сборник заданий для проведения семинарских занятий по

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра
«Математика»
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
(1 СЕМЕСТР)
Коннова Л.П., Липагина Л.В., Маевский Е.В., Рылов А.А.
Степанян И.К., Ягодовский П.В.
Для студентов, обучающихся
по направлению 38.03.01 «Экономика»
(программа подготовки бакалавра)
Москва 2015
0
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра
«Математика»
Утверждено
на заседании кафедры
от 01.10.15, протокол №2
Зав. кафедрой
В.Б. Гисин
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
(1 СЕМЕСТР)
Коннова Л.П., Липагина Л.В., Маевский Е.В., Рылов А.А.
Степанян И.К., Ягодовский П.В.
Для студентов, обучающихся
по направлению 38.03.01 «Экономика»
(программа подготовки бакалавра)
Москва 2015
1
УДК
ББК
С23
51(076.1)
22.1
Рецензент:
К.Н. Эминян – к. ф.-м. н., доцент кафедры
«Математика».
Сборник заданий для проведения семинарских занятий по дисциплине «Высшая математика» (1 семестр) для студентов, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика». / Под ред. П.В. Ягодовского. – М.: Финуниверситет, кафедра «Математика», 2015. – 83 с.
Авторский коллектив: © Коннова Л.П., Липагина Л.В., Маевский
Е.В., Рылов А.А., Степанян И.К., Ягодовский П.В.
Пособие предназначено для проведения семинарских занятий по
дисциплине «Высшая математика» для студентов, обучающихся по направлению
38.03.01 «Экономика» (программа подготовки бакалавра). Сборник содержит
список тем дисциплины и задачи по разделам: системы линейных
алгебраических уравнений, линейные пространства, матрицы и определители,
комплексные числа и многочлены, линейные преобразования и квадратичные
формы, элементы аналитической геометрии, введение в анализ: множества,
функции, предел и непрерывность, дифференциальное исчисление функции
одной переменной, а также перечень рекомендуемой литературы.
УДК
ББК
51(076.1)
22.1
Учебное издание
Сборник заданий для проведения семинарских занятий
по дисциплине «Высшая математика» (1 семестр)
Компьютерный набор, верстка
П.В. Ягодовский
Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman
Усл. п.л. 75,4. Изд. №
- 2015. Тираж – эл. изд.
Заказ № ______
Отпечатано в Финансовом университете
©
Финансовый университет, 2015
©
Коннова Л.П., Липагина Л.В., Маевский Е.В., Рылов А.А., Степанян И.К., Ягодовский П.В.
2
Содержание
1. Предисловие …………..……………………………..…..............…….…...4
2. Содержание разделов дисциплины ........................…….............................5
3. Сборник заданий...........................................…………...............….…..….11
4. Рекомендуемая литература.........................................................................81
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель данного сборника — помочь студентам освоить курс высшей математики (1 семестр), отработать основные умения и навыки по каждой теме при
решении конкретных задач, подготовиться к сдаче зачета.
Задания, включенные в настоящий сборник, охватывают все основные
типы задач, которые должен уметь решать студент по изучаемой дисциплине.
Благодаря разнообразию предлагаемых задач преподаватель может подобрать
посильные задачи для студентов с различными уровнями математической подготовки.
Задачи, включенные в сборник, относятся к следующим темам: системы
линейных алгебраических уравнений, линейные пространства, матрицы и определители, комплексные числа и многочлены, линейные преобразования и квадратичные формы, элементы аналитической геометрии, введение в анализ: множества, функции, предел и непрерывность, дифференциальное исчисление
функции одной переменной. Ко всем задачам даны ответы. Как правило, более
трудные задачи расположены в конце раздела.
Перед решением задач из настоящего сборника, необходимо повторить
основные теоретические понятия: линейное пространство, базис линейного
пространства, линейная зависимость и линейная независимость системы векторов, матрицы, определитель квадратной матрицы, комплексные числа, линейные преобразования, собственные векторы и собственные значения квадратных
матриц, квадратичные формы, уравнения прямых и плоскостей в пространстве,
предел последовательности, предел функции, непрерывность функции, таблица
производных, правила дифференцирования.
Освоив эту часть курса высшей математики, студенты смогут освоить и
такие экономические приложения данного курса, как модель Леонтьева, задачи
линейного программирования, многофакторные производственные функции,
изокванты, функции полезности, излишки потребителя и поставщика, предельная полезность, предельная норма замещения и т.п.
4
Содержание разделов дисциплины
Часть 1 – Линейная алгебра.
Раздел I. Системы линейных алгебраических уравнений.
Линейные пространства.
1.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
2.
Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное
пространство
R n . Геометрический смысл пространств R 2 и
R3 .
Линейные пространства общего вида. Линейная зависимость системы
векторов и ее геометрический смысл. Базис и размерность линейного
пространства. Координаты вектора в данном базисе. Преобразование
координат векторов при замене базиса. Подпространства линейного
пространства.*
3.
Скалярное произведение векторов в R n . Евклидово пространство.
Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между
векторами в R n . Ортогональный и ортонормированный базисы в R n .
Координаты
вектора
в
ортогональном
базисе.
Процесс
ортогонализации.** Ортогональные дополнения подпространств.**
Раздел II. Матрицы и определители.
4.
Сложение матриц и умножение матрицы на число. Матричная запись
систем
линейных
алгебраических
уравнений.
Ранг
матрицы.
Пространство решений однородной системы, связь его размерности с
рангом матрицы. Фундаментальная система решений однородной
системы.*
Связь
между
общими
решениями
неоднородной систем.*
*
Вопросы для самостоятельного изучения студентами заочной формы обучения.
Вопросы для самостоятельного изучения студентами очной и заочной форм обучения.
**
5
однородной
и
5.
Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Обратная
матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований. Решение матричных уравнений вида AX  B .
6.
Определители
и
их
свойства.
Непосредственное
вычисление
определителей второго и третьего порядка. Формула разложения
определителя по строкам и столбцам. Применение определителей: 1)
критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга
матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной
системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными,
состоящей из n уравнений; 4) нахождение решения системы линейных
алгебраических уравнений по формуле Крамера; 5) нахождение
обратной матрицы.
Раздел III. Комплексные числа и многочлены.
7.
Комплексные
числа
и
действия
над
ними.*
Геометрическая
интерпретация комплексных чисел.* Модуль и аргумент комплексного
числа.*
Алгебраическая
и
тригонометрическая
формы
записи
комплексных чисел.* Корни n -ой степени из комплексного числа.*
Формулировка основной теоремы алгебры.**
8.
Основные понятия, связанные с многочленами. Схема Горнера и корни
многочленов.** Теорема Безу.** Деление многочленов.* Разложение
правильной дроби на сумму элементарных дробей.*
Раздел IV. Линейные преобразования и квадратичные формы.
9.
Линейные преобразования пространства R n .** Линейные операторы.**
Ядро и образ линейного оператора.** Матрица линейного оператора.**
Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц.
6
10.
Квадратичные формы, их матрицы в данном базисе. Приведение
квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи
ортогонального преобразования.* Закон инерции квадратичных форм.
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Раздел V. Элементы аналитической геометрии.
11.
Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между
гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на
плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в
n-мерном
пространстве.* Плоскость в трехмерном пространстве.
12.
Понятие о кривых второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их
свойства и канонические уравнения.
13.
Понятие о поверхностях второго порядка.* Эллипсоиды, параболоиды и
гиперболоиды, их канонические уравнения.*
14.
Выпуклые
множества
в
пространстве
R n .*
Полупространства,
выпуклые многогранные области.* Системы линейных неравенств и их
геометрический смысл.* Угловые точки выпуклых многогранных
областей.* Выпуклая оболочка системы точек в R n .*
Часть 2 – Математический анализ.
Раздел I. Введение в анализ: множества, функции.
15.
Действительные числа, их свойства. Числовые множества. Элементы
алгебры
множеств.
Обозначения
для
сумм
и
произведений.
Окрестность точки. Ограниченные множества. Декартовы координаты
на плоскости.
16.
Числовые функции. Способы задания функций. Область определения и
множество значений функции. График функции. Сложная и обратная
7
функции.
Характеристики
функций:
четность
и
нечетность,
логарифмическая
функции.
периодичность, монотонность, ограниченность.
17.
Степенная,
показательная
и
Тригонометрические функции и обратные к ним. Элементарные
функции. Свойства основных элементарных функций.
Раздел II. Предел и непрерывность.
18.
Числовые последовательности. Способы задания последовательностей.
Прогрессии. Формула сложных процентов.*
19.
Предел последовательности и его свойства. Единственность предела.
Ограниченность сходящейся последовательности. Переход к пределу в
неравенствах, теорема о трех последовательностях. Бесконечно малые и
бесконечно большие последовательности, их свойства. Свойства
пределов, связанные с арифметическими действиями.
20.
Монотонные
последовательности.
Теорема
Вейерштрасса
о
существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
Число e.
21.
Предел функции (по Гейне*). Различные типы пределов: односторонние
пределы, пределы в бесконечности, бесконечные пределы. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции, их свойства.
22.
Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями и с
неравенствами. Замена переменной при вычислении предела (предел
сложной
функции).
Сравнение
бесконечно
малых
функций* :
эквивалентные функции*, символ o( f ) *.
23.
Первый* и второй замечательные пределы. Формула непрерывных
процентов.
24.
Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, разности,
произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность
сложной и обратной* функции. Непрерывность элементарных функций.
8
Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Точки разрыва
функции, их классификация.**
25.
Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о существовании
корня, о промежуточных значениях, об ограниченности функции, о
достижении наибольшего и наименьшего значений*.
Раздел III. Дифференциальное исчисление функций одной
переменной.
26.
Производная
функции.
функции.
Непрерывность
Дифференцируемость
дифференцируемой
и
дифференциал
функции.
Правила
дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух
функций, сложной и обратной функций. Производные основных
элементарных функций.
27.
Геометрический смысл производной и дифференциала функции.
Уравнение касательной к графику функции.
28.
Эластичность функции, ее свойства и геометрический смысл.*
Логарифмическая производная. Задача о распределении налогового
бремени.**
29.
Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы Ролля**,
Лагранжа и Коши** для дифференцируемых функций.
30.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
31.
Производные и дифференциалы* высших порядков.
32.
Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в формах
Лагранжа и Пеано**. Разложение функций e x , sin x , cos x , (1  x ) ,
ln(1  x ) по формуле Маклорена.*
33.
Признак монотонности функции на интервале. Достаточное условие
локального экстремума.
9
34.
Выпуклые (вогнутые) функции. Достаточные условия выпуклости
функции. Необходимый и достаточный признаки точки перегиба.
35.
Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и
построения ее графика.
36.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
10
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
11
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Вопросы и задачи
Метод Гаусса
Определенные системы линейных уравнений
1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
−4
5
1
+3
1
+3
= 33,
2
= − 21 .
2
2. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
−2 1 + 5 2 = 14,
⎧
⎪ 2 − 20 + = − 72,
1
2
3
⎨
− 1 + 3 = −1.
⎪
⎩
3. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
⎧ −4 + 4 − 5 = − 37,
−6 + 5 − 7 = − 46,
⎨
⎩ − − 3 + = 30 .
4. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
⎧ 5 + 3 + = − 13,
⎪ −4 + + 2 = − 29,
⎨
−4 + = − 23,
⎪
⎩ −3 + − + 3 = − 25 .
5. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
⎧
⎪
1
−3
⎨ −2
⎪
⎩
1
+4
1
2
−8
+4
3
2
−
3
+3
2
−4
3
2
+
4
−
4
4
= 4,
= − 16,
−2
4
= − 10,
= − 1.
Определённые системы линейных уравнений в матричной форме
6. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной
форме:
2 −5
=
5 −9
41
78
.
7. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной
форме:
−9 4 −5
⎛ 0 1 −3 ⎞⎛
⎜
⎜
−3
0
2
⎝
⎠⎝
0
⎞=⎛
16 ⎞ .
2
⎟
⎟
⎝ −20 ⎠
3⎠
1
8. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной
форме:
1
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
−6 −8 9
−29
⎛ 10 7 −8 ⎞⎛ ⎞ = ⎛ 7 ⎞ .
⎝ −1
8
−9 ⎠⎝ ⎠
⎝ 57 ⎠
9. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной
форме:
0 −3 3 1
⎛ −2 0 3 2 ⎞⎛
⎜
⎟⎜
⎜ −1 −3 4 2 ⎟⎜
⎝ 2
3
0 0 ⎠⎝
12
⎞ ⎛ ⎞
−3
2
⎟ = ⎜ ⎟.
⎜ 10 ⎟
3⎟
1
4
⎠
⎝ 6 ⎠
10. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной
форме:
−7 −8
1
2
−53
⎛ 3 −6 −4 −1 ⎞⎛ ⎞ ⎛ 32 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜
⎟.
⎜ −9 −3 −5 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ −20 ⎟
⎝ 5
−1
5
0 ⎠⎝ ⎠
⎝ −6 ⎠
Системы с параметром
11. Определите, при каких значениях параметра
число решений
система уравнений имеет бесконечное
⎧ 1 + 3 2 − 3 3 = 6,
⎪ 3 − 5 + 4 = 8,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ −9 1 + 2 + 3 = .
12. Определите, при каких значениях параметра
бесконечное число решений
система уравнений имеет
⎧ −5 1 + 5 2 + 2 3 = 5,
⎪ − + + 3 = 5,
1
2
3
⎨
⎪
1 − 7 2 + 5 3 = 5.
⎩
13. Определите, при каких значениях параметра
бесконечное число решений
система уравнений имеет
⎧ −4 1 + 5 2 + 6 3 = 3,
⎪ −7 + 2 − = 2,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 1− 2+2 3 = .
14. Определите, при каких значениях параметра
бесконечное число решений
система уравнений имеет
⎧ −6 1 − 3 2 + 2 3 = 4,
⎪ 18 + 13 + 11 = ,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 12 1 + 6 2 − 4 3 = − 8 .
15. Определите, при каких значениях параметра
число решений
система уравнений имеет бесконечное
2
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1+ 2−6
⎧
⎪ 8 +2 +2
1
2
⎨
⎪
⎩ 12 1 + 3 2 + 3
3
= 8,
3
= 16,
3
= 24 .
16. Определите, при каких значениях параметра
число решений
система уравнений имеет бесконечное
⎧ −12 1 + 20 2 − 4 3 = 6,
⎪ 3 +4 +7 = ,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ −9 1 + 15 2 − 3 3 = 3 .
17. Определите, при каких значениях параметра
система уравнений несовместна
⎧ 2 1 + 2 2 − 7 3 = 3,
⎪ 8 +8 +5 = ,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ −4 1 − 4 2 + 3 3 = − 2 .
18. Определите, при каких значениях параметра система уравнений несовместнa
⎧ 7 1 − 3 2 + 2 3 = − 1,
⎪ − − 4 + 7 = 8,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 1 − 6 2 + 17 3 = 24 .
19. Определите, при каких значениях параметра система уравнений несовместна
⎧ 5
⎪ −3
⎨
⎪
⎩ −2
1
+5
2
−
1
+2
2
+6
3
= ,
1
−4
2
+5
3
= 4.
20. Определите, при каких значениях параметра
3
= 3,
система уравнений несовместна
⎧ 20 1 + 8 2 − 20 3 = 1,
⎪ − + 14 + 4 = ,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ −15 1 − 6 2 + 15 3 = 7 .
21. Определите, при каких значениях параметра
система уравнений совместна
⎧ −6 1 − 2 2 + 7 3 = − 2,
⎪ −3 − 16 + 11 = ,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 3 1 −4 2 − 3 = 5.
22. Определите, при каких значениях параметра
система уравнений совместнa
⎧ − 1 + 4 2 + 6 3 = 5,
⎪ 5 + 6 − = 1,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 1 − 10 2 + 15 3 = 8 .
23. Определите, при каких значениях параметра
система уравнений совместнa
3
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
⎧ 4 1− 2+2
⎪ 7 −6 +
1
2
⎨
⎪
⎩5 1 + 2 − 5
3
= 5,
3
= 7,
3
= 1.
24. Определите, при каких значениях параметра
единственное решение
система уравнений имеет
⎧ 1 − 2 2 + 9 3 = − 13,
⎪
1 + 2 2 − 3 = − 1,
⎨
⎪
⎩ −3 1 + 4 2 − 6 3 = 5 .
25. Определите, при каких значениях параметра
единственное решение
система уравнений имеет
⎧ 5 1−2 2+6 3 = ,
⎪ −4 − 3 + 6 = 3,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ −3 1 + 5 2 + 5 3 = 7 .
26. Определите, при каких значениях параметра
единственное решение
система уравнений имеет
⎧ 15 1 + 3 2 − 12 3 = 3,
⎪
− 1−2 2+2 3 = ,
⎨
⎪
⎩ −20 1 − 4 2 + 16 3 = − 4 .
27. Определите, при каких значениях параметра
единственное решение
система уравнений имеет
⎧ 15 1 + 7 2 − 3 3 = ,
⎪ 28 − 4 + 4 = 1,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ −21 1 + 3 2 − 3 3 = − 1 .
28. Определите, при каких значениях параметра
система уравнений совместнa
⎧ 5 1 + 6 2 − 3 = 0,
⎪ 4 + 5 + 3 = 0,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 2 1 + 2 + 11 3 = 0 .
29. Определите, при каких значениях параметра
единственное решение
⎧5
⎪2
⎨
⎪
⎩−
система уравнений имеет
1
+
2
+6
3
= 0,
1
−5
2
−3
3
= 0,
1
+4
2
+6
3
= 0.
30. Определите, при каких значениях параметра
бесконечное число решений
система уравнений имеет
⎧ 3 1 − 6 2 − 3 = 0,
⎪ 4 − 5 + 3 = 0,
1
2
3
⎨
⎪
⎩− 1 + 2 + 9 3 = 0.
4
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Общие и базисные решения систем линейных уравнений
31. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
−5
2
−6
− 10
2
− 12
1
2
1
= − 2,
3
= −4.
3
32. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
⎧2
⎪4
⎨
⎪
⎩
1
+ 16
2
− 14
3
= 10,
1
+ 32
2
− 28
3
= 20,
+8
2
−7
= 5.
1
3
33. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
−9
1
+2
15
1
−
+
3
= − 1,
+3
3
= 32 .
2
2
34. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
⎧ − 1 − 2 2 + 3 = 11,
⎪
1 − 2 − 2 3 = − 14,
⎨
⎪
⎩ 2 1 + 16 2 + 2 3 = − 10 .
35. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
⎧ 4 1 − 24 2 − 3 3 + 3 4 = − 10,
⎪ 3 − 5 − 12 − = 12,
1
2
3
4
⎨
⎪
⎩ 5 1 − 7 2 − 21 3 − 2 4 = 22 .
36. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
⎧ 3 1 − 2 − 3 3 − 7 4 + 5 = 12,
⎪ 2 − − 9 − 7 − + 3 = 0,
1
2
3
4
5
6
⎨ 2
⎪
⎩ 2
1
−
2
−
3
−5
1
+
2
+
3
−
4
4
+
+
6
= 10,
−7
6
= 8.
5
+
5
Общие и базисные решения систем линейных уравнений (с указанием)
37. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
1 − 2 + 3 3 = 15,
⎧
⎪ − + 2 + 3 = − 22,
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 3 1 − 2 2 + 15 3 = 38,
выбрав в качестве базисных переменных
1
и
2
.
38. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
⎧ 3 1 + 10 2 + 2 4 = − 29,
⎪ 3 − 2 + 18 − 4 = − 5,
1
2
3
4
⎨
⎪
⎩ −4 1 − 10 2 − 5 3 − 4 = 32,
5
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
выбрав в качестве базисных переменных
и
1
4
.
39. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
⎧
⎪
−10
2
1
1
+9
−7
2
−
2
+
3
+3
3
+2
4
4
+4
+5
5
5
+2
−3
6
6
= 4,
= − 19,
⎨ −3 1 + 12 2 − 3 3 + 3 4 + 2 5 + 2 6 = − 25,
⎪
⎩ 2 1 + 14 2 − 2 3 + 3 4 + 5 5 + 3 6 = − 29,
выбрав в качестве базисных переменных
3,
4,
и
6
.
Линейные пространства
Линейная зависимость и линейная независимость системы арифметических векторов
40. Является ли система векторов ⃗1 = ( − 4; 2; 5), ⃗2 = (7; − 1; 11), ⃗3 = (0; 0; 0)
линейно независимой? Ответ обоснуйте.
41. Является ли система векторов ⃗1 = ( − 6; 8; − 2), ⃗2 = (3; − 2; − 4), ⃗ 3 = ( − 6; 4; 8)
линейно зависимой? Ответ обоснуйте.
42. Является ли система векторов ⃗1 = ( − 2; − 3; − 2), ⃗2 = ( − 1; 1; 0),
⃗3 = ( − 2; − 1; 1), ⃗ 4 = (2; 1; − 1) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.
43. Является ли система векторов ⃗1 = (8; 0; 4), ⃗2 = (0; − 12; 4), ⃗3 = (6; 15; − 2)
линейно независимой? Ответ обоснуйте.
44. Является ли система векторов ⃗1 = ( − 1; − 1; 0), ⃗2 = (1; − 2; 1) линейно зависимой?
Ответ обоснуйте.
45. Является ли система векторов ⃗1 = (0; 1; 0), ⃗2 = (0; 5; 0) линейно зависимой? Ответ
обоснуйте.
46. Является ли система векторов ⃗1 = (2; − 1; 0), ⃗2 = (0; − 3; 0), ⃗3 = (1; − 3; − 1)
линейно независимой? Ответ обоснуйте.
47. Является ли система векторов ⃗1 = ( − 3; 0; − 9), ⃗2 = (1; 12; 4), ⃗3 = (0; 15; 5)
линейно независимой? Ответ обоснуйте.
48. Образует ли система векторов ⃗ 1 = ( − 6; 1; 6), ⃗2 = ( − 2; − 5; − 6) базис
пространства ℝ 3 ? Ответ обоснуйте.
49. Образует ли система векторов ⃗ 1 = ( − 5; 4; − 1), ⃗2 = ( − 6; − 5; − 4),
⃗3 = ( − 1; − 1; 5), ⃗ 4 = ( − 1; − 2; 1) базис пространства ℝ 3 ? Ответ обоснуйте.
50. Образует ли система векторов ⃗ 1 = (12; 4; − 6), ⃗2 = (0; 6; 3), ⃗3 = (9; 0; − 6) базис
пространства ℝ 3 ? Ответ обоснуйте.
51. Образует ли система векторов ⃗ 1 = (9; 0; − 6), ⃗2 = (0; 6; − 9), ⃗3 = ( − 6; 2; − 2)
базис пространства ℝ 3 ? Ответ обоснуйте.
52. Образует ли система векторов ⃗ 1 = (0; 0; − 1), ⃗2 = ( − 3; 0; − 2), ⃗3 = (2; 1; − 2)
базис пространства ℝ 3 ? Ответ обоснуйте.
53. Являются ли арифметическиe векторы ⃗1 = (0; 3; − 2), ⃗2 = (3; 0; − 3),
⃗3 = ( − 1; − 3; 3) компланарными? Ответ обоснуйте.
54. Являются ли арифметическиe векторы ⃗1 = (2; 4; 0), ⃗2 = (0; 4; − 12),
6
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
⃗3 = ( − 3; − 8; 9) компланарными? Ответ обоснуйте.
55. Найдите базис системы векторов ⃗1 = ( − 7; − 6; 9), ⃗2 = (7; − 4; 3), ⃗ 3 = (7; 1; − 3) .
56. Найдите базис системы векторов ⃗1 = (7, − 3, 6), ⃗2 = (6, 5, 6), ⃗3 = (6, − 4, 5) .
57. Дана система векторов ⃗1 = ( − 6; − 3; 2; − 3), ⃗ 2 = ( − 5; 5; 2; − 3), ⃗3 = (3; 2; 2; 6),
⃗4 = (1; − 3; 1; 3), ⃗5 = (0; 11; − 1; − 3) . Образуют ли векторы ⃗3 , ⃗4 , ⃗5 базис этой
системы? Если да, то выразите прочие вектора системы через вектора базиса.
58. Найдите базис системы векторов ⃗1 = (5; − 5; 5; 3), ⃗2 = ( − 5; − 4; 4; − 3),
⃗3 = (2; 6; 1; 2), ⃗4 = (12; 5; 2; 8), ⃗5 = ( − 2; − 3; − 4; − 2) и выразите прочие вектора
системы через вектора базиса.
59. Дана линейно зависимая система арифметических векторов ⃗1 = ( − 2; 6; 2),
⃗2 = (1; − 5; 1), ⃗3 = (6; − 24; 0) . Найдите какую-либо равную 0⃗ линейную комбинацию
этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.
60. Дана линейно зависимая система арифметических векторов ⃗1 = (4; − 8; 12),
⃗2 = (2; 2; 2), ⃗3 = (3; 9; − 9), ⃗4 = ( − 3; 2; − 9) . Найдите какую-либо равную 0⃗ линейную
комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не
равен нулю.
Ранг системы арифметических векторов
61. Найдите ранг системы векторов ⃗1 = (0; − 15; 6), ⃗2 = (0; 20; − 8), ⃗3 = (0; 10; − 4),
⃗4 = (0; − 25; 10) .
62. Найдите ранг системы векторов ⃗1 = ( − 8; − 1; 15), ⃗2 = ( − 1; 0; 3),
⃗3 = ( − 9; − 3; 0) .
63. Найдите ранг системы векторов ⃗1 = ( − 2; 4; − 9), ⃗2 = (0; − 4; 12),
⃗3 = (1; 5; − 15), ⃗4 = (4; 0; − 4) .
Операции над векторами
64. Найдите арифметический вектор ⃗ = 2 ⃗ − 3 ⃗ − 3⃗, если ⃗ = (6; 3; 5),
⃗ = ( − 4; − 2; 1), ⃗ = ( − 2; 4; − 1) .
65. Найдите арифметический вектор ⃗, удовлетворяющий уравнению
5( ⃗ − ⃗) + 3( ⃗ − ⃗) + 4( ⃗ − ⃗) = 0, если ⃗ = ( − 7; − 4; 3), ⃗ = (7; 1; − 4), ⃗ = (1; 5; 2) .
66. Найдите арифметический вектор ⃗, удовлетворяющий уравнению
3 ⃗ − ⃗ + 3⃗ + ⃗ = 4 ⃗ − ⃗ − 3 ⃗, если ⃗ = (1; − 2; − 3), ⃗ = ( − 5; − 3; 2), ⃗ = (5; − 4; 5) .
Скалярное произведение
67. Найдите длину вектора ⃗ = − 5 ⃗1 + 2 ⃗2 + 6 ⃗3 , где ⃗ 1 , ⃗2 , ⃗3 — ортонормированный
базис.
