Основы теории групп. Курс лекций

Электронный
учебно-методический комплекс
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГРУПП
Учебная программа дисциплины
Курс лекций
Сборник задач
Методические указания по самостоятельной работе
Банк тестовых заданий в системе UniTest
Красноярск
ИПК СФУ
2008
УДК 512.54
ББК 22.144
С31
Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Основы теории
групп» подготовлен в рамках инновационной образовательной программы «Создание
научно-образовательного комплекса для подготовки элитных специалистов в области
математики, механики и информатики в СФУ», реализованной в ФГОУ ВПО СФУ
в 2007 г.
Рецензенты:
Красноярский краевой фонд науки;
Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дисциплин
С31
Сенашов, В. И.
Основы теории групп. Версия 1.0 [Электронный ресурс] : курс лекций /
В. И. Сенашов, А. В. Тимофеенко, В. П. Шунков. – Электрон. дан. (1 Мб). –
Красноярск : ИПК СФУ, 2008. – (Основы теории групп : УМКД № 21-2007 /
рук. творч. коллектива В. И. Сенашов). – 1 электрон. опт. диск (DVD). – Систем. требования : Intel Pentium (или аналогичный процессор других производителей) 1 ГГц ; 512 Мб оперативной памяти ; 1 Мб свободного дискового пространства ; привод DVD ; операционная система Microsoft Windows 2000 SP 4 /
XP SP 2 / Vista (32 бит) ; Adobe Reader 7.0 (или аналогичный продукт для чтения файлов формата pdf).
ISBN 978-5-7638-1473-6 (комплекса)
ISBN 978-5-7638-1472-9 (курса лекций)
Номер гос. регистрации в ФГУП НТЦ «Информрегистр» 0320802708
от 22.12.2008 г. (комплекса)
Настоящее издание является частью электронного учебно-методического комплекса по дисциплине «Основы теории групп», включающего учебную программу, сборник задач, методические указания
по самостоятельной работе, контрольно-измерительные материалы «Основы теории групп. Банк тестовых заданий» и наглядное пособие «Основы теории групп. Презентационные материалы».
Дисциплина «Основы теории групп» является продолжением дисциплины «Высшая алгебра». В
данном курсе лекций приведены основы теории групп, изложены базовые теоремы и определения, подробно рассмотрены примеры групп.
Предназначен для студентов направления подготовки бакалавров 010100.62 «Математика»,
010200.62 «Математика и компьютерные науки», 010500.62 «При-кладная математика и информатика»
укрупненной группы 010000 «Физико-математические науки и фундаментальная информатика».
© Сибирский федеральный университет, 2008
Рекомендовано к изданию
Инновационно-методическим управлением СФУ
Редактор О. Ф. Александрова
Разработка и оформление электронного образовательного ресурса: Центр технологий электронного обучения информационно-аналитического департамента СФУ; лаборатория по разработке
мультимедийных электронных образовательных ресурсов при КрЦНИТ
Содержимое ресурса охраняется законом об авторском праве. Несанкционированное копирование и использование данного продукта запрещается. Встречающиеся названия программного обеспечения, изделий, устройств или систем могут являться зарегистрированными товарными знаками тех или иных фирм.
Подп. к использованию 14.10.2008
Объем 1 Мб
Красноярск: СФУ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79
Оглавление
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ................................. 5
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................ 5
Тема 2. Группы, подгруппы ........................................................................ 7
РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ
ГРУПП ......................................................................... 9
Тема 3. Классы групп, примеры ................................................................ 9
Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы,
подгруппы циклической группы.............................................................. 10
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ ............................ 12
Тема 5. Смежные классы .......................................................................... 12
Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и
централизатор ............................................................................................. 13
Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа .............................................. 14
Тема 8. Полные группы ............................................................................ 16
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП ......................... 17
Тема 9. Группы подстановок .................................................................... 17
Тема 10. Гомоморфизмы........................................................................... 18
Тема 11. Изоморфизмы ............................................................................. 20
Тема 12. Автоморфизмы ........................................................................... 21
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП....................... 24
Тема 13. Прямые и декартовые произведения ..................................... 24
Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и
другие виды произведений ...................................................................... 27
Тема 15. Ряды в группах............................................................................ 31
Тема 16. Теорема Силова ......................................................................... 32
Тема 17. Алгебраические системы ......................................................... 33
РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ... 35
Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности . 35
Тема 19. Условия конечности ................................................................... 38
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП .................................. 40
Тема 20. Группы диэдра ............................................................................ 40
Тема 21. Группы подстановок и матриц ................................................. 42
Тема 22. Группы движений ....................................................................... 47
РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................ 53
Тема 23. Атласы групп ............................................................................... 53
Основы теории групп. Курс лекций
-3-
Тема 24. Заключение .................................................................................. 55
ДОПОЛНЕНИЕ .......................................................... 56
Тема 25. Группы Фробениуса ................................................................... 56
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................... 61
Основы теории групп. Курс лекций
-4-
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ
Исторические сведения о появлении и развитии теории групп.
Понятие группы возникло в 18 в., оно исходит из нескольких дисциплин:
теории решения алгебраических уравнений в радикалах (в трудах Ж.
Лагранжа и А. Вандермонда в 1771 г. впервые для нужд этой теории были
применены подстановки и было получено разложение группы подстановок
на смежные классы, в 19 в. глубокие связи между свойствами группы
подстановок и свойствами уравнений были указаны Н.Абелем в 1824 г. и Э.
Галуа в 1830 г. Особенно нужно отметить достижения Э.Галуа в теории
групп. Он открыл роль нормальных подгрупп в решении задачи о
разрешимости
уравнений
в
радикалах,
установил
простоту
знакопеременных
групп степени выше
четырех.
К. Жордан
систематизировал и развил исследования в этом направлении в трактате о
группе подстановок в 1870 г.). В проективной геометрии независимо от этого
группы возникают, когда изучается поведение фигур при различных
преобразованиях, что перешло на изучение самих преобразований и поиск их
классификации (здесь можно назвать имена А. Мебиуса, исследовавшего
элементарные виды родства геометрических фигур, А. Кэли, пришедшего к
пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и
соотношениями, Ф. Клейна – создателя в 1872 г. «Эрлангенской программы»,
положившей в основу классификации геометрий понятие группы
преобразований). Теоретико-групповые идеи прослеживаются и в теории
чисел. Л. Эйлер в 1761 г. при изучении «вычетов, остающихся при делении
степеней» пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, т. е.
на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в 1801 г. в «Арифметических
исследованиях» определил подгруппы группы Галуа уравнения деления
круга и при изучении «композиции двоичных квадратичных форм» доказал,
что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции
конечную абелеву группу.
В конце 19 в. выработалось современное абстрактное понятие группы.
В 1895 г. С. Ли уже определял группу как совокупность преобразований,
замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует
единицу и обратные элементы.
Изучение групп без предположения их конечности и без
предположений о природе элементов оформилось в самостоятельную область
математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего
соотечественника О.Ю. Шмидта.
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых
областей алгебры, имеющей многочисленные приложения как в самой
математике, так и за ее пределами — в топологии, теории функций,
Основы теории групп. Курс лекций
-5-
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ
кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и
естествознания.
В данном курсе лекций коротко напомним основные определения и
теоремы теории групп, которые входят в курс алгебры университета. Затем
введем слушателя в область современной теории групп через изложение
результатов последних десятилетий. Особенно подробно остановимся на
примерах групп и группах с условиями конечности.
Цели и задачи изучения. Дисциплина «Основы теории групп»
является продолжением курса «Высшая алгебра» и представляет собой одну
из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по
специальности «Математика».
Целью преподавания дисциплины является ознакомление с основными
определениями и базовыми теоремами теории групп, а также формирование
умений и навыков применения изученных теорем в доказательствах новых
теорем и для построения примеров групп.
В процессе изучения дисциплины необходимо приобрести знания,
умения и навыки для профессиональной деятельности в качестве
исследователя и преподавателя по специальности «Математика».
Специалист должен знать: основные классы групп, классические
примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп;
уметь: применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем,
использовать специальную литературу, справочники, математические
энциклопедии, приобрести практические навыки самостоятельной работы
при изучении групповых конструкций, иметь представление о современных
тенденциях развития теории групп в России и в мире.
При написании курса лекций авторы ставили целью кратко
познакомить читателя с понятиями и теоремами классического курса теории
групп и по возможности подробно остановиться на понятиях, которые
сформированы в Красноярской школе по теории групп и активно изучаются
в настоящее время как у нас в стране, так и за рубежом.
Краткая характеристика современного состояния теории групп. В
настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область
математики. Каждый год проходят международные конференции,
посвященные теории конечных и бесконечных групп. Только в России в 2007
г. прошло несколько международных конференций по теории групп, одна из
них – в Красноярске.
Хорошо развитые школы, занимающиеся теорией групп, имеются в
Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске,
Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России. Сотни
специалистов высшей квалификации занимаются различными разделами
теории групп. В России регулярно выходят журналы «Алгебра и логика»,
«Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная
математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук», в
которых большую долю занимают статьи по теории групп. Российскими
Основы теории групп. Курс лекций
-6-
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ
учеными написаны десятки монографий по конечным и бесконечным
группам. Достижения российских специалистов по теории групп давно и
заслуженно признаны во всем мире.
Обзор литературы. При изучении дисциплины «Основы теории
групп» рекомендуем пользоваться учебниками [1,13,16,32] и предлагаемым
списком литературы.
Общие сведения. Одновременно с курсом лекций предполагается
проведение спецсеминара, на котором будет предложено
большое
количество задач по всем разделам и темам данного курса лекций, а также
темы курсовых и дипломных работ.
Тема 2. Группы, подгруппы
Определение группы, примеры.
Определение. Говорят, что на множестве задана бинарная операция,
если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам
множества единственный элемент этого же множества.
Определение. Множество G с заданной на нём бинарной
алгебраической операцией называется группой, если:
1) эта операция ассоциативна, т.е. (ab)c = a(bc) для любых элементов a,
b, c из G;
2) в G существует единичный элемент e: ae = ea = a для любого
элемента a из G;
3) для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент a −1 :
a −1a = aa −1 = e .
Все четные числа по сложению образуют группу. Группой по
сложению является также совокупность целых чисел, кратных данному
числу n. Множество нечетных чисел уже не будет группой по операции
сложения, т.к. данная операция выводит нас за пределы данного множества.
Образуют группу также все ненулевые положительные рациональные числа
относительно операции умножения. Числа 1 и -1 при операции умножения
составляют конечную группу.
Определение. Группа G называется абелевой или коммутативной,
если все элементы группы перестановочны между собой, т. е. выполняется
коммутативный закон ab = ba для любых элементов a, b из группы G.
Примерами абелевых групп могут служить множества рациональных
чисел, действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых
относительно операции сложения. К неабелевым группам относятся группы
подстановок больше чем на двух элементах, группы матриц относительно
умножения.
Определение.
Порядком
элемента
называется
наименьшее
n
натуральное число n такое, что a = e. Обозначается |a|.
Определение. Порядком группы G называется количество ее
элементов.
Основы теории групп. Курс лекций
-7-
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Тема 2. Группы, подгруппы
Обозначается порядок группы G через |G|. В случае, если множество
элементов бесконечно, говорят, что G имеет бесконечный порядок, и пишут
|G| = ∞ .
Определение подгруппы, примеры подгрупп.
Определение. Подгруппа — подмножество группы G, которое само
является группой относительно той же операции, что и G.
Для того чтобы подмножество M группы было подгруппой,
необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто относительно операции
в группе и для любого элемента из M обратный элемент тоже лежал бы в M.
Определение. Подгруппы, отличные от единичной и всей группы,
называются собственными.
Примером подгруппы группы, отличных от нуля комплексных чисел по
умножению, могут служить все комплексные числа, являющиеся корнями из
единицы степени n. Еще одну подгруппу этой же группы образуют все
комплексные числа, равные по абсолютной величине единице.
В группе всегда имеется единичная подгруппа, состоящая только из
единичного элемента. Кроме нее может не быть других подгрупп, как это
происходит в циклических группах простого порядка. В бесконечных
группах всегда имеется бесконечно много подгрупп. Сами подгруппы могут
быть как бесконечными, так и конечными. Так, в монстре Ольшанского [23]
все собственные подгруппы имеют одинаковый порядок. Бесконечные
группы, у которых все собственные подгруппы имеют конечные порядки,
называются группами Шмидта. К группам Шмидта относятся
квазициклические группы (см. тему 12) и монстры Ольшанского.
Основы теории групп. Курс лекций
-8-
РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ
ГРУПП
Тема 3. Классы групп, примеры
Конечные и бесконечные группы, периодические группы, группы
без кручения, смешанные группы, примеры. По числу элементов группы
подразделяются на два больших класса: конечные, в которых множество
элементов конечно, и бесконечные с бесконечным множеством элементов.
Примерами конечных групп являются группы подстановок на
конечном числе элементов, группы корней из единицы с операцией
умножения, группа классов вычетов чисел по модулю данного числа по
сложению.
Бесконечные группы подразделяются на периодические группы, в
которых все элементы имеют конечные порядки, группы без кручения со
всеми неединичными элементами бесконечного порядка и смешанные
группы, в которых присутствуют как неединичные элементы конечных
порядков, так и элементы бесконечного порядка. Если множество элементов
конечного порядка является подгруппой, то эта подгруппа называется
периодической частью группы. Группы, обладающие периодической частью,
также выделяются в особый класс групп. Группа может не обладать
периодической частью (см., напр., в теме 20 группы диэдра).
Примерами периодических групп являются квазициклические группы,
среди групп без кручения можно назвать группы рациональных чисел,
действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых относительно
операции сложения. Смешанные группы можно конструировать, взяв прямое
произведение любой конечной группы и группы без кручения. К ним
относятся также группы рациональных, действительных и комплексных
чисел, рассматриваемых относительно операции умножения. Кроме
элементов бесконечного порядка, в них имеются элемент -1 второго порядка
и в комплексных числах два элемента четвертого порядка i, -i, и бесконечно
много элементов конечного порядка расположено на единичной окружности.
Заметим, что все конечные группы также относятся к периодическим
группам.
При изучении теории групп особо выделяется класс абелевых групп, т.
е. групп, в которых все элементы перестановочны между собой. Теория этих
групп уже достаточно хорошо разработана и, напр., в учебнике [16] на ее
изложение выделено 90 страниц. К абелевым группам относятся
упоминавшиеся ранее группы рациональных чисел, действительных чисел,
комплексных чисел по любой операции, все группы одним порождающим
элементом, квазициклические группы.
В свою очередь все названные классы групп можно разбить на
подклассы в соответствии с системами подгрупп, которые в них имеются.
Подгруппы в свою очередь образуют ряды вложенных друг в друга подгрупп
Основы теории групп. Курс лекций
-9-
РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ ГРУПП
Тема 3. Классы групп, примеры
с определенными свойствами.
Условия конечности в группах также задают соответствующие им
классы групп (периодичность тоже относится к условиям конечности). Среди
условий конечности можно назвать условие локальной конечности: оно
выполняется в группе, если всякое ее конечное подмножество порождает
конечную подгруппу. Класс групп с таким условием называется классом
локально конечных групп.
Класс локально нормальных групп является подклассом локально
конечных групп и состоит из групп, в которых всякое конечное
подмножество элементов лежит в конечном нормальном делителе.
Группы с конечными классами (группы, в которых все классы
сопряженных элементов конечны) составляют класс, который включает все
конечные и все абелевы группы.
Пересечение классов периодических групп и групп с конечными
классами совпадает с классом локально нормальных групп.
Изучается также класс групп, в которых конечно число классов
сопряженных элементов.
Группы, имеющие конечное число образующих, также представляют
собой отдельный класс. В последнее время интенсивно изучается его
подкласс, состоящий из 3-порожденных групп и его еще более узкий
подкласс групп, порожденных тремя элементами второго порядка, два из
которых перестановочны.
Условие слойной конечности задает класс слойно конечных групп, т.
е. групп, в которых множество элементов любого данного порядка конечно
или пусто. Класс слойно конечных групп является подклассом класса
локально нормальных групп.
Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы,
подгруппы циклической группы
Задание групп порождающими множествами.
Определение. Пусть M — произвольное подмножество группы G.
Пересечение всех подгрупп из G, содержащих M, называется подгруппой,
порожденной множеством M. Множество M в этом случае называется
порождающим множеством, и подгруппа, им порожденная, обозначается
<M>.
Теорема 4.1. Если M – подмножество группы G, то
<M> = { a1m1 a2m2 ...anmn | ai ∈ M, mi = ± 1, n = 1, 2, 3, …}.
Доказательство. Обозначим множество элементов, введенных в
формулировку теоремы, через H.
Очевидно, HH ⊆ H, H-1 ⊂ H. Следовательно, H – группа и <M> ⊆ H.
С другой стороны, <M> ⊇ H, т. к. все элементы ai, обратные к ним
элементы и их всевозможные произведения содержатся в любой из подгрупп
из G, содержащих M. Теорема доказана.
