- (I 2011

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра МАТЕМАТИКИ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
и контрольные работы для студентов - заочников
(I семестр)
Издание третье, переработанное и дополненное
Уфа 2011
В учебно-методическом пособии дан (без доказательств) теоретический
материал (понятия, определения, формулы, формулировки теорем, пояснения
трудноусвояемых понятий), необходимый студенту для выполнения
контрольных работ. Приведены решения типовых задач. По существу - это
практикум по решению задач по программе 1-го семестра ОЗО. Рекомендуется
студентам 1-го курса заочного факультета. Будут полезны и для студентов 1-го
курса очных факультетов.
Составитель Якупов В.М., доц.
Акмадиева Т.Р., ст. преподаватель
Захарова М.А., ст. преподаватель
Шварева Е.Н., преподаватель
Якубова Д.Ф., ст. преподаватель
Рецензент
Сахарова Л.А.., доц., канд. техн. наук
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 1997, 2005,
2011
Глава I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Свойства определителей 2-го и 3-го порядков
Учебники: Ефимов Н.В., Приложение, §§ 1-6.
Беклемишев Д.В., гл. V, §§ 1-5.
Ильин В.А., Позняк Э.Г., гл. 1, Дополнение.
Приняты обозначения:
I. ∈ − символ принадлежности. Так, например, если A − точечное множество, x − точка, то x ∈ A означает, что x есть элемент множества A .
II. ⊂ − символ части. Например, запись A ⊂ B следует читать так: подмножество A есть часть множества B , если A и B − точечные множества.
III. ⇒ − следует, следствие. Так, запись A ⇒ B означает, что из утверждения (предложения) A следует утверждение (предложение) B .
IV. ⇔ : необходимо и достаточно; тогда и только тогда. A ⇔ B : из A
следует B и из B ⇒ A ; утверждение A справедливо тогда и только тогда (необходимо и достаточно), когда справедливо утверждение B .
a
символ соответствия. Так, например, если A и B множества, то
→
A → B означает, что каждому элементу из A ставится в соответствие некоторый элемент множества B .
VI. ∀ − квантор всеобщности, для любого, всех. Так, например, символ
∀ x ∈ X следует понимать так: для произвольного элемента множества X ; для
всех элементов множества X ; для любого элемента множества X .
VII. ∃ − квантор существования (существует).
VIII. R − множество действительных чисел.
V.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Числовой матрицей размера m × n называется
прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов:
 a 11

a
A =  21
K

 a m1
a 12
a 22
K
a m2
K a 1n 

K a 2n 
,
K K 

K a mn 
(1)
где a ij − элементы матрицы A , a ij ∈ R , первый индекс i = 1, m указывает на
номер строки, а второй − j = 1, n на номер столбца, на пересечении которых находится элемент a ij .
В другой записи (1) имеет вид
A = a ij , i = 1, m; j = 1, n .
(2)
( )
2
Если m = n , то матрица (1) называется квадратной − n -го порядка.
Две матрицы A = a i j и B = b i j одинакового размера называются
( )
( )
равными, если равны их одноименные элементы: a ij = b ij ; i = 1, m; j = 1, n , то
есть эта одна и та же матрица, но обозначенная разными буквами.
2. Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка
a
A =  11
 a 21
a 12 
.
a 22 
(3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем 2-го порядка, соответствующим
квадратной матрице (3), называется число, обозначаемое A (A a A ) и определяющееся по следующему правилу:
A =
Например,
a 11
a 12
a 21
1
a 22
12
34
5
= a 11a 22 − a 12 a 22 .
=5−
(4)
3 37
= .
8 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Определителем 3-го порядка, соответствующим
квадратной матрице A третьего порядка:
 a 11

A =  a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23  ,
a 33 
называется число, обозначаемое A
щему правилу:
a 11
A = a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
(5)
(A a A ) и определяющееся по следую-
a 13
a 23 = a 11a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 −
a 33
− (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 21 a 12 a 33 ) .
(6)
Правило (6) носит название правила Саррюса, или еще правила треугольников. Приведенная ниже схема объясняет правило Саррюса (6).
+
-
a 11
a 21
a 12
a 22
a 13
a 23
a 11
a 21
a 12
a 22
a 13
a 23
a 31
a 32
a 33
a 31
a 32
a 33
(7)
Обратим внимание читателя на то, что в случае «+» основания треугольников параллельны левой главной диагонали, на которой расположены элементы a 11 , a 22 , a 33 , и параллельны правой главной диагонали с элементами
a 13 , a 22 , a 31 в случае « – ».
3
§ 2. Алгебраические дополнения и миноры
Возьмем для определенности определитель третьего порядка:
a 11
∆ = a 21
a 31
a 12
a 22
a 13
a 23 ,
a 32
a 33
(1)
и рассмотрим, например, его элемент a 31 . Мысленно зачеркнем третью строку
и первый столбец, на пересечении которых находится этот элемент. Тем самым
из оставшихся элементов (1) образуем число
A 31 = (− 1)
3 +1
a 12
a 13
a 22
a 23
,
(2)
которое называется алгебраическим дополнением элемента a 31 . Определитель
M 31 =
a 12
a 13
a 22
a 23
(3)
называется минором элемента a 31 . Таким образом, A 31 = (− 1) M 31 . И таким
же образом определяем алгебраическое дополнение A i j для каждого элемента
3+1
a i j квадратной матрицы A , не забывая умножить минор M i j на (− 1)i + j
( i + j − сумма номера строки и номера столбца элемента a i j ).
Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какогонибудь его столбца (или какой-нибудь ее строки) на их соответствующие алгебраические дополнения. Например (см. 1), ∆ = a 12 A12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 ;
∆ = a 31A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 .
Теорема 2. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или
какой-нибудь строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (или другой строки) равна нулю.
§ 3. Алгебраические операции над матрицами
1. Если
A = (a ij ), B = (b ij )
есть матрицы одинакового размера, то по определению
A ± B = a ij ± b ij .
(
Для
∀λ ∈ R u ∀A
λA = (λa ij ),
)
(1)
(2)
(3)
то есть, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Имеют место следующие свойства:
4
10 . A + B = B + A − коммутативное свойство;
A + (B + C ) = (A + B) + C − ассоциативное свойство.
2 0 . (α + β )A = αA + βA − распределительное свойство относительно числового множителя; α(A + B) = αA + αB − распределительное свойство относительно множителя - матрицы.
30 . (αβ )A = α(βA ) − ассоциативное свойство относительно числового
множителя.
2 . Умножение матриц. Эту операцию поясним сначала на примере. AB
выполнимо ⇔ , когда A имеет размерность (m × p ) , B имеет размерность
p × n (число столбцов 1-го множителя = числу строк 2-го множителя). Тогда
AB имеет размерность (m × n ) . Каждая строка 1-го множителя порождает соответствующую строку произведения, будучи умноженной на каждый столбец
второго множителя “скалярно”. Например,
 5 4 0   1 0   5 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 5; 5 ⋅ 0 + 4 ⋅ 4 + 0 ⋅ 6 


 

1
−
1
6
0
4
=
1
⋅
1
−
1
⋅
0
+
6
⋅
5
;
1
⋅
0
−
1
⋅
4
+
6
⋅
6


 
=
 4 7 8   5 6   4 ⋅ 1 + 7 ⋅ 0 + 8 ⋅ 5; 4 ⋅ 0 + 7 ⋅ 4 + 8 ⋅ 6 


 

Для произвольных матриц
AB = C = C ij , получаем
( )
 5 16 


31
32


 44 76 


A и B , для которых имеет место
n
C ij = ∑ a ik ⋅ b kj , i = 1, m; j = 1, p .
(4)
k =1
Для произведения матриц справедливы следующие свойства:
10 . AB ≠ BA ;
2 0 . A(BC) = (AB)C − ассоциативное свойство;
30 . A(B + C ) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC − распределительные
свойства.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Квадратная матрица A называется невырожденной (вырожденной), если ее определитель A ≠ 0 ( A = 0 ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица B называется обратной к матрице A ,
если AB = BA = E , где E − единичная квадратная матрица, т.е. по левой главной диагонали стоят единицы, а остальные ее элементы равны нулю.
Например, единичная квадратная матрица третьего порядка
 1 0 0


E =  0 1 0
(5)
 0 0 1


A − (m × n ); B − (n × p ); AB − (m × p ); BA имеет смысл при p = m ;
BA − n × n ⇒ m = n = p . Таким образом, обе части матрицы в последнем определении должны быть квадратными одного и того же порядка.
5
−1
Обратную матрицу обозначают единым символом A . Этот символ не
означает 1 A , так как такая операция не определена. Согласно теоремам 1 и 2
из § 2 имеем
A −1
1
=
A
 A 11

 A 12
A
 13
A 31   A 11 A
 
A 32  =  A 12 A
A 33   A 13 A
A 21
A 22
A 23
A 21 A
A 22 A
A 23 A
A 31 A 

A 32 A  .
A 33 A 
(6)
Теорема. Квадратная матрица A имеет обратную ⇔ , когда она не вырождена. Обратная матрица определяется однозначно.
§ 4. Матричный метод решения системы линейных алгебраических
уравнений. Формулы Крамера
1. Рассмотрим для определенности систему из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
 a 11 x 1 + a 12 x 2

a 21 x 1 + a 22 x 2
a x + a x
32 2
 31 1
+ a 13 x 3 = d 1
+ a 23 x 3 = d 2 .
+ a 33 x 3 = d 3
(1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Решением (1) называется упорядоченная система
{α1 , α 2 , α 3 } из трех чисел, удовлетворяющая требованию: если в (1) вместо
x 1 , x 2 и x 3 подставить соответственно α1 , α 2 и α 3 , то получим три верных
равенства (три тождества).
Терминология здесь такая:
 a 11

A =  a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23 
a 33 
(2)
- матрица системы (1).
 a 11

B =  a 21
a
 31
a 12
a 22
a 13
a 23
a 32
a 33
d1 

d2 
d 3 
(3)
- расширенная матрица (1).
 x1 
 d1 
 
 
X =  x 2 ; D =  d 2 ; A ≡ ∆ .
x 
d 
 3
 3
(4)
Система (1) может быть записана в матричном виде так:
AX = D
(5)
X − неизвестная столбцовая матрица (см. (4)). При этом видно, что по расши-
6
ренной матрице B системы (1) последняя восстанавливается однозначно. В
дальнейшем (§5) расширенную матрицу будем записывать так:
 a 11

B =  a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13 d 1 

a 23 d 2 ,
a 33 d 3 
(3*)
то есть отделяя столбец свободных членов вертикальной чертой.
Введем вспомогательные определители
∆ x1
d1
= d2
d3
a 12
a 22
a 11
= a 21
a 31
d1
d2
∆ x2
∆ x3
a 11
= a 21
a 31
a 32
d3
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23 = d 1 A 11 + d 2 A 21 + d 3 A 31 ;
a 33
(6)
a 13
a 23 = d 1 A 12 + d 2 A 22 + d 3 A 32 ;
a 33
(7)
d1
d 2 = d 1 A 13 + d 2 A 23 + d 3 A 33 .
d3
(8)
Чтобы проверить равенства (6) - (8) достаточно воспользоваться теоремой 1 § 2. Предполагая невырожденной матрицу A ( A ≠ 0 ) , можно показать,
что решение системы (1) ⇔ (5) в матричной форме дается равенством
X = A −1 D ,
(9)
 x1 
A
  1  11
⇔  x 2  =  A 12
 3  ∆ 
 A 13
x 
A 21
A 22
A 23
A 31  d 1 
 A d + A 21d 2 + A 31d 3 
  1  11 1

A 32  d 2  =  A12 d1 + A 22 d 2 + A 32 d 3  ⇔
∆

A 33  d 3 
 A13 d1 + A 23 d 2 + A 33 d 3 
Используя понятие равенства двух матриц (с.2), получим
A 11d 1 + A 21d 2 + A 31d 3 ∆ x1
=
.
∆
∆
A d + A 22 d 2 + A 32 d 3 ∆ x 2
x 2 = 12 1
=
.
∆
∆
A d + A 23 d 2 + A 33 d 3 ∆ x 3
x 3 = 13 1
=
.
∆
∆
x1 =
(10)
(11)
(12)
Формулы (10-12) называются формулами Крамера.
Теорема. Если матрица (2) системы (1) не вырождена, то система (1)
допускает решение, оно единственно и определяется по формуле (9).
7
§ 5. Метод Гаусса решения системы алгебраических
линейных уравнений (метод исключения)
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие
преобразования:
10 . Перестановка местами произвольных 2-х строк (столбцов).
2 0 . Умножение строки (столбца) матрицы на отличное от нуля число.
30 . Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число.
Элементарным преобразованиям подвергаются (в случае алгебраических
линейных систем) только строки расширенной матрицы B , что позволяет преобразовать исходную линейную систему уравнений в равносильную. С помощью элементарных преобразований строк можно привести матрицу B к виду,
когда ниже левой главной диагонали все элементы равны нулю.
Далее условимся в следующем:
α(p ) означает, что каждый элемент p − й строки (строки с номером p )
умножается на число α ;
α(p ) + β(q ) − к элементам строки q , предварительно умноженным на
число β , прибавляются одноименные элементы строки p , предварительно умноженные на число α . Тем самым изменяются элементы строки с номером q ,
а строка с номером p остается без изменения.
(p ) ↔ (q ) − строки с номерами p и q меняются местами.
Этот метод поясним на простом примере.
Пример 1.
-1 1 1 -1 − 2 
 x 2 − x 1 + x 3 − x 4 = −2


 x + 2 x − 2 x − x = −1
1
2
2
1
−
1


 1
2
3
4
⇔B=

→
2
x
−
x
−
3
x
+
2
x
=
−
1
2
1
3
2
−
1
2
3
4
 1


 1 2 3 7 − 10 
 x 1 + 2x 2 + 3x 3 − 7 x 4 = −10


(1) + (2)
1 -1 -1 1 2 


− 1 (1)
0 3 -1 - 2 − 3 
→
→
→ (2 ) ↔ (3) .
2 (1) + (3)
0 1 -1 0 − 5 


(− 1) + (4)  0 3 4 - 8 − 12 
| мы добились того, что в первом столбце все элементы равны нулю, кроме a 11 = 1 . Аналогичные преобразования проводим с остальными строками
матрицы, начиная со второй, но так, чтобы a 22 = 1, а остальные элементы
столбца становились равными нулю.|
8
(2) + (1)
2 
1 0 - 2 1
 − 3 (2 ) + (3);

−5 
 0 1 -1 0
→
→
→
(
)
(
)
−
3
2
+
4
;
 0 0 1 -1
−3 
 1


0 0 7 - 8
− 12 
(3)

2
(3) + (2);
1 0 0 -1 9 

 (4 ) + (1);
2 (3) + (1);
0
1
0
1
1


→
→
→ (4 ) + (2); →
− 7(3) + (4 );
0 0 1 -1 6 

 (4 ) + (3).


− 1(4 ).
 0 0 0 1 39 
1 -1 -1 1

0 1 -1 0
→
0 3 -1 - 2

0 3 4 - 8

1

0
→
0

0

− 3

− 5
→
6 

3 
0 0 0 48 

1 0 0 40 
.
0 1 0 45 

0 0 1 39 
Отсюда видно, что рассматриваемая система совместна и x 1 = 48,
x 2 = 40, x 3 = 45, x 4 = 39.
Ответ: {45,40,45,39}.
Проверка. 40 − 48 + 45 − 39 = −2; 48 + 80 − 90 − 39 = −1 ;
96 − 40 − 135 + 78 = 56 − 57 = 1; 48 + 80 + 135 − 273 = 263 − 273 = −10.
Все четыре равенства - верные равенства.
Замечание. В расширенной матрице, по которой однозначно восстанавливается алгебраическая линейная система, надо, в первую очередь, сделать такие элементарные преобразования:
10. Если a 11 ≠ 1 , то на первую строку поместить ту строку, первый элемент которой равняется единице.
2 0. Если нет строки с первым элементом, равным единице, то можно попытаться с помощью элементарных преобразований строк получить такую
строку. Например, если a 11 ≠ 0;1 , то первую строку поделить на a 11 .
ПРИМЕР 2. Сразу выписываем расширенную матрицу, т.к. по ней система уравнений восстанавливается.
3 4

1 7
B=
2 1

4 - 3

2 1 16 

1 1 23  меняем местами
→
→
3 5 10  строки : (1) ↔ (2)

4 6 1 
9
1 7

3 4
→
2 1

4 - 3

1 1 23 
 − 3(1) + (2)
2 1 16 
→ − 2 (1) + (3) →
3 5 10 
 − 2 (3) + (4)
4 6 1 
1 1
1 7

 0 - 17 - 1 - 2
→
0 - 13 1 3

0 - 5 - 2 - 4

1 7 1 1

0 - 4 - 2 - 5
→
0 -8 3 7

0 - 5 - 2 - 4

23 

− 53  − (3) + (2)
→
→
− 36  − ( 4) + (3)

− 19 
23 

− 17 
1
→ − (2) →

− 17
4

− 19 
1
1 23 
1 7


 0 1 1 2 5 4 17 4  8(2) + (3)
→
→
→
0 -8 3
7 − 17  5(2) + (4)


 0 - 5 - 2 - 4 − 19 


1

0
→
0

0

7
23 

1 1 2 5 4 17 4  (3) ↔ (4)
→
→
0 7 17 17 
2 (3)

0 1 2 9 4 9 4 
1

0
→
0

0

7
1

0
→
0

0

7
1
1
23 

1 1 2 5 4 17 4 
→ − 7(3) + (4) →
0 1 92 9 2

0 7 17 17 
1
1
23   1
 
1 1 2 5 4 17 4   0
→
0 1
9 2 9 2  0
 
0 0 - 29 2 − 29 2   0
1
1
23 

1 1 2 5 4 17 4 
→
0 1 92 92

0 0
1 1 
7
1
7
10
9
− (4) + (3)
1

2
5
0
→ − ( 4) + ( 2) → 
0
4

− (4) + (1)
0

1

0
→
0

0

7 1 0 22 

1
1 12 0 3
− (3) + (2)
→ 2
→
0 1 0 0
− 1(3) + (1)


0 0 1 1
7 0 0 22 
1 0


1 0 0 3
0 1
→
−
7
(
2
)
+
(
1
)
→
0 0
0 1 0 0



0 0
0 0 1 1

0 0 1

0 0 3
1 0 0

0 1 1 
Отсюда следует, что преобразованная система уравнений имеет следую-
x 1 = 1;
x = 3;
 2
щий вид: 
, что сразу дает решение исследуемой системы.
x
=
0
;
 3
x 4 = 1,
Ответ: {1,3,0,1}.
Проверку предлагаем сделать читателю.
1 - 2 3 - 4 4 


 0 1 - 1 1 − 3
ПРИМЕР 3. 
→ − 1(1) + (3) →
1 3 0 -3 1 


 0 - 7 3 1 − 3


1 - 2 3 - 4

0 1 -1 1
→
0 5 -3 1

0 - 7 3 1

4 

− 5(2) + (3)
− 3
→
7 ( 2) + ( 4)
→
− 3
При этом меняются только


− 3
элементы строк (3) и (4), а строка (2)
1 - 2 3 - 4

0 1 -1 1
→
0 0 2 -4

0 0 - 4 8

остается
4  1 − 2
 
− 3  0 1
→
12   0 0
 
− 24   0 0
без изменения
3 −4 4 

− 1 1 − 3
→
1 −2 6 

1 − 2 6 
11
1 − 2 3 − 4 4 


(3) + (2)
→  0 1 − 1 1 − 3 →
→
−
3
(
3
)
+
(
1
)
0 0
1 − 2 6 

 1 − 2 0 2 − 14 
 1 0 0 0 − 8




→  0 1 0 − 1 3  → 2(2) + (1) →  0 1 0 − 1 3 
0 0 1 − 2 6 
0 0 1 − 2 6 




Отсюда следует, что преобразованная система, равносильная исходной,
x 1 = −8,
x 1 = −8,


имеет следующий вид: x 2 − x 4 = 3, ⇔ x 2 − x 4 = 3,
x − 2x = 6,
x = 2 x + 6,
 3
4
 3
4
где x 4 можно придавать произвольное значение. В силу этого система допускает бесконечное множество решений.
Ответ: {− 8, x 4 + 3; 2x 4 + 6; x 4 }, x 4 ∈ R .
Проверка. Напомним, что исходная система имеет вид
x 1 − 2x 2 + 3x 3 − 4x 4 = 4,
x − x + x = −3,
 2
3
4

x 1 + 3x 2 − 3x 4 = 1,
− 7 x 2 + 3x 3 + x 4 = −3.
− 8 − 2x 4 − 6 + 6 x 4 + 18 − 4 x 4 = 4,
x + 3 − 2 x − 6 + x = −3,
 4
4
4
Имеем 
− 8 + 3x 4 + 9 − 3x 4 = 1,
− 7 x 4 − 21 + 6 x 4 + 18 + x 4 = −3.
Таким образом, получаем четыре верных равенства. В чем и следовало
убедиться.
ПРИМЕР 4.
3x 1 − 5x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 2

7 x 1 − 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 5 ⇔
5x + 7 x − 4 x − 6 x = 5
2
3
4
 1
4 2
3 − 5 2


− 2(1) + ( 2)
3 5 →
→
7 − 4 1
(
2
)
↔
(
1
)
 5 7 − 4 − 6 3


12
1 6 − 3 − 5 1


− 3(1) + 2
→ 3 − 5 2
4 2 →
→
−
5
(
1
)
+
3
5 7 − 4 − 6 3


6
−3 −5 1 
6
−3 −5 1 
1
1




→  0 − 23 11 19 − 1  → − 1(2) + (3) →  0 − 23 11 19 − 1
 0 − 23 11 19 − 2 
0
0
0
0 − 1



Последняя строка полученной матрицы указывает на несовместность исходной линейной системы, так как 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + +0 x 4 = 0, 0 ≠ −1.
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Учебники: Ефимов Н.В., гл. 7 - 10.
Беклемишев Д.В., гл. I, §§ 1-3.
Ильин В.А., Позняк Э.Г., гл. 2.
§ 1. Действия над векторами
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отрезок AB называется направленным, если
его концы занумерованы, т.е. известно, который из концов 1-й (начало) и который 2-й (конец). Направленный отрезок называется вектором.
→
Запись AB означает: т. A − начало направленного отрезка (1-й), а т. B −
конец направленного отрезка (2-й). (Рис. 1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
→
→
→
Два вектора a и b
B
→
называются равными: a = b ⇔ если они сона→
(
→
)
r r


правленны  a ↑↑ b  и их длины равны a = b .


(Рис. 1).
Замечание.
Напомним,
что
запись
p ↑↑ q p ↑↓ q означает сонаправленность (про-
(
)
a
D
A
b
C
Рис. 1
тивоположную направленность) векторов p и q .
→
→
Напомним, что сумма a + b двух векторов определяется по правилу параллелограмма (треугольника), при этом операция “+” удовлетворяет условиям:
→
→
→
→
10 . a + b = b + a − коммутативность суммы.
r r r r r r
0
2 . a + b + c = a + b + c − ассоциативность суммы.
(
)
(
)
13
→
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Произведением вектора a на число λ , λ ∈ R , на→
→
зывается вектор, обозначаемый одним из символов λ a , a λ и определяющийся по следующему правилу:
r
r
10 . λa = λ a − чтобы получить длину вектора λ a , надо умножить
длину a вектора a на модуль скалярного множителя.
→
→
→
→
2 0 . λ a ↑↑ a ⇔ когда λ > 0; λ a ↑↓ a ⇔ когда λ < 0.
Операция произведения вектора на число удовлетворяет условиям:
→
→
→
30 . 1 ⋅ a = a , ∀ a .
→
 →
4 . λ µ a  = (λµ ) a − ассоциативность произведения.


0
→
→
→
→
→
5 . (λ + µ ) a = λ a + µ a − распределительное свойство по отношению к
0
числовому множителю.
→
→

6 0 . λ a + b  = λ a + λ b − распределительное свойство по отношению к


векторному множителю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Если концы направленного отрезка (вектора) совпадают, то такой вектор называется нулевым.
→
→
Итак, AA = 0 − нулевой вектор, где A − произвольная точка.
→
→
→
70 . a + 0 = a .
→
→
→
→
2. Напомним, что разность a − b двух векторов a и b определяется как
→
→
вектор, который в сумме с вычитаемым вектором b
→
→
→
дает вектор a :
→


b +  a − b  = a . (Рис. 2).


→
Вектор x называется противопо→
→
→
A
→
ложным вектору a , если x + a = 0 . Этот
вектор обозначается единым символом
→
→
− a . Можно показать, что − a = ( − 1) a .
λ = 0
.
x
=
0

Отметим, что λ x = 0 ⇔  r
a
B
→
O
→
a− b
→
→
→
b
Рис. 2
14
§ 2. Линейная зависимость и линейная независимость
системы векторов
1. Рассмотрим
систему векторов (направленных отрезков)
r r r
r
{a1 , a 2 , a 3 ,K, ak }.
(1)
Вектор
r
r
r
r
a = λ 1a 1 + λ 2 a 2 + K + λ k a k ,
(2)
где λ i ∈ R , i = 1, k , называется линейной комбинацией векторов системы
(1) (с постоянными коэффициентами λ 1 , λ 2 ,K , λ k ).
Нас интересует случай, когда линейная комбинация
r
r
r
λ 1a 1 + λ 2 a 2 + K + λ k a k = 0
(3)
при условии, что система векторов (1) задана, а λ 1 , λ 2 ,K , λ k − неизвестные
числа. Согласно (§1, п.2), если λ 1 = 0, λ 2 = 0,K , λ k = 0 , то (3) всегда имеет
место. В этом случае будем говорить о тривиальной комбинации векторов системы (1). Если же (3) имеет место, но хотя бы одно из чисел λ i отлично от нуля, то комбинация (3) называется нетривиальной линейной комбинацией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Система векторов (1) называется линейнонезависимой, если из условия (3) следует
λ 1 = 0, λ 2 = 0, K , λ k = 0 ,
(4)
то есть (3) возможно только при тривиальной комбинации. В противном случае,
т.е. когда (3) имеет место при нетривиальной линейной комбинации, система
векторов (1) называется линейно-зависимой, другими словами из (3) не следует (4): среди чисел λ 1 , λ 2 ,K , λ k есть хотя бы одно, отличное от нуля:
λ21 + λ22 + K + λ2k ≠ 0 .
(5)
Теорема 1. Система (1) линейно- зависима ⇔ когда некоторый вектор
системы есть линейная комбинация остальных векторов этой системы.
Следствие. Система (1) линейно - независима ⇔ когда ни один вектор
этой системы не есть линейная комбинация остальных векторов этой системы.
Теорема 2. Если некоторая подсистема векторов из (1) линейно- зависима, то и система (1) - линейно- зависима.
Следствие. Если (1) содержит нулевой вектор, то она есть линейно- зависимая система векторов.
Теорема 3. Если система векторов линейно- независима, то и ∀ ее подсистема линейно- независима.
§ 3. Векторный базис. Координаты вектора
→
→
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Два вектора a и b называются коллинеарными,
если после приведения их к общему началу они лежат на одной прямой (рис. 1).
→
→
В противном случае a и b называются неколлинеарными, то есть после
15
приведения к общему началу они не лежат на одной прямой (рис. 2).
b
T
• a
a
Т
b
Рис. 2
Рис. 1
r
r
Ортом называется вектор единичной длины. Ортом a 0 вектора a назы-
{
r r
r r
}
вается орт, сонаправленный с вектором a : a 0 ↑↑ a , a 0 = 1 . При этом
r
r
1r a
a0 = r a = r .
a
a
(1)
→
→
Последнее равенство проверяется непосредственно: a 0 ↑↑ a , так как
r
r
1→
1 r 1
1 a > 0 , а a 0 = r a = r a = r = 1. В чем и следовало убедиться.
a
a
a
r r
2. Теорема
1. Два направленных отрезка a и b коллинеарны ⇔ когда
r
r
b = λa ,
(2)
то есть, когда один из векторов получается из другого умножением на число.
{ }
r r
В силу этого, согласно теореме 1 (§ 2), имеем: система a , b из двух наr r
правленных отрезков линейно- зависима ⇔ когда a и b коллинеарны. В этом
состоит геометрический
смысл линейной зависимости системы из двух направr r
ленных отрезков a и b .
Система из двух направленных отрезков линейно- независима ⇔ когда
r r
a и b не коллинеарны. Последнее выражает геометрический смысл линейной
независимости системы из двух направленных отрезков.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Векторным базисом на плоскости называется упорядоченная
r r
система { e1 , e 2 } из двух линейно- независимых векторов. (Рис. 3).
r
Теорема 2. Произвольный вектор x на
плоскости есть линейная комбинация базисных векторов:
r
r
r
x = x1e1 + x 2 e2 .
x
l2
l1
Рис. 3
(3)
16
Координатами вектора x в базисе { e1 , e 2 } называются коэффициенты
r
r
r
x 1 , x 2 в разложении (3) вектора x по базисным векторам e1 и e 2 . При вы-
r r
r
бранном базисе { e1 , e 2 } координаты вектора определяются однозначно.
Множество векторов на плоскости называется двумерным векторным
пространством и обозначается B 2 (по числу базисных векторов в векторном
базисе).
3. Три вектора в пространстве называются некомпланарными (компланарными), если после приведения их к общему началу они не лежат (лежат) в
одной плоскости.
r r
Теорема 3.
{
}
r r r
Система a , b , c из трех векторов компланарна ⇔ когда
она линейно- зависима.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Векторным базисом в пространстве называется
r r r
упорядоченная система { e1 , e 2 , e 3 } из трех линейно- независимых векторов.
r
Теорема 4. Произвольный вектор x в пространстве есть линейная комбинация базисных векторов:
r
r
r
r
x = x 1 e1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 .
(4)
Координатами вектора x в базисе, { e1 , e 2 , e 3 } называются коэффициr
r r r
енты x 1 , x 2 , x 3 в разложении (4) вектора x по базисным векторам e1 , e 2 , e 3 .
r
r r r
При выбранном базисе { e1 , e 2 , e 3 } координаты вектора определяются однозначно.
r
Теорема 5. Чтобы получить координаты вектора λx , надо каждую коr
ординату x умножить на число λ .
r
Например, если выбран базис, x{x 1 , x 2 , x 3 } и ∀ λ ∈ R , то
r
λx{λx 1 , λx 2 , λx 3 }.
Теорема 6. Координаты алгебраической суммы двух векторов равны алгебраической сумме соответствующих координат слагаемых векторов.
r
r
Например, если x{x 1 , x 2 , x 3 } , y{y 1 , y 2 , y 3 } , то
r r r
( x ± y){x 1 ± y 1 , x 2 ± y 2 , x 3 ± y 3 } .
r
r
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Ортонормированным базисом в B 3 (множество векторов в пространстве)
называется
векторный
базис
r r r
e = { e1 , e 2 , e 3 } , для которого выполнены условия
r
r
r
r
α ) e1 = e1 = e 2 = e 3 = 1 , то есть если все три базисных вектора являются ортами
(векторами единичной длины);
r r r r r
β) e1 ⊥e 2 , e 3 ; e 2 , ⊥e 3 , то есть базисные
k
0
j
i
Рис. 4
17
векторы попарно ортогональны (перпендикулярны). Ортонормированный базис
{
}
r r r r r r
r r r
имеет стандартное обозначение i , j , k , где i = e1 , j = e 2 , k = e 3 . (см. рис.
4).
§4. Прямоугольная декартова система координат (ПДСК).
Деление направленного отрезка в заданном отношении
1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Координатами т. M в
ПДСК называются координаты
→
ее радиуса- вектора OM относительно ортонормированного
{
z
A
•
M•
}
r r r
базиса i , j , k (см. рис. 1), т.е.
M( x , y , z) ⇔
C
•
k
B
•
С
•1
i 0
j
x
y
Рис. 1
→
r
r
r
OM{x, y , z}{ri ,rj ,kr } = x i + y j + zk .
(1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что C ∈ (AB) (A ≠ B) делит направлен→
ный отрезок AB в отношении λ , если
→
→
AC = λ CB .
→
(2)
При этом, если λ > 0 (λ < 0 ) , то точка C делит AB внутренним (внешним) образом, т.е. т. C − внутренняя (внешняя) точка отрезка AB (см. рис.1).
Если A( a 1 , a 2 , a 3 ) , B( b 1 , b 2 , b 3 ) и C( c1 , c 2 , c 3 ) , то координаты делящей точки C связаны с координатами точек A и B так:
c1 =
a + λb 3
a 1 + λb 1
a + λb 2
; c2 = 2
; c3 = 3
.
1+ λ
1+ λ
1+ λ
(3)
Тем самым решаются две основные задачи:
I) по заданному отношению λ и координатам точек A и B определяются координаты делящей точки C .
II) по координатам точек A , B и C , лежащих на одной прямой, определяется отношение λ , в котором точка C делит направленный отрезок
→
AB .
Заметим, что середина отрезка AB соответствует λ = 1 . В силу этого (3) ⇔
18
c1 =
a + b3
a1 + b1
a + b2
; c2 = 2
; c3 = 3
.
2
2
2
(4)
ПРИМЕР 1. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами A(2;3;4 ), B(3;10;2 ), C(4;−1;3) .
Решение. Точка O пересечения медиан треС
угольника ABC (см. рис. 2) - центр тяжести ∆ABC .
→
→
AO = 2 OD, λ = 2. D(7 2 ;0; 5 2 ) согласно (4). В силу
7
2 + 2⋅
2 = 3; y = 3 = 1;
формул (3) имеем x 0 =
0
3
3
5
4 + 2⋅
2 = 3.
z0 =
3
Ответ: O(3;1;3) .
A
0
•
D
O
B
Рис. 2
§ 5. Проекция вектора (направленного отрезка) на ось
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Направляющим
вектором
r
прямой l называется вектор l , который лежит на паl
раллельной прямой либо на ней самой. (см. рис.1), то
l
есть,
если
отложить
этот
вектор
от
точки
прямой
l
,
то
r
l будет лежать на l .
Рис. 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Прямая l называется осью,
если на ней задано положительное направление.
r
Обычно направление на оси задается ортом l 0 направляющего вектора
этой прямой. Так, например, движение снизу вверх на l определяет положительное направление (см. рис. 1). Направление, противоположное положительному, называется отрицательным.
Пусть A1 (B1 ) - ортогональная (перпендикулярная) проекция
A
т. A (т. B ) на ось l (см. рис. 2), т.е.
A1 (B1 ) − основание перпендикуB
ляра, опущенного из A( B) на l .
l l0
Тем самым получается вектор
→
A 1 B1 , который называется векторной
проекцией
вектора
→
r
a = AB на ось l и это записывается так:
A1
B1
Рис. 2
19
пр l a .
(1)
r
Так как A 1 B1 и l 0 коллинеарны, то согласно теореме 1 из §3 и (1)
→
→
r
r
п р l a = A 1B 1 = λ l 0 ,
(2)
где λ − числовой коэффициент пропорциональности, называемый скалярной
r
проекцией вектора a на ось l и обозначаемый пр l a . Таким образом,
r
rr
п р l a = (п р l a )l 0 .
(3)
Согласно (3) геометрический смысл скалярной проекции заключается в
→
следующем: это есть величина вектора A1B1 , то есть длина A1B1 , если
→
→
r
r
A 1 B1 ↑↑ l 0 и взятая со знаком минус A1B1 , если A1 B1 ↑↓ l 0 . Следователь-
но, скалярная проекция
r
r
п рl a = ± п рl a .
(4)
Теорема 1. Равные векторы имеют равные проекции.
Теорема 2. Один и тот же вектор имеет равные проекции на сонаправленные оси.
Теорема 3.
r r
п р l a = a cos ϕ ,
(5)
где ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) − величина угла, образованно-
r
r
A
го вектором a с осью l (с вектором l 0 ) (см.
рис.3).
r
r r
r
ϕ
10 . п р l a + b = п р l a + п р l b − проекция сумl0
l
•
мы векторов равняется сумме проекций слагаеA1
T
мых векторов.
r
r
Рис. 3
2 0 . п р l λa = λп р l a − числовой множитель
можно выносить за знак проекции.
r
Замечание. В дальнейшем нам будет встречаться термин: проекция
a на
r
r
r
направление вектора l ( п р l a ) ⇔ проекция на ось, для которой l − направляющий вектор и он же определяет положительное направление оси l .
В дальнейшем, если не оговорено противное, векторный базис предлагается ортонормированным.
(
)
§ 6. Скалярное произведение двух векторов и его свойства
r
r
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Скалярным произведением двух векторов a и b
называется число (скалярная величина), обозначаемое одним из символов
20
( )
( )
r r rr rr
a , b , ab , ab и определяющееся по правилу
→→
r r
a b = a b cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π .
(1)
Другими словами, скалярное произведение равно произведению длин
векторов на косинус угла между ними.
→→
r
r
r
r
Свойства: 1 0 . a b = b п р br a = a п р ar b .
→→
2 0 . a b > 0 ⇔ ϕ − острый угол: 0 ≤ ϕ <
π
a b < 0 ⇔ ϕ − тупой угол: < ϕ ≤ π .
2
→→
π
.
2
→→
b
T
→ →
3 0 . Если a , b ≠ 0 , то
B
ϕ
A
a
Рис. 1
→
→
a b = 0⇔ a ⊥ b.
(2)
π
; либо хотя бы один из векторов - нулевой.
2
r
r
Теорема 1. Если a{a 1 , a 2 , a 3 } , b{b 1 , b 2 , b 3 } , то скалярное произведе-
→→


4 . a b = 0 ⇔ ϕ =
0
ние равно сумме произведений одноименных координат множителей
→→
a b = a 1b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
(3)
( ) называется
r r2
Скалярным квадратом вектора a a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
r
скалярное произведение вектора a на себя.
r2 r 2
Из (1) следует a = a , т.е. скалярный квадрат вектора равняется квадрату его длины. Отсюда, согласно (1) и (3),
r
r
a = a 2 = a 12 + a 22 + a 23 .
(4)
→ → → →
5 .  a , b  =  b , a  − коммутативность скалярного произведения.

