лекция 6 - Umnik.uz
advertisement
2
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРЕДМЕТА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Цель обучения предмета математики в высших учебных заведениях
заключается в построении личности студента, развитии их логического
мышления, изучении различных событий и производственных технологий, а
также выбор и создание оптимальных методов для решения практических задач
исходящих из данных процессов, обучение основных методов математики для
применения в научно-технических процессах, умение обработки и проверки
проведенных лабораторных работ и результатов численного моделирования.
Основная задача обучение высшей математики: обучать студентов
научного объяснения на основании математических методов и понятий,
формирование и умение математического моделирования технических,
экономических, химических процессов и проверке полученных результатов, а
также самостоятельного использования предмета математики и выборе нужной
литературы относящих данной проблеме. Обучение современных специалистов
включает в себя изучение, как общего курса математики, так и специальных
курсов.
Основная цель обучения курса общей математики предусматривает
использование полученных знаний по математическим методам в дальнейшей
деятельности, а специальные курсы изучаются для того, чтобы выработать
навыки решений практических задач. Чтение специальных курсов должен быть
непрерывно взаимосвязанным с направлением обучающихся.
Данная рабочая программа разработана с учётом вышеизложенными
требованиями на основе нового образца учебного плана.
Введение
3
Основной задачей «Закон об образовании» и «Национальная программа
подготовки кадров» является в процессе учёбы подготовить специалистов с
глубоким знанием, всесторонне развитых, самостоятельно и логически
мыслящих, умеющие решать поставленные задачи своевременно, точно и
выполнять на высоком уровне, отвечающие по всем категориям требованиям
мирового уровня кадров. Для решения этих задач, в полном объёме, одинаково
ответственны профессорско-преподавательский состав высших учебных
заведений. Воспитание молодого поколения, умеющего выполнять этой задачи,
нужно для того, так как наше процветающее будущее зависит от их знание,
деловитости и таланта.
Независимо от того, в каких областях будут
работать будущие
специалисты они должны получать достаточные знания по математике и уметь
их применять в дальнейших своих деятельности.
Будущие специалисты по горным делам (горное дело, горное
электромеханика, электроэнергетика, автоматизация и управления, технология
машин и оборудования, металлургия) изучают курс высшей математики с целью:
- студент должен обладать основными понятиями математики для того,
чтобы уметь решать теоретических и практических задач;
- обладать основными понятиями математики для того, чтобы уметь
моделировать технических процессов;
- уметь развивать логические мышление и на основе этого давать глубокие
знания будущим студентам;
- поднять на высоком уровне общее математическую и педагогическую
культуру.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
предмета «Высшая математика» по разделам и учебным
семестрам
№
Разделы
Общее
4
Лекция
Практи
Лаборато
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
видел. часов
3
I-семестр
Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии
Введение в математический анализ
Дифференциальное исчисление функции одной
переменной
Приложение дифференциального исчисления
исследованию функций и построению их
графиков
Дифференциальное
исчисление
функций
многих переменных
Элементы высшей алгебры
Итого: за I-семестр
II-семестр
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
Приложение определенного интеграла в
геометрии и механике
Кратные
и
криволинейные
интегралы.
Элементы теории поля
Дифференциальные уравнения и системы
дифференциальных уравнений
Числовые и функциональные ряды.
Итого: за II-семестр
III-семестр
Ряды Фурье
Уравнения математической физики
Операционные исчисления
Теория функций комплексных переменных
Элементы
теории
вероятности
математической статистики
Итого: за III-семестр
и
4
ка
5
рия
6
32
18
12
2
12
6
6
-
18
8
8
2
12
6
6
-
10
6
4
-
11
95
6
50
4
40
1
5
18
16
10
6
8
8
2
10
4
4
2
22
12
10
20
10
10
9
95
8
50
40
1
5
16
10
14
22
6
6
8
12
10
4
6
10
2
44
17
20
7
108
49
50
9
I-CЕМЕСТР
№
1
Полное название лекционных занятий
Самостоятельная работа
Число
часов
I-РАЗДЕЛ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
(18 часов)
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства Доказательство
свойств
2
5
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
определителей. Определители высокого порядка
и их вычисление. [1] глава V, §1(4), §2 (1,2,3), §3
Некоторые понятия о матрицах. Сложение матриц
и умножение матриц на число. [1] глава V, §1
(1,2,3) §5 (1,2,3,4,5,6)
Обратная матрица и её нахождение.
Решение СЛАУ матричным методом. [1] глава V,
§2(5,6,7,8), [2] глава I, § (1,2,3,4,5,6)
Метод координат, числовая ось, координаты
точки на плоскости и пространстве. Некоторые
метрические
задачи.
Полярная
система
координат. [1] глава I,§2 (1,3), [2] глава I, §1,2,3
Векторы и действия над ними. [1] глава I,§1
(1,2,3,4,5); [2] глава II,§1 (1,2,3,7,8)
Скалярное
произведение
двух
векторов.
Скалярное произведение векторов заданных
своими координатами. Векторное произведение
двух векторов. Векторное произведение двух
векторов заданных своими координатами. [1]
глава I §3 (1,2,7); [2] глава II, §2 (1-4)
Смешанное произведение трех. Смешанное
произведение трех векторов заданных своими
координатами и условия компланарности. [1]
глава I §3 (3,4,5,8) [2] глава II §3 (1-7).
Основные задачи аналитической геометрии.
Различные уравнения прямой на
плоскости.
Расстояние между точкой и прямой. Угол между
двумя прямыми. Условия перпендикулярности и
параллельности двух прямых.[2] глава V, §1(1-7)
Различные уравнения плоскости. Расстояние
между точкой и плоскостью. Угол между
плоскостями. Канонические и параметрические
уравнения прямой в пространстве. Общее
уравнение прямой в пространстве. [2] глава V,
§3-4 (1-6)
определителей.
2
Решение СЛАУ методом
Гаусса и по формулам
Крамера.
Расстояние
между
точками. Деление отрезка в
данном отношении.
Свойства
скалярного
произведения.
Условие
ортогональности
двух
векторов.
Свойства
векторного произведения
двух векторов.
Предел
функции.
Теоремы
о
Предмет
аналитической
геометрии.
Линии,
поверхности
и
их
уравнения.
Уравнения
окружности и сферы.
Уравнения
плоскости
проходящей через данных
трех точек Угол между
двумя
прямыми
в
пространстве. Угол между
прямой и плоскостью, угол
между двумя плоскостями.
Бесконечно большая и
бесконечно
малая
величины, а также их
свойства.
Взаимосвязь
между
бесконечно
большими и бесконечно
малыми величинами.
пределах. Доказательства теоремы о
6
2
2
2
Окружность и её различные уравнения. Эллипс и
вывод
его
канонического
уравнения.
Эксцентриситет
и
директриса
эллипса.
Определение гиперболы и его каноническое
уравнение. Определение параболы и вывод её
канонического уравнения. [1] глава III, §1-2(3,5);
[2] §1 (3); §1-3 (3)
II-РАЗДЕЛ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (6 часов).
Переменная величина и её предел. [3] глава I, 610§. Глава II, 1-3§, [3] глава II, 4-5 §. Общие
понятия о функциях. Монотонность функции.
Определения четной, нечетной и периодической
функции. Основные элементарные функции.
2
2
2
2
2
2
Замечательные пределы. [3] глава II, 4-5§
пределах.
3 Непрерывность функции. [3] глава II, 6-9§.
Теоремы о непрерывности функций. Сравнение
2
бесконечно малых величин. [3] глава II, 10-11 §
III- РАЗДЕЛ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(8 часов)
1 Задача о нахождении скорости. Определения Доказательства
формул
производной
функции.
Механическое
и вычисления производной.
геометрическое значение производной. [1] глава Таблица производных.
2
III, 1-3§. Производные некоторых элементарных
функций. [3]. Глава 3, 4-10 §; 13-15§; 18§.
2 Дифференциал функции и его связь с Геометрическое значение
существованием
производной
функции. дифференциала.
Дифференциал и производные различных Геометрический
смысл
2
порядков. [3] глава III, 20-23 §. 25 §
производной
второго
порядка.
3 Основные
теоремы
дифференциальных Доказательства теорем.
исчислений. Раскрытие неопределенности. [3]
2
глава IV, 1-5§ .
4 Формула Тейлора. Разложение некоторых
2
функций по формуле Тейлора. [1] глав IV, § 6,7.
IV-РАЗДЕЛ
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЮ
ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ИХ ГРАФИКОВ (4 часов)
1. Экстремумы
функции.
Необходимое
и Возрастание и убывание
достаточное условия существование экстремумов функций. Наибольшее и
функций. [1] глава V, §1-2. Схема проверки наименьшее
значение
экстремумов
функций
с
помощью функции на отрезке.
2
дифференциала. Проверка экстремумов функций
с помощью производных второго порядка. [3]
глава V, 4-6§.
2 Выпуклость и вогнутость функции, точка
перегиба. Асимптоты. Общий план проверки
2
функций и построение их графиков.
[1] глава V, § 9,10,11.
V РАЗДЕЛ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (8 часов)
1 Примеры и определение функций многих Открытая, замкнутая и
переменных. Область определения. Понятие ограниченная области.
области. О геометрическое изображение функций
2
многих
переменных. Частное и
полное
приращения. [3] глава VIII, §1-3.
2 Непрерывность
функции.
Точки
разрыва Некоторые
свойства
функции. Частные производные функции и её функции в замкнутом и
2
геометрическое значение. [3] глава VIII; 4-5§
ограниченном областях.
3 Полный дифференциал. Применение их
для
приближенного
вычисления.
Частные
2
производные сложных функций. [3] глава VIII; 79§
4 Полный дифференциал сложной функции. Доказательства теорем.
Производная функции заданной неявно. [3] глава
2
VIII; § 10,11. Частные производные различного
порядка. Градиент. [3] глава VIII; §12,15
7
VI РАЗДЕЛ.
1
2
3
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (6 часов)
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных
Формула Эйлера. [3] Показательная форма чисел в плоскости. Модуль
комплексного числа. Возведение в степень и и аргумент комплексного
извлечения корня из комплексного числа. [3] числа. Алгебраический и
глава VII; 3-5 §глава VII; 1-2 §
тригонометрический вид
комплексного числа.
Интерполирование. Интерполяционные формулы Численные
методы
Лагранжа и Ньютона. [3] глава VII; 9-10 §
дифференцирования.
Длина дуги и её производная. Кривизна, Вычисление
кривизны
вычисление кривизны в декартовых координатах. кривой
заданной
в
[3] глава VI; 3§ Радиус и круг кривизны. Центр параметрической форме и
кривизны, её эволюта и эвольвента. [3] глава VI; полярных
координатах.
4-7§
Свойства эволюты.
Итого за 1-семестр:
2
2
2
50 ч
II- СЕМЕСТР
1
2
3
4
1
2
3
VII РАЗДЕЛ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (8 часов)
Первообразная функция и неопределенный Доказательства некоторых
интеграл. Некоторые свойства неопределенного свойств неопределенного
интеграла. Замена переменных в неопределенных интеграла.
Таблица
интегралах. Интегрирование по частям. [3] глава интегралов.
X; 1-4§
Рациональные дроби. Простейшие рациональные
дроби и их интегрирование. Разложение
рациональной
дроби
на
простейшие.
Интегрирование рациональных дробей. [3] глава
X; 6-9§
Интегралы
от
иррациональных
функций. Преобразования Эйлера
Интегрирование
некоторых
классов
тригонометрических функций. [1] глава X; 12§.
[3] глава X; 10-11§
Интегрирование некоторых иррациональных О функциях, интегралы от
функций с помощью тригонометрических которых не выражаются
подстановок. [3] глава X; 13§
через
элементарные
функции.
VIII РАЗДЕЛ.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (6 часов)
Постановка
задачи.
Нижняя
и
верхняя Доказательства
свойств
интегральные суммы. Определенный интеграл. определенного интеграла
Теорема
о
существовании
определенного
интеграла. [3] глава XI; 1-2§. Основные свойства
определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница. [3] глава XI; 3-4§
Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле. [3] глава XI; 5,6 §
Несобственные интегралы первого и второго Некоторые
теоремы
рода. [3] глава XI; 7§
относящиеся к интегралам
второго рода
IX РАЗДЕЛ
8
2
2
2
2
2
2
2
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКЕ
(4 часов)
1 Вычисление площадей с помощью определенного
2
интеграла. Вычисление площади криволинейного
сектора, заданного в полярной системе
координат. [3] глава XII; 1-2§
2 Вычисление
объём
тела
по
площадям Вычисление
работы.
2
параллельных сечений. Объём тела вращения и Координаты центра масс и
вычисление площади поверхности. [3] глава XII; вычисление
момента
4-6 §
инерции.
X РАЗДЕЛ
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (10 часов)
1 Определение и свойства двойного интеграла. Некоторые
приложения
2
Двукратный интеграл. [4] глава XIV;
1§. двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла. Вычисление
площадей и объёмов с помощью двойных
интеграла. [4] глава XIV; 2-4§
2 Тройной интеграл и её вычисление. Свойства
2
тройного интеграла. [4] глава XIV; 11,12 §
3 Понятие криволинейного интеграла первого рода
2
и вычисление работы. Свойства криволинейного
интеграла. Выражение площади области через
криволинейного интеграла. [4]глава X; 1,2 §
4 Формула Грина.
Условия независимости Криволинейные
2
интегрирования криволинейного интеграла от интегралы второго рода [1]
пути интегрирования. [4] глава XV; 3,4 §
глава VI; 3-4§
5 Поверхностный интеграл и её свойства.
2
Вычисление поверхностного интеграла. [4] глава
XV; 5-6§
XI РАЗДЕЛ
OБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (10 часов)
1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие общего и частного
2
Дифференциальные уравнения первого порядка с решения.
разделенными и разделяющимися переменными.
Теорема о существование решение уравнения (без
доказательства). [4] глава XIII; 1-4§
2 Однородные и линейные дифференциальные Уравнение Бернулли.
2
уравнения первого порядка. [4] глава XIII; 5-7§
3 Некоторые дифференциальные уравнения второго Уравнения
вида
2
порядка, приводимые к уравнениям первого y ( n ) f ( x)
порядка. [4] глава XIII; 16-17-18§
4 Линейное
однородное
дифференциальное Доказательства теорем 3-7
2
уравнения второго порядка (определения и 7
теорем).
Линейное
однородное
дифференциальное уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. [4] глава XIII;
20-24§
5 Система
дифференциальных
уравнений
с Приложения
2
постоянными коэффициентами.
дифференциальных
[4] глава XIII; 30§
уравнений.
XII РАЗДЕЛ
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. (12 часов)
1 Числовые ряды. Сумма ряда и сходимость рядов.
2
9
2
3
4
5
6
Некоторые теоремы. Необходимое условие
сходимости рядов. Гармонический ряд.
[4] глава XVI; 1-2§
Достаточное
условие
сходимости
рядов.
Сравнение рядов с положительными членами.
Признак сходимости Даламбера, радикальный и
интегральный признаки Коши. [4] глава XVI; 3-6§
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. [4]
глава XVI; 7-§
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость рядов. [4] глава XVI; 8-§
Функциональные ряды. Область сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Существование
интервала сходимости. [4] глава XVI; 13-14§
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение рядов в
ряд Маклорена. Биномиальные ряды. Разложение
функции в степенные ряды. [4] глава XVI; 16-17§,
19-20§.
2
2
2
Дифференцирование
и
интегрирование степенных
рядов
Вычисление логарифмов.
Вычисление определенных
интегралов с помощью
рядов.
2
2
50 ч
Итого: за II семестр
III- СЕМЕСТР
1
2
3
1.
2
3
1
2
3
XIII РАЗДЕЛ
РЯДЫ ФУРЬЕ (6 часов)
Ряды Фурье. Определение и постановка задачи. Нахождение
коэффициентов Фурье. [4] глава XVII; 1-§
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье. [4] глава
XVII; 2-§
Разложение периодических, чётных и нечётных функций в
тригонометрический ряд Фурье. [4] глава XVII; 3-§
XIV РАЗДЕЛ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (6 часов)
Основные типы уравнение математической физики. Вывод
уравнения колебании струны.
[4] глава XVIII; 1,2 §
Изложение краевых задач. Вывод уравнения электрических
колебаний в проводах. [4] глава XVIII; 2§
Решение уравнения колебаний струны методом разделения
переменных (метод Фурье). [4] глава XVIII; 3§
XV РАЗДЕЛ
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (6 часов)
Начальная функция и её изображение. Изображение функций sint,
cost. Изображение с измененным масштабом независимой
переменной. Изображение функций shat , chat, sinat, cosat. [4]
глава XIX; 1,2,3 §; 4-7§.
Дифференцирование изображений. Изображение производных.
Таблица некоторых изображений. Вспомогательное уравнение
для данного дифференциального уравнения. [4] глава XIX;
8,9,10§
Примеры решения дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений операционным методом. [4] глава
XIX; 11-12§
XV РАЗДЕЛ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (12 часов)
10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Некоторые сведения о комплексных числах и действия над ними.
2
[5] глава I; 1-2§. Элементарные функции комплексных
переменных. [10] глава I; 1-§, глава III; 1-§
2 Предел, непрерывность и производная функций комплексных
2
переменных. Условие Коши-Римана. Дифференцируемость
элементарных функций. [10] глава II; 1-4§
3 Интегрирование по комплексному аргументу. [10] глава IV; 1-5§
2
4 Ряды Тейлора и Лорана. [10] глава V; 1-3§, 8-5§, глава VI; 1-3§.
2
5 Изолированная особая точка и её классификация. [10] глава VI;
2
4-9§
6 Вычеты. Основные теоремы о вычетах. Приложение вычетов при
2
вычислении интегралов. [10] глава VII; 1-3§, 8§
XVI РАЗДЕЛ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
(19 часов)
1 Случайное событие и его относительная частота. Вероятность
2
события и вычисление вероятностей. Сложение вероятностей.
Противоположные случайные события. [4] глава XX; 1,2,3 §
2 Умножение вероятностей независимых событий. Зависимые
2
события. Условная вероятность. Полная вероятность. Формула
Байеса. [4] глава XX; 4,5,6§
3 Дискретная случайная величина и её закон распределения.
2
Относительная частота и её вероятность при повторных
испытаниях. Числовые характеристики дискретной случайной
величины (мат. ожидание, дисперсия, средне-квадратичное
отклонение). [4] глава XX; 7-10§
4 Функции от случайных величин. Понятие непрерывной
2
случайной величины (НСВ). Плотность распределения функции
НСВ. [4] глава XX; 11, 12§
5 Вероятность попадания значение случайной величины в
заданный интервал. Функция распределения и или интегральный
закон распределения. [4] глава XX; 13§
6 Числовые характеристики НСВ.
Нормальный закон
2
распределения.
Математическое
ожидание
нормального
распределения. [4] глава XX; 14, 15§
7 Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной
2
величины, подчиненной нормальному закону распределения. [4]
глава XX; 16§
8 Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для
2
нормального закона. Примеры. [4] глава XX; 17§
1
Вероятностное (срединное) отклонение или срединная ошибка.
Выражение нормального закона распределения через срединное
отклонение. [4] глава XX; 18, 19, 20§
10 Задачи математической статистики. Статистический материал.
Статистический ряд. Гистограмма. Определение подходящего
значения измеряемой величины. [4] глава XX; 27, 28, 29§
9
1
2
49 ч
Итого: за III-семестр
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
I РАЗДЕЛ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
11
(14 часов)
1 Вычисление определителей 2-го, 3-го и более порядков. Ауд: [7] 1204 (1,
2
3, 5, 7); 1211; 1213; 1217; 1219; 1221; 1223. Д/З: [7] 1204 (2, 4, 6, 8); 1212;
1214; 1218; 1220.
2 Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Aуд: [7] 592; 594; 596;
2
598; 600; 606; 608. Д/З: [7] 593; 595; 597; 599; 601; 605; 607.
3 Векторы и действия над ними. Скалярное произведение двух векторов.
2
Aуд: [7] 795; 797; 799; 801; 803; 805; 807; 809. Д/З: [7] 796; 798; 800; 802;
804; 806; 808.
4 Векторное и смешанное произведение векторов. Aуд: (7) 839; 841; 843;
2
845; 847; 867; 869; 871 Д/З: (2) 840; 842; 844; 846; 848; 868; 870
5 Прямая в плоскости и построение её уравнения. Aуд: [7] 210; 212; 214;
2
216; 218; 220; 228 (1,3,5) Д/З: [7] 211; 213; 215; 217; 219; 228 (2,4)
6 Построение уравнений плоскости и прямой. Aуд: [7] 913; 915; 919; 921;
2
923; 925; 927; 1020 (1). Д/З: [7] 914; 916; 920; 922; 924 (1,3); 1019 (1,3)
7 Кривые второго порядка: построение уравнений окружности, эллипса и
2
параболы. Aуд: [7] 386; 394; 447; 451; 516; 518; 590; 592. Д/З: [7] 387; 395;
448; 452; 517; 519; 591
II РАЗДЕЛ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (6 часов)
1 Вычисление пределов. Aуд. [8] 245-291 нечетные. Д/З: [8] 246-290 четные
2
2 Вычисление первого и второго замечательных пределов. Ауд.: [8] 3152
375 нечетные. Д/З: [8] 316-376 четные.
3 Вычисление пределов различного вида. Сравнение бесконечно малых
2
величин. Aуд: [8] 381-405 нечетные. Д/З: [8] 380-404 четные.
III РАЗДЕЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(8 часов)
1 Вычисление производных степенных и тригонометрических функций.
2
Aуд: [8] 466-516 нечетные. Д/З: [8] 467-515 четные.
2 Вычисление
производных
обратной
функции
и
обратно
2
тригонометрических функций. Aуд: [8] 5 15-571 нечетные Д/З: [8] 516-572
четные
3 Вычисление производных логарифмических и показательных функций.
2
Aуд. [8] 574-666 нечетные Д/З: [8] 575-667 четные
4 Вычисление производных и дифференциалов высшего порядка. Aуд. [8]
2
1006-1028,1324-1360 четные. Д/З: [8] 1005-1027 1325-1359 нечетные.
IY РАЗДЕЛ.
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЮ
ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ИХ ГРАФИКОВ. (4 часов)
1 Формула Тейлора и её некоторое применение. Aуд. [8] 1498-1502,1514-1520
2
четные. Д/З: [8] 1499-1501, 1515-1519 нечетные
2 Исследование функций с помощью производных первого и второго
2
порядков. Aуд. [8] 1168-1300 четные Д/З: [8] 1169-1301 нечетные.
V РАЗДЕЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ (4 часов)
1 Область определения функции двух переменных. Предел и непрерывность
2
функций двух переменных Aуд: [8] 2984-3002,3004-3008 четные. Д/З: [8]
2983-3001, 3005-3007 нечетные.
2 Частные производные. Полный дифференциал. Производные высшего
2
порядка функций двух переменных. Aуд: [8] 3038-3088,3094-3108,31463152. Д/З: [8] 3039-3045,3145,3167,3169
VI РАЗДЕЛ
12
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ (4 часов )
1 Действия над комплексными числами. Возведение в степень и извлечение
корня из комплексного числа. Aуд: (5) 1,2,4,5, 8, 10, 12. Д/З: (5) 3,6,7,9,11.
2 Вычисление кривизны и кручения кривой. Вычисление радиуса и
круга кривизны. Центра кривизны, её эволюта и эвольвента. Aуд: [8]
1530-1574 четные. Д/З: 1531-1577 нечетные.
Итого: за 1-СЕМЕСТР
2
2
40 часов
II СЕМЕСТР
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
3
VII РАЗДЕЛ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (8 часов)
Непосредственное вычисление неопределенного интеграла. Aуд: [8] 16762
1720 четные. Д/З: [8] 1683-1753 нечетные.
Замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном
2
интеграле. Aуд: [8] 1870-1908 четные. Д/З: [8] 1869-1905 нечетные.
Интегрирование дробно-рациональные и иррациональных функции. Aуд: [8]
2
2012-2074 четные. Д/З: [8] 2013-2075 нечетные.
Интегрирование тригонометрических функций. Aуд: [8] 2090, 2102 четные.
2
Д/З: [8] 2091, 2103 нечетные.
VIII РАЗДЕЛ.
ОПРЕДЕЛЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (6 часов)
Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
2
Aуд: [8] 2232- 2258 четные. Д/З: [8] 223 1-2257 нечетные.
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
2
Aуд: [8] 2260-2294 четные. Д/З: [8] 2259-2295 нечетные.
Вычисление несобственных интегралов. Aуд: [8] 2366-2410 четные.
2
Д/З: [8] 2367-2411 нечетные.
IX РАЗДЕЛ.
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИИ И
МЕХАНИКЕ (4 часов)
Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Aуд: [8]
2
2455,2460,2466,2476, 2490, 2496, 2498.
Д/З: [8] 2455, 2461, 2465, 2477, 2491, 2495.
Вычисление объёмов, длину линий с помощью определенного интеграла.
2
Aуд: [8] 2556, 2558, 2566, 2568, 2570, 2572.
Д/З: [8] 2555, 2559, 2567, 2571, 2573.
X РАЗДЕЛ.
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ (6 часов)
Вычисление двукратного интеграла. Ауд. [8] 3478-3496 четные. Д/З: [8] 34772
3497 нечетные.
Вычисление трёхкратного интеграла. Ауд. [8] 3498-3512, 3518-3528 четные.
2
Д/З: [8] 3499-3511, 3517-3523 нечетные.
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов. Ауд. [8] 3770-3894. .
2
Д/З: [8] 3771-3895.
XI РАЗДЕЛ.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (10 часов)
Уравнения с разделенными переменными и однородное дифференциальное
2
уравнение первого порядка. Aуд: [8] 3902-3910, 3914, 3916, 3934- 3944.
Д/З: [8] 3902-3909, 3915, 3935-3943.
Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли. Aуд: [8] 39542
3968 четные. Д/З: [8] 3955-3967 нечетные.
Некоторые дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
2
13
4
5
1
2
3
понижение порядка. Aуд: [8]
4038-4046, 4156-4182 четные. Д/З: [8] 40394047,4156-4181 нечетные.
Однородные линейные дифференциальные уравнения. Aуд: [8] 4252, 4264,
4268, 4270, 4274 Д/З: [8] 425 1-4263
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Aуд: [8] 4276 (18), 4278 Д/З: [8] 4275 (1-10), 4277
XII - РАЗДЕЛ
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ (6 часов)
Числовые ряды с положительными членами. Сравнение рядов с положительными
членами. Признаки Даламбера и Коши.Ауд: [8] 2728-2782. Д/З: [8] 2727-2781
Знакочередующийся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
рядов. Ауд: [8] 2790-2798, Д/З: (2) 2791,2799
Функциональные ряды и нахождение области сходимости. Степенные ряды.
Разложение функций в степенные ряды.. Ауд: (2)2802-2886. Д/З:(2) 2803-2885
Итого: за II -СЕМЕСТР
2
2
2
2
2
40 часов
III-СЕМЕСТР
1
2
3
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
5
XIII РАЗДЕЛ
РЯДЫ ФУРЬЕ (6 часа)
Разложение функций в ряд Фурье. Ауд.: (8) 4376-4384. Д/З: (8)4377-4383.
2
Разложение четных и нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье. Ауд.:
2
(8) 4385-4394. Д/З: (8)4386-4395.
Разложение периодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ауд.: (8)
2
4385-4394. Д/З: (8)4386-4395.
XIII РАЗДЕЛ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (4 часа)
Решение уравнений колебания струны для краевых задач. Ауд:(l) глава XVIII;
2
§1-3, задачи1-3. Д/З: (1) глава XVIII; § 1-3, задачи1-3.
Решение уравнений методом Фурье. Ауд:(l) глава XVIII; §1-3, задачи1-3. Д/З: (1)
2
глава XVIII; § 1-3, задачи1-3.
XIY - РАЗДЕЛ.
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (8 часов)
Начальная функция и её изображение. Изображения функций sint, cost sinat, cosat.
2
Ауд: (2) гл.2,пр. 51 1, 512. Д/З: (2) гл.2, пр. 5 13, 525, 527
Свойство линейности изображения. Изображения функций eαt, sht, cht, eαtsinat,
2
eαtcosat. Ауд:(2) 524,526,527,528. Д/З: (2) 525, 529.
Дифференцирование изображения. Изображение производной. Ауд: (2) гл.2,§14,
2
пр. 530, 532, 535, 538, 540, 542, 561 Д/З: (2) 531, 533, 534, 539, 543, 545, 563.
Решение дифференциальных уравнений с помощью методов операционных
2
исчислений. Ауд: (2) гл.2,§14, пр. 562-574. Д/З: (2) 561-573.
XV- РАЗДЕЛ.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (10 часов)
Действия над комплексными числами. Элементарные функции комплексной
2
переменной. Ауд: (I) 1,2,4, 23, 25,58,60. Д/З: (1)24, 26,28,59,61.
Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Ауд: (1)
2
131, 133, 2, 105, 113, 116, 117, 120. Д/З:(l) 114, 118, 121.
Интегрирование по комплексной переменной. Теорема Коши. Ауд: (1) § 5, 6,
2
пр.140, 141, 145, 153, 157, 158, 167, 169. Д/З: (1) пр.146, 148, 151, 154, 160, 171, 172.
Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки. Ауд: (1) § 7, пр.187, 189,
2
194, 210, 21 1,220, 225, 250, 251.
Д/З:(l) пр.190, 193,212,215,218,220,222
Вычеты. Приложение вычетов при вычислении интегралов. Ауд: (1) гл. § 8, пр.
2
290, 292, 296, 308, 310, 313. Д/З: (1) 293, 295, 309, 311,312.
XYI - РАЗДЕЛ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(22 часов)
Непосредственное вычисление вероятностей. Ауд: [9] 2, 7, 3, 11, 5, 17, 21, 24, 26,
28. Д/З: [9] 6, 12, 18
Сложение и умножение вероятностей. Ауд: [9] 46, 50, 53, 54, 57, 58, 64, 65. Д/З: [9]
47, 48; 19, 59, 60, 66.
Вероятность появления хотя бы одного события. Полная вероятность. Формула
Байеса. Ауд: [9] 81, 81, 85, 88, 90, 91, 94, 98, 99, 106.Uy: [9] 80,84,86,97, 100, 105.
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Ауд: [9] 111, 113, 117, 121, 121, 124, 128,
129. Д/З: [9] 110,112,114,118,119,120,127.
Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ). Ауд: [9] 165, 167,
169, 170,171,173,179, 180,182. Д/З: [9] 164, 166, 168,172,175,181.
Числовые характеристики ДСВ. Ауд: [9] 188,189,191, 196, 198, 199, 202, 208, 210,
215, 218. Д/З: [9] 190,193,194, 197, 200, 204, 209, 212, 219.
Интегральная
функция
непрерывной
случайной
величины
(НСВ).
Дифференциальная функция. Ауд: [9] 252, 253, 258, 262. Д/З: [9] 254, 256, 263, 266.
Нормальный закон распределения НСВ. Ауд: [9] 264, 265, 267. 270, 272. Д/З: [9]
268, 271, 273, 274.
Числовые характеристики НСВ. Ауд: [9] 275, 277, 280, 281, 283, 284. Д/З: [9] 276,
278, 279, 282, 285.
Числовые характеристики НСВ для нормального закона распределения. Ауд: [9]
286, 288, 290, 293, 299. Д/З: [9] 289, 294, 300, 303.
Элементы математической статистики.
Ауд: [9] 440, 44 1, 442, 444, 450, 452, 454. Д/З: [9] 439, 446, 456, 458.
Итого: за III СЕМЕСТР
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
50 часов
ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
№
Наименование тем
1
Решение системы линейной алгебраической уравнений (СЛАУ) по
формулам Крамера. и методом Гаусса.
2
Решение системы линейной алгебраической уравнений (СЛАУ)
матричным методом.
Приближенные вычисления значения функции одной переменной с
помощью дифференциала.
Итого: за 1-СЕМЕСТР
3
Число часов
СЕМЕСТР
2
I
2
I
1
I
5 часов
6
Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа.
2
II
7
Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам
прямоугольников, трапеции и Симпсона.
Итого: за 2-СЕМЕСТР
3
II
5 часов
9
Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка
методом Эйлера.
2
III
10
Приближенное решение дифференциальных уравнений второго порядка
методами:
a) последовательного дифференцирования;
b) методом неопределенных коэффициентов (сравнений).
3
III
11
Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью
рядов.
2
III
12
Решение дифференциальных уравнений методом операционного
исчисления.
2
IV
Итого: за 3-СЕМЕСТР
9 часов
15
16
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры М.: Наука,
1974. 320 с.
2. Ильин В.А.. Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия М. Наука, 1988. 224 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1-том, Т.:
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2-том, Т.:
5. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного М.: Наука,
1984, -432 с.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика М.: Высшая
школа, - 479с.
7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии М.: Наука,1969. – 256 с.
8. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа М.: Наука, 1985.
9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистики. Т.: Ўқитувчи, 1980.
10. Пиримов А. ва бошқалар, Олий математикадан маъруза матнлари биринчи қисм.
Навоий, 2006.
11. Худойбердиев О.Ж. и др. Текст лекции по высшей математике. Часть I,II.
Навоий,2007.
17
Предлагаемый конспект лекции предназначен для студентов 1-го и 2-го
курсов ВТУЗа. Здесь приводятся элементы линейной алгебры, векторной
алгебры, аналитической геометрии и математического анализа, теория и
приложения кратных
и криволинейных интегралов, дифференциальных
уравнений, числовые и функциональные ряды, ряды Фурье, операционные
исчисления, теория функций комплексного переменного и уравнения
математической физики.
Выбранные темы соответствуют государственному стандарту образования
и рабочей программе бакалавра.
Авторы надеются, что данный конспект лекции поможет студентам при
изучении курса «Высшая математика».
18
Предлагаемый конспект лекции по предмету «Высшая математика» был
обсужден на заседание кафедры «Высшая математика» и рекомендован для
пользования.
Введение
Высшая математика является одним из важнейших элементов в образовании
современного инженера. Для всякого сколько-нибудь сложного сооружения,
будь то машина, мост, здание, самолет, необходим целый ряд расчетов, которые
при помощи средств одной лишь элементарной математики выполнить было бы
невозможно. И в процессе обучения в высших технических учебных заведениях
студентам постоянно приходится пользоваться высшей математикой, так как
такие предметы, как физика, теоретическая механика, сопротивление
материалов, радио и электротехника, горное электромеханика, горное дело и
другие, широко применяют методы высшей математики. Все это объясняет,
почему в учебных планах всех технических ВУЗов курсу высшей математики
уделяется значительное внимание.
Основной особенностью всех математических наук является их отвлеченный
или абстрактный характер. Но действительность всегда конкретна, и потому
математические предложения, как и всякая теория, отражает ее лишь с
некоторым приближением.
Те величины, с которыми мы имеем дело при изучении природы, являются
величинами, изменяющимися или переменными. В элементарной математике мы
обычно отвлекаемся от того, что рассматриваемые величины являются
переменными, и принимаем их за постоянные величины. Это возможно далеко
не всегда, а только тогда, когда мы занимаемся величинами, изменения которых
невелики, и ими можно пренебречь. Это объясняет, почему область приложения
методов элементарной математики, математики постоянных величин, весьма
ограничена.