Основы теории групп. Курс лекций
-10-
РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ ГРУПП
Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, подгруппы циклической группы
Группа, порожденная одним элементом a, называетcя циклической и
обозначается <a>.
Теорема 4.2. Любая подгруппа циклической группы — циклическая.
Доказательство. Пусть <a> — циклическая группа порядка n, H — ее
неединичная подгруппа (очевидно, единичная подгруппа является
циклической). Пусть m— наименьшее натуральное число с условием
am ∈ H.
Покажем, что <am> = H. Пусть h – произвольный элемент из H. Т.к. H < <a>,
то существует целое число k такое, что h= ak . Разделим k на m с остатком: k
= mq + r, 0 ≤ r < m. Тогда
h= ( am)q ar и ar = (a-mq ) -1h.
По выбору чисел m, r отсюда следует, что r = 0 и h= (am ) q , т.е. каждый
элемент подгруппы H является целой степенью элемента am . Аналогично
доказывается цикличность подгрупп бесконечной циклической группы.
Теорема доказана.
Примеры циклических, 2-порожденных и 3-порожденных групп. К
циклическим группам относятся целые числа, рассматриваемые
относительно операции сложения. К 2-порожденным группам относятся
группы диэдра (см. тему 20). Очень впечатляющим является тот факт, что
монстр Ольшанского [23] порождается любыми двумя своими неединичными
элементами, не лежащими в одной циклической подгруппе. Класс
трехпорожденных групп очень широк. Как показал в своей докторской
диссертации Я.Н. Нужин, трех инволюций (инволюция — элемент порядка
два), две из которых перестановочны, достаточно для порождения
практически всех конечных простых неабелевых групп. Такие тройки
инволюций названы мазуровскими в честь В.Д. Мазурова, который поставил
задачу описать конечные простые группы, порожденные такими тройками.
Он же сделал последний шаг в ее решении (по модулю классификации
конечных простых групп).
Основы теории групп. Курс лекций
-11-
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ
Тема 5. Смежные классы
Свойства смежных классов. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа,
следствия.
Левым смежным классом группы G по подгруппе H называется
множество xH={ xh | h ∈ H }. Элемент x называется представителем
смежного класса. Правый смежный класс определяется аналогично.
Свойства смежных классов:
1)
смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают;
2)
смежные классы равномощны;
3)
элементы a,b содержатся в одном смежном классе по
подгруппе H, если b-1a ∈ H.
Доказательство свойств предоставляется читателю.
Определение. Количество смежных классов группы G по подгруппе H
называется индексом группы G по подгруппе H и обозначается |G : H|.
Лемма Неймана. Пусть G – группа, являющаяся объединением
конечного числа смежных классов по конечному множеству подгрупп. Тогда
хотя бы одна из этих подгрупп имеет конечный индекс в G.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна и каждая из
подгрупп H1 ,…, Hn имеет бесконечный индекс в G. Пусть имеется
разложение на смежные классы, указанное в формулировке теоремы:
G = g11H1 ∪ … ∪ g1k H1 ∪ g21H2 ∪ … ∪ g 2k H2 ∪ …
… ∪ gn1Hn ∪ … ∪ g nk Hn.
1
2
n
Рассмотрим разложение G на различные смежные классы по H1:
G = g11H1 ∪ … ∪ g1k H1 ∪ g1k +1 H1 ∪ …
Сравнивая эти два разложения, заключаем, что
g1k +1 H1 ⊆ g21H2 ∪ … ∪ g 2k H2 ∪ … ∪ gn1Hn ∪ … ∪ g nk Hn = Ψ .
1
1
1
2
n
Очевидно, множество g11 g Ψ является объединением конечного
числа смежных классов по подгруппам H2, …, Hn и содержит g11H1,
аналогично
g11H1 ∪ … ∪ g1k H1 ⊆ g11 g1−k1 +1Ψ ∪ g12 g1−k1 +1Ψ .
Таким образом, получено разложение G через
конечное число
смежных классов по H2, …, Hn.
Продолжая рассуждения аналогичным образом, находим, что G
является объединением конечного числа смежных классов по Hn. Полученное
противоречие доказывает теорему.
−1
1 k1 +1
1
Основы теории групп. Курс лекций
1
1
-12-
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ
Тема 5. Смежные классы
Теорема 5.1 (Теорема Лагранжа). Для любой подгруппы H конечной
группы G
|G| = |G : H| |H|.
Доказательство. Каждый класс gH, Hg равномощен подгруппе H, как
показывают взаимнооднозначные соответствия h ↔ gh, h ↔ hg, h∈ H. В
частности, если группа G конечна, то её порядок |G| можно подсчитать,
умножив мощность |H| каждого класса на число |G : H| всех классов. Теорема
доказана.
Следствие 5.1. Порядок подгруппы делит порядок группы.
Следствие 5.2. Порядок элемента делит порядок группы.
Подгруппа H нормальна в группе G (обозначается H G), если левые и
правые смежные классы в G по H совпадают.
Другие свойства смежных классов см. в [5].
Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и
централизатор
Определение и свойства классов сопряженных элементов,
примеры. Элемент a сопряжен с элементом b в группе G, если найдется
такой x из G, что x −1ax = b.
Кроме того, обозначение x −1ax = ax переносится на множества: AB =
{ab | a ∈ A, b ∈ B}. В этих обозначениях определение нормальной подгруппы
выглядит следующим образом: H G тогда и только тогда, когда HG ⊆ H.
Теорема 6.1. Порядки сопряженных элементов равны.
Доказательство. Пусть x −1ax = b. Предположим, что |a| = n, |b| = m и n
< m. Тогда ( x −1ax )n = an = e, но bn ≠ e. Полученное противоречие доказывает
теорему.
Сопряжение – отношение эквивалентности. (То есть для сопряжения
выполняются три свойства:
рефлексивность,
симметричность и
транзитивность.) Вся группа разбивается на непересекающиеся классы
сопряженных элементов aG. Во всех числовых системах и абелевых группах
классы сопряженных элементов состоят из одного элемента. Вообще,
различные классы могут иметь разные мощности. Инструментом измерения
мощности класса служит нормализатор.
Примерами групп, в которых каждый класс сопряженных элементов
состоит из одного элемента, являются все абелевы группы. В группе
подстановок третьей степени три класса сопряженных элементов: класс,
состоящий из единичного элемента, класс, состоящий из двух элементов
третьего порядка, и класс, состоящий из трех сопряженных инволюций.
Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности
классов сопряженных элементов.
Основы теории групп. Курс лекций
-13-
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ
Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор
Определение. Пусть M — произвольное подмножество группы G, H —
ее подгруппа. Нормализатором множества M в группе G называется
множество NH(M) = { h | hM = Mh, h ∈ H }.
Определение. Централизатором множества M в группе G называется
множество CG(M)={ g|gm=mg, m ∈ M }.
В абелевых группах централизатор любого элемента совпадает со всей
группой. В группе подстановок третьей степени централизаторы всех
элементов совпадают с циклическими группами, порожденными этими
элементами.
Теорема 6.2. Если M — подмножество, а H — подгруппа группы G, то
мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H равна
индексу |H : NH(M)|. В частности, |aG| = |G : NG(a)|.
Доказательство. Отобразим Mx, x ∈ H, на правые смежные классы H по
N = NH(M): (Mx) φ = Nx. Отображение φ однозначно: из Mx = Mн вытекает Nx
= Ny. Оно взаимнооднозначно т. к. Nx = Ny влечет Mx = Mн. Это
отображение «на», т. к. у любого класса Nx есть прообраз Mx. Теорема
доказана.
Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа
Определения центра, коммутанта. Примеры. Строение группы во
многом определяется перестановочностью ее элементов. Множество
элементов группы, которые перестановочны со всеми ее элементами,
является подгруппой.
Определение. Центром группы G называется множество Z(G)=CG(G).
Упражнение. Группа G абелева тогда и только тогда, когда Z(G)= G.
Определение. Элементы a, b группы G перестановочны
(коммутируют), когда
a-1b-1ab = e.
Абелевы группы совпадают со своим центром. В группе подстановок
третьей степени центр является единичным.
Определение. Коммутатором [a, b] элементов a, b называется
произведение
[a , b] = a-1b-1ab.
Определение. Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами,
называется коммутантом группы.
Коммутант — инструмент, измеряющий отклонение группы от
коммутативности.
Определение. Если L, M — подмножества группы, то их взаимным
коммутантом называют подгруппу
Основы теории групп. Курс лекций
-14-
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ
Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа
[L , M] = < [a , b] | a ∈ L, b ∈ M >.
Примеры.
1. [ Sn , Sn] = An, для любого n.
2. [ An , An] = An , n > 4.
3. [G , G] = 1, если G абелева.
Упражнения.
1. Доказать [a , b]-1= [b , a].
2. Доказать [ab , c] = [a , c]ba[b , c].
3. Доказать [a-1, b] = [b , a] .
4. Доказать, что [G , G] G.
Если H — нормальная подгруппа группы G, то правые и левые
смежные классы по ней совпадают, поэтому просто говорим о множестве
G/H смежных классов по подгруппе H. Легко видеть, что aHbH = abH, т. е.
множество G/H замкнуто относительно поэлементного умножения классов.
Легко проверить, что G/H — группа относительно этого умножения.
Определение. Если H G, то множество смежных классов группы G
по подгруппе H образует группу, которая называется фактор-группой
группы G по подгруппе H.
Единицей группы G/H является класс H, а обратным к классу aH —
класс a-1H.
Класс aH является классом элементов в группе G, но в группе G/H он
сам является элементом, а не классом. Непосредственно проверяется, что
отображение φ : G → G/H по правилу g φ = gH есть гомоморфизм. Такие
гомоморфизмы называют естественными.
Упражнения
1. Доказать, что фактор-группа циклической группы циклическая.
2. Фактор-группа G/H тогда и только тогда абелева, когда H содержит
коммутант [G , G].
−1
Основы теории групп. Курс лекций
-15-
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ
Тема 8. Полные группы
Полные группы, примеры. Группа называется полной, если для
всякого целого числа n > 0 и любого элемента g из G уравнение nx = g имеет
в группе G хоть одно решение.
Примеры
1. Аддитивная группа Q рациональных чисел полна.
2. Квазициклическая группа Cp∞ изоморфна (в аддитивной записи)
объединению возрастающей цепочки конечных циклических групп
(a1) < (a2) <…< (an) <,
причем pa1 = 0, pan+1=an, n=1,2,…
Приведем без доказательства две основных для теории полных
абелевых групп теоремы:
Теорема 8.1. Полная подгруппа абелевой группы выделяется в ней
прямым слагаемым.
Теорема 8.2. Ненулевая полная абелева группа разлагается в прямую
сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или
квазициклической р-подгруппе, быть может, по различным р.
Доказательства этих теорем подробно изложены в [13].
Группа G обладает полной частью A, если A — абелева группа,
порожденная всеми полными абелевыми подгруппами из G, и G/A не
обладает полными абелевыми подгруппами.
Упражнения
1. Доказать полноту группы рациональных чисел.
2. Доказать полноту квазициклической группы.
Основы теории групп. Курс лекций
-16-
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 9. Группы подстановок
Определения и свойства групп подстановок. Теорема Кэли.
Определение. Множество подстановок на n элементах является
группой, которая называется симметрической группой Sn степени n.
Свойства группы подстановок.
Симметрическая группа Sn степени n является конечной. Её порядок |
Sn|=n!
Симметрическая группа Sn-1 степени n-1 может быть вложена в
симметрическую группу степени n (все подстановки из группы Sn,
оставляющие символ i на месте, составляют подгруппу, изоморфную группе
Sn-1).
Группа Sn некоммутативна при n ≥ 3. Группа S2, очевидно, абелева.
Множество четных подстановок на n элементах является группой,
которая называется знакопеременной группой An степени n. Эта группа имеет
n!
порядок | An| = . Она является нормальной подгруппой группы Sn : An Sn.
2
Индекс подгруппы An в группе Sn равен 2: |Sn : An| = 2 (при n ≥ 2). Нечетные
подстановки не составляют группы.
Существует гомоморфное отображение симметрической группы Sn
степени n на группу порядка 2, состоящую из чисел 1 и –1, при этом четной
подстановке ставится в соответствие число 1, а нечетной подстановке –
число –1. Таким образом, фактор-группа Sn / An изоморфна группе, состоящей
из чисел 1 и –1, относительно операции умножения.
Группа Sn порождается циклами Sn = <(1 2), (1 2 … n)>.
Доказательство приведенных свойств предлагается провести
самостоятельно.
Следующая теорема показывает, что подгруппами конечных
симметрических групп, по существу, исчерпываются все конечные группы.
Теорема 9.1 (Теорема Кэли). Любая конечная группа порядка n
изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n.
Доказательство. Пусть элементы группы G записаны в определенном
порядке:
g1, g2, …, gn.
Если a – произвольный элемент группы G, то все произведения gia = gα i –
различные элементы группы G, т. е.
gα1 , gα 2 , …, gα n
отличается от предыдущей записи элементов группы G лишь расположением
элементов. Элементу a ставится в соответствие подстановка:
⎛ 1 2 ... n ⎞
a→⎜
⎟.
...
α
α
α
2
n⎠
⎝ 1
Основы теории групп. Курс лекций
-17-
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 9. Группы подстановок
Двум различным элементам соответствуют различные подстановки, т. к. из
g1a = g1 a′ следует a = a′ . Найдем подстановку, соответствующую
произведению ab, где b – некоторый элемент группы G. Если элементу b
соответствует подстановка
⎛ α α 2 ... α n ⎞
b→⎜ 1
⎟,
⎝ β1 β 2 ... β n ⎠
т. е. gα i b = g β i , то из gi(ab) = gα i b = g β i следует, что элементу ab
соответствует подстановка
⎛ 1 2 ... n ⎞ ⎛ 1 2 ... n ⎞⎛ α1 α 2 ... α n ⎞
ab → ⎜
⎟ = ⎜ α α ... α ⎟⎜ β β ... β ⎟ .
...
β
β
β
2
n⎠
2
n ⎠⎝ 1
2
n⎠
⎝ 1
⎝ 1
Таким образом, группа G изоморфно отображается в группу Sn. Теорема
доказана.
Тема 10. Гомоморфизмы
Определение гомоморфизма, примеры гомоморфных отображений.
Определение. Отображение φ группы G в группу S называется
гомоморфным, или гомоморфизмом, если φ (ab) = φ (a) φ (b) для любых a, b
из G.
Множество всех элементов из G, которые при гомоморфизме φ
отображаются в e′ – единицу группы G′ , называется ядром гомоморфизма φ
и обозначается Ker φ .
Отображение φ группы целых чисел Z по сложению на аддитивную
группу кольца Zn классов вычетов по модулю n – гомоморфизм.
Отображение φ симметрической группы Sn подстановок степени n на
мультипликативную группу кольца Zn – гомоморфизм.
Теорема 10.1. Ядро любого гомоморфизма φ группы G является
нормальной подгруппой группы G.
Доказательство. Пусть a, b ∈ Ker φ , т.е. φ ( a ) = φ (b) = e′ . Тогда
произведение
элементов
тоже
содержится
в
ядре,
т.к.
−1
Элемент
т.к.
φ (ab) = φ (a ) ⋅ φ (b) = e′ ⋅ e′ = e′ .
a ∈ Ker φ ,
φ ( a −1 ) = (φ ( a )) −1 = (e′) −1 = e′ . Все элементы, сопряженные с a, также
содержатся в Ker φ : φ ( x −1ax ) = φ ( x −1 )φ ( a )φ ( x ) = φ ( x ) −1 e′φ ( x ) = e′ .
Итак, ядро гомоморфизма является подгруппой группы G и вместе с
любым своим элементом содержит элемент, сопряженный с ним. Отсюда
следует, что Ker φ – нормальная подгруппа группы G. Теорема доказана.
Основы теории групп. Курс лекций
-18-
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 10. Гомоморфизмы
Пусть H – нормальная подгруппа группы G. Поставим каждому
элементу x группы G смежный класс xH и получим отображение группы G на
фактор-группу G/H. Это отображение будет гомоморфизмом:
Полученный
гомоморфизм
φ ( ab) = ( ab) H = aH ⋅ bH = φ (a ) ⋅ φ (b) .
называ-ется естественным гомоморфизмом группы G на фактор-группу
G/H. Таким образом, нормальные подгруппы, и только они, являются ядрами
гомоморфизмов.
Теорема 10.2. Пусть дан гомоморфизм φ группы G на группу G′ и H –
ядро этого гомоморфизма. Тогда группа G′ изоморфна фактор-группе G/H,
причем гомоморфизм
равен последовательному
выполнению
φ
естественного гомоморфизма ε : G → G / H и изоморфизма τ : G / H → G′ .
Доказательство. Зададим отображение τ фактор-группы G / H на
группу G′ : τ ( xH ) = φ ( x ), x ∈ G . Покажем, что τ – изоморфизм. Во-первых,
если xH = yH , то φ ( x) = φ ( y ) и τ ( xH ) = τ ( yH ) . Во-вторых, образы
различных элементов различны, т. к. если образы совпадают, φ ( x) = φ ( y ) , то
x −1 y ∈ H = Ker φ , то и прообразы совпадут xH = yH . В-третьих, отображение
τ сохраняет операцию:
τ ( xH ⋅ yH ) = τ ( xyH ) = φ ( xy ) = φ ( x)φ ( y ) = τ ( xH ) ⋅ τ ( yH ).
