Министерство образования Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра “Оборудование и инструмент компьютеризированного производства” 621.9.02(07) Ш18 В.Г. Шаламов ТЕОРИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕЖУЩЕГО ИНСТРУМЕНТА Текст лекций Челябинск Издательство ЮУрГУ 2003 УДК 621.9.02(075.8)+621.9.02.001.2(075.8) Шаламов В.Г. Теория проектирования режущего инструмента: Текст лекций. − Челябинск, Издательство ЮУрГУ, 2003. − 156 с. Содержит учебные материалы по основам формообразования деталей и профилированию режущего инструмента. Рассматриваются сущность решения прямой и обратной задач профилирования, основы аппроксимации теоретических контуров и анализа геометрических параметров режущего лезвия, выбор и оптимизация конструктивно-геометрических параметров инструмента. Текст лекций предназначен для студентов всех форм обучения по специальности 121300, а также для магистерской программы 552910 − “Инструментальное обеспечение машиностроительных производств”. Ил. 69, табл. 2, список лит. − 7 назв. Одобрено учебно-методической комиссией механико-технологического факультета. Рецензенты: М.Л. Гельфонд, Г.Г. Созыкин. ВВЕДЕНИЕ Режущий инструмент предназначен для решения двух задач: формообразования поверхности детали и срезания припуска с заготовки. Обе задачи взаимосвязаны и реализуются одновременно, однако, имеют и относительную самостоятельность. Это позволяет процесс проектирования инструмента разделять на некоторые этапы и решать задачи формообразования поверхностей и обеспечения нормальных условий резания относительно самостоятельно. От уровня решения каждого этапа проектирования инструмента зависит его эффективность, что прямо сказывается на возможностях современного производства. Использование современного высокоавтоматизированного оборудования, обеспечение высокого качества выпускаемой продукции во многом определяет именно инструмент. Большинство проблем в процессе изготовления деталей связано с отказами инструмента. Основы проектирования режущих инструментов были заложены И.И. Семенченко, С.С. Четвериковым, Н.А. Шевченко, С.С. Петрухиным. И.И. Семенченко и С.С. Четвериков создали первые учебники по проектированию инструмента. Существенный вклад в проектирование отдельных видов инструмента внесли А.Н. Грубин, Г.Г. Иноземцев, Г.М. Ипполитов, С.П. Карцев, В.Н. Кедринский, М.Н. Ларин, С.И. Лашнев, В.С. Люкшин, Д.К. Маргулис, В.В. Матвеев, В.М. Матюшин, И.Я. Мирнов, П.Р. Родин, В.Ф. Романов, В.Л. Филиппов, Ю.В. Цвис, В.А. Шишков, А.В. Щеголев, М.И. Юликов, П.Н. Ящерицын и др. В настоящее время в традиционном курсе “Проектирование режущего инструмента” уже невозможно рассмотреть все типы режущих инструментов, применяемых на практике, дать основы проектирования и выбора их параметров. Поэтому актуальной стала проблема разработки общих теоретических основ конструирования режущих инструментов, установления общих законов их проектирования и расчета. Знание общих закономерностей, общей методики расчета позволяет инженеру грамотно подходить к решению возникающих на практике задач как при проектировании новых типов инструмента, так и при совершенствовании известных. Такой подход стал возможен в настоящее время, так как выполнено значительное количество исследований в области разработки общих принципов и научных основ проектирования режущих инструментов, получены научные и практически полезные инженерам-машиностроителям результаты. Целью дисциплины “Теория проектирования режущего инструмента” является изучение общих методов профилирования инструмента и анализа условий его работоспособности. Данное учебное пособие базируется на известных работах ученыхинструментальщиков и отражает некоторые разработки сотрудников кафедры 3 “Оборудование и инструмент компьютеризированного производства” ЮжноУральского государственного университета [1...7], а также многолетний опыт преподавания этой дисциплины. Объем представленного материала соответствует государственному образовательному стандарту по направлению 552900 − “Технология, оборудование и автоматизация машиностроительного производства”. 1. ОСНОВЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ РЕЗАНИЕМ Режущие инструменты предназначены для изготовления резанием различных деталей. При срезании припуска (напуска) происходит одновременно формообразование поверхности детали. И проектирование инструмента должно происходить не только с учетом условий резания, но и с учетом обеспечения заданной поверхности детали. Форма и размеры обработанной поверхности детали определяются формой и размерами режущих кромок инструмента и движениями его относительно заготовки (кинематикой резания). Процесс формообразования поверхности детали из-за влияния многочисленных факторов сопровождается отклонениями размеров и формы обработанной поверхности от заданной. Колебания размеров во многом определяются деформациями технологической системы (станок-приспособление-инструментзаготовка). Величина деформаций зависит от величины сил резания (которые определяются обрабатываемым материалом, элементами режима резания и срезаемого слоя, геометрическими параметрами режущего лезвия и степенью его износа), жесткостью технологической системы, возникающими тепловыми и вибрационными явлениями и т.п. На форму обработанной поверхности влияют, в основном, точность изготовления и установки инструмента на станке, точность настройки и траектории относительного движения инструмента и заготовки и т.п. Таким образом, процесс формообразования выступает не в чистом виде, а сопровождается различными явлениями, в результате взаимодействия которых образуется реальная поверхность детали. Изучение такого процесса весьма затруднительно и в большинстве случаев является неоправданным. Поэтому процесс формообразования поверхностей детали анализируется в условиях идеального процесса. 4 1.1. Понятие о идеальном процессе формообразования Считаем, что технологическая система является абсолютно жесткой; отклонений от принятого закона движений инструмента и заготовки в процессе резания нет; инструмент и станок в процессе работы не изнашиваются; нет тепловых деформаций и т.п. Указанные допущения переводят реальный процесс формообразования в идеальный. Практически он неосуществим, однако это допустимо и используется при анализе процессов формообразования, разработке всевозможных типов режущего инструмента для обработки данной детали, при анализе геометрических параметров режущей части, размеров сечения срезаемого слоя и других подобных задач. Идеальному процессу формообразования соответствует номинальная (т.е. точная, без микронеровностей и других отклонений) поверхность детали (рис. 1.1). Рис. 1.1. Номинальная поверхность детали Номинальная поверхность детали (как и любая другая поверхность) характеризуется двумя параметрами. Будем считать, что этими параметрами являются (в общем случае) криволинейные координаты q и n. Одну из координатных линий (n) называют образующей, другую (q) − направляющей. Различная форма образующей и направляющих линий определяет различную форму поверхности детали. Обе линии иначе называют производящими, причем образующая может быть направляющей, и наоборот. Например, круглая цилиндрическая поверхность может быть представлена как след движения прямой линии по окружности или как след движения окружности по прямой. Таким образом, с геометрической точки зрения процесс формообразования номинальной поверхности сводится к движению одной производящей линии по другой (откуда и название − “производящие” линии). Производящие линии при формообразовании на 5 оборудовании образуются материальными точками и линиями режущих кромок инструмента за счет согласованных относительных движений заготовки и инструмента. 1.2. Исходная инструментальная поверхность и ее положение относительно поверхности детали В процессе резания инструмент и заготовка совершают относительное движение. В результате срезания припуска происходит образование обработанной поверхности. Те участки режущих кромок инструмента, которые соприкасаются с поверхностью детали и формируют ее, называются профилирующими участками режущих кромок инструмента. Кроме них могут быть и непрофилирующие участки. Например, у токарного резца профилирующим участком является вершина резца. Основные участки главной и вспомогательной режущих кромок, срезая основные зоны материала заготовки, не соприкасаются с поверхностью детали и не формируют ее. Это непрофилирующие участки режущей кромки резца. Для формирования заданной поверхности детали необходимо, чтобы профилирующие участки режущих кромок инструмента располагались на некоторой поверхности, которая в процессе обработки касается поверхности детали (т.е. является касательной к ней). Эту поверхность называют исходной инструментальной поверхностью (ИИП). Иначе эту поверхность называют производящей поверхностью. Режущий инструмент можно рассматривать как тело, ограниченное ИИП, на которой располагаются профилирующие участки режущих кромок. При формообразовании поверхность детали совершает движение и занимает ряд последовательных положений относительно инструмента. Поверхность, касательная к последовательным положениям поверхности детали, и будет ИИП. То есть с математической точки зрения ИИП является огибающей ряда последовательных положений детали относительно инструмента в процессе ее формообразования. В процессе обработки поверхность детали может совершать относительно инструмента сложные движения, которые можно разложить на простые. Некоторые из этих движений могут приводить к скольжению поверхности детали “самой по себе”. При определении огибающей (которая и образует ИИП) такие движения можно не учитывать, т.к. они не изменяют положения поверхности детали относительно инструмента, т.е. не являются формообразующими. Так, у цилиндрической фрезы ИИП образована как огибающая ряда последовательных положений плоскости вокруг оси инструмента. Они и формируют цилиндрическую поверхность. Движение подачи приводит к “скольжению” плоскости детали “самой по себе” и не влияет на характер взаимного положения плоскости детали и инструмента, т.е. не определяет формы ИИП. 6 ИИП может совпадать с поверхностью детали. Это наблюдается тогда, когда относительные движения поверхности детали и инструмента сводятся к скольжению поверхности детали “самой по себе”. Примером является метчик. Исходной инструментальной поверхностью у метчика является поверхность резьбы. В процессе нарезания резьбы метчиком поверхность детали, являющаяся винтовой поверхностью резьбы гайки, скользит по совпадающей ИИП резьбы сопряженного винта, что соответствует скольжению поверхности детали “самой по себе”. ИИП при обработке детали контактирует с номинальной поверхностью детали. Контакт может быть осуществлен тремя способами, которые определяют три способа получения (обработки) номинальной поверхности детали (рис. 1.2): Рис. 1.2. Способы формообразования номинальной поверхности детали: n, q − образующая и направляющая линии номинальной поверхности 1; 2 − производящая (ИИП) поверхность инструмента; 3 − подача сближения; 4, 5 − формообразующие подачи 1. ИИП совпадает с номинальной поверхностью детали. Контакт осуществляется по всей номинальной поверхности. Для осуществления процесса формообразования инструмент совершает только одно движение-подачу сближения (рис. 1.2 а). 2. ИИП контактирует с номинальной поверхностью детали по образующей (направляющей) линии. Для осуществления процесса формообразования инструмент кроме подачи сближения имеет подачу по направляющей (образующей) (рис. 1.2 б). 3. ИИП контактирует с номинальной поверхностью в точке. Для осуществления процесса формообразования инструмент кроме движения сближения имеет две подачи: по образующей и направляющей линиям (рис. 1.2 в). 7 Различный контакт ИИП с номинальной поверхностью детали обуславливает различные кинематику формообразования, конструкцию инструмента, качество обработанной поверхности. Во многом различный контакт инструментальной поверхности с номинальной определяется видом получаемой поверхности и принятой схемой формообразования. 1.3. Поверхности, применяемые в машиностроении Для определения ИИП необходимо задать форму номинальной поверхности. Различные поверхности, применяемые в машиностроении, являются в большинстве случаев пространственными. Поэтому уравнения поверхностей записываются в пространственной системе координат. Уравнение, связывающее координаты Х, У, Z поверхности, называется уравнением поверхности. При определении ИИП как огибающей поверхности детали не учитываются движения детали “самой по себе”. К группе поверхностей допускающих движение “самих по себе”, относятся плоскость, цилиндрическая поверхность, поверхность вращения и винтовая поверхность постоянного шага. Подавляющее большинство поверхностей деталей машин и инструментов представляют собой именно эти поверхности. При обработке таких поверхностей линии, по которым номинальная поверхность детали допускает движение “самой по себе”, принимаются за координатные линии. Это создает удобства как для расчета профиля режущей части инструмента, так и для получения поверхности детали в связи с тем, что наиболее простыми движениями резания, которые осуществляются на станке, являются прямолинейное, вращательное и винтовое. Совершая эти движения, режущая кромка инструмента формирует соответственно: плоскость, цилиндрическую или поверхность вращения, винтовую поверхность. Поверхность, образуемая движением прямой линии (образующей), параллельной неподвижной прямой (ось поверхности), называется цилиндрической. Линия, по которой движется образующая, называется направляющей. Цилиндрические поверхности в направлении своей оси имеют одно и то же поперечное сечение, которое может быть и фасонной формы. В машиностроении наряду с круглой цилиндрической поверхностью (валы, отверстия) используют и фасонные цилиндрические поверхности. Если систему координат связать с цилиндрической поверхностью таким образом, что образующая прямая будет параллельна одной из осей координат, то уравнение цилиндрической поверхности не будет содержать координаты этой оси, а в проекции на плоскость оставшихся координат даст уравнение Х2 У 2 направляющей. Например, уравнение 2 + 2 = 1 представляет на плоскости b а ХОУ эллипс. В пространстве это будет цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси ОZ. 8 Поверхность вращения образуется при вращении линии вокруг какойлибо оси. Положим, что в плоскости ZОУ задано уравнение линии f(У, Z) = 0 (рис. 1.3). Рис. 1.3. Образование поверхности вращения Определим уравнение поверхности, полученной от вращения этой линии вокруг оси ОУ. Возьмем на полученной поверхности произвольную точку М (Х, У, Z) и проведем через нее плоскость перпендикулярно оси вращения ОУ. Очевидно, что в пересечении этой плоскости с рассматриваемой поверхностью получится окружность с центром N (О, У, О) на оси вращения. Радиус окруж2 2 ности МN = Х + Z = NМ 1 , т.е. абсциссе Z точки М1 данной линии f(У, Z). Тогда уравнение искомой поверхности можно получить из исходного уравне- ния линии заменой координаты Z на Х 2 + Z 2 . Таким образом, уравнение по- 2 2 верхности будет иметь вид F( У , Х + Z ) = 0. Аналогичным образом можно получить уравнение поверхности вращения по отношению к другим осям. При практическом получении уравнений можно использовать правило. Для получения уравнения поверхности, образованной вращением линии вокруг какой-либо оси, необходимо в уравнении линии оставить без изменения координату оси, вокруг которой происходит вращение, а другую заменить радикалом с суммой квадратов оставшихся координат. Например, требуется определить уравнение поверхности, образованной Х2 У 2 вращением эллипса 2 + 2 = 1 вокруг осей Х, У. а b В соответствии с вышеизложенным соответственно имеем: Х2 Z2 + У 2 Х 2 + Z2 У 2 + = 1; + 2 = 1. а2 b2 a2 b 9 Описанная процедура используется при профилировании дисковых модульных фрез, фасонных червячных фрез и т.п. 1.4. Виды винтовых поверхностей в конструкциях инструмента Винтовым движением называют движение, состоящее из вращательного вокруг постоянной оси и одновременного поступательного параллельно этой оси. При винтовом движении точки образуется винтовая линия, а при винтовом движении линии (плоской или пространственной) − винтовая поверхность. Движущаяся линия называется образующей. Каждая точка образующей имеет свою винтовую траекторию (направляющую), которая лежит на цилиндре определенного радиуса. Винтовые линии и поверхности бывают правые и левые (рис. 1.4). Рис. 1.4. Правая (а) и левая (б) винтовые линии При совпадении направлений векторов линейной ( V ) и угловой ( ω ) скоростей винтовая линия (поверхность) − правая, в противном случае − левая. Винтовые поверхности в конструкциях инструмента формируют стружечные и стружкоразделительные канавки. При этом к различным участкам профиля стружечной канавки предъявляются различные требования по точности их получения. Особое внимание необходимо уделять участку профиля формообразующего переднюю поверхность режущего лезвия. Это связано с тем, что форма передней поверхности режущего лезвия определяет величину переднего угла (т.е. условия резания) и часто форму получаемого изделия (т.е. его точность). Винтовая поверхность считается заданной, если известны форма образующей и параметр базовой направляющей винтовой линии, по которой перемещается образующая. Винтовое движение характеризуется осевым шагом Н 10 винтового движения, винтовым параметром Р или углом ω наклона винтовой линии на цилиндре некоторого радиуса r. Эти параметры взаимосвязаны: Р = Н/2π; Н = πD/tgω; Р = r/tgω. Образующей винтовой поверхности может быть: 1. Прямая аb с указанием ее положения относительно оси детали (угол ε, расстояние r). Такие винтовые поверхности относят к классу линейчатых (рис. 1.5 а). В зависимости от положения прямой образующей получаются эвольвентная, архимедовая или конволютная винтовые поверхности0. 2. Дуга окружности радиусом R. Указывается положение центра дуги окружности (координаты У0, Z0) и плоскости, в которой она расположена. Поверхности подобного рода называют каналовыми (рис. 1.5 б). 3. Плоская фигура, очерченная отрезками прямых и дугами окружности или другими кривыми (рис. 1.5 в). Профиль образующей может быть задан в различных сечениях. 4. Объемная фигура с расположением образующей линии в пространстве (рис. 1.5 г). Линия образующей (а b с) является пространственной. 5. Плоская фигура, очерченная отрезками прямых и дугами окружностей, с переменной конфигурацией, как например, у конических фрез. Переменность конфигурации обусловлена изменением глубины канавки вдоль оси от h1 до h2 (рис. 1.5 д). В зависимости от расположения и роли прямолинейной образующей, определяющей профиль передней поверхности стружечной канавки, все инструменты с винтовой стружечной канавкой можно разбить на три группы: 1. Прямолинейный участок образующей совпадает с главной режущей кромкой (сверла, зенкеры, развертки). В этом случае необходимо строго выдерживать прямолинейность образующей, чтобы создать нормальные условия резания вдоль режущей кромки. Этого же требуют и условия переточки, которая осуществляется часто только по одной (задней) поверхности. 11 Рис. 1.5. Виды винтовых поверхностей режущего инструмента 12 2. Прямолинейная образующая может быть расположена в любом сечении стружечной канавки: торцевом, осевом, нормальном. К этой группе инструментов относят цилиндрические и концевые фрезы, конические развертки, винтовые протяжки и т.п. В этом случае положение прямолинейной образующей определяется величиной переднего угла в соответствующей плоскости, и к прямолинейности образующей предъявляются менее жесткие требования, т.к. режущая кромка обычно образуется заточкой и по передней, и по задней поверхности. 3. Форма и положение прямолинейной образующей передней поверхности определяют форму и геометрию вдоль кромки режущего лезвия. К этой группе инструментов относят зубо- и резьбонарезной инструмент. Прямолинейность образующей для этой группы инструментов определяет качество обработанных деталей, поэтому точность ее исполнения должна быть наивысшей. Различная роль участков образующей определяет различную степень точности их профилирования. 1.5. Способы задания поверхностей При аналитическом проектировании инструмента составляющие элементы поверхности детали должны быть заданы также аналитически. Задание формы и размеров поверхности может осуществляться в виде уравнений поверхности или соответствующих участков поверхности, либо в виде координат некоторых (базовых) точек поверхности, по которым определяются соответствующие координаты ИИП, либо траектория движения инструмента. Чем больше задано точек поверхности детали, тем точнее будет сформирована поверхность. В качестве базовых точек принимают граничные точки обрабатываемой поверхности, точки сопряжения различных по форме участков поверхности и несколько промежуточных на каждом участке. Аналитическое задание поверхностей или координат базовых точек может осуществляться в различных системах координат: декартовой (прямоугольной), полярной, цилиндрической и др. Все системы координат взаимосвязаны. Например, взаимосвязь прямоугольной и полярной систем координат можно выразить следующим образом (рис. 1.6). Рис. 1.6. Прямоугольная и полярная системы координат 13 Если на рассматриваемой кривой взять произвольную точку М, то в декартовой системе координат ее положение характеризуется координатами Х и У, а в полярной системе координат − полярным радиусом ρ и углом ϕ относительно полярной оси Х. При переходе от полярных координат к декартовым можно записать: Х = ρ cos ϕ; У = ρ sin ϕ. При обратном переходе: ρ = Х2 + У 2 ; сos ϕ = Х / Х 2 + У 2 ; tgϕ = У / Х. Так, если окружность с центром в начале координат имеет выражение Х2 + У2 = R2, то в полярной системе координат ее уравнение принимает вид ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = R2 ⇒ ρ = R. Существенному упрощению уравнений линий и поверхностей способствует параметрическое задание уравнений. В этом случае координаты линий или поверхностей задаются в функции некоторого параметра. При проектировании инструмента в качестве параметра наиболее часто выступает угол поворота. При параметрическом задании уравнений уменьшается порядок уравнений по каждой из координат, что упрощает преобразование уравнений. Часто уравнение поверхности задается в векторной форме. Если i , j, к - единичные векторы осей координат, а Х, У, Z − проекции рассматриваемой точки на оси координат, то в векторной форме уравнение поверхности принимает вид F = iХ + jУ + кZ. 1.6. Преобразование систем координат Любую новую систему координат можно получить из первоначальной, используя взаимосвязь систем координат. Все формулы преобразования систем координат основаны на переносе начала координат и повороте осей (рис. 1.7). 14 Рис. 1.7. Взаимосвязь систем координат Так, взаимосвязь системы У0Х0 с системой УХ при параллельном переносе осей имеет вид: У0 = У + b; Х0 = Х + а (рис. 1.7 а). При повороте осей на угол τ (рис. 1.7 б) координаты точки М (ХУ) в системе координат Х0У0 определяются: Х0 = m/tgτ; У0 = m + n; b = У tgτ; Х0 = m = a sinτ; a = Х − b; n = У/cosτ; а sin τ = ( Х − Уtgτ ) cos τ = Х cos τ − У sin τ; tgτ У 0 = a sin τ + У / cos τ = ( Х − Уtgτ ) sin τ + У / cos τ = sin 2 τ = Х sin τ − У + У / cos τ = У cos τ + Х sin τ. cos τ При повороте осей в другую сторону или определении обратной взаимосвязи координат угол τ принимает знак минус. Формулу легко запомнить: новая координата через однозначную старую записывается с косинусом, другая с синусом и координата при синусе с разными знаками. Знак легко определяется из расчетной схемы простым сравнением соответствующих участков осей. В рассмотренном примере Х0 < Х, У0 > У. Аналогичным образом можно связать системы координат при более сложных случаях. Рассмотрим винтовое движение системы координат ХУZ относительно системы Х0У0Z0 (рис. 1.7 в). Допустим, что в начальный момент времени они совпадали. При повороте системы ХУZ вокруг оси Х0 на угол ϕ она одновременно переместится вдоль оси Х0 на величину рϕ (р −винтовой параметр, ϕ − угол поворота в радианах). Тогда Х0 = Х + рϕ; 15 У0 = Уcos − Zsin ϕ; Z0 = Zcos ϕ + Уsin ϕ. Если в расчетной схеме взаимосвязь вводимых систем координат сразу не очевидна, то рекомендуется переход от одной системы к другой осуществлять через элементарные перемещения введением промежуточных систем координат. 1.7. Понятие огибающей семейства кривых и поверхностей Определение ИИП, как указано выше, сводится к определению огибающей ряда последовательных положений поверхности детали относительно инструмента. Поэтому теория огибающих поверхностей и плоских фигур занимает большое место в теории проектирования режущего инструмента. Вспомним основные понятия теории огибающей. Огибающую можно провести только к семейству некоторой линии или поверхности. Множество линий называется семейством, если каждой линии множества можно поставить в соответствие определенное число С (параметр семейства) таким образом, что непрерывному изменению параметра С соответствует непрерывное изменение линии. Уравнение семейства линий на плоскости имеет вид F(Х,У,С) = 0. Кривая называется огибающей семейства, если она в каждой своей точке касается одной из линий семейства. В соответствие с определением огибающая семейства задается системой уравнений F ( Х , У , C ) = 0 dF ( Х , У , C ) = 0. dC Рассмотрим примеры. Уравнение (Х − с)2 + У2 = 1 представляет семейство окружностей радиуса 1 с центрами на оси ОХ (рис. 1.8 а). dF/dC = −2(Х − C) = 0 ⇒ C = X. И из уравнения семейства окружностей следует У = ± 1. То есть огибающей являются прямые линии, параллельные оси ОХ. Если семейство кривых задано в параметрическом виде: Х = f1(t,C); У = f2(t,C), то огибающая семейства определяется системой уравнений: У = f 2 (t , C ); Х = f 1 (t , C ); df1 df 2 dt dt = 0. df df 2 1 dc dc 16 Рис. 1.8. Огибающая семейства окружностей Рассмотрим пример. Задано семейство линий: Х = 2С + С cost; У = C sint. Для определения огибающей определим: dХ/dc = 2 + cost; dХ/dt = −C sint; dУ/dt = C cost; dУ/dc = sint; − C sin t 2 + cost Ccost = − C sin 2 t − 2C cos t − C cos2 t = sint = −C (1 + 2 cost) = 0 ⇒ 1 cos t = − ; 2 sin t = ± 1 − cos 2 t = ± 3 / 2. Для определения огибающей исключим из уравнения семейства параметр С: C= Х Х 2 = = Х 2 + cos t 2 − 1 / 2 3 ⇒ 2 3 3 У = Csint = ± Х =± Х. 3 2 3 Таким образом, огибающей являются две прямых линии, выходящие из начала координат и расположенные под углом ± 30° к оси Х. Для определения уравнения семейства линий в явном виде исключим из параметрического уравнения семейства параметр t: 17 Х − 2C cos t = ; C 2 Х − 2C sint = 1- cos2 t = 1 − = C У = C sin t = C C 2 − ( Х − 2 C) C 2 − ( Х − 2 C) C 2 ; 2 ⇒ C У2 + (Х − 2С)2 = C2. То есть, семейством кривых является семейство окружностей, центры которых располагаются на оси ОХ, а радиус окружности увеличивается пропорционально расстоянию от начала координат до центра движущейся окружности (рис. 1.8 б). Аналогичный подход к определению огибающей поверхности при решении задачи в пространстве. Так, если F(Х,У,Z,С) = 0, то огибающая рассматриваемого семейства (если она существует), определяется системой уравнений: F ( Х , У , Z , C ) = 0; dF ( X , У , Z , C ) = 0. dC Частным случаем образования семейства кривых является движение одной неизменной кривой, при котором она занимает ряд последовательных положений (именно это происходит при формообразовании детали режущим инструментом). В этом случае огибающую можно определить более удобным способом. 1.8. Кинематический метод определения огибающей семейства поверхностей Для наглядности рассмотрим этот вопрос применительно к определению огибающей семейства плоских кривых. Рассмотрим шлифование цилиндра цилиндрическим кругом. Процесс формирования поверхности детали рассмотрим в сечении, перпендикулярном осям круга и детали (рис. 1.9). В процессе операции круг и заготовка вращаются вокруг своих осей соответственно со скоростью резания и круговой подачи. Нас интересует относительное движение круга и детали. Его можно представить, если всю эту систему начать вращать вокруг оси О1 со скоростью круговой подачи, но в обратном направлении. Тогда движение детали прекратится, а круг будет совершать планетарное движение вокруг оси О1. Таким образом, относительное формообразующее движение круга и заготовки сводится к вращению круга вокруг оси детали. Поэтому в любой точке М профиля круга скорость относительного движения V перпендикулярна прямой 18 Рис. 1.9. Определение условия контакта О1М, соединяющей ось детали с исследуемой точкой. N − нормаль к профилю круга в рассматриваемой точке. В общем случае нормаль N не перпендикулярна к скорости V . Разложим вектор скорости V по двум направлениям: V = Vn + Vτ . В результате движения со скоростью Vτ профиль круга в зоне точки М будет скользить “сам по себе”, формообразования детали при этом не происходит, и это движение при анализе формирования поверхности детали можно не учитывать. В результате же движения со скоростью Vn окрестность точки М профиля круга будет внедряться в тело заготовки и срезать ее материал. В окрестности точки А профиля круга наблюдается отход профиля круга и заготовки (векторы N и Vn направлены в противоположные стороны). В точке В профиля круга нормаль N перпендикулярна к скорости V относительного движения. Составляющая вектора скорости Vn = 0, т.