 

→ →
  → →
 → →
0 
6 .  λ a , b  =  a , λ b  = λ a , b  − числовой множитель можно выно
 



0
сить за знак скалярного произведения.

→
→

→


→

Следствие.  λ a , µ b  = λµ a , b .


 → → →  → →  → →
7 0 .  a + b , c  =  a , c  +  b , c  − распределительное свойство по отно
 
 

шению к первому множителю;
21
 → → →  → →  → →
 a , b + c  =  a , b  +  a , c  − распределительное свойство по отноше
 
 

нию ко второму множителю.
2. Приложения скалярного произведения, в первую очередь, определяются формулами (см. рис.2):
rr
ab
cos ϕ = r r ,
ab
F
(5)
A
B
r r
где ϕ − угол между векторами a и b .
Рис. 2
rr
a
b r r
r
r
п р b a = r = a, b 0 .
b
(
)
(6)
r
Работа силы F по перемещению единичной массы из т. A в т. B по пряr
молинейному отрезку AB равна F AB .
z
Направляющие косинусы вектора (см.
рис. 3): cos α, cos β, cos γ , где
γ
k
r r
r r
r r
α = a ˆ i ; β = a ˆ j; γ = a ˆ k;
β
α
(7)
r
r
r
r
r
a{a 1 , a 2 , a 3 } : a = a 1 i + a 2 j + a 3 k
r
r
r
i {1,0,0}, j{0,1,0}, k{0,0,1} .
a
0
i
j
y
x
Рис. 3
При этом
rr
r
r r
 a1 = a i = п р ri a = п р x a = a cos α
rr
r
r r

a
=
a
j = п р rj a = п р y a = a cos β
 2
a = ar kr = п р r ar = п р ar = ar cos γ
z
k
 3
(8)
Последние три равенства определяют геометрический смысл координат
вектора в ортонормированном базисе: проекции вектора на оси координат, положительное направление которых определяются базисными векторами. Отсюда
a
a
a
cos α = r1 ; cos β = r2 ; cos γ = r3 .
a
a
a
(9)
r
Орт вектора a вектор
r
a  a1 a 2 a 3 
r
a 0 = r  r , r , r  = {cos α , cos β, cos γ}.
aa a a
(10)
Другими словами, направляющие косинусы вектора - это координаты
22
орта этого вектора. В силу этого и (3)
r
a 02 = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
(11)
r
ПРИМЕР 1. Найти вектор x , образующий со всеми тремя базисными орr
тами равные острые углы, если x = 2 3 .
1.Решение.
Согласно условию и (10) имеем α = β = γ , cos 2 α =
1
,
3
1
1
. Согласно (8) x 1 = 2 3 ⋅
= 2 = x2 = x3.
3
3
r
Ответ: x{2;2;2} .
cos α =
§ 7. Векторное произведение двух векторов и его свойства
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
→ → →
a , b , c , приведенная к общему началу, называется
правой при условии, что есr
ли смотреть
r с конца третьего вектора c , то кратчайший поворот от первого
вектора ra ко второму
вектору b должен происходить против часовой стрелки (см. рис. 1).
В противном случае
упорядоченная тройка
→ → →
a , b , c называется левой (см. рис. 2).
с
b
ϕ
Т
Правая
тройка
с
T
a
a
Левая
тройка
ϕ
b
Рис. 1
Рис. 2
(Упомянутый кратчайший поворот от первого вектора ко второму должен
происходить против часовой стрелки на угол 0 ≤ ϕ ≤ π ).
Замечание. Если три вектора упорядочены (занумерованы), то запись
a , b, c , означает: a − первый вектор, b − второй вектор, c − третий вектор. Если же мы пишем c, a , b , то c − первый вектор, a − второй вектор, b − третий
вектор.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Векторным произведением упорядоченной пары
→ →
векторов a , b называется третий вектор, обозначаемый одним из символов
[ ][ ]
rr r r r r
ab , a , b , a × b и определяющийся из трех нижеследующих условий:
r r
rr
r r r r
r r r r
10 . a , b = a b sin ϕ ; 2 0 . a , b ⊥ a , b ; 30 . Тройка векторов a , b , a , b
r r r
образует правую тройку, если a , b ≠ 0 .
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
23
[r r ]
r
r
r
Замечание. 10 ⇒ a , b = 0 ⇔ b = λa .
Для ненулевых неколлинеарных векторов
r r r
и только в этом случае a , b ≠ 0 . Геометричеr r
0
ский смысл 1 состоит в том, что a , b равен
[ ]
[ ]
площади параллелограмма TABC (см. рис. 3),
r r
построенного на векторах a и b как на сторонах после приведения их к общему началу T .
Условие 2 0 означает, что векторное
D
[a, b]
T
C
B
b
ϕ
A
a
Рис. 3
произведение перпендикулярно к векторам a и b . Требование 30 говорит о
[ ]
том, что если смотреть с конца вектора a , b , то кратчайший поворот на угол
ϕ (0 < ϕ < π ) от a к b должен происходить против часовой стрелки.
2. Свойства:
r
r
[ ] [ ]
[ ] [ ] [
r
r
10 ) a , b = − b, a , т.е. векторное произведение антикоммутативно.
r r
r r r r
r r
2 0 ) λa , b = λ a , b ; a , µb = µ a , b , т.е. числовой множитель можно вы-
] [ ]
носить (вносить) за (под) знак векторного произведения.
r r
r r
Следствие. λa , µb = λµ a , b .
[
]
[ ]
[
]
[ ]
r r r
r r r r
30 Распределительное свойство: a + b, c = [a , c ] + b, c ;
r r r r r r r
a , b + c = a , b + [a , c ].
[
] [ ]
r
r
Если a{a 1 , a 2 , a 3 }, b{b 1 , b 2 , b 3 } в правом ортонормированном базисе, то
[r r ]
координаты a , b определяются с помощью символического определителя
третьего порядка:
r
i
r
r
a, b = a 1
b1
r
j
a2
[ ]
b2
[ar , br ] =  ba 2

2
r
k
ra
a3 = i 2
b2
b3
a 3 a1
−
b 3 b1
a 3 r a1
−j
b3
b1
a 3 a1
,
b 3 b1
a 3 r a1
+k
b3
b1
a2
;
b2
a2 
.
b2 
r
(1)
Задача 1. Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен к векr
r
торам a 1 {2,−3,1} и a 2 {1,−2,3}, а также удовлетворяет условию
(
)
r
r
rr
x i + 2 j − 7 k = 10 .
r
r r
Решение. Из условия задачи имеем x = λ[ a 1 , a 2 ] , x i + 2 j − 7 k  =
(
)
r
r
r r r
= λ[a 1 , a 2 ] i + 2 j − 7k = 10 ;


24
r r
10[a 1 , a 2 ]
10
r
r
r ; x= r r r
r
r .
λ= r r r
[a 1 , a 2 ] i + 2 j − 7k
[a 1 , a 2 ] i + 2 j − 7k
(
)
(
)
x
Теперь остается воспользоваться формулой (1) и довести задачу до конца, а именно
r r r
i
j k
r −3 1
2 1 r 2 −3
r r
[a 1 , a 2 ] = 2 − 3 1 = i
−j
+k
=
1 −2
−2 3 1 3
1 −2 3
r r r
= −7 i − 5 j − k
r
r
r r r
[a 1 , a 2 ] i + 2 j − 7k = −7 − 10 + 7 = −10 .
r r
r
В силу этого x = −[a 1 , a 2 ] {7,5,1}.
(
a2
a1
[a ; a ]
1
2
Рис. 4
)
r
Ответ: x{7 ,5,1} .
§ 8. Смешанное произведение трех векторов и его свойства
1. Рассмотрим упорядоченную тройку векторов
r r r
a , b, c .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведениr r r
ем тройки векторов a , b, c называется число (скаляр-
([ ] )
r r r
ная величина), равное a , b , c .
[a, b]
с
b
T
Геометрический смысл знака смешанного произведения: если ϑ − объем параллелепипеда, построr r r
енного на векторах a , b , c как на сторонах, то
r rr
r r r
a , b c = ϑ , если a , b , c образуют правую тройку;
a
Рис. 1
[ ]r r r
− ϑ , если a , b , c образуют левую тройку.
r r r
Теорема.
a , b ⋅ c = 0 ⇔ когда векторы компла-
[ ]
нарны, т.е. после приведения к общему началу лежат в
одной плоскости.
2. При циклической перестановке векторов смешанное
произведение
не
меняется:
r rr rr r
r rr
a , b c = a b, c = [c, a ]b . В силу этого принято обозначе-
[ ] r[ ] r
r r r r
ние [ a , b]c = abc , показывающее, что результат не за-
c
•
•
a
•
b
Рис. 2
висит от того, как расставить квадратные скобки в правой части.
В координатах множимых векторов смешанное произведение определяется так:
25
a1
rrr
ab c = a 2
b1
b2
c1
c2 ,
(1)
a3 b3 c3
r
r
r
где a{a 1 , a 2 , a 3 }, b(b1 , b 2 , b 3 ), c(c1 , c 2 , c 3 ) .
ПРИМЕР 1. Найти длину высоты
параллелепипеда ABCDA ′B′C′D′ , опущенной из вершины A ′ на основание
ABCD . A(1,2,−3), B(2,4,0) , D(2,3,0 ) ,
A ′(5,3,1) .
D′
C′
A′
Решение. ϑ = AB AD AA ′ =
B′
D
C
= S ⋅ h , h = A ′E, E − основание перпенди-
куляра, опущенного из т. A ′ на плоскость
ABCD .
S ABCD = S = AB, AD . Тогда
[
h=
AB, AD, AA ′
[AB AD]
A
]
B
Рис. 3
. AB{1,2,3}, AD{1,1,3}, AA ′{4,1,4}.
r r r
i j k
r 2 3 r1 3 r 1 2
r r
AB, AD = 1 2 3 = i
−j
+k
= 3i − k ;
1 3
1 3
1 1
1 1 3
[
]
[AB, AD]{3,0,−1};
Ответ: 8
AB AD AA ′ = 12 − 4 = 8; h =
8
.
10
10 .
ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Учебники: Ефимов Н.В., гл. 1-7, § 11-13.
Беклемишев Д.В., гл. II, III.
§ 1. Прямая на плоскости
1. Различные виды уравнений прямой. Геометрический смысл коэффициентов.
1) a : Ax + By + C = 0 − общее уравнение прямой.
r
N{A, B} − нормальный вектор прямой, т.е. направляющий вектор пря-
мой, перпендикулярный к заданной прямой;
26
r
a{− B, A} − направляющий вектор прямой, т.е. вектор, параллельный прямой либо лежащий на этой прямой;
C = 0 ⇔ когда прямая проходит через начало координат;
C ≠ 0 ⇔ когда прямая не проходит через начало
координат (см. рис. 3), x , y − координаты произвольной
(текущей) точки прямой.
2) A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) = 0 − уравнение прямой,
проходящей через т. M 0 ( x 0 , y 0 ) , перпендикулярно векто-
r
r
ру N{A , B} , т.е. N − нормальный вектор прямой (см.
a
N
Рис. 1
M0
•
N
рис. 2).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y = kx + b, k = tgα, α − угол наклона прямой с
осью x .
Рис. 2
y
→
b = вел. OQ, Q(0, b ) − точка пересечения прямой
с осью y (см. рис. 3).
3) Параметрические уравнения прямой:
x = x 0 + mt
.

y
=
y
+
nt

0
Q
P
a
α
0
x
Рис. 3
координаты текущей (произвольной) точки прямой; ( x 0 , y 0 ) −
координаты начальной точки прямой. Начальной точкой считается фиксироr
ванная точка прямой; a{m, n} − направляющий вектор прямой, t − параметр,
t ∈R.
( x , y) −
x − x 0 y − y0
=
. Уравнение прямой,
m
n
x − x1
y − y1
проходящей через две точки M 1 (x 1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) :
=
.
x 2 − x 1 y 2 − y1
4) Каноническое уравнение прямой:
5) Уравнение прямой в отрезках
x y
+ = 1.
a b
P( a ,0), Q( 0, b) − точки пересечения прямой с осями
y
0
координат (см. рис. 4), при этом
Q
P
a = вел. OP , b = вел. OQ . В этом состоит
геометрический смысл параметров a и b уравнения
Рис. 4
прямой в отрезках.
2. Расстояние от точки до прямой определяется по формуле
x
27
*
*
Ax
+
By
+C r
*
P M ,a =
, N = A2 + B2 ,
r
N
(
(
)
(1)
)
где M * x * , y * , прямая задана общим уравнением
(см. рис. 5).
Следовательно, надо взять левую часть Ax + By + C
общего уравнения прямой и вместо x и y подставить со-
• M*
•
M0
ответственно x и y − координаты т. M . Далее, остается
*
*
*
Рис. 5
r
модуль полученной суммы поделить на модуль N .
3. Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости
a 1 : A 1 x + B 1 y + C1 = 0; a 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .
r
r
I) a 1 I a 2 ⇔ N 2 ≠ N1 ⇔
A2 B2
.
≠
A 1 B1
r
r
II) a 1 || a 2 ⇔ N 2 = λN1 ⇔
A 2 B 2 C1
=
≠
.
A 1 B1 C 2
(2)
(3)
(4)
III) a 1 ≡ a 2 : условие совпадения двух прямых:
A 2 B 2 C1
.
=
=
A 1 B1 C 2
(5)
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между
двумя прямыми (см. рис.6) называется ∀ из
2-х смежных углов, образованных этими
прямыми.
Формула
(
)
r r
N1 , N 2
(ar 1 , ar 2 )
cos ϕ = r r = r r
a1 a 2
N1 N 2
(6)
определяет острый угол между двумя прямыми a 1 и a 2 . Обычно выбирают острый
угол.
r
r
a2
Т
a1
ϕ
a 1 {− B1 , A1 }
a 2 {− B 2 , A 2 }
Рис. 6
(6) ⇒ a 1 ⊥ a 2 ⇔ N1 ⊥ N 2 ⇔
A1 A 2 + B1B 2 = 0 .
(7)
Задача 1. Составить уравнения сторон и диагонали ромба, если известны
уравнения двух его сторон x + 2 y = 4 и x + 2 y = 0 и уравнение одной из диагоналей y = x + 2 .
28
Решение.
a 1 : x + 2 y = 4; c : y = x + 2
a 2 : x + 2y = 0 .
Согласно (4) a 1 || a 2 , схематический чертеж дан на рис. 7. Согласно этому чертежу
 y= x+2
y = x + 2
.
P = c I a2 : 
⇔
x
+
2
y
=
0
x
=
−
4
3


c
a1
Q
S
a2
T
R
P
Рис. 7
y=x+2
x = 0
P(− 4 3 , 2 3); Q = c I a 1 : 
⇔
, Q(0,2 ) Середина отрезка PQ
x
+
2
y
=
4
y
=
2


 2 4
точка T − ;  . Теперь вспомним, что диагонали ромба I под прямым уг 3 3
r
лом: (SR ) ⊥ с . Направляющий вектор c {1;1} прямой c − нормальный вектор
прямой (SR ) . В силу этого имеем
(SR ) :1 x + 2  + 1 y − 4  = 0; 3x + 3y − 2 = 0 .
3 
3


20
8


x
=
4
−
=
−
 x + 2 y = 4
x = 4 − 2 y

3
3, S − 8 , 10 
S: 
⇔
⇔
10
 3 3
3x + 3y = 2 12 − 6 y + 3y = 2  y =

3


 x + 2y = 0
 x = −2 y
 x=4 3
4 2
4 8
R:
⇔
⇔
, R  ;− , SP  ;−  .
 3 3
3x + 3y = 2  y = − 2 3  y = − 2 3  3 3 
8
10
x+
y−
3 , 3x + 8 = 3y − 10 : 3x + 8 = − 3y − 10 ;
(SP ) : 3 =
4
8
4
−8
2
−
3
3
6x + 3y + 6 = 0; 2 x + y + 2 = 0 .
4
2
x−
y+
(QR ) : 3 = 3 ; 2x − 8 + y + 2 = 0; 2x + y − 2 = 0 .
−1
2
3
3
Ответ: (SR ) : 3x + 3y − 2 = 0; (SP ) : 2 x + y + 2 = 0; (QR ) : 2x + y − 2 = 0 .
§ 2. Плоскость
1. Различные виды уравнений плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.
1) α : Ax + By + Cz + D = 0 − общее уравнение плоскости.
29
r
N{A, B, C} − нормальный вектор плоскости, т.е.
N{A, B, C}
направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна плоскости (см. рис. 1).
D = 0 ⇔ когда плоскость проходит через начало координат;
D ≠ 0 ⇔ когда плоскость не проходит через начало координат.
2)
α : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0 − уравнение
плоскости,
проходящей
через
r
т. M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ⊥ N{A, B, C} .
T
Рис. 1
x y z
α : + + = 1 − уравнение плоскости в отрезках; P(a ,0,0 ) ,
a b c
Q(0, b,0 ), R (0,0, c ) − точки пересечения плоскости с координатными осями
x , y , z , при этом a = вел. OP, b = вел. OQ, c = вел. OR .
3)
2. Расстояние от точки до плоскости определяется формулой (см. рис. 3)
Ax * + By * + Cz * + D
,
p M ,α =
r
N
(
(
)
*
(1)
)
где M * x * , y * , z * ,
α : Ax + By + Cz + D = 0 . Таким образом, чтобы получить расстояние от точки
до плоскости надо в левую часть Ax + By + Cz + D общего уравнения плоскости вместо x , y , z подставить координаты x * , y * , z * т. M . И модуль этой вели*
r
чины поделить на N .
M * (x* , y* , z* )
z
R
M0
y
0
Q
P
α
x
Рис. 2
Рис. 3
3. Взаимное расположение 2-х плоскостей.
α 1 : A 1 x + B 1 y + C1 z + D1 = 0; α 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
(2)
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными
30
I)
( 4) −
 A 1 x + B 1 y + C1 z + D1 = 0
.

A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
r 2
2
2
r
r 2
r r
N 2 {A 2 , B 2 , C 2 } ≠ λN 1 {A 1 , B 1 , C1 } ⇔ N 1 , N 2 ≠ 0 .
[
]
(3)
(4)
условие пересечения двух плоскостей, а система (3) определяет
так называемое
общие
уравнения
r прямой.
r
r
r r
II) N 2 = λN1 ⇔ N1 N 2 = 0 ⇔
[
]
A 1 B 1 C1 D1
=
=
≠
.
A 2 B 2 C2 D2
(5)
Система (3) не совместна. Другими словами, плоскости α 1 и α 2 не имеют общих точек, и, следовательно, параллельны. Таким образом, (5) есть условие параллельности двух плоскостей, заданных общими уравнениями.
III)
A 1 B 1 C 1 D1
.
=
=
=
A 2 B 2 C2 D2
(6)
Одно уравнение системы (3) есть следствие другого. А это означает, что
плоскости совпадают (α1 ≡ α 2 ) . Таким образом, (6 ) − условие совпадения
плоскостей.
4. Угол между двумя плоскостями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Углом между двумя плоскостями называется ∀ из
двух смежных углов, образованных этими плоскостями.
a = α1 I α 2 .
ϕ = θ, π − θ ,
(7)
где θ − линейный угол двугранного угла,
образованный лучами l 1 , l 2 , S − вершина
линейного
α1
r угла,
r S ∈a .
Если N1 и N 2 поместить в точку S , то
r r
N1 , N 2 , l 1 , l 2 ⊂ плоскости, проходящей
r
r
через S⊥a , при этом N 1 ⊥ l 1 , N 2 ⊥ l 2 .
r
Таким образом, углы, образованные N1 и
r
N 2 , l 1 и l 2 , есть углы с перпендикуляр-
ными
r r
сторонами.
В
N1 ^ N 2 = θ, π − θ . Тогда
(
)
r r
N1 , N 2
cos ϕ = ± r r .
N1 N 2
силу
α2
S
этого
Рис. 3
(8)
Если же мы хотим выбрать острый угол, то вместо (8) имеем
31
r r
N1N 2
cos ϕ = r r .
N1 N 2
r r
(8) ⇒ α1 ⊥ α 2 ⇔ N1 N 2 = A1A 2 + B1B 2 + C1C 2 = 0 .
(9)
Для параллельных либо совпадающих плоскостей по определению
ϕ = 0 , либо π , что вполне согласовывается с формулой (8).
§ 3. Прямая в пространстве
1. Различные виды уравнений прямой. Геометрический смысл коэффициентов.
x − x0
y − y0 z − z0
=
=
− каноничеm
n
p
ские уравнения прямой (см. рис.1);
M0
•
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) − начальная (фиксированная, данная) точка прямой;
r
a{m, n , p} − направляющий вектор прямой;
M (x , y, z ) − текущая (произвольная) точка прямой.
1)
a
a
•
M (x , y, z )
Рис. 1
2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
M1 (x 1 , y1 , z1 ), M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) :
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
.
x 2 − x 1 y 2 − y1 z 2 − z 1
3) Общие уравнения прямой (см. §2, п.3 формула (3)):
 A 1 x + B 1 y + C1 z + D1 = 0
,

A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
 2
2
2
2
(1)
где прямая рассматривается как
r линия
r rпересечения двух плоскостей. Направляющий вектор такой прямой N = N1 , N 2 . За координаты точки можно взять
∀ решение системы (1). Обычно в (1) полагают x = 0 и находят две другие
координаты y и z начальной точки. Вместо x = 0 берут также y = 0 либо
z = 0.
Рассматривая (1) как систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными, можно ее разрешить относительно одной из переменных и тем самым получить сразу параметрические уравнения прямой. Роль параметра играет переменная, через которую линейно выражаются два других.
[
]
x = x 0 + mt ,

4) Параметрические уравнения прямой:  y = y 0 + nt , t ∈ R , t − пара z = z 0 + pt ,
метр.
32
2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Прямые a 1 и a 2 заданы каноническими уравнениями:
a1 :
x − x 1 y − y1 z − z1
x − x 2 y − y2 z − z2
=
=
; a2 :
=
=
.
m2
n2
p
m1
n1
p
Теорема. a 1 и a 2 принадлежат одной плоскости ⇔ когда
r r
M 1 M 2 a 1a 2 =
x 2 − x1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1
m1
n1
p1
= 0,
m2
n2
p2
(2)
т.е. когда три вектора M 1 M 2 {x 2 − x 1 , y 2 − y1 , z 2 − z 1 } ,
r
r
a 1 {m1 , n 1 , p1 }, a 2 {m 2 , n 2 , p 2 }компланарны
(см. рис.2).
r
r
Следствие. Прямые a 1 и a 2 не лежат в одной плоскости (скрещивающиеся прямые) ⇔ когда
условие (2) нарушается, то есть векторы
r r
M 1 M 2 , a 1 , a 2 не компланарны:
M1
a1
M2
a2
Рис. 2
x 2 − x1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1
r r
M 1 M 2 a 1a 2 = m 1
n1
p1
≠ 0.
m2
n2
p2
(3)
a 1 || a 2 (см. рис. 3)
r
r
 a 2 = λa 1
⇔
r
M 1 M 2 ≠ µa 1
m 2 n 2 p 2
=
=

⇔  m1 n1 p1
 M M ≠ µar
 1 2
1
r
r
 a = λa 1
a1 ≡ a 2 ⇔  2
r ⇔
M
M
=
µ
a
 1 2
1
 m2 n2 p2
 m = n = p
1
1
1
.
x − x
y
−
y
z
−
z
1
1
1
 2
= 2
= 2
 m 1
n1
p1
a1
(4)
a1
M2
M1
a2
(5)
Рис. 3
(6)
33
3. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Напомним, что упомянутое расстояние равно
длине общего перпендикуляра этих прямых. Для определенности прямые a 1 и a 2
зададим каноническими уравнениями (см.
п.2), тогда искомое расстояние (см. рис. 4)
r r
M 1 M 2 a 1a 2
h=
,
(7)
[ar 1ar 2 ]
где M1 (M 2 ) − начальная точка прямой
r r
a 1 (a 2 ), a 1 (a 2 ) − направляющий век
тор прямой a 1 (a 2 ) .
C1′
D′
a 1′ || a 1
B′
M2
a2
D
C
a1
a1
M1
a ′2 || a 2
B
Рис. 4
4. Угол между двумя прямыми в пространстве.
Пусть две прямые a 1 и a 2 заданы своими каноническими уравнениями
(см. п.2). Зафиксируем некоторую точку S , и через нее проведем прямые
M2
a
a
T
M3
M1
M1
a2
M2
Рис. 5
a 1′ || a 1
ϕ
S
•
a1
π
−
ϕ
a2
a ′2 || a 2
a1
Рис. 6
Рис. 7
a 1′ || a 1 и a ′2 || a 2 (см. рис. 7). За угол между прямыми a 1 и a 2 принимается
угол между a 1′ и a ′2 : ϕ = a 1 ^ a 2 = a 1′ ^ a ′2 . И дело, таким образом, сводится к
плоскому случаю. В силу этого согласно (6) §1 (гл. III)
r r
a 1a 2
cos ϕ = r r .
a1 a 2
(8)


Последнее позволяет определить острый угол  0 ≤ ϕ ≤
π
 между двумя
2
пространственными прямыми.
(8)
r v
⇒ a 1 ⊥ a 2 ⇔ a 1a 2 = 0 .
5. Расстояние от точки до прямой.
r
M1 (x 1 , y1 , z1 ), M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), a{m, n , p} (см. рис. 5)
(9)
34
r
∆M 2 M1M 3 , M1M 3 = a
r
ha
1
r
S M 2M1M 3 = M 1 M 2 , a =
.
2
2
r
M 1M 2 , a
h=
.
(10)
r
a
II) Способ. Через т. M 2 проводим плоскость α ⊥ прямой a . Находим координаты т. T = α I a . Длина отрезка M 2 T дает искомое расстояние.
[
[
]
]
§4. Плоскость и прямая в пространстве
1. α : Ax + By + Cz + D = 0
(1)
x = x 0 + mt ,

a :  y = y 0 + nt ,
 z = z 0 + pt .
(2)
 Ax + By + Cz + D = 0
x = x + mt

0
a I α ⇔ когда совместна система: 
⇔
y
y
nt
=
+
0

z = z 0 + pt
 A(x 0 + mt ) + B(y 0 + nt ) + C(z 0 + pt ) + D =

⇔ = (Am + Bn + Cp ) + Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0
x = x + mt , y = y + nt , z = z + pt
0
0
0

(3)
Теперь положим (см.
r рис. 1)
r
Am + Bn + Cp = N a
и тогдаrвместо первого уравнения (3) имеем
r
Na t = −(Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ) .
( r)
(4)
(5)
r r
r
α) Na = 0 ⇔ N ⊥ a.
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0 ⇔ M 0 ∉ α . (6)
a I α = ∅ ⇔ прямая и плоскость параллельны
(α || a ), т.е. (6) - условие параллельности прямой и
M0
•
a
N
α
Рис. 1
плоскостиr
r r
r
β) Na = 0 ⇔ N ⊥ a , Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 ⇔ M 0 ∈ α , система (3)
удовлетворяется
приr ∀ t: a ⊂ α , т.е. прямая принадлежит плоскости .
rr
r
γ ) Na ≠ 0 ⇔ N не ⊥ a ⇔ a не параллельна α и не ⊂ α . Из (5) неизвест-
ный параметр t = t 0 находится однозначно, прямая и плоскость пересекаются.
Вставляя t 0 в (2), получим координаты точки пересечения.
35
2. Угол между прямой и плоскостью.
l ′ − ортогональная (перпендикулярная)
проекция l на α : l ′ = п р α l . Тогда по определению угол l ^ α есть угол l ^ l ′ .
r
r
aN
sin ϕ = ± cos θ = ± r r .
aN
r
r
Отсюда ⇒ l || α ⇔ a ⊥ N ⇔
rr
⇔ aNr = 0 .
r
l ⊥ α ⇔ a, N = 0 ⇔
r
r
⇔ N = λa .
(7)
l
N
θ
ϕ
l′
a
α
T
(8)
[ ]
Рис. 2
(9)
Задача. Даны две плоскости: 3x + y − z + 1 = 0 и 5x + 3y + z + 2 = 0 .
Установить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими. Если плоскости пересекаются, составить канонические уравнения
линии пересечения.
r
r
Решение. I-й способ. N1 {3,1,−1}, N 2 {5,3,1};
r
⇔ N 2 ≠ λ N1 . ⇔
r
i
r r r
a = N1 , N 2 = 3
3 1
≠ ≠ −1 ⇔
5 5
плоскости пересекаются. Согласно п.1 (§3)
r r
j k
r 1 −1 r 3 −1 r 3 1
1 −1 = i
−j
+k
=
3 1
5 1
5 3
5 3 1
r r
r
r
r r
= 4 i − 8 j + 4k ⇔ a 1 {1,−2,1} ↑↑ a , a − направляющий вектор прямой.
3 1
3x + y = −1
∆=
= 4;
Положим z = 0 , тогда 
5
x
+
3
y
=
−
2
,
5
3

−1 1
3 −1
1
1
∆x =
= −1; ∆ y =
= −1; x = − ; y = − .
−2 3
5 −2
4
4
 1 1 
M 0  − ;− ;0  − начальная точка линии пересечения рассматриваемых плос 4 4 
[
]
костей. Согласно п.1 (§3) канонические уравнения имеют вид:
1
1
y+
4=
4 = z.
1
−2
1
z −1
1
3x + y = z − 1
II-й способ. 
, ∆ = 4; ∆ x =
=
(
)
(
)
5
x
+
3
y
=
−
z
+
2
−
z
+
2
3

3
z −1
= 3z − 3 + z + 2 = 4z − 1. ∆ y =
= −3z − 6 − 5z + 5 = −8z − 1.
5 − (z + 2 )
x+
36
Отсюда приходим (п.4, §3) к параметрическим уравнениям прямой
1
1

x
=
z
−
=
−
+t

4
2

1

 1 1  r
, M 0  − ;− ;0 , a{1,−2,1}.
y = − − 2t
4
 4 4 

z = t

1
1
4 = z.
Ответ: x + =
4
−2
y+
Оба способа приводят к одному и тому же результату, как и должно быть.
§5. Кривые второго порядка
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Кривой второго порядка называется линия ω ,
уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат
есть алгебраическое уравнение второго порядка относительно двух переменных
x и y:
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,
(1)
Мы рассматриваем случай, когда B = 0 , т.е. (1) не содержит члена с произведением переменных:
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 .
(2)
Отметим, уравнение (1) за счет подходящего поворота системы координат всегда можно привести к виду (2). В случае (2) к каноническому виду приходим за счет параллельного переноса системы координат.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы имеют следующий вид:
x2
a
2
x2
a2
+
−
y2
b
2
y2
b2
= 1.
(3)
= 1.
(4)
y 2 = 2px .
ПРИМЕР 1. Привести уравнение кривой второго порядка
1
1
2
ω : x 2 − y 2 − x + y − 1 = 0 к каноническому виду и построить ее.
4
9
3
(5)
37
Напомним способ выделения полного квадрата из квадратного трехчлена
(двучлена):
2
2
 2
b
c  b
 b  
ax + bx + c = a  x + 2 ⋅ x + +   −    =
2a
a  2a 
 2a  

2
2

b
4ac − b 2 
= a  x +  +
.
2
2
a
4
a




1
1
I) x 2 − x = x 2 − 4 x = выделяем полный квадрат из квадратного
4
4
1
1
2
2
двучлена = (x − 2 ) − 4 = (x − 2 ) − 1 ;
4
4
(
)
[
]
(
)
[
]
1 2 2
1
1
1
y + y = − y 2 − 6 y = − (y − 3)2 − 9 = − (y − 3)2 + 1
9
3
9
9
9
1
(x − 2)2 − 1 − 1 (y − 3)2 + 1 − 1 =
4
9
y′
y
2
2
(x − 2) − (y − 2) = −1
=
4
9
2
2
(y − 2) − (x − 2) = 1 . Полагая x ′ = x − 2 , со
x′
0′
9
4
y′ = y − 2
II) −
вершим параллельный перенос системы координат
в точку O′(2,2 ) . В новой системе (x ′o′y′) уравне-
x
0
y′ 2 x ′ 2
ние кривой α есть
−
= 1 − каноническое
9
4
уравнение гиперболы с действительной осью y′ .
Рис. 1
ПРИМЕР 2. ω : 2x 2 − 4 x + 2 y − 3 = 0 .
Привести к каноническому виду и построить кривую.
y
(
)
3

2x 2 − 4x + 2 y − 3 = 2 x 2 − 2 x + 2 y −  =
2

3 


= 2 (x − 1)2 +  y −  =
2 


x ′ = x − 1
, ω : x ′ 2 + y′ = 0,

y′ = y − 2
y ′ = − x ′ 2 − парабола.
y′
x′
0′
0
1
Рис. 2
x
38
Глава IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебники: Пискунов Н.С., гл. I-II,
Бугров Я.С., Никольский С.М., гл. I-III.
§1. Предел переменной величины. Предел функции
Окрестностью т. a ( a − число) называется
произвольный интервал (α, β )(α < x < β) , содержащий эту точку: α < a < β
(см. рис.1).
δ − окрестностью т. a ( a − число) называется симметричный интервал
(a − δ, a + δ) с центром в точке a (см. рис.2).
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
(
•
α a
Рис. 1
)
β
(
•
a−δ a
)
a+δ
Рис. 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что число a есть предел переменной величины x и это записывают так: x → a либо lim x = a , если какую бы окрестность (α , β) этой точки не взять, найдется хотя бы одно значение x ∈ (α , β)
и которое отлично от a .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Говорят, что переменная x есть бесконечно малая
величина, если x → 0 ⇔ lim x = 0 ⇔ a = 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Говорят, что переменная x бесконечно большая
величина
и
это
обозначается
так:
δ
−δ
x → ∞ ⇔ lim x = ∞ , если ∀ δ > 0 , в част]
•
[
ности, сколь угодно большого, ∃ значение x ,
удовлетворяющее
требованию:
Рис. 3
x > δ ⇔ x ∈ (− ∞,−δ ) U (δ, ∞ ) , то есть значение x ∉ [− δ, δ]. (см. рис. 3).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Говорят, что x → +∞ (x → −∞ ) , если ∀ δ > 0 , в
частности, сколь угодно большого, ∃ значение переменной x , удовлетворяющее требованию: x > δ ( x < −δ ) .
Множество (δ,+∞ ) в дальнейшем будем называть δ − окрестностью
+ ∞ . Аналогично, при δ > 0 , множество (− ∞,−δ ) будем называть δ − окрестностью − ∞ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Говорят, что x → a − 0 ( a − левосторонний предел, предел слева), если какое бы δ > 0 не взять, в частности, сколь угодно малое, ∃ значение x ∈ ( a − δ , a) .
Аналогично определяется правосторонний (предел справа) предел:
39
x → a
x → a +0⇔
⇔ какое бы δ > 0 не взять, в частности, сколь угодно
>
x
a

малое, ∃ значение x ∈ (a , a + δ ) .
2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Говорят, что число A есть предел функции
y = f (x ) при x → a и это записывают так: f ( x) → A при x → a либо
lim f ( x) = A , если для ∀ ε > 0 , в частности,
y
x→ a
сколь угодно малого, ∃ δ = δ(ε ) такое, что как
A+ε
только
0 < x − a < δ (ε ),
(1)
•
•A
то для таких x имеет место
f (x ) − A < ε ,
(2)
A−ε
то есть как только значение независимой пере•
x
менной x попадает в δ − окрестность точки a − δ a a + δ 0
a ( x ≠ a) , то соответствующее значение f ( x)
Рис. 4
попадает в ε − окрестность точки A (см. рис.
4).
В развернутом виде (1) и (2) имеют вид
a − δ < x < a + δ, x ≠ a .
(3)
A − ε < f (x ) < A + ε .
(4)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Функция α = α(x ) называется бесконечно малой
функцией (БМФ) при x → a , если lim α(x ) = 0 .
x →a
Теорема 1.
lim f ( x) = A ⇔ если α(x ) = f (x ) − A есть БМФ при
x→ a
x → a , т.е. lim α(x ) = lim[f (x ) − A ] = 0 .
x →a
x →a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Говорят, что f ( x) ограничена на числовом (точечном) множестве ω , если ∃ M > 0 и для ∀ x ∈ ω выполняется требование
f (x ) ≤ M .
Теорема 2. Если lim f (x ) = A, A − число и A ≠ 0 , то
x →a
1
ограничена
f (x )
в некоторой окрестности т. a ( x ≠ 0) .
3. Односторонние пределы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.
lim f (x ) = A (левосторонний предел функции,
x →a −0
предел функции слева) ⇔ ∀ ε > 0 , в частности, сколь угодно малого,
∃ δ = δ(ε ) > 0 такое, что как только x ∈ ( a − δ , a) , то для таких x выполняет-
ся неравенство f ( x) − A < ε .
Аналогично определяется правосторонний предел функции (предел справа) lim f (x ) : ∀ ε > 0 , в частности, сколь угодно малого, ∃ δ = δ(ε ) > 0 таx →a + 0
40
кое, что как только x ∈ (a , a + δ ) , то для таких x выполняется неравенство
f (x ) − A < ε .
Левосторонний и правосторонний пределы функции принято называть
односторонними пределами, которые соответственно обозначаются f (a − 0 ) и
f (a + 0 ) .
Теорема 3. Предел функции y = f (x ) ∃ ⇔ когда совместно выполняются три условия:
10 . ∃ f (a − 0) − левосторонний предел;
2 0 . ∃ f (a + 0) − правосторонний предел;
30 . f (a − 0 ) = f (a + 0) , т.е. односторонние пределы равны.
4. Бесконечно большая функция (ББФ).
Говорят, что lim f ( x) = ∞ , f ( x) → ∞ при
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.
x → a,
f ( x) − ББФ при x → a , если для
x→ a
∀ M > 0 , в частности, сколь угодно большо∃ δ = δ(M ),
что
как
только
го,
0 < x − a < δ( M ) , то для таких x имеет ме-
сто
M
y
x
0
f (x ) > M .
(5)
Геометрическая интерпретация определения 11 дана на рис. 5.
−M
a
•
a−δ
a+δ
Рис. 5
§2. Свойства бесконечно малых функций (БМФ)
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух БМФ есть снова БМФ, т.е. если
lim α (x ) = 0, lim β(x ) = 0 ,
x →a
x →a
то lim[α (x ) ± β(x )] = 0 .
x →a
(1)
(2)
Следствие. Теорема 1 верна для ∀ конечного числа БМФ.
Теорема 2. Произведение БМФ на ограниченную функцию есть БМФ,
т.е. если α( x) → 0 при x → a и f ( x) − ограниченная функция, то
α(x )f (x ) → 0 при x → a .
Следствие 1. Произведение БМФ на БМФ есть БМФ.
Произведение БМФ на постоянную есть БМФ, то есть, если α(x ) → 0
при x → a , то C α(x ) → 0 при x → a .
41
Следствие 2. Произведение БМФ на f ( x) , имеющей конечный предел
при x → a , есть БМФ.
Замечание. Мы намеренно сейчас не рассматриваем предел отношения
двух БМФ α(x ) и β(x ) . Это приводит к так называемой неопределенности вида
0 
  . Последнее означает следующее: наперед нельзя сказать, чему равен
0 
α (x )
. Все зависит от структуры дроби α(x ) β(x ).
lim
x →a β(x )
§3. Основные теоремы о пределах функций
1. Если функции f (x ) и g(x ) имеют конечные пределы при x → a , то
справедливы
Теорема 1. lim f ( x) ± g( x) = lim f ( x) ± g( x) , т.е. предел алгебраичеx→ a
[
]
x→ a
ской суммы ∃ и равен алгебраической сумме пределов слагаемых.
Следствие. Теорема 1 верна для ∀ конечного числа слагаемых.
Теорема 2. lim[f (x ) g(x )] = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) .
x →a
Следствие 1.
x →a
x →a
lim C f (x ) = C lim f (x ), C = const , т.е. постоянный мно-
x →a
x →a
житель можно выносить за знак предела.
Следствие 2. Теорема 2 верна для конечного числа множителей, каждый
из которых имеет конечный предел.
f (x )
f (x ) xlim
→a
Теорема 3. lim
=
, если lim g (x ) ≠ 0 .
x → a g (x )
x →a
lim g(x )
x →a
2. Замечательные пределы и их следствия
sin x
= 1 − первый замечательный предел;
x →0 x
n
 1
I. lim 1 +  = e − второй замечательный предел,
n →∞ 
n
lim
где e − основание натурального логарифма; n ∈ N .
Следствия замечательных пределов.
tgx
= 1;
x →0 x
x
1
1