Итак, отображение τ является изоморфизмом.
Гомоморфизм φ = ετ . Действительно, φ : x → φ ( x) . С другой стороны,
ε
τ
x ⎯⎯
→ xH ⎯⎯
→φ ( x) . Теорема доказана.
Теорема 10.3. Пусть H и A – нормальные подгруппы группы G и H –
подгруппа группы A. Тогда фактор-группа (G / H ) /( A / H ) изоморфна факторгруппе G / A .
Доказательство. Пусть отображение φ : G / H → G / A задается:
φ ( xH ) = xA, x ∈ G .
Покажем, что φ – изоморфизм. Во-первых, если xH = yH , то xA = yA ,
т. к. x −1 y ∈ H ≤ A . Во-вторых, отображение φ сохраняет операцию:
φ ( xH ⋅ yH ) = φ ( xyH ) = xyA = xA ⋅ yA .
Таким образом, φ – гомоморфизм группы G / H на группу G / A . Ядро
этого гомоморфизма Ker φ = A / H , т. к. φ ( aH ) = aA = A – единица факторгруппы G / A . Следовательно, A / H – нормальная подгруппа группы G / H .
По теореме 3.2 фактор-группа (G / H ) /( A / H ) изоморфна фактор-группе
G / A . Теорема доказана.
Основы теории групп. Курс лекций
-19-
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 11. Изоморфизмы
Определение изоморфизма, примеры изоморфных групп.
Определение. Говорят, что группы G и G* изоморфны, если между
ними можно установить взаимно однозначное отображение φ , сохраняющее
операцию, т. е. φ (a) φ (b)= φ (ab) для любых a, b из G.
Примеры
1. Группа положительных действительных чисел R+ по умножению
изоморфна группе действительных чисел R по сложению. Изоморфное
отображение получается, если всякому положительному действительному
числу поставим в соответствие его логарифм по основанию 10. Равенство
lg(ab) = lg(a)+lg(b) показывает, что это отображение является изоморфным.
Как отмечено в [13], пользуясь логарифмической линейкой, мы просто
пожинаем плоды этого изоморфизма.
2. Группа корней n-й степени из единицы по умножению изоморфна
аддитивной группе кольца Zn классов вычетов по модулю n.
3. Множество четных чисел можно взаимнооднозначно отобразить на
множество чисел, кратных числу 3, если всякому четному числу вида 2k
поставить в соответствие число вида 3k, лежащее во втором множестве.
Всякое множество с операцией изоморфно, очевидно, самому себе: для
этого достаточно взять тождественное отображение множества на себя.
Следовательно, отношение изоморфизма является рефлексивным. Легко
видеть, что оно также является симметричным — из M1 ≅ M2 следует M2 ≅
M1 — и транзитивным — из M1 ≅ M2 и M2 ≅ M1 следует M1 ≅ M3. Выполнение
трех этих свойств означает, что изоморфизм является отношением
эквивалентности на множестве групп. Из определения изоморфизма следует,
что изоморфные множества имеют одинаковую мощность, в частности, если
они конечны, то состоят из одинакового числа элементов.
Изоморфные группы отличаются друг от друга природой своих
элементов и, быть может, названием операций. Они неразличимы с точки
зрения свойств операций. Все, что может быть доказано для некоторого
множества с операцией на основании свойств этой операции, но без
использования конкретной природы элементов множества, автоматически
переносится на все множества с операцией, изоморфные данному.
Изоморфные группы, таким образом, считаются различными экземплярами
группы с одной и той же операцией. Тем самым алгебраическая операция
выделяется в качестве истинного объекта изучения.
Задача теории групп — изучение групповых операций или, иначе,
изучение групп с точностью до изоморфизма. Снова приведем цитату из
монографии [13], которая богата оригинальными выражениями и крылатыми
фразами. Теория групп была бы закрыта, если бы удалось составить каталог
всех возможных групп с точностью до изоморфизма. Однако составить такой
каталог практически невозможно.
Основы теории групп. Курс лекций
-20-
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 11. Изоморфизмы
Упражнения
1. Доказать, что Cn ≅ Zn.
2. Мультипликативная группа кольца комплексных чисел (Когда
рассматривают мультипликативную группу к.-л. кольца, то рассматривают
только подмножество его обратимых элементов. Таким образом, в нашем
множестве будет отсутствовать число 0) изоморфна группе всех
невырожденных матриц вида
⎛ a b⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − b a⎠
с действительными коэффициентами, рассматриваемыми относительно
обычного умножения матриц.
3. Показать, что множество обратимых диагональных матриц степени n
над коммутативным кольцом K с единицей Dn(K) относительно умножения
изоморфно прямому произведению n копий кольца K.
Тема 12. Автоморфизмы
Определение автоморфизма. Автоморфизмы группы являются
частным случаем её эндоморфизмов, т. е. гомоморфных отображений группы
в себя. По выражению Ю.И. Мерзлякова, эндоморфный образ подобен
удостоверению личности в кармане этой личности.
Определение. Изоморфизм группы на себя называется ее
автоморфизмом.
Множество всех автоморфизмов группы G обозначается Aut G.
Виды
автоморфизмов,
голоморф.
Тривиальным
примером
автоморфизма является тождественное отображение группы на себя, при
котором каждый элемент группы остается на месте. Простейшим
нетривиальным автоморфизмом может служить изоморфизм аддитивной
группы кольца целых чисел на себя ϕ: n → –n. При автоморфизме любая
подгруппа группы испытывает изоморфное отображение.
Если на множестве автоморфизмов задать операцию умножение —
последовательное выполнение автоморфизмов, то множество Aut G будет
являться группой относительно введенной операции. При этом Aut G ≤ S(G),
где S(G) – группа всех взаимнооднозначных отображений группы G на себя.
Рассмотрим сопряжение группы G элементом a из G: x → xa. Такое
отображение будет изоморфизмом, т. к. оно является взаимнооднозначным и
(xy)a=a-1(xy)a=(a-1xa)(a-1ya)=xaya.
Такой автоморфизм называется внутренним автоморфизмом, производимым
элементом a. Множество таких автоморфизмов относительно умножения –
их последовательного выполнения, является группой. Ее обозначают Int G.
Основы теории групп. Курс лекций
-21-
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 12. Автоморфизмы
Она является нормальной подгруппой группы автоморфизмов группы G: Int
G Aut G.
Автоморфизмы, которые не являются внутренними, называются
внешними. Группой внешних автоморфизмов называют фактор-группу:
Out G = Aut G / Int G.
Для абелевой группы Out G = Aut G, т. к. любой внутренний автоморфизм
абелевой группы является тождественным отображением, т. е. Int G —
единичная группа.
При внутреннем автоморфизме любой класс сопряженных элементов
отображается на себя. Существуют группы (даже конечные), у которых
имеются внешние автоморфизмы с таким же свойством.
Циклические подгруппы 1-го и 2-го порядков обладают только
тождественным автоморфизмом. Эти группы являются единственными, не
имеющими нетождественных автоморфизмов. Любая некоммутативная
группа обладает нетождественным внутренним автоморфизмом. Если же
группа абелева, причем не все её элементы, отличные от единичного, имеют
порядок 2, то нетождественный автоморфизм можно задать следующим
образом: x → x-1. Это отображение, действительно, является автоморфизмом,
т. к. это взаимно однозначное отображение, и справедливо равенство (xy)-1=x1 -1
y ввиду коммутативности операции. Существование нетождественных
автоморфизмов нециклических абелевых групп, все элементы которых
имеют порядок 2, следует из их строения.
Отображение σ: G → Int G, при котором каждому элементу ставят в
соответствие внутренний автоморфизм, им производимый, является
гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма состоит из элементов, которые
производят тождественный автоморфизм:
Ker σ = { g | xg=x, x ∈ G},
т. е. Ker σ = Z(G) – центр группы G. Применим теорему о гомоморфизмах: Int
G > G/ Z(G).
В общем случае описание группы автоморфизмов заданной группы G
представляет большие трудности. В большинстве случаев свойства самой
группы не переносятся на её группу автоморфизмов. Например, группа
автоморфизмов абелевой группы может быть некоммутативной: группа
автоморфизмов
нециклической
группы
порядка
4
изоморфна
симметрической группе S3. Существуют некоммутативные группы с
абелевыми группами автоморфизмов. Однако некоторую информацию о
группе группа автоморфизмов сохраняет. Если группа G – группа без центра,
то и её группа автоморфизмов не имеет центра. Группа автоморфизмов
некоммутативной группы не может быть циклической. Группа
автоморфизмов конечной группы сама является конечной. Хотя группа
Основы теории групп. Курс лекций
-22-
РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 12. Автоморфизмы
автоморфизмов бесконечной группы может оказаться конечной: у
бесконечной циклической группы группа автоморфизмов является конечной
порядка 2, т. к. образующий элемент в бесконечной циклической группе
можно выбрать лишь двумя способами. Группы автоморфизмов
неизоморфных групп могут оказаться изоморфными.
Подгруппа H будет нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда
φ
H ≤ H для всех внутренних автоморфизмов φ ∈ Int G. Подгруппу H группы
G называют допустимой относительно Φ или Φ-допустимой, если Hφ ≤ H
для всех отображений φ ∈Φ. Единичная подгруппа и вся группа допустима
относительно любого φ ∈Φ. Если группа не содержит других Φ-допустимых
нормальных подгрупп, то она называется Φ-простой.
Группа называется совершенной, если она без центра и все ее
автоморфизмы внутренние. Если группа G совершенна, то Z(G) = 1,
Out G = 1 и Aut G > G.
Теорема 12.1 (теорема Гёльдера). При n ≠ 2, 6 симметрическая группа
Sn совершенна.
Доказательство можно найти в [13] или [16].
Группы S2 и S6 не являются совершенными, т. к. S2 абелева, а S6
обладает внешним автоморфизмом порядка 2.
Голоморф возникает в связи со следующим вопросом: нельзя ли
произвольную группу G вложить изоморфно в такую группу G*, чтобы
каждый автоморфизм группы G оказался
сужением
внутреннего
автоморфизма группы G*? Пусть Ф = Aut G. Оказывается, в качестве G*
можно взять множество пар φ g, φ 'g' ∈ Ф, умножаемых по правилу
φ'
φ g φ 'g '= φ φ 'g g'
(мы пишем пары без скобок и запятых). Действительно, аксиомы группы
проверяются непосредственно. Также непосредственно проверяется, что
отображения
Ф → G*, G → G*
по правилам φ → φ 1, g → 1g, являются изоморфными вложениями.
Группы Ф и G отождествим с подгруппами из G* в силу этих вложений.
Из правила умножения сразу вытекает, что
φ
-1
g φ = g φ для φ ∈ Ф, g ∈ G.
Теперь ясно, что G*=ФG, G G*, Ф ∩ G=1, и каждый автоморфизм φ
∈ Ф является сужением некоторого внутреннего автоморфизма группы G*.
Построенная группа ФG называется голоморфом группы G и обозначается
Hol G.
Упражнение. Найти все классы сопряженных элементов группы Hol
Z.
Основы теории групп. Курс лекций
-23-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 13. Прямые и декартовые произведения
Определения. Примеры групп, разложимых в прямые и декартовы
произведения. В теории групп рассматривается много различных видов
произведений групп. Дадим сначала определение обычного произведения
групп.
Определение. Под произведением AB подгрупп A и B некоторой
группы понимается множество всевозможных произведений элементов этих
групп, т.е.
AB = { ab | a ∈ A, b ∈ B }.
Данное множество не всегда будет группой.
Произведение AB подгрупп A, B группы G тогда и только тогда само
будет группой, когда AB = BA.
Доказать этот факт рекомендуется самостоятельно.
Определение. Группа G разлагается в прямое произведение своих
подгрупп G1, G2, ... , Gn, если выполнимы следующие условия:
1) Gi G, i = 1, 2, ... , n ;
2) группа G порождается своими подгруппами Gi;
3) Gi ∩ <Gj | j ≠ i> = 1.
Обозначается G = G1 × G2 × ... × Gn.
Определение. Пусть G1, ... , Gm — группы. Легко проверить, что
множество G = G1 × ... × Gm последовательностей <g1,...,gm>, где g α ∈ G α , с
покомпонентным умножением
<g1,... , gm> • < g'1,... , g'm> = < g1 • g'1,... , gm • g'm>
является группой. Ее называют декартовым произведением групп G α , а
сами G α — его множителями.
Это понятие легко распространить на случай произвольной
совокупности множителей G α , α ∈ I. А именно: обозначим через
G=
Gα
∏
α
∈Ι
множество функций
f: ∪
α ∈I
Gα
с условием, что f α ∈ G α для любого α ∈ I. Легко проверить, что множество
G с умножением по правилу fg α = f α g α является группой; она
Основы теории групп. Курс лекций
-24-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 13. Прямые и декартовые произведения
и называется декартовым произведением групп G α . Значение функции f в
точке α называется проекцией или компонентой элемента f в множителе
G α . Множество
supp(f) = { α | α ∈ I, f α ≠ e}
называется носителем или суппортом функции f.
Ясно, что множество функций с конечными носителями из
декартова произведения групп G α является группой
относительно
умножения функций. Эта группа называется прямым произведением групп
G α и обозначается через
G=
∏
α
∈I
Gα
(без черты). Очевидно, для конечного числа множителей прямое и
декартово произведения совпадают.
При аддитивной записи групповой операции вместо произведений
говорят о суммах, вместо множителей — о слагаемых и пишут:
G = G1 ⊕ ... ⊕ Gm,
G=
∑
Gα ,
∑
Gα .
α∈I
G=
α ∈I
Дадим внутреннее определение прямого произведения через
подгруппы — в отличие от внешнего определения, когда самой группы еще
нет, и перемножаются группы, имеющие самую разную природу. Например,
группа подстановок может умножаться на группу обратимых матриц
относительно операции умножения или на группу комплексных чисел
относительно операции сложения.
Пусть группа G порождается своими нормальными подгруппами Gi,
причем каждый элемент g из G допускает запись, где все индексы i1,..., im
различны, а неединичные
множители
однозначно определяются
элементом g. Тогда говорят, что
группа G разлагается в прямое
произведение подгрупп Gi.
Очевидно, группа G тогда и только тогда разлагается в прямое
произведение своих
подгрупп
Gi, когда она изоморфна
прямому
произведению абстрактных групп Gi. Поэтому для группы G, разложимой
в прямое произведение подгрупп Gi, используется та же запись, что и для
прямого произведения абстрактных групп Gi.
Определение. Группа G называется прямым произведением своих
подгрупп H1, H2, .. , Hn, если выполнены следующие три требования:
Основы теории групп. Курс лекций
-25-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 13. Прямые и декартовые произведения
1) подгруппы H1, H2, ..., Hn являются нормальными делителями
группы G.
2) группа G порождается подгруппами H1, H2, ... , Hn.
3) пересечение всякой подгруппы Hi, i=1, 2, ..., n, с подгруппой,
порожденной всеми группами Hj, j ≠ i, равно E.
Это определение можно заменить следующим, ему эквивалентным:
1') элементы из любых двух подгрупп Hi и Hj, i ≠ j,
перестановочны между собой.
2') всякий элемент g из G однозначно записывается в виде
произведения
g=h1h2 ... hn,
где hi ∈ Hi, i=1, 2, ... , n.
Примером разложимых в прямое произведение групп служит
аддитивная группа комплексных
чисел, разлагающаяся в прямое
произведение действительных и чисто мнимых чисел. Также группа по
умножению ненулевых действительных
чисел является прямым
произведением
группы
положительных
действительных чисел и
циклической группы второго порядка, порожденной
числом
-1.
Нециклическая абелева группа 4-го порядка — прямое произведение двух
циклических групп порядка 2.
Упражнение. Доказать, что циклическая группа порядка mn, где m и
n взаимно простые числа, разлагается в прямое произведение своих
собственных подгрупп.
Подгруппа A прямого произведения называется подпрямым
произведением групп Gi, если проекция A на каждый множитель Gi совпадает
с Gi. Подчеркнем, что подпрямое произведение не определяется
множителями однозначно. Очевидно, каждая подгруппа прямого
произведения есть подпрямое произведение своих проекций. Это не всегда
будет прямое произведение — контрпримером служит диагональ D прямого
квадрата G × G, состоящая из пар (g,g), g ∈ G.
Упражнение. Пусть G=G1 × G2, A — подгруппа из G, Ai — ее
проекция на множитель Gi, i=1, 2. Доказать, что A разлагается в прямое
произведение A1 × A2 тогда и только тогда, когда Ai = Gi ∩ A, i=1,2.
По аналогии
с
подпрямыми
произведениями
определяются
поддекартовы произведения: подгруппа A декартова произведения
G = ∏ Gi
i∈Ι
называется поддекартовым произведением групп Gi, если проекция A на
каждый множитель Gi совпадает с Gi. Очевидно, любое подпрямое
произведение групп Gi будет и поддекартовым произведением этих групп.