Для более полной характеристики предмета высшей математики следует
указать, что она изучает переменные величины не изолированно, а в их взаимной
связи. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры, аналитической
геометрии и математического анализа, дифференциальное и интегральное
исчисления, теория рядов, операционное исчисления, теория функций
комплексного переменного, уравнения математической физики, теория
19
вероятностей и математическая статистика представляют собой ветви этого
раздела.
В заключение отметим, что при изучении математики очень существенно
решение задач.
Для инженера одно лишь теоретическое знакомство с
материалом было бы неполным. Поэтому студенты должны сочетать изучение
лекций с решением задач из задачников по высшей математике.
20
ЛЕКЦИЯ 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНыЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №1)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
Основной
готовности студентов проводить блиц
(60 мин)
вопросы.
1. В чём заключается основная задача
дифференциальных уравнений?
2. Как определяется порядок
дифференциального уравнения?
3. Какие дифференциальные уравнения
называется обыкновенным?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Какие имеются дифференциальные
уравнения?
б) Всегда ли дифференциальные
уравнения имеет решение?
в) При каких условиях можно применять
метод разделения переменных?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
(10 мин)
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
студент
1.1. Слушает и конспектирует.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется
равенство, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и её
(n)
производные y , y ,..., y
:
F ( x, y , y ,..., y ( n ) ) 0
21
(1.1)
Порядок старшей производной уравнения (1.1) называется порядком
урав-нения.. Решением уравнения
(1.1)
называется
y f (x) ,
функция
обращающая уравнение в тождество. Процесс нахождения решения называется
интегрированием
дифференциального уравнения. График решения на
плоскости (x,y) называется интегральной кривой.
2
Например, функция y x удовлетворяет уравнению y 2 x и поэтому
является его решением , однако это решение не единственно, т.к. семейство
y x2 c,
функций
где c – произвольная
константа, также решение
уравнения. Говорят, что функция (семейство функций)
общим
решением.
Общее
решение
может
быть
y x 2 c является
найдено
в
явном,
параметрическом или неявном виде, в любом случае оно должно зависеть от n
констант c1 , c 2 , , c n . Если общее решение получено в неявном виде, то его
часто называют общим интегралом уравнения.
Всякое решение, получающееся из общего при некоторых конкретных
значениях констант, называется частным решением. Так, в рассмотренном
примере решение
y x 2 является частным, оно получается из общего при
c 0. Задачу нахождения частного решения в общей постановке можно
сформулировать следующим образом:
найти частное решение уравнения (1.1) , удовлетворяющее условиям:
( n 1)
( n 1)
y0
при x x 0 y y 0 , y y 0 , y y 0 ,..., y
(1.2)
Геометрически это означает, что интегральная кривая частного решения должна
проходить через точку
(x0,y0) и иметь заданные производные в этой точке,
равные указанным значениям.
Условия
(1.2)
называются
начальными
данными.
В общем случае не всякое решение получается из общего при конкретных
(числовых) значениях констант. Решение, которое не содержится в общем
решении ни при каких чис22
ловых значениях констант, называется особым решением.
При решении дифференциальных уравнений следует иметь в виду, что
существуют типы уравнений, для которых известны шаблонные методы
решения. Поэтому процесс решения разбивается, как правило, на три этапа:
Распознание типа решаемого уравнения либо приведение его к известному типу.
Применение известного шаблонного метода
решения к распознан-
ному уравнению.
Интегрирование уравнения (взятие интегралов).
Первый этап - идеологический, требует навыка, опыта, набитие руки.
Второй этап - справочный, требует хорошей памяти, умения запоминать. Третий
этап - технический, требует владения техникой интегрирования (взятие
неопределенных интегралов).Учитывая, что
y
dy
dx , иногда дифференциальное
уравнение записывают в диф-ференциалах. Например, уравнение
записать в виде
dy
y
1
x можно
dx
x .
Рассмотрим некоторые типы уравнений и методы их решения.
§ 2. Простейшее дифференциальное уравнениe
y ( n ) f ( x)
Интегрируя n раз обе части уравнения, найдем общее решение, зависящее
y ( x, c1 , c 2 ,..., c n )
от n констант
П. 2.1
данными:
Найти частное решение уравнения
при x=0
y=1,
y 6 x 2
y 0 . Интегрируем дважды
с начальными
y 3x 2 2 x c1 ,
y x 3 x 2 c1 x c 2
Из начальных условий следует: 0 c1 , 1 c 2 . Таким образом,
23
y x 3 x 2 1.
§ 3. Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение
M 1 ( x) N 1 ( y )dx M 2 ( x) N 2 ( y )dy 0
(3.1)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
1
M 2 ( x ) N 1 ( y ) , получаем уравнение
Умножая обе части уравнения на
M 1 ( x)
dx
M 2 ( x)
N 2 ( y)
dy 0
N1 ( y)
(3.2)
В уравнении (3.2) коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент
при dy зависит только от y. Значит, в уравнении (3.2) переменные разделены.
Интегрируя, получаем:
M 1 ( x)
∫ M 2 ( x)
N 2 ( y)
dx
+∫ N 1 ( y )
dy c
( y 2 xy 2 )dx ( x 2 yx 2 )dy 0 . Найти частное решение уравнения,
П.3.1
удовлетворяющее начальным данным: при x=1, y=1.
2
2
Преобразуем уравнение y (1 x)dx x (1 y )dy 0 ;
M 1 ( x) 1 x), N 1 ( y ) y 2
1
M 2 ( x) x, N 2 ( y ) 1 y . Умножая оби части уравнения на y 2 x 2 , получаем
1 x
x2
уравнение с разделенными переменными
1 x
2
∫ x
dx
1 y
2
+∫ y
dy c
dx
1 y
y2
dy 0
. Интегрируем:
1
1
1
( 2 )dy c
)
dx
2
y
x
; ∫ x
+∫ y
;
(
1
y
1 1
ln c
x y
x
.
По начальным данным находим c (в последнее уравнение подставляем x=1,
y=1):
1
1+1+0=c, c=2;
П. 3.2
x
1
y
2
y
- искомое частное решение.
y 1
x 1
24
dy
Заменяем y на dx :
dy
y 1
dx
x 1
разделились. Интегрируем:
ln y 1 ln c( x 1)
dy
dx
y 1 x 1 , переменные
dy
dx
∫ y 1 =∫ x 1 , ln y 1 ln x 1 ln c ,
y c( x 1) 1 - общее решение.
Практически решение
большинства типов дифференциальных
уравнений сводится к решению
уравнений с разделяющимися пере-
менными, методы сведения разнообразны и зависят от типа уравнения.
Например, в уравнении
y f (ax by )
(3.5)
где a и b константы можно разделить переменные, сделав замену z=ax+by.
dz
dx
z
a
bf
(z
)
z
a
b
y
a
bf
(
z
)
Так как
, то
, переменные
разделились,
dz
интегрируем
∫ a bf (z ) =∫ dx .
25
ЛЕКЦИЯ 2
Однородные и линейные дифференциальные уравнения
§ 4. Однородные уравнения
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №2)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
Основной
готовности студентов проводить блиц
(60 мин)
вопросы.
1. Какое уравнения называют однородным
дифференциальным уравнением?
2. Как определяется тип
дифференциального уравнения?
3. Какие дифференциальные уравнения
называется линейными?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Какие имеются методы решения
дифференциальных уравнений?
б) Всегда ли однородное
дифференциальное уравнения имеет
решение?
в) При каких условиях можно найти
часное решение дифференциального
уравнения?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
(10 мин)
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
студент
1.1. Слушает и конспектирует.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
Уравнение
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ,
(4.1)
в котором M и N - однородные функции одной и той же степени, называется
однород-ным уравнением. Функция f(x,y) называется однородной функцией
26
f (tx, ty ) t k f ( x, y ) .
степени k, если при всех t выполняется тождество
2
Например, функция f ( x, y ) x xy – однородная второй степени, т.к.
(tx ) 2 txty t 2 ( x 2 xy ) ; функция f ( x, y) 2 x 3 y – однородная первой
3
2
3
степени; функция f ( x, y ) x xy 5 y - однородная третьей степени.
Записываем уравнение (4.1) в виде :
y
Делаем замену y zx,
M ( x, y )
N ( x, y ) .
y z x z y
M ( x, zx )
N ( x, zx )
z x z
.
Пусть функции M ( x, y), N ( x, y) имеют степень однородности k , тогда
M ( x, zx ) x k M (1, z )
( z )
N ( x, zx ) x k N (1, z )
z x z ( z ), z x ( z ) z,
уравнение с разделенными переменными. Пусть
dz
dx
( z) z x -
z ( x, c)
общее решение
последнего уравнения, тогда y x ( x, c) - общее решение уравнения (4.1).
Пример 1.
x( x 2 y)dx ( x 2 y 2 )dy 0 .
M(x,y)=x(x+2y), N(x,y)=x2-y2. Легко проверить, что функции M и N однородные
второй степени. Делаем замену
y=zx; находим y :
y z x z . С другой
y
стороны
y
из
x( x 2 xz )
x 2 ( xz ) 2
заданного
y z x z
уравнения
x( x 2 y )
x2 y2
1 2 z
1 z 2
1 2z
1 z2 ,
z x
1 2z
z,
1 z2
27
1 2z
z x (
z)
1 z2
,
,
или
(1 z 2 )dz
dx
3
x . Так как
1 3z z
1
1 d (1 3z z 3 )
3
(1 z )dz d (1 3z z )
3
3
, то 3 ∫ 1 3z z =
dx
=∫( x ),
1
2
ln(1 3z z 3 ) ln
x3
ln c
3
3
, x (1 3 z z ) c, подставляя вместо z
y
x , получаем общий интеграл: x 3 x y y c .
3
2
3
Пример 2.
ydx ( y x)dy 0
Функции M=y и N=y-x однородные первой степени. Поступаем по
шаблону: y=zx,
y
zx
z
z 2 ( z 1)dz
dx
y z x z
z x
,
2
yx
zx x
z 1
z 1
x ,
z
( z 1)dz
∫
ln z
z2
( z 1)dz
z2
1 1
dx
dx
( 2 )dz
∫ x , или ∫ z z
∫ x ,
y
1
z
ln x c
x , находим общий
z
, подставляя в это уравнение
интеграл:
ln
y
x
x
ln x c
y
,
ln y
x
c
y
,
x y(c ln y) .
Пример 3.
( y x 2 y 2 )dx xdy 0 .
Выделить интегральную кривую, проходящую через точку M (1,0), т.е. найти
частное решение, удовлетворяющее начальным данным: y (1) 0 .
Уравнение
однородное
первой
степени.
Делаем
замену
y=zx,
y zx z ,
y x2 y2
x
z x z
zx x 2 ( zx ) 2
, или
x
28
z 1 z2
z x z ,
z x z ,
1
dz
dx
2
1 z z x , ∫ 1 z 2 ∫ x , ln z 1 z ln x ln c , c 0 , подставляя в
2
2
y
y
y
ln 1 ln cx
x
z
x
x , находим
это уравнение
,
подставляя
начальные
данные,
y x 2 y 2 cx 2 ,
0+ 1 0 c ,
находим
с=1
y x 2 y 2 x 2 - искомое частное решение.
§ 5. Обобщенное однородное уравнение
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ,
Уравнение
(5.1)
можно привести к уравнению с разделяющимися переменным, если оно является
обобщенным однородным, т.е. если существует такое число k, что левая часть
уравнения
становится
однородной
относительно x, y, dx, dy, приэтом
функцией
некоторой
считается, что
x
степени
m
величина первого
измерения, y величина k – го измерения (ясно, что тогда величины dx и dy
соответственно нулевого и
(k-1) – го измерения;
y величина
(k-1) – го
измерения). Если такое k найдено, то после замены
y xk z
уравнение
(5.1)
приводится к уравнению с разделяющимися
переменными.
2
2
2 y dx dy 0
x
.
П. 5.1
2
Члены
левой
части
x
2
, y 2 dx, dy
имеют
соответственно
измерения
2, 2k , k 1.
Измерения всех членов должны быть равными. Из этого условия находим k :
2 2k k 1 k 1 . Делаем замену
стороны из уравнения
29
y
z
z x z
, y
x
x 2 . С другой
y
z x z
2 2
x y 2
x
2
dz
z z 2
2
x2
dx
x . Так как
z 2 2
2
x 2 , z x z z 2,
1
z z2
2
1 1
1
3 z 1 z 2 , то
1 1 dz dx
∫ z 1 z 2
3∫ x , ln cz 1 ln z 2 3 ln x ,
c 2x 3
z c 2x3 1
cz 1
3 z
y
x
3
x c x 3 x - общее решение.
c
x
z2
,
,
x y 1y 2 xy 0 .
x y y , y , 2xy соответственно равны 2+2k+k-1, k-1,
2
П. 5.2
2
Иэмерения членов
2
3
2
3
3k+1; из равенств 3k+1=k-1=3k+1 находим k 1 уравнение обобщенное
y
однородное. Делаем замену
3
2 xy
y
2z
2
1 x y
3
2
x 2 1 z2
1 z dz dx
∫ z 1 z ∫ x .
2z
1
2
∫ z 1 z
z
1 z
П. 5.3
2
2
2
Так как z 1 z
dx
dz
∫ x ,
cx,
z x z
1 z
2
2
z
z x z
, y
x
x 2 . С другой стороны
1
z
3
1 z
2
z x
,
z3 z
1 z
2
2z
1 z , то
2
ln z ln 1 z 2 ln cx
yx
1 x y
2
y
2z
4
2
cx,
y c 1 x2 y2
- общий интеграл.
3x 2 dy xydx 0 .
4
2
Иэмерения членов ( y ) dy , (3 x )dy , xydx соответственно равны
4k k 1, 2 k 1, 1 k
30
1
k
2 . Делаем замену y z x ,
из равенств 5k-1=k+1=k+1
2 z x z
z
,
2
2
3 z
2 xz z
=
2 x . С другой стороны
y xz
2 z x
z
2 x
z5 z
3 z ,
4
23 z 4 dz
dx
z z 2 1z 2 1 x . Так как
23 z 4
z
z
z
z
3
3
2
dz
z z 2 1z 2 1 z z 2 1 z 2 1 , то 2∫ z z 2 1 z 2 1
dx
=∫ x ,
2(3 ln z 0.5 ln( z 2 1) 0.5 ln( z 2 1)) ln cx ,
y4
cxy 6
z4 1
cx, 2
3 , y 4 x 2 cy 6
6
4
6
ln z ln( z 1) ln cx , z
x 1
x
- общий
интеграл.
§ 6. Линейное уравнение первого порядка
Дифференциальное уравнение
(6.1)
y p(x)y q(x)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Делаем замену y uv , где u u ( x), v v( x) – функции от x. Так как
y u v uv , то после подстановки y и
y в уравнение (6.1), получаем
u v uv p( x)uv q( x) или, группируя члены,
u v u (v p( x)v) q( x)
(6.2)
Функцию v выберем так, чтобы выполнялось равенство
v p( x)v 0 , или
dv
p( x)dx
v
. Пусть решением этого дифференциального
уравнения с разделенными переменными v и x является функция
тогда при таком выборе функции
v из уравнения
(6.2) получаем
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
u v q (x) или u f ( x) q ( x) ,
31
v f (x) ,
u и x
q( x)
dx
f ( x) . Пусть общим решением этого уравнения является функция
u ( x, c) , тогда функция y uv f ( x) ( x, c) - общее решение уравнения (6.1).
РЕЗЮМЕ:
Решение линейного дифференциального уравнения первого поряд-ка
сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяю-щимися
переменными:
du
v p( x)v 0 и u v q (x) , искомая функция Y uv .
y 2 xy xe x
П.6.1
2
Убеждаемся, что уравнение линейное первого порядка относительно искомой
2
x
. Делаем замену y uv, тогда
функции y (x) , причем p( x) 2 x, q( x) e
y u v uv . Подставляем y и y в последнее уравнение:
u v uv 2 xuv xe x
x
Группируем u v u (v 2 xv) xe
2
.
2
.
Функцию
v находим из условия v 2 xv 0 . Разделяем переменные v и x:
v
2 x
v
или
v
dx 2 xdx
v
,
нахо-дим
dv
2
v 2 xdx ln v x 2 , v f ( x) e x
,
.
получаем
u e x
2
dv
2 xdx
v
. Интегрируя последнее уравнение,
из сгруппированного уравнения, что
xe
x
Сокращаем на e
При v f ( x) e
u v xe x
2
x2
или
2
.
x 2
u x ,
:
u ( x)
1 2
x c
2
. Таким образом, общим
решением заданного уравнения является функция
y uv ( x 2 с)e x
(1 x 2 ) y 2 xy (1 x 2 ) 2
П.6.2
Вначале представим уравнение в стандартном виде:
y
2x
1 x
2
1 x2
32
1
2
2
.
Убеждаемся, что оно линейное первого порядка относительно искомой
функции у(x) . Далее поступаем по шаблону. Делаем замену y uv . В
последнее уравнение под-ставляем новые значения y и y и группируем
члены :
2x
u v u (v
v) 1 x 2
2
1 x
,
далее,
решаем
дифференциальное
уравнение
v
получаем,
2x
1 x
что
2
dv
2x
dx
v 1 x2
,
v0
,
d (1 x 2 )
dv
2
v
1 x
,
т.к.
2 xdx d (1 x 2 ) ,
ln v ln(1 x 2 ) ,
v 1 x2 .
u v 1 x 2 , находим u:
дифференциальное уравнение
то
Решая
u (1 x 2 ) 1 x 2 ,
2
u 1 , u x c , c – постоянная интегрирования. Т.о., y uv ( x c)(1 x ) -
общее решение.
П.6. 3 Найти частное решение уравнения , удовлетворяюшее начальным
данным
y ytgx
ln v ln
1
,
cos x
y uv
xc
cos x - общее решение.
v
cos x , y(0) 0 .
u v uv uvtgx
Делаем замену y uv , тогда
находим u и v v vtgx 0 ,
1
1
cos x
1
cos x ; далее, по шаблону
dv
sin x
dx
v
cos x , т.к. sin xdx d cos x , то
u
1
cos x
1
cos x ,
u 1 , u x c ,
Используя начальные данные, находим частное решение:
y (0) 0
0c
x
, c 0, y
cos 0
cos x - частное решение.
Иногда линейное уравнение задают в дифференциалах, приэтом
линейность уравнения явно не видна, что создает трудности в опреде-лении
33
типа уравнения. В таком случае надо уравнение привести к стандартному
виду.
xdy ( x 2 y )dx 0 .
П.6. 4
После деления обеих частей уравнения на xdx , получаем линейное
уравнение:
y
y
x
x
.
Более ”хитрый ” случай: уравнение не является линейным относи-тельно
функции Y(x), но относительно функции X(y) уравнение линейно.
y
П.6. 5
1
2x y
Ясно, что уравнение не является линейным относительно функции Y(x).
Однако его можно привести к линейному относительно функции X(y).
Т.к.
x
dx
dy , то
y
dy 1
1
1
1
dx dx x
y
x 2 x y или
dy
; тогда
x 2 x y - линейное уравнение относительно функции X(y).
Решаем его по шаблону: x uv ; находим u и v; v 2v 0 ,
ln v 2 y, v e 2 y ; u v y , u e 2 y y, u ye 2 y dy .
частям:
1
4
u e 2 y (2 y 1) c
П. 6.6
,
x uv (2 y 1) ce 2 y
1
4
2 ydx ( y 2 2 x)dy 0
34
dv
2dy
v
,
Берем интеграл по
- - общее решение.
После деления обеих частей уравнения на
1
уравнение относительно функции X(y):
1
x cy y 2 .
2
35
2 ydy получаем линейное
x x
y
y
2 , решая его, находим
ЛЕКЦИЯ 3
§ 7. Уравнение в полных дифференциалах
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №3)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
Основной
готовности студентов проводить блиц
(60 мин)
вопросы.
1. Всегда ли дифференциальное уравнение
является полным?
2. Как определяется уравнения в полных
дифференциалх?
3. Какие методы прменяются при решение
дифференциальных уравнений?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Какие имеются дифференциальные
уравнения в полных дифференциалах?
б) В чём различия линейных
дифференциальных уравнений от
уравнения Бернулли?
в) При каких условиях имеет решение
уравнение Бернулли?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
(10 мин)
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
студент
1.1. Слушает и конспектирует.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
1°. Уравнение
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
36
(7.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть
полный дифференциал некоторой функции U (x, y) и следовательно его можно
записать в виде:
dU=0 U=const=c
Например,
уравнение
xdy+ydx=0,
есть
уравнение
в
полных
дифференциалах, так как его можно записать в виде d(xy)=0 и, значит, xy=c.
Если функции M и N в области задания непрерывны и имеют частные
производные соответственно по y и по x, то для того чтобы уравнение (7.1)
было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось тождество
M N
y
x
(7.2)
Если условие (7.2) выполнено, то решение можно записать в виде
y
x
M x, y dx N , y dy c
(7.3)
либо
y
x
M x, dx N x, y dy c
,
(7.4)
где , – произвольная точка в области задания функций M и N.
Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям x x 0 , y y 0 , в
случае когда функции M и N не обращаются одновременно в 0 в точке ( x 0 , y 0 ) ,
можно найти обычным путем, определив константу c из общего решения, а
можно в формулах (7.3) и (7.4) положить x 0 , y 0 , c 0 :
x
y
x M x, y dx y N x
0
0
либо
37
0
, y dy 0
(7.5)
x
y
x
y
M x, y 0 dx N x, y dy 0
0
3x
П. 7.1
2
(7.6)
0
6 xy 2 dx 6 x 2 y 4 y 3 dy 0 .
M
N
12 xy,
12 xy
y
x
уравнение в
Проверяем выполнение условий (7.2).
3
полных дифференциалах. Полагаем 0, 0, тогда N , y 4 y . По
3x
x
2
y
6 xy dx 4 y 3 dy c
2
x 3 3x 2 y 2
0
формуле (7.3) находим 0
,
3
2 2
4
x 3 x y y c - общий интеграл.
e y dx ( xe y
П. 7.2
x
0
y4
y
0
c
2 ydy) 0, при x 1 y 1.
M
N
ey,
ey
x
уравнение в
Проверяем выполнение условий (7.2). y
y
полных дифференциалах. Полагаем 0, 0, c=0, тогда N , y e 2 y.
По формуле (7..5) находим
x
e
1
y
y
dx (e y 2 y)dy 0, xe y
1
x
1
(e y y 2 )
2°. Существуют уравнения вида (7.1)
y
1
0
,
xe y y 2 e 1.
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 , которые
не являются уравнениями в полных дифференциалах, но после умножения обеих
частей уравнения на некоторую функцию ( x, y) получается уравнение в
полных дифференциалах
[M ( x, y)dx N ( x, y)dy] 0 dU
Функция ( x, y) называется интегрирующим множителем, а функция
U соответствующим ему интегралом уравнения (7.1).
Ясно, что если заданное уравнение уже является уравнением в полных
дифференциалах, то 1.
38
Интегрирующий множитель должен удовлетворять уравнению с частными
M N
( M ) ( N )
или N
M
y
x
x
y
y x
производны-ми :
(7.7)
Если
заранее известно, что является
( ) , где заданная функция от
некоторой
функцией
от ,
x и y, ( x, y), то уравнение (7.7)
сводится к линейному уравнению относительно неизвестной функции
,
зависящей от переменной :
d
( )
d
,
(7.8)
M N
y
x
( )
N
M
x
y
.
где
(7.9)
Решив уравнение (7.8), найдем интегрирующий множитель ( ) .
В частности, если выполнено условие
M N
y
x
(x)
N
то интегрирующий множитель x
П. 7.3
1 x y dx x
2
2
либо
M N
y
x
( y)
M
,
либо
(7.10)
y.
y x dy 0
Проверим, не имеет ли уравнение интегрирующий множитель, зависящий только
от x:
M N
y
x x 2 2 xy 3x 2
2
d
2
1
( x)
, ln( ) ln 2 ,
2
N
x
x ( y x)
x
dx
x
1
1
x 2 . Умножая обе части исходного уравнения на x 2 , получим:
1
2 y dx y x dy 0
x
.
39
Легко проверить, что получено уравнение в полных дифференциалах.
Действительно,
y
x 1
1
y y x 1
2 y dx y 1dy c
y x 2
x
1
0
. Далее, x
,
1
1
xy y 2 c
x
2
- общий интеграл.
xy
П. 7.4
2
y dx xdy 0
Проверяем выполнение условиий (7.10):
M N
y
x 2 xy 1 1 2( xy 1)
( x)
N
x
x
,
M N
y
x
2 xy 1 1
2
2
(
y
)
,
M
y
y
( xy 2 y )
1
x dx
y
Т.о.,
y
1
x y dx 0dy c,
0
1
x
x
x
dy 0
2
y
.
x
0
d
2
,
d
y
1
y2 ,
По формуле (7.3) при 0, 1 имеем
1
dx c,
y
1 2 x
x c
2
y
- общее решение.
x xy dx y x 2 dy 0 . Известно,
П. 7.5
2
2
что x y ,
найти интегрирующий множитель. По формуле (7.9) находим:
M N
y
x
x 2x
3
3
( )
2 x( y x 2 ) 2 y ( x xy ) 2( x 2 y 2 ) 2
N
M
x
y
3
3
d
3
d
3 d
,
, 2 (x 2 y 2 ) 2
d
2
2
.
П. 7.6
x
2
y 3 y dx x 3 y 2 x dy 0 . Известно, что xy ,
проинтегрировать уравнение. По формуле (7.9) находим:
40
M N
y
x
3x 2 y 2 1 3x 2 y 2 1
1
1
3 2
( )
2 3
xy
x y x y x y yx
N
M
x
y
d
d
d
1
1
1
,
,
xy . Умножая обе части исходного
d
x
xy
1
1
уравнения на xy , получаем:
2
y 3 y dx
x
xy
1
3
y 2 x dy 0
- уравнение в
полных дифференциалах. По формуле (7.3) при 1 находим
x
y
xy 2 1 dx ( y 1 )dy c 1 x 2 y 2 ln x 1 y 2 ln y
2
2
1
x
y
1
1
,
x
x 2 y 2 2 ln
y
1
c
,
x
c
y
- общий интеграл.
Следует иметь в виду, что при умножении обеих частей уравнения на
интегриру-ющий множитель может появиться постороннее решение – точки
кривой ( x, y) 0 .
Замечание. Полезно обратить внимание на то, что уравнения с
разделяющимися переменными, однородные, обобщенные однородные и
уравнения в полных дифферен-циалах имеют одинаковый внешний вид.
§ 8. Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение
y p(x)y q(x) y n ,
где
p(x), q(x)
- функции от x определенные и непрерывные в некотором
интервале (a, b) , n 0, n 1, называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли приводится к линейному путем деления обеих частей
урав-нения на
П. 8.1
yn
1 n
с последующей заменой z y .
y 2 xy 2 x 3 y 3
41
Делим обе части уравнения на
2
z y , z 2 y
3
y y 3 2 xy 2 2 x 3 .
Делаем замену
1
z 2 xz 2 x 3 , z 4 xz 4 x 3
2
- линейное уравнение.
y ,
y3:
3
Делаем замену z uv, z u v uv u v uv 4 xuv 4 x . Выбираем v
так, чтобы v 4 xv 0 , v e
2x 2
. Т. о. , u e
2 x2
2 2 x
dx 2 .
4 x u 2 x e
2
3
2
1
1
1
u te t dt e t (t 1) c (2 x 2 1)e 2 x c
2
2
2
2
Пусть 2 x t , тогда,
z (0.5(2 x 2 1)e 2 x c)e2 x x 2 0.5 ce 2 x .
2
y 2
Т.о. ,
1
y2
2
2
x 2 0.5 ce 2 x
2
- общее решение.
xy 4 y x 2 y
П. 8.2
xy
Делим обе части уравнения на
y:
y
4 y x2
. Делаем замену
z y,
z
y
z
2z x
x 2 - линейное уравнение. Делаем замену
u v uv
2v
x
2uv x
, u v u (v ) .
x
2
x
2 Выбираем v так,
2 y , 2 xz 4 z x 2 ,
z uv, z u v uv ,
чтобы
v
2v
x
1
0, v x 2 .
u x 2 , u
,
x
2
2x
Т. о. , при выбранном v
1
u ln x c1
2
z
1 2
x ln c x
2
,
y
1 2
x ln c x
2
- общее решение.
.
П. 8.3
xy y y 2 ln x . Начальные данные x 0 1, y 0 1.
x
2
Делим обе части уравнения на y :
y
2
42
y
1
ln x
1
y
. Делаем замену z y ,
z y 2 y ,
z x z ln x . Деля обе части последнего уравнения на
получаем линейное
уравнение
z uv, z u v uv
Выбираем
u
1
x
v
z
u v uv
v
так, чтобы
ln x
, u ln x,
x
z
ln x
x
x .
uv
ln x
,
x
x
v
1
v
x . Т. о. ,
x =0,
Делаем
замену
v
ln x
u v u (v )
x
x .
при выбранном
Значит,
v
u ln xdx . Беря по частям интеграл, находим
u x(1 ln x) c .
z ( x(1 ln x) c) x 1 ,
-x,
1
y
1 ln x
c
x . Находим c , 1=1-0+c, c=0.
1
Итак, y (1 ln x) - решение, отвечающее начальным данным.
43
ЛЕКЦИЯ 4
§9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №4)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
Основной
готовности студентов проводить блиц
(60 мин)
вопросы.
1. В чём заключается разница линейного
дифференциального уравнения первого
порядка и линейного дифференциального
уравнения с постоянными
коэффициентами?
2. Как определяется характеристическое
уравнение для линейного
дифференциальногое уравнения с
постоянными коэффициентами?
3. Какие линейные дифференциальные
уравнения с постоянными
коэффициентами называются
однородными?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Какие решения имеют линейные
дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами?
б) Всегда ли линейные дифференциальные
уравнения с постоянными
коэффициентами имеют решение?
в) При каких условиях можно применять
метод замены искомой функции?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
(10 мин)
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
44
студент
1.1. Слушает и конспектирует.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
Уравнение
y ( n ) a1 y ( n 1) a 2 y ( n 2) a n 1 y a n y f ( x)
(9.1)
называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с
постоянными ко-эффициентами; a k - постоянные вещественные числа. Если
функция f ( x ) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение
с правой частью.
Уравнение
y ( n) a1 y ( n 1) a 2 y ( n 2) a n 1 y a n y 0
(9.2)
называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами; a k - постоянные вещественные числа.
Т. к. функция f ( x ) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что
уравнение без правой час-ти.
n
n 1
n2
a n 1 a n 0
Уравнение a1 a 2
(9.3)
называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2).
Система функций
y1 , y 2 , y 3 , , y n 1 , y n называется линейно независи-
мой в интервале (a, b) , если тождество ( c1 , c 2 , , c n 1 , c n - постоянные числа)
c1 y1 c 2 y 2 c n 1 y n 1 c n y n 0
может выполняться только когда все c k 0 . Если к тому же каждая из функций
y k является частным решением однородного уравнения
решений одно-родного уравнения называется
(9.2), то система
фундаментальной системой
решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
y C1 y1 C 2 y 2 C n 1 y n 1 C n y n
дает общее решение однородного уравнения (9.2), ( все C k - константы ).
1. Однородное уравнение
Рассмотрим три случая.
45
(♠) Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.
Фундаментальная система решений имеет вид :
y1 e 1x , y 2 e
Функция
y C1e 1x C 2 e
2 x
2 x
n1x
, y n e n x .
n1x
C n e n x дает общее решение
, , y n1e
, , C n1e
одно-родного уравнения (9.2) ( все C k - константы ).
y 5 y 6 y 0 .
П. 9.1
Записываем характеристическое уравнение
2 2, 3 3 ;
1 0 ,
3 5 2 6 0 . Его корни
фундаментальная
система
решений
y1 1, y 2 e 2 x , y 3 e 3 x ;
y C1 C 2 e 2 x C 3 e 3 x - общее решение.
y 5 y 4 y 0 . Начальные данные: при x 0 y 1, y 1 .
П. 9.2
Корни характеристического уравнения
ре-шение
2 5 4 0
1 1, 2 4 . Общее
y C1e x C 2 e 4 x . Т. к. y C1e x 4C 2 e 4 x , то для определения
костант
имеем два уравнения: 1 C1 C 2 и 1 C1 4C 2 C1 1, C 2 0 .
Значит,
y e x - частное решение, удовлетворяющее заданным начальным
данным.
(♠♠) Все корни характеристического уравнения различны, но среди них
есть
комплексные.
Каждому вещественному корню по-прежнему соответствует частное решения
y e x ,
а
каждой
1 a bi и 2 a bi
паре
комплексных
сопряженных
корней
соответствуют два линейно-независимых частных
решения :
y1 e ax cos bx, y 2 e ax sin bx .
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют
линейно-независимые
частные
решения,
46
которые соответствуют
ве-
щественным корням, и линейно-независимые частные решения, кото-рые
соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной
системы
решений с произвольными постоянными коэффициентами C k .
П. 9.3
y y 9 y 18 y 0
3
2
Находим корни характеристического уравнения 2 9 18 0 или
( 2)(2 9) 0, 1 2, 2 3i, 3 3i . Один корень вещественный и пара
комплексно-сопряженных корней
(a=0,
b=3, т. е. корни чисто мнимые ).
2x
Фундаменталь-ная система решений : e , cos 3x, sin 3 x . Записываем общее
решение
y C1e 2 x C 2 cos 3x C3 sin 3x .
П. 9.4
y 7 y 19 y 13 y 0
3
2
Характеристическое уравнение: 7 19 13 0 ,
( 1)( 2 6 x 13) 0,
1 1, 2 3 2i, 3 3 2i ,
( a=3,
b=2 ).
Фундаментальная
система
решений :
e x , e 3 x cos 2 x, e 3 x sin 2 x .
x
3x
Общее решение y C1e e (C 2 cos 2 x C 3 sin 2 x) .
П. 9.5
при
y 4 y 5 y 0 . Начальные данные:
x 0, y 1, y 1.
2
Корни характеристического уравнения 4 5 0
1 2 i, 2 2 i .
2x
2x
Фундаментальная система решений: e cos x, e sin x .
2x
Общее решение y e (C1 cos x C 2 sin x) . Для определения констант
находим y .
y 2e 2 x (C1 cos x C 2 sin x) e 2 x (C 2 cos x C1 sin x) .
47
При
x 0, 1 C1 0, 1 2C1 C 2 , C1 1, C 2 1
. Т.о., частное решение, удов-
летворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид:
y e 2 x (cos x sin x) .
(♠♠♠)
Среди корней
характеристического уравнения имеются кратные
корни.