0
2 . lim 1 +  = lim (1 + α ) α = e ;
x → 0
α →0
x
log (1 + x )
ln(1 + x )
30 . lim a
= log a e ; 4 0 . lim
= 1;
x →0
x →0
x
x
10 . lim
42
(
1 + x )a
6 . lim
a x −1
5 . lim
= ln a;
x →0
x
0
0
x →0
−1
x
= a.
3. При нахождении пределов показательно-степенных функций u( x)
ϑ( x)
u (x ) → 1
при x → a мы имеем дело с неопределенностью вида
(
)
ϑ
→
∞
x

в случае 
{1 }, которая раскрывается следующим образом:
( )
( )
lim u( x)
= {1 } ≡ lim[1 + ( u( x) − 1)]
= lim[1 + α( x)]
∞
ϑ x
ϑ x
∞
x→ a
x→ a
ϑ ( x ) ⋅α ( x )
x→ a
α( x)
=
1
lim α ( x )ϑ( x )


= lim [1 + α(x )]α ( x )  = e x →a
.
x →a 

Следовательно, остается найти lim α(x )ϑ(x ) = {0 ⋅ ∞}. Таким образом,
x →a
{1 }⇒ {0 ⋅ ∞}.
∞
 x 2 + 1

ПРИМЕР 2. lim 
2 
x →∞
x


1 

= lim 1 + 2 
x →∞
x 
x2
x 2 +1
{ }= x
∞
= 1
1 

= lim 1 + 2 
x →∞ 
x 
2
x2
1 

lim 1 + 2  =
x →∞ 
x 
1
α
= α = lim (1 + α ) = e .
x →∞
0
Здесь использовалось следствие 2 второго замечательного предела.
4. Предел сложной функции. Справедлива
Если ∃
Теорема 4.
[
]
lim u( x) = b и lim F(u ) = A , то предел сложной
u →b
x→ a
функции f ( x) = F u( x) при x → a ∃ и равен A :
lim F[ u( x)] = A .
x→ a
 0  ∞ 
0
∞
0
 , { 0 ⋅ ∞} , 0 , 1 , ∞
 0  ∞ 
§4. Неопределенности вида   , 
{ }{ }{ }
К указанным неопределенностям приходим в следующих случаях:
0 
0 
1.   (см. Замечание §2);
f (x )  ∞ 
=   , если f ( x) и g( x) − ББФ
x →a g (x )
∞ 
2. lim
при x → a , a − число либо один из символов ∞; − ∞; + ∞ .
3. lim f ( x) − g( x) = {∞ − ∞} , если f ( x) и g( x) − ББФ.
x→ a
{
}
4. lim α(x )f (x ) = {0 ⋅ ∞}, если α( x) − БМФ; f (x ) − ББФ.
x →a
43
ϑ( x )
5. lim u (x )
x →a
{ }
= 0 0 , если u( x) > 0 и ϑ(x ) − БМФ.
{ } − см. п.3 §3;
7. lim u( x)
∞
6. 1
x→ a
ϑ(x)
= {∞ 0 } , u( x) − ББФ; ϑ(x ) − БМФ.
Способы раскрытия некоторых из указанных неопределенностей мы покажем на примерах.
 1

− 1

tgx − sin x  0 
sin x  cos x 
1 − cos x
lim
lim
1. lim
=
=
=
=


3
2
2
x →0
x
→
0
x
→
0
x
0
(cos x )x
x
x
 
2
x
x

2 sin
sin 

1 − cos x
2 = 1 lim 
2 = 1.
= lim
=
lim
x →0
x →0
2 x → 0 x 
2
x2
x2


 2 
π
π


sin  x − 
sin  x − 
sin x − cos x
2
2
4
4
= 2 lim 
=−
2. lim
lim 
=−
.
π
π
π
π − 4x
4 x→ π
4
π

x→
x→
x−
4
2 4 − x 
4
4
4

x = t6
3 
 3
3. lim
−
=
 = {∞ − ∞} =
3
6
x →1 1 − x
1− x 
t= x
2
1 
1− t 2 −1+ t3
t 2 (t − 1)
 1
= 3 lim
−
= 3 lim
=
 = 3 lim
t →1  1 − t 3
t →1 1 − t 3 1 − t 2
t →1 1 − t 3 1 − t 2
1− t2 
t2
= 3 lim
= ∞.
t →1 1 − t 3 (1 + t )
1
1 

x
1
+
+


6
x + 3 x + 4 x ∞ 
1
x 4 x

4. lim
=   = lim
=
.
x →+∞
x
→
+∞
∞

2x + 1
2
 
1
x  2 + 
x

(
(
)(
)
(
)
 1
1 − cos x

5. lim 
− ctgx  = {∞ − ∞} = lim
x →0 sin x
x →0 sin x


x
2 = 0.
= lim
= lim
x →0
x
x x →0
x
2 sin cos
cos
2
2
2
cos αx − cos βx  0 
= =
6. lim
x →0
x2
0 
2 sin 2
x
2
sin
=
)(
)
44
= lim
1 − cos βx + cos αx − 1
x →0
x
2
= lim
x →0
1 − cos βx
x
2
− lim
1 − cos αx
x →0
x
2
=

βx
βx 
αx 


2 αx
2 sin
2 sin
sin
sin





1 2
2
2
2
2
2
 − α lim 

= lim
− lim
= β lim 
x →0
x →0
x → 0 α x 
2  x → 0 β x 
x2
x2





 2 
 2 

1
= β2 − α 2 .
2
2
kx 

2 kx
2 sin
 sin

cos kx − 1
k2
k2
2
2


lim
7. lim
= − lim
=−
=− .
x →0
x →0
2 x →0 kx 
2
x2
x2


 2 
2
2
(
)
2


=



§5. Непрерывные функции и их свойства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция y = f (x ) называется непрерывной в т. x 0 ,
если
lim f (x ) = f (x 0 ) = f  lim  .
x→x0
 x→x0 
(1)
Другими словами, ∃ предел f ( x) при x → x 0 , и он равен значению
функции в т. x 0 ; x 0 ∈ области определения D(f ) . Согласно теореме 4 §1 (1)
⇔
f (x 0 − 0) = f (x 0 + 0) = f (x 0 )
(2)
(1) ⇒ x 0 − внутренняя точка D(f ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция y = f (x ) называется непрерывной слева
(справа), если выполняется требование
f (x 0 − 0) = f (x 0 ) (f (x 0 + 0 ) = f (x 0 ))
(3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция называется непрерывной на интервале
( a , b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на сегменте
[ a , b] , если она непре-
рывна на интервале ( a , b) и непрерывна в т. a справа: f (a + 0 ) = f (a ) и в т. b
слева: f (b − 0 ) = f (b ) .
2. Точки разрыва функции и их классификация.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Точка x 0 называется точкой разрыва функции
y = f ( x) , если хотя бы одно из условий (2) нарушается.
Так, например, если x 0 ∉ D(f ) , то эта точка наверняка точка разрыва.
45
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Точка x 0 называется точкой разрыва первого рода функции y = f ( x) , если односторонние пределы функции конечны (числа).
Точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва,
если
f (x 0 − 0) = f (x 0 + 0) .
(4)
Это связано с тем, что функцию в т. x 0 доопределяют, полагая
f (x 0 ) = f (x 0 − 0) = f (x 0 + 0) .
(5)
Функция y = f ( x) после доопределения (5) становится непрерывной в
т. x 0 (см. (3)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Точка разрыва x 0 функции y = f ( x) называется
точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого
рода. Это будет тогда и только тогда, когда хотя бы один из односторонних
пределов не ∃ либо равен ∞( − ∞ ,+∞ ) .
ПРИМЕР 1. Каков характер точки разрыва функции y =
y
1
в т. x = 1 .
1 − e1− x
При x = 1 знаменатель равен 0,
Решение.
1 ∉D( y) .
0
x −1 = t
1
1. f (1 − 0) = lim
=
=
x →1−0 1 − e1− x
t>0
1
= lim
= −∞ , т.к. α(t ) = 1 − e t → 0 и α(t ) < 0 .
t
t →0 + 0 1 − e
1
x
Рис. 1
Уже отсюда делаем вывод, что x = 1 − точка разрыва второго рода. (см. рис. 1)
1
2. f (1 + 0 ) = lim
α (t ) = 1 − e
x →1+ 0 1 − e1− x
−t
=
x −1 = t
t>0
→ 0 и α (t ) > 0 .
= lim
1
t →0 + 0 1 −
e
−t
= +∞ , т.к.
Ответ: x = 1 − точка разрыва второго рода.
x 2 −1
не определена при x = 1 . Каким должно
ПРИМЕР 2. Функция y = 3
x −1
быть значение f (1) , чтобы доопределенная этим значением функция стала непрерывной при x = 1 .
(x − 1)(x + 1) =
x2 −1
Решение. 1 . f (1 − 0 ) = lim 3
= lim
x →1−0 x − 1
x →1−0 (x − 1) x 2 + x + 1
x − 1 = −t
2−t
2
=
= lim
= .
2
t →0+ 0 (1 − t ) + 2 − t
t>0
3
0
(
)
46
20 .
f (1 + 0 ) = lim
x →1+ 0
Имеем f (1 − 0 ) = f (1 + 0 ) =
Ответ: f (1) =
2
.
3
x +1
x −1 = t
=
2+t
= lim
=
2
.
3
(1 + t )2 + 2 + t
2
Отсюда и согласно (5) надо положить f (1) = .
x2 + x +1
t>0
t →0 + 0
3
2
.
3
1
ПРИМЕР 3. Убедиться, что функция y =
1+
1
2x
имеет в точке x = 0 раз-
рыв первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности
точки x = 0 .
Решение. x = 0 ∉ D(y ) .
y
1
→ −∞
1 . f (0 − 0 ) = lim
=
= 1.
x
1
x →0−0
x<0
1+ 2x
1
→ +∞
1
0
x
2 . f (0 + 0) = lim
=
= 0.
1
1
0
x →0 + 0
1+
1
2x
1
2x
•
1
x
Рис. 2
→ +∞
Односторонние пределы ∃ и конечны, но f (0 − 0 ) ≠ f (0 + 0 ) (см. рис. 2).
x = 0 − точка разрыва первого рода.
x2 −1
ПРИМЕР 4. Функция f (x ) = 3
не определена при x = 1 . Каким
x −1
должно быть значение f (1) , чтобы доопределенная этим значением функция
стала непрерывной при x = 1 .
Решение. 1 . f (1 − 0 ) = lim
0
x →1− 0
=
x − 1 = −h
h>0
= lim
x3 −1
2−h
h →0 + 0
(1 − h )2 + (1 − h ) + 1
2 . f (1 + 0 ) = lim
0
x →1+ 0
x2 −1
x3 −1
= lim
x →1+ 0
положить f (1) = f (1 − 0 ) = f (1 + 0 ) =
Ответ: f (1) =
x2 −1
2
.
3
2
.
3
(x − 1)(x + 1) =
x →1−0 (x − 1)(x 2 + x + 1)
= lim
=
2
.
3
x +1
x2 + x +1
=
2
. Отсюда видно, что надо
3
47
§6. Свойства функций, непрерывных на отрезке
1. Если функции f (x ) и g(x ) непрерывны в т. x 0 , то справедливы
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух непрерывных (в точке) функций
есть непрерывная (в точке) функция.
Следствие. Теорема 1 верна для ∀ конечного числа слагаемых непрерывных функций.
Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть непрерывная
функция.
Следствие. Теорема 2 верна для ∀ конечного числа множителей.
Теорема 3.
Частное двух непрерывных функций есть непрерывная
функция, если значение знаменателя в т. x 0 отлично от нуля.
2. Свойства функций, непрерывных на отрезке. (см., например, Бугров
Я.С., Никольский С.М. Гл. 3, §3.5)
Теорема 4. Если функция y = f ( x) непрерывна на отрезке [ a , b] , то она
ограничена на нем, т.е. ∃ константа M > 0 такая, что ∀ x ∈[ a , b] имеет место неравенство f ( x) ≤ M .
Теорема 5.
(Вейерштрасса). Если функция y = f ( x) непрерывна на
[ a , b] , то она достигает хотя бы раз своего наибольшего и наименьшего значений на [ a , b] , т.е. ∃ точки α , β ∈[ a , b] такие, что f (α ) ≤ f (x ) ≤ f (β) ∀ x ∈
[ a , b] . Другими словами, f (α ) − наименьшее значение f ( x) на [ a , b] , f (β) −
наибольшее значение f ( x) на [ a , b] .
Теорема 6. Если функция y = f ( x) непрерывна на [ a , b] и числа f ( a) и
f ( b) не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале ( a , b) имеется по
крайней мере одна точка c такая, что f ( c) = 0 .
Следствие 1. Непрерывная на [ a , b] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка [ a , b] .
Следствие 2. Непрерывная на [ a , b] функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями на [ a , b] .
48
Глава V. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Учебники: Пискунов Н.С., гл. III-V.
Бугров Я.С., Никольский С.Н., гл. IV.
§1. Производная функции и ее свойства
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции y = f ( x) в т. x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е.
f (x ) − f (x 0 )
∆f (x 0 )
= lim
= f ′(′ x 0 ) ,
x→x0
∆x 0 → 0 ∆ x
x − x0
0
lim
(1)
где приращение функции в т. x 0 равно
∆y (x 0 ) = ∆f (x 0 ) = f (x ) − f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ,
а приращение аргумента x в т. x0 −
∆x 0 = x − x 0 .
Геометрический смысл f ′(x 0 ) заключается в следующем: f ′(x 0 ) = tgα , где α − угол
наклона касательной к графику функции
y = f ( x) в т. M 0 (x 0 , f (x 0 )). Уравнение касательной к графику функции
M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) имеет вид:
(3)
y
M0
y = f ( x) в
y − f (x 0 ) = f ′(′ x 0 )(x − x 0 )
(2)
•
касательная
f (x )
α
(4)
0
x0
x
нормаль
Рис. 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Нормалью к линии l в т. M 0 ∈l называется прямая, проходящая через т. M 0 ⊥ к касательной.
Отсюда следует (см. условие перпендикулярности двух прямых: Гл. III,
§1, п.4, формула (7)), что ее уравнение имеет вид
y − y0 = −
1
(x − x 0 ),
f ′(′ x 0 )
( 4′ )
где M (x , y ) − текущая точка нормали, M 0 (x 0 , y 0 ) − точка касания ∈ l (см.
рис.1).
2. Если f (x ) и ϕ(x ) допускают производную в т. x (дифференцируемы в
т. x ), то справедливы следующие основные правила (теоремы).
10 . (C )′ = 0, C − константа; 2 0 . [f (x ) ± ϕ(x )]′ = f ′(x ) ± ϕ′(x );
49
30 . [f (x )ϕ(x )]′ = f ′(x )ϕ(x ) + f (x )ϕ′(x ); (Cf (x ))′ = Cf (x ) , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
′
 f (x ) 
f ′(x )ϕ(x ) − ϕ′(x )f (x )
4 .
=
.

2
(
)
ϕ
x
(
)
ϕ
x


0
3. Производная сложной функции определяется формулой
y′x′ = y′u′ ⋅ u′x′ = fu′′[u(x )] u′x′(x ) ,
[
(5)
]
где y( x) = f u( x) , u = u( x) − промежуточная переменная.
Таблица производных
(x )′ = αx
α
′
9. (arccos x ) = −
α −1
;
′
1
1
x =
;  = − 2
2 x x
x
′
a x = a x ln a
2.
;
′
ex = ex
(log a x )′ = 1 = 1 ⋅ log a e
x ln a x
3.
(ln x )′ = 1
x
′
4. (sin x ) = cos x ;
1.
( )
′
1
( )
( )
′
5. (cos x ) = − sin x ;
′
6. (tgx ) =
′
′
1
;
2
sin x
8. (arcsin x ) =
1
1− x
′
1− x
2
;
1
;
1+ x2
11. (arcctgx ) = −
1
;
1+ x2
 e x − e −x
′
12. (shx ) = 
2

′

 = chx ;


′

 = shx ;


 e x + e −x
′
13. (chx ) = 
2

′
1
 shx 
′
14. (thx ) = 
 = 2 ;
 chx  ch x
′
1
 chx 
′
15. (cthx ) = 
 =− 2 .
sh x
 shx 
1
;
cos 2 x
7. (ctgx ) = −
′
10. (arctgx ) =
1
2
.
Используя (5), можно вывести таблицу производных для сложных функций. Студент обязан выучить наизусть таблицу производных.
50
Таблица производных сложных функций
[
I) u (x )
α
]′
x
= α u α −1 (x )u ′(x )
u ′(x )
=
;
2 u (x )
′
u ′(x )
.
x
u 2 (x )
′
′
II) a u ( x ) x = a u ( x ) (ln a ) u ′(x ); e u ( x ) = e u ( x ) ⋅ u ′(x ).
u (x )
(
′
x
)
′
III) [log a u (x )] x =
[
′
]
′
V) [cos u( x)]
′
VI) [ tg u( x)]
IV) sin u( x)
 1 
 u (x ) 


u ′(x )
;
u (x ) ln a
=−
(
)
[ln u (x )]′ = u (x ) .
u (x )
′
= [cos u( x)] u ′( x) .
x
= −[sin u( x)] u ′( x) .
u ′( x )
=
.
x
cos 2 u( x)
u ′( x )
′
VII) [ ctg u( x)] x −
.
2
sin u( x)
x
′
VIII) [arcsin u (x )] x =
′
IX) [arccos u (x )] x = −
u ′(x )
1 − u (x )
u ′(x )
2
1 − u (x )
u ′(x )
′
X) [arctg u (x )] x =
.
1 + u 2 (x )
u ′(x )
′
XI) [arcctg u (x )] x = −
.
1 + u 2 (x )
′
XII) [sh u (x )] x = [ch u (x )] u ′(x ) .
′
XIII) [ch u (x )] x = [sh u (x )]u ′(x ) .
2
u ′(x )
.
ch u (x )
u ′(x )
′
XV) [cth u (x )] x = − 2
.
sh u (x )
′
XIV) [th u (x )] x =
.
.
51
′
 1− x 

′ 
1
+
x

1− x 
 = u (x ) = 1 − x =
 = 
ПРИМЕР 1. y ′ =  arctg
1− x
1+ x 
1+ x

1+
1+ x
′
1
1 − x 
⋅

1 − x 1 + x  x
2
(1 + x ) ×
1− x
1+ x
=
= u (x ) =
=
1− x
1+ x
1− x
1+
4+
1+ x
1+ x
1− x
′
′
(1 − x ) (1 + x ) − (1 + x ) (1 − x ) = − 1 − x − 1 + x = − 1 + x .
×
2(1 + x )
1− x
(1 + x )2
4(1 + x )
1+ x
4. Логарифмическая производная. При дифференцировании показательϑ( x)
но-степенных функций y = u( x)
( u( x) > 0) поступают следующим образом. Сначала предыдущее равенство почленно логарифмируют и после этого
почленно дифференцируют, а именно:
(ln y )′ = [ϑ(x ) ln u (x )]′ = ϑ′(x ) ln u (x ) − u (x ) ϑ(x ) ,
u (x )
y ′(x )
u ′(x )
= ϑ′(x ) ln u (x ) +
ϑ(x ) . Отсюда
y
u (x )

u ′(′ x )
ϑ(x ) 
y ′(′ x ) = u(x ) ϑ′(′ x ) ln u(x ) +
ϑ(x ) =
u(x )


ϑ(x )
ϑ(x )−1
= u(x ) [ln u(x )]ϑ′(′ x ) + ϑ(x )u(x )
u ′′.
′
(6)
Очевидно, что первое слагаемое суммы (6) получается в результате
ϑ( x )
дифференцирования y = u (x )
как показательной функции (см. формулу II
из таблицы производных), а второе слагаемое - как результат дифференцирования степенной функции (см. формулу I из той же таблицы).
ПРИМЕР 2. Найти производную функции y = x
Решение.
(
(ln y )′ = [(arcsin x ) ln x ]′
y′ = x arcsin x
)′ = x
arcsin x 



=
ln x
1− x2
ln x
arcsin x 
.
+

2
x
1− x

+
arcsin x
.
arcsin x
;
x
52
§2. Производная функции, заданной неявно
1. Как найти производную функции, заданной неявно, мы покажем на
конкретных примерах. При этом используются стандартные правила дифференцирования явно заданных функций.
(
) (
)
ПРИМЕР 1. sin y − x 2 − ln y − x 2 + 2 y − x 2 − 3 = 0 . Найти y ′x .
Решение. Дифференцируя почленно данное уравнение и учитывая, что
y = y( x) (функция y( x) задана неявно), получим
[cos(y − x )](y − x
2
2
′
′
(
(
y−x )
y−x )
)−
+2
′
2
y−x
2
′
1
+
y − x cos y − x 2 −
y − x2

Ответ: y′ = 2 x .
(
2
)
(
)
2
2 y−x
2
= 0,

 = 0, y ′ − 2x = 0 , y′ = 2 x .
2
y − x 
1
2. Производная функции, заданной параметрически.
Если функция y = f (x ) задана параметрически: {x = ϕ(t ), y = ψ(t )}, то
y ′t′ ψ ′(′ t )
=
.
x′t′ ϕ′(′ t )
dy
ПРИМЕР 1. Найти y ′x =
, если x = e − t sin t , y = e t cos t.
dx
y ′x′ = f ′(′ x ) =
(1)
Решение. Согласно (1)
y′x
(e
=
(e
t
−t
)′ = e
′
sin t ) − e
cos t
cos t − e t sin t
= e 2t .
−t
−t
sin t + e cos t
t
Ответ: y′x = e 2 t .
§3. Приложения производной в геометрии и механике
ПРИМЕР 1. Составить уравнение касательной и нормали к цепной линии
y = ch
x
в т. x = 2 ln 2 .
2
Решение. y ′ =
y(2 ln 2) =
e ln 2
1 x
1 e
sh ; y ′(2 ln 2) = ⋅
2 2
2
1
2+
−ln 2
+e
2 = 5;
=
2
2
4
ln 2
−e
2
− ln 2
=
1
2 = 3;
4
8
2−
53
5 3
= (x − 2 ln 2 ) − уравнение касательной;
4 8
5
8
y − = − (x − 2 ln 2) − уравнение нормали.
4
3
Ответ: 3x − 8 y + 10 − 6 ln 2 = 0; 32 x + 12 y − 15 − 64 ln 2 = 0.
y−
ПРИМЕР 2. По кубической параболе y = x 3 движется точка так, что ее
ордината изменяется в зависимости от времени t по закону y = at . Какова
скорость изменения абсциссы в зависимости от времени ?
3
Решение. y ′t = 3x 2 x ′t , x ′t =
y′t
3x
2
=
3at 2
2
3y 3
=
3at 2
2
a 3t2
= 3 a − постоянна и не
зависит от t .
Ответ: x ′t = 3 a .
§4. Приращение и дифференциал функции
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если в точке x 0 приращение ∆y(x 0 ) = ∆f (x 0 )
функции y = f (x ) представимо в виде суммы
∆y (x 0 ) = A∆x 0 + α
(1)
двух слагаемых: I = A∆x 0 − линейно относительно приращения ∆x 0 аргумента x . (A = A(x 0 )) ; II = α − бесконечно малая величина (БМВ) при ∆x 0 → 0
α
более высокого порядка малости, чем ∆x 0 , т.е. lim
= 0 , то f ( x) называ∆x 0 →0 ∆x
0
ется дифференцируемой в т. x 0 . При этом линейная часть приращения
A(x 0 )∆x 0 называется дифференциалом функции
y = f (x ) в т. x 0 , соответствующим приращению ∆x 0 аргумента x .
Дифференциал обозначается одним из символов df (x 0 ), dy(x 0 ) . Итак, по
определению
df (x 0 ) = dy (x 0 ) = A(x 0 )∆x 0 .
(2)
Теорема 1. Функция y = f (x ) дифференцируема в т. x 0 (см.(1)) ⇔ когда ∃ конечная производная f ′(x 0 ) в т. x 0 . Следовательно, согласно (2), дифференциал функции вычисляется по формуле
df (x 0 ) = f ′(′ x 0 )∆x .
(3)
Если y = x , то в
dy (x 0 ) = d(x 0 ) = ∆x 0 ,
(4)
т.е. полное приращение функции y = x совпадает с его дифференциалом. В
силу этого вместо (3) можно написать
dy (x 0 ) = df (x 0 ) = f ′(′ x 0 )dx 0 .
(5)
54
Точка x 0 ∈ D(y ) − произвольная точка. В силу этого в формулах (3), (5)
нижний индекс (нолик) можно отбросить и тогда будем иметь
df (x ) = f ′(′ x )∆x = f ′(′ x )dx .
(6)
2. Приложения дифференциала в приближенных вычислениях.
Согласно (6) приращение дифференцируемой в т. x функции y = f ( x)
можно представить в виде
∆y (x ) = ∆f (x ) = df (x ) + α (x, ∆x ) = f ′(′ x )∆x + α (x, ∆x ) .
(7)
При достаточно малых ∆x вместо (7) можно написать
∆y (x ) ≈ f ′(′ x )∆x .
(8)
Последняя формула может быть использована в приближенных вычислениях, если ее записать так:
f (x + ∆x ) ≈ f (x ) + f ′(′ x )∆x .
(9)
ПРИМЕР 1. Найти приближенное значение 4 15,8 .
4
Решение.
′
( )
15,8 = 4 16 − 2 . Рассмотрим y =
4
x . Согласно (9)
3
1 −
x + ∆x ≈ x + x ∆x = x + x 4 ∆x . В нашем случае x = 16, ∆x = −0,2 :
4
3
1
0,2
1
4 16 + (− 0,2 ) ≈ 4 16 + (16 )− 4 (− 0,2 ) = 2 −
= 2−
= 2 − 0,006 = 1,994 .
4
32
160
Ответ: 1,994 .
4
4
4
4
ПРИМЕР 2. Найти приближенное значение ln tg 47 015′ .
Решение. ln tg (x + ∆x ) ≈ ln tgx +
(
)
∆x
0
.
tg
47
15′ =
tgx ⋅ cos 2 x
= tg 450 + 2 015′ . Градусы надо перевести в радианы, т.к. производные от тригонометрических функций найдены при условии, что их аргументы измеряются
π

радиан).
0
180

π π
π
π π  1 π π
π
π
45 0 + 2 015′ = +
+ 15
= + 1 +  = + , x = , ∆x = .
4 90
4 ⋅ 180 4 90  8  4 80
4
80
π
π
π
π
ln tg 47 015′ ≈ ln tg +
=
⋅4 =
= 0,16
π
4
80
20
2 π
80tg cos
4
4
Ответ: 0,16 .
в радианах. Таким образом 10 =
55
§5. Правило Лопиталя - Бернулли раскрытия неопределенностей
Теорема 1. Пусть функции f (x ) и ϕ(x ) определены и дифференцируемы в окрестности т. a , за исключением, быть может, самой т. a , lim f (x ) = 0 ;
x →a
f ′(x )
, то
x →a ϕ′(x )
lim ϕ(x ) = 0, ϕ(x ) и ϕ′(x ) ≠ 0 в этой окрестности. Тогда, если ∃ lim
x →a
f (x )
и справедливо утверждение
x →a ϕ(x )
f (x )
f ′(′ x )
lim
= lim
.
(1)
x→a ϕ(x )
x→a ϕ ′(′ x )
Теорема 2. Если ББФ (при x → a ) f (x ) и ϕ(x ) определены и дифференцируемы в окрестности т. a , ϕ(x ) и ϕ′(x ) ≠ 0 в этой окрестности и ∃
f ′(x )
f (x )
, то ∃ lim
, при этом
lim
x →a ϕ′(x )
x →a ϕ(x )
f (x )
f ′(′ x )
lim
= lim
.
(2)
x→a ϕ(x )
x→a ϕ ′(′ x )
∃ lim
Сформулированные теоремы называются правилом Лопиталя - Бернул-
0  ∞ 
0  ∞ 
Раскрытие неопределенностей вида {0 ⋅ ∞}, {∞ − ∞}, 1∞ , 0 0 и т.д. алгеб-
ли раскрытия неопределенностей вида  ,   .
{ }{ }
раическими преобразованиями и логарифмированием приводятся к
∞ 
∞ 
0 
0 
раскрытию двух основных типов:   и   .
(
ПРИМЕР 1. Найти lim e + x
x→ 0
(
Решение. lim e + x
=e
lim
x →0
(ex +1)
x
x →0
=
(
1
e2
x
x
)
1x
) = {1 } =
1
x
= e.
∞
[(
)
.
( )
1
ln e x +1
x
lim e
x →0
u ϑ = e ϑ ln u
=
=
u>0
)]′ = lim
ln e x + 1  0 
ln e x + 1
lim
=   = lim
x →0
x
x′
 0  x →0
Ответ: e .
ПРИМЕР 2. Найти lim x x .
ex
1
=
.
x →0 e x + 1
2
x →0 + 0
{ }
lim x ln x
Решение. lim x x = 0 0 = lim e x ln x = e x →0
x →0
x →0
= e 0 = 1.
56
(
ln x  ∞ 
ln x )′
x2
lim x ln x = {0 ⋅ ∞} = lim
=   = lim
= − lim
= 0.
x →0
x →0 1
x →0 x
 ∞  x →0  1  ′
 
x
x
Ответ: 1 .
§6. Исследование функции и построение ее графика
1. Достаточное условие монотонности функции
Теорема 1. Если функция y = f (x ) непрерывна на [a , b ] ((a , b )) и дифференцируема на ( a , b) и f ( x) сохраняет знак на (a , b ) , то f (x ) строго монотонна на [a , b] ((a , b )) : если f ′(x ) > 0 (f ′(x ) < 0 ) , то f ( x) строго возрастающая
(убывающая) функция. При этом, в частности, f (a ) < f (x ), x ∈ (a , b ]
(f (a ) > f (x ), x ∈ (a, b]) .
Следствие. Если y = f ( x) непрерывна на ( a , b) , где не исключаются
случаи a = −∞ и b = +∞ , и т. c ∈ (a , b) − единственная критическая точка
f ( x) (f ′(c ) = 0 либо не ∃) и на ( a , c) и (c, b) f ′( x) сохраняет знаки и эти
знаки противоположны, то локальный экстремум функции f ( x) в т. c является
ее глобальным экстремумом на ( a , b) , а именно:
1) f (c ) − наибольшее значение f (x ) на (a , b ) , если f (c ) − локальный
максимум (относительный максимум, максимум);
2) f ( c) − наименьшее значение f (x ) на ( a , b) , если f (c ) − локальный
минимум (относительный минимум, минимум).
ПРИМЕР 1. Найти наибольший объем конуса,
образующая которого равна l .
Решение. I способ: r = OA − радиус основания конуса; h = SO − высота конуса.
(
S
)
1
1
r 2 + h 2 = l 2 ; ϑ = πr 2 h = π l 2 − h 2 h ;
3
3
0 < h < l . Таким образом, требуется найти наибольшее значение функции ϑ , где аргумент
(
)
1
h ∈ (0, l ) . ϑ′h = π − 2h 2 + l 2 − h 2 =
8
1
= π l 2 − 3h 2 − квадратный двучлен относительно h .
3
(
)
l •0
A
Рис. 1
B
57
l
− стационарная точка.
3
l
 l 
 l 
ϑ′h > 0 на  0,
, l  . Согласно следствию, h =
− точка
 и ϑ ′h < 0 на 
3
3
 3 

глобального
максимума.
Вычисляем
0
•
•
2
3


π
2
l
l
l
π
l


2


−
l
3
l
3
ϑ
.
=
 = l −  ⋅
3 3 9 3
 3 3
h=
2l 3
Ответ:
.
9 3
( 0, l)
(
)
1 2
π l − h 2 h на [0, l ]. На
3
f ( h) = ϑ . Найдем наибольшее значение f ( h) на [0, l]. Имеем
II способ. Рассмотрим функцию f (h ) =
2
2πl 2
 l  1  2 l  l
f (0) = f (l ) = 0, f 
=
, т.к.
= π l − 
3 3 9 3
 3  3 
l
2πl 2
π 2
2
f ′(h ) = l − 3h = 0 , h =
. Наибольшее значение равно
. Если те3
3
9 3
(
)
перь учесть, что стационарная (критическая) точка - внутренняя точка [ 0, l] и
l
 l 
⇒
 > f (x ) ∀ x ∈ [0, l ], x ≠
3
 3
l
 l 
⇒ f
.
 > f (x ) ∀ x ∈ (0, l ), x ≠
3
 3
3
2πl
Ответ:
.
9 3
она единственная, то в этой точке f 
ПРИМЕР 2. Исследовать функцию y = x и построить ее график.
1. Область определения D(y ) : x > 0 ,
т.к. функция показательно-степенная . Граy
фик функции находится по правую сторону
от оси 0Y . Рассмотрим поведение функции
в граничных точках D( y) .
−1
x
{ }
lim x x = 0 0 = lim e x ln x = e 0 = 1 .
x →0 + 0
x →0 + 0
1l
Рис. 1
x
58
lim x ln x = {0 ⋅ ∞} = lim
x →0 + 0
x →0 + 0
(ln x )′
1
 
x
′
= − lim = 0; lim x x = +∞ .
x →0 + 0
x → +∞
2. Области знакопостоянства функции. Точки пересечения с осями координат. x > 0 − график функции лежит над осью 0X .
3. Промежутки монотонности и экстремумы функции.
Согласно (6) (§1; п.4)
1
y ′ = x x ln x + x ⋅ x x −1 = x x (ln x + 1); y′ = 0 ⇔ ln x + 1 = 0; x = . Таким
l
1
 1 1

образом, D(y ) разбивается т. на два промежутка:  0,  и  ,+∞  ;
l
 l l

1  1  1 
 1
′
∈
0
,
;
y
<
0
.
Следовательно,
на




 0,  функция строго убывающая.
2
2
l
l

 l 
 l


1
1
l 2 ∈  ,+∞ , y ′ l 2 > 0 . На  ,+∞  функция строго возрастающая. Отсюда
l

l

( )
1
l
 1
определяет относительный минимум и наименьшее
 l
значение функции на D( y) .
сразу следует, что  
4. Области вогнутости, выпуклости, точки перегиба.
( )′ (ln x + 1) + x
y ′′ = x x
x −1
1