Примером может служить группа GLn(Z), изоморфная подгруппе
декартова произведения конечных групп GLn(Zm), m=1, 2,...
Основы теории групп. Курс лекций
-26-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение
и другие виды произведений
Полупрямое произведение, свободное произведение, свободное
произведение с объединенной подгруппой, равномерное произведение.
Отметим, что все обсуждавшиеся расширения расщепляемы в
следующем смысле: расширение G группы A посредством группы B
называется расщепляемым, если в G существуют такие подгруппы H, K, что
G = HK, B ≅ K, A ≅ H
G, H ∩ K =1.
Очевидно, что тогда K ≅ G/A. Говорят также, что G —полупрямое
произведение групп A и B, и пишут G = A λ B.
Так же как и для прямого произведения, для данной конструкции
можно рассматривать внутреннее определение:
Группа
G разлагается в полупрямое произведение A λ B своих
подгрупп A и B, если выполнены следующие три требования:
1. Подгруппа A является нормальным делителем группы G.
2. Группа G порождается подгруппами A и B.
3. Пересечение A ∩ B равно E.
Из этого определения очевидно вытекает некоммутативность операции
λ в классе групп и отличие полупрямого произведения от прямого.
Группы, обладающие дополняемым нормальным делителем, т. е.
разложимые в полупрямое произведение этого нормального делителя и
некоторой подгруппы, встречаются весьма часто. Естественно возникает
следующее обобщение этой конструкции:
Группа G называется полупрямым произведением своих подгрупп Ai,
где i пробегает вполне упорядоченное по возрастанию множество
индексов I, если:
1) G = { Ai, i ∈ I } ;
2) для всех j ∈ I подгруппа Gj = { Ai, i<j } инвариантна в G;
3) для всех j ∈ I пересечение подгруппы Gj с подгруппой G(j) = = {
Ai, i ≥ j} равно E.
Этому определению равносильно утверждение, что группа G
обладает возрастающим инвариантным рядом, все члены которого
дополняемы в G; факторы этого ряда будут изоморфны группам Ai, i ∈ I.
Примером группы, разлагающейся в полупрямое произведение своих
подгрупп, является группа подстановок третьей степени.
Основы теории групп. Курс лекций
-27-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений
Свободное произведение. Свободное произведение дает, подобно
прямому произведению, некоторую возможность из заданных групп
построить новую группу. Оно отличается от прямого произведения тем, что
в его определении отсутствует содержащееся в определении прямого
произведения требование перестановочности элементов, входящих
в
различные прямые множители.
Группа G называется свободным произведением своих подгрупп
A α , отличных от E ( α пробегает некоторое множество индексов), если
подгруппы A α в совокупности порождают всю группу G, т.е. если всякий
элемент g из G является произведением конечного числа элементов, взятых
из A α ,
g = a1a2 ... an, ai ∈ A α , i = 1, 2, ... , n,
и если всякий элемент g из G обладает единственной записью такого вида
при условии, что все элементы ai отличны от единицы и что не могут стоять
рядом два элемента из одной
подгруппы A α , хотя, вообще говоря,
произведение может содержать несколько множителей, входящих в одну
такую подгруппу. Такая запись элемента g является несократимой.
Для записи свободного произведения употребляется символ *. Если
группа G есть свободное произведение своих подгрупп A1, A2, ... , Ak, то
G = A1*A2* ... *Ak.
Подгруппы A α называются свободными множителями группы G,
входящими в свободное разложение. Из единственности несократимой
записи элемента свободного произведения следует,
что пересечение
любого свободного множителя с подгруппой, порожденной в G всеми
остальными множителями этого разложения, равно E.
Пусть группа G разложима в свободное произведение своих
истинных подгрупп. Пусть два элемента a1 и a2, отличны от единицы и
принадлежат различным свободным множителям. Из определения
свободного произведения следует, что произведения a1a2 и a2 a1 будут
различными элементами группы G, т. е. группа G непременно
некоммутативна, даже если все свободные множители A α абелевы. Далее,
все произведения
a1a2, (a1a2)2, (a1a2)3, ... , (a1a2)n, ...
также являются различными элементами группы G, т. е. группа G
непременно обладает элементами бесконечного порядка, даже если все
свободные множители A α периодичны. Таким образом, как абелевы, так
и периодические (в том числе и конечные) группы неразложимы в
свободное произведение.
Основы теории групп. Курс лекций
-28-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений
К числу групп, разложимых в свободное произведение,
принадлежат свободные группы, а именно: свободная (нециклическая)
группа является свободным произведением бесконечных циклических
групп.
В некоторых случаях оказывается полезной более общая конструкция,
чем свободное произведение. Пусть даны группы A α , где α пробегает
некоторое множество индексов, и пусть в каждой из групп A α выбрана
истинная подгруппа B α так, что все эти подгруппы изоморфны одной и
той же группе B. Через φ α обозначим
определенное
изоморфное
-1
будет поэтому изоморфным
отображение B α на B; ϕ α β = φ α φ β
отображением B α на B β .
Определение. Свободным произведением групп A α с объединенной
подгруппой B называется фактор-группа G свободного произведения
групп A α по нормальному делителю, порожденному всеми элементами вида
b α b φ β -1, где b β = b α ϕ α β , b α пробегает всю подгруппу B α , а α и β —
всевозможные пары индексов.
Приведем еще один вид произведений групп: равномерное
произведение. В равномерном произведении любые две циклические
подгруппы, взятые в различных множителях данного разложения,
перестановочны между собой.
Пусть G — группа, I — непустое множество индексов, состоящее не
менее чем из двух элементов, и Ai, i ∈ I, — некоторые (необязательно
попарно различные) подгруппы группы G. Будем говорить, что группа G
является равномерным произведением подгрупп Ai, i ∈ I, если она порождается
ими и при любых различных индексах i ∈ I и j ∈ I произвольная циклическая
подгруппа группы Ai перестановочна с произвольной циклической
подгруппой группы Aj.
Описание групп, представимых в виде равномерного произведения
своих примарных подгрупп, дает следующая теорема.
Теорема 14.1 (теорема Шункова). Группа G тогда и только тогда
может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых
своих примарных подгрупп, когда она является полупрямым произведением
G=A λ B двух таких подгрупп A и B, разложимых в прямое произведение
своих силовских p-подгрупп по разным p, что первая из них абелева и
порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G.
С доказательством теоремы можно ознакомиться, например, в [34].
Обобщением понятия равномерного произведения является обобщенно равномерное произведение групп, введенное В.П. Шунковым. Группа
G называется обобщенно равномерным произведением своих подгрупп Qi, i
∈ I, если: G= <Qi | i ∈ I>, где Qi – qi-подгруппы, и выполняются условия:
Основы теории групп. Курс лекций
-29-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений
1) QiQj = QjQi, i, j ∈ I;
2) если Qi обладает элементарной абелевой подгруппой Ri порядка
2
≥ qi , то Ri перестановочна с любой нециклической элементарной абелевой
подгруппой из Qj, i ≠ j;
3) группа, порожденная всеми Qj, не содержащими элементарных
абелевых подгрупп порядка ≥ qj2, является равномерным произведением
подгрупп Qj.
Пример. Группа G – группа вида G=(P×P) λ A, где P – группа простого
порядка p, A – ненильпотентная подгруппа группы Aut(P×P), причем
(p,|A|)=1. Покажем, что такая группа действительно существует. Известно,
что Aut(P×P) изоморфна группе GL2(p). Таким образом, группу A, будем
искать как подгруппу группы GL2(p) вида Q λ R, где Q и R соответственно qи r-подгруппы циклические или элементарные абелевы ранга 2. Рассмотрим
случай, когда p=5. В GL2(5) найдется подгруппа A следующего вида A=Q λ R,
где Q и R подгруппы порядков 3 и 2 соответственно. Запишем элементы
подгрупп Q и R в виде конкретных матриц:
⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎫
⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎫
Q = ⎨⎜
,⎜
,⎜
⎬ и R = ⎨⎜
⎟
⎟
⎟
⎟ , ⎜ 4 3 ⎟ ⎬.
0
1
1
1
4
3
0
1
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎭
⎠⎝
⎠⎭
⎩⎝
⎩⎝
В этом случае элементы порядка 3 подгруппы Q являются строго
вещественными относительно инволюции подгруппы R. Таким образом, A =
<Q,R> = Q λ R. Группа G = (P×P) λ Q λ R разлагается в обобщенно
равномерное произведение подгрупп Q1 = P×P, Q2 = Q и Q3 = R, т. к.:
1) QiQj = QjQi, i, j = 1,2,3;
2) подгруппой порядка ≥ qi2 обладает только Q1, а подгруппы Q2 и Q3
нециклических подгрупп не содержат;
3) <Q2,Q3> есть равномерное произведение подгрупп Q2 и Q3.
Основы теории групп. Курс лекций
-30-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 15. Ряды в группах
Нормальный ряд, субнормальный ряд. Виды групп, обладающих
рядами. Важнейшие обобщения коммутативности — разрешимость и
нильпотентность. Разрешимые группы — это группы, которые можно
собрать из абелевых групп при помощи нескольких последовательных
расширений. Они связаны с задачей о разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах, которой обязаны и самим названием. Нильпотентные
группы составляют класс, промежуточный между абелевыми и разрешимыми
группами. Они определяются более сложно и допускают более глубокое
изучение.
Пусть в группе G дан инвариантный ряд
Е = A0<A1<A2<...<Ai <...< An =G.
Назовем этот ряд центральным, если при i = 0, 1, ... , n-1 факторгруппа Ai+1/Ai содержится в центре фактор-группы G/Ai.
Определение. Группа G, обладающая хотя бы одним центральным
рядом, называется нильпотентной. Перечислим без доказательства ряд
свойств нильпотентных групп (их доказательства можно найти в [13]).
В любой нильпотентной группе совокупность периодических
элементов есть подгруппа (периодическая часть).
Любая подгруппа нильпотентной группы субнормальна.
Конечный нормальный или инвариантный ряд группы называется
разрешимым рядом, если все его факторы абелевы.
Группа G называется разрешимой, если она удовлетворяет одному из
требований:
1) группа G обладает конечным разрешимым нормальным рядом;
2) группа G обладает конечным разрешимым инвариантным рядом;
3) убывающая цепь коммутантов группы G через конечное число шагов
обрывается на единичной подгруппе.
Теорема 15.1 (Теорема Ито). Пусть группа G является произведением
двух абелевых подгрупп. Тогда G метабелева (разрешима ступени 2).
Доказательство. Рассмотрим произведение двух абелевых подгрупп G
= AB. Из свойств коммутаторов вытекает [ab,c]=[a,c]b[b,c], [a,bc]=[a,c][a,b] c.
Покажем, что коммутант группы G порождается коммутаторами вида
[a,b], где a ∈ A, b ∈ B.
[ab, a1b1 ] = [a, a1b1 ]b [b, a1b1 ] = [a, b1 ]b [b, a1 ]b1 = [bab, b1 ][b, b1−1a1b1 ] =
= [b2 a2 , b1 ][b, b3a3 ] = [b2 , b1 ]a2 [a2 , b1 ][b, a3 ][b, b3 ]a3 = [a2 , b1 ][a3 , b]−1.
Основы теории групп. Курс лекций
-31-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 15. Ряды в группах
Так как G = AB, то из b1a −1 = a2b2 , следует b1a = a2−1b и из a1b−1 = b3a3
следует a3b1 = b3−1a .
Возьмем два произвольных коммутатора x = [a,b], y = [a1,b1], где a, a1 ∈
A, b, b1 ∈ B.
x y = [a, b][ a1 ,b1 ] = [a, a2b2 ]c[ a1 ,b1 ] = [a, b2 ]a1[ a1 ,b1 ] = [b3a3 , b2 ]a1 ,b1 = [a3 , a2−1b]b =
= [a3 , b]b = [b3−1a, b] = [a, b] = x.
Из полученного равенства xy=x, вытекает xy=yx. Таким образом,
показано, что все коммутаторы группы порождают абелев коммутант.
Теорема доказана.
Тема 16. Теорема Силова
Силовские подгруппы. Теорема Силова. В 1872 г. была доказана
основная для теории конечных групп теорема, описывающая строение
максимальных p-подгрупп конечной группы. Теорема доказана норвежским
математиком Л. Силовым. Поэтому максимальные p-подгруппы названы в
его честь силовскими p-подгруппами.
Напомним, что группа, порядки всех элементов которой являются
степенями некоторого фиксированного простого числа p, называется pгруппой.
Определение. Максимальная p-подгруппа называется силовской pподгруппой.
Теорема 16.1. (Теорема Силова). Пусть G – конечная группа, p –
простое число. Для каждой степени pk, делящей порядок G, в G существует
подгруппа порядка pk. Если pk делит порядок G, то каждая подгруппа
порядка pk из G вложена в некоторую подгруппу порядка pk+1 из G. В
частности, силовские p-подгруппы из G – это в точности подгруппы порядка
pr, где pr – максимальная степень p, делящая порядок G. Все силовские pподгруппы из G сопряжены в G. Количество силовских p-подгрупп из G
сравнимо с единицей по модулю p и делит порядок G.
Доказательство теоремы Силова можно найти в учебнике [13].
Применения теоремы Силова. Теорему Силова можно применять для
выяснения строения групп небольших порядков. С ее помощью можно
выяснить простоту группы, иногда найти точное количество силовских
подгрупп, решать другие вопросы о строении группы.
Основы теории групп. Курс лекций
-32-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 17. Алгебраические системы
Примеры алгебраических систем. Если на множестве задана
бинарная операция, то в зависимости от свойств этой операции множество
является группоидом, полугруппой, квазигруппой, лупой или группой.
Группоид — множество, на котором задана бинарная операция.
Отмечают, что на множестве задана
бинарная операция, если
определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам
множества единственный элемент этого же множества.
Полугруппа — множество с ассоциативной бинарной операцией.
Пример. Правило нахождения разности чисел задаёт бинарную
операцию на множестве целых чисел. Полученный так группоид не является
полугруппой.
Пример. Правила сложения и умножения чисел на множестве
натуральных чисел задают полугрупповые операции.
Пример. Пусть Π ( M ) - множество всех преобразований непустого
множества M . Бинарная операция последовательного выполнения
преобразований на множестве Π ( M ) является полугрупповой операцией.
Множество с бинарной операцией, в котором для любых элементов a, b
уравнения ax=b, xa=b имеют единственные решения в нем, называется
квазигруппой.
Бинарную операцию * на множестве S из n элементов можно задать
таблицей их умножения, в которой входной строкой и входным столбцом
является список элементов множества S, а на пересечении строки с входом a
и столбца с входом b располагается значение операции a*b.
Такая таблица называется таблицей Кэли для группоида S с операцией
*. Обычно S = {1, 2,..., n} . Если таблицу Кэли задаёт квадратная матрица
порядка n, каждая строка и каждый столбец которой являются перестановкой
элементов множества S, то такая матрица называется латинским квадратом,
построенным на множестве S. Латинский квадрат существует для любого
где
натурального
числа
n.
Например,
матрица
A = aij ,
aij = i + j − 1(mod n); i, j = 1, 2,..., n, является латинским квадратом.
Каждый латинский квадрат можно рассматривать как таблицу
умножения квазигруппы. Верно и обратное: таблица умножения конечной
квазигруппы есть латинский квадрат. Для того чтобы латинский квадрат
являлся таблицей Кэли группы, необходимо и достаточно
A = aij
выполнение условия: если aij = ai k , ail = ai l , a jk = a j k , то a jl = a j l .
Лупа — квазигруппа с единицей, т. е. с таким элементом e, что ae = ea
= a для любого элемента x из квазигруппы.
Если группоид удовлетворяет аксиомам квазигруппы и полугруппы, то
он является группой.
1 1
11
Основы теории групп. Курс лекций
1 1
11
-33-
РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 17. Алгебраические системы
Напомним, что множество G с бинарной операцией называется
группой: если выполняется ассоциативность (ab)c = a(bc) для любых
элементов a, b, c из G; существует единичный элемент e: ae = ea = a для
любого элемента a из G; для каждого элемента a из G в G существует
обратный элемент a-1: a-1a=aa-1=e.
Свойства ассоциативности и коммутативности операций независимы.
Примеры ассоциативных, но не коммутативных операций уже встречались.
Примером коммутативной, но не ассоциативной операции на множестве
рациональных
чисел
служит
операция
нахождения
среднего
арифметического:
a+b
.
2
Если на множестве задано две операции, то в зависимости от свойств этих
операций множество является либо кольцом, либо полем.
Ассоциативное кольцо — это множество с двумя бинарными
операциями — сложением и умножением, причем по сложению это абелева
группа, по умножению для ненулевых элементов выполняется
ассоциативность, и операции связаны законом дистрибутивности a(b+c) =
ab+ac и (b+c)a = ba+ca для любых элементов a,b,c множества.
Примерами колец являются числовые кольца целых, рациональных и
действительных чисел. Операции умножения в этих кольцах коммутативны,
и кольца обладают единицами. Примером кольца без единицы служит
множество всех четных чисел относительно обычных операций сложения и
умножения.