е. профиль круга в окрестности точки В не будет внедряться в материал заготовки или отходить от него. Точка В называется точкой контакта профилей детали и инструмента. В этой точке формируется точка профиля детали и точка огибающей кривой относительного движения инструмента и детали. Именно по этим причинам и необходимо определение точки контакта. Совокупность точек контакта определяет линию контакта сопряженных профилей иначе называемую характеристикой. В рассматриваемом примере для 19 цилиндрического круга характеристика будет прямой линией, проходящей через точку В перпендикулярно плоскости эскиза (в соответствие с высотой круга). Из изложенного становится понятным запись условия контакта профилей в рассматриваемой точке, как условие перпендикулярности векторов N и V , т.е. N⊥V . Полученное условие контакта позволяет записать уравнение контакта, используя которое можно будет определять координаты точек контакта (характеристику) сопряженных профилей. Для этого используют известное свойство о перпендикулярных векторах NV = 0, т.е. в точках контакта скалярное произведение векторов нормали к профилю и скорости относительного формообразующего движения равно нулю. Совокупность точек контакта в системе координат, связанной с заготовкой, будет профилем детали, который является огибающей к последовательным положениям движущегося профиля инструмента. Совокупность же точек контакта в системе координат, связанной с инструментом, дает профиль инструмента. Рассмотрим пример. Определим кинематическим методом огибающую семейства кривых, которое образуется при прямолинейно-поступательном движении окружности (см. рис. 1.6 а). Считаем, что радиус окружности равен единице. Вектор поступательного движения V параллелен оси ОХ. Известно, что нормаль N в любой точке окружности идет по радиусу. Очевидно, что точками контакта будут точки окружности, радиусы в которых параллельны оси У и перпендикулярны к вектору скорости V . В этих точках координата У = ± 1, т.е. огибающими будут две прямые, идущие параллельно оси Х. В общем случае решение задачи определения огибающей семейства кривых кинематическим методом можно вести в следующей последовательности: 1. Выбирается система координат Х1У1, связанная с заданной кривой, которая вместе с системой Х1У1 движется в системе Х2У2. В результате в системе Х2У2 создается семейство кривых, огибающую которого необходимо определить. 2. Записываются уравнения нормали к кривой и скорости относительного движения и определяются точки контакта на заданной кривой в системе Х1У1 по уравнению контакта NV = 0. 3. В соответствии с принятым законом движения системы Х1У1 в системе Х2У2 записывают формулы перехода от системы Х1У1 к системе Х2У2. 4. Зная точки контакта в системе Х1У1, определяют их в системе Х2У2, совокупность которых представляет искомый огибающий профиль. Находя профиль инструмента по известному профилю детали систему Х1У1 обычно связывают с профилем детали, а систему Х2У2 − с профилем инструмента. В процессе обработки на станке осуществляется определенное движе- 20 ние как инструмента, так и заготовки, и связанных с ними систем координат Х1У1 и Х2У2. В этом случае вводят неподвижную систему координат Х0У0 и связывают ее со станиной станка. Совокупность точек контакта в системе Х0У0 называют линией профилирования. Аналогичным образом поступают и при рассмотрении пространственной задачи. 1.9. Определение огибающей при винтовом движении плоскости Подобная задача возникает при шлифовании винтовой поверхности плоской стороной шлифовального круга или при определении поверхности исходного червяка червячной фрезы, как огибающей боковой плоскости зуба рейки, совершающей винтовое движение (рис. 1.10 а). Пусть плоскость И (рис. 1.10 б) совершает относительное винтовое движение с параметром Р = Н/2π. Ось винтового движения составляет угол τ с плоскостью И. С плоскостью И свяжем систему координат ХУZ. Ось Х направим по оси винтового движения. Ось У расположим в плоскости И. Тогда плоскость И будет перпендикулярна к плоскости ZX. Уравнение плоскости И имеет вид: Z= X tg τ. Система ХУZ вместе с плоскостью И совершает относительное винтовое движение в неподвижной системе координат Х0У0Z0. Примем, что в начальный момент времени системы координат совпадали. При повороте системы координат ХУZ вместе с плоскостью И вокруг оси Х на угол ϕ взаимосвязь систем координат имеет вид (рис. 1.10 в): Х0 = Х + pϕ; У0 = У cosϕ − Z sinϕ; Z0 = Z cosϕ + У sinϕ. Для получения уравнения контакта используем условие NV = 0. Определим векторы N, V . В системе ХУZ вектор единичной нормали N к плоскости И: N = i sin τ − K cos τ. Вектор скорости V точек плоскости И получим из уравнения обратного преобразования систем координат, определяющего положение произвольной точки М (Х, У, Z): Х = Х0 − pϕ; У = У0 cosϕ + Z0 sinϕ; Z = Z0 cosϕ − У0 sinϕ. (обратный переход соответствует повороту осей в другую сторону, поэтому угол ϕ заменяется на −ϕ). 21 Рис. 1.10. Образование огибающей при винтовом движении плоскости dX dУ dZ + j +K , dϕ dϕ dϕ где dХ/dϕ = −p; dУ/dϕ = −У0 sinϕ + Z0 cos ϕ; dZ/dϕ = −Z0 sinϕ − У0 cosϕ. Тогда: V = i 22 Уравнение контакта: NV = −p sinτ + (Z0 sinϕ + У0 cosϕ) cosτ = 0. Учитывая значение У получаем: р tgτ = У. То есть, уравнение контакта определяет плоскость параллельную координатной плоскости ZX (рис. 10 б). Совместное рассмотрение полученного уравнения контакта и уравнения плоскости И дает характеристику Е, которая является линией пересечения плосZ = Хtgτ костей У = ptgτ. Линия пересечения плоскостей параллельна плоскости ZX и отстоит от нее на расстоянии рtgτ. Характеристика совершает винтовое движение и в неподвижной системе координат Х0У0Z0 будет формировать огибающую винтовую поверхность. Учитывая взаимосвязь систем координат и уравнение характеристики получаем искомую поверхность X 0 = Х + pϕ; У 0 = ptgτ cos ϕ − Хtgτ sin ϕ; Z = Хtgτ cos ϕ + ptgτ sin ϕ. 0 Для определения формы полученной поверхности рассмотрим ее сечение плоскостью Х0 = Х + pϕ = 0 ⇒ Х = −pϕ. Тогда: У0 = p tgτ (cosϕ + ϕ sinϕ); Z0 = p tgτ (sinϕ − ϕ cosϕ). Эти уравнения определяют эвольвенту окружности в параметрической форме, при радиусе основной окружности r0 = p tgτ, что иллюстрирует рис. 1.10 г). При повороте плоскости И вокруг оси Х, вместе с плоскостью вращается характеристика Е. Точка А0 характеристики Е описывает при этом в плоскости У0Z0 эвольвенту. На рис. 1.10 г указаны координаты точки А при повороте характеристики вместе с плоскостью на угол ϕ. Координаты совпадают с полученными выше описанным способом. Таким образом, при винтовом движении плоскости Д создается огибающая в форме эвольвентной винтовой поверхности, параметр которой Р, а радиус основного цилиндра r0 = p tgτ. Контрольные вопросы 1. Функции режущей части инструмента. 2. Что такое идеальный процесс формообразования? 3. Может ли соответствовать реальному процессу резания номинальная поверхность детали? 4. Есть ли отличия производящих линий от направляющей и образующей? 5. Определите ИИП по отношению к профилирующим режущим кромкам инструмента и кинематике относительного движения. 23 6. Что такое движение поверхности “самой по себе”? 7. Способы формообразования номинальной поверхности детали. 8. Что такое уравнение поверхности? 9. Определите цилиндрическую поверхность и поверхность вращения. 10. Чем отличаются правая и левая винтовые линии? 11. Способы задания поверхностей. 12. Основа преобразования систем координат. 13. Что такое семейство линий? 14. Как аналитически определяется огибающая к семейству линий? 15. Когда используется кинематический метод определения огибающей? 16. Как выражается условие контакта? 17. Как получить уравнение контакта? 18. Почему при винтовом движении плоскости образуется эвольвентная винтовая поверхность? 2. УСЛОВИЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ На практике встречаются случаи, когда невозможно обработать резанием заданную поверхность. Могут наблюдаться явления подрезания профиля, когда срезается часть материала детали, или обратное явление, когда часть припуска остается несрезанной. Например, при фрезеровании шлицевых валов червячными фрезами у основания шлица образуется так называемая переходная кривая, т.е. часть материала заготовки оказывается несрезанной. При нарезании зубчатых колес червячными фрезами, долбяками и другими инструментами может наблюдаться подрезание ножки или срез вершины зубьев. Предотвращение или уменьшение до допустимых пределов указанных явлений является важнейшей задачей при проектировании инструмента. Это возможно, если будут выполнены некоторые условия правильного формообразования поверхности. 2.1. Условие существования ИИП Для формирования детали необходимо, чтобы в процессе обработки все точки ее поверхности хотя бы один раз соприкасались с точками ИИП. Поэтому условие существования ИИП − первое необходимое условие формообразования поверхности детали при обработке резанием. Как было указано ранее, ИИП находится как огибающая некоторого семейства поверхностей. Но не во всех случаях к заданному семейству кривых или поверхностей можно провести огибающую. Рассмотрим семейство кривых, заданных уравнением 24 F(Х,У,С) = У − Х − С = 0. Частная производная dF/dC = −1. Для существования огибающей необходимо выполнение условия dF/dC = 0, что в данном случае невозможно. Следовательно, огибающий профиль не существует. Также невозможно построить огибающий профиль к семейству кривых, заданному уравнением Х2 + У2 − С2 = 0. В этом случае dF/dC = −2C, отсюда С = 0. Тогда из уравнения семейства получаем: У = Х −1. Отсюда следует, что огибающий профиль не существует. Для существования огибающей, определяющей ИИП, необходимо, чтобы, нормали N к поверхности детали во всех ее точках хотя бы один раз за время обработки были перпендикулярны к скорости V движения поверхности детали относительно инструмента. Другими словами, необходимо выполнение условия контакта точек поверхности детали с соответствующими точками поверхности инструмента: NV = 0 . Положение нормалей N к поверхности детали при заданной ее форме в любой точке является вполне определенным. Изменить положение нормалей без изменения формы детали нельзя. Поэтому при выбранной схеме обработки влиять на условие контакта можно путем изменения направления скорости V движения поверхности детали относительно инструмента. Изменить направление скорости в различных точках поверхности детали можно изменением параметров установки детали на станке либо изменением скоростей движений, совершаемых инструментом и заготовкой при сложных схемах обработки. Например, рассмотрим схему обработки плоскости, считая, что движение ее относительно инструмента является вращением вокруг постоянной оси. Если ось вращения расположить в рассматриваемой плоскости, то скорость вращения любой точки плоскости вокруг оси будет перпендикулярна к плоскости (как и вектор нормали). Условие контакта NV = 0 не выполняется. Поэтому огибающей поверхности не будет, и обработать плоскость по рассмотренной схеме невозможно. Изменим расположение оси вращения. Считаем, что ось параллельна обрабатываемой плоскости и проходит на некотором расстоянии от нее. В этом случае вектор скорости V любой точки плоскости вокруг оси в определенный момент времени будет перпендикулярен нормали N к этой плоскости. Условие контакта выполняется и огибающая возможна. Данный случай соответствует фрезерованию плоскости цилиндрической фрезой. 2.2. Условие соприкосновения ИИП с обрабатываемой поверхностью без внедрения в тело детали В процессе обработки необходимо обеспечить соприкосновение ИИП инструмента и номинальной поверхности детали. Касание поверхности детали и инструмента может быть внешним и внутренним. При внешнем касании ИИП 25 инструмента находится вне тела детали. При внутреннем касании ИИП проходит в теле детали и при обработке будет вырезать на детали соответствующие ее части. В этом случае правильная обработка детали становится невозможной. Условие правильного соприкосновения ИИП и поверхности детали без их взаимного внедрения является вторым условием формообразования. При соприкосновении выпуклых профилей (рис. 2.1 а) внедрения не будет при любых радиусах кривизны детали r и инструмента R (при правильной настройке станка). Если выпуклый профиль соприкасается с вогнутым (рис. 2.1 б), то внедрение профилей не произойдет, когда радиус кривизны r вогнутого профиля будет больше радиуса кривизны R выпуклого. Рис. 2.1. Внешнее касание профилей Таким образом, для определения характера соприкосновения сопряженных профилей в соответствующих секущих плоскостях, необходимо знать радиусы кривизны профилей. Из курса математического анализа известно, что при задании кривой различным образом радиус кривизны r определяется по зависимостям: У = f ( Х) Х = f1 ( t ) У = f 2 ( t ) ρ = f (θ ) ⇒ ⇒ ⇒ r= dУ 2 r = 1 + dХ r= 3/ 2 d 2У / ; dХ 2 dХ 2 dУ 2 + dt dt dХ dt d2Х dt 2 [(dρ/dθ ) 2 ( 3/ 2 ; dУ dt d 2У dt 2 − ρ2 ] 3/ 2 ) 2(dρ / dθ ) − ρ d 2 ρ / dθ 2 + ρ 2 2 26 . При обработке некоторых поверхностей внешнее касание может переходить во внутреннее (что недопустимо). Поэтому границей возможного участка обработки на поверхности детали будет точка перехода видов касания. Эта точка называется точкой возврата. Рассмотрим это явление на примере соприкосновения эвольвентного профиля зуба колеса и боковой стороны инструментальной рейки (рис. 2.2). Рис. 2.2. Подрезание ножки зуба колеса Известно, что при обработке по методу обката относительное движение детали и инструмента сводится к мгновенному вращению вокруг полюса зацепления. Поэтому при выполнении условия контакта нормаль в точках контакта проходит через полюс зацепления. И при зубонарезании линия зацепления является линией контакта (характеристикой) сопряженных профилей. Уравнение эвольвентного профиля в параметрическом виде имеет вид: Z = R0 sinϕ − R0 ϕ cosϕ; У = R0 cosϕ + R0 ϕ sinϕ. Особая точка эвольвенты определяется из условий: dZ = R0 cosϕ − (R0 cosϕ − R0 ϕ sinϕ) = R0 ϕ sinϕ = 0, dϕ dУ = −R0 sinϕ + (R0 sinϕ + R0 ϕ cosϕ) = R0 ϕ cos ϕ = 0. dϕ Из этих уравнений следует ϕ = 0. И координатами особой точки будет: Z = 0; y = R0, т.е. особая точка эвольвенты лежит на основной окружности. Если в положениях 1, 2, 3 рейки наблюдается внешнее касание с зубьями колеса, то в положении 4 происходит касание в граничной точке, положении 5 − внутреннее касание. Точка контакта в положении 4 является точкой возврата. 27 2.3. Условие пересечения смежных участков ИИП Поверхности реальных деталей ограничены участками различных поверхностей. ИИП инструмента также будет состоять из участков, сопрягаемых с соответствующими участками поверхности детали. Смежные участки ИИП могут пересекать друг друга, соприкасаться или отстоять друг от друга на некотором расстоянии. При пересечении различных участков ИИП воспроизвести их полностью в инструменте становится невозможно. Наличие срезанных участков исходной инструментальной поверхности обуславливает появление на детали переходных поверхностей. Так, при обработке концевой фрезой поверхности вращения (рис. 2.3) ИИП фрезы И1, И2 являются огибающими участков детали Д1, Д2. Смежные участки ИИП пересекают друг друга по окружности, поэтому полностью их воспроизвести невозможно. В результате на поверхности детали при непересечении осей инструмента и детали образуется переходная кривая mn. Если ось инструмента будет пересекать ось детали, то смежные участки ИИП будут соприкасаться друг с другом. Характеристики (линии соприкосновения инструмента и детали Е1, Е2) не будут претерпевать разрыва и будет обеспечена обработка поверхности детали без переходных кривых. То есть, получение заданной формы детали определяется во многом установкой инструмента относительно детали. Отмеченные условия формообразования являются важнейшими, часто приводят к неоднозначным решениям. Поэтому из совокупности возможных инструментов необходимо будет выбрать наилучший, который обеспечит высокую производительность при минимальной себестоимости. И задачи формообразования связаны, таким образом, с оптимизационными. Влияние условий формообразования рассмотрим на простейших примерах инструментального производства. 28 Рис. 2.3. Образование переходной кривой 2.4. Определение диаметра цилиндрического круга при шлифовании конического отверстия Рассмотрим шлифование конического отверстия цилиндрическим кругом. Считаем, что оси детали и инструмента пересекаются и лежат в одной плоскости. Тогда ИИП будет круглый цилиндр, каcающийся номинальной конической поверхности вдоль образующей, которая одновременно будет являться и характеристикой АВ (рис. 2.4). Характер соприкосновения рассматриваемых поверхностей проанализируем в сечениях: N–N, перпендикулярном к характеристике, и I–I, перпендикулярном к оси конической поверхности. В этих сечениях определяются радиусы кривизны поверхностей. Радиус кривизны цилиндрического круга постоянный, а радиус кривизны конической поверхности уменьшается от точки А к точке В. Рассмотрим два сечения конической поверхности: N–N, проходящее через точку пересечения осей, и I–I, проходящее через точку М сечения N–N. Это граничные сечения по условию обеспечения внешнего касания. Радиус кривизны конической поверхности в сечении I–I соответствует радиусу r. Это сечение является наклонным по отношению к сечению N–N. В соответствии с теоремой Менье радиус кривизны поверхности в наклонном сечении равен проекции на это сечение радиуса кривизны нормального сечения. В нормальном сечении N–N радиус кривизны конической поверхности совпадает с радиусом кривизны цилиндрического круга (rN = R). Поэтому можно записать r = rN cos ε, где ε − угол между рассматриваемыми сечениями (в данном случае половина угла конической поверхности). 29 Рис. 2.4. Формообразование конуса цилиндрической ИИП В граничной точке М радиус кривизны конической поверхности в сечении N–N равен радиусу кривизны цилиндрического круга. От точки А до точки М радиус кривизны конической поверхности (являющейся вогнутой поверхностью), больше радиуса кривизны цилиндрической поверхности круга (выпуклой поверхности). Наблюдается внешнее касание и формообразование этого участка возможно. От точки М до точки В радиус кривизны конической поверхности меньше радиуса кривизны цилиндрической поверхности. Наблюдается внутреннее касание и правильное формообразование этого участка невозможно. Точка М − точка возврата. Для правильной обработки всей конической поверхности радиус шлифовального круга не должен превышать величины R ≤ rmin / cos ε, где rmin − наименьший радиус конической поверхности. 2.5. Определение диаметра шлифовального круга при заточке зубьев протяжек Заточку зубьев круглых, шлицевых, гранных и т.п. протяжек ведут по передней поверхности, которая является вогнутой конической поверхностью. Заточку осуществляют выпуклой конической поверхностью шлифовального круга. Радиусы кривизны указанных поверхностей – переменные, и для правильного формообразования передней поверхности зуба протяжки необходимо обеспечить условие внешнего касания. При заточке желательно использовать круг как можно большего радиуса. Это улучшает процесс резания, т.к. увеличивается скорость резания и уменьшается осыпание круга, повышается качество обработанной поверхности. На рис. 2.5 представлена расчетная схема определения наибольшего допустимого диаметра шлифовального круга. 30 Рис. 2.5. Формообразование передней поверхности зуба протяжки Для обеспечения линейного контакта по образующей АВ конических поверхностей оси круга и протяжки должны лежать в одной плоскости. Заданная величина переднего угла γ обеспечивается углом установки ψ оси шлифовального круга: ψ = γ + β, где β − угол профиля круга. Взаимное расположение соприкасающихся профилей рассмотрим в плоскости N–N, перпендикулярной образующей АВ, проведенной в точку В перехода от прямолинейного к радиусному участку профиля зуба протяжки. В этой точке радиус кривизны конической поверхности зуба – наименьший, а у шлифовального круга − наибольший. При выполнении условия внешнего касания в этой точке во всех остальных точках передней поверхности он выполняется автоматически. При предельно допустимом диаметре шлифовального круга оси круга, протяжки и след плоскости N–N пересекаются в одной точке. Радиус кривизны поверхности зуба протяжки в этом сечении по теореме Менье rN = r/cos ε1 = r/sin γ, где r − радиус кривизны передней поверхности зуба в сечении I–I; ε1 − угол между плоскостями N–N и I–I (ε1 = 90 − γ). Радиус кривизны поверхности инструмента в этом же сечении 31 RN = R/cos ε2 = R/cos (90 − β) = R/sin β = R/sin (ψ − γ), где R − радиус кривизны инструмента в сечении II–II. В предельном случае для обеспечения условия внешнего контакта радиусы кривизны профиля детали и инструмента должны быть равны друг другу r/sin γ = R/sin (ψ − γ). Максимально допустимый размер шлифовального круга, который может обеспечить обработку без подрезания заданной конической поверхности, определим по зависимости R≤r sin(ψ − γ ) . sin γ C учетом некоторого запаса диаметр шлифовального круга в зависимости от диаметра D1 первого зуба протяжки окончательно принимают: Dкр ≤ 0,85D1 sin β . sin γ При правильно выбранном диаметре шлифовального круга и правильной его установке следы обработки располагаются по концентрическим окружностям. Если диаметр круга больше расчетного, то происходит подрезание профиля, а следы обработки образуют сетку, режущие кромки зубьев протяжки получаются неровными, что снижает работоспособность протяжки. Пример. Затачивается протяжка ∅ 30 мм, γ = 10°, угол профиля круга β = 30°. Определить допустимый диаметр круга. sin β sin 30o = 73,3 (мм). = 0,85 ⋅ 30 Dкр ≤ 0,85 D1 sin γ sin 10o Оценим скорость резания при работе таким кругом: Vк р = πD к р n 1000 ⋅ 60 = 3,14 ⋅ 73,3 ⋅ 3000 ≈ 12 м/с. 1000 ⋅ 60 Нормальная скорость резания при шлифовании – ≈ 30 м/с. Поэтому при заточке протяжек малых диаметров стараются максимально увеличить угол профиля круга β и уменьшить величину переднего угла (если это возможно). 2.6. Переходная кривая при фрезеровании 32 прямобочного шлицевого вала Прямобочные шлицевые валы широко используют в различных узлах и механизмах. Они обладают достаточно высокой несущей способностью и технологичны в изготовлении. Точность базирования при использовании таких валов достигается использованием различных поверхностей: наружного или внутреннего диаметра, боковых сторон шлицев. При изготовлении вала по методу обката червячной фрезой без модификации зуба затруднительно использовать базирование по внутреннему диаметру шлицевого вала. Это связано с образованием переходной кривой в основании шлица. При этом уменьшается полезная высота шлица. Образование переходной кривой связано с пересечением ИИП1 и ИИП2, формообразующих боковые стороны шлицов и дна впадины (рис. 2.6). Рис. 2.6. Переходная кривая шлица Величина переходной кривой зависит от размеров шлицевого вала и характеристики. Определим величину переходной кривой. На рис. 2.7 а представлена схема образования переходной кривой в процессе формообразования впадины шлицевого вала. Головка зуба фрезы касается внутренней окружности Ri шлицевого вала. За счет угла подъема витков головка зуба перемещается параллельно начальной прямой. Граничная точка С правильного профилирования боковой стороны шлица находится на пересечении нормали РС, опущенной из полюса зацепления на боковую сторону (в соответствии с условием контакта) и траектории перемещения головки зуба фрезы. Таким образом, АС − полезная высота щлица. Отрезок АС = А1С1, а глубина шлицевого вала А1m. Поэтому С1m = А1m − А1С1 является высотой переходной кривой. 33 Рис. 2.7. Определение размеров переходной кривой (а) и высоты “усика” (б) Обозначим координаты точки С от полюса зацепления Хс, Ус и запишем: С1m = Rc − Ri; 2 2 R c = Ri + Х c ; Xc = PС cos βc = (Rн sin βc − a) cos βc; Уc = PС sin βc = (Rн sin βc − a) sin βc = Rн − Ri, 2 2 где R н = R е − 0,75a . Величина У с известна, поэтому можно определить угол βс: Rн sin2 βc − a sin βc − У с = 0 ⇒ sin β c = a ± a 2 + 4R н У с 2R н . Зная угол βс, определяем последовательно Хс, Rс, С1m. Если шлицевое сопряжение осуществляется с базированием по внутреннему диаметру, то вся высота шлица должна быть прямолинейной. Но переходной кривой при нарезании червячной фрезой избежать нельзя. Однако в этом случае ее размещают в теле вала. Для этого зубья фрезы должны иметь так называемую модификацию в виде “усиков” (рис. 2.7 б). 34 Схема образования переходной кривой такой же как и в первом случае. соответствии с расчетной схемой (рис. 2.7 б) запишем: В С1m = Ri (1 − cos ϕc); ϕc = βc − αc; sin αc = a/Ri; cos β c = Ri cos α c . Rн Для иллюстрации изложенного рассмотрим численный пример. Определить величину переходной кривой и необходимую величину “усика” для условий: Rе = 30 мм; b = 2а = 10 мм; Ri = 22 мм. В соответствии с изложенным алгоритмом последовательно определяем: 30 2 − 0,75 ⋅ 52 = 29,686 мм; Rн = У с = 29,686 − 22 = 7,686 мм; 5 + 52 + 4 ⋅ 29,686 ⋅ 7,686 = 0,6 (βс = 36,87°); sin βc = 2 ⋅ 29,686 cos βc = 0,80; Rс = Х с = (29,686 ⋅ 0,6 − 5) ⋅ 0,8 = 10,25 мм; 10,252 + 22 2 = 24,27 мм; С1m = 24,27 − 22 = 2, 27 мм. Полученная величина переходной кривой составила около 30% высоты шлица. Определим необходимую высоту “усика” зуба червячной фрезы: sin αc = 5 = 0,23 (αс = 13,14°); 22 Cos βc = cos αc = 0,974; 22 0,974 = 0,722 (βс = 43,80°); 29,686 ϕс = 43,80° − 13,14° = 30,66°; cos ϕс = 0,86. С1m = 22 (1 − 0,86) = 3,08 мм. Ширину “усика” выполняют как можно большей, но это увеличивает ширину канавки в основании шлица и уменьшает площадь посадки. Соединение “усика” со средней частью зуба производится по фаске с углом 45° (рис. 2.7 б). Недостатком фрез с “усиками” является их меньшая стойкость из-за довольно быстрого затупления по “усику”. 35 2.7. Типы задач при профилировании инструмента Целью механической обработки является получение требуемой формы и размеров детали. Поэтому при проектировании инструмента вопросы получения заданной формы детали в ряде случаев являются основными. Это связано с тем, что форма и размеры инструмента в большинстве случаев не совпадают с формой и размерами детали. Определение формы и размеров инструмента называется профилированием. Различают прямую и обратную задачу профилирования. Прямая задача заключается в нахождении профиля инструмента при заданном профиле детали. Обратная задача состоит в нахождении профиля детали при известном профиле инструмента. Прямая задача решается во всех случаях при проектировании инструмента с профилем, отличным от профиля детали. Обратная задача решается в следующих случаях. 1. Если при принятой схеме формообразования нельзя получить полностью заданный профиль, то какие-то участки профиля детали получаются с другими размерами или формой. В этом случае определяются фактические размеры профиля детали. Примером являются участки переходных кривых при обработке зубчатых колес, шлицевых валов и т.п. обкаточными инструментами. 2. Проверяется возможность использования имеющегося инструмента для обработки заданной детали. Примером могут служить угловые или концевые фрезы с прямолинейным профилем при использовании их для получения фасонного профиля, например, винтовых канавок сверла, зенкера, фрезы и т.п. 3. При решении прямой задачи специальными методами. Контрольные вопросы 1. Как выражается условие существования ИИП? 2. Что такое внешнее и внутреннее касание? 3. В каком случае может возникнуть внутреннее касание? 4. Что такое точка возврата? 5. К чему приводит пересечение смежных участков ИИП? 6. Что ограничивает диаметр шлифовального круга при заточке зубьев протяжки? 