= x x (ln x + 1)2 + x x −1 = x x (ln x + 1)2 +  > 0
x

для
x > 0 . Значит, график исследуемой функции всюду вогнут.
5. Асимптоты функции. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек бесконечного разрыва функции. Переходим к отысканию наклонных асимптот.
x x ∞ 
Имеем lim
=   = lim x x −1 = +∞ . Таким образом, нет и наклонных
x → +∞ x
 ∞  x → +∞
асимптот. График исследуемой функции начерчен на рис. 1.
Глава VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Учебники: Пискунов Н.С., гл. VIII;
Бугров Я.С., Никольский С.М., гл. 8.
§1. Области определения функций и их изображения
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. δ − окрестностью т. M на плоскости (в пространстве) называется открытый круг (открытый шар) с центром в т. M и радиуса δ .
59
В прямоугольной декартовой системе координат указанные окрестности
определяется соответственно условиями: (x − a ) + (y − b ) < δ 2 , где M (a , b )
2
(x − a )2 + (y − b )2 + (z − c)2
2
< δ 2 , где M(a , b, c) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Точка M ∈ T называется внутренней точкой
множества T , если ∃ δ − окрестность т. M , принадлежащая T .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Множество T на плоскости (в пространстве) называется открытым, если ∀ т. M ∈ T ∃ ее δ − окрестность, входящая в множество T , то есть все точки T должны быть внутренними.
Множество T называется связным, если ∀ две точки этого множества
можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек множества T .
Связное открытое множество называется областью.
2. ПРИМЕР 1. Найти область определения
y
функции z = ln( − x − y) и изобразить ее.
Решение. − x − y > 0 , x + y < 0 . Рассмат−x
x
0
риваем прямую x + y = 0 , y = − x y < − x .
Ответ: Множество точек плоскости, нахоx+y=0
x
дящихся ниже прямой y = − x (прямая, содержащая биссектрисы 2-го и 4-го координатных угРис. 1
лов).
ПРИМЕР 2. Найти область определения
y
функции f ( r , ϕ ) = r cos 2ϕ и изобразить ее.
Решение. cos2ϕ ≥ 0 . Период функции ра-
0
π
π
вен π . − ≤ 2(ϕ + kπ) ≤ ,
2
2
π
π
− − kπ ≤ ϕ ≤ − kπ .
4
4
π
π
− ≤ ϕ + kπ ≤ , k ∈ Z .
4
4
x
В
силу
этого
Рис. 2
Ответ: Множество точек, ограниченное прямыми y = x и y = − x и содержащее ось ox .
y
ПРИМЕР 3. Найти область определения
функции z = arcsin 2 y + 1 + x 2 − 1 и изобразить ее.
Решение.
0
− 1 ≤ 2 y 1 + x 2 − 1 < 1, 0 ≤ 2 y 1 + x 2 ≤ 2 ,
x
[
(
0≤y≤
)
) ]
(
(
)
1
.
2
1+ x
Рис. 3
Ответ: Множество точек, ограниченное линиями y = 0 и y =
1
. (Рис. 3).
1 + x2
60
§2. Частные производные и дифференциалы функций многих
переменных. Касательная плоскость и нормаль поверхности
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если для функции
z = f (x, y )
(1)
точки M( x , y) и M * (x + ∆x, y + ∆y ) ∈ D(z ) − область определения функции
(1), то
∆z (x, y ) = f (x + ∆x, y + ∆y ) − f (x, y )
(2)
- полное приращение функции (1) в т. M( x , y) , которое соответствует приращению ∆x , ∆y независимых переменных x , y ;
∆ x z (x, y ) = f (x + ∆x, y ) − f (x, y ); ∆ y z (x, y ) = f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) (3)
- частные приращения соответственно по независимым переменным x и y ;
∆xz
f (x + ∆x, y ) − f (x, y )
= lim
∆x → 0 ∆ x
∆x → 0
∆x
z ′x′(x, y ) = lim
(4)
- частная производная функции (1) по x ;
z ′y′ (x, y ) = lim
∆x → 0
∆ y z (x, y )
∆y
f (x, y + ∆x ) − f (x, y )
∆y → 0
∆y
= lim
(5)
- частная производная функции (1) по y . Вместо z ′x ( x , y) употребляются обо-
∂z(x, y ) ∂f (x , y )
,
.
То
же
самое
вместо
z′y :
∂x
∂x
∂z(x , y ) ∂f (x , y )
. Из (4), (5) следует, чтобы найти частную производf y′ (x, y ),
,
∂y
∂y
значения
f x′ (x , y ),
( )
ную z ′x z y′ , надо дифференцировать функцию f (x, y ) по x , считая y( x) постоянной.
2
x + y
x+y
 + arcsin
Например, для z = 1 − 
,
x−y
 xy 
2 ′

x + y 
1
1
  +
z ′x =
⋅ 1 − 
2
2
 x + y    xy   x
x + y


2 1 − 
1 − 
xy
xy




′
 x + y  x + y 


− 2
′
x
xy
xy
x + y
1




 =
=
+
⋅
2
2  xy 
x
x + y
x + y 


1 − 
1 − 
 xy 
 xy 
x + y

⋅ 
xy


′
=
x
61
′
 x + y  x + y 
1
1 −

 =
=
2
2
xy  xy  x
x + y 
x + y


1 − 
1 − 
 xy 
 xy 
x+y
1−
xy − (x + y )y
xy
×
=
−
.
2
(xy )2
x + y

x 2 1 − 
xy


1
 x + y
1 −
×
xy 

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция (1) называется дифференцируемой в
т. M 0 (x 0 , y 0 ), если ее полное приращение (в т. M 0 ) представимо в виде
∆z (x 0 , y 0 ) = f (x 0 + ∆x 0 , y 0 + ∆y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) =
(6)
= A(x 0 , y 0 )∆x 0 + B(x 0 , y 0 )∆y 0 + 0(∆ρ ),
где
∆ρ =
(∆x 0 )2 + (∆y 0 )2 ;
0(∆ρ )
= 0,
∆ p →0 ∆ρ
lim
(7)
то есть в виде двух слагаемых:
I = A(x 0 , y 0 )∆x + B(x 0 , y 0 )∆y 0 ; II = 0(∆ρ ) ,
(8)
где первое слагаемое I линейно относительно приращений ∆x 0 , ∆y 0 независимых временных x и y в т. M 0 , а второе слагаемое II - БМ величина более высокого порядка малости, чем ∆ρ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.
Если функция (1) дифференцируема в т.
M 0 (x 0 , y 0 ), то I слагаемое - главная часть полного приращения и функции называется дифференциалом (полным дифференциалом) функции (1) в т.
M 0 (x 0 , y 0 ) и обозначается одним из символов dz(x 0 , y 0 ), df (x 0 , y 0 ) .
Итак, по определению,
dz (x 0 , y 0 ) = A(x 0 , y 0 )∆x 0 + B(x 0 , y 0 )∆y 0 .
(9)
Справедливы равенства
A(x 0 , y 0 ) = f x′′(x 0 , y 0 ) = f x′′(M 0 );
B(x 0 , y 0 ) = f y′′(x 0 , y 0 ) = f y′′(M 0 ).
(10)
Из (9), (10) следует
dz (x 0 , y 0 ) = df (x 0 , y 0 ) = f x′′(x 0 , y 0 )∆x 0 + f y′′(x 0 , y 0 )∆y 0 =
= f x′′(M 0 )∆x 0 + f y′′(M 0 )∆y 0
(11)
При достаточно малом ∆ρ слагаемым II в (6) можно пренебречь. Это дает формулу приближенного вычисления значения функции z = f (x , y ) в
т. M (x 0 + ∆x 0 , y 0 + ∆y 0 ) :
62
f (x 0 + ∆x 0 , y 0 + ∆y 0 ) ≈ f (x 0 , y 0 ) + f x′′(x 0 , y 0 )∆x 0 + f y′′(x 0 , y 0 )∆y 0
(
(12)
)
ПРИМЕР 1. Вычислить приближенно lg 3,99 + 2,033 .
Решение. z = lg
(
)
x + y 3 , z ′x =
(
1
;
x + y 3 2 x ln 10
)
3y 2
z ′y =
; x 0 = 4; y 0 = 2; ∆x 0 = −0,01; ∆y = 0,03 .
x + y 3 ln 10
1
×
lg x + ∆x + (y + ∆y )3 ≈ lg x + y 3 +
ln 10

∆x
3y 2 ∆y 
×
+
.
3
3 
x+y 
2 x x + y
[
(
)
(
] (
) (
)
)
Для нашего случая имеем
(
)
1  − 0,01 12 ⋅ 0,03 
+

=
ln 10  40
10 
1
= 1+
(− 0,01 + 1,44) = 1 + 1,43 ≈ 1,0155 .
40 ln 10
40 ln 10
Ответ: 1,0155 .
lg 3,99 + 2,033 ≈ lg10 +
z
ПРИМЕР 2. Найти дифференциал функции u = x y .
Решение. Находим частные производные
(
)
z
′
yz
′
z
(ln u ) x = y ln x x = ; u ′x = x y −1 y z ;
x
u′
′
′
(ln u )′ y = y = y z ln x y = (ln x ) y z y = zy z −1 ln x .
u
z
z
u ′y = x y zy z −1 ln x = y z x y ln x ;
z
′
′
(ln u )′ z = y z ln x z ; u z = (ln x )y z ln y ; u ′z = x y (ln x )y z ln y .
u
(
(
)
( )
)
Согласно (3) имеем
du (x , y, z ) = x y −1 y z dx + y z x y ln xdy + x y (ln x )y z ln ydz .
z
z
Ответ: x y −1 y z dx + y z x y ln xdy + x y (ln x )y z ln ydz .
z
z
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.
Касательной плоскостью α поверхности ω :
F(x , y, z ) = 0 в т. M 0 ∈ ω называется плоскость, в которой содержатся все касательные к линиям ⊂ ω и проходящим через т. M 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Нормалью к ω в т. M 0 ∈ ω , называется прямая,
проходящая через т. M 0 ⊥ касательной плоскости α .
63
Если поверхность ω задана общим уравнением
ω : F(x, y , z ) = 0
(13)
и M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ ω : F(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 , то уравнение касательной плоскости
α имеет вид
α : Fx′′(M 0 )(x − x0 ) + Fy′′(M 0 )(y − y 0 ) + Fz′′(M 0 )(z − z 0 ) = 0 ,
x , y , z − координаты текущей точки
T( x , y , z) касательной плоскости;
x0 , y0 , z0 −
координаты
точки
касания
где
l
P•
M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) (см. рис. 3).
•T
Уравнение нормали к ω в т. M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) есть
l:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
,
Fx′′(M 0 ) Fy′′(M 0 ) Fz′′(M 0 )
(14)
•M 0
(15)
где P(x , y, z ) − текущая точка нормали l
рис. 4).
(см.
Рис. 4
ПРИМЕР 3. Найти уравнение касательной
плоскости и нормали к поверхности ω : 4 + x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z в
т. M 0 (2,3,6) .
Решение. M 0 ∈ ω : 4 + 4 + 9 + 36 = 2 + 3 + 6; 11 = 11.
ω : 4 + x2 + y2 + z2 − x − y − z = 0
⇒ (см. 13) F(x , y, z ) = 4 + x 2 + y 2 + z 2 − x − y − z ;
Fx′ =
x
x +y +z
2
Fx′ (M 0 ) =
2
2
− 1; Fy′ =
y
x +y +z
2
2
2
− 1; Fz′ =
z
x +y +z
2
2
2
5
3
4
1
− 1 = − ; Fy′ (M 0 ) = − 1 = − ; Fz′ (M 0 ) = − .
7
7
7
7
7
Согласно (14) и (15) имеем
α : 5(x − 2 ) + 4(y − 3) + (z − 6) = 0; l :
x −2 y−3 z−6
=
=
.
5
4
1
2
− 1.
64
Ответ: 5(x − 2 ) + 4(y − 3) + (z − 6 ) = 0;
x −2 y−3
=
= z − 6.
5
4
§3. Производная функции, заданной неявно. Экстремум функций
двух переменных
1. Если функция z от двух независимых переменных x и y задана неявно:
ω : F(x, y , z ) = 0 ,
(1)
то ее первые частные производные
z ′x′(x, y ) = −
Fy′′(x, y , z )
Fx′′(x, y , z )
′
′
.
; z y (x, y ) = −
Fz′′(x, y , z )
Fz′′(x, y , z )
(2)
К формулам (2) можно придти, дифференцируя почленно (1) частным образом по x и по y и учитывая зависимость z = z( x , y) .
ПРИМЕР 1. z = x + arctg
y
, z ′x = ?, z ′y = ? .
z−x
Решение.
I способ. z − x − arctg
y
= 0 . Согласно (1) и (2)
z−x
y
F = z − x − arctg
; Fx′ = −1 −
z−x
 y 
⋅

2 
z
−
x


y


1+ 

z−x
1






1
y 
y

= − 1+
=
−
1
+
;

2
2
2
2

 y  (z − x )
 (z − x ) + y 
 1+ 


z−x


 y 
Fy′ = −
⋅

2 
 y  z−x
1+ 

z−x
1
′
=−
y
z−x
(z − x )
2
+y
2
;
′
=
x
65
 y 
Fz′ = 1 −
⋅

2 
z
x
−


 y 
1+ 

z−x
1
= 1+
y
Ответ: − 1;
z
z − x )2
y
(
= 1+
(z − x )2 + y 2 (z − x )2
=
.
(z − x )2 + y 2
z ′x = 1; z ′y
′
(
z − x )2 + y 2
z−x
=
⋅
=
.
(z − x )2 + y 2 (z − x )2 + y 2 + y (z − x )2 + y 2 + y
z−x
z−x
(z − x )2 + y 2+ y
.
 y 
⋅
II способ. Согласно замечанию z ′x = 1 +


2
z
−
x


y


1+ 

z − x
1
= 1+
=1−
y
 y 
1+ 

z−x
2
y
(z − x )2 + y 2
⋅
(z′x − 1)
y(z ′x − 1)
=
1
+
;
(z − x )2
(z − x )2 + y 2
′
x
=


y
z ′x 1 −
=
2
2
(
z
−
x
)
+
y


; z ′x = 1.
 y 
Аналогично, z ′y =

2 
 y  z−x
1+ 

z−x
1
′
=
y
(z − x ) − y(z′y )
.
2
2
(z − x ) + y


y
z−x
z−x
′
z ′y 1 +
=
;
z
=
.

y
2
2
2
2
2
2
(
z
−
x
)
+
y
(
z
−
x
)
+
y
(
z
−
x
)
+
y
+
y


Получаем тот же результат.
2. Напомним, что δ − окрестностью т. M 0 (x 0 , y 0 ) называется открытый
круг с центром в т. M 0 и радиуса δ :
(x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 < δ 2 .
(3)
66
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что функция
z = f (x , y ) достигает локального максимума (локального минимума) в
т. M 0 (x 0 , y 0 ), если ∃
δ − окрестность т. M 0 , что для всех ее точек
M (x , y ) имеет место
f (x 0 , y 0 ) ≥ f (x, y ) (f (x 0 , y 0 ) ≤ f (x , y ))
y
M• δ
x
0
Рис. 1
Локальный минимум и локальный максимум функции принято называть локальными экстремумами.
Теорема 1. (Необходимое условие локального экстремума). Если функция z = f (x , y ) достигает локального экстремума в т. M 0 (x 0 , y 0 ) и в этой точке
∃ частные производные, то
 ∂f
 ∂x (M 0 ) = 0

 ∂f (M 0 ) = 0
 ∂y
(4)
В случае (4) т. M 0 (x 0 , y 0 ) называется стационарной точкой функции
z = f (x , y ) .
Теорема 2. (Достаточное условие локального экстремума). При выполнении условия (4)
′′′′ (M 0 ), B = f xy
′′′′ (M 0 ), C = f yy
′′′′ (M 0 ).
A = f xx
∆=
A B
B C
,
(5)
(6)
если ∆ > 0 , то функция z = f (x , y ) имеет в точке M 0 локальный экстремум, а
именно: локальный максимум при A < 0 (или C < 0 ) и локальный минимум
при A > 0 (или C > 0 ); если ∆ < 0 , то в т. M 0 локального экстремума нет; если же ∆ = 0 , то вопрос остается открытым.
ПРИМЕР 2. Найти экстремум функции z = − x 2 + 3x − xy − y 2 + 6 y .
Решение. z ′x = −2 x + 3 − y; z ′y = − x − 2 y + 6
67
2 x + y = 3
′ = −2; z ′xy
′ = −1; z ′yy
′ = −2 . Составляем систему (4): 
z ′xx
x + 2 y = 6
2 1
3 1
2 3
∆=
= 3; ∆ x =
= 0; ∆ y =
= 9;
x 0 = 0; y 0 = 3;
M 0 (0,3) .
1 2
6 2
1 6
− 2 −1
A − 2 < 0; B = −1; C = −2 < 0; ∆ =
= 3 > 0.
−1 −1
Ответ: M 0 (0,3) − точка локального максимума.
3. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в ограниченной замкнутой области D , надо:
1) найти стационарные точки ∈ D и значения функции в этих точках;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе ∂D области D ;
3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
ПРИМЕР 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = cos x ⋅ cos y ⋅ cos( x + y) в замкнутой области 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π .
z ′x = − sin x ⋅ cos y ⋅ cos(x + y ) − cos x ⋅ cos y ⋅ sin (x + y ) ,
z ′y = − cos x ⋅ sin y ⋅ cos(x + y ) − cos⋅ x cos y ⋅ sin (x + y ) ;
Решение.
cos y ⋅ sin (2 x + y ) = 0

cos x ⋅ sin (x + 2 y ) = 0
π

x=

cos y = 0 
2
⇔
I) 
согласно условно задачи.
cos x = 0  y = π

2
π π
z ,  = 0 ;
2 2
y
π C
0
B
π
A
Рис. 2
x
68
sin (2 x + y ) = 0 2 x + y = 0, π
 π π
⇔
M 1 (0,0 ); M 2  ; 
3 3
sin (x + 2 y ) = 0 x + 2 y = 0, π
1
 π π 1
 2π 
z(0,0) = 1; z ,  =
cos  = − .
8
3 3 4
 3 
II) 
π
π


cos y = 0
y =
y =
III) 
⇔
⇔
2
2
sin (x + 2 y ) = 0 x + 2 y = 0, π x = 0


y = 0
sin (2x + y ) 
IV) 
⇔
π
cos
x
=
0

x = 2
y = 0
OA : 
0 ≤ x ≤ π
z = cos 2 x;
 π
z 0,  = 0 .
 2
π 
z  ,0  = 0
2 
z(0,0 ) = 1;
π 
z =  ,0  = 0 , так как
2 
π
π 
z ′x = −2 sin x ⋅ cos x = 0; x = 0, , π; z(0,0) = z ,0  = z(π,0 ) = 0
2
2 
x = π
AB : 
0 ≤ y ≤ π,
z(π, π) = 1; y =
z = − cos y cos(π + y ) = cos 2 y; z(π,0 ) = 1 ;
π
 π
; z π,  = 0 .
2
 2
y = π
BC : 
z = cos 2 x . Этот случай уже рассматривался.
0 ≤ x ≤ π,
x = 0
OC : 
z = cos 2 y . Этот случай уже рассматривался. Получили три
0 ≤ y ≤ π,
1
различных значения z : − ,0,1.
8
Ответ: −
1
− наименьшее значение, которое достигается во внутренней
8
 π π
3 3
ках (0,0 ), (π, π ), (0, π ), (π,0 ) .
точке  , ; 1 − наибольшее значение, которое достигается в граничных точ-
69
x = 0
OC : 
z = cos 2 y . Этот случай уже рассматривался. Получили три
0 ≤ y ≤ π,
1
различных значения z : − ,0,1.
8
Ответ: −
1
− наименьшее значение, которое достигается во внутренней
8
 π π
3 3
ках (0,0 ), (π, π ), (0, π ), (π,0 ) .
точке  , ; 1 − наибольшее значение, которое достигается в граничных точ-
§4. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия на плоскости
и в пространстве
I. Исследовать и решить системы линейных алгебраических уравнений
методом Гаусса:
3 x 1 + x 2 − 4 x 3 + 2 x 4 + x 5 = 0,

1. 2 x 1 − 2 x 2 − 3 x 3 − 7 x 4 + 2 x 5 = 0,
x + 11 x + 34 x − 5 x = 0
2
4
5
 1
 7 x1 + 2 x 2 − x 3 − 2 x 4 + 2 x 5 = 0,

2.  x1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 − x 5 = 0,
2 x + 3 x + 2 x + x + x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + x 2 + 10 x 3 + x 4 − x 5 = 0,

3. 5 x1 − x 2 + 8 x 3 − 2 x 4 + 2 x 5 = 0,
3 x − 3 x − 12 x − 4 x + 4 x = 0
2
3
4
5
 1
 6 x1 − 9 x 2 + 21 x 3 − 3 x 4 − 12 x 5 = 0,

4.  − 4 x1 + 6 x 2 − 14 x 3 + 2 x 4 + 8x 5 = 0,
2 x − 3 x + 7 x − x − 4 x = 0
2
3
4
5
 1
 2 x1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 + x 5 = 0,

5.  x1 + 10 x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 − x 5 = 0,
4 x + 19 x − 4 x − 5 x − x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 − 3 x 4 = 4,

 2 x1 + 5 x 2 − x 3 − 4 x 4 = 9,
x + 3 x + x − x = 5
2
3
4
 1
 x1 − 4 x 2 + 2 x 3 + 3 x 5 = 0,

 2 x1 − 7 x 2 + 4 x 3 + x 4 = 0,
 x − 3x + 2x + x − 3x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 − 4 x 4 = 1,

 3 x1 + 7 3 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 4,
2 x + 5 x + x + 3 x = 3
2
3
4
 1
 x1 − 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 4,

 2 x 1 − 9 x 2 + 2 x 3 + x 5 = 7,
 x − 4 x − x − 4x + x = 3
2
3
4
5
 1
 x1 + 3 x 2 − x 3 − 2 x 4 = 1,

 2x1 + 7 x 2 − 4 x 3 − 3 x 4 = 3,
 x + 4x − 3x − x = 2
2
3
4
 1
70
 5 x1 − 2 x 2 + 9 x 3 − 4 x 4 − x 5 = 0,

6.  x1 + 4 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 − 5x 5 = 0,
6 x + 2 x + 11 x − 2 x − 6 x = 0
2
3
4
5
 1
 12 x1 − 2 x 2 + 7 x 3 + 11 x 4 − x 5 = 0,

7. 24 x1 − 2 x 2 + 14 x 3 + 22 x 4 − 2 x 5 = 0,
 x + x + x − x + 2x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + x 2 + 4 x 3 + 2 x 5 = 0,

 3 x1 + 4 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 1,
2 x + 3 x − 3 x + 3 x − 2 x = 1
2
3
4
5
 1
 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 0,

 2x1 − 3 x 2 + x 3 + 4 x 4 = 1,
3 x − 5 x + 3 x + 7 x = 1
2
3
4
 1
 x1 + 2 x 2 + x 3 + 4x 4 + x 5 = 0,

8.  2 x1 + x 2 + 3 x 3 + x 4 − 5x 5 = 0,
x + 3x − x + 6 x − x = 0
2
3
4
5
 1
 2 x1 + 3 x 2 + 3 x 3 − 3 x 4 − x 5 = 0,

9.  x1 + 6 x 2 − x 3 + x 4 + 2 x 5 = 0,
 x + 16 x − 6 x + 6x + 7 x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 − x 5 = 0,

10.  x1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 + x 5 = 0,
2 x + 3 x + x = 0
2
3
 1
 x1 − x 2 + 4x 3 + 3 x 4 = 0,

 3 x1 − 2 x 2 + x 3 + 2 x 5 = 1,
 2 x − x − 3 x − 3x + 2 x = 1
2
3
4
5
 1
 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 0,

 3x1 − 5 x 2 + x 3 + 4 x 4 = 1,
2 x − 3 x − x + x = 1
2
3
4
 1
 x1 − 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 5 = 2,

3 x1 − 8 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 5,
2 x − 5 x − 3 x + 2 x − 3 x = 3
2
3
4
5
 1
 8 x1 + x 2 + x 3 − x 4 + 2 x 5 = 0,

11.  3x1 − 3 x 2 − 2 x 3 + x 4 − 3x 5 = 0,
5 x + 4 x + 3 x − 2 x + 5x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 4,

 2x1 − 5 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 = 7,
 x − 2 x +3x + x = 3
2
3
4
 1
 x1 + 3 x 2 − x 3 + 12 x 4 − x 5 = 0,

12.  2 x1 − 2 x 2 + x 3 − 10 x 4 + x 5 = 0,
3 x + x + 2 x = 0
2
4
 1
 7 x1 − 14 x 2 + 3 x 3 − x 4 + x 5 = 0,

13.  x1 − 2 x 2 + x 3 − 3 x 4 + 7 x 5 = 0,
5 x − 10 x + x + 5 x − 13x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0,

 4x1 − 3 x 2 + x 3 + 2x 5 = 1,
3 x − 2 x − 2 x − 4 x + 2 x = 1
2
3
4
5
 1
 x1 + 4 x 2 − 2 x 3 − 3 x 4 = 2,

 2x1 + 9 x 2 − x 3 − 4 x 4 = 5,
 x + 5x +x −x = 3
2
3
4
 1
 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 − x 5 = 0,

14.  2 x1 − 2 x 2 − 6 x 3 − 4 x 4 + x 5 = 0,
3 x − 2 x + 3 x + 3x − x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 5 = 1,

 4x1 − 7 x 2 + 2x 3 + x 4 = 3,
3 x − 5 x − x + x − 4x = 2
2
3
4
5
 1
71
 x1 + x 2 + x 3 − x 4 − x 5 = 0,

15.  2 x1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 − 2 x 5 = 0,
 x + 2x +5x − 2x − x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0,

 2x1 − x 2 + 2 x 3 + x 4 = 1,
4 x − 3 x + 8 x + 9 x = 1
2
3
4
 1
 2 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 − 3 x 5 = 0,

16.  3x1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 + 2 x 5 = 0,
 x − 3 x + 4 x − 2 x + 5x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 + 10 x 4 − x 5 = 0,

17.  − x1 − 2 x 2 + 3x 3 + 10 x 4 + x 5 = 0,
 x + 5 x − 9 x + 30 x − 3x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + x 2 − 3x 3 − 4 x 4 = 1,

 4x1 + 5 x 2 − 2 x 3 − x 5 = 3,
3 x + 4 x + x + 4x − x = 2
2
3
4
5
 1
 x1 − 4 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 5,

 2 x1 − 7 x 2 + 4 x 3 + x 4 = 9,
x − 3 x + 2 x − 2 x = 4
2
3
4
 1
 5 x1 + 6 x 2 − 2x 3 + 7 x 4 + 4 x 5 = 0,
 2 x + 3x − x + 4 x + 2 x = 0,

1
2
3
4
5
18. 
 5 x1 + 9 x 2 − 3x 3 + x 4 + 6 x 5 = 0,
 7 x1 + 9x 2 − 3 x 3 + 5 x 4 + 6 x 5 = 0
 − x1 + 2 x 2 − 3x 3 + 2 x 4 − 3 x 5 = −3,

 x1 − 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 4,
 − 2 x + 5 x − 4 x − 3 x = −7
1
2
3
4

 2 x1 − 2 x 2 − 3 x 3 − 7 x 4 + 2 x 5 = 0,

19.  x1 + 11 x 2 + 34 x 3 − 5 x 5 = 0,
x − 5 x − 2 x − 16 x + 3x = 0
2
3
4
5
 1
 3 x1 + x 2 − 8x 3 + 2 x 4 + x 5 = 0,

20.  x1 + 11 x 2 − 12 x 3 − 5x 5 = 0,
 x − 5 x + 2 x + x + 3x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 4,

 2 x 1 − 9 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 7,
 x − 4x − x − 3x = 3
2
3
4
 1
 x1 + 2 x 2 − 3x 3 − 4 x 4 = 1,

 3x1 + 7 x 2 − 2 x 3 + x 5 = 4,
2 x + 5 x + x + 4 x + x = 3
2
3
4
5
 1
 x1 + 3 x 2 − 5 x 3 + 9 x 4 − x 5 = 0,

21.  2 x1 + 7 x 2 − 3 x 3 − 7 x 4 + 2 x 5 = 0,
 x + 4 x + 2 x − 16 x + 3x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 = 0,

 3x1 + 4 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 1,
2 x + 3 x − 3 x + x = 1
2
3
4
 1
 5 x1 + 2 x 2 − x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 = 0,

22.  3 x1 + x 2 − 3 x 3 + 3 x 4 + 5x 5 = 0,
6 x + 3 x − 2 x + 4 x + 5x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + 3 x 2 − x 3 − 2 x 5 = 1,

 2 x1 + 7 x 2 − 4 x 3 − 3x 4 = 3,
 x + 4 x − 3 x − 3 x + 2x = 2
2
3
4
5
 1
72
 3 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 − x 4 + 4 x 5 = 0,

23. 7 x1 + 5 x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 + x 5 = 0,
 x + x + x − 7x = 0
2
3
5
 1
 x1 − x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 = 0,

 3 x1 − 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 1,
2 x − x − 3 x − x = 1
2
3
4
 1
 6 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 + 7 x 5 = 0,

24.  7 x1 + 4 x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 + 4 x 5 = 0,
 x + x − x − 2 x − 3x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 0,

 2 x1 − 3 x 2 + x 3 + 4 x 5 = 1,
3 x − 5 x + 3 x + 3 x + 4 x = 1
2
3
4
5
 1
 3 x1 − 5 x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = 0,

25.  7 x1 − 4 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 0,
5 x + 7 x − 4 x − 9 x = 0
2
3
4
 1
 x1 + x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 + 3 x 5 = 0,

26.  2 x1 + 2 x 2 + 5x 3 − x 4 + 3x 5 = 0,
 x + x +4x −5x + 6x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 = 2,

 3 x1 − 8 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 5,
2 x − 5 x − 3 x − x = 3
2
3
4
 1
 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 5 = 0,

 3 x1 − 5 x 2 + x 3 + 4 x 4 = 1,
2 x − 3 x − x + 4 x − 3 x = 1
2
3
4
5
 1
 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 + x 5 = 0,

27.  x1 + 2 x 2 + 7 x 3 − 4 x 4 + x 5 = 0,
x + 2 x + 11 x − 6 x + x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0,

4 x1 − 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 1,
3 x − 2 x − 2 x − 2 x = 1
2
3
4
 1
28.
29.
30.
31.
32.
 6 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 = 0,

 4 x1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 = 0,
2 x + x + x + x + x = 0
2
3
4
5
 1
 3 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 + x 4 + 2 x 5 = 0,

 3 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 = 0,
3 x + 2 x + 16 x + x + 6 x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 + x 5 = 0,

 x1 − 2 x 2 − 3 x 3 + x 4 − x 5 = 0,
2 x − x − 2 x + 3 x = 0
2
3
4
 1
 x1 − x 2 + x 3 − 2 x 4 + x 5 = 0,

 x1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 + 2 x 5 = 0,
 x − 3x + 4x − 3x = 0
2
3
4
 1
 2 x1 + 3 x 2 + 5x 3 = 0,

 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 0
 x1 − 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 4,

 2 x 1 − 5 x 2 + 4 x 3 + 3 x 5 = 7,
 x − 2 x + 3 x − 2 x + 3x = 3
2
3
4
5
 1
 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 1,

 4 x1 − 7 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 3,
3 x − 5 x − x − 3 x = 2
2
3
4
 1
 x1 + 4 x 2 − 2 x 3 − 3 x 5 = 2,

 2 x1 + 9 x 2 − x 3 − 4 x 4 = 5,
 x +5 x + x − 4x = 5
2
3
4
 1
 x1 + x 2 − 3 x 3 − 4 x 4 = 1,

 4 x1 + 5 x 2 − 2 x 3 − x 4 = 3,
3 x + 4x + x + 3 x = 2
2
3
4
 1
 x1 + x 2 + x 3 = 4,

 x1 − x 2 − x 3 = 0
73
 x1 − x 2 + 6 x 3 = 0,
 2 x1 + 3 x 2 − x 3 = 0
 2 x1 + x 2 + x 3 = 0,
34. 
 7 x1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 0
 x1 + x 2 + x 3 = 0,
35. 
 x1 − x 2 − x 3 = 0
 4 x1 + x 2 + 5 x 3 + x 4 = 0,
36. 
 − x1 + 6 x 2 + 4 x 3 = 0
33. 
 x1 + x 2 + x 3 = 0,
 x1 − x 2 + 5 x 3 + x 4 = 0
37. 
38.
39.
40.
41.
 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 0,

 3 x1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 7 x 4 = 0,
 3x + x + x + 4 x = 0
2
3
4
 1
 8 x1 − 5 x 2 − 6 x 3 + 3 x 4 = 0,

 4 x1 − x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 = 0,
 12 x − 7 x − 9 x + 5 x = 0
1
2
3
4

 x1 + 3 x 2 + 7 x 3 + x 4 = 0,

 5 x 2 + 10 x 3 + 5 x 4 = 0,
− 2 x + 7 x + 12 x + 11 x = 0
1
2
3
4

 − x1 + 3 x 2 + 5 x 4 = 0,

 2 x1 + x 2 + 7 x 3 − 3 x 4 = 0,
4 x − x + 11 x − 9 x = 0
 1
2
3
4
 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 4 + 5 x 5 = 0,

42.  6 x1 + 3 x 2 − x 3 + 2 x 4 − 5 x 5 = 0,
 − 4x − 2x − 2x + 2x = 0
1
2
4
5

 x1 − 2 x 2 − x 3 − 3 x 4 + 3 x 5 = 0,

43.  2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + x 4 − x 5 = 0,
 x +x +x −x = 0
3
4
5
 2
 2 x1 + x 2 − x 3 = 2,

 − x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 6
 3 x1 − x 2 + x 3 = 4,

 x1 − 7 x 2 − x 3 = 0
 x1 − x 2 − 5 x 3 = 0,

 x 1 + 2 x 2 + x 3 = −3
 x1 + 4 x 2 + 3x 3 − 2 x 4 = −6,

 − 2 x1 + 7 x 2 + 9 x 3 − 11 x 4 = −18,
 − 3 x + 5 x + 8 x − 11 x = −16
1
2
3
4

 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 = −1,

 6 x 2 + 12 x 3 − 6 x 4 = −6,
− 2 x − 6x − 10 x = 2
1
2
3

 5 x1 + x 2 − 2 x 3 − 4 x 4 = 5,

 10 x1 + 2 x 2 + 11 x 3 + 7 x 4 = −20,
− 15 x − 3 x + 5 x + 11 x = −13
1
2
3
4

 3 x1 + x 2 − 2 x 3 = 9,

 6 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 + 8 x 4 = −16,
− 15 x − 5x + 3 x − 7 x = −17
1
2
3
4

 x1 + x 2 + x 3 − x 4 = 1,

 2 x1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 = −1,
2 x + 2 x + 3 x − 2 x = 0
2
3
4
 1
 3 x1 + 2x 2 − 4 x 3 + 2 x 4 = 2,
 x − 2 x + 3 x − 3 x = −3,
 1
2
3
5

2 x1 + 2 x 3 − 3 x 4 + 5 x 5 = 4,
5 x1 − 3 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 − 7 x 5 = 2
 x1 + 2x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 + x 5 = 4,
 3 x + 6 x + 5 x − 4 x + 3 x = 5,
 1
2
3
5
5

 x1 + 2 x 2 + 7 x 3 − 4 x 4 + x 5 = 11,
2 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 + 3 x 5 = 6
 x1 − 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 4,

 2 x 1 − 5 x 2 + 4 x 3 + 3 x 5 = 7,
 x − 2x + 3x − 2 x + 3x = 3
2
3
4
5
 1
74
 x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 + x 5 = 0,

44.  2 x1 − x 2 + x 3 + 2 x 4 + x 5 = 0,
 3x + x − 6x + 3x + 3x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 − 2 x 2 + x 3 + x 4 − 2 x 5 = 0,
45. 
 2 x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 − x 5 = 0


46. 



47. 



48. 



49. 



50. 



51. 