68. Найдите длину вектора ⃗ = ( − 4; 3; 1; 4; 3), координаты которого заданы в некотором
ортонормированном базисе.
69. Найдите длину вектора ⃗ = 6 ⃗1 + 4 ⃗2 + 5 ⃗3 , где ⃗1 , ⃗2 , ⃗3 — ортогональный базис,
причём | ⃗1 | = 2, | ⃗2 | = 2, | ⃗3 | = 1 .
70. Найдите длину вектора ⃗ = (1; 3), координаты которого заданы в некотором базисе
⃗1 , ⃗2 , и известно, что | ⃗1 | = 2, | ⃗2 | = 1, ( ⃗ 1 , ⃗2 ) = 1 .
7
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
71. Выясните, какой из векторов ⃗ = − 2 ⃗1 + 3 ⃗2 − 2 ⃗3 и ⃗ = − 6 ⃗1 − 5 ⃗2 + 3 ⃗3 короче?
Здесь ⃗1 , ⃗2 , ⃗3 — ортонормированный базис. В ответе укажите длину более длинного
вектора.
72. Выясните, какой из векторов ⃗ = ( − 3; 2; 1; − 3; − 1) и ⃗ = (1; − 2; − 5; 6; − 1)
короче? В ответе укажите длину более короткого вектора. (Координаты векторов даны в
ортонормированном базисе.)
73. Найдите длину вектора ⃗ = − ⃗ + 3 ⃗, если ⃗ = ⃗1 + ⃗ 2 + 4⃗ 3 , ⃗ = 3 ⃗1 − 2 ⃗2 + ⃗3 , где
⃗1 , ⃗2 , ⃗3 — ортонормированный базис.
74. Найдите длину вектора ⃗ = ⃗ + 2 ⃗, если ⃗ = (5; − 2; 3; − 2), ⃗ = ( − 2; − 1; 2; 4) .
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
75. Вычислите скалярное произведение векторов ⃗ = − 5 ⃗1 − 2 ⃗2 + 6⃗ 3 и
⃗ = − 2⃗ 1 + 3⃗ 2 + 3⃗3 , где ⃗1 , ⃗2 , ⃗3 — ортонормированный базис.
76. Вычислите скалярное произведение векторов ⃗ = ( − 3; 4; − 6; 1) и
⃗ = ( − 4; 1; − 4; − 6) . Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
77. Вычислите скалярное произведение векторов ⃗ = − 4 ⃗1 + ⃗2 − 3⃗3 − 4 ⃗4 и
⃗ = − 5⃗ 1 + 2⃗ 2 + 3⃗3 + 6⃗4 , где ⃗1 , ⃗2 , ⃗3 , ⃗4 — ортогональный базис, причём | ⃗1 | = 1,
| ⃗2 | = 1, | ⃗3 | = 3, | ⃗4 | = 1 .
78. Вычислите скалярное произведение векторов ⃗ = 2 ⃗1 + ⃗2 и ⃗ = ⃗1 + 3 ⃗2 , где ⃗ 1 , ⃗2
— базис, и известно, что | ⃗1 | = 2, | ⃗2 | = 5, ( ⃗1 , ⃗2 ) = − 2 .
79. Вычислите скалярное произведение векторов ⃗ и ⃗, если известно, что | ⃗| = 7,
| ⃗| = 13 и угол между векторами ⃗ и ⃗ равен
6
.
80. Найдите косинус угла между векторами ⃗ = − ⃗1 − 3 ⃗2 + 2 ⃗3 и
⃗ = − 5⃗ 1 + 4⃗ 2 − 4⃗3 , где ⃗1 , ⃗2 , ⃗3 — ортонормированный базис.
81. Найдите косинус угла между векторами ⃗ = (1; 2; 5; 3; − 4) и
⃗ = ( − 3; − 3; 1; 2; − 2) . Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
82. Выясните, угол между векторами ⃗ = 2⃗ 1 − 5⃗2 + 4⃗3 − 2⃗4 − 3⃗5 и
⃗ = − ⃗1 + 6 ⃗2 + 4 ⃗3 + 4 ⃗4 − 3 ⃗5 острый, прямой, тупой или эти векторы коллинеарны?
Здесь ⃗1 , ⃗2 , ⃗3 , ⃗ 4 , ⃗5 — ортонормированный базис.
83. Выясните, угол между векторами ⃗ = 4⃗ 1 − 5⃗2 + ⃗3 и ⃗ = − 6 ⃗1 − ⃗2 + 2 ⃗3 острый,
прямой, тупой или эти векторы коллинеарны? Здесь ⃗1 , ⃗ 2 , ⃗3 — ортонормированный
базис.
84. Вычислите |2 ⃗ + 3 ⃗|, если известно, что | ⃗| = 2, | ⃗| = 3 и cos
1
= , где
6
— угол
между векторами ⃗ и ⃗ .
85. Даны вектора ⃗ = (5; − 1; 4), ⃗ = (1; − 1; − 3), ⃗ = (4; 2; 3) . Вычислите
2
2
Φ = | ⃗| − | ⃗| − ( ⃗, ⃗ ) ⋅ ( ⃗ , ⃗) . Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
86. Найдите вектор ⃗, коллинеарный вектору ⃗ = ( − 5; − 3; 3) и такой, что ( ⃗, ⃗ ) = 1, где
⃗ = (5; 2; − 4) . Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
87. Найдите вектор ⃗, если ⃗ = (2; − 3), ⃗ = (1; − 5) и известно, что ( ⃗, ⃗) = 5,
8
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
( ⃗, ⃗) = − 2 . Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
88. Найдите единичный вектор ⃗, ортогональный векторам ⃗ = ( − 2; 5; − 5),
⃗ = ( − 2; − 1; 3) . Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
89. Найдите ортогональное дополнение к векторам ⃗ = ( − 2; − 1; 3), ⃗ = ( − 1; − 4; 2) .
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
90. Найдите значение параметра , для которого вектора ⃗ и ⃗ + ⃗ перпендикулярны,
если ⃗ = (1; − 3; − 3; 4) и ⃗ = ( − 5; 5; 1; − 5) . Координаты векторов даны в
ортонормированном базисе.
91. Дана система векторов ⃗1 = (1; 1; 6), ⃗ 2 = ( − 7; − 1; − 5), ⃗3 = ( − 19; − 39; − 3),
Ортогонализируйте её и постройте ортогональную систему векторов ⃗1 = ⃗1 ,
⃗2 = ⃗2 + ⃗1 , ⃗ 3 = ⃗3 + ⃗1 + ⃗2 . Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.
Разложение вектора по базису
92. Разложите вектор ⃗ = (16; − 10) по базису ⃗1 = (1; − 7), ⃗2 = (6; 9) .
−49
7
−8
3
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
93. Разложите вектор ⃗ = −11 по базису ⃗1 = 1 , ⃗2 = −2 , ⃗3 = 2 ⎞ .
⎝ −26 ⎠
⎝4⎠
⎝ −4 ⎠
⎝1⎠
94. Разложите вектор ⃗ = (50; − 78; 53; 46) по базису ⃗1 = (3; 1; − 1; 5),
⃗2 = (2; − 4; 4; 4), ⃗3 = ( − 5; 4; − 1; − 3), ⃗4 = ( − 2; 4; − 3; − 2) .
Разложение вектора по ортогональному базису
95. Является ли базис ⃗1 =
вектор ⃗ =
3
−2
−1
3
, ⃗2 =
−3
−1
ортогональным? Если да, то разложите
по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе
96. Является ли базис ⃗1 =
вектор ⃗ =
−2
−3
−2
−3
, ⃗2 =
3
4
ортогональным? Если да, то разложите
по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.
97. Найдите вектор ⃗ 2 = ( ; ) (у которого | ⃗2 | = 3 5 и > 0) такой, чтобы система
векторов ⃗1 = ( − 6; − 12) и ⃗2 = ( ; ) образовывала бы ортогональный базис, и разложите
вектор ⃗ = ( − 7; 3) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.
2
1
−2
98. Является ли базис ⃗1 = ⎛ 1 ⎞, ⃗2 = ⎛ 0 ⎞, ⃗3 = ⎛ 5 ⎞ ортогональным? Если да, то
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠
⎝ −2 ⎠
⎝ −1 ⎠
−1
разложите вектор ⃗ = ⎛ 2 ⎞ по этому базису. Координаты векторов даны в
⎝ −1 ⎠
9
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ортонормированном базисе.
Матрицы
Однородные системы уравнений
99. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
⎧ −2
⎪ −5
⎨
⎪
⎩ −5
1
−2
2
+
=0
1
+6
2
+4
3
=0
1
+3
2
+4
3
=0
3
100. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
⎧ −20 1 + 40 2 − 20 3 − 5 4 = 0
⎪ 28 − 56 + 28 + 7 = 0
1
2
3
4
⎨
⎪
⎩ −16 1 + 32 2 − 16 3 − 4 4 = 0
101. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
⎧ 10 1 + 5 2 − 25 3 − 5 4 + 30 5 = 0
⎪ 6 + 3 − 15 − 3 + 18 = 0
1
2
3
4
5
⎨
⎪
⎩ 8 1 + 4 2 − 20 3 − 4 4 + 24 5 = 0
102. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
⎧ 5 1 − 13 2 + 2 3 = 0
⎪ − 4 + 13 = 0
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 4 1 − 9 2 − 11 3 = 0
103. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
⎧ 3 1 + 5 2 − 29
⎪ 17 + 7 + 9
1
2
⎨
⎪
⎩ 11 1 + 5 2 + 2
3
+4
=0
3
+ 20
4
=0
3
+ 13
4
=0
4
104. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
⎧6
⎪9
⎨
⎪
⎩3
1
−4
2
− 10
3
−2
4
+ 10
5
=0
1
−6
2
− 15
3
−3
4
+ 15
5
=0
1
−2
2
−5
−
3
4
+5
5
=0
105. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
10
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
⎧ −5 1 + 2 + 5 3 − 2 4 = 0
⎪5 − 3 − 4 = 0
2
3
4
⎨
⎪
⎩ 1 −3 2−2 3− 4 =0
106. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства
решений однородной системы
⎧4 2 − 2 3 + 4 = 0
⎪ −5 + 2 − 5 + = 0
2
3
4
5
⎨
⎪
⎩5 1 + 2 2 − 3 − 2 5 = 0
Нахождение ранга матрицы
0 0 0
107. Найдите ранг матрицы
0 0 0
−5
108. Найдите ранг матрицы
.
−3 4
−10 −6 8
.
28 −15 −8
⎛ −8 8 −7 ⎞
109. Найдите ранг матрицы ⎜
⎟.
⎜ −4 −1 9 ⎟
⎝ −4
5
−6 ⎠
−14 −23 −37
⎛
110. Найдите ранг матрицы 13 25 42 ⎞ .
⎝ 6
−23 −41 ⎠
Транспонирование матриц
111. Транспонируйте матрицу
5
7
⎛ 2 −1 ⎞
⎝7
6 ⎠
Сложение матриц и простейшие матричные уравнения
112. Произведите действия с матрицами:
−8 8
−6 6 4
⎛
⎞
⎛
−7 8 1 − 3 −5 5 −2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ −5 −8 ⎠
⎝ −2 −4 −1 ⎠
113. Произведите действия с матрицами:
6
8
⎛ 7
−2
⎝ −8
4
−1
9
5
3
6 ⎞ − 6 ⎛ −8 6 −8 ⎞
−8 ⎠
⎝ 4
114. Произведите действия с матрицами:
11
7 −4 ⎠
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
−2
1
−2 2 1
−4 2 7
−5
+5⎛ 4
−5 ⎞
⎝ −1
5 ⎠
115. Решите матричнoе уравнение:
−2
4
0
5
−6 2 −1
−2 −2 −2
+3 = 7
−1 −4 −4
116. Решите матричную систему уравнений:
12 18
⎧
⎪ − + 5 = 3 −31
⎪
⎨
3 62
⎪ −6 + 7 =
41 −48
⎪
⎩
След матрицы
−6 7 −1
117. Вычислитеслед матрицы: ⎛ −1 4 −4 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
1 7 0
⎝
⎠
118. Вычислите матрицу tr( )
+ tr( ) , если
=
0 −8
0
8
,
Умножение матриц
−1
⎛
119. Вычислите произведение 3
2
3
1
−2 ⎞ ⋅
⎝ 3
−3
2 ⎠
5 −1
3 −3
.
−8
120. Вычислите произведение ⎛ 8 ⎞ ⋅ −4 9 1 .
⎝ 1 ⎠
3
⎛
121. Вычислите произведение −1 −3 4 ⋅ −1 ⎞ .
⎝ 2 ⎠
1
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
−2
122. Вычислите произведение ⎜ ⎟ ⋅ −3 3 0 5 0 5 .
⎜
⎜ −1 ⎟
⎟
⎜ ⎟
3
⎜ ⎟
⎝ −2 ⎠
12
=
4
−9
−5 −4
,
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
−1
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
1
123. Вычислите произведение −5 −5 5 1 2 2 ⋅ ⎜ ⎟ .
⎜ −2 ⎟
⎜ ⎟
3
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
124. Вычислите
⋅
+ , если
+
125. Вычислите
, если
0
=
−5
−4 −3
2 −2
=
2
6
=
4
1
7
6
=
и
−4 3
8
=
и
1 −3
−4
,
3
−6 −6
.
.
6 −2
−1
126. Вычислите произведение ⎛ 2 −3 −5 ⎞ ⋅ ⎛ −1 ⎞ .
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ −3 1 1 ⎠ ⎝ −1 ⎠
−2 3 1
⎛
127. Вычислите произведение 4 3 −3 ⋅ −1 −2 2 ⎞ .
⎝ −1 −2 3 ⎠
1
−4
128. Вычислите произведение ⎛ 0
⎝ −6
2 −1 −2
.
1 ⎞⋅
2 1 1
2 ⎠
3 1 2
129. Вычислите произведение
2 3 1
−5 −5
⎛
⋅ 2 1 ⎞.
⎝ 2
2 ⎠
1
1
1
−1 −3
130. Вычислите произведение ⎛ 1
1
3 ⎞⋅⎛ 1
1
1 ⎞.
−2
⎝ −3 −2 −5 ⎠ ⎝ −1 −1 −2 ⎠
−3
−
131. Вычислите
, если
=⎛ 1
⎝ 1
132. Вычислите ( ), если ( ) = 2
2
1
3
3
2
−3 ⎞ и
= ⎛ −2 7
−1 −2 ⎠
+5 +3и
5 −8
⎝ 6
8
−4 5
⎛
= −3 −2
0
1 ⎞.
6 ⎠
1 ⎞.
⎝ −1 −1 −3 ⎠
4 −4
133. Вычислите
134. Вычислите
⋅
⋅
− 7 − 2 , где
2
= ⎛ 5 −1 −4 ⎞,
⎜
⎟
⎝ 6 −1 −2 ⎠
− 6 + tr( ) ⋅ , где
4 2
⎛
= −4 3
⎝ 3
13
— единичная матрица.
3
3 ⎞,
1 −3 ⎠
— единичная матрица.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
⋅
135. Вычислите
−
⋅
1
⎛
= 4
, где
5
1
4
6⎞
⎝ −4 −4 1 ⎠
1 −1
3
136. Вычислите ( ), если ( ) = 3
−3
2
= ⎛ 2 2 −2 ⎞ .
⎜
⎟
⎝ 2 −1 3 ⎠
−2 −2и
Степени матриц
137. Вычислите
3
138. Вычислите
4
139. Вычислите
10
140. Вычислите
5
, если
, если
, если
, если
=
=
5 −1
−1
5
0
−1
−2
1
36
, если
⎝
−
√2
√2
2
2
√2
81
, если
=⎛
⎝
−
2
√3
142. Вычислите
.
3
=⎛
.
2
−3 1
−
141. Вычислите
.
−2 −2
=
=
.
0 −4
2
1
−2
√2
⎞.
⎠
2
1
2
√3
2
⎞.
⎠
Определитель
Определитель матрицы
143. Вычислите определитель матрицы
0 7 6
⎛ −2 −4 0 ⎞
=⎜
⎟.
⎜ 0 2 4⎟
⎝ 4
1
4⎠
|8 9|
|.
144. Вычислите определитель ||
|
9
5
|
|
−3 0
145. Вычислите определитель матрицы
0
= ⎛ −5 9 −5 ⎞ .
⎜
⎟
⎝ 3 0 −2 ⎠
| 9 −2 3 |
|
|
146. Вычислите определитель || −4 9 3 || .
|
|
| 4 6 1|
14
4
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
147. Вычислите определитель матрицы
−3 0 0 0
⎛ 8 6 −1 −7 ⎞
=⎜
⎟.
⎜ −8 0 −8 −2 ⎟
⎝ −7 0
148. Вычислите определитель матрицы
0
−9 ⎠
−5 −5 0
⎛ −1 −8 0
=⎜
⎜ 0 0 −3
⎝ 0
0
0
0 ⎞
⎟.
8 ⎟
−3 −8 ⎠
| −2 1 −3 1 |
|
|
| 0 −4 0 −5 |
|.
149. Вычислите определитель ||
|
−3
0
−5
4
|
|
|
|
| −4 −4 5 1 |
2
150. Вычислите определитель матрицы
2
2
−6
⎛ 2 −4 −2 −2 ⎞
=⎜
⎟.
⎜ 3 −3 13 1 ⎟
⎝ 2 −1 21
8 ⎠
| −9 −12 6 6 3 |
|
|
| 0
0
0 15 −9 |
|
|
151. Вычислите определитель || 0
0 −8 5 −1 || .
|
|
0 −2 2 2 |
| 6
|
|
| −5 −12 10 10 −1 |
Задачи на определители
152. Вычислите определитель матрицы
−4
, если
=
−7 −3
5
.
1
2
153. Вычислите определитель произведения матриц
, если
=⎛ 6
5
3 ⎞,
⎝ −1 2 ⎠
=
4
8 −6
−3 2
9
.
154. Вычислите определитель произведения матриц
−1
, если
=
1
5
1
9 −8 −4
,
2
= ⎛ −5 −5 ⎞ .
⎝ −2
3 ⎠
10 −3 −4
155. Вычислите определитель произведения матриц
, если
= ⎛ −7 −8
⎝ −3
15
3
3 ⎞,
−1 ⎠
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
3 −7 7
⎛
= −4 −6 −4 ⎞ .
⎝ 3
−7 −5 ⎠
156. Вычислите определитель матрицы , если известно, что она является решением
−1 6 3
10 −5 −6
уравнения ⎛ −3 4 9 ⎞ = ⎛ −7 4 7 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 8 3 −2 ⎠
⎝ 4 8 −5 ⎠
−8 9 −7
157. При каких значениях параметра определитель матрицы ⎛ −1 3 −1 ⎞ не равен
⎝ 2
1
⎠
нулю?
158. При каких значениях параметра
5 6 4
⎛
определитель матрицы −2
−4 ⎞ не равен
⎝ −5 2 −4 ⎠
нулю?
−12
159. При каких значениях параметра
определитель матрицы ⎛ 24
⎝
4
4
−8 −8 ⎞ не
4
2 ⎠
равен нулю?
−4
160. При каких значениях параметра
матрица ⎛ −6
⎝ 7
161. При каких значениях параметра
2
2 ⎞ вырожденная?
8
−6 10 ⎠
5 −1
⎛
матрица −7 4 −2 ⎞ невырожденная?
⎝ 1
6 −3 ⎠
2
8
162. При каких значениях параметра матрица ⎛ −6 6 3 ⎞ невырожденная?
⎜
⎟
⎝ −2 2 1 ⎠
3
⎛
163. При каких значениях параметра у матрицы 3
1
6
10 ⎞ столбцы линейно
⎝ −1 10
6 ⎠
зависимы?
164. При каких значениях параметра
−1 8 4
⎛
у матрицы 4 −8 −4 ⎞ столбцы линейно
⎝
7
−2 ⎠
8
−8
зависимы?
12
165. При каких значениях параметра
у матрицы ⎛ 15
⎝ 3
зависимы?
16
−10 ⎞ столбцы линейно
−4
−2 ⎠
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
4 −1
⎛
у матрицы 3 −6 1 ⎞ ранг меньший 3?
166. При каких значениях параметра
⎝ 2 −3 −5 ⎠
−3 −7
3
у матрицы ⎛ 2
10 ⎞ ранг равен 3?
⎜
⎟
⎝ −3 −4 3 ⎠
167. При каких значениях параметра
−8 −16
⎛
168. При каких значениях параметра у матрицы 10 20 6 ⎞ ранг меньший 3?
⎝ 4
8
4⎠
Однородные системы уравнений
169. Выясните, имеет ли данная однородная система
4
1
+5
2
+
5
1
−4
2
+7
3
=0
3
=0
ненулевые решения? Ответ поясните.
170. Используя теорию определителей, выясните, имеет ли данная однородная система
⎧ −2 1 + 2 + 5 3 = 0
⎪4 − 8 − 4 = 0
1
2
3
⎨
⎪
⎩ 1+4 2−7 3 = 0
ненулевые решения? Ответ поясните.
171. Используя теорию определителей, выясните, имеет ли данная однородная система
⎧ −2 1 − 2 2 + 4 3 = 0
⎪− + − 4 = 0
1
2
3
⎨
⎪
⎩ −6 1 + 4 2 + 3 = 0
ненулевые решения? Ответ поясните.
Обратная матрица
Формулы Крамера
172. Решите систему уравнений с помощью формул Крамера
5 + 3 = 8,
4 +4 = 7.
173. Решите систему уравнений с помощью формул Крамера
⎧ −7 1 + 7 2 + 2 3 = 3
⎪ −6 + 5 + 5 = 2
1
2
3
⎨
⎪
⎩7 1 + 6 2 − 6 3 = 4
Вычисление обратной матрицы
17
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
174. Вычислите матрицу, обратную к матрице
175. Вычислите матрицу, обратную к матрице
−2 −3
=
4
2
6
7
.
−3
= ⎛ 13 16 −6 ⎞ .
⎝ −5 −6
176. Вычислите матрицу, обратную к матрице
2 ⎠
6 1
⎛ 1 −1
=⎜
⎜ 3 −1
3
−2
1
−1 ⎞
⎟.
−2 ⎟
2
⎝ 1 −1 −1 −2 ⎠
Решение матричных уравнений
177. Решите матричное уравнение
−2 −1
9
178. Решите матричное уравнение
179. Решите матричное уравнение
−2
2
−2
−7
6
−7 −7
6
4
1 1
180. Решите матричное уравнение
=
6 1
5
−16
−60
59
43 −38
=
−14 14
=
2
= ⎛ 61
11 ⎠
2 −11
⎛
= −8 8 ⎞ .
1 ⎠
⎝ 0
4
−4 ⎞ =
⎝2
5
1 ⎠
−4
⎛
183. Решите матричное уравнение 1
5
−5
5
2 ⎞
185. Решите матричное уравнение
−6 ⎠
−22 −22 22
10
−33
⎝ −34
1
−6
.
3
−17 −17
⎛
=
26 −16
⎝ −1 −5 −4 ⎠
184. Решите матричное уравнение
.
−6 −40
16 ⎞ .
⎝ 36
⎛1
1 −1
56
−50 −15
4 −3 −3
182. Решите матричное уравнение
.
.
46 −40
3 3 −2
⎛
181. Решите матричное уравнение −4 4 4 ⎞
⎝ 1
9
20
6
4
17 ⎞ .
−15 ⎠
6
⎛ 5 −4 −5 ⎞ = ⎛ 3
−4 −35 ⎞ .
⎝ 2 −1
9
4 ⎠
⎝ −8
4 −1
1 3
1
2 5
3
186. Решите матричное уравнение ⎛ 4
1
4
3⎞
⎝ −2 5 ⎠
13
= ⎛ 15
4 3
=
1 2
5
2 ⎞.
⎝ −1 12 ⎠
18
18 ⎠
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
−3 −2 −4
187. Решите матричное уравнение
5
−5
11
=
2
−1
10
−17 −3 −18
.
Комплексные числа и многочлены
Многочлены и рациональные функции
188. Найдите целые действительные корни многочлена
3
+8
189. Найдите целые действительные корни многочлена
4
−
3
− 10
190. Найдите целые действительные корни многочлена
5
−
4
−4
191. Найдите наибольший общий делитель многочленов:
3
−2 2− +2.
3
+8
2
− −8и
192. Найдите наибольший общий делитель многочленов:
− 4 2 − 29 − 24 .
3
−2
2
− 9 + 18 и
3
193. В дроби
8
3
− 10
2
+ 12 + 5 .
2
3
+7 +3.
+ 16
2
− 21 + 9 .
2
−7 −5
выделите целую часть.
−2
−4( − 4)
в виде суммы простейших дробей над ℝ .
+ 16 + 60
194. Представьте дробь
195. Представьте дробь
196. Представьте дробь
2
−8 2 + 38 − 43
в виде суммы простейших дробей над ℝ .
( − 2)( 2 − 4 + 4)
2
2
− 4 − 14
( − 2) 2( − 4)
в виде суммы простейших дробей над ℝ .
197. Представьте дробь
20( 2 + 3 + 4)
в виде суммы простейших дробей над ℝ .
( + 7)( 2 + 6 + 13)
198. Представьте дробь
16( 2 + 8 + 5)
в виде суммы простейших дробей над ℝ .
( + 5)( − 3)( + 1)
+ 28 4 − 5
4 + 7 3 + 11
многочлена и простейших дробей над ℝ .
199. Представьте дробь
2
6
5
6
5
− 22
4+3
многочлена и простейших дробей над ℝ .
200. Представьте дробь
−2
+ 15
−8
3
− 29 2 − 18 − 33
в виде суммы
2 − 7 − 12
4
− 18 3 + 3 2 + 32 + 39
в виде суммы
3+7 2−3 −8
Вычисления
201. Вычислите значение выражения
202. Вычислите значение выражения
1−3
и представьте результат в виде
4−3
(6 − )(4 + )
−1 + 2
2
1
+
1
= −4+3 ,
2
= − 1 + . Вычислите
.
и представьте результат в виде
203. Вычислите значение многочлена ( ) = (2 + 5 )
= 3+5 .
204. Пусть
+
̅ 2̅ ̅ ̅
19
+ ( − 3 − ) + (6 + ) в точке
̅ 2̅ ̅
1
.
+
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
205. Пусть
1
=7+6 ,
2
̅ 1̅ ̅ ̅ − ̅ 2̅ ̅
.
1+ 2
= − 9 − 8 . Вычислите
Модуль и аргумент комплексного числа
206. Вычислите модуль и аргумент числа = − 3 − 3√3 .