В этом случае каждому вещественному корню
кратности
k
соответствует k линейно-независимых частных решений вида
e x , xe x , , x k 2 e x , x k 1e x ,
причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной
комбинации
e x (C 1 C 2 x C k
1
x
k 2
k
C x )
k
,
а каждой паре комплексных сопряженных корней 1 a bi и 2 a bi
кратности k соответствуют 2k линейно-независимых частных решения вида
e ax cos bx, e ax x cos bx, , e ax x k 2 cos bx, e ax x k 1 cos bx,
ax
ax
ax k 2
sin bx, e ax x k 1 sin bx.
e sin bx, e x sin bx, , e x
В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
e ax [(C1 C 2 x C k
C
2k 1
x
k 2
C
2k
x
1
k 1
x
k 2
C x
) sin bx]
k 1
k
) cos bx (C
k 1
C
k 2
x
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют
линейно-независимые
частные
решения,
которые
соответствуют
вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые
частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных
комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной
решений с произвольными постоянными коэффициентами C k .
П. 9.6
y 6 y 12 y 8 y 0
48
системы
Корни
характеристического
кратны,
1 2 3 2 .
уравнения
Кратность
3 6 2 12 8 ( 2) 3 0
вещественного
корня
k 3.
Фундаментальная система решений:
e 2 x , e 2 x x, e 2 x x 2 . Общее решение y e 2 x (C1 C 2 x C 3 x 2 ) .
П. 9.7
y ( 4) 8 y 16 y 0
4
2
2
2
Корни характеристического уравнения 8 16 ( 4) 0
комплексны и кратны, 1 2i, 2 2i, 3 2i, 4 2i . Кратность пары
комплексно-сопря-женных корней k 2 , (a=0, b=2, т. е. корни чисто
мнимые). Фундаментальная система решений: cos 2 x, x cos 2 x, sin 2 x, x sin 2 x .
Общее решение y (C1 C 2 x) cos 2 x (C 3 C 4 x) sin 2 x .
П. 9.8
y ( 4) 2 y 8 y 5 y 0
Характеристическое уравнение
4 2 2 8 5 ( 1) 2 (2 2 5) 0
имеет двукратный вещественный корень 1 2 1 и пару комплексносопряженных
3 1 2i, 4 1 2i ,
корней
(a 1, b 2)
.
x
x
x
x
Фундаментальная система решений : e , xe , e cos 2 x, e sin 2 x .
x
x
Общее решение y (C1 C 2 x)e (C 3 cos 2 x C 4 sin 2 x)e .
П. 9.9
y ( 5) y ( 4 ) 2 y 2 y y y 0
Характеристическое равнение
5 4 23 22 1 ( 1)(2 1) 2 0 имеет простой вещественный
корень
1 1 и двукратную пару комплексно-сопряжен-ных
2 i, 3 i, 4 i, 5 i , (a 0, b 1, корни чисто мнимые).
x
Фундаментальная система решений : e , cos x, x cos x, sin x, x sin x .
Общее решение
y (C1 C 2 x) cos x (C 3 C 4 x) sin x C 5 e x .
49
корней
2°. Неоднородное уравнение.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами
y ( n ) a1 y ( n 1) a 2 y ( n 2) a n 1 y a n y f ( x)
можно найти по формуле y y y ч (формула верна и в том случае, когда
коэффици-енты не являются константами) , где y ч - частное решение
неоднородного уравнения, а
y
- общее решение однородного уравнения .
Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , надо
найти общее решение однородного уравнения
y и частное решение
неоднородного yч .
Стало
быть,
возникает
задача
нахождения
частного
решения
неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом
неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный
(стандартный ) вид.
Суть метода заключается в том, что частное решение y ч
ищут в
заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкрет-ные
значения которых находят подстановкой
y ч в исходное уравнение и
приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и
правой частях.
(♠)
f ( x) Pn ( x)
, где
P (x )
n
- полином от x степени n (который, в частности,
может быть константой, не равной нулю).
Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то y ч
следует искать в виде
y ч R n (x)
где
Rn (x)
,
- полином той же степени n с неопределенными коэффициентами.
50
Если же число 0
является корнем характеристического уравнения
кратности k , то y ч следует искать в виде
y ч x k R n (x)
y y x 2 x 1
П. 9.10
Корни
.
характеристического
2 1 0 1 1, 2 1 . Общее
уравнения
x
x
решение однородного уравнения y C1e C 2 e . Число 0 не является корнем
характеристи-ческого
уравнения
частное
решение
ищем
в
виде
y ч Ax 2 Bx C . Теперь сог-ласно рецепту следует y ч подставить в исходное
уравнение, однако обычно при-держиваются нижеследующей схеме.
-1
0
1
y ч Ax 2 Bx C
x2 : A 1
y ч 2 Ax B
x : B 1
B 1
x 0 : C 2 A 1 C 3
y ч 2 A
Во втором столбце стоят
которыми y ч , y ч , y ч
A 1
yч
и производные, в первом -
входят в уравнение;
коэффициенты, с
в третьем столбце приравнены
коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения; в
четвертом
столбце
приведены
значения
найденных
неопределенных
коэффициентов. Т.о., частное решение
yч x 2 x 3
x
x
2
Общее решение y y y ч C1e C 2 e x x 3 .
П. 9.11
y 4 y 12 x 2 6 x 4
51
.
Корни
характеристического
2 4 0 1 0, 2 4 . Общее
уравнения
решение однородного уравнения
y C1 C 2 e 4 x . Число 0 является корнем
характеристи-ческого уравнения кратности k 1 частное решение ищем в
2
виде y ч x( Ax Bx C ) . Далее, согласно схеме.
0
y ч x( Ax 2 Bx C )
x3 : 0 0
-4
1
y ч 3 Ax 2 Bx C
y ч 6 Ax B
x 2 : 12 A 12
x : 4B 6 A 6
x 0 : 4C B 4
A 1
B0
C 1
2
4x
3
Т.о., y ч x( x 1) . Общее решение y C1 C 2 e x x .
П. 9.12
y y 3 x 1
3
2
Корни характеристического уравнения 0 1 2 0, 3 1 . Число
0 является корнем характеристического уравнения кратности k 2 . Общее
x
решение одно-родного уравнения y C1 C 2 x C 3 e . Частное решение ищем
2
в виде y ч x ( Ax B ) . Далее, согласно схеме.
0
-1
1
y ч x 2 ( Ax B )
y ч 6 Ax 2 B
x3 : 0 0
y ч 6 A
x
x2 : 0 0
: 6 A 3
x 0 : 6 A 2B 1
Т.о.,
(♠♠)
1
2
B 1
A
1 3
1 3
2
x x2
x x x
C
e
y
C
C
x
1
2
3
2
2
. Общее решение
.
f ( x) Pn ( x)e ax
P (x )
, где n
- полином от x степени n (который, в
yч
частности, может быть константой, не равной нулю); a - вещественное число.
Если число a bi не является кратным корнем, то y ч следует
искать в виде
y ч Rn ( x)e ax
, где
Rn (x)
неопределенными коэффициентами.
52
- полином той же степени n с
Если же число a
является корнем характеристического уравнения
кратности k , то y ч следует искать в виде
y ч x k Rn ( x)e ax
.
y 2 y e x ( x 2 x 3) .
П. 9.13
Начальные данные: при x 0, y 1, y 1.
2
Число a 1 не является корнем характеристического уравнения 2 0 ,
2x
1 0, 2 2 . Общее решение однородного уравнения y C1 C 2 e .
x
2
Частное решение ищем в виде y ч e ( Ax Bx C ) .
0
2
y ч e x ( Ax 2 Bx C )
e x x 2 : 2 A A 1
yч e x [ Ax 2 ( 2 A B ) x B C ]
e x x : 4 A 2 B B 4 A 1
1
y ч e x [ Ax 2 ( B 4 A) x 2 A 2 B C ]
e x : 2 B 2C 2 A 2 B C 3
x
2
Решая уравнения, находим A 1, B 0,5, C 1. Т.о., y ч e ( x 0,5 x 1) .
Общее решение
y C1 C 2 e 2 x e x ( x 2 0,5 x 1)
y 2C 2 e 2 x e x ( x 2 2,5 x 0.5)
. Решаем задачу Коши.
. Имеем C1 C 2 1 1, 2C 2 0,5 1
. Решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет
2x
x
2
следующий вид: y 0.25 0.25e e ( x 0,5 x 1) .
П. 9.14
y y 4e x
Число a 1 является простым корнем характеристического уравнения
2 1 0 , 1 1, 2 1 . Общее решение однородного уравнения
y C1e x C 2 e x
1
y ч Axe x
x
. Частное решение ищем в виде y ч Axe .
ex x : A A 0
53
00
0
yч Ae x ( x 1)
1
y ч Ae x ( x 2)
ex
A2
: 2A 4
x
x
2 xe x
y ч 2 xe x ; общее решение y C1e C 2 e
.
y 2 y y (6 x 4)e x
П. 9.15
Число a 1 является двукратным корнем характеристического уравнения
( 1) 2 0 , 1 1, 2 1 . Общее решение однородного уравнения
y e x (C1 C 2 x)
2
x
. Частное решение ищем в виде y ч x ( Ax B )e .
3
2
x
1 y ч ( Ax Bx )e
3
2
- yч [( Ax ( B 3 A) x
2
2 Bx]e x
1
y [( Ax 3 ( B 6 A) x 2
(4 B 6 A) x 2 B]e x
e x x3 : A 2A A 0
00
e x x 2 : B 2B 6 A
B 6A 0
00
e x x : 4 B 4 B 6 A 6
A 1
e x : 2B 4
B2
3
2
x
Т.о., y ч ( x 2 x )e . Общее решение
f ( x) e ax [ P1 ( x) cos bx P2 ( x) sin bx ]
(♠♠♠)
y e x (C1 C 2 x) ( x 3 2 x 2 )e x
, где
P ( x), P ( x)
1
2
.
- полиномы от x
(которые, в частности, могут быть константами и один из них может быть
равным нулю); a, b - вещественные числа.
P ( x), P ( x)
2
Пусть n - наибольшая из степеней полиномов 1
.
Если число a bi не является корнем характеристического уравнения, то
y ч следует искать в виде
y ч e ax [ R1 ( x) cos bx R 2 ( x) sin bx ]
где
R ( x), R ( x)
1
2
,
- полиномы степени n с неопределенными
коэффициентами.
54
Если число a bi является корнем кратности k , то y ч следует искать
в виде
yч x k e ax [ R1 ( x) cos bx R2 ( x) sin bx]
y y 2 sin x 4 cos x
П. 9.16
Корни
решение
.
характеристического
однородного
a 0, b 1, R1 R 2 1 ;
2 1 0 1 1, 2 1 . Общее
уравнения
y C1e x C 2 e x .
уравнения
a bi i
число
характеристического уравнения , то
не
является
Т.к..,
корнем
частное решение ищем в виде
yч A cos x B sin x .
-1
0
1
cos x : A A 4
yч A cos x B sin x
yч A sin x B cos x sin x : B B 2
yч A cos x B sin x
A2
B 1
x
x
Значит, yч 2 cos x sin x ; oбщее решение y C1e C 2 e 2 cos x sin x .
П. 9.17
Корни
решение
y y 4 x cos x
характеристического
однородного
a 0, b 1, R1 4 x, R 2 1
уравнения
2 1 0 1 1, 2 1 . Общее
y C1e x C 2 e x .
уравнения
и число
характеристического уравнения , то
a bi i
Т.к..,
не является корнем
частное решение ищем в виде
yч ( Ax B) cos x (Cx D) sin x .
-1
0
1
yч ( Ax B) cos x (Cx D) sin x
yч (Cx A D) cos x ( Ax B C ) sin x
yч ( Ax B 2C ) cos x (Cx 2 A D) sin x
x cos x : A A 4
x sin x : C C 0
cos x : B B 2C 0
sin x : D D 2 A 0
Решая уравнения, находим A2, C 0, B 0, D 2 ; yч 2 x(cos x sin x) .
x
x
Oбщее решение y C1e C 2 e
2 x (cos
55
x sin x) .
П. 9.18
y y 30e x x sin x
2
Корни характеристического уравнения 1 0 1 i, 2 i . Общее решение
од-нородного уравнения y C1 cos x C 2 sin x . Т.к..,
a 1, b 1, R1 1, R 2 30 x ; и число a bi 1 i не является корнем
характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде
y ч e x [( Ax B ) cos x (Cx D) sin x] .
В данном случае пользоваться обычной схемой неудобно. Вначале
находим производные y и y .
y ч e x [( Ax B ) cos x (Cx D ) sin x A cos x ( Ax B ) sin x C sin x
(Cx D ) cos x]
e x [( AC ) x cos x ( B A D ) cos x (C A) x sin x ( D B C ) sin x].
yч e x [( Ax B ) cos x (Cx D ) sin x A cos x ( Ax B ) sin x C sin x
(Cx D ) cos x ]e x [( AC ) x cos x ( B A D ) cos x (C A) x sin x
( D B C ) sin
x ( A C ) cos x ( A C ) x sin x ( B A D) sin x
(C A) sin x (C A) x cos x ( D B C ) cos x]
e x [2Cx cos x 2( A C D) cos x 2 Ax sin x 2( A B C ) sin x.
Теперь следуем привычной схеме.
1 y ч e x [( Ax B ) cos x (Cx D) sin x]
1 y ч e x [2Cx cos x 2( A C D) cos x 2 Ax sin x 2( A B C ) sin x.
e x x cos x : A 2C 0
A 12
e x x sin x : C 2 A 30
C 6
e x cos x : B 2 A 2C 2 D 0
D 12
e x sin x : D 2 A 2 B 2C 0
B 12
x
Т.о., y ч e [12( x 1) cos x 6( x 2) sin x] .
Общее решение
y C1 cos x C 2 sin x e x [12( x 1) cos x 6( x 2) sin x] .
56
y 4 y 4 sin 2 x
П. 9.19
2
Корни характеристического уравнения 4 0 1 2i, 2 2i . Общее
решение однородного уравнения y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x .
Т.к.., a 0, b 2, R1 1, R 2 1 и число a bi 2i является корнем
харак-теристического уравнения , то частное решение ищем в виде :
yч x[( Ax B) cos 2 x (Cx D) sin 2 x].
Находим производные y и y .
y ч (2 Ax B ) cos 2 x 2( Ax 2 Bx) sin 2 x (2Cx D) sin 2 x 2(Cx 2
Dx) cos 2 x [2Cx (2 A 2 D) x B ] cos 2 x [ 2 Ax (2 B 2C ) x D] sin 2 x.
2
2
yч (4Cx 2 A 2 D) cos 2 x [4Cx 2 (4 A 4 D) x 2 B] sin 2 x
(4 Ax 2 B 2C ) sin 2 x [ 4 Ax (4 B 4C ) x 2 D ] cos 2 x
2
[4 Ax 2
2
(8C 4 B ) x 2 A 4 D ] cos 2 x [ 4Cx (4 D 8 A) x 2C 4 B] sin 2 x.
2
2
4 y ч [( Ax Bx) cos 2 x (Cx Dx) sin 2 x]
2
2
1 yч [4 Ax (8C 4 B) x 2 A 4 D] cos 2 x [4Cx (4 D 8 A) x 2C 4 B] sin 2 x
x 2 cos 2 x : 4 A 4 A 0
00
x 2 sin 2 x
x cos 2 x
x sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x
00
: 4C 4C 0
: 4B 8C 4B 0
: 4D 4 D 8 A 0
: 4D 2 A 0
: 4 B 2C 12
C 0
A0
D0
B 3
Т.о., y ч 3 x cos 2 x ; общее решение
П. 9.20
y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x 3x cos 2 x .
y ( 4) 4 y 8 y 8 y 4 y e x ( x cos x sin x) .
57
Найти вид частного решения.
Корни характеристического уравнения
4 43 82 8 4 (2 2 2) 2 0 1 2 1 i, 3 4 1 i .
Т.к.., a 1, b 1, R1 x, R 2 1, m 1 и число a bi 1 i является
двукратным
корнем характеристического уравнения , то частное решение имеет вид :
y ч x 2 e x [( Ax B ) cos x (Cx D) sin x].
(♠♠♠♠)
f ( x) f 1 ( x) f 2 ( x) f k ( x)
где
В этом случае
f i (x) - функции стандартного вида.
y ч y ч1 y ч 2 y чk ,
отвечающее функции
П. 9.21
,
где
yч i (x) - частное решение,
f i (x) .
y y 6 sin x 2e x
2
Корни характеристического уравнения 1 0 1 i, 2 i . Общее решение
однородного уравнения y C1 cos x C 2 sin x .
Т.к.. для функции f 1 ( x) sin x a 0, b 1, R 1 и число a bi i
является корнем характеристического уравнения , то частное решение
yч1 x( A cos x B sin x) ; функции
f 2 ( x) 2e x отвечает y ч 2 Be x .
x
Итак, y ч y ч1 y ч 2 x( A sin x B cos x) Ce .
Далее, поступаем по рецепту:
1
y ч x( A cos x B sin x) Ce x
y ч A cos x B sin x x( A sin x B cos x) Ce x
0
( A Bx) cos x ( B Ax) sin x Ce x
y ч B cos x ( A Bx) sin x A sin x ( B Ax) cos x Ce x
1
(2B Ax) cos x (2 A Bx) sin x
58
x cos x : A A 0
x sin x : B B 0
cos x : 2 B 0
sin x : 2 A 6
ex
: 2C 2
00
00
B0
A 3
C 1
x
x
Итак, y ч 3x sin x e . Общее решение y C1 cos x C 2 sin x 3x sin x e .
Иногда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, но с
помощью преобразований может быть приведена к стандартному виду.
П. 9.22
y 4 y 8 cos 2 x
2
Правя часть не имеет стандартного вида. Однако, т.к. 1 cos 2 x 2 cos x , то
8 cos 2 x 4 4 cos 2 x . Теперь правая часть имеет стандартный вид.
2
Корни характеристического уравнения 4 0 1 2i, 2 2i . Общее
решение однородного уравнения y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x .
Т.к.. для функции f 1 ( x) cos 2 x a 0, b 2, R 1 и число a bi 2i
является корнем характеристического уравнения , то частное решение
yч1 x( A cos 2x B sin 2 x) ; функции
f 2 ( x) 4 отвечает y ч 2 C .
Итак, y ч y ч1 y ч 2 x( A cos 2 x B cos 2 x) C .
4
y ч x( A cos 2 x B sin 2 x) C
y ч A cos 2 x 2 Ax sin 2 x B sin 2 x 2 Bx cos 2 x
0
( A 2 Bx) cos 2 x ( B 2 Ax) sin 2 x
yч 2B cos 2 x (2 A 4Bx) sin 2 x 2 A sin 2 x (2B 4 Ax) cos 2 x
1
(4 B 4 Ax) cos 2 x (4 A 4 Bx) sin 2 x
x cos x
: 4A 4A 0
00
x sin x
: 4B 4 B 0
00
cos x
: 4B 4
B 1
59
sin x
: 4A 0
: 4C 4
x0
A0
C 1
Т.о., y ч x cos 2 x 1 . Общее решение y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x cos 2 x 1 .
П. 9.23
y y 2 sin x cos 3x . Найти вид частного решения.
2
Корни характеристического уравнения 1 0 1 i, 2 i .
Т.к. 2 sin x cos 3x sin 4 x sin 2 x , то
yч yч1 yч2 A cos 4 x B sin 4 x C cos 2 x D sin 2 x .
3°. Метод вариации произвольных постоянных.
Метод пригоден для линей-ных уравнений (с постоянными и произвольными
коэффициентами), если известна фун-даментальная система соответствующего
однородного уравнения. Общее решение в этом случае можно найти для правой
части произвольного вида (необязательно стандартного).
Суть метода (метода Лагранжа) состоит в том, что общее решение ищется
в виде
y C1 ( x) y1 C 2 ( x) y 2 C n ( x) y n ,
где C1 ( x), C 2 ( x), , C n ( x) - непрерывно дифференцируемые функции от x;
y1 , y 2 , , y n
- фундаментальная система решений соответствующего
однородного уравнения; n - порядок уравнения.
Функции C1 ( x), C 2 ( x), , C n ( x) определяются из системы:
C ( x) y C ( x) y C ( x) y 0
1
2
n
2
n
1
C1 ( x) y1 C 2 ( x) y 2 C n ( x) y n 0
C ( x) y ( n 1) C ( x) y ( n 1) C ( x) y ( n 1) 0
1
2
n
2
n
1
(
n
)
(
n
)
(
n
)
C ( x) y
C 2 ( x) y 2 C n ( x) y n f ( x),
1
1
где f (x) - правая часть заданного уравнения.
60
y y
П. 9.24
Корни
ex
1 ex .
характеристического
уравнения
y1 1, y 2 e x ; f ( x)
Фундаментальная система решений:
решение ищем в виде:
2 0 1 0, 2 1 .
ex
1 ex .
Общее
y C1 ( x) y1 C 2 ( x) y 2 C1 ( x) C 2 ( x)e x . Записываем
систему:
ex
C1 ( x)
1 ex
x
C ( x) 1 e
2
1 ex .
C ( x) C ( x)e x 0
2
1
ex
C 2 ( x)
1 ex
,
Интегрируя, находим C1 ( x), C 2 ( x) :
C1 ( x)
ex
1 e
C 2 ( x) (1
x
dx ln(1 e x ) D1
ex
1 e
x
)dx x ln(1 e x ) D2
,
где D1 , D 2 - постоянные интегрирования. Общее решение:
.
П. 9.25
y y ctg 2 x
Корни
характеристического
уравнения
2 1 0 1 i, 2 i .
y1 cos x, y 2 sin x; f ( x) ctg 2 x .
Фундаментальная система решений:
Общее решение ищем в виде:
y C1 ( x) y1 C 2 ( x) y 2 C1 ( x) cos x C 2 ( x) sin x . Записываем систему:
61
cos2 x
C
(
x
)
1
sin x
3
C ( x) cos x
2
sin 2 x
C ( x) cos x C ( x) sin x 0
1
2
2
C1 ( x) sin x C 2 ( x) cos ctg x ,
cos2 x
cos2 x
cos2 x
C1 ( x )
dx
d cos x
d cos x
sin x
sin 2 x
1 cos2 x
=
(1
C2 ( x)
1
1
1
1
x
)d cos x cos x ln tg D1
2 1 cos x 2 1 cos x
2
.
cos3 x
cos2 x
cos2 x
dx
d
sin
x
2
2 d sin x
sin 2 x
sin x
sin x
1 sin 2 x
sin 2 x
Общее решение
d sin x sin x
1
1 sin 2 x
D2
D2
sin x
sin x
.
y D1 cos x D2 sin x 2 ln tg
1
x 4 y y
П. 9.26
x
2.
x 5 . Фундаментальная система решений задана :
1
1
y1 cos , y 2 sin
x
x . Общее решение ищем в виде:
1
1
y C1 ( x) cos C 2 ( x) sin
x
x . Записываем систему:
1
( x) sin 1 0
C
(
x
)
cos
C
1
2
x
x
1
1
1
1
1
C1 ( x) sin C 2 ( x) cos 5
x 2
x x2
x x
C1 ( x)
C1 ( x)
1
x
sin
3
1
x3
C 2 ( x)
sin
1
1
C
(
x
)
sin
1
x
x3
1
1
C 2 ( x) cos
3
x.
x
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
dx sin d cos sin D1
x
x
x x x
x
x
,
dx sin d cos sin D1
x
x
x x x
x
x
.
1
1
1
1
1
cos dx cos d sin cos D2
x
x
x x
x
x
x
x3
.
Общее решение
62
1
1
1
1
1
1
1
1
y ( cos sin D1 ) cos ( sin cos D 2 ) sin
x
x
x
x x
x
x
x
D1 cos
1
x
D 2 sin
1
x
63
1
x
cos
2
x
sin
2
x.
ЛЕКЦИЯ 5
§12. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №5)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Как задается система
теме.
дифференциальных уравнений?
2. Как система дифференциальных
2. Конспектирует ответов
уравнений приводится к обыкновенным
данных вопросов.
дифференциальным уравнениям?
3. Какие находятся, общее решение
3. Обсуждает разновидность
системы дифференциальных уравнений?
матриц и действия над ними.
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
4. Отвечая на вопросы
материалов.
записывает основные места.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
5. Записывает каждый вопрос,
науки и техники.
запоминает определения и
2.4. Используя нижеследующие вопросы
приводить примеры для
излогает суть данного занятия:
каждого случая.
а) Какие имеются системы
дифференциальных уравнений?
б) Всегда ли система дифференциальных
уравнений имеет решение?
в) При каких условиях можно применять
систему дифференциальных уравнений в
технических задачах?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
1°. Система дифференциальных уравнений
dx1
dt a11 x1 a12 x 2 f 1 (t )
dx
2 a 21 x1 a 22 x 2 f 2 (t )
dt
,
64
a
где x1 , x 2 - искомые функции от t; ij - постоянные числа;
f 1 (t ), f 2 (t ) -
заданные
функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами второго порядка.
Такую систему
методом исключения можно привести к одному
линейному урав-нению не выше второго порядка. Решение этой задачи
рассмотрим на примерах.
П. 12.1
dx1
dt x1 x 2 t
dx
2 4 x1 3 x 2 2t
dt
d 2 x1
Дифференцируем первое уравнение по t :
dt 2
dx1 dx2
1
dt
dt
. Подставляем
сюда из
dx1 dx2
,
dt :
системы уравнений производные dt
d 2 x1
dt 2
x1 x 2 t 4 x1 3x 2 2t 1 3x1 2 x 2 3t 1
. Из первого уравне-
d 2 x1
dx1
dx1
3
x
2
(
x1 t ) 3t 1
x2
x1 t
1
2
dt
dt
dt
ния системы
, тогда
dx
x1 2 1 5t 1
dt
. Т .о.,
d 2 x1
dt 2
2
решая его известным способом, найдем
находим
x2
dx1
x1 5t 1
dt
- линейное уравнение;
x1 (C1 C 2 t )e t 5t 9 ; далее, x 2
из
со-отношения
dx1
x1 t (C1 C 2 t )e t C 2 e t 5 (C1 C 2 t )e t 5t 9 t
dt
x 2 (C 2 2C1 2C 2 t )e t 6t 14 . Общее решение системы :
65
x (C C t )e t 5t 9
1
2
1
x 2 (C 2 2C1 2C 2 t )e t 6t 14 .
Решим задачу Коши с начальными данными : x1 (0) 1, x 2 (0) 0 .
x1 (0) 1 C1 9, x 2 (0) 0 C 2 2C1 14 C1 10, C2 6 .
x (10 6t )e t 5t 9
1
x 2 (14 2C1 12t )e t 6t 14 .
2°. Система дифференциальных уравнений
dy1
dx a11 y1 a12 y 2
dy
2 a 21 y1 a 22 y 2
dx
,
где
(12.1)
y1 , y 2 - искомые функции от
системой
линейных
x ;
однородных
- постоянные числа;
дифференциальных
называется
уравнений
с
постоянными коэффициентами второго порядка.
Систему можно, конечно, решить методом исключения, но можно решить
более универсальным методом (методом Эйлера).
Если для
системы (12.1)
известна
система линейно независимых
частных реше-ний (фундаментальная система решений):
y 21, y 22 второе решение ,
тогда общее решение имеет вид
y1 C1 y11 C 2 y 21
y 2 C1 y12 C 2 y 22 .
(12.2)
x
x
Частные решения ищем в виде : y1 1e , y 2 2 e . После подстановки
y1 , y 2 в систему и сокращении на e x получаем систему уравнений для
определения неизвестных 1 , 2 :
(a11 ) 1 a12 2 0
a11 1 (a 22 ) 2 0
66
(12.3)
Чтобы эта однородная линейная система алгебраических уравнений имела
ненулевое решение должно выполняться условие :
(a11 )
a12
a11
(a 22 ) =0
Уравнение
(12.4)
(12.4) называется характеристическим уравнением, а его
корни характеристическими числами.
План решения системы (12.1) методом Эйлера :
♠
Раскрываем определитель (12.4) и находим корни (случаи кратных и
комплексных
корней рассматривать НЕ БУДЕМ).
♠♠ Записывая и решая системы (12.3)
при 1 и при 2
, находим
неизвестные
1 , 2 . Второе уравнение системы (12.3) является
следствием первого,
поэтому достаточно выписать одно из уравнений системы.
♠♠♠ Находим фундаментальную систему решений и записываем общее решение
по формуле (12.2).
П. 12.2
y1 y1 y 2
y 2 4 y1 4 y 2
Записываем определитель
(1 )
1
4
(4 ) =0,
(1 )(4 ) 4 0,
1 0, 2 5 . Решаем первое уравнение системы (12.3) :
при
1 0, 1 2 0 , полагаем 1 1 тогда 2 1;
при
2 5, 4 1 2 0 , полагаем 1 1 тогда 2 4 .
5x
5x
Т.о., y11 1, y12 1; y 21 e , y 22 4e - фундаментальная система.
y1 C1 C 2 e 5 x , y 2 C1 4C 2 e 5 x - общее решение.
67
П. 12.3
Решаем
y 3y z
z 10 y 4 z ; при x 0, y 1, z 5 .
(3 )
1
0
10
(4 )
,
уравнение
(3 )(4 ) 10 0, 1 2, 2 1 .
Решаем первое уравнение системы (12.3) :
при 1 2, 5 1 2 0 , полагаем 1 1 тогда 2 5;
при 2 1, 10 1 5 2 0 , полагаем 1 1 тогда 2 2 .
2 x
2 x
Фундаментальная система : y1 e , z1 5e ;
Общее решение :
y 2 e x , z 2 2e x .
y C1 e 2 x C 2 e x , z 5C1 e 2 x 2C 2 e x .
При x=0 имеем два уравнения для определения констант C1 , C 2 :
1 C1 C 2 , 5 5C1 2C 2 ; C1 1, C 2 0 .
Т.о.,
удовлетворяющее
2 x
2 x
начальным условиям: y e , z 5e .
68
частное
решение,
ЛЕКЦИЯ 6
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
ВВЕДЕНИЕ
Ряды—важный аппарат математического анализа, дающий возможность
решения многих вопросов, как самого анализа, так и его приложений.
Вычисление интегралов, не выражающихся через элементарные функции,
интегрирование дифференциальных уравнений, составление таблиц логарифмов
и тригонометрических функций, представление функций, характеризующих
сложные явления, в виде суммы простых гармонических колебаний — таковы
примеры задач, использующих аппарат рядов.
1. Основные понятия
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №5)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Когда можно сказать, что задана
теме.
числовая последовательность?
2. Как определяются частичные суммы
2. Конспектирует ответов
числового ряда?
данных вопросов.
3. Как находятся общая сумма числового
ряда?
3. Обсуждает разновидность
2.2. Преподаватель продолжает изложение матриц и действия над ними.
лекции, используя визуальных
материалов.
4. Отвечая на вопросы
2.3. Указывает на приложения теории
записывает основные места.
определителей в различных областях
науки и техники.
5. Записывает каждый вопрос,
2.4. Используя нижеследующие вопросы
запоминает определения и
излогает суть данного занятия:
приводить примеры для
а) Какие имеются числовые ряды?
каждого случая.
б) Всегда ли система существует сумма
числового ряда?
в) При каких условиях можно сказать о
сходимости числового ряда?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
69
Пусть дана бесконечная числовая последовательность:
u1, u2, u3, u4,...., un,....
Составленный из этих чисел символ вида:
u1+u2+u3+ u4+...+un+... или
u
n 1
n
называется числовым рядом, а числа:
u1, u2, u3, u4,..., un,...–членами ряда. un, называемый общим членом ряда, является
функцией целочисленного аргумента n – порядкового номера члена ряда. Если
дан общий член ряда un ,то, давая п последовательно значения 1, 2, 3, 4.,., можно
записать ряд.
Пример.
Общий
член
ряда
un
1
n(n 1)
записать
ряд.
Давая
п
последовательно значения: 1, 2, 3, 4.,.., получим:
1
1
1
1
1
1
...
...
1 2
23
3 4
45
n(n 1)
n(n 1)
n 1
Последовательность членов бесконечной геометрической прогрессии
a, aq, aq2, aq3,..., aqn-1,...
приводит нас к важному примеру ряда
a+aq+aq2+aq3+...+aqn-1+...,
который мы в дальнейшем кратко будем называть геометрической прогрессией.
Основным понятием теории рядов является понятие сходимости ряда.
Пусть дан ряд
u1+u2+u3+ u4+...+un+...
Составим суммы, называемые частными суммами ряда
S1=u1; S2=u1+u2; S3=u1+u2+u3;... Sn=u1+u2+u3+...+un.
Определение. Если при беспредельном возрастании п величина Sn стремится
к конечному пределу
S lim S n
n
то говорят, что бесконечный ряд
u1+u2+u3+ u4+...+un+...
сходится и имеет сумму S.
В этом случае пишут
S=u1+u2+u3+ u4+...+un+...
В противном случае говорят, что ряд расходится.
Примером сходящегося ряда может служить геометрическая прогрессия со
знаменателем │q│<1, т. к. в этом случае
a
aq n
a
aq n
a
S n lim
lim
n 1 q
n
1 q 1 q
1 q 1 q
ибо
aq n
lim
0
n 1 q
Если q>1, то ряд
a+aq+aq2+aq3+...+aqn-1+...(a>0)
будет расходящимся, т. к. в этом случае
lim S n
n
Если q=1 то геометрическая прогрессия перепишется следующем образом:
70
a+a+a+...+a+...,
S n следовательно, ряд расходящийся.
в этом случае Sn=na, и lim
n
Если q=-1, то геометрическая прогрессия будет иметь вид
a-a+a-a+...,
и так как сумма n членов будет равняться 0, если число членов четное, и a, если n
– число нечетное, то предел Sn не существует, следовательно, и в этом случае ряд
расходится.
Пример. Установить сходимость ряда:
1
1
1
1
1
...
...
2 3 3 4 4 5
(n 1)( n 2)
n 1 ( n 1)( n 2)
Представим общий член в виде разности двух дробей*
1
1
1
(n 1)( n 2) n 1 n 2
Положив в полученном
последовательно получим:
n 1
n2
равенстве
последовательно
n=1,
2,
3,...,
1
1 1
23 2 3
1
1 1
3 4 3 4
Такое разложение можно осуществить методом неопределенных
коэффициентов, применяемым при интегрировании рациональных дробей
1
1 1
45 4 5
................................................
1
1
1
nn
1
n2 n2
( n 1) ( n 2)
n3
Сложив эти равенства и приведя подобные слагаемые в левой части
равенства, получим выражение n-ой частичной суммы Sn данного ряда. В правой
же части останутся только два слагаемых 1 1
2 n 2 , т. е.
Sn
1
1
2 n2
Переходя к пределу, получим
S lim Sn
n
1
2
Не всегда удается найти сумму ряда, как это мы сделали в этом примере,
или в случае геометрической прогрессии. Часто, однако, бывает достаточно
установить факт сходимости данного ряда. В случае сходимости ряда он может
быть представлен состоящим из двух слагаемых;
(u1+u2+u3+...+un)+( un+1+un+2+...).