− 2 x1 + x 2 − 3 x 3 + x 4 = 0,
x1 − 2 x 2 + x 3 − 3x 4 = 0,
5 x1 − x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 = 0
2 x1 − x 2 + x 3 − 2 x 4 − x 5 = 0,
4 x1 + x 2 − x 3 − 3 x 4 + x 5 = 0
− 3 x1 + x 2 − x 3 + 3x 4 + 2 x 5 = 0,
6 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 − x 5 = 0,
x 1 + x 2 − 4 x 3 + x 4 − 3x 5 = 0
3 x1 + x 2 + x 3 − 3x 4 − x 5 = 0,
6 x1 − 3 x 2 − x 3 + x 4 + 4 x 5 = 0
3 x1 − 4 x 2 + x 3 − 2 x 4 = 0,
9 x1 + 7 x 2 − x 3 + 3x 4 = 0,
6 x1 − 3x 2 + 2 x 3 − x 4 = 0
4 x1 − x 2 − 2 x 3 − x 4 − 5 x 5 = 0,
8 x1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 = 0
 8 x1 + 2 x 2 + x 3 − x 4 + 2 x 5 = 0,

52.  4 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 + x 4 − 3 x 5 = 0,
 12 x − 3x + 2 x − 2 x + x = 0
1
2
3
4
5

 5 x1 + x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 + 3x 5 = 1,

 15 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 − − 6 x 4 − x 5 = 2
 − 18 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 − 4 x 4 = 1,

 − 6 x1 − 2 x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 + 3 x 5 = 2,
 12 x − 2 x + 3 x − x + x = 3
1
2
3
4
5

 7 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 − x 5 = 3,

 14 x1 + 3 x 2 + x 3 − 3 x 4 − 2 x 5 = 2
 9 x1 + 4 x 2 − 2 x 3 + 5 x 4 − x 5 = 2,

 − 3 x1 − 3 x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 + 2 x 5 = 3,
 6x +x − 4x + 2x −x =1
2
3
4
5
 1
 4 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 − x 5 = 4,

 12 x1 + 5 x 2 − x 3 + 3 x 4 + 3 x 5 = 1
 21 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 − 4 x 4 + 3 x 5 = 3,

 7 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 + x 4 − 2 x 5 = 1,
 14 x − 3 x + 2 x − x + x = 2
1
2
3
4
5

 6 x1 − x 2 − 2 x 3 − 2 x 4 − 4 x 5 = 3,

 12 x1 + x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 − x 5 = 1
 15 x1 − 12 x 2 − x 3 + 3 x 4 − x 5 = 2,

 x1 + x 2 − 10 x 3 + x 4 + 5 x 5 = 3,
 − 3x + 2x + 6 x − 2x + x = 4
1
2
3
4
5

 3 x1 + x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 + x 5 = 2,

 9 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 − 4 x 5 = 3
75
 5 x1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 − x 5 = 0,
 10 x1 − 3 x 2 − x 3 − x 4 + 5 x 5 = 0
53. 
 15 x1 − 10 x 2 − 3 x 3 + x 4 = 0,

54.  x1 + x 2 − 10 x 3 + 12 x 4 = 0,
 − 3x + 2x + 6x − x = 0
1
2
3
4

 6 x1 − x 2 − 3 x 3 − x 4 − 4 x 5 = 0,
55. 
 12 x1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 − x 5 = 0
 9 x1 + 4 x 2 − x 3 + 5x 4 − x 5 = 0,

56.  − 3 x1 − 3 x 2 + 2 x 3 − 3x 4 + 2 x 5 = 0,
 6x + x − 4x + 2x − x = 0
1
2
3
4
5

 7 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2x 4 + x 5 = 0,
57. 
 14 x1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 − 2 x 5 = 0
 − 10 x1 + 5 x 2 − x 3 + 2x 4 = 0,

58.  5 x1 − x 2 + 3 x 3 − x 4 = 0,
 − 15 x + 2 x − 2 x + x = 0
1
2
3
4

 8 x1 − 2 x 2 + x 3 + 5x 4 − 3 x 5 = 0,
 16 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 − x 5 = 0
59. 
 4 x1 + x 2 − 3 x 3 + 4x 4 − 2 x 5 = 0,

60.  − 2 x1 − x 2 + 2 x 3 − 3x 4 + x 5 = 0,
 6 x + 2 x − 4 x + x − 3x = 0
1
2
3
4
5

 9 x1 − x 2 − 4 x 3 − x 4 + 4 x 5 = 0,
61. 
 18 x1 + 3 x 2 + x 3 + 3x 4 − 5 x 5 = 0
 4 x1 + 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 = 0,

62.  14 x1 − 6 x 2 − 3 x 3 + x 4 = 0,
 − x + x + 2x −x = 0
1
2
3
4

 − 8 x1 + x 2 − 3 x 3 + x 4 + 2 x 5 = 3,

 − 12 x1 − 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 − 2 x 5 = 4,
 4x +x − 2x +x −x = 2
2
3
4
5
 1
 5 x1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 − x 5 = 2,

 10 x1 − 3 x 2 − 2 x 3 − x 4 + 4 x 5 = 1
 8 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 + 2 x 5 = 4,

 4 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2x 4 − 3 x 5 = 2,
 12 x − 3 x + 2 x − x _ x = 3
1
2
3
4
5

 2 x1 − 2 x 2 + x 3 − 3 x 4 − 4 x 5 = 1,

 6 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 − x 5 = 4
 6 x1 − 3 x 2 − 2 x 3 + x 4 − 3 x 5 = 3,

 − 4 x1 + x 2 + x 3 − 3x 4 + 2 x 5 = 4,
 2x − 2x + x − 2x +5x = 5
2
3
4
5
 1
 4 x1 − x 2 − 3 x 3 − x 4 − 5 x 5 = 4,

 8 x1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + x 5 = 3
 3 x1 − 4 x 2 + 2 x 3 − x 4 + 2 x 5 = 4,

9 x1 + 7 x 2 − 2 x 3 + 3x 4 − x 5 = 5,
 6x − 3x + x − 2x + 3x = 5
2
3
4
5
 1
 x1 + x 2 + 2 x 3 − 5 x 4 + x 5 = 3,

 3 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 − x 4 − 3 x 5 = 4
 8 x1 − 3 x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 + 2 x 5 = 5,

 − 4 x1 + x 2 − x 3 + 2x 4 − x 5 = 3,
 12 x − 2 x + 3 x − 2 x + x = 4
1
2
3
4
5

 3 x1 + x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 − x 5 = 4,

 6 x1 − 3 x 2 − x 3 + 2 x 4 4 x 5 = 2
76
 10 x1 + x 2 − 2 x 3 + 3x 4 − 2 x 5 = 0,
 20 x1 + 3 x 2 + x 3 + 2x 4 − 3 x 5 = 0
63. 
 8 x1 − 3 x 2 + x 3 − 3x 4 + 2 x 5 = 0,

64.  − 4 x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 − x 5 = 0,
 12 x − 2 x + 3 x − x + x = 0
1
2
3
4
5

 x1 + x 2 + 4 x 3 − 5x 4 + x 5 = 0,
 3 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 − 2 x 5 = 0
65. 
 6 x1 − 3 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 0,

66.  − 4 x1 + x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 = 0,
 2 x − 2x + x − x = 0
1
2
3
4

 2 x1 − 2 x 2 + x 3 − 4x 4 − 5 x 5 = 0,
 6 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 + x 4 − 3 x 5 = 0
67. 
 4 x1 + x 2 − 2 x 3 + 2x 4 + x 5 = 0,

68.  − 8 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 − 2 x 5 = 0,
 12 x + 2x − 3 x + x + 2x = 0
1
2
3
4
5

 3 x1 + x 2 − 3 x 3 − x 4 + 2 x 5 = 0,
69. 
 9 x1 − 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 − 4 x 5 = 0
 − 21 x1 + 4 x 2 + x 3 − 4x 4 = 0,

70.  7 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 = 0,
 14 x − 3x + 3 x − x = 0
1
2
3
4

 4 x1 − 2 x 2 + x 3 + 2x 4 − x 5 = 0,
 12 x1 + 5 x 2 − x 3 + x 4 + 3 x 5 = 0
71. 
 − 3 x1 + 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 − x 5 = 0,

72.  x1 + 3 x 2 + 2 x 3 − x 4 − 3 x 5 = 0,
 2 x − 3x + 3 x − x + 2 x = 0
2
3
4
5
 1
 − 3 x1 + 4 x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 + x 5 = 4,

 6 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 − x 5 = 5,
 x + x − 4x + 3x − x = 6
2
3
4
5
 1
 10 x1 + x 2 − 2 x 3 + 3x 4 − 2 x 5 = 2,

 20 x1 + 3 x 2 + x 3 + 3x 4 − 2 x 5 = 4
 7 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 + x 5 = 5,

 14 x1 − 6 x 2 − 3 x 3 + x 4 − 2 x 5 = 6,
 −x + x + 2x −x + 5x = 4
2
3
4
5
 1
 2 x1 − x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 − x 5 = 1,

 4 x 1 + x 2 − 2 x 3 − 3x 4 + x 5 = 3
 − 3 x1 + 4 x 2 − x 3 + 5 x 4 + x 5 = 6,

 6 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 − 2 x 5 = 4,
 x +x − 4x +3 x −x = 5
2
3
4
5
 1
 9 x1 + x 2 − 3 x 3 + x 4 + 4 x 5 = 1,

 18 x1 + 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 − 5 x 5 = 5
 4 x1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 − 2 x 5 = 5,

 − 2 x1 − x 2 + 3 x 3 − x 4 + 3 x 5 = 6,
 6x + 2x − x + 2 x − 3x = 7
2
3
4
5
 1
 x1 − 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 − 2 x 5 = 2,

 2 x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 − 3 x 5 = 5
 x1 + x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 + 2 x 5 = 6,

 2 x 1 − x 2 + x 3 + 2 x 4 − x 5 = 7,
 3x + x − 4x + 3x + 3x = 5
2
3
4
5
 1
 8 x1 − 2 x 2 + x 3 − 4 x 4 − 3 x 5 = 3,

 16 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + 3x 4 − x 5 = 5
77
 5 x1 + x 2 + 5 x 3 − 2x 4 + 3 x 5 = 0,
 15 x1 − 4 x 2 + x 3 − 6 x 4 − x 5 = 0
73. 
 − 10 x1 + 5 x 2 − x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 = 7,

 5 x1 − x 2 + 3 x 3 − 5x 4 + x 5 = 5,
 − 15 x + 2 x − x + 2 x − x = 6
1
2
3
4
5

 x1 + 5 x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 = 0,
 − 2 x + x + 4x = 0,

1
3
4
74. 
 − x1 − 3x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 0
5 x1 − x 2 + 6 x 3 − 2 x 4 = 0
 2x1 + 6 x 2 − 2 x 3 − 4 x 4 = 0,
 − 5 x − 2 x − x + 5x = 0,

1
2
3
4
75. 
 − 4 x1 + 14x 2 − 8 x 3 − 2 x 4 = 0
− x1 + 10x 2 − 5 x 3 − 3 x 4 = 0
 3 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0,
 − 3 x + x − x + 4x = 0,

1
2
3
4
76. 
 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 − 2 x 4 = 0
2 x1 − 4 x 3 + 7 x 4 = 0
 − 3 x1 + 4 x 2 + x 3 = 17,

 2 x1 + x 2 − x 3 = 0,
 − 2x + 3x + 5x = 8
1
2
3

 x1 − 3 x 2 − 3 x 3 + x 4 = 0,
 2 x − 2 x + x + 3x = 0,

1
2
3
4
77. 
 5x1 − 11x 2 − 8 x 3 + 6 x 4 = 0
3 x1 − x 2 + 5 x 3 + 5 x 4 = 0
 − x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 = 2,
 5 x − 8 x + 4 x − 12 x = 4,
 1
2
3
4

 4 x1 − 7 x 2 + 5 x 3 − 12 x 4 = −1
2 x1 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 = 3
 x1 + 3 x 2 − x 3 + 12x 4 − x 5 = 0,

78.  2 x1 − 2 x 2 + x 3 − 10x 4 + x 5 = 0,
 3x + x + 2 x = 0
1
2
4

 6 x1 + x 2 − 4 x 3 = −1,

 4 x1 + 4 x 2 − 3 x 3 = 3,
 3 x − 2 x − 2 x = −3
2
3
 1
 2 x1 − x 2 + 3 x 3 − x 4 − x 5 = 0,

79.  x1 + 5 x 2 − x 3 + x 4 + 2 x 5 = 0,
 x + 16x − 6 x + 4 x + 7 x = 0
2
3
4
5
 1
 4 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 = 3,
 4 x + x + 4 x = 1,
 2
3
4

 3 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = 1
2 x1 + 3 x 2 − 2x 3 + 2 x 4 = 2
 x1 + 3 x 2 − 2 x 4 = 3,
 − x + 4 x − x = 0,
 1
3
4

 x1 − x 2 + 3 x 3 + 3 x 4 = 6
3 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = −3
 3 x1 + x 2 − x 3 = 10,

 − 3 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 8,
 5 x + 2 x + 8 x = −1
2
3
 1
78
 x1 + 2 x 2 + x 3 + 4 x 4 + x 5 = 0,

80.  2 x1 − x 2 + 3x 3 + x 4 − 5x 5 = 0,
 x + 3x − x − 6 x − 5 x = 0
2
3
4
5
 1
 − x1 − 3 x 2 = 0,

 3 x1 − 3 x 2 = 0,
81. 
 − 2 x1 + 6 x 2 = 0

2 x1 − 12 x 2 = 0
 2 x1 − x 2 = 0,

82. − 8 x1 + 2 x 2 = 0,
 4x − 2x = 0
2
 1
 x1 + x 2 − x 3 = 0,
 − x1 − x 2 + x 3 = 0
83. 
 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0,

84.  4 x1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 0,
 7x +8x + 9x = 0
2
3
 1
 − x1 − x 3 = 0,
 x − x = 0,
4
 2
 − x1 + x 3 − x 5 = 0,
85. 
− x 2 + x 4 − x 6 = 0,
− x 3 + x 5 = 0,

− x 4 + x 6 = 0
 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 0,
 − x + 2 x − 3 x = 0,
 1
2
3
86. 
 2 x1 − 4 x 2 + 6 x 3 = 0,
− 3x1 + 6 x 2 − 9 x 3 = 0
 x1 + x 2 − 24 x 4 = −1,
 − 2 x + x + x + 2 x = −1,

1
2
3
4

 3 x1 − 2 x 2 − x 3 − 2 x 4 = 3
7 x1 + 5 x 2 + 2x 3 + 4 x 4 = −8
 4 x1 − x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 = −1,

 8 x1 − 5 x 2 − 6x 3 + 3x 4 = 2,
 12x − 7 x − 9 x + 5 x = 3
1
2
3
4

 − 7 x1 − 5 x 2 − 2 x 3 − x 4 = 8,
 − 3 x + 2 x + x + 2 x = −3,

1
2
3
4

 2 x1 − x 2 − x 3 − 2 x 4 = 1
− x1 − x 2 + 24 x 4 = 1
 x1 − 2 x 2 − x 3 + 3x 4 = 5,
 4 x + x + x + 2 x = 13,

1
2
3
4

 7 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 21
2x1 + 5 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 3
 2 x1 − 3 x 2 + 5 x 3 + 6x 4 = 4,
 6 x − 2 x + 3x + 4 x = 5,

1
2
3
4

 3x1 − x 2 + 3 x 3 + x 4 = −8
3x1 − x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = −1
 3 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = −3,
 − x − 3 x + 2 x = −3,

1
2
4

 x1 − 4 x 3 + 3 x 3 + 3 x 4 = 0
x1 − x 2 + 3 x 3 + 3 x 4 = 6
 3 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 + 4x 4 = 1,
 2 x + 3 x − 2x + 2 x = 2,

1
2
3
4

 4x1 + 2x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 = 3,
4x1 + x 3 + 4 x 4 = 1
79
 2 x1 − x 2 + x 3 = 0,

87.  4 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 0,
 6x − 3x + 3x = 0
2
3
 1
 − x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0,

88.  4 x1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 0,
 7 x + 8 x + 10 x = 0
2
3
 1
89.
90.
91.
92.
 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 − 3 x 4 = 0,
 3 x + 5 x + 6 x − 4 x = 0,
 1
2
3
4

 4 x1 + 5 x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 = 0
3 x1 + 8 x 2 + 24 x 3 − 19 x 4 = 0
 x1 − x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 = 0,
 x + 2 x − 4 x = 0,
 1
2
4

 2 x1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 = 0
 x1 − 4 x 2 + x 3 + 10 x 4 = 0
 3 x1 + 4 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 = 0,
 5 x + 7 x + x + 3 x + 4 x = 0,
 1
2
3
4
5

 4 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 + x 4 + 5 x 5 = 0
7 x1 + 10 x 2 + x 3 + 6 x 4 + 5 x 5 = 0
 x1 + 2 x 2 = 0,

 − 3 x1 − 12 x 2 = 0,
 2x + 4x = 0
2
 1
 3 x1 + 2 x 2 + x 3 = 0,

93.  2 x1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 0,
 3x + 4x + 2 x = 0
2
3
 1
 x1 − 2 x 2 − 3 x 3 = 0,

94.  2 x1 + 3 x 2 + x 3 = 0,
 5x − 3x −8x = 0
2
3
 1
 − 3 x1 + 2 x 2 + 5 x 3 − 2 x 4 = −1,
 − 4 x + 13x + x = −10,

1
3
4

 − 2 x1 + 3x 2 − 3 x 3 − 4 x 4 = 6
2x1 − 4x 2 + 3 x 3 + 5 x 4 = −8
 x1 − 5 x 2 − 8 x 3 + x 4 = 3,
 3 x + x − 3x − 5 x = 1,

1
2
3
4

 x 1 − 7 x 3 + 2 x 4 = −5
11x1 + 20 x 3 − 9 x 4 = 2
 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 − 4x 4 = −2,
 − 5 x + 8 x − 4 x + 12x = −4,

1
2
3
4

 4x1 − 7 x 2 + 5 x 3 − 12 x 4 = −1
− 2 x1 + 3x 2 − x 3 + 4 x 4 = −3
 5 x 1 − x 2 + 2 x 3 + x 4 = 7,

 2 x1 + x 2 + 4x 3 − 2 x 4 = 1,
 x − 3x − 6x + 5x = 0
2
3
4
 1
 x1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 + x 5 = 1,

 3 x1 − x 2 + x 3 + 4 x 4 + 3x 5 = 4,
 x + 5x − 9 x − 8 x + x = 0
2
3
4
5
 1
 x1 + x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 + 2 x 5 = 6,

 − x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 − x 5 = 7,
 x + 3x + 3 x − 4 x + 3x = 5
2
3
4
5
 1
 4 x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 3,
 x − 2 x − x + 2 x = 2,
 1
2
3
4

 2 x1 + 5x 2 − x 4 = −1
3 x1 + 3 x 2 − x 3 − 3 x 4 = 1
 3 x1 + 7 x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 + x 5 = 5,

 − 3 x1 + 14 x 2 − 6 x 3 + x 4 − 2 x 5 = 6,
 − x − x + x − x + 5x = 4
2
3
4
5
 1
80
 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 0,

95.  − x1 + 2 x 2 − 3 x 3 = 0,
 2x − 4x + 6x = 0
2
3
 1
 3 x1 + 10 x 2 − 2 x 3 + x 4 − 2 x 5 = 2,

 3 x1 + 20 x 2 − 2 x 3 + 3x 4 − 2 x 5 = 4
 2 x1 − 2 x 2 − 3 x 3 = 0,
 2 x + 3 x + x = 0,
 1
2
3
96. 
 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 = 0,
 x1 + 8 x 2 − 5 x 3 = 0
 2 x1 + 2 x 2 − 10 x 3 + 5x 4 + 5 x 5 = 7,

 x1 − 5 x 2 + 5 x 3 + 3 x 4 − x 5 = 5,
 − x + 2x − 15 x − x + 2 x = 6
1
2
3
4
5

 x1 − x 3 + x 5 = 0,
 x − x + x = 0,
4
6
 2
97.  x1 − x 2 + x 5 − x 6 = 0,
 x − x + x = 0,
3
6
 2
x1 − x 4 + x 5 = 0
 16 x1 − 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 = 5,

 8 x1 + x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 − 4 x 5 = 3
 x1 + x 2 − x 3 + 2 x 4 = 0,
 x + 3 x − 3 x + 4 x = 0,
 2
2
3
4
98. 
 3 x1 + 2 x 2 + x 3 = 0,
 x1 + 3x 2 − 5 x 4 = 0
 2 x1 − 4 x 2 + 5x 3 + 3 x 4 = 0,

99.  3 x1 − 6 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 = 0,
 4 x − 8 x + 17 x + 11x = 0
1
2
3
4

 5 x1 + 6 x 2 − 2x 3 + 7 x 4 + 4 x 5 = 0,
 2 x + 3x − x + 4 x + 2 x = 0,

1
2
3
4
5
100. 
 5 x1 + 9 x 2 − 3x 3 + x 4 + 6 x 5 = 0,
 7 x1 + 9x 2 − 3 x 3 + 5 x 4 + 6 x 5 = 0
 − x1 + x 2 + x 3 = 0,

 2 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 4










10 x1 + 2 x 2 + 7 x 3 + 11x 4 = −20,
− 15 x1 − 3 x 2 + 11 x 3 + 5 x 4 = 13,
5x 1 + x 2 − 4 x 3 − 2 x 4 = 5
− x1 + 2 x 2 − 3x 3 + 2 x 4 − 3 x 5 = −3,
x1 − 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 4,
− 2 x 1 + 5 x 2 − 4 x 3 − 3 x 4 = −7
81
II. Скалярное произведение векторов
Вычислить скалярное произведение векторов
1. a {2; 3; − 1}; b {7; 9; 0}
2. a {− 1; 0; 3}; b {2; − 1; 4}
3. a {1; 0; 6}; b {− 2; 3; 4}
4. a {2; 2; 4}; b {1; − 1; 2}
5. a {− 1;1; 3}; b {7;1; 9}
6. a {0; 3;1}; b {2; − 4;1}
7. a {− 1;1;1}; b {2; − 1; 3}
8. a {3;1; − 1}; b {0; − 1;1}
9. a {1; 2; − 1}; b {3; − 1; 4}
10. a {1; 4;1}; b {2;1; − 1}
11. a {2; 3;1}; b {1; − 2; 3}
12. a {0;1; − 1}; b {2; 3; − 1}
13. a {5;1; 2}; b {− 1; 2;1}
14. a {2; 2; − 1}; b {− 1;1;1}
15. a {3;1; 2}; b {4; 0;1}
16. a {7;1; − 1}; b {2;1; − 1}
17. a {− 3; 2; 2}; b {− 1;1; 3}
18. a {4; 4; − 1}; b {2; 2; 2}
19. a {3; 3; − 4}; b {2;1;1}
20. a {5;1; 5}; b {3; 2; − 1}
При каком значении параметра вектора ортогональны
21. a {2; m;1}; b {4; − 1; 7}
22. a {1;1; m}; b {− 2;1;1}
23. a {m; − 1; 2}; b {3;1;1}
24. a {m; 2; 0}; b {1; − 1; 3}
25. a {2; m; − 1}; b {1; 2;1}
26. a {− 1;1; m}; b {4; − 4;1}
27. a {m; 2;1}; b {3;1; − 1}
28. a {− 1;1; m}; b {2; 3;1}
29. a {1;1; m}; b {− 2; − 2; 4}
30. a {− 3; − 3; m}; b {1; 2; − 1}
31. a {0;1; m}; b {4;1;1}
32. a {− 1;1; 2}; b {m; − 3;1}
33. a {2; 2; − 3}; b {1; m;1}
34. a {1; 3;1}; b {− 1; 4; m}
35. a {1; − 1; 5}; b {5; 4; m}
36. a {3;1; − 1}; b {− 1;1; m}
37. a {1; − 1;1}; b {1; m; 2}
38. a {8; 9;1}; b {m; 2; − 1}
39. a {1; − 2;1}; b {3; m;1}
40. a {2;1; − 1}; b {4;1; m}
82
Найти скалярное произведение векторов, если
41. a = 2; b = 1; cos α = 600
42. a = 3; b = 4; cos α = 1350
43. a = 4; b = 1; cos α = 1200
44. a = 1; b = 2; cos α = 300
45. a = 2; b = 1; cos α = 600
46. a = 4; b = 3; cos α = 600
47. a = 2; b = 6; cos α = 1500
48. a = 3; b = 4; cos α = 1200
49. a = 2; b = 2; cos α = 1500
50. a = 2; b = 6; cos α = 1350
51. a = 5; b = 3; cos α = 300
52. a = 2; b = 7; cos α = 450
53. a = 5; b = 1; cos α = 1200
54. a = 6; b = 2; cos α = 450
55. a = 2; b = 4; cos α = 300
56. a = 10; b = 3; cos α = 1500
57. a = 4; b = 2; cos α = 450
58. a = 5; b = 3; cos α = 1350
59. a = 3; b = 1; cos α = 1200
60. a = 4; b = 2; cos α = 1500
Найти проекцию вектора a на вектор b , если
61. a {1; − 3;1}; b {2;1; 3}
62. a {− 2; 3;1}; b {− 1; 2; 2}
63. a {0; 0; 2}; b {1; 2;1}
64. a {2;1; 3}; b {1; − 3;1}
65. a {1;1; − 1}; b {2;1; 3}
66. a {− 1;1; 2}; b {3;1;1}
67. a {2;1;1}; b {− 1;1;1}
68. a {0;1; 2}; b {2;1;1}
69. a {2;1;1}; b {3; − 1; − 1}
70. a {− 2; 2; 0}; b {1;1; − 1}
Найти проекцию b на вектор a
71. a {1;1; 2}; b {− 1; 3; 0}
72. a {0;1; 4}; b {1; 2; − 1}
73. a {3;1;1}; b {− 1; 3; 4}
74. a {− 1; 3;1}; b {2; 2; − 2}
75. a {2; 2; − 3}; b {1;1; − 1}
76. a {2; 0;1}; b {5; − 1; 3}
83
77. a {5;1; − 1}; b {3; 2;1}
78. a {8; 7; 3}; b {− 4; 0;1}
79. a {− 3; 3;1}; b {7; 2; 4}
80. a {4; 0; − 1}; b {2; − 2;1}
Найти угол между векторами
81. a {3; − 1;1}; b {7; 0;1}
82. a {− 1;1;1}; b {2;1; 0}
83. a {2;1; 0}; b {7; 0;1}
84. a {2; 2; 2}; b {1;1;1}
85. a {1;1;1}; b {− 2;1;1}
86. a {1; − 1;1}; b {2;1; − 2}
87. a {3;1; 0}; b {2; 2; 2}
88. a {2; 2;1}; b {− 1;1;1}
89. a {3; 3;1}; b {2; 2; − 1}
90. a {1;1;− 1}; b {1; − 1;1}
91. a {2; 2; 0}; b {0; 0; 3}
92. a {0; 0;1}; b {4; 0; 3}
93. a {2;1; − 1}; b {7;1; 0}
94. a {− 1;1; 2}; b {2;1; − 1}
95. a {2; 2; 0}; b {− 3;1;1}
96. a {1; 3;1}; b {7; 2;1}
97. a {0; 2;1}; b {− 3;1;1}
98. a {0; 3;1}; b {1; 2;1}
99. a {1; 2; 2}; b {1; 2;1}
100. a {2; − 1; − 1}; b {3; 2;1}
III. Векторное произведение векторов
Вычислить векторное произведение векторов
1. a = 3 i − 4 j + 5 k , b = 3 i − j + k
2. a = 2 i − j + 2 k , b = i − j + 2 k
3. a = 7 i + 2 k, b = − i − j + k
4. a = i + j + k, b = 2 i − 3 j + 4k
5. a = − i + 2 j + 3 k , b = 4 i − 3 j − k
6. a = 2 i − k , b = i + 2k
7. a = 3 i − 4 j, b = j + 3k
8. a = i + j + k, b = 2 i + 3 j
9. a = 2 i − 3 k , b = 4 i + 2k − j
10. a = j, b = j − 3k + 2 i
11. a {2; 4;1}; b {3; 7;1}
12. a {1; 0;1}; b {2;1;1}
13. a {1;1; 2}; b {3; 2;1}
14. a {1;1; − 1}; b {4;1; 3}
15. a {2; 0; 2}; b {− 2;1;1}
16. a {7; 0; 3}; b {1; − 1; 0}
17. a {11; 0; 2}; b {0;1; 3}
18. a {2; − 1; 3}; b {3; 3;1}
84
19. a {1;1; 4}; b {4; 2;1}
20. a {3; 3; 3}; b {1; − 1; 0}
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
21. a {3; 3;1}; b {4; 2;1}
22. a {1;1;1}; b {2; − 1;1}
23. a {1; − 1;1}; b {− 2;1;1}
24. a {2;1; 0}; b {1; − 1;1}
25. a {3; 3; − 3}; b {2; − 2;1}
26. a {2; 0;1}; b {− 1;1;1}
27. a {5;1;1}; b {− 2;1;1}
28. a {1; 0; 3}; b {− 3; 4; 2}
29. a {1; − 3;1}; b {4; 2;1}
30. a {1; − 2; − 2}; b {2; 2;1}
31. a {1;1; 3}; b {3;1;1}
32. a {3; 0; 3}; b {4; 3;1}
33. a {2;1;1}; b {3;1; 0}
34. a {1; − 1;1}; b {4;1; 5}
35. a {2; 2;1}; b {1;1; 3}
36. a {0;1;2}; b {7; 4; 0}
37. a {5;1; 3}; b {− 1;1;1}
38. a {2;1; − 1}; b {3; 2;1}
39. a {1; 4;1}; b {− 1; 2;1}
40. a {3; 2;1}; b {4; 0;1}
Найти площадь треугольника построенного на векторах
41. a {2; 3;1}; b {− 1; − 1; 2}
42. a {3;1;1}; b {− 1; 2; 2}
43. a {− 3; 3;1}; b {4;1; 0}
44. a {0;1; 3}; b {2; 3;1}
45. a {1;1; 4}; b {3; 0;1}
46. a {− 1; 2;1}; b {3; 3;1}
47. a {2; 2; − 1}; b {3; 0;1}
48. a {4;1; 2}; b {0;1;1}
49. a {− 1; − 1; 2}; b {3; 3;1}
50. a {4;1; 3}; b {2; 2; − 1}
51. a {2; 2;1}; b {1;1;1}
52. a {− 1;1;1}; b {2; 2; 2}
53. a {3;1;1}; b {− 1; 0;1}
54. a {2;1; 3}; b {− 1; − 1; 2}
55. a {3; 2; 4}; b {4; − 2; 3}
56. a {4; 0;1}; b {3;1; 2}
57. a {2;1; 3}; b {3; 3; 2}
58. a {4;1;1}; b {2;1; 3}
59. a {3; 3;1}; b {1; 3; 3}
60. a {2; 3; 3}; b {4; 0;1}
85
Найти векторное произведение
61. a = 2; b = 3; α = 450
62. a = 5; b = 1; α = 600
63. a = 2; b = 2; α = 300
64. a = 3; b = 1; α = 900
65. a = 1`; b = 5; α = 1200
66. a = 7; b = 8; α = 1500
67. a = 4; b = 2; α = 1350
68. a = 2; b = 1; α = 1200
69. a = 1; b = 5; α = 600
70. a = 3; b = 2; α = 450
71. a = 2; b = 3; α = 300
72. a = 4; b = 3; α = 1200
73. a = 6; b = 2; α = 1500
74. a = 8; b = 2; α = 450
75. a = 3; b = 2; α = 300
76. a = 4; b = 4; α = 600
77. a = 5; b = 5; α = 300
78. a = 3; b = 2; α = 1200
79. a = 2; b = 1; α = 1500
80. a = 1; b = 3; α = 1350
Задачи на векторное произведение
81. Дан ∆ABC A (− 1;1; 0 ), B (1;1;1); C (1;1; 3) . Вычислить S∆ ABC .
82. Дан ∆ABC A (2; − 1; 2), B (1; 2;− 1); C (3; 2; 3) . Вычислить S∆ ABC .
83. Даны середины сторон ∆ M1 (− 1; − 1; 0 ), M 2 (1; 0; − 1); M 3 (− 1; − 1; − 1) . Вычислить S∆ .
84. Даны середины сторон ∆ M1 (1; 0; − 1), M 2 (0,5; 2; 0,5); M 3 (1,5; 0; − 2). Найти S∆ .
85. Даны середины сторон ∆ M1 (1; 2; 0), M 2 (0,5; 2; − 0,5); M 3 (1,5; 0; − 1,5) .
Найти S∆ .
86. Даны середины сторон ∆ M1 (1; 0;1,5), M 2 (2; 0; 2,5); M 3 (1; 0; − 2) . Найти
S∆ .
87. Даны середины сторон ∆ M1 (− 1; 2; 0 ), M 2 (− 1;1; − 1); M 3 (0; − 1; − 1) . Найти S∆ .
88. Даны середины сторон ∆ M1 (− 1;1; − 1), M 2 (1;1; − 1); M 3 (0; 0; − 1). Найти
S∆ .
86
89. Даны середины сторон ∆ M1 (1;− 2; 0), M 2 (1; − 1; − 1); M 3 (0;1; − 1) . Найти
S∆ .
90. Даны середины сторон ∆ M1 (1; 0; 4), M 2 (2; 0; 3); M 3 (− 1; 0; 0 ) . Найти S∆ .
91. Даны середины сторон ∆ M1 (0; − 1; 0 ), M 2 (− 1; − 1;1); M 3 (1; 0; − 2 ) . Найти
S∆ .
92. Сила F = 3 i + 2 j − 4 k приложена к точке M (2; − 1;1) . Найти момент этой
силы относительно начала координат.
93. Сила F = i − 2 j + 4 k приложена к точке M (1; 2; 3) . Найти момент этой силы
относительно A (3; 2; − 1) .
94. Сила P = i − j + k приложена к точке E (4; 5; 9 ) . Найти момент этой силы относительно K (9; 5; − 1) .
95. Сила M = 2i + 3 j + 5 k приложена к точке N (1; 2; 3) . Найти ее момент относительно O (0; 0; 0) .
96. Сила P = j + k приложена к точке N (3; 2;1) . Найти момент этой силы относительно B (4; 2; − 1) .
97. Сила P = i + j − 5 k приложена к точке E (5; 4; 0) . Найти момент этой силы
относительно K (0; 0; 5) .
98. Сила M = i + 2 j − 4 k приложена к точке N (0;1;1) . Найти момент этой силы
относительно O (0; 0; 0) .
99. Сила F = 3 i − 4 k приложена к точке P (2;1; 0 ) . Найти момент относительно
O (0; 0; 0) .
100. Сила N = i + j − 3 k приложена к точке P (2; 0;1) . Найти момент относительно K (3; 2; − 1) .
IV. Прямая и плоскость в пространстве
1. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (− 2; 0; 3), 2 x − 2 y + 10 z + 1 = 0 .
2. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
x − 0,5 y + 1,5 z − 1,5
=
=
.
0
−1
1
x − 9 y z − 2 x + 5 y + 5 z −1
3. Найти расстояние между прямыми
= =
и
=
=
.
−6
2
1
3
2
−2
M 0 (0; − 3; − 2),
87
4. Найти уравнение проекции прямой
уравнением 2 x − 3 y + z − 4 = 0 .
x y +1 z +1
=
=
на плоскость, заданную
5 −2
−3
2x − y + z − 3 = 0,
и
x
+
y
−
3
z
−
1
=
0

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую 
отсекающей на оси 0Y отрезок, равный 3.
6. Найти расстояние от точки M (3, 5, 5) до прямой
x −1 y z
= = .
−2 4 1
7. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x +1 y −1 z + 2 x − 2 y + 3 z
=
=
и
=
=
.
−2
3
−1
−2
3
−1
8. Найти расстояние между параллельными прямыми
x − 2 y +1 z
=
=
3
4
2
и
x − 7 y −1 z − 3
=
=
.
3
4
2
x+5 y−2 z
9. Через прямую
=
= провести плоскость, параллельную плоско3
1
4
сти x + y − z + 15 = 0 .
10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоско-
x − 3 y − 5 z +1 x − 5 y − 3 z + 4
=
=
и
=
=
.
1
−5
2
2
4
−6
11. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (3; 3; 3), 8x + 6 y + 8 z − 25 = 0 .
12. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
x − 0,5 y − 1 z − 4
M 0 (− 1; 03;12),
=
=
.
0
0
2
x +3 y−6 z−3
13. Найти расстояние между прямыми
=
=
и
4
−3
2
x−4
z+7
= −3 =
.
8
3
x = 2 t ,

14. Найти уравнение проекции прямой  y = −1 + 5t , на плоскость, заданную
z = −3t − 1

уравнением 2 x + 3 y − z + 4 = 0 .
x + 2 y − z + 2 = 0,
15. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую 
3 x − y + z − 5 = 0
и отсекающей на оси 0X отрезок, равный 2.
сти 2 x + y − 3z + 1 = 0 с прямыми
88
16. Найти расстояние от точки M (7, 9, 7 ) до прямой
x − 2 y −1 z
=
= .
4
3
2
17. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x y + 2 z −1 x −1 y − 3 z + 2
=
=
и
=
=
.
7
3
5
7
3
5
x + z = 1,
 y + 2z = 0
18. Найти расстояние между параллельными прямыми 
и
x + z = 1,
.

 y + 2z = 1
x y + 2 z −1
=
=
провести плоскость, параллельную плос7
3
5
кости x + 2 y + z − 1 = 0 .
19. Через прямую
20. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоско-
x = t + 3,
x = 2 t + 5,


сти 2 x + y − 3z + 1 = 0 с прямыми  y = 5 − 5t , и  y = 4 t + 3, .
z = 2 t − 1
z = −4 − 6 t


21. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (− 1; 0;1), 2x + 4 y − 3 = 0 .
22. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
x − 1 y + 5 z + 1,5
=
=
.
M 0 (2; − 2; − 3),
−1
0
0
x = −6t + 9, x = 3t − 5,


23. Найти расстояние между прямыми  y = 2 t ,
и  y = 2 t − 5, .
z = t + 2
z = −2 t + 1


x −1 y +1 z +1
24. Найти уравнение проекции прямой
=
=
на плоскость, за2
−3
1
данную уравнением x − 3 y + 2z − 4 = 0 .
x + z = 1,
25. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую 
и отсе y + 2z = 0
кающей на оси 0 Z отрезок, равный 1.
x −1 y − 2 z − 3
26. Найти расстояние от точки M (4, 3, 10) до прямой
=
=
.
2
4
5
27. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x y − 5 z −1 x − 2 y + 3 z +1
=
=
и
=
=
.
1
−2
−3
4
−8
− 12
89
28. Найти расстояние между параллельными прямыми
x−2 y+3 z
=
=
.
−2
3
−1
x +1 y −1 z + 2
=
=
и
−2
3
−1
2x − y + z − 3 = 0,
провести плоскость, параллельную
x + y − 3z − 1 = 0
плоскости x + y − z + 15 = 0 .
30. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось 0X и образующей с
π
плоскостью 2 x + y − z + 2 = 0 угол, равный .
4
31. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (2; − 2; − 3), y + z + 2 = 0 .
32. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
x + 0,5 y + 0,7 z − 2
.
M 0 (− 1; 2; 0 ),
=
=
1
− 0,2
2
x −3 y−6 z−3
33. Найти расстояние между прямыми
=
=
и
4
−2
3
x y +1 z − 4
=
=
.
8
−3
3
x y − 4 z +1
34. Найти уравнение проекции прямой
=
=
на плоскость, задан4
3
−2
ную уравнением x − y + 3z + 8 = 0 .
x−4 y+3 z
35. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
=
= и
5
2
1
отсекающей на оси 0X отрезок, равный 2.
x + 2 y + z − 1 = 0
36. Найти расстояние от точки M (1, 2, − 1) до прямой 
.
3x − y + 4z − 29 = 0
29. Через прямую 
37. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x − 2 y +1 z x − 7 y −1 z − 3
=
= и
=
=
.
3
4
2
3
4
2
38. Найти расстояние между параллельными прямыми
x −1 y z + 3
= =
.
4
6
2
x y +1 z −1
=
=
2
3
1
и
x y +1 z −1
=
=
провести плоскость, параллельную плоско2
3
1
сти x + y − z + 3 = 0 .
39. Через прямую
90
40. Через прямую
x − 2 y − 3 z +1
=
=
провести плоскость, перпендикуляр5
1
2
ную к плоскости x + 4 y − 3z + 7 = 0 .
41. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (− 2; − 3; 0), x + 5y + 4 = 0 .
42. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
M 0 (3; 3; 3),
x − 1 y − 1,5 z − 3
=
=
.
−1
0
1
x −9 y+2 z
x
y+7 z−2
=
= и
=
=
.
4
−3
1 −2
9
2
x = 4t ,

44. Найти уравнение проекции прямой  y = 3t − 4, на плоскость, заданную
z = −2 t − 1

уравнением x − y + 3z + 8 = 0 .
43. Найти расстояние между прямыми
45.
Найти
уравнение
плоскости,
проходящей
через
x + 5 y − 2 z −1
=
=
и отсекающей на оси 0Y отрезок, равный 2.
3
1
2
x y
z
46. Найти расстояние от точки M (4, − 3, 1) до прямой = =
.
6 2 −3
прямую
47. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x + 5 y − 2 z −1 x −1 y z +1
=
=
и
= =
.
4
7
2
4
7
2
x = 3t + 2,

48. Найти расстояние между параллельными прямыми  y = 4 t − 1,
и
z = 2 t

x = 3t + 7,

 y = 4t + 1, .
z = 2 t + 3

x −1 y − 2 z − 3
49. Через прямую
=
=
параллельно
плоскости
2
4
5
x − 2y + z + 1 = 0 .
50. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку (3;1; − 2) и
x−4 y+3 z
= .
=
прямую
5
2
1
91
51. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (3; − 3; − 1), 2x − 4 y − 4z − 13 = 0 .
52. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
x − 6 y − 3,5 z + 0,5
=
=
.
5
4
0
x y
z
x +1 y − 3 z − 4
53. Найти расстояние между прямыми
= =
и
=
=
.
6 2 −3
5
4
2
x − 2 y − 3 z +1
=
=
на плоскость, за54. Найти уравнение проекции прямой
5
1
2
данную уравнением x + 4 y − 3z + 7 = 0 .
M 0 (3; − 3; − 1),
55.
Найти
уравнение
плоскости,
проходящей
через
прямую
x + 2 y + z − 1 = 0
и отсекающей на оси 0 Z отрезок, равный 1.

