Учебно-методическое пособие по основам цифровой обработки
advertisement
Дикарев А.В.
ПО ОСНОВАМ ЦИФРОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
Киев 2014
1
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..…1
I. ОСНОВЫ ЦИФРОВОй ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ…………………..2
1.1 Принципы модуляции гармонических сигналов…………………2
1.2. Способы дискретизации непрерывных сигналов…………………3
1.3. Формула Эйлера……… …………………………...……..……...4
1.4. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье ………… …..6
1.5. Формулы Фурье-преобразования ……………………………. …..8
1.6. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье …… ……....10
1.7. Свойства спектров дискретных сигналов………………………….13
1.8. Теорема Найквиста и нормированная частота…………………….14
1.9. Теорема Котельникова: восстановление сигнала
по его дискретным выборкам………………………….… …………17
1.10. Дельта-функция и белый шум…………………… ……………..18
1.11. Связь спектров дискретизированных и аналоговых сигналою…19
1.12. Примеры дискретизированных сигналов……………..…………20
1.14. Ортогональный и ортонормированный базис……………………25
1.15. Дискретизация квадратурных сигналов…………………………..27
1.16. Дискретное преобразование Фурье……………….…………….28
1.17. Переход к дискретному преобразованию Фурье…………….….29
1.18. Свойства дискретного преобразования Фурье…………………...30
1.19. Матрица Фрэнкса………..……………………………………….30
1.20. Быстрое дискретное преобразование Фурье…...…………………31
1.20.1. БПФ для ряда из четырёх членов……………………….33
1.20.2. Операция ”бабочка” для БПФ ряда из четырёх члено..35
1.20.3. БПФ ряда из восьми членов………………………...……36
1.21. Более строгое обоснование БПФ………………………………37
1.21.1. Прореживание последовательности х(n) по времени……..38
1.21.2. Графическое представление БПФ…………………………40
1.21.3. Перестановка членов входной последовательности.……….41
1.21.4. Общий алгоритм БПФ…………………….………………..42
1.22. Свёртка сигналов…………………………………………………..43
1.22.1. Вычисление линейной дискретной свёртки……….……...43
1.22.2. Вычисление круговой дискретной свёртки…..…………...43
1.23. Преобразование Лапласа, Фурье и z-преобразование..…….46
1.24. Преобразование Фурье в р- и z-областях………..………..…48
1.24.1. Основные свойства z-преобразования…….…………….49
1.25. Эффект Гиббса…………………………………………………49
1.26. Интеграл Гильберта……………………………………….…..50
II. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ……………………..48
2.1, Определение линейных цепей…………………………………...48
2.2.
Примеры простых линейных непрерывных цепей…………48
2
2.2.1. Интегрирующее звено…………………..…………………49
2.2.2. Дифференцирующее звено………………….…………….49
2.2.3. Колебательное звено II порядка…………………….…..50
2.3.Описание линейных непрерывных цепей………………………..52
2.4.Параметры линейных непрерывных систем……………………..54
2.5. Конечноразностное уравнение линейных дискретных систем…55
2.6. Три вида формулы передаточной функции ЛДС………………..57
2.7. Общий вид описания линейной дискретной сети…….………..58
2.8. Выходной сигнал и импульсная характеристика ЛДС..……..59
2.8.1. Импульсная характеристика ЛДС…………….……………59
2.9. Основные свойства линейных дискретных сетей…………….. 59
2.10. z-передаточная функция сложного преобразователя……….61
2.11.Определение выходного сигнала ЛДС с использованием
преобразования Фурье…………………………………..……….62
2.12. Применение линейных дискретных систем…………..………..62
2.13. Фильтры с конечной импульсной импульсной
характеристикой-КИХ-фильтры……………………………….62
2.13.1. Уравнение фильтрации……………….……………….....63
2.13.2. КИХ-фильтры с линейной фазой………………………..64
2.13.3. Симметричные фильтры с линейной фазой…………....64
2.13.4. Асимметричные фильтры с линейной фазой………..…65
2.13.5. Формулы АЧХ и ФЧХ …………………………...…...66
2.13.6. Шесть формул расчёта КИХ-фильтров с
линейной фазой……………………………………..…….67
2.13.7. Однородные КИХ-фильтры…………………….……..68
2.13.8. Расчёт однородного КИХ-фильтра………………..….69
2.14. Фильтры с бесконечной импульсной импульсной
характеристикой-БИХ-фильтры………………….……….……..…74
2.14.1. Биквадратный блок………………….…………………...77
2.14.2. Частотная характеристика БИХ-фильтра………………79
2.14.3. Аналоговые фильтры-прототипы………………………..79
2.14.4. Расчёт БИХ-фильтров…………………...….……………81
2.15. Метод линейного предсказания…………….………………..82
2.16. Цифровая коррекция каналов…………………………………..84
2.16.1. Коррекция частотной характеристики канала связи
гармононическим корректором……………...…..92
Литература…………………………………………………………103
3
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время по любому вопросу цифровой обработки сигналов
(ЦОС) можно найти большое
число литературных источников как
печатных, так и интернет-изданий. Каждый год появляются новые работы.
Однако многие вопросы (в частности, расчёты цифровых фильтров,
корректоров и т.п.) трактуются разными авторами с разных позиций и
часто остаются непонятыми обучаемыми. И хотя
литературы
отечественной и переводной издаётся и существует много, выбрать
необходимую для освоения основ дисциплины ”Цифровая обработка
сигналов”
непросто.
В 30-80 годах прошлого века, когда шло
теоретическое обоснование основных методов и принципов ЦОС, был
издан ряд фундаментальных монографий и справочников, которые будучи
интересными для специалистов-теоретиков, сейчас мало понятны
широкому кругу обучаемых, для которых цифровая обработка сигналов не
являлся профилирующим предметом. Да и большинство из вышедших в то
время книг стали сейчас библиографической редкостью. Позже, в 90-х
годах прошлого и первом десятилетии текущего столетия появилось ряд
изданий, где авторы стремились отразить все стороны и направления
дисциплины. Книги, как правило,
получались большими по объёму,
перегруженными разноплановым материалом, дорогими по стоимости и
поэтому мало востребованными основной массой обучаемых. Авторы
зачастую много внимания уделяли
своим наработкам и в этом был
главный недостаток этих изданий. Существовало и ещё одно направление:
печатались работы, посвященные отдельным вопросам предмета, из
которых не создавалась связная картина дисциплины в целом. Сейчас, на
наш взгляд, назрела необходимость иметь ряд изданий типа справочников
по основным вопросам науки, снабжённых примерами, которые легко
повторить на компьютере без знания основ программирования. Это
послужит базой для освоения основ цифровой обработки сигналов. Такой
попыткой и является настоящее учебно-методическое пособие.
В работе основной упор сделан на конволюционных методах обработки
периодических последовательностей
двоичных
прямоугольных
импульсов,
которые
бесчисленными
цифровыми
устройствами
обрабатываются в реальном времени. Это и понятно.
Периодические
последовательности
прямоугольных
импульсов
различной длины и конфигурации завоевали мир. В виде блоков,
суперблоков, пакетов, кадров, фрэймов, слайсов, потоков они в настоящее
время составляют основу большинства новых и высоких цифровых
мультимедийных технологий. Их записывают и хранят на магнитных и
лазерных дисках, они циркулируют на материнских платах миллиардов
персональных компьютеров, мобильных телефонов, в сетях Интернет и
цифровых устройствах с такими экзотическими названиями как WI-FI, WI4
MAX, LTE и т.п. В периодические последовательности переводится видео-,
аудио- и символьная информация, данные измерительных приборов и
датчиков
различных
устройств.
Указанные
периодические
последовательности предварительно надо сформировать с сохранением всей
информативности данных, уметь переносить и хранить заданное время на
существующих носителях, передавать по различным каналам связи, сжимать
и распаковывать,защищать от помех и ошибок. Чтобы делать это
эффективно, необходим знать их амплитудно- и фазочастотные
характеристики, уметь усиливать, фильтровать, корректировать взаимные и
внешние помехи, сжимать без потери и с потерей информации,
обмениваться с абонентами в реальном времени. Все эти вопросы
составляют основу цифровой обработки сигналов, её методов, алгоритмов и
математического аппарата, Задача заключается в том, чтобы первоначальные
сведения донести до обучаемых с иллюстрацией на конкретных простых
примерах. Приведенные в Учебно-методическом пособии примеры легко
повторить на компьютере без предварительного знания языков
программирования в системе Mathcad. На используемые в пособии
материалы различных авторов даются ссылки.
I. ОСНОВЫ ЦИФРОВОй ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Принципы модуляции гармонических сигналов
1.1.
Полезная информация, которую надо передать или хранить, закладывается
в изменении параметров несущих сигналов. Для гармонических сигналов
этот процесс называется модуляцией, а для дискретных-манипуляцией.
Xi(t)
Непрерывный гармонический сигнал описывается выражением
x(t ) A cos(t ) .
где А – амплитуда, f – частота в Гц. φ – начальная фаза,
ω = 2π • f– угловая частота (рад/с), T = 1/f = 2π/ω-период сигнала.
a
f
Z
-a
Tн
1. Амплитудномодулированный сигнала (АМ-сигнал)
XАМ (t) = A(ω) • cos(ω t + φ)
A(ω) = A(0) • [1+m • f(t)],
m – глубина модуляции, m=0..1,
ω (t) – модулирующая функция, │ ω (t)│≤1.
5
f(t)
t
a0
Xам(t)
t
-a0
f(t)
2. Частотномодулированный сигнал ( ЧМ-сигнал)
XЧМ (t) = A • cos(ω (t) • t + φ)
где: ω (t) = ω • [1+Δ ω /ω0 ω (t)],
ω0 – несущая частота, Δω – девиация
Δω /ω0 – глубина модуляции (ω <<1)
X2n(f)
t
a
t
-a
3. Фазомодулированный сигнал (ФМ-сигнал)
XФМ (t) = А • cos(ωt + φ(t))
где: φ(t) = φ0+Δφ • ω(t)
Δφ – прирощение фазы
a
t
-a
1.2. Способы дискретизации непрерывных сигналов
Дискретизация непрерывных плоских сигналов может производиться по
амплитуде, по времени и по амплитуде и по времени одновременно.
Основным недостатком аналоговых сигналов является то, что в процессе
реализации они приобретают бесконечное количество значений-континуум
значений-на интервале от минимума до своего максимума. Дискретные и в
частности цифровые сигналы принимают лишь два значения 0 и 1 или -1 и 1
и в результате помехозащищённость их значительно выше.
Периодические гармонические сигналы, которые называют плоскими
сигналами, могут быть дискретизированы по амплитуде и тогда они
называются дискретно-непрерывными, либо по времени и тогда они носят
название непрерывно-дискретные, либо и по амплитуде и по времени и тогда
их называют дискретными.
Амплитудное значение сигнала, попадающее в тот или иной интервал в
принятых стандартах дискретизации сигналов принято описывать
двоичными кодами длиной n=8, 10, 12, 20, 24 двоичных единиц или битов.
Закодированные дискретные сигналы называются цифровыми. Ясно, что
длина двоичной последовательности однозначно определяет количество
дискретов, на которые делится возможный интервал всех значений
аналогового сигнала, начиная от минимума и кончая максимумом. Общее
6
число интервалов составляет Int=2n. При n=8 величина Int=256, а при n=12
Int= 4096. Нивелирование сигналов по уровням дискретизации приводит к
шумам квантования, которые тем меньше, чем больше используется уровней
дискретизации. Ниже (рис.1.1) приводятся примеры различного вида
дискретизации аналогового периодического сигнала.
Пример 1.1.
Äèñêðåòíî-íåïðåðûâíûé ñèãíàë
s( t )
s( t )
1
A cos ( t
)
16
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
10
5
0
t
5
10
Íåïðåðûâíî-äèñêðåòíûé ñèãíàë
s( t )
1
A cos ( t
)
16
1
s( t )
0
1
t
7
Äèñêðåòíûé (öèôðîâîé) ñèãíàë
s( t )
s( t )
1
A cos ( t
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
)
16
t
Рис.1.1. Виды дискретизации аналоговых сигналов
1.3. Формула Эйлера
Формула Леонарда Эйлера позволяет перейти к показательной форме ряда
Фурье.
Сигналы, с которыми приходится иметь дело в ЦОС, обычно имеют значения
из области действительных чисел. Однако математические выражения для
ряда Фурье в комплексной форме намного проще и на практике постоянно
приходится иметь дело с комплексными числами.
Число вида z=a+jb называется комплексным, если в нём a и b любые
действительные числа, а j 1 -мнимая единица. Комплексное число
включает в себя действительную часть a=Re(z) и мнимую часть b=Im(z).
На плоскости комплексное число удобно представить на окружности с
радиусом z, имеющей декартовы координаты: действительную ось 0x и
мнимую ось 0y.
2
2
Значение модуля комплексного числа представляется как z a b , а
аргумент – это угол между вектором z и осью абсцис: φ=arctg(b/a). Два
числа z=a+jb и z=a-jb называются комплексно-сопряженными. Ось абсцисс
является действительной, а ось ординат – мнимой осью. Размещение
комплексного числа в виде вектора в комплексной форме представлено на
рис. 1.2.
Im
z
b
φ
φ a
z=a-jb
Re
b
z
8
Рис.1.2. Графическое представление двух комплексных
взаимно-сопряженных чисел
Как видно из рис.12, комплексное число можно представить кроме
алгебраической, также тригонометрической формой следующим образом:
Z=a+jb=zcos φ+jzsin φ=z(cos φ+jsin φ)
На основании тригонометрической формы комплексного числа возможен
переход к его показательной форме и формуле Эйлера.
Это легко выполнить, если тригонометрические функции sinx, cosx и
экспоненту exp(jx) представить их разложением в бесконечными
сходящимися рядами и сравнить полученные результаты:
exp( jx) cos x j sin x
2
4
6
8
2!
4!
6!
8!
3
5
7
9
3!
5!
7!
9!
cos x 1 x x x x
sin x x
1
e
jx
1
1 x
2
2!
jx
1!
x x x x
2
( jx)
2!
4
6
4!
6!
x x
3
8
x
8!
( j x)
3!
...;
...;
4
( jx)
4!
...
3
5
7
3!
5!
7!
... j ( x x x x
x
9
9!
...) cos x j sin x
На основании формулы Эйлера тригонометрические функции записываются
как:
cos x 0.5[exp( jx) exp( jx)
sin x 0.5 j[exp( jx) exp( jx)
Отметим, что функции exp(jkx) и exp(-jkx) являются сопряженными.
1.4. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье
В 1822г. французский инженер и математик Жан Батист Жозеф Фурье
(1768-1830) обобщил результаты, полученные для волнового уравнения,
показав, что произвольную периодическую функцию, которая в самом общем
виде представляется как s(t)=Acos(ωt+φ), где А-амплитуда, ω-круговая
частота и φ-начальная фаза, даже имеющую конечное число разрывов
первого рода, можно представить бесконечной дискретной суммой
периодических тригонометрических функций в ортонормированном базисе.
Периодические сигналы, описываемые периодическими функциями [15],
могут быть разложены в ряд Фурье, если они отвечают условиям Дирихле :
9
Не должно быть разрывов второго рода с ветвями, уходящими в
бесконечность.
Число скачков разлагаемой в ряд Фурье функции (разрывов второго рода)
должно быть конечным.
Число экстремумов функции на интервале её определения должно быть
конечным.
Может использоваться несколько базисных функций в представлении ряда
Фурье, где одна форма вытекает из другой.
- Синус-косинусная форма ряда Фурье
s(t )
a (
a
2
0
k 1
k
* cos( kt ) bk * sin( kt )),
(1 .1 )
0.5T
a
k
2
* s (t ) * cos( kt )dt ,
T 0.5T
(1 . 2 )
s(t ) * sin( kt )dt ,
2
*
T 0.5T
(1 .3 )
0.5T
b
k
s(t ) * dt ,
1
2
*
2 T 0.5T
T
a
0.5T
0
Здесь s(t)-разлагаемая в ряд Фурье периодическая функция. Если s(t)
функция чётная, то коэффициенты bk в формуле ряда Фурье будут
нулевыми, а при нечётной функции s(t) нулевыми будут коэффициенты ak.
- Косинусная форма ряда Фурье
На основании представленных ниже тригонометрических преобразований
1
* (sin( x y ) sin( x y ))
2
.
1
cos x sin y * (cos( x y ) cos( x y ))
2
sin x cos y
для определения коэффициентов Фурье можно получить более простую
формулу, в которой используется лишь функция косинуса либо синуса, но в
аргументе кроме круговой частоты появляется вторая переменная-фазовый
сдвиг. В результате имеем вторую форму ряда Фурье
s(t )
a cos(kt ).
A
2
0
k 1
k
k
(1.4)
- Третья форма ряда Фурье получается посредством замены косинуса его
экспоненциальными эквивалентами по формуле Леонарда Эйлера:
cos x
1
* [exp( jx) exp( jx)
2
Откуда:
s (t )
1
1
* a0 * Ak * (exp( jkt j ) exp( jkt j )),
k
k
2
k 1 2
(1.5)
В выражении (1.5) проделаем следующие преобразования: для второго
слаемого перейдём от единичного нижнего предела суммы к пределу ”минус
10
бесконечность” и вынесем за скобки множитель exp( k ) , после чего
введём обозначение
C
k
1
j k k
*
*
. Тогда выражение (1.5) окончательно
2 Ak e
примет вид:
s (t )
C e
k
jkt
k
(1.6)
.
Комплексные коэффициенты Ck определяются как
C
k
a
k
2
j bk .
2
Справедливо и обратное к (1.6) выражение для нахождения коэффициентов
Ck:
T /2
C
k
1
jkt
* s(t ) e
.dt
T T / 2
(1.7)
Совокупность
амплитуд частот ряда Фурье носит название
амплитудночастотного спектра сигнала, а их фазовый сдвиг- фазочастотного
спектра сигнала .
Пример 1.2. Разложение в ряд Фурье последовательности прямоугольных
импульсов с периодом T1, амплитудой A и длительностью каждого импульса
τ (рис.1.3):
τ
A
T
Рис.1.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Прямоугольный импульс является четной функцией, поэтому для его
разложения удобно пользоваться синусно-косинусным представлением ряда
Фурье (1.1), в котором будут присутствовать только косинусные
составляющие сомножителей а(k) формулы:
2
2k
2A
k
ak T * A cos( T * t )dt k * sin( T ),
0.5T
0.5T
(1.8)
Обозначим отношение периода T
последовательности к длине
прямоугольного импульса τ, (так называемую скважность), как q=T/τ. Тогда
коэффициенты разложения последовательности прямоугольных импульсов
можно представить следующим образом (1.9):
a
k
2A
k
2 A sin( k / q)
* sin(
)
*
.
k
q
q
k / q
(1.9)
Постоянная составляющая ряда а0 равна и a0=(2A/q)=Aτ/T.
Таким образом, разложение Фурье периодической последовательности
прямоугольных импульсов в ряд Фурье имеет вид:
11
s (t )
A 2A
2
*sin(
) * cos(
)t.
q k 1
q
T
(1.10)
1.5. Формулы Фурье-преобразования
Переход от формул разложения функций в ряд Фурье к формулам Фурьепреобразования позволяет применить их к нахождению спектра одиночного
сигнала
произвольной формы, если он описывается интегрируемой
функцией.
Разложение в ряд Фурье последовательности прямоугольных импульсов с
периодом T1, амплитудой A и длительностью каждого импульса τ позволяет
получить спектр периодической последовательности
прямоугольных
сигналов, который описывается непрерывной периодической функцией
siсα=sinα/α. Спектр имеет один главный лепесток и бесконечное количество
аналогичных по форме и постоянно уменьшающихся по амплитуде боковых
лепестков, которые образуют уменьшающиеся по размеру амплитуды
синусоид с увеличивающейся по закону натурального ряда чисел частотой.
Число частот в каждом из бесконечного ряда лепестков одинаково. Спектр
характеризуется тремя равенствами; 2π/Т-расстоянием между соседними
боковыми лепестками, 2π/T-расстоянием между соседними частотами во
всех лепестках, Aτ/T-максимальное значение амплитуды частоты в главном
лепестке. Здесь А-амплитуда, τ-ширина прямоугольного импульса в
периодической последовательности, Т-период последовательности.
На рисунке видно, что при увеличении периода импульсов Т в два раза
расстояние между лепестками не меняется, количество синусоид в каждом
лепестке удваивается, а амплитуды их уменьшаются. Тогда, если устремить
период последовательности к бесконечности, в ней останется всего один
импульс, а его спектре вместо счетного
Aτ/T1
A
2π/T1
τ
t
T1
0
Aτ/T2
T2
τ
2π/τ
2π/T2
t
2π/τ
12
Рис.1.4. Изменение спектра последовательности прямоугольных
импульсов при двукратном увеличении их периода
дискретного количества частотных составляющих образует аморфное
частотное образование, составляющее частотную плотность. Тогда в
формуле ряда Фурье операцию суммирования можно заменить
интегрированием по времени и получить
формулу прямого Фурье-преобразования. По этой формуле находится спектр
одиночного сигнала:
S ( j )
j t
s(t ) e
dt
(1.11)
Вид формулы прямого Фурье-преобразования позволяет написать почти
аналогичную по виду формулу обратного Фурье-преобразования, которая
по комплексному спектру сигнала позволяет находить его описание во
временной
области:
1
jt
s (t )
* s (t ) e d
2
.
(1.12)
Во втором выражении перед интегралом в качестве сомножителя
используется величина обратная периоду сигнала в общем случае 2π.
1.6. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье
Ниже приводятся примеры расчёта по формуле прямого Фурьепреобразования спектров одиночного прямоугольного, симметричного
треугольного и экспоненциального гауссова импульсов. За исключением
гауссова импульса спектры остальных импульсов периодические и имеют
основной и боковые лепестки.
1. Спектр прямоугольного импульса
Прямоугольный
импульс
является
чётной
функцией,
поэтому
коэффициентами его разложения являются синусоидальные компоненты.