Кольцо называется полем, если множество всех его ненулевых
элементов относительно операции умножения — абелева группа.
Относительно обычных операций сложения и умножения ненулевых
элементов полями являются множества рациональных и действительных
чисел. Для каждого простого числа p множество целых чисел по модулю p
образует поле относительно сложения и умножения ненулевых остатков.
Основы теории групп. Курс лекций
-34-
РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ
Тема 18. Группы с условиями минимальности и
максимальности
Группы с условиями минимальности и максимальности.
Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для
подгрупп (короче, условию минимальности), если не существует ни одной
бесконечной убывающей цепочки ее подгрупп.
Группы с условием минимальности, как правило, изучались при
некоторых дополнительных ограничениях. Наиболее важным из таких
ограничений является локальная разрешимость группы, которая позволила
построить теорию локально разрешимых групп с условием минималь-ности.
В этом решающая роль принадлежит С.Н. Черникову и его школе.
Группы с условием минимальности изучались также при других
ограничениях, более общих, чем локальная разрешимость. Однако методы,
созданные для локально разрешимого случая, являлись опре-деляющими в
такого рода обобщениях.
Дальнейшее продвижение в теории групп с условием минимальности
было приостановлено трудностями, которые возникли при попытках
обобщить известную теорему Черникова на произвольные группы с условием
минимальности. В связи с этим в известном обзоре Куроша–Черникова в
1947 г. была поставлена проблема, получившая название проблемы
минимальности, которая формулируется в следующей форме:
Будет ли бесконечная группа с условием минимальности (в частности,
локально конечная группа с условием минимальности) конечным
расширением прямого произведения конечного числа квазициклических
групп?
Как отмечалось, только сравнительно недавно эта проблема была
решена отрицательно А.Ю. Ольшанским.
Первый результат принципиального характера был получен в 1963 г.
М.И. Каргаполовым [12]. Опираясь на теоремы Файта–Томпсона [41] и
Брауэра о централизаторе инволюции в конечной группе четного порядка
[18], М.И. Каргаполов решил отрицательно проблему Шмидта в классе
локально конечных групп, являющуюся частным случаем проблемы
минимальности (позднее этот результат передоказывался в работах [30, 39,
42]).
Если проблема минимальности решается отрицательно, то нетрудно
доказать существование такой бесконечной группы G, что G не является
конечным расширением прямого произведения конечного числа
квазициклических групп, а любая ее собственная бесконечная подгруппа
является таковой, причем, как легко показать, группу G можно считать
простой.
Ввиду теоремы 6 из [39] группа G является бесконечным объединением
Основы теории групп. Курс лекций
-35-
РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ
Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности
конечных простых групп и, следовательно, по теореме Файта–Томпсона [41]
содержит инволюции.
Таким образом, решение проблемы минимальности обусловливается
существованием бесконечной серии неизвестных конечных простых групп.
Разумеется, такая редукция не может быть удовлетворительной, т. к.
открывать новые бесконечные серии простых групп и проверять, будет ли их
объединение удовлетворять условию минимальности, – занятие не из легких.
Родственными к условию минимальности являются условия примарной
минимальности и минимальности для абелевых подгрупп.
Определение. Группа G удовлетворяет
условию примарной
минимальности, если для любого простого p каждая цепь
G1 > G2 > … > Gn > …
подгрупп из G такая, что в любой разности Gn \ Gn+1 содержится элемент gn с
условием, что его степень с показателем p k содержится в Gn+1 для
некоторого kn, обрывается через конечное число шагов (определение
принадлежит С.Н. Черникову).
Полное описание локально конечных групп с условием примарной
минимальности получено в работах В.П. Шункова и Я.Д. Половицкого.
Группы Шункова с условием примарной минимальности изучены А.К.
Шлепкиным (определение группы Шункова см. в следующей теме).
n
Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для
абелевых подгрупп, если не существует ни одной бесконечной убывающей
цепочки ее абелевых подгрупп.
В классе групп Шункова решения проблем минимальности и
минимальности для абелевых подгрупп были получены В.П. Шунковым с
А.Н. Остыловским и Н.Г. Сучковой.
Определение. Группа удовлетворяет условию максимальности для
подгрупп (короче, условию максимальности), если не существует ни одной
бесконечной возрастающей цепочки ее подгрупп.
Простейшим примером бесконечной группы, удовлетворяющей
условию максимальности, является бесконечная циклическая группа.
Группа с условием максимальности и ее подгруппы обладают
конечным числом образующих. Действительно, пусть в группе G
обрываются все возрастающие цепочки подгрупп и пусть A есть подгруппа
из G. Выбираем в A элемент a1 и обозначаем его циклическую группу через
A1. Пусть в A уже выбрана подгруппа An с конечным числом образующих.
Если она еще отлична от A, то выбираем в A, но вне An, элемент an+1 и
полагаем An+1 = < An , an+1>. Возрастающая цепочка подгрупп
Основы теории групп. Курс лекций
-36-
РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ
Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности
A1 ⊂ A2 ⊂ … ⊂ An ⊂ …
должна оборваться, т. е. при некотором n будет An = An. Отсюда следует
конечность числа образующих в подгруппе A. Обратно, если в группе G
существует бесконечная возрастающая цепочка подгрупп
B1 ⊂ B2 ⊂ … ⊂ Bn ⊂ …,
то объединение этой цепочки не может обладать конечной системой
образующих. Так как если бы она нашлась: G = < b1, b2, …, bn >, то каждый
из элементов bi , i = 1, 2, … , n, как и вообще всякий элемент из G,
принадлежит к некоторой подгруппе Bk и поэтому ко всем подгруппам Bn
при k ≥ ki. Если l = max (k1, k2, … , kn), то в подгруппе Bl содержатся уже все
элементы b1, b2, …, bn; порожденная ими подгруппа не может, следовательно,
совпадать с G.
Изучение групп с условием максимальности оказалось менее
результативным, чем изучение групп с условием минимальности. К группам
с условием минимальности относятся и черниковские группы.
i
Черниковские группы и их свойства.
Определение. Конечные расширения прямых произведений конечного
числа (в частности, и равного нулю) квазициклических групп называются
черниковскими группами, или группами Черникова.
Основные свойства черниковских групп были получены С.Н. Черниковым, им же доказано, что бесконечная локально разрешимая группа тогда
и только тогда удовлетворяет условию минимальности, когда она является
черниковской (см., напр., [36]).
В.П.Шунков установил ряд критериев, когда группа является
черниковской:
— Если в бипримитивно конечной p-группе централизатор некоторого
элемента простого порядка — черниковская группа, то сама группа
черниковская.
— Если в локально конечной группе силовские 2-подгруппы
черниковские и подгруппы нечетного порядка конечны, то сама группа
черниковская.
— Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием
минимальности для подгрупп является черниковской группой.
Основы теории групп. Курс лекций
-37-
РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ
Тема 19. Условия конечности
Условия бипримитивной конечности, сопряжено биприми-тивной
конечности, их ослабления и обобщения. Условия конечности в группах
могут накладываться на системы подгрупп. Условия минимальности и
максимальности, которые мы рассматривали в предыдущей теме, также
относятся к условиям конечности. Одно из классических условий конечности
– условие локальной конечности.
Локально конечной называется группа, в которой любое конечное
множество элементов порождает конечную подгруппу.
Здесь конечными полагаются все конечнопорожденные группы. Если
множество подгрупп, которые будут конечными, изменить на множество 2порожденных подгрупп, то появляются целые классы групп с условиями
конечности, введенные В.П. Шунковым.
К таким условиям относятся условия бипримитивной конечности,
сопряженно бипримитивной конечности, их ослабления и обобщения.
Определение. (Сопряженно) бипримитивно конечной называется такая
группа G, в которой для любой ее конечной подгруппы K в фактор-группе
NG(K)/K любые два (сопряженных) элемента простого порядка порождают
конечную подгруппу.
Определение. Группа G называется q-(сопряженно) бипримитивно
конечной, если для любой конечной подгруппы H из G в фактор-группе
NG(H)/H любые два (сопряженных) элемента простого порядка q порождают
конечную подгруппу.
Определение. Группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно
конечной, если два любых ее элемента простого порядка (сопряженных
между собой) порождают конечную подгруппу.
Перечисленные условия конечности введены В.П. Шунковым
Сейчас сопряженно бипримитивно конечные группы называются
группами Шункова.
История примеров периодических не локально конечных групп
началась с выступления П.С. Новикова на Всесоюзном математическом
съезде (1959). В период между анонсом П.С. Новикова [20] и появлением
(1968) развернутой публикации [21] примеров бесконечных конечно
порожденных групп нечетного периода ≥ 4381 Е.С. Голод [8, 9] для каждого
простого числа p строит конечнопорожденную p-группу неограниченного
периода. Как и в конструкции Е.С. Голода, построенные в 1971 г.
конечнопорожденные p-группы конструкции С.В. Алешина [3] (см. также
[13,15]) оказались финитно аппроксимируемыми. В класс периодических не
локально конечных групп попала и построенная А.Ю. Ольшанским [22,23]
бесконечная группа, которая порождена двумя элементами порядка p, причем
p – нечетное простое число, и любая собственная ee подгруппа имеет
порядок p. В дальнейшем работа с перечисленными примерами привела к
pазделению различных условий конечности, снижению до 665 периода у
Основы теории групп. Курс лекций
-38-
РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ
Тема 19. Условия конечности
известных конечно порожденных бесконечных групп, появлению
бесконечных конечно порожденных групп четного периода.
Однако, несмотря на усовершенствования, группы ограниченного
периода остаются достаточно громоздкими для изложения. С другой
стороны, Р.И. Григорчук [11] сумел на двух страницах описать бесконечную
3-порожденную 2-группу преобразований единичного отрезка, из которого
удалены двоично рациональные точки. Практически одновременно c группой
Григорчука в конце 1970-х – начале 1980-х гг. появляются конструкция В.И.
Сущанского [31] конечнопорожденных p-групп
подстановок
неограниченного периода и первая работа Ю.И. Мерзлякова [19], см.
также [13], посвященная систематическому изучению конструкций не
локально конечных групп с конечными, но неограниченными в совокупности
порядками элементов.
На базе конструкции Е.С. Голода построены примеры М.Ю. Ба-ховой,
Л. Гамуди и А.И. Созутова периодических не локально конечных групп
неограниченного периода. Они служат источником примеров групп,
разделяющих условия конечности. С помощью прямого и полупрямого
произведения циклических групп построена бипримитивно конечная, но не
бинарно конечная группа А.А. Черепа.
А.В. Рожков создал теорию групп преобразований однородных
деревьев – АТ-групп (от англ. automorphisms trees). АТ-группы называют
также группами алешинского типа, отдавая должное автору первых
примеров 2-порожденных бесконечных p-групп преобразований С.В.
Алешину.
Теоремы А.В. Рожкова [25] разграничивают условие слабой
сопряженной бипримитивной конечности с условиями сильной (a,b)конечности, сопряженной бинарной конечности и слабой бипримитивной
конечности. Он же разграничил классы групп с условиями r-конечности и
сопряженной r-конечности, являющимися обобщениями соответственно
условий бипримитивной конечности и сопряженно бипримитивной
конечности.
Определение. Группа называется (сопряженно) r-конечной, если
любые ее r (сопряженных) элементов порождают конечную подгруппу. При r
= 2 получаем определение сопряженно бинарно конечной группы.
М.Ю. Бахова [4] построила бипримитивно конечную, но не бинарно
конечную группу с произвольным конечным множеством простых делителей
порядков ее элементов, и А.А. Череп [33] доказал, что в бипримитивно
конечной группе множество элементов конечного порядка не обязано
составлять подгруппу — периодическую часть. Описание этих примеров
можно найти в [26].
Здесь были рассмотрены условия конечности, которые появились и
изучались в Красноярской школе по теории групп, более подробно см. [26,
27]. Большое число условий конечности рассматривается в [16. С. 337-342,
501-506].
Основы теории групп. Курс лекций
-39-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 20. Группы диэдра
Определения и свойства групп диэдра.
Определение. Группой диэдра называется группа, порождённая двумя
инволюциями, т. е. элементами порядка 2.
В этом пункте зафиксируем обозначения: i,k – инволюции, G=<i.k> —
группа диэдра, a=ik.
Теорема 20.1. Группа G имеет вид G=(a) λ (i)=(a) λ (k), и справедливы
соотношения i-1ai=a-1, k-1ak=a-1.
Доказательство. Рассмотрим следующие соотношения:
i −1ai = iai = iiki = ki = a −1 ,
r −1ak = kak = kikk = ki = a −1.
Так как произвольный элемент u группы G представляет собой запись
вида
u = t1t2 … tn ,
где ts ( s = 1,… , n) либо i, либо k, то получим при сопряжении элементом u
n
u −1au = a ( −1) . А это означает нормальность циклической группы (a) в G.
Очевидно,
G = <a,i> = <a,k> и G = (a) λ (i)=(a) λ (k).
Теорема доказана.
Свойства группы диэдра существенно отличаются в зависимости от
порядка элемента a=ik. Причём выделяется три случая: a имеет чётный
порядок, нечётный, бесконечный.
Пусть сначала |a|=2n-1, нечётное число n ∈ N.
Теорема 20.2. G — группа Фробениуса с ядром (a) и неинвариантным
множителем (i).
Доказательство. Обозначим H = (i). Пусть x — некоторый элемент из
G\H. По теореме 20.1 его можно представить в виде x = a γ iα , где 0 < γ < a и
α = 0, 1 . Предположим, H ∩ H x ≠ 1 .
В силу того, что H – подгруппа второго порядка H=Hx или
i = x −1ix = i −1a −γ ia γ ⇒ iii = a −γ iaγ ⇒
i = a −γ ia γ = ii −1a −γ ia γ = i (i −1ai ) −γ a γ = ia γ a γ = ia 2γ .
Это означает: a 2γ = 1 , а это невозможно. Следовательно, (G, H) – пара
Фробениуса.
Основы теории групп. Курс лекций
-40-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 20. Группы диэдра
Теперь остаётся доказать, что любой элемент вида a mi (m ≥ 0) есть
инволюция, сопряжённая с i в G.
Сначала докажем, что инволюции i, k сопряжены в группе G.
Так как a = ik и |a| = 2n-1, то ik=a2n. Отсюда
k = i −1a 2 n = i −1a n a n = i −1a nii −1a n = a − nia n .
Итак,
k = a − nia n .
Рассмотрим две возможности для m. Пусть m=2s – чётное число
a mi = a s a si = a siia si = a s ia − s ,
т. е. ami, i сопряжены. Пусть имеет место вторая возможность
m = 2 s − 1,
a mi = a s a −1a si = a s kia si = a s ka − s .
Как показано, k = a − nia n . Отсюда, ввиду a mi = a s ka −1 , получим
a mi = a s ka − s = a s −nia − s + n .
Теорема доказана.
Упражнение. Доказать, что для группы
G
из теоремы 20.2
выполняются равенства:
G' = (a), Z(G) = 1.
Теперь рассмотрим случай |a| = 2n — чётное число (n ∈ N).
Теорема 20.3. Пусть |a| =2n, тогда имеет место одно из утверждений:
1) Z(G) = G — группа Клейна;
2) Z(G) = (an), где an — инволюция.
Доказательство. Обозначим инволюцию a n через j. По теореме 20.1
i −1 ji = i −1a ni = ( a −1 ) n = ( a n ) −1 = j −1 = j ,
т. е.
ji = ij .
Аналогично jk = kj . Ввиду того, что любой элемент группы G
представим в виде произведения некоторого числа инволюций i, k, то j
находится в центре группы G.
Предположим, что ( j ) ≠ Z (G ) , и пусть x – некоторый элемент из
Z (G )\( j ) . По теореме 20.1 x = a γ iα , где 0 ≤ r ≤ α , α = 0,1. Если α = 1 , то
x −1ax = a −1 . С другой стороны, из x ∈ Z (G ) следует: x −1ax = a и, значит,
a = a −1 , т. е. a – инволюция, и поэтому j = a. Так как G = <a,i> = <j,i> и
Основы теории групп. Курс лекций
-41-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 20. Группы диэдра
j ∈ Z (G ) , то G = ( j ) × (i ) – элементарная абелева группа порядка 4 (группа
Клейна).
Пусть G не является группой Клейна. По доказанному α = 0 , т. е. x =
γ
a ∈ <a>.
По теореме 20.1 i −1 xi = i −1 , но x ∈ Z (G ) , значит, i −1 xi = x . Из двух
равенств получаем x = x −1 . Следовательно, x – инволюция из a, и из строения
циклической группы видно, x = j вопреки предположению, что x ∈ Z (G )\( j ) .
Полученное противоречие доказывает: если G – не группа Клейна, то
Z (G ) = ( j ) = (a n ) . Теорема доказана.
Упражнение. Доказать методом от противного: инволюции i, k не
сопряжены в группе G.
Рассмотрим третий случай: порядок элемента a бесконечен. Здесь
справедливы следующие свойства:
— инволюции i, k не сопряжены в G;
— Z(G) = 1.