207. Пусть
=
= 4 cos
4
+ sin
4
,
= 3 cos
7
+ sin
. Найдите модуль и аргумент
7
̅ ̅4
. Значение аргумента укажите на отрезке [0, 2 ] .
̅ ̅5
+ sin , = 3 cos + sin
. Найдите модуль и аргумент
4
4
5
5
= 6 ⋅ ̅ ̅8 . Значение аргумента укажите на отрезке [0, 2 ] .
208. Пусть
= 2 cos
209. Приведите число = 4√3 + 4 к тригонометрическому виду.
210. Приведите число = 4 cos
+ sin
к алгебраическому виду.
Уравнения
211. Найдите комплексные корни уравнения
4
= − 1.
212. Найдите комплексные корни уравнения
2
− 8 + 25 = 0 .
213. Найдите комплексные корни уравнения ( − 2 + )
2
+ ( − 8 − ) − 28 − 16 = 0 .
214. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из
корней которого является число = − 3 + 4 . Сколько существует таких уравнений?
4
215. Найдите все корни уравнения
1 = 1 + один из его корней.
− 11
3
2
+ 40
− 58 + 40 = 0, если известно, что
Системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами
216. Решите систему уравнений с помощью формул Крамера
− (1 − 4 )
(1 − 5 )
1
1
+(−1+2 )
+ (1 − 3 )
Корни системы представьте в виде
+
2
2
= 16 + 15 ,
= − 21 − 17 .
.
217. Решите систему уравнений с помощью формул Крамера
(3 − 2 )
1
(−4−4 )
+(−1− )
1
Корни системы представьте в виде
2
+(−2+ )
+
= −5−8 ,
2
= − 12 + 19 .
.
Линейные операторы
Матрица линейного оператора. Значение оператора на векторе
218. Составьте матрицу линейного оператора , если известно, что
2) = ( − 4 1 − 2 2; 6 1 − 6 2 ) .
( 1;
219. Составьте матрицу линейного оператора , если известно, что
2; 3) = ( − 3 1 + 8 2 + 3; − 9 1 − 3 2 + 7 3 ; − 5 1 − 4 2 − 4 3) .
( 1;
20
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
220. Составьте матрицу линейного оператора , если известно, что ( ⃗ 1 ) = 7 ⃗1 − 8 ⃗2 ,
( ⃗2 ) = 5 ⃗1 − 3 ⃗2 .
на векторе ⃗ =
221. Найдите значение линейного оператора
оператора имеет вид:
=
3
9
5 −7
−5
9
, если матрица этого
.
равно ( ⃗) = 10 ⃗1 + 7 ⃗2 . Известно,
222. На векторе ⃗ значение линейного оператора
что матрица этого оператора в базисе ⃗1 , ⃗ 2 имеет вид
=
2
3
−3 1
. Найдите координаты
вектора ⃗ в базисе ⃗1 , ⃗2 .
2
⎛
на векторе ⃗ = −4 ⎞, если матрица
223. Найдите значение линейного оператора
⎝ −3 ⎠
этого оператора имеет вид:
−1 −4 1
⎛
= −3 −1 4 ⎞ .
⎝ 4
6
1⎠
224. Известно, что значение линейного оператора
а на векторе ⃗ =
−3
−7
его значение равно
оператора на векторе ⃗ =
−1
−3
−44
−10
1
−4
−2
−5
равно
−31
,
−7
. Найдите значение этого линейного
.
225. Известно, что значение линейного оператора
а на векторе ⃗ =
на векторе ⃗ =
его значение равно
15
−7
на векторе ⃗ =
9
−5
равно
−20
,
−1
. Найдите матрицу этого оператора.
Пересчёт координат вектора при замене базиса
226. Известно, что в пространстве ℝ 2 два базиса 1⃗ , 2⃗ и 1⃗ , 2⃗ связаны
соотношениями:
⃗,
2
а
через
и
1 и
1
⃗ = 3 1⃗ + 22 2⃗ ,
1
⃗
⃗ + 73 2⃗ .
2 = 10 1
Пусть
1
и
2
— координаты вектора в базисе 1⃗ и
— координаты этого вектора в базисе 1⃗ и 2⃗ . Выразите координаты
2.
2
227. Известно, что в пространстве ℝ 3 два базиса 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ и 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ связаны
соотношениями:
⎧ 1⃗ = − 3 1⃗ − 7 2⃗ − 2 3⃗ ,
⎪
⃗ = − 6 1⃗ + 2 2⃗ − 2 3⃗ ,
2
⎨
⎪ 3⃗ = − 7 1⃗ − 6 2⃗ + 3⃗ ,
⎩
21
1
и
2
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
вектор ⃗ имеет в базисе 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ координаты
−1
⎛
=
9 ⎞ . Найдите координаты этого
⎝ −7 ⎠
вектора в базисе 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ .
228. Известно, что в пространстве ℝ 3 два базиса 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ и 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ связаны
соотношениями:
⎧ 1⃗ = − 15 1⃗ + 16 2⃗ − 6 3⃗ ,
⎪
⃗ = − 24 1⃗ + 26 2⃗ − 10 3⃗ ,
2
⎨
⎪
⃗ = 8 1⃗ − 8 2⃗ + 3 3⃗ ,
3
⎩
вектор ⃗ имеет в базисе 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ координаты
−47
⎛
= 56 ⎞ . Найдите координаты этого
⎟
⎝ −22 ⎠
вектора в базисе 1⃗ , 2⃗ , 3⃗ .
Собственные вектора и собственные значения
Размерность два
229. Найдите собственные значения матрицы
=
230. Найдите собственные значения матрицы
=
231. Найдите собственные значения матрицы
=
232. Найдите собственные значения матрицы
−2
0
−1
−1
0
−6
4
3
−5
−1 −2
2
, если
3
=
233. Найдите комплексные собственные значения матрицы
234. Найдите собственные вектора матрицы
значения
1
=4и
2
=
10
6
−12 −8
.
.
.
6 5
7 4
=
.
1 −2
2
.
1
, если даны её собственные
= −2.
235. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы
−4 −3
=
6
236. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы
−4 −1
=
.
2 −1
8
237. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы
−8 −15
=
.
6 11
−1
22
, если
, если
5
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
238. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы ( ), если
( )= −4
3
−2
2
−3 +1 и
=
−7 15
−6 12
.
Размерность три
5 −7 0
⎛
239. Найдите собственные значения матрицы 0 −2 0 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
−1 1 4
⎝
⎠
1 4 10
⎛
240. Найдите собственные значения матрицы −6 −9 −14 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
0 0 −1
⎝
⎠
5
14
−4
241. Найдите собственные значения матрицы ⎛ −1 −10
⎜
⎜
−9 −21
⎝
−3 10
4 ⎞.
⎟
⎟
5
⎠
8
242. Найдите собственные вектора матрицы ⎛ −7 8 −4 ⎞, если известны её
⎜
⎟
⎜
⎟
−1 −5 −9
⎝
⎠
собственные значения: 1 = − 5, 2 = − 2, 3 = 3 .
−2 12 −6
⎛
243. Найдите собственные вектора матрицы 3 7 −6 ⎞, если известны её
⎜
⎟
⎜
⎟
6 24 −17
⎝
⎠
собственные значения: 1 = − 5, 2 = − 2 .
−20 12 18
⎛
244. Найдите собственные вектора матрицы −9 10 9 ⎞, если известны её
⎜
⎟
⎜
⎟
−18 8 16
⎝
⎠
собственные значения: 1 = 4, 2 = − 2 .
1
245. Найдите собственные вектора матрицы ⎛ −4
⎜
⎜
−2
⎝
собственные значения: 1 = − 5 .
13 −25
5
5
−2 ⎞, если известны её
⎟
⎟
−6
⎠
−7 2 1
⎛
246. Найдите собственные вектора матрицы −8 1 2 ⎞, если известны её
⎜
⎟
⎜
⎟
4 −2 −4
⎝
⎠
собственные значения: 1 = − 4 .
22 21 27
⎛
247. Найдите собственные вектора матрицы −12 −8 −18 ⎞, если известны её
⎜
⎟
⎜
⎟
−8 −10 −8
⎝
⎠
собственные значения: 1 = − 2 .
23
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
−3 5 −15
⎛
248. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы 0 −7 18 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
0 −3 8
⎝
⎠
10
249. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы ⎛ 6
⎜
⎜
6
⎝
−3
250. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы ⎛ 0
⎜
⎜
0
⎝
5
−23
−1 −10 ⎞ .
⎟
⎟
2 −13
⎠
12
−8
8 ⎞.
⎟
⎟
−24 13
⎠
−15
251. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы
−27 −12 −18
⎛ 16
5
12 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
24 12 15
⎝
⎠
3 −4 −3
⎛
252. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы 1 −1 3 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
0 0 −2
⎝
⎠
3 −7 4
⎛
253. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы 10 −16 8 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
13 −19 9
⎝
⎠
Квадратичные формы
Матрица квадратичной формы
254. Составьте матрицу квадратичной формы
Φ ( 1,
2, 3)
= −7
2
1
−8
1 2
− 18
1 3
−7
2
2
− 12
2 3
+5
2
3.
−9 5
⎛
255. Составьте квадратичную форму, матрица которой имеет вид 5 −4
⎝ 3
2
3
2 ⎞.
−8 ⎠
Метод Лагранжа
256. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ ( 1 , 2 ) = 16 12 − 8 1 2 + 2 22 к нормальному виду и укажите пример соответствующего
преобразования координат.
257. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 25 12 + 50 1 2 + 9 22 − 24 2 3 − 18 32 к нормальному виду и укажите
пример соответствующего преобразования координат.
258. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = − 4 12 + 20 1 2 − 4 1 3 − 21 22 − 6 2 3 + 40 32 к нормальному виду и
укажите пример соответствующего преобразования координат.
259. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
24
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = − 64 1 2 − 24 1 3 − 40 2 3 к нормальному виду и укажите пример
соответствующего преобразования координат.
260. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 4 12 − 16 1 2 + 16 1 3 + 15 22 − 22 2 3 − 9 32 к нормальному виду и
укажите пример соответствующего преобразования координат.
Знакоопределённые квадратичные формы
261. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма
Φ ( 1 , 2 ) = 12 − 2 1 2 + 2 22 положительно определённой, отрицательно определённой
или не знакоопределённой.
262. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 16 12 + 32 1 2 + 8 1 3 + 17 22 + 10 2 3 + 11 32 положительно
определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.
263. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = − 4 1 2 − 2 1 3 − 4 22 + 8 2 3 + 3 32 положительно определённой,
отрицательно определённой или не знакоопределённой.
264. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма
Φ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = − 7 12 + 6 1 3 − 10 1 4 − 3 22 − 2 2 3 + 2 2 4 − 4 32 − 7 42
положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.
Канонический вид квадратичной формы
265. Найдите канонический вид квадратичной формы
Φ ( 1 , 2 ) = − 17 12 + 7 22 − 18 1 2 , к которому её можно привести с помощью
подходящего ортогонального преобразования координат.
266. Найдите канонический вид квадратичной формы
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 13 12 + 11 22 + 11 32 − 6 1 2 + 6 1 3 − 18 2 3 , к которому её можно
привести с помощью подходящего ортогонального преобразования координат.
267. Приведите квадратичную форму Φ ( 1 , 2 ) = − 12 + 14 22 + 36 1 2 к
каноническому виду и укажите соответствующее ортогональное преобразование
координат.
268. Приведите квадратичную форму
Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 25 12 + 25 22 + 29 32 − 54 1 2 + 10 1 3 − 10 2 3 к каноническому виду и
укажите соответствующее ортогональное преобразование координат.
Аналитическая геометрия (размерность 2)
Уравнение прямой
269. Напишите общее уравнение прямой
−3
−3
=
.
1
−6
270. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точки (2; 3) и ( − 3; − 1) .
271. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки ( − 4; 5) и
(4; − 1) .
272. Принадлежат ли одной прямой точки (2; − 3), (3; − 2), (7; 2) ? Если да, то
укажите общее или каноническое уравнение этой прямой.
Прямая, перпендикулярная другой прямой
273. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (1; − 4) и
25
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
перпендикулярной прямой
+2
−5
=
.
5
−1
274. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку ( − 13; 6) и
перпендикулярной прямой 8 + − 5 = 0 .
275. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку (9; − 6) и
−3
+3
перпендикулярной прямой
=
.
7
−3
276. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку ( − 8; 9) и
перпендикулярной прямой 2 − + 8 = 0 .
277. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку (3; − 7) и
перпендикулярной прямой, проходящей через точки ( − 4; 9) и (4; 16) .
278. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку ( − 6; − 3) и
перпендикулярной прямой, проходящей через точки (3; 4) и (9; 0) .
Прямая, параллельная другой прямой
279. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку ( − 1; − 5) и
параллельной прямой 2 + + 22 = 0 .
280. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (4; 11) и
−3
−6
параллельной прямой
=
.
2
1
281. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку ( − 1; 6) и
−3
+2
параллельной прямой
=
.
4
0
282. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку ( − 5; − 1) и
параллельной прямой − 3 − 6 = 0 .
283. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку (6; 2) и
+5
−9
параллельной прямой
=
.
4
−5
284. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (8; 8) и
параллельной прямой, проходящей через точки ( − 7; − 7) и ( − 6; − 4) .
285. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку (5; − 7) и
параллельной прямой, проходящей через точки (4; 2) и (7; 1) .
Точка пересечения прямых
286. Найдите точку пересечения прямых + 4 = 0 и 4 − + 17 = 0 .
287. Найдите точку пересечения прямых
+ 15
=
1
− 45
и 3 − + 27 = 0 .
−4
288. Найдите точку пересечения прямых
− 15
=
2
−4
и
1
−6
+3
=
.
1
−2
289. Найдите точку пересечения прямой + 2 + 9 = 0 и прямой, проходящей через
точки (2; − 10) и ( − 3; 0) .
290. Найдите точку пересечения прямой
−7
=
3
+2
и прямой, проходящей через
1
26
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
точки (3; 1) и (2; 5) .
291. Найдите точку пересечения прямых
( − 4; − 8) и (0; − 5) .
292. Найдите точку пересечения прямой
и
, где (16; − 5),
+3
=
4
(12; − 4),
−4
и прямой, проходящей через
6
точки ( − 15; − 8) и ( − 13; − 5) .
293. Найдите точку пересечения прямой
−1
−1
=
и прямой, проходящей через
3
12
точки (0; − 3) и ( − 2; − 11) .
Взаимное расположение прямых
+6
=
−3
параллельные или пересекающиеся.
294. Выясните, данные прямые
+8
и 4 − 8 − 6 = 0 совпадающие,
7
295. Выясните, данные прямые 6 − 2 + 27 = 0 и
+6
=
3
+4
совпадающие,
9
параллельные или пересекающиеся.
+3
=
4
параллельные или пересекающиеся.
296. Выясните, данные прямые
+2
и 4 − 8 − 4 = 0 совпадающие,
2
Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки
297. Найдите расстояние между точкой ( − 1; − 1) и прямой 2 − + 3 = 0 .
298. Найдите расстояние между точкой (3; − 5) и прямой
299. Найдите проекцию точки (10; − 16) на прямую
−8
=
4
+1
.
7
− 3 − 8 = 0.
+6
−8
=
.
3
−4
300. Найдите проекцию точки (11; 2) на прямую
301. Найдите точку, симметричную точке (2; − 7) относительно прямой + 2 − 3 = 0 .
302. Найдите точку, симметричную точке (3; 4) относительно прямой
303. Найдите расстояние между параллельными прямыми
−2
=
4
304. Найдите расстояние между параллельными прямыми
=
3
+2
+1
=
.
1
−2
−5
и
8
+5
и
9
−6 + 2 − 10 = 0 .
305. Найдите расстояние между параллельными прямыми 2 − 3 + 6 = 0 и
−6 + 9 − 57 = 0 .
Углы между прямыми
306. Найдите угол между прямыми 3 + + 4 = 0 и 6 − 7 − 7 = 0 .
307. Найдите угол между прямыми 5 + 3 + 8 = 0 и
27
+7
−2
=
.
3
−1
+7
=
1
−2
.
2
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
308. Найдите угол между прямыми
309. Найдите угол при вершине
−4
−1
=
и
1
−3
−2
−2
=
.
2
−3
в треугольнике с вершинами (5; 0),
(7; 3),
(3 + 3√3; − 3 − 2√3) .
Площади
, если (4; 5),
310. Найдите площадь параллелограмма
( − 1; 9), ( − 6; − 8) .
311. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках ( − 6; − 1),
( − 5; 2) .
(5; 6),
Аналитическая геометрия
Уравнение прямой
312. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки ( − 3; 1; − 4)
и (4; 1; − 1) .
313. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки
(3; − 4; 2; 1; − 1) и (4; − 4; 2; − 4; − 3) .
314. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (4; 9; − 6) и
−6
−1
+4
параллельной прямой
=
=
.
−4
2
3
315. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (0; 12; 7; 4) и
−5
−8
−8
параллельной прямой
=
= =
.
−2
1
4
0
316. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
(5; 5; − 2; − 1) и параллельной прямой, проходящей через точки ( − 4; − 2; − 1; 1) и
(1; 2; − 3; − 1) .
Точка пересечения прямых
317. Найдите точку пересечения прямых
1
− 22
=
5
2
−4
3+7
=
=
2
−2
4
1
−6
2
=
=
1
1
3
−9
=
2
4
+ 13
и
−4
−7
.
1
318. Найдите точку пересечения прямой
1
+4
=
1
2
+6
3
=
и прямой, проходящей
2
1
через точки ( − 19; 0; 5) и ( − 7; − 3; 2) .
319. Найдите точку пересечения прямых
и
, где (4; − 10; 14),
(3; − 6; 11),
(13; 11; − 7) и (9; 8; − 3) .
320. Найдите точку пересечения прямых
−3
=
−3
321. Найдите точку пересечения прямых
− 17
=
16
+7
−5
=
=
−4
−5
+5
=
4
+7
и
3
−3
=
3
−1
−9
=
.
1
−2
− 21
+1
=
и
20
−4
− 11
.
1
322. Найдите точку пересечения прямой
−2
+1
−1
=
=
и прямой, проходящей
1
−2
−1
через точки ( − 1; 5; 4) и (3; − 3; 0) .
28
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Взаимное расположение прямых
− 10
+9
−3
=
=
и прямая, проходящая через точки
−5
6
3
( − 7; − 11; 18) и ( − 5; − 7; 26), совпадающие, параллельные, пересекающиеся или
скрещивающиеся.
323. Выясните, данная прямая
− 35
+1
− 13
=
=
и прямая, проходящая через точки
7
1
4
( − 23, 5, − 13) и (31, − 13, 5), совпадающие, параллельные, пересекающиеся или
скрещивающиеся.
324. Выясните, данная прямая
− 32
+ 37
+ 36
=
=
и прямая, проходящая через
−6
6
5
точки (14; − 31; − 24) и ( − 4; − 13; − 9), совпадающие, параллельные,
пересекающиеся или скрещивающиеся.
325. Выясните, данная прямая
+ 16
+ 34
+ 29
=
=
и прямая, проходящая через
3
5
5
точки ( − 10; − 24; − 19) и ( − 1; − 9; − 4), совпадающие, параллельные,
пересекающиеся или скрещивающиеся.
326. Выясните, данная прямая
Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки, перпендикуляры
327. Найдите расстояние между точкой ( − 8; 1; − 4) и осью координат
.
328. Найдите расстояние между точкой ( − 9; − 3; 12; − 6) и прямой
+5
− 11
+2
−4
=
=
=
.
2
−3
−1
−1
329. Найдите проекцию точки (4; − 12; − 4) на прямую
−2
=
+1
+7
=
.
1
−3
330. Найдите точку, симметричную точке ( − 12; − 13; 8) относительно прямой
−3
− 12
=
=
.
−1
0
−2
331. Нaпишите кaноническое урaвнение прямой, проходящей через точку
+3
+3
+ 10
( − 8; − 3; 16) и пересекaющей прямую
=
=
под прямым углом.
−5
5
1
332. Нaпишите кaноническое урaвнение прямой, проходящей через точку
( − 10; − 1; − 13) и пересекaющей прямую, проходящую через точки ( − 3; 8; − 12) и
( − 7; 4; − 8), под прямым углом.
Уравнение плоскости
333. Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости
4 + 3 − = 0 и проходящей через точку (4; − 2; − 4) .
334. Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной координатной
плоскости
и проходящей через точку (8; 3; − 8) .
335. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку ( − 8; − 6; 2) и
−3
−2
+5
перпендикулярной прямой
=
=
.
2
8
−5
336. Напишите общее уравнение плоскости, перпендикулярной координатной оси
проходящей через точку ( − 4; 9; − 6) .
29
и
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
337. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки (0; 0; 5),
(0; 6; 0) и ( − 2; 0; 0) .
338. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки (4; − 5; 2),
(9; − 4; 6), (8; − 6; 7) .
339. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямую
параллельной прямой
−8
=
+1
=
9
+7
=
−6
+2
=
8
+2
и
2
+4
.
1
340. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей координатную ось
+3
−4
−1
параллельной прямой
=
=
.
2
6
−3
341. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей прямую
и
−7
+2
=
=
4
−5
−2
и
4
перпендикулярную плоскости 5 + + 1 = 0 .
342. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей координатную ось
перпендикулярную плоскости 7 − 8 + 3 + 3 = 0 .
и
343. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точки (8; 1; − 1) и
(7; − 6; − 3) и перпендикулярную плоскости −4 + 6 + 9 + 5 = 0 .
344. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку (6; 3; 3) и
перпендикулярную плоскостям 3 + 2 + 2 = 0 и 13 + 5 + 6 + 7 = 0 .
345. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку ( − 1; − 5; − 4) и прямую
−1
+5
+8
=
=
.
3
−8
−2
346. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку ( − 9; − 9; 7) и
координатную ось
.
347. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся
−2
+3
−4 −9
+2
+5
прямые
=
=
,
=
=
.
−5
1
1
3
−3
7
348. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей параллельные прямые
+4
+6
+5 +6
+8
−1
=
=
,
=
=
.
5
−4
3
15
−12
9
349. Принадлежат ли одной плоскости точки (3; 5; 4), (1; − 2; − 3), (3; 1; 1),
( − 1; − 1; − 4) ? Если да, то укажите общее уравнение этой плоскости.
Углы между прямыми и плоскостями
+9
=
−1
1−1
2−9
3 +3
4−1
5 −5
=
=
=
=
.
3
−2
2
1
2
1
350. Найдите угол между прямыми
2
+5
=
5
3
−1
4 −4
5−4
=
=
и
7
−3
−2
351. Найдите угол между плоскостями − 5 + 3 = 0 и 2 + 6 − − 4 = 0 .
352. Найдите угол между прямой
−
1
+2
2
+2
3
1
+5
=
2
2
+8
=
4
+ 5 = 0.
2
Отрезки и лучи
30
+3
и плоскостью
3
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
353. Найдите расстояние между точками ( − 4; 5; − 1) и (2; − 10; 8) .
354. Найдите расстояние между точками (4; 3; 1; − 6) и (10; − 5; 9; − 2) .
355. Определите, принадлежит ли точка ( − 1; 2; 0) отрезку с концами в точках
( − 3; 1; 4) и (5; 5; − 12) .
356. Определите, принадлежит ли точка ( − 7; 6; − 5; − 6; − 6) отрезку с концами в
точках ( − 3; 1; − 3; − 2; − 2) и ( − 23; 26; − 13; − 22; − 22) .
357. Определите, принадлежит ли точка ( − 1; 4; 8) отрезку с концами в точках
( − 4; 5; 3) и ( − 13; 8; − 12) .
358. Определите, принадлежит ли точка (14; − 19; − 7; 23; 12) отрезку с концами в
точках ( − 1; 1; − 2; 3; 2) и (5; − 7; − 4; 11; 6) .
359. Определите, пересекаются ли отрезки
и
, если ( − 2; 5; 6; 2; − 1),
(14; − 7; − 10; 2; 11), ( − 4; 20; 14; − 7; − 1), (4; − 4; − 2; 5; 3) ?
360. Определите, пересекаются ли отрезки
( − 18; 0; − 18; − 4; 4), (0; − 6; 10; − 12; 4),
и
, если (3; − 6; 3; − 4; − 8),
(2; − 7; 17; − 16; 8) ?
361. Определите, принадлежит ли точка (2; − 1; 0) лучу
(4; 5; − 4) и (0; − 7; 4) .
с началом в точке , если
362. Определите, принадлежит ли точка (9; − 5; 12; − 15; − 15) лучу
точке , если (1; − 1; 4; − 3; 5) и (11; − 6; 14; − 18; − 20) .
363. Определите, принадлежит ли точка (6; − 4; 8) лучу
( − 2; 1; − 4) и (4; − 2; 5) .
с началом в
с началом в точке , если
364. Определите, принадлежит ли точка ( − 5; − 5; − 3; − 1) лучу
, если ( − 3; − 2; − 2; − 5) и (3; 7; 1; − 17) .
с началом в точке
Расстояние между точкой и плоскостью, проекция точки на плоскость и т.д.
365. Найдите расстояние между точкой ( − 1; 7; 3) и плоскостью −7 − 4 − 5 + 1 = 0 .
366. Найдите расстояние между точкой ( − 3; − 3; 5; 5; − 5) и гиперплоскостью
2 +3 + −5 −6 +4 = 0.
367. Найдите проекцию точки (14; − 6; − 23) на плоскость 2 − 2 − 4 − 12 = 0 .
368. Найдите проекцию точки ( − 5; − 5; 7; − 6; 16) на гиперплоскость
− − 3 + 2 − + 5 = 0.
369. Найдите точку, симметричную точке (2; 1; 2) относительно плоскости
− − +8 = 0.
370. Найдите точку, симметричную точке (13; − 3; 8; 11; 8) относительно
гиперплоскости 3 − 2 + + 4 + 4 + 9 = 0 .
Расстояние между прямыми и плоскостями
371. Найдите расстояние между параллельными прямыми
− 25
=
−12
+ 15
+5
=
.
3
−6
31
−5
−5
−3
=
=
и
28
−7
14
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
372. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми
−4
−3
=
=
4
−9
−3
+3
=
=
1
−6
+3
и
8
+1
.
1
373. Найдите расстояние между прямой
−4
+7
=
=
9
−3
− 20
и плоскостью
1
+ − 6 − 29 = 0 .
374. Найдите расстояние между плоскостями 5 − 15 + 5 + 190 = 0 и
−4 + 12 − 4 − 64 = 0 .
Пересечение прямой и плоскости
375. Найдите точку пересечения прямой
+2
+ 19
=
=
−3
−18
− 23
и плоскости
15
7 + 6 − 5 − 29 = 0 .