Первое есть Sn, второе слагаемое есть тоже сходящийся ряд, обозначаемый через
rn, называемый остатком ряда и выражающий ту ошибку, которую мы
допускаем, заменив S через Sn, т.е. S, Sn и rn связаны между собой следующим
равенством:
S= Sn+ rn
Так как для геометрической прогрессии
a+aq+aq2+aq3+ aq4+...+aqn-1+...,│q│<1
71
S
a
a
aq n
, Sn
1 q
1 q q q
то остаток ряда rn будет равняться
Пример. Не останавливаясь на доказательстве сходимости ряда
(см. пример 2-ой § 3), оценим погрешность, которая получается при замене
суммы S величиной S5, в данном случае
Ясно, что r5 не превосходит числа А,
где А представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем
Подсчет по известной формуле дает:
Таким образом, r5, т. е. интересующая нас погрешность, не превосходит
2. Необходимый признак сходимости ряда
Общий член un сходящегося ряда стремится к нулю при беспредельном
возрастании n
Доказательство. Если ряд
u1+u2+u3+ u4+...+un+...
сходится, то
и
но так как Sn
пределу,
получим
то, переходя к
или
что
и
требовалось доказать.
Не следует упускать из виду, что это условие необходимое, но
не
достаточное, то есть из выполнения условия
не вытекает сходимость
ряда
Для подтверждения рассмотрим ряд с общим членом un
называемый
гармоническим.
неограниченном возрастании n:
Его общий
т. е.
член стремится к нулю при
Следовательно, необходимое условие сходимости выполняется, и все же он
будет расходящимся.
В самом деле, как известно,
72
следовательно,
т. е.
или
Положив в полученном неравенстве последовательно n = =1, 2, 3 ... , будем иметь
Сложив эти неравенства и приведя подобные слагаемые в левой части,
получим выражение n-ой частичной суммы гармонического ряда. В правой же
части ln (n+1)
и так как
то
т.е. гармонический ряд расходится. Далее мы рассмотрим простейшие признаки
сходимости рядов.
Пример
1.
Показать, что
ряд
n 1
признаку сходимости, но
развернутом виде:
n 1
n
n
удовлетворяет
необходимому
является расходящимся. Запишем
ряд
в
n
1
1
1
1
1
1
...
... .
n
n
2
3
4
n
n 1
Необходимый признак сходимости выполняется, так как
lim a lim
n
Для доказательства расходимости данного ряда
сумму:
n
n
1
0.
n
оценим его п-ю частичную
1
1
1
1
1
1
1
n
...
...
n;
2
3
n
n
n
n
n
n
итак, Sn n . Очевидно, что при n n , а следовательно, Sn . Ряд
Sn 1
расходится.
3. Положительные ряды. Признаки сравнения.
Определение. Бесконечный ряд
73
u1+u2+u3+ u4+...+un+...
все члены которого удовлетворяют неравенству
un ≥ 0,
будем называть положительным рядом.
Признак сравнения рядов.
Если даны два положительных ряда
u1+u2+u3+...+un+..., un ≥ 0 (u)
v1+v2+v3+...+vn+..., vn ≥ 0 (v)
причем un ≤ vn при любом n, то:
а) из сходимости ряда (v) следует сходимость ряда (u)
б) из расходимости ряда следует (u) расходимость
ряда (v).
Доказательство. а) Пусть
Так как в этих рядах нет отрицательных членов, то с увеличением n(Su)n и (Sv)n не
будут убывать, и так как ряд (v) сходится, то его сумма Sv будет удовлетворять
следующему неравенству:
(Sv)n<Sv .
По условию
un ≤ vn,
следовательно,
(Su)n≤(Sv)n ,
а потому и подавно
(Su)n<Sv
т. е. последовательность (Su)n с возрастанием n не убывает и остается
ограниченной, а потому на основании теоремы о существовании предела
возрастающей ограниченной последовательности имеет предел при n→∞.
Следовательно, ряд (u) сходится, причем
б) Пусть дано, что ряд (u) расходится, т.е.
Так как
(Sv)n≥ (Su)n ,
то
т.е. ряд (v) тоже расходится.
Замечание. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если
отбросить или приписать к нему любое конечное число членов.
Действительно, если ряд сходится, то от таких операций может лишь
измениться его сумма, оставаясь конечной, если же ряд расходится, то сумма
конечного числа слагаемых не сделает его сходящимся. Поэтому достаточный
признак сравнения рядов может быть применим и в том случае, если неравенство
un ≤ vn ,
будет выполняться, начиная с некоторого n>N.
74
Примеры. 1. Ряд
будет расходящимся, т. к. общий член этого ряда
гармонического ряда
будет больше общего числа
т.е. расходящегося:
2. Ряд
будет сходящимся, так как его общий член меньше общего члена сходящегося
ряда
геометрической прогрессии со знаменателем
3. Доказать расходимость ряда
1
3
4
5
ln 1 n ln 2 ln 2 ln 3 ln 4 ... .
n 1
1
n 1
ln( n 1) ln n ;
Запишем общий член данного ряда в виде ln 1 ln
n
n
a1 ln 2 ln 1,
a 2 ln 3 ln 2,
a 3 ln 4 ln 3,
так как
........................
a n 1 ln n ln( n 1),
a n ln( n 1) ln n,
то Sn a1 a2 ... an ln( n 1) . Ясно, что lim S n
n
является расходящимся.
.
Ряд суммы не имеет и
Упражнения
Найти суммы или установить расходимость следующих рядов.
( 1) n1
1
2
n
n 1 n 1
1
n 1 n ( n 1) ( n 2)
1.
2.
3.
n 1
(
7.
5n 2 n 1
2
n 1 ( 4n 1) ( n 2 n )
ln
2n
2
n 1
9.
4n
n 1
75
2
n 2 23 n 1 3 n )
8.
4.
3
n 1
2
n
n
n 1 2
1
arctg 2n
6.
1
2
1
2n 1
2
2
n 1 n ( n 1)
5.
10.
1
n(n 1) (n 2) (n 3)
n 1
ЛЕКЦИЯ 7
4. Признак сходимости Коши (радикальный)
Пользуясь признаком сравнения рядов и беря для сравнения
геометрическую прогрессию, можно вывести и другие достаточные признаки
сходимости рядов.
Если для ряда
u1+u2+u3+...+un+...
существует предел выражения
когда n неограниченно растет, т.е.
то при: 1) q<1 ряд сходится,
2) q>1 ряд расходится,
3) q=1 вопрос о сходимости остается нерешенным.
Доказательство.
1) Пусть q<1. Выберем число r, удовлетворяющее
следующему неравенству: q<r<1.
рис 1
Из определения предела последовательности следует, что существует такое N,
что для всех n ≥ N будет выполняться следующее неравенство:
но ряд с общим членом rn есть сходящаяся геометрическая прогрессия (т.к. r<1),
поэтому, применив признак сравнения рядов и учитывая, что на сходимость не
влияет сумма конечного числа членов ряда
u1+u2+u3+...+un+...
убеждаемся, что ряд сходится.
2) Пусть q>1, тогда существует такое N, что для всех
рис 2
т.е. для этого ряда не выполняется необходимое условие сходимости ряда
Следовательно, ряд будет расходящимся.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
Т.к.
76
то ряд сходится;
Т.к.
то данный ряд сходится;
Т.к.
то ряд расходится.
n 1
4. Исследовать на сходимость ряд
.
n 1 3n 2
n
Общий член данного ряда представляет собой n-ю степень некоторого
выражения, поэтому удобнее всего применение признака Коши в
предельной форме:
n 1 1
n 1
1;
lim
3
3n 2
n 3n 2
n
lim n a n lim n
n
n
так как 1 , то данный ряд сходится.
На практике нередко более удобным оказывается другой достаточный
признак сходимости ряда — признак Даламбера. Так случается, например, если в
общий член ряда входят факториалы.
Упражнения
Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью признака
Коши:
1.
n
n
.
n 1 2n 1
3.
n2
2n 2 1
2
. 2.
n 1 n 1
(n 1)n 2
n 1
n 3
n
2
n
.
4.
ln
n 1
n
1
.
( n 1)
ЛЕКЦИЯ 8
Признаки сходимости
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №5)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Когда можно примеять признак
теме.
77
3-й этап
Заключение
(10 мин)
сходимости Даламбера?
2. Как определяются предел отношения
членов числового ряда?
3. Когда можно примеять радикальный
признак сходимости Коши?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Какие имеются признаки сходимости
числовых рядов?
б) Когда можно примеять интегральный
признак сходимости Коши?
в) При каких условиях можно сказать о
рассходимости числового ряда?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
Заканчивает лекцию и обращает внимание
студентов на основные задачи. Указывает
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
5. Признак Даламбера
Если для ряда
u1+u2+u3+...+un+un+1+...
существует предел отношения
когда n неограниченно растет, т.е.
то при:
1) q<1 ряд сходится;
2) q>1 ряд расходится;
3) q=1 вопрос о сходимости ряда остается не решенным.
Доказательство.
1) Пусть q<1. Выберем число r, удовлетворяющее
следующему неравенству: q<r<1.
рис 3
Тогда, по определению предела последовательности, существует такое N,
что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство
или un+1<un ∙ r.
Придавая n последовательно значения N, N+1, N+2 и т.д., получим
78
Следовательно, каждый член ряда, начиная с N+1, меньше соответствующего
члена сходящейся (т.к. r<1) геометрической прогрессии
uN∙r+uN∙r2+uN∙r3+...,
а поэтому, на основании признака сравнения, он сходится. Добавление же суммы
первых N членов, как известно, на сходимость не влияет.
2) Если q>1, то, начиная с некоторого значения N, для всех n ≥ N
рис 4
этом случае не будет выполняться необходимое условие сходимости ряда
следовательно, ряд будет расходящимся.
Примеры.
1) Исследовать на сходимость ряд
Применяя признак Даламбера, будем иметь:
следовательно, ряд сходится.
2) Исследовать на сходимость ряд:
Здесь
Следовательно, ряд расходится.
3) Выше было отмечено, что
при q=1 ряд может быть
как сходящимся, так и расходящимся.
то видно из следующих примеров: гармонический ряд расходится, применив
к нему признак Даламбера, мы получим, что q=1, действительно:
Напротив, выше мы доказали, что ряд
сходится и даже нашли его сумму (см. § 1), если же к нему применим признак
Даламбера, то получим, что q = 1
79
Не всегда, пользуясь признаком Даламбера и Коши (радикальным), можно
установить сходимость или расходимость ряда. В таких случаях иногда удается
решить этот вопрос, пользуясь интегральным признаком Коши.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
2n
.
n 1 n!
Применяем
признак Даламбера. Здесь an 2 n / n! , an 1 2 n 1 /( n 1)! ,
lim
n
an 1
2 n 1 n!
2
lim n
lim
0 1;
an
n 2 ( n 1)!
n n 1
С помощью
следующие ряды:
6.
n3
1. n ,
n 1 2
n
3
, 7.
n
n 1 ( 2 )!
признака
1
n! ,
n 1
8.
Упражнения
Даламбера исследовать
n 3 2n 1
, 4.
n 5
(n 2 1)
n 1 2
( 2n 1)!
.
n!
n 1
n!
, 3.
n
n 1 n
2.
следовательно, ряд сходится.
n
2
sin
n 1
2n
на
, 5.
n 1
сходимость
(n 2 1)3n
.
n 2n / 2
6. Интегральный признак Коши
Если функция ƒ(x) непрерывна, положительна и не возрастает для x ≥ a и,
начиная с некоторого N, для всех n ≥ N, un=ƒ(n) то ряд
u1+u2+u3+...+un+...
и несобственный интеграл
одновременно сходятся и расходятся
Доказательство. Пусть для простоты a=1 и равенство (1) выполняется для
всех натуральных n, т.е.
Геометрически это означает, что точки с
координатами (1, u1); (2, u2); ... (n, un) будут
расположены на графике функции y=ƒ(x) (см.
рис 5
рис. 5).
Рассмотрим два случая:
1) Несобственный нтеграл
сходится, т.е.
80
Сумма площадей прямоугольников ступенчатой фигуры с основаниями,
равными единице, и высотами: u2, u3, u4 ...un (см. рис. 6) будет численно равна Sn
– u1 и будет меньше площади криволинейной трапеции KLnN, поэтому можем
записать:
и т.к. ƒ(x)>0, то написанное неравенство
усиливается, если верхний предел n
заменить через ∞:
рис 6
Но, по условию: Sn оказывается ограниченной величиной, и т.к. Sn не убывает с
возрастанием n, (члены ряда ≥ 0), то существует число S такое, что
т.е. ряд сходится.
2) Несобственный интеграл расходится.
Сумма площадей прямоугольников ступенчатой фигуры с основанием,
равным единице, и высотами: u2, u3, u4,..., un, un+1 (см. рис. 7) будет численно
равна Sn+1 – u1 и будет больше площади криволинейной трапеции ABCD,
поэтому может записать
Переходя к пределу при n→∞, получим
Но, по условию, интеграл, стоящий в правой
части
неравенства,
расходится
(действительно,
рис 7
величина конечная, если
следовательно,
т.е. ряд тоже расходится, что и требовалось доказать.
Замечание. Так как конечное число впереди стоящих членов ряда не влияет
на сходимость ряда, то общность нашего доказательства не пострадала от того,
что мы предположили a = 1 и что равенство (1) начинает выполняться при N = 1.
Примеры. 1. Рассмотрим гармонический ряд
81
В данном случае
ряда на x, получим функцию
заменяя целочисленный аргумент общего члена
Эта функция непрерывна, положительна и убывает при x≥1. Поэтому
может быть применен интегральный признак Коши:
Следовательно, гармонический ряд расходится, что было установлено и
выше.
В данном случае
заменяя целочисленный аргумент общего члена
ряда через x, получим функцию
непрерывную, положительную и убывающую для x≥1, и поэтому может быть
применен интегральный признак Коши:
Рассмотрим три случая:
1) Если α>1, то несобственный интеграл, равен
2) Если α<1, то несобственный интеграл
т.е. ряд сходится.
следовательно, ряд расходящийся.
3)
Если α=1, мы будем иметь гармонический ряд, как известно,
расходящийся.
3. Исследовать на сходимость ряд
соответствующая функция
непрерывна, положительна и убывает при x≥1 и, т.к.
то данный ряд сходится.
Упражнения
Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью
интегрального признака Коши:
1.
n 1
1
n ln
2
n
, 2.
n
n 1
n
,
2
4
3.
ln n
, 4.
4
n 1)
n(ln
n 1
82
1
n ln n
n 2
, 5.
n
2n
n 1
2
.
7. Некоторые применения теории числовых рядов
Достаточные признаки сходимости рядов можно использовать для
доказательства
равенств
вида
lim f ( n ) 0 . Действительно, указанное
n
равенство в силу необходимого признака сходимости будет верным, если
f (n).
сходится ряд
n 1
Имеет
место
и
более
сильное
утверждение. Если
ряд
n 1
положительными
lim f ( n ) 0 .
и
монотонно
убывающими
членами
f (n)
n
с
сходится, то
n
Теорию числовых рядов можно применять и для исследования сходимости
несобственных интегралов с бесконечными пределами. Действительно, в силу
интегрального признака Коши несобственный интеграл
a
f ( x )dx и ряд
f (n)
n 1
f ( x) ,
сходится или расходятся одновременно, если только функция
принимающая в точках x n, n 1,2..., значения f (n ) , совпадающие с членами
ряда, положительна при x a и монотонно убывает для достаточно больших
значений аргумента.
Пример 1. Доказать, что
lim
n
Здесь
f (n)
n 1
n
a
a
.
, f (n 1)
n!
(n 1)!
an
0, a 0.
n!
an
n 1 n!
Составим ряд
и исследуем его на
сходимость с помощью признака Даламбера:
lim
n
f (n 1)
a n 1n!
a
lim
lim
0 1.
n
f (n)
n ( n 1)! a
n n 1
Так как ряд с общим членом
an
сходится, то
n!
Пример 2. Доказать равенство
lim
n
n
n2
lim (3n)!
n
Составим ряд
n n2
an
n
n 1 (3n )!
n 1
признака Коши:
lim
n
n
an lim
n
n
an
0.
n!
0.
и исследуем его на сходимость с помощью
nn
.
(3n)!
Покажем, что предел равен нулю. Для
этого, в свою очередь, рассмотрим ряд
nn
b (3n)! . Он
n 1
n
n 1
Даламбера, так как
bn 1
(n 1) n 1 (3n )! 1
(1 1 / n ) n
0 1.
lim
lim
b
(3n 3)! n n
3 lim
n
n
n (3n 1) (3n 2)
83
сходится по признаку
b
Следовательно, общий член ряда
n 1
nn
0.
lim
n (3n )!
А
так
как
lim
n
n
n
стремится к нулю при n , откуда
an 0 1 , то, по
a
признаку Коши, ряд
n 1
n
сходится. Отсюда вытекает, что предел его общего члена равен нулю, т.е.
данное равенство справедливо.
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл
x e x dx .
0
Заметим, что функция
x0
f ( x)
xe
x
x /e
непрерывна и положительна для
x
и монотонно убывает, например, для
x 1 . Составим ряд
e
n 1
n
n
. Он
сходится
по признаку Даламбера, так как
lim
n
f ( n 1)
n 1 en 1
lim n 1
1.
f (n)
e
e
n
n
Из сходимости ряда вытекает сходимость данного интервала.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
1
( x 1)
dx , где
xx
( x ) x 1e d - гамма-функция.
0
Докажем вначале, что подынтегральная функция
( x 1)
монотонно
xx
убывает при x . С этой целью воспользуемся приближенной формулой
( x)
1 npu x Отсюда
2 x x 1/ 2 e x
( x 1)
следует, что при больших значениях аргумента х функция
ведет себя
xx
2 x x 1 / 2 e x
x
2 x , которая
(в смысле монотонности) так же, как функция
x
x
e
( x 1)
убывает при x . Следовательно, и функция
начиная с некоторого
xx
значения ч монотонно убывает при x .
( x ) 2 x x 1 / 2 e x ( x ) , означающей, что
Воспользуемся теперь известным для гамма - функции равенством
( n 1) n! и докажем сходимость ряда
( n 1) n!
n.
nn
n 1
n 1 n
(А)
Действительно, он сходится по признаку Даламбера, так как
an1
(n 1)! n n
1
n
lim
1.
lim
lim
n
an
e
n
n ( n 1) n!
n n 1
n
Из монотонного убывания подынтегральной функции и сходимости ряда (А)
вытекает сходимость данного несобственного интеграла.
Упражнения
Доказать следующие равенства:
84
n!
0.
lim
n
n n
nn
2. lim
0.
n ( 2n )!
(2n )!!
3. lim n 0 .
n
n
1.
4.
( 2n )!
0
lim
n
n ( 2 )!
nn
0.
lim
2
n ( n! )
(n! ) n
6. lim n3 0 .
n
n
5.
85
( 2n ) n
0.
lim
n ( 2n 1)!
( n! ) n
8. lim n 0 .
n
n
7
9.
( 2n 1)!!
lim (2n)!! (2n 1) 0 .
n
ЛЕКЦИЯ 9
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №6)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Когда можно числовой ряд
теме.
знакочередующиемся рядом?
2. Как определяются сходимость
2. Конспектирует ответов
знакочередующих рядов?
данных вопросов.
3. Когда можно примеять теорему
Лейбница?
3. Обсуждает разновидность
2.2. Преподаватель продолжает изложение матриц и действия над ними.
лекции, используя визуальных
материалов.
4. Отвечая на вопросы
2.3. Указывает на приложения теории
записывает основные места.
определителей в различных областях
науки и техники.
5. Записывает каждый вопрос,
2.4. Используя нижеследующие вопросы
запоминает определения и
излогает суть данного занятия:
приводить примеры для
а) Какие имеются знакопеременные ряды? каждого случая.
б) Когда можно сказать об абсолютной
сходимости знакопеременных рядов?
в) При каких условиях можно сказать об
условной сходимости сходимости
знакопеременных рядов?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
8. Знакочередующиеся ряды
Мы рассмотрели ряды с положительными членами и по лучили для них
некоторые признаки сходимости. Обратимся к вопросу сходимости рядов с
членами произвольных знаков.
Определение. Ряды, члены которых поочередно имеют то положительные,
то отрицательные знаки, называются знакочередующимися.
Знакочередующийся ряд имеет вид:
u1–u2+u3–u4+...–u2n-2+u2n-1+...; un>0.
О сходимости таких рядов можно судить по следующему достаточному
признаку:
86
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно
убывают по абсолютной величине, т.е.
u1>u2>u3>......>un>un+1>......>0,
и общий член ряда стремится к нулю, т.е.
то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине не превосходит
первого члена.
Доказательство. Представим сумму четного числа членов ряда в двух
видах:
S2m= (u1–u2)+(u3–u4)+(u5–u6)+...+(u2m-1–u2m)
S2m= u1–[(u2–u3)+(u4–u5)+...+(u2m-2–u2m-1)+u2m].
(1)
(2)
Т.к. члены монотонно убывают по абсолютной величине, то выражения,
стоящие в круглых скобках, положительны. Следовательно, как видно из
равенства (1), S2m монотонно возрастает с увеличением m; с другой стороны,
выражение, стоящее в квадратных скобках равенства (2), положительно.
Следовательно, S2m все время остается меньше u1. Таким образом,
последовательность S2m – монотонно возрастающая ограниченная сверху,
следовательно, она имеет предел:
Исходя из того, что сумма S2m+1 отличается от S2m на u2m+1, и т. к. по
условию
то и
т.е. частные суммы ряда имеют один и тот же предел без оговорок относительно
их четности, или нечетности, т.е. ряд сходится, и его сумма меньше первого
члена.
Примеры. Исследовать на сходимость ряды:
Т.к. абсолютные значения членов ряда монотонно убывают:
и
то ряд сходится, причем сумма этого ряда будет меньше единицы.
Оба условия признака Лейбница для этого ряда выполняются. Т.к.
87
и
то ряд сходится, и его сумма будет меньше 1-го члена,
т.е.
Если в качестве приближенного значения суммы S взять n-ую частную
сумму Sn, то ошибка, при этом совершенная, будет равна rn. В ряде
лейбницевского типа (т. е. ряде, удовлетворяющем условиям теоремы Лейбница)
остаток rn –снова ряд лейбницевского типа, поэтому │rn│<un+1, т.е. абсолютная
величина ошибки меньше абсолютной величины первого из отброшенных
членов.
3) Если сумму S сходящегося ряда
заменить суммой 3-х первых его слагаемых
то абсолютное значение допущенной погрешности меньше, чем
9. Абсолютная сходимость
Пусть дан ряд
(1)
u1+u2+u3+...+un+...,
члены которого произвольные действительные числа (среди них могут быть как
положительные, так и отрицательные).
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (1)
(2)
│u │+│u │+│u │+...+│u │+...
1
2
3
n
и докажем следующую теорему:
Теорема. Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин —
членов данного ряда, — то сходится и данный ряд.
Доказательство. Обозначаем через Sn сумму п первых членов ряда (1)
Sn=u1+u2+u3+ u4+...+un.
Сумму членов с положительными знаками, входящих в Sn, обозначим S+n (она
может равняться и нулю, если таких членов нет); сумму абсолютных значений
отрицательных членов через S-n, тогда
(3)
Sn=S+n – S n.
Обозначим через σn сумму n членов ряда (2):
σn= │u1│+│u2│+│u3│+...+│un│.
Использовав введенные обозначения, можем записать
σn= S+n + S-n;
(4)
т.к. ряд (2) сходится, то, обозначив его сумму σ, имеем
88
S+n и S-n есть суммы положительных слагаемых и, следовательно, будут
монотонно возрастать, оставаясь ограниченными; т.к.
[см. равенство (4)],
S+n ≤ σn < σ
S-n ≤ σn < σ.
Следовательно, существуют пределы последователи S+n и S-n при n→∞.
Поэтому, на основании равенства (3), следует, что существует предел
последовательности Sn
поэтому ряд (1) сходится.
Определение. 1) Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд,
составленный из абсолютных величин всех его членов.
2) Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд,
составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
При установлении абсолютной сходимости ряда, которая влечет за собой
его сходимость, мы должны оперировать с положительными рядами и поэтому
можем пользоваться всеми выведенными
признаками
сходимости
положительных рядов.
Примеры. 1) Ряд
абсолютно сходящийся; т.к. ряд
сходится (см. § 6, пример 2. Случай 1, α=2).
2) Ряд
будет абсолютно сходиться, т.к. ряд, составленный из абсолютных значений его
членов
будет сходиться, в чем можно убедиться, применив интегральный признак
Коши:
3) Сходящийся ряд
(см. § 7 пример 1) будет условно сходиться, т.к. ряд, составленный из
абсолютных значений его членов
гармонический, т.е. расходится.
89
Пример 4. Показать, что если изменить порядок следования членов
условно сходящегося ряда Лейбница
( 1) n 1
так, чтобы за каждым его
n
n 1
положительным членом следовало два отрицательных, то получится ряд
1
1 1 1 1 1 1 1
1
...,
2 4 3 6 8 5 10 12
(А)
сумма, которого будет в два раза меньше, чем у исходного ряда.
Условная сходимость данного ряда доказана в примере 2. Обозначим его
сумму через S, т.е.
положим
1
1 1 1 1 1 1 1
... S
2 3 4 5 6 7 8
(Б)
Преобразуем теперь ряд (А) следующим образом:
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
...
...
1
2 4 3 6 8 5 10 12
2 4 6 8 10 12
1
1 1 1 1 1
1
1 ... S
2
2 3 4 5 6
2
Когда видно, сумма ряда (А), полученного простой перестановкой членов
ряда Лейбница, в два раза меньше суммы ряда Лейбница.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
( n ) n
.
n 1 ( 2n )!
Исследуем данный знакочередующийся ряд сразу на абсолютную
сходимость. С этой целью составим ряд из модулей членов данного ряда:
nn
. Применим
к
этому
ряду
признак
n 1 ( 2n )!
an 1
(n 1) n 1 (2n )!
1
lim (1 1 / n ) n
0 1.
lim
lim
n
n
(2n 2)!n
2(2n 1)
n a
n
n
Ряд из модулей сходится. Следовательно, исходный
абсолютно.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
1
Даламбера:
ряд
сходится
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
2 2 2 2 2 2 ...
...
2
2
2
2
2 4 5 7 8 10 11
(6n 5) (6n 4) (6n 2) (6n 1) 2
(два плюса, два минуса и т.д.). Из модулей членов данного ряда
составим ряд
1
1
1
1
1
1
1
2 2 2 2 2 ...
2
2
4
5
7
8
10
(В)
Он сходится, так как его частичная сумма S n монотонно
возрастает с возрастанием n и является ограниченной, например, числом
1
. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
2
n 1 n
S
Замечание.
Сходимость
способом. Составим ряд
1
ряда
(В)
можно
доказать
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2 2 ... .
2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
90
и
другим
Он сходится абсолютно, так как сходится ряд
1
n
n 1
2
, составленный из
модулей его членов. Но тогда, по теореме 4, ряд, составленный из его
положительных членов, т.е. ряд (В) является сходящимся.
Упражнения
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость
знакочередующиеся ряды:
( 1) n 1
. 2.
n
n 1
1.
( 1) n
. 3.
n 2 ln n
( 1) n . 4.
n 1
( 1) n
. 5.
n
ln n
n 2
( 1) n
.
n 1 n ( n 1)
следующие
( 1) n 1
n
n 1 n 7
6.
.
10. Действия над рядами и некоторые свойства
их сумм
Так как понятие суммы ряда существенно отличается от понятия суммы
конечного числа слагаемых тем, что включает в себя предельный переход, то и
не все свойства обычных сумм могут быть перенесены на суммы бесконечных
рядов.
Начнем с перечисления некоторых простых действий над сходящимися
рядами, где мы будем поступать так же, как и в случае конечных сумм.
1. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вы читать: если ряд
u1+u2+u3+...+un+...
(u)
имеет сумму Su, и ряд (v)
v1+v2+v3+...+vn+...
(v)
имеет сумму Sv, то ряд
(u1±v1)+(u2±v2)+(u3±v3)+...+(un±vn)+...
будет сходиться к Su±Sv.
2. Если все члены ряда (u) умножить на число k, то ряд
u1k+u2k+u3k+...+unk+...
будет сходиться к Sn·k.
Доказательство этих положений легко проводится при помощи предельного
перехода от соответствующих n-ых частичных сумм.
Обратимся теперь к свойствам сумм. Укажем, не останавливаясь на
доказательстве, что сочетательное свойство конечных сумм имеет место и в
случае рядов, т.е., если ряд (u) сходящийся к Su
u1+u2+u3+...+un+...,
(u)
сгруппируем следующим образом:
(u1+u2+u3+...+um)+(um+1+...+uk)+(uk+1+...ul )+...,
не изменив порядок его членов, то полученный ряд будет сходиться к той же
сумме S.
Мы пока видели полную аналогия с обычными суммами.
Рассмотрим переместительное свойство суммы. Пусть дан ряд, имеющий
сумму S
S=u1+u2+u3+...+un+...
Если мы члены этого ряда запишем в другой последовательности, то
получим новый ряд. Возникает вопрос, будет ли он сходиться, и если да, то
91
будет ли его сумма равна S. При рассмотрении этого вопроса придется делать
резкое различие между абсолютно и условно сходящимися рядами. А именно:
если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов
полученный ряд сходится к той же сумме. Если же ряд сходится условно, то
можно соответствующей перестановкой членов получить ряд, условно
сходящийся к любому, наперед заданному числу (Доказательство этих
положений смотрите в полных курсах анализа). Так, в условно сходящемся ряде
с суммой S можно таким образом переставить члены, что получим ряд тоже
условно сходящийся к сумме, отличной от S. Действительно, помножим все
члены ряда (1) на
и затем сложим почленно оба ряда
Ряд (3) может быть получен из ряда (1) путем перестановки его членов, сумма же
его равна суммы ряда (1).
Снова вернемся к вопросу о действиях над рядами и разберем умножение
рядов. Мы видели, что из сходимости рядов (u) и (v)
Su= u1+u2+u3+...+un+...
(u)
Sv= v1+v2+v3+...+vn+...
(v)
вытекала сходимость рядов (u±v), т.е.
Su±Sv=(u1±v1)+(u2±v2)+...+(un±vn)+...
(u±v).
Возникает вопрос, можно ли ряды почленно перемножать? Оказывается, что
здесь так же, как и при рассмотрении переместительного свойства, следует
различать между собой абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Так, если ряды (u) и (v) сходятся абсолютно к Su и Sv, то ряд, составленный
из расположенных в произвольном порядке всевозможных произведений
ui·vj
(i=1, 2, 3,...; j=1, 2, 3,...)
также сходится абсолютно к Su и Sv.
На практике произведения рядов обычно записываются следующим
образом:
Su·Sv= u1v1+(u1v2+u2v1)+(u1v3+u2v2+u3v1)+...+
+(u1vn+u2vn-1+...+unv1)+...
При условно сходящихся рядах (u) и (v) последнее равенство может и не
иметь места.
ЛЕКЦИЯ 10
92
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №7)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
Основной
готовности студентов проводить блиц
(60 мин)
вопросы.
1. Какие ряды можно называть
функциональными рядами?
2. Как определяются область сходимости
функциональных рядов?
3. Как применяется теорема Абеля?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Какой функциональный ряд называется
степенным рядом?
б) Как можно определить интервал
сходимости степенного ряда?
в) При каких условиях можно найти
радиус сходимости степенного ряда?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
(10 мин)
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
93
студент
1.1. Слушает и конспектирует.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
1. Основные понятия
Определение. Ряд
u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...,
члены которого являются функциями независимого переменного х, имеющими
общую область определения, называется функциональным рядом.
Например,
являются функциональными рядами.
Для каждого численного значения х функциональный ряд превращается в
числовой ряд, причем для одних значений х числовые ряды будут сходящимися,
а для других — расходящимися, так при
функциональные ряды (1) и (2)
превращаются в числовые ряды (1') и (2'):
Сходимость их можно установить, пользуясь достаточными признаками
сходимости числовых рядов (а именно: ряд (1') — убывающая геометрическая
прогрессия, для (2') применить интегральный признак Коши). Если в
функциональном ряде (1) положить х = 2, то получим числовой расходящийся
ряд:
2+22+23+...+2n+...
Определение. Значение х, при котором функциональный ряд сходится,
называется точкой сходимости ряда - Совокупность всех точек сходимости
функционального ряда называется областью его сходимости.
Для всех значений х области сходимости функционального ряда сумма
этого ряда имеет вполне определенное конечное значение, она будет функцией
от х и поэтому, обозначив ее через ƒ(x), можно записать:
ƒ(x)= u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...,
причем это равенство справедливо только для значений х, принадлежащих
области сходимости ряда. Так, например, ряд:
1+x+x2+...+xn+...
для │x│<1 есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма этого
ряда
функция от х, и для всех значений │x│< 1 будет иметь место
следующее равенство:
94
Для значения │x│>1 равенство (1") нарушается; действительно, если х = 2, то
правая часть равенства (1") будет равна
в левой части получим
расходящийся ряд:
1+2+22+23+24+...+2n+... .
Так же как над сходящимися числовыми рядами, можно производить действия
сложения, вычитания функциональных рядов.
1
n
Пример 1. Найти область сходимости ряда
n 1
x
.
Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд
1
n ,
который сходится, и притом
абсолютно, при
x 1
и
n 1
расходится при x 1 . Область сходимости ряда определяется двойным
неравенством 1 x .
( 1) n 1
.
nx
n 1
Пример 2. Найти область сходимости ряда
Для x 1 данный функциональный ряд сходится абсолютно, так как
для
1
n
этих x сходится ряд
n 1
x
, составленный из абсолютных величин
членов данного ряда. Для
каждого x из промежутка 0 x 1
он сходится условно, как знакочередующийся и удовлетворяющий признаку
Лейбница; при x 0 - расходится, как неудовлетворяющий необходимому
признаку сходимости. Таким образом, область сходимости данного ряда
характеризуется неравенством x 0 .
Пример 3. Найти область сходимости ряда
ln
n
x.
n 1
Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую
прогрессию со знаменателем q ln x . Так как прогрессия сходится лишь при
q 1 , то он сходится, и притом абсолютно, при ln x 1 , т.е. при 1 ln x 1 ,
и, следовательно, неравенства e 1 x e определяют область сходимости
данного ряда.
( x 3) n
Пример 4. Найти область сходимости ряда
.
nn
n 1
Исследуем ряд на абсолютную сходимость с помощью признака Коши.
Так как f n ( x ) ( x 3) n / n n , то
lim n f n ( x ) lim n
n
n
x3
n
n
n
lim
x3
n
n
0
для любого x .
Следовательно, ряд сходится абсолютно в бесконечном промежутке
x . Этими неравенствами и определяется область сходимости
данного ряда.
Упражнения
Найти области сходимости следующих рядов:
95
( 1) n
n
1.
n 1
x
2 x 1
n
6. 2 7.
n 1
.
2.
( 1) n
x n ln n .
n 1
1
n
n 1 n ( x 2 )
n
(3 x
3.
n 1
3
n
8. x n . 9.
n 1
) . 4. ( nx ) n . 5.
2 n
n 1
n 1
2
2 n 1 . 10.
n 1 n (5 x 9)
2
n(3x 4) n
.
3n
n 1
cos nx
.
2n
n 1
2. Правильная сходимость
Непрерывность суммы правильно сходящегося функционального ряда с
непрерывными членами. Определение. Функциональный ряд
u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...