7. К чему приводит неправильный выбор диаметра круга? 8. Почему образуется переходная кривая при фрезеровании шлицевого вала червячной фрезой? 9. Основные задачи при профилировании инструмента. 36 3. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ПРОФИЛИРОВАНИЯ Задача проектирования инструмента для обработки заданной поверхности детали неоднозначна. Можно спроектировать различные инструменты, которые обеспечат обработку заданной детали. Естественно, что эффективность возможных инструментов будет различна. На данном этапе мы не касаемся этого вопроса, а рассмотрим только принципиальную возможность различных вариантов обработки заданной поверхности. Общая схема проектирования возможных режущих инструментов включает следующие этапы: 1. Определение ИИП, сопряженной с поверхностью детали при выбранной схеме обработки, т.е. при известных движениях инструмента и заготовки, совершаемых в процессе формообразования. 2. Превращение тела, ограниченного исходной поверхностью, в реальный режущий инструмент. Возможные типы ИИП находят путем последовательного рассмотрения различных схем обработки. В случае, если схема обработки связывается со станком, где будет вестись обработка, задача значительно упрощается. Но при необходимости станок подвергается модернизации с целью обеспечить выбранную схему обработки. Для выбранной схемы обработки определяется ИИП. Если проектируется шлифовальный круг, то у него полностью воспроизводится ИИП и проектирование инструмента заканчивается на этом этапе. При проектировании лезвийного инструмента, у которого ИИП воспроизводится как совокупность ограниченного числа режущих кромок, необходимо обеспечить высокую стойкость и технологичность конструкции, удобство эксплуатации, возможность восстановления режущих свойств и т.п. Поэтому для найденной ИИП решается задача определения формы и размера режущей части, схемы резания. Указанные задачи являются неоднозначными, что и определяет многообразие возможных решений. 3.1. Кинематические схемы резания (схемы обработки) Формообразование поверхности детали происходит при определенных относительных движениях инструмента и заготовки. Движения, определяющие форму обработанной поверхности, называют схемой обработки. Схемы обработки были разработаны академиком Г.И. Грановским (“кинематические схемы резания” по определению автора). Схема обработки выражает абсолютные движения, сообщаемые в процессе резания инструменту и заготовке механизмом станка. Движения холостых ходов, когда инструмент и заготовка не соприкасаются друг с другом, в принципиальную кинематическую схему резания не включаются. 37 Все принципиальные кинематические схемы резания основаны на сочетаниях прямолинейно-поступательного и вращательного движений. В зависимости от количества используемых движений в кинематической схеме резания схемы обработки классифицируются по группам. Первая группа включает одно прямолинейное движение. Движение может осуществляться в различном направлении (вертикальное, горизонтальное, наклонное) и сообщаться либо заготовке, либо инструменту. В этом проявляется разнообразие вариантов, определяющих различное оборудование и отличающихся, главным образом, компановкой отдельных узлов. Вторая группа включает два прямолинейных движения, которые можно сообщить как инструменту, так и изделию. Результирующим движением будет также равномерное прямолинейное движение, направление которого зависит от направления и величины скоростей составляющих движений. Примером служит разрезка металлов ленточными пилами, ножовками. Третья группа основана на одном вращательном движении инструмента или заготовки. Имеет ограниченное применение, например, при круговом протягивании сегментов на вращающемся столе. Четвертая группа выражает сочетание прямолинейного и вращательного движений. Имеет очень широкое применение: точение, фрезерование, сверление, нарезание резьбы резцами, метчиками и т.п. Пятая группа основана на сочетании двух вращательных движений. Например, фрезерование тел вращения. Шестая группа − сочетание двух прямолинейных и одного вращательного движений. Седьмая группа − сочетание двух вращательных и одного прямолинейного движений. Восьмая группа − сочетание трех вращательных движений. К этим группам относятся затылование режущих инструментов с винтовым расположением режущих лезвий, фрезерование винтовых канавок, зубодолбление цилиндрических зубчатых колес, нарезание конических зубчатых колес с круговым зубом резцовыми головками и др. При выбранной схеме резания, т.е. при известных относительных движениях заготовки и инструмента, необходимо распределить движения между ними. При одной и той же схеме формообразования могут быть образованы различные кинематические схемы резания. Так, сверление, строгание, протягивание могут реализоваться при различных сочетаниях движений инструмента и заготовки. Это обусловит различный характер действующих сил, потребует различной компановки оборудования. Каждая схема резания имеет свои возможности формирования той или иной поверхности. Кинематические схемы резания не тождественны принципиальным кинематическим схемам станка. Они не включают холостых циклов, движений управления, вспомогательных движений транспортировки и зажима заготовки, установки, подвода и отвода инструмента и т.п. То есть кинематическая схема станка, в первую очередь, учитывает схему формообразования, но дополняется введением вспомогательных движений. 38 3.2. Профилирование режущих инструментов для обработки фасонных цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения При обработке фасонных цилиндрических поверхностей (канавки и отверстия фасонного профиля), а также поверхностей вращения широкоеприменение находят фасонные резцы, протяжки, фрезы. При обработке цилиндрических поверхностей скорость прямолинейно-поступательного относительного движения направлена вдоль образующей цилиндрической поверхности детали. В результате движения подачи происходит периодическое углубление инструмента в материал заготовки (у протяжек движение подачи определено конструкцией инструмента). Формирование поверхности детали происходит в момент выхода режущей кромки на поверхность детали. В этот момент движение подачи прекращается, а ИИП совпадает с поверхностью детали, так как прямолинейно-поступательное движение резания приводит к скольжению цилиндрической поверхности детали “самой по себе”. Профилирование такого инструмента будет заключаться в проведении коррекционного расчета для определения необходимой глубины профиля фасонного инструмента. При прямолинейном профиле цилиндрической поверхности профиль резца будет также прямолинейным. При обработке поверхностей вращения проектируются радиальные фасонные резцы. Здесь также в момент окончания обработки и формирования поверхности детали движение поперечной подачи выключается. В результате вращения вокруг оси поверхность вращения детали будет скользить “сама по себе”, а ИИП совпадает с поверхностью детали. 3.3. Профилирование многогранных протяжек В машиностроении широко применяют многогранные отверстия, практически единственным способом изготовление которых является протягивание. Многогранное отверстие относится к фасонной цилиндрической поверхности. При проектировании гранных протяжек обычно используют генераторную схему резания, т.к. в этом случае конструкция протяжки получается более технологичной. Однако при этом возникает проблема создания на режущем лезвии вдоль вспомогательной режущей кромки вспомогательного заднего угла. В настоящее время вспомогательные задние углы на многогранных протяжках обеспечивают следующими способами. Стандартные многогран- ные протяжки в соответствии с техническими требованиями на их изготовление (например, ГОСТ 16492-70) по гранным поверхностям имеют обратную конусность, величиной не менее 0,01 мм (верхний предел не оговаривается и определяется конструктором в зависимости от допуска на обрабатываемую поверхность). Такое исполнение предотвращает заклинивание протяжки в отверстии, но практически не улучшает условий работы вдоль вспомогательной режущей 39 кромки. По другому способу вдоль каждой вспомогательной режущей кромки выполняют вспомогательный задний угол. Однако такое исполнение зубьев протяжки резко увеличивает трудоемкость изготовления и приближает конструкцию протяжки к конструкции с профильной схемой резания. Некоторые предприятия при изготовлении протяжки вдоль вспомогательной режущей кромки делают канавку (рис. 3.1). Рис. 3.1. Форма вспомогательных задних поверхностей зубьев гранных протяжек Однако, так как ширина канавки на зубьях протяжки переменна, не удается при произвольной форме канавки устранить полностью участки с нулевыми вспомогательными углами. Поэтому, улучшая конструкцию инструмента, и этот метод не обеспечивает достижение успеха. Поставленная задача (обеспечение задних углов на вспомогательных поверхностях) может быть достигнута обработкой вспомогательных поверхностей зубьев протяжки с поднятием заднего хвостовика, как это делается при шлифовании зубьев шлицевых протяжек. Тем самым, участки задней поверхности с нулевыми вспомогательными задними углами будут вырезаться. Но при этом необходимо определить взаимосвязь ИИП протяжки и инструмента второго порядка, формирующего вспомогательные задние поверхности зубьев. Протяжку можно представить как тело вращения, образующая которого проходит через главные режущие кромки зубьев. Свяжем с протяжкой, ось которой наклонена под углом ψ, систему координат Х, У, Z. Ось Z направим вдоль оси протяжки, ось Х – параллельно плоской грани протяжки (рис. 3.2). Начало координат расположим на оси зуба с диаметром, равным диаметру D1 вписанной окружности многогранника. 40 Рис. 3.2. Расчетная схема гранной протяжки ИИП протяжки является поверхностью вращения переменного радиуса,в каждом сечении является окружностью и описывается уравнением Х2 + У2 = r2 (Z), где r (Z) − функция, описывающая изменение радиусов зубьев протяжки вдоль ее оси; r (Z) = D1/2 при Z = 0; r (Z) = Dn/2 при Z = L; D1, Dn − соответственно диаметр вписанной и описанной окружности многогранника. Вспомогательные режущие кромки зубьев образуются при движении инструмента 2-го порядка в направлении, составляющем угол ψ с осью Z. При движении профилирующего инструмента вдоль вспомогательных задних поверхностей образуется цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной направлению движения. Свяжем с этим цилиндром систему координат Х1У1Z1. Начало координат О1 расположим на вершине зуба диаметром D1. Ось Z1 направим параллельно образующей цилиндрической поверхности, а ось Х1 − параллельно оси Х. Уравнение цилиндрической поверхности, образующей вспомогательную заднюю поверхность в системе координат Х1У1Z1, совпадает с уравнением образующей профиля инструмента 2-го порядка У1 = F (Х1). 41 Взаимосвязь введенных координатных систем имеет вид: Х1 = Х; У1 = (У − D1/2) cos ψ + Z sin ψ; Z1 = Z cos ψ − (У − D1/2) sin ψ. Линии пересечения ИИП протяжки и профиля инструмента 2-го порядка являются геометрическим местом вершин зубьев. Чтобы при протягивании формировалась заданная плоская грань отверстия, вершины гранных зубьев, а следовательно, и линия пересечения рассматриваемых поверхностей, должны находиться в плоскости У = D1/2 (рис. 3.3). Рис. 3.3. Профилирование прямолинейных вспомогательных задних поверхностей зубьев протяжек Учитывая значение величины У = D1/2 формулы преобразования координат, получают вид Х1 = Х; У1 = Z sin ψ; Z1 = Z cos ψ. Тогда взаимосвязь ИИП протяжки и профиля инструмента 2-го порядка имеет вид У 1 = F ( Х 1 ) = Z sinψ 2 2 r (Z ) = D1 / 4 + Х 1 . Полученная система уравнений содержит две неизвестные функции: F(Х1), r(Z). Задаваясь одной из них можно определить другую. Рассмотрим некоторые практические приложения изложенного. ИИП инструмента 2-го порядка должна быть технологичной. Практически это означает прямолинейную или радиусную его образующую. При прямолинейной образующей (рис. 3.3) уравнение образующей ИИП инструмента 2-го порядка принимает вид У1 = F(Х1) = Х1 ctg ϕ, 42 где ϕ − половина угла при вершине профиля: ϕ ≈ π/2 − ϕ1; ϕ1 − вспомогательный угол в плане на лезвии зуба протяжки, который определяет высоту микронеровностей поверхности и выбирается в диапазоне 3 ...5°. С учетом принятой формы вспомогательных задних поверхностей зубьев протяжки можно записать F(Х1) = Х1 ctg ϕ = Z sin ψ. 2 2 2 2 Тогда r(Z) = D 1 / 4 + Z sin ψtg ϕ . Учитывая граничное значение величины r (Z), определяем sin ψ и величину подъема гранной части: Dn/2 = 2 D 1 / 4 + L2 sin 2 ψtg 2 ϕ ; sin2 ψ = (Dn2 − D12)/(4L2 tg2 ϕ); 2 C = L sin ψ = D n − D1 2 . 2tgϕ Тогда r2 (Z) = D12/4 + Z2 (Dn2 − D12)/4L2. Если шаг t зубьев по длине протяжки одинаков, то: Z = (i − 1)t; L = (n − 1)t, где i − порядковый номер рассматриваемого зуба; n − общее число зубьев на гранной части протяжки. Окончательно характер изменения диаметров Di зубьев определяется следующей закономерностью: 2 i − 1 2 2 2 2 D i = D1 + n − 1 (Dn − D1 ). Х2 У 2 − = 1 . Полученное уравнение является уравнением гиперболы b2 a2 В нашем случае можно записать Di 2 D1 2 − (i − 1) 2 D 12 D n 2 − D 12 43 (n − 1) = 1. 2 Пример. Оценить величину вспомогательного заднего угла зуба протяжки и величину подъема гранной части, обрабатывающей квадратное отверстие с диаметром вписанной окружности 25 мм. Длина гранной части протяжки 500 мм; ϕ = 85°. В соответствии с вышеизложенным определяем: 2 2 Dn ≅ 2D1 ; 2 ⋅ 252 − 252 sin ψ = = 0,002143; 2 ⋅ 500 ⋅ tg85o αос = ψ = 0,122°; С = 500 ⋅ 0,002143 = 1,17 мм. Приведенный расчет показывает, что величина подъема гранной части протяжки оказывается намного больше, чем допуск на профиль поверхности, что будет способствовать улучшению условий резания и стойкости инструмента. Если профиль круга радиусный с величиной радиуса ρ, то его профиль в системе координат Х1У1Z1 имеет вид (рис. 3.4). Рис. 3.4. Радиусная форма вспомогательных задних поверхностей По аналогии с вышеизложенным запишем: 2 2 У1 = F(х1) = ρ − ρ − Х1 = Z sinψ; r2(Z) = D12/4 + ρ2 − (Z sin ψ − ρ)2. Данное уравнение является уравнением эллипса. Рассмотрим обратную задачу. Если протяжка имеет прямолинейную образующую (равномерный подъем зубьев), то определим форму образующей инструмента 2-го порядка: r(Z) = D1/2 + Z(Dn − D1)/2L; 44 D1 4 2 2 D1 + Х1 = + D1(Dn − D1)Z/2L + (Dn − D1)2 Z2/4L2; 4 2 2 Z1/2 = 2( D n − D 1 ) 2 / 4 L2 2 = 2 − D 1 ( D n − D 1 ) / 2 L ± D 1 ( D n − D 1 ) / 4 L2 + 4( D n − D 1 ) 2 Х1 / 4 L2 D 1 ± D 1 + 4 Х1 ( D n − D1 ) / L 2 2 ; F(Х1) = Z sin ψ = − D 1 ± D 1 + 4 Х1 ( D n − D1 ) / L = 2 sin ψ. Данное уравнение является уравнением гиперболы, которую на практике заменяют дугой окружности. Различные образующие режущей части протяжки обуславливают различную силу в процессе резания, шероховатость обработанной поверхности, длину протяжки. Выбор вида образующей необходимо проводить на оптимизационной основе, что мы и сделаем в соответствующем разделе дисциплины. 3.4. Профилирование фасонных фрез для обработки винтовой поверхности Профиль винтовой поверхности детали не совпадает с исходной поверхностью режущего инструмента. Поэтому ИИП профилирующего инструмента необходимо определить. Методика профилирования фрез для обработки винтовых поверхностей основана на анализе процесса формообразования поверхности детали. Фреза, вращаясь вокруг своей оси режущими кромками, образует ИИП. Линия касания поверхностей инструмента и детали является характеристикой. Поверхность детали образуется при винтовом движении характеристики, а поверхность инструмента будет являться поверхностью вращения характеристики вокруг оси фрезы. Известными при профилировании считается форма и размеры профиля винтовой поверхности, угол между осями заготовки и фрезы, межосевое расстояние. Профиль винтовой поверхности может быть задан в различных сечениях: торцевом, осевом, нормальном. При большом осевом шаге винтовой поверхности обычно задается торцевое сечение (сверла, концевые фрезы и т.п.). При малом осевом шаге (резьбовые соединения) предпочтение отдается осевым сечениям. Сечения взаимосвязаны между собой и можно переходить из одного в другое. Ось фрезы относительно оси детали может быть расположена под различным углом. Вследствие этого образуются различные ИИП и соответственно различные типы фрез: концевые, торцевые, дисковые. Наибольшее применение при обработке винтовых поверхностей нашли дисковые фрезы. 45 Свяжем с деталью систему координат ХУZ (рис. 3.5). Начало координат и ось Z на оси винтовой поверхности. Считаем, что профиль винтовой поверхности задан в осевом сечении У = 0; R = Х =f(Z). Для произвольной точки М0 (Z0, Х0) определим угол наклона ε0 касательной к профилю tg ε0 = f ′ ( Z). Z= Z0 Рис. 3.5. Профилирование дисковой фрезы для обработки винтовой поверхности Систему координат ХuУuZu свяжем с инструментом. В исходном положении ось Хu направим по оси Х, ось Zu − по оси инструмента. Взаимосвязь систем координат: Хu = Х − А; Уu = У cos τ + Z sin τ; Zu = Z cos τ − У sin τ, где τ − угол cкрещивания осей инструмента и детали; А − межосевое расстояние инструмента и детали. Любая точка заданного профиля, совершая винтовое движение, описывает винтовую линию, расположенную на винтовой поверхности детали. Рассмотрим винтовое движение произвольновыбранный точки М0. При повороте точки М0 вокруг оси детали на угол δ она переместится также вдоль оси детали на величину ∆ = ρ δ и ее координатами будут: Х = f(Z0) cos δ; У = f(Z0) sin δ; Z = Z0 + ρ δ. 46 Радиус вектор точки М, проведенный из начала координат детали, r = i f(Z0) cos δ + j f(Z0) sin δ + к (Z0 + ρ δ) = f(Z, δ). Полученные выражения определяют уравнение винтовой поверхности в параметрической и векторной форме. Оно является функцией двух переменных: Z, δ. Поверхность дискового инструмента является поверхностью вращения характеристики вокруг его оси (Zu). Уравнение характеристики определяется через уравнение контакта, которое в векторной форме имеет вид NV = 0. Для определения вектора N нормали к винтовой поверхности определим вспомогательные векторы B и C , касательные к винтовой поверхности в точке М0: B = d r /dZ; C =d r /dδ. Учитывая, что f′(Z0) = tg ε0, f(Z0) = Х0, запишем: B = i tg ε0 cos δ + j tg ε0 sin δ + к ; C = i Х0 sin δ + j Х0 cos δ + к ρ. Векторы B , C в рассматриваемой точке М0 лежат в разных направлениях, но в одной плоскости касательной к винтовой поверхности. Поэтому вектор N нормали к винтовой поверхности определится из векторного произведения N = B × C. Векторное произведение векторов, заданное своими проекциями на оси координат, запишем через определитель i N = tgε 0 cos δ -Х 0 sin δ j tgε 0 sin δ Х 0 cos δ к 1. ρ Раскрываем определитель: N = i (ρ tg ε0 sin δ − Х0 cos δ) − − j (ρ tg ε0 cos δ + Х0 sin δ) + к Х0 tg ε0. Для определения вектора V скорости относительно движения во внимание примем следующее обстоятельство. При формообразовании винтовой поверхности детали ее относительное движение сводится к вращению вокруг оси инструмента. Это объясняется тем, что при винтовом движении подачи винтовая поверхность детали скользит “сама по себе” и при определении исходной поверхности инструмента может не учитываться. В результате вращения вокруг оси фрезы винтовая поверхность детали занимает ряд последовательных положений, огибающая к которым и будет исходной инструментальной поверхностью вращения. Поэтому V = ω × ρ, 47 где ω , ρ − соответственно векторные угловая скорость и радиус-вектор относительного вращения рассматриваемой точки вокруг оси Zu. Считаем, что модуль угловой скорости вращения ω = 1. Так как вектор N записан в системе координат детали, то и ω , ρ должны быть заданы в той же системе координат. Определим их: ω = − j sin τ + к cos τ; ρ = r − А = i (Х0 cos δ − A) + j Х0 sin δ + к (Z0 + ρ δ). Скорости точек винтовой поверхности детали при их вращении вокруг оси Zu определяются i j − sin τ V = [ω × ρ ] = 0 (Х 0 cosδ − A ) Х 0 sin δ к = cosτ Z0 + ρδ = i [− sin τ (Z0 + ρ δ) − Х0 sin δ cos τ] + j cos τ (Х0 cos δ − A) + + к sin τ (Х0 cos δ − A). Уравнение контакта NV = 0 для рассматриваемой точки М0 (ρ tg ε0 sin δ − Х0 cos δ) [− sin τ (Z0 + ρ δ) − Х0 cos τ sin δ ] − − (ρ tg ε0 cos δ + Х0 sin δ) cos τ (Х0 cos δ − A) + Х0 tg ε0 sin τ × × (Х0 cos δ − A) = −ρ δ sin τ (ρ tg ε0 sin δ − Х0 cos δ) − −Z0 sin τ (ρ tg ε0 sin δ − Х0 cos δ) − ρ Х0 tg ε0 cos τ + + tg ε0 cos δ (A ρ cos τ + Х02 sin τ) + A Х0 (sin δ cos τ − tg ε sin τ) = 0. Это уравнение является трансцендентным относительно искомого параметра δ. Решить его можно одним из численных приближенных способов: методом хорд, касательных или итераций. Для этого уравнение записывается относительно δ: 2 tgε cos δ ( Aρ cos τ + Х 0 sin τ ) − ρХ 0 tgε cos τ + AХ 0 (sin δ cos τ − tgε sin τ ) z 0 . δ= − ρ ρ sin τ(ρtgε sin δ − Х 0 cos δ ) Определив угол контакта δ, рассчитывают координаты точки контакта на поверхности детали и по формулам преобразования координат − в системе ХиУиZи. Вращая точку контакта вокруг оси инструмента, получаем точку инструментальной поверхности. Таким образом, профиль ИИП вращения, сопряжен- 48 ный с винтовой поверхностью детали, можно рассчитывать по следующему алгоритму: 1. На заданном профиле винтовой поверхности детали выбирают ряд точек с координатами Zi, Xi. Определяют угол наклона касательных в этих точках εi. 2. Для выбранных точек профиля по уравнению контакта определяют углы контакта δi. 3. Находят характеристику (линию контакта) на винтовой поверхности детали, определяя координаты ее точек: Х = Хi cos δi; У = Хi sin δi; Z = Zi + ρ δi. 4. По формулам преобразования координат определяют точки характеристики в системе ХиУиZи, связанной с инструментом: Хи = Х − A; Уи = У cos τ + Z sin τ; Zи = Z cos τ − У sin τ. 5. Рассчитывают профиль исходной инструментальной поверхности вращения характеристику вокруг оси Zи инструмента, определяя координаты профиля: ZИИП = Z И ; ХИИП = 2 2 Х И +УИ . 3.5. Параметры установки дисковых инструментов при обработке винтовых поверхностей В предыдущем пункте мы считали, что положение оси дискового инструмента (угол τ) нам известно. В действительности это не так. Положение оси дискового инструмента должно быть выбрано. Особенно, если обрабатывается винтовая поверхность режущего инструмента. При этом, в первую очередь, необходимо правильно обработать участок профиля стружечной канавки, оформляющий переднюю поверхность зубьев. Кроме того, желательно получить эквидестантное расположение следов обработки по передней поверхности режущего лезвия (особенно на операциях заточки). Указанные условия можно обеспечить, если использовать установку оси дискового инструмента в плоскости нормального сечения винтовой поверхности (рис. 3.6 а). В этом сечении ось дискового инструмента составляет с осью Х угол установки ϕ, ϕ= π − (σ + γN), 2 где σ − профильный угол дискового инструмента; γN − передний угол в нормальном сечении. Однако такой способ установки круга невозможно реализовать на горизонтально-фрезерных и универсально-заточных станках, широко используемых 49 для изготовления инструмента с винтовыми стружечными канавками. На указанных станках ось дискового инструмента параллельна плоскости стола и при обработке винтовой канавки составляет угол ε с осью заготовки (рис. 3.6 б). Установим взаимосвязь параметров установки при указанных способах установки дискового инструмента. Расчетная схема взаимосвязи установок представлена на рис. 3.7. На рис. 3.7 представлена схема рис. 3.6 а (без конструктивных элементов) с той же системой координат и обозначением основных элементов (точки В, С, радиус RВ, углы ω, ϕ, γN). Дополнительно к виду в плане и нормальному сечению достроен главный вид, на котором ось О1D дискового инструмента, расположенная под углом установки ϕ (в плоскости нормального сечения), изображена своей проекцией О1D′ под углом ϕ′ к оси Х. Ось О1D из наклонного положения в плоскости нормального сечения может быть переведена в горизонтальную плоскость следующим преобразованием. Выполним винтовое перемещение треугольника О1DD′ c винтовым параметром ρ винтовой поверхности. Для этого повернем его на угол υ0 вокруг оси детали. Тем самым треугольник О1DD′ займет горизонтальное расположение с расстоянием ОЕ от оси детали, определяющим межосевое расстояние m0. Одновременно треугольник О1DD′ сместится вдоль оси Z на расстояние ρυ0. На виде в плане треугольник О1DD′ займет свое положение, соответствующее установке рис. 3.6 б. При этом расстояние DD′ принимается с этой же проекции. Ось дискового инструмента О1D расположилась по отношению к оси детали под углом скрещивания ε. Для определенности положения дискового инструмента относительно винтовой поверхности необходимо определить место расположения дискового инструмента относительно точки М скрещивания осей. Для этого используем сечение дискового инструмента радиусом RВ, формирующим режущую кромку. Это сечение определяется точкой С (рис. 3.6 а, 3.7). Выполнив винтовое перемещение ее (в месте с треугольником О1DD′), определим ее положение на виде в плане расстоянием τ0 от точки М скрещивания осей. 50 Рис. 3.6. Способы установки дискового инструмента при обработке винтовых поверхностей Таким образом, расчетными параметрами установки дискового инструмента являются: ε − угол скрещивания осей; m0 = ОЕ − межосевое расстояние; τ0 − боковое смещение радиального сечения дискового инструмента, формирующего режущую кромку. 51 Рис. 3.7. Взаимосвязь способов установки дискового инструмента 52 Установим взаимосвязь параметров ε, m0, τ0 с углом ϕ установки дискового инструмента в нормальном сечении и параметрами винтовой поверхности ω, D = 2R. Используя элементарные тригонометрические соотношения, запишем: ∆ О1DD′: ∆ О1DD′: DD′ = OD′ tgω; ctg ε = DD′/ О1D′; ⇒ ctg ε = tg ω sin ϕ′; O1D′ = OD′/sin ϕ′; tg ϕ′ = OD′/OO1; ⇒ ∆ OО1D: tgϕ ′ OD ′ = = cos ω (∆ ODD′). tgϕ OD tg ϕ = OD/OO1; Таким образом, tg ϕ′ = tg ϕ cos ω. 2 Учитывая соотношение sin Х = tg Х/ 1 + tg Х , имеем sin ϕ′ = tgϕ cosω 1 + tg 2 ϕ cos2 ω . Тогда угол ε скрещивания осей окончательно определяется ctg ε = tgϕ sin ω 1 + tg 2 ϕ cos 2 ω ; Rв cos υ0; ∆ ОО1Е: ОЕ = m0 = OO1 cos υ0 = R + sin ϕ υ0 = π − ϕ′ ⇒ cos υ0 = sin ϕ′ = ctg ε ctg ω. 2 Таким образом, определен второй параметр установки − межосевое расстояние. τ0 = О1М − О1С; О1М = О1Е/sin ε = m0 tg υ0/sin ε; O1C = Rв/tg ϕ; τ0 = m0 tg υ0/sin ε − Rв/tg ϕ. 53 Как видно из полученного, параметры установки инструмента ε, m0, τ0 определены в зависимости от параметров винтовой поверхности ω, D и принятого значения угла ϕ. Угол ϕ может быть принят из диапазона π (15...25°)... − γ N . Меньшее значение принимается для неглубоких и широ2 ких канавок, что имеет место для 2–3-зубого инструмента. Величина Rв опредеDи − h , где h − глуляется принятым диаметром дискового инструмента: Rв ≅ 2 бина стружечной канавки. При увеличении диаметра дискового инструмента возможно увеличение диаметра оправки, что увеличивает жесткость технологической системы и, следовательно, повышает точность обработки. При этом уменьшается толщина срезаемого слоя, что позволяет увеличивать подачу на зуб. С увеличением диаметра увеличивается общее число зубьев фрезы (что увеличивает стойкость) и число одновременно работающих зубьев на дуге контакта (что увеличивает плавность работы). Но с увеличением диаметра дискового инструмента увеличивается длина врезания (что уменьшает производительность), увеличивается расход инструментального материала, увеличивается радиус кривизны профилирующих точек инструмента, что может привести к условиям внутреннего контакта. Ориентировочно диаметр дисковой фрезы может быть выбран по табл. 3.1 в зависимости от глубины t и ширины В фрезерования. Таблица 3.1 Диаметры дисковой фрезы t, мм 5 10 20 50 100 В, мм 20 63 80 125 200 250 10 50 63 100 160 250 40 80 100 125 200 320 Приведенные диаметры соответствуют нормальному ряду диаметров. Выбранный ориентировочный диаметр инструмента проверяется на обеспечение условия внешнего касания инструмента и заготовки. В связи с тем, что параметры установки дискового инструмента определяются углом ϕ, который может быть принят из некоторого диапазона, то параметры установки также могут быть различные. Каждому сочетанию параметров установки будет соответствовать свой профиль дискового инструмента. Поэтому желательно просчитывать несколько вариантов установки. Критерием опти54 мальности профиля дискового инструмента может служить степень его симметричности. Это обеспечивает приблизительно одинаковые условия резания фасонных режущих лезвий. 