071 0,07181
0,04187 0,04287 0,04387 0,04488 0,04589 0,04691 0,04794 0,04897 0,05000 0,05104
0,02652 0,02729 0,02808 0,02887 0,02968 0,03049 0,03132 0,03215 0,03300 0,03385
0,01575 0,01629 0,01685 0,01741 0,01799 0,01858 0,01918 0,01980 0,02042 0,02105
0,00880 0,00915 0,00951 0,00988 0,01027 0,01066 0,01106 0,01147 0,01189 0,01232
0,00464 0,00486 0,00507 0,00530 0,00553 0,00577 0,00602 0,00628 0,00654 0,00681
0,00232 0,00244 0,00256 0,00269 0,00282 0,00296 0,00311 0,00325 0,00341 0,00357
0,00110 0,00117 0,00123 0,00130 0,00137 0,00144 0,00152 0,00160 0,00169 0,00177
0,00050 0,00053 0,00056 0,00060 0,00063 0,00067 0,00071 0,00075 0,00080 0,00084
0,00009 0,00010 0,00010 0,00011 0,00012 0,00013 0,00013 0,00014 0,00015 0,00016
0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00006 0,00007
0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003
–
0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001
4. Таблица значений функции Cnk p k q n  k
p=0,01
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
1
2
3
0,01000 0,01980 0,02940 0,03881 0,04803 0,05706 0,06590 0,07457 0,08305 0,09135
–
n
0,00010 0,00030 0,00059 0,00097 0,00144 0,00200 0,00264 0,00336
–
–
–
–
11
12
13
14
0,00001 0,00002 0,00003 0,00005 0,00008
15
16
17
18
19
0,00415
0,00011
20
k
1
0,09948 0,10744 0,11523 0,12285 0,13031 0,13761 0,14475 0,15173 0,15856
0,16523
2
3
4
0,00502 0,00597 0,00698 0,00807 0,00921 0,01042 0,01170 0,01303 0,01441
0,01586
0,00015 0,00020 0,00026 0,00033 0,00040 0,00049 0,00059 0,00070 0,00083
0,00096
–
–
0,00001 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003
0,00004
p=0,05
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
0,005
0,09500 0,13538 0,17148 0,20363 0,23213 0,25728 0,27933 0,29854
0,31512
–
0,00250 0,00713 0,01354 0,02143 0,03054 0,04062 0,05146 0,06285
0,07463
5
n
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
11
12
13
14
15
16
0,00013 0,00048 0,00113 0,00214 0,00356 0,00542 0,00772
0,00001 0,00003 0,00008 0,00019 0,00036 0,00061
0,00001 0,00002 0,00003
17
18
19
0,01048
0,00096
0,00006
20
k
1
2
3
4
5
6
7
0,32931 0,34128 0,35123 0,35934 0,36576 0,37063 0,37411 0,37631 0,37735
0,37735
0,08666 0,09879 0,11092 0,12293 0,13475 0,14630 0,15752 0,16835 0,17875
0,18868
0,01368 0,01733 0,02140 0,02588 0,03073 0,03593 0,04145 0,04726 0,05331
0,05958
0,00144 0,00205 0,00282 0,00375 0,00485 0,00615 0,00764 0,00933 0,01122
0,01333
0,00011 0,00017 0,00027 0,00039 0,00056 0,00078 0,00104 0,00137 0,00177
0,00224
0,00001 0,00001 0,00002 0,00003 0,00005 0,00007 0,00011 0,00016 0,00022
0,00030
–
–
–
–
–
0,00001 0,00001 0,00001 0,00002
0,00003
p=0,1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
1
2
3
0,1
0,18000 0,24300 0,29160 0,32805 0,35429 0,37201 0,38264 0,38742
0,38742
–
0,01000 0,02700 0,04860 0,07290 0,09842 0,12400 0,14880 0,17219
0,19371
–
–
0,00100 0,00360 0,00810 0,01458 0,02296 0,03307 0,04464
0,05740
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00001
