Домашнее задание «Система позиционирования привода оптической головки CD-ROM»

«Московский государственный
технический университет
имени Н.Э. Баумана»
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Домашнее задание
по предмету
«Основы автоматики и систем автоматизированного управления»:
«Система позиционирования привода оптической головки
CD-ROM»
Вариант № 8
Студент - Гусев Д.А.
Группа ИУ4-61
Преподаватель - Деменков Н.П.
2013 г.
Вариант №8
Дано:
σмакс = 15%
Tпмакс = 0.034 с
Eмакс = 0.12 мкм
Данные, взятые из предыдущей части №1:
Параметры звеньев:
1. 𝐾цап = 0.2
2. 𝜏 = 0.002 𝑐
3. 𝐾У = 300
4. 𝐾Д = 0.18
1
сВ
5. 𝑅Я = 10 Ом
6. 𝐿Я = 4.5 ∙ 10−2 Гн
7. 𝑇 Э = 4.5 ∙ 10−3
8. 𝑇𝑀 = 0.022 с.
9. 𝑖 = 20
10. 𝑎 = 10−6 м
11. 𝑅𝐾 = 10 ∙ 10−3 м
Kг  62500
Kобщ 
Kцап  Kун  Kд  Rк  Kг
i
КОБЩ =337.5
Передаточная функция неизменяемой части:
Kобщ
W ( s) 
 Tм  s  1   Tэ  s  1  s
Параметры внешнего воздействия:
Ступенчатое,
NЗАД = 6400 шаг.
Примечание: все вычисления проводятся с помощью пакета MatLab.
10. Построить корневой годограф, используя его свойства, сравнить с КГ
полученным на ЭВМ, и определить границы устойчивости системы по коэффициенту
усиления.
Передаточная функция разомкнутой системы W(s) при 𝜏 = 0:
𝑊(𝑠) =
337.5
𝑠 ∙ (0.022 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.0045 ∙ 𝑠 + 1)
𝑃1 = 0
𝑃2 = −45,45
𝑃3 = −222.22
n=3, m=0
1. Порядок системы n=3 => 3 ветви.
2. 𝑛 − 𝑚 = 3 − 0 = 3, следовательно 3 ветви уходят в бесконечность.
3. Точка пересечения асимптот: 𝜎𝑎 =
4. Угол расхождения асимптот 𝜃𝑎 =
∑ 𝜆𝑃𝑖 −∑ 𝜆𝑁𝑖
=
0−222.22−45.45
𝑛−𝑚
(2𝜈+1)𝜋
(2𝜈+1)𝜋
𝑛−𝑚
𝜀
=
𝜀
3−0
3−0
𝜋
= 3 ; 𝜋;
𝜀
5𝜋
3
5. Точка схода с действительной оси 𝐶𝑥−𝑃 + 𝐶𝑥−𝑃 + 𝐶𝑥−𝑃 = 0
1
𝐶𝑥 = −21.44; −157 (не пренадлежит КГ)
2
3
= −89.22
Рис.1 Корневой годограф, полученный в MatLab.
6. Определим границу устойчивости по коэффициенту усиления
𝐷(𝜆) = 𝑘𝑊(𝜆) + 1 = 0
𝑘 ∙ 337.5
+1=0
𝜆(0.022𝜆 + 1)(0.0045𝜆 + 1)
9.9 ∙ 10−5 ∙ 𝜆3 + 0.0265𝜆2 + 𝜆 + 337.5𝑘 = 0
𝑎3 = 9.9 ∙ 10−5 ; 𝑎2 = 0.0265; 𝑎1 = 1; 𝑎0 = 337.5𝑘
По критерию Раусса
𝐼
𝐶11 = 𝑎3 = 9.9 ∙ 10−5
𝐶21 = 𝑎2 = 0.0265
𝐶11
𝑙3 =
= 3.736 ∙ 10−3
𝐶31 = 1 − 1.2609𝑘
𝐶21
𝑙4 =
𝐶21
0.0265
=
𝐶31 1 − 1.2609𝑘
𝐼𝐼
𝐶12 = 𝑎1 = 1
𝐶22 = 𝑎0 = 337.5𝑘
𝐶41 = 337.5𝑘
𝑘>0
{
1 − 1.2609𝑘 ≥ 0
𝑘КР = 0.793, т.е. 𝑘 < 0.793. Общий коэффициент усиления 𝐾 < 267.6375.