3.6. Определение радиуса кривизны винтовой поверхности и максимально допустимого диаметра инструмента При обработке винтовой поверхности с положительным значением переднего угла имеет место касание выпуклого профиля инструмента и вогнутого профиля детали. Для обеспечения условия внешнего касания необходимо, чтобы радиус кривизны инструмента был меньше радиуса кривизны винтовой поверхности в плоскости ее нормального сечения перпендикулярно оси дискового инструмента. Расчетная схема решения данной задачи представлена на рис. 3.8. Как было записано выше, уравнение винтовой поверхности имеет вид: Х = Х0 сos δ; У = Х0 sin δ; Z = Z0 + p δ, где Х0 − расстояние от оси Z до точки образующей винтовой поверхности. Радиус ρ кривизны пространственной линии, заданной параметрически, определяется соотношением [(Х′) + (У ′) + (Z′) ] 2 ρ= 2 2 3 (У ′Z′′ − Z′ У ′′) + (Z′ Х ′′ − Х ′Z′′) + (Х ′У ′′ − У ′Х ′′) 2 2 2 . Радиус кривизны винтовой поверхности различен в различных ее точках, определяемых образующей Х0 = f(Z0). Поэтому определим радиус кривизны при фиксированном значении координаты Х0, а именно для винтовой линии, лежащей на цилиндре радиуса Х0. Определим значения производных и радиуса кривизны: Х′ = −Х0 sin δ; У′ = Х0 cos δ; Z′ = p; Х″ = −Х0 cos δ; У″ = −Х0 sin δ; Z″ = 0; ρ= (Х 2 0 2 sin 2 δ + Х 0 cos2 δ + p 2 (pХ 0 sin δ) + (− pХ 0 cosδ) 2 Х ( = 2 0 + p2 ) 2 2 ( 55 3 2 + Х 0 sin δ + Х 0 cos δ Х0 + p 2 Х0 p 2 + Х02 2 ) 2 2 Х0 + p 2 . = Х0 2 ) 2 = Рис. 3.8. Определение радиуса кривизны винтовой поверхности Принимая Х0 = R, получаем p2 ρ = R 1 + 2 . R Полученная величина радиуса кривизны винтовой линии находится в плоскости А−А (рис. 3.8). Радиус кривизны дискового инструмента определяется в плоскости, перпендикулярной его оси. Поэтому спроектируем полученное значение ρ в плоскость N−N нормального сечения винтовой поверхности, в котором ось дискового инструмента расположена под углом ϕ к оси Х (рис. 3.8): cos(ϕ + γ N ) = ρN = ρ/sin γN; ρк = ρN cos (ϕ + γN) = ρ sin γ N p 2 cos(ϕ + γ N ) . = R 1 + 2 sin γ N R Таким образом, радиус кривизны винтовой поверхности в нормальном сечении зависит от R, ϕ, γN, р. Рассмотрим влияние радиуса R рассматриваемой 56 →0 точки. Очевидно, что при R →∞ ρ → ∞. Это свидетельствует о существовании минимального значения функции. Определим его значение: p 2 ( cos ϕ + γ N ) p 2 cos(ϕ + γ N ) = 0; ρ′(R) = 1 + 2 − 2R sin γ N R R 3 sin γ N p2 p2 1+ 2 = 2 2 R R p2 = R2 ⇒ p = R. ⇒ Так как р = H/2π = πD/(2π tg ω), то ω = 45°. На рис. 3.9 представлен график функции ρ = f(R). Наглядно видно, что при R < ρ, т.е. при ω ≤ 45° радиус кривизны винтовой поверхности на режущей кромке будет меньше, чем на меньшем радиусе. Это положение и определяет рассмотрение в расчетных схемах радиуса инструмента, формирующего режущую кромку, т.к. инструмент с углом ω < 45° встречается чаще. Рис. 3.9. Изменение радиуса кривизны винтовой поверхности При обработке инструмента с ω > 45° радиус кривизны точек передней поверхности, расположенных ближе к оси, будет меньше, чем на режущей кромке. Это необходимо учесть при выборе радиуса профилирующего инструRв = КR ρк. мента введением поправочного коэффициента КR < 1; 57 3.7. Обкаточные инструменты для обработки фасонных поверхностей В процессе резания инструмент и заготовка совершают движения, соответствующие принятой схеме обработки. Относительное движение детали и инструмента может сводиться к качению без скольжения аксоида детали по аксоиде инструмента, которое можно свести к мгновенному вращению вокруг полюса. Подобные инструменты условились называть инструментами, работающими методом обката. Если при этом рассматривать плоскую задачу и изучать движение в плоскости профилей детали и инструмента, то оно сводится к качению без скольжения начальных окружностей и прямых друг по другу. Инструменты, работающие по методу обката, можно разделить на четыре основных вида: червячные фрезы, долбяки, обкаточные резцы и дисковые фрезы и шлифовальные круги фасонного профиля. При обработке поверхностей вращения резцом по методу обката происходит качение без скольжения начальной прямой 1, связанной с профилем детали, по начальной окружности 2, связанной с профилем инструмента (рис. 3.10). При обработке деталь вращается вокруг своей оси. Резец получает движение подачи, заключающееся во вращении его вокруг своей оси и поступательного перемещения вдоль оси детали. В результате режущая кромка резца занимает ряд последовательных положений, огибающая к которым будет профилем детали. Обкаточными фасонными резцами по методу обката можно производить точение винтовых поверхностей (рис. 3.10). В этом случае вращение детали кинематически связано с вращением и продольным перемещением резца. При одном обороте детали резец поворачивается вокруг своей оси на один зуб, если ось неподвижная; при перемещении оси резца вдоль оси детали на величину шага деталь должна сделать оборот вокруг своей оси. Преимуществами обкатного точения являются высокая производительность, точность обработки, возможность обработки длинных фасонных поверхностей. Однако его реализация требует специальных станков. У всех инструментов, работающих по методу обката, относительное движение сопряженных профилей сводится к качению без скольжения начальной окружности по начальной прямой или окружности. В момент касания сопряженные профили имеют общую нормаль N , которая перпендикулярна к скорости относительного движения V . Условие контакта сопряженных профилей записывается через скалярное произведение перпендикулярных векторов NV = 0 и используется для определения профиля обкаточного резца. 58 Рис. 3.10. Точение фасонных поверхностей по методу обката 59 3.8. Определение ИИП обкаточного фасонного резца При профилировании обкаточного резца считаем, что профиль детали, положение начальной прямой, радиус начальной окружности резца известны. Примем, что в процессе обработки профиль детали движется поступательно вдоль начальной прямой, а резец вращается вокруг своей оси, обеспечивая качение без скальжения начальной окружности инструмента Rн.о по начальной прямой профиля детали. С профилем детали Z1 = f(У1) свяжем систему координат У1Z1, направив ось У1 по начальной прямой детали (рис. 3.11 а). С профилем инструмента свяжем систему координат У2Z2, расположив начало координат на оси инструмента. Примем, что в начальный момент времени ось У2 параллельна оси У1, а ось Z2 − по оси Z1. Введем также неподвижную систему координат У0Z0, совместив ее в начальном положении с системой У1Z1. В процессе формообразования (рис. 11 б) система У1Z1 будет двигаться вместе с профилем детали вдоль начальной прямой, а система У2Z2 будет вращаться вокруг оси резца. При отсутствии скольжения при повороте системы У2Z2 на угол ϕ система У1Z1 сместится поступательно на расстояние Rн.оϕ. Поэтому формулы преобразования систем координат имеют вид (У1Z1 → У0, Z0 →У2, Z2): Рис. 3.11. Определение исходной инструментальной поверхности обкаточного резца У0 = У1 + Rн.о ϕ; Z0 = Z1; У2 = У0 cos ϕ − (Rн.о+ Z0) sin ϕ; Z2 = (Rн.о+ Z0) cos ϕ + У0 sin ϕ; У2 = (У1 + Rн.о ϕ) cos ϕ − (Rн.о+ Z1) sin ϕ; Z2 = (Rн.о+ Z1) cos ϕ + (У1 + Rн.о ϕ) sin ϕ. Уравнение профиля детали (либо координаты расчетных точек) в системе координат У1Z1 известно: Z1 = f(У1). Для произвольной точки М (У1, Z1) профиля 60 детали можно определить угол наклона ψ касательной к профилю tg ψ = f′(У1). В определенный момент времени точка М будет контактировать с соответствующей точкой профиля инструмента. Момент контакта определяется по уравнению контакта: NV = 0. В соответствии с рис. 3.11 б единичный вектор нормали N к профилю детали в точке М (У0Z0) в неподвижной системе У0Z0 имеет уравнение N = j sin ψ − к cos ψ. Скорость V движения точки М профиля детали относительно инструмента в момент формообразования будет скоростью мгновенного вращения вокруг полюса Р. Поэтому вектор скорости V точки М направлен перпендикулярно к радиусу РМ. В векторной форме в неподвижной системе координат имеем: РМ = j У0 − к Z0 ⇒ V = − j Z0 − к У0; NV = −Z0 sin ψ + У0 сos ψ = 0; Z0 tg ψ − У0 = 0. Учитывая координаты У1Z1 обрабатываемой поверхности, из последнего уравнения можно определить параметр ϕ, при котором точка М профиля детали будет находиться в контакте: Z1 tg ψ − У1 − Rн.о ϕ = 0 ⇒ ϕ = (Z1 tg ψ − У1)/Rн.о (рад). Зная параметр ϕ по формулам перехода от системы У1Z1 к системе У2Z2 , можно определить координаты сопряженной точки профиля инструмента в системе У2Z2. Задавшись координатами ряда точек профиля детали, определяют совокупность точек профиля инструмента, которые и определяют исходную инструментальную поверхность. Радиус начальной окружности инструмента определяет размеры, форму профиля резца, величину переходных кривых и т.п. Минимальный диаметр начальной окружности резца равен 50...70 мм, чтобы обеспечить достаточные размеры посадочного отверстия. Максимальный диаметр начальной окружности ограничивается используемым оборудованием, как правило, не превышает 125...150 мм. Начальную прямую на профиле детали располагают ближе к впадине обрабатываемой детали. Но при этом существует опасность срезания вершины профиля детали, что необходимо проверять решением обратной задачи профилирования. Контрольные вопросы 1. Причины неоднозначности определения формы ИИП. 61 2. Как образуются различные схемы обработки? 3. Какое понятие шире: кинематическая схема станка или схема обработки? 4. В чем возникает сложность при обработке вспомогательных задних поверхностей зубьев гранной протяжки? 5. Назовите возможные формы ИИП протяжки и вспомогательных задних поверхностей зубьев протяжки. 6. Почему необходима определенная взаимосвязь между ИИП гранной протяжки и формой вспомогательных поверхностей зубьев? 7. Почему профиль образующей винтовой поверхности не совпадает с профилем образующего инструмента? 8. В какой плоскости задается образующая винтовой поверхности? 9. Функцией скольких и каких переменных является уравнение винтовой поверхности? 10. Назовите признак трансцендентности уравнения контакта, и в чем заключается трудность его решения. 11. Назовите два возможных способа установки дискового инструмента при формообразовании винтовой поверхности. 12. Как осуществляется переход от одного способа установки дискового инструмента к другому? 13. Что является параметрами установки дискового инструмента и чем определяется их величина? 14. Почему параметры установки дискового инструмента не однозначны и на что это влияет? 15. Почему диаметр дискового инструмента не может взят произвольно? 16. Что такое обкаточные инструменты? 17. Назовите основные типы обкаточных инструментов, и почему они выделены в относительно самостоятельные виды. 18. Достоинства и недостатки обкаточных резцов (по сравнению, например, с фасонными радиальными резцами). 19. Что определяется из уравнения контакта при профилировании обкаточного резца? 4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ФОРМООБРАЗОВАНИЯ Практический интерес представляет задача определения формы поверхности детали, которая получится при обработке заданным инструментом по известной схеме формообразования. В результате рабочих движений режущие кромки инструмента описывают поверхности резания. Если определить поверхность, огибающую поверхности резания, можно получить форму поверхности детали. Задача определения формы поверхности детали, обработанной 62 известным инструментом, является неоднозначной, т.к. одним и тем же инструментом можно обработать разнообразные поверхности. Это достигается использованием различных схем формообразования. В пределах же одной схемы формообразования различные варианты обработанных поверхностей получаются при изменении положения инструмента относительно заготовки и изменения направления и скоростей составляющих движения. 4.1. Формообразование винтовой поверхности угловой фрезой Определим получаемую форму винтовой поверхности одноугловой фрезой. На рис. 4.1 изображена расчетная схема формообразования. Рис. 4.1. Расчетная схема формообразования Систему координат Х1У1Z1 свяжем с заготовкой, направив ось Х1 по оси заготовки. С фрезой свяжем систему ХuУuZu. Считаем, что в исходный момент начала систем координат совпадают; ось Zu совпадает с осью Z1, а оси Хu, Уu, Х1, У1 лежат в одной плоскости (ось Уu расположена параллельно оси фрезы). Угол разворота оси фрезы (между осями Уu и У1) в начальный момент времени обозначим τ: расстояние между осями заготовки и фрезы − А; расстояние от торцовой плоскости фрезы до начала координат – С; радиус фрезы в торцовой плоскости − Rф; угол конуса фрезы −ψ. 63 При обработке винтовой поверхности фреза вращается вокруг своей оси со скоростью резания (это не формообразующее движение) и совершает относительное винтовое движение подачи (формообразующее движение), осью которого является ось Х1 заготовки. Параметр винтового движения − р. Огибающая положений инструмента в относительном винтовом движении и является получаемой поверхностью детали. При относительном повороте фрезы вокруг оси Х1 (вместе с системой координат ХuУuZu) на угол ϕ (рис. 4.1 б) она одновременно переместится вдоль оси Х1 на расстояние рϕ. Запишем формулы перехода от системы координат инструмента к системе координат заготовки: Х1 = Хu cos τ − Уu sin τ + p ϕ; У1 = (Уu cos τ + Xu sin τ) cos ϕ + Zu sin ϕ; Z1 = Zu cos ϕ − (Уu cos τ + Xu sin τ) sin ϕ. При повороте системы ХuУuZu вокруг оси Х1 координаты У1, Z1 рассматриваются в плоскости У1Z1, где Уu находится в виде проекции Уu′ = Уu сos τ + Xu sin τ, учитывающей начальное расположение осей. Знаки между слагаемыми определяют правую и левую винтовую поверхность и не определяют форму поверхности. Для определенности рассматривается формообразование левой винтовой поверхности. Уравнение ИИП фрезы в системе ХuУuZu можно получить, записав координаты произвольной точки М конической поверхности: Xu = R sin θ; Уu = C + (R − Rф)/tg ψ; Zu = A − R cos θ, где R − радиус поверхности фрезы в выбранной точке М; θ − угол, отсчитываемый от плоскости УuZu до осевой плоскости фрезы, проходящей через точку М конической поверхности. Записав радиус вектор r точки М, получим уравнение конической поверхности фрезы в векторной форме r = i R sin θ + j ( R − Rф tgψ + C) + к (A − R cos θ) = f (R, θ). Уравнение контакта инструмента и винтовой поверхности − NV = 0 . Определим векторы N и V . 64 Так как уравнение конической поверхности фрезы является функцией двух переменных, то для определения вектора N определим вспомогательные векторы В и D касательные к конической поверхности: В = D = dr = i R cos θ + к R sin θ; dθ dr = i sin θ + j ctg ψ − к cos θ. dR Тогда i N = В × D = R cos θ sin θ j 0 ctg ψ к Rsin θ = − cos θ = − i R sin θ ctg ψ − j (−R cos2 θ − R sin2 θ) + к R cos θ ctg ψ. Скорость V произвольной точки М конической поверхности фрезы при винтовом относительном движении складывается из скорости относительного вращательного и поступательного движений: V = V п + ω × r . Скорость поступательного движения направлена по оси Х1 и определяется величиной винтового параметра V п = i р. Вектор угловой скорости также направлен по оси Х1. Примем модуль вектора угловой скорости равным единице ω = 1. Так как рассматриваем формообразование левой винтовой поверхности, векторы угловой и линейной скорости противоположно направлены (см. рис. 4.1 а) Вектор нормали определен в системе координат инструмента. Поэтому вектор скорости также необходимо записать в этой же системе координат: V п = i р сos τ − j p sin τ; ω = − i cos τ + j sin τ. Тогда V = V п + ω × r = i р сos τ − j p sin τ + 65 + i −cos τ R sin θ j sin τ R − Rф tgψ к 0 = A − Rcos θ +С = i р сos τ − j p sin τ + i (A − R cos θ) sin τ + j (A − R cos θ) cos τ − R − Rф + С ) cos τ + R sin θ sin τ]. − к [( tgψ Используя зависимости N , V , запишем N V = −R sin θ ctg ψ [р сos τ + (A − R cos θ) sin τ] + + R [− p sin τ + (A − R cos θ) сos τ] − R cos θ ctg ψ × × [( R − Rф tgψ + С ) cos τ + R sin θ sin τ] = − R p sin θ ctg ψ сos τ − − R A sin θ ctg ψ sin τ + R2 sin θ ctg ψ cos θ sin τ − R p sin τ + + R A cos τ − R2 cos θ cos τ − R cos θ ctg ψ ( R − Rф tgψ + С ) cos τ − − R2 cos θ ctg ψ sin θ sin τ = − R sin θ ctg ψ (p cos τ + A sin τ) − − R (p sin τ + A cos τ) − R cos θ [R cos τ + ctg ψ ( R − Rф tgψ + С )cos τ] = 0. Разделим обе части равенства на R cos τ ctg ψ, перегруппируем слагаемые и запишем окончательно sin θ (p + A tg τ) + cos θ [R tg ψ + ( R − Rф tgψ + С )] = tg ψ (A − p tg τ). Получили уравнение контакта, где искомой величиной является угол контакта θ (все другие величины для рассматриваемой точки М известны). m sin θ + n cos θ = b, 66 где m, n, b − cоответствующие коэффициенты уравнения контакта. Решить уравнение можно как квадратное (заменив одну тригонометрическую функцию через другую), либо использовать тригонометрическую подстановку. В общем виде имеем уравнение Обозначим m/n = tg η и определим: sin η = tgη 1 + tg 2 η cos η = 1 1 + tg 2 η m/ n = = m2 1+ 2 n 1 = = 2 m 1+ 2 n m m2 + n 2 n m2 + n 2 ; . Запишем решаемое уравнение в виде равносильного m sinθ m2 + n 2 + n cosθ m2 + n 2 = sin η sin θ + cos η cos θ = cos (η − θ) = n b n m2 + n 2 ; b cos η; n b cos η. n m угол η, находим последовательно cos (η − θ), ± (η − n θ), ±θ. Таким образом, для рассматриваемой точки М будет определено два угла θ (одно из этих значений мнимое). Зная угол контакта θ, определяем координаты точки контакта на поверхности фрезы: Определив из tg η = Хu = R sin θ; Уu = R − Rф tgψ + С ; Zu = A − R cos θ. Профиль винтовой поверхности детали определяем в одном из ее сечений: радиальном или осевом. Для определения соответствующей точки контакта на профиле детали рассечем винтовую поверхность радиальной или осевой плоскостью (где нас интересует форма профиля). Например, приняв Z1 = 0 (или 67 У1 = 0), будет определено осевое сечение винтовой поверхности, а при Х1 = 0 − радиальное. Примем Z1 = Zu cos ϕ − (Уu cos τ + Xu sin τ) sin ϕ = 0. Тогда tg ϕ = Zu/(Уu cos τ + Xu sin τ). Координаты точек осевого сечения: Х1 = Хu cos τ − Уu sin τ + p ϕ; У1 = (Уu cos τ + Хu sin τ) cos ϕ + Zu sin ϕ. Задавшись рядом точек на конической поверхности фрезы, можно будет определить соответствующие точки профиля детали. Наряду с коническим участком поверхности инструмента винтовую поверхность формирует и торцевая плоскость фрезы, уравнение которой Уu = С. Для нее угол ψ = 90° и уравнение контакта принимает вид R cos θ = A − p tgτ ⇒ cos θ = A − p tgτ . R Зная угол контакта, можно определить координату Zu точки контакта на торцовой поверхности: Zu = A − R cos θ = A − R A − p tgτ = p tg τ = const. R Уравнения Уu = C и Zu = p tg τ выражают две плоскости, на пересечении которых располагаются точки характеристики торцовой поверхности фрезы (рис. 4.2). Координаты граничных точек характеристики: Хu = ±Rф sin θгр ; cos θгр = A − p tgτ . R™ Рассмотрев ряд точек из диапазона ± Хu , можно, используя формулы преобразования координат, определить соответствующие координаты точек профиля детали формируемых торцовой поверхностью. Например, в осевом сечении: Z1 = Zu cos ϕ − (Уu cos τ + Xu sin τ) sin ϕ = 0; tg ϕ = Zu/(Уu cos τ + Xu sin τ). 68 X1 = Xu cos τ − Уu sin τ + p ϕ; У1 = (Уu cos τ + Xu sin τ) cos τ + Zu sin ϕ. Рис. 4.2. Характеристика торцовой плоскости фрезы Граничные точки характеристик на конической и торцовой поверхности инструмента, в общем случае, не совпадают друг с другом, т.е. возможен разрыв характеристики. Это приводит к образованию переходной кривой, которую будет формировать граничная окружность радиуса Rф. В системе ХuУuZu координаты точек граничной окружности определяются по формулам: Ун = С; Xu = Rф sin θ; Zu = A − Rф cos θ. Чтобы не получать и не решать уравнение контакта для граничной окружности можно просто углом θ задаться в некотором диапазоне. Реальный профиль детали может формироваться в диапазоне ±20°...±100° (в зависимости от параметров винтовой поверхности и установки инструмента). Далее алгоритм как описано выше: θ → Хu, Zu → Z1 (X1) = 0 → ϕ → X1 (Z1), У1. Таким образом, профиль винтовой поверхности детали будет состоять из участков сформированных в общем случае конической и торцовой поверхностью, а также граничной окружностью (рис. 4.3). При отсутствии подрезания профиля все участки плавно сопрягаются друг с другом. Анализируя полученный профиль делается заключение о его до- 69 пустимости либо необходимости внесения изменений в профиль инструмента или параметры его установки. Рис. 4.3. Профиль винтовой поверхности в осевом сечении, сформированный различными поверхностями фрезы 4.2. Метод профилирующих окружностей при формообразовании винтовых поверхностей Как видно из вышерассмотренного, при определении получаемого профиля винтовой поверхности необходимо задаваться формой профилирующего инструмента. И если инструмент будет фасонной формы, то для каждого его участка необходимо будет определять и решать соответствующее уравнение контакта. В то же время, очевидно, что формообразование винтовой поверхности осуществляется точками режущих кромок инструмента, лежащими на наружной поверхности фрезы. То есть вдоль оси дискового инструмента в любом его сечении формообразование осуществляется окружностью различного радиуса (в соответствие с формой дискового инструмента). Поэтому можно получить уравнение контакта без учета формы дискового инструмента и тем самым иметь общее решение уравнения контакта. На рис. 4.4 представлена расчетная схема формообразования винтовой поверхности фасонной фрезой криволинейного профиля. Расположение и взаимосвязь систем координат, как и в п. 4.1. Рассмотрим произвольное сечение наладки плоскостью N−N, перпендикулярной оси дискового инструмента (Уu = Уi). В этом сечении радиус Ri фрезы определяет соответствующую формообразующую окружность. Для произвольной точки М этой окружности с координатами Хu = Risin θi; Уu = Уi; Zu = A − Ri cos θi в момент контакта NV = 0 . Определим векторы N , V . Радиус-вектор точки М: r i = i Ri sin θi + j Уi + к (A − Ri cos θi) = f(θi). Касательный вектор в точке М окружности радиуса Ri : dri В = = i Ri cos θi + к Ri sin θi. dθ i 70 Рис. 4.4. Формообразование винтовой поверхности фасонной фрезой криволинейного профиля Тогда перпендикулярный ему вектор N = i Ri sin θi − к Ri cos θi. Cкорость точки М, как и в п. 4.1, V = V п + ω × r = i р сos τ − j p sin τ + i j к sin τ 0 = + cos τ Уi A − R i cos θ i R i sin θ i = i р сos τ − j p sin τ + i (A − Ri cos θi) sin τ + j (A − Ri cos θi) cos τ − − к (Уi cos τ + Ri sin θi sin τ). Тогда 71 N V = Ri sin θi [р сos τ + (A − Ri cos θi) sin τ + + Ri cos θi [Уi cos τ + Ri sin θi sin τ] = Ri sin θi (р сos τ + A sin τ) + + Ri Уi cos θi сos τ = 0. Разделив обе части равенства на Ri сos τ cos θi, определим угол контакта: tgθ i = −У i . p + Atgτ Зная угол контакта θi, можно определить координаты точки контакта на профилирующей окружности: Хu = Ri sin θi; Уu = Уi; Zu = A − Ri cos θi. Для определения соответствующей точки контакта на профиле детали рассечем полученную винтовую поверхность радиальной или осевой плоскостью, как и в п. 4.1. Например, при Z1 = 0: Z1 = Zu cos ϕ − (Уu cos τ + Xu sin τ) sin ϕ = 0 ⇒ ⇒ tg ϕ = Zu/(Уu cos τ + Xu sin τ). Тогда координаты точек осевого сечения винтовой поверхности: X1 = Xu cos τ − Уu sin τ + p ϕ; У1 = (Уu cos τ + Xu sin τ) cos τ + Zu sin ϕ. При Х1 = 0 X1 = Xu cos τ − Уu sin τ + p ϕ = 0 ⇒ ϕ = (Уu sin τ − Xu sin τ)/р. Координаты точек радиального сечения: У1 = (Уu cos τ + Xu sin τ) cos ϕ + Zu sin ϕ ; Z1 = Zu cos ϕ − (Уu cos τ + Xu sin τ) sin ϕ. Таким образом, приняв ряд сечений дискового инструмента плоскостями Уi (i = 1, ..., n) и определив радиусы дискового инструмента в этих сечениях из уравнения его профиля Ri = Хu = f(Уi), можно определить углы контакта θi, точки контакта на профилирующих окружностях и соответствующие им точки профиля винтовой поверхности в осевой или радиальной плоскости. При этом 72 не нужно будет получить неоднократно уравнение контакта с учетом профиля дискового инструмента. 4.3. Формообразование винтовых, цилиндрических и поверхностей вращения профилирующей окружностью Рассмотрим возможности обработки поверхностей различных деталей торцовой фрезой. Схема обработки включает вращение фрезы и заготовки вокруг своих осей и продольное поступательное движение заготовки вдоль своей оси. Примем, что оси торцовой фрезы и заготовки скрещиваются (рис. 4.5). Угол наклона оси фрезы − τ, межосевое расстояние − А, расстояние от оси заготовки до центра окружности, описываемой вершинами зубьев фрезы, С. Рис. 4.5. Фрезерование поверхностей торцовыми фрезами В результате вращения фрезы вершины зубьев описывают окружность, которая и формирует поверхность детали. То есть поверхность детали будет формироваться профилирующей окружностью вращения зубьев фрезы вокруг оси. С профилирующей окружностью свяжем систему координат ХУZ, напра- 73 вив ось У по оси фрезы, а ось Z − перпендикулярно оси заготовки. Систему координат Х1У1Z1 cвяжем с заготовкой. Ось Х1 направим по оси заготовки, а ось Z1 − перпендикулярно осям фрезы и заготовки. Начало координат О1 совместим с точкой скрещивания осей фрезы и заготовки. В соответствии с принятой схемой торцовая фреза и профилирующая окружность совершают относительно заготовки винтовое движение. Ось винтового движения совпадает с осью заготовки. Угол поворота системы ХУZ вокруг оси Х1 при ее относительном винтовом движении обозначим ϕ. Тогда соответствующее поступательное перемещение системы ХУZ относительно оси Х1 равно рϕ. Запишем взаимосвязь координатных систем Х1У1Z1 и ХУZ при повороте осей ХУZ на угол ϕ (рис. 4.6): Рис. 4.6. Схема относительного поворота осей координат Х1 = Х cos τ + У sin τ + C tg τ + p ϕ; У1 = (У cos τ − X sin τ + C) cos ϕ − (Z + A) sin ϕ; Z1 = (Z + A) cos ϕ + (У cos τ − X sin τ + C) sin ϕ. Уравнение профилирующей окружности в системе ХУZ: Х = R cos β; У = 0; Z = R sin β, где R − радиус профилирующей окружности; β − угол расчетной точки окружности. Совместное рассмотрение уравнения профилирующей окружности и формул преобразования координат дает искомую винтовую поверхность. Если рассечь получаемую винтовую поверхность плоскостью Z1 = 0, то получим ее профиль в осевом сечении: 74 Z1 = (У cos τ − X sin τ + C) sin ϕ + (Z + A) cos ϕ = 0; tg ϕ = Z+A . X sin τ − У cos τ − C Расчет получаемого профиля детали можно вести в последовательности: 1. На профилирующей окружности, задаваясь углом β, определяем координаты Х, У, Z ряда расчетных точек. 2. Учитывая, что У = 0 для всех расчетных точек, определяем для каждой расчетной точки профилирующей окружности угол ϕ: tg ϕ = Z+A . X sin τ − C 3. По формулам преобразования координат находим точки профиля винтовой поверхности детали в осевом сечении: X 1 = X cos τ + pϕ + –tg τ ; У 1 = (C − X sin τ ) cos ϕ − ( Z + A) sin ϕ . Мы рассмотрели общий случай профилирования торцовой фрезой. Рассмотрим некоторые частные случаи, имеющие практическое значение. При А = 0, Р = 0 ось фрезы пересекает ось заготовки, и фреза только вращается относительно заготовки. Уравнение получаемой поверхности детали приобретает вид: X 1 = X cos τ + –tg τ ; У 1 = (C − X sin τ ) cos ϕ − Z sin ϕ ; . Z = (C − X sin τ ) sin ϕ + Z cos ϕ . 