Описание импульса
s(t)
s (t )
A, t / 2
0, t / 2
A
A
-t/2
t/2
Рис. 1.5. Прямоугольный импульс и его описание
13
Спектр прямоугольного импульса описывается формулой
S ( j )
/2
jt
A e
dt
/2
sin( / 2)
* sin
A *
/ 2
2
2A
Характер аплитудночастотного и фазочастотного спектров прямоугольного
импульса имеют вид:
At
S(jω)
S(jω)
2π /t
ω
4π /t 6π /t 0 2π/t 4π /t 6π /t
ω
0
Рис. 1.6. Характер амплитудно- и фазочастотного спектров
прямоугольного импульса
Спектр одиночного прямоугольного импульса имеет много общего со
спектром последовательности прямоугольных импульсов: его вид
описывается такой же функцией sicα=sinα/α, расстояние между соседними
боковыми лепестками 2π/t, амплитуда основного лепестка At, где Аамплитуда импульса, а t–его ширина. Значение фазы спектра в зависимости
от знака функции sicα меняется от 0 до π. При ω<0 спектр имеет значение
– π, а при ω >0 спектр равен π.
2. Треугольный симметричный импульс
Описание и спектр треугольного симметричного импульса
s(t)
14
A
t
A1 , t T ,
T
s (t )
0, t T
t
-T
0
T
Рис. 1.7. Треугольный симметричный импульс и его описание
Спектр треугольного импульса описывается формулой
t jt
(T / 2)
S ( j ) A1 e dt AT * sin
2
T
T
(T / 2)
2
T
Характер амплитудночастотного спектра треугольного импульса:
S(jω)
AT
ωT
2π 4π
π
0
Рис. 1.8. Характер амплитудночастотного спектра
прямоугольного импульса
3. Экспоненциальный гауссов импульс
Описание импульса
2 2
s (t ) A exp( a t ) ,.
Коэффициенты спектрального разложения
S ( j )
jt
A exp( a t ) e
2
2
A
dt
* exp( 2 )
a
4a
2
Экспоненциальный гауссов импульс имеет бесконечную протяженность и
спектр его бесконечный. Спектр имеет один главный лепесток и боковых
лепестков не имеет. Это свойство позволило использовать его для
сглаживания перепадов на π/2 фазовой функции в системах мобильной связи.
Рассмотренные особенности иллюстрируют три примера 1.2,
выполненные в среде Matcad [9]. Пример 1.2
15
S( f )
0.01
A
5
1 1000
f
sin ( f )
A
f
0.05
0.037
0.023
S( f )
0.01
0.00333
0.017
0
200
400
f
600
800
1000
Ïðèìåð 2. Ñïåêòð òðåóãîëüíîãî èìïóëüñà
.
S( f )
2
( sin ( f T ) )
A T
fT
0.05
0.037
0.023
S( f )
0.01
0.00333
0.017
0
100
200
f
300
400
500
Ïðèìåð 3. Ñïåêòð ýêñïîíåíöèàëüíîãî (ãàóññîâà) èìïóëüñà
a
5
A
8
16
f
1 500
Ïðèìåð 3. Ñïåêòð ýêñïîíåíöèàëüíîãî (ãàóññîâà) èìïóëüñà
a
5
A
A
exp
a
S( f )
8
f
1 500
2
( 2 f )
4a
2
2
1.6
1.2
S( f )
0.8
0.4
0
0
1
2
3
4
5
f
1.7. Свойства спектров дискретных сигналов
Ниже без доказательств сформулированы основные свойства спектров
дискретных сигналов, вытекающие из формул Фурье-преобразования
(доказательства их можно найти в разных учебниках).
Линейность
s (t ) af (t ) bg (t ),
S ( ) aF ( ) bG ( ).
2. Задержка на время τ эквивалентна умножению его спектра на экспоненту
j
e
s(t ) f (t ),
S ( )
jt
f (t ) * e
j
F ( ) e
j ( t )
dt f (t ) * e
j
d (t ) e
.
3. Изменение масштаба сигнала по оси времени
s (t ) f (at ),
1
S ( ) * F ( ).
a
a
4. Дифференцирование сигнала
s (t )
df
jF ). .
dt
5. Интегрирование сигнала (без постоянной составляющей)
S ( )
F ( )
..
j
6. Cпектр свертки сигналов
17
s ( )
f (t ) g (t )d .
F ( )G ( ).
7. Cвязь между энергией (дискретного) сигнала во временной и частотной
области (теорема Парсеваля)
x(nT )
n 0
2
/T
T
*
2 / T
X ( j)
.
В последнем выражении Т-период дискретизации аналогового
сигнала.
1.8. Теорема Найквиста и нормированная частота
Теорема Гарри Найквиста устанавливает начальную граничную
частоту дискретизации аналогового сигнала, чтобы по дискретным
выборкам его можно было восстановить без потерь.
Конечная последовательность двоичных сигналов как правило имеет
конечный спектр. Если это не так, на передающем конце ставится
высокочастотный фильтр для ограничения ширины спектра. В 1928 г.
американский физик Гарри Найквист сформулировал теорему, согласно
которой для точного восстановления по частотным выборкам частота
дискретизации должна быть по крайней мере в два раза выше самой высокой
частоты присутствующей в спектре сигнала. Эта граничная частота
дискретизации получила название частоты Найквиста. Для гармонического
сигнала здесь могут представиться три случая:
1. Частота дискретизации меньше частоты Найквиста. Точное
восстановление сигнала в первоначальном виде становится невозможным.
Появляются дополнительные частоты, которых не было в спектре исходного
сигнала. Это явление носит название ”алиасинг”.
2. Частота дискретизации равна частоте Найквиста. Сигнал может быть
восстановлен в первоначальном виде, но амплитуда и фаза его могут быть
искажены.
3. Частота дискретизации больше частоты Найквиста. Аналоговый
гармонический сигнал по его дискретным выборкам восстановливается без
искажений. Эти три случая иллюстрирует пример 1.3.
Текущая частота спектра отнесённая к частоте Найквиста называется
нормированной и обозначается как w. Нормированная частота всегда лежит в
интервале [0,..,0.5].
эта относительная нормировуанная частота всегда будет находиться в
пределах w=0…0.5:
w
текущая _ частота _ аналогового _ сигнала
0...0.5.
частота _ дискретизации _ Найквиста
18
Такой подход позволяет частотный спектр аналоговых сигналов изучать в
постоянном интервале w=0..0.5.
Например, имеются два периодических сигнала описываются функциями
g(t)=Asin(2πF1(1))t и x(t)=Bcos(2πF2(1))t, причем текущая частота первого
сигнала F1(1)=40Гц, а второго F2(1)=1000Гц. Верхняя частота первого
сигнала
F1(max)=200Гц и второго F2(max)=5000Гц. Нормированная
относительная частота обоих сигналов одинакова и равна w=0.1, что легко
проверить.
1.9. Теорема Котельникова: восстановление сигнала по его дискретным
выборкам
Теорема Найквиста устанавливает нижнюю граничную частоту
дискретизации и получения выборок аналогового сигнала на основании
которой аналоговый сигнал может быть восстановлен без потерь по своим
выборкам. Теорема В.А. Котельникова 1933 г. даёт теоретическую
формулу, по которой аналоговый сигнал восстанавливается на временном
интервале.
Теорема В.А. Котельникова. Любую функцию f, состоящую из частот от 0
до f(max) включительно, можно передавать с любой степенью точности при
помощи чисел, следующих друг за другом через интервалы времени
1/2f(max) секунд.
Пример 1.3.
19
×àñòîòà äèñêðåòèçàöèè ìåíüøå ìàêñèìàëüíîé
i
s ( i)
0 0.1 60
0 3 60
j
sin ( i )
h( j)
0.5
)
sin ( j
1.1
s( i )
0
h( j )
1.1
0
6
12
18
24
30
ij
×àñòîòà äèñêðåòèçàöèè ðàâíà ìàêñèìàëüíîé
i
s ( i)
0 0.1 60
0 1 60
j
sin ( i )
h( j)
0.5
)
sin ( j
1.1
s( i )
0
h( j )
1.1
0
6
12
18
24
30
ij
×àñòîòà äèñêðåòèçàöèè áîëüøå ìàêñèìàëüíîé
i
s ( i)
0 0.2 60
0 0.1 60
j
sin ( i)
h ( j)
)
sin ( j
1.1
s( i )
h( j )
0
1.1
0
6
12
18
ij
20
24
30
Доказательство (по А.А.Харкевичу, [20]). Применим формулы прямого и
обратного преобразования Фурье:
S ( )
jt
f (t ) * e
dt ,
1
jt
f (t )
* S ( ) * e d .
2
В рассматриваемом частном случае ограниченного спектра
ω(max)=2πf(max) и первое выражение прямого Фурье-преобразования
примет вид:
(max)
f (t )
1
jt
* S ( ) * e d ,
2 (max)
(1.13)
Поскольку частотный спектр за пределами f(max) S(ω)=0, то саму функцию
S(ω) на интервале [ (max), (max)] . по частотам также можно разложить в
ряд Фурье:
S ( )
Dk * e
jk
(max)
.
k
В этом разложении удвоенный конечный спектр 2 (max) играет роль
периода по частоте. Отсчёты функции D k находятся по формуле обратного
Фурье-преобразования
Здесь D(ω)-ограниченное значением f(max) прямое преобразование Фурье:
частотная функция исходного сигнала. Эта функция с частотой
дискретизации Т точно так же может быть разложена в ряд Фурье (по
формуле прямого преобразования):
(max)
D
k
1
jk
* S ( ) * e (max) d. (1.14)
2 (max) (max)
Подставляя формулу b) в a) последнее выражение в аналогичную
формулу прямого преобразования Фурье и меняя порядок выполнения
операций, получаем:
(max)
1
jk
jt
f (t ) :
* ( Dk e (max) ) e d ,.
2 k (max)
После изменения порядка суммирования и интегрирования получим
f (t )
1
j ( t k
)
(max) d
* Dk * e
2
(max)
После интегрирования это выражение имеет вид:
f (t )
1
* Dk *
sin( (max))( t / (max)
.
(t / (max)
D имеют смысл частотных выборок на временной оси
D f (kT ). :
D (max) * f (k (max) ) t * f (kt ) .
(1.15)
k
k
Подставляя
Котельникова:
k
D
k
(1.16)
в формулу с), получим окончательный вид формулы
21
t kT
)
T
f (t ) f (kT ) *
.
t kT
k
( *
)
T
sin( *
(1.17)
Из последней формулы
вытекает основное свойство сигнала с
ограниченным спектром: он бесконечен во времени, спектр каждой выборки
является
произведением
функции
sicα=sinα/α
умноженной
на
масштабирующий множитель f(kT).
1.10. Дельта-функция и белый шум
В цифровой обработке сигналов широко используются свойства
специального δ –импульса, частотный спектр которого равномерный и
бесконечный
похож на спектр белого шума, но за счёт фазовых
особенностей имеет принципиальные отличия.
По определению δ –функция (δ-импульс)– это очень короткий
прямоугольный импульс, ширина которого равна τ, а высота 1/τ. При τ→0
площадь δ-импульса равна 1. Высота импульса стремится к бесконечности, а
ширина τ к 0. В этом случае для δ –функции справедливы следующие
равенства:
(t )
:t 0
0 : t 0.
(1.18)
(t )dt 1.
(t ) f (t )dt f ( ) (t )dt f ( ).
(1.19)
Из последнего соотношения следует, следует, что δ-функция в нулевой
точке обладает фильтрующим свойством, позволяющим выбрать в ней
значение сигнала f(τ).
Если δ-функции равномерно разместить на временной оси через
интервалы времени Т – интервалы дискретизации Найквиста – то можно
найти спектр уже периодической δ-функции, разложив ее в степенной ряд
Фурье. Поскольку спектр δ-функции единичный, а интервал ее повторения
равен Т, ряд Фурье на интервале периода дискретизации равен частоте
дискретизации f(T)=1/T. Получаются следующие закономерности:
(t )
(t kT ),
n
T /2
1
1
jt
S ( (kT )) * (t ) * e dt .
T T / 2
T
(1.20)
Следовательно,
периодическая
последовательность
сдвинутых на шаг дискретизации, ω=2πn/T, имеет вид:
22
δ-функций,
1
(t kT ) T * e
n
jt
.
(1.21)
n
Формула (1.18) показывает, что по всему бесконечному частотному
спектру амплитуды всех частот δ –импульса одинаковы и сам частотный
спектр равен 1. Фазы же всех частот строго упорядочены, поскольку все они
начинаются в начале координат гдедля δ(τ) τ=0. Если же на временной оси
фазы частотного спектра короткого прямоугольного сигнала эквивалентного
δ-импульсу неупорядочены, случайны, беспорядочны, получается белый
шум. Благодаря такому свойству фаз частотного спектра спектр δ-импульса
и белый шум – два абсолютно разных физических явления.
1.11. Связь спектров дискретизированных и аналоговых сигналов
Спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный
ряд копий спектров аналогового сигнала, сдвинутых на частоту
дискретизации d .
Этот результат получается из формулы прямого и обратного Фурьепреобразования Доказательство приведено в [18].
jt
X a ( j ) xa (t ) e
dt ,
xa (t )
0
1
2
X ( j ) e
jt
a
d .
После замены функции времени для аналогового сигнала его отсчётами с
периодом дискретизации Т t nT имеем:
1
x(nT )
2
X ( j ) e
jnT
a
d
(1.22)
На периоде 2π будет счётное множество интервалов дискретизации
2
T
и для каждого очередного периода mТ справедлива формула обратного
Фурье-преобразования при условии, что число периодов m бесконечно.
Тогда интеграл можно заменить бесконечной суммой периодов и формула
обратного Фурье-преобразования для дискретизированного сигнала примет
вид:
x(nT )
1
2
m
( 2 m 1)
T
X ( j) e
a
( 2 m 1)
jnT
d
(1.23)
T
m-номер интервала
2
. Вычисление интеграла
T
( 2 m 1)
T
с переменными
( 2 m 1)
T
от m пределами можно заменить вычислением интеграла с постоянными
пределами
T
,
но
зависимой
T
23
от
m
подинтегральной
функцией
X
m
n
2
( j ( m T ) ,которая соответствует спектру сдвинутому по оси частот на
2
, где m 0,1,2,3... . Поэтому последнее равенство можно переписать
T
как:
x(nT )
1
2
T
X
m
a
2 jnT
j ( m T ) e d .
T
После перемены порядка суммирования и интегрирования получается:
1
x(nT )
2
T
X
T
m
a
2 jnT
j ( m T ) e d .
(1.24)
Если последнему выражению поставить в соответствие прямое
преобразование Фурье, можно найти соответствие между спектром
аналогового и дискретного преобразования Фурье:
X ( j )
1
2 jnT
j ( m ) e
.
X
a
T m
T
(1.25)
Из последнего выражения видно, что спектр дискретного сигнала равен
сумме спектров аналогового сигнала сдвинутых на интервал дискретизации и
умноженных на константу 1/T. Отсюда следует, что спектр аналогового
сигнала можно получить на выходе фильтра нижних частот на интервале
одного периода дискретизации. Вид спектра дискретизированного сигнала
показан на рис. 1.9.
S(ω)
1
-ω/2
0
2
3
ω/2
ω
Рис.1.9. Спектр дискретизированного сигнала
1.12. Примеры дискретизированных сигналов
В общем случае
дискретизированный во времени сигналявляется
произвольным по величине и на временной оси представлятся решётчатой
функцией.
Обычно при представлении сигнала рядом Фурье в комплексной форме
находится его комплексный частотный спектр. Амплитудночастотный
спектр сигнала находится как модуль, а фазочастотный спектр как
аргумент комплексночастотного спектра.
24
Числовые
значения
решетчатого
сигнала
записываются
последовательностью действительных или комплексных чисел как вектор на
каждом временном интервале Т, являющимся периодом дискретизации.
Типичными дискретными импульсами являются:
1. Цифровой единичный импульс, описываемый как
( n)
1, n 0
. n-натуральный ряд чисел.
0, n 0
2. Цифровой единичный скачок
1(n)
1, n 0
.
0, n 0
1
0
3.Дискретная синусоида
X(n)=Asin(2fTn)
A-амплитуда, f-частота, T-период дискретизации, n-натуральный ряд.
X(n)
5
1
2
6
7
3 4
Рис. 1.10. Дискретная синусоида
Если комплексночастотный спектр представлен комплексными числами
в алгебраической форме zk ak j bk , то амплитуды составляющих
компонент находятся
25
Ôîðìèðîâàíèå ñèãíàëà "..00111100.."
i
s0i
0
0 15
s06 1
j 0 8
s07 1
s08
1
s09
1
1.2
0.73
s0
i
0.27
0.2
i
Âû÷èñëåíèå ñïåêòðà ñèãíàëà
S0
fft ( s0 )
1
S0
j
0
S0
j
0.5
0
0
1
2
3
4
j
5
6
7
8
Êîìïëåêñíûé ÷àñòîòíûé ñïåêòð, àìïëèòóäíîè ôàçî÷àñòîòíûé ñïåêòð ñèãíàëà
S0j
1
arg S00 0
1
0.889 0.177i
arg S01 2.945
0.906
0.604 0.25i
0.653
0.265 0.177i
arg S02 0.393
0.318
S0 0
0
arg S03 2.553
0.118 0.177i
0.213
0.271
0.104 0.25i
arg S06 1.963
0.18
0.035 0.177i
0
0
arg S07 1.374
26
Âûäåëåíèå ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ
k
1
1
0.75
0.5
0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
s1
i
0
k
if j k S0j 0
S1j
s1
ifft ( S1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415
i
2
if j k S0j 0
S1j
s1
ifft ( S1 )
k
3
S3j
if j k S0j 0
s3
ifft ( S3 )
k
5
S5j
if j k S0j 0
s5
ifft ( S5 )
1
0.75
s1
i
s3
i
0.5
0.25
0
s5
i
0
0.25
0.5
0.75
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
i
27
9 10 11 12 13 14 15
Ôîðìèðîâàíèå
ñèãíàëà èç íåñêîëüêèõ ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ
k
3
S2j
if j k S0j 0
s2
ifft ( S2 )
k
5
S5j
if j k S0j 0
s5
ifft ( S5 )
k
8
S8j
if j k S0j 0
s8
ifft ( S8 )
1.5
1.25
s0
s2
s5
1
i
0.75
i
0.5
i
0.25
s8
i
0
0.25
0.5
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
i
Рис. 1.11. Прямое и обратное разложение дискретного сигнала в ряд Фурье.
Нахождение комплексночастотного, амплитудно- и фазочастотного
спектров
как
A
k
a b
2
2
k
k
.
а
фазы
как
k
arctg bk .
a
Нахождение
k
комплексночастотного спектра и его составляющих: амплитудно- и
фазочастотных характеристик покажем на примере рис. 1,11 выполненном в
среде Mathcad и представленном ниже. В этом конкретном случае сигнал
образован шестнадцатью игольчатыми одиночными импульсами, четыре из
которых единичные и образуют прямоугольный импульс. Вначале с
помощью прямого разложения Фурье получен его двухлепестковый спектр,
28
для которого ниже с помощью встроенных функций Mathcad получены в
численном виде
значения комплексных частот, а также амплитудно- и фазочастотный спектр.
Отдельные частоты с периодом кратным k=1, 2, 3, 5 основной частоте
показаны на следующих двух графиках. На нижнем графике показано
восстановление исходного сигнала с помощью обратного преобразования
Фурье по k=3, 5, 8 компонентам (синусоидам) и имеющее место при этом
искажение восстаноленного сигнала. При k=8 и больше искажений
восстановленного сигнала не наблюдается.
1.13. Ортогональный и ортонормированный базис
Особые свойства преобразования Фурье объясняются системой базисных
функции, по которым производится разложение сигнала при переходе от
временной области к частотной и обратно. Эта система образует
ортогональный или ортонормированный базис.
В формуле ряда Фурье сигнал для каждой частоты из бесконечного их
ряда раскладывается по синус-косинусным компонентам. Нормой
разложения сигнала по каждой из частоте f k является выражение
f
k
sin( kt) cos(kt)
2
2
1
Такой базис, состоящий из взаимноперпендикулярных векторов, называется
ортогональным. Если в базисе все векторы, по которым производится
разложение функции или векторов сигнала единичны, то
Базис является ортономированным. В частности, для многомерного сигнала
многомерный δ-импульс образует ортонормированный базис N-мерного
пространства:
mn
0, m n
1, m n
(1.26)
Пусть имеется система функций, составляющих систему координат, по
которым предполагается разложить сигнал во временной области.
Пусть два вектора v1 и v2 взаимноперпендикулярны и равны 1, другими
словами образуют ортонормированный базис. Пусть некоторый сигнал,
выражаемый функцией f, по каждому из направлений ортонормированного
базиса описывается набором величин-векторов c1 и c2. Эту функцию-сигнал
через векторы ортонормированного базиса можно выразить как f=c1v1+c2v2.
Коэффициенты-векторы с1 и с2 выражают величину составляющих вектора f
по направлениям c1 и c2. Два вектора c1*v1 и c2*v2 называют проекциями
вектора f. Получение проекций вектора f ортонормированного базиса проще
всего продемонстрировать на конкретных примерах.
29
3 1
1 3
, , __ v 2 ,
образуют
2
2
2
2
Пример 1.4. Показать, что два вектора v1
ортогональный базис [14].
Решение. Проделаем следующие операции:
3 1 1 3
v1, v 2 * * 0,
2 2 2 2
2
v1
3 1
2 2
2
1 3
2 2
2
1, __ v 2
2
1.
Произведение векторов равно 0, модуль каждого вектора равен 1,
следовательно, указанные векторы образуют ортонормированный базис.
3 5
Пример 1.5. Разложить вектор f , по базису (v1,v2), заданному в
2 2
примере 1.
Решение. Вектор f можно представить как f=c1v1+c2v2. Выполним это
представление:
3
3 5 1
*
* 2
2
2 2 2
3 1 5
3
c2 f , v2
*
*
3.
2
2 2 2
Следовательно, f 2v1 3v 2.
c1 f , v1
Если сигнал представлен большим числом своих измерений N, то
приходим к необходимости получения нормы N-мерного пространства,
которая определяется следующим образом:
f
f
2
1
f
2
2
f
2
3
...