(1)
называется правильно сходящимся на отрезке [a, b], если его члены для
a≤x≤b
не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов сходящегося
положительного числового ряда:
a1+a2+a3+...+an+...
an ≥ 0 (2)
Ряд (2) называется мажорантой данного функционального ряда (I).
Пример. Ряд
будет правильно сходящимся на интервале (-∞, ∞), так как для всех значений х
выполняется неравенство
а ряд с общим членом
сходится, являясь бесконечно убывающей
геометрической прогрессией.
Теорема. Сумма функционального ряда непрерывных функций, правильно
сходящегося на отрезке [a, b], есть функция, непрерывная на том же отрезке.
Доказательство. Пусть ƒ(x) и S – соответствующие суммы рядов (1) и (2);
Sn(x) и Sn' – n-ные частные суммы тех же рядов; Rn(x) и Rn' – соответствующие
остаточные члены, тогда имеют место следующие равенства:
ƒ(x) = Sn(x)+Rn(x)
(1')
S = Sn'+Rn'.
(2')
Мы установим непрерывность ƒ(x), если покажем, что для всякого ε>0
можно подобрать такое η>0, что при
│x2 – x1│< η
где x1 и x2 принадлежат отрезку [a, b],
│ƒ(x2) – ƒ(x1)│< ε.
(3)
Числовой ряд (2) сходится, поэтому для всякого ε существует такое N, что
для всех n ≥ N
а так как ряд (I) сходится правильно, то │Rn(x)│≤ Rn и, следовательно,
для a ≤ x ≤ b.
Преобразуем левую часть неравенства (3), использовав равенство (1')
96
ƒ(x2) = Sn(x2)+Rn(x2), ƒ(x1) = Sn(x1)+Rn(x1)
│ƒ(x2) – ƒ(x1)│=│Sn(x2) – Sn(x1) + Rn(x2) – Rn(x1)│≤│ Sn(x2) – Sn(x1) │+│Rn(x2)
│+│Rn(x1)│.
(4)
но Sn(x) есть сумма конечного числа непрерывных функций,и поэтому функция
непрерывная, следовательно, можно подобрать такое η, что при │x2 – x1│< η,
(5)
учитывая неравенства (4) и (5), будем иметь
Для
│x2 – x1│< η,
где x1 и x2 принадлежат отрезке [a, b], т.е. неравенство (3) справедливо для всех
х a ≤ x ≤ bследовательно, ƒ(x) — функция, непрерывная для тех же значений х.
Примечание. Можно показать, что сумма ряда непрерывных функций,
который не сходится правильно, может быть разрывной.
Пример. Все члены ряда
x+(x2 – x)+(x3 – x2)+...+(xn – xn-1)+...
непрерывны на отрезке
и так как
Sn(x)=xn,
то
т.е. ряд сходится для всех значений х
0 ≤ x ≤ 1,
но его сумма разрывна при x=1.
3. Интегрирование и дифференцирование
функциональных рядов
Если ряд
u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...
(1)
составленный из функций, непрерывных на отрезке [a, b], правильно сходится
на этом отрезке к сумме ƒ(x), то
Примечание. Утверждение теоремы иногда кратко формулируется так:
правильно сходящийся ряд непрерывных функций можно интегрировать
почленно.
Доказательство.
Пусть
ƒ(x) = Sn(x)+Rn(x)
(3)
где Sn(x) = u1(x)+u2(x)+...+un(x), Rn(x) = un+1(x)+un+2(x)+...
Интегрируя обе части равенства (3) в пределах от a до b, будем иметь
97
Для доказательств теоремы, т.е. для получения равенства (2) остается
показать, что
Из правильной сходимости ряда (1) следует, что для всякого ε>0 можно
подобрать такое N, что для n ≥ N
│Rn(x)│< ε
во всех точках отрезка
поэтому
т.к. ε – произвольное положительное число; отсюда следует, что
что и требовалось доказать.
Теорема. Если все члены сходящегося функционального ряда (1) с суммой
ƒ(x) имеют непрерывные производные
u1'(x), u2'(x), u3'(x), u4'(x), ... un'(x) ... на отрезке [a, b] и
если ряд
u1'(x)+u2'(x)+u3'(x)+...+un'(x)+...
(1')
составленный из этих производных, правильно сходится на [a, b], то ряд (1)
можно почленно дифференцировать, т.е. будет иметь место равенство
u1'(x)+u2'(x)+u3'(x)+...+un'(x)+...= ƒ'(x)
(1)
для всех х на отрезке [a, b].
Доказательство. Обозначим через φ(x) сумму правильно сходящегося
функционального ряда (I')
u1'(x)+u2'(x)+u3'(x)+...+un'(x)+...= φ'(x).
Очевидно, теорема будет доказана, если мы установим, что
φ(x) = ƒ'(x).
Так как ряд (I') правильно сходится на каждом отрезке [a, b], где a ≤ x ≤ b, то на
основании предыдущей теоремы мы имеем право почленно проинтегрировать
его в пределах от а до х:
Сопоставляя левую часть полученного равенства с суммой ряда (1), можем
записать
98
Дифференцируя обе части последнего равенства и используя при этом теорему о
производной определенного интеграла по верхнему пределу
где
ƒ(x) – функция, непрерывная на [a, x]) будем иметь
что и требовалось доказать.
Чтобы проиллюстрировать все сказанное о правильной сходимости рядов,
вернемся снова к примеру, разобранному в § 2 этой главы. Обозначим через ƒ(x)
сумму правильно сходящегося ряда:
Тогда:
1) На основании теоремы, доказанной в том же параграфе, утверждаем, что
ƒ(x) есть функция, непрерывная для
– ∞ < x < +∞.
2) Кроме того, если ряд (3) почленно проинтегрировать в любых пределах
от а до х, то полученный бесконечный ряд будет правильно сходиться к функции
В частности, если пределы интегрирования возьмем 0, х, то получим
3) Так как члены ряда (3) имеют непрерывные производные, то для того,
чтобы утверждать, что ряд, составленный из производных от ряда (3),
сходится к функции ƒ(x), убедимся в том, что он сходится правильно.
Действительно, абсолютные значения членов ряда (4) для всех значений х будут
не больше соответствующих членов числового ряда с общим членом
о сходимости которого судим, пользуясь признаком Даламбера
Следовательно, можно записать, что ряд (4) сходится к ƒ'(x) на всей числовой
оси:
Пример 4. Найти сумму ряда x
x2 x3
xn
...
... S ( x ) .
2
3
n
Интервал сходимости данного ряда (-1,1). На основании теоремы о
дифференцировании степенных рядов его можно дифференцировать в каждой
99
точке
интеграла
(-1,1).
Выполним
дифференцирование:
1 x x x ... x ... S ' ( x ) . Суммируя полученную бесконечно убывающую при
x 1 прогрессию, находим S ' ( x ) 1 /(1 x ) , откуда
2
n 1
3
S ( x)
dx
ln( 1 x ) C .
1 x
Постоянную С можно вычислить, зная, что при x 0 S (0) 0 и,
следовательно, 0 ln( 1 0) C , откуда C 0 . Таким образом, сумма данного
ряда S ( x ) ln( 1 x ) . Данный ряд сходится к своей сумме для
x 1.
Заметим, что данный ряд расходится в граничной точке x 1 и
сходится, по признаку Лейбница, в граничной точке x 1 . По второй теореме
Абеля, в случае сходимости степенного ряда в граничной точке x a R
имеем
S (a R ) lim S ( x ) . В нашем случае a 0, R 1, S ( x ) ln( 1 x ) и,
x ( a R ) 0
следовательно, S ( 1) lim ln( 1 x ) ln 2 . Таким образом, область сходимости
x 1 0
данного ряда к функции ln( 1 x ) характеризуется двойным неравенством
1 x 1.
Пример 5. Найти сумму ряда
(n 1) ( x
2
1) n .
n 0
Положим x 2 1 y и найдем сумму S ( y ) степенного ряда
(n 1) y
n
,
n 0
сходящегося для
y 1
Даламбера). Интегрируя
(что нетрудно установить с помощью признака
равенство
S ( y ) ( n 1) y n на
отрезке
0, y (что
n 0
возможно на основании теоремы об интегрировании степенных рядов) и
y , будем
затем
дифференцируя
полученное
равенство
по
иметь
y
S ( y )dy y
0
n 0
(n 1) ( x
n 0
2
'
n 1
y
y
1
; S ( y )
,
2
1 y
1 y (1 y )
1) n
1
. Разложение
(2 x 2 ) 2
имеет
но
место
y x 2 1,
для
всех
поэтому
значений
х,
удовлетворяющих неравенству x 2 1 1 , т.е. для 1 x 2 1 1; 0 x 2 2 , откуда
2 x 0 u 0 x 2 . Эти неравенства и определяют область сходимости
данного ряда к сумме 1 /( 2 x 2 ) 2 .
x 2n
Пример 6. Найти сумму ряда
.
n 0 ( 2n )!
Обозначим сумму данного ряда через S ( x ) и найдем S ' ( x ) и S ' ' ( x ) :
x2 x4 x6
S ( x) 1
...,
2! 4! 6!
x3 x5 x7
S ' ( x) x
...,
3! 5! 7!
x2 x4 x6
S ' ' ( x) 1
...
2! 4! 6!
100
S ' ' ( x) S ( x) .
Замети, что
Полученное
соотношение
можно
рассматривать как дифференциальное уравнение относительно искомой
функции S ( x ) , для которого начальные условия имеют вид S (0) 1, S ' (0) 0 . Так
как это уравнение является линейным однородным с постоянными
коэффициентами, то оно решается с помощью характеристического
уравнения R 2 1 0 , корни которого R1,2 1 ; следовательно, S ( x) C1e x C2 e x .
Постоянные
С 1 и С2
найдем
C1 C2 1 / 2 , следовательно, S ( x )
Пример 7. Найти сумму ряда
из
S (0) 1,
или
S ' ( 0) 0
системы
C1 C2 1,
C1 C2 0
1 x 1 x
e e ch x .
2
2
1
n2
n 1
n
.
xn
Составим вспомогательный степенной ряд
и обозначим его
n
n 1 n 2
сумму через S ( x ) . Нужно найти S (1) . Для этого продифференцируем обе части
равенства
xn
n
n 1 n 2
S ( x)
по х (это возможно на основании теоремы о
дифференцировании степенных рядов) и вычислим сумму ряда производных:
S ' ( x)
n 1
x n 1 1 x
2n
2 n 1 2
n 1
1
1
1
.
2 1 x / 2 2 x
Проинтегрируем теперь обе части равенства S ' ( x ) 1 /( 2 x ) на отрезке 0, x :
x
S ' ( x)
0
dx
x
ln( 2 x )0 ln( 2 x ) ln 2 ; тогда
2 x
1
n2
n 1
n
S (1) ln 2 .
Упражнения
Найти суммы следующих рядов и указать области их сходимости к своим
суммам:
1.
(n 1) x n
n 0
2.
2n x n
n
n 1
( 1) n (n 1) x n
3n
n 0
3.
( 1) n x 3n 1
3n 1
n 1
4.
x n1
n 1 n ( n 1)
5.
4. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
a0+a1(x – a)+a2(x – a)2+a3(x – a)3+...+an(x – a)n+...
(1)
где a0, a1, a2, a3, ..., an, ...– постоянные, называемые
коэффициентами ряда, а — любое число.
В частном случае, когда а = 0, ряд (1) принимает вид
a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
(2)
Для большей простоты формулировок и доказательств теорем, будем
оперировать с рядами вида (2), т.к. переход от ряда (1) к ряду (2) сводится к
подстановке х — а = х'.
101
Теорема Абеля. Если степенной ряд
a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
(2)
сходится в какой-нибудь точке x0, отличной от нуля, тогда он правильно
сходится на всяком отрезке [a, b], лежащем внутри промежутка (–│x0│,
│x0│).
Доказательство. Пусть степенной ряд сходится в точке x0. Причем не
существенно, будет ли x0>0 или x0<0. Отложим на оси х отрезок АВ, длина
которого равна 2│x0│, симметрично относительно точки 0:
Так как ряд (2) при x=x0 превращается в числовой сходящийся ряд
a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
(3)
то
(необходимое условие сходимости числового ряда) и, следовательно, существует
такое число М, что все члены ряда по абсолютной величине будут меньше его:
Представим ряд (2) следующим образом:
Очевидно, что всегда в интервале (А, В) можно найти точку С, расположенную
вне отрезка [a, b] так, что для всех точек этого отрезка будет выполняться
следующее неравенство:
где
Учитывая неравенства (а) и (б), можно записать, что
(в)
Придавая в неравенстве (в) п последовательно значения 1, 2, 3 . . . п . . . ,
получим, что для всех значений х
a≤x≤b
члены ряда (2) по абсолютному значению будут меньше соответствующих
членов геометрической прогрессии
со знаменателем
и поэтому ряд (4) является мажорантой правильно
сходящегося ряда (2) на отрезке [a, b], что и т.д.
5. Область сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля, как следствие, вытекает, что если степенной ряд
a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
(1)
102
расходится для какого-либо значения x=x0, то он будет расходиться для всех
значений │x│>│x0│, так как в противном случае ряд (1) сходился бы и при x=x0,
что противоречит условию. Всякий степенной ряд вида (1), очевидно, будет
сходиться для х=0, и его сумма будет равна a0.
Будем давать х значения, отличные от нуля так, что │x│ будет монотонно
возрастать. Можно показать (мы не задерживаемся на этом), что при своем
изменении │x│ примет такое значение — обозначим его через R, – что для
всякого │x│<R ряд (1) будет сходящимся, а для │x│>R расходящимся. Значение
R для каждого степенного ряда зависит от его коэффициентов и называется
радиусом сходимости степенного ряда.
Отложим от начала, т.е. от точки О, по оси х вправо в влево отрезки, равные
R, тогда совокупность значений х, соответствующих точкам, расположенным
внутри интервала (–R, +R), называется интервалом сходимости степенного ряда.
Степенной ряд сходится правильно на всяком отрезке, принадлежащем
интервалу сходимости ряда.
Из самого определения радиуса сходимости видно, что вопрос о сходимости
ряда для x=+R и x= –R остается нерешенным и в каждом отдельном случае
можно ставить вопрос об исследовании сходимости ряда на границах отрезка [–
R, R]. Совокупность значений х интервала сходимости ряда вместе с теми
граничными точками, в которых степенной ряд
сходится, является областью сходимости степенного ряда. В зависимости от
поведения степенного ряда на концах интервале сходимости, область его
сходимости может иметь один из следующих видов:
[–R, R] – при сходимости на обоих концах;
[–R, R] – при сходимости в левом и расходимости в правом конце;
[–R, R] – при расходимости в левом и сходимости в правом конце;
[–R, R] – при расходимости в обоих концах.
Докажем теорему, облегчающую в ряде случаев нахождение радиуса
сходимости степенного ряда.
Теорема. Если для степенного ряда
a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
(1)
существует
то радиус сходимости
Доказательство. Применим признак Даламбера к ряду:
│a0│+│a1││x│+│a2││x│2+...+│an││x│n+│an+1││x│n+1+...
Для всех значений х, для которых
103
(2)
ряд (1) сходится абсолютно. Если
то при всех х, удовлетворяющих неравенству
по признаку Даламбера степенной ряд сходятся абсолютно, если же
то при всех х, удовлетворяющих неравенству
степенной ряд (2) расходится, и поэтому ряд (1) не может сходиться абсолютно,
но тогда он вообще расходится при этих значениях х. В самом деле, если бы при
ряд (1) сходился, то по теореме Абеля для x=x2, где
он
должен был бы сходиться абсолютно, чего, как мы видели, быть не может.
Таким образом, ряд (1) сходится при
и расходится при
и, значит,
что и требовалось доказать.
Примеры.
1. Найти область сходимости степенного ряда
Чтобы определить радиус сходимости, найдем предварительно
Следовательно,
Ряд будет сходиться правильно
в интервале
Исследуем его сходимость на границах. При х=1
степенной ряд обращается в расходящийся числовой ряд
т.к. его члены больше соответствующих членов гармонического ряда
При х = –1 получив знакочередующийся числовой ряд
у которого
и
следовательно, он будет сходиться по признаку Лейбница. Итак, областью
сходимости ряда будет полузакрытый интервал [—1, 1).
Изобразим это графически:
104
рис 10
2. Найти область сходимости ряда
Находим ρ
Следовательно, степенной ряд будет сходиться правильно в интервале
Исследуем сходимость этого ряда на границах,
числовой ряд
при х —
получим
сходимость которого легко обнаружить, применив интегральный признак Коши:
При
получим ряд знакочередующийся, абсолютно сходящийся
т.к. ряд (а) сходится.
Следовательно, областью сходимости ряда будет
Графически это изобразится следующим образом:
рис 11
3. Найти область сходимости ряда
В данном случае, чтобы определить интервал сходимости, применим
признак Даламбера, т.к. в этом примере все a2n=0, а потому
не
существует,
параграфе.
и мы не можем применить теорему, доказанную выше в этом
Ряд будет сходиться для всех значений х, удовлетворяющих неравенству
Интервал сходимости ряда будет (— 2, 2). Исследуем сходимость ряда на
границах
при х= 2
при х = –2
105
рис 12
В обоих случаях будем иметь расходящиеся числовые ряды, т.к. не
выполняется необходимое условие сходимости
ряда, т.е.
4. Найти область сходимости степенного ряда
n2 xn
n .
n 0 2
cn
n2
(n 1) 2
n 2 2 n 1
,
c
, следовательно, R lim c lim 2 n (n 1) 2 2 .
n 1
2n
2 n 1
n
n
n 1
Интервал сходимости характеризуется неравенством 2 x 2 .
Здесь cn
Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала. При
x 2 степенной ряд принимает вид
n 2 ( 2) n
( 1) n n 2 .
n
2
n 0
n 0
Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому
признаку
сходимости. Следовательно, область
сходимости
данного
2
x
2
степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости:
.
n n
5. Найти область сходимости степенного ряда 1 n x .
n 1
Здесь cn n . По формуле Даламбера найдем радиус сходимости:
1
1
R lim
lim 0 .
n
n
n
cn
n
n
Следовательно, ряд сходится в одной точке x 0 .
xn
6. Найти область сходимости степенного ряда n! .
n 0
1
1
Так как cn n! ; cn1 (n 1)! , то R lim cn lim (n 1)! lim (n 1) .
cn 1
n!
n
n
n
Ряд сходится при всех значениях x: x .
7. Найти область сходимости степенного ряда
В
развернутом
виде
5x 5 x 5 x ... 5 x ... ,
4
4
9
n2
9
n2
и
ряд
ясно, что
5
n 1
n2
2
xn .
записывается
бесконечное
множество
так:
его
коэффициентов равно нулю: c0 c2 c3 c5 c6 c7 c8 c10 c11 ... cm ... 0
(m n 2 ) . Следовательно, применение формул Даламбера для вычисления
радиуса сходимости недопустимо. Поэтому для нахождения области
сходимости ряда применяем непосредственно признак Коши (возможно
применение и признака Даламбера):
lim n 5n x n
2
n
2
lim 5 x
n
n
, если 5 x 1, или x 1 / 5,
1, если 5 x 1, или x 1 / 5,
0, если 5 x 1, или 1 / 5 x 1 / 5,
106
Итак, исследуемый ряд сходится в интервале 1 / 5 x 1 / 5 . В
граничных точках этого интервала ряд расходится, так как при x 1 / 5
он не удовлетворяет необходимому признаку сходимости ряда.
Замечание. Более эффективным решением примера 4 является
1
1
1
применение формулы Коши: R
.
n
n
n c
5
5
n
lim
lim
n
n
107
ЛЕКЦИЯ 11
Непрерывность суммы степенного ряда.
Дифференцирование и интегрирование рядов
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №8)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
Основной
готовности студентов проводить блиц
(60 мин)
вопросы.
1. Какие функциональные ряды можно
называть непрерывными?
2. Как определяются нерерывность
степенных рядов?
3. Когда можно применять почленое
дифференцирование?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Когда можно применчть почленное
интегрирование степенных рядов?
б) Когда степенной ряд называется
мажорируемым?
в) При каких условиях нельзя
проинтегрировать степенной ряд?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
(10 мин)
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
студент
1.1. Слушает и конспектирует.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
Пусть R– радиус сходимости степенного ряда (1)
a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
Функция ƒ(x), к которой сходится ряд (1), будет непрерывной для всех значений
х:
–R < x < R,
так как все его члены—непрерывные функции, а сам он сходится правильно на
всяком отрезке, принадлежащем интервалу сходимости степенного ряда.
Весьма важны для приложения теоремы о почленном интегрировании и
дифференцировании степенных рядов, рассматриваемые ниже.
108
Теорема. (Об интегрировании степенного ряда). Степенной ряд (1) можно
интегрировать почленно по любому отрезку [0, х], принадлежащему его
интервалу сходимости.
Справедливость теоремы следует из факта правильной сходимости
степенного ряда на всяком отрезке [0, х], принадлежащем интервалу сходимости,
и теоремы о почленном интегрировании функциональных рядов.
Таким образом, имеем:
Лемма. Ряд, полученный почленным дифференцированием
степенного ряда, имеет не меньший радиус сходимости.
Почленное дифференцирование данного степенного ряда
данного
с радиусом сходимости даст степенной ряд
Пусть │x│<R. Возьмем r так, чтобы
│x│< r < R,
тогда общий член ряда
может быть представлен в виде
но данный степенной ряд сходится в точке r (т.к. r выбрано <R), следовательно, в
этой точке его общий член →0, а потому ограничен, т.е.
│an rn│< M,
где M – постоянное число. Поэтому
Ряд
сходится по признаку Даламбера, т.к. для него
Так как члены ряда
n a
n 0
n
x n 1 по абсолютной величине не превосходят
членов этого ряда, то и он также сходится, что и т.д.
Теорема. (О дифференцировании степенного ряда). Степенной ряд можно
почленно дифференцировать во всякой точке внутри интервала сходимости,
т.е.
ƒ'(x) = a1+2a2x+3a3x2+...+nanxn-1+...
109
Пусть х лежит внутри интервала сходимости (–R, R). Возьмем сегмент [–r,
r], содержащий внутри точку х и лежащий внутри интервала (–R, R) (рис. 13).
Тогда на отрезке [–r, r] правильно сходится и данный степенной ряд и ряд,
полученный его почленным дифференцированием. Следовательно, почленное
дифференцирование данного степенного ряда законно на основании теоремы о
почленном дифференцировании функциональных рядов, что и т.д.
Примечание. По доказанному выше радиусы сходимости R2 и R2' рядов (2) и
(3), полученных почленным дифференцированием и интегрированием ряда (1)
a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
(1)
2
n-1
a1+2a2x+3a3x +...+nanx +...
(2)
(3)
не меньше R радиуса сходимости ряда (1), но они не могут быть и больше, так
как в противном случае, проинтегрировав ряд (2) в пределах от 0 до х и
продифференцировав ряд (3), мы получим ряд (1) с радиусом сходимости R–
меньшим, чем R2 и R2', что противоречит доказанным теоремам данного
параграфа.
Таким образом, заключаем, что
R2=R2'=R.
Теорема. Сумма
степенного ряда (1)
ƒ(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn+...
(1)
в каждой внутренней точке промежутка сходимости имеет производные всех
порядков.
Эти
производные
могут
быть
получены
почленным
дифференцированием ряда (1)
ƒ'(x) = a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+...+nanxn-1+...
ƒ''(x) = 2a2+3.2a3x+4.3a4x2+...+n(n-1)anxn-2+...
ƒ(x) = 3.2a3+4.3.2a4x+...+n(n-1)(n-2)anxn-3+...
……………………………………………………………
Доказательство этой теоремы вытекает из доказанной теоремы о
дифференцировании степенного ряда с помощью последовательного ее
применения.
110
ЛЕКЦИЯ 12
Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №9)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
Основной
готовности студентов проводить блиц
(60 мин)
вопросы.
1. Как разлогается функция в ряд Тейлора?
2. Как разлогается функция в ряд
Маклорана?
3. Какие элементарные функции
разлогаются в ряды Тейлора и Маклорена?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
определителей в различных областях
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Как применяются ряды при вычисление
пределов?
б) Как применяются ряды при вычисление
пределов?
в) Как применяются ряды при вычисление
пределов?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
(10 мин)
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
студент
1.1. Слушает и конспектирует.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
7. Ряд Тейлора
Пусть степенной ряд
a0+a1(x – a)+a2(x – a)2+a3(x – a)3+...+an(x – a)n+... (1)
сходится к функции ƒ(x). Обозначим радиус сходимости
этого ряда через R. Тогда для всех значений х, удовлетворяющих следующему
неравенству:
│x – a│< R
рис 14
будет иметь место следующее равенство;
111
ƒ(x) = a0+a1(x – a)+a2(x – a)2+a3(x – a)3+...+an(x – a)n+... (2)
причем для этих же значений ƒ(x) будет функция непрерывная и бесконечно
дифференцируемая. Установим зависимость между функцией, к которой
сходится ряд (1), и коэффициентами этого ряда. Положим в равенстве (2) х = а,
получим
ƒ(a) = a0.
Затем, последовательно дифференцируя равенство (2) и после каждого
дифференцирования полагая х = а, последовательно получим
ƒ(x) = a1+2a2(x – a)+3a3(x – a)2+4a4(x – a)3+...+nan(x – a)n-1+...
a1= ƒ'(a)
ƒ''(x) = 2a2+3.2a3(x – a)+4.3a4(x – a)2+...+n(n-1)an(x – a)n-2+...
ƒ'''(x) = 3.2a3+4.3a4(x – a)+...+n(n-1)(n-2)an(x – a)n-3+...
……………………………………………………………
и т. д.
Подставив полученные значения коэффициентов в равенство (2), будем
иметь
Полученный степенной ряд называется рядом Тейлора функции ƒ(x) к которой
этот ряд сходится. В частном случае, когда а = 0, ряд Тейлора функции ƒ(x)
принимает вид
и иногда называется рядом Маклорена функции ƒ(x). Следует обратить внимание
на то, что мы предполагали ƒ(x) суммой, к которой сходился данный степенной
ряд.
Если ƒ(x) имеет производные всех порядков для х = а (в частном случае х =
0), то, найдя последовательно эти производные, мы можем формально составить
ряд Тейлора (Маклорена) соответствующей функции, что не гарантирует ни
сходимости этого ряда, ни, тем более, равенства его суммы (если ряд сходится),
именно, данной функции ƒ(x) (т.е., как говорят разложимости этой функции в
степенной ряд).
Чтобы вывести условие необходимое и достаточное для разложимости
функции в степенной ряд, воспользуемся формулой Тейлора для функции
непрерывной и бесконечно дифференцируемой в окрестности точки а:
где
(где ε есть некоторое среднее значение между а и х) есть остаточный член в
форме Лагранжа (см. Смирнов: „Курс высшей математики", т. I, глава IV, § 2).
112
Формула Тейлора дает возможность представить данную функцию в виде
двух слагаемых: многочлена n-ой степени относительно х и остаточного члена
Rn(x).
Записав формулу Тейлора в виде
видим, что остаточный член выражает разность между значениями функции ƒ(x)
и многочлена для всех х, принадлежащих области, где
имеет производные
любого порядка. Для тех значений х, для которых при возрастании п имеет место
следующее равенство:
будем иметь
Итак, условием, необходимым и достаточным для разложимости
бесконечно дифференцируемой функции в ряд Тейлора, является равенство
Сказанное выше будет верно для частного случая, когда а=0, и тогда для тех
значений х, для которых выполнено требование
(где ε среднее между 0 и х), функция разлагается в ряд Маклорена.
8. Разложение показательной функции
Для разложения функции ex в ряд Маклорена находим последовательные
производные и затем найдем значения функции и ее производных для х=0.
ƒ(x) = ex; ƒ'(x) = ex; ƒ''(x) = ex, ... , ƒ(n)(x) = ex; ƒ(n+1)(x) = ex; ...
ƒ(0) = 1; ƒ'(0) = 1; ƒ''(0) = 1, ... , ƒ(n)(0) = 1; ƒ(n+1)(0) = 1; ...
По формуле Маклорена имеем
где
Кроме того, составим ряд Маклорена для ex
Как нетрудно установить, полученный степенной ряд сходится на всей
числовой оси
поэтому для всех конечных значений х
113
(необходимый признак сходимости числового ряда) и, следовательно, для тех же
значений х:
т. к. eε для всех конечных значений x величина конечная. Отсюда следует, что
для всех значений х имеет место следующее разложение функции ex в ряд
Маклорена:
Пример.
Применим полученное разложение к вычислению площади ограниченной
кривой
осью Ох и прямыми х = 0 и х=1. (см. рис. 15).
Так как интересующая нас площадь численно
равна интегралу
не выражается в элементарных функциях, то
точного результата мы не получим, но, использовав разложение показательной
функции
положив в нем u= -x2 и учитывая что полученный ряд сходится правильно на
всей оси, будем иметь ряд
к которому применима теорема о почленном интегрирования. Следовательно,
можно записать
т.е.
Т.к. в правой части ряд знакочередующийся, то, ограничившись при вычислении
площади суммой первых пяти слагаемых, мы допустим ошибку, не
превышающую по абсолютному значению
9. Разложения синуса и косинуса
Пусть
114
Тогда имеем:
ƒ(x)=sin x; ƒ'(x)=cos x; ƒ''(x)=-sin x; ƒ'''(x)=-cos x; ƒ''''(x)=sin x; ...
ƒ(0)=0; ƒ'(0)=1; ƒ''(0)=0; ƒ'''(0)=-1; ƒ''''(0)=0; ...
Поэтому ряд Маклорена для функции f ( x ) sin x имеет вид
Этот ряд действительно имеет своей суммой sin x при любом х, так как
остаточный член Rn формулы Маклорена стремится к нулю при n→∞.
В самом деле:
где φ(ε) есть sin ε или cos ε со знаком + или —, следовательно
Но
xn
является общим членом сходящегося ряда при всяком х (см. разложение в
n!
ряд Маклорена функции ex) а потому, на основании необходимого признака
сходимости ряда, стремится к нулю, следовательно, и подавно Rn→0 при
n→∞ и всяком х. Итак,
На основании теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда
для получения разложения косинуса достаточно почленно продифференцировать
разложение синуса:
Полученные разложения sinx и cosx удобны для вычисления приближенных
значений sinx и cosx. Причем для малых значений х достаточно взять немного
членов разложения, чтобы достичь требуемой точности приближения.
Это обстоятельство усматривается на рис. 16, где представлены графики
y=cos x и первых трех ее приближений
Разложение этих же функций в ряды Тейлора проводится аналогично.
Впрочем, иногда используют уже известное разложение, упрощающее этот
процесс. Так, чтобы разложить cosx по степеням
в разложении sint в ряд
Маклорена t заменим через
тогда получим
или
115
Разложение синуса удобно также,
например,
для
табулирования
(т.е.
составления
таблиц
приближенных
значений) так называемого интегрального
синуса, обозначаемого определяемого
формулой sinx,
и
функцией.
Пример. Вычислить
не
являющегося
элементарной
с точностью до 0,001. Имеем
с ошибкой, происходящей от приближенного подсчета второго члена ряда и от
отбрасывания всех членов ряда, начиная с третьего. Первая из них Δ1 по
абсолютной величине меньше 0,0001, а вторая Δ2 по абсолютной величине не
более третьего члена, т.к. ряд лейбницевского типа (см. главу I, § 7), т.е.
Таким образом, абсолютная погрешность подсчета
Δ < Δ1 + Δ2 < 0,0002 < 0,001,
т.е. заданная точность достигнута.
116
10. Биномиальный ряд
Разложим в ряд Маклорена функцию
ƒ(x) = (1+x)α,
где α – любое действительное число
ƒ(x) = (1+x)α
ƒ(0)=1
α-1
ƒ'(x) = α(1+x)
ƒ(0)= α
α-2
ƒ''(x) = α(α-1)(1+x)
ƒ(0)= α(α-1)
α-3
ƒ(x) = α(α-1)(α-2)(1+x)
ƒ(0)= α(α-1)(α-2)
……………………………………………………………………
ƒ(n)(x)= α(α-1)... (α-n+1)(1+x)α-n
ƒ(n)(0)= α(α-1)...(α-n+1)
ƒn+1(x)= α(α-1)...(α-n+1)(α-n)(1+x)α-n-1
ƒ(n+1)(0)= α(α-1)...(α-n+1)(α-n)
Поэтому ряд Маклорена функции имеет вид
ƒ(x)=(1+x)α
Этот ряд называется биномиальным рядом. Он будет сходиться для всех
значений │x│<1.
Действительно,
Следовательно,
Для того, чтобы быть уверенным, что он сходится именно к функции (1+x)α,
следовало бы доказать, что остаточный
член Rn(x) формулы Маклорена для всех │x│<1 будет
стремиться к нулю, когда п неограниченно растет, т.е.
Это действительно имеет место, но из-за сложности доказательство здесь не
приводится.
Итак, для всех │x│<1 будет справедливо следующее разложение:
В частном случае, когда α – число целое положительное, бесконечный
биномиальный ряд превращается в конечный, состоящий из α+1 слагаемых, т.к.,
начиная с α+2-го члена разложения, в числителях появится множитель α-α=0, и
получится известная формула бинома Ньютона:
Если │x│ мало, то при приближенном подсчете значения
117
функции (1+x)α можно взять в её разложении только два
члена, допуская сравнительно малую погрешность.
Так, если
Пример. Вычислить
можем записать
с точностью до 0,001, Применив формулу (2),
т.к. биномиальный ряд при
знакочередующийся, следовательно о
совершённой ошибке можно судить по абсолютному значению первого из
отброшенных членов, третьего в данном случае
т.е. заданная точность достигнута.
11. Разложение логарифма
Разложение функции в ряд Тейлора (или Маклорена) вообще говоря,
должно сопровождаться исследованием того имеет ли место равенство
Ибо только при его выполнении ряд Тейлора, соответствующий данной
функции, сходился к ней. Исследование остаточного члена часто бывает
сложным (мы уже столкнулись с этим на примере биномиального ряда).
Комбинируя ранее полученные разложения и используя действие над рядами и
теоремы об интегрировании и дифференцировании степенного ряда, иногда
удается обойти эти трудности. Мы покажем это на примере логарифма.
Т.к. по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
то, пользуясь возможностью почленного интегрирования степенных рядов в
любых пределах, принадлежащих интервалу сходимости, беря │x│<1, будем
иметь:
или
Заменив в этом разложении х через — х, получим
118
Вычитая почленно из последующего равенства предыдущее, получим:
или
Когда х, оставаясь в интервале сходимости, изменяется от — 1 до 1,
функция
монотонно возрастает от 0 до ∞ (так как ее
производная
и ƒ(-1+0)=0, что позволяет полученным разложением
вычислить ƒ(1-0)=∞), натуральные логарифмы любого положительного числа.
Так как в результате вычитания остались только нечетные степени x, a 0<│x│<1,
то новый ряд сходится значительно быстрее, чем ряды, его породившие, т.е. для
достижения нужной степени точности в нем можно взять меньшее число членов,
поэтому он очень удобен для практического вычисления логарифмов и
составления логарифмических таблиц.