1 Возведем в квадрат эти равенства и сложим: Х12 + У12 + Z12 = X2 cos2 τ + 2CX cos τ tg τ + C2 tg2 τ + + (C − X sin τ)2 cos2 ϕ − 2Z (C − X sin τ) cos ϕ sin ϕ + Z2 sin2 ϕ + + (C − X sin τ)2 sin2 ϕ + 2Z (C − X sin τ) sin ϕ cos ϕ + Z2 cos2 ϕ = = X2 cos2 τ + 2CX cos τ tg τ + C2 tg2 τ + (C − X sin τ)2 + Z2 = 75 C2 =X + + Z2. cos 2 τ 2 С учетом значений координат Х, Z профилирующей окружности имеем: Х12 + У12 +Z12 = R2 + C2/cos2 τ. 2 2 2 Получили уравнение сферы, радиус которой R + C / cos τ . Таким образом, торцовой фрезой при А = 0 и Р = 0 можно обработать сферу, радиус которой определяется радиусом фрезы, величиной С и углом наклона оси фре- зы. Если τ = 0, то радиус сферы равен R 2 + C 2 . При τ = 90° радиус обрабо- 2 2 танной сферы R + C / 0 = ∞. В этом случае производится обработка плоской поверхности. Этот случай соответствует обработке плоскостей, например, на барабанно-фрезерном станке. Рассмотрим подробнее случай обработки при τ = 0 (рис. 4.5). Это соответствует фрезерованию валов торцовыми фрезами. Обработанная поверхность определяется уравнениями: Х1 = Х + рϕ (Х = R cos β); У1 = С сos ϕ − (Z + A) sin ϕ (У = 0); Z1 = (Z + A) cos ϕ + C sin ϕ (Z = R sin β). Профиль этой поверхности в осевом сечении (Z1 = 0) определяется системой уравнений: Х1 = Х + рϕ = R cos β + pϕ; У1 = С cos ϕ − (Z + A) sin ϕ = C cos ϕ − (R sin β + A) sin ϕ, R sin β + A Z+A . =− C C Винтовая поверхность, образованная профилирующей окружностью, состоит из ряда витков, смещенных вдоль оси Х1 на величину подачи инструмента S = p2π (рис. 4.7). где tg ϕ = − 76 Рис. 4.7. Приближенный профиль винтовой поверхности, образованный профилирующей окружностью Учитывая, что R sin β + A = −C tg ϕ, запишем У1 = С cos ϕ + C tg ϕ sin ϕ = C/cos ϕ = C = 1 + tg 2 ϕ = C 2 + ( R sin β + A ) 2 = f(β). Определим значение угла β, при котором достигается экстремальное значение У1: dУ 1 2 ( R sin β + A ) R cos β = = 0; 2 2 dβ 2 C + ( R sin β + A ) R sin β + A = 0 ⇒ sin β = − A/R (угол соответствует точкам, лежащим на оси детали); cos β = 0 ⇒ β = ± 90°. Значение функции У1 в найденных точках У1 = С 2 + [ R ( − A / R ) + A ] = С = У1min. 2 2 2 При β = 90° У1 = С + ( R + A ) лежит за пределами реального профиля и является мнимым значением. При β = −90° У1 = С 2 + (A − R ) 2 = У1max. Колебание координаты У1 профиля детали будет определять погрешность профиля обрабатываемой поверхности. Определим условия получения заданной погрешности профиля цилиндрической поверхности. Координата У1 опре- 77 деляет радиус детали. Минимальное значение У1min = С = r. Максимальное значение радиуса детали с учетом погрешности δ формы можно определить: У1max = r + δ = С 2 + (A − R ) 2 = С + δ; С2 + (A −R)2 = С2 + 2 cδ + δ2 ⇒ ± (A − R) ≅ 2Сδ . По данному соотношению можно выбрать допустимую величину А при известных радиусах фрезы и детали, и допускаемой погрешности. Профиль детали формируется не только в осевой плоскости, но и в зоне ограничений двумя смежными витками. Граничные точки зоны формирования профиля детали определяются точками пересечения витков, которые можно определить углом η (рис. 4.5): cos η = πρ/R. В точках пересечения профилей координата У1 также не должна быть более С + δ. Определим условие выполнимости этого требования: С 2 + ( R sin η + A ) 2 ; У1 = 1 − cos 2 η = sin η = У1 = 1 − (πρ / R ) ; 2 2 2 С + R 2 − (πρ) + A = С + δ; 2 2 С2 + [ R − (πρ) + A]2 = С2 + 2 Сδ + δ2; 2 2 R 2 − (πρ) 2 + A 2 ≈ 2 Сδ = (A − R) ; R 2 − (πρ) + A = ± (A − R). 2 При + (A − R) величина (πρ) = 0 ⇒ S = 0. Поэтому действительным корнем будет: 2 R 2 − (πρ) + A = − (A − R) = R − A; 2 78 R 2 − (πρ) = R2 − 4RA + 4A2; πρ = 2 2 RA − A 2 . Величина продольной подачи фрезы на один оборот заготовки равна шагу 2 винтового движения S = ρ 2π = 4 RA − A . Производительность торцового формообразования зависит от конструктивных параметров фрезы, а также от диаметра обрабатываемой детали, принятой величины неточности обработки. Торцовое фрезерование целесообразно применять при обработке валов больших диаметров и длин. Одновременность работы нескольких зубьев фрезы снижает время обработки по сравнению с точением. Преимуществом торцового фрезерования крупногабаритных цилиндрических деталей является возможность обработки несбалансированных деталей. При использовании процесса фрезерования взамен точения автоматически решается проблема стружкоразделения. 4.4. Формообразование фасонных профилей окружностью При обработке фасонных поверхностей широкое распространение получили фрезерование и шлифование. При вращении инструмента его режущие кромки образуют в пространстве ИИП, которая в сечениях, перпендикулярных к оси инструмента, представляет собой окружность. То есть формообразование профиля детали происходит профилирующей окружностью. Если окружность совершает одно прямолинейно-поступательное движение или только вращается вокруг заданной оси, обработка фасонного профиля невозможна. Фасонный профиль можно образовать при использовании схем резания, включающих два или более движений. Рассмотрим некоторые схемы и законы формообразования, основанные на сочетаниях элементарных движений. Характерным является сочетание двух прямолинейно-поступательных движений, направления которых взаимно-перпендикулярны (рис. 4.8). С профилем инструмента свяжем систему координат ХиУи, а с профилем детали − ХУ. Считаем, что профиль детали известен: У = f (Х). Для рассматриваемой схемы обработки формулы преобразования координат имеют вид: Хи = Х + а; Уи = У − b. В момент контакта в точке М выполняется условие контакта NV = 0 . Вектор N поверхности вращения (инструмент) проходит через ось Ои. Уравнение единичного вектора N , проходящего через точку контакта, имеет вид N = i sin β − j cos β. 79 Рис. 4.8. Профилирование окружностью при прямолинейнопоступательных движениях Из уравнения взаимосвязи систем координат: Х′и = Х′1 = 1; У′и = У′1 ⇒ tg β = tg ϕ. Равенство углов наклона касательных (наличие общей касательной) к профилю инструмента и детали при параллельных системах координат геометрически выражает условие контакта NV = 0 . Для иллюстрации этого запишем единичный вектор относительной скорости V (используя его проекции на оси Х′и, У′и): V = i + j tg β. Тогда NV = sin β − cos β tg β − 0. Уравнение профилирующей окружности в системе ХиУи имеет вид Хи2 + Уи2 = R2. Тогда 2Хи + 2Уи У′и = 0 ⇒ У′и = tg β = − Хи/Уи. Учитывая, что β = ϕ = У′(Х), имеем − Хи = Уи tg ϕ; Уи2 tg2 ϕ + Уи2 = Уи2/cos2 ϕ = R2 ⇒ Уи = − R cos ϕ: Хи = R sin ϕ. Получили координаты точки контакта в системе координат инструмента. Из формул преобразования координат имеем: а = Хи − Х = R sin ϕ − X; b = У − Уи = У + R cos ϕ, где Х, У − координаты выбранной точки М профиля детали; 80 ϕ − угол наклона касательной в выбранной точке; R − радиус профилирующей окружности. Таким образом, величины а, b зависят от координат точек профиля детали и радиуса инструмента и определяют закономерность относительного перемещения инструмента и детали в процессе обработки в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Представленный на рис. 4.8 обрабатываемый профиль полностью обработать с одной установки обычно невозможно. Поэтому обрабатывают его с двух-трех установок. Рассмотрим схему обработки, основанную на сочетании поступательного и вращательного движений (рис. 4.9). Рис. 4.9. Формообразование окружностью при поступательновращательном движении Систему координат ХиУи свяжем с инструментом, ХУ − с деталью. Считаем, что деталь вращается относительно инструмента (вместе с системой координат ХУ) и прямолинейно-поступательно перемещается вместе с системой координат Х1У1. То есть движение системы координат Х1У1 является переносным, а вращательное движение системы координат ХУ в системе координат Х1У1 − относительное движение. В этом случае формулы преобразования координат имеют следующий вид: Хи = Х1 + а; Уи = У1 − b; Х1 = Х cos t − У sin t; У1 = У cos t + X sin t. Окончательно: Хи = Х cos t − У sin t + a; Уи = У cos t + X sin t − b. Уравнение окружности в системе координат ХиУи: Хи2 + Уи2 = R2; tg β = − Хи/Уи. 81 Угол между касательной к профилю детали и осью Х обозначим ϕ. Тогда с осью Хи угол наклона β рассматриваемой касательной будет (ϕ + t). Поэтому условие контакта выбранной точки профиля детали с сопряженной точкой инструмента имеет вид: β = ϕ + t. Следовательно, −Хи = Уи tg (ϕ + t). Решая это уравнение совместно с уравнением профилирующей окружности, получаем координаты точки контакта: Хи = R sin (ϕ + t); Уи = −R cos (ϕ + t). С учетом формул преобразования координат имеем R sin (ϕ + t) = Х cos t − У sin t + а; −R cos (ϕ + t) = У cos t + X sin t − b. В каждом из уравнений две неизвестных величины (t, b или t, a). Поэтому при обработке один параметр (а или b) фиксируют постоянным и в процессе обработки изменяют только второй. Например, зафиксировав параметр b и решив последнее уравнение относительно t, найдем угол поворота системы ХУ, при котором выбранная точка профиля детали соприкасается с сопряженной точкой профиля инструмента: −R cos ϕ cos t + R sin ϕ sin t = У cos t + Х sin t − b; cos t (R cos ϕ + У) − b = sin t (R sin ϕ − Х). Обозначим: R sin ϕ − X m = tgη = R cos ϕ + У n n cos t n +m 2 = 2 − m/ n n +m /n 2 2 m sin t n +m 2 2 = m = n +m 2 2 ⇒ n cos t − m sin t = b; b n +m 2 2 ; cos η = ; sin η = tgη 1 + tg η 1 − sin 2 η = 2 = n n +m 2 2 ; cos t cos η − sin t sin η = b/ n 2 + m 2 = cos (t + η) = b b cos η. cos η = R cos ϕ + У n n 2 + m2 n 2 + m2 Таким образом, задавшись величиной b и определив из выражения tg η величину угла η, можно определить значение cos (t + η) и затем t. = b = b n n = 82 В соответствии с формулами преобразования координат а = R sin (ϕ + t) + У sin t − X cos t. Таким образом, определена взаимосвязь координат точек профиля детали Х, У с закономерностью изменения параметров t, a. Рассмотренные закономерности показывают, что заданную фасонную поверхность детали можно обработать одним и тем же инструментом при различных сочетаниях относительных перемещений инструмента и заготовки. Выбор конкретных схем резания производится с учетом условий производства. 4.5. Определение траектории инструмента для обработки по трем управляемым координатам Сложные фасонные поверхности, обрабатываемые на станках с программным управлением, часто требуют три управляемые координаты. При этом могут использоваться концевые фрезы с фасонной режущей частью в виде конуса, сферы, эллипсоида и др. Определим необходимую траекторию движений инструмента при использовании фрезы со сферической режущей частью. Свяжем с деталью систему координат Х1У1Z1, а с фрезой − Х2У2Z2, с началом в центре сферы (рис. 4.10). Рис. 4.10. Определение траектории по трем управляемым координатам На поверхности детали выбираем произвольную точку М1 с координатами Х, У, Z. В точке М1 определим касательные МА и МВ через углы ψ1 и ε1: tg ψ1 = dZ1/dX1; tg ε1 = dZ1/dУ1. В произвольной точке М2 (Хi, Уi, Zi) на поверхности сферы инструмента углы наклона касательных ψ2 и ε2, расположенные в плоскостях У2 = Уi и Х2 = Хi (рис. 4.11): 83 tg ψ2 = Xi/Zi; tg ε2 = Уi/Zi. Рис. 4.11. Угол наклона касательной к сфере Определим положение инструмента, т.е. системы координат Х2У2Z2 при котором точка М1 детали соприкасается с соответствующей сопряженной точкой М2 исходной инструментальной поверхности. В момент контакта касательные плоскости к поверхностям инструмента и детали должны совпадать (условие контакта). Поэтому для контактирующих точек можно записать: ψ1 = ψ2; ε1 = −ε2. Тогда уравнение контакта имеет вид: tg ψ1 = Xi/Zi; tg ε1 = −Уi/Zi; Xi = Zi tg ψ1; Уi = −Zi tg ε1. Уравнение сферической исходной инструментальной поверхности имеет вид: Х22 + У22 + Z22 = R2, где R − радиус сферы. Подставив в это уравнение координаты точки М2, имеем: Xi2 + Уi2 + Zi2 = R2. Решив это уравнение совместно с уравнением контакта, получим: 2 2 Zi2 tg2 ψ1 + Zi2 tg2 ε1 + Zi2 = R2 ⇒ Zi = R/ tg ψ 1 + tg ε 1 + 1 . Таким образом, зная углы наклона касательных ψ1, ε1 на профиле детали в рассматриваемой точке М1 и радиус сферической поверхности инструмента R, можно определить координаты контактирующей точки инструмента. 84 Взаимное положение систем Х1У1Z1 и Х2У2Z2 определяется величинами S1, S2, S3. Формулы преобразования координат: Х1 = Х2 + S1; У1 = S2 − У2; Z1 = S3 − Z2. В момент контакта точек М и М2: Хi = X2; Уi = У2; Zi = Z2. Поэтому Х1 = S1 +Xi; У1 = S2 −Уi; Z1 = S3 − Zi. 2 2 S1 = X1 − Xi = X1 − R tg ψ1/ 1 + tg ψ 1 + tg ε 1 ; 2 2 S2 = У1 + Уi = У1 − R tg ε1/ 1 + tg ψ 1 + tg ε 1 ; 2 2 S3 = Z1 + Zi = Z1 + R/ 1 + tg ψ 1 + tg ε 1 . По этим формулам задают перемещения S1, S2, S3 инструмента относительно заготовки, обеспечивающие обработку поверхности детали, которая задана совокупностью узловых точек М1. Контрольные вопросы 1. В каком случае решается обратная задача формообразования? 2. Какое движение является формообразующим при обработке винтовой поверхности? 3. Функцией каких переменных является уравнение конической поверхности фрезы? 4. Какие элементы определяют уравнение контакта при формообразовании винтовой поверхности? 5. Достоинство метода профилирующих окружностей при определении уравнения контакта. 6. Какие поверхности могут быть образованы профилирующей окружностью торцовой фрезы? От чего это зависит? 7. Чем определяются погрешности цилиндрической поверхности образуемой профилирующей окружностью? 8. Назовите управляемые параметры при относительном движении инструмента и заготовки по двум взаимноперепндикулярным направлениям. 9. Чем определяется выбор относительных движений инструмента и заготовки? 10. Почему при обработке пространственных поверхностей часто используют фасонную форму ИИП? 85 5. АППРОКСИМАЦИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ КОНТУРОВ При решении прямой и обратной задачи формообразования искомый профиль инструмента (ИИП) или детали получался в виде координат расчетных точек. Для образования поверхности необходимо написать соответствующее уравнение. Кроме того, в процессе проектирования и производства инструмента часто возникает задача замены теоретических поверхностей технологически удобными. Указанные причины обусловили широкое использование в технике такого математического способа, как аппроксимация функций. Под аппроксимацией понимают подбор некоторой функции под координаты известных точек либо замену одной функциональной кривой другой, технологически удобной минимально возможными (или допустимыми) погрешностями. Технологически удобными поверхностями являются те, которые осуществляются при относительно простых (прямолинейное, вращательное, винтовое) формообразующих движениях. Наиболее часто в качестве образующей линии какой-либо поверхности в инструментальном производстве используют прямую, дугу окружности, эвольвенту окружности, архимедову спираль, некоторые циклоидальные кривые. Поэтому и аппроксимацию ведут по этим линиям. Рассмотрим сущность аппроксимации на нескольких простых примерах. 5.1. Аппроксимирующая линия − прямая Прямой линией участок криволинейного теоретического профиля заменяют двумя способами: хордой или отрезком касательной. Отрезок касательной используют при замене выпуклого или вогнутого участка профиля инструмента при одностороннем допуске на размеры этого участка, либо при продолжении профилирующего участка в его крайних точках. Хорду используют при стремлении уменьшения отклонений заменяемого профиля при симметричном допуске на профиль. Пусть участок АС заменяемого профиля задан в виде функции У = f(Х) (рис. 5.1). Восстановим в его граничных точках. 86 Рис. 5.1. Аппроксимация отрезком прямой А и С перпендикуляры АД и СЕ, которые будут определять максимальную погрешность аппроксимации профиля. При этом их величина (∆1∆2) не должна превышать допустимых значений, определяемых допуском δ на профиль: ∆ 1 = ∆ 2 = ∆ = кδ , где к − коэффициент, определяющий долю погрешности профилирования в общем допуске на профиль (к ≤ 0,2...0,3). Координаты точек Д и Е можно определить: ХД = ХА − ∆ sin σА; УД = УА + ∆ cos σА; ХЕ = ХС − ∆ sin σС; УЕ = УС + ∆ cos σС, (Х) где σА, σС = arctg У ′А ,С . Если линию ДЕ перемещать параллельно самой себе, то в некоторый момент времени она коснется линии У = f(Х) в точке В и займет свое предельное расположение. Положение линии ДЕ в этот момент можно характеризовать углом tgσВ = tgσВ1 = У Е − УД Х Е − ХД Координаты точки В определяем из уравнений 87 . У В = f ( Х В ); ⇒ ХВ, УВ. У ′( Х) = tgσ В Задавшись допустимой величиной ∆ = кδ, еще не известно пересекает или нет прямая ДЕ кривую У = f(Х). Для ответа на вопрос определим расстояние ВВ1: УF = УВ − (ХВ − ХД) tg σВ; ДF = УД − УF; ВВ1 = ДF cos σВ. Если ВВ1 ≥ 0, то задача отыскания аппроксимирующей прямой к кривой теоретического профиля инструмента решена. В противном случае необходимо сближать точки А и С либо увеличивать допуск, либо переходить к аппроксимации кривой линией. 5.2. Аппроксимирующая линия − дуга окружности Аппроксимация дугой окружности − один из самых распространенных способов. Обеспечивает достаточно высокую точность аппроксимации кривых с мало изменяемой кривизной, что наряду с ее технологичностью и обеспечило широкое использование. Существуют различные способы аппроксимации кривой дугой окружности, различающиеся по точности аппроксимации и трудоемкости расчетных операций. В каждом конкретном случае конструктор выбирает наиболее подходящий для решаемой задачи способ. Одним из наиболее широко известных и используемых на практике является определение координат центра и радиуса заменяющей окружности, проходящей через три точки, координаты которых известны (рис. 5.2 а). Одну из крайних точек принимаем за базовую (А0). В этой точке размещаем систему координат ХУ. Координаты других точек пересчитываем относительно ее в принятой системе координат Х, У. Радиус и координаты заменяющей окружности определяем по следующей схеме. Соединим точки А0 , А1 , А2 между собой. Угол А0 = σ1 − σ2 равен половине угла А1ОА2 (вписанный в окружность угол составляет половину центрального опирающегося на ту же дугу). Поэтому, опустив перпендикуляр из центра окружности О на хорду А1А2 можно записать: R0 = А 1А 2 , 2 sin(σ 1 − σ 2 ) где А1А2 = (У2 − У1)/sin σ3; σ1 = arctg У1 У У − У1 . ; σ2 = arctg 2 ; σ3 = arctg 2 Х2 Х 2 − Х1 Х1 88 Координаты центра заменяющей окружности Х0, У0 можно определить следующим образом: Х0 = Х2 + R0 sin (σ3 − σ1 + σ2); У0 = У2 − R0 cos (σ3 − σ1 + σ2). Риc. 5.2. Аппроксимация по трем (а) и двум б) точкам В некоторых случаях известны координаты двух точек и угол σ1 наклона касательной в одной из них. Поместим начало координат в точку с известным углом σ1 наклона касательной (рис. 5.2 б). По представленной схеме можно записать: R0 = π A 0 A1 ; ε = − σ 1 + σ 2 ; A0A1 = 2 2 cos ε σ2 = arctg X 12 + У 12 ; У1 ; X0 = R0 sin σ1; У0 = −R0 cos σ1. Х1 В случае большой протяженности криволинейный участок можно аппроксимировать дугами двух окружностей (рис. 5.3). В этом случае криволинейный участок разбивается на два участка. На первом участке А0А2 определение радиуса заменяющей окружности можно провести по любому методу. Па- 89 раметры второй окружности (на участке А2А3) определяют из условия, что угол наклона касательных в точке соприкосновения двух окружностей одинаков. В этом случае радиусы заменяющих окружностей и граничная точка А2 лежат на одной прямой А2О1. Рис. 5.3. Аппроксимация дугами двух окружностей Радиус и координаты дуги второй окружности определяются по зависимостям: А2А3 ; A2A3 = (X3 − X2)/cos σ4; RO1 = 2 cos(σ 4 + ε 2 ) σ4 = arctg У3 − У2 У − У0 ; ; ε2 = arctg 2 Х0 − Х2 Х3 − Х2 X01 = X2 + R01 cos ε2; У01 = У2 − R01 sin ε2. Если известны координаты многих точек кривой и необходимо определить заменяющую кривую с учетом всех точек, то определение радиуса заменяющей окружности можно провести на основе метода наименьших квадратов. В соответствии с методом заменяющая окружность проводится таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний δi (рис. 5.4) между заменяющей окружностью и заменяемыми точками была минимальной. Запишем условие минимума квадратов расстояний аналитически: 90 N ∑δ i =1 2 i 2 N 2 = ∑ ( Х i − X 0 ) 2 + ( У i − У 0 ) − ρ = Zmin. i =1 Рис. 5.4. Аппроксимация дугой окружности методом наименьших квадратов Непосредственная минимизация этого выражения затруднительна (имеется радикал). Учитывая, что нас интересуют лишь малые отклонения заменяющей окружности, минимизацию можно провести для приближенного значения Z*: N Z= ∑1 (X i − X 0 ) + (У i − У 0 ) 2 N 2 N ∑1 (X i − X 0 ) + (У i − У 0 ) 2 ∑1 (X i − X 0 ) + (У i − У 0 ) ∑ [(X − X 0 ) + (У i − У 0 ) − ρ 2 N ≈ − ρ 2 2 i 2 1 2 + ρ 2 ] 2 2 + ρ 2 ≈ 2 4ρ 2 = Z*. Радиус ρ заменяющей окружности будем определять с учетом прохождения через одну из расчетных точек. Обычно это точка начала профиля с известными координатами (Хн, Ун). Тогда ρ= (Х 0 − Х н ) 2 + (У 0 − У н ) 2 ; 91 ∑ [(X N − X 0 ) + ( У i − У 0 ) − ( Х 0 − Х н ) − (У 0 − У н ) 2 i 2 2 2 ] 2 = f ( X 0 , У 0 ). 4ρ 2 Для минимизации погрешности замены необходимо определить координаты центра заменяющей окружности Х0, У0, решив систему уравнений: 1 * Z = dZ * = 0; dX 0 dZ* = dX0 dZ * = 0. dУ 0 N ∑ {2 [(Xi − X0)2 + (Уi − У0)2 − (X0 − Xн)2 − (У0 − Ун)2] [−2(Xi − X0) − − 2 (Х0 − Х ) ] } = 0. 1 н dZ* = dУ 0 N ∑ {2 [(Xi − X0)2 + (Уi − У0)2 − (Х0 − Хн)2 − (У0 − Ун)2] [-2(Уi − У0) − 1 − 2 (У0 − Ун)] } = 0. Преобразуем эту систему N ∑ 1 (Xi2 − 2XiX0 + X02 + Уi2 − 2УiУ0 + У02 − Х02 + 2Х0Хн − Хн2 − У02 + N +(2У0Ун − Ун2) (Xi − Xн ) = ∑ 1 [ (Xi2 − Xн2) − 2Х0 (Хi − Xн) + + (Уi2 − Ун2) − 2У0 (Уi − Ун)] (Xi − Xн) = 0. Аналогично преобразуем второе уравнение: N ∑ 1 [ (Xi2 − Xн2) + (Уi2 − Ун2) − 2Х0 (Хi − Xн) − 2У0 (Уi − Ун)](Уi − Ун) = 0. Обозначим: N а= ∑ 1 [ (Xi2 − Xн2) + (Уi2 − Ун2)] (Хi − Xн); N с= ∑ 1 [ (Xi2 − Xн2) + (Уi2 − Ун2)] (Уi − Ун); N N b = 2 ∑ (Xi − Xн) ; f = 2 ∑ (Уi − Ун)2; 2 1 1 92 N d = 2 ∑ [ (Xi − Xн) (Уi − Ун)]. 1 а − Х 0 b − У 0 d = 0 Имеем a − X 0 d − У 0 f = 0. Решаем систему: b d Х 0 b + У 0 d = а θ0 = = bf − d 2 . d f X 0 d + У 0 f = а. θ1 = a d b a = af − ad; θ 2 = = ba − da. a f d a X0 = θ 1 af − ad θ 2 ba − da = ; = . У = 0 θ 0 bf − d 2 θ 0 bf − d 2 Зная координаты центра, можно определить и радиус аппроксимирующей окружности: ρ= ( X 0 − X н ) 2 + (У 0 − У н ) 2 . При необходимости можно оценить величину погрешности δ в каждой рассчетной точке: δ= ( X i − X 0 ) 2 + ( У i − У 0 ) 2 − ρ ≤ [δ ] . Несмотря на то, что в описанной процедуре не выполняются достаточные условия существования минимума, способ широко используется в инструментальном производстве точного инструмента. 5.3. Превращение тела, ограниченного ИИП, в инструмент Любой режущий инструмент можно считать телом, ограниченным ИИП, которой приданы режущие свойства. ИИП может быть воспроизведена полностью: шлифовальные круги, абразивные ленты. Полностью ИИП описывается режущей кромкой инструмента при ее соответствующем движении: фасонные фрезы. ИИП может воспроизводиться совокупностью ограниченного числа линий режущих кромок: фасонные резцы, червячные фрезы. У ряда инструментов ИИП воспроизводится совокуп- 93 ностью точек режущих кромок: торцевые фрезы, сверла, зенкеры, токарные проходные резцы. Если ИИП воспроизводится одной или совокупностью точек или линий, то формирование заданной поверхности зависит от характера контактирования поверхностей детали и инструмента. Если каждая точка поверхности детали может соприкасаться только с одной, соответствующей ей точкой ИИП, то все точки ИИП будут невзаимозаменяемыми. И при обработке необходимо воспроизвести всю ИИП. Такой контакт наблюдается при обработке сложных фасонных профилей. При второй разновидности контакта с выбранной точкой поверхности детали могут соприкасаться различные точки ИИП. Тогда на ИИП можно отыскать линию, все точки которой могут быть введены в соприкосновение с одной исследуемой точкой поверхности детали и ее сформировать. ИИП представляет в этом случае совокупность таких линий. Для обработки заданной поверхности детали при таком контакте необходимо на режущей кромке инструмента воспроизвести хотя бы по одной точке каждой линии. В этом случае режущая кромка может выбираться несколько произвольно, т.е. можно воспроизвести не всю исходную поверхность, а только одну линию, расположенную на ней. Примером могут быть фрезы для обработки канавок. ИИП вращения имеет профиль, совпадающий с профилем детали. И для обработки заданной поверхности детали достаточно на фрезе иметь один зуб с фасонной режущей кромкой, включающей по одной точке окружности, лежащей на исходной инструментальной поверхности. В качестве режущей кромки зуба инструмента в аналогичных случаях можно принять характеристику, т.е. линию контакта инструмента и детали. При этом не определяется полностью ИИП, что в ряде случаев упрощает решения задачи. При третьей разновидности сопряженных поверхностей все точки ИИП профилирующие и взаимозаменяемые. В этом случае достаточно на инструменте воспроизвести хотя бы одну профилирующую точку режущей кромки, расположенную на ИИП. Примером являются токарные резцы для обработки цилиндрической поверхности детали. Контрольные вопросы 1. В каких случаях проводится аппроксимация теоретических профилей? 2. Требования к аппроксимирующим линиям. 3. Способы аппроксимации прямой линией. 4. Необходимое условие при аппроксимации дугами двух окружностей. 5. Возможности аппроксимации методом наименьших квадратов. 6. Способы воспроизводства ИИП в конструкциях инструмента. 6. АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИИ РЕЖУЩЕГО ЛЕЗВИЯ 94 Режущий инструмент предназначен для решения двух задач: формообразование поверхности детали и срезание припуска с заготовки. Обе задачи имеют тесную связь и реализуются одновременно, однако имеют и относительную самостоятельность. Так, решение вопросов формообразования рассматривалось при идеальном резании (абсолютно жесткая технологическая система, отсутствие тепловых деформаций и динамических явлений, инструмент в процессе резания не изнашивается и т.п.). В действительности же все эти явления сопровождают процесс формообразования и выражаются в возникновении погрешностей обработанной детали, увеличении затрат на обработку. Поэтому при проектировании инструмента необходимо самое серьезное внимание уделять вопросам обеспечения нормальных условий резания. Это будет способствовать повышению точности и качества обработанной поверхности, снизит расход инструмента и затрат на обработку. Решение этой задачи можно вести по различным направлениям: обеспечение необходимых геометрических параметров режущего лезвия, рациональное распределение и загрузка режущих лезвий, максимальный учет условий операции по различным критериям, оптимизация параметров инструмента и т.п. Инструмент будет работоспособным, если его режущая часть имеет геометрические параметры в соответствии с условиями его эксплуатации. Оптимальными величинами геометрических параметров наиболее часто считают такие, которые обеспечивают наивысшую стойкость при определенных условиях эксплуатации. В некоторых случаях геометрические параметры режущего лезвия определяют из условий обеспечения наибольшей размерной стойкости, точности и шероховатости обработанной поверхности, обеспечения безвибрационных условий резания и т.п. На оптимальное значение величины углов оказывают влияние обрабатываемый материал, толщина срезаемого слоя, технологические условия выполнения углов и другие условия операции. Чтобы оценить работоспособность режущего инструмента, обеспечить выполнение заданной геометрии режущей части при его изготовлении, необходимо уметь определять величину его геометрических параметров. Это необходимо и в связи с тем, что геометрические параметры инструмента не остаются постоянными при переходе от одной точки режущей кромки к другой и не всегда можно обеспечить независимые геометрические параметры в различных точках кромки. Часто возникает необходимость пересчета углов в различных плоскостях. Все это требует умения определять величину углов. Режущая часть любого инструмента представляет собой один или несколько режущих зубьев клиновидной формы. Режущее лезвие каждого зуба ограничено передней и задней поверхностью, положение которых характеризуется величиной переднего и заднего углов. Величина углов режущего лезвия зуба инструмента определяется направлением измерения углов и положением плоскости резания. Углы, характеризующие взаимное положение режущего клина инструмента и плоскости резания 95 при обработке, принято считать кинематическими углами. Они характеризуют условия резания. Проектируя режущий инструмент, конструктор назначает величину углов в системе координат, удобной для изготовления и контроля. Геометрические параметры зубьев инструмента в этой системе координат называют инструментальными. Инструментальные геометрические параметры определяют положение поверхностей режущего клина относительно базовых поверхностей инструмента, которые используются при изготовлении и контроле инструмента. Поэтому на практике возникает задача определения кинематических углов при известных инструментальных углах и наоборот. 