Упражнение. Найти G' в случае, когда порядок элемента a бесконечен.
Тема 21. Группы подстановок и матриц
Группы подстановок и матриц. Представление группы диэдра
группой подстановок. Пусть 123 — правильный треугольник,
(1, 2, 3) — поворот на 1200 , совмещающий треугольник 123 с собой, причем
вершина 1 переходит в вершину 2, которая переходит в вершину 3. Вершина
3 отображается в вершину 1. Если последовательно выполнить этот поворот
2 раза, то получим поворот (1, 3, 2) :
(1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2),
а если 3 раза, то
(1, 2, 3)(1, 2, 3)(1, 2, 3) = (),
где () — тождественный поворот, при котором все точки неподвижны.
Совокупность трех этих поворотов и операции последовательного
выполнения любых двух из них называют циклической группой поворотов
порядка 3 и обозначают C3 . Операцию последовательного выполнения
поворотов будем называть также композицией или умножением поворотов.
Понятно, что все элементы группы C3 можно получить умножением из
нетождественного поворота.
Основы теории групп. Курс лекций
-42-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 21. Группы подстановок и матриц
Аналогично для каждого натурального числа n определяется группа
Cn . Любой ее элемент можно получить из поворота (1, 2,..., n) на угол 360 /n
градусов. К элементам группы Cn добавим (пространственный) поворот i
вокруг оси, проходящей через центр правильного n -угольника 12…n и его
вершину. Пусть 1 — номер этой вершины. Тогда поворот i задается
следующей перестановкой i его вершин:
⎧(2, n)(3, n − 1)(4, n − 2)…(n/ 2, n/ 2 + 2), n = 2m, m ∈ N ,
i=⎨
⎩ (2, n)(3, n − 1)…((n + 1) / 2, (n + 3) / 2), n = 2m + 1, m ∈ N .
Пусть c = (1, 2,..., n). Как отмечалось, c, c 2 ,..., c n −1 , () — все элементы
циклической группы Cn . Элемент c называют порождающим элементом
группы Cn и записывают
Cn =< c > .
Элементы c, i являются порождающими группы D2⋅n , т.е.
D2⋅n =< c, i > .
Упражнение. Доказать, что c, c 2 ,..., c n −1 , (), ic, ic 2 ,..., ic n −1 , i — все элементы
группы D2⋅n .
Если не выходить в пространство, а оставаться в плоскости, то
повороты
ic, ic 2 ,..., ic n −1 , i
можно рассматривать как симметрии с осями, проходящими через центр
правильного n -угольника.
Итак, построены серии циклических групп C2 , C3 ,... и групп диэдра D4 ,
D6 , D8 ,….
Определение. Взаимно однозначное отображение непустого
множества M на себя называют подстановкой множества M . Композицию
подстановок будем называть умножением подстановок.
Поскольку совокупность всех взаимно однозначных отображений
любого множества на себя является группой относительно композиции
отображений, то множество всех подстановок, действующих на данном
множестве, образует группу относительно умножения подстановок. Эта
группа называется симметрической группой подстановок множества M , а в
случае если множество M состоит из конечного числа n элементов, то эту
группу обозначают Sn и называют симметрической группой подстановок n -й
степени. Всякую подгруппу группы Sn называют группой подстановок.
Элементы конечного множества, на котором действует подстановка,
всегда можно пронумеровать. Поэтому можно считать, что подстановки n -й
Основы теории групп. Курс лекций
-43-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 21. Группы подстановок и матриц
степени отображают на себя множество {1, 2,..., n} первых n чисел
натурального ряда. Любую подстановку g из Sn можно задать таблицей из
двух строк, выписав в первой строке числа 1, 2,..., n, а во второй — под
каждым элементом его образ при отображении g, т.е. записывая как i g образ
каждого числа i = 1, 2,…, n при подстановке g, получаем
⎛
⎜
⎜
⎜⎜ g
⎝
2 … n ⎞⎟
⎟.
2g … n g ⎟⎟⎠
1
g=
1
В частности, тождественная подстановка имеет вид
⎛1 2 … n ⎞
⎜
⎟,
⎝1 2 … n ⎠
а обратную для g подстановку можно записать в виде
⎛1g
⎜
⎝1
2g … n g ⎞
⎟.
2 … n⎠
Определение. Нетождественную подстановку g ∈ Sn вида
⎛
i
⎜i
g = ⎜⎜ 1 2
⎜i
i3
⎝ 2
ik +1
in ⎞⎟
i1 ik +1
in ⎟⎟⎠
ik −1 ik
ik
⎟
называют циклом, а число k — длиной цикла g.
Вместо табличной записи для цикла g употребляют более экономную
запись:
( i1 , i2 ,…, ik −1 , ik ) .
Эта запись применялась уже для обозначений подстановки, порождающей
циклическую группу. Заметим, что в этой форме цикл длины k может быть
записан ровно k различными способами.
Следующую теорему будем считать известной из курса алгебры.
Теорема 21.1. Произвольная неединичная подстановка n -й степени
либо является циклом, либо раскладывается в произведение некоторого
числа попарно независимых циклов. Такое разложение однозначно с
точностью до перестановки сомножителей.
Неизменность циклического строения подстановки при её сопряжении
обеспечивает следующее
Предложение. Пусть подстановка g ∈ Sn представлена в виде
произведения циклов
g = ( a1 , a2 ,…, ak ) ( b1 , b2 ,…, bl ) …( c1 , c2 ,…, cm ) ,
тогда для f ∈ Sn справедливо равенство
f −1 gf = ⎛⎜⎝ a1f , a2f ,…, akf
⎞⎛ f
⎟⎜ 1
⎠⎝
b , b2f ,…, bl f ⎞⎟⎠ …⎛⎜⎝ c1f , c2f ,…, cmf ⎞⎟⎠ .
Доказательство. Пусть α ∈ {1, 2,.., n}, β = α g . Тогда
β = α
f
⎛
⎜
⎝
g ⎞f
⎟
⎠
=
⎛⎛
⎜⎜⎛
⎜⎜⎜
⎜⎜⎝
⎜⎝
⎝
α
f ⎞f
⎟
⎠
Основы теории групп. Курс лекций
−1
⎞ g ⎞⎟
⎟ ⎟
⎟
⎟ ⎟⎟
⎠ ⎠
f
= ⎛⎜⎝ α f
⎞f
⎟
⎠
−1
gf
.
-44-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 21. Группы подстановок и матриц
Следовательно, подстановка g переводит α в β тогда и только тогда, когда
f −1 gf переводит α f в β f . В частности, множество передвигаемых символов
подстановки f −1 gf можно представить в виде образа множества
передвигаемых символов подстановки g при действии на него подставкой f ,
и если g = ( a1 , a2 ,…, ak ) — цикл, то f −1 gf = ⎛⎜⎝ a1f , a2f ,…, akf ⎞⎟⎠ . Теперь второе равенство
предложения является следствием равенства
f −1 gf = f −1 ( a1 , a2 ,…, ak ) f ⋅ f −1 ( b1 , b2 ,…, bl ) f … f −1 ( c1 , c2 ,…, cm ) f .
Определение. Транспозицией в Sn называют цикл длины 2.
Теорема 21.2. Группа Sn порождена:
1) множеством всех транспозиций;
2) множеством всех транспозиций вида (1, a), a = 2, 3,…n;
3) множеством всех транспозиций вида ( a, a + 1), a = 1, 2,…, n − 1;
4) транспозицией (1, 2) и циклом (1, 2,…, n).
Доказательство. 1) Тождественная подстановка разлагается в
произведение
транспозиций
Если
то
(1, 2)(2,1).
g = ( a1 , a2 ,…, ak ) ,
g = (a1 , a2 )( a1 , a3 ) …( a1 , ak ). Поэтому группа S n порождается множеством всех
транспозиций.
2) Пусть H 2 = (1, 2)(1, 3),…(1, n) . Тогда для (1, α ), (1, β ) ∈ H 2 из равенства
(α , β ) = (1, α )(1, β )(1, α ) следует, что любая транспозиция (α , β ) лежит в
подгруппе H 2 группы Sn . Ввиду того, что утверждение 1 теоремы уже
доказано, получаем истинность утверждения 2.
3) Пусть H 3 = (1, 2)(2, 3),…(n − 1, n) . Подгруппа H 3 содержит все
транспозиции вида (1, α ) , т. к. (1, 2) ∈ H 3 , и если (1, α − 1) ∈ H 3 , то
(1, α ) = (α , α − 1)(1, α − 1)(α − 1, α ) ∈ H 3 .
Следовательно, H 2 < H 3 , а значит и H 3 = S n
4) Указанное в последнем пункте теоремы множество порождает
группу Sn потому, что для каждой транспозиции (α , α + 1) группы H 3
справедливо равенство
(α , α + 1) = (1, 2,…, n) −α (1, 2)(1, 2,…, n)α .
Теорема доказана.
Представим теперь повороты группы Cn в виде матриц. Пусть поворот
плоскости на угол ψ вокруг начала координат O отображает точку M на
точку M 1 , а репер R (O, i , j ) — на репер R1 (O, i1 , j1 ). Полагая известными
Основы теории групп. Курс лекций
-45-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 21. Группы подстановок и матриц
координаты x, y точки M в репере R, вычислим в этом же репере координаты
x1 , y1 точки M 1 .
⎛ cosψ ⎞
⎛ cos(ψ + 90 ) ⎞
Очевидно, ⎜
⎟
⎟ — координаты вектора i1 в репере R, а ⎜
⎝ sinψ ⎠
⎝ sin(ψ + 90 ) ⎠
— координаты вектора j1 в том же репере. Заметим, что OM 1 = ix1 + jy1 = i1 x + j1 y
или в матричной записи OM1 = ( i , j )
равенстве
векторы
x
⎛ x⎞
= ( i1 j1 ) ⎜ ⎟ . Заменив в последнем
y
⎝ y⎠
⎛
⎞
⎜ 1⎟
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1⎠
столбцами
их
координат,
получим
cos(ψ + 90 ) ⎞ ⎛ x ⎞ x
⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ x ⎞
=⎜
⎟⎜ ⎟,
⎟⎜ ⎟ .
sin(ψ + 90 ) ⎠ ⎝ y ⎠ y
⎝ sinψ cosψ ⎠⎝ y ⎠
Таким образом, циклическую группу Cn порядка n можно представить как
⎛ cosψ
⎛1 0⎞ x
⎜
⎟ y =⎜
⎝0 1⎠
⎝ sinψ
⎛
⎞
⎜ 1⎟
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1⎠
⎛
⎞
⎜ 1⎟
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1⎠
линейную группу, порождённую матрицей
⎛ cosψ
⎜
⎝ sinψ
− sinψ ⎞
2π
.
⎟ ,ψ =
cosψ ⎠
n
Её повороты вокруг начала координат можно рассматривать и как повороты
вокруг оси аппликат, если перейти в трёхмерное пространство. Тогда
матрица поворота, порождающего эту группу, тоже будет трехмерной:
⎛ cosψ
⎜
⎜ sinψ
⎜ 0
⎝
− sinψ
cosψ
0
0⎞
⎟
0⎟.
1 ⎟⎠
Этой матрицей и матрицей
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −1 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 −1⎠
поворота на угол π вокруг оси абсцисс порождена группа диэдра D2⋅n . А сам
диэдр, т.е. правильный n -угольник, расположен в плоскости xOy так, что его
центр совпадает с началом координат, а одна из вершин лежит на оси
абсцисс Ox.
Полученные линейные представления циклических и диэдральных
групп позволяют рассматривать их как подгруппы специальной линейной
группы SL3 ( R ) матриц степени 3 с единичным определителем над полем
действительных чисел R относительно обычного умножения матриц.
Относительно такого умножения группой является и множество GLn ( K ) всех
обратимых матриц степени n над коммутативным кольцом K с единицей.
Очевидно, SLn ( K ) — подгруппа группы GLn ( K ) и подгруппа SLn ( K )
некоммутативна при n ≥ 2. Свойства групп подстановок и интересные
упражнения по ним можно найти в [7].
Основы теории групп. Курс лекций
-46-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 22. Группы движений
Геометрические преобразования. Движения. Симметрии фигур.
Взаимно однозначное отображение пространства на себя называется
преобразованием пространства. Движением называется преобразование
пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя его точками.
Теорема 22.1 (Леонардо да Винчи). Всякая конечная группа движений
плоскости является либо группой Cn , либо группой D2⋅n .
Доказательство. Пусть G — группа, M — множество, для каждого
m ∈ M и каждого g ∈ G в M определён элемент mg. Напомним, что группа G
действует на множестве M , если для её единицы ε и её элементов g1 , g 2
справедливы равенства m( g1 g 2 ) = (mg1 ) g 2 и mε = m. Множество mG = {mg | g ∈ G}
называют орбитой элемента m. Пусть G — конечная группа движений и X
— произвольная точка плоскости. Центр тяжести O системы точек X G под
действием любого элемента G должен переходить в себя. Следовательно, G
может содержать лишь повороты вокруг точки O и симметрии относительно
прямых, содержащих точку O. Если среди всех поворотов, входящих в G,
выбрать поворот c на наименьший угол 2nπ , то все остальные повороты будут
ему кратны. Таким образом, повороты образуют в G подгруппу Cn .
Предположим, что группа G содержит кроме Cn хотя бы одну
симметрию ia относительно прямой a, проходящей через точку A. Покажем
тогда, что G содержит n симметрий с осями, пересекающимися в точке A, и
углом πn между соседними осями. Представим поворот c как композицию
двух осевых симметрий c = iaib с углом πn между их осями a и b. Так как c ∈ G,
ia ∈ G, то ia c ∈ G , но ia c = ia ia ib = ib , т.е. ib ∈ G. Так, получаем, что G содержит и
другие симметрии с указанными осями. Получаем, G = D2⋅n . Теорема
доказана.
Группы симметрий правильных многогранников. Конечные и
бесконечные группы симметрий пространственных и плоских фигур. В
зависимости от знака определителя матрицы, задающей движения
пространства, различают собственные и несобственные движения.
Определитель матрицы несобственного движения отрицателен. Группу всех
собственных движений, совмещающих фигуру P с собой, будем обозначать
Aut + ( P ), а группу движений, совмещающих P с собой — Aut ( P ). Элементы
группы Aut ( P ) будем называть движениями или симметриями фигуры P.
Предложение.
Если
группа
симметрий
обладает
Aut ( P )
+
несобственной симметрией, то индекс её подгруппы Aut ( P ) равен 2.
Доказательство. Пусть s — несобственная симметрия группы Aut ( P ).
Тогда в смежном классе s Aut + ( P ) все движения несобственные.
Предположим, что в группе Aut ( P ) нашлось такое несобственное движение
s1 , что s1 ∉ s Aut + ( P ). Поскольку произведение несобственных движений
Основы теории групп. Курс лекций
-47-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 22. Группы движений
задаётся произведением их матриц и, следовательно, является собственным
движением, а обратное к несобственному движению движение тоже
несобственное, то s −1s1 = g для некоторого g ∈ Aut + ( P ). Следовательно,
s1 = sg ∈ s Aut + ( P ). Полученное противоречие доказывает предложение.
Собственное движение с неподвижной точкой является поворотом.
Поэтому конечная группа Aut + ( P ) состоит из поворотов.
Известно [2], что конечных групп поворотов трехмерного
пространства, кроме перечисленных бесконечных серий циклических и
диэдральных групп, существует только конечное число. Это подгруппы
групп всех поворотов, совмещающих с собой тетраэдр, икосаэдр и куб.
Группа поворотов правильного тетраэдра. Обозначим её A4 . Ось
поворота, совмещающего с собой тетраэдр 1234, может проходить
только через: 1) вершину, 2) середину ребра, 3) центр грани. Очевидно, если
ось поворота, совмещающего тетраэдр с собой, проходит через вершину, то
она проходит и через середину противолежащей ей грани. Всего таких осей
4. Ясно также, что если ось проходит через середину ребра, то она пересекает
и середину скрещивающегося с ним ребра. Каждой такой оси соответствует
один нетождественный поворот (на 1800 ), совмещающий тетраэдр 1234 с
собой. Число пар скрещивающихся ребер у тетраэдра равно 3. Количество
совмещающих с собой тетраэдр нетождественных поворотов с осью,
проходящей через вершины, насчитываем 6 × 1 + 3 × 3 + 4 × 2 + 1 = 24 Таким
образом, в группе поворотов тетраэдра 3 + 8 = 11 нетождественных поворотов.
Другими словами, порядок группы A4 равен 12.
Заметим, что каждому повороту группы Aut + (1234) соответствует
четная подстановка четвертой степени. Симметрией тетраэдра 1234 является
отражение от плоскости, содержащей его ребро 34 и середину
противоположного ребра 12. Этому отражению соответствует нечётная
подстановка (1, 2). Согласно доказанному предложению, получаем, что группа
симметрий правильного тетраэдра изоморфна симметрической группе
перестановок его вершин.