3x − y + 4z − 29 = 0
x y+7 z −3
56. Найти расстояние от точки M (3, 2, 6) до прямой =
=
.
1
2
−1
57. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x = t ,
x −3 y−4 z−5 
=
=
и  y = −2 t + 1, .
1
−2
1
z = t − 1

58. Найти расстояние между параллельными прямыми
x − 2 y +1 z −1
=
=
.
4
−6
2
59.
Через
прямую
x + y − z + 15 = 0 .
2 x + y − 6z + 3 = 0

x − y + 2z − 6 = 0
x +1 y z +1
= =
−2 3
−1
параллельно
и
плоскости
60. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M (1;1; 6 ) и пря-
x = −1 + 3t ,

мую  y = 2 t ,
.
z = t

61. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (3; − 1;1), 2x − y + 3z + 4 = 0 .
62. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
M 0 (4; 5;10), 2x + 3y + z + 10 = 0 .
63. Найти расстояние между прямыми
x −9 y+2
x
y+7 z−2
=
=z и
=
=
.
4
−3
−2
9
2
92
64. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости
x + 2 y − z + 5 = 0 с плоскостью, проходящей через точку M (5; 3; 2) и ось 0Y .
65. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости
x + 2 y − z + 5 = 0 с плоскостью, проходящей через точку M (5; 3; 2 ) и ось 0Y .
2x − 2 y + z + 3 = 0,
.
3
x
−
2
y
+
2
z
+
17
=
0

66. Найти расстояние от точки M (3, 2, − 1) до прямой 
67. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x −5
z+3 x −2
z+3
= y−6=
и
= y−3=
.
13
−4
13
−4
68. Найти расстояние между параллельными прямыми
x +1
z
= y −1 = .
2
2
x −3
z −1
=y=
2
2
и
69. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной двум плоскостям: 2 x − 3y + z − 1 = 0 и x − y + 5z + 3 = 0 .
70. Даны вершины треугольника ABC : A (4;1;−2), B (2;0;0), C (− 2; 3; 5) . Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
71. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной плоскости: M 0 (6; − 4; − 2 ), x + y + z = 3 .
72. Найти точку M1 , симметричную точке M 0 относительно заданной прямой:
M 0 (4; 3;10),
73.
x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
2
4
5
Найти
расстояние
между
прямыми
x − 2 y +1 z −1
=
=
.
3
3
5
x +1 y + 3 z − 2
=
=
3
−2
−1
и
74. Найти длины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку M (1; − 3; 3) параллельно плоскости 3x + y − 3z = 0 .
75.
Показать,
что
x + 3y − 2z + 1 = 0 .
прямая
x y − 3 z −1
=
=
6
−8
−9
76. Найти расстояние от точки M (4, 5,10) до прямой
параллельно
плоскости
x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
2
4
5
77. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x − 2 y + 2z − 8 = 0,
x −1 y + 2
=
.
= −z и 
x
+
6
z
−
6
=
0
6
2

93
78. Найти расстояние между параллельными прямыми
x +1
z
= y −1 = .
2
2
x −3
z −1
=y=
2
2
и
x −1 y + 2
=
= −z провести плоскость, параллельную плос6
2
кости x + y + z = 0 .
79. Через прямую
80. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (3; 4; 0) и прямую x − 2 =
y − 3 z +1
=
2
2
Найти
81.
уравнение
плоскости,
проходящей
через
прямую
x −3 y+4 z−2
x+5
z −1
=
=
и параллельно прямой
=7=
.
2
1
−3
4
2
x + 5 y − 2 z −1
82. Через прямую
=
=
провести плоскость, параллельную
3
7
2
плоскости x + y − z + 15 = 0 .
x = 4 t + 2,

83. Найти расстояние от точки P (7; 9; 7 ) до прямой  y = 3t + 1,
z = 2 t

84. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 2; 3) и
N (− 3; 4; − 5) параллельно сои 0Z .
85. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости
3x − y − 7 z + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось 0X и точку
A (3; 2; − 5) .
x − 2 y + z + 9 = 0,
лежит в плоскости
3
x
+
b
y
+
z
+
d
=
0

86. При каких значениях b и d прямая 
X0Y ?
87. Найти проекцию точки C (3; − 4; − 2) на плоскость, проходящую через две
прямые:
88.
x −5
z+3 x−2
z+3
= y−6=
и
= y−3=
.
13
−4
13
−4
Составить
уравнение
плоскости,
проходящей
через
прямую
x −1 y − 3 z
=
= и точку P (1; 0; 7 ) .
4
2
1
89. Даны вершины треугольника A (4;1; − 2), B (2; 0; 0), C (− 2; 3; − 5) . Составить
уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противолежащую сторону.
94
90. Показать, что прямые x + 3 =
x = 3z − 4,
y +1
= z +1 и 
пересекаются, и
y
=
z
+
2
2

найти точку А их пересечения.
91. Через точку M (− 4; − 5; 3) провести прямую, пересекающую две данные
x +1 y + 3 z − 2 x − 2 y +1 z −1
=
=
и
=
=
.
3
−2
−1
−1
3
−5
92. Найти проекцию точки P (3;1; − 1) на плоскость x + 2 y + 3z − 30 = 0 .
93.
вычислить
расстояние
от
точки
P (2; 3; − 1)
до
прямой
2x − 2 y + z + 3 = 0,

3x − 2 y + 2z + 17 = 0.
94. Найти точку М, симметричную точке N (6; − 4; − 2) относительно плоскости
x + y + z = 3.
прямые
95.
Составить
уравнение
плоскости,
проходящей
через
прямую
x = 1 − t ,

 y = −2 + 2t ,
 z = 1 + 2 t.

96. Найти проекцию точки A (2; − 1; 3) на плоскость 5x − 2 y + z + 15 = 0 .
97. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (5; − 7; 3) паралx − 3y + 2z − 6 = 0,
лельно прямой 
2x − y + 4z + 17 = 0.
x −3 y+3 z+6
=
=
и
98.
Найти
расстояние
между
прямыми
8
−1
3
x+5 y+3 z+6
=
=
.
8
−4
12
x −1 y z + 3
99. Найти расстоянии е от точки A (0; 2; 5) до прямой
= =
.
−2 1
3
100. Найти уравнения перпендикуляра к плоскости x − 2 y + z − 9 = 0 проходящего через точку A (− 2; 0; − 1) , и определить координаты основания этого пер-
x + 2 y − z + 2 = 0,
параллельно прямой

3
x
−
y
+
z
−
5
=
0

пендикуляра.
V. Кривые 2- го порядка
Используя параллельный перенос, привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и построить кривую
1. 2 x 2 − 8 x + y 2 − 6 y + 1 = 0
2. x 2 + 4 x + 4 y 2 = 0
3. x 2 − 8 x − 4 y 2 = 0
4. y 2 − 6 y − x 2 + 2 x = 0
95
5. 9 x 2 − 25y 2 − 18x − 100 y − 316 = 0
6. 5 x 2 − 6 y 2 + 10x − 12 y − 31 = 0
7. x 2 − 4 y 2 + 6 x + z = 0
8. 3 x 2 − y 2 + 12x − 4 y − 4 = 0
9. x 2 − 4 y 2 + 2 x + 16 y − 7 = 0
10. x 2 − y 2 − 4x + 6 y − 7 = 0
11. 4x 2 + 9 y 2 − 8x + 18y − 23 = 0
12. 9x 2 − 16 y 2 − 54x − 64 y − 127 = 0
13. x 2 + 4 y 2 + 4x − 8y − 8 = 0
14. x 2 + 2 y 2 + 8x − 4 = 0
15. x 2 + 2 y 2 + 8x − 4 = 0
16. 4 x 2 + 9 y 2 − 40x + 36 y + 100 = 0
17. 9 x 2 − 16 y 2 − 54x − 64 y − 127 = 0
18. 9 x 2 + 4 y 2 + 18x − 8y + 49 = 0
19. 4 x 2 − y 2 + 8x − 2 y + 3 = 0
20. 2 x 2 + 3y 2 + 8x − 6 y + 11 = 0
21. x 2 + 10 x − 4 y + 33 = 0
22. y 2 − 6x + 2 y − 11 = 0
23. x 2 − 4 x + 5 y + 14 = 0
24. 2 y 2 + x − 4 y + 2 = 0
25. x 2 − 8 x + 3y 2 + 19 = 0
26. y 2 − 5x + 6 y + 4 = 0
27. x 2 + 6 y + 6x − 6 = 0
28. y 2 + 6 x − 8 y + 22 = 0
29. x 2 + 8 x − 2 y + 14 = 0
30. 2 y 2 − 8 y + x 2 − 6 x + 1 = 0
31. 4 x 2 + y 2 + 4 y = 0
32. y 2 − 8 y − 4 x 2 = 0
33. x 2 − 6 x − y 2 + 2 y = 0
34. 9 y 2 − 25x 2 − 18y − 100x − 316 = 0
35. 5y 2 − 6 x + 10 y − 12x − 31 = 0
36. y 2 − 4 x + 6 y + 5 = 0
37. 3y 2 − x 2 + 12 y − 4x − 4 = 0
38. y 2 − 4x 2 + 2 y + 16x − 7 = 0
39. y 2 − x 2 − 4 y + 6x − 5 = 0
40. 9 x 2 + 4 y 2 − 8 y + 18x − 23 = 0
41. 16 x 2 − 9 y 2 + 54 y + 64x + 127 = 0
42. y 2 + x 2 − 2 y + 6x − 5 = 0
43. 4 x 2 + y 2 − 8x + 4 y − 8 = 0
44. 2 x 2 + y 2 + 8 y − 4 = 0
45. 9 x 2 + 4 y 2 − 40 y + 36x + 100 = 0
46. − 4 y 2 + x 2 + 8 y − 2 x + 3 = 0
47. 3 x 2 + 2 y 2 + 8 y − 6x + 11 = 0
48. y 2 + 10 y − 4 x + 33 = 0
49. x 2 − 6 y + 2x − 11 = 0
50. y 2 − 4 y + 5x + 14 = 0
51. 2 x 2 + y − 4x + 2 = 0
52. 2 x 2 + y − 4x + 2 = 0
53. y 2 − 8 y + 3x + 19 = 0
54. x 2 − 5y + 6 x + 4 = 0
96
55. x 2 + 6 y − 8x + 22 = 0
56. y 2 + 8y − 2x + 14 = 0
57. 4 x 2 + 9 y 2 − 40x + 36 y + 80 = 0
58. 9 x 2 − 16 y 2 − 54x − 64 y − 130 = 0
59. 9 x 2 + 4 y 2 + 18x − 8y + 65 = 0
60. 4 x 2 − y 2 + 8x − 2 y + 5 = 0
61. 2 x 2 + 3y 2 + 8x − 6 y + 12 = 0
62. 3 x 2 − y 2 + 12x − 4 y − 8 = 0
63. 9 x 2 − 22 y 2 − 18x − 100 y − 320 = 0
64. 2 x 2 − 8 x + y 2 − 6 y + 5 = 0
65. x 2 + 10x − 4 y + 10 = 0
66. y 2 − 4x + 8 y − 5 = 0
67. x 2 − 6 x + 3 y + 6 = 0
68. x 2 − 16 x + 7 y + 12 = 0
69. x 2 + 6 y + 7 x − 3 = 0
70. y 2 + 6 x − 12 y + 7 = 0
71. 9 x 2 + 4 y 2 − 6x = 0
72. y 2 − 6 y + 16x 2 = 0
73. x 2 − 4 x + y 2 − 2 y = 0
74. 2 y 2 − 4 y + x 2 − 6 y + 1 = 0
75. 8 x 2 − 4 x + y 2 = 0
76. x 2 + y 2 − 4x − 6 y = 0
77. x 2 + y 2 − 4x + 4 y + 3 = 0
78. x 2 + 12x − 6 y + 3 = 0
79. 8 x 2 + y 2 − 4 y − 2x = 0
80. 4 y − x 2 − 4x − 8 = 0
81. 16 x 2 − 9 y 2 − 64x − 54 y − 161 = 0
82. 16 x 2 + 25y 2 + 32x − 100 y − 284 = 0
83. 9x 2 + 9 − y 2 = 0
84. x 2 + 4 y 2 − 24 y + 20 = 0
85. 4 x 2 + 9 y 2 − 8x + 6 y − 23 = 0
86. x 2 + 2 y 2 + 8x − 4 y = 0
87. x 2 + 10x − 4 y + y 2 = 0
88. x 2 − 4x + 5y + 12 = 0
89. 9x 2 + 4 y 2 + 18x − 4 y + 5 = 0
90. x 2 − 8x − 4 y 2 − 4 = 0
91. x 2 + 4 y 2 + 4 x − 8 y − 8 = 0
92. 4x 2 + 9 y 2 − 40x + 36 y + 100 = 0
93. 9 x 2 + 4 y 2 + 18x − 8 y + 49 = 0
94. x 2 + 10x − 4 y + 33 = 0
95. y 2 + 10 y − 4 x + 33 = 0
96. x 2 − 4x + 5y − 14 = 0
97. 2 x 2 + 3y 2 + 8x − 6 y + 11 = 0
98. x 2 − 4x + 5y + 14 = 0
99. x 2 + 2 y 2 + 8x − 4 = 0
100. x 2 − 4 y 2 + 2 x + 16 y − 7 = 0
97
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
I. Найти пределы функций, используя при необходимости
замечательные пределы*
1.1. Найти пределы:
 x + 2
1. lim 

x →∞  x − 3 
tg x − sin x
x → 0 x sin 2 x
5x
lim
 1− x 
2. lim 

x →∞  3 + x 2 
4x 2
 2x + 3 
3. lim 

x → ∞  2x − 5 
3x
tg x − sin x
x →0
x3
lim
tg x + sin x
x →0
2x
lim
 3x 2 + 1 

lim 
x → ∞  3x 2 − 2 


2
ln 1 + x
lim
x → 0 tg 2 8x
sin 3x
4. lim
x →0 x + 2 − 2
(
x
1 

5. lim 1 +

x →∞ 
3x 
7x
 3x + 2 
6. lim 

x → ∞  3x − 1 
7 

7. lim 1 − 2 
x →∞ 
2x 

1 

8. lim 1 +
x →∞ 
2 x 
1 + x sin x − 1
lim
x2
x →0
x 2 + 4 x −1
1
3x
10. lim (1 + 10 x )
1
11. lim (1 − 5x )3x
x →0
 x + 3
12. lim 

x →∞  x − 5 
e x −1 − 1
lim
x →1
x −1
6 x +1
x →0
2x
 8+ x 
13. lim 

x → ∞  10 + x 
)
2sin x − 1
lim
x →0
x
x 2 +1

1 

9. lim 1 +
2
x →∞
6
x
+
1


5x 2
2 x +1
1+ x2 −1
lim
x → 0 1 − cos x
3
x arcsin x
x → 0 arctg 2 3 2 x
ln (1 + 2 x )
lim
x →0
tg 3x
lim
e 3x − 1
lim
x → 0 sin 2 x
2
7x − 1
lim
x → 0 tg 2 2 x
98
1
x
lim
2
x →∞
 1

 4 x − 1




1 − cos
1
14. lim (cos 2 x )sin 2 x
x →0
 x2 + 2 

15. lim  2
x →0 x − 1 


7− x
16. lim 

x →∞  x + 3 
x2
2
lim x sin  
x →0
x
ln (1 − x )
x → 0 sin 2 x
3 x −1
lim
x2 −1
lim 5
x →1
x −1
17. lim (1 + tg x )
ctg x
x →0
4 

lg 1 + 2 
x 
18. lim 
1
x →∞
1 − cos
x
x
1 

19. lim 1 + 2 
x → +∞ 
x 
7x
2 

20. lim 1 −

x →∞ 
3x 
 2x + 3 
21. lim 

x → ∞  2x − 1 
sin 3x
x → π sin 8x
lim
tg x − sin x
x → 0 x sin 2 x
lim
9 x2 − 9
lim 9
x →1
x −1
4 x +1
 1+ x2 

22. lim 
x →∞ 1 + 2x 2 


lim
x →0
x2
1 − cos 3 x
x → 0 x sin 4 x
lim
 1 + 3x + x 

2

 2+x

2
23. lim 
x →∞
ln (1 + 3x )
6
1+ x −1
 x2 + x + 1

24. lim 
2

x →∞
x
+
4


x2
1− x
 2x + 1 
25. lim 

x → ∞  2x + 3 
2 

26. lim 1 −

x →∞ 
3x + 1 
2x 2
2x
lim
x →π
tg 4x
tg 7 x
lim (x − 2) ctg π x
x→2
 x3
x2 


lim
−
x → ∞  5 x 2 + 1 5x − 3 


x −1
lim 4
x →1 x − 1
99

x →0 
27. lim 1 +
5
x x+2
lim

2
x → −∞
28. lim (1 + tg 2 x )
x →0
1
29. lim (1 + 10 x )2 x + 3
x →0
(
31. lim 1 + sin x
x →0
2
)
3
lim
tg 2 x
x2 + 8 − 2
lim
x →0
4x 2
sin 2x
lim
x → π sin 7 x
tg 2x
lim
x → π tg 3x
3
1
3x
34. lim (1 − 2 x )
x −1
3 

35. lim 1 −

x →∞ 
2x − 1 
2x −7
1 

36. lim 1 +

x →∞ 
x + 1
lim
x →10
3 x −1
 4x 2 + 3x + 1 

38. lim 
2

x →∞
4
x
+
5


7x
2
 1 + 3x
39. lim 

x → ∞  2 + 3x 
x −1 − 3
x+6 −4
x2 − x
lim
x →1 x − 1 − 1
3 x 2 −1
tg 2 2x ⋅ arcsin 3x
lim
x →0
x3
2 −3 x − 1
lim
x →0
tg 4x
2x +3
 x4 + 4 

40. lim 

x →∞
x
−
1


x2 −1
41. lim 2
x → −1 x + 3x + 2
)
1+ x −1
x →0
x
1− x
lim
x →1 8 + x − 3
3
−3 x
 2x + 1 
37. lim 

x → ∞  2x + 3 
+ 4 − 10x
e4x − 1
lim
x → 0 arctg 2 x
7x
 2x + 5 
32. lim 

x →∞  3 + 2x 
x +3
 3x + 4 
33. lim 

x → ∞  2 + 3x 
x →0
2
e−x − e
lim
x → −1 4 x + 4
52 x − 1x
lim
x → 0 sin 3x
1
sin 3 x
1 

30. lim 1 −

x →∞ 
3x + 2 
(x
lim
x → −1
5x + 5
8 + x2 − 3
e 2 x − e3x
lim
x → 0 ln (1 − tg x )
100
(x
)
1 − cos x
x →0
4x 2
cos 2 x − cos 6 x
lim
x →0
x ⋅ tgx
sin 2 x ⋅ tg 4 x
lim
x → 0 arcsin x 2
2
− 2x
42. lim 4
x → 2 x −5 x 2 + 4
x 2 − 2x
43. lim 3
x → 2 x − 2 x 2 + 3x − 6
x 4 − 8x 2 + 16
44. lim
x → 2 x 2 − 4x + 4
x 3 − 27
45. lim
2
x →3
x2 − 9
x 2 + 5x + 6
46. lim
x →1
x4 −1
x 2 + 8x + 15
47. lim
x → 3 (x + 3)(x + 5)2
x 3 − 3x + 2
48. lim 4
x →1 x − 4 x + 3
6 x 2 − 5x + 1
49. lim
x →1 3
3 x −1
2
(
lim
tg x − sin x
x →0
x3
sin 3x
lim
x → 0 tg 7 x
)
(x
(
34 x − 32 x
lim
x → 0 arctg 2 x
ln (1 + 2 x )
lim
x →0
x
2
(
x 2 + 2x − 3
55. lim
x →1
x3 − 1
3 x 3 − 5x
56. lim
x → 0 arctg 3x
)
ln 1 + sin 2 (tg x )
lim
x →0
1 − cos x
sin 5x ⋅ sin 3x
lim
x →0
sin x
)
−4
50. lim 4
x → 2 x − 3x 2 − 4
x2 − 9
51. lim 2
x →3 x − x − 6
x3 − 8
52. lim
x → 2 (x − 2 )2 ⋅ (x + 5 )
x 2 − 10x + 25
53. lim
x →5
x 3 − 125
x 2 + 3x − 40
54. lim
x → −8 (x + 1) x 2 + 16 x + 64
2
x3 + 8
57. lim
x → −2 x 2 − 4
lim
1 + x − 3 1 − 6x
lim
x →0
tg 2 x ⋅ cos x
x (1 − cos 6 x )
lim
x →0
tg x 2
cos x − cos 3x
lim
x → 0 arcsin 2 x 2
sin 4 x
lim
x → 0 cos 7 x ⋅ sin 6 x
3
)
arcsin 2 x − sin 2 x
lim
4
x →0
1+ x −1
lim
x 2 − 4 x − 21
(x − 7 )2
ln 2 (1 + 4 tg x )
lim
x →7
x →0
cos 2 x − 1
101
2x + x + x + 2
3
58. lim
2
x3 +1
x → −1
6 x2 + x −1
59. lim
1
1
x→
x
−
3
3
4
x − 16
60. lim
x → −2 x 3 + 2 x 2
3x − 21
61. lim 2
x → 7 x − 6x − 7
x 3 + 27
62. lim
x → −3 x 3 + 3x 2 + x + 3
x2 − 4
63. lim 2
x → 2 x − 3x + 2
x 2 − 5x
64. lim 4
x → 5 x − 625
x3 − 1
65. lim 2
x →1 x − 5 x + 4
(x
)
2
− 2x
66. lim 2
x → 2 x − 4x + 4
x 2 − 2x
67. lim
x → 0 3 x 3 − 5x 2 + x
2
x − 2x + 1
68. lim
x →1
x6 − x4
4
2
8x 3 − 1
69. lim
x → 0 , 5 6 x 2 − 5x + 1
x4 −1
70. lim
x → −1 x 4 + 4 x 2 − 5
x3 + 1
71. lim
x → −1 x 2 − 1
lim
x →0
tg x 2
x
arcsin 5x ⋅ sin  
4
arcsin 4 x 3
lim
x → 0 x ⋅ 53 x − 5 x
(
)
sin 6x
x → 0 8x 2 − 9 x
4
1 + 2x − 4 1 − x
lim
x →0
sin x ⋅ cos 3x
lim
arctg x 4
lim
x → 0 x 2 ⋅ (1 − cos 3x )
 (π − x ) 
1 − sin 

2 

lim
x →0
tg 2 x
1 − e4x
lim
x →0 2 x 2 + 2
tg 3x − sin 4 x
lim
x →0
4 x3
(
)
sin 2 x
x → 0 4 1 − 2x − 1
ln (cos 5x )
lim
x → 0 x ⋅ arcsin 4 x ⋅ 5 x
lim
(
)
ln 1 + tg 2 2x
lim
x →0
x
1 − cos  
2
1 − x − 1 + 2x
lim
x →0
ln⋅ (1 − 7 x )
sin e −3x − 1
lim
x →0
tg x
(
cos 2 4x − 1
lim
x → 0 x ⋅ tg 3 x
)
102
72. lim
x →1
73.
74.
75.
76.
77.
78.
(x
x3 − 1
2
+x−2
sin 3πx
x → 0 sin 7 πx
)
lim
2
x3 − 8
lim
x →2 x 2 − 4
x x 2 − 49
lim
x → −7 x 2 + 14 x + 49
x 2 + 9x
lim
x → −9 x 2 + 6 x − 27
x 4 − 16
lim
x → 2 x 4 − 2x 3
x2 − 9
lim
x → 3 x 3 − 27
x 4 − 2 x 2 − 575
lim
x → −5
x 2 + x − 20
(
)
x 2 − 16
79. lim 2
x → 4 x − 11x + 28
80.
81.
82.
83.
x 3 − 3x 2 + 2 x
lim
x →1
x 2 − 4x + 3
2 x 2 + 6x
lim
x → −3
x+3
x 2 + 5x − 6
lim
x → −1 x 3 + 2 x 2 − x − 2
9 x2 −1
lim
1 (3 x + 1)(x − 1)2
x→
3
x 3 − 3x − 2
84. lim
x → −1
x2 + x3
3 x 2 + 5x − 2
85. lim
x → −2
x+2
(x − 2x + 1)
(2x − x − 1)
x →1
(
2
2
6 x2 + x −1
87. lim
x → 0,5
x + 0,5
)
(
)
( )
1 − 7 x − 5 1 − 3x
lim
x →0
tg 2 x
5
x ⋅ cos 2 x
x → 0 arcsin 11x
lim
e 2 x − e5 x
lim
x → 0 ln (1 + tg 3x )
2
2
86. lim
46 x − 4 x
lim
x → 0 arctg (− 5 x )
x ⋅ tg 5x
lim
x → 0 1 − cos 10 x
cos 7 x − cos 6x
lim
x →0
sin 13 x 2
sin 4x
lim 2 x
x →0 3
−1
ln 1 + tg 2 (sin x )
lim
x →0
cos x ⋅ x 2
tg x 2
lim
x → 0 1 − cos (− 2 x )
 (2π − x ) 
sin 2 

2 

lim
x →0
tg 2 x
sin 8x
lim
x → 0 sin 9 x ⋅ cos 10 x
ln (cos (− 2x ))
lim
x → 0 x ⋅ tg x ⋅ 2 x
sin 3 3 x
lim
x →0 8 x 2 − 6x
lim
x →0
1 − cos 7 x
tg (3x )2
sin (2x )3
lim
x → 0 x 2 ⋅ 7 3x − 7 4 x
(
)
103
88.
89.
90.
91.
92.
x 3 + 5x 2 + 7 x + 3
lim
x → −1 x 3 + 4 x 2 + 5x + 2
x 2 − 162
lim
x → −4 x 2 − 3x − 28
x 3 + x 2 − 5x + 3
lim
x →1 x 3 − x 2 − x + 1
x 2 − 16
lim
x → −4 x 2 − 3x − 28
x 4 − 8 x 2 − 425
lim
x → 5 (x − 5)(x + 5)
93. lim
x →3
94. lim
x →1
95. lim
x →3
96. lim
x →1
x 2 − 4x + 3
x −3
2 x4 − x2 −1
x 3 + 2x 2 − x − 2
x2 − 3x
x 2 − 6x + 9
x3 − 1
2 x4 − x2 − x +1
2 x 2 + 13x + 21
97. lim
x → −3,5
2x + 7
x 3 − 3x − 2
98. lim
x→2
x 4 − 16
x 2 − 5x − 6
99. lim
x → −1 x 2 + 2 x + 1
x 3 − 3x − 2
100. lim
x →1
x 4 − 16
tg 5π x
x → 0 tg 9π x
sin 5x − tg 5x
lim
x → 0 sin 2 x ⋅ x 2
1 + 4x − 1
lim
x →0
e2x − 1
1 − cos 2 2x
lim
x → 0 x ⋅ sin 3 x
22x − 1
lim
x → 0 3 x ⋅ arcsin x
cos 4x − cos 3x
lim
x →0
sin 8x 2
cos 3x − 1
lim 9 x
x →0 4
−1
arctg 4x 3
lim
x → 0 tg x ⋅ 23 x − 2 x
22x − 1
lim
x → 0 sin (2 x )2
3
1 + 6x − 3 1 + 4x
lim
x → 0 arctg 2 x ⋅ cos 2 x
tg 5x ⋅ cos
lim
x →0
tg x
lim
(
)
1 − 2 x − 1 + 8x
x →0
ln (1 − sin x )
cos (− 3x ) − 1
lim
x →0
sin 9 x 2
lim
1.2. Замечательные пределы
1.
lim
x → −2
x2 − 4
arctg (x + 2 )
sin 2 2 x
3. lim
x →0
x tg 3x
 2x 

2. lim 
x →∞  2 x + 1 

 x −5 

4. lim 
x →∞  x + 7 

x
2x
104
5. lim
x →0
1 − cos 2x
x tg x
3x + 2
7. lim 

x → ∞  3x − 1 
ln (1 + 7 x )
sin 3x
x →0
e5x − 1
10. lim
x → 0 sin 2 x
2 x +1
12. lim
(cos x )1 x
14. lim
(1 + tg
16. lim
(cos x )ctg
x →0
 x + 5

13. lim  2

x →∞
 x −5
2
x2
15. lim x (ln (2 + x ) − ln x )
x →∞
x →0
8. lim
4 x −1
1− 2 x
17. lim
sin 3 (x − 2)
x 2 − 3x + 2
x→2
5x − 4
9. lim 

x → ∞  5x + 8 
 x +3
11. lim 

x →∞  x − 2 
6. lim
(1 + tg x )
ctg x
x →0
x →0
2
x
 x3 − 1

18. lim  3

x →∞
 x + 1
20. lim 1 +
2x − x 2
21. lim
x→2
x−2
 x + 4
22. lim 

x →∞  x + 7 
x →0
1 − cos 4x
3x2
x →0


x →0
5x − 5
27. lim
x →1
x −1
28. lim
29. lim
x →0
x →∞
x →3
(1 + tg x )
e 3x − e 2 x
31. lim
x →0
x
2x + 5
x x2

5
−2 x
(1 + 2x )x − 5
26. lim 
 x + 4

 x +5
−3 x
log 3 x − 1
x −3
 x5 − 1

30. lim  5

x →∞
 x + 1
tg 2 3x
32. lim
x → 0 sin 3x
3
x
x
3
24. lim
cps x − cos 4x
25. lim
x →0
5 x2
ctg x
2
)
2
e 2 x − e5x
19. lim
x →∞
x
23. lim
2
5x
105
 x + 3
33. lim 

x→  x − 8 
2 x −1
π

− x  tg x
 2

35. lim 
x→
π
2
 x + 14 
37. lim 

x →∞  x − 7 
 1

34. lim 
− ctg x 
x → 0  sin x

36. lim x ⋅ ctg x
x →0
−x +5
38. lim
x →0
tg 2 x − sin 2x
3 x2
e7 x − 1
40. lim
x → 0 21 x − x 3
3 x2 + x
39. lim
x →0
sin 5x
x ⋅ arcsin 2 x
1 − cos 4 x
41. lim
( 1 + x )2 x
42. lim
43. lim
(1 − 7 x )
 x
20 ⋅ ln 1 + 
 2
44. lim
x →0
tg 8x
x →0
x →0
x →0
1 2x
 1 + 2x 
45. lim 

x → ∞  2x − 8 
47. lim
x →0
3x − 7
1 − cos 5x
1 − cos x
1 

49. lim  1 −

x →∞ 
4x 
x
 x
21 ⋅ ln 1 + 
 3
51. lim
x →0
7x − x 5
53. lim
x →0
(1 − 2 x)
1
x
e2x − 1
46. lim
x →0
tg 2 x
48. lim
x →0
arctg 6 x
sin 12x
1
x
50. lim
2
x →∞
 1

 4 x − 1




1 − cos
52. lim
x →0
ln (1 + x )
7
1+ x −1
1− 8 x
 2x − 1 
54. lim 

x → ∞  2x + 5 
ln(1 + 3x )
55. lim 7
x →0
1+ x −1
52 x − 1
56. lim
x →0
tg 5x
4 −5 x
57. lim
x → 0 sin 5x
x2 −1
58. lim 5
x →1
x −1
106
9 x2 − 9
59. lim 9
x →1
x −1
61. lim
x→π
tg 4x
tg 5x


63. lim 1 +
x →∞
65. lim
x→
e
2
x →∞
62. lim
x →e
1 

2x 
6x + 5
ln 2 x − 1
2x − e
sin
67. lim
1 

60. lim  1 −

x →∞ 
7x 
4
x
x→4
1
ex
x →∞
66. lim
x → −1
e−x − e
4x + 4
(1 + 10 x )3x −1
1 

72. lim  1 − 2

x →∞ 
x + 5x 
1 − cos
74. lim
x →∞
7
x
1
7x
6x 2 − x +3
1
x
−1
 x 2 + 3x + 5 

76. lim  2

x →∞
x
+
3
x
−
1


−1
4 

lg 1 + 2 
 x 
77. lim
1
x →∞
1 − cos
x
x +7
79. lim 

x →∞  x + 8 

64. lim  2

x →∞
 2x + 1 
x →0
−e
x−4
1
ex
x2
1
tg 4x
73. lim
x → π sin 5x
75. lim
 2x − 1 
2
70. lim
x
e4
sin
ln x − 1
x−e
arctg 2 3x
68. lim
x →0
sin 2 3x
−1
sin 3x
69. lim
x → 0 sin 6 x
71. lim
21x
x2
78. lim
tg 2 x − sin 2x
3 x2
80. lim
sin 7 x + sin 3x
2x
x →0
−2 x
x →0
107
5 

lg 1 + 4 
 x 
81. lim
1
x →∞
tg 4
x
arcsin 4 x
83. lim
x → 0 1 − cos 8x
(
)
85. lim x ⋅ 51 x − 1
x →∞
sin 2 4x − sin 2 x
87. lim
x →0
3x 2
 3x + 7 
89. lim 

x → ∞  3x − 9 
2x + 5
x 2 + 4 x −1
cos 2 4 x − cos 4x
84. lim
x →0
3x 2
3x − x
86. lim
x →1
x −1
3 x 2 sin x
88. lim
x → ∞ cos 8x − cos 4 x


90. lim 1 +
x →∞
1 

2x 
3 x 2 arctgx
92. lim
x → 0 sin x − tg x
x tg x
91. lim
x → 0 cos 5x
4−x

93. lim 
x →∞  7 − x 

1x 

82. lim  1 + 2

x →∞ 
6x + 1 
−3 x
x →0
e3x − 1
95. lim
x →0
tg 3x

1 

97. lim 1 +
x →∞ 
3 x 
1
94. lim
(1 + 7 x )2 x + 4
 2+ 3x 

96. lim 
x →∞  7 + 3 x 

2x +5
5 x − 7 x2
99. lim
x →0
sin 2x
x 2 −1
98. lim
x ⋅ arcsin 3x
1 − cos 6 x
100. lim
arctg 3x
x2 + 5 x
x →0
x →0
II. Непрерывность функций
Используя понятие точки разрыва и определение типов точек разрыва выяснить является ли точка, точкой разрыва данной функции и установить тип
разрыва
1. y = (x − 3) ; x 0 = 3
3
2. y =
1
; x0 = 4
x−4
108
3. y = ln (x − 5); x 0 = 5
(
x − 4)2
4. y =
;
(
x − 5)3
5. y =
;
1
; x0 = 3
x2 + x − 3
1
8. y = 2
; x 0 = −1
x + 2x + 1
x2 − x − 2
10. y =
; x 0 = −1
x +1
x
12. y = 2
; x0 = 1
x +1
1
; x 0 = −1
14. y = tg x + 2
x −x+2
1
16. y =
; x 0 = −1
x +1
1
18. y = cos x +
; x0 = 2
x2 − 4
x0 = 5
x −5
1
7. y = ln
; x 0 = −4
x+4
9. y = log 2 (x + 2); x 0 = −2
11. y =
1
2 x −1 ;
x0 = 1
2x
; x0 = 0
sin 4x
arcsin x
15. y = 2
; x0 = 0
x + x +1
1
17. y = ln (5x − 1); x 0 = .
5
x 2 − 5x + 6
19. y =
; x0 = 2
x−2
1
21. y = x − 2
; x0 = 2
3
+1
13. y =
1
; x0 = 3
x 2 − 5x + 6
sin (2x − 4)
25. y =
; x0 = 2
x+2
23. y =
x0 = 3
x −3
6. y = sin +
20. y =
22. y =
x 2 − 2 x + 5; x 0 = 2
1
1
x
3 −2
; x0 = 2
+1
24. y = log 3 (3x − 1); x 0 =
1
3
Найти точки разрыва и определить их характер
26. f (x ) =
28. f (x ) =
30. f (x ) =
3x − 5
3x − 5
1
1
1
−
2 x
+1
5
4
2 + 7 5− x
x
32. f (x ) =
x
27. f (x ) =
1
sin x
x
29. f (x ) =
3x − 1
3x − 1
31. f (x ) =
7+ x −3
x2 − 4
1 + x3
33. f (x ) =
1− x
109
34. f (x ) =
3
1
2 x +3
+1
x + 5x − 6
36. f (x ) =
(x − 1)
x+2
38. f (x ) =
x+2
2
40. f (x ) =
5x
x
1
x
5 − 7 − 4x
44. f (x ) =
x+3
1
46. f (x ) = ⋅ sin x
x
42. f (x ) = arctg
1
x −3
50. f (x ) = log 3 (4x − 1)
48. f (x ) = arctg
35. f (x ) =
1
⋅ sin (x − 3)
x −3
8 + x3
37. f (x ) =
2+x
3− x − 4
39. f (x ) =
x2 − 4
7
41. f (x ) = 1
3 2 x +1 + 4
1
43. f (x ) = arcctg 2
x −4
1
45. f (x ) = x
2 −1
3
47. f (x ) = 1
4 x −2 + 3
x2 − 4
49. f (x ) = arcsin
x−2
Найти точки разрыва и определить их характер
x 2 + 5x − 6
51. y =
x+6
3x − 4
53. y =
x+4
55. y =
1
2 3x −1
57. y = arctg
2
x
x 2 + 4x + 4
59. y =
x+2
61. y =
1
2x
 1 

 x + 3
2 x2 + x
54. y =
x
2x + 1
56. y =
2x + 1
5
58. y = 2
52. y = ln 
57−x + 1
1 − x3
60. y =
1− x
1− x2
62. y =
1+ x
110
63. y =
1
e x −1
65. y =
x + 3x − 4
x +1
1
5− 2 x
69. y = arctg
3
2x
x 2 − 5x + 6
70. y =
x+3
2
x −1
8−x
72. y =
x2 + x − 2
x 2 + 7x − 8
73. y =
x −1
75. y =
2
−1
 5x 
66. y = ln 