376. Найдите точку пересечения прямой
6 +
+4
−4
−1
=
=
и плоскости
4
−8
16
− + 21 = 0 .
377. Найдите точку пересечения прямой
− 14
−4
=
=
28
−20
+ 11
и плоскости
16
5 + 3 − 5 − 23 = 0 .
Объемы
378. Найдите объём параллелепипеда
( − 4; 3; − 1) .
1
1 1
1,
если ( − 1; 0; − 3),
1 (2; 3; 4),
(4; 4; 4),
379. Найдите объём пирамиды с вершинами в точках (4; − 2; − 1),
(1; − 3; − 4), ( − 1; − 3; 0) .
(2; − 1; − 4),
Пересечение плоскостей
380. Даны две плоскости 6 − 2 + 2 − 2 = 0 и 2 + 5 − 3 + 16 = 0 . Найдите
каноническое уравнение их прямой пересечения.
381. Даны две плоскости 8 + 10 + 6 + 20 = 0 и −12 − 15 − 9 − 27 = 0 . Найдите
каноническое уравнение их прямой пересечения.
382. Даны две плоскости −28 + 24 + 28 − 72 = 0 и 21 − 18 − 21 + 54 = 0 .
Найдите каноническое уравнение их прямой пересечения.
383. Плоскости − + 6 + 7 + 22 = 0 и + 7 − 6 − 31 = 0 пересекаются по прямой , а
плоскости −5 − 3 − 2 − 5 = 0 и − + 6 − 2 − 14 = 0 — по прямой . Выясните,
пересекаются ли прямые и .
384. Плоскости − 2 + = 0 и −2 + 6 − = 0 пересекаются по прямой , а плоскости
5 − 18 + = 0 и −13 + 36 − 8 = 0 — по прямой . Выясните, пересекаются ли
прямые и .
385. Плоскости − 3 + − 3 = 0 и + + − 1 = 0 пересекаются по прямой , а
плоскости 3 + 5 − 6 = 0 и − 9 − 8 + 1 = 0 — по прямой . Выясните, пересекаются
ли прямые и .
386. Плоскости −2 + 2 + 4 + 8 = 0 и −3 − + 4 + 6 = 0 пересекаются по прямой , а
плоскости −2 − 4 − − 3 = 0 и 2 + 2 = 0 — по прямой . Найдите угол между
прямыми и .
Выпуклые множества
32
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Построение выпуклой оболочки системы точек
387. Перечислите по порядку все угловые точки выпуклой оболочки набора точек
( − 1, 6) и (4, 7) .
(3, 7), ( − 1, 5), (0, 9),
388. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек (6, 2), (4, 5), (5, 4),
(9, 4), (5, 0) . Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты.
389. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек ( − 1, − 3), (3, − 5),
( − 3, 1), ( − 2, − 5), ( − 2, − 3), ( − 1, 0), ( − 3, − 5) . Отметьте на чертеже её
угловые точки и подпишите их координаты.
Задание выпуклого множества с помощью системы неравенств
390. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек (4, − 1), (2, 3), (3, 3),
(0, 3), (6, 3), ( − 4, 4), (4, 3) . Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их
координаты. Найдите задающую выпуклую оболочку систему неравенств.
391. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек ( − 4, 8), (0, − 2),
( − 1, 1), ( − 1, 6), ( − 3, 4), ( − 2, 5), ( − 3, 2) . Отметьте на чертеже её угловые
точки и подпишите их координаты. Найдите задающую выпуклую оболочку систему
неравенств.
Кривые второго порядка
Упражнения
2
392. Найдите координаты фокусов эллипса
7
2
393. Найдите эксцентриситет эллипса
8
2
2+
32
= 1.
2
2+
42
= 1.
394. Напишите каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом
1
√11 и c
6
расстоянием между фокусами 2√11 .
2
395. Найдите коодинаты фокусов гиперболы
5
2
396. Найдите эксцентриситет гиперболы
5
2
−
2
22
= − 1.
2
−
2
32
= 1.
2
397. Найдите уравнение асимптот гиперболы
4
2
2 −
62
= 1.
398. Напишите каноническое уравнение гиперболы с эксцентриситетом
1
85 и c
7
расстоянием между фокусами 2 85 .
399. Напишите каноническое уравнение гиперболы с асимптотами
расстоянием между фокусами 6√13 .
400. Найдите коодинаты фокуса параболы
2
=8 .
401. Найдите уравнение директрисы параболы
402. Найдите эксцентриситет параболы
2
2
= 12 .
= 14 .
33
= ±
2
ис
3
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
403. Напишите каноническое уравнение параболы, у которой расстояние между
фокусом и директрисой равно 6 .
Виды кривых второго порядка
404. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
9 2 + 36 − 8 + 4 2 + 4 = 0 .
405. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
9 2 − 18 − 54 + 9 2 + 9 = 0 .
2
9
406. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
−2 +8 +4 2+9 = 0.
407. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
2
− 18 − 96 − 16 2 + 9 = 0 .
408. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
−5 2 − 6 + 30 + 3 = 0 .
409. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
9 2 − 18 − 32 + 16 2 + 25 = 0 .
410. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
5 2 + 10 + 6 − 3 2 + 2 = 0 .
411. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
16 2 − 40 + 24 = 0 .
9
412. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
2
− 30 + 25 2 + 5 = 0 .
413. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: 4
2
+4 +1 = 0.
Предел последовательности
Простейшие
414. Вычислите предел последовательности lim
4
4
+
5
4
−3 −8
.
8
→∞
415. Вычислите предел последовательности lim
→∞
3
−6 2−8
.
4+6 2
416. Вычислите предел последовательности lim
6 4−8 2+4 −3
.
9 7−5 6−5 5+8 4−6 3+5 +9
417. Вычислите предел последовательности lim
8 − 3 + 4 sin 45
.
3 − 2 + 6 sin 73
418. Вычислите предел последовательности lim
1+5
4+4
419. Вычислите предел последовательности lim
5 + 3 − 8 sin6
.
9 + 5 2 − 8 cos 37
→∞
→∞
→∞
→∞
420. Вычислите предел последовательности lim
√4
→∞
421. Вычислите предел последовательности lim
→∞
20
7
2
+ 4 sin5
.
+ 9 sin3
+5
− 3 ⋅ arctg7 4
5 15 − 9 7 − 7
10
√5 20 + + 7
.
−9 10 − 9 5 + 3
34
7
+2
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
422. Вычислите предел последовательности lim
→∞
−6 +6
2
√8
→∞
423. Вычислите предел последовательности lim
3
√3
−7
−3 + 9
3
√2
+9 +1
.
.
Простые
424. Вычислите предел последовательности lim
→∞
425. Вычислите предел последовательности lim
→∞
426. Вычислите предел последовательности lim
→∞
2
√16
√5
20
16
8
9√
5
5
4
√
→∞
12
430. Вычислите предел последовательности lim
→∞
431. Вычислите предел последовательности lim
→∞
4
432. Вычислите предел последовательности lim
4
3
5
√
2
−5
3
+8
2
2
2
−
+8 −1
−5 +1 3 −2
10
−2
2
−2 +3
2−
4
.
−2
2
436. Вычислите предел последовательности lim
2 ⋅ 5− − 2 ⋅ 6− + 3
.
2 ⋅ 6− − 5 ⋅ 5− + 5
437. Вычислите предел последовательности lim
5 ⋅ 3− + 2 ⋅ 6−
.
4 ⋅ 3− + 3 ⋅ 6−
2
2
3
2
+9
−2
.
+5
.
.
2
+3 3 −6
4⋅7 −2
2⋅7 +3
35
2
−3 +4
435. Вычислите предел последовательности lim
→∞
6
+2
4⋅5 +5⋅7 −3
.
2⋅7 −4⋅5 +4
→∞
.
−3 −7
434. Вычислите предел последовательности lim
→∞
5
3
5
2+
.
.
−4
−8
+2
−1
5+
Пределы с показательной функцией
→∞
30
.
+ 7 sin 3 − 3 4 − 3
2
433. Вычислите предел последовательности lim
+8
−9
−3 −4
→∞
→∞
−5
6
3
−7
−2
3
5
−7+
−7
2
3
−3−
5
6
16
5
5
−
12
+ 8 − 8√
429. Вычислите предел последовательности lim
→∞
−9 +7
+4− √
4 √ +4
4
6
20
7√
4
.
−5
+7 +6+2 √
5
428. Вычислите предел последовательности lim
10
− 4 + √3
8
9
−4 +1
+4 +4+5 +4
8
→∞
427. Вычислите предел последовательности lim
2
2 − 2 + √4
.
2
4
+7
1
2
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
438. Вычислите предел последовательности lim
4 ⋅ 4− − 3 6 − 5
.
4 6 + 3 ⋅ 4− − 4
439. Вычислите предел последовательности lim
2⋅5 +3 3−4
.
3⋅4 +4 5−3
440. Вычислите предел последовательности lim
5 7+2⋅4 +
.
3⋅5 +4 3−2
→∞
→∞
→∞
Пределы с разностями бесконечно больших величин
441. Вычислите предел последовательности lim
2+3 +3
3 −1
442. Вычислите предел последовательности lim
4−2 +
3 −8
443. Вычислите предел последовательности lim
6−5 +7
7 −5
→∞
→∞
→∞
2
444. Вычислите предел последовательности lim
→∞
445. Вычислите предел последовательности lim
→∞
+
2
+
2
7+7 −8
5 −7
−
2
−
2
5−4 −4
4 +7
.
2
.
2
8+8 +6
6 +8
−1−
.
.
−5
√25
2
− 3 − √25
446. Вычислите предел последовательности lim
16
2
+2−4
447. Вычислите предел последовательности lim
2
→∞
→∞
2
−5− 2
2
− 1 (3 + 3)
arctg(2
2
2
.
− 3) .
− 3 √16 − 1
Пределы с прогрессиями и с суммами
448. Вычислите предел последовательности lim
4 2+4 +2
.
2+4+6+ . . . +2
449. Вычислите предел последовательности lim
−1 − 2 − 3 − . . . −
2 −6
→∞
→∞
−7
450. Вычислите предел последовательности lim
→∞
451. Вычислите предел последовательности lim
→∞
452. Вычислите предел последовательности lim
→∞
3
7
3
−
−7
3 + 7 + 49 + . . . + 7
3
− −5
.
4
.
−1
−2 − 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ 16 + . . . − 2 ⋅ 4
−2 ⋅ 4 + 6 + 3
√5 − 8
1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (2 − 1)
453. Вычислите предел последовательности
13√ ж 1
1
1
1
ц.
lim
+
+
+ ...+
з
→ ∞ 3 + 2 и √3 + 1
√2 + 1 + √2 − 1 чш
√5 + √3 √7 + √5
454. Вычислите предел последовательности
13 ж 1
1
1
1
ц.
lim
+
+
+...+
з
→ ∞ 7 + 13 и √14 + 1
√27 + √14 √40 + √27
√13 + 14 + √13 + 1 чш
455. Вычислите предел последовательности
36
.
−1
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
lim
→∞
−2 ж 1
1
1
1
ц
+
+
+...+
.
з
√7 и √3 + 1 √5 + √3 √7 + √5
√2 + 1 + √2 − 1 чш
Пределы с факториалами
456. Вычислите предел последовательности lim
→∞
457. Вычислите предел последовательности lim
7 ⋅ ( − 3) ! − 2 ⋅ !
.
7⋅ !
6⋅√
→∞
2
− 4 ⋅ ( − 1) ! + 2 ⋅ ( − 5) !
.
7⋅ !
458. Вычислите предел последовательности lim
−3 ⋅ ( + 8) !
.
5 ⋅ ( + 9) ! − ( − 7 + 3) ⋅ ( − 8) !
459. Вычислите предел последовательности lim
−5 ⋅ ( + 6) !
.
( − 6 + 2) ⋅ ( − 3) ! − 3 ⋅ ( + 4) !
→∞
→∞
Второй замечательный предел
+4
3 ц
460. Вычислите предел последовательности lim ж 1 +
→∞з
−4 + 7 чш
и
3 + 7 ц −7
461. Вычислите предел последовательности lim жз
→ ∞ и3 + 2ч
ш
462. Вычислите предел последовательности lim
→∞
5 +5
5 −4
.
−8
.
3⋅5 −5
.
−8 +5
2+2 −8
2 +3
3
5
2
463. Вычислите предел последовательности lim
→∞
+5 +8
3−5 +3
464. Вычислите предел последовательности lim
→∞
.
2 +8
.
465. Вычислите предел последовательности lim ( − 3 + 8) ln(8 + 9) − ln(8 + 2) .
→∞
466. Вычислите предел последовательности lim (2 − 2) ln(2 − 1) − ln(2 − 6) .
→∞
Предел функции
Простые пределы функций на бесконечности
467. Вычислите предел lim
→∞
6 cos4 + 6 + 9
.
3 +5
468. Вычислите предел lim
9 ⋅ 8 +6 − 8
.
3 − 6 ⋅ 8 +8
469. Вычислите предел lim
5⋅8 +4⋅9
.
6⋅8 −9⋅9
470. Вычислите предел lim
8 − 5 ⋅ 5 +6
.
6 ⋅ 5 +6 − 9
471. Вычислите предел lim
2⋅9 −3⋅3
.
3⋅3 +9⋅9
→−∞
→−∞
→+∞
→+∞
37
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
( − 3) −
472. Вычислите предел lim
→−∞
9
473. Вычислите предел lim
+8
→+∞
2
9
8
−9 .
−5− 8
9
+5 .
1
474. Вычислите предел lim
→−∞
2
√4
2
− + 1 − √4
+4 −4
1
475. Вычислите предел lim
→+∞
2
√2
476. Вычислите предел lim
2
−4
477. Вычислите предел lim
2
9
→+∞
− 2 + 1 − √2
−3
− −2
arctg(5
−1−3
−3 +5
→+∞
2
5
.
.
+ 2) .
.
Простые пределы функций в конечных точках
6
478. Вычислите предел lim
→ 1 +0
479. Вычислите предел
7+3
+5
+3
5
lim
2
2
481. Вычислите предел lim
→2
482. Вычислите предел lim
−3
.
2
−3
→ −1
.
4
→ −3 +0
480. Вычислите предел lim
−3
−1
+3 +6
.
+3 +2
−6 +8
.
4 − 16
√49 + 8 − 7
3
→0
.
4 − 12 − √−4 2 − 4 + 96
.
→4
3 2 − − 44
483. Вычислите предел lim
484. Вычислите предел lim
√46 − 3 − √11 + 2
3
→7
2
.
− 5 − 112
3
√ −4+2
485. Вычислите предел lim
→ −4
2
− 6 − 40
.
5 + 27 + √2
486. Вычислите предел lim
→ −6
487. Вычислите предел lim
→ −3
3
2−
9 − 117
3
√2 + 4 − √6 + 28
tg5 ⋅ sin
2
.
5
+4
−3 .
+3
1-й замечательный предел
488. Вычислите предел lim
→0
489. Вычислите предел lim
→0
tg(6 2) − 7 tg2
−6 2sin
−2
− 9 sin( − 4 − 3 2)
−4 tg( − 4 2) +
2
sin( − )
−4 tg(2 + 9 2) + 8 3arctg
38
3
.
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
( − 7) 3
490. Вычислите предел lim
→∞
491. Вычислите предел lim
→ −1
−9 + 3
9 ц
sin 2ж
.
зи 9 − 7 чш
7 sin( + 1)
.
−8 2 − 9 − 1
6
tg
492. Вычислите предел lim
→+∞
2
4 − √16
tg
493. Вычислите предел lim
→−∞
2
√49
+7
.
3
+ 7 − √49
2
−1
.
Асимптотики стандартных функций
494. Вычислите предел lim
→0
5
+7
4 5 −8 − 1
.
sin2
.
→ 0 ln(1 + 7 )
495. Вычислите предел lim
9√1 − 5 − 9
496. Вычислите предел lim
→0
.
9
8 tg5 − 7(1 − 6 ) 5 + 7
5
7 √1 + 2 − 7 + 3
497. Вычислите предел lim
.
→ 0 8 tg 3 √1 + 6 − 1
1
498. Вычислите предел lim
−
−3 arcsin( − 7 ) ⋅ (1 + 6 ) 7 − 1
→0
499. Вычислите предел lim
→0
5 + sin( − 5 )
2
3
ln(1 + 3 ) ⋅ tg3
.
1 − cos6
1
1 − √cos8
→0 5 2
500. Вычислите предел lim
.
−3 2 − 8 3
.
→ 0 cos5 − cos4
501. Вычислите предел lim
502. Вычислите предел lim cos
+ cos
→∞
503. Вычислите предел lim 9 sin
6
→∞
504. Вычислите предел lim
6
− 2(3
2
− 3) .
⋅ 3 −4 .
4
tg
→∞
sin
505. Вычислите предел lim
8
6
.
8
→+∞
+4
7
+2−
.
5
ln( √1 + 10 − 2 )
506. Вычислите предел lim
.
2(3 + 4 )
→0
3 +7
507. Вычислите предел lim 5
→∞
(7 − 4)
− 1 ( + 3) .
39
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2
508. Вычислите предел lim (7
→∞
4 −1
.
(2 + 4)
− 5) ln cos
2-й замечательный предел
−2+
3 + 3 tg8
509. Вычислите предел lim
→0
3 − tg8
.
−2
arcsin4
1+5
510. Вычислите предел lim
→0 1 + 4
.
3
1 − 2 arcsin7
511. Вычислите предел lim
→ 0 1 − 3 arcsin7
+3
−4
512. Вычислите предел lim
→∞
→∞
514. Вычислите предел lim
→+∞
5 +2
.
8
4
4
513. Вычислите предел lim
.
+9
8−6
3
+9
4−7
3⋅5 −8
3⋅5 +4
−4
4
+4
.
5 −2
.
−5 +8 √
515. Вычислите предел lim 1 + arcsin(8√ )
√
.
→0
8 +6
2
516. Вычислите предел lim cos
→0
.
9− 9
517. Вычислите предел lim 2
2
−1
→0
518. Вычислите предел lim ( − 9
6
→∞
2 −7
−1
519. Вычислите предел lim
→1
.
+ 9) ln(3
+ 8) − ln(3
.
−
sin2
520. Вычислите предел lim 1 + tg5
→0
521. Вычислите предел lim 2
6
7
→0
−1
1+ 9
1+
.
.
Пределы на правило Лопиталя
8
522. Вычислите предел lim
→1
1−√
5
1−√
.
arcsin6 − 6
.
3− 4
→0
523. Вычислите предел lim
524. Вычислите предел lim
→+∞
525. Вычислите предел lim
→+∞
1
arctg7 − 2 (4 − 2)
−
2
+4 −1
−2
.
.
40
6
+ 4) .
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
−2
526. Вычислите предел lim
−3
→−∞
2
527. Вычислите предел lim
→ 0 −0
528. Вычислите предел lim ( −
2
+3 +4
3
−2
2
→ 0 −0
.
.
− )
−
6
.
−3 − 7
.
4 − 2 ln8
529. Вычислите предел lim
→+∞
530. Вычислите предел lim 6 7ln4 .
→ 0 +0
−
531. Вычислите предел lim5
→
→5
6
.
5
8 sin − sin
6
532. Вычислите предел lim
5
6
ln( − 9 + 46)
.
sin(7 ) − 1
log2 ( −7) + 7
.
→2
9 − 18
533. Вычислите предел lim
8
534. Вычислите предел lim
1 − √8 − 47
→6
9
√ −5−1
sin(6 ⋅
535. Вычислите предел lim
→ 1 sin(5 ⋅
536. Вычислите предел lim жз
→1 и
8
1
4
.
3)
8
−
−1
537. Вычислите предел lim ( − 5)4 ⋅
→∞
)
.
7
7 ц
.
− 1 чш
− ( − 5) 2
.
Исследование функций, не использующее производные
Классификация изолированных точек разрыва функции (часть 1)
538. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
| + 3|( + 7)
3
+ 10
2
+ 21
539. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
2
− 2 − 24
( )=
.
| − 6|( 2 + 13 + 36)
540. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
541. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
542. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
| + 2|
2
+3 +2
sin3
.
2−2
√1 +
2
−1
.
−4
4
6
543. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
41
.
−1
( − 6)( − 2)
.
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
544. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
545. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
546. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
547. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
548. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
549. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
5 − 5 −3
.
( + 3)( + 5)
1
+3
+2
53 − 5
.
ln 1 − 7
2
−2
ln
.
3
( + 3)( − 3)
.
sin( + 1)
.
( + 1)( − 2)
sin
( +2 )⋅| −4 |
.
−7
| + 5|sin 6
550. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
.
( − 7)( 2 + − 20)
551. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
( − 9) cos
.
(2 2 − )| − 9|
552. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
( + 1) arctg( + 2)
( )=
.
| + 1|( 2 − 4 − 12)
553. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
554. Найдите точки разрыва функции и определите их типы ( ) =
Классификация изолированных точек разрыва функции (часть 2)
555. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
( )=
⎧
⎪
16
+5
, ∈ ( − ∞ ; − 3),
2 2 + 3 − 1, ∈ [ − 3; − 2],
⎨
⎪ − 2 , ∈ ( − 2; + ∞ ) .
⎩
556. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
5
⎧−
, ∈ ( − ∞ ; − 3],
+2
⎪
( ) = − 2 − 4 + 2, ∈ ( − 3; − 2],
⎨
⎪ 4 , ∈ ( − 2; + ∞ ) .
⎩
557. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
( )=
⎧
⎪
8
−7
4
⎨
⎪−
⎩
, ∈ ( − ∞ ; − 1),
2
+ 9 + 4, ∈ ( − 1; 3),
3
−3
, ∈ (3; + ∞ ) .
42
| − 9| arctg 2
(
4
− 11
3
3
+ 18 2)
.
( + 7) arctg( + 6)
.
| + 7|( 2 − − 42)
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
558. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
( )=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3
−2
, ∈ ( − ∞ ; − 1),
2
−3
9
−9
− 3 − 1, ∈ [ − 1; 9],
, ∈ (9; + ∞ ) .
559. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
3
⎧−
, ∈ ( − ∞ ; 2),
−3
⎪
( ) = 3 2 − 4 − 1, ∈ (2; 9),
⎨
⎪ 3 , ∈ (9; + ∞ ) .
⎩ −4
560. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
( )=
⎧
⎪
9
−3
, ∈ ( − ∞ ; 2],
−6 2 + 8 − 1, ∈ (2; 9),
⎨
⎪ − 6 , ∈ (9; + ∞ ) .
⎩ −5
561. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
( )=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
5
+5
2
, ∈ ( − ∞ ; − 6],
2
4
+3
+ 2 + 4, ∈ ( − 6; − 2),
, ∈ [ − 2; + ∞ ) .
562. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
( )=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
+1
2
, ∈ ( − ∞ ; − 2),
2
7
−1
+ 2 − 5, ∈ ( − 2; 2),
, ∈ (2; + ∞ ) .
563. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
⎧−
⎪
( )= 2
⎨
⎪−
⎩
5
+2
2
, ∈ ( − ∞ ; − 3),
+ 3 − 4, ∈ [ − 3; − 2),
2
+3
, ∈ [ − 2; + ∞ ) .
Асимптоты графика функции
564. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
5 +2
.
1−
2
+5 +1
.
+1
565. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
566. Найдите асимптоты графика функции ( ) = −
567. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
2
3
5
568. Найдите асимптоты графика функции ( ) = −
5
43
2
− −3
.
1+
+4 2+2
.
2−1
3
+7 2−4
.
2+2 +1
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
569. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
2
4
3 2−9
.
3 − 2 − 12
570. Найдите асимптоты графика функции ( ) = −
571. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
+ 17 + 15
.
+4 +3
2
16
3
572. Найдите асимптоты графика функции ( ) = −
2+
64
3 −3−3.
3
2
−
+5.
573. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
3⋅7 −4⋅5
.
2⋅5 +3⋅7
574. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
3⋅3 +2⋅8
.
3⋅8 −2⋅3
575. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
−7
.
3 − − 3 −7
576. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
4 − 4 −6
.
+6
577. Найдите асимптоты графика функции ( ) = 4 + arctg(3 + 2) .
578. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
2
579. Найдите асимптоты графика функции ( ) =
2
Указание: Вычисляя предел lim
→±∞
наклонной асимптоты
=
( )−
6
.
−1
ln − 1 +
2
.
+5
ln 1 −
при нахождении коэффицинта
+ , воспользуйтесь правилом Лопиталя или
2
асимптотической формулой ln(1 + ) = −
2
+ ( 2) при → 0 .
580. Найдите асимптоты графика функции ( ) = arctg(1 − 7 ) .
Свойства непрерывных функций
581. Пользуясь свойствами непрерывных функций, докажите, что уравнение
−6 3 − 3 2 − 5 − 7 = 0 имеет хотя бы один действительный корень. Вычислите корень
(или один из корней) этого уравнения приближенно с точностью до 0.01.
Производная
Упражнения на вычисление производных
1
582. Продифференцируйте функцию ( ) = 10
( − 10
2
2
. Преобразовывать и
+ 9 )3
упрощать выражение производной не нужно.
583. Вычислите производную функции ( ) = 8ctg 4(5) + 5 − 5
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
584. Вычислите производную функции ( ) = 8 ⋅ 6 −6
упрощать выражение производной не нужно.
44
3+7 2
3
+9
1
10
.
. Преобразовывать и
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
585. Продифференцируйте функцию ( ) =
1
9
√6
3
+ 8log9 5
− 6 . Преобразовывать и
упрощать выражение производной не нужно.
586. Продифференцируйте функцию ( ) = 8lg4 9
выражение производной не нужно.
2
587. Продифференцируйте функцию ( ) = 4sin 7 2
− 3 . Преобразовывать и упрощать
3
2
−
1
−
(9
2
11
.
− 6) 7
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
588. Вычислите производную функции ( ) = ctg 4 − 7 2 + 5 ⋅ − 8
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
589. Вычислите производную функции ( ) = 7( − 6 2 + 5 ) ⋅ lg 7 2
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
590. Продифференцируйте функцию ( ) =
2
2
+7
4
.
− 10 .
√8 2 − 7 + 7
. Преобразовывать и
sin(4 3 + 2 )
упрощать выражение производной не нужно.
591. Вычислите производную функции ( ) =
tg6 − 3
10
3
3
+6 +6
. Преобразовывать и
−3
упрощать выражение производной не нужно.
592. Вычислите производную функции ( ) =
8
8+7
3 −6
2
+
8
3
4
−5
2
. Преобразовывать
и упрощать выражение производной не нужно.
5
593. Вычислите производную функции ( ) =
√−2 2 + 6 − ctg(7
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
594. Продифференцируйте функцию ( ) =
2
− 9)
6
6
ln ( − 8 + 7 ) + arctg(4)
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
2
2
595. Вычислите производную функции ( ) = log
− 3 ⋅ cos
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
596. Вычислите производную функции ( ) =
2−
7
2
.