Пример. Вычислить приближенно с точностью до 0,01.
Из равенства
найдем х как функцию у.
Если у = 3, то
Итак, чтобы вычислить
нужно в последнем разложении х заменить
Взяв в правой части равенства сумму четырех слагаемых, будем иметь
или
Ошибка, происшедшая от приближенного вычисления дроби
, меньше
0,001, вторая же ошибка, происшедшая от замены суммы ряда только четырьмя
первыми слагаемыми, не больше, чем остаток ряда r4:
который, в свою очередь, меньше суммы геометрической прогрессии с первым
членом
и знаменателем
следовательно,
Таким образом, абсолютная погрешность подсчета
0,001 + 0,003 = 0,004 < 0,01,
т.е. заданная точность достигнута.
Функцию
нельзя разложить в ряд Маклорена, как мы это сделали с
функциями ln (1-x) и ln (1+x), т.к. ни она сама, ни её производные не существуют
119
при х = 0. Её разложение в ряд Тейлора, например, по степеням х - 1 можно
получить, если в известном уже равенстве
положить
справедливое для всех значений х, удовлетворяющих следующему неравенству:
│x-1│<1 т.е. 0 < x < 2.
Последний ряд при х=2 обращается в сходящийся числовой ряд
сумма которого, как можно показать,
равна ln 2, поэтому разложение
имеет место для всех х
0<x≤2.
12. Разложение в ряд arctg x
Если в геометрической прогрессии
— t заменить через t2, то получим ряд:
сходящийся для │t2│<1, следовательно, и │t│<1. Проинтегрируем этот ряд в
пределах от 0 до х, где │x│<1; получим
На границах интервала сходимости:
при х = 1
при х = -1
полученные знакочередующиеся числовые ряды будут сходящимися
(выполняются условия Лейбница), и можно доказать (мы не будем на этом
останавливаться), что они сходятся соответственно к arctg(+1) и arctg(-1).
Следовательно, полученное разложение арктангенса справедливо на замкнутом
интервале [-1, +1]. Это дает возможность вычислить π с любой степенью
точности:
откуда
120
Так как полученный числовой ряд знакочередующийся, то о величине сделанной
ошибки можно судить по первому из отброшенных членов. Для практического
подсчета он мало удобен, так как весьма медленно сходится.
13. Разложение arcsin x
Чтобы разложить arcsin x в ряд Маклорена, воспользуемся тем, что его
производную
мы можем разложить в биномиальный ряд
Полагая
и t=-x2, имеем:
или, после упрощения:
Проинтегрировав написанный ряд в пределах от 0 до х (│x│<1), получим
то есть:
что можно переписать так:
Так как интервал сходимости при интегрировании не меняется, то
полученное разложение справедливо для│x│<1. На границах интервала
соответствующие числовые ряды, как в этом можно убедиться, будут
расходящиеся, следовательно, разложение арксинуса имеет место для интервала
-1< x <+1.
ЛЕКЦИЯ 13
14. Применение рядов к вычислению пределов,
производных и интегралов
При вычислении пределов дробей, числители и знаменатели которых
стремятся к нулю, используют различные приемы: применяют табличные
формулы, эквивалентные бесконечно малые и правило Лопиталя. Существует,
однако, еще весьма эффективный способ вычисления пределов отношений,
основанный на применении степенных рядов. Он состоит в следующем.
Числитель и знаменатель дроби раскладываются в степенные ряды (по
степеням одной и той же разности x a ). После этого производятся
121
необходимые сокращения, вследствие чего неопределенность обычно исчезает.
Разумеется, применение рядов не исключает применения других приемов.
С помощью рядов Тейлора можно находить числовые значения
производных любого порядка от данной функции. В частности, чтобы найти
f ( n ) ( a ) , нужно разложить функцию f ( x ) в ряд Тейлора по степеням x a , а
затем по формуле
f (n) (a ) cn n! вычислить нужную
производную (указанная формула получается из общего выражения cn
f (n) (a )
n!
для коэффициентов ряда Тейлора).
Теорию рядов можно применить и к интегрированию функций. Если
функция f ( x ) разложима в равномерно сходящийся на отрезке a, b ряд, то
интеграл
x2
f ( x ) dx , где
a x1 x2 b , часто также легко представляется в виде
x1
сходящегося ряда. Разумеется, и неопределенные интегралы можно вычислять
с помощью разложения в ряд подынтегральной функции с последующим
интегрированием этого ряда. Таким путем удается вычислить ряд
интегралов, не выражающихся через элементарные функции в конечном виде, а
также ряд некоторых интегралов, вычисление которых другими способами
представляет значительные трудности.
Пример 1. Вычислить lim 2 3 cos x 34 .
x 0
x sin x
x
x2 x4 x6
x3 x5 x7
2
x
x
1
...
3
x
...
2! 4! 6!
3! 5! 7!
2 x x cos x 3 sin x
2 cos x 3
4 lim
lim
lim
3
4
5
x x 0
x sin x
x
x 0 x sin x
x 0
1 3 5 1 3 7
x x ...
1 3 1
1
1
4! 5!
6! 7!
.
lim
5
x
4! 5! 24 40 60
x 0
Пример 2. Найти производную 11-го порядка от функции
в точке
f ( x ) x 5 cos
x
2
x 0.
Разложим данную функцию в ряд Тейлора по степеням х:
x 2 x 4 x 6 x 8
x
x7
x9
x11
x13
2
2
2
2
x 5 cos x 5 1 ... x 5 2
4
6
8
...
2
2!
4!
6!
8!
2 2! 2 4! 2 6! 2 8!
!
3465
f (11) (0) c11 11! , то f (11) (0) 11
866,25 .
2 6 6!
4
.
Так
как
Заметим, что непосредственное вычисление производной 11-го порядка от
данной функции было бы значительно сложнее.
Пример 3. Найти выражение для производной любого порядка
функции f ( x ) 2 1
в точке x 1 .
x 2x 5
Разложим данную функцию в ряд Тейлора по степеням x 1 :
122
1
1
1
x 2 2 x 5 ( x 1) 2 4 4
Так
как
1
x 1
1
2
c2 n ( 1) n / 2 2 ( n 1) , а
выражения для производных:
2
1
x 1
(1) n 2
4 n 0
2n
( 1) n
( x 1) 2 n ;
2
(
n
1
)
n 0
2
то
c2 n1 0, n 1,2,3, ...,
получаем
следующие
( 1) n!
; f ( 2 n 1) ( 1) 0 .
2 n2
1/ 2
ln (1 x )
1/ 4 x dx в виде ряда.
n
f ( 2 n ) ( 1) c2 n (2n )!
Пример 4. Представить интеграл
Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степеням х:
ln (1 x ) 1
xn
x n1
( 1) n1
( 1) n1
x
x n1
n n1
n
.
Отрезок 1 / 4, 1 / 2 целиком принадлежит интервалу сходимости полученного
ряда, поэтому ряд на нем сходится равномерно, а следовательно, его можно
почленно интегрировать на этом отрезке. Выполняя интегрирование, получаем
n
1/ 2
ln (1 x )
( 1) n 1 x n 1dx
( 1) n 1 1 1
n 1 x
dx
(
1
)
2 2 4
n2
x
n
n 1 1 / 4
n 1
1 / 4 n 1 n
1/ 4
1/ 2
1/ 2
n
n
n
n 1 2 1
(
1
)
n 2 4n
n 1
.
Сумма найденного ряда дает точное значение исходного интеграла.
x
Пример 5. Представить в виде ряда функцию F ( x )
e
dx
.
ln x
Пусть ln x y , тогда x e , a dx e dy ;
y
x
dx
e ln x
ln x
1
ln x
ln x
1
e y dy
y2
yn
1 y
...
... dy
y
y
2!
n!
1
1
y
ln x
1
y
y n 1
y2
yn
1 ...
... dy ln y y
...
...
2!
n!
2 2!
n n!
y
1
ln 2 x
ln n x
1
1
ln x 1 ln 2 x 1
ln n x 1
ln ln x ln x
...
... 1
...
... ln ln x
...
... Раз
2 2!
n n!
n n!
11!
2 2!
n n!
2 2!
ложение имеет место для x 0, x 1 .
Упражнения
Вычислить пределы:
2
1. lim x ln ( 1 x x) .
4. lim x x 2arc tg x 2 sin3x .
1) ln (1 2 x )
x 0 ( e
2. lim x cos x ( x sin
1 cos x
x 0
5. lim 1
x 0
x sin x
x 0
x
.
1 x 2 cos x
tg 4 x
.
3. lim 2 (tgx sin5 x ) x .
x
x 0
Представить в виде рядов следующие интегралы:
3
x
1. x 2 e x dx .
2
0
x 5
4.
0
1 x4 1
dx .
x3
x
x
3.
0
0
2. arc sin x dx .
x
dx
1 x3
.
x
5. cos x 3dx .
0
15. Приближенные вычисления с помощью рядов
123
Для приближенного вычисления значения функции f ( x ) в точке х0
можно использовать следующий прием. Функцию f ( x ) раскладывают в
степенной ряд. В полученном разложении полагают x x0 . Заметим, для
вычисления f ( x0 ) с нужной точностью берут необходимое число его
начальных членов. Так, например, для вычисления arc sin (1 / 10) следует функцию
arc sin x разложить в степенной ряд (по степеням х), а затем положить в
нем x 1 / 10 .
Особо отметим следующие случаи.
1. При вычислении различных степеней числа е пользуются
2
n
2!
n!
приближенной формулой e x 1 x x ... x , допуская при этом ошибку Rn ,
которая при
x n 1
оценивается неравенством
можно пользоваться более простой оценкой
2.
При
вычислении
приближенными
cos x 1
значений
Rn
синуса
формулами
Rn
x
n 1
( n 1 )!
и
x
n 1
n!( n 1 x )
.
косинуса
sin x x
. При x 0
пользуются
x
x
x 2 n1
,
... ( 1) n1
3! 5!
(2n 1)!
3
5
x2 x4
x 2n ;
... ( 1) n
2! 4!
(2n)!
при этом ошибки оцениваются соответственно неравенствами
R2 n 1 ( x ) R2 n ( x )
x 2 n 1
(2n 1)!
, R2 n ( x ) R2 n 1 ( x )
x 2 n 2
.
(2n 2)!
3. Для вычисления логарифмов чисел можно пользоваться рядом
ln
1 x
x3 x5
x 2 n 1
2 x
...
... ( x 1) .
1 x
3
5
2n 1
Ошибка, получаемая при замене суммы ряда суммой его первых п членов,
2 x 2 n 1
может быть оценена с помощью формулы Rn
.
2
(2n 1) (1 x )
4. При вычислении корней k -й степени из числа А>0 полагают
k
A a y (где a - число, близкое к А, из которого извлекается точный
корень, y такое, что y / a k 1), тогда k A a k 1 y / a k a (1 y / a k )1/ k .
Полученную функцию раскладывают в биномиальный ряд и берут затем
необходимое число первых слагаемых.
k
5.
Для
приближенного
вычисления
интеграла
b
f ( x ) dx
его
a
предварительно представляют в виде числового ряда, для суммирования
которого берут необходимое число начальных членов.
Пример 1. Вычислить 4 e с точностью до 0,00001.
В разложении функции e x полагаем x 1 / 4 :
e1 / 4 1
1
1
1
1
2
3
4
... .
4 4 2! 4 3! 4 4!
Если взять пять членов этого ряда (п=4), то ошибка вычислений не будет
превышать 0,00001:
124
R4
x 41
4! ( 4 1 x )
1
0,00001
1
4 5 4! 5
4
Подсчитав сумму пяти выписанных выше членов ряда, получим
Пример 2. Вычислить cos 10 с точностью до 0,0001;
Так как
получаем
cos 10 cos
180
cos 10 1
4
e 1,28403 .
, то, полагая в разложении косинуса
2
180 2 2!
180 4!
Пример 3. Вычислить
180
,
0,9998 .
Здесь первые два члена разложения
4
большую точность, так как
R2
4
3
x
уже
обеспечивают
значительно
4
4
1
4
0,0000001 .
4
180 4! 45 24
68 с точностью до 0,001.
1/ 3
1/ 3
4
1
4 1 . Раскладываем в ряд функцию (1 x ) :
64
16
11
1 1 1
1
1 2
1
1
3
3
3
3
3
x 3 ... 1 1 x 1 2 x 2 1 2 5 x 3 2 5 8 x 4 ... .
2
(1 x ) 3 1 x
x
3
2!
3!
3
32 2!
33 3!
34 4!
3
68 3 64 4 4 3 1
Полагая в полученном разложении
x
1
16
и умножая ряд на 4, получаем
1
3
1 3
1
1 2
1
1
68 4 1 4 1
2
4
4,082 .
2
3
16
12
576
3
2
!
16
16
Здесь взятые три члена ряда обеспечивают нужную точность, так как
1 2 5
R 4
0,001 .
3
33 3! 16 3
Пример 4. Вычислить ln 2 с точностью до 0,0001.
В разложении функции ln 1 x положим 1 x 2 , тогда
следовательно,
1 x
1
1
1
1
ln 2 2 3 5 7 ... .
3
3
3
3
5
3
7
1 x
x 1/ 3
и,
Заданную точность обеспечивают четыре члена, так как для оценки
2x
погрешности имеем неравенство
, из которого при
R
2 n 1
n
получаем
n 4 u x 1/ 3
R4
(2n 1) (1 x 2 )
29
1
9
0,0001 .
3 98 3 4
9
Таким
образом, с
точностью до 0,0001
ln 2
2
1
1
1
1
0,6931 .
3 27 405 5103
2
Пример 5. Вычислить интеграл
(предполагается, что
sin x
1
x
sin x
x
0
dx
с точностью до 0,001
при x 0 ).
sin x 1
x3 x5 x7
x3 x4 x6
x
... 1
... .
x
x
3! 5! 7!
3! 5! 7!
Интегрируем полученное разложение на отрезке 0,2 :
2
sin x
x3
x5
x7
23
25
27
dx
x
...
2
... .
0 x
3 3! 5 5! 7 7!
3 3! 5 5! 7 7!
0
2
125
Для вычисления интеграла с указанной точностью достаточно взять
четыре члена ряда, так как при этом R4 29 /(9 9! ) 0,001 . Произведя
2
sin x
dx 1,605 .
x
0
вычисления, получаем
Упражнения
Вычислить приближенно с указанной степенью точности :
1. e ; 0,0001 .
2. e 2 ; 0,001 .
3. e ; 0,0001 .
1
4. e ; 0,0001 .
5. ; 0,0001 .
3
e
126
ЛЕКЦИЯ 14
РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Тригонометрическая система функций.
Ее ортогональность
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №10)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Какой ряд называется
теме.
тригонометрическим рядом?
2. Как определяются коэффициенты
2. Конспектирует ответов
тригонометрического ряда?
данных вопросов.
3. Как разлогается функция в ряд Фурье?
2.2. Преподаватель продолжает изложение 3. Обсуждает разновидность
лекции, используя визуальных
матриц и действия над ними.
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
4. Отвечая на вопросы
определителей в различных областях
записывает основные места.
науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
5. Записывает каждый вопрос,
излогает суть данного занятия:
запоминает определения и
а) Вкаких пределах можно разлогать
приводить примеры для
функцию в ряд Фурье?
каждого случая.
б) Как четные нечетные функции
разлогаются в ряд Фурье?
в) Как применяются ряды Фурье?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Две функции φ(x) и ψ(x), непрерывные (мы ограничиваемся такими
функциями для простоты) на сегменте [а, b], называются ортогональными, если
выполняется равенство:
Пример.
127
Функции φ(x)=sinx и
ортогональны на нем, ибо
ψ(x)=cosx
непрерывны
на сегменте
[0,
π],
Конечная или бесконечная система функции
φ1(x), φ2(x),..., φn(x),...
непрерывная на сегменте [а, b], называется ортогональной системой, если
функции этой системы попарно ортогональны, т.е.
Тригонометрической системой называют следующую бесконечную систему
функции: 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,..., cos nx, sin nx,...
Теорема. Тригонометрическая система ортогональна на сегменте [- π, π].
В самом деле, пусть n-целое неотрицательное число. Тогда
Пусть далее m, n – целые неотрицательные числа, и m≠n.
Тогда
Мы показали, таким образом, что функции тригонометрической системы
попарно ортогональны.
Это доказывает теорему.
Замечание. Так как для любой функции ƒ(x) периода Т имеем
(в этом легко убедиться, пользуясь свойствами определенного интеграла), то
тригонометрическая система, функции которой имеют период 2π, ортогональны
на любом отрезке вида [a, a+2π].
В дальнейшем нам будет нужно значение определенных интегралов от
квадратов членов тригонометрической системы:
128
2. Ряды Фурье в случае функции периода 2π
Тригонометрическими рядами называются ряды вида:
A+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+...+(ancos nx+bnsin nx)+...,
где A, a1, b1, a2, b2,..., an, bn,...– постоянные, называемые коэффициентами
тригонометрического ряда (по техническим причинам А обозначим в
дальнейшем ).
Разложение функции в степенные ряды возможно лишь при существовании
производных всех порядков и выполнении некоторых добавочных условий.
Разложение функции в тригонометрические ряды Фурье, к рассмотрению
которых мы переходим, возможно, при менее стеснительных условиях.
Представление любой периодической функции в виде тригонометрического
ряда, т.е. сведение к простейшим периодическим функциям доставляет особенно
удобные методы для решения трудных задач математической физики,
теоретической механики. И так как каждое слагаемое ancosnx+bnsinnx ряда Фурье
выражает простое гармоническое колебание
A sin(nx+φ)=A sinnx·cosφ+A cosnx·sinφ,
где
A cos φ = bn
A sin φ = an,
то цель разложения в тригонометрический ряд заключается в том, чтобы
сложное периодическое явление представить в виде бесконечного ряда простых
гармонических колебаний.
Раздел о разложении функций в тригонометрические ряды называется
гармоническим анализом.
Предполагая, что тригонометрический ряд сходится к ƒ(x) правильно на
отрезке длиной 2π, т.е.
выразим его коэффициенты через сумму
Правильная сходимость ряда дает нам ƒ(x) возможность его почленно
интегрировать в пределах от - π до π.
Мы определим коэффициент, если проинтегрируем равенство (1) в
указанных пределах: a0,
В силу ортогональности тригонометрической системы все слагаемые под знаком
суммы равны нулю, поэтому получим:
129
Перейдем к определению an; n – целое положительное число. Умножим обе
части равенства (1) на coskx и проинтегрируем полученное равенство в пределах
от -π до +π:
В силу ортогональности тригонометрической системы все интегралы в правой
части равенства будут равны нулю, кроме одного при коэффициенте ak , который
будет равен π, как было показано выше. Следовательно, будем иметь
или, заменив k на
Для отыскания bn умножим обе части равенства (1) на sinkx и снова
проинтегрируем в тех же пределах:
Точно так же, как и в случае, когда определяли an, в силу равенства нулю всех
интегралов правой части за исключением интеграла, являющегося
коэффициентом при bk, равного π, будем иметь
или
Формула (2) получается из (3), если в ней положить n = 0, поэтому значения
всех коэффициентов содержат следующие две формулы:
Коэффициенты,
вычисленные по этим формулам, называются
коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а соответствующий тригонометрический
ряд называется рядом Фурье функции ƒ(x). Мы рассматривали функцию ƒ(x), к
130
которой правильно сходился тригонометрический ряд, и вывели формулы,
устанавливающие зависимость между этой функцией и коэффициентами ряда.
Поставим теперь вопрос по-иному: пусть дана периодическая
интегрируемая функция с периодом 2π. Вычислим для той функции её
коэффициенты Фурье an, bn и составим тригонометрический ряд Фурье этой
функции. Запишем символически это следующим образом:
Следует обратить внимание на то, что мы не поставили знака равенства. Это
объясняется тем, что неизвестно, сходится ли составленный ряд Фурье функции
ƒ(x), и если да, то будет ли он сходиться к заданной функции ƒ(x).
Возникает вопрос, какие условия достаточно наложить на функцию ƒ(x),
чтобы ряд Фурье этой функции сходился бы к ней.
Пусть функция ƒ(x), заданная в промежутке (—π, π), удовлетворяет
следующим условиям:
1)
непрерывна,
за
исключением
только
конечного
числа
точек разрыва 1-го рода, т.е. конечного числа точек x1, x2, x3,..., xn в которых
ƒ(xk–0) и ƒ(xk+0) конечны и неравны между собой.
2) имеет конечное число экстремумов.
Эти условия называются обычно условиями Дирихле.
Примеры. Функции, заданные в интервале (-π, π) следующим образом:
удовлетворяют условиям Дирихле. Их графики изображены на рисунках 18 и 19
рис 18
рис 19
Сформулируем теперь основную теорему теории рядов Фурье.
Теорема Дирихле. Если ƒ(x), заданная в промежутке (–π, π), удовлетворяет
в этом промежутке условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится во
всем промежутке (–π, π) и сумма этого ряда:
1) равна ƒ(x) во всех точках непрерывности ƒ(x), лежащих
внутри промежутка;
2) равна
во всех точках разрыва непрерывности;
3) равна
на концах промежутка, т.е.
при х= — π и х = π.
Так как члены ряда есть функции периодические с периодом 2π, то из
сходимости в интервале от (—π,+ π) вытекает его сходимость для всех
действительных значений х, причем
131
График периодической функции с периодом 2π, заданной на интервале (–π,
+π) равенством ƒ(x)=│x│, имеет вид, изображенный на рисунке 20.
Так как ƒ(–π)= ƒ(π), то ƒ(x) непрерывна для всех значений х и так как она
удовлетворяет условиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится к этой функции для
всех значений х. В этом случае будет иметь место равенство, справедливое на
всей действительной оси:
Периодические функции, с которыми приходится иметь дело в анализе и в его
применениях, обычно удовлетворяют
рис 20
условиям Дирихле и поэтому могут быть представлены своими рядами Фурье
для всех значений х, за исключением точек разрыва функции.
ЛЕКЦИЯ 15
4. Коэффициенты ряда Фурье четных и нечетных
функций
1. Пусть разлагаемая в ряд Фурье функция ƒ(x) – четная, тогда
F(x)=ƒ(x)cosx тоже будет четной, т.е. удовлетворяет требованию F(-x)=F(x).
График ее симметричен относительно оси ординат, поэтому для вычисления
коэффициентов an можно воспользоваться следующим известным равенством:
т.е.
Функция же
Ф(x)= ƒ(x)sinnx будет нечетной, т.е. будет иметь место
следующее равенство:
Ф (– х) = – Ф (х).
График ее будет симметричен относительно начала координат. И так как
интеграл
Следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье, составленный из
одних косинусов, причем коэффициенты этого неполного ряда можно вычислять
(для большей простоты) по формулам (5).
2. Если разлагаемая функция нечетная, то и ƒ(x)cosnx будет тоже
нечетной и ƒ(x)
132
Т.к. ƒ(x)sinnx есть функция четная, то
т.е. нечетная функция разлагается в ряд Фурье, составленный из одних синусов.
Коэффициенты этого ряда будем определять по формулам (6).
5. Примеры разложения в ряд Фурье
1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию ƒ(x) с периодом 2π,
определенную на интервале-периоде следующим образом:
На рис. 22 изображен график этой функции.
Так как данная функция не
является ни четной, ни нечетной,
то ее ряд Фурье будет полным.
Чтобы определить a0, an, bn,
разделим
промежуток
интегрирования (–π, +π) на два: (–
π, 0) и (0, π), потому что на них
функция задана разными аналитическими выражениями:
133
Т.к. функция ƒ(x) удовлетворяет условиям Дирихле, то во всех точках ее
непрерывности имеем
В частности, в точке непрерывности х = 0 будем иметь равенство
или
Мы получили числовой ряд
сходящийся к иррациональному числу
2. Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x)
периода 2π, определенную равенством
ƒ(x)=x на интервале-периоде –π ≤ х < π
Так как данная функция нечетная,
разложится в ряд Фурье, составленный из
одних синусов. Вычислим коэффициенты
разложения
она
т.е.
Так как функция ƒ(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то во всех
точках непрерывности её ряд Фурье будет сходиться к самой функции, а в
точках разрыва функции х=(2n–1) π, где п–целое число, ряд будет сходиться к
Таким образом, учитывая найденные значения коэффициентов, будем
иметь:
134
3. Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) периода 2π, определенную
равенством ƒ(x)=│x│, на интервале-периоде -π ≤ х ≤ π.
Так, функция ƒ(x) непрерывна, удовлетворяет условиям Дирихле, а потому она
разложится в свой ряд Фурье. Так как данная функция четная, то она разложится
в ряд Фурье, составленный из одних косинусов и свободного члена. Вычислим
коэффициенты разложения
т.к. в интервале (0, π) │x│= x
Учитывая найденные значения коэффициентов, а также отсутствие у
функции точек разрыва, видим, что ряд Фурье сходится к ней для всех значений
х, поэтому на всей действительной оси будет справедливо следующее равенство:
6. Разложение в ряд Фурье функций, заданных
в промежутке (0, π)
До сих пор мы разлагали в ряд Фурье функции, заданные на интервале (–π,
π).
Рассмотрим теперь произвольную функцию ƒ(x), заданную в промежутке (0,
π) и удовлетворяющую условиям Дирихле.
Пусть мы желаем разложить её в ряд Фурье по синусам.
В такие ряды разлагались нечетные функции, определенные в промежутке
(–π, π), поэтому доопределим нашу функцию на – π<х<0 так, чтобы имело место
следующее равенство:
ƒ(–x)= –ƒ(x)
для всех значений х из интервала –π < х < π.
Описанную операцию до определения функции будем называть нечетным
продолжением функции на промежутке (–π,0).
Ряд Фурье этой нечетной функции, содержащий только синусы, будет
сходиться к ней для –π<х<π во всех точках её непрерывности, а следовательно, и
к заданной нам функции в промежутке (0, π). Вне интервала (–π, π) тот же ряд
Фурье будет сходиться к периодической функции периода 2π, полученной из
нечетной её периодическим продолжением.
135
Пример. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
в
промежутке (0, π)
На рис. 25 жирной линией обозначен график заданной функции, тонкой–
график нечетного её продолжения, пунктирной линией–график периодического
продолжения нечетной функции с периодом 2π. Вычислим коэффициенты bn.
т.е.
Учитывая значения коэффициентов bn, получим искомый ряд сходящийся к
заданной функции в промежутке (0, π):
Если же мы произвольную функцию ƒ(x), заданную в промежутке (0, π) и
удовлетворяющую на нем условиям Дирихле, желаем разложить в ряд Фурье по
косинусам, то, учитывая, что в такие ряды разлагаются четные функции,
определенные в промежутке (–π, π), продолжим нашу функцию четно на
промежутке (–π, 0). Ряд Фурье полученной четной функции, содержащий только
косинусы, будет сходиться к ней на –π <х<π во всех точках её непрерывности,
следовательно, и к заданной нам функции в промежутке (0, π). Вне интервала (–π
π) – к периодической функции с периодом 2π, полученной из четной функции её
периодическим продолжением.
Пример. Разложить в ряд по косинусам функцию
в промежутке (0, π)
136
На рис. 26 жирной линией обозначен график заданной функции, тонкой —
график четного её продолжения, пунктирной линией — график периодического
продолжения с периодом 2π. Вычислим коэффициенты a0 и an:
Таким образом, разложение нашей функции по косинусам таково:
Так как периодическая функция не имеет точек разрыва, то для всех
значений х ряд будет сходиться к ней.
Итак, мы видим, что одну и ту же функцию
заданную в промежутке (0, π) по желанию можно разложить в ряд по синусам
или в ряд по косинусам. Вне промежутка (0, π) эти ряды сходятся к различным
функциям, графики которых нанесены на рисунках 23 и 24.
7. Разложение в ряд Фурье функций периода
Рассмотрим теперь задачу более общего характера, когда функцию,
заданную в промежутке (–l, l), нужно разложить в ряд Фурье.
Чтобы показать, как решение этой задачи сводится к ранее нами
разобранной, рассмотрим следующую линейную функцию (рис. 27)
Когда х изменяется в промежутке
(–l, l),
у изменяется в промежутке (–π, π).
Поэтому если в заданную функцию, определенную на –l<x<+l, вместо х
поставим
то получим новую функцию F(y)
(*)
которая будет определена в промежутке (–π, π). Для нее
применимы все выведенные ранее формулы
137
Ряд Фурье этой функции запишется следующим образом:
Так как
то, переходя обратно к независимой переменной х, получим
формулы, дающие нам возможность решить поставленную задачу в этом случае.
Во всех трех интегралах при переходе к другой переменной пределы
интегрирования изменятся соответственно с –π и π на –l и l.
Действительно,
, когда y=π, x=l, когда y= –π x= –l
в силу равенства (*), следовательно,
Сам же ряд Фурье после перехода к переменной х перепишется следующим
образом:
Легко понять, что формулы, которыми мы раньше пользовались для
определения коэффициентов Фурье, получатся из новых, если в них l положить
равным π.
Примеры.
1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию ƒ(x) с периодом 2l=2,
определенную на отрезке [–1, +1] следующим образом:
Так как данная функция не является ни четной, ни нечетной, то ее ряд Фурье
будет полным. Чтобы определить коэффициенты a0, an и bn, разделим
промежуток интегрирования (–1, 1) на два (–1, 0) и (0,1), ибо в них функция
задана разными аналитическими выражениями. Подставив значение l=1 в
138
формулы (2', 3', 4') и применив, где следует, метод интегрирования по частям,
получим
Ряд Фурье, составленный в соответствии с найденными коэффициентами, во
всех точках непрерывности функции, изображенной на рис. 26, будет иметь
своей суммой эту функцию, в точках же ее разрыва его сумма будет равна, в
силу теоремы Дирихле,
Таким образом, имеем:
(где k–целое число).
2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, определенную в
промежутке
равенством
ƒ(x)=cosx.
139
Так как ряд этой функции должен состоять из одних синусов, то продолжим
заданную функцию нечетно в промежутке
и затем периодически её
продолжим с периодом 2l = π вне промежутка
На рис. 29 указан график полученной таким образом
периодической функции.
Для определения коэффициентов bn представим в формулу
нечетной
значение ƒ(x)=cosx и
Получим
2
Следовательно, функция ƒ(x)=cosx в промежутке (0, ) разложим в
следующий ряд Фурье по синусам:
Положив в этом разложении
виде ряда:
получим еще одно представление числа π в
140
ЛЕКЦИЯ 16
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Последовательность комплексных чисел. Внутренность круга радиусом
с центром в точке z0 , т.е. совокупность точек, удовлетворяющих неравенству
z z0 , называется -окрестностью точки z 0 (рис.2.1).
Число z0 lim zn называется пределом последовательности комплексных
n
Р
и
с
.
2
.
1
чисел z1 , z2 , , zn, , если для любого сколь угодно малого положительного
числа 0 , можно найти такой номер N 0 , начиная с которого, т.е. при всех
n N , выполняется неравенство zn z0 . Иначе говоря, для -окрестности z0
все члены последовательности zn , начиная с некоторого номера n N , попадут
внутрь этой окрестности.
Если zk xk iyk (k 0, 1, , n, ) , то zn z0 xn x0 2 yn y0 2 ,
откуда легко получить, что равенство z0 lim zn равносильно существованию двух
n
пределов:
x0 lim xn
n
и
y0 lim yn .
n
Пусть последовательность комплексных чисел z1 , z2 , , zn, такова, что для
M 0 можно найти такой номер N, что при n N выполняется неравенство
zn M , т.е. модули членов последовательности, начиная с некоторого номера
становятся больше любого, сколь угодно большого, положительного числа M 0 .
В этом случае считают, что lim zn . Такой предел последовательности называют
n
бесконечно удаленной точкой.
Окрестностью бесконечно удаленной точки называется внешность круга
радиусом R с центром в начале координат. Таким образом, R-окрестность
бесконечно удаленной точки задается неравенством z R . В этом случае
определение бесконечного предела примет вид lim zn , если для любого сколь
n
угодно большого числа R 0 существует такой номер N, что при всех n N
точки zn попадут в R-окрестность бесконечно удаленной точки, т.е. будет
выполняться неравенство zn R .
Таким образом, определение предела последовательности комплексных
чисел одно и то же как для случая, когда он конечен, так и для случая, когда он
бесконечен. В этом смысле бесконечно удаленная точка равноправна со всеми
141
остальными. Однако во многих случаях оказывается важным, существует ли
конечный предел последовательности. Последовательность, имеющая конечный
предел, называется сходящейся; если последовательность не имеет предела или
имеет бесконечный предел, она называется расходящейся.
Комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой,
называется расширенной плоскостью.
Определение функции. Пусть на некотором множестве точек,
изображающих значения комплексной переменной z, задана однозначная
функция w f z , т.е. каждой точке этого множества поставлено в соответствие
одно и только одно значение w. Если каждой точке z поставлено в соответствие
два и более значений w, это означает, что на множестве комплексных чисел
задана многозначная функция w f z .
Например, функция w z 2 определена однозначно, причем на всей
комплексной плоскости, так как для любого z x iy , имеем
z 2 ( x iy ) 2 x 2 2ixy (iy ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 xyi ,
т.е любому комплексному числу z соответствует одно, единственное значение z 2 .
Функция w Arg z многозначна и определена во всех точках комплексной
плоскости, за исключением точки z 0 , для которой аргумент не определен.
Так как комплексное число определяется двумя вещественными числами x
и y, являющимися соответственно его вещественной и мнимой частями ( z x iy ) ,
а число w также однозначно определяется двумя вещественными числами u и v
( w u vi ) , то зависимость w f z равносильна двум зависимостям
u u x, y ;
w f z
v v x, y ,
определяющим вещественные величины u и v как функции двух вещественных
переменных x и y. Например, если w z 2 , то u x, y x 2 y 2 ; v x, y 2 xy .
Ряды с комплексными членами. Напомним некоторые сведения о рядах
с вещественными членами. Выражение вида
an a1 a2 a3 an
(2.1)
n 1
называется числовым рядом, а числа a1 , a2 , , an , называются членами ряда, член
ряда an с произвольным номером – общим членом ряда. Если ограничиться
конечным количеством слагаемых, мы получим частичную сумму ряда
n
S n a1 a2 an ak
.
k 1
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичных
сумм при n : S lim S n , причем величина этого предела называется суммой
n
ряда.
Если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда (2.1), т.е.
an
n 1
a1 a2 an
142
,
то ряд (2.1) также сходится и называется абсолютно сходящимся.
Если функция f x имеет производные до n 1 -го порядка включительно в
окрестности точки x a , то ее можно разложить в ряд с помощью формулы
Тейлора:
f x f a
f a
1!
x a
f a
2
2!
f (n) a
n 0
n!
x a
n
x a ,
где f 0 x f x . Наиболее часто это разложение используется при
называется формулой Маклорена:
f 0 0
f 0
f 0 2
f x f 0
x
x
xn .
1!
2!
n!
a0
и
(2.2)
n 0
Применяя формулу (2.2) к функциям
ex 1 x
x 2 x3
2! 3!
cos x 1
sin x x
e x , cos x
и
sin x , получим
xn
n!
xn
,
n 0 n!