 2x − 3 
5−x
68. y =
6+x
2
67. y = 5
71. y =
64. y =
1
3
−
2 x
74. y = 7
2x
7+ x
4x − 1
4x − 1
Найти такие значения параметра a , при которых функция будет непрерывна в указанной точке x 0
x;
a + ln x;
76. 
x ≤1
x >1
x0 = 1
 sin x
 2x ; x < 0

78. a; x < 0
x0 = 0
 x

;
x>0
 2x + x 2
(1 − x )1 x ; x < 0

1

80. (1 + 4 x )2 x ; x > 0
x0 = 0
 a
x=0
e ;

 1
3 x − 2 ;
77. 
a ;
x
x<2
x≥2
x0 = 2
π

tg
x
;
x
<

4
79. 
4 cos 2 x + a;

3x;
a + log1 2 x;
81. 
x≥
x ≤1
x >1
π
4
x0 = 1
x0 =
π
4
111
1 − cos x
 x 2 ;
82. 
 a ;
 x + 2
(1 + 2 x )1 x ;
84. 
e a ;
x≤0
x0 = 0
x>0
x<0
x≥0
(1 − 3x )2 x ; x < 0
86. 
x=0
a;
π

tg
x
;
x
<

4
88. 
4 sin 2 x − a; x ≥ π

4
(1 + 3x )−1 x ;
90. 
e a ;
x<0
x<0
 1
3 x +1 ; x < −4
92. 
 a ; x ≥ −1
x2 +1
 ln (1 + 3x )
;

94. 
2x
x + a;
x<0
x≥0
x0 = 0
x0 = 0
π
x0 =
4
x0 = 0
x 0 = −1
x0 = 0
sin (x + a );
83.  a
e ;
x≤0
x>0
x0 = 0
π
 2
π
cos x; x ≥
x0 =
85. 
6
6
ax + 4;
x
x≤2
2x + 1;
87.  2
x0 = 2
a x − 2,5 x; x > 2
 tg 4x
;

89.  2 x
x + 2a;
91.
93.
95.
x>0
x≤0
 1
;
 1
 x+4
+1
2
 a
 x + 1 ;
(1 − x )2 x ;

4

−
(
)
1
+
2
x
x;

 a
e ;

 sin 2 4x
;

 x2
a − 12 x;

 1
5 2 x +1 + 3;

log a;
 2
 1
 x +3
x < −3
96. e ;
x 2 + ax; x ≥ −3
x 0 = −3
97.
π
 2
sin
2
x
;
x
≤

6
98. 
tg ax − 1 ; x > π

4
6
π
x0 =
6
99. 
x0 = 0
x < −4
x 0 = −4
x ≥ −4
x<0
x>0
x0 = 0
x=0
x>0
x0 = 0
x≥0
1
2
1
x≥−
2
x<−
x >1
2x + 1;
a + log1 3 x; x ≤ 1
x0 = −
x0 = 1
1
2
112
 1
 x −2 ; x < 2
100. 2
3x + a; x ≥ 2
x0 = 2
III. Найти производную функции
1. y = arcsin lg
cos 2 7 x + 5
2. y =
35 x −1
4
x2
1 tg ln (2 x + 1)
3. y =
2
e− x +8
arcsin 2 ln x
4. y =
ln sin x
1
5. y = 1 + cos
5x
tg 2 sin x
6. y =
ln cos x
3
(
)
3 arccos 2e 2 x − 1
7. y =
tg ln x
ex − e−x
9. y =
3 ctg 3x
10. y = 2
2 cos 3 3x
11. y =
lg x + 3
13. y =
sin 2 5x
(x
+ 2x
)
3
1
x +5
lg (x − 1)
14. y =
16. y =
ln cos x
ln sin x
18. y =
1
x
19. y = ln tg − e 3x + 5
2
2
21. y = 2
x lg 2 x
23. y = 10
3 lg 2 x + 2 lg x ⋅sin 2 x
−
)
cos 4 x
ex
12. y = arcsin log 2
arcctg
15. y =
17. y =
3
(
ln 1 − 52 x
8. y =
cos lg x
1
x
arccos ln x
(x
3
)
−1
2
sin (cos 2x )
arcsin 3 4x
arcsin x
1
+ ln tg x
1− x2 2
(
arctg x 2 + 5
20. y =
ln cos x
22. y =
)
( x )3
sin (2 ln x )
1
24. y = e
x 2 +5
⋅ tg 3x
113
25. y = sin (cos 2x ) + log3
1
cos x
lg x + 5
27. y =
arcsin x
(
)

1 

x 
arctg
2


31. y = cos 
33. y =
ln cos
1
x
2
e x sin ln x
37. y =
arcsin 3x
41. y =
( )
32. y = 3 ln sin
34. y = ln
ln x 2 − cos lg x
( )
tg 5 x
1
arcsin 32 x
sin 2 x
cos ln 2 3x
1 lg sin x
47. y =
3 arcsin 2 3x
e −3x + 5
49. y =
tg ln (7 x + 8)
1
x2
1 + sin x
+ 2 arctg 3x
1 − sin x
sin e x ⋅arctg x
36. y =
1
ln
x
1
38. y =
3 arctg 5 cos 2 x
ctg
arccos3 x
43. y = ln
45. y =
1
2x
30. y =
arctg e 3x
1
3
)
cos3
e5 x
35. y = 4 2 arctg 3 x ⋅ cos e 4 x
39. y =
(
3 arccos 2 e 2 x − 1
28. y =
tg 3x
3
5 arcsin 53x − 8
29. y =
ctg 5x
tg 3 ln x
26. y = 2
x −1
40. y = 3
1
x
⋅ sin cos 2 x
 sin 2 5x 

42. y = arccoa 

x


44. y = 5
46. y =
3 lg
1
cos 2 x
cos 2x
sin lg 3 5x
sin 2 3x − 1
48. y =
52 x + 5
1
ln ⋅ sin
x
50. y =
3
cos 2x
114
tg 3ln x
51. y =
sin (cos x )
53. y =
55. y =
e x − e−x
5
tg 3 x
5
(
+ 3x
)
2
)
1
x
tg ln − 32 x + 8
2
2
61. y = 3
63. y = e
)
1
x
)
arcsin x 3 − 1
56. y =
ln 2 x
ln cos 2 x
58. y =
ln sin 2 x
60. y =
62. y =
1
x 2 sin
x
2 x + lg
(
(
cos3 2 x
(x
cos lg x
ln 1 − 83x
54. y = log 3 arcsin
sin cos 2 3x
57. y =
1
arctg
x
59. y =
52. y =
arcctg cos x
ln x 2 + 5x
(
)
( x )5
tg
sin x
2
arctg 3 cos x
64. y =
sin ln x
1
lg x
1
lg 2x
cos ln 3x
65. y =
arcctg 2 sin x
66. y =
1
arctg lg
2x
67. y =
5x
3
arctg 2 cos x
68. y =
1
sin 3
x
x
2
69. y =
ln tg x
70. y = arcsin
2
x 2 cos
1
ln x
71. y =
arctg x
72. y =
sin 3
3 ⋅ 3 arcsin
73. y =
5
arcsin
1
ln x
e 3x
1
lg (− x )
1
x

sin 3  arctg 
2

5
74. y =
7⋅
4
arctg
1
cos 2 x
115
1
75. y = arcctg
77. y =
76. y =
sin 2 x
arccos 5x
1
lg
x
78. y = 3
1
x
79. y =
1
cos tg
x
ln 3
1
81. y = sin
lg ctg 2 x
3
83. y = 2
sin 2 ln
1
1
ln
tg x
87. y =
sin ln x
1
arcsin
x
1
89. y = sin ln x − 5 arctg e
2
93. y =
80. y = cos 2
1
ln tg 3 x
82. y =
1
88. y = 12
5x

1
1 

arctg  tg 2 x + log 3
2
cos
x


tg lg
1
cos x
π

− cos 2  + x 
2


+ arcsin 1 − e x
1

arcsin tg  + 5 
x

90. y =
5 x −1
e
1
1 ctg x ⋅sin cos 2 x
92. y =
⋅
ln 3
94. y = lg 3 tg
1
7
x
1
tg 3x
86. y = cos 3 lg
1
x
2
arctg x
95. y =
cos
2
ctg 3 x
cos lg
5
1
84. y =
1
ln
sin 3x
ln arccos
91. y =
1
x 2 ⋅ arctg
2
tg 3 x
5
85. y =
ln cos 3x
arcsin 2 x
1
3 ln x + 5
cos tg x
sin
96. y =
1
sin x
116
 1 

 x3 
97. y = arcsin log 2  −
99. y =
98. y = sin 3 lg
1
8x
1
1
cos lg
16 x
2
1
arcsin 7 x
100. y = cos 5 lg
IV. Найти пределы, используя правило Лопиталя
2. lim x 3 e − x
e 3x
1. lim
x → 0 sin 5 x
(
3. lim x +
x →0
x →0
)
x 3 − 7 x 2 + 4x + 2
4. lim
x →1
x 3 − 5x + 4
1
x x
e
x cos x − sin x
x →0
x3
5. lim
 x
1 

7. lim 
−
x →1  x − 1
ln x 
9. lim ( tg x )
2x − π
x→
π
4

x 
tg

8. lim  2 −
x →5 
5 
πx
10
1
10. lim ( cos 2 x ) x 2
x →0
11. lim
x →0
3
1
+
x ln x
12. lim (x tg x )
x →0
 2

13. lim  + 1
x →∞  x

x
x − sin x
x →0
x3
15. lim
1
17. lim ( tg x ) x − π
x→
e7 x − 1
6. lim
x → 0 tg 3 x
π
4
4
19. lim (1 − x )
log 2 x
x →1
14. lim x ⋅ sin
x →∞
16. lim
x →0
1
ln x
3
x
tgx − x
x − sin x
1 − cos x
x → 0 x sin x
18. lim
ex − 1
20. lim
x → ∞ 2 arctg x − π
117
1− x
πx
x →1
1 − sin
2
21. lim(1 − x )
1− x
22. lim
x →1
7 2 x − 52 x
23. lim
x → 0 2 x − arctg 3x
24. lim 
25. lim (1 − sin 2 x )
26. lim
tg
6−x

x →3  3 
tg x
π
x → tg 5 x
ctg x
x →0
πx
6
2
27. lim (ln 2 x )
x →∞
1
ln x
ln ( x +1)
 ln (2 − x )
 1

29. lim 
x →1  x 

(
)
31. lim x + 1
x →0
2
1
x
35. lim
x →0
(
)
ln e x − 1
37. lim
π
x→ −0
2
ln x
3
x
30. lim
x →∞

πx 

5
tg

32. lim tg
x →1
4 
10 2 x − 7 − x
33. lim
x → 0 2 tg x − arctg x
1
e x − e−x
28. lim
x → 0 tg 2 x − sin x
(tg x )ctg x
πx
4
7
 1
36. lim  
x →0  x 
tg x
e x − e −2 x
38. lim
x → 0 x + sin x
1
1+ 2 ln x
ln x
39. lim
x →1 1 − x 3
40. lim x
ex − 1
41. lim
x → 0 sin 2 x
42. lim (x − 1)ln (2 x −1)
 1

5

43. lim 
− 2
x →3  x − 3
x − x − 5 
ex − 1
45. lim
x → 0 tg x − x


34. lim 5
− 7
x →1 x − 1
x
1
−


x →∞
1
x →∞
44.
1
lim x x −1
x →1
46. lim
x →∞
x
x
118
 1
1 

47. lim  − x
x →0  x
e − 1 
49. lim
x →0
51. lim
x→
π
4
53. lim
x →0
ln cos x
x
x →0
50. lim
x →0
tg x − 1
2 sin x − 1
x − sin x
x + sin x
x 3 − 125
57. lim
x → 5 x 4 − 625
54. lim
56. lim
x 2 − sin 2 x
x 2 − tg 2 x
x →0
58. lim x 2 sin x
x →0
−x
60. lim
(e
62. lim
cos x ln (x − a )
ln e x − e a
x →0
2
ex − 1 − x 2
65. lim
x →0
sin 3 2x
x →0
ln x
ln sin x
x
+x
)
2
x
(
)
e x − e − x − 3x
64. lim
x →0
x − sin x
2
ex − 1
63. lim
x → 0 cos x − 1
67. lim
tg 2 x
x 2 − sin x
x2
x →∞



66. lim
ln sin 3x
ln sin x
68. lim
[(π − 2 arctg x ) ln x ]
x →0
x →∞
69. lim
[x (e
−1
70. lim
[x e ]
71. lim
( tg x )2 x − π
72. lim
(e
x →∞
x→
π
2
1x
73. lim x tg 2 x
x →0
1
x →0
tg 2 x

1
61. lim 1 + 2
x →∞
 x
(1 + sin x )
2
52. lim x x
x →0
x − arctg x
55. lim
x →0
sin x
1
59. lim  
x →0  x 
48. lim (ln (x + e ))
1
x
)]
x →0
x →∞
74. lim
x → +0
2 1 x2
3
x
+x
)
1x
x ln x
119
75. lim cos x tg 5x
π
x→
2
76. lim x 2 e
x →0
(
77. lim ctg x ⋅ ln x + e x
x →0
)
78. lim sin (2 x − 1) ⋅ tg π x
x→
1
2
m
1
( ln x )x
79. lim
x → +∞
80. lim x x
(
)
3
x x
1+ e
x → +∞
( x − 1)ln 2(x −1)
84. lim
x →1+ 0
5
ln x
(ctg 3x )
87. lim
(cos 2x )x 2
x → +0
86. lim
x →0
3
88. lim
x →∞
( arcsin 3x )tg
(x + )
1
x x
2
1
x  cos 2 x

2


89. lim  ctg
x→π
4

x
91. lim  2 − 
x →3 
2
x
5
(cos 3x ) x 2
85. lim
x →0
−1
m

82. lim  cos 
x →∞ 
x
1
x →0
2
x →1
81. lim
83. lim
x

1
x  sin π
ln

90. lim  tg
x→π 
4 
1
tg 6

x
π
92. lim  tg  x − 2
π
 2
x→
2
93. lim
x→
π
2
(sin x )3 tg x
x→
ln (3 _ 2 x )
− 1  ln (2 − x )
 2x
 x
95. lim 
x →1
97. lim
x →0


( cos x ) ctg 2 x
π
2

x
99. lim  tg 
x →0 
2
x
2
x

2
1
ln x
96. lim
(ln 2x )
98. lim
(1 + sin x )
x →∞
x →0
sin 2


94. lim  ctg
1
π
−x
2
100. lim
x →0
2
(x )
2
1
x − 3x
3
1
tg 2 x
120
V. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в
заданной точке
1. y =
x 4 + 3, x 0 = 1
x = t + 6 t 2 ,
2. 
x 0 = −3
y = 1 − t,
3. y =
x 5 + 4, x 0 = 2
x = t 3 − t 2 ,
4. 
 y = 2 + 4 t , t 0 = −1
5. y = 5 x 3 + x 2 ,
x 0 = 11
7. y = tg 2 x,
x0 = 0
9. y = ln 2 x ,
x0 = 0
(
)
x = ln 1 + t 2 ,

11. 
1
y
=
arctg
t
,
t
=
−

0
6

13. y = arcsin
15. y =
x −1
, M (1; 0)
2
1 + 2x
, x0 = 2
1 − 2x
x = cos 2t ,

6. 
π
 y = tg (t + π ), t 0 = 3
x = sin (t − 3 π )

8. 
π
(
)
y
=
tg
2
t
−
π
,
t
=
0

6
3x − 4
10. y =
, M 0 (2;2)
2x − 3
12. y = 5 x −1 ,
x0 = 3
x = 2 ln ctg t + 1

14. 
π
y
=
tg
t
+
ctg
t
,
t
=
0

6
16. y = arccos 3x,
 π
M 0; 
 2
x = 5 (sin t − t cos t )

17. 
π
(
)
y
=
5
cos
t
+
t
sin
t
,
t
=
0

4
x = 2 e t
18. 
 y = e − t , t 0 = 0
2x + 4 x
19. y =
, x 0 = −8
x−3 x
x = sin t

20. 
π
 y = cos 2t , t 0 = 6
121
x = t − ln cos t

21. 
π
y
=
t
+
ln
sin
t
,
t
=
0

4
22. y = x 3 + 2x 2 − 4x − 3, x 0 = −2
x = arcsin (t + 1)

23. 
1
y
=
arccos
, t 0 = −1

2
1+ t

3x + 4 x
24. y = 2
, x0 = 1
3x − x
x 2 − 3x + 6
 2
25. y =
,
M
3; 3 
x2
x = ln 1 + t 2
26. 
 y = t − arctg t , t 0 = 1
2x + 1
, M (1; 3)
x
x = 2 ln ctg t + 1,

28. 
π
y
tg
t
ctg
t
,
t
=
+
=
0

4
27. y =
(
)
29. x 2 + y 2 − 2x + 4 y − 3 = 0, x 0 = 1
x = 5 sin 3 t

30. 
π
3
 y = 5 cos t , t 0 =
3

x2 + 3 x
31. y =
, x 0 = −8
x −3 x
x = arcsin (t + 1)

32. 
1
y
=
arccos
, t 0 = −1

2
1+ t

(
)
x = ln 1 + t 2
33. 
 y = t − arctg t , t 0 = 1
35. x 3 + y 2 + 2x − 6 = 0, y 0 = 0
37. y =
1
 1
, M  2; 
3x + 2
 8
1 + ln t

x = t 2
39. 
 y = 3 + 2 ln t , t = 1
0

t
t

x = cos
34. 
2
 y = t − sin t , t 0 = π
2x + 1
36. y =
, M (1, 3)
x
3t

x
=

1 + t3
38. 
 y = 3t , t = 1
0

1 + t3
x = t (1 − sin t )
 y = t ⋅ cos t , t 0 = 0
40. 
122
x = ln t

41. 
1  2
 y = 2  t + t , t 0 = 1

x = 4 sin 3 t

42. 
π
3
 y = 4 cos t , t 0 =

4
x
2

43. y = 2
, M  − 2; − 
5
x +1

x 2 − 3x + 3
44. y =
, M (3;1)
3
45. x 5 + y 5 − 2 x y = 0, y 0 = 1
x = 2 ⋅ e t
46. 
 y = e − t , t 0 = 0
x = t 3 + 1,
47. 
 y = t 2 , t 0 = −2
48. y =
x = 2 cos t

49. 
π
 y = sin t , t 0 = − 3
t +1

x
=

t
50. 
 y = t − 1 , t = −1
0

t
x = 3 cos t

51. 
π
y
=
4
sin
t
,
t
=
0

4
1 + 3x 2
52. y = 2
, M (1,1)
x +3
1 + ln t

x
=
2

t
53. 
 y = 3 + 2 ln t , t = 1
0

t
54. x 2 + 2 x y 2 + 3 y 4 = 6, M (1, − 1)
55. y 2 = 2 p x , x 0 = 1
x = 4 sin 3 t

56. 
π
3
 y = 4 cos t , t 0 =
6

6t

x
=

1+ t2
57. 
2
y = 6 t , t = 2
0

1+ t2
x = 2 t cos t

58. 
π
y
=
2
t
⋅
sin
t
,
t
=
0

2
x = ln 1 + t 2
59. 
 y = t − arctg t , t 0 = 1
x 2 y2
60.
−
= 1, M (− 9, − 8)
9
8
(
)
2x
, M (1;1)
x2 +1
123
3x − 2 x 3
 1
61. y =
, M 1, 
3
 3
t

x
=
arcsin


1+ t2
62. 
 y = arccos 1 , t = −1
0

1+ t2
x = t − t 4
63. 
 y = t 2 − t 3 , t 0 = 1
x = 2 cos3 t

64. 
π
3
y
=
2
sin
t
,
t
=

0

4
x2
 17 
65. y =
+ 3, M  2, 
10
 5
x 2 − 2x − 3
5

66. y =
, M  − 2, 
4
4

67. y = 8
4
x − 70, M (16, − 54)
x = t 3 + 1
69. 
 y = t 2 + t + 1, t 0 = 1
71. y = 6
6
x−
16
4
x
3
, x0 = 1
x = sin t

68. 
π
3
y
=
cos
t
,
t
=
0

6
x = 2 tg t

70. 
π
2
3
=
+
=
y
2
sin
t
sin
t
,
t
0

4
3x − 2 x 3
72. y =
, x0 = 1
3
(
(
)
)
x = 2 tg t

73. 
π
2
3
y
2
sin
t
sin
t
,
t
=
+
=
0

4
1
75. y =
, x0 = 2
3x + 2
2 x8 + 2
74. y = −
, x0 = 1
3 x4 +1
x = 3 cos t

77. 
π
y
=
sin
t
,
t
=

0

3
1 2 1 4

x
=
t − t

2
4
78. 
y = 1 t 2 + 1 t 3 , t 0 = 0

2
3
1+ 3x2
79. y =
, x0 = 1
3 + x2

1 + t3
x = 2
t +1
76. 
y = t , t = 2
0

t2 −1
80. y =
1+ 2 x
, x0 = 4
1− x
124
x = t (t cos t − 2 sin t ),

81. 
π
(
)
y
=
t
t
sin
t
+
2
cos
t
,
t
=
0

4

2 t + t2
,
x =
3

1+ t
82. 
2
y = 2 t − t , t = 1
0

1 + t3
x = 1 − t 2 ,
83. 
 y = t − t 3 , t 0 = 2
84. x 2 + y 2 − 4 = 0, x 0 = 1
x 2 + 3x
85. y =
, x 0 = 12
x −5
x = sin 2 t
87. 
 y = cos 2 t , t 0 = 2
x = t (1 − sin t ),
 y = t ⋅ cos t , t 0 = 2
86. 
 1+ t
x = t 2 ,
88. 
y = 3 + 2 , t 0 = 5

6
2 t2 t
x = 5 (t sin t + cos t )

89. 
5
 y = 5 (sin t − t cos t ), t 0 = 4
90. 
x = t 2 + 3 t 4
91. 
 y = t 2 − t , t 0 = 2
92. y =
x = 3 sin 3 t

93. 
π
3
 y = 3 cos t , t 0 =
6

95. y =
1
, x0 = 3
3x + 1
x = 2 t ⋅ cos t ,

97. 
π
y
=
2
⋅
sin
t
+
sin
t
,
t
=

0

2
x = sin t
99. 
t
y = 3 , t 0 = 0
x = sin t
t
y = 2 , t 0 = 0
3
x +1
, x0 = 8
2
x
x 2 + 3x 5 − 71
94. y =
, x0 = 1
8
96. y =
x +1
, x0 = 2
x2 −1
98. y = x 7 − 8 x 3 − x , x 0 = 4
x = t + 1
100. 
2
3
y = t − t , t 0 = 3
125
VI. Провести полное исследование функции и построить ее график
1− x2
1. y =
x−2
x
3. y = 3
x +2
4 − x2
4. y =
x+3
x 3 − 3x
5. y = 2
x −1
x2 −1
6. y = 2
x +1
7. y = e 2 x − x
x4
2. y = 3
x −8
2
8. y
9. y = (x − 2) e
−
1
x
11. y = x 2 ln 2 x
13. y = x e
1
= x ex
10. y =
ln x
x
12. y = x e
1
−
x
14. y = x
2
2
−
1
x2
2
x
−e
15. y = x 2 ln x
16. y =
17. y = x 2 e − x
2
x3 + 4
18. y =
x2
19. y = 3 1 − x 3
x2
20. y = 2
x +4
x 2 − 2x + 3
21. y =
x+2
x3
22. y = 3
x −4
x2
23. y = 2
x −4
x2 +1
24. y = 2
x −4
25. y = x ln 2 x
26. y = ln 1 + x 2
27. y = x e x
28. y = 3 x 2 − 1
29. y =
x3
2 (x + 1)2
ln x
x2
(
x2 +1
30. y =
x
)
126
x
31. y =
3 − x2
2 − x2
32. y =
1− 4 x2
x3 + x
33. y = 2
x −1
2 x +1
35. y =
x2
x
37. y =
(1 − x )2
x4
34. y = 3
x −1
x
36. y =
1− x2
x
38. y =
(x − 1)2
x2 + x +1
39. y =
2 x2 − x −1
x2 −1
40. y = 2
x +1
x3 + 1
41. y =
x2
x
43. y =
1+ x2
42. y =
x5 − 8
45. y =
x4
1+ 2 x
47. y =
(x + 1)2
x2
46. y = 2
x +1
2x
48. y =
(x − 1)2
2 x3
49. y = 2
x −4
50. y =
x2 − 6 x + 3
51. y =
x −3
x3
52. y = 2
x −1
53. y = 2 x + 3 3 x 2
54. y = x 3 − 3 x 2
55. y = (x − 5) e x
3x
1+ x2
1
58. y =
1− x2
57. y =
44. y =
x
x −1
2
3x − 2
5 x2
2 x −1
(x − 1)2
1− x
x2
56. y =
x4 +1
59. y =
x2
60. y = x 3 − 5x + 3x − 5
61. y = (x + 1) + e x
62. y = x 4 − 12 x 3 + 48 x 2 − 50
4
127
63. y = x + 36 x 2 − 2 x 3 − x 4
65. y = x ⋅ e
3
67. y = e − x
−
1
x
64. y = e
66. y =
1
−
x2
x + 3 −x
⋅e
x
68. y = 3 x − x
4
69. y = x 2 e − x
70. y = x 2 ⋅ e − 2 x
2 x3 + x
71. y = 2
x −1
x3 + 2 x2 + 7 x − 3
72. y =
2 x2
73. y =
1
2
−
x −1 x − 2
75. y = x 4 ⋅ e − x
(
)
77. y = x 2 − 4 ⋅ 3 x 2
79. y = x 2 +
1
x2
81. y = − x 2 ⋅ e − x
4 x3 − x4
74. y =
3
76. y = (x + 1) ⋅
3
80. y = x +
86. y =
2 − 3x
5 x2
1
x
ex
82. y = x
e −1
85. y = (x + 1) ⋅ e − x
89. y =
x −1
2
84. y = x
87. y = (x − 1) ⋅ x
3
78. y = (x + 2 ) ⋅ 3 x
e 2 ⋅ ln x
83. y =
x
2
2
2
1
⋅ ex
x
⋅ ex
x −3
8 − x5
88. y =
x4
1
90. y = − x 4 − 4 x 3
5
(
x2 − 6 x + 3
91. y =
x −3
92. y =
x2 −1
93. y =
x−2
x2 − 4
94. y =
x+3
95. y = − x 2 ln x
96. y = e x
3x
+ 3x
x −1
2
−2x
)
128
1
x ex
97.
y =−
99.
x3
y=
4 − x2
98.
3 x − x3
y= 2
x −1
100.
y=
x
x2 − 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
I.
Найти область определения функции и изобразить эту область
графически.
ln(x − y )
1. z =
+ y +1
8−x − y
arccos x
2. z =
log 2 y − x 2 + 1
5
(xy )6
2
2
(
(
)
)
3. z = ln 1 − y arcsin(x − 2 y)
2
4. z =
y − 2x + 6 y − 1
ln(x + y)
5. z =
( x + 1)( y − 2)
6. z =
3
x4
1
x2
1
y2
(1 −
1
2 2
x )
−
7. z = x − y arcsin(x + 2)
8. z = x 3 − y + arccos(x + 3)
arctg( x − 1)
arccos(x − y)
10. z = y x − 1 + lg(x 2 + y 2 − 5)
9. z =
x 2 + y2
11. u = arcsin
z
x
12. z = arccos
x+y
13. f (r , ϕ) = r sin ϕ ;
14. u =
x 2 + y2 + z2 − R 2
15. z = arcsin
16. z = arcsin
(
x
y2
x
y
2
+ arcsin(1 − y )
+ arcsin(1 − y )
17. u = ln 1 − x 2 − y 2 + z 2
(
18. z = log a x 2 + y 2
19. f (r, ϕ) = r cos 2ϕ
)
)
20. z = 9 − x 2 − y 2 + x 2 + y 2 − 4
21. z = ln( − x − y)
22. z =
x 2 + y2 − x
2x − x 2 − y 2
23. u = x + y − x − y
24. u =
25. u =
1
(x − 1)(y − 2)
x 2 + 4 y 2 − 2x − 3
(
27. u = ln (y
)
26. u = ln x + y − 1
2
2
)
− 2x
 y
28. u = arcsin 
x
 x 
29. u = arcsin

x
+
y


30. u = y + arcsin (x + 2)
2
129
52. z =
 x 

2 
y 
ln (x ) ln (y )
u=
1− x − y
u = xy + arcsin (x )
u = ln (x ) − ln (sin (y ))
u = y + arcsin (x + 2)
u = ln (sin (xy ))
u = arcsin ( x )
31. u = arccos
32.
33.
34.
35.
36.
37.
 x 2 + y2 
;
53. z = arccos 

9


54. z =
x − y;
y
x
+
;
55 . z =
x−y
x+y
56. z =
38. z = x2 + y2 −1 + arcsinx + 1− y2 ;
(
)
40. z = arcsin (2 sin (x + y ));
41. z = ( x − y + x + y ) ;
1
2
39. z = (2 x − y ) + 4 − x −
2
2
1
2 2
4y ;
2
−1
42. z =
ln
(
4
x −y
2
2
;
)
1
+ 1− x2 ;
xy
( (
))
x + 2x + y
x − 2x + y
2
2
9
+ x 2 + y 2 − 9;
x + y2
 x−y 
;
1 + x 2 
(
)
59. z = sin x 2 + y 2 ;
60. z = tg (x + y );
1
+ arcsin y;
y−x
62. z = x ln y ;
1
63. z =
+ x + y;
2
ln y + x + x
64. z = (x + y ) ln (x − y );
66. z =
2
x
)
) + (x
−1
2
+ y − 4y
2
)
4 x − 2 y + x y;
67. z = 4 − x 2 − y 2 + 1 − x 2 arcsin y.
;
 x 
 + arcsin (1 − y );
2 
y
 
49. z = y sin x ;
69.
 x 2 y2

50. z = ln 
−
− 1;
4
 9

70.
48. z = ar sin 
68.
1
2
2
2
51. z = R − x − y + x 2 + y 2 − r 2 ,
(0 < r < R );
;
2
65. z = e − y
2
)
58. z = arcsin 
(
 y
46. z = arccos  ;
x
47. z =
57. z = x y + ln
(
45. z = ln cos x 2 + y 2 ;
2
(
4 x − y2
ln 1 − x 2 − y 2
61. z =
43. z = ln x 2 + y 2 − 2 x + 1 − y 2 + x ;
44. z =
− x + y;
71.
2
2
x
y
u=5
−
−1
25 9
 x 2 y2

u = log 5 
+
− 1
 25 9

2 xy
u= 2
x
y2
+
−1
25 9
u = 10x + 2 y + 19 − y 2
1
2;
(
72. u = log 3 5 y − 10 x − 2 y − 19
2
130
)
85. u = (4 x 2 − 9 y 2 − 8x + 36 y + 4 ) + 2 xy
86. u = log1 2 (4 − 4x 2 − 9 y 2 + 8x + 36y )
16
73. u = 5 y − 10 x − 2 y − 19
2
7x + 4y − 1
74. u = 2
x − 10 y − 2 x − 19
2
75. u = log 4 x − 10 y − 2 x − 19
x 2 − y3
76. u = 2
x
y2
−
−1
25 9
2
2
x
y
77. u = 4
−
−1
25 9
4x + 1
78. u =
+ log 2 − 8x − y 2
4
8x − y 2
(
(
2x 3 + e y
88. u =
4x 2 + 9 y 2 − 8x − 36 y + 4
)
(
79. u = log 5 8 y − x
87. u = 7 104 x 2 + 9 y 2 − 8x − 36 y + 4
2
) + log (x
2
2
+ 8y
80. u =
8x − y 2 + 4 y 2 + 8x
 8y 
81. u = arccos 2 
x 
 8x 
82. u = arcsin 2 
y 
x 2 + 4x + y 2
83. u = 6 2
x − 4x + y 2
(
89. u = log 5 4 y 2 − 3x 2 − 8 y − 12x − 32
)
90. u = 4 4 x 2 − 3y 2 − 8x − 12 y − 32
)
)
91.
u = 8 16 − x 2 − y
92.
u = ln y 2 + x − 16
93.
u = 4 16 − x 2 − y 2
94.
u = x 2 + y − 16
(
)
u = x 2 + y 2 − 16
5xy − y
96. u =
5x 2 − 9 y 2 − 30x − 18y − 9
97. u = ln (5x 2 + 9 y 2 + 30x − 18y + 9)
2
98. u = log 2 y − 10x − 2 y − 19
x 2 + 4 xy
99. u = 2
x − 10 y − 2 x − 19
95.
(
100. u = 10 10 x + 2 y + 19 − y
)
2
2
2
84. u = log5 (4x − 9 y − 8x + 36 y − 68) +
+ x 2 − y3
II
Вычислить частные производные и полные дифференциалы от заданной
функции.
1. z = 3 sin( x 2 + у 2 ) − 5х 3 у − 7
2. z = ln(3х + 2 у)
3. z = 8 ln(ху 3 ) + 10ху 2 − 8х
4. z = 2 xy
5. z = 2е3х + у − 2х 2 у 2 + 9 у
6. z = tg 2 x y 2
7. z = 8 cos( ху) − 3х − 12х 4 у
8. z =
9. z = 3 x 2 + y 2 − 5 x 3 + 8 y
10. z = sin 2 ( х 3 + у)
11. z = х sin( ху) + 8х 2 у 2 − 7 х
12. z = arctgxy
2
x3 − y2
131
13. z = 0,5 ln(х 2 + у 2 ) − 9 х 3 у + 2 х
14. z = x sin y
15. z =
16. z = ln sin( х 2 + y)
х + 2 у + 3х 4 у − 8 х − 2
17. z = 8е х + у − 3ху 3 + 7 х − 3
18. z = arcsin(xy + 1)
19. z = 8 ln(х 2 + у 2 ) − 6х 2 у 3 + 8х − 1
20. z = cos(sin xy)
21. z = ln x + e y
22. u = x 2 y z + e x y z
2
(
23. z =
)
y
x
xe
24. u = z ln (x + y ) + z y
26. u = x y + y z
25. z = x y
27. z =
28. u = ln (x + y z ) + x y z
y
x
e
29. z = sin (x + x y )
30. u = x e
32. u = z 2 e x + z 2 y
31. z = e x y
33. z = e cos ( x + y )
34. u = x y z + x 2 + e x y
36. u = cos (x y z )
35. z = sin 2 (y + x )
37. z =
x+y
y+z
y
40. u = x ln
z
y
x
38. u = ln
y
x
39. z = y
41. z =
z
y
x
y
42. u =
x yz
(
x
y
sin (x − y )
45. z =
x
44. u = ln x 2 + y 2 + z 2
47. z = x cos y
48. u = arctg 
x2
49. z = 2
y
50. u = z y + y x
43. z = arctg
51. z = arcsin
(
46. u = cos (x y ) + sin (y z ) + z x
 x y  xz
+e
 z 
x
y
53. z = sin x y 2
(
)
)
55. z = log 5 x 2 + y 2
)
x 2 + y2
52. u =
x+y+z
xy
54. u = 3 z ln
x+y
56. u = e x y + z x y
132
58. u = cos
57. z = x ln y
59. z = e x y
z
x
y
61. z = arctg
62. u = cos
x
y
x−y
− ln x z
xy
64. u = z ⋅ sin (x y + y z )


65. z = 2 cos 2  x −
x
y
x 2 + y2
60. u = (x − y ) ln (x y )
2
63. z = y ln
(x − y ) z
y