2
f
N
N
f
2
i
(1)
Для непрерывного вектора от суммирования под знаком радикала переходят
к интегрированию. Если к тому же известен интервал всех составляющих
[a,b], норму вектора нормируют по его величине:
b
f (t )
f
a
2
b
1
(t )dt
*
b a a
f
2
(t )dt.
(1.27)
По этой же причине в формулах разложения и преобразования Фурье
используется нормирующий множитель по периоду сигнала.
Заключение. Система функций, используемая в разложении Фурье
периодических сигналов, а именно:
cos t , sin t , cos 2t , sin 2t , cos 3t , sin 3t ,..., cos nt , sin nt
обладает свойством ортогональности, а раскладываемые по системе этих
функций сигналы называются сигналами, разложенными по ортогональному
базису. Основное свойство таких сигналов заключается в том, что интеграл,
взятый от произведения любых двух функций на периоде Т=2π/ω всегда
равен 0:
30
T
T
0
0
T
cos ktdt 0; sin ktdt 0; cos kt cos ntdt 0;
0
T
T
0
0
(1.28)
cos kt sin ntdt 0; sin kt sin ntdt 0....
Свойства ортонормированного базиса широко используются в
современных связных технологиях. Например, для сжатия дискретных
сигналов может использоваться единичная ортогональная матрица, которая
при умножении на вектор или матрицу сигнала с коррелированными
элементами позволяет в первом элементе результирующего вектора или
матрицы получить главную часть описываемого сигнала. Детали сигнала
сохраняются в остальных
1 1 1 1 4 17
1 1 1 1 6 3
*
1 1 1 1 5 5
1 1 1 1 2 1
элементах. В ортонормированной единичной матрице векторное
произведение любых двух строк равняется нулю. Получателю может
передаваться первый элемент и алгебраическое среднее остальных элементов
или деталей. На приёмной стороне по этим двум цифрам в приближённом
виде однозначно восстанавливается исходный вектор-сигнал.
Другим примером использования ортогонального базиса является
модуляция в мобильной связи GSM. Модуляция представляет собой
частотную манипуляцию, при которой несущая частота дискретно через
интервалы времени Т кратные длине бита принимает значения f=f(нес)-F/4
или F=f(нес)+F/4, где F=1/T частота битовой последовательности. При этом
обеспечивается ортогональность колебаний с битами различных знаков. Сама
входящая информационная битовая последовательность делится на две
подпоследовательности с чётными и нечётными битами, которые
умножаются соответственно на синус и косинус для получения синфазных и
квадратурных сигналов, которые по определённому закону одновременно
воздейстуют на модулятор. Это позволяе сжимать спектр передаваемого
сигнала и увеличивать помехозащищённость.
Следующи примером использования ортонормированного базиса является
дискретизация квадратурных сигналов [15].
1.15. Дискретизация квадратурных сигналов
Полезные свойства ортормированных сигналов нашли широкое применение
в цифровых системах, в частности, в мобильной связи при манипуляции
сигналов.
Рассмотрим сигнал, в котором функцией времени являются амплитуда и
фаза: s(t ) A(t ) cos(t (t )). ω-несущая частота сигнала, по сравнению с
31
которой изменение амплитуды и фазы происходит значительно медленнее.
Частоту дискретизации сигнала выполним на основании алгоритма
квадратурной дискретизации, предусматривающий дополнительную его
обработку.
j ( t )
jt
Исходный сигнал можно записать, как s(t ) A(t ) e e . Информативной
является первая часть сигнала, в состав которой входит функция изменения
j ( t )
амплитуды во времени: A(t ) A(t ) e . Спектр этого комплексного сигнала
ώ<<ω частоты дискретизации исходного сигнала, однако для своей
реализации он нуждается в квадратурной дискретизации, алгоритм которой
состоит в следующем.
Входной сигнал умножается на два колебания генератора-гетеродина
несущей частоты ω, которые сдвинуты друг относительно друга на 90
градусов: cosωt и sinωt. Рассмотрим полученные преобразования:
s (t ) cos t A(t ) cos(t (t )) cos t
1
1
* A(t ) cos (t ) * A(t ) cos( 2t (t ))
2
2
1
1
* Re A(t ) * A(t ) cos( 2t (t )),
2
2
s (t ) sin t A(t ) cos(t (t )) sin t
1
1
* A(t ) sin (t ) * A(t ) cos( 2t (t ))
2
2
1
1
* Im A(t ) * A(t ) cos( 2t (t )).
2
2
(1.29)
Следовательно, для получения вещественной и мнимой частей комплексной
огибающей сигнала нужно после перемножения пропустить результаты через
фильтры нижних частот для устранения второй гармоники несущей. После
этого полученные сигналы, пропорциональные действительной и мнимой
части, подвергаются дискретизации. Такой процесс в радиотехнике
называется гетеродинированием. Оно просто реализуется аналоговыми
схемами.
cosωt
s(t)
ФН
Ч
ФН
Ч
sinωt
А
Ц
П
А
Ц
П
A(kT)
Рис. 1.12. Квадратурный детектор
1.16. Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) конечных последовательностей
даёт возможность
набор действительных или комплексных чисел,
составляющий числовой вектор, на интервале периода 2π переводить из
временной области в частотную и наоборот.
32
Формулы прямого и обратного дискретного преобразования фурье:
1
N
прямого X (k )
обратного x(n)
N 1
x ( n) e
j
2
kn
N
; (1.30)
n 0
N 1
1
N
X (k ) e
j
2
kn
N
. (1.31)
k 0
В этих формулах N- длина числового вектора или количество выборок
аналогового сигнала,
n-номер частотной компоненты спектра, k-номер
выборки аналогового сигнала или элемента вектора.
Дискретное прямое и обратное преобразование Фурье было получено для
дискретизированного периодического сигнала, представляемого решетчатой
функцией, на бесконечной временной оси и описываемого выражениями:
X ( j ) x ( n ) e
jTn
x(nT )
n 0
T
2
/T
X ( j) e
jTn
d . (1.32)
/T
Комплексную частоту можно представить через модуль и аргумент,
составляющин амплитудно- и фазочастотный спектр решетчатой функции:
X ( j ) X ( j ) e
j arg arg X 9 X ( j )
.
Пример. Вычислить спектр дискретизированного сигнала, описываемого
anT
экспоненциальной функцией x(nT ) e .
Спектральные коэффициенты представляют сумму бесконечной
геометрической прогрессии
X ( j ) e
anT
n 0
jnT
*e
e
( a j ) nT
n 0
Амплитудночастотный спектр:
X ( j )
1
( a j )T
1 e
.
(1exp(aT )*cos(T ) exp(aT )*sin(T ) .
2
2
Фазочастотный спектр:
arg( X ( j )) arctg
exp( aT ) * sin( T )
.
1 exp( aT ) * cos(T )
1.17. Переход к дискретному преобразованию Фурье
На практике в цифровой вычислительной технике конечными являются
сигналы и их выборки и спектры сигналов конечны. Переход к ДПФ
производится следующим образом [18].
Пусть непрерывная функция дискретизирована на периоде 2π с частотой
2
. Частота дискретизации как минимум в два раза больше высшей
T
частоты конечного спектра T 1 / 2 f .и в пределах образования спектра
d
сигнала
2max
max
, .временной
интервал его образования соответствует
NT , где N-количество выборок или 2 f
NT / 2 . Пусть периоду
max
max
max
33
дискретизации по времени Т соответствует период дискретизации по частоте
2 / NT .. Из последнего равенства может быть получено количество
комплексных частотных компонент при числе выборок N:
max
2 2
:
N.
T NT
После замены непрерывного спектра в формуле прямого и обратного
Фурье-преобразования для решетчатой функции его дискретными отсчётами
в точках Т получим формулу прямого дискретного преобразования Фурье
(ДПФ) для вычисления каждой из k комплексних частотных компонент:
N 1
X ( k ) x ( n) e
j
2kn
N
. k=0,1,2,…,N-1
n 0
По аналогии с прямым и обратным Фурье-преобразованием можно
написать формулу обратного дискретного преобразования Фурье для
вычисления значений каждого из n отсчётов ограниченного аналогового
сигнала с конечным спектром.
x ( n)
1
N
N 1
X (k ) e
j
2kn
N
. n=0,1,2,…,N-1
k 0
1
-нормирующий множитель, используемый для однозначного перехода от
N
прямого дискретного преобразования Фурье к обратному и наоборот.
1.18. Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства ДПФ, как и следует ожидать,
свойствами преобразования Фурье.
во многом совпадает со
1. Спектр решётчатой функции, его модуль и аргумент представляют собой
непрерывные периодические функции с периодом равным 2π./T.
2. Если последовательность отсчётов решётчатой функции описывается
вещественными функциями, то модуль спектра будет чётной функцией, а
аргумент- нечётной функцией частоты.
3. Линейность спектра
Если x(nT ) a1 x1 (nT ) a2 x2 (nT ) a3 x3 (nT ) ... .
то X ( j) a1 X 1 ( j) a2 X 2 ( j) a3 X 3 ( j) ... . .
3. Сдвиг решётчатых сигналов по оси частот
Сдвиг спектра по оси частот на величину 0 . соответствует умножению
частотного спектра на exp( j 0 nT ) , т.е. X (exp( jnT ( 0) ..
1.19. Матрица Фрэнкса
Прямое
и
обратное
дискретное
преобразование
Фурье
векторноматричным способом рассчитывается по таким же формулам,
34
как и неизвестные системы в линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Коэффициенты СЛАУ для прямого и обратного преобразования со
знаковыми модификациями и весовым коэффиентом 1/N для обратного ДПФ
даёт матрица Фрэнкса.
Дискретное преобразование Фурье представляет собой систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ), с помощью которого от вектора
дискретных отсчетов аналогового сигнала возможен однозначный переход к
их частотному преобразованию. Такое преобразование реализуется
умножением квадратной матрицы на вектор-столбец входных сигналов:
1 1
1
1
1 e-j(2π/N) e-j(4π/N) e-j(6π/N)
X(n)=
…1
...
f(0)
e-j(2*1*(N-1)π/N)
f(1)
1 e-j(4π/N) e-j(8π/N) e-j(12π/N)... e-j(2*2*(N-1)π/N)
f(2)
*
-j(6π/N)
-j(12π/N)
-j(18π/N)...
-j(2*3*(N-1)π/N)
1 e
e
e
e
………………………………………………
f(3)
….
…………………………………………………….
…..
1 e-j(2π*(N-1)*/N) e-j(2π*(N-1)*/N)… e-j(2*(N-1)*(N-1)π/N)
f(N-1)
(1.33)
Общая формула, для расчета спектральных коэффициентов каждой
выборки аналогового сигнала по векторноматричным способом с
использованием матрицы Л. Фрэнкса [3], имеет вид:
A(m, n) exp( 2 j *
(m 1)( n 1)
,
N
(1.34)
1 m N ,1 n N .
Таким образом, имея один и тот же набор вырезок дискретного сигнала
можно рассчитать либо его спектральную функцию, либо числовые значения
отдельных выборок.
1.20. Быстрое дискретное преобразование Фурье
Быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ) является удобным
алгоритмом автоматизированных расчётов по формулам прямого и
обратного дискретного преобразования Фурье.
Из рассмотрения матрицы Фрэнкса следует, что нахождение дискретного
преобразования Фурье требует выполнения N*N операций умножения и
почти столько же операций сложения, что при большом числе выборок,
35
например, 1000 составляет уже приблизительно 2 млн. операций, которые
обычно должны производиться в реальном времени, что затрудняет его
практическое применение. Поэтому для расчетов пользуются быстрым
дискретным преобразованием Фурье, алгоритм которого основан на
закономерностях периодических синус-косинусных функций.
Принцип БПФ проще всего показать на примерах, используя для
демонстрационных целей матрицу Фрэнкса. Наглядное объяснение
алгоритма БПФ, которое приводится ниже, даётся в [14]. Отметим, что
каждый элемент матрицы Фрэнкса составлен из экспонент, имеющих часть –
2
поворачивающий множитель w e j N . Рассмотрим случай, когда число
выборок аналогового сигнала N=8: f(0), f(1),f(2),…,f(7). C учетом принятых
обозначений прямое ДПФ приобретает вид:
7
X (n) f (k ) w(k , n).
k 0
Для N=8 матрица Фрэнкса выглядит следующим образом:
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
=
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
w0 w0 w0 w0 w0
w0
w2 w3 w4 w5 w6
w7
w4 w6 w8 w10 w12
w14
w6 w9 w12 w15 w18
w21
w8 w12 w16 w20 w24
w28
w10 w15 w20 w25 w30
w35
w12 w18 w24 w30 w36
w42
w14 w21 w28 w35 w42
w49
f0
f1
f2
*
f3
f4
f5
f6
f7
Произведение данной матрицы на вектор, представляющий собой ряд
дискретных отсчетов сигнала, определяет частотные коэффициенты
дискретного разложения Фурье.
Примем во внимание линейную и круговую периодичность и взаимное
соответствие N≡2π, N/2≡π, N/4≡π/2, N/8≡π/4 и т.д., откуда вытекает
периодичность степенного ряда поворачивающего множителя w при
различных кратностях N выборок на периоде 2π (рис.1).
w22, w14, w6
j
w21, w13, w5, –3π/4
w7, w15, w23, π/8
w20, w12, w4,-1
w9, w11, w3, 5π/8
w0, w8, w16, 1
Re
w1, w9, w17, π/8
φ= 2π/8
w2, w10, w18, –j
36
Рис. 1.13. Степенной ряд поворачивающих множителей w
Какой же вывод можно сделать из рисунка степенного ряда w? Все
значения поворачивающего множителя w, начиная с w8, равны ТОЛЬКО
соответственному значению w в интервале от w0 до w7. Если остаток от
деления на 8 показателя w “n” записать как n mod 8, то значения показателей
степени w(n) после понижения их значений можно представить как
w(n)=w(n mod 8).
В частности, 8 mod 8=0, 9 mod 8=1, 10 mod 8=2, 11 mod 8=3 и т.д. Тогда
через показатели степени матрица Фрэнкса записывается следующим
образом:
X0 w0 w0 w0 w0
X1 w0 w1 w2 w3
X2 w0 w2 w4 w6
X3 = w0 w3 w6 w1
X4 w0 w4 w0 w4
X5 w0 w5 w2 w7
X6 w0 w6 w4 w2
X7 w0 w7 w6 w5
w0 w0 w0
w4 w5 w6
w0 w2 w4
w4 w7 w2
w0 w4 w0
w4 w1 w6
w0 w6 w4
w4 w3 w2
w0
w7
w6
f0
f1
f2
w5
w4
w3
w2
w1
*
f3
f4
f5
f6
f7
Быстрое преобразование Фурье – это алгоритм эффективного вычисления
коэффициентов разложения на основании закономерностей, скрытых в
матрице Фрэнкса при последующем понижении степени n на каждом шаге в
два раза, в частности от n=27=128 к n=26=64, от n=26=64 к n=25=32, от
n=25=32 к n=24=16, от n=24=16 к n=23=8 и от n=23=8 к n=22=4, которую можно
считать БАЗОВОЙ. В этом случае выборка состоит из четырех членов f0, f1,
f2, f3. Рассмотрим особенности БПФ для этого базового случая.
1.20.1. БПФ для ряда из четырёх членов
Для указанного случая с учетом рис.1.13 – степенного ряда
нормированных частот w для N=4 - ДПФ можно выразить в виде
произведения матрицы Фрэнкса на вектор сигнала следующим образом:
Im
j w7, w3
w6, w2
w0, w4, w8
1
-1
-j w1, w5, w9
Рис. 1.14. Степенной ряд w для N=4
37
X0
w0 w0 w0 w0
X1 = w0 w1 w2 w3 *
X2
w0 w2 w4 w6
X3
w0 w3 w6 w9
f0
f1
f2
f3
Учитывая структуру и знак “минус” в
2
j
N
(1.34)
поворачивающем множителе
легко понять соответствия между углом сдвига φ и
поворачивающим множителем w, которые приведены в нижеследующей
матрице Френкса для N=4 (3):
n=0 соответстует углу поворота поворачивающего множителя φ=0 или в
радианах ω=1 и w0, w4, w8;
n=1 соответстует φ=2π*1/4, ω=j, w3, w7;
n=2 соответстует φ=2π*2/4, ω=-1, w2, w6;
n=3 соответстует φ=2π*3/4, ω=-j, w1, w5, w9.
В результате таких замен матрица Фрэнкса приобретает вид:
we
.,
X0
1
X1 = 1
X2
1
X3
1
1
-j
-1
j
1
1
-1
j
1
-1
-1
-j
f0
* f1
f2
f3
(1.35)
Дальнейшие упрощения сводятся к следующему. Матрица (1.353) делится
на 2 матрицы, а именно, матрицу, которая содержит нечетные столбцы
исходной матрицы, и матрицу, содержащую четные столбцы исходной
матрицы (вектор вырезок сигнала f(k) для иллюстрации соответствий
приходится в виде матрицы-строки писать вверху, что не соответствует
принятым правилам векторно-матричных преобразований):
[ f0
X0 w0
X1 = w0
X2 w0
X3 w0
f2 ] [
w0
w2 +
w4
w6
f1 f3 ]
w0 w0
w1 w3
w2 w6
w3 w9
k 1
(1.36)
k
На основании равенства w w
выполнить следующие преобразования:
38
1
w
становится возможным в (1.36)
[ f0 f2 ]
[ f1
f3 ]
X0 w0 w0
w0w0 w0w0
X1 = w0 w2 + w1w0 w1w2
X2
w0 w4
w2w0 w2w4
X3
w0 w6
w3w0 w3w6
или
[ f0 f2 ]
[ f1
f3 ]
X0 w0 w0
w0 w0 w0
X1 = w0 w2 + w1 w0 w2
X2 w0 рис.2
w4 разные
w2 степени
w0 w4
(1.37)
На основании
поворачивающего
X3 w0 w6
w3 w0 w6
При этом надо учесть следующие соответствия:
w4=w0=1, w6=w2= -1, w2= -w0, w3=w1. (*)
После подстановки этих значений поворачивающего множителя в (6)
имеем:
[ f0 f2 ]
X0 1
1
X1 = 1 -1 +
X2 1
1
X3 1
-1
w0
w1
-w0
-w1
[ f1
1
1
1
f3 ]
1
-1
1
1
-1
(1.38)
Для дальнейшего объяснения алгоритма БПФ воспользуемся методом
полной индукции: последующего перехода от БПФ для N=4 к БПФ для N=8
и нахождения имеющихся при этом аналогий.
1.20.2. Операция ”бабочка” для БПФ ряда из четырёх членов
Рассмотрим выражения ДПФ для Х(k) при N=4
и первой части этих
выражений поставим в соответствие операцию “бабочка”:
X (0) w0 f (0) w0 f (1) w0 f (2) w0 f (3),
X (1) w0 f (0) w1 f (1) w2 f (1) w3 f (3),
X (2) w0 f (0) w2 f (1) w4 f (2) w6 f (3),
X (3) w0 f (0) w3 f (1) w6 f (2) w9 f (3).
(1.39)
Эти же выражения после подстановки соответствий поворачивающего
множителя из предыдущих преобразований:
39
X (0) w0 f (0) w0 f (1) w0 f (2) w0 f (3),
X (1) w0 f (0) w1 f (1) w0 f (1) w1 f (3),
X (2) w0 f (0) w0 f (1) w0 f (2) w0 f (3),
X (3) w0 f (0) w1 f (1) w0 f (2) w1 f (3).
(1.40)
Соответствия между элементами четных и нечетных столбцов матрицы (7)
и первыми двумя слагаемыми последних равенств и выражаются первой
операцией “бабочка”:
+1
f(0)
+1
+1
f(0)+w0f(0)
f(2)
w0
f(1)
f(3) w0
-1
f(0)-w0f(0)
+1
+1 +1
-
f(1)+w0f(3)
f(1)-w0f(3)
-1
Рис. 1.15. Первая “бабочка” для N=4
f(0)
f(2)
X(0)=f(0)+w0f(2)+w0f(1)+w0f(3)
w0
X(1)=f(0)-w0f(2)+w1f(1)-w0w1f(3)
-1
w0
f(1)
-1
f(3)
w1
-1
X(2)=f(0)+w0f(2)-w0f(1)-w0w1f(3)
X(3)=f(0)-w0f(2)-w1f(1)+w0w1f(3)h
-1
Рис. 1.16. Вторая “бабочка” для N=4
Таким образом, БПФ из ДПФ получается за счет того, что группируются
столбцы с четными и нечетными показателями степени поворачивающего
множителя, приводятся к одинаковому виду и программная обработка их
приводит к одинаковову результату. Для иллюстрации общности метода
БПФ перейдем к рассмотрению алгоритма дискретного преобразования
Фурье последовательности из 8 вырезок аналогового сигнала.
1.20.3. БПФ ряда из восьми членов
Общая формула БПФ ряда из 8 членов:
X (n) w0 f (0) wkf (1) w2kf (2) w3kf (3) w4kf (4)
w5kf (5) w6kf (6) w7kf (7).
40
(1.41)
Приведенную ранее матрицу Фрэнкса для N=8 разделим на две группы с
четными и нечетными индексами и проделаем те же преобразования, как и
для матрицы с N=4.