Найдём корни ХУ на границе устойчивости.
9.9 ∙ 10−5 ∙ 𝜆3 + 0.0265𝜆2 + 𝜆 + 267.6375 = 0
𝜆1 = −267.675
𝜆2 = ∓100.501985𝑗
рад
Из графика в MatLab определяем 𝜔кр = 100 с .
𝐶32 = 0
11. Провести методом ЛЧХ синтез корректирующего устройства, обеспечивающего
перерегулирование, не превосходящее σmax, время переходного процесса не более Tпmax,
установившаяся ошибка по положению не должна превышать Emax, Ошибка при обработке
постоянного возмущения, действующего на выходе АЦП, должна быть равна 0.
σмакс = 15%
Tпмакс = 0.034 с
Eмакс = 0.12 мкм
Исходя из условия, что при отработке постоянного возмущения ошибка должна быть
равна нулю, заключаем, что коэффициент астатизма 𝜈 = 1 (либо больше).
Необходимо перевести Емакс из мкм в шаги: 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝐸макс · 𝐾г , где 𝐾г = 62500 –
коэффициент пересчета радиуса позиционирования в число шагов (из условия предыдущего
семестра). Получаем 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 0.12 · 10−3 · 62500 = 7.5
𝜔с1 =
1
1
=
= 45.45 𝑐 −1
𝑇1 0.022
𝜔с2 =
1
1
=
= 222.22 𝑐 −1
𝑇2 0.0045
𝐾 = 337.5
20𝑙𝑔𝐾 = 50.56 дБ
Частота среза желаемая:
𝜔срж =
𝐵(15%)
6.28
=
= 184.7 с−1
Tпмакс
0.034
Низкая и высокая границы частоты:
𝜔н = (0.14 ÷ 0.18)𝜔срж = 25.86 ÷ 33.25с−1 ; 𝜔н = 30с−1
𝜔в = (6 ÷ 7)𝜔срж = 1108 ÷ 1293 с−1 ; 𝜔в = 1200с−1
𝑁зад
6400
𝐾тр =
=
= 853.33 ⟹ 20𝑙𝑔𝐾тр = 58.62 дБ
𝐸𝑚𝑎𝑥
7.5
После выполнения необходимых построений получаем передаточную функцию
корректирующего устройства:
1
1
1
2.53 (30 𝑠 + 1) (
𝑠 + 1) (222.22 𝑠 + 1)
45.45
𝑊ку (𝑠) =
2
1
1
(0.13 𝑠 + 1) (1200 𝑠 + 1)
12. Реализовать полученное корректирующее устройство с помощью аналоговых
средств, выбрать параметры RC-цепи, уточнить положение частот сопряжения, получить
передаточную функцию скорректированной системы, составить функциональную систему
включения КУ в систему управления.
Представим передаточную функцию корректирующего устройства в виде произведения
множителей:
1
1
1
(30 𝑠 + 1) (
𝑠 + 1) (222.22 𝑠 + 1)
45.45
𝑊ку (𝑠) = 2.53 1
= 𝐾 ∙ 𝑊ку1 (𝑠) ∙ 𝑊ку2 (𝑠) ∙ 𝑊ку3 (𝑠),
1
1
(0.13 𝑠 + 1) (1200 𝑠 + 1) (1200 𝑠 + 1)
Где 𝐾 = 2.53
1
30 𝑠 + 1)
(
𝑊ку1 (𝑠) =
1
(0.13 𝑠 + 1)
;
1
𝑠 + 1)
45.45
(
𝑊ку2 (𝑠) =
1
(
𝑠 + 1)
1200
;
1
222.22 𝑠 + 1)
(
𝑊ку3 (𝑠) =
1
(1200 𝑠 + 1)
.
a) В качестве схемы корректирующего устройства для 𝑊ку1 (𝑠) возьмем схему:
Передаточная функция фильтра равна
𝑊(𝑠) =
Где 𝜏 = 𝑅2 𝐶;
𝜏𝑠 + 1
,
𝑇𝑠 + 1
𝑇 = (𝑅1 + 𝑅2 )𝐶.