(2.3)
2n
2n
x2 x4
n x
n x
,
1
1
2n !
2n !
2! 4!
n 0
(2.4)
x3 x5
x 2 n 1
x 2 n 1
n
n
,
1
1
2n 1!
2n 1!
3! 5!
n 0
(2.5)
причем эти три степенных ряда абсолютно сходятся при всех значениях x.
Перейдем теперь к рядам с комплексными членами. Ряд
z1 z2 zn zn
(2.6)
n 1
называется сходящимся, если существует конечный предел его частичных сумм
n
S n zn z1 z2 zn
k 1
при
n,
Если
который называется суммой ряда:
z k xk iyk ,
S lim S n .
n
то ряд (2.6), состоящей из комплексных чисел, примет вид
n 1
n 1
n 1
zn xn iyn xn i yn .
n 1
Тогда очевидно, что ряд (2.6) сходится тогда и только тогда, когда одновременно
сходятся оба ряда из вещественных чисел xn и yn .
n 1
n 1
Таким образом, все утверждения, если они справедливы для рядов с
вещественными членами, будут справедливы и для комплексных рядов.
Рассмотрим ряд из модулей членов ряда (2.6)
zn
n 1
z1 z2 zn
(2.7)
Предположим, что этот ряд сходится. Очевидно, что
признаку сравнения для числовых рядов (если
143
xn z n
0 an bn n
и
yn z n
. Тогда по
и ряд bn сходится, то
n 1
n 1
n 1
n 1
ряд an тоже сходится) ряды xn и yn будут сходиться, причем абсолютно.
Тогда ряд (2.6) также будет сходиться абсолютно.
2.2. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Если показатель степени является комплексным числом, то принятое в
теории вещественных функций определение показательной функции a z теряет
смысл. Точно также теряют смысл определения тригонометрических функций
и
других.
Для
определения
показательной
и
cos z, sin z, tg z, ctg z
тригонометрической
функций
комплексного
переменного
формально
воспользуемся разложениями в ряды соответствующих функций вещественного
переменного, заменив в равенствах (2.3)-(2.5) вещественный аргумент
комплексным. Таким образом, будет считать, что экспонентой, косинусом и
синусом комплексного переменного называются следующие выражения:
z2
2 !
ez 1 z
zn
n !
;
(2.8)
2n
z2 z4
n z
1
;
2! 4!
( 2n) !
cos z 1
sin z z
(2.9)
z3 z5
z 2 n 1
n
1
,
3! 5!
(2n 1) !
(2.10)
где ряды, стоящие в правых частях сходятся при любом значении z, причем
абсолютно. Это следует из того, что данные ряды сходятся при любом
вещественном значении z, т.е. при z r . Но r z , отсюда и получим абсолютную
сходимость рядов (2.8)-(2.10).
Функции, определенные равенствами (2.8)-(2.10), связаны между собой
формулой Эйлера
eiz cos z i sin z .
Действительно, заменив в равенстве
2n
n
2 n 1
n
i 2 1, i 1 ; i 1 i , получим
eiz 1 iz
1 iz
iz
2
2 !
iz
3
3!
iz
4
4 !
iz
(2.8)
5
5 !
iz
z
2n
(2n) !
iz
(2.11)
на
iz,
с
учетом
2 n 1
(2n 1) !
2n
z 2 z 3i z 4 z 5i
z 2 n1
n z
n
1
1
2 ! 3! 4 ! 5!
( 2n) !
(2n 1) !
z2
z4
1
2 ! 4 !
z 3 x5
i z
3! 5!
1
1
n
n
z 2n
2n !
z 2 n 1
2n 1 !
cos z i sin z .
Если в формуле Эйлера заменить z на z , то можно записать
e iz cos z i sin z cos z i sin z .
144
(2.12)
Тогда из формул (2.11) и (2.12) следуют формулы вида
iz
iz
eiz e iz
; sin z e e .
cos z
2
(2.13)
2i
Формула Эйлера позволяет перейти от тригонометрической формы
комплексного числа к экспоненциальной форме:
z r cos i sin rei .
Отметим без доказательства, что для функции экспоненты комплексного
переменного сохраняется свойство умножения двух степеней с одинаковым
основанием: e e e . В частности, для z x iy имеем
z1
z2
z1 z2
e z e x iy e x eiy e x cos y i sin y .
(2.14)
Тогда e z e x и arg (e z ) y . Из этого же равенства следует, что функция
периодична и имеет период 2i :
e z 2 i e x iy 2 i e
x i y 2
e x cos
ez
y 2 i sin y 2
e x cos y i sin y e x iy e z .
Формула (2.14) может быть использована для вычисления значений
показательной функции при любых комплексных значениях аргумента.
2 i
3
Пример 2.1. Вычислить значение e
действительную и мнимую части.
Решение. Подставив в равенство (2.14) x 2 и
e
2 i
3
1
e 2 cos i sin 2
3
3 e
2 i
1
Re e 3 2
2e
Так как
ex ex ,
то
e
2 i
3
e 2
1
e2
,
,
записать
его
модуль,
y / 3 , получим
1
3
i
;
2
2
2 i
3
Im e 3 2
2e
.
.
Пример 2.2. Вычислить значение функции cos 2 i .
Решение. С учетом равенств (2.13) и (2.14) имеем:
cos 2 i
e
i 2i
e
2
i 2i
1
e2i 1 e2i 1
2
1 1
e cos 2 i sin 2 e cos 2 i sin 2
2
1
1
e e 1 cos 2 i e e 1 sin 2 .
2
2
Покажем, что функции sin z и cos z будут периодическими с периодом
Действительно, в силу периодичности функции e :
2 .
z
e
cos z 2
e
i z 2
i z 2
e
2
eiz i 2 eiz ;
i z 2
e
i z 2
e iz i 2 e iz ,
eiz eiz
cos z ;
2
145
sin z 2
e
откуда
i z 2
e
2i
i z 2
eiz e iz
sin z .
2i
С помощью тех же формул можно показать, что для функций sin z и cos z
сохраняются основные тригонометрические тождества. Докажем, например, что
sin z cos z 1 :
2
2
2
2
eiz eiz eiz eiz
sin z cos z
2
2i
2
2
e2iz 2eiz e iz e 2iz e 2iz 2eiz e iz e 2iz
4
4
1
1
e2iz 2 e 2iz e2iz 2 e 2iz 4 1 .
4
4
Покажем, что
eiz1 eiz1 eiz2 eiz2 eiz 2 eiz2 eiz1 eiz1
sin z1 cos z2 sin z2 cos z1
2
2i
2
2i
e1
i z z2
e 1
i z z2
2e
e 2
i z1 z2
i z z1
2e
4i
Отметим также, что функция
e
i z1 z2
cos z
sin z
e 1
4i
e
i z z2
i z1 z2
e
2i
e 2
i z z1
i z1 z2
e 1
i z z2
e 1
i z z2
sin z1 z2 .
является четной:
cos z
а функция
i z1 z2
e iz eiz eiz e iz
cos z ,
2
2
– нечетной:
sin z
eiz eiz
eiz eiz
sin z .
2i
2i
Тангенс и котангенс комплексного аргумента определяются равенствами
вида
iz
iz
cos z e e i
sin z
eiz e iz
; ctg z
tg z
sin z
eiz e iz
cos z eiz e iz i
,
(2.15)
а гиперболические функции – равенствами
sh z
e z e z
2
;
ch z
e z e z
2
;
th z
sh z
ch z
;
cth z
ch z
sh z
.
Из соотношений (2.13) и (2.15) следует выражение гиперболических функций
через тригонометрические:
sh z i sin iz ; ch z cos iz ; th z i tg iz ; cth z i ctg z .
Из этих соотношений следует, в частности, периодичность гиперболических
функций: для sh z и ch z период равен 2i , а для th z и cth z период равен i .
Пример 2.3. Вычислить tg i .
Решение. По определению
e e 1 i e 2 1
sin i
e 1 e1
tg i
2
i.
cos i i e 1 e1
e e 1
e 1
Пример 2.4. Вычислить
ch 1 2i .
146
Решение. Согласно определению функции
e1 2i e12i 1
e cos 2 i sin 2 e 1 cos 2 i sin 2
2
2
ch 1 2i
1
1
e e 1 cos 2 i e e 1 sin 2 ch1cos 2 i sh sin 2 .
2
2
ЛЕКЦИЯ 17
2.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Определим логарифмическую функцию комплексной переменной как
функцию, обратную показательной функции. Если e z , где z 0 , то число w
называют логарифмом числа z и обозначают w Ln z :
w
ew z
Если
w u iv ,
z 0
w Ln z .
то по формуле (2.14) имеем
e w eu iv eu
а также равенства вида
e w eu ;
cos v i sin v ,
Arg e w v 2k , k 0, 1, 2,
.
Так как e z , то e w eu z , откуда u lnz .
Замечание. Здесь z – вещественное положительное число и под
понимается обычное определение логарифма.
По аналогии
w
v Arg e w arg z 2k , k 0, 1, 2,
ln z
.
Таким образом,
w Ln z u iv ln z i arg z 2k , k 0, 1, 2,
. (2.16)
Ввиду многозначности Arg z функция w Ln z также является
многозначной, причем ее вещественная часть определяется однозначно, а
мнимая содержит неопределенное слагаемое, кратное 2 .
Главным значением логарифма комплексного переменного будем называть
такое значение, которое соответствует главному значению аргумента (при k 0 ):
ln z ln z i arg z .
Пример 2.5. Вычислить значение функции Ln i .
Решение. По определению логарифма (2.16) имеем
Ln z ln z i arg z 2k , k Z
z i
z 0 1 1;
;
arg z / 2 .
Тогда
Ln i ln1 i 2k , k 0, 1, 2,
2
Главное значение логарифма числа i (при k 0 )
Пример 2.6. Найти Ln 3 4i и ln 3 4i .
Решение. Примем
ln i / 2 .
z 3 4i z 9 16 5 ; arg z arctg
147
4
.
3
.
Соответственно
ln 3 4i ln 5 i arctg
4
3
;
4
Ln 3 4i ln 5 arctg 2k i, k 0, 1, 2,
3
.
С учетом свойств обычного логарифма и аргумента комплексного числа
можно доказать следующие свойства логарифма комплексного числа:
z
Ln 1 Ln z1 Ln z2 ;
z2
Ln z1 z2 Ln z1 Ln z2 ;
Ln z n n Ln z 2ki ;
Ln
z 1n Ln z ,
k , n 0, 1, 2, .
n
Отметим также, что для любого комплексного числа справедлива формула вида
(основное логарифмическое тождество) e z .
Операцию возведения комплексного числа в комплексную степень
определим с помощью равенства
Ln z
a z e z Ln a ,
(2.17)
где a и z – комплексные числа.
В силу многозначности значения Ln a выражение a z также будет
многозначно. Его главным значением будем называть то, которое соответствует
главному значению логарифма ln a .
Пример 2.7. Вычислить i i .
Решение. С учетом формулы (2.17) получим
i e
i
i Ln i
e
i ln1 i 2 k
2
e
2 k
2
, k 0, 1, 2,
.
Пример 2.8. Решить уравнение ex i i x Re .
Решение. Прологарифмируем уравнение
Ln e x Ln i i x i Ln i x i ln1 i
x
1
1
2k x 2k x 1 4k
2
2
2
2ki
2
k 0, 1, 2,
.
2.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определим обратные тригонометрические функции комплексного
аргумента как функции, обратные соответствующим тригонометрическим
функциям. Если z sin w , то w называется арксинусом z и обозначается w Arc sin z ,
т.е. z sin w w Arc sin z .
Аналогично
z cos w w Arc cos z ; z tg w w Arctg z ;
Если
z sin w ,
то из равенств (2.13) получим
148
z ctg w w Atcctg z .
eiw e iw
2iz eiw e iw eiw 2iz e iw 0 .
2i
z
Домножив последнее равенство на
относительно неизвестной функции e :
eiw ,
получим квадратное уравнение
iw
e 2iw 2 zeiw 1 0 .
Решим это уравнение:
eiw iz 1 z 2
.
Замечание. Знак перед корнем здесь опущен, так как символ n z
обозначает все n значений корня из комплексного числа.
Прологарифмировав полученное равенство iw Ln iz 1 z 2 и умножив это
выражение на i , получим
w Arc sin z i Ln iz 1 x 2 .
(2.18)
В силу многозначности логарифма и двузначности корня в правой части равенства
(2.18), функция Arc sin z является также многозначной.
Если z tgw , то на основании формулы (2.15) имеем
z
eiw e iw
,
i eiw e iw
откуда
e iw 1 iz eiw 1 iz ;
zi eiw e iw eiw e iw ;
e 2iw
1 iz
; 2iw Ln 1 iz
1 iz
1 iz
.
Таким образом,
w Arctg z
1
1 iz
i Ln
2
1 iz
.
(2.19)
Аналогично равенствам (2.18) и (2.19) можно получить и формулы
1
z i
Arc cos z i Ln z z 2 1 ; Arcctg z i Ln
2
z i
.
Обратные гиперболические функции определяются формулами вида
1
z 1
;
Arsh z Ln z z 2 1 ; Ar ch z Ln z z 2 1 ; Arth z Ln
2
z 1
Ar c th z
1
z 1
Ln
2
z 1
Очевидно, что все эти функции также являются многозначными.
Пример 2.9. Найти Arc sin 2 .
Решение. z 2 ; iz 2i ; 1 z 2 3 i 3 . Тогда по формуле (2.18)
Arcsin 2 i Ln(2i i 3) i Ln (2 3)i .
С учетом (2.17) найдем
Ln z ,
где
z 2 3 ; arg z
z (2 3)i ,
следующим образом:
Ln (2 3)i ln(2 3) i 2k ;
2
2
Arcsin 2 i ln(2 3) i 2k 2k i ln(2 3) ,
2
2
149
где
k 0, 1, 2,
.
.
Пример 2.10. Найти Arc tg 2i .
Решение. По формуле (2.19)
1
1 2
1
1
Arctg 2i i Ln
i Ln .
2
1 2
2
3
Так как для числа
z 1/ 3
модуль и аргумент соответственно равны
1
1
Ln ln 2k i .
3
3
1
1 1
Arctg 2i i ln 2k i k i ln 3, k 0, 1, 2,
2
2 3
2
1/ 3
и , то с
учетом (2.17) имеем
Окончательно
.
ЛЕКЦИЯ 18
ПРОИЗВОДНАЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ФУНКЦИИ
3.1. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Предел функции. Число w0 называется пределом функции w f z при
z z0 , т.е. w0 lim f z , если для любой -окрестности точки w0 можно найти такую
zz
0
-окрестность точки z0 , что для всех точек z (кроме, может быть, самой точки
z0 ), лежащих в этой -окрестности, точки w f z будут лежать внутри окрестности точки w0 .
Иначе говоря, если для 0 можно найти 0 такое, что из неравенства
z z0 следует неравенство f z w0 , то w0 lim f z .
z z0
Отметим, что в случае бесконечного предела при z или f z
неравенства z z0 или f z w0 должны быть заменены соответственно
неравенствами z A и f z B A 0, B 0 .
Функция w f z называется бесконечно малой в окрестности точки z0 ,
если lim f z 0 . Введенное определение предела функции комплексного
z z0
переменного ничем не отличается от определения предела функции
вещественного переменного, поэтому все известные теоремы о пределах и
бесконечно малых функций вещественного переменного остаются
справедливыми и для функций комплексного переменного.
Непрерывность функции комплексного переменного. Если функция
w f z определена в точке z0 и некоторой ее окрестности, а предел функции в этой
точке существует и zlim
f z f z0 , то функция f x называется непрерывной в
z
0
точке
z0 .
Из определения предела следует, что для 0 можно найти такое число
следует
f z f z0 . Обозначим
z z0
0 , что из неравенства
z z z0 , w f ( z ) f ( z0 ) (здесь z и w – приращение аргумента и функции в точке
z0 соответственно). Тогда для функции f z , непрерывной в точке z z0 , из
неравенства z следует неравенство w . Таким образом, функция w f z
является непрерывной в точке z0 , если lim w 0 .
z 0
150
Так как определение непрерывности функции комплексного переменного
практически совпадает с определением непрерывности функции вещественного
переменного, то справедливы и все свойства для непрерывных функций.
Как отмечалось в разделе 2.1, функциональная зависимость w f z , где
w u iv , z x iy , равносильна системе равенств
u u x, y ;
v v x, y .
Тогда
f z f z0 u x, y iv x, y u x0 , y0 iv x0 , u0
u x, y u x0 , y0 i v x, y v x0 , y0
и соответственно f z f z0 u x, y u x0 , y0 2 v x, y v x0 , y0 2 .
Отсюда следует, что zlim
f ( z ) f ( z0 ) тогда и только тогда, когда одновременно
z
0
выполняются соотношения вида
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
u ( x, y) u ( x0 , y0 ) ;
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
v( x, y ) v( x0 , y0 ) .
Таким образом, справедливо следующее утверждение: функция комплексного
переменного непрерывна в точке z0 x0 iy0 тогда и только тогда, когда ее
вещественная и мнимая части как функции двух переменных x и y непрерывны
в точке x0 , y0 .
3.2. УСЛОВИЕ КОШИ – РИМАНА
Пусть в некоторой окрестности точки z x iy задана функция w f z .
Дадим независимому переменному z приращение z x iy и вычислим
соответствующее приращение функции
w f z z f z .
Если существует предел отношения w к z при стремлении z к нулю, не
зависящего от направления вектора z , функция w f z называется
дифференцируемой в точке z, а величина этого предела называется производной
функции f z в точке z и обозначается f z или df :
dz
f z lim
z 0
Пусть
Тогда
f z z f z
z
.
w f z u x, y iv x, y .
w f z z f z u x x, y y u x, y
i v x x, y y v x, y u iv ,
где u u x x, y y u x, y ; v v x x, y y v x, y . В этих обозначениях
определение производной примет вид
f z lim
z 0
w
u iv
.
lim
0 x iy
z xy
0
Требование существования предела отношения
(3.1)
w
z
при стремлении
нулю, причем независимо от направления вектора, накладывает на функцию
151
z
к
f z
значительно более сильные ограничения, чем на функцию вещественной
переменной.
Предположим, что предел (3.1) существует и не зависит от закона
стремления z x iy к нулю. В частности, при приближении точки z z к z по
прямой, параллельной оси 0x, т.е. при z x , получим
f z lim
z 0
w
u iv
v
u
v
u
lim
lim
i
i lim
lim
,
x
0
x
0
x
0
x
0
z
x
x
x
x
x
f z
т.е. в этом случае
Устремляя точку
z iy , получим
f z lim
y 0
или
z z
u
v
i
x
x
.
(3.2)
к точке z по прямой, параллельной оси 0y, т.е. при
w
u iv
iu v
v
u
lim
lim
lim
,
i lim
y 0
y 0 y
y 0 y
z y 0 iy
y
y
v
u
f z
i .
y
y
(3.3)
Так как предел (3.1) не должен зависеть от характера стремления вектора
u
v v
u
нулю, из равенств (3.2) и (3.3) следует
,
i
i
x
x
y
z
к
x
откуда, в силу определения равенства двух комплексных чисел, будем иметь
u v
;
x y
v
u
x
y
.
(3.4)
Эти условия называются условиями Коши – Римана (или условиями
Даламбера – Эйлера). Они должны выполняться в любой точке, где функция
f z u iv имеет производную, и следовательно, они являются необходимыми
условиями дифференцируемости функции f z .
Если функции u x, y и v x, y дифференцируемы в точке z и ее некоторой
окрестности, то условия Коши – Римана окажутся также и достаточными
условиями для дифференцируемости функции f z . Докажем это. Пусть для
функции
выполняются
условия
(3.4)
и
вследствие
f z u iv
дифференцируемости функций u и v имеем
u
u
u
v
v
x
y 1 ; v x y 2 ,
x
y
x
y
Тогда
где
x 2 y 2 и
lim 1 lim 2 0 .
0
0
u
u v
v
x
y i x y 1 i 2
y x
y
w u iv x
.
z x iy
x iy
Заменив на основании условий Коши – Римана в числителе правой части
v
x
и
v
y
на
u
,
x
u
v
v
u
x y i
x i y 1 i 2
w x
x
x
x
получим
z
x iy
u
x iy i v x iy 1 i 2 u v i
1
2
x
x
.
i
x iy
x
y
x iy
152
u
y
на –
Так как
Но
z x iy
x 2 y 2
,
1 i 2
1 i 2
x iy
то
w
u
v
f z
i
z 0 z
x
y
и поэтому предел
lim 1 i 2 0
z 0
.
lim
не зависит от
направления вектора z . Таким образом, доказана достаточность условий Коши
– Римана для существования производной f z .
Если однозначная функция w f z дифференцируема в точке z и в
некоторой ее окрестности, то она называется аналитической в этой точке.
Функция, аналитическая во всех точках некоторой области G, называется
аналитической (регулярной), или голоморфной в этой области. Точки плоскости,
в которых однозначная функция f z является аналитической (регулярной),
называются регулярными (правильными) точками этой функции, а точки, в
которых функция f z не является аналитической (в частности, точки, где
функция f z не определена) – особыми точками.
Пример 3.1. Определить, являются ли аналитическими следующие
функции: 1) w z 2 ; 2) w e ; 3) w z ; 4) w z Re z .
Решение. 1. Так как w z 2 ( x iy)2 ( x2 y 2 ) 2 xyi , т.е. u x 2 y 2 ; v 2 xy ,
2
то u 2 x v ;
x
y
u
v
2 y
y
x
.
Следовательно, условия Коши – Римана выполняются для любых x и y и
функция w z 2 является аналитической на всей комплексной плоскости.
2. Так как w e z e x iy e x cos y i sin y , то введем обозначения u e x cos y ;
v e x sin y .
Следовательно,
u
e x cos y ;
x
u
e x sin y ;
y
v
e x sin y ;
x
v
e x cos y .
y
Из этих равенств видно, что условия (3.4) для функции w e z выполняются для
всех x и y, т.е. функция будет аналитической на всей комплексной плоскости.
3. Представим функцию в виде w z x iy и обозначим u x , v y . Тогда
u
1;
x
u
0;
y
v
0;
x
v
u v
.
1 ;
y
x y
Таким образом, функция
плоскости.
4. Запишем
w z
не дифференцируема ни в одной точке
w z Re z x x iy x 2 ixy ,
u
2x ;
x
u
0;
y
с учетом
u x2
v
y;
x
v
x.
y
и
v xy
получим
Очевидно, что условия (3.4) выполняются только при x y 0 . Значит, функция
w z Re z дифференцируема только в точке z 0 , а в других любых точках
аналитической не является.
Так как для функции комплексного переменного сохраняются все свойства
пределов, а определение производной совпадает также с определением
производной функции вещественного переменного, то все правила
дифференцирования суммы произведения и частного функций, а также таблица
производных элементарных функций останутся корректными и для функций
комплексного переменного.
Пример 3.2. Доказать, что (е z ) e z .
153
Решение. По формуле Эйлера (2.11) получим e e e x cos y i sin y , т.е.
u iv , где u e x cos y ; v e x sin y . Тогда с учетом равенства (3.2) можно записать
z
w ez
(e z )
x iy
dw u
v
i
e x cos y ie x sin y
dz x
y
= e x cos y i sin y e x iy e z .
Пример 3.3. Доказать, что (cos z ) sin z .
Решение. Найдем w , где w e :
iz
eiz e
i x iy
e y ix e y cos x i sin x ; u e y cos x ; v e y sin x .
u
v
i e y sin x ie y cos x
x
x
y
e sin x i cos x ie y (cos x i sin x) ieiz .
Тогда по формуле (3.2):
(eiz )
Аналогично можно получить
(e iz ) ie iz .
По формулам (2.13) имеем cos (eiz eiz ) / 2 . Тогда с
y
z
учетом полученных равенств и свойств производной
zn = z
n
имеем cos z e
zn – 1
ie ie iz
2
iz
1 2
z2
z0 z1
O
iz
х
(eiz ) (e iz )
2
eiz ie iz
eiz ie iz
sin z .
2i
2i
e iz
2
Последнее равенство получено с учетом равенств
(2.13).
ЛЕКЦИЯ 19
5. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
5.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ТЕОРЕМА ИНТЕГРАЛА
ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Рис.5.1
Определение. Пусть на плоскости z задана дуга C, в каждой точке которой
существует касательная, причем направление касательной изменяется
непрерывно при ее движении по кривой. Такие кривые называются гладкими.
Граничные точки кривой обозначим z0 и z . Тогда точка z0 будет начальной
точкой кривой, а z – конечной (в случае, если z z0 , кривая замкнута). Как
правило, положительное направление движения по кривой обозначается
стрелкой (рис.5.1).
Пусть на кривой C задана функция w f z , непрерывная во всех точках
кривой. Разобьем кривую C на n дуг точками z0 , z1 , z2 , , zn z , тогда zi zi zi 1 ,
где i 1, , n (геометрически комплексное число zi соответствует вектору,
соединяющему точки zi 1 и zi , а zi – длине этого вектора). На каждой из этих
дуг выберем точку i и составим сумму вида
n
f z
i 1
i
i
f 2 z1
f 1 z1
f n zn .
154
Предел этой суммы при
f z
и
n
max zi 0
i
называется интегралом от функции
по дуге C и обозначается так:
n
f
f z dz lim
n
max zi 0
C
i
i 1
zi
.
(5.1)
Из определения (5.1) непосредственно следуют свойства интеграла:
1) f1 z f 2 z dx f1 z dz f 2 z dz ;
C
C
C
2) kf z dz k f z dz , где k – комплексная постоянная;
C
C
3) f z dz f z dz (геометрически дуга
C
совпадает с дугой C, но имеет
C
C
противоположное направление);
4) f z dz f z dz f z dz (дуга C состоит из дуг C1 и C2);
C
C1
C2
f z 1
5) dz z z0 , так как при
в правой части формулы (5.1) будет стоять
C
выражение вида z1 z0 z2 z1
f z M
6) если
при
zn zn1 zn z0 z z0 ;
z C ,
а длина дуги C равна
,
то f z dz
M .
C
Действительно, имеем
n
f k zk
k 1
w
n
n
k 1
k 1
f k zk M zk M .
Вычисление интеграла от комплексной функции. Пусть задано
f z u iv , где u u x, y ; v vx, y . Тогда имеем
f z dz lim
n
C
n
k 1
z x iy ;
n
f k zk lim u k , k iv k , k xk iyk
n
k 1
u x, y dx iux, y dy ivx, y dx vx, y dy
C
u x, y dx v x, y dy i v x, y dx u x, y dy .
C
(5.2)
C
Формула (5.2) показывает, что вычисление интеграла от комплексной функции
сводится к вычислению двух криволинейных интегралов II рода от
вещественных функций u x, y и vx, y .
Если дуга C задана параметрическими уравнениями x xt , y yt , где t0 и
T соответствуют точкам z0 z t0 и z z T , то так как dx xt dt , dy yt dt ,
криволинейные интегралы в формуле (5.2) примут вид
u x, y dx vx, y dy i vx, y dx u x, y dy
C
C
T
T
t0
t0
u t x t v t y t dt i v t xt ut yt dt
T
u t xt vt yt ivt x t iut yt dt .
t0
155
Учитывая, что zt xt iyt и
f z zt u t x t iu t y t iv t x t v t y t ,
получим формулу для вычисления интеграла от комплексной функции w f z по
кривой C, заданной параметрическим уравнением z z t xt iyt , t t0 , :
C
T
f z dz f [ z t ]z t dt .
(5.3)
t0
Пример 5.1. Вычислить Re zdz по кривой C при следующих условиях:
C
1) С – отрезок, соединяющий точку 0 с точкой 1 i ; 2) C – ломаная,
последовательно соединяющая точки 0, 1 и 1 i .
Решение. 1. Пусть z0 0 ; z 1 i . Уравнение отрезка, соединяющего точки z0
и z, имеет вид y x или в параметрической форме x t , y t , 0 t 1 . Тогда
параметрические уравнения отрезка C:
z t it t 1 i ;
zt 1 i const .
Окончательно
1
1
t2
2
Re zdz xdz t 1 i dt 1 i tdt 1 i
C
C
0
0
1
0
1
1 i .
2
2. Разобьем ломаную на два отрезка. Тогда C C1 C2 , где отрезок C1
соединяет точку z0 0 с точкой z 1 , а отрезок C2 соединяет точку z0 1 с точкой
z 1 i . Параметрические уравнения C1 имеют вид x t , y 0 . Соответственно z t ,
Параметрические уравнения C2 имеют вид x 1, y t .
0 t 1;
z 1 .
Соответственно z 1 it , 0 t 1 ; z 1 . Таким образом,
1
1
Re zdz xdz xdz tdt idt
C
C1
C2
0
0
t2
2
1
0
it
1
0
1
i.
2
Пример 5.2. Вычислить z dz , где кривая C – полуокружность радиусом 1 с
c
центром в начале координат, лежащая в верхней полуплоскости (точка z0 1
является начальной, а точка z 1 – конечной).
Решение. Параметрические уравнения полуокружности C имеют вид
x cos t , y sin t или z cos t i sin t , причем интегрирование идет от t0 до T 0 .
Имеем zt sin t i cos t ; z t cos2 t sin 2 t 1 . Таким образом, согласно формуле
(5.3),
C
0
z dz sin t i cos t dt cos t i sin t
0
1 1 2 .
Теорема Коши. Если функция w f z аналитична в односвязной области
G, ограниченной замкнутым контуром C, а также во всех точках этого контура,
то имеет место
f z dz 0 .
(5.4)
C
Напомним, что область G называется односвязной, если она ограничена одной
гладкой или кусочно-гладкой кривой.
Докажем теорему для случая, когда функция f z имеет непрерывную
производную. По формуле (5.2)
156
a
C3
б
G
C2
4
f z dz u x, y dx v x, y dy i v x
G
3
C
C2
C
.
2
C3
C
Так
как
–
f z
аналитическая функция,
C
то для нее выполняются
условия Коши – Римана
(3.4). В этом случае
интегралы u x, y dx v x, y dy и v x, y dx u x, y dy не зависят от пути
C
C
Рис.5.2
интегрирования и равны нулю при интегрированию по замкнутому контуру, т.е.
f z dz 0 .
C1
G
C0
1
C1
0
C
Теорема Коши для многосвязной области. Область называется
многосвязной, если она ограничена несколькими непересекающимися линиями
C0 , C1 , , Cn (рис.5.2, а). Пусть область G ограничена внешним контуром C0 и
внутренними контурами C1 , C2 , , Cn , и функция f z является аналитической как в
области G, так и на всех контурах C0 , Cn ; пусть также f z dz k 0, 1, , n
Ck
обозначает интеграл по контуру Ck , обходимому против часовой стрелки.
Соединим контуры C0 , C1 , , Cn дугами 1 , 2 , , n 1 , как показано на
рис.5.2, б, разбив таким образом область G на две односвязные области G и G .
Контуры, ограничивающие эти области, обозначим соответственно и . Так
как функция f z является аналитической в односвязных областях G и G и на их
границах,
то по теореме Коши (5.4) имеем f z dz 0 ,
f z dz 0 и
следовательно,
f z dz f z dz 0 .
(5.5)
При обходе контуров и за положительное направление считаем то, при
котором область останется слева. Тогда
f z dz f z dz
f z dz f z dz f z dz
C0
C1
C2
f z dz .
(5.6)
Cn
Каждый из интегралов по контурам 1 , 2 , , n 1 вычисляется дважды в
противоположных направлениях, поэтому они взаимно уничтожаются.
Из (5.5) и (5.6) получим равенство, называемое теоремой Коши для
многосвязной области,
f z dz f z dz f z dz f z dz ,
C0
C1
где C0 – внешняя граница области G;
подобластей.
157
C2
C1 , C2 , , Cn
(5.7)
Cn
– границы внутренних
и
C1
В частности, для двусвязной области с границами
(рис.5.3) при n 1 получим
G
C1
f z dz f z dz .
C0
C0
(5.8)
C1
C0
Направление обхода контуров на рис.5.3 указано
стрелками.
Формула Ньютона – Лейбница. Если функция f z аналитична в области G,
то интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему внутри этой области, по
теореме Коши равен нулю. Тогда интеграл по любой дуге, находящейся внутри
области G, зависит только от положения начальной и конечной точекРис.5.3
этой дуги, а
значит, одинаков для всех дуг, имеющих общую начальную и общие конечные
точки. Действительно, если дуги C1 и C2 из области G начинаются в точке z0 и
заканчиваются в точке z (рис.5.4), то f z dz f z dz 0 , так как равен интегралу
C1
C2
по замкнутому контуру C, образованному дугой C1 от точки z0 к точке z в
направлении, указанном стрелкой на рис.5.4, и дугой C2 в противоположном
направлении. Отсюда
f z dz f z dz .
C1
C2
Покажем, что если f z аналитична в односвязной области G, содержащей
точки
z0
и Z ( z0 const ),
то в области G функция
F Z
Z
f z dz
является
z0
аналитической и
dF Z
f Z .
dZ
Пусть f z u iv , где u u x, y , v vx, y , z x iy . Обозначив
получим с помощью формулы (5.2) равенство вида
F Z
Z
f z
z0 x0 iy0 ,
Z X iY
dz U X , Y iV X , Y ,
z0
где
U X ,Y
X ,Y
udx vdy ;
x0 , y 0
V X ,Y
X ,Y
vdx udy .
x0 , y 0
Из свойства криволинейных интегралов, не зависящих от
пути интегрирования, следует, что
dU X , Y u X , Y dX v X , Y dY ;
z
C2
dV X , Y v X , Y dX u X , Y dY ,
G
тогда
U
U
v X , Y ;
u X , Y ;
Y
X
V
v X , Y ;
X
Соответственно
158
V
u X , Y .
Y
z0
C1
,
U V
X Y
U
V
Y
X
и
.
Из последних равенств следует, что для функции F Z выполнены условия Коши
– Римана (3.4), а значит функция F Z является аналитической в области G. В
соответствии с формулой (3.2)
F Z
U
V
i
u X , Y iv X , Y f Z ,
X
X
что и требовалось доказать.
Если две функции F1 z и F2 z имеют в некоторой области одинаковые
производные F1z F2z , то разность между функциями постоянна.
Действительно, пусть z F1 z F2 z . Тогда z F1z F2z 0 , откуда с учетом
вида функции z u x, y iv x, y получим
z
u
v
i
0
x
x
u
0;
x
v
0.
x
В силу условий Коши – Римана (3.4)
u
v
0;
y
x
v u
0
y x
u x, y const; v x, y const x, y const .
Пусть теперь
которой
Z f Z ,
Z
где
– любая функция комплексного переменного, для
f Z
– аналитическая функция. Если
F Z
Z
f z dz , то
z0
F Z f Z
и, следовательно,
F Z Z C ,
где C – комплексная константа.
Тогда
Z
f z dz Z C .
z0
Положив в этом равенстве
Z z0 ,
z0
получим f z dz z0 C 0 , откуда
C z 0
и
z0
окончательно
Z
Z
z0
0
f z dz Z z0 z z .
Эта формула совпадает с формулой Ньютона – Лейбница для интеграла от
функции вещественного переменного.