X0
X1
X2
X3 =
X4
X5
X6
X7
[ f0
X0 w0
X1 w0
X2 w0
X3 = w0
X4 w0
X5 w0
X6 w0
X7 w0
[ f0
X0 w0
X1 w0
X2 w0
X3 = w0
X4 w0
X5 w0
X6 w0
X7 w0
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w0
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
f2
w0
w2
w4
w6
w8
w10
w12
w14
f4
w0
w4
w8
w12
w16
w20
w24
w28
w0
w2
w4
w6
w8
w10
w12
w14
w0 w0 w0 w0 w0
w3 w4 w5 w6 w7
w6 w8 w10 w12 w14
w9 w12 w15 w18 w21
w12 w16 w20 w24 w28
w15 w20 w25 w30 w35
w18 w24 w30 w36 w42
w21 w28 w35 w42 w49
f6 ]
w0
w6
w12
w18
w24
w30
w36
w42
f2 f4 f6 ]
w0 w0 w0
w2 w4 w6
w4 w8 w12
w6 w12 w18
w8 w16 w24
w10 w20 w30
w12 w24 w36
w14 w28 w42
f0
f1
f2
* f3
f4
f5
f6
f7
(1.42)
[ f1
f3 f5
f7 ]
w0 w0 w0
w0
w1 w3 w5 w7
w2 w6 w10 w14
+
w3 w9 w15 w21
w4 w12 w20 w28
w5 w15 w25 w35
w6 w18 w30 w42
w7 w21 w35 w49
[ f1 f3
f5 f7 ]
w0
w0 w0 w0 w0
w1
w1 w3 w5 w7
w2
w2 w6 w10 w14
+
w3
w3 w9 w15 w21
w4
w4 w12 w20 w28
w5
w5 w15 w25 w35
w6
w6 w18 w30 w42
w7
w7 w21 w35 w49
41
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
[ f0
w0
w0
w0
= w0
w0
w0
w0
w0
f2
w0
w2
w4
w6
w0
w2
w4
w6
f4
w0
w4
w0
w4
w0
w4
w0
w4
f6 ]
[
w0
w0
w6
w1
w4
w2
w2 +
w3
w0
w4
w6
w5
w4
w6
w2
w7
f1 f3 f5
w0 w0 w0
w0 w2 w4
w0 w4 w0
w0 w6 w4
w0 w0 w0
w0 w2 w4
w0 w4 w0
w0 w6 w4
f7 ]
w0
w6
w4
w2
w0
w6
w4
w2
(1.43)
Используя закономерности рис.1.14, получаем равенства:
w0 1, w2 j , w4 w0 1, w6 j , w5 w1, w6 w2, w7 w3.
После подстановки их в (1.43) имеем:
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
[ f0
1
1
1
= 1
1
1
1
1
f2
1
-j
-1
j
1
-j
-1
j
f4
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
f6 ]
1
j
-1
-j
1
j
-1
-j
w0
w1
w2
+
w3
-w0
-w1
-w2
-w3
[ f1
1
1
1
f3
1
-j
-1
f5
1
-1
1
f7 ]
1
j
-1
1
j
-1
-j
1 1
1
1
1 -j
-1
j
1 -1
1
-1
1 j
-1
-j
(1.44)
Существует несколько алгоритмов разных авторов для расчётов БПФ как
во временной так и в частотной областях. Наиболее известны алгоритм Кули
и Тьюки (1965г.) и Винограда,
1.21. Более строгое обоснование БПФ
Все алгоритмы быстрого дискретного преобразования Фурье основаны
на периодичности поворачивающего множителя.
Идея сокращения общего объёма вычислений состоит в следующем:
1) Исходная N-точечная последовательность х(n) разделяется на две N/2 точечные последовательности с нечётными и чётными элементами, затем
вычисляются ДПФ каждой из них и конструируется ДПФ Х( k).
Объем вычислений сокращается в 2 раза.
42
2) Аналогично вместо ДПФ N/2 - точечные последовательности можно
вычислить ДПФ по две N/4 - точечные последовательности и вновь
уменьшить количество вычислений в 2 раза.
3)
Процесс
уменьшения
количества
вычислений,
называемый
прореживанием, продолжается до тех пор, пока не останутся только
двухточечныеточечные последовательности, рассчитываемые ДПФ.
Если N 2 m , т.е. m log 2 N , то объем вычислений можно уменьшить в N/m
раз. Например, при N = 1024 =210 это составляет примерно
1024
100 раз.
10
Указанная процедура уменьшения числа вычислений называется
прореживанием.
Прореживание
исходной
N-элементной
последовательности X(n) может производиться по времени или по частоте.
1.21.1. Прореживание последовательности х(n) по времени
Пусть N = 2m . Обозначим исходную N – точечную последовательность
как xm (n) x(nT ) -. Разделим ее на две N/2 - точечные последовательности
для чётных и нечётных членов.
x m 1, 0 (n) x(2nT )
n 0,1,....,
N
1 - четные члены
2
- нечетные члены
Тогда N-точечную ДПФ можно записать в виде
x m 1,1 (n) x(( 2n 1)T )
X m (k)
N/2-1
N/2-1
x m-1,0 (n) WN2k n
x
n 0
Учитывая, что W e
2
N
j
2
N /2
n 0
m -1,1
(n) WN( 2 n 1)
(1.45)
WN2nK W NK
W N , получаем
2
Xm (k) X m-1,0 (k) W x m-1,1 (k)
k
N
(1.46)
Для четных и нечётных элементов последовательности
получим выражения:
N
1
2
X
(k ) X m 1, 0 (n) W Nnk
m -1,0
n0
2
N
1
2
X m -1,1 (k ) X m 1,1 (n) W Nnk
n 0
2
(1.47)
Поскольку Хm(k) должно быть определено для N точек ( k = 0, 1, ..., N-1),
а (1.47) определено только для N/2 точек (k = 0,1,... , N/2 -1). Поэтому
необходимо доопределить его
для k =N/2; N/2+1,….N-1. При этом
принимается во внимание, что Хm-1,0,Xm-1(k) - периодические функции с
периодом N/2. Тогда
N
X m (k
(k )
N
N
N
) X m 1, 0 (k ) W N 2 X m 1,1 (k ) X m 1, 0 (k ) W Nk X m 1,1 (k )
2
2
2
43
(1.48)
Знак ‘ - ’ появился, так как
N
WN2 e
- j
X m (k
2 N
N 2
e j cos j sin 1
N
) X m 1, 0 (k ) WNk X m 1,1 (k )
2
(1.49)
Выражения (1.48) и (1.49) определяют алгоритм вычисления N-точечного
ДПФ через два N/2 - точечных ДПФ.
Аналогично можно выразить N/2 - точечные ДПФ X m1,0 (k ) и X m1,1 (k )
через N/4 - точечные ДПФ
X m -1,0 (k ) X m 2, 0 (k ) WN2 k X m 2,1 (k )
N
2k
X m -1,0 (k ) X m 2,0 (k ) WN X m 2,1 (k )
N
n
k 0,1,..., 1
4
X m -1,1 (k ) X m 2, 2 (k ) WN2 k X m 2,3 (k )
N
2k
X m -1,1 (k ) X m 2, 2 (k ) WN X m 2,3 (k )
n
Здесь X m2,h (k )
N
4
(1.50)
- точечные ДПФ для:
k = 0 – четных номеров X m1,0 (n)
k = 1 – нечетных номеров X m1,0 (n)
k = 2 - четных номеров X m1,1 (n)
k = 3 – нечетных номеров X m1,1 (n) .
Процесс продолжается до тех пор , пока на m-шаге не окажутся только
два двухточечных ДПФ. Обозначим их Ф (k) k = 0, 1. Они соответствуют
2- точечным последовательностям (0) , (1) .
Ф(0) (0) WN0 (1) (0) (1)
N
2
Ф
(
1
)
(
1
)
W
N (1) (0) (1)
(1.51)
Рассмотрим случай для N = 8 = 23 , т.е. m = 3.
Исходная последовательность x3 (n)
(
0) (1)
(
0) (1)
(
0) (1)
(
0) (1)
Ф(к) X ( k )
X (k )
X (k )
X (k )
X
X (k )
1,0
1,1
1,2
2 ,1
1,3
2,1
X 3 (k )
44
k 1
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
x(0) x(2) x(4) x(6)
x(0) x(4)
x(2) x(6)
x(1) x(3) x(5) x(7)
x(1) x(5)
x(3) x(7)
Рис. 1.17. ДПФ для N=8
1.21.2. Графическое представление БПФ
Рис. 1.17. Графическое представление алгоритма ДПФ
1.21.3. Перестановка членов входной последовательности
Перестановка производится в соответствии с двоичной инверсией номеров ,
т.е. элементом с номером ( nm1 ,..., n1 , n0 ) записывается в ячейку с номером
( n0 , n1 ,..., nm1 )
Номер
0
1
2
3
4
5
6
7
Двоичный код
000
001
010
011
100
101
110
111
45
Двоичная
инверсия
000
100
010
110
001
101
011
111
Инверсный
номер
0
4
2
6
1
5
3
7
1.21.4. Общий алгоритм БПФ
Из графического представления БПФ следует:
1) БПФ выполняется поэтапно. Число этапов равно m log 2 N . Должен быть
организован цикл l 1..m
2) На каждом l-м этапе получаем l1 2 l - точечная последовательность.
Должен быть организован цикл j 1...l 2 l1 / 2
3) Целесообразно один и тот же поворачивающий множитель использовать
для соответствующих элементов всех последовательностей на каждом этапе.
Эти элементы отстоят друг от друга на l1 индексов. Должен быть
организован цикл n j, j l1,..., N
4) Результаты каждой операции «бабочка» должны записываться на место
операндов, обеспечивая принцип замещения.
1.22. Свёртка сигналов
В цифровой обработке сигналов широко используется линейная и
круговая дискретная свёртка. Линейной свёрткой двух конечных
последовательностей x(nT) и g(nT) по
N и M называется
последовательность
y(nT),
определяемая
соотношением
n
y (nT ) x(kT ) g (n k )T , n 0,..., N M 2 ,
которая является конечной и
k 0
имеет N M 1 отсчётов.
Круговой или циклической дискретной свёрткой двух периодических
последовательностей x(nT) и g(nT) с периодом N называется
последовательность
y(nT),
определяемая
соотношением
N 1
y (nT ) x(kT ) g (n k )T .
k 0
Для непрерывных сигналов
аналоговая свёртка.
используется
аналогичная
дискретной
Свертка сигналов является одной из главных операций линейных систем.
В соответствии с фильтрующим свойством дельта-функции, любой сигнал на
входе линейной системы можно представить в виде непрерывной свертки,
под знаком интеграла, которая находится как произведение входного
сигнала и дельта-функции, следующим образом:
x(t )
x(t ) * (t )d .
В процессе прохождения сигнала по линейной системе
дельта-функция превращается в её импульсную характеристику и сигнал на
выходе линейной цепи находится как свертка входного сигнала и
импульсной характеристики канала g(t-) или:
46
x(t )
vix
x(t )
vx
g (t )d .
Аналогично находится выходной сигнал дискретного канала. Интеграл при
этом заменяется бесконечной или конечной суммой.
Порядок выполнения операций дискретной линейной и круговой свертки
иллюстрируют рис.1.18. и 1.19.
1.22.1. Вычисление линейной дискретной свёртки
Сигналы: x( kT) 1
1
5
5
4
3
2
3
2
3
2
4
3
2
2
4
8
5
4
3
1
2
5
8
y(2)=1*4+2*3+4*2=18
2
4
8
5
4
4
8
18
4
y(0)=1*2=2
y(4)=2*5+4*4+8*3=50
3
2
4
3
y(5)=4*5+8*4=52
2
y(6)=8*5=40
Результат
7
3
y(3)=1*5+2*4+4*3+8*2=41
5
2
2
y(1)=1*3+2*2=7
4
5
8
2
g(kT)
8
5
8
2
4
4
4
8
4
2
2
1
2
1
1
1
4
2
1
4
2
41
50
52
40
47
Рис.1.18. Линейная дискретная свертка
1.22.2. Вычисление круговой дискретной свёртки
Исходные сигналы x(kT) и g(kT)
1
2
4
8
2
5
4
3
y(0)=1*2+2*5+4*4+8*3=52
1
2
4
8
3
2
5
4
y(1)=1*3+2*2+4*5+8*4=59
1
2
4
8
4
3
2
5
y(2)=1*4+2*3+4*2+8*5=58
1
2
4
8
5
4
3
2
58
41
y(3)=1*5+2*4+4*3+8*2=41
Результат
52
59
Рис.1.19. Круговая дискретная свертка
Промежуточные результаты при вычислении частных сумм линейной и
круговой свёртки совпадают и этим может проверяться правильность
производимых расчётов.
48
Сомножители в линейной и круговой свёртках могут меняться местами,
что видно из приведенного ниже расчёта линейной и круговой свёртки.
Конечные результаты при этом совпадают.
Âû÷èñëåíèå ëèíåéíîé äèñêðåòíîé ñâåðòêè ïî ôoðìóëå,
â êîòîðîé èñõîäíûå ñèãíàëû äîïîëíåíû íóëÿìè äî A1+B1-11.
0 2
m
r
A1
1
2
2 2
3
4
4
8
B1
k
5
0
0
0
0
0
0
A1m B1k
y( k)
k
0 6
Âòîðîé âèä ôîðìóëû äèñêðåòíîé ñâåðòêè:
k
p( k)
A1k
m
m
m= 0
B1
p( k)
m
m= 0
2
7
18
41
50
52
40
y( k)
2
7
18
41
50
52
40
1.23. Преобразование Лапласа, Фурье и z-преобразование
На практике для математического описания аналоговых и дискретных
линейных систем и сигналов используется три способа, между которыми
существует взаимн однозначное соответствие.
а) Преобразование Лапласа. Математическое описание аналоговых
сигналов и линейных систем производится в некоторой абстрактной
комплексной р (или s) – области Лапласа. Используются односторонние и
двусторонние преобразования Лапласа.
Оператор Лапласа р=c+jk, где c-константа. Одностороннее прямое и
обратное преобразование Лапласа для функций f(t), удовлетворящих
условию Дирихле, имеет вид:
pt
F ( p) f (t ) e
dt
0
1
pt
f (t )
* F ( p) e dp
2j C
49
(1.52)
Функция f(t) носит название ”оригинал” и является непрерывной или
кусочно-непрерывной действительной или комплексной функцией,
удовлетворяющей условию Дирихле.
В результате преобразования F(p) получается ”изображение” функции f(t).
С – замкнутый контур в области сходимости интеграла по контуру
существования функции.
Преобразование Лапласа существует для действительной области Re(p)=c,
если при некотором значении “c” сходится интеграл для абсолютного
значения подинтегральной функции f(t):
f (t ) * e
at
* dt .
0
б) Фурье-преобразование. Математическое описание аналоговых сигналов и
линейных систем производится в конкретной частотно-временной
комплексной р(или s) области, где р=jω, здесь ω –круговая частота ω=2πf,
f=1/T, T-период повторения сигнала. j-мнимая единица. Поскольку р=jω,
преобразование Фурье тождественно преобразованию Лапласа на
комплексной оси jω р-плоскости. Соответственно, одностороннее прямое и
обратное преобразование Фурье для функций f(t), удовлетворящих условию
Дирихле, имеет вид:
j t
F ( j ) f (t ) e
dt
0
1
jt
f (t )
* F ( j ) e d
2
(1.53)
в) Z-преобразование. При исследовании дискретных сигналов и линейных
дискретных систем вместо аналогового и дискретного преобразования
Лапласа математики используют так называемое Z-преобразование, которое
pT
получается из преобразования Лапласа путем замены переменных z e .
При этом аналоговая функция f(t) разбивается на дискреты согласно теоремы
Котельникова-Найквиста и становится решетчатой f(nT), T-интервал
дискретизации, n-номер выборки. Исходная аналоговая функция f(t) в
результате дискретизации представляется в виде решетчатой функции f(nT),
а F(z)- ее z-преобразование имеет вид:
F ( z ) f (nT ) z .
n
(1.54)
n 0
В последней формуле n-номер действительной или комплексной выборки
сигнала, f(nT) – оригинал- последовательность вещественных или
комплексных отсчетов, а F(z)- z-изображение или z-образ функции f(nT).
в) Связь z-преобразования и Фурье-преобразования решётчатой функции
z-преобразование решётчатой функции с периодом Т f(nT)
тождественно данной функции на единичной окружности
jT
jT
z r e I r 1 e .
Прямое преобразование Фурье функции f(nT):
50
F (e
j T
) f (nT ) e
jTn
.
(1.55)
n 0
Оригинал решётчатой функции f(nT) представляет собой набор
jT
вещественных или комплексных чисел, F (e ) -Фурье-изображение
функции f(nT).
Должно выполняться условие
f (nT ) .
n 0
Результатом преобразования Фурье решётчатой функции f(nT) является
jT
непрерывная периодическая функция F (e ) . В свою очередь аргумент этой
функции также является периодической с периодом по частоте ω равным
2π/T:
e
jT
e
jT ( k
2
)
T
e
jT
e
j 2k
e
jT
.
(1.56)
Таким образом соотношение F (e ) f (nT ) e
j T
jTn
является:
n 0
- прямым преобразованием Фурье решетчатой функции f(nT),
- рядом Фурье непрерывной функции
F (e
jT
) F ( )
jnt
n
f ( n) e
f ( n) e
jnT
при нормированном времени
n 0
Т=1.
Поэтому коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формуле:
T
2
f ( n)
/T
F (e
jT
/T
)e
jTn
d , w =2π/T.
(1.57)
Эти коэффициенты являются обратным преобразованием Фурье
решетчатой функции и одновременно коэффициентами ряда Фурье
jT
непрерывной функции F (e ) . Следовательно, прямое и обратное
преобразование Фурье решетчатой функции f(nT) представляется парой
выражений:
F (e
j T
) F ( ) f (n) e
f ( n)
jnT
,
(1.58)
n 0
T
2
/T
F (e
/T
jT
)e
jTn
d .
(1.59)
Решетчатая функция f(nT) одновременно может находиться в трёх
областях: временной, частотной и z-области, между которыми существует
функциональная зависимость.
1.24. Преобразование Фурье в р- и z-областях
Одностороннее и двухстороннее преобразование Фурье открывает
возможности описания линейных сигналов и систем в р-области Лапласа и в
51
частотной областях. Пусть z=a+jb, a p=σ+jω. Тогда при переходе от р-области
Лапласа к Z-преобразованию и непрерывном увеличении переменной jω в pобласти происходит многократный циклический обход единичной
окружности в z-области против часовой стрелки (рис.1.20):
p=σ+jω
jω
j1ω(dickp)
=a+jb
jb
σ
a
j0.5ω(dickp)
0
-1
1
Рис.1.20. Переход от p- к z-области
1.24.1. Основные свойства z-преобразования
1. Линейность:
Если s(nT ) ax(nT ) by (nT ),
S ( Z ) aX ( Z ) bY ( Z ).
то
2. Запаздывание:
Если s(nT ) ax(nT T ),
S ( Z ) aX ( Z ) Z .
то
3. Свертка сигналов:
n
Если S (nT ) x(kT ) y (nT kT ),
k 0
то
S ( Z ) X ( Z )Y ( Z ).
1.25. Эффект Гиббса
Последовательность прямоугольных импульсов имеет скачки, в то время
как сумма любого числа гармонических компонент является является
непрерывной функцией. Поэтому на примыкающих к разрывам первого рода
участках периодической последовательности прямоугольных испульсов
сумма ряда Фурье дает пульсации. Амплитуда самого большого выброса
пульсаций приближается к 9% от величины импульса. Это явление носит
название эффекта Гиббса.
1.26. Интеграл Гильберта
Преобразование Гильберта позволяет выделить амплитудный и фазовый
спектр произвольного сигнала.
52
Преобразование Фурье сигнала x(t) длительностью
Фурье известным образом:
x(t ) ak cos( k t ) bk sin( k t ).,
k 0
T
a
k
k 0 k
2
t
b
k
0
разлагается в ряд
,
0
(1.60)
T
2
x(t ) cos( k t )dt ;
T 0
k
t
2
x(t ) sin( k t )dt ;
T 0
или x(t ) ck e .
j
k
t
k 0
Для действительного сигнала или действительной части комплексного
должно выполняться преобразование Гильберта, при котором сигнал x(t )
состоит из суммы двух сопряженных сдвинутых по фазе на 90 0 сигналов x(t )
и ~x (t ) x(t ) x(t ) j~x (t ) , что эквивалентно выражению
x(t )
k 0
a cos( t ) b sin( t )* j a sin( t ) b cos( t )
k
k
k
k
k
k 0
k
На основании квадратурных зависимостей
cos( k t ) sin( k t ),
2
k
k
(1.61)
sin( k t ) cos( k t )
2
Преобразование Гильберта (1.61) даёт пару преобразований
x (t )
~
x ( )
d
t
1
x ( )
d
t
1
~
x (t )
(1.62)
Получение компонентов разложения Гильберта иллюстрирует рис.
x(t )
x(t )
900
~
x (t )
Рис.1.21. Получение двух сопряженных сигналов
Получение мгновенных значений амплитудно и фазочастотного спектра
используются соотношения
j (t )
x(t ) x(t ) j~
x (t ) s(t ) e
s(t ) cos (t ) js(t ) sin (t ),
s(t )
x
2
(t ) xcopr (t )
2
(t ) arctg
53
x
copr
(t )
x(t )
(1.63)
II. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ
2.1, Определение линейных цепей
В линейных аналоговых и дискретных цепях прохождение сигналов
описывается линейными операторами, масштабирующими комплексный
частотный спектр проходящих по ним сигналов, но не меняющими их
состав.
Система является линейной [Давыдов], если в ней выполняются принципы:
Аддитивности, когда реакция системы на сумму нескольких входных
сигналов равна её реакции на суперпозицию этих сигналов,
Однородности, когда изменение масштаба входного сигнала приводит к
такому же изменению масштаба выходного сигнала,
Инвариантности, когда сдвиг по времени входного сигнала вызывает
такой же сдвиг выходного.
Достоинством линейных линейных систем заключается в методах обработки
информации. В линейных системах входной сигнал сколь угодно сложной
формы может быть представлен более простыми составляющими с
известным откликом на них в виде известных математических выражений. В
качестве компонентов входных сигналов обычно используются
гармоноческие сигналы, елиничные импульсы и периодические
последовательности
прямоугольных
импульсов.
Другой
важной
особенностью линейных систем является то, что любую сложную линейную
систему можно разложить на комбинацию простых систем и соединить их
последовательно (каскадно), параллельно или комбинированным способом.
2.2.
Примеры простых линейных непрерывных цепей
Простые
аналоговые
линейные
цепи
описываются
линейными
дифференциальными уравнениями, которые могут решаться операторным
методом с помощью преобразования Лапласа как уравнения алгебраические.
2.2.1. Интегрирующее звено
Интегрирующее
звено
(инерционное
звено
первого
порядка),
предсталенное на рис. 2.1, описывается уравнением 2.1. На рис. 2.1 u(t) и
y(t)-сигналы возбуждения и реакции звена.