.
− 3 ⋅ (5
1 + arcsin( − 3
3
2
− 2) .
+ 8) .
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
3
597. Вычислите производную функции ( ) = −
+5
cos(8
2 − 4)
. Преобразовывать и
упрощать выражение производной не нужно.
598. Вычислите производную функции ( ) = sin( − 10
2
+ 4)
−4
3+3
.
Преобразовывать и упрощать выражение производной не нужно.
599. Вычислите производную функции ( ) = log3
−4
tg(7 − 4) . Преобразовывать и
упрощать выражение производной не нужно.
600. Продифференцируйте функцию ( ) = log5
+3
7
упрощать выражение производной не нужно.
45
2
+ + 4 . Преобразовывать и
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Эластичность
601. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
( ) = 41 − 7 и с функцией предложения ( ) = + 1, где — цена товара в рублях,
вычислите эластичность спроса в точке рыночного равновесия.
602. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
( ) = 87 − 10 и с функцией предложения ( ) = − 1, где — цена товара в рублях,
вычислите эластичность предложения в точке рыночного равновесия.
603. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
( ) = 363 − 16 − 5 2 и с функцией предложения ( ) = 4 2 + 13 − 281, где — цена
товара в рублях, вычислите эластичность спроса в точке рыночного равновесия.
604. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
( ) = 15 − 4 − 2 и с функцией предложения ( ) = 3 2 + 14 − 37, где — цена товара
в рублях, вычислите эластичность предложения в точке рыночного равновесия.
605. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
45
( )= 3+
и с функцией предложения ( ) = 8 + ln
, где — цена товара в
+5
4
рублях, вычислите эластичность спроса в точке рыночного равновесия.
606. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
21
( )= 8+
и с функцией предложения ( ) = 11 + ln
, где — цена товара в
+5
2
рублях, вычислите эластичность предложения в точке рыночного равновесия.
607. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
( ) = 9 − 4 , где — цена товара в рублях, выясните, при каких ценах спрос будет
эластичным.
608. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
( ) = 4 − − 14 2, где — цена товара в рублях, выясните, при каких ценах спрос будет
эластичным
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
609. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке 0 . Используя
дифференциал функции ( ) = 6 3 − 2 − 6 + 5 в точке 0 = 1, вычислите приближенно
(0 . 68) .
610. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке 0 . Используя
3
3
дифференциал функции ( ) = √ в точке 0 = 1000, вычислите приближенно √998 .
611. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке
дифференциал функции ( ) = ln в точке
0
0
. Используя
= 1, вычислите приближенно ln 0 . 91 .
612. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке 0 . Используя
дифференциал функции ( ) = в точке 0 = 0, вычислите приближенно 0.08 .
613. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке 0 . Используя
дифференциал функции ( ) = arctg в точке 0 = − 1, вычислите приближенно
arctg(−0 . 92), если ≈ 3 . 14159 .
614. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке 0 . Используя
1
дифференциал функции ( ) = arcsin в точке 0 = , вычислите приближенно
2
arcsin(0 . 52), если ≈ 3 . 14159, √3 ≈ 1 . 73205 .
46
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
615. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке
дифференциал функции ( ) = sin в точке
sin(
3
0
0.
Используя
= , вычислите приближенно
3
+ 0 . 09), если √3 ≈ 1 . 73205 .
616. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке 0 . Используя
2
дифференциал функции ( ) = cos в точке 0 =
, вычислите приближенно
3
2
cos(
+ 0 . 08), если √3 ≈ 1 . 73205 .
3
617. Дайте определение дифференциала функции ( ) в точке 0 . Используя
дифференциал функции ( ) = tg в точке 0 = 0, вычислите приближенно tg(−0 . 05) .
Уравнение касательной
5
∈ ( − , ),
4 4
перпендикулярной прямой, образующей с положительным направлением оси
угол 45 ∘ .
Сделайте чертеж.
618. Составьте уравнение касательной к графику функции
619. Составьте уравнение касательной к графику функции
1
перпендикулярной прямой = −
− 2.
7
= sin( ), при
=
2
− + 5,
620. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = 3
точке 0 = − 2 .
3
−3
2
−2 +7в
621. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = √ в точке
0
622. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = ln в точке
623. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) =
в точке
= 225 .
=
0
0
1
.
= −1.
624. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = arctg в точке
0
= 1.
625. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = arcsin в точке
1
0 = − .
2
626. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = sin в точке
0
=
627. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = cos в точке
0
=
628. Составьте уравнение касательной к графику функции ( ) = tg в точке
3
.
4
= −
4
629. Напишите уравнение касательной к графику функции ( ) = 4
точке 0 = − 1 .
3
+9
5
4
2
+3 +3
в точке
+7 +4
630. Напишите уравнение касательной к графику функции ( ) =
0
2
2
0
.
4
−3 +4в
= − 1.
631. Напишите уравнение касательной к графику функции ( ) = (5 − 3)
47
8
2 −4
−4
в
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
точке
0
= 1.
632. Напишите уравнение касательной к графику функции ( ) =
0
= − 7.
633. Напишите уравнение касательной к графику функции ( ) =
0
sin( + 7)
в точке
2 2 + 4 − 69
ln(2 − 5)
в точке
4 2 − 8 − 11
= 3.
634. Напишите уравнение касательной к графику функции ( ) =
точке
0
arctg( − 4 + 20)
в
−2 2 + 6 + 21
= 5.
Исследование функций и построение графиков
Промежутки выпуклости и вогнутости
2 4 28 3
−
+ 32 2 − 9 − 8 найдите промежутки
3
3
выпуклости (выпуклости вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки
перегиба.
635. Для функции ( ) = −
636. Для функции ( ) = − 4 4 + 8 3 − 7 2 − 5 + 2 найдите промежутки выпуклости
(выпуклости вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
637. Для функции ( ) =
( − 7) 5
найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),
( − 1) 4
вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
( + 3) 7
638. Для функции ( ) =
найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),
( + 6) 8
вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
−9 6
найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),
+3
вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
639. Для функции ( ) =
3
640. Для функции ( ) =
найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),
+2
вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
2
2
641. Для функции ( ) = − − 128 найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),
вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
3
2
+7 +6
найдите промежутки выпуклости (выпуклости
−5
вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
642. Для функции ( ) =
643. Для функции ( ) = 4 + (4 2 − 12 − 14) 2 найдите промежутки выпуклости
(выпуклости вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
9
644. Для функции ( ) =
найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),
−4
вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
Построение эскизов грaфиков функций по готовому исследовaнию
645. Постройте эскиз грaфикa кaкой-либо функции ( ), удовлетворяющей следующим
48
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
условиям:
1) [ ] = ( − ∞ ; + ∞ ), функция двaжды дифференцируемa нa облaсти
( − ∞ ; 1) ∪ (1; + ∞ );
2) lim
( )
→−∞
lim
→ 1− 0
( )−
= 1, lim
→−∞
( ) = − ∞ , lim
→ 1 +0
= − 5, lim
→+∞
( )
1
= − , lim
3 →+∞
( )+
1
3
= 1,
( ) = 9 = (1);
3) ′ ( ) > 0 нa ( − ∞ ; − 4) и ′ ( ) < 0 нa ( − 4; 1) ∪ (1; + ∞ ), ( − 4) = 4;
4)
″ ( ) > 0 нa ( − ∞ ; − 10) ∪ (1; + ∞ ) и
″ ( ) < 0 нa ( − 10; 1) .
Комментaрий. В зaдaнии требуется построить не грaфик функции (это невозможно по
недостaтку дaнных), a лишь эскиз грaфикa. Поэтому допустимы некоторые искaжения
мaсштaбa, в чaстности, нерaвномерность мaсштaбa по осям координaт. Нa эскизе
необходимо отметить мaксимумы и минимумы функции, точки перегибов, aсимптоты
(вертикaльные, нaклонные, горизонтaльные).
Построение графиков функций
646. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
6 +5
( )= 2
.
− 14 + 49
647. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
−3 − 4
( )=
.
( + 2)( − 4)
648. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
( ) = 4( − 2) 2 ( − 6) 3 .
2
649. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
+6 +7
.
−3
650. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
2( − 2) 2
( )= 2
.
− 4 − 77
651. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
−2( 2 − − 6)
( )= 2
.
+ 18 + 81
652. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
3
+ 8 2 + 20 + 10
( )=
.
2+2 +1
653. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
−10( + 2)( 2 + 4 + 4)
( )=
.
2+4 +6
654. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
−4 3
( )= 2
.
+ 13 + 40
655. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
49
3( + 4) 8
( − 7) 9
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
656. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
657. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
658. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
659. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
3( + 1) 5
.
( + 5) 4
− ( − 6) 7
( + 7) 7
−1
⋅
10
.
+6
−1
.
+7
2
2
+2 +1
.
660. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
( ) = (7 − ) ⋅
3
−7
.
661. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
662. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
+1
+7
.
1
⋅
−8
−4
663. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
3
− 2 − 7 + 7) + 2 .
( )=(
664. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
7
.
665. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) =
5 6
.
666. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика
( ) = − 2 + 5 − 7 − 2 ln .
667. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика ( ) = ln 2 .
Ответы
= − 7, = 5 . 4. = 6, = − 3,
1 = − 6, 2 = 3 . 2. 1 = 3, 2 = 4, 3 = 2 . 3. = − 4,
= 1, = − 1 . 5. 1 = 1, 2 = − 2, 3 = − 2, 4 = 5 . 6. = 3, = − 7 . 7. 1 = 4, 2 = 4,
= 1, = − 5 . 9. 1 = 6, 2 = − 2, 3 = 1, 4 = 3 . 10. = 4, = 1,
3 = − 4 . 8. = − 4,
= − 5, = − 6 . 11. Система имеет бесконечное число решений при = − 34 . 12. Cистема
имеет бесконечное число решений при = 7 . 13. ∈ ∅ . Эта система ни при каком
значении параметра не имеет бесконечного числа решений. При любом значении
параметра эта система имеет единственное решение. 14. ∈ ℝ . Эта система при любом
значении параметра имеет бесконечное число решений. 15. ∈ ℝ . Эта система при любом
значении параметра имеет бесконечное число решений. 16. ∈ ∅ . Система ни при каком
значении параметра не имеет бесконечное число решений. Она несовместна при любом
значении параметра . 17. Система несовместна при ≠ 0 . 18. Cистема несовместнa при
= − 17 . 19. ∈ ∅ . Данная система совместна при любом значении . 20. ∈ ℝ . Система
несовместна при любом значении параметра . 21. Система совместна при = 11 . 22.
Cистема совместнa при ≠ − 17 . 23. ∈ ℝ . Cистема cовместнa при любых значениях .
24. Cистема имеет единственное решение при ≠ 9 . 25. ∈ ℝ . Cистема имеет
единственное решение при любом значении параметра . 26. ∈ ∅ . Cистема ни при каком
значении параметра не имеет единственного решения. У неё всегда бесконечное число
решений. 27. ∈ ∅ . Cистема ни при каком значении параметра не имеет единственного
решения. Она всегда несовместна. 28. ∈ ℝ . Это однородная система, она всегда совместна.
29. Cистема имеет единственное решение при ≠ − 8 . 30. Cистема имеет бесконечное число
решений при = 8 . 31. Если в качестве базисной переменной выбрать 1 , то общее
решение: 1 = − 2 + 5 2 + 6 3 , 2 , 3 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = − 2, 2 = 0, 3 = 0 . Если
1.
50
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
в качестве базисной переменной выбрать
1, 3
∈ ℝ; базисное решение:
3,
выбрать
то общее решение:
1
то общее решение:
2
=
2 1
+
5 5
1
−
6
5
3,
2
= , 3 = 0 . Если в качестве базисной переменной
5
1 1
5
= +
, , ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 0,
1−
3 6
6 2 1 2
= 0,
3
2,
2
1
. 32. Если в качестве базисной переменной выбрать 1 , то общее решение:
3
1 = 5 − 8 2 + 7 3 , 2 , 3 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 5, 2 = 0, 3 = 0 . Если в качестве
5 1
7
базисной переменной выбрать 2 , то общее решение: 2 = −
, , ∈ ℝ;
1+
8 8
8 3 1 3
5
базисное решение: 1 = 0, 2 = , 3 = 0 . Если в качестве базисной переменной выбрать 3 ,
8
5 1
8
то общее решение: 3 = − +
, , ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 0, 2 = 0,
1+
7 7
7 2 1 2
5
3 = − . 33. Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 2 то общее решение:
7
1
,
= 13 − 2 3 , 3 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 3, 2 = 13, 3 = 0 . Если в
1 = 3−
3 3 2
5 1
качестве базисных переменных выбрать 1 , 3 то общее решение: 1 = +
,
∈ ℝ,
6 6 2 2
13 1
5
13
−
; базисное решение: 1 = , 2 = 0, 3 =
. Если в качестве базисных
3 =
2 2 2
6
2
переменных выбрать 2 , 3 то общее решение: 1 ∈ ℝ, 2 = − 5 + 6 1 , 3 = 9 − 3 1 ; базисное
решение: 1 = 0, 2 = − 5, 3 = 9 . 34. Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 2
5
1
то общее решение: 1 = − 13 +
,
∈ ℝ; базисное решение: 1 = − 13,
3, 2 = 1 −
3
3 3 3
2 = 1, 3 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 3 то общее решение:
1 = − 8 − 5 2 , 3 = 3 − 3 2 , 2 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = − 8, 3 = 3, 2 = 0 . Если в
8 1
качестве базисных переменных выбрать 2 , 3 то общее решение: 1 ∈ ℝ, 2 = − −
,
5 5 1
39 3
8
39
+
. 35. Если в качестве базисных
3 =
1 ; базисное решение: 1 = 0, 2 = − , 3 =
5 5
5
5
13 21
3
3 3
1
переменных выбрать 1 , 2 то общее решение: 1 =
+
+
,
3+
4, 2 =
3+
2
4
4
2 4
4 4
13
3
, 2 = , 3 = 0, 4 = 0 . Если в качестве
3 ∈ ℝ, 4 ∈ ℝ; базисное решение: 1 =
2
2
базисных переменных выбрать 1 , 3 то общее решение: 1 = − 4 + 7 2 − 4 , 2 ∈ ℝ,
4
1
,
∈ ℝ; базисное решение: 1 = − 4, 2 = 0, 3 = − 2, 4 = 0 . Если в
3 = −2+
2 −
3
3 4 4
качестве базисных переменных выбрать 1 , 4 то общее решение: 1 = 2 + 3 2 + 3 3 , 2 ∈ ℝ,
3 ∈ ℝ, 4 = − 6 + 4 2 − 3 3 ; базисное решение: 1 = 2, 2 = 0, 3 = 0, 4 = − 6 . Если в
качестве базисных переменных выбрать 2 , 3 то общее решение: 1 ∈ ℝ,
4 1
1
26 4
1
4
+
+
2 =
1+
4, 3 = −
1−
4 , 4 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 0, 2 = ,
7 7
7
21 21
7
7
26
,
= 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 2 , 4 то общее решение:
3 = −
21 4
2 1
26 4
+
− 3 , 3 ∈ ℝ, 4 = −
+
− 7 3 ; базисное решение: 1 = 0,
1 ∈ ℝ, 2 = −
3 3 1
3 3 1
2
26
. Если в качестве базисных переменных выбрать 3 , 4 то общее
2 = − , 3 = 0, 4 = −
3
3
2 1
решение: 1 ∈ ℝ, 2 ∈ ℝ, 3 = − +
− 2 , 4 = − 4 − 1 + 7 2 ; базисное решение:
3 3 1
2
1 = 0, 2 = 0, 3 = − , 4 = − 4 . 36. Если в качестве базисных переменных выбрать
3
2
= 0,
3
=
51
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1, 2, 5
то общее решение: 1 = 2 + 2 3 + 2 4 + 6 , 2 = − 1 − 3 − 2 4 + 4 6 ,
5 = 5 − 4 3 − 4 + 6 , 3 , 4 , 6 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 2, 2 = − 1, 5 = 5,
3 = 4 = 6 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 2 , 3 то общее решение:
9 1
3
3
9 1
7
15
5 1
1
1
−
+
+
,
= − +
−
+
,
= −
−
+
,
1 =
2 2 5 2 4 2 6 2
4 4 5 4 4 4 6 3 4 4 5 4 4 4 6
9
9
5
5 , 4 , 6 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = , 2 = − , 3 = , 5 = 4 = 6 = 0 . Если в качестве
2
4
4
базисных переменных выбрать 1 , 2 , 4 то общее решение: 1 = 12 − 2 5 − 6 3 + 3 6 ,
2 = − 11 + 2 5 + 7 3 + 2 6 , 4 = 5 − 5 − 4 3 + 6 , 5 , 3 , 6 ∈ ℝ; базисное решение:
1 = 12, 2 = − 11, 4 = 5, 5 = 3 = 6 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать
1 , 2 , 6 то общее решение: 1 = − 3 + 5 + 6 3 + 3 4 , 2 = − 21 + 4 5 + 15 3 + 2 4 ,
6 = − 5 + 5 + 4 3 + 4 , 5 , 3 , 4 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = − 3, 2 = − 21, 6 = − 5,
5 = 3 = 4 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 5 , 3 то общее решение:
1 = 0 − 2 2 − 2 4 + 9 6 , 5 = 9 + 4 2 + 7 4 − 15 6 , 3 = − 1 − 2 − 2 4 + 4 6 , 2 , 4 , 6 ∈ ℝ;
базисное решение: 1 = 0, 5 = 9, 3 = − 1, 2 = 4 = 6 = 0 . Если в качестве базисных
переменных выбрать 1 , 5 , 4 то общее решение: 1 = 1 − 2 + 3 + 5 6 ,
11 1
7
1 1
1
+
−
+ 2 6 , 2 , 3 , 6 ∈ ℝ; базисное решение:
5 =
2−
3 − 6, 4 = −
2−
2 2
2
2 2
2 3
11
1
, 4 = − , 2 = 3 = 6 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать
1 = 1, 5 =
2
2
9 1
9
5
21 1
15
1
+
+
+
,
=
+
−
−
,
1 , 5 , 6 то общее решение: 1 =
4 4 2 4 3 2 4 5 4 4 2 4 3 2 4
1 1
1
1
9
21
1
+
+
+
, , , ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 0, 5 =
0, 6 = 0,
6 =
4 4 2 4 3 2 4 2 3 4
4
4
4
2 = 3 = 4 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 3 , 4 то общее решение:
18 6
2
33
11 1
2
2
9 4
1
15
−
+
−
,
1 =
2−
5+
6, 3 =
2 −
5−
6, 4 = −
2+
5+
7 7
7
7
7 7
7
7
7 7
7
7 6
18
11
9
, 3 = , 4 = − , 2 = 5 = 6 = 0 . Если в
2 , 5 , 6 ∈ ℝ; базисное решение: 1 =
7
7
7
качестве базисных переменных выбрать 1 , 3 , 6 то общее решение:
27 2
3
11
7 1
4
2
3 4
1
7
+
+
+
,
1 =
2−
5+
4, 3 =
2 −
5−
4, 6 =
2−
5+
5 5
5
5
5 15
15
15
5 15
15
15 4
27
7
3
, 3 = , 6 = , 2 = 5 = 4 = 0 . Если в качестве
2 , 5 , 4 ∈ ℝ; базисное решение: 1 =
5
5
5
57 3
33
базисных переменных выбрать 1 , 4 , 6 то общее решение: 1 =
+
,
2−5 5 −
2 2
2 3
21 1
15
11 1
7
+
+
, , , ∈ ℝ; базисное решение:
4 =
2−2 5−
3, 6 =
2− 5−
2 2
2
2 2
2 3 2 5 3
57
21
11
, 4 = , 6 = , 2 = 5 = 3 ∈ ℝ; Если в качестве базисных переменных выбрать
1 =
2
2
2
1
9
,
= 9 − 2 1 + 3 4 + 3 6,
2 , 5 , 3 то общее решение: 2 = 0 −
1− 4 +
2
2 6 5
1
1
− 4−
, , , ∈ ℝ; базисное решение: 2 = 0, 5 = 9, 3 = − 1,
3 = −1+
2 1
2 6 1 4 6
1 = 4 = 6 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 2 , 5 , 4 то общее решение:
1
3
1
1
, , , ∈ ℝ;
2 = 1 − 1 + 3 3 + 5 6, 5 = 6 −
1−3 3+
6, 4 = − 1 +
1− 3−
2
2
2
2 6 1 3 6
базисное решение: 2 = 1, 5 = 6, 4 = − 1, 1 = 3 = 6 = 0 . Если в качестве базисных
переменных выбрать 2 , 5 , 6 то общее решение: 2 = − 9 + 4 1 − 9 3 − 10 4 ,
5 = 3 + 1 − 6 3 − 3 4 , 6 = − 2 + 1 − 2 3 − 2 4 , 1 , 3 , 4 ∈ ℝ; базисное решение: 2 = − 9,
5 = 3, 6 = − 2, 1 = 3 = 4 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 2 , 3 , 4
7
1
11
1
1
1
то общее решение: 2 = 3 −
,
1 −
5+
6, 3 = 2 −
1−
5+
6
3
2
6
3
2 6
2
1
− 6 , 1 , 5 , 6 ∈ ℝ; базисное решение: 2 = 3, 3 = 2, 4 = − 3,
4 = −3+
1 +
3
3 5
52
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
= 6 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 2 , 3 , 6 то общее решение:
27 5
3
11
1 1
1
1
2
1
+
+
−
,
= +
−
−
,
= −3+
+
− 4,
2 = −
2 2 1 2 5 2 4 3 2 6 1 6 5 2 4 6
3 1 3 5
27
1
, 3 = , 6 = − 3, 1 = 5 = 4 = 0 . Если в
1 , 5 , 4 ∈ ℝ; базисное решение: 2 = −
2
2
качестве базисных переменных выбрать 2 , 4 , 6 то общее решение:
2
10
1
1
1
2
+ 2 3,
2 = − 19 +
1+
5 + 11 3 , 4 = 1 +
1−
5 − 2 3, 6 = − 4 +
1+
3
3
3
3
3
3 5
1 , 5 , 3 ∈ ℝ; базисное решение: 2 = − 19, 4 = 1, 6 = − 4, 1 = 5 = 3 = 0 . Если в
качестве базисных переменных выбрать 5 , 3 , 4 то общее решение:
7
33
1
9
, , , ∈ ℝ;
5 = 9−
1−3 2+
6, 3 = − 1 + 1 + 2 − 5 6 , 4 = 0 −
1− 2+
2
2
2
2 6 5 3 4
базисное решение: 5 = 9, 3 = − 1, 4 = 0, 5 = 3 = 4 = 0 . Если в качестве базисных
5
2
11
переменных выбрать 5 , 3 , 6 то общее решение: 5 = 9 −
,
1+
2+
3
3
3 4
4
1
10
1
2
2
, , , ∈ ℝ; базисное решение:
3 = −1+
1 −
2−
4, 6 = 0 +
1+
2+
9
9
9
9
9
9 4 1 2 4
5 = 9, 3 = − 1, 6 = 0, 1 = 2 = 4 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать
57 1
3
33
9 2
1
9
−
+
−
,
= −
+
−
−
,
5 , 4 , 6 то общее решение: 5 =
10 5 1 10 2 10 3 4
10 5 1 10 2 10 3
1 1
1
1
57
9
+
, 4= − ,
6 = −
1+
2−
3 , 1 , 2 , 3 ∈ ℝ; базисное решение: 5 =
5 5
5
5
10
10
1
6 = − , 1 = 2 = 3 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 3 , 4 , 6 то
5
19 2
1
10
27 5
2
3
общее решение: 3 =
−
+
,
1+
2 −
5, 4 = −
1−
2+
11 33
11
33
11 11
11
11 5
6
7
2
2
19
27
+
, 4= − ,
6 = −
1+
2+
5 , 1 , 2 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 3 =
11 33
11
33
11
11
6
,
= 2 = 5 = 0 . 37. Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 2 то
6 = −
11 1
общее решение: 1 = 8 − 9 3 , 2 = − 7 − 6 3 , 3 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = 8, 2 = − 7,
3 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 1 , 3 то общее решение:
37 3
7 1
37
7
+
−
, 2 = 0, 3 = − . Если
1 =
2 , 2 ∈ ℝ, 3 = −
2 ; базисное решение: 1 =
2 2
6 6
2
6
37 2
в качестве базисных переменных выбрать 2 , 3 то общее решение: 1 ∈ ℝ, 2 = −
+
,
3 3 1
8 1
37
8
−
; базисное решение: 1 = 0, 2 = − , 3 = . 38. Если в качестве базисных
3 =
9 9 1
3
9
3
1
переменных выбрать 1 , 2 то общее решение: 1 = − 3 − 5 3 + 4 , 2 = − 2 +
−
,
2 3 2 4
3 ∈ ℝ, 4 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = − 3, 2 = − 2, 3 = 0, 4 = 0 . Если в качестве
29 10
2
базисных переменных выбрать 1 , 3 то общее решение: 1 = −
−
,
∈ ℝ,
2−
3
3
3 4 2
4 2
1
29
4
+
, 2 = 0, 3 = , 4 = 0 . Если в
3 =
2+
4 , 4 ∈ ℝ; базисное решение: 1 = −
3 3
3
3
3
качестве базисных переменных выбрать 1 , 4 то общее решение: 1 = − 7 − 2 3 − 2 2 ,
2 ∈ ℝ, 3 ∈ ℝ, 4 = − 4 − 2 2 + 3 3 ; базисное решение: 1 = − 7, 2 = 0, 3 = 0, 4 = − 4 .