2
66. u = (x + z ) + x ln (y z )
y
( )
68. u = ln x 2 z + x y z
67. z = e
69. z = ln x 2 + y 2 + 2 x + 1
70. u = z y + y x
71. z = ln y + x 2 + y 2
72. u = x
(
(
y2
73. z = tg
x
y z
74. u = arccos
x
y
75. z = ln cos
77. u = ( xy)
)
)
76. u = x
z
y2
78. u = x y
z
80. u = ln x 2 + y 2
79. u = x y
81. u = arctg
y
x
82. u = z
x
83. u = arcsin
x 2 + y2
x
85. u = xy 2 z 3 + 2 3
y z
87. u = sin (x + yz)
89. u = tg (x + y )e
x y
x
y
84. u = x 2 + y 3 + 3x 2 y3
86. u = cos(xy )
y
x
90. u = x 2 + y 2 e x y
88. u = arctg
91. u = xy ln (xy )
92. u = arcsin
93. u = x
yz
y
94. u =  
x
95. u = z
x y
yz
97. u = x y z
y
x
y
z
x
x
x 2 + y2
z
96. u = x
98. z = x 2 + x y + y 2 − 2 x − 3 y
133
99. z = y 2 + y x + x + y + 10
III. Найти производную
х 3 у + у3х = 2
2.
х 2 у 2 − х 4 − у 4 = −1
3.
хе у + уе х − е ху = 0
2
3
+x
∂y
от неявно заданной функции.
∂x
26. x tg y 2 x − e x y + 2 = 0
( )
1.
2
3
27. arcsin (x + y ) + x z 2 + z y 2 = 0
28. cos (x + y ) + sin (y + x ) = 0
2
33
=
4.
y
5.
ху − ln у =
6.
ух 2 + е y−1
7.
8.
9.
уе х + е у = 2е
29. x 2 + y + z 3 + e x y z = 0
1
e −1
=2
30. x tg y + (x + y ) = 0
2
31. e z + z 2 + 2 x y = 0
32. x 2 + y 2 + x y = 0
х 2 + у 2 + lg( х + у ) = 5
3хy + уarctgx = 1
2 sin ху + xе
10.
y−
33. z − x + arctg
π
35. cos (x + z ) + sin (x y z ) = 0
12. y 2 + 3 x 2 − x z 2 − 3 y + 4 z y 2 − 1 = 0
)
13. cos 2x + y3 − 4 x y + 3 x 3 y − 2x = 0
(
)
14. e y z + sin x + z 2 − 2 y 3 + 3 x = 0
(
)
15. sin 3 y 2 + x + 3x
2
y
−2+3= 0
16. 2 z y + 3 x y − y x + x e
2
(
2
3 2
17. tg y x
)− 2 x y + y
2x
y
=0
z−x
34. x 2 y + arcsin (x + y ) = 0
=2
6
11. 2 x y − 3 x y 2 + 2 y 3 = 0
(
100. z = x 3 + 3 x y 2 − 15 x − 12 y
=0
3z
+ 3x = 0
36. x 2 y + arctg
y
=0
x
37. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y − 4 y z + 1 = 0
38. x y − ln (x y ) = 0
39. x y z − x 3 − y 3 − z 3 − 3 = 0
(
y
x
− ln = 0
z
z
18. x y − 2x y z + z y = 0
41.
19. ctg 2 y 2 x − 3 ln x y − 2 x y = 0
42. x 2 + y 2 − ln (x y ) = 0
3
2 3
( )
20. ctg (2 y x ) − 3 ln x y − 2x y = 0
2
21. z 5 − x sin (z y ) + x z = 0
22. 3 x y + e
2
3x + y
23. (2 x + 1)
=0
+ ln (x y z ) + z x y = 0
24. (4 x y + 5)
+ 2 sin x y + 1 = 0
2
(
2
25. 2 x z + x y + z = 0
3
3
2
4
3
43. x − z ln
z
=0
y
44. x 2 + e x y + x ln y = 0
3y
2 x +1
)
40. x 2 y + arccos x 2 + y 2 = 0
)
45. x 2 + 2 y 3 z + y x = 0
46. cos 2 x + cos 2 y + 1 = 0
47. e x y z + x y z = 0
(
134
)
48. x 2 y + sin x 2 + y 2 = 0
73.
49. cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z + 1 = 0
50. tg (x y ) + x 2 y = 0
51. z +
2
x
yez
76. x 2 + 2 y 2 + 3z 2 − 59 = 0
=0
77. x 2 − y 2 − z 2 + 6 z + 2x − 4 y + 12 = 0
2
53. x sin (y z ) + y cos (x z ) = 0
54. cos
2
(x
2
+y
2
)+ x y = 0
55. x 2 y z + x z = 0
78. x 2 + y 2 + z 2 = y − z + 3
79. x 3 + 2 y 3 + z 3 − 3 x y z − 15 = 0
80. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x z = 0
81. x 2 + y 2 + z 2 − x y = 2
56. x y + e y x + 2 = 0
(
74. 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 − 8 x z + 6 = 0
75. x 3 + 3 x y z − z 3 − 27 = 0
52. x − 2 y + x y = 0
2
x
y
= ln + 1,
z
z
)
82. e z + x + 2 y + z = 4
57. x y z + ln x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 0
83. z 3 + 3 x y z + 3 y = 7
58. x 2 y + sin x 2 + y 2 = 0
84. e z −1 = cos x ⋅ cos y + 1
(
)
59. tg (x y z ) + sin (x + z ) = 0
85. x y = z 2 − 1
60. tg 2 (x y ) + x y + y 2 = 0
86. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x z − 5 = 0
61. x y 2 + z 2 + e x z = 0
87. 3 x 2 y 2 + 2 x y z 2 − 2 x 3 z + 4 y 3 = 0
62. x 2 − 2 y 2 + z 2 − 4 x + 2 z + 2 = 0
88. z 2 − x y + z − x 2 + 4 = 0
63. x cos y + y cos z + z cos x = π 2
89. ln z − x + 2 y − z + ln 3 = 0
 y y
64. ln tg  − = a ,
x x
90. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x y − 2 y z − 17 = 0
65. z 3 − 4 xz + y 2 − 4 = 0,
92. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y − y z − 4x − 3y = 0
66. x 2 − 2 y 2 + 3 z 2 − y z + y = 2
93. x 2 − 2xy − 3y 2 + 6x − 2 y + z 2 − 8z = 0
67. x − y + arctg y = 0
94. e z − x y z − x + 1 = 0
68. x sin y + cos 2 y = cos y
95. x + y + z + 2 − x y z = 0
69. x 2 + 2xy + y 2 − 4 x + 2 y − 2 = 0
96. x 3 + y 3 + z 3 − 3 x y z = 4
(
)
70. ln x 2 + y 2 = a ⋅ arctg
71. z = x + arctg
y
,
z−x
72. e z = cos x ⋅ cos y
91.
y
x
x2 + y2 + z2 − 3z − 3 = 0
97. 3 x − 2 y + z = x z + 5
98. x 2 + y 2 + z 2 − z − 4 = 0
99. cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z =
100. x 2 + y 2 + z 2 − 6 z = 0
3
2
135
IV Найти уравнение касательной плоскости и нормали
к поверхности в т. M 0
y
 π
, M 0 1,1, 
x
 4
1. z = arctg
2. z = x 2 + y 2 , M 0 (1,−2,5)
π π 1
 4 4 2
3. z = sin x ⋅ cos y, M 0  , , 
19. z = 4arctg
π

M 0 1;1; ,
4

y
x
(
21. z = x 2 e 2 y − y 2 e 2 x , M 0 (1;1; 0 ),
4. x 2 + y 2 − z 2 = 0, M 0 (1,0,1)
cos 2 xy
 π 1
, M 0 1; ; ,
22. z =
x
 3 4
5. x 2 + y 2 − z 2 = −1, M 0 (2,2,3)
23. z = x y
6. x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 2, M 0 (3,2,1)
24. z =
7. z = 1 + x 2 + y 2 , M 0 (1,1,3)
8. y = x + z , M 0 (1,5,2 )
2
(
2
)
M 0 (1; 1; 1),
27. z = (1 + x y )
2
12.
x 2 + y 2 − xy, M 0 (3,4,−7 )
2
2
x
y
z
−
+
= 0, M 0 (4,3,4)
16 9
8
x 2 y z + 2 x 2 z − 3 x y z + 2 = 0,
13.
M 0 (1, 0, − 1);
x 2 y2 z 2
+
−
= 0, M 0 (4, 3, 4);
16 9
8
14.
15. x + 2 y − 4z = 5, M 0 (1, 2, 1);
2
2
2
16. z = x 2 − y 2 , M 0 (1, 1, 0).
17. z = sin x ⋅ cos y
π

M 0  ; 1; 0 ,
4

x
y
10. x 2 − y 2 + z 2 = 1, M 0 (1,1,1)
11. z =
M 0 (1; 1; 1),
25. z = x ye sin π x y
9. z = ln x + y , M 0 (1,0,0 )
2
1

M 0 1; − 1; ,
2

y
x 3 − y3
26. z = ln tg
2
)
20. z = x + y − e x − 2 y , M 0 1; − 1; − e 3 ,
M 0 (1; 1; 2 )
y
28. z = sin x ⋅ cos y π , M 0 1; 2 ;1,
2
x
 π 
29. z = xy ln (x + y )
M 0 (1;1; ln 2 ),
30. z = ln (x + ln y )
M 0 (1;1;0 ),
y
z = (sin x )
31.
y
π 1
M 0  ;1; ,
 6 2
32. z 3 − 4 xz + y 2 − 4 = 0 , M 0 (1;−2;2)
x 2 y − e xy + z 2 − sin z + 1 = 0 ,
33.
M 0 (1;0;0).
(
)
34. z 2 − x 2 xyz − y 5 = 5 , M 0 (1;1;2)
(
)
π π 1
M0  ; ; 
 4 4 2
xy − ln e xy + e − xy + z = 0 ,
35.
M 0 (0;0;−1).
x
 πa

; a; a ,
18. z = y tg , M 0 
a
 4

x 3 + y 2 − 4xy + 3 = 0 ,
36.
M 0 (1;−2;2)
136
x 2 + y + z 2 + 4z = 0 ,
37.
M 0 (2; − 1; − 1).
x (y + z )(x y − z ) + 8 = 0 ,
38.
M 0 (2;1; 3)
(z
52.
)
− x 2 x y z − y5 = 5 ,
M 0 (1;1;2)
53.
2
2x 2 2 y 2 + z 2 + 8xz − z − 8 = 0 ,
M 0 (0; 2; 0).
39.
x 2 y − e x y + z 2 − sin z + 1 = 0 ,
M 0 (1; 0; 0).
2x 2 + y 2 + 2z − xy − xz = 3,
54.
M 0 (1;1;1)
40.
2x 2 + y 2 + 2z − xy − xz = 3,
M 0 (1;1;1)
55. e z − x y 2 z = e
x + 2 y − ln z + 4 = 0 ,
M 0 (2; − 3;1)
41.
4 + x + y + z = x + y + z,
2
42.
2
2
M 0 (2; 3; 6)
(
)
xy − ln e xy + e − xy + z = 0,
43.
M 0 (0; 0;1).
44. z 3 + y 2 − 4 xz + 3 = 0 (1; − 2; 2 )
45.
46.
z2 − y2 − z2 +
M 0 (1; 2; 0 ).
2
= 0,
x
x (y + z ) ⋅ (x y − z ) + 8 = 0,
M 0 (2;1; 3)
47. x 2 + 2 y 2 − 3 z 2 + x y + y z − 2 x z + 16 = 0
M 0 (1; 2; 3)
48. 2 x y +2 y z = 8
M 0 (2; 2; 1).
49. x + 2 y + 3z + 2 xy + 2 xz + 4 yz = 8 ,
M 0 (0; − 2; 0)
2
50.
2
2
xy
z ln (x + z ) −
= 0,
z
M 0 (0;1;1).
51. z = x 2 e 2 y − y 2 e 2 x M 0 (1; 1; 0 ),
M 0 (1;1; 0 ).
56.
x 2 + 2 y 2 − 3z 2 + xy + yz − 2 xz + 16 = 0,
M 0 (1; 2; 3).
57.
2x z + 2y z = 8
M 0 (2; 2;1).
2
2
2
58. x + 2 y + 3z + 2xy + 2 xz + 4 yz = 8 ,
M 0 (0; − 2; 0 ).
59.
60.
xy
=0 ,
z
z ln (x + z ) −
M 0 (0;1;1)
4 + x 2 + y2 + z2 = x + y + z ,
M 0 (2;3;6)
M 0 (1;1;0 )
61. e z − xy 2 z = e
2
2
2
62. x + 2 y − 3z + xy + yz + 16 − 2xz = 0 ,
M 0 (1;2;3).
63. z = x ln
y
,
x
M 0 (1;1;0),
64. z = x y + 3
1
65. z =  
 3
66. z = ln tg
67.
y x
y
, M 0 (1;1;2),
x
 1
M 0 1;1; ,
 3
π

M 0  ;1;0 ,
4

x
y
M 0 (1; 1; 1),
z = xxy
68. z = (x + 2 y )
x +2y
, M 0 (1;1; 2 z ),
137


π
4
69. z = arctg x y , M 0 1;1; ,
70.
z = 4 e −2 y + (2 x + 4 y − 3) e − y − x − 1,
(
M 0 − 1;1; 4e
−2
−e
73.
74.
)
1

M 0 1; − 1; ,
2

y
71. z = 3
x − y3
72.
−1
1

M 0 1; 1; ,
2

xy
z=
x 2 + y2
1

M 0 1; 1; ,
e

z = x e −x y
1

M 0  π; 1; ,
e

z = e y cos x
z = x − y + arctg y ,
75.
π π

M 0  − 1; ; − ,
4 4

77. z = 4 x − x y + y 2
M 0 (1; 1; 4 ),
42
79. (y − 1) =
(z − 1) , M 0 (1, 5, 6)
5
2
52
80. (z − 1) = −
(y − 1),
4
M 0 (1, − 3, 6 )
2
81. (y − 1) = −
2
M 0 (2, 5, 5)
(
2
4
(x − 1) ,
5

2
x2 z2

85. 2 + 2 = 1 , M 0  2 , 3,
2 1
2


86. x + y − z + 1 = 0 , M 0 (1;1; 3)
2
5
2
(
)
x 2 y2
87. 2 − 2 = 1 , M 0 2 2 , 3, 1
2 3

x 2 y2
3 2 
88. 2 + 2 = 1 , M 0  2 ,
, 1
2 3
2


x 2 z2 y2
89. 2 + 2 − 2 = −1 ,
1 5 4
)
x 2 y2 z2
90. 2 + 2 − 2 = 0 ,
1 4 5
(
M 0 1, 4, 5 2
)
x 2 y2 z2
91. 2 + 2 − 2 = −1 ,
1 4 5
(
M 0 1, 4, 5 3
)
x 2 y2 z2
92. 2 + 2 − 2 = 1 , M 0 (1, 4, 5)
1 4 5
93. x + y + z − 3 = 0 ,
2
2
2
M 0 (− 1; − 1;1)
94.
x2
3
2 1
82. (x − 1) = (z − 1) , M 0 (2, 4, 6 )
)
y2 z2
84. 2 − 2 = 1 , M 0 2, 3 2 , 1
3 1
(
1

M 0 1; π; ,
e

78. z = e x cos y
4
M 0 1, 4 3, 5
 πa 
M 0  a; ; a ,
 4 
y2
76. z = x tg
a
2 1
83. (x − 1) = (y − 1) , M 0 (2, 5, 5)
2
(
M 0 3,
+
z2
4
2
−
3, 4
)
y2
2
= −1 ,
1
95. x − y + z − 1 = 0 , M 0 (1;1;1)
2
2
138
x 2 y2 z2
96. 2 + 2 − 2 = −1 ,
3 1 4
99. − x + y + z + 1 = 0 ,
M 0 3, 1, 4 3
x 2 y2 z2
+
−
= 0,
,
100. 32 12 4 2
M 0 3,1,4 2
(
)
x 2 y2 z2
+ − =1 ,
97.
32 12 4 2
M 0 (3, 1, 4 )
2
2
M 0 (− 1;1; − 1)
(
)
x 2 y2 z2
98. 2 + 2 + 2 = 1 ,
3 1 4

3 4 3

M 0  3,
,
3
3


V Найти экстремумы функций нескольких переменных
1. z = х 2 + ху + у 2 − 3х = 6 у − 2
2. z = 2х − ху + у − 3х − у + 1
2
2
3. z = 3х 2 − 2ху + у 2 − 2х − 2 у + 3
16.
5. z = х − 3ху − у − 2х + 6 у + 1
2
6. z = 3х + ху − 6 у − 6 х − у + 9
2
18.
2
7. z = х − 3ху + 2 у − 4х + 6 у − 2
2
2
8. z = 4х 2 − 2ху + у 2 − 2 х − 4 у + 1
20.
2
10. z = 8х 2 − ху + 2 у 2 − 16х + у − 1
11. z = 2 x 2 + 4x y − y 2 + 4 x − 4
12.
z = 5 x 2 − 3 x y + y2 ,
D : x ≥ −1, y ≥ −1, x + y ≤ 1
13. z = 3 x 2 − 3 x y + 2 y 2 + 4 y + 2
14.
21.
22.
15. z = x 2 + x y + 2 y 2 + 8 x + 4 y − 2
D:4 x 2 − 4 ≤ y ≤ 0
z = x 2 + x y,
D : − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3
z = 4x 2 − 3x y + 2y2 − 5x + 3y + 8
z = x 2 − x y + y 2 − 4 x,
D : x ≥ 0, y ≥ 0, 2 x + 3 y − 12 ≤ 0
23. z = 5 x 2 − x y + 2 y 2 − 3 x + 5 y + 9
24.
z = 10 + 2 x y − x 2 ,
D :0 ≤ y ≤ 4 − x 2
z = x 2 + x y − 2,
19. z = 3 x 2 + 4 xy + y 2 − x + 2 y + 7
9. z = 0,5х + ху + у − х − 2 у + 8
2
D : x ≥ 0, x + y − 2 ≤ 0, y ≥ 0
17. z = 2 x 2 − 5 x y − y 2 + 4 x − y + 3
4. z = 2х 2 + ху − у 2 − 7 х + 5 у + 2
2
z = x 2 + 2 x y − y 2 + 4 x,
25.
z = x 2 + 3 y 2 − x − y,
D : x ≤ 1, y ≤ 1, x + y ≥ 1
x 3 + y 3 − 3 x y,
D : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
26. z = 3 x 2 − 5 x y + 2 y 2 − x + 2 y + 5
139
27.
z = x 2 − 2 y 2 + 4 x y − 6 x − 1,
D : x + y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0
28. z = 5 x 2 − x y + 2 y 2 − 3 x + y + 1
29.
z = x y − 2 x − y,
D : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4
30. z = 3 x 2 − 2 x y + y 2 + 6 x + 7 y − 2
z=
31.
1 2
x − x y,
2
1
D : y ≤ 3, y ≥ x 2
3
z = 2 x + y − x y,
33.
D : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4
34. z = 3 x 2 + x y + 5 y 2 − x − y + 2
z = x + 2 x y − 4 x + 8 y,
2
D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
36. z = x 2 3 x y + 2 y 2 − 3 x + 4 y + 3
z = x + y − x y + x + y,
2
37.
2
D : x + y + 3 ≥ 0, x ≤ 0, y ≤ 0
2
2
38. z = 2 x + 5 x y + y + x + 2 y − 1
39.
40. z = x 2 + 3 x y − 2 y 2 + 3 x − y − 1
z = x + 2 x y − y − 2 x − y,
2
41.
2
D : y ≤ x + 2, y ≥ 0, x ≤ 0
42. z = 3 x 2 − x y + 4 y 2 + x − 5 y + 6
43.
47.
z = x 2 2 x y + 2 y 2 + 4 x + 1,
D : x + y + 1 ≤ 0, y ≥ 0, x ≥ −3
44. z = x 2 + 3 x y + 2 y 2 + 2 x + y − 3
z = 5 x 2 − 3 x y + y 2 + 4,
D : x + y − 1 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0
48. z = x 2 + 3 x y − y 2 − 2 x − y + 3
z = x 2 + y 2 − x y − x − y,
D : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 3 − x
50. z = 2 x 2 − 4 x y + y 2 − 2 x + 6 y + 3
51.
z = x 2 + y 2 − 9 x y + 1,
D : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3
52. z = 3 x + 6 y − x 2 − x y + y 2 = 7
53.
z = x 2 + 2 y 2 + 1,
D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3
54. z = x 2 − x y + y 2 + 9 x − 6 y + 20
55.
3 − 2 x 2 − x y − y2 ,
D : x ≤ 1, y ≥ 0, y ≤ x
56. z = x 2 + 2 x y + 4 y 2 + 2 x − 8 y + 1
57.
z = x 2 + 2 x y − y 2 − 4 x,
D : y − x − 1 ≤ 0, y ≥ 0, x ≤ 0
D : x + y + 2 ≥ 0, x ≤ 0, y ≤ 0
46. z = 2 x 2 + 5 x y + x + y − 5
49.
32. z = 2 x 2 + 5 x y + 7 y 2 − x + 2 y − 1
35.
45.
z = 4 x + 2 y + 4 x 2 + y 2 + 6,
z = x 2 + 3 y 2 + x − y,
D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1
58. z = 5 x 2 − 8 x y + 2 y 2 + 2 y + 2
59.
z = x 2 + 2 x y + 2 y,
D : − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
60. z = xy 2 (1 − x − y ) (x > 0, y > 0 )
61. z = 3x 2 − x 3 + 3y 2 + 4 y
62. z = xy +
50 20
(x > 0, y > 0)
+
x
y
63. z = x 2 + y 2 − 2 ln x − 18 ln y (x > 0, y > 0)
140
65. z = 2 x 3 − xy 2 + 5x 2 + y 2
(
)
(
66. z = 2 x + y e
− x 2 + y2
67. z = 2 − x + y
2
2
2
2
3
84. z = 2 x 3 − x y 2 + 5 x 2 + y 2 ;
)
85. z = x 3 + y 3 − 9 x y + 27;
86. z = y 3 − 2 x 2 y + 3 y 2 + 2 x 2 ;
87. z = x 4 + y 4 − 2 x 2 + 4 x y − 2 y 2 ;
68. z = x + xy + y − 2x − y
2
3
88. z = y2 − 2 x + x 2 − 2 y − 4 x y + 8;
69. z = 2 x + 3x − 6xy
3
2
(
90. z = 6 x y − 9 y2 − 9 x 2 + 4 x + 4 y;
71. z = − x + 3x − xy − y + 6 y
2
2
72. u = x − xy + y
2
2
73. u = x − xy − y
2
2
91. z =
2
75. u = x + y − x − 2 xy − y
3
3
2
76. u = x − 2 y − 3x + 6y
3
3
77. u = x − 2 x y + y
3
79. u = e
80. u = e
(
2
x+ 2 y
x−y
(x
(x
2
2
2
−y
2
)
82. u = ( x − 2 y) e
(
)
(
(
− x +y
83. u = x yln x 2 + y 2
)
2
93. z = x 2 + y 2 e − (x
(
)
2
+ y2
);
94. z = 5 x 2 − 3 x y + y 2 ;
96. z = y x − y 2 − x + 6 y;
− x2 + y2
2
2
95. z = x y (1 − x − y );
4
− 2 xy + 2 y
81. u = x + 2 y e
2
2
8 x x > 0,
+ , 
x y  y > 0.
92. z = x 2 + 2 x y + 4 x − y 2 ;
74. u = x − 2 xy + 2 y + 2 x
2
)
89. z = x y ln x 2 − y 2 ;
70. z = x 2 + 8 y 2 + 6xy − 1
)
)
2
)
(
97. z = 1 − x 2 + y 2
98. z = x
1
2
)
32
;
(x + y ).
2
99. z = x 2 − x y + y2 + 9 x − 6 y + 20;
100. z = x 3 + 8 y 3 − 6 x y + 1;
141
§5. Правила выполнения и оформления контрольных работ
1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради. Необходимо оставлять поля шириной 4 - 5 см для указаний и замечаний рецензента.
2. На обложке тетради должны быть написаны фамилия, инициалы, номер зачетной книжки студента, название дисциплины, номер контрольной работы , название учебного заведения, дата отсылки в УГНТУ и
адрес студента.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании,
строго по положенному варианту. Варианты определяются преподавателем.
4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров задания, сохраняя номера задач.
5. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, делая необходимые чертежи.
6. Номер варианта определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки.
В случае незачета и отсутствия прямого указания рецензента о том, что
студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
§6. Календарный план курса математики для студентов -заочников
инженерно- технических специальностей
1. Содержание лекций. Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Решения систем линейных уравнений с тремя неизвестными. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица и ее единственность. Однородные системы 2-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Скалярные и векторные
величины. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их
свойства. Условия перпендикулярности, коллинеарности и компланарности
векторов.
Уравнение плоскости и прямой, проходящей через данную точку с заданным вектором нормали. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей (прямых). Уравнение прямой с угловым коэф-
142
фициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до
плоскости.
Кривые второго порядка. Приведение уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду. Полярная система координат. Поверхности второго порядка. Введение в математический анализ функции одной переменной. Предел
функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Непрерывность функции в точке.
Точки разрыва и их классификация. Непрерывность элементарных функций.
Математический анализ функции одной переменной. Производная функции.
Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Таблица производных. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
Повторное дифференцирование. Дифференциал. Его свойства и приложения в
приближенных вычислениях. Признаки монотонности экстремумов функций,
выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Правило Лопиталя - Бернулли. Асимптоты. Необходимое и достаточное условия их существования. Исследование
функции и построение ее графика.
Понятие функции нескольких переменных и ее график. Полное приращение, полный дифференциал. Частные приращения, частные производные и их
геометрический смысл для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной
области.
2. Содержание практических занятий.. Определители и их свойства.
Матрицы. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод, метод Крамера и Гаусса. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве.
Кривые второго порядка.
Пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
Дифференцирование функций. Экстремумы функции. Выпуклость, вогнутость,
точки перегиба. Асимптоты функции. Исследования функции и построение ее
графика.
Частные производные. Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.
143
Список литературы
1. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии /Под ред.
Н.В. Ефимова. - М.: Наука, 1986. - 224 с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс
1962. - 228 с.
аналитической геометрии - М.: ГИФМЛ,
3. Данко П.В., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1980. - Ч. 1 - 320 с.
4. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы
математического анализа. /Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981. - 368 с.
5. Пискунов Н.Г. Дифференциальное и интегральное исчисления - М.:
Наука, 1985.- Т. 1 - 456 с.
6. Пискунов Н.Г. Дифференциальное и интегральное исчисления - М.:
Наука, 1970. -Т. 2 - 576 с.
7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1976. - 320 с.
8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984 - 432 с.
9. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968. - 336 с.
10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980 - 176 с.
11. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1981.
- 232 с.
12. Бермант А.Ф., Арaманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1973. - 720 с.
144
СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. Матрицы и определители.......................................................................
1
§1. Свойства определителей 2-го и 3-го порядков............................................
1
§2. Алгебраические дополнения и миноры........................................................
3
§3. Алгебраические операции над матрицами...................................................
3
§4. Матричный метод решения систем линейных
алгебраических уравнений. Формулы Крамера...............................................
5
§5. Метод Гаусса решения систем алгебраических
линейных уравнений. (Метод исключения).......................................................
7
Глава II. Элементы векторной алгебры.............................................................
12
§1. Действия над векторами...............................................................................
12
§2. Линейная зависимость и линейная независимость
системы векторов..................................................................................................
14
§3. Векторный базис. Координаты вектора.......................................................
14
§4.Прямоугольная декартова система координат. Деление
направленного отрезка в заданном отношении.................................................
17
§5. Проекция вектора (направленного отрезка) на ось....................................
18
§6. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.............................
19
§7. Векторное произведение двух векторов и его свойства..............................
22
§8. Смешанное произведение трех векторов и его свойства............................. 24
Глава III. Аналитическая геометрия на плоскость и в пространстве................ 25
§1. Прямая на плоскости.......................................................................................
25
§2. Плоскость.........................................................................................................
28
§3. Прямая в пространстве.................................................................................... 31
§4. Плоскость и прямая в пространстве..............................................................
34
145
§5. Кривые второго порядка.................................................................................
36
Глава IV. Введение в математический анализ...................................................
38
§1. Предел переменной величины. Предел функции........................................
38
§2. Свойства бесконечно малых функций (БМФ).............................................
40
§3. Основные теоремы о пределах функций.....................................................
41
0  ∞ 
0  ∞ 
§4. Неопределенность вида  ,  , {∞ − ∞}, {0 ⋅ ∞} ....................................
42
§5. Непрерывные функции и их свойства..........................................................
44
§6. Свойства функций, непрерывных на отрезке...............................................
47
Глава V. Математический анализ функций одной переменной.......................
48
§1. Производная функции и ее свойства.............................................................
48
§2. Производная функции, заданной неявно.....................................................
52
§3. Приложения производной в геометрии и механике..................................... 52
§4. Приращение и дифференциал функции........................................................
53
§5. Правило Лопиталя- Бернулли раскрытия неопределенностей...................
55
§6. Исследование функции и построение ее графика........................................
56
Глава VI. Математический анализ функции многих переменных.................... 58
§1. Области определения функций и их изображения....................................... 58
§2. Частные производные и дифференциалы функций многих
переменных....................................................................................................... 60
§3. Производная функции, заданной неявно. Экстремумы
функций двух переменных.................................................................................... 64
§4. Контрольные работы. .....................................................................................
69
§5. Правила выполнения и оформления контрольных работ............................ 141
146
§6. Календарный план курса математики для студентов-заочников
инженерно- технических специальностей........................................................... 141
Список литературы................................................................................................ 143
Редактор М.Е. Галина
Подписано в печать
. Бумага офсетная №2. Формат 60х84 1/16.
Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Усл.-печ. л. 6,0. Уч.-изд. л. 5,3.
Тираж 1000 экз. Заказ
.
Издательство Уфимского государственного нефтяного технического университета
Типография Уфимского государственного нефтяного технического университета
Адрес издательства и типографии:
450062, г. Уфа, ул. Космонавтов, 1.
147
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Понятие числовой матрицы. Квадратные матрицы. Определители 2-го
порядка и их свойства.
2. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя 3-го
порядка. Определитель 3-го порядка. Правило Саррюса. Теорема о разложении определителя 3-го порядка по элементам строки (столбца).
3. Свойства определителей 3-го порядка.
4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
5. Понятие равенства двух матриц. Действия над матрицами. Обратная
матрица. Единственность обратной матрицы. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
6. Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капеллы ⇔ условие ∃ ненулевого решения системы линейных однородных уравнений (ранг матрицы
системы меньше числа неизвестных). Система двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными.
7. Понятие вектора. Действия над векторами. Свойства.
8. Коллинеарные векторы. Умножение вектора на число и его свойства.
9. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Теоремы.
Следствия.
10. Геометрическая интерпретация линейной зависимости системы из 2-х
векторов. Следствие.
11. Компланарность векторов. Геометрическая интерпретация линейной
зависимости системы из 3-х векторов. Следствие.
12. Аксиоматика векторного пространства. Понятие размерности векторного пространства над множеством действительных чисел. Базис. Координаты вектора. Единственность координат. Примеры.
13. ϑ 2 . Базис.
14. ϑ 3 . Базис.
15. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
16. Ортонормированный базис. Понятие прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве. Декартовы координаты
точки. Деление направленного отрезка в заданном отношении.
17. Величина направленного отрезка. Проекция направленного отрезка на
ось и ее свойства. Теорема (тождество) Шарля. Геометрический смысл
скалярной проекции.
18. Скалярное произведение 2-х векторов и его свойства. Критерий ортогональности 2-х векторов. Геометрический смысл знака скалярного
произведения.
19. Скалярное произведение в координатах. Приложения скалярного произведения. Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе. Направляющие косинусы вектора.
148
20. Тройка векторов. Правая и левая тройка векторов. Векторное произведение 2-х векторов и его свойства.
21. Векторное произведение в координатах. Приложения векторного произведения.
22. Смешанное произведение тройки векторов. Необходимое и достаточное условия компланарности трех векторов.
23. Геометрический смысл смешанного произведения и его знака.
24. Свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в координатах. Приложения смешанного произведения.
25. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Геометрический смысл коэффициентов. Направляющий вектор прямой.
26. Условие параллельности. Взаимное расположение 2-х прямых на
плоскости.
27. Угол между двумя прямыми. ⊥ 2-х прямых.
28. Расстояние от точки до прямой. Вывод формулы.
29. Понятие линии на плоскости и ее уравнения. Уравнение окружности.
Понятие поверхности в пространстве и ее уравнения. Уравнение сферы.
30. Плоскость в пространстве, различные виды ее уравнений. Геометрический смысл коэффициентов. Неполные уравнения плоскости.
31. Взаимное расположение 2-х плоскостей. Условие параллельности
двух плоскостей.
32. Угол между двумя плоскостями. Условие ⊥ двух плоскостей.
33. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение плоскости, проходящей
через 3 точки, не лежащие на одной прямой.
34. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения
прямой.
35. Общие уравнения прямой. Переход к каноническому виду.
36. Направляющий вектор плоскости. Определение нормального вектора
плоскости. Уравнение плоскости, проход через прямую и точку, не лежащую на этой прямой.
37. Взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Теорема. Следствие. Условие параллельности и совпадения 2-х прямых.
38. Общий ⊥ двух скрещивающихся прямых и его уравнение. Угол между 2-мя прямыми в пространстве. Условие ⊥ 2-х прямых.
39. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве.
40. Эллипс. Определение эллипса. Каноническая система координат. Каноническое уравнение эллипса.
41. Исследование канонического уравнения эллипса. Основной четырехугольник. Построение эллипса.
42. Эксцентриситет эллипса. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса.
43. Гипербола. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения. Каноническая система координат.
149
44. Исследование канонического уравнения гиперболы. Построение гиперболы.
45. Асимптоты гиперболы. Полный четырехугольник. Более точное построение гиперболы.
46. Эксцентриситет гиперболы. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы.
47. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы. Исследование
формы параболы.
48. Преобразование прямоугольных декартовых систем координат. Полярные координаты точки. Зависимость между полярными и декартовыми координатами точки.
49. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности 2-го порядка.
50. Поверхности вращения. Поверхности вращения 2-го порядка.
51. Метод параллельных сечений. Трехосный эллипсоид.
52. Однополостный гиперболоид.
53. Эллиптический параболоид.
54. Гиперболический параболоид.
55. Конические поверхности. Конус 2-го порядка.
56. Абсолютная величина действительного числа и ее свойства.
57. Предел упорядоченной переменной величины и его разновидности.
Предел функции в точке, в бесконечности. Ограниченные функции,.
Огр. функции в окрестности точки. Огр. ( в окрестности , имеющей конечный предел) функции .
58. Бесконечно малые функции и их свойства ( ± , × , следствия).
59. Бесконечно малые функции и их свойства
 α

, lim f ( x) = A , ≠ 0, α ⋅ f ( x) . Теорема о связи б.м.ф. с функцией,

 f ( x) x→ a

имеющей конечный предел.
60. Основные теоремы о пределах функции (I).
61. Теоремы о предельных переходах в неравенствах.
62. Бесконечно большие функции. Их связь с б.м. функциями. Поведение
многочлена на бесконечности и lim отношения двух множеств на бесконечности.
63. Основные теоремы о пределах функций (II). Предел сложной функции.
64. Сравнение б.м.ф. Эквивалентные б м.ф. Основные теоремы об экв.
б.м.ф. Главная часть бесконечно малой функции.
sin x
1


65. lim
= 1, lim 1 +  , n ∈ N . lim 1 +
x→ 0
n→∞ 
x→∞ 
x
n
x
1
 . Следствия 2-го заx
мечательного предела.
66. Непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных в точке.
150
67. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных функций.
68. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность
функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
69. Производная функции. Ее геометрический и механический смысл.
Основные правила дифференцирования.
70. Таблица производных.
71. Обратная функция и ее дифференцирование. Обратные тригонометрические функции и их производные.
72. Производная сложной функции. Теорема. ln x = ? .
73. Логарифмическая производная и ее приложения. (производная показательно-степенной функции).
74. Дифференцируемость функции. Теорема. Непрерывность дифференцируемой функции.
75. Дифференциал функции и его свойства. Применение в приближенных
вычислениях.
76. Инвариантность формы 1-го дифференциала (относительно замены
независимой переменной).
77. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
78. Теорема Лагранжа.
79. Теорема Коши.
80. Теорема Лопиталя - Бернулли. Раскрытие неопределенностей {0 ⋅ ∞} ,
(
)
{∞ − ∞}, {1∞ }, {∞ 0 }, {0 0 } .
81. Производные и дифференциалы высших порядков и их свойства. Неинвариантность формы дифференциала 2-го порядка и высшего порядков относительно замены независимой переменной.
82. Формула Тейлора с остаточным числом в форме Лагранжа. Формула
Маклорена.
83. Параметрическое задание функциональной зависимости. Производная
функции, заданной параметрически.
84. Выпуклость, вогнутость точки перегиба графика функции. Необходимые условия, достаточные условия.
85. Достаточные условия экстремума функции одной переменной выраженные через производные ( n + 1) порядков.
86. Асимптоты кривых и их классификация. Необходимое и достаточное
условия ∃ асимптот. Общая схема исследования функций и построения графиков функций.
87. Наибольшее, наименьшее значения функции на сегменте.
88. Определение функции многих переменных. Область определения,
предел и непрерывность функции многих переменных. Формулировка
свойств непрерывной функции на ограниченной замкнутой области.
151
89. Частные производные и их геометрический смысл для функций 2-х
переменных.
90. Дифференцируемость в точке функции многих переменных. Необходимые условия дифференцируемости.
91. Достаточные условия дифференцируемости в точке функции многих
переменных.
92. Полный дифференциал функции многих переменных и его свойства.
Применение к приближенным вычислениям.
93. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический
смысл полного дифференциала.
94. Производная сложной функции многих переменных. Полная производная. Инвариантность формы I дифференциала относительно замены
независимых переменных.
95. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о
независимости результата дифференцирования от его порядка.
96. Неявные функции многих переменных. Теоремы ∃ . Дифференцирование неявных функций.
97. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремумов. Достаточные условия.
98. Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных в
замкнутой ограниченной области.