54
T=RC-постоянная времени.
R
u(t)
y(t)
C
dy (t )
y (t ) u (t )
dt
T
(2.1)
Рис. 2.1. Интегрирующее звено
Формула прямого преобразования Лапласа F(s) для аналоговых цепей
st
F ( s) f (t ) e dt
s const j
0
Откуда
следует,
что
дифференцирование
и
интегрирование
подинтегральной функции f(t) приводит соответственно к умножению или
делению преобразования F(s) (изображения исходной функции) на оператор
Лапласа s .
Преогбразование Лапласа (изображение) выражения (2.1) приводит к
выражению
TsY ( s) Y ( s ) U ( s ) или Y ( s )(Ts 1) U ( s ) (2.2)
Передаточной функцией линейной цепи является отношение изображение
Лапласа выходного сигнала к входному:
W ( s)
Y (s)
1
U ( s) Ts 1
(2.3)
Комплексная частотная характеристика (КЧХ) W ( j ) линейной цепи
получается заменой оператора Лапласа оператором Фурье s j :
W ( j )
Y ( j )
1
1 jT
1
T
j
Re( ) Im( )
2
2
2
2
2
2
U ( j ) jT 1 1 T
1 T
1 T
(2.4)
Из формулы (2.4) находится амплитудно- и фазочастотная характеристика
схемы:
A( )
Re() (Im())
2
2
1
1
2
T
2
,
(2.5)
Im( )
( ) arctg
arctg (T ) arctg (T )
Re( )
2.2.2. Дифференцирующее звено
Схема (рис.2.2) и дифференциальное уравнение реакции звена на входной
сигнал:
C
u(t)
R
y(t)
T
dy (t )
du (t )
y (t )
dt
dt
Рис. 2.2. Дифференцирующее звено
55
(2.6)
T=RC-постоянная времени.
Преобразование Лапласа (изображение) выражения (2.6):
TsY ( s) Y ( s) TsU ( s)
(2.7)
Передаточная функция дифференцирующего звена W ( j ) :
W ( s)
Y (s)
Ts
U ( s) Ts 1
(2.8)
Комплексная частотная характеристика (КЧХ) звена:
Y ( j )
jT
(1 jT ) jT
T
W ( j )
T
j
Re( ) Im( ) (2.9)
2
2
2
2
2
2
U ( j ) jT 1
1 T
1 T
1 T
2
2
Амплитудно- и фазочастотная характеристика:
A( )
Re() (Im())
2
2
Im( )
( ) arctg
arctg (1 / T )
Re( )
T
1
2
T
2
,
(2.10)
2.2.3. Колебательное звено II порядка
Схема (рис. 2.3) и дифференциальное уравнение реакции звена на входной
сигнал:
R
L
2
u(t)
C
y (t )
dy (t )
T dd 2T dt y(t ) u(t )
t
2
y(t)
2
(2.11)
Рис. 2.3. Колебательное звено
T LC -постоянная времени,
-коэффициент затухания.
Передаточная функция звена:
W (s)
Y (s)
1
2 2
U ( s ) T s 2Ts 1
(2.12)
Комплексная частотная характеристика W ( j ) :
W ( j )
Y ( j )
T
2 2
U ( j ) T 2 j T 1
(2.13)
Амплитудно- и фазочастотная характеристика:
A( )
Re() (Im())
( ) arctg
2
2
1
1 2T 2 4 T
2
Im( )
2
2
arctg (2 T /(1 T )
Re( )
56
2
2
,
2
(2.14)
Ниже в качестве иллюстрации приведены амплитудно- и фазочастотные
характеристики рассмотренных звеньев.
Пример 2.1.
Àìïëèòóäíî- è ôàçî÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà èíòåãðèðóþùåãî çâåíà
f
1
A( f)
1
0.77
0.53
0.3
0.0652
0.17
0.4
0.64
0.87
1.1
1.34
1.57
( f)
T
0.05
atan f T
( f)
2 2
f T
1
A( f )
2 f
f
0 10 1000
0
40
80
120
160
200
f
Àìïëèòóäíî- è ôàçî÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äèôôåðåíöèðóþùåãî çâåíà
f
0 10 200
f T
A( f)
1
2 f
f
( f)
T
atan
2 2
f T
0.005
1
T
f
1.3
1.18
1.06
0.95
A( f )
( f)
0.83
0.71
0.59
0.47
0.35
0.24
0.12
0
40
80
120
160
f
57
200
Àìïëèòóäíî- è ôàçî÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîëåáàòåëüíîãî çâåíà
0 10 200
f
2 f
f
2 2
f T
1
A( f )
( f)
0.8
p
80
2 p f T
1
A( f)
1.1
0.82
0.54
0.25
0.0273
0.31
0.59
0.87
1.15
1.44
1.72
2
T
0
40
2
80
( f)
2 2
4 p T f
120
2
160
atan
1
2 2
f T
200
f
Описание линейных непрерывных цепей
2.3.
После рассмотрения частных примеров становится понятным смысл
описания линейных непрерывных цепей (систем) с обратной связью,
состоящих
из
простых
линейных
преобразователей,
которые
характеризуются своими постоянными времени bi , i 0,1,2,.., m . в прямом
направлении и
a,
j
j 0,1,2,.., n
nm
в обратном направлении, где a j и
bi
обычные константы.
Условно линейная непрерывная цепь с обратной связью, на входе и выходе
которой действуют непрерывные сигналы x(t ) и y (t ) , показана на рис. 2.1.
b d
n
i 0
i
i
x(t )
dt
i
Входная цепь
x(t)
y(t)
j
y (t )
a dd
t
m
j 0
j
j
Цепь обратной связи
Рис.2.4. Аналоговая линейная цепь с обратной связью
Под описанием линейных систем с сосредоточенными стационарными
параметрами понимают связь между следующими по ней входными и
58
выходными сигналами. В общем виде эта связь выражается линейным
дифференциальным уравнением :
n 1
n
n2
1
y (t )
y (t )
y (t )
y (t )
a d
a d
... a d
a y (t )
a d
dt
dt
dt
dt
x(t )
x(t )
d x(t ) ... b d x(t ) b x(t ),
b d
b
b d
dt
dt
dt
dt
n 1
n 1
n
n
n2
n2
m 1
m
m2
m 1
m 1
m
m
1
1
1
m2
m2
0
1
1
0
(2.15)
Либо в более компактном виде:
b d
n
i 0
i
i
j
y (t )
.
a d
dt
dt
m
x(t )
i
(2.16)
j
j
j 0
Если задаться конкретной функцией входного сигнала x(t), получится
линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами, решение которого позволяет получить сигнал на выходе
линейной непрерывной системы (ЛНС) y(t).
Применим к обеим частям
уравнения (2.15) преобразование Лапласа. Тогда в числителе и знаменателе
получим два полинома с постоянными коэффициентами степени m и n.
m
H ( s) b s b s
a s a s
m 1
m 1
m
n 1
n
n 1
n
bm2 s
an 2 s
m2
n2
1
... b1 s b0
1
... a1 s a0
.
(2.17)
Функция H(s) является важнейшей характеристикой линейной
непрерывной системы (ЛНС) и называется передаточной функцией.
Корни уравнений:
M ( s ) bm s bm 1 s
m
N ( s ) a n s a n 1 s
n
m 1
n 1
bm 2 s
an2 s
m2
n2
... b1 s b0 0,
1
... a1 s a 0 0
1
называются соответственно нулями и полюсами передаточной функции.
Передаточная функция представляет собой оператор, который входное
воздействие ЛНС преобразует в выходную реакцию заменой оператора
Лапласа оператором Фурье s=jω:
b ( j ) b ( j )
K ( )
a ( j ) a ( j )
m 1
m
m 1
m
n 1
n
n
n 1
bm 2 ( j )
m2
a n 2 ( j )
n2
... b1 ( j ) b0
1
... a1 ( j ) a0
1
.
Если в выражении (2.17) найти корни полиномов числителя и знаменателя,
предварительно приравняв их к нулю, то оно представляется как:
59
H ( s) k
( s z m)( s z m1)( s z m2)...( s z1)
(s
p )( s p
n
)( s
n 1
p
n2
)...( s
p)
(2.18)
,
1
В выражении функции передачи H(s) (2.18) s -оператор Лапласа, k bm -
a
коэффициенты
усиления,
z
m
-нули функции передачи,
n
p -полюсы.
i
Функцию передачи можно также можно представить в виде суммы простых
дробей:
H ( s) C 0
В выражении (2.19)
r
s
C
0
n
p
n
r
n 1
s
p
n 1
r
s
n2
p
n2
...
r
1
s
p
. (2.19)
1
--целая часть функции передачи,
pi -полюсы, r
i
--
вычеты, которые могут быть комплексными и комплексно-сопряженными.
2.4.
Параметры линейных систем
Основные характеристики линейных систем сформулируем в виде
утверджений.
Утверждение 1. Импульсной характеристикой линейной непрерывной
системы g(t) называется её реакция на прохождение по ней непрерывного
δ(t)-импульса.
Утверждение 2. Выходной сигнал ЛНС с постоянными параметрами
(инвариантной системы) равен свертке входного сигнала и ее импульсной
характеристикой:
y
vix
(t )
x
vx
( ) g (t )d
Этот факт можно представить себе как результат теоремы Котельникова
для сигнала с неограниченной верхней частотой.
На основании свойств преобразования Фурье спектр выходного сигнала
ЛНС находится в виде произведение спектра входного сигнала умноженного
на комплексную частотную характеристику ЛНС: S ( )vix S ( )vx K ( ).
Утверждение 3.
Передаточной функцией ЛНС H (s ). называется
отношение преобразования Лапласа выхдного сигнала к входному
H ( s ). Y ( s ) / X ( s ) .
Заменив
оператор
Лапласа
оператором
Фурье
s j , получим комплексный частотный спектр или другими словами
комплексный коэффициент передачи ЛНС K ( j ) Y ( j ) / X ( j ) .
Утверждение 4. Комплексным коэффициентом передачи получается
как преобразование Фурье импульсной характеристики ЛНС с постоянными
параметрами:
K ( j )
g (t ) e
60
jt
.
(2.20)
Комплексный коэффициент передачи К(ω) – это характеристика,
показывающая изменение комплексной частоты jω в линейной системе.
Модуль комплексного коэффициента передачи представляет собой
амплитудно-частотную характеристику ЛНС, а аргумент – фазочастотную
характеристику. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает,
во сколько раз меняется ее амплитуда в ЛНС, а фазо-частотная
характеристика (ФЧХ) показывает ее фазовый сдвиг.
Утверждение 5.
Фазовая задержка на частоте ω – это задержка,
вносимая ЛНС на данной частоте с обратным знаком: t(зад)=-φ(ω)/ω.
( ) ( ). / .
Групповая задержка на частоте ω – это задержка огибающей
узкополосного сигнала со средней частотой ω с обратным знаком
груп ( ) d ( ). / .
Для ЛНС без помех комплексная частотная характеристика равна 1 либо
константе, фазочастотная характеристика линейна и групповая задержка
постоянна.
Утверждение 6. Для ЛНС без помех и искажений сигнала КЧХ и АЧХ
равен единице или константе, ФЧХ линейна, групповое время задержки
постоянно.
j
K ( j ) A e 0 ,
A const ,
K ( j ) 1,
0
const ,
.
arg Y ( j ) 0
Поскольку линейные дискретные цепи являются разновидностью
аналоговых, то приведенные здесь характеристики справедливы и для них.
2.5.Конечноразностное уравнение линейных дискретных систем
В результате проведенных рассуждений становится возможен переход
от описания линейных непрерывных систем к описанию дискретных
линейных систем рекурсивными конечно-разностными уравнениями.
Линейное дифференциальное уравнение порядка m с постоянными
коэффициентами для линейной непрерывной цепи при переходе к линейной
дискретной цепи заменяется линейным конечноразностным уравнением, в
состав которого входят только операции сдвига, умножения и сложения.
Скорость изменения непрерывной функции f(n) определяется её первой
производной df (t ) / dt . Соответственно, скорость изменения дискретной
функции f(nТ) определяется первой конечной разностью f (n) f n 1 f n .
Временная разность для первой конечной разности и всех остальных, на
которую должна делиться величина f (n) равняется единице как разность
61
аргументов n 1 n 1. Образование первых разностей представлено на рис.
2.5.
f(n)
f(1)
f(2)
f(0)
f(3)
n
Рис. 2.5. Получение первой конечной разности
Вторая, третья и последующие разности находятся аналогично:
2
3
f (n) f n 1 f n,
f (n) f n 1 f n,
2
2
.................................................
m
f ( n)
m 1
f n 1
m1
f n
При исследовании непрерывных систем используют дифференциальные
уравнения, определяющие связь между непрерывной функцией и её
производной. При рассмотрении дискретных систем используют разностные
f (n)
уравнения, определяющие связь между дискретной функцией
m
f (n), m 1,2,.., k . Если линейное дифференциальное уравнение имеет вид:
m 1
m
x(t )
x(t )
... b
b dd b dd
t
t
0
m
1
m 1
m 1
dx(t )
bm x(t ) y (t ) ,
dt
(2.21)
То линейное соответствующее ему дискретно-разностное уравнение с
постоянными коэффициентами представляется как
(2.22)
b0 x(n m) b1 x(n m 1) b2 x(n m 2) ... bm x(m) y(n) .
Разностное уравнение порядка m соответствует дифференциальному
уравнению того же порядка. Дифференциальное уравнение можно
рассматривать как предельное для разностного, когда период дискретизации
функции y(t) стремится к нулю. Решение разностного уравнения
производится различными методами, но используемый очень часто
62
численный метод позволяет находить точные значения отсчётов функции
y (n) .
Повторим уравнение (2.15):
n 1
n
n2
1
y (t )
y (t )
y (t )
y (t )
a d
a d
... a d
a y (t )
ad
dt
dt
dt
dt
x(t )
x(t )
x(t )
x
b d
b d
... b d b x(t ),
b d
dt
dt
dt
dt
n
n
m
m 1
m 1
n2
n2
m 1
m
m
n 1
n 1
m2
m2
1
1
0
1
m2
1
1
0
Замена непрерывного времени дискретными отсчетами t→nT позволяет
перейти от приведенного выше дифференциального уравнения к
рекурсивному конечно-разностному уравнению, в котором значение k-ого
отсчёта сигнала на выходе линейной дискретной цепи зависит от значений
входного сигнала x(rT) в моменты времени от k-ого до (k-m)-го
включительно и предыдущих отсчётов выходного сигнала y(hT) от (k-1)-го
до (k-n)-го. В этом состоит его рекурсивность.
y (kT ) b0 x(kT ) b1 x(kT T ) b2 x(kT 2T ) b3 x(kT 3T ) ...
bm x(kT mT ) a1 y(kT T ) a 2 y(kT 2T ) ... a n y(kT nT ).
(2.23)
В последнем выражении x(…) и y(…) – соответствующие временные
отсчеты сигнала возбуждения на входе и выходе линейной дискретной цепи,
a j и bi – некоторые константы, зависящие от её параметров.
Многочисленными исследованиями установлено, что основные свойства
линейного дискретного преобразователя (ЛДП) во временной области
базируются на закономерностях его импульсной характеристики, отсчёты
которой имеют обозначения g(kT.
Определение. Импульсной характеристикой линейного
дискретного
преобразователя (ЛДП) или, другими словами, линейной дискретной
системы (ЛДС) g(kT называется её реакция на входной сигнал в виде
дискретного δ-импульса: (kT )
1: k 0
.
0:k 0
Утверждение. Значение k-ого отсчёта сигнала на выходе ЛДС равно
дискретной свёртке k отсчётов входного сигнала с импульсной
характеристикой ЛДС :
k
y (kT ) x(kT ) g (kT nT ).
(2.24)
n0
2.6. Три вида формулы передаточной функции ЛДС
В равенстве (2.22) имеем дело с дискретными отсчетами исходного
сигнала и поэтому имеем право подвергнуть его левую и правую части zпреобразованию. Тогда:
63
y(kT ) z
Y (Z )
k
k
x( jT ) g (kT jT ) z
y(kT ) z
k
k
.
k j
Сомножители последнего выражения
разделить суммы:
k
x( jT ) g (kT jT ) z
k
k j
некоррелированы, поэтому можно
j
k
x( jT ) g (kT jT ) z . (2.25)
k
Введем новую переменную в индексах: n=k-j, k=n+j. С учетом n и k,
выражение (2.24) перепишем следующим образом:
Y ( z)
j
n
x( jT ) g (nT ) z
n j
x( jT ) z
j
j
g (nT ) z
n
.
(2.25)
n
В последнем выражении имеется две независимые суммы, а именно - z преобразования двух функций, описывающих входной сигнал и импульсную
характеристику, которые обозначим следующим образом:
X ( z)
x( jT ) z
j
,
j
W ( z)
g (nT ) z
(2.26)
n
.
n
Принимая во внимание равенство (2.25), в результате проделанных
преобразований имеем:
Y ( z ) X ( z )W ( z ).
(2.27)
Y ( z)
W ( z)
.
X ( z)
Полученные результаты можно сформулировать в виде трёх выводов.
Вывод 1. Передаточная функция W(z) ЛДС представляет собой z преобразование ее импульсной характеристики.
Вывод 2. z-преобразование выходного сигнала для ЛДС равно
произведению Z-преобразования сигнала на входе на Z-преобразование
передаточной функции.
Вывод 3. z -преобразование передаточной функции W(z) ЛДС равно
отношению Z-преобразований выходного сигнала к сигналу на входе
системы.
Вернёмся к описанию ЛДС конечноразностным уравнением в рекурсивной
форме (2.22) и слагаемые, относящиеся к отсчетам сигнала на входе,
перенесем в левую часть, а слагаемые, относящиеся к отсчетам сигнала на
выходе системы в правую часть:
b
0
X ( z ) b1 x(kT T ) b2 x(kT 2T ) ... bm x(kT mT )
(2.28)
y (kT ) a1 y (kT T ) a2 y (kT 2T ) ... an y (kT nT )
Выполним z -преобразование этого выражения:
b
0
1
2
3
X ( z ) b1 X ( z ) z b2 X ( z ) z b3 X ( z ) z ... bm X ( z ) z
1
2
3
Y ( z ) a1Y ( z.) z a 2 Y ( z ) z a3 Y ( z ) z ... a n Y ( z ) z
n
m
(2.29)
Дальнейшие операции позволяют получить передаточную функцию ЛДС
через конечноразностное уравнение:
64
1
2
3
m
1
2
3
n
X ( z )(b0 b1 z b 2 z b3 z ... b m z )
Y ( z )(1 a1 z a 2 z a 3 z ... a n z ),
1
2
3
(2.30)
m
Y(z) b0 b1 z b 2 z b3 z ... b m z
W(z)
.
1
2
3
n
X(z)
1 a1 z a 2 z a 3 z ... a n z
Выражение (2.30) показывает, каким образом передаточная функция
линейного
дискретного
преобразователя
может
быть
получена
непосредственно из конечноразностного уравнения.
2.7. Общий вид описания линейной дискретной сети
Линейные дискретные сети (ЛДС) могут быть рекурсивными и
нерекурсивными.
В результате проведенных рассуждений и преобразований для дискретных
и непрерывных линейных систем получены очень сходные по смыслу и по
написанию выражения для нахождения значений выходного сигнала y(nT) и
y(t):
N 1
M 1
i 0
k 0
y (nT ) bi x(nT iT ) ak y (nT kT ).
(2.31)
Для нормированного времени дискретизации Т=1:
N 1
M 1
i 0
k 0
y (n) bi x(n i ) ak y (n k ).
i
(2.32)
k
x(t )
y (t )
y (t ) b d
a d
.
dt
dt
N 1
i 0
i
M 1
i
k 0
k
k
(2.33)
Реакция для ЛДС на входное возбуждение, как правило, находится
методом подстановки, который в конечный результат не вносит расчётных
погрешностей.
Приведенный ниже пример показывает получение отсчётов выходного
сигнала y(kT) ЛДС численным методом.
Пример2.2. Решеие разностного уравнения для пят отсчетов.
y(n)=x(n)-0.5y(n-1), x(n)=(0.1)n.
Решение. x(0)=0, y(0)=x(0)-0.5y(-1)=0-0.5*0=0;
x(1)=0.1, y(1)=x(1)-0.5y(0)=0.1-0.5=0.1;
x(2)=0.01, y(2)=x(2)-0.5y(1)=0.01-0.5*0.1=-0.04;
x(3)=0.001,
y(3)=x(3)-0.5y(2)=0.001-0.5*(-0.04)=0.21;
x(4)=0.0001,
y(4)=x(4)-0.5y(3)=0.0001-0.5*0.21=-0.1049…
Из примера видно, что выходной сигнал для ЛДС, описываемой
уравнением (2.15), является бесконечным.
65
2.8. Выходной сигнал и импульсная характеристика ЛДС
Приводятся формулы
характеристики ЛДС.
получения
выходного
сигнала
и
импульсной
Определение. Линейная дискретная система (ЛДС) называется рекурсивной,
если хотя бы один из коэффициентов a k . конечноразностного уравнения не
равен нулю ak 0 . Другими словами, ЛДС с обратной связью описывается
рекурсивным конечноразностным уравнением. И наоборот, ЛДС без
обратной связи описывается нерекурсивным конечноразностным уравнением
и является нерекурсивной.
Определение. Порядком нерекурсивной ЛДС называют наибольшее число
отсчетов сигнала возбуждения N или реакции системы М:
max{(M-1),(N-1)}.
Пример разностного рекурсивного уравнения ЛДС первого порядка:
y(n)= b0 x(n)- a1y(n-1).
Пример разностного нерекурсивного уравнения ЛДС второго порядка:
y(n)= b0 x(n)+ b1 x(n-1)+ b2y(n-2).
2.8.1.
Импульсная характеристика ЛДС
Этот вопрос удобно рассмотреть на конкретных примерах.
Пример 2.3. Вычислить импульсную характеристику нерекурсивной ЛДС
второго порядка, описываемой уравнением:
y(kT)= b0 x(kT)+ b1 x(kT-T)+ b2y(kT-2T).