Если в качестве базисных переменных выбрать 2 , 3 то общее решение: 1 ∈ ℝ,
29 3
1
3 1
1
−
−
,
∈ ℝ; базисное решение: 1 = 0,
2 = −
1−
4, 3 = −
1+
10 10
5
5 5
5 4 4
29
3
, 3 = − , 4 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 2 , 4 то общее
2 = −
10
5
7 1
решение: 1 ∈ ℝ, 2 = − −
− 3 , 3 ∈ ℝ, 4 = 3 + 1 + 5 3 ; базисное решение: 1 = 0,
2 2 1
1
=
5
53
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2
7
= − ,
2
3
= 0,
4
= 3 . Если в качестве базисных переменных выбрать
3, 4
то общее
7 1
29 3
−
−
− 5 2 ; базисное решение:
1 − 2, 4 = −
2 2
2 2 1
7
29
. 39. Если в качестве базисных переменных выбрать
1 = 0, 2 = 0, 3 = − , 4 = −
2
2
3 , 4 , 6 то общее решение: 3 = 1 − 2 1 + 2 − 2 5 , 4 = − 4 + 1 − 2 − 2 5 ,
6 = − 5 − 3 1 − 3 2 − 5 , 1 , 2 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 3 = 1, 4 = − 4, 6 = − 5,
1 = 2 = 5 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 3 , 4 , 1 то общее решение:
13 2
4
17 1
7
5 1
1
+
−
−
,
3 =
6+3 2−
5, 4 = −
6−2 2−
5, 1 = −
6− 2−
3 3
3
3 3
3
3 3
3 5
13
17
5
, 4 = − , 1 = − , 6 = 2 = 5 = 0 . Если в
6 , 2 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 3 =
3
3
3
качестве базисных переменных выбрать 3 , 4 , 2 то общее решение:
2 1
7
7 1
5
5 1
1
−
−3 1−
,
= − +
+2 1−
,
= − −
− 1−
,
3 = −
3 3 6
3 5 4
3 3 6
3 5 2
3 3 6
3 5
2
7
5
6 , 1 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 3 = − , 4 = − , 2 = − , 6 = 1 = 5 = 0 . Если в
3
3
3
качестве базисных переменных выбрать 3 , 4 , 5 то общее решение:
3 = 11 + 2 6 + 4 1 + 7 2 , 4 = 6 + 2 6 + 7 1 + 5 2 , 5 = − 5 − 6 − 3 1 − 3 2 , 6 , 1 , 2 ∈ ℝ;
базисное решение: 3 = 11, 4 = 6, 5 = − 5, 6 = 1 = 2 = 0 . Если в качестве базисных
переменных выбрать 3 , 6 , 1 то общее решение: 3 = − 7 − 2 4 − 2 − 6 5 ,
6 = − 17 − 3 4 − 6 2 − 7 5 , 1 = 4 + 4 + 2 + 2 5 , 4 , 2 , 5 ∈ ℝ; базисное решение:
3 = − 7, 6 = − 17, 1 = 4, 4 = 2 = 5 = 0 . Если в качестве базисных переменных
выбрать 3 , 6 , 2 то общее решение: 3 = − 3 − 4 − 1 − 4 5 , 6 = 7 + 3 4 − 6 1 + 5 5 ,
2 = − 4 − 4 + 1 − 2 5 , 4 , 1 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 3 = − 3, 6 = 7, 2 = − 4,
4 = 1 = 5 = 0 . Если в качестве базисных переменных выбрать 3 , 6 , 5 то общее решение:
1
7
5
1
1
1
,
3 = 5 + 4 − 3 1 + 2 2, 6 = − 3 +
4−
1−
2, 5 = − 2 −
4+
1−
2
2
2
2
2
2 2
4 , 1 , 2 ∈ ℝ; базисное решение: 3 = 50, 6 = − 30, 5 = − 20, 4 = 1 = 2 = 0 . Если в
качестве базисных переменных выбрать 3 , 1 , 2 то общее решение:
25 3
1
29
7 1
1
5
17 1
1
7
−
+
−
,
3 = −
4+
6−
5, 1 =
4−
6+
5, 2 = −
4 −
6−
6 2
6
6
6 2
6
6
6 2
6
6 5
25
7
17
,
= ,
= − , 4 = 6 = 5 = 0 . Если в
4 , 6 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 3 = −
6 1 6 2
6
качестве базисных переменных выбрать 3 , 1 , 5 то общее решение:
53 4
6
29
6 1
2
5
17 3
1
6
+
+
−
,
3 =
4+
6+
2, 1 = −
4−
6−
2, 5 = −
4 −
6−
7 7
7
7
7 7
7
7
7 7
7
7 2
53
6
17
, 1 = − , 5 = − , 4 = 6 = 2 = 0 . Если в
4 , 6 , 2 ∈ ℝ; базисное решение: 3 =
7
7
7
качестве базисных переменных выбрать 3 , 2 , 5 то общее решение:
13 7
4
29
6 1
2
7
7 3
1
6
+
+
−
,
3 =
4−
6−
1, 2 = −
4−
6−
1, 5 = −
4+
6+
5 5
5
5
5 5
5
5
5 5
5
5 1
13
6
7
, 2 = − , 5 = − , 4 = 6 = 1 ∈ ℝ; Если в
4 , 6 , 1 ∈ ℝ; базисное решение: 3 =
5
5
5
качестве базисных переменных выбрать 4 , 6 , 1 то общее решение:
7 1
1
13 3
9
1 1
1
−
−
− 3 5, 6 = −
+
−
+ 2 5, 1 = −
+
− 5,
4 = −
2 2 3 2 2
2 2 3 2 2
2 2 3 2 2
7
13
1
,
= ,
= 2 = 5 = 0 . Если в
3 , 2 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 4 = − , 6 = −
2
2 1 2 3
качестве базисных переменных выбрать 4 , 6 , 2 то общее решение:
4 = − 3 − 3 − 1 1 − 4 5 , 6 = − 2 − 3 3 − 9 1 − 7 5 , 2 = − 1 + 3 + 2 1 + 2 5,
3 , 1 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 4 = − 3, 6 = − 2, 2 = − 1, 3 = 1 = 5 = 0 . Если в
качестве базисных переменных выбрать 4 , 6 , 5 то общее решение:
решение:
1
∈ ℝ,
2
∈ ℝ,
3
= −
54
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
7
1 1
1
−
,
2, 5 =
3− 1+
2
2 2
2 2
11
1
, 5 = , 3 = 1 = 2 = 0 . Если в
3 , 1 , 2 ∈ ℝ; базисное решение: 4 = − 5, 6 = −
2
2
качестве базисных переменных выбрать 4 , 1 , 2 то общее решение:
25 2
1
29
2 1
1
7
13 1
2
4
−
−
+
,
4 = −
3+
6−
5, 1 = −
3−
6−
5, 2 = −
3−
6 +
9 3
9
9
9 3
9
9
9 3
9
9 5
25
2
13
, 1 = − , 2 = − , 3 = 6 = 5 = 0 . Если в
3 , 6 , 5 ∈ ℝ; базисное решение: 4 = −
9
9
9
качестве базисных переменных выбрать 4 , 1 , 5 то общее решение:
53 7
3
29
11 1
1
7
13 3
1
9
+
−
−
,
= −
+
−
−
,
=
−
+
+
,
4 = −
4 4 3 2 6 4 2 1
4 4 3 2 6 4 2 5 4 4 3 2 6 4 2
53
11
13
,
= − , 5 = , 3 = 6 = 2 = 0 . Если в
3 , 6 , 2 ∈ ℝ; базисное решение: 4 = −
4 1
4
4
качестве базисных переменных выбрать 4 , 2 , 5 то общее решение:
13 5
4
29
11 1
2
4
2 3
1
9
+
+
−
,
4 = −
3+
6+
1, 2 = −
3−
6−
1, 5 = −
3−
6 −
7 7
7
7
7 7
7
7
7 7
7
7 1
13
11
2
, 2 = − , 5 = − , 3 = 6 = 1 = 0 . Если в
3 , 6 , 1 ∈ ℝ; базисное решение: 4 = −
7
7
7
качестве базисных переменных выбрать 6 , 1 , 2 то общее решение:
6 = 25 + 6 3 + 9 4 + 29 5 , 1 = − 3 − 3 − 4 − 4 5 , 2 = − 7 − 3 − 2 4 − 6 5 , 6 , 1 , 2 ∈ ℝ;
базисное решение: 6 = 25, 1 = − 3, 2 = − 7, 6 = 1 = 2 = 0 . Если в качестве базисных
53 7
2
29
переменных выбрать 6 , 1 , 5 то общее решение: 6 = −
+
,
3−
4−
6 6
3
6 2
5 1
1
2
7 1
1
1
−
−
, , , ∈ ℝ; базисное решение:
1 =
3+
4+
2, 5 = −
3 −
4−
3 3
3
3
6 6
3
6 2 3 4 2
53
5
7
, 1 = , 5 = − , 3 = 4 = 2 = 0 . Если в качестве базисных переменных
6 = −
6
3
6
13 5
7
29
выбрать 6 , 2 , 5 то общее решение: 6 =
−
,
3+
4−
4 4
4
4 1
5 1
1
3
3 1
1
1
+
−
, , , ∈ ℝ; базисное решение:
2 = −
3−
4+
1, 5 = −
3−
4 −
2 2
2
2
4 4
4
4 1 3 4 1
13
5
3
,
= − , 5 = − , 3 = 4 = 1 = 0 . Если в качестве базисных переменных
6 =
4 2
2
4
13 5
7
4
выбрать 1 , 2 , 5 то общее решение: 1 =
−
+
−
,
29 29 3 29 4 29 6
53 7
4
6
25 6
9
1
+
−
−
,
= −
−
−
+
, , , ∈ ℝ; базисное
2 = −
29 29 3 29 4 29 6 5
29 29 3 29 4 29 6 3 4 6
13
53
25
решение: 1 = , 2 = − , 5 = − , 3 = 4 = 6 = 0 . 40. Нет, данная система векторов
29
29
29
линейно зависима: любая система векторов, включающая в себя нулевой вектор, линейно
зависима. 41. Да, данная система векторов линейно зависима, так как вектора ⃗2 и ⃗3
линейно зависимы. А если система векторов включает в себя зависимую подсистему, то она
и сама зависима. 42. Да, данная система векторов линейно зависима. Любые четыре вектора
в пространстве ℝ 3, имеющем размерность 3, линейно зависимы. 43. Нет, данная система
5
3
векторов линейно зависима. Можно убедиться, что ⃗3 = − ⃗2 + ⃗1 . 44. Нет, данная
4
4
система векторов линейно независима. 45. Да, данная система векторов линейно зависима.
46. Да, данная система векторов линейно независима. 47. Да, данная система векторов
линейно независима. 48. Нет, данная система векторов не образует базис, поскольку
произвольный базис пространства ℝ3 содержит три вектора, а не два. 49. Нет, данная система
векторов не образует базис, поскольку произвольный базис пространства ℝ 3 содержит три
вектора, а не четыре. 50. Нет, данная система векторов не образует базис, поскольку она
4
2
линейна зависима. Можно убедиться, что ⃗1 = ⃗3 + ⃗2 . 51. Да, данная система векторов
3
3
образует базис. 52. Да, данная система векторов образует базис. 53. Да, данные векторы
4
= −5+
3
+3
1
− 2 2,
6
= −
11 1
+
2 2
3
−2
1
−
55
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
лежат в ℝ 3 и линейно зависимы. Следовательно, они компланарны. Можно убедиться, что
1
⃗3 = − ⃗2 − ⃗1 . 54. Нет, данные векторы лежат в ℝ 3 и линейно независимы. Следовательно,
3
они не компланарны. 55. В качестве базиса данной системы векторов можно взять ⃗1 , ⃗2 или
⃗2 , ⃗3 или ⃗1 , ⃗3 . Можно заметить, что вектора системы удовлетворяют соотношнению
1
⃗1 = 3 ⃗2 − ⃗ 3 . 56. Это линейно независимая система векторов, так что она сама и будет
2
своим базисом. 57. Эти вектра базис системы не образуют. 58. Если выбран базис ⃗1 , ⃗2 , ⃗3 ,
1
1
то ⃗ 4 = ⃗1 − ⃗2 + ⃗3 , ⃗5 = − ⃗1 − ⃗2 − ⃗3 . Если выбран базис ⃗1 , ⃗2 , ⃗4 , то
3
3
2
4
⃗3 = − ⃗1 + ⃗2 + ⃗4 , ⃗5 = ⃗1 − ⃗2 − ⃗4 . Если выбран базис ⃗1 , ⃗3 , ⃗4 , то ⃗2 = ⃗ 1 + ⃗3 − ⃗4 ,
3
3
2
4
1
⃗5 = − ⃗1 − ⃗3 + ⃗ 4 . Если выбран базис ⃗2 , ⃗ 3 , ⃗4 , то ⃗1 = ⃗2 − ⃗3 + ⃗ 4 ,
3
3
3
2
2
1
1
1
⃗5 = − ⃗2 − ⃗3 − ⃗ 4 . Если выбран базис ⃗1 , ⃗ 2 , ⃗5 , то ⃗3 = − ⃗ 1 − ⃗2 − ⃗5 ,
3
3
3
3
3
2
4
⃗4 = ⃗1 − ⃗2 − ⃗5 . Если выбран базис ⃗1 , ⃗3 , ⃗5 , то ⃗2 = − ⃗1 − 3 ⃗3 − 3 ⃗5 ,
3
3
⃗4 = 2 ⃗1 + 4 ⃗3 + 3 ⃗5 . Если выбран базис ⃗ 2 , ⃗3 , ⃗5 , то ⃗1 = − ⃗2 − 3 ⃗3 − 3 ⃗5 ,
1
3
3
⃗4 = − 2 ⃗2 − 2⃗ 3 − 3⃗ 5 . Если выбран базис ⃗1 , ⃗ 4 , ⃗5 , то ⃗2 = ⃗1 − ⃗ 4 − ⃗5 ,
2
4
4
1
1
3
3
3
⃗3 = − ⃗1 + ⃗4 − ⃗ 5 . Если выбран базис ⃗2 , ⃗ 4 , ⃗5 , то ⃗1 = 2 ⃗2 + ⃗4 + ⃗ 5 ,
2
4
4
2
2
1
3
1
3
⃗3 = − ⃗2 − ⃗4 − ⃗5 . Если выбран базис ⃗3 , ⃗4 , ⃗5 , то ⃗ 1 = − 2 ⃗3 + ⃗4 − ⃗5 ,
2
2
2
2
1
3
⃗2 = − ⃗3 − ⃗4 − ⃗5 . 59. Искомой является линейная комбинация 3⃗1 − 6 ⃗2 + 2 ⃗3 = 0⃗ или
2
2
любая ей пропорциональная. 60. Искомой является линейная комбинация
3 ⃗1 + 18⃗ 2 − 4⃗ 3 + 12 ⃗4 = 0⃗ или любая ей пропорциональная. 61. Ранг системы векторов
равен 1. 62. Ранг системы векторов равен 2. 63. Ранг системы векторов равен 3. 64.
1
5 1 11
11
21
⃗ = (30; 0; 10) . 65. ⃗ = ( − 10; 3; 11) = ( − ; ; ) . 66. ⃗ = ( − 6; ; − ) . 67. Длина
12
6 4 12
4
4
вектора ⃗ равна 65 . 68. Длина вектора ⃗ равна 51 . 69. Длина вектора ⃗ равна √233 . 70.
Длина вектора ⃗ равна √19 . 71. Первый вектор короче. Его длина равна √17 . 72. Первый
вектор короче. Его длина равна √24 = 2√6 . 73. Длина вектора ⃗ равна √114 . 74. Длина
91
√3 . 80.
вектора ⃗ равна √102 . 75. 22 . 76. 34 . 77. −83 . 78. 69 . 79.
2
−15
5
10
2
√798 . 81. cos =
cos =
= −
=
165 . 82. Угол тупой. 83. Угол тупой.
266
√798
√1485 99
5 3
3
31 9
84. √109 . 85. Φ = 42 − 11 − ( − 6) ⋅ ( − 7) = − 11 . 86. ⃗ =
; ;−
. 87. ⃗ =
; .
43 43
43
7 7
1
(5; 8; 6) и ⃗2 = − ⃗1 . 89.
88. Условию задачи удовлетворяют два вектора: ⃗1 =
5√5
Ортогональное дополнение состоит из векторов, коллинеарных вектору ⃗ = (10; 1; 7) . 90.
43
=
. 91. ⃗1 = (1; 1; 6), ⃗ 2 = ( − 6; 0; 1), ⃗3 = (1; − 37; 6) . 92. ⃗ = 4 ⃗1 + 2 ⃗2 . 93.
35
9
7
⃗ = − 5 ⃗1 + ⃗2 − 2 ⃗3 . 94. ⃗ = − 2 ⃗1 + 6 ⃗2 − 6 ⃗3 − 7 ⃗4 . 95. ⃗ = −
⃗1 −
⃗ . 96. Данный
10
10 2
6
−51
1
17
базис не является ортогональным. 97. ⃗2 = (6; − 3), ⃗ =
⃗1 +
⃗2 =
⃗1 −
⃗ . 98.
180
45
30
15 2
1
1
13
⃗ = − ⃗1 + ⃗2 +
⃗ . 99. Размерность пространства решений равна 0. Эта система
6
5
30 3
вообще имеет лишь одно решение — нулевое: ⃗ = 0; 0; 0 . 100. Размерность пространства
решений равна 3. Если в качестве базисной переменной взять
56
1,
то ФНР будет иметь вид:
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1
⃗1 = 2; 1; 0; 0 , ⃗2 = − 1; 0; 1; 0 , ⃗3 = − ; 0; 0; 1 . Если в качестве базисной
4
1
1
переменной взять 2 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; ; 0; 0 , ⃗2 = 0; ; 1; 0 ,
2
2
1
⃗3 = 0; ; 0; 1 . Если в качестве базисной переменной взять 3 , то ФНР будет иметь вид:
8
1
⃗1 = 1; 0; − 1; 0 , ⃗2 = 0; 1; 2; 0 , ⃗3 = 0; 0; − ; 1 . Если в качестве базисной
4
переменной взять
4,
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; 0; 0; − 4 , ⃗2 = 0; 1; 0; 8 ,
⃗3 = 0; 0; 1; − 4 . 101. Размерность пространства решений равна 4. Если в качестве
базисной переменной взять
⃗2 =
1,
1
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = − ; 1; 0; 0; 0 ,
2
5
1
; 0; 1; 0; 0 , ⃗3 = ; 0; 0; 1; 0 , ⃗4 = − 3; 0; 0; 0; 1 . Если в качестве базисной
2
2
переменной взять
2,
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; − 2; 0; 0; 0 , ⃗2 = 0; 5; 1; 0; 0 ,
⃗3 = 0; 1; 0; 1; 0 , ⃗4 = 0 . − 6; 0; 0; 1 . Если в качестве базисной переменной взять
3,
то
2
1
1
ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; 0; ; 0; 0 , ⃗2 = 0; 1; ; 0; 0 , ⃗3 = 0; 0; − ; 1; 0 ,
5
5
5
6
⃗4 = 0 . 0; ; 0; 1 . Если в качестве базисной переменной взять 4 , то ФНР будет иметь вид:
5
⃗1 = 1; 0; 0; 2; 0 , ⃗2 = 0; 1; 0; 1; 0 , ⃗3 = 0; 0; 1; − 5; 0 , ⃗4 = 0 . 0; 0; 6; 1 . Если в
качестве базисной переменной взять
5,
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; 0; 0; 0; −
1
,
3
1
5
1
, ⃗3 = 0; 0; 1; 0; , ⃗4 = 0 . 0; 0; 1; . 102. Размерность пространства
6
6
6
решений равна 1. Если в качестве базисной переменной взять 1 , 2 , то ФНР будет иметь
⃗2 = 0; 1; 0; 0; −
вид: ⃗1 = 23; 9; 1 . Если в качестве базисных переменных взять
1,
3,
то ФНР будет иметь
23
1
; 1; . Если в качестве базисных переменных взять 2 , 3 , то ФНР будет
9
9
9 1
иметь вид: ⃗1 = 1; ;
. 103. Размерность пространства решений равна 2. Если в
23 23
31 65
качестве базисных переменных взять 1 , 2 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = − ; ; 1; 0 ,
8 8
9
1
⃗2 = − ; − ; 0; 1 . Если в качестве базисных переменных взять 1 , 3 , то ФНР будет
8
8
31
8
77
1
иметь вид: ⃗1 = − ; 1; ; 0 , ⃗2 = − ; 0; ; 1 . Если в качестве базисных
65 65
65 65
вид: ⃗1 =
переменных взять
1,
4,
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 9; 1; 0; − 8 , ⃗2 = − 77; 0; 1; 65 .
Если в качестве базисных переменных взять 2 , 3 , то ФНР будет иметь вид:
65
8
77
9
⃗1 = 1; − ; − ; 0 , ⃗2 = 0; − ; − ; 1 . Если в качестве базисных переменных
31
31
31
31
1
8
77
31
взять 2 , 4 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; ; 0; − , ⃗2 = 0; ; 1; −
. Если в
9
9
9
9
качестве базисных переменных взять 3 , 4 , то ФНР будет иметь вид:
1
65
9
31
⃗1 = 1; 0; − ; −
, ⃗2 = 0; 1; ; −
. 104. Размерность пространства решений
77
77
77
77
равна 3. Если в качестве базисных переменных взять 1 , 2 , то ФНР будет иметь вид:
13
1
1
7
1
⃗1 =
; − ; 1; 0; 0 , ⃗2 = − ; − ; 0; 1; 0 , ⃗3 = − 2; − ; 0; 0; 1 . Если в качестве
8
16
4
8
2
базисных переменных взять 1 , 3 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = − 26; 1; − 16; 0; 0 ,
57
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
⃗2 = − 23; 0; − 14; 1; 0 , ⃗3 = − 15; 0; − 8; 0; 1 . Если в качестве базисных переменных
взять
1,
4,
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 =
2
8
23
1
; 1; 0; − ; 0 , ⃗2 = − ; 0; 1; − ; 0 ,
7
7
14
14
13
4
; 0; 0; − ; 1 . Если в качестве базисных переменных взять 1 , 5 , то ФНР будет
7
7
15
1
13
7
иметь вид: ⃗1 = 4; 1; 0; 0; − 2 , ⃗2 =
; 0; 1; 0; − , ⃗3 =
; 0; 0; 1; −
. Если в
8
8
4
4
качестве базисных переменных взять 2 , 3 , то ФНР будет иметь вид:
1 8
23 2
15 16
⃗1 = 1; − ;
0; 0 , ⃗2 = 0; − ; ; 1; 0 , ⃗3 = 0; − ; ; 0; 1 . Если в качестве
26 13
26 13
26 13
7
базисных переменных взять 2 , 4 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; ; 0; − 4; 0 ,
2
23 13
13
⃗2 = 0; − ; 1; ; 0 , ⃗3 = 0; ; 0; − 8; 1 . Если в качестве базисных переменных взять
4
2
2
1
1
15
13
, ⃗2 = 0; − ; 1; 0;
,
2 , 5 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; ; 0; 0; −
4
2
32
16
13
1
⃗3 = 0; − ; 0; 1; −
. Если в качестве базисных переменных взять 3 , 4 , то ФНР будет
16
8
14
1
4
26
26
15
иметь вид: ⃗1 = 1; 0; ; − ; 0 , ⃗2 = 0; 1; − ; − ; 0 , ⃗3 = 0; 0; ; − ; 1 . Если
23
23
23
23
23
23
в качестве базисных переменных взять 3 , 5 , то ФНР будет иметь вид:
8
1
32
26
26
23
⃗1 = 1; 0; ; − ; 0 , ⃗2 = 0; 1; − ; − ; 0 , ⃗3 = 0; 0; − ; − ; 1 . Если в
15
15
15
15
15
15
качестве базисных переменных взять 4 , 5 , то ФНР будет иметь вид:
4
7
16 2
15 23
⃗1 = 1; 0; 0; ; −
, ⃗2 = 0; 1; 0; − ;
, ⃗3 = 0; 0; 1; − ;
. 105. Размерность
13
13
13 13
26 26
пространства решений равна 1. Если в качестве базисных переменных взять 1 , 2 , 3 , то
118
1
91
ФНР будет иметь вид: ⃗1 = −
; − ; − ; 1 . Если в качестве базисных переменных
67
67
67
118 1
67
взять 1 , 2 , 4 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 =
; ; 1; −
. Если в качестве базисных
91 91
91
⃗3 = −
переменных взять
1,
3,
4,
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 118; 1; 91; − 67 . Если в
качестве базисных переменных взять 2 , 3 , 4 , то ФНР будет иметь вид:
1 91
67
⃗1 = 1;
;
;−
. 106. Размерность пространства решений равна 2. Если в качестве
118 118
118
базисных переменных взять 1 , 2 , 3 , то ФНР будет иметь вид:
1
15
2
⃗1 =
; − 4; − ; 1; 0 , ⃗2 = ; 1; 2; 0; 1 . Если в качестве базисных переменных взять
10
2
5
1 8
2
32
1
4
; ; 1; − ; 0 , ⃗2 =
; − ; 0; ; 1 .
1 , 2 , 4 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = −
75 15
15
75
15
15
Если в качестве базисных переменных взять 1 , 2 , 5 , то ФНР будет иметь вид:
1 1
1
8
1
15
⃗1 = ; ; 1; 0; , ⃗2 = ; − ; 0; 1;
. Если в качестве базисных переменных взять 1 ,
5 2
2
5
4
4
1
15
1
17 1 1
; 1; ; − ; 0 , ⃗2 =
; 0; ; ; 1 . Если в
3 , 4 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = −
40
8
4
40 8 4
качестве базисных переменных взять 1 , 3 , 5 , то ФНР будет иметь вид:
2
17 1
⃗1 = ; 1; 2; 0; 1 , ⃗2 =
; 0; ; 1; 4 . Если в качестве базисных переменных взять 1 , 4 ,
5
10 2
32
17
; 1; 0; − 4; − 15 , ⃗2 =
; 0; 1; 2; 8 . Если в
5 , то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = −
5
5
качестве базисных переменных взять 2 , 3 , 4 , то ФНР будет иметь вид:
⃗1 = 1; − 40; − 75; 10; 0 , ⃗2 = 0; 17; 32; − 4; 1 . Если в качестве базисных переменных
58
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
5
5
17
13
то ФНР будет иметь вид: ⃗1 = 1; ; 5; 0; , ⃗2 = 0; − ; − 8; 1; −
.
2
2
4
4
Если в качестве базисных переменных взять 2 , 4 , 5 , то ФНР будет иметь вид:
5
5 75
17
1 1
⃗1 = 1; − ; 0; ;
, ⃗2 = 0; ; 1; − ;
. Если в качестве базисных переменных
32 8 32
32
8 32
взять 3 , 4 , 5 , то ФНР будет иметь вид:
1
40
75
16
2 1
⃗1 = 1; 0; ; − ; −
, ⃗2 = 0; 1; ; − ;
. 107. Ранг матрицы равен 0. 108. Ранг
17
17
17
5
5 10
5 2 7
матрицы равен 1. 109. Ранг матрицы равен 2. 110. Ранг матрицы равен 3. 111.
.
7 −1 6
112. Действия выполнить невозможно, поскольку матрицы имеют разные размеры. 113.
14
4
−48 −22 −19
−2 − 3 − 3
9
16 −7
⎛ 55 −38 54 ⎞ . 114.
⎞ . 116.
. 115. = ⎛
19
−17 −29 11
−
−8 −10
⎝ 3
⎠
⎝ −32 −38 16 ⎠
3 −8
3 2
32 −72
=
, =
. 117. −2 . 118.