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
k
4
5
6
7
n
0,00010 0,00045 0,00122 0,00255 0,00459 0,00744
0,00001 0,00005 0,00017 0,00041 0,00083
0,00001 0,00002 0,00006
0,01116
0,00149
0,00014
k
1
2
0,38355 0,37657 0,36716 0,35586 0,34315 0,32943 0,31501 0,38355 0,37657
0,36716
0,21308 0,23013 0,24477 0,25701 0,26690 0,27452 0,28001 0,21308 0,23013
0,24477
3
4
5
6
7
8
9
0,07103 0,08523 0,09972 0,11423 0,12851 0,14234 0,15556 0,07103 0,08523
0,09972
0,01578 0,02131 0,02770 0,03490 0,04284 0,05140 0,06050 0,01578 0,02131
0,02770
0,00246 0,00379 0,00554 0,00776 0,01047 0,01371 0,01748 0,00246 0,00379
0,00554
0,00027 0,00049 0,00082 0,00129 0,00194 0,00279 0,00388 0,00027 0,00049
0,00082
0,00002 0,00005 0,00009 0,00016 0,00028 0,00044 0,00068 0,00002 0,00005
0,00009
–
–
–
–
0,00001 0,00002 0,00003 0,00006 0,00009
–
–
–
0,00001 0,00001
–
–
0,00001
–
–
–
8
9
10
p=0,15
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
n
1
2
3
4
5
6
7
0,15
0,25500 0,32513 0,36848 0,39150 0,39933 0,39601 0,38469 0,36786 0,34743
–
0,02250 0,05738 0,09754 0,13818 0,17618 0,20965 0,23760 0,25967 0,27590
–
–
0,00338 0,01148 0,02438 0,04145 0,06166 0,08386 0,10692 0,12983
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00001
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,00051 0,00215 0,00549 0,01088 0,01850 0,02830 0,04010
0,00008 0,00039 0,00115 0,00261 0,00499 0,00849
0,00001 0,00007 0,00023 0,00059 0,00125
0,00001 0,00004 0,00013
k
1
2
3
4
5
6
0,32484 0,30122 0,27737 0,25390 0,23123 0,20965 0,18934 0,17041 0,15289 0,13680
0,28663 0,29236 0,29369 0,29124 0,28564 0,27748 0,26730 0,25561 0,24283 0,22934
0,15174 0,17198 0,19003 0,20558 0,21843 0,22851 0,23586 0,24057 0,24283 0,24283
0,05356 0,06828 0,08384 0,09977 0,11564 0,13106 0,14568 0,15920 0,17141 0,18212
0,01323 0,01928 0,02663 0,03521 0,04490 0,05551 0,06684 0,07867 0,09075 0,10285
0,00233 0,00397 0,00627 0,00932 0,01320 0,01796 0,02359 0,03008 0,03737 0,04537
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
k
7
8
9
10
0,00029 0,00060 0,00111 0,00188 0,00300 0,00453 0,00654 0,00910 0,01225 0,01601
0,00003 0,00007 0,00015 0,00029 0,00053 0,00090 0,00144 0,00221 0,00324 0,00459
–
–
0,00001 0,00001 0,00003 0,00007 0,00014 0,00025 0,00043 0,00070 0,00108
–
–
–
0,00001 0,00002 0,00004 0,00007 0,00012 0,00021
p=0,2
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
0,2
0,32000 0,38400 0,40960 0,40960 0,39322 0,36700 0,33554 0,30199 0,26844
–
0,04000 0,09600 0,15360 0,20480 0,24576 0,27525 0,29360 0,30199 0,30199
3
4
5
6
7
8
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
12
13
14
15
16
17
18
n
11
0,00800 0,02560 0,05120 0,08192 0,11469 0,14680 0,17616 0,20133
0,00160 0,00640 0,01536 0,02867 0,04588 0,06606 0,08808
0,00032 0,00154 0,00430 0,00918 0,01652 0,02642
0,00006 0,00036 0,00115 0,00275 0,00551
0,00001 0,00008 0,00029 0,00079
0,00002 0,00007
19
20
k
1
2
0,23622 0,20616 0,17867 0,15393 0,13194 0,11259 0,09570 0,08106 0,06845 0,05765
3
4
5
6
7
8
9
10