(2.34)
Воспользуемся тем фактом, что если на вход ЛДС подать дискретный δимпульс, на выходе в виде реакции системы получим её импульсную
характеристику. Тогда (2.34 примет следующий вид:
g(kT)= b0 δ (kT)+ b1 δ (kT-T)+ b2δ (kT-2T). (2.35)
Методом прямой подстановки, используя свойства δ-импульса, вычислим
отсчёты импульсной характеристики ЛДС:
k=0, g(0)= b0;
k=1, g(T)= b1;
k=2, g(2T)= b2;
k=3, g(3T)= 0.
Пример 2.4. Вычислить импульсную характеристику рекурсивной ЛДС
второго порядка, описываемой уравнением:
y(kT)= b0 x(kT)+ b1 x(kT-T)- a1y(kT-T).
(2.36)
Заменив входной сигнал дискретным δ-импульсом, а выходной сигнал импульсной характеристикой, получим:
g(kT)= b0 δ (kT)+ b1 δ (kT-T)-a1g (kT-T).
k=0, g(0)= b0;
k=1, g(T)= b1- a1g(0)=b1- a1b0;
k=2, g(2T)=( a1)1* (b1- a1b0;
66
k=3, g(3T)= ( a1)2* (b1- a1b0;
k=4, g(4T)= ( a1)3* (b1- a1b0;
……………………………….
k=n , g(nT)= ( a1)n-1* (b1- a1b0.
Общий вид формулы вычисления импульсной характеристики ЛДС:
g(kT)= b0 δ (kT)+ b1 δ (kT-T)+b2 δ (kT-2T)+…+bm δ (kT-mT)-a1g(kT-T)-a2g(kT2T)-a3g (kT-3T)-…-ang (kT-nT).
(2.37)
Расчеты импульсной характеристики в общем виде дают следующие
результаты:
k=0, g(0)= b0;
k=1, g(T)= b1- a1g(0)=b1- a1b0;
k=2, g(2T)=b2- a1g(T)-a2g(0)=b2- a1b1-( a1)2* b0-a2b0;
k=3, g(3T)= b3- a1g(2T)- a2g(T)- a3g(0);
k=4, g(4T)=b4- a1g(3T)- a2g(2T)- a3g(T) – a4g(0);
……………………………….
k=n , g(nT)=bn- a1g[(n-1)T]- a2g[(n-2)T]-…- ang(0).
Вывод. Импульсная характеристика нерекурсивных ЛДС без обратной связи
конечна, а нерекурсивных ЛДС с обратной связью бесконечна.
2.9.
Основные свойства линейных дискретных сетей
Свойство памяти. В случае нерекурсивной ЛДС для нахождения реакции
y(n) ЛДС на n-й отсчет должна помнить значения (n-1) предшествующих
отсчётов. В случае рекурсивной ЛДС для этого же случая надо помнить всю
предысторию воздействий, а, следовательно, память рекурсивной ЛДС
бесконечна.
Свойство устойчивости. Это свойство заключается в том, при
ограниченном воздействии и произвольных начальных условиях реакция
ЛДС также ограничена. Во временной области устойчивость определяется по
импульсной характеристике и устойчивая ЛДС должна отвечать требованию:
g (m) .
(2.38)
m 0
Таким образом, нерекурсивные линейные дискретные системы с конечной
импульсной характеристикой всегда устойчивы. Рекурсивные системы с
бесконечной импульсной характеристикой требуют проверки на
устойчивость по формуле (2.38).
2.10. z-передаточная функция сложного преобразователя
Любой сложный линейный дискретный преобразователь можно
рассматривать как систему соединенных параллельно, последовательно или
с обратной связью устройств или звеньев. z--передаточная функция их
рассчитывается по-разному.
67
1. Последовательное соединение звеньев
W(z)
y(z)
W1(z)
x(z)
Wn(z)
x1(z)
xn(z)
z-передаточная функция получается следующим образом:
x1( z ) W 1( z ) x( z ),
x 2( z ) W 2( z ) x1( z ) W 0( z )W 1( z ) x( z ),.....,
y ( z ) Wn( z ) x(n 1)( z ) Wn ( z ) * W (n 1)( z ) * ... * W 1( z ) x( z ),
(2.39)
n
W ( z ) W i ( z )
i 1
2. Параллельное соединение звеньев
x1(z)
W1(z)
x(z)
x2(z)
W2(z)
∑ y(z)
Wn(z)
xn(z)
y ( z ) x( z )W 1( z ) x( z )W 2( z ) x( z )W 3( z ) ... x( z )Wn( z ),
n
(2.40)
W ( z ) Wi ( z ).
i 1
3. Соединение звеньев с обратной связью.
X(z)
±
ΣW1(z)
X1(z)
Y(z)
Woc(z)
Yoc(z)
1) Y1 (z) = Y(z) ±Yoc(z)
2) Yoc(z) = Woc(z)*Y(z)
Y1(z) = X(z)±Woc(z)*Y(z)
3) Y(z) = W1(z)*X1(z) = W1(z)*X(z)±W1(z)*W oc(z)*Y(z) = W1(z)*X(z)±
±W oc(z)*Y(z));
Y(z) =W1(z)*Woc (z)*Y(z) =W1(z)*X(z)
Отсюда получаем,
W1(z)
W(z) = Y(z)/X(z) =
(2.41)
1±W1(z)*Woc(z)
68
2.11.Определение выходного сигнала ЛДС с использованием
преобразования Фурье
Определение выходного сигнала ЛНП с помощью преобразования
Фурье состоит из 4-х этапов:
1)
Определяем
комплексную частотную характеристику (КЧХ)
преобразователя W ( j ) .
2) Определяем спектр X ( j ) . входного сигнала x(t ) с помощью прямого
преобразования Фурье .
3) Определяем спектр выходного сигнала Y ( j ) W ( j ) * X ( j ) .
4) Определяем выходной сигнал y (t ) по его спектру Y ( j )) с помощью
обратного преобразования Фурье.
2.12. Применение линейных дискретных систем
В зависимости от соотношения между коэффициентами a n и
bm линейные цепи могут быть усилителями, фильтрами, корректорами и
другими устройствами подобного рода.
2.13. Фильтры с конечной импульсной импульсной
характеристикой-КИХ-фильтры
Фильтры с конечной импульсной характеристикой-КИХ-фильтры нашли
широкое практическое применение благодаря простоте и возможности
программной реализации.
Логические понятия “дискретная система” и “дискретный фильтр”
абсолютно идентичны. Различия заключаются лишь в том, что для фильтров
различных типов – нижних частот ФНЧ, верхних частот ФВЧ и полосовых
ПФполоса пропускания и задержки конкретизируется и задается в
исходных данных. Обработка сигналов и расчет фильтров осуществляются
обычно в цифровой форме, когда каждому отсчёту ставится в соответствие
двоичное кодовое слово и, таким образом, действия над дискретными
отсчётами заменяются действиями над кодовыми словами. Дискретная цепь
становится цифровой цепью и в общем случае цифровым фильтром (ЦФ).
Перевод дискретных отсчётов в двоичные кодовые слова осуществляется
АЦП – аналого- цифровым преобразователем. На выходе цифрового фильтра
производится обратная операция (рис.2.6): в цифро–аналоговом
преобразователе кодовые слова преобразуются в отсчёты дискретного
сигнала и после синтезирующего фильтра снова становятся аналоговым
сигналом.
69
x(t)
x(kT)
АЦП
ЦАП y(kT)
ЦФ
ФС
y(t)
Д
Рис. 2.6. Линейная дискретная система
Д – дискретизатор сигнала,
АЦП – аналого-цифровой преобразователь,
ЦФ – цифровой фильтр,
ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь,
ФС - фильтр-синтезатор.
Дискретная и цифровая цепи описываются одинаковыми выражениями.
Ошибки связаны обычно с размерностью квантования. Однако, увеличивая
разрядность кодовых слов, ошибки (шумы) квантования можно уменьшить
до заранее заданной величины.
Различают нерекурсивные и рекурсивные цифровые фильтры (ЦФ).
Нерекурсивные ЦФ вследствие большого числа значений импульсной
характеристики имеют большое число конструктивных элементов. Но вместе
с тем обладают рядом преимуществ: они всегда устойчивы, позволяют
получить линейный фазовый сдвиг, просты в настройке. Поэтому
нерекурсивные цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой
– КИХ-фильтры – рассматриваются отдельно и рассчитываются по
отдельной методике.
Важнейшей особенностью линейных дискретных систем является то, что
все они могут быть заданы композицией следующих трёх элементов (рис.2):
1. Сумматора отсчетов: y(kT)=x1(kT)+ x2(kT);
2. Умножителя на постоянный коэффициент А: y(kT)=Ax(kT);
3. Задержки на такт дискретизации: y(kT)=y(kT-T).
x2(kТ)
x(kT)
b
x(kТ)
Задержка на Т
x1(kТ)
y(kT)=x1(kT)+x2(kT) y(kT)=b*x(kT-T)
y(kT)=x(kT-T)
Рис.2.7. Основные структурные элементы ЛДС
2.13.1. Уравнение фильтрации
Уравнение фильтрации нерекурсивных фильтров для нормированного
времени Т=1 имеет вид:
m
y (k ) bi x(k i ).
(2.42)
i 0
70
Структурная схема нерекурсивных фильтров показана на рис.2.8.
хk
b0
yk
хk
b1
z-1
xk-1
z-1
b2
xk-2
xk-m+1
z-1
xk-m
bm-1
С
У
М
М
А
Т
О
Р
bm
Рис.2.8. Нерекурсивный фильтр
Порядком фильтра называется количество предыдущих отсчетов сигнала,
используемых для получения выходной реакции.
Импульсная характеристика фильтра находится, если в уравнение (2.40)
вместо входного сигнала x(k-i) подставить дискретный δ-импульс. Тогда на
выходе получаются значения импульсной характеристики в точках, где
аргумент δ-импульса равен 0. Результат получается следующий:
(2.42)
g (k ) bk .
Вывод. Импульсная характеристика КИХ-фильтра конечна и равна
коэффициентам bk.
2.13.2. КИХ-фильтры с линейной фазой
Нерекурсивный фильтр позволяет получить чётную или нечетную
импульсную характеристику и, как результат, линейную ФЧХ при
произвольной АЧХ, что следует из теоремы о спектре четных и нечётных
сигналов: спектр фаз чётных и нечётных сигналов линеен.
КИХ-фильтры с чётными импульсными характеристиками называются
симметричными, а с нечётными – асимметричными. Каждый из двух типов
КИХ-фильтров имеет свои особенности.
2.13.3. Симметричные фильтры с линейной фазой
1. Симметричные КИХ-фильтры с нечетным N. На рис. 2.9
представлена структурная схема фильтра для случая N=5.
71
Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
x(kT)
b2
b1
b0
b1
b2
y(kT)
СУММАТОР
Рис.2.9. Симметричный КИХ-фильтр с N=5
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=5 имеет вид:
1
2
3
W ( Z ) a 2 a1 Z a0 Z a1 Z a 2 Z
2
1
4
2
Z (a0 a1 ( Z Z ) a 2 ( Z Z )).
2
(2.42)
j T
После подстановки Z e
с учётом формулы Эйлера выражение для
передаточной функции принимает вид:
W ( j ) e
j 2T
(b0 2 b1 cos T 2 b2 cos 2T ).
Формулы АЧХ и ФЧХ:
A( ) b0 2 b1 cos T 2 b2 cos 2T ,
( ) 2T .
Фазочастотная характеристика строго линейна.
2. Симметричные КИХ-фильтры с чётным N. На рис. 5 представлена
структурная схема фильтра для случая N=4.
x(kT)
Z-1
Z-1
b2
Z-1
b1
b1
b2
y(kT)
СУММАТОР
Рис.2.10. Симметричный КИХ-фильтр с N=4
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=4 имеет вид:
1
2
3
W ( Z ) b2 b1 Z b1 Z b2 Z
Z
1.5
(b1 ( Z
0.5
Z
0.5
) b2 ( Z Z
1.5
1.5
(2.43)
)).
j T
После подстановки Z e
с учётом формулы Эйлера выражение для
передаточной функции принимает вид:
W ( j ) e
j1.5T
(2 b1 cos 0.5T 2 b2 cos 1.5T ).
Формулы АЧХ и ФЧХ:
A() 2 b1 cos 0.5T 2 b2 cos1.5T , __, () 1.5T .
72
2.13.4. Асимметричные фильтры с линейной фазой
На рис. 2.11 представлена структурная схема асимметричного фильтра с
линейной фазой фильтра для случая N=5.
Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
x(kT)
b2
b1
b0
-b1
-b2
СУММАТОР
y(kT)
Рис.2.11. Асимметричный КИХ-фильтр с N=5
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=5 имеет вид:
1
2
3
4
W ( Z ) b2 b1 Z 0 Z b1 Z b2 Z
2
1
2
Z (b1 ( Z Z ) b2 ( Z Z )).
2
(2.44)
j T
После подстановки Z e
с учётом формулы Эйлера выражение для
передаточной функции принимает вид:
W ( j ) e
j 2T
j (2 b1 sin T 2 b2 sin 2T ).
2.13. 5. Формулы АЧХ и ФЧХ
A( ) 2 b1 sin T 2 b2 sin 2T ,
( )
2
2T .
2. Асимметричные КИХ-фильтры с чётным N. На рис. 2.12 представлена
структурная схема фильтра для случая N=4.
Z-1
Z-1
Z-1
b1
- b1
x(kT)
b2
- b2
СУММАТОР
y(kT)
Рис.2.12. Асимметричный КИХ-фильтр с N=4
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=4 имеет вид:
1
2
3
W ( Z ) b2 b1 Z b1 Z b2 Z
Z
1.5
(b1 ( Z
0.5
Z
0.5
) b2 ( Z Z
1.5
1.5
(2.45)
)).
j T
После подстановки Z e
с учётом формулы Эйлера выражение для
передаточной функции принимает вид:
W ( j ) e
j1.5T
j (2 b1 sin 0.5T 2 b2 sin 1.5T ).
Формулы АЧХ и ФЧХ:
73
A( ) 2 b1 sin 0.5T 2 b2 sin 1.5T , __, ( )
2
1.5T .
2.13.6. Шесть формул расчёта КИХ-фильтров слинейной фазой
Ниже приведены шесть формул расчёта КИХ-фильтров с линейной фазой,
полученные на основании рассмотренных выше примеров [3]
1. Симметричные фильтры.
a) W (0) 0, ( )
N 1
* T
2
(1)
б) Если N-нечетное, то АЧХ-четная функция:
0 .5 N
W ( ) b0 2 * bk cos kT .
(2)
k 1
Применяется при условии W(0.5ωд)≠0.
в) Если N-четное, то АЧХ-нечетная функция:
0 .5 N
W ( ) 2 * bk cos(( k 0.5)T ).
(3)
k 1
Применяется при условии W(0.5ωд)=0.
2. Асимметричные фильтры.
a) W (0) 0, ( )
2
N 1
* T
2
(2.46)
б) Если N-нечетное, то АЧХ-нечетная функция:
W ( ) 2 *
0.5 N 1
a
k 1
k
sin kT .
(2.47)
Применяется при условии W(0.5ωд)=0.
в) Если N-четное, то АЧХ-четная функция:
0.5 N
W ( ) 2 * bk sin(( k 0.5)T ).
(2.48)
k 1
Применяется при условии W(0.5ωд)≠0.
Выводы. 1. КИХ-фильтры с линейной фазой должны
симметричные либо асимметричные коэффициенты bk .
2.z-передаточная функция КИХ-фильтра описывается выражением:
n
иметь
W ( z ) b k z . (2.49)
k
k 0
3. Импульсная характеристика КИХ-фильтра по значениям совпадает с его
коэффициентами bk :
g(kT= bk , k=0,1,…,n. (2.50)
Пример 2.5. Сигнал на выходе КИХ-фильтра описывается разностным
y (kT ) b0 x(kT ) b1 x(kT T ), ãäå b0 1, b1 2, n 1.
уравнением:
74
z-передаточная функция такого КИХ-фильтра имеет вид:
1
W ( z) 1 2 z .
Импульсная характеристика: g (0) 1, __ g (1) 2, __ g (3) g (4) ... 0.
Пусть входной сигнал нашего КИХ-фильтра равен:
x(kT ) 1для : k 0,1 и : x(kT) 0, для : k 2.
Выходной сигнал рассчитывается следующим образом:
y (0) 1 * 1 2 * 0 1,
y (1T ) 1 * x(T ) 2 * x(0) 1 2 3,
y (2T ) 1 * x(2T ) 2 * x(T ) 0 2 2.
2.13.7. Однородные КИХ-фильтры
КИХ-фильтры, все коэффициентыкоторых bm равны 1, называются
однородными.
Вернёмся к понятию частоты текущей частоты w, нормированной по
отношению к частоте Котельникова-Найквиста. Тогда ωT=2πw, w=ωT/2π.
Ввиду периодичности частотных характеристик ЛДС нормированную
частоту достаточно рассматривать в диапазоне w=0…0.5. Для однородного
фильтра его характеристики через нормированную частоту находятся
следующим образом.
Передаточная функция однородного КИХ-фильтра:
W ( z)
1
N
N 1
z
k
(2.51)
k 0
Амплитудночастотная характеристика однородного КИХ-фильтра (модуль
комплексной частотной характеристики КЧХ):
A( w) K ( w)
1 sin( Nw)
N sin( w)
(2.52)
Фазочастотная характеристика (аргумент
характеристики):
φ(w)=- N πw (2.53)
комплексной
частотной
Перейдём к рассмотрению особенностей однородных фильтров.
Поскольку все коэффициенты однородного КИХ-фильтра равны 1 и
передаточная функция его описывается уравнением (2.48), при числе звеньев
N= 2р , операцию умножения на коэффициент 1/N можно заменить сдвигом
на p разрядов вправо, и тогда структурная схема однородного КИХ-фильтра
будет выглядеть следующим образом, рис.2.13:
75
Z-1
Z-1
Z-1
x(kT)
1/N
y(kT)
СУММАТОР
Рис.2.13. Структурная схема однородного КИХ-фильтра
2.13.8. Расчёт однородного КИХ-фильтра
При расчёте однородного КИХ-фильтра к нему предъявляются общие
требования как и к любому фильтру, чтобы ширина полосы пропускания на
заданном уровне (например, 0.707) составляла величину wпропуск , а ширина
полосы задержки составляла величину
w
задержк
.
Пусть требуется синтезировать фильтр нижних частот ФНЧ. Если бы
можно было создать идеальный фильтр, то в полосе пропускания такого
фильтра АЧХ равнялась единице Аид=1, а в полосе задержки Аид=0.
Другими словами, для идеального фильтра нижних частот АЧХ в полосе
пропускания:
Апроп=1 при 0≤w≤wпроп,
а полосе задержки : wзадерж≤w≤0.5 Азадерж=0,
в переходной полосе:
wпропуск≤w≤wзадерж АЧХ идеального ФНЧ Аид не
определена. Ширина лепестка в полосе пропускания зависит от числа звеньев
фильтра и последовательно подключенных каскадов. Сказанное
иллюстрирует рис.2.14.
1
0.707
w
0
wпропуск
wзадерж 0.5
Рис.2.14. Исходные данные к расчёту ФНЧ
Таким образом, единственным параметром однородного фильтра является
его порядок N. При увеличении N ширина главного лепестка уменьшается.
Поскольку ширина главного лепестка должна быть больше полосы
пропускания, то из формулы (2.52) следует, что порядок фильтра являентся
величиной, обратной к ширине главного лепестка N<1/wгп . Но при этом
может не выполняться требование по допустимым отклонениям АЧХ в
76
полосе задержки. Выходом из создавшегося положения может служить
последовательное (каскадное) соединение q одинаковых однородных
фильтров (рис.2.15), порядок каждого из которых равен N/Q. АЧХ такого
фильтра определяется формулой:
q
N
(
w
,
N
)
A
,
(
w
,
) .
A
q
q
(2.51)
Синтезированный по такому принципу однородный фильтр имеет более
широкий главный лепесток и в то же время значительно меньший уровень
боковых лепестков, как показано на рис. 2.16.
ФНЧ порядок N/q
x(kT)
ФНЧ порядок N/q
y(kT)
Получается ФНЧ порядка N
Рис.2.15. Каскадное соединение однородных фильтров
A(w,8) при q=2
A(w,8)
A(w)
0
0.125 0.25 0.375
0.5
w
Рис.2.16. Расширение АЧХ каскадных КИХ-фильтров
Порядок фильтра и число каскадов получается методом подбора, что с
использованием современных расчётных компьютерных технологий не
представляет труда.
Пример2.6. Требуется синтезировать однородный фильтр нижних частот
ФНЧ таким, чтобы отклонения АЧХ в полосе пропускания и полосе
задержки не превышали наперед заданных величин A(w)пропуск 0.707 ,
A(w)
задержк
20 Дб , а щирина полосы пропускания составляла
и полосы задержки
w
задержк
пропуск
0.4..0.5 . В приведенном ниже примере
звеньев
для
A(w)
0.707 по формуле n1 1
пропуск
w
однокаскадного
фильтра
рассчитывается
0.17806
2
qw
0..0.1 ,
число
исходя
из
0.1 , где q=1 или 2-число
пропуск
каскадов в полосе пропускания и задержки. Расчёты выполнены в среде
Mathcad и приведены ниже.
77
q
n1
1
1 wp
0.17806
2
wp q
0.1
n1 4.437
n 5
0.1
N
3
Ðàñ÷èòûâàåì À×Õ è ñòðîèì ãðàôèêè ïðè ÷èñëå êàñêàäîâ q=1 A(w) è q=2 A2(w).
1 sin ( n w )
n sin ( w )
A( w)
1 sin ( N w )
N sin ( w )
A1( w )
A2( w )
A1( w )
2
1
0.86
0.71
A( w ) 0.57
A2( w ) 0.43
0.29
0.14
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
w
Çàòóõàíèå â ïîëîñå çàäåðæêè az äëÿ q=1 B(w) è q=2 B1(w)
B( w )
20 log ( A ( w ) )
B1( w )
20 log ( A2( w ) )
0
8
B( w )
16
B1( w ) 24
32
40
0
0.13
0.25
w
0.38
0.5
Пример расчета простого КИХ-фильтра.