Возьмём С = 10−5 Ф = 10мкФ.
Тогда
𝜏1 =
1
= 0.033 с
30
𝑇1 =
1
= 7.69 с
0.13
𝑅2 =
𝑅1 =
𝜏1
= 3.33 ∙ 103 Ом = 3.33 кОм
𝐶
𝑇1
− 𝑅2 = 765.67 ∙ 103 Ом = 765.67 кОм
𝐶
Возьмём значения сопротивлений из стандартного ряда Е24:
𝑅1 = 1 МОм; 𝑅2 = 3.3 кОм.
Тогда 𝜏1 = 𝑅2 𝐶 = 0.033 с;
𝑇1 = (𝑅1 + 𝑅2 )𝐶 = 10 с.
Уточним значения частот сопряжения:
𝜔1 =
1
1
= 30.3 с−1 ; 𝜔2 = = 0.1 с−1 .
𝜏1
𝑇1
В итоге передаточная функция фильтра 1 будет равна:
𝑊ку1 =
0.033𝑠 + 1
.
10𝑠 + 1
b) Для 𝑊ку2 и 𝑊ку3 схема фильтра будет выглядеть следующим образом:
Передаточная функция фильтра равна
𝑊(𝑠) =
Где 𝜏 = 𝑅1 𝐶; 𝑘 = 𝑅
𝑅2
1 +𝑅2
;
𝑘(𝜏𝑠 + 1)
,
𝑇𝑠 + 1
𝑅 𝑅 𝐶
2
𝑇 = 𝑘𝜏 = (𝑅1+𝑅
.
)
1
2
Возьмём С = 10−5 Ф = 10мкФ.
Для 𝑊ку2
𝜏2 =
1
= 0.022 с
45.45
𝑇2 =
1
= 8.33 ∙ 10−4 с
1200
Тогда
𝑘2 =
𝑅1 =
𝑇2
= 0.0378
𝜏2
𝜏2
= 2.2 ∙ 103 Ом = 2.2 кОм
𝐶
𝑅2 =
𝑘2 𝑅1
= 86.6 Ом
1 − 𝑘2
Возьмём значения сопротивлений из стандартного ряда Е24:
𝑅1 = 2.2 кОм; 𝑅2 = 82 Ом.
Тогда 𝜏2 = 𝑅1 𝐶 = 0.022 с; 𝑘2 = 𝑅
𝑅2
1 +𝑅2
= 0.036;
𝑅 𝑅 𝐶
2
𝑇2 = 𝑘2 𝜏2 = (𝑅1+𝑅
= 7.905 ∙ 10−4 с.
)
1
2
Уточним значения частот сопряжения:
𝜔3 =
1
1
= 45.45 с−1 ; 𝜔4 = = 1265.02 с−1 .
𝜏2
𝑇2
Передаточная функция 2-го фильтра:
𝑊ку2 = 0.036
0.022𝑠 + 1
.
7.905 ∙ 10−4 𝑠 + 1
c) Для 𝑊ку3
𝜏3 =
𝑇3 =
1
= 0.0045 с
222.22
1
= 8.33 ∙ 10−4 с
1200
Тогда
𝑘3 =
𝑅1 =
𝑅2 =
𝑇3
= 0.185
𝜏3
𝜏3
= 450 Ом
𝐶
𝑘3 𝑅1
= 102.272 Ом
1 − 𝑘3
Возьмём значения сопротивлений из стандартного ряда Е24:
𝑅1 = 470 Ом; 𝑅2 = 100 Ом.
Тогда 𝜏3 = 𝑅1 𝐶 = 0.0047 с; 𝑘3 = 𝑅
𝑅2
1 +𝑅2
= 0.175;
𝑅 𝑅 𝐶
2
𝑇3 = 𝑘3 𝜏3 = (𝑅1+𝑅
= 8.246 ∙ 10−4 с.