, 119. Для данных матриц
−8 1
−1 −6
−40 −32
взять
2,
3,
5,
32
−72 −8
произведение не определено. 120. ⎛ −32
72
8 ⎞ . 121. 8 . 122.
⎝ −4
9
1 ⎠
−3 3 0 5
⎛ −6 6 0 10
⎜
⎜ 6 −6 0 −10
⎜
⎜ 3 −3 0 −5
⎜
−9 9 0 15
⎜
⎝ 6 −6 0 −10
125.
23 −37
10
−6
+
0
0
0
0
0
0
5
10 ⎞
⎟
−10 ⎟
. 123. 13 . 124.
−5 ⎟
⎟
⎟
15
⎟
−10 ⎠
4
18
−10 13
=
27 −19
0
7
−5
−15
−27
7
+
6
3
−6 −6
=
1
−12
−33
1
−2
. 126. ⎛ 6 ⎞ . 127. −8 12 1 . 128.
⎝ 1 ⎠
−6 −5 −6
−1 −6 0
−9 −10
⎛ 2 1 1 ⎞ . 129.
. 130. ⎛ −3 −8 −4 ⎞ . 131.
−2 −5
⎝ −8 8 14 ⎠
⎝ 6 18 5 ⎠
−12 21 10
7
16 43
−19 5 −33
⎛ 14 11 −29 ⎞ − ⎛ −19 −5 −24 ⎞ = ⎛ 33 16 −5 ⎞ . 132.
⎝ −4 16 −18 ⎠ ⎝ −7 −18 −21 ⎠ ⎝ 3 34 3 ⎠
1 −30 5
−20 25
0
3 0 0
−15 −35 10
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
2 17 −12 −5 + −15 −10 5
+ 0 3 0 = 19 −31 −5 ⎞ . 133.
8 ⎠ ⎝ −5 −5 −15 ⎠ ⎝ 0 0 3 ⎠ ⎝ 15 −5 4 ⎠
⎝ 10 0
36 16 24
−28 28 −14
−2 0 0
6 44 10
⎛ 16 42 39 ⎞ + ⎛ −35 7 28 ⎞ + ⎛ 0 −2 0 ⎞ = ⎛ −19 47 67 ⎞ . 134.
⎝ 24 39 41 ⎠ ⎝ −42 7 14 ⎠ ⎝ 0 0 −2 ⎠ ⎝ −18 46 53 ⎠
29 −1
5
−24 −12 −18
4 0 0
9 −13 −13
⎛ −1 34 −18 ⎞ + ⎛ 24 −18 −18 ⎞ + ⎛ 0 4 0 ⎞ = ⎛ 23 20 −36 ⎞ . 135.
⎝ 5 −18 19 ⎠ ⎝ −18 −6 18 ⎠ ⎝ 0 0 4 ⎠ ⎝ −13 −24
33 37 21
27 30 −23
6
7 44
⎛ 37 57 25 ⎞ − ⎛ 30 68 −26 ⎞ = ⎛ 7 −11 51 ⎞ . 136.
⎝ 21 25 38 ⎠ ⎝ −23 −26
33 ⎠
⎝ 44
51
5 ⎠
59
41 ⎠
.
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
29 −39 96
7 −7 18
−2 2 −8
−2 0
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
3 6
8 −6 − 3 2 4 −2 + −4 −4 4 + 0 −2
0
62 −94 226
⎞
⎛
0 = 8
6
−8 ⎞ .
⎝ 30 −39 95 ⎠
⎝ 6 −7 19 ⎠ ⎝ −4 2 −6 ⎠ ⎝ 0 0 −2 ⎠ ⎝ 68 −94 220 ⎠
125 −21
1 −20
32768
0
−300 100
137.
. 138.
. 139.
. 140.
. 141.
0 −64
0 1
0
32768
100 300
−1
0
0 −1
. 142.
. 143. У этой матрицы определитель не существует. 144. −41 .
0 −1
1 0
145. 54 . 146. −293 . 147. −1296 . 148. 1680 . 149. Присоединённая матрица:
200 −3 −67 53
⎛ −175 54 110 5 ⎞
*=⎜
⎟ . Искомый определитель: −411 . 150. −504 . 151. −20736 .
⎜ −8 33 52 −35 ⎟
⎝ 140
39 −88
−4 ⎠
1
293
23
. 153. 0 . 154. −508 . 155. 552 ⋅ 218 = 120336 . 156. −
. 157. ≠
. 158.
4096
308
15
∈ ℝ . При любом значении параметра этот определитель не равен нулю. 159. ∈ ∅ . При
204
любом значении параметра этот определитель равен нулю. 160. =
. 161. ∈ ℝ . При
37
любом значении параметра эта матрица невырожденная. 162. ∈ ∅ . При любом значении
37
параметра эта матрица вырожденная. 163. ≠
. 164. ∈ ℝ . При любом значении
6
параметра столбцы линейно независимы. 165. ∈ ℝ . При любом значении параметра
65
столбцы линейно зависимы. 166. = −
. 167. ∈ ℝ . При любом значении параметра ранг
33
равен 3. 168. ∈ ℝ . При любом значении параметра данная матрица имеет ранг меньший 3.
169. Имеет, поскольку количество неизвестных превышает число уравнений. 170. Имеет,
поскольку определитель матрицы, задающей эту систему, равен нулю. 171. Не имеет,
поскольку определитель матрицы, задающей эту систему, не равен нулю. 172. Δ = 8,
11
3
28
Δ1 = 11, Δ2 = 3; = , = . 173. Δ = 271, Δ1 = 28, Δ2 = 145, Δ3 = − 3; 1 =
,
8
8
271
152. 8 −4 =
2
145
=
,
271
4
3
3
1 2 3
= −
. 174.
271
8 −4 −2
2
−4 −6
−2 −3
⎛
3
3 ⎞
1
⎛ −4 3 3 ⎞ = ⎜ −2 2
2 ⎟.
2
⎜
⎟
1
5
⎝ −2 −1 −5 ⎠
−1 − −
2
2⎠
⎝
=
=
=
4 −5
. 179.
2 −6
−3 −4 −3
4
−4 −1
−3
2
2
−1
−3 . 191.
1
( − 2)
3
+
2
=
. 183.
− 1 . 192.
( − 2)
2
1
5
−3 −4
−
=
⎝
3
4
8
1
1
⎞ . 175.
−2 −4
⎠
12 −10
3
⎛ −3 −14
176. ⎜
⎜ −2 −8
−4
3
. 186.
6
−3
=⎛
1
3
⎝ 4
17
7
−14
−1 ⎞
⎟ . 177.
−1 ⎟
. 180.
=⎛ 7
⎝ 6
3 ⎞ . 184.
⎝ 4 −2 −1 ⎠
3 −1
. 187. =
1 2
3
9 ⎞ . 181.
5 ⎠
−3 −1
= ⎛ −4
3
⎝ −4 −2
−2
=
−6 7
3
2
. 178.
1 ⎠
−8 −7
4
= ⎛ 3 −3
11
1
−2
= ⎛ −1 −1 ⎞ . 182.
⎝ 2
1 ⎠
1
−4 ⎞ . 185.
3 ⎠
1
. 188. −1 . 189. 1, −3 . 190. 1, 1,
4 −1
5
10
−14
+ 3 . 193. 8 2 + 6 + 5 +
. 194.
+
. 195.
−2
+6
+ 10
8
. 196.
−2
1
2
−4
3
+
2
−2
+
7
( − 2)
2
. 197.
60
32
−12 − 48
+ 2
. 198.
+7
+ 6 + 13
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
5
19
+
+
+5
−3
2
−1
2
7
−3
. 199. 2 2 + − 1 +
+
+
+
. 200.
+1
−1
+1
+4
+3
1
−1
−4 − 7
13 9
21 52
−2 2 − 2 − 2 +
+
+ 2
. 201.
−
. 202. − −
. 203. −180 − 37 .
−1
+1
+3 +8
25 25
5
5
27 161
1 15
2
4 4 256
204.
−
. 205. − +
. 206. | | = 6, arg( ) = −
. 207. | | = 5 =
,
50 50
2 2
3
243
3
2
12
1
19
arg( ) = −
+2 =
. 208. | | = 2 6 ⋅ 3 8 = 419904, arg( ) = −
+2 =
. 209.
7
7
10
10
1
1
1
1
= 8 cos
+ sin
. 210. = − 4 . 211. 1 = √2 + √2 , 2 = − √2 − √2 ,
6
6
2
2
2
2
1
1
1
1
√2 − √2 . 212. 1,2 = 4 ± 3 . 213. Дискриминант равен −225;
3 = − √2 + √2 , 4 =
2
2
2
2
2
=
−
3
+
2
,
=
0
−
4
.
214.
+ 6 + 25 = 0 . Таких уравнений существует бесконечное
1
2
множество. Каждое из них может быть получено из этого уравнения умножением на
ненулевой множитель. 215. 1 = 1 + , 2 = 1 − , 3 = 4, 4 = 5 . 216. Δ = 2, Δ1 = 6 − 8 ,
Δ2 = − 2 − 2 ; 1 = 3 − 4 , 2 = − 1 − . 217. Δ = − 4 − , Δ1 = − 13 + 18 , Δ2 = 14 + 29 ;
−
= 2−5 ,
1
=
7
2
5
−8 −3
= − 5 − 6 . 218.
=
ж
( ⃗) = ⎛ −14 ⎞ . 224. ( ⃗) = з 2
з
и
−18
−4
1
= 11
= 0 . 008264462809917356;
2
= −1
−1
=
1
= (1) −1 = 1, 1⃗ =
1
=
1
⎛
= 4 ⎞ . 229.
1
+ 10 2 ,
22
1
−3
= − 2,
2
2
или
−4
−73
2
1
−18
=
. 227.
.
= − 9 . 231.
1,2
= 1.
⎝8⎠
−2
⃗
1
238.
1
. 226.
= 1 . 230.
=
−1
−5 −5
2
⃗
1
1
=
−7
= − 1;
= 4, 1⃗ =
1
−5
ц
−31
−44
ч=2
−
ч
−7
−10
ш
−3
−
1
1
−1
−2
2
⎝ −23 ⎠
7 ⎞ . 220.
⎝ −5 −4 −4 ⎠
1
−2
⎛
= 67 ⎞ . 228.
232.
. 225.
1
= ⎛ −9 −3
. 219.
−6
8
= 66 ⃗1 − 88 ⃗2 . 222. ⃗ = − ⃗1 + 4⃗2 . 223.
−88
11
⎝ −19 ⎠
3 5
−1
=
1 1
−3
6
66
. 221. ( ⃗) =
−3
−4 −2
1
,
∈ ℝ,
≠ 0;
2
= − 2, 2⃗ =
−1
,
∈ ℝ,
≠ 0;
2
= 2, 2⃗ =
,
∈ ℝ,
≠ 0;
2
= ( − 2) 8 = 256, 2⃗ =
= − 45, 1⃗ =
5
−3
−5
−3
,
,
2
∈ ℝ,
≠ 0;
∈ ℝ,
≠ 0;
2
,
−2
−1
= 1 . 233.
,
2
∈ ℝ,
∈ ℝ,
1
−2
,
1
∈ ℝ,
−3
= − 134, ⃗2 =
−2
= 1 ± 2 . 234.
≠ 0 . 235.
≠ 0 . 236.
= (2) −1 = 0 . 5, 2⃗ =
2
1,2
1
= − 1,
= ( − 3) 8 = 6561,
≠ 0 . 237.
−3
2
,
,
∈ ℝ,
∈ ℝ,
≠ 0.
≠ 0 . 239.
Характеристическое уравнение имеет вид: − 3 + 7 2 − 2 − 40 = 0 1 = − 2, 2 = 4, 3 = 5 .
240. Характеристическое уравнение имеет вид: − 3 − 9 2 − 23 − 15 = 0; 1 = − 1, 2 = − 5,
3
+ 13 + 12 = 0; 1 = − 1,
3 = − 3 . 241. Характеристическое уравнение имеет вид: −
3
2
= − 3,
3
= 4 . 242.
1
= − 5, 1⃗ = ⎛ 1 ⎞,
−2
∈ ℝ,
≠ 0;
⎝ −2 ⎠
2
= 3, 2⃗ = ⎛ −2 ⎞,
⎝ 1 ⎠
61
∈ ℝ,
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
≠ 0;
3
2
⎛
= − 2, 3⃗ =
1 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0 . 243.
1
1
⎛
= − 2, 1⃗ =
1 ⎞,
⎝ −1 ⎠
2
≠ 0;
⎝2⎠
4
0
⎛
⎞
⎛
= − 5, 2⃗ =
−1 +
−1 ⎞, , ∈ ℝ,
⎝ 0 ⎠
∈ ℝ,
2
2
+
> 0, вместо одного из векторов
⎝ −2 ⎠
2
⎛
последней линейной комбинации может быть вектор-столбец 0 ⎞ . 244.
1
= − 2,
⎝1⎠
−1
⃗
1
= ⎛ 0 ⎞,
0
∈ ℝ,
≠ 0;
2
= 4, 2⃗ = ⎛ −3 ⎞,
⎝ −1 ⎠
∈ ℝ,
≠ 0 . 245. Характеристическое
⎝ 2 ⎠
2
3
уравнение имеет вид: −
+ 19 − 30 = 0;
1
= − 5, 1⃗ = ⎛ 1 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
= 3,
2
⎝1⎠
1
⃗
2
1
= ⎛ 4 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
3
= 2, 3⃗ = ⎛ 2 ⎞,
⎝2⎠
∈ ℝ,
≠ 0 . 246. Характеристическое
⎝1⎠
1
3
уравнение имеет вид: −
2
− 10
− 33 − 36 = 0;
1
= − 4, 1⃗ = ⎛ 2 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
⎝ −1 ⎠
1
2
−1
= − 3, 2⃗ = ⎛ 0 ⎞ + ⎛ −2 ⎞,
⎝4⎠
2
, ∈ ℝ,
+
2
> 0, вместо одного из векторов последней
⎝ 0 ⎠
0
линейной комбинации может быть вектор-столбец ⎛ −1 ⎞ . 247. Характеристическое
⎝ 2 ⎠
−2
3
уравнение имеет вид: −
+6
2
− 32 = 0;
1
= − 2, 1⃗ = ⎛ 1 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
2
= 4,
⎝ 1 ⎠
−3
⃗
2
= ⎛ 0 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0 . 248. Характеристическое уравнение имеет вид:
⎝ 2 ⎠
0
−
3
−2
2
+ 5 + 6 = 0;
1
1
= − 1, 1⃗ = ⎛ −3 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
⎝ −1 ⎠
2
= − 3, 2⃗ = ⎛ 0 ⎞,
∈ ℝ,
⎝0⎠
1
≠ 0;
3
= 2, 3⃗ = ⎛ −2 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0 . 249. Характеристическое уравнение имеет вид:
⎝ −1 ⎠
−
3
−4
2
− + 6 = 0;
1
−2
⎛
= 1, 1⃗ =
−1 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
⎝ −1 ⎠
2
−3
⎛
= − 2, 2⃗ =
−2 ⎞,
⎝ −2 ⎠
62
∈ ℝ,
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
≠ 0;
3
1
⎛
= − 3, 3⃗ =
2 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0 . 250. Характеристическое уравнение имеет вид:
⎝1⎠
3
−
−5
2
− 3 + 9 = 0;
1
−1
⎛
= 1, 1⃗ =
1 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
2
1
0
⎛
⎞
⎛
= − 3, 2⃗ =
0 +
−2 ⎞,
⎝ 2 ⎠
, ∈ ℝ,
+ > 0 . 251. Характеристическое уравнение имеет вид:
3
3
2
− − 7 − 15 − 9 = 0; 1 = − 1, 1⃗ = ⎛ −2 ⎞, ∈ ℝ, ≠ 0; 2 = − 3,
2
⎝0⎠
⎝ −3 ⎠
2
⎝ −3 ⎠
3
⃗
2
−1
= ⎛ 0 ⎞ + ⎛ 2 ⎞,
⎝ −4 ⎠
, ∈ ℝ,
2
2
+
> 0, вместо одного из векторов последней
⎝ 0 ⎠
0
линейной комбинации может быть вектор-столбец ⎛ −3 ⎞ . 252. Характеристическое
уравнение имеет вид: −
3
+ 3 − 2 = 0;
1
⎝ 2 ⎠
−1
⎛
= − 2, 1⃗ =
−2 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
2
= 1,
⎝ 1 ⎠
−2
⎛
⃗=
−1 ⎞,
2
∈ ℝ,
≠ 0 . 253. Характеристическое уравнение имеет вид:
⎝ 0 ⎠
3
−
−4
2
− 5 − 2 = 0;
1
−1
⎛
= − 2, 1⃗ =
−3 ⎞,
∈ ℝ,
≠ 0;
2
2
⎛
= − 1, 2⃗ =
4 ⎞,
⎝ −4 ⎠
∈ ℝ,
⎝5⎠
−7 −4 −9
⎛
≠ 0 . 254. −4 −7 −6 ⎞ . 255.
Φ ( 1,
2,
⎝ −9 −6 5 ⎠
2
3 ) = − 9 1 + 10 1
2
+6
1 3
−4
2
2
+4
2
1
2
2 3 − 8 3 . 256.
2
2
2 − 3, 1 = 5 1
Φ(
1 , 2)
=
2
1
+
2
2,
= 4 1 − 2 , 2 = 2 . 257. Φ ( 1 , 2 , 3 ) = −
+ 5 2, 2 = 4 2 + 3 3,
2
2
2
3 = 3 3 . 258. Φ ( 1 , 2 , 3 ) = − 1 + 2 + 3 , 1 = 2 1 − 5 2 + 3 , 2 = 2 2 − 4 3 , 3 = 5 3 .
259. Φ ( 1 , 2 , 3 ) = − 12 + 22 + 32, 1 = 4 1 + 4 2 + 4 3 , 2 = 4 1 − 4 2 + 3 , 3 = 15 3 .
260. Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 12 − 22, 1 = 2 1 − 4 2 + 4 3 , 2 = 2 − 5 3 , 3 = 3 . 261. Δ1 = 1,
Δ2 = 1 . Эта квадратичная форма положительно определённая. 262. Δ1 = 16, Δ2 = 16,
Δ3 = 144 . Эта квадратичная форма положительно определённая. 263. Δ1 = − 4,
Δ2 = − 4, Δ3 = 8 . Эта квадратичная форма не знакоопределённая. ( Указание: чтобы
можно было в этом случае воспользоваться критерием Сильвестра, нужно сделать заменену
переменных, например, такую: 1 = 2 , 2 = 1 , 3 = 3 . ) 264. Δ1 = − 7, Δ2 = 21,
Δ3 = − 50, Δ4 = 26 . Эта квадратичная форма отрицательно определённая. 265.
Φ ( 1 , 2 ) = 10 12 − 20 22 . 266. Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 2 12 + 22 22 + 11 32, характеристическое
уравнение − 3 + 35 2 − 308 + 484 = 0 . 267. Φ ( 1 , 2 ) = − 13 12 + 26 22, замена координат:
1
1
(3 1 − 2 2 ), 2 =
(2 1 + 3 2 ) . 268. Φ ( 1 , 2 , 3 ) = 27 12 − 2 22 + 54 32, замена
1 =
√13
√13
1
1
1
( 1 − 2 − 5 3 ), 2 =
( 1 + 2 ), 3 =
(5 1 − 5 2 + 2 3 );
координат: 1 =
√27
√2
√54
характеристическое уравнение − 3 + 79 2 − 1296 − 2916 = 0 . 269. 6 + − 21 = 0 . 270.
1
63
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
+4
−5
−2
+3
=
. 272. Да, все эти точки принадлежат прямой
=
4
−3
1
1
−1
+4
+ 13
−6
или − − 5 = 0 . 273.
=
. 274.
=
. 275. 7 − 3 − 81 = 0 . 276.
1
5
8
1
+6
+3
+ 2 − 10 = 0 . 277. 8 + 7 + 25 = 0 . 278.
=
. 279. 2 + + 7 = 0 280.
2
3
−4
− 11
+1
−6
+5
+1
=
. 281.
=
. 282.
=
. 283. 5 + 4 − 38 = 0 . 284.
2
1
4
0
3
1
−8
−8
=
. 285. + 3 + 16 = 0 . 286. Точка пересечения ( − 4; 1) . 287. Точка
1
3
пересечения ( − 6; 9) . 288. Точка пересечения (5; − 1) . 289. Точка пересечения
( − 1; − 4) . 290. Точка пересечения (4; − 3) . 291. Точка пересечения (4; − 2) . 292. Это
параллельные прямые, у них нет точки пересечения. 293. Эти прямые совпадают, у них все
точки общие. 294. Это пересекающиеся прямые. 295. Это параллельные прямые. 296. Это
2
19
19
совпадающие прямые. 297. =
. 298. =
=
65 . 299. (5; − 1) . 300. (3; − 4) .
√5
√65 65
301. (8; 5) . 302. ( − 9; − 2) . 303. = 3 5 . 304. = √10 . 305. = √13 . 306.
ж 11 ц
ж 11 ц
ж 11 √ ц
ж 27 ц
arccosз
= arccosз
= arccosз
34 ч = arctgз ч . 307.
ч
ч
и √10 ⋅ 85 ш
и √850 ш
и 170
ш
и 11 ш
12
12
6
6
ц = arcsinж
ц
ж
ц
ж ц
arcsinжз
зи √340 чш = arcsinзи 85 85 чш = arctgзи 7 чш . 308.
и √34 ⋅ 10 чш
11 ц
11 ц
3
arccosжз
= arccosжз
= arctgжз цч . 309. 120 ∘ . 310. = 105 . 311. = 13 . 312.
ч
ч
√
√
11
и 10 ⋅ 13 ш
и 130 ш
и ш
+3
−1
+4
−3
+4
−2
−1
+1
−4
−9
+6
=
=
. 313.
=
=
=
=
. 314.
=
=
.
7
0
3
1
0
0
−5
−2
−4
2
3
− 12
−7
−4
−5
−5
+2
+1
315.
=
=
=
. 316.
=
=
=
. 317. Точка пересечения
−2
1
4
0
5
4
−2
−2
(2; − 4; 1; 3) . 318. Точка пересечения ( − 3; − 4; 1) . 319. Точка пересечения (1; 2; 5) .
320. Это скрещивающиеся прямые, у них нет точки пересечения. 321. Это параллельные
прямые, у них нет точки пересечения. 322. Это совпадающие прямые, у них все точки общие.
323. Это скрещивающиеся прямые. 324. Это пересекающиеся прямые. Их общая точка
(7; − 5; − 3) . 325. Это параллельные прямые. 326. Это совпадающие прямые. 327.
+8
+3
− 16
= 4 5 . 328. = 8√7 . 329. (4; − 3; − 1) . 330. (4; 19; 0) . 331.
=
=
.
0
1
−5
+ 10
+1
+ 13
−4
+2
+4
−8
−3
+8
332.
=
=
. 333.
=
=
. 334.
=
=
. 335.
1
2
3
4
3
−1
1
0
0
4 − 5 + 7 = 0 . 271.
2 + 8 − 5 + 74 = 0 . 336. + 6 = 0 . 337. − + + − 1 = 0 или 15 − 5 − 6 + 30 = 0 .
2 6 5
338. − − − 7 = 0 . 339. + − + 7 = 0 . 340. 3 + 2 = 0 . 341. 5 − 16 − 25 − 17 = 0 .
342. 3 − 7 = 0 . 343. 3 − + 2 − 21 = 0 . 344. 12 − 18 − 11 + 15 = 0 . 345.
4 + + 2 + 17 = 0 . 346. 7 + 9 = 0 . 347. 5 + 19 + 6 + 23 = 0 . 348.
+ 2 + + 21 = 0 . 349. Да, все эти точки принадлежат плоскости −7 − 6 + 8 + 19 = 0 .
6
ц = arccosж 6 ц = arccosж 3 ц . 351.
350. arccosжз
зи √1936 чш
зи 22 чш
и √88 ⋅ 22 чш
28 ц
ж 28 ц . 352. arcsinж 12 ц = arcsinж 12 ц = arcsinж 4 √29 ц .
arccosжз
=
arccos
и √26 ⋅ 41 шч
из √1066 шч
из √9 ⋅ 29 шч
из √261 шч
из 29
шч
353. = 3√38 . 354. = 6 5 . 355. Да, принадлежит. 356. Да, принадлежит. 357. Нет, не
принадлежит. 358. Нет, не принадлежит. 359. Да, эти отрезки пересекаются в точке
(2; 9; − 9; 6; 4) . 360. Нет, эти отрезки не пересекаются. 361. Да, принадлежит. 362. Да,
35
7
принадлежит. 363. Нет, не принадлежит. 364. Нет, не принадлежит. 365. =
= √10 .
√90 6
1
1
√3 . 367. (4; 4; − 3) . 368. ( − 2; 4; 1; − 3; 1) . 369. (6; 1; 6) . 370.
366. =
=
√75 15
141
( − 5; 9; 2; − 13; − 16) . 371. = 4√33 . 372. =
5542 . 373. = 4√38 . 374.
2771
64
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
= 2√11 . 375. (2; 5; 3) . 376. Данная прямая лежит в данной плоскости. 377. Данная
19
16
+1
+1
−3
прямая параллельна данной плоскости. 378. =
. 379. =
. 380.
=
=
.
2
3
−2
11
17
381. Эти плоскости параллельны. 382. Эти плоскости совпадают. 383. Прямые и
пересекаются в точке (0; 1; − 4). 384. Прямые и совпадают. 385. Прямые и не
40
5
ж
ц
ж 40 ц
√462 . 387.
пересекаются. 386. arccosз
= arccosз
= arccos
ч
ч
462
√
и 224 ⋅ 132 ш
и √29568 ш
Угловыми точками выпуклой оболочки являются ( − 1, 5), ( − 1, 6), (0, 9), (4, 7) . 388.
Выпуклой оболочкой является треугольник с вершинами (4, 5), (9, 4), (5, 0) . 389.
Выпуклой оболочкой является четырёхугольник с вершинами (3, − 5), ( − 1, 0), ( − 3, 1),
( − 3, − 5) . 390. Выпуклой оболочкой является трeугольник с вершинами (4, − 1),
⎧
: 5 + 8 ⩾ 12,
( − 4, 4), (6, 3) . который можно задать системой неравенств:
: + 10 ⩽ 36, 391.
⎨
: 2 − ⩽ 9.
⎩
Выпуклой оболочкой является четырёхугольник с вершинами ( − 4, 8), ( − 3, 2), (0, − 2),
( − 1, 6) . который можно задать системой неравенств:
2
1
2√10, 0 ,
2
− 2√10, 0 . 393.