0,22146 0,23622 0,24567 0,25014 0,25014 0,24629 0,23925 0,22968 0,21820 0,20536
0,29528 0,28347 0,26801 0,25014 0,23090 0,21111 0,19140 0,17226 0,15402 0,13691
0,11073 0,13288 0,15355 0,17197 0,18760 0,20011 0,20935 0,21533 0,21820 0,21820
0,03876 0,05315 0,06910 0,08599 0,10318 0,12007 0,13608 0,15073 0,16365 0,17456
0,00969 0,01550 0,02303 0,03224 0,04299 0,05503 0,06804 0,08165 0,09546 0,10910
0,00173 0,00332 0,00576 0,00921 0,01382 0,01965 0,02673 0,03499 0,04432 0,05455
0,00022 0,00052 0,00108 0,00202 0,00345 0,00553 0,00835 0,01203 0,01662 0,02216
0,00002 0,00006 0,00015 0,00034 0,00067 0,00123 0,00209 0,00334 0,00508 0,00739
–
–
0,00001 0,00004 0,00010 0,00021 0,00042 0,00075 0,00127 0,00203
p=0,3
n
k
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,3
0,42000 0,44100 0,41160 0,36015 0,30253 0,24706 0,19765 0,15565 0,12106
–
0,09000 0,18900 0,26460 0,30870 0,32414 0,31765 0,29648 0,26683 0,23347
–
–
–
–
–
–
–
–
0,02700 0,07560 0,13230 0,18522 0,22689 0,25412 0,26683 0,26683
0,00810 0,02835 0,05954 0,09724 0,13614 0,17153 0,20012
–
0,00243 0,01021 0,02500 0,04668 0,07351 0,10292
n
k
6
7
8
9
10
n
1
2
3
4
5
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00001
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
6
7
8
9
10
0,00073 0,00357 0,01000 0,02100 0,03676
0,00022 0,00122 0,00386 0,00900
0,00007 0,00041 0,00145
0,00002 0,00014
k
1
2
0,09322 0,07118 0,05398 0,04069 0,03052 0,02279 0,01695 0,01256 0,00928 0,00684
3
4
5
6
7
8
9
10
0,25682 0,23970 0,21813 0,19433 0,17004 0,14650 0,12452 0,10460 0,08695 0,07160
0,19975 0,16779 0,13881 0,11336 0,09156 0,07325 0,05811 0,04576 0,03580 0,02785
0,22013 0,23114 0,23371 0,22903 0,21862 0,20405 0,18678 0,16810 0,14905 0,13042
0,13208 0,15850 0,18029 0,19631 0,20613 0,20988 0,20813 0,20173 0,19164 0,17886
0,05661 0,07925 0,10302 0,12620 0,14724 0,16490 0,17840 0,18732 0,19164 0,19164
0,01733 0,02911 0,04415 0,06181 0,08113 0,10096 0,12014 0,13762 0,15253 0,16426
0,00371 0,00780 0,01419 0,02318 0,03477 0,04868 0,06436 0,08110 0,09805 0,11440
0,00053 0,00149 0,00338 0,00662 0,01159 0,01854 0,02758 0,03862 0,05136 0,06537
0,00005 0,00019 0,00058 0,00142 0,00298 0,00556 0,00946 0,01490 0,02201 0,03082
p=0,4
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4
0,48000 0,43200 0,34560 0,25920 0,18662 0,13064 0,08958 0,06047 0,04031
–
0,16000 0,28800 0,34560 0,34560 0,31104 0,26127 0,20902 0,16124 0,12093
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00010
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
0,06400 0,15360 0,23040 0,27648 0,29030 0,27869 0,25082 0,21499
0,02560 0,07680 0,13824 0,19354 0,23224 0,25082 0,25082
0,01024 0,03686 0,07741 0,12386 0,16722 0,20066
0,00410 0,01720 0,04129 0,07432 0,11148
0,00164 0,00786 0,02123 0,04247
0,00066 0,00354 0,01062
0,00026 0,00157
k
1
2
3
0,02661 0,01741 0,01132 0,00731 0,00470 0,00301 0,00192 0,00122 0,00077 0,00049
0,08868 0,06385 0,04528 0,03169 0,02194 0,01505 0,01023 0,00691 0,00463 0,00309