Пример 2.7. Сигнал на выходе КИХ-фильтра описывается разностным
уравнением:
y (kT ) b0 x(kT ) b1 x(kT T ),
b
0
1,
b
1
2,
n 1.
z-передаточная функция такого КИХ-фильтра имеет вид:
1
W ( z) 1 2 z .
Значение отсчётов импульсной характеристики:
g (0) 1,
g (1) 2,
g (3) g (4) ... g (n) 0.
Пусть значения отсчётов входного сигнала нашего КИХ-фильтра:
x(kT ) 1
для : k 0
и
k 1 ; : x(kT) 0,
Выходной сигнал рассчитывается следующим образом:
78
для : k 2.
y (0) 1 * 1 2 * 0 1,
y (1T ) 1 * x(T ) 2 * x(0) 1 2 3,
y (2T ) 1 * x(2T ) 2 * x(T ) 0 2 2.
Пример 2.8. Оптимизация коэффициентов КИХ-фильтра методом
наименьших квадратов.
Задание. По критерию наименьших квадратов (G) оптимизировать
коэффициенты КИХ-фильтра заданного порядка N.
Критерий наименьших квадратов G даёт возможность отыскать минимум
квадрата разности между идеальной и реальной АЧХ с учётом весовых
пользовательских коэффициентов qp и qz .
Исходное соотношение для критерия минимизации G(C):
G(C ) q
wp1
p
wz1
(1 A(w,C) dw q (0 A(w,C) dw min .
2
2
z
wp0
wz0
В примере оптимизируются коэффициенты однородного КИХ-фильтра
порядка N=5. АЧХ и критерий оптимизации такого фильтра имеет вид:
2
A( w, C ) C l cos( 2lw) C 0 cos(0 * 2w) C 1 cos(1 * 2w) C 2 cos( 2 * 2w),
l 0
wp1
2
2
wz1
2
2
G (C ) q (1 cos(2lw)) dw q (0 cos(2lw)) dw.
p
z
l 0
l 0
wp0
wz0
Найдём частные производные по коэффициентам КИХ-фильтра С для
кримерия оптимизации. В нашем случае:
G (C )
G (C 0 , C 1 , C 2)
0 D *C D *C D *C E ,
C
G (C , C , C )
G (C )
0
0 D *C D *C D *C E ,
C
C
G (C , C , C )
G (C )
0
0 D *C D *C D *C E .
C
C
C
0
0
1, 0
0
1,1
2,0
0
2 ,1
1
2, 2
2
1
3, 0
0
3,1
1
3, 2
2
2
1
1, 2
0
2
0
0
1
1
2
1
0
2
1
2
2
Найдём
частную
G (C 0 , C 1 , C 2)
C
0
производную
от
критерия
минимизации
по
wp1
2 * q 1 C 0 cos(0 * 2w) C 1 cos(1 * 2w) C 2 cos(2 * 2w) dw
p
wp0
wz1
q C 0 cos(0 * 2w) C 1 cos(1 * 2w) C 2 cos(2 * 2w) dw 0.
z
wz0
Аналогично предыдущему найдём частные производные по
коэффициентам КИХ-фильтра от АЧХ:
79
C0:
A( w, C ) C 0 * cos(0 * 2w) C 1 * cos(1 * 2w) C 2 * cos( 2 * 2w)
cos(02w) 1.
C0
C 0
D
1, 0
q *
wp1
C
p
wz1
0
wp0
D
1,1
q *
cos(0 * 2w)dw q * C 0 cos(0 * 2w)dw,
z
wz0
wp1
wz1
C cos(1* 2w)dw q * C cos(1* 2w)dw,
1
p
wp0
D1,2 q *
p
E q
0
1
z
wz0
wp1
wz1
cos(
2
*
2
w
)
dw
*
q z C 2 cos(2 * 2w)dw,
C2
wp0
wz0
wp1
p
C cos(0 * 2w)dw.
*
1
wp0
Те же самые выражения в общем виде:
wp1
wz1
cos(
i
2
w
)
*
cos(
m
2
w
)
dw
q z cos(i 2w) * cos(m2w)dw,
D m,i q p
wp0
wz0
wp1
E m q p cos(mw)dw,
wp0
A( w, C )
C
cos(i * 2w),
i
m 1,2,3; __ i 0,1,2.
Решение в векторно-матричном виде:
1
C D * E.
По аналогии с данным примером такие же результаты можно получить для
фильтров с произвольным порядком N.
2.14. Фильтры с бесконечной импульсной импульсной
характеристикой-БИХ-фильтры
БИХ-фильтры-это рекурсивные линейные дискретные системы с обратной
связью и бесконечной импульсной характеристикой.
Для рекурсивных фильтров с бесконечной импульсной характеристикой
– БИХ-фильтров – уравнение фильтрации содержит как входные, так и
выходные отсчеты сигнала возбуждения, а в схеме присутствуют элементы
обратной связи (рис.1). Такие системы и фильтры называются рекурсивными.
80
z -1
X(kT)
z -1
B b0
z -1
b1
b2
z -1
b3
bN-2
bN-1
СУММАТОР
CC
aM-1
aM-2
y(kT)
a2
z -1
a1
z -1
z -1
Рис.2.17. Прямая реализация БИХ-фильтра
БИХ-фильтр описывается разностным уравнением в рекурсивной форме:
N 1
M 1
n 0
m 1
y (kT ) bn x(kT nT ) am y (kT mT ).
z-передаточная
выражением:
функция
N 1
W ( z)
b z
n 0
M 1
(2.52)
БИХ-фильтров
описывается
.
(2.53)
стандартным
n
n
1 am z
m
m 1
Поскольку БИХ-фильтры реализуются либо в виде микросхем, либо
программным путем на специальных процессорах, передаточная функция
может представляться по-разному.
Разделим общий сумматор на два отдельных блока: для рекурсивной и
нерекурсивной части фильтра. В результате получаются два последовательно
соединённых КИХ-фильтра, один из которых содержит нерекурсивную, а
другой рекурсивную часть схемы. Поскольку результат последовательного
прохождения сигнала через ряд линейных стационарных устройств не
зависит от последовательности их соединения, можно поменять местами обе
части нашего фильтра. Важно проследить, что в обе линии задержки
подаётся один и тот же сигнал, выраженный через одни и те же отсчёты.
Поэтому линии задержки можно объединить. В результате получается
разновидность схемы БИХ-фильтра, которая называется канонической.
Теоретически обе формы эквивалентны. Но практически различия этих форм
существенны. В каноническом фильтре используется одна линия задержки, а
это уменьшает общее число ячеек памяти. Но при этом амплитуды
отдельных отсчётов могут значительно превосходить амплитуду входного и
выходного сигналов. Это приводит к необходимости увеличивать
81
разрядность представления чисел в линии задержки по сравнению с
разрядностью входного и выходного сигналов. Для прямой формы
реализации КИХ-фильтров в линиях задержки хранятся непосредственные
отсчёты входного и выходного сигналов и повышенной разрядности линии
задержки не требуется. Единственным элементом, требующим повышенной
разрядности в данном случае является сумматор и этот факт учитывается в
архитектуре микропроцессоров, специально предназначенных для обработки
сигналов в реальном времени. Эти соображения отражаются на структурной
схеме.
Представим БИХ-фильтр, как ЛДС, состоящую из двух
последовательных звеньев (рис.2):
X(z)
W1(z)
Y(z)
W2(z)
Рис.2.18. Представление БИХ-фильтра каскадным соединением
двух КИХ-фильтров
В этом случае справедливы следующие равенства:
V ( z)
W ( z ) W ( z ) , ГДЕ
1
2
U ( z)
1
Y ( z)
W ( z)1 N 1 n X ( z ) ,
1 an z
W ( z)
(2.54)
n 1
M 1
W ( z) b z
2
m 0
m
m
X ( z)
.
Y ( z)
Первое звено описывается разностным уравнением:
N 1
y (kT ) x(kT ) an y (kT nT ),
(2.55)
n 1
Второе звено описывается разностным уравнением:
M 1
y (kT ) bm y (kT mT ).
(2.56)
m 1
При такой форме записи в БИХ-фильтре задерживается только
промежуточный сигнал y(kT) и структурную схему можно представить таким
образом (рис.2.19):
82
x(kT)
y(kT)
С
У
М
М
А
Т
О
Р
-a1
z-1
z-1
z-1
z-1
-a2
b1
b2
-aN-2
bМ-2
z-1
b0
С
У
М
М
А
Т
О
Р
y(kT)
z-1
aN-1
bМ-1
Рис.2.19. Переход к канонической форме БИХ-фильтра
x(kT)
y(kT)
С
У
М
М
А
Т
О
Р
z-1
-a1
z-1
-a2
b1
b2
-aN-2
bМ-2
b0
С
У
М
М
А
Т
О
Р
(kT)
z-1
-aN-1
bМ-1
Рис. 2.20. Каноническая реализация БИХ-фильтра
В структурных элементах БИХ-фильтра рис.2.20 задерживается только
промежуточный
сигнал y(kT). Эта схема является одной из форм
канонического представления БИХ-фильтров.
.
83
Пример
уравнением:
2.9.
Имеется
рекурсивный
y (kT ) x(kT ) ay (kT ),
N 1,
БИХ-фильтр,
M 2,
b
0
1,
описываемый
a a .
1
Структурная схема фильтра представлена на рис.5.
x(kT)
y(kT)
-a
z-1
Рис.2.21. Пример простого БИХ-фильтра
z-передаточная функция фильтра имеет вид:
W ( z)
1
.
1
1 a z
Импульсная характеристика БИХ-фильтра нашего примера получается
при подаче на вход дискретного δ-импульса:
x(kT ) (kT )
k 0,
1,
0 k0
.
g (kT ) (kT ) ag (kT T ),
k 0
g (0) 1,
k 1
g (T ) ag (0) a,
k 2
g (2T ) ag (T ) aa a ,
k 3
g (3T ) ag (2T ) a a a ,
2
2
3
..............................................................
k n
g (nT ) a .
n
Из примера видно, что по мере того, как выходная линия задержки
заполняется
отсчётами
импульсной
характеристики,
сложность
аналитических формул быстро возрастает. Наличие в схеме обратных связей
приводит к получению бесконечной импульсной характеристики. Из-за
обратных связей работа БИХ-фильтров может быть неустойчивой.
2.14.1. Биквадратный блок
Основным
структурным
биквадратный блок.
элементом
84
БИХ-фильтров
является
Как правило, реализация цифровых фильтров в прямой или канонической
форме из-за ошибок вычислений, обусловленных конечной разрядностью
кода, нецелесообразна. Всегда стараются реализовать фильтры с
использованием простых звеньев второго порядка - биквадратных блоков.
Биквадратный блок является универсальным структурным элементом
БИХ-фильтров, последовательное
(каскадное) соединение которых
позволяет получить фильтр любой степени сложности. Биквадратный блок
описывается уравнением:
y(kT ) a1 y(kT T ) a2 y(kT 2T ) b0 x(kT) b1 x(kT T ) b2 x(kT 2T ), (2.57)
z-передаточная функция биквадратного блока:
1
W ( z) b b z b z
1 a z a z
0
1
2
1
1
2
(2.58)
2
2
Каскадная схема подключения биквадратных блоков представлена на рис.
6:
x(kT)
W1(z)
W2(z)
Wk(z)
y(kT)
Рис. 2.22. Каскадная форма реализации БИХ-фильтра
В этом случае передаточная функция фильтра:
L 1
W ( z ) W ( z ) .
k
k 0
Структурная схема биквадратного блока видна из рис.7.
x(kT)
b0
y(kT)
z-1
-a1
b1
-a2
b2
z-1
Рис.2.23. Структурная схема биквадратного блока
Биквадратный блок является результатом билинейного z-преобразованиzпреобразования аналогового блока. Для этого из формулы выделяют
оператор Лапласа p, а десятичный логарифм разлагают в ряд Тейлора:
85
z e ,
p
pT
1
ln z ,
T
3
2 n 1
z
1
z
1
z 1 1
1
ln z 2
....
z 1 3
z 1 2n 1 z 1
В указанном разложении оставляют первый член ряда и путем умножения
числителя и знаменателя на z-1 переходят к отрицательным степеням
переменной z:
p
2 z 1
*
,
T z 1
при
умножении
на
z
1
1
p
Вводится обозначение: γ=2/T, тогда:
p *
1 z
1 z
2 1 z
*
.
T 1 z 1
1
1
.
Откуда переменная z как функция оператора Лапласа имеет вид
z
p
.
p
Передаточная функция цифрового фильтра W(z) получается
передаточной функции аналогового фильтра W(p) заменой:
p *
1 z
1 z
из
1
1
.
(2.59)
2.14.2. Частотная характеристика БИХ-фильтра
Подставляя в z-передаточную функцию поворачивающий множитель
j T
z e , получаем АЧХ и ФЧХ БИХ-фильтра обычным образом:
W (e
jT
) A( ) e
A( ) W (e
jT
j ( )
,
) , ___ ( ) arg(W (e
jT
) arctg
Im( )
.
Re( )
Круговая частота выбирается нормированной: w
T
.
2 / T 2
В этом случае АЧХ БИХ-фильтров имеет вид:
N 1 N 1
A( w)
b b cos(( m n) * 2w
n0 m0
M 1M 1
m
n
a a cos(( k l ) * 2w
k 0 l 0
k
.
l
Для приведенного выше примера:
A( w)
БИХ-фильтры имеют нелинейную ФЧХ.
86
1
1 2a cos( 2w) a
2
.
2.14.3. Аналоговые фильтры-прототипы
Как и аналоговые, цифровые фильтры подразделяются на фильтры
нижних, верхних частот и полосовые фильтры. Разработаны различные
способы синтеза дискретных фильтров. Большое распространение получил
способ расчёта дискретных фильтров на основании преобразовании
комплексной частотной характеристике аналогового фильтра-прототипа [19].
Фильтром-прототипом называют идеализированный аналоговый фильтр
нижних частот с частотой среза 1 рад.-сек, который допускает
преобразования, необходимые для расчёта дискретных фильтров нижних
частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ) и полосовых фильтров (ПФ.
При проектировании фильтров задаются двумя основными параметрами,
которые в литературе обозначаются по-разному: неравномерностью АЧХ в
полосе пропускания R=20log(δA(ω))дБ и затуханием в полосе задерживания
L=20log(ξA(ω))дБ.
Фильтр
Баттерворта.
Функция
передачи
фильтра
1
Баттерворта: K( )
1 - (/ cp)
2n
, здесь n – порядок фильтра, ω(0)- частота
среза на уровне 1/√2=0.707=-3дБ. Полюса фильтра, число которых равно
порядку фильтра, располагаются в левой части комплексной области.
Порядок n фильтра Баттерворта при заданных значениях R и L определяются
по формуле:
0.1L
n
log (10
1) /(10
0.1R
1)
log( / 1)
,
частота _ среза.
1
Передаточная функция нормированного фильтра Баттерворта нижних частот:
n
H ( p) 1 / N ( p) 1 / ( p
k 1
p ).
k
N(p)- полином Баттерворта n-ого порядка, pk-полюсы фильтра:
p
k
cos
n 1 2k
n 1 2k
j sin
.
2n
2n
Полиномы N(p) нормированных фильтров Баттерворта затабулированы.
Фильтр Чебышева 1-го рода. Функция передачи фильтра
K( )
1
1-
2
T ( ) (/ cp)
2
,
T ( )
n
n
cos( n arccos( ))
n 1
2
.
здесь Т(ω)- полином Чебышева n-ого порядка, где n-порядок фильтра.
Полином Чебышева колеблется в полосе [-1,1], в результате чего АЧХ
фильтра Чебышева 1-го рода в полосе пропускания пульсирует в интервале
1, 1 2 , где - величина
пульсаций.
определяется формулой:
87
Порядок
фильтра
Чебышева
0.1L
n
Arch (10
1) /(10
1)
0.1R
Arch( / 1)
частота _ среза.
,
1
В фильтрах Чебышева 1-го и 2-го рода прослеживается взаимосвязь между
тригонометрическими и эллиптическими функциями.
По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка фильтр Чебышева
обеспечивает более крутой спад АЧХ в переходной области от полосы
пропускания к полосе задерживания.
Фильтр Чебышева 2-го рода. Функция передачи фильтра
1
K( )
1
.
2
T n ( 0 / )
2
АЧХ фильтра Чебышева 2-го рода монотонно затухает в полосе
пропускания, а в полосе задерживания колеблется в интервале между нулём
2
и величиной 1 / 1 . Коэффициент передачи на нулевой частоте равен 1, а в
полосе задерживания – заданному уровню пульсаций напряжения.
Эллиптический фильтр Кауэра. Функция передачи фильтра
K( )
1
1
2
R (
2
n
0
/ ), L
.Здесь : R n
функция Чебышева n-го порядка. Фильтр Кауэра объединяет в себе
достоинства фильтров Чебышева 1-го и 2-го рода: имеет пульсации заданной
величины как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания и
максимальную крутизну перехода между указанными областями.
Фильтр Бесселя. Фильтр Бесселя не аппроксимирует прямоугольную АЧХ,
а скорее функцию близкую к экспоненте. Для фильтра Бесселя групповое
время в полосе пропускания остаётся постоянным. Функция передачи
фильтра описывается выражением:
H (s)
d
d s
0
n
k 0
k
k
, где d k
(2n k )!
коэффициенты полинома.
k
!
(
n
k
)!
2
n 1
Изменение частоты среза ФНЧ фильтра-прототипа для преобразование его
в ФВЧ производится по формуле s→s/ω, где ω-частота среза ФНЧ.
2.14.4. Расчёт БИХ-фильтров
БИХ-фильтры рассчитываются на основании аналоговых фильтровпрототипов нижних частот с частотой среза Ω=1. В качестве фильтровпрототипов могут использоваться фильтры Баттерворта, Чебышева,
эллиптические и др.
Исходными данными к расчёту БИХ-фильтров являются:
Полоса пропускания (ПП) 0≤ Ω≤1.
88
Полоса задерживания (ПЗ).
Неравномерность АЧХ в ПП в дБ.
Минимальное затухание в ПЗ в дБ.
Для аналоговых фильтров четного порядка n, в частности, для фильтров
Баттерворта передаточная функция имеет вид:
W ( s)
1
n/2
c
i 1
s 2 a s a b
2
i
2
2
i
i
,
здесь c, ai, bi –коэффициенты фильтра-прототипа.
Переход от фильтра-прототипа к цифровому
посредством замены:
s
k
1 k z
1 k z
1
, ____
1
ctg (
фильтру
выполняется
w )дляФНЧ ФНЧ ,
tg ( w )дляФНЧ ФВЧ
гп
гп
1дляФНЧ ФНЧ
,
1дляФНЧ ФBЧ
wпп –граница полосы пропускания.
Пример 2.10. Получить ФНЧ БИХ-фильтр
передаточной функцией:
W ( p)
p 2.5
П
1
, _____ 2.5,
p 0.4
1 z
1 z
1
1
,
1
W ( z)
2.5
из аналогового ФНЧ с
1 z
1 z
1
1
0.4
1 z
1
1
1
2.5(1 z ) 0.4(1 z )
1 z
1
2.9 2.1 z
1
.
2.15. Метод линейного предсказания
Теория цифровых рекурсивных цифровых фильтров нашла большое
применение в устройствах сжатия и распаковки данных, в частности
системах мобильной связи при кодировании речи на основании метода
линейного предсказания. Метод линейного предсказания используется
также при расчёте цифровых корректоров.
Сущность кодирования цифровых данных на основании метода линейного
предсказания состоит в следующем. По каналу связи передаются не
параметры речевого сигнала, а коэффициенты некоторого БИХ-фильтра,
повторяющие особенности речевого аппарата абонента, и параметры сигнала
возбуждения. Такой фильтр носит название фильтра линейного
предсказания. На передающем конце производится формирование сигналов
возбуждения и коэффициентов фильтра. На приемном конце сигнал
возбуждения пропускается через фильтр с известными коэффициентами, в
89
результате чего восстанавливается речевой сигнал. В этом случае очередной
отсчёт речевого сигнала y(nT) с некоторой степенью точности
предсказывается линейной комбинацией K-1 предыдущих его отсчётов:
K
y (nT ) a k y (nT kT ) .
Здесь
a
k 1
k
-
коэфициенты
фильтра
линейного
предсказания, а K-порядок предсказания. Разница между истинным и
предсказанным значением отсчёта y(nT) даёт ошибку предсказания:
K
епредск ~y (nT ) ak y(nT kT ) , где
~
y (nT ) -истинное значение k-ой выборки
k 1
речевого сигнала. Выполнив z-преобразование для ошибки предсказания,
получим разность:
eпредск ( z )
Выражение
~
y ( z) a z
K
k
K
k 1
k
k
.
(2.60)
H ( z ) ak z интерпретируется
k
как передаточная функция
k 1
инверсного
фильтра-анализатора
(трансверсального
фильтра),
характеристика которого обратна характеристике речевого сигнала. При
подаче на вход этого инверсного фильтра речевого сигнала на выходе
получается сигнал возбуждения, подобный сигналу возбуждения на входе
фильтра голосового тракта. Ошибка определяется конечным порядком
фильтра и отклонением истинной величины выборки от её оценки. Значения
коэффициентов трансверсального фильтра предсказания выбираются
постоянными на интервале некоторого наперед выбранного временного
интервала (для речевого сигнала он обычно равен 20мс). После выбора
порядка фильтра К методом наименьших квадратов минимизируется ошибка
предсказания eпредск . Для этого находятся частные производные от ошибки
( eпредск)
2
предсказания по коэффиентам
a
k
, т.е.
k
ak
0
k 1,2,.., K 1 , которые
приравниваются нулю и решается система линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ), чтобы минимизировать величину ошибки. Полученные
коэффициенты и посылаются на приёмный конец.