6.1. Определение геометрических параметров режущей части токарного резца Определение геометрических параметров режущей части инструмента в различных секущих плоскостях можно провести различными методами. Наиболее простым и наглядным является графический метод. Однако его применение ограничивается плоскими поверхностями лезвия зуба инструмента. Проанализируем взаимосвязь геометрии режущего лезвия токарного проходного резца в различных плоскостях. На рис. 6.1 приведена схема для определения соотношений между величинами передних углов. На проекции резца на основную плоскость указаны следы секущих плоскостей и точки их пересечения. Для наглядности расчета взаимосвязи величины углов рассматриваемый резец изображен в аксонометрии, где дополнительно к уже указанным плоскостям проведена основная плоскость R в рассматриваемой точке К режущего лезвия. Плоскость h−h проведена параллельно плоскости Н−Н и в пересечениях с плоскостями У−У, N−N, Х−Х образует прямоугольные треугольники, гипотенуза которых лежит на передней поверхности: tg γN = mm1 ll nn 1 ; tg γпр = 1 ; tg γпоп = . km kl kn Для определения взаимосвязи углов через точку m1 проведем прямую tt1//ln. В этом случае ll1 = lp + pl1 = mm1 + pm1tg λ = mm1 + lm tg λ. Тогда tg γпр = mm1 lm ll 1 mm1 = + tg λ = cos ϕ + sin ϕ tg λ. kl kl km kl 96 Рис. 6.1. Передние углы токарного резца в различных плоскостях Окончательно tg γпр = tg γN cos ϕ + tg λ sin ϕ. Аналогичным образом можно получить tg γпоп = tg γN sin ϕ − tg λ cos ϕ. При выводе зависимостей угол λ имеет отрицательное значение. При положительном λ знаки перед вторым слагаемым меняются на обратные. Аналитические методы определения углов режущего лезвия основаны на их определении и могут осуществляться различными способами. При анализе геометрии режущего лезвия можно использовать кинематический способ определения взаимосвязи углов в различных секущих плоскостях. Сущность способа заключается в следующем. В одной секущей плоскости (обычно в той, где величина анализируемого угла известна) по соответствующей поверхности вводится вектор произвольной длины. Через разложение этого вектора по взаимноперпендикулярным направлениям определяется величина угла в этой плоско- 97 сти. Затем отыскивается проекция введенного вектора в другой секущей плоскости и по ней определяется искомая величина угла. В качестве примера определим продольный задний угол αпр резца при известных углах αN, λ, ϕ (рис. 6.2). С рассматриваемой точкой (в данном случае с вершиной резца) режущей кромки резца свяжем систему координат ХУZ (она необходима лишь для облегчения ориентации в направлениях векторов и при соответствующем навыке может не вводится). Ось Х направим по проекции главной режущей кромки на основную плоскость. В нормальном сечении режущего лезвия (где известна величина угла αN) по задней поверхности направим вектор V и разложим его на составляющие V = V1 + V2 . В проекции на основную плоскость на ось У ( V1 перпендикулярен спроектируется составляющая вектора V2 плоскости ХУ в точке А1). Вектор V2 снова раскладываем на составляющие V2 = V3 + V4 . Составляющая V3 взята уже в искомом (продольном) направлении. Составляющую V4 раскладываем на составляющие V4 = V5 + V6 . Теперь рассматриваем продольное сечение, где в направлении оси Z расположены две составляющих вектора V : V1 , V6 . Перпендикулярно оси Z направлена составляющая V3 . Составляющая V5 , направленная по режущей кромке, является касательной к задней поверхности и на величину заднего угла не влияет. Задний угол αпр в продольном сечении расположен между составляющими вектора V : V7 = V1 − V6 и V3 . Рассматривая модули векторов и образуемые ими прямоугольные треугольники, определяем: ctg αпр = V7/V3; V7 = V1 − V6; V6 = V4 tg λ; V4 = V2 tg ϕ; V2 = V1 tg α; V3 = V2/cos ϕ. Следовательно, ctg αпр = V1 (1 − tgαtgϕtgλ ) cos ϕ . V1 tgα 98 Рис. 6.2. Кинематический способ определения взаимосвязи углов Окончательно ctg αпр = ctg α cos ϕ − tg λ sin ϕ. Если вместо продольного сечения ввести поперечное (с соответствующим разложением вектора V2 в основной плоскости), то можно определить ctg αпоп = ctg α sin ϕ + tg λ cos ϕ. При рассмотрении сечений по вспомогательной режущей кромке получим: ctg α1пр = ctg α1 cos ϕ + tg λ1 sin ϕ; ctg α1поп = ctg α1 sin ϕ − tg λ1 cos ϕ1. В качестве упражнения рекомендуется эти зависимости получить самостоятельно. 99 6.2. Векторные произведения при анализе геометрии режущего лезвия При анализе геометрии режущего лезвия широко используются скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Вспомним, что угол между векторами А и В можно определить по соотношениям: AB ; cos ( А ^ В ) = AB sin ( А ^ В ) = A×B AB ; tg ( А В ) = A×B AB . Величину углов α, γ, λ можно задать, используя векторы нормальные к передней ( N п ), задней ( N 3 ) и плоскости резания ( N p ), вектор скорости резания ( V ) и режущей кромки ( Р ). В соответствии с рис. 6.3 можно записать: ( N p N п ) = 90 − γN; ( N p N 3 ) = 180 − αN; ( р V ) = 90 + λ. На рис. 6.3 указаны положительные углы γN, αN, λ. Зная положение нормалей N p , N п , N 3 можно записать tg (180 −αN) = tg αN = Np × N3 NpN3 tg γN = ; tg (90 − γN) = Np Nп Np × Nп Np × Nп Np Nп = сtg γN . В свою очередь, положение нормалей N p , N п , N 3 можно определить через векторное произведение двух векторов, лежащих в рассматриваемой плоскости. В качестве одного из таких векторов удобно принять вектор Р , направленный по режущей кромке (или касательно к ней при ее криволинейности), который одновременно лежит на передней и задней поверхности, а также в плоскости резания. Тогда Np = Р × V ; Nп = Р × П ; N3 = Р × З , где П , З − некоторые векторы касательные соответственно к передней и задней поверхности. 100 Рис. 6.3. Углы режущего лезвия и направленные векторы Если векторы А В перпендикулярны, то их скалярное произведение А В = A B cos ( А В ) = 0. Это свойство может использоваться при анализе взаимосвязи углов в различных секущих плоскостях. Смешанное произведение векторов А , В , С при нахождении их в одной плоскости равно нулю. Это свойство и используется при анализе геометрии режущего лезвия. Рассмотрим последнее условие на примере резца с дополнительной режущей кромкой (рис. 6.4). Особенностью резца является наличие дополнительной режущей кромки длиной (1,2...1,8) S. Используется при жесткой технологической системе с подачей S = 3...5 мм/об. При этом обеспечивается высота микронеровностей Rz = 5...10 мкм. Для этого дополнительная режущая кромка должна быть строго прямолинейной и параллельной оси центров станка. Определенную сложность представляет заточка резца. Для повышения технологичности передняя поверхность резца должна быть плоской. Это можно обеспечить при определенном соотношении величины углов. Свяжем с вершиной резца систему координат ХУZ, направив ось Х по проекции главной режущей кромки на основную плоскость. Запишем в этой системе координат три единичных вектора: Р − направлен по главной режущей кромке; Р 0 − по дополнительной режущей кромке; П − по передней поверхности перпендикулярно главной режущей кромке; 101 Рис. 6.4. Геометрический анализ резца конструкции В.А. Колесова Р = i cos λ + к sin λ; Р 0 = − i cos ϕ + j sin ϕ; П = j cos γ − к sin γ. Все три вектора лежат на передней поверхности. Для того чтобы передняя поверхность была плоскостью необходимо выполнение условия: cos λ 0 sinλ [ Р × Р 0 ] П = -cosϕ sinϕ 0 = −cos λ sin ϕ sin γ − 0 cosγ - sinγ − sin λ cos ϕ cos γ = 0. Разделив обе части равенства на −cos λ cos ϕ cos γ, получим условие плоскостности передней поверхности: tg ϕ tg γ + tg λ = 0. По этому соотношению из трех параметров γ, ϕ, λ два можно выбрать произвольно (с учетом условий резания), а третий необходимо определять по полученному соотношению. 102 6.3. Обеспечение геометрии режущего лезвия СМП Сменные многогранные пластины (СМП) имеют чаще всего форму правильных многогранников (рис. 6.5). Рис. 6.5. Определение взаимосвязи углов режущего лезвия СМП В этом случае угол при вершине многогранника η= 180( n − 2) 360 , = 180 − n n где n − число граней пластины. При выборе многогранной пластины приближенно считают: ϕ + ϕ1 + η = 180. η = 180 − (ϕ + ϕ1) = 360 180( n − 2) . , ⇒ n= ϕ + ϕ1 n Получаемое число n, обычно дробное, округляется до целого числа, соответствующее числу граней пластины. Положение многогранной пластины на державке резца определяется тремя независимыми угловыми параметрами: ϕ, αN, λ. Определим необходимые продольные и поперечные углы на опорной плоскости державки (корпуса), которые необходимы для изготовления гнезда. Они будут равны передним продольному и поперечному углам резца, если счи- 103 тать, что пластина имеет плоскую переднюю поверхность, параллельную основанию. Рассмотрим пластину с нулевым задним углом. С многогранной пластиной свяжем систему координат ХУZ (рис. 6.5). Устанавливая пластину на державку резца, поворачиваем ее вокруг оси Z вместе с системой ХУZ до тех пор, пока на режущей части резца не образуется требуемая величина угла в плане ϕ. В этом положении система координат ХУZ совпадает с вводимой системой координат Х0У0Z0, связанной с державкой резца. Чтобы на резце получить требуемый угол λ, повернем пластину вместе с системой ХУZ вокруг оси У (У0), тогда система координат ХУZ займет положение Х1У1Z1. Для создания на резце угла αN повернем пластину вместе с системой координат вокруг оси Х1 на угол αN. Система координат ХУZ займет в итоге свое окончательное положение. Следует обратить внимание на направление поворота. Вокруг оси У − по часовой стрелке, вокруг оси Х1 − против часовой стрелки. Это связано с необходимостью получения положительных углов α1 и αN. Запишем формулы перехода от системы координат ХУZ, связанной с СМП, к системе Х0У0Z0, связанной с державкой, используя промежуточную систему координат Х1У1Z1: Х 1 = Х У 1 = У cos α N − Z sin α N Z = Z cos α + У sin α N N 1 X 0 = X 1 cos λ − Z 1 sin λ . У 0 = У 1 Z = Z cos λ + X sin λ 1 1 0 Окончательно имеем: Х0 = Х cos λ − (Z cos αN+ + У sin αN) sin λ; У0 = У cos αN − Z sin αN; Z0 = (Z cos αN + У sin αN) cos λ + X sin λ. Для определения необходимых углов режущего лезвия в продольном и поперечном направлениях (определяющих углы установки державки в приспособлении при изготовлении) используем равенство нулю скалярного произведения перпендикулярных векторов. Для этого в системе координат ХУZ определим три единичных вектора N , П п р , П п , расположенных на вершине СМП, соответственно в нормальном, продольном и поперечном направлениях. По формулам преобразования координат проекции единичного вектора N определяются: NX0 = −cos αN sin λ; NУ0 = −sin αN; NZ0 = cos αN cos λ. 104 Таким образом, нормаль к опорной поверхности СМП в системе Х0У0Z0 N = − i cos αN sin λ − j sin αN + к cos αN cos λ. В соответствии с рис. 6.5 спроектируем единичные векторы П п р , П п на оси Х0У0Z0: П п р = i cos γпр sin ϕ + j sin γпр сos ϕ + к sin γпр; П п = − i cos γп cos ϕ + j cos γп sin ϕ + к sin γп. Векторы N и П п р , N и П п взаимоперпендикулярны. Поэтому их скалярное произведение равно нулю: N П п р = − сos αN sin λ cos γпр sin ϕ − sin αN cos γпр сos ϕ + + cos αN cos λ sin γпр = 0; N П п = сos αN sin λ cos γп cos ϕ − sin αN cos γп sin ϕ + + cos αN cos λ sin γп = 0. Разделив обе части равенства на произведение косинусов cos αN cos λ cos γпр(cos γп), получим: tg λ sin ϕ + tg λ сos ϕ − tgα N cos ϕ − tg γпр = 0; cos λ tgα N sin ϕ + tg γп = 0. cos λ Окончательно имеем: tg γпр = tg λ sin ϕ + tgα N cos ϕ ; cos λ tgα N sin ϕ − tg λ сos ϕ. cos λ Полученные значения γпр; γп позволяют изготовить гнездо СМП по заданным величинам углов αN, λ, ϕ, используя приспособление с двумя осями повоtg γп = 105 ротов. В случае отсутствия такого приспособления положение СМП на державке резца можно определить одним поворотом вокруг некоторой оси О–О на угол µ (рис. 6.6). Ось поворота О–О повернута на угол ψ относительно направления подачи. Поворот пластины производится в плоскости ВF (перпендикулярной оси О– О и основной плоскости), расположенной под углом β к проекции главной режущей кромки. Поворотом пластины на угол µ обеспечивают необходимые задние углы α и α1. Определение параметров установки многогранной пластины на державке сводится к нахождению углов µ и β. Рассматривая три сечения и соответствующие прямоугольные треугольники ВДР, ВЕР и ВВ′Р, получаем: РВ′ = ВD BE = ; ВD = В′D = h tg α1; B′E = h tg α; sin( η − β ) sin β htgα 1 htgα = ; tg α1 sin β = tg α sin (η − β); sin( η − β ) sin β sin β (tg α1 + tg α cos η) = tg α sin η cos β; tg β = tgα sin η . tgα 1 + tgα cos η Рис. 6.6. Определение положения СМП в корпусе 106 Зная угол β, можно определить угол µ: B′ P B′ E tgα = = . tg µ = h h sin β sin β π . 2 Таким образом, поворачивая державку в плоскости ВF на угол µ будут обеспечены углы α и α1. Расположение оси О-О определяется углом ψ = ϕ + β − 6.4. Геометрия режущего лезвия зуба спирального сверла Известно, что геометрия режущего лезвия спирального сверла резко изменяется вдоль режущих кромок. Поэтому умение анализировать геометрию режущего лезвия сверла является необходимой предпосылкой совершенствования конструкции инструмента и технологии его изготовления. Используя векторные произведения, рассмотрим геометрию режущего лезвия спирального сверла. Расчетная схема анализа приведена на рис. 6.7. Определим угол λi наклона режущей кромки в произвольной точке С режущей кромки. Свяжем с точкой С систему координат ХУZ. По режущей кромке направим единичный вектор Р = − j sin ϕ − к cos ϕ. Единичый вектор скорости резания V точки С V = i cos µi + j sin µi. С учетом кинематики движений и по определению между векторами Р , V будет угол (90 + λi). Тогда Р V = Р V сos (90 + λi) = − sin µi sin ϕ = −sin λi, где sin µi = r/Ri ⇒ sin λi = r sin ϕ. Ri Для определения передних углов в нормальных к главной режущей кромке сечениях в точке С введем систему координат Х1У1Z1 (рис. 6.7). Передний угол в нормальной секущей плоскости определяется положениями нормалей к передней поверхности и к плоскости резания (см. ранее). Нормали в рассматриваемой точке находятся в плоскости, перпендикулярной режущей кромке. С другой стороны, режущая кромка лежит на поверхности резания, являющейся поверхностью вращения, а нормали к поверхности 107 Рис. 6.7. Расчетная схема геометрии режущего лезвия вращения пересекают ее ось. Поэтому линия ВС, имеющая проекции В1С1, В2С2 , является нормалью к поверхности резания в точке С и лежит в нормальной секущей плоскости. Выбранная система координат Х1У1Z1 определяет положение нормальной секущей плоскости, в которой определяется передний угол. Для определения нормалей N p и N п в системе координат Х1У1Z1 введем единичные векторы Р , V : Р = − i sin ϕ sin µi − j sin ϕ cos µi − к cos ϕ; V = i . В качестве единичного вектора П в рассматриваемой точке С возьмем касательную к винтовой линии осевого сечения винтовой поверхности. Поэтому между осью Z1 и вектором П будет угол ωi, который вдоль главной режущей кромки сверла – переменный. П = i sin ωi + к cos ωi, где tg ωi = Ri tg ω. R 108 В соответствии с векторным определением переднего угла определим N p и N п и необходимые векторное и скалярное произведения этих векторов: i j N p = Р × V = -sinϕsinµ i - sinϕcosµ i 1 0 i j N п = Р × П = -sinϕsinµ i - sinϕcosµ i sinω i 0 к - cosϕ = − j cos ϕ + к sin ϕ cos µi; 0 к - cosϕ = − i sin ϕ cos µi cos ωi − cosω i − j (-sin ϕ sin µi cos ωi + sin ωi cos ϕ) + к sin ωi sin ϕ cos µi; i j к - cosϕ sinϕcosµ i Np × Nп = 0 = -sinϕ cos µ i cosω i (sinϕ sin µ i cosω i - sinω i cosϕ ) sinω i cosµ i sin ϕ = i [−cos ϕ sin ωi cos µi sin ϕ − sin ϕ cos µi (sin ϕ sin µi cos ωi − − sin ωi cos ϕ)] − j sin2 ϕ cos2 µi cos ωi − к cos ϕ sin ϕ cos µi cos ωi = = − i sin2 ϕ cos µi sin µi cos ωi − j sin2 ϕ cos2 µi cos ωi − − к cos ϕ sin ϕ cos µi cos ωi. N p N п = cos ϕ (sin ωi cos ϕ − sin ϕ sin µi cos ωi) + sin2 ϕ cos2 µi sin ωi = = cos2 ϕ sin ωi − sin ϕ cos ϕ sin µi cos ωi + sin2 ϕ cos2 µi sin ωi = = sin ωi [cos2 ϕ + sin2 ϕ (1 − sin2 µi)] − sin ϕ cos ϕ sin µi cos ωi = = sin ωi (1 − sin2 ϕ sin2 µi) − sin ϕ cos ϕ sin µi cos ωi. Модуль векторного произведения Np × Nп = = sin 4 ϕ cos 2 µ i sin 2 µ i cos2 ω i + sin 4 ϕ cos4 µ i cos 2 ω i + cos 2 ϕ sin 2 ϕ cos 2 µ i cos 2 ω i = 109 = sin ϕ cos µi cos ωi sin 2 ϕ (1 − cos 2 µ i ) + sin 2 ϕ cos 2 µ i + cos 2 ϕ = = sin ϕ cos µi cos ωi. Тогда tg γN = NpNп Np × Nп = sin ω i (1 − sin 2 ϕ sin 2 µ i ) − sin ϕ cos ϕ sin µ i cos ω i = sin ϕ cos µ i cos ω i tgω i (1 − sin 2 ϕ sin 2 µ i ) − tg µi cos ϕ. = sin ϕ cos µ i Если пренебречь влиянием угла µ (приняв µ = 0), то получим приближенное значение угла γN: tg γN ≅ tgω i R i tgω = . sin ϕ R sin ϕ 6.5. Задние углы режущего лезвия зуба сверла в различных секущих плоскостях Задний угол в исследуемой точке главной режущей кромки сверла определяется положениям и касательной плоскости к задней поверхности и плоскости резания. В зависимости от используемой технологической оснастки величина заднего угла может выполняться в различных секущих плоскостях и не совпадать с плоскостью задания угла на чертеже. Возникает задача пересчета углов. Рассмотрим соотношение углов в различных секущих плоскостях (рис. 6.8): I−I − параллельно оси сверла; II−II − перпендикулярно оси сверла; III−III − касательно к поверхности резания; N−N − перпендикулярно режущей кромке. С рассматриваемой точкой С режущей кромки свяжем систему координат ХУZ. Введем единичные векторы режущей кромки P и задней поверхности сверла З i (i − номер соответствующей секущей плоскости). Задний угол рассмотрим как сумму двух углов α = θ + τ. Плоскость, делящую задний угол, проведем перпендикулярно к проекции режущей кромки на виде в плане (в направлении оси Х). Угол τi определяется конструктивными элементами сверла (τ2 = µi) и характеризует положение плоскости резания по отношению к оси Х. Угол θ определяет положение касательной к задней поверхности. На рис. 6.8 указаны углы τi, θi в различных секущих плоскостях. 110 Считая известной величину угла θN, определяем углы θi в других секущих плоскостях. Для этого запишем единичные векторы P и З i : P = j sin ϕ + к cos ϕ; З1 = − i cos θ1 + к sin θ1; З 2 = − i cos θ2 − j sin θ2; З N = − i cos θN − j sin θN cos ϕ + к sin θN sin ϕ. Рис. 6.8. Определение задних углов зуба сверла Векторы P , З1 , З 2 , З N лежат в разных направлениях, но в одной плоскости (касательной к задней поверхности зуба сверла). Поэтому векторноскалярное произведение любых трех рассматриваемых векторов будет равно нулю: 0 sinϕ cosϕ [ P × З ]З N 1 [ P × З ]З 1 = -cosθ N -cosθ 1 - sinθ N cosϕ 0 sinϕ 2 = -cosθ 1 -cosθ 2 0 0 - sinθ 2 111 sinθ N sin ϕ = 0; sinθ 1 cosϕ sinθ 1 = 0. 0 Раскрывая определители, получим: − sin ϕ (−сos θN sin θ1 + cos θ1 sin θN sin ϕ) − cos2 ϕ cos θ1 sin θN = 0; − sin ϕ сos θN sin θ1 + cos θ1 sin θN sin2 ϕ + cos2 ϕ cos θ1 sin θN = 0; sin ϕ сos θN sin θ1 = cos θ1 sin θN, ⇒ tg θN = tg θ1 sin ϕ; − sin ϕ сos θ2 sin θ1 + cos ϕ cos θ1 sin θ2 = 0; tg θ2 = tg θ1 tg ϕ. Сравнивая выражения tg θN и tg θ2, можно записать tg θN = tg θ2 cos ϕ. Для определения соотношений углов τi в различных секущих плоскостях запишем выражения единичных векторов P , R 1 , R 2 , R N . Векторы R 1 , R 2 , R N направлены по линии пересечения плоскости резания и соответствующей секущей плоскости: P = j sin ϕ + к cos ϕ; R 1 = − i cos τ1 − к sin τ1; R 2 = − i cos τ2 + j sin τ2; R N = − i cos τN + j sin τN cos ϕ − к sin τN sin ϕ. Все векторы лежат в одной плоскости резания. Поэтому 0 [ P × R ]R 2 N cosϕ sinτ 2 0 = -cosτ 2 -cosτ N sinτ N cosϕ 0 sinϕ cosϕ sinτ 2 0 0 − sinτ 1 [ P × R ]R 2 sinϕ 1 = -cosτ 2 -cosτ 1 112 = 0; sinτ N sinϕ = 0. Раскрыв определители и выполнив преобразования, получим: tg τN = tg τ2 cos ϕ; tg τ2 = tg τ1 tg ϕ; tg τN = tg τ1 sin ϕ. Величину заднего угла зуба сверла можно задать и в цилиндрическом сечении. Установим связь угла α3 в цилиндрическом сечении с углами в других сечениях. Для этого запишем единичный вектор З 3 З 3 = − i cos α3 cos τ2 + j сos α3 sin τ2 + к sin α3. Векторы Р , З1 , З 3 лежат в одной плоскости (касательной к задней поверхности): 0 sinϕ cosϕ [ P × З ]З 1 3 = - cosθ 1 - cosα 3 –os τ 2 0 cosα 3 sin τ 2 sinθ 1 = 0 ; sinα 3 −sin ϕ (−сos θ1 sin α3 + cos α3 cos τ2 sin θ1) − cos ϕ cos θ1 cos α3 sin τ2 = 0; sin ϕ сos θ1 sin α3 = sin ϕ cos α3 cos τ2 sin θ1 + cos ϕ cos θ1 cos α3 sin τ2; tg α3 = tg θ1 cos τ2 + ctg ϕ sin τ2. Задняя поверхность зуба сверла может быть оформлена участками различных поверхностей: плоскость, двойная плоскость, винтовая, коническая или цилиндрическая. Различная форма задней поверхности определяет различный характер изменения задних углов вдоль режущей кромки, требует различного оборудования на операции заточки. При заточке задней поверхности сверла формируются величина заднего угла на периферии (где его величина наименьшая), угол при вершине сверла и угол наклона поперечной режущей кромки. Закономерности формирования углов зуба сверла при заточке по различным поверхностям приблизительно одинаковы. Рассмотрим наиболее простой и наглядный вид заточки – по плоскости. При заточке по плоскости положение задней поверхности зуба сверла однозначно определяется только двумя угловыми параметрами, например, задним углом и углом при вершине. В результате пересечения плоских задних поверхностей двух зубьев образуется поперечная кромка, угол наклона которой (рис. 6.9) ψ = 90 − θ2. 113 Рис. 6.9. Заточка задней поверхности зуба сверла по плоскости Здесь линия dB является следом пересечения плоскости II−II (рис. 6.8) с задней поверхностью зуба сверла. При плоской задней поверхности зуба сверла линия dB параллельна поперечной режущей кромке. Если при заточке зуба заданы углы αN, 2ϕ, то используя вышеприведенные соотношения углов можно определить угол наклона поперечной режущей кромки: αN = τN + θN; tg τN = tg τ2 cos ϕ (τ2 = µ); θN = αN − τN; tg θ2 = tg θN/cos ϕ; ψ = 90 − θ2. При задании углов α3, 2ϕ: tg θ1 = (tg α3 − ctg ϕ sin τ2)/cos τ2 (τ2 = µ); tg θ2 = tg θ1 tg ϕ; ψ = 90 − θ2. При задании углов 2ϕ, ψ: θ2 = 90 − ψ; tg θ1 = tg θ2/ tg ϕ; tg α3 = tg θ1 cos τ2 + ctg ϕ sin τ2 (τ2 = µ). Таким образом, при заточке зуба сверла нельзя обеспечить произвольное соотношение всех трех углов α, 2ϕ, ψ. При заточке зуба сверла по плоскости необходимо обеспечить определенную минимальную величину заднего угла для предотвращения “затирания” задней поверхности зуба. Если провести сечение II−II через периферийную точку режущей кромки, то линия dB пересечения плоскости II−II и задней поверхности зуба пройдет под углом θ2 по задней поверхности зуба сверла, а по поверхности резания − по окружности вращения точки d. Эта окружность пересекается с задней плоско- 114 стью (прямая dB) в точке b, расположенной вне тела зуба сверла. Следовательно, будет обеспечено свободное перемещение задней плоскости в процессе резания (считая, что подача равна нулю). Для предотвращения “затирания” задней поверхности зуба сверла в предельном случае линия dB может проходить через точку e. Рассматривая равнобедренный треугольник ode можно получить условие минимально необходимой величины заднего угла: d = (π − ε)/2 = π ε − (θ2 + µ) ⇒ θ2 = − µ; 2 2 tg θ1 = tg θ2/tg ϕ; tg α3 = tg θ1 cos τ2 + ctg ϕ sin τ2. Значительная необходимая величина угла θ2 обуславливает необходимость выполнения при одноплоскостной заточке большой величины угла α3 = 20−25°, что ограничивает возможности использования этого метода. Практически его используют при заточке сверл малого диаметра либо твердосплавных сверл с малым углом ε. Контрольные вопросы 1. По каким критериям могут назначаться геометрические параметры режущего лезвия? 2. Чем вызвана необходимость пересчета углов в различные секущие плоскости? 3. Назовите способы определения взаимосвязи углов в различных секущих плоскостях. 4. Сущность кинематического способа определения взаимосвязи углов в различных секущих плоскостях. 5. Какие свойства векторных произведений используются при анализе геометрии режущего лезвия? 6. Какие независимые угловые параметры характеризуют геометрию режущего лезвия резца с СМП? 7. В какой плоскости лежит вектор, направленный по режущей кромке инструмента? 8. Чем отличаются рассмотренные способы выполнения гнезда под СМП в державках инструмента? 9. Почему при векторном анализе геометрии режущего лезвия используются, как правило, единичные векторы? 10. Как можно повлиять на характер изменения переднего угла вдоль режущей кромки? 11. Какие угловые параметры характеризуют заднюю поверхность зуба сверла и какие из них являются независимыми? 115 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТЫ РЕЗАНИЯ ПО РЕЖУЩИМ КРОМКАМ ИНСТРУМЕНТА В процессе резания происходит износ режущего лезвия инструмента. Наиболее часто наблюдается неравномерный износ режущего лезвия вдоль режущих кромок. Например, наиболее интенсивно изнашиваются вершина резца, уголки периферийных участков режущих кромок сверла и т.д. После того как относительно небольшой участок кромки износится, инструмент следует переточить, при этом другие участки режущих кромок еще способны были производить резание. Причиной неравномерного износа является различная загрузка режущего лезвия вдоль режущей кромки. Поэтому степень совершенства конструкции инструмента определяется и равномерностью нагрузки различных участков режущего лезвия. Нагрузка рассматриваемой точки режущей кромки характеризуется, главным образом, скоростью резания, толщиной срезаемого слоя, продолжительностью контакта режущего лезвия с материалом заготовки и геометрией режущего лезвия в рассматриваемой точке. Поэтому при решении задачи создания совершенной конструкции инструмента необходимо представлять законы изменения нагрузки на разных участках режущих кромок, то есть определять величины скоростей резания, толщину срезаемого слоя, время резания и геометрию режущего лезвия. Скорость резания для исследуемой точки режущей кромки инструмента в любой момент времени есть скорость движения этой точки относительно заготовки. В большинстве случаев формообразования это движение основано на сочетании элементарных прямолинейно-поступательных и вращательных равномерных движениях. Результирующую скорость резания можно определить суммой векторов составляющих движений. Обычно это необходимо учитывать только при сопоставимых величинах скоростей элементарных движений (что наблюдается при комбинированных схемах резания). В большинстве случаев механической обработки скорость движения одного из составляющих движений на несколько порядков больше и анализ ведут по доминирующему движению. Толщина срезаемого слоя определяется, в основном, величиной подачи и геометрией режущего лезвия, а время контакта − кинематикой относительного движения инструмента и заготовки. Режущая часть инструмента выполняет две функции: придает номинальной поверхности требуемую форму и срезает с нее припуск. Обе функции взаимосвязаны и взаимозависимы, но находятся в противоречии: рациональная схема формообразования, как правило, не соответствует рациональной схеме срезания припуска. Это противоречие необходимо решить оптимальным образом. Возможность такого решения заключается в следующем: 116 1. Для получения номинальной поверхности детали инструмент должен совершать определенные движения. Однако в зависимости от схемы формообразования возможна некоторая свобода при выборе некоторых движений. 2. Режущая кромка инструмента в общем случае состоит из формообразующего (касающегося номинальной поверхности детали) и неформообразующего участков. Форма последнего может быть выбрана с учетом рациональной схемы резания. С этой же точки зрения в конструкцию инструмента могут быть внесены режущие неформообразующие кромки, форма, размеры и расположение которых полностью могут быть выбраны из условия резания. Номинальная поверхность детали может быть получена тремя способами (рис. 1.2). В случае, если ИИП инструмента осуществляет контакт по всей номинальной поверхности 2, то для осуществления процесса формообразования инструмент совершает только одно движение − подачу сближения 3. ИИП инструмента может контактировать с номинальной поверхностью детали по линии (образующей или направляющей). Для осуществления процесса формообразования инструмент, кроме подачи сближения 3, имеет подачу по направляющей 4 или образующей. При контакте ИИП инструмента в точке для осуществления процесса формообразования инструмент, кроме движения сближения, имеет две подачи: 4, 5 по направляющей и образующей. При разном количестве подач во всех отмеченных способах формообразования получается номинальная поверхность детали, которую можно характеризовать двумя производящими линиями: q, n. ИИП инструмента также характеризуется двумя параметрами, определяющими образующую и направляющую линии, которые являются геометрическим местом точек касания ИИП с номинальной поверхностью детали. Таким образом, при различных способах формообразования две криволинейные координаты q, n номинальной поверхности детали зависят от двух до четырех параметров инструмента. Поэтому при числе параметров больше двух появляется возможность задаться частью параметров инструмента, а два параметра однозначно определить в зависимости от координат q, n. Параметры инструмента, которые выбирают, называют свободными, а параметры, которые однозначно рассчитывают − связанными. При проектировании режущих инструментов за свободный параметр стараются принимать направляющую ИИП. Обычно направляющей придают наиболее простую форму, выполняя ее прямой, дугой окружности или винтовой линией постоянного шага. В соответствии с этим ИИП получается цилиндрической, поверхностью вращения или винтовой поверхностью. Инструменты, у которых ИИП является цилиндрической, называют реечными; вращения − дисковыми; винтовой − червячными. Итак, число параметров инструмента, влияющих на процесс формообразования номинальной поверхности детали, может быть равно двум, трем или четырем. В первом случае конструктор не может управлять процессом формообразования, так как ИИП инструмента совпадает с номинальной поверхностью 117 детали. Во втором случае конструктор может в качестве свободного принять любой из трех параметров инструмента; в третьем случае он может выбрать в качестве свободных любые два параметра из четырех. Управлять процессом формообразования можно только за счет свободных параметров инструмента. Однако “произвольность” здесь относительная. Границы, в которых можно осуществлять выбор свободного параметра, определяются тремя условиями формообразования номинальной поверхности детали производящей поверхностью инструмента. В области условий формообразования для выбора свободного параметра существуют оценочные функции, которые зависят от конкретных условий обработки детали. Припуск с номинальной поверхности детали удаляют отдельными слоями. Образование номинальной поверхности и деление припуска на отдельные слои называют схемой резания. Для срезания припуска инструмент совершает относительно заготовки главное движение и движение подачи. Эти движения могут совершаться поочередно или одновременно, при этом количество подач может быть несколько. В первом случае говорят, что инструмент совершает простые движения, во втором − сложные. Простое движение подачи может быть заложено в конструкцию инструмента и в этом случае говорят о конструктивной подаче в отличие от подачи перемещением, которую называют кинематической. 