0,17737 0,14189 0,11068 0,08452 0,06339 0,04681 0,03410 0,02455 0,01750 0,01235
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
k
4
5
6
7
8
9
10
0,23649 0,21284 0,18446 0,15495 0,12678 0,10142 0,07958 0,06139 0,04665 0,03499
0,22072 0,22703 0,22135 0,20660 0,18594 0,16227 0,13793 0,11459 0,09331 0,07465
0,14715 0,17658 0,19676 0,20660 0,20660 0,19833 0,18391 0,16552 0,14515 0,12441
0,07007 0,10090 0,13117 0,15741 0,17708 0,18889 0,19267 0,18916 0,17971 0,16588
0,02336 0,04204 0,06559 0,09182 0,11806 0,14167 0,16056 0,17340 0,17971 0,17971
0,00519 0,01246 0,02429 0,04081 0,06121 0,08395 0,10704 0,12844 0,14643 0,15974
0,00069 0,00249 0,00648 0,01360 0,02449 0,03918 0,05709 0,07707 0,09762 0,11714
p=0,5
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,5
0,50000 0,37500 0,25000 0,15625 0,09375 0,05469
0,03125
0,01758 0,00977
–
0,25000 0,37500 0,37500 0,31250 0,23438 0,16406
0,10938
0,07031 0,04395
0,21875
0,16406 0,11719
0,27344
0,24609 0,20508
0,21875
0,24609 0,24609
0,10938
0,16406 0,20508
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00781
0,03125
0,07031 0,11719
–
–
–
–
–
–
–
0,00391
0,01758 0,04395
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00195 0,00977
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00098
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
0,12500 0,25000 0,31250 0,31250 0,27344
0,06250 0,15625 0,23438 0,27344
0,03125 0,09375 0,16406
0,01563 0,05469
k
1
2
3
4
5
6
7
0,00537 0,00293 0,00159 0,00085 0,00046 0,00024 0,00013
0,00007
0,00004 0,00002
0,02686 0,01611 0,00952 0,00555 0,00320 0,00183 0,00104
0,00058
0,00033 0,00018
0,08057 0,05371 0,03491 0,02222 0,01389 0,00854 0,00519
0,00311
0,00185 0,00109
0,16113 0,12085 0,08728 0,06110 0,04166 0,02777 0,01816
0,01167
0,00739 0,00462
0,22559 0,19336 0,15710 0,12219 0,09164 0,06665 0,04721
0,03268
0,02218 0,01479
0,22559 0,22559 0,20947 0,18329 0,15274 0,12219 0,09442
0,07082
0,05175 0,03696
0,16113 0,19336 0,20947 0,20947 0,19638 0,17456 0,14838
0,12140
0,09611 0,07393
8
9
10
0,08057 0,12085 0,15710 0,18329 0,19638 0,19638 0,18547
0,16692
0,14416 0,12013
0,02686 0,05371 0,08728 0,12219 0,15274 0,17456 0,18547
0,18547
0,17620 0,16018
0,00537 0,01611 0,03491 0,06110 0,09164 0,12219 0,14838
0,16692
0,17620 0,17620
p=0,6
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
0,6
0,48000 0,28800 0,15360 0,07680 0,03686 0,01720
0,00786
0,00354 0,00157
–
0,36000 0,43200 0,34560 0,23040 0,13824 0,07741
0,04129
0,02123 0,01062
0,12386
0,07432 0,04247
0,23224
0,16722 0,11148
0,27869
0,25082 0,20066
0,20902
0,25082 0,25082
8
9
10
n
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,02799
0,08958
0,16124 0,21499
–
–
–
–
–
–
–
0,01680
0,06047 0,12093
–
–
–
–
–
–
–
–
0,01008 0,04031
–
–
–
–
–
–
–
–
0,00605
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
0,21600 0,34560 0,34560 0,27648 0,19354
0,12960 0,25920 0,31104 0,29030
0,07776 0,18662 0,26127
0,04666 0,13064
k
1
2
3
4
5
0,00069 0,00030 0,00013 0,00006 0,00002 0,00001 0,00000