Упражнение. Доказать, что
а) A4 = (1, 2, 3), (2, 3, 4) , б) A4 = (1, 2)(3, 4), (2, 3, 4) ,
где (1, 2, 3) — поворот на 120 вокруг оси, проходящей через центр грани 123 и
вершину 4, (1, 2)(3, 4) — поворот на 180 вокруг прямой, пересекающей
Основы теории групп. Курс лекций
-48-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 22. Группы движений
середины ребер 12 и 34. Напомним (тема 4), что запись G = M означает, что
группа G порождена множеством M , т.е. каждый элемент g ∈ G можно
представить в виде g = m1ε m2ε …mkε , mi ∈ M , ε i = ±1, для некоторых натуральных
чисел k.
1
2
k
Группа поворотов куба. Расположим тетраэдр так, что каждое его
ребро является диагональю грани куба. Теперь очевидно, что группа
поворотов тетраэдра является подгруппой группы поворотов куба.
Проходящие через середины рёбер тетраэдра оси поворотов, совмещающих
его с собой, стали теперь осями поворотов, совмещающих куб с собой,
причём число таких поворотов удвоилось — добавились повороты на 90 и
270 . Появились также новые оси поворотов. Они проходят через середины
противоположных рёбер куба. Диагонали куба лежат на прямых, проходящих
через вершины тетраэдра и середины его граней. Повороты вокруг этих
прямых на углы, кратные 120 , совмещают с собой куб. Поскольку число пар
противоположных рёбер у куба равно 6, число пар противоположных граней
— 3 и диагоналей – 4, то получаем 6 × 1 + 3 × 3 + 4 × 2 + 1 = 24 поворота,
совмещающих куб с собой. Заметим, что между множеством этих поворотов
и множеством перестановок диагоналей куба устанавливается взаимно
однозначное соответствие. Следовательно, группа поворотов куба изоморфна
симметрической группе степени 4.
Зададим матрицами повороты, совмещающие куб с собой. Для этого
координатные оси расположим на прямых, проходящих через середины
противоположных граней. А именно, из граней 1234, 1485, 1562,
изображённых на рис. 2, выходят оси абсцисс Ox, ординат Oy, аппликат Oz
соответственно. Пусть числами 1, 2, 3, 4 обозначены диагонали грани и
повороту на прямой угол вокруг оси Ox соответствует их циклическая
перестановка (1, 2, 3, 4). Этот поворот задаётся также матрицей
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎟
a = ⎜ 0 0 −1⎟ .
⎜0 1 0 ⎟
⎝
⎠
Поворот на 180 вокруг оси, соединяющей середины противоположных рёбер
куба, меняет местами две его диагонали, а каждую из двух других
отображает на себя. Пусть перестановке (1, 2) диагоналей куба соответствует
поворот вокруг биссектрисы координатного угла xOz. Построим матрицу b
этого поворота. Поскольку симметрическая группа S4 порождается
перестановками (1, 2) и (1, 2, 3, 4), то матрицы a и b будут порождать группу
поворотов куба.
Пусть c — поворот системы координат на 45 вокруг оси Oy.
Очевидно,
Основы теории групп. Курс лекций
-49-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 22. Группы движений
⎛ 2
⎜
⎜ 2
c=⎜ 0
⎜
⎜− 2
⎜
⎝ 2
2⎞
⎟
2 ⎟
0 ⎟.
⎟
2⎟
⎟
2 ⎠
0
1
0
Теперь первая координатная ось проходит через середину ребра куба и
поворот вокруг этой оси на 180 совмещает куб с собой. При изучении
группы диэдра уже рассматривалась (диагональная) матрица этого поворота.
А сопряженная с ней матрица
⎛1 0 0 ⎞
⎛ 0 0 −1⎞
⎜
⎟ −1 ⎜
⎟
c ⎜ 0 −1 0 ⎟ c = ⎜ 0 −1 0 ⎟
⎜ 0 0 −1⎟
⎜ −1 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
и является искомой матрицей b, т.е.
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 −1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
Aut (куб) = ⎜ 0 0 −1⎟ , ⎜ 0 −1 0 ⎟ .
⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ −1 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
+
2
3
1
4
6
7
5
8
Рис.1 Икосаэдр
Рис.2 Рёбра икосаэдра на гранях куба Группа поворотов икосаэдра. Напомним, что решение
5 −1
2
Основы теории групп. Курс лекций
-50-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 22. Группы движений
уравнения x 2 + x − 1 = 0 определяет отношение ребра икосаэдра к ребру куба
(рис. 1, 2), много веков называемое золотым сечением единичного отрезка.
На рис.2 более толстыми линиями изображены расположенные на гранях
куба рёбра икосаэдра. Пара таких рёбер, расположенных на
противоположных гранях куба, определяет прямоугольник, а все шесть этих
рёбер определяют прямоугольную триаду икосаэдра. В каждом икосаэдре
можно построить 5 таких триад. Оказывается, между множеством всех
чётных подстановок прямоугольных триад и множеством всех поворотов,
совмещающих икосаэдр с собой, существует взаимно однозначное
соответствие. Оно является изоморфизмом знакопеременной группы A5
чётных подстановок 5-й степени и группы Aut + (икосаэдр) .
В качестве порождающих последней группы можно взять повороты на
120 вокруг осей, проходящих через середины смежных треугольных граней
икосаэдра. Удобно выбрать общим ребром таких граней расположенное на
грани куба ребро икосаэдра. Тогда в рассмотренной уже при изучении
группы поворотов куба системе координат указанные оси поворотов
икосаэдра окажутся в координатной плоскости. Если прямоугольные триады
пронумеровать числами 1, 2, 3, 4, 5, то поворотам, выбранным в качестве
порождающих группы, Aut + (икосаэдр) будут соответствовать подстановки
(1, 2, 3) и (1, 4, 5), порождающие группу A5 .
Около 1890 г. знаменитый русский кристаллограф и геометр
Е.С.Федоров решил теоретико-групповыми методами одну из основных
задач
кристаллографии:
задачу
классификации
правильных
пространственных
систем
точек.
Это
было
первым
случаем
непосредственного применения теории групп в естествознании и оказало
существенное влияние на развитие теории групп.
При изучении кристаллов, естественно, возникает предположение о
некоторой правильности расположения в них атомов. Оказалось, что описать
все возможные кристаллические решётки проще, если предварительно
вычислить для них группы симметрий. Сегодня эти группы называют
федоровскими. Эта задача связана с задачей разбиения пространства на
совокупность равных многогранников, непересекающихся по своим
внутренним точкам. Для простоты проясним ситуацию на плоскости.
Допустим, что плоскость разбита на бесконечную совокупность квадратов,
как на клетчатом тетрадном листе.
Рассмотрим подгруппу G группы симметрий этой бесконечной фигуры
со свойством: каждый из квадратов рассматриваемого разбиения является
фундаментальной областью группы G, т.е. такой областью внутри которой ни
одна точка не содержит своих образов при действии нетождественным
элементом группы G. Тогда для группы G возможны следующие варианты:
1. Группа G состоит из линейных комбинаций двух параллельных
переносов по вертикали и горизонтали с целочисленными коэффициентами,
т.е. G – прямая сумма двух бесконечных циклических групп.
Основы теории групп. Курс лекций
-51-
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 22. Группы движений
2. Группа G состоит из осевых симметрий с осями, содержащими
стороны фундаментальной области, и всевозможных их композиций. В этом
случае этой группе естественно сопоставить разбиение плоскости на
квадраты, закрашенные так, как на шахматной доске.
Разбиение плоскости можно сделать более мелким и выбрать в
качестве фундаментальной области четверть клетки – равнобедренный
прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает со стороной
клетки, а вершина прямого угла совпадает с центром клетки. Группу G тогда
нужно дополнить поворотами на 45 вокруг центров квадратов.
Начальное разбиение плоскости можно дробить и дальше, полагая, что
фундаментальная область соответствующей группы совпадает с 1/8 частью
квадрата и т.д.
Упражнение. Докажите, что для разбиений плоскости на совокупность
правильных n-угольников n может принимать только значения 3, 4 и 6.
Оказывается, что на этом пути можно получить только 17 различных
групп симметрий. Мастера орнамента практически открыли орнаменты со
всеми возможными группами симметрий: на долю теории групп выпало
лишь доказать отсутствие других видов. Подробный вывод и перечисление
всех фёдоровских групп движений пространства и в настоящее время
требуют нескольких десятков страниц текста. Сообщим лишь, что
существует только 230 фёдоровских групп движений
пространства.
Некоторые из них были открыты благодаря применению теории групп.
Основы теории групп. Курс лекций
-52-
РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тема 23. Атласы групп
Таблицы групп. Атласы конечных простых групп и представлений
конечных групп. Конечной целью собственно теории групп является
описание всех существующих в природе групповых композиций. Понятно,
что задача получения списка всех групп неразрешима. Однако частичные
решения этой задачи приводят к таблицам групп. Такие таблицы или ссылки
на них появляются уже в первых книгах по теории групп. Например, шестая
глава книги О.Ю.Шмидта [37] завершена построением всех групп 12-го
порядка и таблицей, указывающей для каждого n < 32 число неизоморфных
групп порядка n.
«Очаровательная
коллекция
конкретных
групп,
записанных
порождающими элементами и определяющими соотношениями» — такая
характеристика книги [14] дана редактором её перевода. Эта книга (см. также
[13]) содержит и метод перечисления смежных классов Тодда-Коксетера,
позволяющий найти определяющие соотношения для групп, заданных к.-н.
иным способом.
Этот метод многократно программировался и является сегодня частью
систем компьютерной алгебры. Таким образом, системы компьютерной
алгебры служат источником для составления таблиц групп. Системы
компьютерной алгебры MAGMA и GAP отражают два основных способа
представления группы: комбинаторный (порождающими элементами и
определяющими соотношениями) и в виде группы преобразований
(подстановками или матрицами). Открытая для пользователей система GAP
[43] создавалась на основе подстановочного представления группы. Кроме
большого количества запрограммированных алгоритмов, позволяющих
строить списки групп с нужными пользователю свойствами, система GAP
содержит и готовые таблицы групп.
Здесь приведён список некоторых групп из библиотеки системы GAP с
указанными в скобках командами обращения к этим группам, причём
параметр filt в этих командах определяет способ задания группы. Например,
при filt=IsPermGroup получаем подстановочное представление группы, а при
filt = IsMatrixGroup — её линейное представление.
Циклическая группа порядка n (CyclicGroup( [filt, ]n ));
Абелева группа, разложимая в прямую сумму групп порядков
ints[1], ints[2],..., ints[ n] для списка ints натуральных чисел (AbelianGroup( [filt,
]ints ));
Группа диэдра порядка n (DihedralGroup( [filt, ]n ));
Знакопеременная группа степени deg (AlternatingGroup( [filt, ]deg ));
Симметрическая группа степени deg (SymmetricGroup( [filt, ]deg ));
Группа Матье степени degree (MathieuGroup( [filt, ]degree ));
Основы теории групп. Курс лекций
-53-
РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тема 23. Атласы групп
Общая линейная группа обратимых d × d матриц над кольцом R (GL(
[filt, ]d, R ));
Общая линейная группа обратимых d × d матриц над конечным полем
из q элементов (GL( [filt, ]d, q ));
Специальная линейная группа обратимых d × d матриц над кольцом
R (SL( [filt, ]d, R ));
Специальная линейная группа обратимых d × d матриц с единичным
определителем над конечным полем из q элементов (SL( [filt, ]d, q ));
Проективная специальная линейная группа, изоморфная фактор-группе
группы SL( d , q ) по её центру (PSL( [filt, ]d, q ));
Группа под номером i каталога всех групп порядка order (SmallGroup(
order, i )), order ≤ 2000, order ≠ 1024 (423164062 группы).
Кроме того, в каталоге групп малых порядков системы GAP можно
найти каждую группу порядка:
— p n для n ≤ 6 и для каждого простого числа p ;
— q n ⋅ p для q n , делящего 28 , 36 , 55 или 7 4 , и для каждого простого p ,
p ≠ q;
— имеющего не более 3 различных простых делителей.
Заметим, что каждый из этих случаев охватывает бесконечное
множество групп.
Командой AllSmallGroups( arg ) можно вызвать все группы со
свойством arg . Например, по команде AllSmallGroups( 1029, IsNilpotent )
выписываются все 5 нильпотентных групп порядка 1029, причём каждая из
них задана системой из 4 порождающих элементов и определяющими
соотношениями.
Помещённый в дополнении пример О.Ю.Шмидта группы Фробениуса
с некоммутативным инвариантным множителем находится в каталоге
системы GAP. Таким образом, свойства этой группы можно получить
сегодня и с помощью этой системы, либо обратившись к её каталогу групп,
либо построив в системе GAP указанную группу на языке определяющих
соотношений.
Система GAP может обращаться и к существующему отдельно от неё
Атласу представлений конечных групп [44]. Атлас содержит: спорадические
группы (т.е. исключительные конечные простые группы), знакопеременные
группы, линейные группы, другие классические группы, исключительные
группы лиева типа и некоторые другие группы. Из бесконечных серий групп
берутся только группы малых рангов над полями небольших порядков.
Каждая группа этого Атласа задаётся своими порождающими
элементами, которые названы "‘стандартными"’. Каждый стандартный
порождающий группы записан в виде матрицы или подстановки. Авторы
Атласа стремятся получить как можно больше представлений стандартных
порождающих. Каждой группе Атласа посвящена его страница, которая, если
это возможно, содержит также по представителю каждого класса
сопряжённых элементов этой группы и список её максимальных подгрупп.
Основы теории групп. Курс лекций
-54-
РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тема 23. Атласы групп
Атлас представлений конечных групп позволил найти другие
порождающие некоторых его групп. Например, на сайте ИВМ СО РАН
(http://icm.krasn.ru/resources.php?resid=10) для каждой (кроме группы Монстр)
спорадической группы размещено три инволюции, порождающих эту группу,
причем либо две из них перестановочны, либо в каждой состоящей из трёх
инволюций системе порождающих этой группы любые две инволюции не
коммутируют.
Тема 24. Заключение
Как мы уже отмечали в начале курса лекций, в настоящее время теория
групп представляет собой хорошо развитую область математики. В
Красноярске в августе 2007 г. проходила международная алгебраическая
конференция, посвященная 75-летию профессора В.П.Шункова. Многие
участники этой конференции приехали в Красноярск с только что
закончившегося
международного
российско-китайского
семинара,
проходившего на озере Байкал. В сентябре 2007 г. в Санкт-Петербурге
проходила международная алгебраическая конференция, посвященная 100летию со дня рождения Д.К. Фаддеева. Работало четыре её секции.
Наибольшее число докладов было прочитано в секции «Теория групп». В
некоторые дни эта секция делилась на три подсекции: бесконечные группы,
конечные группы и конечные геометрии, абелевы группы.
В России работают постоянно действующие алгебраические семинары,
на которых регулярно заслушиваются доклады по теории групп, в т. ч. и
доклады красноярских алгебраистов. Это семинары МГУ, ИМ УрО РАН, ИМ
СО РАН, НГУ, Красноярский городской алгебраический семинар,
работающий на базе СибФУ.
Российские ученые имеют большой авторитет в мире. Для участия в
оргкомитетах конференций, проводимых в других странах, приглашаются
многие российские ученые. Приглашенные алгебраисты выступают с
докладами на международных конференциях, проводимых за рубежом.
Большинство научных журналов, таких как «Алгебра и логика», «Сибирский
математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика»,
«Дискретная математика», «Доклады академии наук» переводятся на
английский язык и переиздаются за границей.
Аспирантура по теории групп начала работать в Красноярском
государственном университете с появлением первых его выпускников. На
кафедре алгебры и математической логики руководят работой студентов и
аспирантов семь докторов физико-математических наук. На базе кафедры
алгебры и математической логики создан совет по защите докторских
диссертаций.
Основы теории групп. Курс лекций
-55-
ДОПОЛНЕНИЕ
Тема 25. Группы Фробениуса
Группы Фробениуса играют большую роль в изучении бесконечных
групп. Интересны для изучения как сами группы Фробениуса, так и группы,
обладающие системами подгрупп, являющимися группами Фробениуса.
Определение. Напомним, что конечная группа G называется группой
Фробениуса, если в ней найдется собственная подгруппа H, совпадающая со
своим нормализатором и взаимно простая со своими сопряженными
подгруппами, отличными от H, [29].
Приведем элементарные свойства групп Фробениуса.
Теорема 25.1. Порядки ядра и неинвариантного множителя конечной
группы Фробениуса взаимно просты.
Доказательство. Пусть G = F λ H – конечная группа Фробениуса и S –
силовская p-подгруппа из H. Предположим, что найдётся p-подгруппа P > S
и P не содержится в H. По теореме 16.2.2 из [13] найдётся элемент t ∈ P \S из
с определением группы
N p ( S ) . Тогда H t ∩ H ⊃ S . Противоречие
Фробениуса. Учитывая строение группы Фробениуса G = F λ H, получаем
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 25.2. Всякая подгруппа порядка pq, где p и q – необязательно
различные числа, дополнительного множителя Фробениуса – циклическая.