Анализирующий
трансверсальный фильтр предсказания порядка К=3 показан на рис. 2.534.
y(kT)
z-1
-а0
z-1
-а1
СУММАТОР
z-1
-а2
e(kT)
Рис.2.23. Анализирующий трансверсальный блок порядка К=3
Из приведенных рассуждений следует, что [Гук] алгоритм линейного
предсказания позволяет по некоторой линейной комбинации К-1
предшествующих взвешенных отсчетов недетерминированного сигнала с
90
некоторой точностью предсказать будущее значение отсчёта. Алгоритм
нашел широкое применение в мобильной связи и других цифровых системах
для сжатия и распаковки данных. Практическая важность линейного
предсказания состоит в оценке спектра исследуемого сигнала на отрезке
длиной К отсчетов. С точки зрения фильтрации алгоритм состоит в
получении коэффициентов БИХ-фильтра на отрезке дискретизации КТ, где
Т-период дискретизации. Предполагается, что на этом отрезке коэффициенты
фильтра постоянны. В результате решения задачи линейного предсказания
находятся коэффициенты БИХ-фильтра на отрезке КТ амплитудночастотная
характеристика которого приблизительно совпадают с формой спектра
сигнала на этом отрезке. Задача линейного предсказания формулируется
следующим образом:
Сигнал
y(KT)
на участке KТ
описывается выражением
K
y (kT ) b0 x( KT ) a k y (nT kT )
k 1
Передаточная функция выходного сигнала:
H ( z)
b
1 a z
(2.61)
0
K
k 1
k
k
Из этой передаточной функции получается рекурсивный фильтр линейного
предсказания с коэффициентами ak . Для этого последовательно с искомой
системой включается КИХ-фильтр с передаточной функцией B(z),
описываемой формулой B( z )
b
~z
1 a
0
K
k 1
K
k
* 1 ak z b0 const k
k 1
(2.62)
k
K
Как было сказано выше, КИХ-фильтр с передаточной функцией 1 ak z k
k 1
называется
фильтром
линейного
предсказания
или
фильтромпредсказателем, а его коэффициенты ak -коэффициентами линейного
предсказания. Эти коэффициенты будут отличаться от точных значений на
величину ошибки предсказания:
K
eпредск (nT ) ~y ( KT ) ak y(nT kT ) . Структурная схема получения ошибки
k 1
предсказания показана на рис. 2.23.
x(kT)
H(z)
y(kT)
z-1
z-1
-а0
z-1
-а1
СУММАТОР
z-1
-а2
-аK-1
-аK
e(kT)
Рис.2.23. Анализирующий трансверсальный блок порядка К=3
91
Алгоритмов оптимизации ошибки предсказания (невязок) можно назвать
несколько, из которых разработчик устройства выбирает наиболее
подходящий.
2.16. Цифровая коррекция каналов
Кроме внешних помех большую проблемупри обмене дискретной
информацией составляют взаимные искажения сигналов, являющиеся
результатом бесконечности спектра прямоугольных импульсов. Для
коррекции их используются различные различные коды (например, RLL2,7), а
также гармонические и цифровые корректоры.
В случае, когда передача осуществляется прямоугольными импульсами,
необходимо учитывать, что его частотная характеристика бесконечна.
Упрощённая схема системы передачи дискретной связи показана на рис. 2.24.
Фильтр нижних частот (ФНЧ) на передающем конце системы оставляет
главный лепесток амплитудночастотной характеристики (АЧХ), убирая все
боковые. Поэтому на выходе ФНЧ форма прямоугольного импульса
изменяется, он расширяется и в соседние отсчетные моменты времени уже не
равен нулю. Это явление носит название межсимвольной интерференции
сигнала. При прохождении через линию связи с неравномерной АЧХ и
нелинейной фазочастотной характеристикой (ФЧХ) форма импульсов
дополнительно искажается и межсимвольная интерференция увеличивается.
Задача цифрового корректора, который как будет показано, представляет
собой КИХ-фильтр, по возможности избавиться от этого явления.
Рис. 2.24. Упрощённая схема системы передачи дискретной связи
Расчет цифрового корректора производится во временной области на
основании отсчётов импульсной характеристики канала следующим образом.
Подадим на вход системы передачи сигнал в виде единицы, окруженной
нулями "…00100…"-аналог дискретного δ(kT)-импульса. Тогда входной
сигнал корректора будут составлять отсчеты импульсной характеристике
системы "ФНЧ+линия связи" g(kT) в дискретные моменты, соответствующие
интервалу Котельникова (рис. 2.25). Методику раксчёта коэффициентов
цифрового корректора лучше всего показать на конкретном примере.
Используем в качестве корректора КИХ фильтр порядка
n = 3.
92
g(0) g(T) g(2T)
Рис. 2.25. Сигналы на входе корректора
Обозначим отсчёты импульсной характеристики как
g0=g(0), g1=g(T),
g2=g(2T).
Представим динамику прохождения сигнала через корректор по тактам
тактового генератора в виде сдвига информации в трёхячеечном сдвиговом
регистре (рис. 2.26).
Рис. 2.26. Потактовое прохождение отсчётов g(kT) через сдвиговый регистр
В отсчетные моменты времени сигнал на выходе цифрового корректора
описывается следующей системой линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ):
V A C0 g 0 0 0
VБ C0 g1 C1 g 0 0
VВ C0 g 2 C1 g 0 C2 g 0
(2.63)
V Г 0 C1 g 2 C 2 g1
93
V Д 0 0 C3 g 2
C0 , C1 , C2 – неизвестные коэффициенты корректора.
g0 , g1 , g2 – известные значения входного сигнала.
VА , VБ , VВ , VГ , VД – желаемый сигнал на выходе цифрового корректора.
Требуется, решая систему линейных алгебраических уравнений, найти
коэффициенты корректора С0 , С1, С2, которые обеспечивали бы требуемые
значения выходного сигнала.
1. Первый способ решения задачи основан на определении неизвестных
системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ (2.63).
Система уравнений (2.63) несовместна, поскольку число Vi больше числа
неизвестных Ck. Отбросим VА и VД , оставив VБ , VВ и VГ. СЛАУ примет вид:
VБ C0 g1 C1 g 0 0 g1 g 0 0
C0
VВ C0 g 2 C1 g1 C 2 g 0 g 2 g1 g 0
(2.64)
C1
C
V Г 0 C1 g 2 C2 g1 0 g 2 g1
2
G
C
0
Представим желаемый выходной сигнал как вектор H 1 .
0
Запишем СЛАУ в векторно-матричной форме
G C H G 1 G C G 1 H
единичная матрица
Искомый вектор коэффициентов корректора определяется формулой (2.65):
C G 1 H
(2.65)
2. Второй способ решения задачи методом наименьших квадратов
(минимизации невязок).
Оставим все уравнения от А до Д, но вместо точного равенства левых и
правых частей потребуем минимума суммы квадратов разностей - невязок.
Обозначим:
g0 0 0
0
g1 g 0 0
0
G g 2 g1 g 0
H 1 - желаемый выходной сигнал.
0 g 2 g1
0
0 0 g
0
2
Сумма квадратов невязок для рассматриваемого примера равна:
2
m1 n 1
D(C0 ,...,Cn1 ) Gi , j C j H i ,
m=5, n=3. (2.66)
i 0 j 0
Дифференцируем (2.66) по СК (К=0,…,n-1) и приравниваем к 0
частные производные:
94
D m1 n1
2 Gi , j C j H i Gi ,K 0
C K i 0 j 0
m1
(2.67)
Gi, j Gi,K C j H i Gi,K
j 0 i 0
i 0
А
C
B
В (2.67) ведём следующие обозначения:
Aj,k – элемент матрицы А правой части (2.67), которая равна A=GTG,
G T - матрица,
Bk – элемент вектора левой части (2.67)
В=GTH,
транспонированная к G.
Запишем систему уравнений (2.67) в векторно- матричной форме:
AC=B A-1AC=A-1B, A-1 – единичная матрица.
Откуда искомые коэффициенты цифрового корректора находятся как
С=A-1B
(2.68)
Выражение (2.68) легко программируется и решается в математических
системах Mathcad и Matlab.
Выводы. 1. Цифровой корректор, представляет собой разновидность КИХфильтра и позволяет компенсировать межсимвольные искажения, а также
стационарные линейные искажения в дискретных каналах.
2. Исходными данными к расчету цифрового корректора являются отсчеты
импульсной характеристики на интервалах Котельникова.
3.
СЛАУ нахождения коэффициентов цифрового корректора легко
программируется и решается в системах Mathcad и Matlab.
4. Как показывают проверочные расчеты, исправляющая способность
сигналов цифрового корректора для указанных в работе условий находится в
пределах 92-97%. Расчет цифрового корректора показан на примере 2.11.
Пример 2.11. Расчет цифрового корректора.
Исходные данные. Задан канал передачи дискретных сообщений.
Межсимвольная
интерференция
сигналов в канале определяется импульсной
характеристикой, отсчеты которой соответственно равны g0=0.2; g1=1; g2= 0.5; U=11.
1. Используя выражение дискретной свертки, рассчитать сигнал на
выходе канала в отсчетные моменты 0,1,2,3 для последовательности входных
сигналов u(0), и u(T) для двух вариантов а) и б):
а) u(0)=U, u(T)=0, где U=n+1;
б) u(0)=U, u(T)=U.
В другие отсчетные моменты u(2T)=u(3T)=0.
3. Рассчитать коэффициенты цифрового корректора C 0 , C 1 , C 2 , обеспечивающие
n1 m1
выходной сигнал “010” при подаче на вход канала сигнала “100”.
95
3. Рассчитать сигналы на выхаде корректора при входных сигналах (a),
(b). Проанализировать эффективность работы цифрового корректора.
Пример выполнения работы при условии m=3, n=10.
Первый этап
Обозначим через u1(kT) сигнал на выходе канала связи и следовательно на
входе цифрового корректора. В соответствии с выражением дискретной
свертки он равен
k
u1(kT)= u( jT )*g ((k j)
j 0
k=0, 1, 2, 3.
Учитывая, что u(jT)=0 для j>1 и g(mT)=0 для m>2, получаем
k=0
u1(0)=u(0)*g(0)=u(0)*g0,
k=1
u1(T)=u(0)*g(T)+u(T)*g(0)=u(0)*g1+u(T)*g0,
k=2
u1(2T)=u(0)*g(2T)+u(T)*g(T)=u(0)*g2+u(T)*g1,
k=3
u1(3T)=u(T)*g(2T)=u(T)*g2.
Для варианта (а) u(0)=11, u(T)=0:
2 .2
11
U1=
6.05
0
u1(0)=11*0.2=2.2
u1(T)=11*1+0*0.2=11
u1(2T)=11*(-0.55)+0*1=-6.05
u1(3T)0*(-0.55)=0
Для варианта (б) u(0)=11, u(T)=11
u1(0)=11*0.2=2.2
u1(T)=11*1+11*0.2=13.2
u1(2T)=11*(-0.55)+11*1=4.95
u1(3T)=11*(-0.55)=-6.05
2 .2
13.2
U1=
4.95
6.05
Этап второй
Вычисление коэффициентов цифрового корректора. С этой целью
составляем систему трёх уравнений с тремя неизвестными, матрицу
коэффициентов при неизвестных G и вектор свободных членов H, которые
необходимы для нахождения коэффициентов векторно-матричным способом
в среде Mathcad либо вручную методом Крамера.
96
Система из 3-х уравнений
с 3-мя неизвестными:
Матрица коэффициентов
корректора:
C*g1C 00
C*g 2C*g1*g 01
0C*g 2C*g10
g1 _ g 0 __ 0
G= g 2 _ g1 _ g 0
0 __ g 2 _ g1
C
C= C
C
0
H= 1 -желаемый сигнал на выходе корректора
0
В векторно-матричной форме:
abc
d
........ * c
........ f
G*C=H
a*d b*c c* f
............................
=
............................
Умножаем слева на обратную матрицу
G 1 *G*C= G 1 *H, откуда
(G 1 *G)-едининичная матрица
G 1
С= G 1 *H, где
Решение с помощью программы Mathcad
Ввести:
g0:=0.2
g1:=1
Задать матрицу G и вектор Н
g1
G= g 2
0
g2:=-.055
0
Вектор H:= 1
0
g 0 0
g1 g 0
g 2 g1
1
C:=G *H
1
Вычислить C:=G *H Результат:
0.164
С= 0.82
0.451
Решение системы уравнений по формуле Крамера
С 0 =D 1 /D
C 1 =D 2 /D
C 2 =D 3 /D
где D- определитель матрицы G
97
g1 g 0 0 g1 g 0 0 g1 g 0
D= g 2 g1 g 0 = g 2 g1 g 0 g 2 g1
0 g 2 g1 0 g 2 g1 0 g 2
=g1 3 -g2*g0*g1-g1*g2*g0=
=1-2*g0*g2=1-2*0.2*(-0.55)=1.22
D=1.22
D 1 -определитель матрицы G, где 1-й столбец заменен на вектор H
0 g0 0 0 g0
= 1 g1 g 0 1 g1
0 g 2 g1 0 g 2
D1
=0-g1*1*g0=-g0=-0.2
D 2 -определьтель матрицы G , где 2-й столбец заменен на H
D2
g1 0 0 g1 0
= g 2 1 g 0 g 2 1 =g1
0 0 g1 0 0
2
-0=1
D 3 -определитель матрицы G, где 3-й столбец заменен на H
D3
g1 g 0 0 g1 g 0
= g 2 g1 1 g 2 g1 =0-g2*1*g1=0.55
0 g2 0 0 g2
Таким образом,коэффициенты
корректора равны:
С 0 = D 1 /D= -0.2/1.22= 0.164
C 1 = D 2 /D=1/1.22=0.82
C 2 = D 3 /D=0.55/1.22=0.451
Вектор коэффициентов:
0.164
С= 0.82
0.451
Этап третий
Прохождение сигнала U1(kT) через корректор описывается
линейной дискретной свёрткой выходных сигналов с
коэффициентами цифрового корректора, что иллюстрируется
схемой рис. 2.27.
98
u1(0)
u1(T)
u1(2T)
u1(3T)
U1(kT)
0
u1(0)
u1(T)
u1(2T)
0
0
u1(0)
u1(T)
C0
C1
C2
СУММАТОР
V(kT)
Рис. 2.27. Коррекция выходного сигнала цифровым корректором
U
1
T
v(0)=u1(0)*C
v(T)= u 1(T)*C 0 + u 1(0)*C
v(2T)= u 1(2T)*C 0 + u 1(T)*C 1 + u 1(0)*C 2
v(3T)= u 1(3T)*C 0 + u 1(2T)*C 1 + u 1(T)*C 2
Для случая а)
v(0)=2.2*(-0.164)
v(T)= 11*(-0.164)+2.2*0.82=0
v(2T)=(-0.05)*(-.164)+11*0.82+2.2*0.451=11.0044
v(3T)= 0*(-0.164)+(-6.05)*0.82+11*0.451=0
Для случая а) вектор сигнала до и после коррекции:
0.361
0
V=
11.0044
0
2.2
11
U1=
0.05
0
Для случая б) вектор сигнала до и после коррекции
99
2.2
13.2
U1=
4.95
6
.
05
0.361
0.361
V=
11
11
В обоих случаях ясно прослеживается эффективная работа цифрового
корректора.
2.16.1. Коррекция частотной характеристики канала связи
гармононическим корректором
Задача коррекции частотной характеристики канала связи может
решаться на частотном уровне с помощью гармонических
корректоров [10].
1. Постановка задачи коррекции частотных искажений
Обозначим:
1) F(j) – требуемое КЧХ канала связи.
1,для 1
F ( j )
0, для 1
АЧХ:
(2.69)
где =2fmax- граничная частота полосы пропускания.
ФЧХ:
arg (F(j))- линейная, соответствует задержке Т0.
2) W(j) – реальная КЧХ канала связи W(j) F(j)
3) Подключим корректор с КЧХ G(i) на виход линии связи
Линия связи W(jw)
Корректор G(jw)
Результирующее КЧХ: R(i)= W(i)* G(i)
Требуется: Подобрать G(i) так, чтобы R(i) как можно меньше
отличалось от F(i).
Структурная схема корректора: C0
n 1
G ( j ) C k * k j
(2.70)
k 0
В последней формуле φ0(j),…, φn-1(j) – базисные функции, которые
удовлетворяют условие ортогональности для kl.
100
k
( j ) *l ( j )d 0
φ0(j)
U(t)
C
У
М
М
А
Т
О
Р
C0
φn-1(j)
Cn-1
V(t)
Рис. 2.27. Структурная схема гармонического корректора
Таким образом G(j) зависят только от коэффициентов С0,...,Сn-1
Обозначим ошибку коррекции:
n 1
e ( j ) F ( j ) W ( j ) F ( j ) C k * W ( j ) * k ( j )
k 0
(2.71)
W ( j) *k ( j) Фk ( j ) .
Необходимо найти С0,...,Сn-1, которые обеспечивают минимум
критерия оптимизации.
1
2
D(C0 ,..., Cn1 ) e( j ) d
2
(2.72)
Подставим (2.71) в (2.72):
2
n 1
1
D(C ) F ( j ) Ck * Фk ( j ) d
2
k 0
пусть а и в- комплексные величины
a b (a b)( a b) (a b) * (a b) a * a a * b a * b b * b
2
n 1
n 1
1
2
D(C ) F ( j ) F ( j ) * C k Фk ( j ) F ( j ) * C k Фk ( j )
2
k 0
k 0
n1
n1
C k Фk ( j ) * C k Фk ( j ) d
k 0
k 0
101
Выделим отдельно:
1
P
2
F ( j) d 22
2
(2.74)
1
Bk Re F ( j ) *Фk ( j ) d
2
1
Ak ,l
Re Фk ( j ) * Фl ( j )
2
(2.75)
(2.76)
Тогда критерий оптимизации принимает вид:
n 1 n 1
n 1
k 0 l 0
k 0
D(C0 ,..., C n1 ) C k Cl Ak ,l 2 C k Bk P
(2.77)
Определение коэффициентов критерия оптимизации
Систему базисных функций φк(i) можно реализовать с помощью
элементов задержки, тогда корректор приобретает структуру КИХ
фильтров:
k ( j ) e jkT
1
T
, где
2 f max - равно интервалу Котельникова
Подставляя φк(j) и Т получим вместо (2.75),..,(2.77) для данного
варианта корректора
P
1
T
(2.78)
j ( kT T0 )
1
Bk Re W ( j ) * e
d
2
102
(2.79)
1
2
jT ( l k )
Ak ,l Re W ( j ) * e
d
2
.
(2.80)
Из (2.80) следует, что матрица А является симметричной и элемент Аk,l
зависит от k l .
Поэтому вычисления Аk,l целесообразно выполнить следующим образом:
1
2
jT
rm Re W ( j ) * e d
2
A r
k ,l k l
(2.81)
2. Аналитическое определение оптимальных коэффициентов корректора.
В соответствии с необходимым условием экстремума найдем
частное производное критерия (11.9) по коэффициенту Ск и
приравняем их к нулю:
n 1
D
2 Cl Ak ,l 2Bk 0
Ck
l 0
Отсюда получим систему линейных уравнений:
C0 Ak ,0 C1 Ak ,1 Cn1 Ak ,n1 B
(k=0,1,…,n-1)
Подставим ее в векторно-матричной форме:
А*С=В
Умножаем слева на А-1
А-1 *А*С= А-1 *В
С= А-1 *В
(2.82)
Выражение аналогично (2.82) для корректора межсимвольных искажений
аналогично формуле нахождения коэффициентов цифрового корректора,
однако матрица А и вектор В определяются другими соотношениями.
103
ЛИТЕРАТУРА
1. Айфичер Эммануил, Джервис Барри У. Цифровая обработка
сигналов.:Пер. с англ.- М.:”Вильямс”, 2004.- 992 с.
2. Бондарев В.Н., Трёстер Г., Чернега В.С. Цифровая обработка сигналов:
методы и средства. -:Конус, 2001.-398 с.
3. Бизин А.Т. Введение в цифровую обработку сигналов.-: Новосибирск,
1998. – 50 с.
4. Ганеев Р.М. Математические модели в задачах обработки сигналов.-М.:
Горячая линия-Телеком, 2004.-80 с.
5. ГольденбергЛ.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка
сигналов: Справочник.- М.: Радио и связь, 1985.-312 с.
6. Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции.Екатеринбург: фонд электронных документов, 2005.-182 с.
7. Давыдов А.В. Сигналы и линейные системы: Тематические лекции.Екатеринбург: фонд электронных документов, 2005.-260 с.
8. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.М.:Наука, -1966.- 228 с.
9. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 8 PRO в математике, физике и
Internet. – М.: Нолидж, 2000. -512с.
10. Захарченко М.В., Стеклов В.К., Князєва Н.О., Фоміна Г.Т. Автоматизація
проектування пристроїв, систем та мереж зв’язку.- К.: Радіоаматор, 1996. 268 с.
11. Закиров З.Г., Надеев А.Ф., Файзуллин Р.Р. Сотовая связь стандарта GSM.
– М.: Эко-Трендз, 2004. – 264 с.
12. Лайонс Ричард. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ..-М.: ООО
”Бином-Пресс ”, 2006.-656 с.
13. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Беркман Л.Н. Математичне
моделювання телекомунікаційних систем: Навч. посібник.-К.-Зв’язок,2007.270с.
14. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. – К.: из-во Киевского
университета., 1968. 197 с.
15. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство/Пер.с яп.:М.:”ДодэкаXXI”,- 2002.-176 с.
15.Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. Спб.: Питер, 2002. – 608
с.
16.Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: в 2-х частях: Пер. с англ.-М.: Мир,
1988. 336 и 360 с.
17. Скляр Бернард. Цифровая связь: Теоретические основы и практическое
применение, Пер. англ.-М. дом ”Вильямс”, 2007.-1104 с.
104
18. Солонина А.И., Улахович Д.А., Арбузов С.М., Соловьёва Е.Б., Гук И.И.
Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций.- СПб,: БХВ-Петербург,
2003. -608 с.
19. Смирнов А.В., Пескин А.Е. Цифровое телевидение: от теории к
практике.-М.: Горячая линия-Телеком, 2005.-2005 с.
20. Харкевич А.А. Спектры и анализ. – М.:ФМ, - 1962.-236 с.
21. Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. Справочник.- М.:
Наука, 1985. -128 с..
22. Френкс Л. Теория сигналов/Пер. с англ.-М.:Сов. Радио, 1974. – 312 с.
105