0,00000
0,00000 0,00000
0,00519 0,00249 0,00118 0,00055 0,00025 0,00012 0,00005
0,00002
0,00001 0,00000
0,02336 0,01246 0,00648 0,00330 0,00165 0,00081 0,00039
0,00019
0,00009 0,00004
0,07007 0,04204 0,02429 0,01360 0,00742 0,00396 0,00207
0,00106
0,00054 0,00027
0,14715 0,10090 0,06559 0,04081 0,02449 0,01425 0,00807
0,00447
0,00243 0,00129
6
7
8
9
10
0,22072 0,17658 0,13117 0,09182 0,06121 0,03918 0,02422
0,01453
0,00850 0,00485
0,23649 0,22703 0,19676 0,15741 0,11806 0,08395 0,05709
0,03737
0,02366 0,01456
0,17737 0,21284 0,22135 0,20660 0,17708 0,14167 0,10704
0,07707
0,05325 0,03550
0,08868 0,14189 0,18446 0,20660 0,20660 0,18889 0,16056
0,12844
0,09762 0,07099
0,02661 0,06385 0,11068 0,15495 0,18594 0,19833 0,19267
0,17340
0,14643 0,11714
p=0,7
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
0,7
0,42000 0,18900 0,07560 0,02835 0,01021 0,00357 0,00122 0,00041 0,00014
–
0,49000 0,44100 0,26460 0,13230 0,05954 0,02500 0,01000 0,00386 0,00145
3
4
5
6
7
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
8
–
–
–
–
–
–
0,34300 0,41160 0,30870 0,18522 0,09724 0,04668 0,02100 0,00900
0,24010 0,36015 0,32414 0,22689 0,13614 0,07351 0,03676
0,16807 0,30253 0,31765 0,25412 0,17153 0,10292
0,11765 0,24706 0,29648 0,26683 0,20012
0,08235 0,19765 0,26683 0,26683
–
0,05765 0,15565 0,23347
n
k
9
10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,02825
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,04035 0,12106
k
1
2
3
4
5
0,00005 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
6
7
8
9
10
0,13208 0,07925 0,04415 0,02318 0,01159 0,00556 0,00258 0,00116 0,00051 0,00022
0,00053 0,00019 0,00007 0,00002 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00371 0,00149 0,00058 0,00022 0,00008 0,00003 0,00001
–
–
–
0,01733 0,00780 0,00338 0,00142 0,00058 0,00023 0,00009 0,00004 0,00001 0,00001
0,05661 0,02911 0,01419 0,00662 0,00298 0,00130 0,00055 0,00023 0,00009 0,00004
0,22013 0,15850 0,10302 0,06181 0,03477 0,01854 0,00946 0,00464 0,00221 0,00102
0,25682 0,23114 0,18029 0,12620 0,08113 0,04868 0,02758 0,01490 0,00772 0,00386
0,19975 0,23970 0,23371 0,19631 0,14724 0,10096 0,06436 0,03862 0,02201 0,01201
0,09322 0,16779 0,21813 0,22903 0,20613 0,16490 0,12014 0,08110 0,05136 0,03082
p=0,8
n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,8
0,32000 0,09600 0,02560 0,00640 0,00154 0,00036 0,00008 0,00002 0,00000
–
0,64000 0,38400 0,15360 0,05120 0,01536 0,00430 0,00115 0,00029 0,00007
–
–
0,51200 0,40960 0,20480 0,08192 0,02867 0,00918 0,00275 0,00079
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,10737
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,00002
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,40960 0,40960 0,24576 0,11469 0,04588 0,01652 0,00551
0,32768 0,39322 0,27525 0,14680 0,06606 0,02642
0,26214 0,36700 0,29360 0,17616 0,08808
0,20972 0,33554 0,30199 0,20133
0,16777 0,30199 0,30199
0,13422 0,26844
k
2
3
4
5
6
7
0,00022 0,00006 0,00001