7.1. Расчет кинематических и конструктивных подач Линейные, угловые и другие величины, изменение которых определяет перемещение инструмента относительно номинальной поверхности детали, называют параметром подачи. Величина подачи − относительное перемещение инструмента и заготовки за единицу параметра подачи. При одновременном осуществлении кинематической и конструктивной подачи получают результирующую, которая равна геометрической сумме составляющих. Кинематическая подача может осуществляться по прямой и винтовой линии, дуге окружности, эвольвенте, циклоиде и т.п. Так, при формировании на номинальной поверхности направляющей в виде прямой и винтовой линий, дуги окружности подачу инструмента осуществляют по этой направляющей. Инструмент, работающий по методу обката, подачу имеет по образующей, которая может быть эвольвентной, циклоидальной. Рассмотрим некоторые виды подач. Для дискового инструмента при подаче по дуге окружности параметром подачи является угол поворота инструмента вокруг оси заготовки (рис. 7.1 а). 118 Рис. 7.1. Величина круговой и винтовой подачи Положение произвольной точки Х режущей кромки, для которой определяют подачу, задают радиусом Rux и углом θux (от линии ООu межосевого расстояния m). На заготовке эта точка будет определяться углом θх и радиусом rх: R ux sin θ ux ; tg θx = m − R ux cos θ ux rx = Rux sin θux/sin θx. Для каждого значения rx величина подачи будет различной. Если ∆ S − параметр подачи заготовки за оборот главного движения, то величина подачи Sоб = ХХ′ = rx ∆ S. Подача на зуб фрезы определится с учетом числа зубьев фрезы и углового шага зубьев ε: Sz = Sо б ε. 2π При равномерном шаге зубьев: Sz = Sоб/z. При настройке режима резания число оборотов заготовки составит: 119 nзаг = ∆Sn ф 2π = S о бn ф 2πrx = S z Zn ф 2πrx . Винтовое движение является суммой прямолинейного и вращательного движений. Поэтому и величина подачи будет определяться геометрической суммой величин подач Szос вдоль оси детали и круговой Szк р . Подачи эти взаимосвязаны (рис. 7.1 б): S zк р S zoc = tg ωx = 2πrx ; Sz = Szк р + Szoc ; H Szx = Szoc/cos ωx. Определим величину подачи при формообразовании образующей долбяками. В этом случае подача происходит по циклоидальной кривой (нормальной, удлиненной или укороченной), так как произвольная точка Х режущей кромки долбяка изменяет свое положение вследствие качения начального цилиндра долбяка по начальному цилиндру детали (рис. 7.2). Параметром подачи является угол поворота долбяка вокруг своей оси. Пусть за один двойной ход долбяка он повернулся на угол ∆ε. Относительно детали ось долбяка при этом из положения Оu переместится в положение О′u, а точка Х режущей кромки − из положения, определяемого параметрами rux и θux, переместится по циклоидальной кривой ХХ′ в положение Х′. Величина дуги ХХ′ и является подачей на зуб. Точное ее определение достаточно громоздкое, и на практике в качестве величины подачи на зуб можно принять хорду ХХ′ (учитывая, что величина подачи на зуб Sz по сравнению с радиусами rux и rx очень мала). Подачу на зуб Sz и угол ν, характеризующий ее направление при известных ru.н, rн, θux, rux, ∆ε определяют в соответствии с расчетной схемой в следующей последовательности: 120 Рис. 7.2. Определение величины подачи при зубодолблении rx = ( rux sin θ ux ) 2 + ( rн + rин − rux cos θ ux ) 2 ; ruн ∆ε rux ; sin θ ; sin θx = δ= ux rн rx tg θx′ = rux sin(θ ux − ∆ε ) ; r’ + ru .н − rux cos(θ ux − ∆ε ) η = θx′ + δ − θx; rx′ = Sz = 2 r’ + ru .н − rux cos(θ ux − ∆ε ) ; ′ cos θ x rx + rx ′2 ′ − 2rx rx cos η ; ′ 2 2 rx + S z − ( rx ) 2 . cos ν = 2rx S z Подобным образом можно определить величину и направление кинематической подачи и при других способах обработки. Величина конструктивной подачи инструмента для каждого конкретного инструмента определяется достаточно просто. Примером могут быть протяжки, 121 метчики и т.п. Определим величину конструктивной подачи у протяжки с винтовым зубом. Режущие кромки данной протяжки имеют форму винтовых линий, расположенных на конусе (рис. 7.3). Рис. 7.3. Величина конструктивной подачи протяжки с винтовым зубом В плоскости, перпендикулярной оси, они проектируются в виде архимедовых спиралей. Если протяжка имеет один зуб, то величина конструктивной подачи будет равна изменению радиус-вектора за один оборот: Sz.к = (d 2 − d 1 ) H 2 l , где Н − шаг винтовых зубьев; d2, d1 − соответственно наибольший и наименьший диаметры; l − длина конической части. Если на протяжке z зубьев, то Sz.к = d 2 − d1 H . lz 2 7.2. Выравнивание нагрузки вдоль режущей кромки зуба сверла Условия резания вдоль режущей кромки зуба сверла резко изменяются: изменяются величины переднего и заднего углов, скорость резания. И непосредственное влияние на эти элементы либо невозможно, либо требует существенного усложнения конструкции инструмента. Но существует и другой путь воздействия на процесс резания. 122 Экспериментально установлено, что для большинства процессов резания (в том числе и для сверления) справедлива зависимость V= C , ay где V, a − соответственно скорость резания и толщина срезаемого слоя; С, у − коэффициенты, зависящие от условий операции ( у = 0,35...0,66). Для того чтобы обеспечить приблизительно одинаковые условия резания вдоль режущей кромки зуба сверла, должно выполняться условие С = Vx axy = const. То есть с увеличением радиуса точки режущей кромки толщина срезаемого слоя должна уменьшаться. Толщина срезаемого слоя при сверлении определяется величиной подачи на зуб Sz (которая для всех точек режущей кромки одинакова) и величиной угла в плане ϕ ( а = Sz sin ϕ). Следовательно, для выполнения одинаковых условий резания вдоль режущей кромки с увеличением радиуса рассматриваемой точки угол ϕ должен уменьшаться. Это определит криволинейность режущей кромки. Определим необходимую закономерность изменения угла ϕ и форму режущей кромки. При криволинейной режущей кромке должно выполняться соотношение ′ 2 πR x n C = . Vx = 1000 (S z sin ϕ x ) y Определим число оборотов инструмента для точки, соответствующей пересечению главной и поперечной режущих кромок (Rx = Rп). В этой же точке зададимся величиной угла ϕ: 2 πR п n C = 1000 (S sin ϕ ) y ⇒ n= C1000 . 2πR п (S z sin ϕ) y Тогда для произвольной точки режущей кромки: 2 πR x C1000 C ; y = (S z sin ϕ x ) 1000 ⋅ 2 πR п (S z sin ϕ) y 123 Rx 1 y = (sin ϕ x ) R п (sin ϕ) y Rп ⇒ sin ϕx = Rx 1/ y sin ϕ. Получили закономерность изменения угла в плане вдоль режущей кромки. Изменение радиуса на длине заборного конуса можно записать в виде у′ = dR/dZ. Учитывая геометрический смысл производной и определение дифференциала функции, можно записать: у′ = tg ϕx ≅ ∆R x ∆Z ⇒ ∆ Z ≅ Rx / tg ϕx. Рассмотрим численный пример: R = 10 мм; Rп = 0,1R = 1 мм; у = 0,5. Расчеты сведем в табл. 7.1. ϕ = 60°; Таблица 7.1 Параметры режущей части Rx Rп Rx 1 2 3 4 6 8 10 1 0,25 0,11 0,0625 0,027 0,016 0,01 1/ y sin ϕx ϕx° tg ϕx ∆Rx ∆Z 0,866 0,216 0,095 0,054 0,023 0,013 0,0086 60 12,5 5,47 3,10 1,34 0,771 0,50 1,73 0,222 0,096 0,054 0,023 0,013 0,0086 0 1 1 1 2 2 2 0,00 4,50 10,42 18,52 86,96 153,85 232,56 Приведенный пример показывает, что при выполнении требуемого условия длина режущей части (Σ ∆Z ≅ 500 мм) получается нереальной. Но одновременно видно, что наиболее интенсивное изменение угла ϕ происходит на длине всего 5...15 мм. Поэтому в производстве используют инструменты с криволинейной (радиусной) режущей частью, у которых, задаваясь углом ϕ и длиной режущей частью, определяют радиус заменяющей окружности и координаты его центра и оценивают угол ϕ2 в переходной точке к наружному диаметру (рис. 7.4). 124 Рис. 7.4. Расчетная схема аппроксимации В соответствии с расчетной схемой имеем: Ro = A1A 2 ; A1A2 = 2 cos ε ( R − R п ) 2 + 12 ; ε = 90 − (ϕ − σ); tg σ = (R − Rп)/l; У0 = Rп − R0 cos ϕ; Z0 = R0 sin ϕ; cos ϕ2 = (R − У0)/R0. Определим параметры режущей части сверла по вышеприведенным данным для l = 6, 10, 15 мм: а) l = 6 мм: R0 = 83,7 мм; У0 = −40,8 мм; Z0 = 72,5 мм; ϕ2 = 52,6°; б) l = 10 мм: R0 = 21,8 мм; У0 = −9,9 мм; Z0 = 18,8 мм; ϕ2 = 24°; в) l = 15 мм: R0 = 18 мм; У0 = −8,0 мм; Z0 = 15,6 мм; ϕ2 = 2,7°. Видно, что при l = 6 мм изменение угла ϕ незначительно. Поэтому и перераспределение нагрузки будет незначительно. При l ≥ 10 угол ϕ изменяется уже существенно и следует ожидать эффекта от такой режущей части. Криволинейную режущую часть выполняют не только на сверлах, но и на других инструментах имеющих заборный конус: зенкерах, развертках, метчиках и т.п. Существенным ограничением для широкого использования такой формы режущей части является отсутствие достаточно удобной конструкции 125 приспособления для заточки. Поэтому в практике достаточно широко используется грубое приближение режущей части в виде заточки двойного угла в плане. Контрольные вопросы 1. Какие участки режущего лезвия подвергаются наибольшему износу? 2. Что характеризует нагрузку произвольной точки режущей кромки? 3. За счет чего можно согласовать при профилировании инструмента условия формообразования и срезания припуска? 4. Что такое свободные и связанные параметры инструмента? 5. Виды подач в конструкциях инструмента. 6. Что такое параметр и величина подачи? 7. Назовите параметр подачи при круговом относительном движении инструмента и заготовки. 8. Параметр подачи при зубодолблении. 9. Определите величину подачи для протяжки с винтовым зубом. 10. Как можно выровнить нагрузку вдоль режущей кромки сверла? 8. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ИНСТРУМЕНТА Для обработки заданной поверхности в общем случае можно спроектировать инструмент, имеющий различные конструктивно-геометрические параметры. Обычно при выборе габаритных размеров инструмента конструктор руководствуется действующими ГОСТами, габаритными и присоединительными размерами станка, приспособления и т.п. Действительно, эти положения должны приниматься во внимание, чтобы снизить затраты на изготовление и эксплуатацию инструмента, а в ряде случаев обеспечить и саму возможность обработки. Однако режущий инструмент предназначен для реализации процесса резания и для повышения эффективности обработки необходимо принимать во внимание те особенности операции, которые определяют сам процесс резания. Так, например, назначение геометрических параметров режущего лезвия осуществляется с целью обеспечения наибольшей стойкости инструмента. При этом принимаются во внимание обрабатываемый материал и его состояние, вид режущего инструмента, в ряде случаев характер обработки (черновая или чистовая, прерывистый или непрерывный процесс резания и т.п.). Эта процедура достаточно хорошо формализована и соответствующие рекомендации имеются в различных справочниках, нормативных документах. Здесь можно говорить лишь о степени их соответствия действительности. В значительно меньшей степени подобная формализация осуществлена при выборе, например, диаметра, числа и характера расположения зубьев мно- 126 гозубого инструмента, размеров переходных и присоединительных элементов и т.п. Для практической реализации обоснованного проектирования необходимы критерии оптимизации элементов инструмента. Критерии оптимальности − это сформулированные условия достижения того или иного качественного или количественного выходного параметра при функционировании процесса или объекта, выраженные в виде математического соотношения параметров объекта или процесса. Критерии оптимальности должны позволять сравнивать между собой подобные объекты и выбирать наилучший либо назначать их параметры. Проблема оптимизации имеет два основных аспекта: постановку задачи и ее решение. В постановку задачи входят: выбор критерия оптимизации, определение существенных технических ограничений, выбор управляющих параметров и определение пределов их изменения. Трудность решения оптимизационной задачи заключается не в ее непосредственном решении с помощью соответствующего математического аппарата (последний существует практически для всех типов оптимизационных задач). Трудности возникают при формулировке оптимизационной задачи и особенно при выборе критерия оптимизации. В процессе резания на различных операциях механической обработки действуют разнообразные доминирующие технические условия, которые должны быть учтены в первую очередь. Так, например, на черновых операциях часто возникают сложности с обеспечением прочности и жесткости элементов инструмента, проблемы стружкоудаления и виброустойчивости, на чистовых операциях − проблемы обеспечения качества обработанной поверхности, размерной стойкости инструмента и т.д. Иногда требуется одновременно обеспечить оптимальные условия резания по нескольким критериям, часто взаимопротиворечащим друг другу. В этом случае неизбежно лишь компромиссное решение на основе многокритериальной оптимизации. Создание благоприятных условий резания на основе оптимизации параметров инструмента представляется весьма эффективным. Это связано с тем, что другие элементы технологической системы (станок, приспособление, заготовка) или невозможно изменить в действующем производстве, или это связано со значительными затратами. Инструмент − более гибкий элемент. Проектирование и изготовление нового инструмента обычно требуют относительно небольших затрат. Но для проектирования инструмента с учетом условий резания на конкретной операции требуются глубокое понимание сущности решаемой проблемы и умение разрабатывать соответствующие модели и критерии выбора параметров инструмента. Проблема оптимизации является общей и важнейшей задачей для любого процесса проектирования. Задача эта сложная и до сих пор не решена методически. Так, например, не всегда удается выполнить следующие условия процесса оптимизации: а) определить типаж и потребность в тех или иных конструкциях; 127 б) учесть все стадии существования продукции: проектирование, изготовление и эксплуатацию. В связи со сказанным можно заключить, что идеальной оптимизации нет и, по-видимому, не будет, вследствие бесконечности процесса познания. Идеальную оптимизацию можно рассматривать как цель, к которой необходимо стремиться. Мы не будем рассматривать все аспекты постановки и решения оптимизационной задачи. Это является предметом специальных дисциплин и для углубленного изучения сущности вопроса необходимо обращаться к специальной литературе. Ограничимся лишь вопросом формулировки и разработки критериев оптимальности на примере некоторых операций механической обработки. 8.1. Взаимосвязь конструктивно-геометрических параметров раскройных фрез Термин “фрезерование” обычно относится к операциям, на которых инструмент работает частью своего диаметрального размера. При вырезании деталей из листовых заготовок широко используются концевые фрезы, работа которых осуществляется всем диаметром. Операция раскроя листовых заготовок характеризуется высокой силовой и температурной нагрузками на режущий инструмент, затрудненными условиями отвода стружки из зоны резания. Из всех видов фрез к раскройным концевым фрезам предъявляются самые жесткие требования в отношении правильного выбора конструктивно-геометрических параметров. Произвольный выбор конструктивно-геометрических параметров раскройных фрез приводит к отказам инструмента, проявляющимся в заваривании стружечной канавки либо механической поломке. Для выбора конструктивно-геометрических параметров фрез необходим критерий, который учитывал бы основные особенности работы инструмента. Применительно к раскройным фрезам прежде всего необходимо учесть возникающие силы резания и условия нормального отвода стружки. Оба эти условия в значительной мере определяются сечением срезаемого слоя. Наиболее просто силу резания представить пропорционально объему пластически деформируемого металла, который определяется площадью срезаемого слоя. Площадь срезаемого слоя одним винтовым зубом фрезы определяется F= Sz D (cos θ1 − cos θ2), 2 sin ω где θ1, θ2 − соответственно угол входа и выхода зуба фрезы; D − диаметр фрезы; ω − угол наклона стружечной канавки. У фрез с винтовой стружечной канавкой одновременно в работе может находиться несколько (m) зубьев: 128 m= ϕ ψ + , ε ε где ε − окружной шаг зубьев (ε = 2π/Z); ϕ, ψ − соответственно угол контакта фрезы и зуба фрезы с заготовкой (рис. 8.1): cos ϕ = 1 − D 2t ; 1 − 2 = ψ = 1′ − 2 = B tg ω; 2 D ψ= 2B tgω. D При раскрое угол контакта фрезы с заготовкой ϕ = π. Рис. 8.1. Углы контакта ϕ и ψ фрезы и зуба фрезы с заготовкой Поэтому Z Btgω ϕZ 2 Btgω Z. + Z = + 2 πD 2π D2 π Суммарная площадь FΣ cечения срезаемого слоя от m зубьев m= Sz D m FΣ = ∑ (cos θ 1 − cos θ 2 ). 2 sin ω 1 129 Определим угловое положение зуба фрезы, характеризуемое углом θ2, соответствующее максимальной площади сечения срезаемого слоя (максимальной силе резания): Sz D m F′Σ = ∑ (sin θ 2 − sin θ1 ) = 0. 2 sin ω 1 Очевидно, что равенство выполнится при условии m ∑ (sin θ 2 − sin θ1 ) = 0. 1 Углы θ2 и θ1 связаны между собой соотношением (рис. 8.1) θ2 = θ1 + ψ. Если в контакте с заготовкой находится один зуб, то условие FΣ = 0 принимает вид ψ ψ sin θ2 − sin (θ2 −ψ) = 0 ⇒ 2 cos θ 2 − sin = 0. 2 2 ψ = 0 соответствует работе прямозубой фрезы (так как ψ = 2 0°). Поэтому для фрезы с винтовой стружечной канавкой должно выполняться условие Условие sin ψ π ψ cos θ 2 − = 0 ⇒ θ2 = + . 2 2 2 Выражение угла θ2 показывает, что максимальная сила резания возникает при симметричном положении зуба по отношению к направлению подачи. При одновременной работе двух зубьев фрезы sin θ21 − sin θ11 + sin θ22 − sin θ12 = 0, где степени 1, 2 соответствуют углам θ2 выхода и θ1 входа первого и второго 2π ; θ12 = θ22 − зубьев. Приведем все углы к углу θ21: θ11 = θ21 − ψ; θ22 = θ21 − Z 2π . Тогда ψ = θ21 − ψ − Z 130 sin θ21 − sin (θ21 − ψ) + sin (θ21 − 2π 2π ) − sin (θ21 − ψ − ) = 0. Z Z После преобразований cos (θ21 − ψ ψ 2π ψ π π ) + cos (θ21 − − ) = 0; 2 cos (θ11 − − ) cos = 0. 2 Z 2 Z 2 Z Окончательно θ21 = π ψ π + + . 2 2 Z Аналогично можно получить выражение угла θ21 для 3, 4,..., m одновременно работающих зубьев. Поэтому общим выражением для угла θ2 является θ2 = Btgω π π . + (m − 1) + D 2 Z В первом приближении можно принять, что главная составляющая силы резания действует в направлении, перпендикулярном движению подачи (рис. 8.2). При работе концевая фреза подвергается изгибу, а возникающие при этом напряжения определяются как величиной действующей силы резания, так и моментом сопротивления изгибу ее поперечного сечения. В различных радиальных направлениях момент инерции сечения (и момент сопротивления изгибу) фрезы различен. Для наилучшего использования прочностных свойств материала инструмента необходимо, чтобы опасное сечение фрезы было ориентировано своей максимальной жесткостью в направлении действия наибольшей силы. Это соответствует положению зуба фрезы в опасном сечении в направлении действия силы в соответствии с рис. 8.3. 131 Рис. 8.2. Направление действия главной составляющей силы резания Р Рис. 8.3. Согласование жесткости поперечного сечения раскройной фрезы и направления действия силы резания Для обеспечения указанного расположения на угле θ2′, соответствующем опасному сечению фрезы (рис. 8.4), необходимо выполнение целого числа зубьев θ 2′ θ 2′ Z = . а= ε 2π С учетом соотношения для угла θ2 при В = l π π Z lZtgω ltgω + ( + − 1) + πD 2 Z 2 D Z Z + ltgωZ − 1 ≤ Z. = а= 2 2 πD 2π 132 Рис. 8.4. Расчетная схема расположения зубьев фрезы Данное выражение показывает, что конструктивно геометрические параметры фрезы (l, D, ω, Z) взаимосвязаны и определяют ориентацию опасного сечения. Определим из этой взаимосвязи угол наклона стружечной канавки (другие параметры более жестко связаны между собой и условиями операции): tg ω ≤ πD ( Z + 1) , 2 lZ где l − рабочая длина фрезы (l = кВ); к − коэффициент рабочей длины (к > 1). Допустимый коэффициент рабочей длины (к) можно определить из ограничения числа одновременно работающих зубьев m= Z Btgω + Z ≤ Z. πD 2 Нарушение этого условия приводит к “двойному” резанию зубом фрезы. Оно происходит в случае, когда угол контакта ψ зуба фрезы будет больше 180°. В этом случае зуб фрезы, не закончив резание на предыдущем обороте, начинает следующий рабочий цикл. Стружка, образовавшаяся на предыдущем обороте, вследствие своей упругости стремится освободиться из стружечной канавки и свободный конец ее может защемляться режущим лезвием и обрабатываемой поверхностью при повторном цикле резания. Это ухудшает условия работы ре- 133 жущего лезвия. При повторном резании зуба в одной стружечной канавке оказываются две стружки, которые, препятствуя свободному отходу, способствуют пакетированию стружки и, в конечном итоге к поломке инструмента. Определенному решению этой проблемы могли бы способствовать стружкоразделительные канавки на зубьях инструмента. Однако они не всегда оказываются работоспособными (особенно при обработке вязких материалов). Предельная величина угла наклона стружечных канавок для предотвращения “двойного” резания определяется из выражения ψ ≤ π: ψ= 2B πD . tg ω ≤ π ⇒ tg ω ≤ 2B D Одновременное выполнение условий ориентации опасного сечения фрезы и предотвращение “двойного” резания зубом фрезы обеспечивается выбором коэффициента рабочей длины фрезы (Кпр): m= BπD ( Z + 1) Z+1 Z Btgω Z . + Z= + ≤ Z ⇒ Кпр ≥ πD 2BК п р 2 πD 2 Z Таким образом, критерий ориентации опасного сечения фрезы и предотвращения “двойного” резания зубом фрезы реализован через взаимосвязь конструктивно-геометрических параметров инструмента, что необходимо учитывать при проектировании. 8.2. Проектирование фрез с учетом динамических явлений Отличительными особенностями процесса фрезерования являются периодичность работы зубьев и непостоянство сечения срезаемого слоя каждым зубом инструмента. Это приводит к переменной периодической силе резания. Переменные силы резания обуславливают возникновение колебаний технологической системы. Интенсивные колебания снижают стойкость инструмента (в некоторых случаях вызывают его поломку), ухудшают качество обработанной поверхности, ускоряют износ оборудования и в конечном итоге снижают эффективность механической обработки. Поэтому приходится принимать специальные меры по снижению интенсивности колебаний. Интенсивность колебательных процессов зависит от соотношения сил поддерживающих колебания и сил сопротивления системы. Увеличение сил сопротивления системы осуществляется применением виброгасителей различной конструкции, увеличением массы и жесткости элементов системы и т.п. Этот путь связан либо с капитальными затратами, либо с существенным усложнением наладки. Но существует и другой путь воздействия на колебания технологической системы. Он связан с управлением силами, под- 134 держивающими колебания. Реализация его связана с изучением природы переменности силы резания и воздействием на нее конструктивно-геометрическими параметрами инструмента. Рассмотрим возможности управления динамическими явлениями при цилиндрическом фрезеровании, используя параметры инструмента. Известно, что при цилиндрическом фрезеровании можно подбором фрезы и режима резания обеспечить постоянство площади срезаемого слоя и соответственно силы резания. Условие равномерности фрезерования имеет вид Z= πDк , Btgω где Z, D − число зубьев и диаметр фрезы; В − ширина фрезерования; ω − угол наклона стружечных канавок; к = 1, 2, ... − целое число. Для нормального размещения стружки в стружечной канавке наибольшее число зубьев ограничивают: Zmax ≤ mD tS z , где t − глубина резания; Sz − подача на зуб; m − коэффициент, зависящий от обрабатываемого материала и конструкции фрезы. Для достижения равномерного фрезерования и нормального размещения стружки необходимо, чтобы между элементами режима резания (t, Sz, B) и параметрами инструмента (D, Z, ω) выполнялось следующее соотношение: m Z πк . = ≤ D Btgω tS z На рис. 8.5 представлены зависимости относительного числа зубьев по условию равномерного фрезерования и нормального размещения стружки. Кривая 1 построена для минимально возможного значения Z/D, а кривая 2 − для максимально возможного (m = 0,2 при обработке стали). При B tgω > 25 мм условия равномерного фрезерования и размещения стружки могут быть практически всегда выполнены одновременно. При меньших 135 Рис. 8.5. Относительное число зубьев фрезы и условие равномерности фрезерования (1) и помещаемости стружки (2) значениях B tgω возможно ограничение по условиям размещения стружки. Кроме того, конструктивно выполнить фрезу с требуемым значением относительного числа зубьев не удается (особенно сборной конструкции). При нарушении условия равномерного фрезерования сила резания приобретает характер повторяющихся импульсов. Форма импульсов силы резания зависит от свойств обрабатываемого материала, элементов режима резания, конструктивногеометрических параметров инструмента. Наиболее наглядно это проявляется при обработке “узких” поверхностей (B tgω < 25 мм), когда в работе будут находиться 1...2 зуба (рис. 8.6). В первом приближении можно принять, что форма импульса силы резания определяется соотношением углов контакта ϕ и ψ зуба фрезы с заготовкой: ϕ = arccos (1 − 2 t/D); ψ = 2B tg ω/D. При ϕ < ψ импульс силы резания имеет форму равнобочной трапеции, при ϕ ≥ ψ − треугольный. Вынужденные колебания технологической системы близки к гармоническим. Гармонические колебания происходят только при гармонической возмущающей силе. Следовательно импульсы силы резания должны содержать гармонические составляющие. Импульсы силы резания являются периодическими, 136 Рис. 8.6. Осциллограммы главной составляющей силы резания: D = 122 мм; В = 16 мм но не гармоническими. Если рассматривать импульсы силы резания как результирующую ряда гармонических составляющих, то, очевидно, что возмущение технологической системы происходит на многих частотах. Вспомним сущность разложения периодической функции в ряд Фурье. Любую периодическую непрерывную функцию можно разложить в гармонический ряд Фурье. Сила резания (рис. 8.7) выражается следующим образом: τ 0 ≤ τ ≤ τ1 P0 τ 1 Р(t) = τ − τ P 0 τ ≤τ ≤τ 0. 