)
1
2
Уточним значения частот сопряжения:
𝜔5 =
1
1
= 212.76 с−1 ; 𝜔6 = = 1212.7 с−1 .
𝜏3
𝑇3
Передаточная функция 3-го фильтра:
𝑊ку3 = 0.175
0.0047𝑠 + 1
.
8.246 ∙ 10−4 𝑠 + 1
Общий коэффициент усиления корректирующего устройства равен
𝐾23 = 𝑘2 𝑘3 = 0.036 ∙ 0.175 = 0.0063.
Для достижения требуемого коэффициента усиления добавим усилитель с коэффициентом
усиления
𝐾=
𝐾тр
2.69
=
= 427.
𝐾23 0.0063
Окончательная схема фильтра:
В данной схеме между фильтрами надо добавить УПТ (усилитель постоянного тока)
Передаточная функция КУ в итоге равна:
𝑊ку (𝑠) = 2.53 ∙
0.033𝑠 + 1
0.022𝑠 + 1
0.0047𝑠 + 1
∙
∙
.
10𝑠 + 1 7.905 ∙ 10−4 𝑠 + 1 8.246 ∙ 10−4 𝑠 + 1
Передаточная функция скорректированного устройства:
𝑊(𝑠) =
0.033𝑠 + 1
0.022𝑠 + 1
0.0047𝑠 + 1
∙
∙
.
−4
𝑠 ∙ (0.0045 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.022 ∙ 𝑠 + 1) 10𝑠 + 1 7.905 ∙ 10 𝑠 + 1 8.246 ∙ 10−4 𝑠 + 1
853.875
∙
Схема включения КУ в систему управления:
Контроллер
Лазерная
головка
ЦАП
Усилитель
Корректирующее
устройство
Шаговый
двигатель
Редуктор
Позиционный
датчик
13. Провести анализ спроектированной системы одним из доступных способов: путем
расчета переходного процесса на ЭВМ, путем цифро-аналогового моделирования, путем
моделирования на АВМ, графоаналитическим методом построения переходного
процесса.
Проведем анализ системы на ЭВМ путем расчета переходного процесса.
Реакция системы на ступенчатое воздействие без КУ:
Реакция системы на ступенчатое воздействие с КУ:
14. Выбрать шаг квантования по времени Т по теореме В.А. Котельникова и число
разрядов микропроцессора N, обеспечивающих выполнение требования качества,
приведённых в пункте 11.
σмакс = 15%
Tпмакс = 0.034 с
Eмакс = 0.12 мкм
𝑁зад = 6400 шагов
Частота среза 𝜔ср = 112.7
рад
с
.
По теореме Котельникова, период квантования должен быть не более:
𝜏=
1
𝜋
=
= 2.61 ∙ 10−3 с.
2𝑓в 𝜔в
Определим число разрядов микропроцессора:
2𝑁−2 =
𝑁зад (1 + 𝜎) 6400 ∙ 1.15
=
= 981.33.
𝐸𝑚𝑎𝑥
7.5
Откуда 𝑁 = 12.
15. Провести методом ЛЧХ синтез дискретного корректирующего устройства.