Доказательство. Пусть существует группа Фробениуса G = F λ H с
абелевым инвариантным множителем F и нециклическим дополнением
H , | H |= pq . Пусть H = <a> λ <v>, где |a| = p, |v|= q и e ≠ x ∈ F . Элемент
x1 = x H равен e, т. к. он централизует H, следовательно, x H / E = x −1 . Ввиду
нецикличности H имеем H \ E = x −1 . По свойствам групп Фробениуса,
i
G=F λ (a) и F λ (a’v) имеем s ( a )\ E = x −1 , x ( a v )\ E = x −1 . Поэтому
x −1 = x H \ E = ( x −1 ) p +1 .
Таким образом, x p = e . Это невозможно, т. к. (|F|,|1|)=1. Теорема доказана.
Следствие 25.1. Силовские p-подгруппы в дополнительном множителе
циклические при p > 2, а при p = 2 либо циклические, либо (обобщённые)
группы кватернионов.
Разрешимый дополнительный множитель Фробениуса
является
группой одного из таких типов:
1. Циклическая группа;
2. H = <a> λ <b>, (|a|, |b|)=1, (a)=H , все элементы простых порядков из
b лежат в Z(H);
Основы теории групп. Курс лекций
-56-
ДОПОЛНЕНИЕ
Тема 25. Группы Фробениуса
3. H = H1 λ Q, где H1 – группа нечётного порядка одного из типов 1, 2,
Q1 – обобщённая группа кватернионов с инволюцией t, t ∈ Z ( H ) ;
4. H = Q λ H1, где H1 – группа нечётного порядка одного из типов 1, 2,
Q – группа кватернионов восьмого порядка;
5. H содержит подгруппу индекса 2 типа 4, и силовская 2-подгруппа из
H есть группа кватернионов порядка 10.
Неразрешимый дополнительный множитель Фробениуса H содержит в
качестве подгруппы индекса ≥ 2 группу K × H 1 , где L = SL(2,5) H1 – группа
одного из типов 1, 2, (|H1|,30)=1.
Пусть G — группа, H — ее собственная подгруппа. Имеется в виду, что
G и H составляют пару Фробениуса, если для любого элемента x из G\H
пересечение H с Hx единично.
Дадим описание группы Фробениуса с неинвариантным множителем,
содержащим инволюцию.
Теорема 25.3. Пусть G = B λ (i) – периодическая группа Фробениуса, |i|
= 2. Тогда любой нетривиальный элемент из ядра B служит строго
вещественным относительно инволюции i.
Доказательство. Рассмотрим элемент c = ib-1ib, где b – произвольный
элемент из b. Так как c ∈ B , то по теореме 25.1 порядок элемента c нечётен,
|c| = 2n+1. Тогда c n cc n = ic − nb −1ibc n = 1 или c − nb −1ibc n = i . Следовательно,
bc n ∈ CG (i ) , и появляются две возможности bc n = i или bc n = 1 . Первая
возможность не реализуется ввиду того, что bc n ∈ B . Значит, bc n = 1 или
b = c − n . Тогда имеет место равенство i −1bi = c n = b −1 , которое и доказывает
теорему. Теорема доказана.
Теорема 25.4. Пусть G=B λ (i) – периодическая группа Фробениуса, |i|
= 2. Тогда ядро B будет абелевой группой.
Доказательство. Пусть b, c – произвольные элементы из b, c. По
предыдущей теореме элемент c имеет нечётный порядок, и пусть, напр.,
|c|=2n-1. Рассмотрим элемент d = c − n . По теореме 25.3:
idi = d -1 = c-nb-1cn,
с другой стороны,
i −1di = i −1c − nbc ni = i −1c − ni −1ibi −1ic ni = c nb −1c n .
Таким образом, c nb −1c n = c nb −1c − n или b −1c 2 nb −1 . Учитывая порядок элемента
c, перепишем это равенство в виде b −1c = cb −1 или cb = bc . Теорема доказана.
Приведем формулировку знаменитой теоремы Фробениуса:
Основы теории групп. Курс лекций
-57-
ДОПОЛНЕНИЕ
Тема 25. Группы Фробениуса
Теорема 25.5. Пусть G — конечная группа, содержащая подгруппу H,
совпадающую со своим нормализатором и взаимно простую со своими
сопряжёнными подгруппами. Тогда совокупность элементов, не
содержащихся ни в H, ни в одной из сопряжённых с H подгрупп, вместе с
единицей составляют нормальный делитель группы G.
Доказательство теоремы Фробениуса в случае, когда порядок |H|
чётен. Пусть j1 ,… , jn – множество инволюций, взятых по одной из каждой
сопряжённой с H подгруппой. Так как пара a, b инволюций в любой группе
порождает группу диэдра (ab) λ (a) и
a −1aba = b −1abb = (ab) −1 ,
то
для
любых
содержатся
во
множестве
1 ≤ i, k ≤ n
J 1 × jk
g
F = (G \ ∪ h ) ∪ {e} . Если один из i, k фиксирован, а другой принимает
g∈G
значение от 1 до n, то получается n различных элементов из F. Так как |F|=n,
то эти элементы исчерпывают всю F. Значит, для любых 1 ≤ k , m ≤ n ,
( ji . jk ).( jm . jk ) = ji .( jk . jm ) jk = ji ( ji jl ) jk = jl jk .
при некотором 1 ≤ l ≤ n . Следовательно, F ≤ G и теорема Фробениуса в
случае четного порядка группы доказана.
Доказательство теоремы Фробениуса в случае нечётного порядка
неинвариантного множителя занимает большой объём, и по этим
соображениям здесь оно не рассматривается.
Теорема Фробениуса неверна для бесконечных групп. В.П. Шунко-вым
и его учениками построены примеры групп, которые вместе со своей
подгруппой составляют пару Фробениуса, но не являются группами
Фробениуса.
Теорема Фробениуса справедлива для локально конечных групп, как
показывает теорема Бусаркина-Старостина (см., напр., [40]): если в локально
конечной группе G имеется подгруппа B, совпадающая со своим
нормализатором и взаимно простая с каждой из своих сопряжённых
подгрупп, то множество элементов из G, не входящих ни в одну из
сопряжённых с B подгрупп, вместе с единицей является инвариантной в G
подгруппой.
Как показывает этот пример, теорема Фробениуса не может быть
обобщена на произвольные группы. Поэтому появилось более общее
определение, в котором для конечных групп, ввиду теоремы Фробениуса,
достаточно оставить только первое условие.
Определение.
Группа
G
называется
группой
Фробениуса
(фробениусовой группой) с дополнением (неинвариантным множителем) H и
ядром (инвариантным дополнением) F, если F и H — такие её собственные
подгруппы, что выполняются условия:
Основы теории групп. Курс лекций
-58-
ДОПОЛНЕНИЕ
Тема 25. Группы Фробениуса
1) (G,H) — пара Фробениуса, т.е. H ∩ Hg=1 для любого элемента g ∈ G
\ H;
2) подгруппа F нормальна в G и G=F λ H;
3) G \{ F\{1}} = ∪ Hg.
Если
G и H удовлетворяют условию 1 определения группы
Фробениуса, то по В.П. Шункову они составляют пару Фробениуса (G,H).
В.П. Шунковым совместно с А.И. Созутовым доказано [28], что если
(G,H) — пара Фробениуса в периодической (слабо) (сопряженно)
бипримитивно конечной группе G, то G=F λ H — группа Фробениуса.
А.И. Созутовым показано, что в сопряженно бипримитивно конечной
группе, которая со своей подгруппой H составляет пару Фробениуса, если
имеется неединичный элемент конечного порядка, то группа обладает
периодической частью T, являющейся группой Фробениуса с локально
конечным неинвариантным множителем H ∩ T.
Приведём пример группы Фробениуса с некоммутативным ядром. Если
дополнительный множитель группы Фробениуса содержит элемент порядка
два, то ядро группы является абелевой группой, если же дополнительный
множитель нечётного порядка, то это не всегда так. Вейснер пытался
доказать коммутативность инвариантного множителя Фробениуса в общем
случае. О.Ю. Шмидт обнаружил ошибку в рассуждениях Вейснера и
построил пример группы Фробениуса с некоммутативным инвариантным
множителем, который был опубликован в 1940 г. [37]. Пусть
G=<q,r,t,p|q7=p7=r7=1,t3=1,rt=tr2,r-1q-1rq=p,
qt=tq2p,pt=tp4,rq=qrp,pq=qp,pr=rp>.
Данная группа обладает следующими свойствами:
a) Любой элемент группы G может быть представлен в виде taqbrcqd, где
показатели a, b, c, d неотрицательны и не превышают порядка
соответствующего элемента, причём единственным образом;
б) |G | = 3*73 = 1029;
в) Подгруппа третьего порядка H = (t) совпадает со своим
нормализатором и взаимно проста со своими сопряжёнными, составляя
вместе с ними класс из 343 групп;
г) Существует 342 элемента седьмого порядка, которые вместе с
единицей составляют нормальный делитель порядка 343, а именно: F =
<g,r>, куда входит и p;
д) При преобразовании элементами F (кроме единицы) все 343
сопряжённые с H подгруппы перемещаются между собой.
Рассмотрим пример группы Фробениуса с ненильпотентным
дополнительным множителем.
Группа G = {a,b,c,d} порядка 22 ∗ 3 ∗ 72 с определяющими
соотношениями
Основы теории групп. Курс лекций
-59-
ДОПОЛНЕНИЕ
Тема 25. Группы Фробениуса
a7 = b7 = c3d4 = e,
ab = ba,
cac-1 = a2,
cbc-1 = b4, dad-1 = b2, dbd-1 = a3, dcd-1 = c2
является группой Фробениуса с инвариантным множителем A = <a> × <b> и
ненильпотентным дополнительным множителем B = < c , d >, [10].
В.П. Шунков поставил в Коуровской тетради нерешенных проблем по
теории групп вопрос 6.53. Что можно сказать о ядре и дополнении
группы Фробениуса? В частности, какие группы могут выступать в качестве
ядра? дополнения?
Группа Фробениуса в бесконечном случае может иметь очень сложное
строение.
В.В.Блудов показал, что любая группа может быть вложена в ядро
некоторой группы Фробениуса и любая правоупорядоченная группа
изоморфна дополнению некоторой группы Фробениуса [6]. Обзор
результатов по группам Фробениуса и группам с системами фробениусовых
подгрупп можно найти в [24].
Основы теории групп. Курс лекций
-60-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Адян, С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах / С.И.
Адян. М.: Наука, 1975.
2. Александров, П.С. Введение в теорию групп / П.С. Александров.
М.: Наука, 1980.
3. Алешин, С.В.
Конечные автоматы и проблема Бернсайда о
периодических группах / С.В. Алешин // Матем. заметки. – 1972. – Т. 11.
№3. – С. 319–328.
4. Бахова, М.Ю. Примеры бипримитивно конечных групп без
инволюций: тез. докл. 17 всесоюзной алгебр. конф. / М.Ю. Бахова. – Минск,
1983. – С. 17.
5. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп. М.; Ижевск: Ин-т
компьютерных исследований, 2002.
6. Блудов, В.В. О группах Фробениуса / В.В. Блудов // Сиб. матем.
журн. –1997. – Т.38. № 6. – С. 1219–1221.
7. Глухов, М.М. Алгебра. Т.1,2 / М.М. Глухов, В.П. Елизов, А.А.
Нечаев; допущено МО РФ в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по группе специальностей в области информационной
безопасности. М.: Гелиос АРВ, 2003.
8. Голод, Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых
pгруппах / Е.С. Голод // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1964. – Т. 28. №1. – С.
273–276.
9. Голод, Е.С. О некоторых проблемах бернсайдовского типа / Е.С.
Голод // Труды международного конгресса математиков. – М.: Мир, 1968. –
С. 284–289.
10. Горчаков, Ю.М. О бесконечных группах Фробениуса / Ю.М.
Горчаков // Алгебра и логика. – 1965. – Т. 4. №1. – С. 118–125.
11. Григорчук, Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах /
Р.И. Григорчук // Функц. анализ и его приложения. –1980. – Т. 14. №1. – С.
53–54.
12. Каргаполов, М.И. О проблеме О.Ю. Шмидта / М.И. Каргаполов //
Сиб. матем. журн. – 1963. – Т. 4. №1. – С. 232–235.
13. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов,
Ю.И.Мерзляков. М.: Наука, 1996.
14. Коксетер, Г.С.М. Порождающие элементы и определяющие
соотношения дискретных групп: пер. с англ. / Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж.
Мозер; под. ред. Ю.И. Мерзлякова. М.: Наука, 1980.
15. Кудрявцев, В.Б. Введение в теорию автоматов / В.Б. Кудрявцев,
С.В. Алешин, А.С. Подколзин. М.: Наука, 1985.
16. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош. М.: Наука, 1967.
17. Математическая энциклопедия / под ред. И.М. Виноградова. М.:
Сов. энциклопедия, 1977–1984.
Основы теории групп. Курс лекций
-61-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
18. Международный математический конгресс в Амстердаме, 1954. –
М., 1959.
19. Мерзляков,
Ю.И.
О
бесконечных
конечно-порожденных
периодических группах / Ю.И. Мерзляков // Докл. АН СССР. – 1983. – Т.
268. №4. – С. 803–805.
20. Новиков, П.С. О периодических группах / П.С. Новиков // Докл. АН
СССР. – 1959. – Т. 127. №4. – С. 749–752.
21. Новиков, П.С. О бесконечных периодических группах / П.С. Новиков, С.И. Адян // Изв. АН СССР . Сер. матем. – 1968. – Т. 32. №1. – С.
212–244; Т. 32. №2. – С. 251–523; Т. 32. №3. – С. 708–731.
22. Ольшанский, А.Ю. Бесконечные группы с циклическими
подгруппами / А.Ю. Ольшанский // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 245. №4. –
С. 785–787.
23. Ольшанский, А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в
группах / А.Ю. Ольшанский. М.: Наука, 1989.
24. Попов, А.М. Группы с системами фробениусовых подгрупп / А.М.
Попов, А.И. Созутов, В.П. Шунков. Красноярск. Изд-во КГТУ, 2004.
25. Рожков, А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов
деревьев / А.В. Рожков // Алгебра и логика. – 1998. – Т. 37. №5. – С.
568–605.
26. Сенашов, В.И. Группы с условиями конечности / В.И. Сенашов,
В.П. Шунков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.
27. Сенашов, В.И. Группы с условиями конечности / В.И. Сенашов,
А.И. Созутов, В.П. Шунков // Успехи матем. наук. – 2005. – Т.69. № 5 (365).
– С. 1–46.
28. Созутов, А.И. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на
бесконечные группы / А.И. Созутов, В.П. Шунков // Матем. сб. – 1976. –
Т.100. № 4. – С. 495–506.
29. Старостин, А.И. О группах Фробениуса / А.И. Старостин // Укр.
мат. журн. –1971. – Т. 23. № 5. С. 629–639.
30. Струнков, С.П. Нормализаторы и абелевы подгруппы некоторых
классов групп / С.П. Струнков // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1967. –
Т. 31. №3. – С. 657–670.
31. Сущанский, В.И. Периодические p-группы подстановок и
неограниченная проблема Бернсайда / В.И. Сущанский // Докл. АН СССР. –
1979. – Т. 247. №3. – С. 557–561.
32. Холл, М. Теория групп / М. Холл. М.: Мир, 1962.
33. Череп, А.А. О множестве элементов конечного порядка в
бипримитивно конечной группе / А.А. Череп // Алгебра и логика. – 1987. – Т.
26. № 4. – С. 518–521.
разложимые
в
произведение
34. Черников,
Н.С.
Группы,
перестановочных подгрупп / Н.С. Черников. Киев: Наук. думка, 1987.
35. Черников, С.Н. Условия конечности в общей теории групп / С.Н.
Черников // Успехи матем. наук. – 1959. – Т. 14. № 5. – С. 45–96.
Основы теории групп. Курс лекций
-62-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
36. Черников, С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп
/ С.Н. Черников. М.: Наука, 1980.
37. Шмидт, O.Ю. Избранные труды. Математика / O.Ю. Шмидт. – М.:
Изд-во. АН СССР, 1959.
38. Шунков, В.П. О локально-конечной группе с экстремальными
силовскими p-подгруппами по некоторому простому числу p / В.П.
Шунков // Сиб. матем. журн. – 1967. – Т. 8. №1. – С. 213–229.
39. Шунков, В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на
периодические группы / В.П. Шунков // Алгебра и логика. – 1967. – Т. 6.
№3. – С. 113–124.
40. Шунков, В. П. Mp-группы / В. П. Шунков. М.: Наука, 1990.
41. Feit, W. Solvability of groups of odd order / W.Feit, J.G.
Thompson // Pacif. J. Math. – 1963. – V. 13. № 3. – P. 775–1029.
42. Holl, Ph. A property of locally finite groups / Ph. Holl, C.R.
Kylatilaka // J. London Math. Soc. – 1964. – V. 39. – P. 235–239.
43. The GAP Group GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version
4.4, 2006 (http://www.gap-system.org).
44. Wilson R. Atlas of Group Representations, Version 2.0
(http://www.mat.bham.ac.uk/atlas/).
Основы теории групп. Курс лекций
-63-