⎧
⎪
: 6 +
⎨
⎪
⎩
: 8 +
⩾ − 16,
: 4 + 3 ⩾ − 6,
⩽ − 2,
392.
: 2 + 3 ⩽ 16 .
2
1
√3 . 394. 2 + 2 = 1 . 395.
2
6
5
1
0, √29 ,
2
0, − √29 .
2
2
2
2
1
3
√34 . 397. = ±
. 398. 2 − 2 = 1 . 399. 2 − 2 = 1 . 400. 0, 2 . 401. + 3 = 0 .
5
2
7
6
9
6
2
402. 1 . 403.
= 12 . 404. Эллипс. 405. Это окружность, частный случай эллипса. 406.
Мнимый эллипс. 407. Гипербола. 408. Парабола. 409. Мнимые пересекающиеся прямые. 410.
Пересекающиеся прямые. 411. Параллельные прямые. 412. Мнимые параллельные прямые.
3
413. Совпадающие прямые. 414. 4 . 415. + ∞ . 416. 0 . 417. . 418. + ∞ . 419. 0 . 420. 0 .
2
1
4
8
2
5
421. −
5 . 422. + ∞ . 423. 0 . 424. . 425.
. 426. . 427. 0 . 428. − ∞ . 429.
. 430.
9
9
7
64
√5
7
3
5
3
5
3
− . 431. − . 432. + ∞ . 433. 0 . 434. . 435. 2 . 436. . 437. . 438. − . 439. + ∞ . 440. 0 .
24
2
2
5
4
4
25
1
25
1
1
441.
. 442. + ∞ . 443. 0 . 444. . 445.
. 446. 0 . 447. 0 . 448. 4 . 449. . 450. −2 . 451. .
12
2
3
4
3
3
13
2
6
√2 . 454. 0 . 455. − ∞ . 456. − . 457. . 458. 0 . 459. + ∞ . 460. − 4 . 461.
452. 0 . 453.
6
7
7
35
21
8
5
5
−
27
3 . 462.
. 463. −20 . 464. 50 . 465. − . 466. 5 . 467. 2 . 468. − . 469. . 470. − 471.
8
3
6
6
2
3
5
4
6
. 472. . 473. − √2 . 474. . 475. −2√2 . 476. 0 . 477. − ∞ . 478. . 479. + ∞ . 480. 9 . 481.
9
2
4
5
7
1
4
17
1
1
3
7
− . 482.
. 483.
. 484. − . 485. −
. 486. . 487. −3 . 488. − . 489. −2 . 490.
16
21
46
74
168
2
18
9
48
21
1
1
2
225
7
− . 491. 1 . 492. − . 493. − . 494. − ⋅
. 495. . 496. −
. 497.
. 498.
49
7
4
32 ln5
7
1156
180
18 3
1
16
2
3
2
1
8
− ⋅ √36 . 499. . 500.
. 501. . 502. − ( 2 + 36) . 503. 162 . 504. . 505. . 506. − .
25
2
5
3
2
3
2
3
64
1
3
507. ln5 . 508. −14 . 509. − 3 . 510. − 2 . 511. 21 . 512. 35 . 513. −6 . 514. −4 . 515. −40 .
7
5
7
516. −4 . 517. 36 518. −12 . 519. −5 . 520. 1 . 521. 1 . 522. . 523. 36 . 524. − . 525. 0 . 526.
8
4
1 1
9 1
7
1
− ∞ . 527. 0 . 528. + ∞ . 529. + ∞ . 530. 0 . 531. −
. 532. ⋅ . 533. − ⋅
. 534. −9 .
4 √3
7
18 ln2
396.
65
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1
1
. 536. − . 537. 0 . 538. = 0 — неустранимый разрыв II рода; = − 3 —
10
2
неустранимый разрыв I рода; = − 7 — устранимый разрыв. 539. = − 9 — неустранимый
разрыв II рода; = 6 — неустранимый разрыв I рода; = − 4 — устранимый разрыв. 540.
= − 2 — неустранимый разрыв I рода; = − 1 — неустранимый разрыв II рода. 541. = 0
— устранимый разрыв; = 2 — неустранимый разрыв II рода. 542. = 0 — устранимый
разрыв; = 4 — неустранимый разрыв II рода. 543. = 6 — устранимый разрыв; = 2 —
неустранимый разрыв II рода. 544. = − 3 — устранимый разрыв; = − 5 — неустранимый
3
разрыв II рода. 545. = − — неустранимый разрыв II рода; = − 2 — неустранимый
2
разрыв I рода. 546. = 0 — устранимый разрыв; = 2 — неустранимый разрыв II рода. 547.
= 3 — устранимый разрыв; = − 3 — неустранимый разрыв II рода. 548. = − 1 —
устранимый разрыв; = 2 — неустранимый разрыв II рода. 549. = − 2 — устранимый
разрыв; = 4 — неустранимый разрыв I рода. 550. = 4 — неустранимый разрыв II рода;
= − 5 — неустранимый разрыв I рода; = 7 — устранимый разрыв. 551. = 0 —
неустранимый разрыв II рода; = 9 — неустранимый разрыв I рода; = 1/2 — устранимый
разрыв. 552. = 6 — неустранимый разрыв II рода; = − 1 — неустранимый разрыв I рода
= − 2 — устранимый разрыв. 553. = 2 — неустранимый разрыв II рода; = 9 —
неустранимый разрыв I рода = 0 — устранимый разрыв. 554. = 7 — неустранимый
разрыв II рода; = − 7 — неустранимый разрыв I рода = − 6 — устранимый разрыв. 555.
= − 5, = 0 — неустранимые разрывы II-го рода. 556. = − 2 — неустранимый разрыв I
рода, = 0 — неустранимый разрыв II рода. 557. = − 1 — устранимый разрыв; = 3 —
неустранимый разрыв II рода. 558. = 9 — неустранимый разрыв II рода. 559. = 2 —
устранимый разрыв; = 9 — неустранимый разрыв I рода. 560. = 9 — неустранимый
разрыв I рода. 561. = − 6, = − 2 — неустранимыe разрывы I рода. 562. = − 2, = 2 —
устранимыe разрывы. 563. Разрывов нет. 564. Вертикальная асимптота: = 1; горизонтальная
асимптота: = − 5 при → ± ∞ . 565. Вертикальная асимптота: = − 1; наклонная
асимптота: = + 4 при → ± ∞ . 566. Наклонная асимптота: = − 2 + 3 при → ± ∞ .
567. Вертикальные асимптоты: = − 1, = 1; наклонная асимптота: = 5 + 4 при
→ ± ∞ . 568. Вертикальная асимптота: = − 1; наклонная асимптота: = − 5 + 3 при
→ ± ∞ . 569. Вертикальные асимптоты: = − 1; горизонтальная асимптота: = 4 при
→ ± ∞ . 570. Вертикальные асимптоты: = 4, = − 3; горизонтальная асимптота: = 0
21
27
при → ± ∞ . 571. Наклонные асимптоты: = 4 −
при → + ∞ и = − 4 −
при
8
8
1
→ − ∞ . 572. Наклонная асимптота: = − 4 +
при → ± ∞ . 573. Горизонтальные
48
асимптоты: = 1 при → + ∞ и = − 2 при → − ∞ . 574. Вертикальная асимптота:
2
2
3
= log8/3
; горизонтальные асимптоты: = при → + ∞ и = − при → − ∞ .
3
3
2
575. Вертикальных асимптот нет; горизонтальная асимптота: = 0 при → − ∞ ; наклонная
асимптота: = − 3 7 + 7 ⋅ 3 7 или = − 2187 + 15309 при → + ∞ . 576. Вертикальных
асимптот нет; горизонтальная асимптота: = 0 при → − ∞ ; 577. Наклонные асимптоты:
535. −
=4 +
при → + ∞ и = 4 − при → − ∞ . 578. У данной функции имеются две
2
2
односторонние вертикальные асимптоты = 1 и = 7, расположенные на границе её области
определения ( ) = (1; 7) . 579. У данной функции имеются две вертикальные асимптоты
= − 5 и = − 3, расположенные на границе её области определения
( ) = ( − ∞ ; − 5) ∪ ( − 3; + ∞ ), а также наклонная асимптота: = − 2 + 8 при
1
1
→ ± ∞ . 580. Наклонные асимптоты: = −
+ при → + ∞ и =
+ при
2
7
2
7
2
1
→ − ∞ . 581. ≈ − 0 . 935 . 582. ′ ( ) = 10 ⋅ −
⋅
⋅ ( − 20 + 9) . 583.
3 ( − 10 2 + 9 ) 53
9
1
3
2
−
− 5 3 + 9 10 ⋅ ( − 15 2) . 584. ′ ( ) = 8 ⋅ 6 −6 + 7 ⋅ ln6 ⋅ ( − 18 2 + 14 ) . 585.
10
1
1
′( ) = 8 ⋅
⋅ 15 2 . 586. ′ ( ) = 8 ⋅ 4 lg 3 9 2 − 3 ⋅
⋅ 18 . 587.
3
2
(5 − 6) ln9
(9 − 3) ln10
′( ) = 5 ⋅
66
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
′ ( ) = 4 ⋅ 7 sin 6 2
3
′ ( ) = 4 ctg 3 − 7
2
2
−
+5 ⋅
3
⋅ cos 2
sin
2(
2
−
⋅ (6
2
−2 )− −
−1
⋅ ( − 14 ) ⋅ − 8
− 7 2 + 5)
11
⋅
7
(9
1
18
⋅ 18 . 588.
− 6) 7
2
+7
4
+ ctg 4 − 7
+ 5 ) ⋅ 7 lg 6 2
2
− 10 ⋅
2
2
+5 ⋅4 −8
2
+7
3
⋅ ( − 16 ) .
2
− 3 ⋅ cos
589.
′ ( ) = 7 ⋅ ( − 12 + 5) ⋅ lg7 2
2
2
− 10 + 7 ⋅ ( − 6
(2
2
1
⋅4 .
− 10) ln10
590.
1
′( ) =
3
⋅ (16 − 7) ⋅ sin 4
2−7
2 8
2
− √8
+2
sin(4
+2
⋅ (12
2
+ 2)
.
2
+2 )
3
3
− 7 + 7 ⋅ cos 4
591.
6 tg 5 − 3
1
3
+ 6 ⋅ cos 2( − 3
′( ) =
⋅ ( − 9 2) ⋅ (10
3 +6 )
10
’( ) =
−8 ⋅ 7 2
3
−6
8+7
−4
+
2
3−6
2
(8
√−2
2
+ 6 − ctg(7
2
− 9)
1
⋅
2
ln 6( − 8
(
2
2
2
− 3) ln
596. ′ ( ) =
’( ) = −
2
+ 7 ) + arctg(4)
⋅ cos
2
6
⋅ 6 ln 5 − 8
2
2
− 3 ⋅ (5
2
2 7
3
− 1 + arcsin( − 3
3
(−3
2
cos(8
+5
2 −4 )
⋅
3
−
+ 8)
+7
2
⋅
−1
⋅ 14
sin 7 2 − 9)
2(
1
⋅ ( − 16 + 7) . 595.
−8 + 7
2
− 3 ⋅ − sin
1−(−3
2
. 594.
2
1
⋅ 14 +
+ 5)
⋅ cos(8
+5
2
+ 6 + 6 ⋅ 30
− 10 ) . 593.
− 2) + log
1
3
. 592.
⋅(−4 )−
2+
2√−2
−6
’( ) =
2
− 3) − tg 6 − 3
2
−3
⋅ (24
− 5 2) 2
3
−5
’( ) =
’( ) =
2
⋅ ln7 ⋅ 6
3
3
3
+ 8)
3
− 4) + ln( −
2
−3
2
⋅ 2 ⋅ (5
− 2) + log
2
−3
⋅ ( − 9 2) . 597.
+ 5 ) ⋅ − sin(8
2
− 4) ⋅ 16
.
598.
’( ) = sin( − 10
599. ’( ) =
600. ’( ) =
2
+ 4)
−4
3
+3
ln tg(7 − 4)
ln 3 − 4
ln 7
2
cos( − 10 2 + 4) ⋅ ( − 20 )
⋅(−4
sin( − 10 2 + 4)
⋅
1
=
⋅ cos 2(7
=
− 4)
+ 3 ) + ln(sin( − 10
⋅ 7 ⋅ ln 3 − 4 − ln tg(7 − 4) ⋅ 3
2
3
−4
2
ln 3 − 4
14 +1
+ +4
ln 5 + 3
1
tg(7 − 4)
3
7
2+
+4
⋅ ln 5 + 3 − ln 7
ln 2 5 + 3
2
+ +4 ⋅
5
5 +3
. 601.
35
8
301
= − 5 . 833 . 602. , (8) = = 1 . 143 . 603. , (7) = −
= − 100 . 333 .
6
7
3
52
5
1
604. , (2) =
= 17 . 333 . 605. , (4) = −
= − 0 . 278 . 606. , (2) =
= 0 . 091 .
3
18
11
9 9
2 1
607. ∈ ; . 608. ∈ ; . 609. (0 . 68) ≈ 4 + 10(0 . 68 − 1) = 0 . 8 . 610.
8 4
7 2
1
1499
3
√998 ≈ 10 +
(998 − 1000) =
= 9 . 9933 . 611.
300
150
,
(5 ) = −
ln 0 . 91 ≈ 0 + 1 ⋅ 0 . 91 − 1 = − 0 . 09 . 612.
0.08
≈ 1 + 1(0 . 08 − 0) = 1 . 08 . 613.
−
1
+ ( − 0 . 92 + 1) ≈ − 0 . 7454 . 614.
4 2
2
(0 . 52 − 0 . 5) ≈ 0 . 5467 . 615.
arcsin(0 . 52) ≈ +
6 √3
arctg(−0 . 92) ≈
67
.
+ 4)) ⋅ ( − 12
2
+ 3) .
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1
⋅ ( + 0 . 09) −
≈ 0 . 911 . 616.
3
2 2
3
3
2
1 √3
2
2
cos(
+ 0 . 08) ≈ − −
⋅ ( + 0 . 08) −
≈ − 0 . 5693 . 617.
3
2 2
3
3
tg(−0 . 05) ≈ 0 + 1 ⋅ ( − 0 . 05 − 0) = − 0 . 05 . 618. 0 = , ( 0 ) = 0, ′ ( 0 ) = − 1; уравнение
касательной = − + . 619. 0 = 4, ( 0 ) = 17, ′ ( 0 ) = 7; уравнение касательной
1
= 7 − 11 . 620. = − 25 + 46( + 2); = 46 + 67 . 621. = 15 + ( − 225);
30
1
15
1
1 1
1
2
=
+ 15 +
. 622. = − 1 +
− ; =
− 2 . 623. = + ( + 1); =
+ .
30
2
1
1
1
2
2
1
( + 0 . 5); =
624. = + ( − 1); =
+ − . 625. = − +
− +
. 626.
4 2
2
4 2
6 √3
6 √3
√3
√2 √2
√2
√ 2 √2
=
+
⋅ − ; =
+
−
. 627.
2
2
4
2
2
8
√2 √2
3
3
3
cos(
+ 0 . 04) = −
−
⋅ ( + 0 . 04) −
= − 0 . 7354 . 628. = − 1 + 2 ⋅ + ;
4
2
2
4
4
4
sin(
+ 0 . 09) ≈
√3
+
=2 −1+
. 629. = − 9 + 3 . 630. = − 2 + 3 . 631. = 29 − 27 . 632. = + 7 . 633.
2
= 2 − 6 . 634. = − 4 + 20 . 635. Промежутки вогнутости (выпуклости вверх):
( − ∞ ; − 8], [1; + ∞ ); промежутoк выпуклости (выпуклости вниз): [ − 8; 1]; = − 8, = 1,
— точки перегиба. 636. Промежутoк вогнутости (выпуклости вверх): ( − ∞ ; + ∞ ) . 637.
Промежутки вогнутости (выпуклости вверх): ( − ∞ ; 1), (1; 7]; промежуток выпуклости
(выпуклости вниз): [7; + ∞ ); = 7 — точкa перегиба. 638. Промежутки вогнутости
(выпуклости вверх): ( − ∞ ; − 6), ( − 6; − 3], 18 − 6√7; 18 + 6√7 ; промежутки выпуклости
(выпуклости вниз): − 3; 18 − 6√7 , 18 + 6√7; + ∞ ;
= 18 ± 6√7 — точки
= − 3,
перегиба. 639. Промежутoк вогнутости (выпуклости вверх): 39; + ∞ ; промежутки
выпуклости (выпуклости вниз): ( − ∞ ; − 3),
− 3; 39 ;
= 39 — точки перегиба. 640.
Промежутки вогнутости (выпуклости вверх): − √6; 0 , √6; + ∞ ; промежутки
выпуклости (выпуклости вниз): − ∞ ; − √6 , 0; √6 ;
= 0,
= ± √6 — точки перегиба.
641. Промежутки вогнутости (выпуклости вверх): ( − ∞ ; − 8], [8; + ∞ ); промежутoк
выпуклости (выпуклости вниз): [ − 8; 8]; = − 8, = 8, — точки перегиба. 642. Промежутoк
вогнутости (выпуклости вверх):( − ∞ ; 5); промежуток выпуклости (выпуклости вниз):
(5; + ∞ ); точек перегиба нет. 643. Промежутoк вогнутости (выпуклости вверх): [ − 2; 3];
промежутки выпуклости (выпуклости вниз): ( − ∞ ; − 2], [3; + ∞ ); = − 2, = 3 — точки
перегиба. 644. Промежутoк вогнутости (выпуклости вверх): ( − ∞ ; 4); промежуток
выпуклости (выпуклости вниз): (4; + ∞ ); точек перегиба нет. 645. Ответом является эскиз
−6 − 52
26
2(6 + 99)
33
грaфикa функции. тз14 646. ′ ( ) =
″( )=
3 ; {7, − 3 } .
4 ; {7, − 2 } .
( − 7)
( − 7)
647. ′ ( ) =
3
2
+ 8 + 16
2
( + 2) ( − 4)
; { − 2, 4} .
2
″( )=
−2 (3
2
+ 12 + 48)
( + 2) 3( − 4) 3
; {0, − 2, 4} . 648.
18
} . ″ ( ) = 8( − 6) (10 2 − 72 + 120);
5
2
18 2
18 2
− 6 − 25
68
{6,
− √6,
+ √6} . 649. ′ ( ) =
; {3 + √34, 3 − √34, 3} . ″ ( ) =
;
2
5 5
5 5
( − 3)
( − 3) 3
−324( − 2)
{3} . Наклонная асимптота на ± ∞ : = + 9 . 650. ′ ( ) =
; {2, − 7, 11} .
( + 7) 2( − 11)2
324(3 2 − 12 + 93)
″( )=
; { − 7, 11} . Горизонтальная асимптота на ± ∞ : = 2 . 651.
( + 7)3( − 11) 3
′ ( ) = 4( − 2) ( − 6) 2 (5 − 18); {6, 2,
68
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
′( ) =
−2(19 + 3)
( + 9)
; { − 9, −
3
3
}.
19
″( )=
−4( − 19 + 81)
( + 9)
3
= − 2 . 652. ′ ( ) =
асимптота на ± ∞ :
″( )=
±∞:
2
40( + 2) (
(
2
+ 4 − 2)
+ 4 + 6) 3
″( )=
2
−8 (129
−4
14 − 4
;
( + 1) 4
−10( + 2) 2 ( 2 + 4 + 10)
= + 6 . 653. ′ ( ) =
;
( 2 + 4 + 6) 2
2( 2
+ 26 + 120)
( + 5) 2 ( + 8) 2
+ 1560 + 4800)
″( )=
; {1, 0, − 4, − 1} .
3
; { − 2, − 2 − √6, − 2 + √6} . Наклонная асимптота на
−4
= − 10 − 20 . 654. ′ ( ) =
2
( + 1)
2
{ , − 1} . Наклонная асимптота на ± ∞ :
7
{ − 2} .
+3
81
} . Горизонтальная
19
; { − 9,
4
; {0, − 20, − 6, − 5, − 8} .
; {0, − 5, − 8} . Наклонная асимптота на ± ∞ :
( + 5) 3 ( + 8) 3
−3( + 4) 7( + 92)
= − 4 + 52 . 655. ′ ( ) =
; { − 92, − 4, 7} .
( − 7) 10
6( + 4)6( 2 + 184 + 4108)
(
)
″
=
; { − 4, 7, − 92 − 4356, − 92 + 4356} .
( − 7) 11
3( + 1)4( + 21)
Горизонтальная асимптота на ± ∞ : = 0 . 656. ′ ( ) =
; { − 1, − 21, − 5} .
( + 5) 5
960( + 1) 3
″( )=
; { − 1, − 5} . Наклонная асимптота на ± ∞ : = 3 − 45 . 657.
( + 5) 6
−91( − 6)6
182( − 6) 5( − 45)
′( ) =
; {6, − 7} . ″ ( ) =
; {6, − 7, 45} . Горизонтальная
( + 7) 8
( + 7) 9
= − 1 . 658. ′ ( ) =
асимптота на ± ∞ :
{1} . Наклонная асимптота на ± ∞ :
2
″( )=
′( ) =
− 6 + 17
4( + 1)
− 2 + 17 − 70
( − 7)
2
′( ) =
−12( + 4)
( + 7)
−9
4
″( )= −3
; {7, 10, 7} .
+1
+7
⋅
−3
2( + 1)
( + 7)
2
( − 7)
+1
+7
⋅
4
⋅
3
−7
3
⋅
−4
″( )=
; {9, 8} .
− 18 + 82
+7
2
;
; {3, − 1} .
; {7, 7} . Наклонная
; { − 7} .
= . 662.
−4
⋅
+6
−1
= 0 . 660.
; { − 4, − 7} . Горизонтальная асимптота на ± ∞ :
2
2⋅
6
3 − 21
49
1
⋅
⋅
10 ( − 1) 3
″( )=
; {1, 8} .
; { − 1} . Горизонтальная асимптота на − ∞ :
3
−7
⋅
10
+6
−1
⋅ ( + 6) . 659. ′ ( ) =
= − + 4 . 661. ′ ( ) =
асимптота на ± ∞ :
″( )=
+7
2
⋅
4
=
−8
⋅
10( − 1)
; {8} . Горизонтальная асимптота
( − 8) 3
на − ∞ : = 0 . 663. ′ ( ) = ( 2 + 2 − 9) + 2; {0, − 1 − √10, − 1 + √10} .
″ ( ) = (1 + )( 2 + 4 − 9) +2; { − 1, − 2 − √13, − 2 + √13} . Горизонтальная асимптота на
−∞:
( − 8)
= 0 . 664. ′ ( ) = (7 + 1)
7
Горизонтальная асимптота на − ∞ :
1
; {0, − } .
7
″( )=
= 0 . 665. ′ ( ) =
−1(
4(
49
2
6 + 5)
2
; {0, − } .
7
5
; {0, − } .
6
+ 14 )
6
7
−5 − √5 −5 + √5
,
} . Горизонтальная асимптота на − ∞ :
6
6
−2 2 + 5 − 2
1
−2 2 + 2
= 0 . 666. ′ ( ) =
; {0, , 2} . ″ ( ) =
; { − √1, 0, √1} . 667.
2
2
2
′ ( ) = ln (ln + 2) . ″ ( ) = (ln + 1) .
″( )=
3(
36
2
+ 60 + 20)
6
;{
69
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) основная:
1. Математика в экономике. Ч.1: Линейная алгебра, аналитическая
геометрия и линейное программирование: Учебник для студ.
экономич. спец. вузов / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В.
Браилов, И.Г. Шандра. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и
статистика; ИНФРА-М, 2011.
2. Математика в экономике. Ч. 2: Математический анализ: Учебник для
студ. экономич. спец. вузов / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В.
Браилов, И.Г. Шандра. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и
статистика; ИНФРА-М, 2011.
3. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч. Ч.1.
Линейная алгебра: учеб. пособие / под ред. В.А. Бабайцева и В.Б.
Гисина. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2012.
4. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч. Ч.2.
Математический анализ: учеб. пособие / под ред. В.А. Бабайцева и
В.Б. Гисина. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2012.
5. Калачев Н.В. Линейная алгебра. Ч. 1: Линейные и евклидовы
пространства: Учебное пособие для подготовки бакалавров/ под ред.
В.Б. Гисина и С.В. Пчелинцева. – М.: Финуниверситет, 2013.
6. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейная алгебра. Ч. 2:
Многочлены
и
комплексные
числа.
Собственные
значения
и
собственные векторы. Модель Леонтьева: Учебное пособие для
подготовки бакалавров/ под ред. В.Б. Гисина и С.В. Пчелинцева. – М.:
Финуниверситет, 2013.
7. Тищенко А.В. Линейная алгебра. Ч. 3: Элементы аналитической
геометрии: Учебное пособие для подготовки бакалавров/ под ред. В.Б.
Гисина и С.В. Пчелинцева. – М.: Финуниверситет, 2013.
81
8. О.Е. Орёл. Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ.
Учебное пособие для подготовки бакалавров / Под редакцией В.Б.
Гисина и Е.Н. Орла. – М.: Финуниверситет, 2013, 2009.
9. Л.В. Липагина. Математический анализ. Часть 2. Дифференциальное
исчисление функции одной переменной. Учебное пособие для
подготовки бакалавров / Под редакцией В.Б. Гисина и Е.Н. Орла. – М.:
Финуниверситет, 2013, 2009.
10. Высшая математика для экономистов. Учебник /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.1
11. Высшая математика для экономистов. Практикум /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
12. Высшая математика для экономического бакалавриата. Учебник и
практикум / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
13. Кремер Н.Ш., Фридман М.Н. Линейная алгебра. Учебник и практикум
/ под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
14. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математический анализ:
Учебник и Практикум / под. ред. Н.Ш. Кремера – М.: Юрайт, 2014.
15. Математика для экономистов и менеджеров. Учебник /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: Кнорус, 2015.
16. Математика для экономистов и менеджеров. Практикум /под ред.
Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2015.
б) дополнительная:
17. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании:
Учебник / Красс М.С., Чупрынов Б.П. – 5-е изд., испр. И доп. – М.:
Дело, 2006.
18. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник.
– 4. изд., испр. – М.: Дело, 2005, 2002.
1
Студенту заочной формы обучения предлагается на выбор учебники (пособия) [10] и [11], или [12], или
[13] и [14], или [15] и [16], при этом возможно использование указанных учебников и пособий предыдущих
лет издания.
82
19. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
– М.: Наука, 2004.
20. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов:
от Арифметики до Эконометрики. Учебно-справочное пособие / под
ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
21. Simon C.P., Blume L. Mathematics for Economists. – Norton Company.
N.-Y., 1994.
22. Dowling E. Mathematical Economics. – Shaum’s Outline Series. N.-Y.,
2006.
83