Передаточная функция разомкнутой системы:
𝑊р (𝑠) =
337.5
𝑠 ∙ (0.0045 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.022 ∙ 𝑠 + 1)
Передаточная функция экстраполятора:
𝑊э (𝑠) =
1 − 𝑒 −𝑠𝑇
,
𝑠
𝑇 = 0.00261 с
𝑊нч (𝑠) = 𝑊э (𝑠)𝑊р (𝑠) =
1 − 𝑒 −𝑠𝑇
337.5
∙
𝑠
𝑠 ∙ (0.0045 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.022 ∙ 𝑠 + 1)
Проведём z-преобразование:
𝑊нч (𝑧) =
0.00853(𝑧 + 3.155)(𝑧 + 0.2236)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8881)(𝑧 − 0.5599)
1+ω
Подставим z = 1−ω, получим:
𝑊нч (𝜔) =
0.002423(𝜔 + 1.576)(𝜔 − 1.928)(𝜔 − 1) 0.44(0.635𝜔 + 1)(0.519𝜔 − 1)(𝜔 − 1)
=
𝜔(𝜔 + 0.2821)(𝜔 + 0.05925)
𝜔(3.545𝜔 + 1)(16.878𝜔 + 1)
𝑊нч (𝑗𝑣) =
0.44(0.635𝑗𝑣 + 1)(0.519𝑗𝑣 − 1)(𝑗𝑣 − 1)
𝑗𝑣(3.545𝑗𝑣 + 1)(16.878𝑗𝑣 + 1)
20𝑙𝑔0.44 = −7.131
𝑣с1 =
1
= 0.05925 𝑐 −1
16.878
𝑣с2 =
1
= 0.2821 𝑐 −1
3.545
𝑣с3 =
1
= 1 𝑐 −1
1
𝑣с4 =
1
= 1.576 𝑐 −1
0.635
𝑣с5 =
1
= 1.928 𝑐 −1
0.519
Рассчитаем параметры желаемой ЛАЧХ:
𝜔срж = 184.7
𝜐срж = 𝑡𝑔 (
рад
с
𝜔срж 𝑇
) = 0.246
2
𝑣н = (0,14 … 0,18)𝑣срж = 0.034 … 0.044 ⇒ 𝑣н = 0.04
𝑣в = (6 … 7)𝑣срж = 1.476 … 1.722 ⇒ 𝑣в = 1.6
Построим ЛАЧХ корректирующего устройства (см. миллиметровку).
𝑣с6 = 5.25 ∙ 10−4 𝑐 −1
Передаточная функция КУ:
𝑊ку (𝑣) =
1
1
1
0.63 (𝑣 𝑣 + 1) (𝑣 𝑣 + 1) (𝑣 𝑣 + 1)
н
с1
с2
1
1
1
(𝑣 𝑣 + 1) (𝑣 𝑣 + 1) (𝑣 𝑣 + 1)
с6
с3
с4
𝑧−1
Подставляем 𝑣 = 𝑧+1, получаем:
𝑊ку (𝑧) =
0.6654 − 1.5778𝑧 −1 + 1.2204𝑧 −2 − 0.30546𝑧 −3
3.115 − 2.41521𝑧 −1 − 0.69579𝑧 −2
16. Составить разностные уравнения и программу реализации дискретного
корректирующего устройства на ЭВМ, функциональную схему включения
микропроцессора в систему управления.
По 𝑊ку (𝑧) получаем разностное уравнение:
0.6654𝑒[𝑘𝑇] − 1.5778𝑒[(𝑘 − 1)𝑇] + 1.2204𝑒[(𝑘 − 2)𝑇] − 0.30546𝑒[(𝑘 − 3)𝑇]
= 3.115𝑟[𝑘𝑇] − 2.41521𝑟[(𝑘 − 1)𝑇] − 0.69579𝑟[(𝑘 − 2)𝑇]
Функциональная схема включения микропроцессора в систему управления:
Контроллер
Микропроцессор
Лазерная
головка
Позиционный
датчик
ЦАП
Усилитель
Шаговый
двигатель
Редуктор
17. Провести анализ спроектированной системы одним из доступных способов: путём
расчёта переходного процесса на ЭВМ, путём цифро-аналогового моделирования, путём
моделирования на АВМ, графоаналитическим методом построения переходного
процесса.
Проведем анализ системы путем расчета переходного процесса на ЭВМ.
18. Провести анализ спроектированной системы с учётом нелинейности статической
характеристики редуктора и построить фазовый портрет системы.
По графику видно, что автоколебаний в системе нет.
19. Сравнить результаты, полученные при проектировании САУ в части 1,2 и в части 3,
сделать вывод и дать рекомендации по проектированию.
Система с дискретным КУ обладает потенциально меньшим временем переходного
процесса. Преимущество дискретного устройства состоит в том, что с его помощью можно
реализовать переходную характеристику КУ практически любой сложности. Аналоговое КУ
значительно проще, дешевле, и в ряде случаев не менее точно.
В пунктах 10,11 и 15 необходимо провести построения на миллиметровке, на основе
полученных данных.