0 τ 0 − τ 1 1 137 Рис. 8.7. Расчетный импульс силы резания Тогда ∞ a0 2πit 2πit ( a i cos ), + + b i sin Р(t) = ∑ T T 2 i =1 где ai, bi − коэффициенты Фурье: τ T 21 τ 2πiτ 2 2πit P dτ + cos ( ) cos P t dt = ai = ∫ 0 τ0 T ∫0 τ 1 T0 T τ0 + ∫ P0 τ1 τ0 − τ 2πiτ cos dτ ; τ 0 − τ1 τ0 τ T 21 τ 2πiτ 2 2πit sin P dτ + P t dt ( ) sin = bi = ∫ 0 T ∫0 τ 1 τ0 T0 T τ0 + ∫ P0 τ1 τ0 − τ 2πiτ sin dτ ; τ 0 − τ1 τ0 i − номер гармонической составляющей (i = 1, 2,...). Первая гармоническая составляющая разложения имеет частоту nz, вторая − 2nz, i-я − inz. Полученные гармоники образуют “спектр”, а сама процедура анализа иначе называется спектральным анализом. Амплитудное значение 2 2 гармонической составляющей силы резания Аi = a i + b i . Очевидно, что чем больше составляющая, тем сильнее ее воздействие на систему. А амплитуда колебаний в системе определится не только значением амплитудной составляю- 138 щей, но и возможными резонансными явлениями, которые происходят при совпадении частоты возмущающей силы и собственной частоты какого-либо элемента технологической системы. Учитывая, что количество гармонических составляющих бесконечно, а количество элементов в технологической системе большое, то при фрезеровании проявляющиеся колебания обычно являются резонансными. Наибольшее количество энергии несут первые гармоники. Поэтому резонанс на них наиболее опасен. Соотношение энергии в гармониках возмущения непостоянно, и как показывает анализ, зависит от величины фронта нарастания и спадания силы в импульсе (рис. 8.8). Рис. 8.8. Распределение энергии по гармоникам возмущения Выразим параметры импульса через конструктивно-геометрические параметры инструмента: Х τ1 ; = У τ2 τ1 = ϕ ψ ; ; τ2 = 2 πn 2 πn arccos(1 − 2t / D ) Х τ1 ϕ = = = . У τ2 ψ 2Btgω / D С увеличением фронта нарастания силы в импульсе можно более равномерно распределить энергию по гармоникам (существенно снизив энергию главной гармоники nz). Глубина и ширина резания по условиям операции изменяться практически не могут. Воздействовать на форму импульса можно изменением диаметра фрезы и угла наклона стружечных канавок. С увеличением диаметра фрезы и уменьшением угла наклона стружечных канавок происходит 139 уменьшение количества энергии в основной гармонике, причем угол наклона стружечной канавки оказывает более резкое влияние. При изменении диаметра инструмента необходимо сохранить постоянным относительное число зубьев, так как число зубьев инструмента самостоятельно влияет на частотный диапазон возмущения. Если известна частота f колебаний технологической системы, то необходимое относительное число зубьев фрезы можно определить, задавшись номером гармоники, на которой допустим резонанс: V= πDn ; 1000 f = i n Z; n= 1000V f = ; πD iZ Z fπ = . D 1000Vi Другим направлением использования полученных результатов является выбор характера распределения энергии по гармоникам в соответствие с рис. 8.8. Например, если на операции колебания происходят в районе 3-й гармоники, то можно параметры инструмента выбрать так, чтобы энергию 3-й X = 1 (рис.8.8) можно опредегармоники максимально уменьшить. Приняв У лить, что ϕ = ψ. Если на рис. 8.1 при ϕ = ψ принять длину дуги 1−2= D ψ равной этой же хорде, то можно получить (B tgω)2 ≅ Dt. 2 (B tgω )2 . Тогда D = t Таким образом, можно заключить, что изменяя конструктивно-геометрические параметры фрез можно влиять на характер распределения энергии по гармоникам возмущения и тем самым влиять на интенсивность колебаний технологической системы. 8.3. О роли разношагости зубьев фрезы Силовое воздействие на технологическую систему в процессе резания осуществляется зубьями инструмента. Характер этого воздействия наряду с влиянием обрабатываемого материала, геометрии режущего лезвия, режима резания во многом определяется периодичностью воздействия, которое применительно к фрезам зависит от расположения зубьев по периметру, то есть от разношагости зубьев. Разношагость зубьев фрез является одним из основных параметров, с помощью которого пытаются воздействовать на возмущение технологической системы. В практике встречается различное выполнение зубьев по периметру (рис. 8.9): равномерное чередование большего и меньшего шагов, случайный характер выполнения разношагости и т.п. 140 Рис. 8.9. Разношагость зубьев фрез Влияние разношагости на колебания технологической системы можно пояснить следующим образом. Как указано выше, возмущение технологической системы при переменной силе резания происходит на многих гармониках возмущения. При различном выполнении разношагости количество гармоник возмущения будет различно. Так, при равномерном расположении зубьев возмущение возникает на частотах inz, при чередовании большего и меньшего шагов − inz/2, при произвольной разношагости − in (в соответствии с периодом силы резания). В первом случае наименьшее количество частот возмущения, во втором − больше и наибольшее количество частот возмущения при произвольной разношагости. В первом приближении можно принять, что количество энергии возмущения, которое вносится в систему, приблизительно одинаково для всех случаев разношагости. Поэтому распределение энергии по гармоникам возмущения при произвольной разношагости более равномерное, чем в других случаях. Однако при произвольной разношагости появляются гармоники возмущения, которых нет при другой разношагости, и снижается технологичность конструкции инструмента. При использовании фрез с разношагостью возникают два вопроса: выбор характера и величины разношагости. Можно отметить, что эти вопросы достаточно сложны, зависят от вида колебаний, доминирующих в технологической системе, от параметров системы и т.п. Для глубокого изучения сущности необходимо обратиться к специальной литературе. Мы же рассмотрим лишь пример принципиальной возможности его решения. Определим необходимую величину “равномерной” разношагости для подавления вынужденных колебаний. На рис. 8.10 приведены осциллограммы главной составляющей силы резания при различной величине “равномерной” разношагости. Период силы резания в рассматриваемом случае соответствует времени работы двух смежных зубьев фрезы. И периодическая сила резания будет являться суммой сил резания двух смежных зубьев. В случае решения линейных задач можно, используя принцип суперпозиции, рассмотреть по отдельности влияние сил от каждого зуба (рис. 8.11). В соответствии с разложением 141 Рис. 8.10. Осциллограммы главной составляющей силы резания при различной величине “равномерной” разношагости функции в ряд Фурье можно в этом случае вычислить две пары коэффициентов аi, bi, соответствующих работе каждого зуба. Этим коэффициентам будут соответствовать амплитудные значения А1i, A2i составляющих силы резания для четных и нечетных зубьев. А результирующая периодическая сила резания будет соответствовать их векторной сумме (рис. 8.11). В общем случае эти векторы расположены под некоторым углом ∆ϕ между собой. Очевидно, что в случае i i A1 + A 2 = 0 действие i-й гармоники будет нейтрализовано, т.к. будет отсутствовать соответствующая гармоника возмущающей силы. Выполнение указанного условия возможно если ∆ ϕ = π, 3π, 5π, ... Разность фрез ∆ ϕ равна произведению круговой частоты i-й гармоники на смещение во времени между импульсами силы резания четных и нечетных зубьев: T′ δ ∆ϕ = ωi ∆T = iω + , 2 2 где iω = 2π i; T′ δ= ε 2 − ε1 ∆ε ε +ε = ; Т′ = 1 2 . ω™ р ω™ р ω фр Тогда ∆ϕ = πi (1 + δ ) = кπ T′ 142 ⇒ (к − i) = i δ , T′ Рис. 8.11. Расчетная схема анализа разношагости 143 где к − нечетное целое число (к = 1, 3, 5, ...); i − номер демпфируемой гармоники (i = 1, 2, 3 ...). Для подавления четной гармоники должно выполняться условие i δ = 1, 3, 5 ... T′ Наименьшей необходимой разношагости зубьев (это необходимо для рациональной загрузки зубьев, т.к. при наличии разношагости подача на зуб будет различной) соответствует условие i δ = 1; T′ T′ = ε1 + ε 2 ; ω фр δ= ε 2 − ε1 ω фр ⇒ ε2 = i+1 ε1. i−1 Для демпфирования нечетных гармоник должно выполняться условие i δ = 0, 2, 4, ... T′ δ = 0 соответствует равномерному расположению зубьев. В T′ этом случае отсутствует нечетная гармоника: nz/2, 3nz/2, ... Для сравнения расδ = 2. После преобразования получим смотрим случай i T′ Случай i ε2 = i+2 ε1. i−2 Видно, что для подавления первых гармоник (а именно они наиболее опасны) требуется значительная величина разношагости. При использовании фрез с меньшей величиной разношагости эффект ее проявления будет меньшим. Требуемая величина разношагости весьма значительная и часто просто не может быть реализована в конструкциях инструмента. Если задаться допустимым изменением подачи на зуб Sz max = к Sz min, то можно определить допустимую величину разношагости по этому условию: Sz max = c εmax; Sz min = c εmin; S z max cε max ε 0 + ∆ε / 2 ∆ε ; ε0 (к − 1) = = = ( к + 1); К= S z min cε min ε 0 − ∆ε / 2 2 к − 1 ε0 5 ≤ ⇒ к≤ . ∆ ε = 2 ε0 3 к +1 2 144 Рассмотренный характер разношагости достаточно хорошо воздействует на относительно “высокочастотные” колебания технологической системы (при этом требуется незначительная величина разношагости). Для воздействия на “низкочастотные” колебания больший эффект дают другие закономерности расположения зубьев по периметру. Например, “ступенчатая” разношагость, когда первая половина зубьев выполняется с одним окружным шагом, а вторая − с другим. В целом рассмотрение этого вопроса показывает, что разношагость зубьев воздействует на периодичность возмущающей силы и при соответствующем согласовании ее характера и величины оказывает влияние на колебания в технологической системе. 8.4. Оптимизация образующей многогранной протяжки В разделе 3.3 было установлено, что для получения заданной формы обработанной поверхности необходима определенная взаимосвязь образующей гранной части протяжки с формой вспомогательных задних поверхностей зубьев протяжки. Было рассмотрено три возможных сочетания. Естественно возникает вопрос о применении того или иного варианта. Абсолютным критерием оптимальности того или иного решения является экономический. Однако его реализация требует значительного объема сведений по решаемой операции, которых конструктор, как правило, не имеет. Поэтому на этапе проектирования инструмента большее применение находят технические критерии оптимизации, которые прямо или косвенно связаны с экономическими. Используем этот проход к решаемой задаче. Основным критерием эффективности операции являются приведенные затраты на обработку детали. Технологическая себестоимость Ст является частью приведенных затрат, зависящих от режима резания и конструкции инструмента: Г , Ст = Тшт Б + qт где Тшт − штучное время; Б − затраты, связанные с эксплуатацией оборудования; Г − затраты, связанные с эксплуатацией инструмента за период его службы; qт − число деталей, обработанных за период службы инструмента. Штучное время складывается из основного t0 и вспомогательного tвсп времени, времени на смену tсм, отдых tотд и обслуживание tобсл Тшт = t0 + tвсп + tсм + tотд + tобсл. 145 Основное время при протягивании t0 = l p .x . Vq K 1I , где lp.x − длина рабочего хода; V − скорость протягивания; q − количество одновременно протягиваемых заготовок; I − количество проходов; К1 − соотношение скоростей рабочего и холостого ходов (К1 = 1 + V/Vx.x). Длина рабочего хода зависит от длины Lр рабочей части, задней направляющей lзн, длины протягиваемой заготовки ls, длины перебега lп: lp.x. = Lp + lзн + ls + lп. Таким образом, Тшт = Lp + l з н + ls + lп Vq К1I + tвсп + tсм + tотд + tобсл. Как видно из приведенного соотношения, штучное время определяется, в основном, конструктивным параметром протяжки − длиной ее рабочей части. Затраты на эксплуатацию инструмента складываются из стоимости Ри инструмента и его заточек: Г = Ри + Рп nп, где Рп, nп − стоимость и количество повторных заточек. Число деталей, обработанных протяжкой до ее отказа, qт = Т( n п + 1) , ls где Т − наработка инструмента между отказами (суммарная длина протянутой поверхности). Тогда затраты на инструмент в расчете на одну деталь Г ( Р и + Р п n п )l s . = qт Т( n п + 1) 146 Стоимость инструмента зависит от его диаметра, длины и числа зубьев. Стоимость переточки наиболее явно зависит от числа зубьев. Таким образом, затраты на инструмент зависят от длины его рабочей части и числа зубьев, то есть от конструктивных параметров протяжки. Длина рабочей части определяется числом и шагом зубьев. Количество зубьев зависит от припуска на обработку и принятой величины подъема зубьев. Проведенный анализ показывает, что для уменьшения затрат на операцию (экономический критерий) необходимо число и шаг зубьев протяжки назначить наименьшими возможными (технический критерий). На основании вышеизложенного сравним между собой гранные протяжки с гиперболической и прямолинейной образующей. Для этого определим число зубьев протяжки с различной образующей. При прямолинейной образующей число зубьев протяжки Пп = 1 + D − D1 ∆ = 1+ n , 2S z Sz где ∆ − величина одностороннего припуска; Sz − допустимая величина подъема зубьев. При гиперболической образующей величина подъема зуба будет переменной и наибольшую величину имеет последний зуб. Если задаться величиной подъема Sz последнего зуба, то число зубьев можно определить по следующему алгоритму: D п − D n −1 = Sz ; 2 ( n г − 2) 2 2 2 ( ); D + D − D n 1 ( n г − 1) 2 2 1 (Dn − 2 Sz) = Dn-1 = ( n г − 2) 2 2 2 (Dn − 2 Sz) − D1 = 2 ( D n − D 1 ); ( n г − 1) 2 2 1 1 1 2 ( n г − 2) 2 1 − + = ) = (1 − = 2 n ( n ) 1 1 − − ( n г − 1) 2 nг − 1 г г 2 2 2 D n − 4D n S z + 4S z − D 1 . = 2 2 D n − D1 1 2 ) и 4 Sz2 из-за их малости по сравнению Пренебрегая величинами ( nг − 1 с другими, получаем 147 2 2 D n − D1 . nг = 1 + 2 D nS z Cравним количество зубьев протяжки с различными образующими: 2 2 n г − 1 ( D n − D 1 )S z 2 D n + D 1 = = > 1. n п − 1 2D n S z ( D n − D 1 ) Dn То есть число зубьев протяжки с гиперболической образующей будет больше и при прочих равных условиях использование ее будет не эффективно. Однако параметры обрабатываемого отверстия, инструмента и станка могут оказаться такими, что сила резания превысит допустимую. Сила резания ограничивается тяговым усилием станка Рст, прочностью протяжки в опасном сечении хвостовика Рхв, прочностью протяжки в опасном сечении перед первым зубом Р1. Силы Рст и Рхв постоянны и не зависят от подъема зубьев. Сила Р1 зависит от глубины стружечных канавок и, следовательно, от величины подъема зубьев. Силу резания можно снизить до допустимой увеличением шага зубьев, уменьшением величины подъема либо увеличением числа зубьев в группе. Так как шаг и величину подъема зубьев можно изменять непрерывно, а число зубьев в группе может быть только целым, первый путь более эффективен (длина режущей части получается меньше). Меньшая длина режущей части получается при уменьшении подъема, а меньшее число зубьев − при увеличении их шага. Особенностью обработки гранных отверстий является то, что длина режущих кромок по мере формирования профиля уменьшается (рис. 8.12 а). Изменение длины режущих кромок вызывает изменение силы, действующей на каждый зуб протяжки. Характер изменения силы резания, действующей на протяжку, определяется, кроме того, законом изменения подъема зубьев вдоль режущей части (рис. 8.12 б). Так, при равномерном подъеме зубьев наибольшая сила резания будет возникать при работе первых зубьев протяжки. У протяжки с гиперболической образующей с уменьшением длины режущей кромки увеличивается величина подъема зубьев. Сила резания приобретает экстремальный характер с максимальным значением силы не на первом зубе протяжки. Причем величина наибольшей силы при гиперболической образующей будет меньше, чем при равномерном подъеме зубьев. Это позволяет в ряде случаев снимать ограничение по допустимой силе протягивания (при малом диаметре или большой длине отверстия). Сила резания при протягивании на каждом зубе протяжки может быть определена по зависимости Рi = Li (a + b Si)K, 148 Рис. 8.12. Изменение длины режущей кромки (а) и силы резания (б) при протягивании гранных отверстий: 1 − равномерный подъем зубьев; 2 − гиперболическая образующая где Li − длина режущей кромки i-го зуба Li = li N; li − длина режущего сектора зуба (рис. 8.12 а); N − число граней протягиваемого отверстия; К, а, b − коэффициенты, учитывающие условия операции (обрабатываемый материал, величина переднего угла, наличие СОЖ и т.п. Принимаются из нормативных материалов); Si − подача на зуб i-го зуба. В соответствии с рис. 8.12 а длину li режущего сектора можно определить: li = Di αi; 2 αi = D 2π − 2 arccos 1 ; N Di π D1 li = Di − arccos . Di N Длина режущего сектора на зубьях протяжки с увеличением номера i зуба уменьшается. Поэтому, начиная с некоторого зуба Dc , возможно одинарное построение зубьев. При гиперболической образующей возможно при этом либо уменьшение числа зубьев протяжки, либо уменьшение величины подъема зубьев (рис. 8.13). Это связано с тем, что для получения заданной прямолинейной грани отверстия вершины зубьев должны располагаться на ее образующей. Если до диаметра Dc зубья выполнялись по групповой схеме, то затем их можно выполнить с одинарной схемой, выполнив с подъемом все зубья. 149 Рис. 8.13. Уменьшение подъема зубьев при переходе к одинарной схеме резания Переход к одинарной схеме резания гранных зубьев протяжки возможен, когда длина режущего сектора не будет превышать величины D1 . li ≤ (1,0...1,3) Учитывая значение величины li , получим: π D D1 = Dc − arccos 1 . Dc N (1,0...1,3) Данное уравнение является трансцендентным, и его решение возможно численным способом. Определив диаметр Dc, можно определить необходимое число зубьев на гранной части протяжки, при котором величина подъема на последнем групповом зубе не превысит допустимую. Определим необходимое число зубьев по этому критерию. Запишем диаметры зубьев с номерами ic и ic−1: 2 i c − 1 2 2 D n − D1 ; Dc = D1 + n − 1 2 2 ( ) 2 ( 2 ( ic − 2 2 2 D n − D1 . (Dc − 2 Sz) = D1 + n −1 Определим номер ic зуба протяжки, с которого начинаются одинарные зубья: 2 2 2 ) i c − 1 ic − 2 2 2 2 2 D n − D 1 + 4 DcSz − 4 Sz2; D n − D 1 = D12 + D1 + n −1 n − 1 2 ( ) 150 ) 2 D n − D1 (n − 1) 2 2 (ic2 − 2ic + 1 − ic2 + 4ic − 4) = 4 DcSz − 4 Sz2; ( 2D c S z − 2S z )( n − 1) 2 ic = 2 D n − D1 2 2 3 + . 2 Подставив полученное значение величины ic в общее выражение диаметра , получим: Dc 2 3 2 2 2 D S − 2 S n − 1 ) 2 − 1 c z z ( + (Dn2 − D12). Dc2 = D12 + 2 2 n − 1 D − D n − 1 ( ) n 1 ( ( ) ) Пренебрегая величинами 2Sz2 и 0,5 вследствие их малости по сравнению с другими, можно получить общее число зубьев на гранной части протяжки с учетом того, что величина подачи Sz не превысит допустимую, как на групповой, так и на одинарной части протяжки: 4 D c S z ( n − 1) 2 Dc2 − D12 ≅ n−1= (D (D 2 c 2 2 n − D1 − D1 2 2 (Dn2 − D12); ) 2 2 )(D 2 2 n 4D c S z − D1 2 2 ). Протяжка с гиперболической образующей может оказаться эффективнее протяжки с равномерным подъемом зубьев и при отсутствии ограничения по допустимой силе резания, если выполнится условие nг − 1/(nп − 1) ≤ 1. В этом случае имеем: nг − 1 = nп − 1 Dc 2 (D 2 c − D1 2 )(D 2 n 2 ) − D 1 2S z 2D c S z (D n − D 1 ) D n + D1 D n + D1 − Dc2 ≤ D12 D n − D1 D n − D1 151 = (D 2 c ⇒ Dc ≤ − D1 2 ) DD n n + D1 − D1 Dc D 1 (D n + D 1 ) 2 . ≤ 1; Таким образом, эффективность гиперболической или конической образующей определяется параметрами обрабатываемой поверхности. Аналогичным образом можно оценить и другое сочетание образующей гранной части протяжки и формы вспомогательных задних поверхностей. Контрольные вопросы 1. Назначение критериев оптимальности. 2. Какие элементы технологической системы могут использоваться для оптимизации процесса резания? 3. Определите углы контакта фрезы и зуба фрезы с заготовкой. 4. Почему на операции раскроя желательна определенная ориентация опасного сечения фрезы? 5. Что такое “двойное” резание зуба раскройной фрезы? Когда оно возникает? 6. Что такое условие равномерности фрезерования? 7. Почему условие равномерности не всегда выполнимо? 8. Почему при переменной периодической силе при фрезеровании возмущение технологической системы происходит в диапазоне частот? 9. Назовите первую гармонику возмущения при фрезеровании. 10. Какие параметры операции фрезерования определяют распределение энергии по частотному диапазону возмущения? 11. Что такое разношагость зубьев фрез? 12. Что определяет разношагость зубьев фрез в динамическом возмущении? 13. Механизм действия разношагости в подавлении колебаний технологической системы. 14. Что происходит с величиной разношагости с увеличением номера демпфируемой гармоники? 15. Почему при оптимизации образующей гранной части протяжки достаточно ограничиться рассмотрением числа зубьев на гранной части протяжки? 16. В каких случаях гиперболическая образующая эффективнее конической? 152 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Дисциплина “Теория проектирования режущего инструмента” относится к циклу специальных дисциплин и является завершающей в процессе инструментальной подготовки специалиста. Успешное усвоение дисциплины во многом зависит от уровня подготовки студента по таким дисциплинам, как “Высшая математика”, “Теория резания металлов”, “Технология машиностроения”, “Металлорежущие станки”, “Проектирование режущего инструмента” и др. В результате изучения дисциплины специалист должен усвоить: − основы формообразования поверхностей: условия правильного формообразования, алгоритмы решения прямой и обратной задачи профилирования; − методы анализа геометрических параметров режущего лезвия, распределения нагрузки по режущим кромкам инструмента, сущность оптимизации конструктивно-геометрических параметров инструмента; уметь: − составлять расчетные схемы формообразования; − записывать уравнения поверхностей, определять взаимосвязи вводимых систем координат, составлять и решать уравнения контакта; − аппроксимировать теоретические контуры. Инструмент − наиболее гибкое звено технологической системы. Качественно спроектированный и изготовленный инструмент при грамотной его эксплуатации позволяет оперативно решать возникающие проблемы при механической обработке. Но для этого необходимы глубокие знания в закономерностях формообразования поверхностей деталей и явлениях происходящих в зоне резания. Полученные знания и навыки позволят специалисту использовать специальную литературу и в конечном итоге грамотно использовать существующий, а при необходимости правильно спроектировать требуемый инструмент. Конечно, текст лекций не претендует на всеобъемлющее и окончательное решение всех вопросов. Его следует рассматривать как базу, на основе которой можно (и нужно) заниматься дальнейшим самообразованием и совершенствованием в области теории проектирования и инструментального оснащения машиностроительных производств. 153 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Иноземцев Г.Г. Проектирование металлорежущих инструментов: Учебное пособие. − М.: Машиностроение, 1984. − 272 с. 2. Лашнев С.Л., Юликов М.И. Проектирование режущей части инструмента с применением ЭВМ. − М.: Машиностроение, 1980. − 208 с. 3. Металлорежущие инструменты: Учебник для вузов/ Г.Н. Сахаров, О.А. Арбузов, Ю.Л. Боровой и др. − М.: Машиностроение, 1989. − 328 с. 4. Протяжной инструмент. − 2-е изд. перераб. и доп./ Д.К. Маргулис, М.М. Тверской, В.А. Вакурова и др.; Под ред. Д.К. Маргулиса. − Челябинск: Металлургия: Челябинское отделение, 1992. − 336 с. 5. Родин П.Р. Основы проектирования режущих инструментов: Учебник. − Киев: Вища шк., 1990. − 424 с. 6. Родин П.Р. Основы формообразования поверхностей резанием. − Киев: Вища шк., 1977. − 192 с. 7. Шаламов В.Г. Моделирование при фрезеровании: Учебное пособие. − Челябинск: ЧГТУ, 1997. − 141 с. 154 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. ОСНОВЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ РЕЗАНИЕМ . . . . 1.1. Понятие о идеальном процессе формообразования. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Исходная инструментальная поверхность и ее положение относительно поверхности детали. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Поверхности, применяемые в машиностроении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Виды винтовых поверхностей в конструкциях инструмента. . . . . . . . . 1.5. Способы задания поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Преобразование систем координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Понятие огибающей семейства кривых и поверхностей. . . . . . . . . . . . 1.8. Кинематический метод определения огибающей семейства поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Определение огибающей при винтовом движении плоскости. . . . . . . . Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 8 10 13 14 16 18 21 23 2. УСЛОВИЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Условие существования ИИП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Условие соприкосновения ИИП с обрабатываемой поверхностью без внедрения в тело детали. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Условие пересечения смежных участков ИИП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Определение диаметра цилиндрического круга при шлифовании конического отверстия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Определение диаметра шлифовального круга при заточке зубьев протяжек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Переходная кривая при фрезеровании прямобочного шлицевого вала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Типы задач при профилировании инструмента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 3. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ПРОФИЛИРОВАНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Кинематические схемы резания (схемы обработки) . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Профилирование режущих инструментов для обработки фасонных цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Профилирование многогранных протяжек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Профилирование фасонных фрез для обработки винтовой поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Параметры установки дисковых инструментов при обработке винтовых поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Определение радиуса кривизны винтовой поверхности и максимально допустимого диаметра инструмента. . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Обкаточные инструменты для обработки фасонных поверхностей. . . 3.8. Определение ИИП обкаточного фасонного резца. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 155 25 28 29 30 33 36 36 39 39 45 49 55 58 60 Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ФОРМООБРАЗОВАНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Формообразование винтовой поверхности угловой фрезой. . . . . . . . . . 4.2. Метод профилирующих окружностей при формообразовании винтовых поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Формообразование винтовых, цилиндрических и поверхностей вращения профилирующей окружностью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Формообразование фасонных профилей окружностью. . . . . . . . . . . . . 4.5. Определение траектории инструмента для обработки по трем управляемым координатам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 63 5. АППРОКСИМАЦИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ КОНТУРОВ. . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Аппроксимирующая линия − прямая. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Аппроксимирующая линия − дуга окружности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Превращение тела, ограниченного ИИП в инструмент. . . . . . . . . . . . . Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 86 88 93 94 6. АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИИ РЕЖУЩЕГО ЛЕЗВИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Определение геометрических параметров режущей части токарного резца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Векторные произведения при анализе геометрии режущего лезвия. . . 6.3. Обеспечение геометрии режущего лезвия СМП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Геометрия режущего лезвия зуба спирального сверла. . . . . . . . . . . . . . 6.5. Задние углы режущего лезвия зуба сверла в различных секущих плоскостях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТЫ РЕЗАНИЯ ПО РЕЖУЩИМ КРОМКАМ ИНСТРУМЕНТА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Расчет кинематических и конструкцивных подач. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Выравнивание нагрузки вдоль режущей кромки зуба сверла. . . . . . . . Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ИНСТРУМЕНТА. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Взаимосвязь конструктивно-геометрических параметров раскройных фрез. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Проектирование фрез с учетом динамических явлений. . . . . . . . . . . . . 8.3. О роли разношагости зубьев фрезы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Оптимизация образующей многогранной протяжки. . . . . . . . . . . . . . . . Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 73 79 83 85 96 100 103 107 110 115 116 118 122 126 126 128 134 140 145 152 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 156