0,00173 0,00052 0,00015 0,00004 0,00001
0,00969 0,00332 0,00108 0,00034 0,00010 0,00003 0,00001
0,03876 0,01550 0,00576 0,00202 0,00067 0,00021 0,00007 0,00002 0,00001
–
0,11073 0,05315 0,02303 0,00921 0,00345 0,00123 0,00042 0,00014 0,00004 0,00001
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
k
8
9
10
0,22146 0,13288 0,06910 0,03224 0,01382 0,00553 0,00209 0,00075 0,00026 0,00009
0,29528 0,23622 0,15355 0,08599 0,04299 0,01965 0,00835 0,00334 0,00127 0,00046
0,23622 0,28347 0,24567 0,17197 0,10318 0,05503 0,02673 0,01203 0,00508 0,00203
p=0,9
n
k
1
1
2
0,9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
3
4
5
6
7
0,18000 0,02700 0,00360 0,00045 0,00005 0,00001
8
9
10
–
–
–
– 0,81000 0,24300 0,04860 0,00810 0,00122 0,00017 0,00002
–
–
–
– 0,72900 0,29160 0,07290 0,01458 0,00255 0,00041 0,00006
0,00001
–
–
– 0,65610 0,32805 0,09842 0,02296 0,00459 0,00083
0,00014
–
–
–
– 0,59049 0,35429 0,12400 0,03307 0,00744
0,00149
–
–
–
–
– 0,53144 0,37201 0,14880 0,04464
0,01116
–
–
–
–
–
– 0,47830 0,38264 0,17219
0,05740
–
–
–
–
–
–
– 0,43047 0,38742
0,19371
–
–
–
–
– –
0,38742
–
–
–
– –
– –
– –
–
0,38742
–
0,34868
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,00002
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
k
4
5
6
7
8
9
10
0,00027 0,00005 0,00001
0,00246 0,00049 0,00009 0,00002
0,01578 0,00379 0,00082 0,00016 0,00003 0,00001
0,07103 0,02131 0,00554 0,00129 0,00028 0,00006 0,00001
0,21308 0,08523 0,02770 0,00776 0,00194 0,00044 0,00009 0,00002
0,38355 0,23013 0,09972 0,03490 0,01047 0,00279 0,00068 0,00015 0,00003 0,00001
p=0,95
n
k
1
1
2
3
4
0,95
5
–
2
3
4
5
0,09500 0,00713 0,00048 0,00003
6
7
8
9
10
–
–
–
–
–
0,00001
–
–
–
0,00019
0,00002
–
–
0,00356
0,00036
0,00003
–
0,04062
0,00542
0,00061
0,0000
6
0,90250 0,13538 0,01354 0,00113 0,00008
–
–
0,85738 0,17148 0,02143 0,00214
–
–
–
–
–
–
0,81451 0,20363 0,03054
–
0,77378 0,23213
n
k
6
7
8
9
10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,59874
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,00001
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,73509 0,25728 0,05146 0,00772 0,00096
0,69834 0,27933 0,06285 0,01048
0,66342 0,29854 0,07463
0,63025 0,31512
k
5
6
7
8
9
10
0,00011 0,00001
0,00144 0,00017 0,00002
0,01368 0,00205 0,00027 0,00003
0,08666 0,01733 0,00282 0,00039 0,00005 0,00001
0,32931 0,09879 0,02140 0,00375 0,00056 0,00007 0,00001
Литература
1. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей /
Е.С.Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высш.школа, 2000. – 361 с.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М., Высшая школа,
1970. – 400 с.
3. Л.А.Поплавская. Теория вероятностей. Сборник задач, 2010, - 108 с.
4. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций. Под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука,
1965. – 391 с.
5. Справочник по теории вероятностей и математической статистике.
Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А.В., Турбин А. Ф.— М:
Наука, 1985.