Интеграл от функции f z 1/( z a)n . Вычислим по замкнутому контуру C
интеграл вида
dz
n
z a
C
159
.
(5.9)
Если n является целым
неположительным
числом
n 0 , то для m n (m –
целое,
неотрицательное
число)
функция
f z
a
a
C1
1/( z a) n z a будет
C
m
аналитической,
и
тогда
интеграл (5.9) равен нулю по
C
теореме Коши (5.4).
Если n – целое положительное число и точка a
лежит вне контура C, то внутри контура
выражение
Рис.5.5
z a 0 и подынтегральная функция является аналитической внутри контура C и
на самом контуре, т.е. интеграл (5.9) также равен рулю.
Предположим далее, что контур C обходит точку a один раз и направление
обхода выбрано
слева. Выберем внутри контура C
Рис.5.6 так, чтобы точка a оставалась
n
еще один контур C1 . Функция f z 1/( z a) будет аналитичной в этой двусвязной
области (рис.5.5) и, следовательно, для нее справедлива теорема Коши (5.8):
dz
n
z a
C
dz
n
z a
.
C1
В силу произвольности контура C1 получим, что интеграл (5.9) не зависит от
вида контура C, хотя может быть и отличным от нуля. Поэтому в качестве
контура C можно взять, например, окружность радиусом R с центром в точке a.
Параметрические уравнения этой окружности имеют вид x x0 R cos ,
y y0 R sin , где a x0 iy0 , 0 2 . Тогда
z a Rcos i sin Rei , dz Riei d .
На основании формулы (5.3) получим
2
dz
z a
n
0
2
Riei d
i
i 1 n
n 1 e d .
n in
R e
R 0
C
При
n 1
имеем
C
dz
z a
n
i
R n 1
1
i 1 n
e
i 1 n
2
0
0,
так как в силу периодичности функции ei (см. формулу 2.3)
При
e
2 i 1 n
e0 1 .
n 1
2
2
dz
i
d i 0 2i .
za
0
C
Если контур C обходит точку a в положительном направлении k раз (на
рис.5.6 k 2 ), то из этой формулы следует
160
dz 2ki ,
za
C
если же контур C обходит точку a k раз в отрицательном направлении, то
dz 2ki .
za
C
Таким образом, при n 1 интегралы вида (5.9) равны нулю для любого замкнутого
контура C.
Интегральная формула Коши. Предположим, что функция f является
аналитической в односвязной области G плоскости и на контуре ,
ограничивающем эту область. Пусть z – любая точка области G (рис.5.7).
Опишем вокруг точки z окружность радиусом так, чтобы она целиком
лежала в G. В силу равенств (5.8) имеем
f d
z
+
z
G
f d
z
f f ( z)
z
Г
f z
z
d
d 2if
( z )
f f ( z)
z
d .
(5.10)
Функция
является аналитической, и,
f
следовательно, непрерывной в области G, т.е. для 0
можно найти такое достаточно малое число 0 , что из
условия z получим
f f z .
(5.11)
Так как уравнение окружности радиусом с центром в точке z имеет вид
то для непрерывной функции f для 0 всегда можно найти
z ,Рис.5.7
окружность с таким радиусом , для всех точек которой будет выполняться
условие (5.11). С учетом свойств интегралов и при выполнении условия (5.11)
имеем
f f z
z
d
2 2 .
(5.12)
Так как неравенство (5.12) справедливо для любого сколь угодно малого
соответственно, сколь угодно малого ), оно означает, что
f f z
z
lim
0
(и,
d 0 .
Тогда, переходя к пределу в (5.10) и учитывая, что от зависит только последнее
слагаемое в правой части (5.10), получим
f z
1 f d
2i z
161
.
(5.13)
Эта формула называется интегральной формулой Коши, а
величина, стоящая в правой части формулы – интегралом
Коши.
Замечание. Если точка z лежит вне контура , то
интеграл Коши равен нулю, так как в этом случае
подынтегральная функция является аналитической в
области G.
Пример 5.3. Вычислить
e z dz
z z 2i
,
где
C
y
z
z
2
3
C1
1
0
х
–
–1
C
–1
C
окружность
радиусом 2
с
z0 –2
центром в точке (0, 3).
–3
Решение. Заменив формально в интеграле букву z
буквой , получим
2
y
z
3
2
0
z
C
х
1
f d
e d
z z
C
,
Рис.5.9
C
где f e / . Последняя функция аналитична внутри
области, ограниченной контуром C (рис.5.8). Точка
z 2i
принадлежит
этой
области.
Применяя
интегральную формулу Коши (5.13), получим
e z dz
e 2i
2
if
2
i
2
i
z z 2i
2i
C
Рис.5.8
e2i cos 2 i sin 2 .
Пример 5.4. Вычислить
2
z dz
z 2i
при следующих условиях: 1)
C C1
–
C
C
окружность радиусом 3 с центром в начале координат; 2) C C2 – окружность
радиусом 2 с центром в точке z0 1 i .
Решение. 1. Так как точка z 2i лежит внутри окружности C1 (рис.5.9), а
функция f z z 2 является аналитической внутри этой области, то по
интегральной формуле Коши (5.13) имеем
2
z dz 2if 2i 2i 2i 2 8i
.
z 2i
C1
2. Так как точка z 2i лежит вне окружности C2
(рис.5.9)
и
внутри
области,
ограниченной
окружностью
С1,
подынтегральная
функция
является аналитической, то по теореме Коши (5.4)
y
z
3
х
0
–2
2
z dz 0
.
z 2i
z
C2
162
–3
Пример 5.5. Вычислить
dz ,
2
z 9
где C – окружность радиусом 2 с центром
C
в точке z 2i .
Решение. Имеем z 9 z 9 z 2 3i 2 z 3i z 3i . Тогда функция
является аналитической внутри области, ограниченной
f z 1/( z 3i )
окружностью C (рис.5.10), так как точка 3i лежит вне этой окружности. Точка
z 3i лежит внутри рассматриваемой области, поэтому согласно интегральной
формуле Коши (5.13) получим
2
2
dz
f z dz
dz
2if 3i .
2
z 9 z 3i z 3i z 3i
3
C
C
C
ЛЕКЦИЯ 20
5.2. ПРОИЗВОДНАЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Пусть f z является аналитической функцией на замкнутом контуре C и в
ограниченной этим контуром области G и точки z и z h принадлежат G. Тогда
f z
1 f d
2i z
f z h
,
1 f d
,
2i z h
C
C
откуда
f z h f z
1 f
f
d
h
2ih z h
z
C
1
f d
.
2i z h z
C
При h 0 с учетом возможности перехода к пределу под знаком интеграла, а
также формулы для определения производной получим
lim
h 0
f z h f z
f z
h
и
f z
1 f d
.
2
2i
z
(5.14)
C
Согласно методу математической индукции
f n z
n! f d
n 1
2i
z
C
163
,
n 0, 1, 2, .
(5.15)
cos zdz
,
3
z i
Пример 5.6. Вычислить интеграл
где C – замкнутый контур,
C
обходящий точку z i .
Решение. Воспользуемся формулой (5.15), где
cos zdz
z i
3
C
f d
i
Тогда
2i
2i
f i
cos i i ch1 .
2!
2
3
n 2 , z i , f cos .
C
dz
2
2
z 9
Пример 5.7. Вычислить
C
, где C – окружность радиусом 2 с
центром в точке z 2i .
Решение. Имеем
z
1
2
9
2
1
z 3i z 3i 2
2
,
где из двух точек 3i и 3i внутри контура C будет лежать только точка z 3i .
Тогда функция f z 1/ z 3i 2 будет аналитической в рассматриваемой области и
по формуле (5.14) получим
dz
f z dz
2if 3i ,
2
z 3i 2 z 3i 2
(
z
3
i
)
C
C
где f z 1/ z 3i 2 ;
f z 2 / z 3i
3
f 3i 1/(108i ) .
;
Окончательно
dz
1
2i
.
2
2
108i 54
z 9
C
Пример 5.8. Вычислить
dz
3
3
z 1 z 1
, где C – окружность радиусом
R2
с
C
центром в точке z 1 .
Решение. Внутри области, ограниченной контуром C, будет лежать точка
1
будет
z0 1 , а вне этой области точка z1 1 . Тогда функция f z
z 13
аналитической в рассматриваемой области. Применяя формулу (5.15) при n 2 ,
получим
y
dz
f z dz 2i
f 1 ,
3
3
3
z 3 z 1
2!
z 1
C
z
C
2
где
1
C2
C1
–2
–1
C
0
f z 3/ z 1
;
f z 12 / z 1
5
;
f 1 12 / 25 3/ 8 .
dz
2i 3 3i
.
3
3
2! 8
8
z 1 z 1
Тогда
1
4
х
C
Пример 5.9. Вычислить
cos iz dz ,
2
z 3z 2
C
164
где контур C:
z 1
3
.
2
Решение. Так как z 3z 2 z 2 z 1 , то воспользуемся теоремой Коши
(5.7) для многосвязной области (рис.5.11), внутри которой заданная
подынтегральная функция будет аналитической:
2
cos iz dz cos iz dz cos iz dz ,
2
2
z 2 3z 2
z 3z 2
z 3z 2
C
C2
где
C1 : z 1 0,1 ; C2 : z 2 0,1
C1
(радиусы окружностей C1 и C2 выбираются настолько малыми, чтобы области,
ограниченные ими, целиком принадлежали области G и не имели общих точек).
cos iz
cos iz
f z dz
Итак,
является
dz
2if 1 , где f z
z 1
z2
z 2z 1
C1
аналитической функцией внутри контура C1 ; точка z0 1 лежит внутри C1 .
cos i
cos iz
Вычислив f 1 ch1 и 2 cos iz dz 2i ch1 и приняв
,
f z
1 2
C1
z 1
z 3z 2
получим
cos iz
f z dz
cos 2i
dz
2if 2 2i
2ich 2 .
z 2 z 1
z
2
1
C2
C2
Окончательно
cos iz dz 2i ch 1 2i ch 2 2i ch 1 ch 2 .
2
z 2z 2
C
6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
РЯД ТЕЙЛОРА. НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрим однозначную функцию f z , аналитическую внутри круга G,
ограниченного окружностью C с центром в точке z a (рис.6.3). Разложим
эту функцию в ряд вида (6.10). Пусть z – любая точка внутри круга G.
Проведем внутри круга G окружность C с центром в точке a так, чтобы точка
z оказалась внутри этой окружности. Тогда, если точка C , то в соответствии
1 f d
с интегральной формулой Коши (5.13) имеем
.
(6.11)
f z
2i z
C
Преобразуем один из множителей подынтегрального выражения (6.11) по
формуле:
1
1
z a z a
Величина
za
1
a
1
.
za
a 1
a
(6.12)
C
при любом значении
C ,
так как
точка z находится внутри круга, ограниченного
окружностью C и z a a . Следовательно,
za
q,
a
165
| – a|
C
a
|z – a|
z
где
0 q 1.
Рассмотрим геометрический ряд вида
qk
1 q q 2 q 4
k 0
1
,
1 q
т.е. имеем сходящийся ряд
2
4
za
za
1
a a
za
a
,
который является мажорирующим для ряда
2
1
n
za
za za
1
za
a a
a
1
a
,
(6.13)
сходящегося во всякой точке z внутри окружности C , причем последний
сходится правильно.
Следовательно, подынтегральную функцию в формуле (6.11) с помощью
формул (6.12) и (6.13) можно представить в виде суммы ряда, правильно
сходящегося в области, ограниченной окружностью C :
z a n f
f f z a f
z a
a 2
a n 1
и провести его почленное интегрирование по окружности C с учетом формул
(6.11), которое приведет к разложению функции f z в степенной ряд вида
f z
1 f d z a
2i a
2i
C
C
f d
a
2
z a
2i
n
C
f d
a
n 1
.
(6.14)
В формуле (6.14) множители вида z a n выносятся за знак интеграла, так
как не зависят от переменной .
Таким образом, в любой точке z, находящейся внутри круга G, функция
f z представима в виде суммы степенного ряда вида
f z C0 C1 z a C2 z a Cn z a ,
2
n
коэффициенты которого вычисляются по формулам
Cn
1 f d
n 1
2i
a
n 0, 1, 2, ,
(6.15)
C
где C – любая окружность с центром в точке z a , лежащей внутри круга G, или
любой простой замкнутый контур, однократно обходящий точку a в
положительном направлении и целиком лежащий в области G. В силу теоремы
Коши (см. раздел 5.1) величина интеграла (6.15) не зависит от выбора контура
C . Полученный ряд и называется рядом Тейлора.
Пользуясь интегральной формулой Коши (5.13) и формулой (5.15), можно
получить следующее представление для коэффициентов ряда (6.15):
166
C0
1 f d
f n a
1 f d
C
;
f
a
n
n
1
2i
n!
2i
a
a
C
C
n 1, 2, 3, .
Тогда разложение функции f z в степенной ряд примет вид
f z f a
n
f a
z a f a z a 2 f a z a n .
1!
2!
n!
(6.16)
Из формулы (6.16) легко получить известные разложения элементарных
функций:
ln1 z z
arctg z z
;
2 n 1
z3 z5
n 1 z
;
1
3
5
2n 1
n 1
ez 1
sin z z
n
z 2 z3
n 1 z
1
2
3
n
n 1
z
z2
1! 2 !
zn
;
n0 n !
2 n 1
z3 z5
n 1 z
;
1
2n 1 !
3! 5!
n 1
cos z 1
2n
z2 z4
n z
.
1
2n !
2! 4!
n0
Последние три равенства, рассматриваемые ранее как определение функций e ,
cos z и sin z комплексного переменного, будут использоваться для разложения
этих функций в ряды Тейлора.
z
f z cos
Пример 6.4. Разложить функцию
z2
2
в ряд в окрестности точки
z 0.
Решение. Имеем
z4
z8
cos z / 2 1 2
4
2 2 ! 2 4 !
2
1 z 4 n
2n
.
2 2n !
n
В качестве точки a в формуле (6.16) можно взять любую точку, в которой
функция f z аналитична. Тогда разложение (6.16) называется разложением
функции f z в окрестности точки a.
Если f a 0 , то точка a называется нулем функции f z . В этом случае
разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки a примет вид
f z C1 z a C2 z a Cn z a ,
2
n
так как C0 f a 0 .
Если в разложении функции f z в ряд Тейлора в окрестности точки
коэффициенты C0 C1 Cn 1 0 , а Cn 0 , то разложение имеет вид
f z Cn z a Cn 1 z a
n
167
n 1
.
za
(6.17)
Тогда точка a называется нулем функции f z порядка n (или кратности n). Если
при этом n 1 , то нуль функции называется простым. Из формулы (6.16) следует,
что если точка a является нулем n-го порядка, то
f a f a f n 1 a 0
и
f n a 0
и разложение (6.17) примет вид
n
2
f ( z ) z a Cn Cn 1 z a Cn 2 z a
z a n z ,
где z Cn Cn 1 z a Cn 2 z a 2 – сумма степенного ряда, имеющего,
очевидно, тот же круг сходимости, что и f z . Для функции z точка a уже не
является нулем, так как a Cn 0 .
Пример 6.5. Определить нули функции f z z 2 4 3 e z .
Решение. Имеем
f z z 2 z 2 ez ,
3
3
f z 0 z 2 .
z
Полагая z z 2 e z , получим f z z 2 z , причем
3
2 2 2 e 2 64e 2 0 и точка z 2 является нулем 3-го
порядка для f z . Полагая затем z z 2 3 e z , получим
3
3
f z z 2 z , где 2 2 2 e 2 64e 2 0 . Значит,
точка z 2 также является нулем 3-го порядка для
заданной функции.
3
3
С'
a
Г'
С ''
Г ''
Рис.10.1
ЛЕКЦИЯ 21
7. РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ
7.1. РЯД ЛОРАНА
Пусть функция f z является однозначной и аналитической внутри кольца,
образованного окружностями C и C с центром в точке z a (рис.7.1). И пусть z –
произвольная точка внутри этого кольца. Проведем окружности и с
центром в точке a так, чтобы они находились внутри того же кольца и точка z
оказалась между ними. Проведем окружность с центром в точке z так, чтобы
она лежала между и . Пользуясь теоремой Коши для составного контура
(5.7), запишем
1 f d
1 f d
1 f d
2i z
2i z
2i z
Но, в силу интегральной формулы Коши,
1 f d
f z .
2i z
Следовательно, справедлива формула вида
168
.
f z
1 f d
1 f d
2i z
2i z
Если точка
,
то
1
z
a za
(7.1)
и
1
a 1 z a
a
.
2
z a n .
1 z a z a
1
a a a 2
a n
Ряд в правой части этого равенства на окружности сходится правильно (см.
раздел 6.2); умножив его почленно на f d и проинтегрировав, получим
1 f d 1 f d z a z a f d
2i z
2i a
2i
2i a 2
f d
a
n 1
( z a) n
2i
C0 C1 z a C2 z a
Cn z a
,
1 f d
, n 0, 1, 2,
2i a n 1
.
2
n
где
Cn
(7.2)
Если же точка
,
то
правильно сходящегося на
,
za a
и
1
za
поэтому для получения ряда,
преобразуем 1/( z ) иначе:
1
1
z a z a
a
1,
za
1
a
z a 1
za
a a 2
a n .
1
2
z a n
z a z a
Тогда для второго интеграла в правой части равенства (7.1) получим
1 f d
1
1
1
1
a f d
f d
2
2i z
z a 2i
z a 2i
1
1
a 2 f d 1 n 1 a n 1 f d
3
z a 2i
z a 2i
C1
C 2
C n
,
2
z a z a
z a n
где
C n
1
n 1
f a d , n 1, 2, 3,
2i
.
(7.3)
В силу теоремы Коши вместо и можно взять любую окружность ,
лежащую в кольце между C и C и имеющую центр в точке a. Заметим также,
что подынтегральное выражение в правой части равенства (7.2) при замене n на –
n переходит в подынтегральное выражение в правой части (7.3). Поэтому из (7.1)
следует разложение функции f z , сходящееся в любой точке внутри кольца
(между окружностями C и C ):
169
f z C0 C1 z a C2 z a Cn z a
2
где
Cn
n
C1
C 2
C n
n
Cn z a ,
2
n
z a z a
z a
n
1 f d
, n 0, 1, 2,
2i a n 1
(7.4)
;
– любая окружность с центром в точке z a , расположенная в
рассматриваемом кольце. Полученное разложение и называется рядом Лорана.
Пример 7.1. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции
1
при a 0 .
f z
z 1z 2
Решение. Функция f z имеет две особые точки: z 2 и z 1 . Следовательно,
имеется три круговых кольца с центром в точке z 0 , в каждом из которых
функция аналитична (рис.7.2): круг ( z 1 ), кольцо ( 1 z 2 ) и внешность круга
( z 2 ). Функцию f z можно представить в виде суммы двух элементарных
дробей:
f z
1
z 1z 2
1
1
.
z 2 z 1
Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана в каждом круговом кольце:
1. Круг ( z 1 ). Так как
1
1
1
z2
2 1 z
2
(здесь
z / 2 1 ),
1
то функция
1
z
2
является суммой бесконечно убывающей
геометрической прогрессии и раскладывается в ряд вида
1
1
z
2
1
z z2
zn
2 n .
2 2
2
Тогда
1
1 z
z2
zn
2 3 n 1 .
z2
2 2
2
2
(7.5)
Аналогично
у
z
0
1
2
x
1
1
1 z z2 zn ,
z 1 1 z
причем данный ряд сходится, так как
ряды (7.5) и (7.6), получим
1
z 1z 2
z 1.
(7.6)
Складывая
1
1
1
1
1 2 z 1 3 z 2 1 n 1 z n .
2
2
2
2
Таким образом,
170
Cn 1
1
, n 0, 1, 2,
2n 1
; C n 0, n 1, 2,
.
Найденное разложение заданной функции является
рядом Тейлора.
2. Кольцо ( 1 z 2 ). Так как в этом кольце z / 2 1 ,
то ряд (7.5) остается сходящимся, но ряд (7.6)
расходится, так как z 1 . Заменим разложение (7.6) на
разложение вида
у
z
1
1 1
1 1 1
1
1 2 n
z 1
z 1 1
z z z
z
z
Здесь полученный ряд сходится, так как
(7.7), запишем
1
z 1z 2
0
1 1
1
1
n 1
z z 2 z3
z
1/ z 1
при
.
1
2
x
(7.7)
Рис.10.3
Сложив
ряды (7.5) и
1 z 2 .
1
z
z2
zn
1 1
1
3 3 n 1 2 n ,
2 2
z z
2
2
z
т.е.
Cn
1
, n 0, 1, 2, ; C n 1, n 1, 2, 3,
2n 1
.
3. Внешность круга ( z 2 ). Ряд (7.7) остается сходящимся, так как 1/ z 1
при z 2 , но ряд (7.5) теперь расходится, так как z / 2 1 . Заменим этот ряд
рядом
1
1 1
1 2 22
2n
1 2 n
z 2 z 1 2 z z z
z
z
Этот ряд сходится, так как
получим
1
z 1z 2
2/ z 1
при
1 2 22
2n
2 3 n 1
z z
z
z
z 2.
.
(7.8)
Складывая ряды (7.7) и (7.8),
1 2 2 1 23 1
2n 1 1
,
z2
z3
z4
zn
т.е.
Cn 0, n 0, 1, 2, ; C n 2n 1 1, n 1, 2, 3, .
Пример 7.2. Разложить функцию f z
1
z 1z 2
в ряд Лорана в различных
областях, выбрав a 1 .
Решение. В данном случае построим два кольца, в каждом из которых
функция будет аналитической (рис.7.3): круг без центра ( 0 z 1 1 )
171
и внешность круга ( z 1 1 ).
Разложив функцию в ряд Лорана в круге
( 0 z 1 1 ), получим (см. пример 10.1)
f z
1
z 1z 2
1
1
.
z 2 z 1
Далее имеем
1
1
2
n
1 z 1 z 1 z 1 ,
z2
1 z 1
причем ряд в правой части сходится, так как
Следовательно,
f z
z 1 1.
1
2
n
1 z 1 z 1 z 1 ,
z 1
т.е справедливы формулы вида
Cn 1 , n 0, 1, 2, ;
C1 1 ; Cn 0 , n 2, 3, 4,
Разложим функцию в области
z 1 1.
.
В этой области
1
1
1
1
z 2 z 1 1 z 1 1 1
z 1
1
1
1
1
1
2
n
z 1 z 1 z 1
z 1
1
1
1
,
z 1 z 12
z 1n
причем ряд в правой части равенства сходится, так как в рассматриваемой
области 1 1 .
z 1
Таким образом,
f z
1
1
1
1
1
,
2
3
z 2 z 1 z 1
z 1
z 1n
откуда коэффициенты ряда
Cn 0 , n 0, 1, 2, ;
C1 0; C n 1 , n 2, 3, 4, .
Пример 7.3. Разложить в ряд по степеням z функцию
f z
1
z 12
в круге
z 1.
Решение. При z 1 дробь 1/( z 1) является
геометрической прогрессии со знаменателем q z 1 :
172
суммой
сходящейся
1
1 z z2 zn zn .
z 1
n0
Продифференцировав обе части этого равенства по z, получим
1
1 2 z 3z 2 nz n 1 nz n 1 .
2
z 1
n 1
В силу единственности разложения это выражение и будет рядом для заданной
функции
1
1 2 z 3z 2 nz n 1 ,
2
z 1
соответственно
Cn n 1,
n 0, 1, 2, ;
C n 0, n 1, 2, 3, .
7.2. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Особая точка z a функции f z называется изолированной, если в
некоторой окрестности этой точки функция f z не имеет других особых точек,
т.е. в некоторой окрестности точки z a функция аналитична всюду, кроме
самой точки a.
Разложение функции в ряд Лорана в круге с центром в изолированной
особой точке z a , сходящейся во всех точках круга, кроме точки a (т.е. в кольце
0 z a r ), будем называть разложением функции в ряд Лорана в окрестности
данной особой точки. В частности, такое разложение было получено в
примере 10.2 для круга 0 z 1 1 .
Будем называть ряд
C0 C1 z a C2 z a Cn z a
2
n
правильной частью, а ряд
C1
C 2
C n
z a z a 2
z a n
главной частью ряда Лорана.
Пусть функция f z ограничена в некоторой окрестности точки z a , т.е.
существует такое число M 0 , что f z M во всех точках этой окрестности.
Обозначив – радиус окружности в формулах для вычисления коэффициентов
ряда Лорана (7.4), получим оценку коэффициентов для ограниченной функции:
C n
1
1
n 1
f a d
Mn 1 2 Mn ,
2i
2
т.е. C n Mn . Так как в качестве можно взять окружность сколь угодно малого
радиуса 0 , то Cn 0 при n 1, 2, 3, . Таким образом, у ограниченной
функции главная часть ряда Лорана отсутствует и разложение имеет вид
f z C0 C1 z a C2 z a Cn z a ,
2
173
n
а2
…
C2
а1
ап
C1
т.е. является разложением функции в степенной ряд
Тейлора. Это разложение имеет место во всех точках
окрестности, кроме точки z a . Но правая часть этого
равенства аналитична при z a . Поэтому, если под
функцией f z понимать сумму данного ряда, можно
положить f a C0 и тогда точка z a станет правильной
точкой функции f z .
Cп
C0
ЛЕКЦИЯ 22
8. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
8. 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ВЫЧЕТАХ
Если точка z a является правильной или изолированной точкой функции
Рис.11.1
f z , то можно выбрать контур C, однократно обходящий точку a в
положительном направлении так, чтобы на контуре C и всюду внутри него, за
исключением, может быть, самой точки a, функция f z была аналитической. В
этом случае величина
1
Res f z ; a
f z dz
2i C
называется вычетом функции f z относительно точки a. Из теоремы Коши для
составного контура следует, что этот вычет не зависит от формы и размера
контура C, если этот контур удовлетворяет указанным выше требованиям.
Если a – изолированная особая точка функции f z , то первый член
главной части разложения функции в ряд Лорана см. формулу (7.4) имеет
коэффициент
C1
1
f z dz .
2i C
Тогда
Res f z ; a C1 .
Если a – правильная точка функции, то Res f z ; a C1 0 (это следует из
теоремы Коши). Если a – полюс или существенно особая точка функции, то
вычет относительно нее может отличаться от нуля, а может быть и равным нулю
(при C1 0) .
Пусть C0 – простой замкнутый контур, на котором f z аналитична, а
внутри контура f z аналитична всюду, за исключением n особых изолированных
точек a1 , a2 , , an . Окружим каждую из этих точек замкнутыми контурами
C1 , C2 , , Cn так, чтобы внутри каждой окружности оказалась только одна особая
точка (рис.8.1), и чтобы эти окружности не имели общих точек. Тогда в силу
теоремы Коши для составного контура
1
1
f z dz
f z dz
2i C0
2i C1
174
1
f z dz
2i C2
1
f z dz
2i Cn
(здесь при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки).
Таким образом, можно сформулировать основную теорему о вычетах:
величина 1 f z dz равна сумме вычетов функции f z относительно всех
2i C 0
особых точек этой функции, находящихся внутри контура
формула вида
C0 ,
т.е. справедлива
n
1
f
z
dz
Res f z ; ak .
2i C0
k 1
Вычетом функции относительно бесконечно удаленной точки называется
величина
1
Res f x ;
f z dz ,
2i C
где C – окружность с центром в начале координат столь большого радиуса, что
вне этой окружности у функции нет других особых точек, кроме точки z ,
причем эта окружность обходится по часовой стрелке (чтобы область,
содержащая бесконечно удаленную точку, оставалась слева). Тогда
Res f z ; C1 ,
где C1 – коэффициент разложения функции в ряд Лорана в окрестности
бесконечно удаленной точки.
В случае, если функция имеет конечное число особых точек a1 , a2 , an , то
вычет относительно бесконечно удаленной точки
n
1
Res f z ;
f z dz Res f z ; ak .
2i C0
k 1
8.2. ВЫЧЕТ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОСТОГО ПОЛЮСА
И ПОЛЮСА ПОРЯДКА т
Если точка z a является простым полюсом функции
окрестности этой точки функцию f z можно представить в виде
f z z
C1
,
za
где z является аналитической и непрерывной в точке
коэффициент
C1 z a f z z a z ,
и, переходя к пределу при
za,
найдем
C1 lim z a f z z a z
z a
=
lim z a f z lim z a z
z a
z a
0
175
a
f z ,
то в
(8.1)
za.
Из (8.1) получим
limz a f z 0 a limz a f z .
z a
z a
Таким образом, если a – простой полюс функции f z , то
Res f z ; a lim z a f z .
z a
f z z 2 ( z 2)
Пример 8.1. Вычислить вычет функции
(8.2)
относительно точки
z 2.
Решение. Точка z 2 является простым полюсом данной функции. Тогда
по формуле (8.2) имеем
z2
Res
;
z 2
z2
2 lim z 2
lim z 2 4 .
z 2
z 2
z
2
Пример 8.2. Вычислить вычет функции
f z 1/ sin z
относительно точки
z 0.
Решение. Для функции sin z точка z 0 является простым нулем, поэтому
для f z эта точка является простым полюсом. По формуле (8.2)
1
Res
;
sin z
1
z
0 lim z
lim
1 .
z 0
z 0 sin z
sin
z
Иногда для вычисления вычета относительно простого полюса удобно
использовать другую формулу. Предположим, что f z f1 z , где функции f1 z и
f 2 z
f 2 z аналитичны в точке a, причем для f 2 z точка a является нулем 1-го порядка,
а f1 a 0 . Тогда в соответствии с (8.2) имеем
f z
f z
f1 a
Res f z ; a lim 1
z a lim
z a f z
z a f z
f z
2
2
lim 2
z
a
za
za
Так как
получим
f 2 a 0 ,
.
то в соответствии с определением производной в точке
lim
z a
za
f 2 z
f z f 2 a
lim 2
f 2a .
z a z a
za
Тогда
f z
Res f z ; a Res 1
;
f 2 z
f a
.
a 1
f 2 a
(8.3)
Пример 8.3. Вычислить вычет функции f z ctg z относительно точки z 0 .
Решение. Имеем ctg z cos z / sin z и cos 0 0 ; для sin z точка z 0 является нулем
1-го порядка. Тогда в соответствии с формулой (8.3) получим
Res ctg z; 0
cos 0
sin z
176
z 0
cos 0
1.
cos 0
z 1 dz ,
2
z 4
Пример 8.4. Вычислить
где C – окружность
z 3,
которую
C
обходят в положительном направлении.
Решение. Так как z 2 4 z 2i z 2i , то функция f z ( z 1) /( z 2 4) имеет
внутри контура C два полюса 1-го порядка z 2i . По формуле (8.3)
z 1
Res f z ; 2i
z
Res f z ; 2i
2
z
2
z 1
2z
z 1
2z
z 2 i
z 2i
4
z 1
4
z 2 i
z 2i
1 2i
4i
;
1 2i
.
4i
Тогда согласно основной теореме о вычетах получим
1 z 1
dz Res f z ; 2i Res f z ; 2i
2i z 2 4
C
1 2i 1 2i
1,
4i
4i
откуда
z 1
dz 2i Res f z ; 2i Res f z ; 2i 2i .
z2 4
C
zdz
,
1 2 sin 2 z
Пример 8.5. Вычислить
где C – окружность радиусом 2 с
C
центром в начале координат.
Решение. Имеем f z
нули функции
z
f z
,
1
2
1 2 sin z f 2 z
где
f1 z z ;
f 2 z 1 2 sin 2 z .
Найдем
f 2 z :
1 2 sin 2 z 0 ;
sin z
2
n
z
, nZ .
2
4 2
Внутри контура C : z 2 функция f 2 z имеет два простых нуля
По теореме о вычетах получим
zdz
1 2sin 2
z1 / 4
2i Res f z ; Res f z ;
z
4
4
C
z
2i
2
1 2 sin z
z
2i
2 sin 2 z
2
1 2 sin z z
z
4
4
z
2 sin 2 z
z
4
z
2i
2
i
.
2
8 8
z
4
177
и
z2 / 4 .
Если точка z a является полюсом порядка m для функции
окрестности этой точки
f z z
C1
C2
C m
z a z a 2
z a m
f z ,
,
то в
(8.4)
где функция z аналитична и непрерывна в точке a.
Умножим последнее равенство на z a m :
z a
m
f z z a z z a
m
m 1
C1 z a
m2
C2
C m .
Продифференцировав это равенство m 1 раз, получим равенство вида
d m 1
d m 1
m
m
z a f z m 1 z a z m 1!C1 .
m 1
dz
dz
(8.5)
Для функции z a m z точка z a является нулем порядка не ниже m,
поэтому все производные этой функции до m 1 порядка включительно будут
обращаться в нуль при z a . Таким образом,
d m 1
z a m z 0 ,
z a dz m 1
lim
откуда
1
d m1
m
Res f z ; a C1
lim m1 z a f z .
z
a
m 1! dz
(8.6)
Пример 8.6. Определить вычет функции 1/( z 2 1)3 относительно точки z i .
Решение. Имеем z 3 13 z i 3 z i 3 , следовательно, точка z i является
полюсом 3-го порядка заданной функции. Из формулы (8.6) при m 3 получим
1
d2
1
3
Res f z ; i
lim 2 z i
3
3
2 ! z i dz
z i z i
1
3 1
1
1
12
lim
lim
lim
3
4
2 z i z i
2 z i z i 2 z i z i 5
1 12
6
3
i.
2 2i 5 32 i 16
178
ЛЕКЦИЯ 23
Основные типы уравнений математической физики
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №11)
Этапы,
Содержание деятельности
время
Преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Какие имеются основные типы
теме.
уравнений математической физики?
2. Как определяются коэффициенты
2. Конспектирует ответов
тригонометрического ряда?
данных вопросов.
3. Как формируются краевые условия?
2.2. Преподаватель продолжает изложение 3. Обсуждает разновидность
лекции, используя визуальных
матриц и действия над ними.
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
4. Отвечая на вопросы
уравнений математической физики в
записывает основные места.
различных областях науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
5. Записывает каждый вопрос,
излогает суть данного занятия:
запоминает определения и
а) Как формилируются граничные
приводить примеры для
условия?
каждого случая.
б) Как формилируются начальные
условия??
в) В каких областях науки и техники
применяются уравнение математической
физики?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Основными уравнениями математической физики называют (для случая
функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка.
Волновое уравнение:
2
2u
2 u
d
.
(29)
t 2
x 2
179
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных
колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в
проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение
является простейшим уравнением гиперболического типа.
Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:
2
u
2 u
a
(30)
t
x 2
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов
распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде
(например, фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые
вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим
уравнением параболического типа.
Уравнение Лапласа:
2u 2u
2 0
(31)
2
x
dy
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических
и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики,
диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением
эллиптического типа.
В уравнениях (29), (30) и (31) искомая функция u зависит от двух переменных.
Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим
числом переменных. Так, волновое
уравнение с тремя независимыми
переменными имеет вид:
2u
2 u 2 u
2
a
,
(32)
x 2 y 2
t 2
уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:
u
2 u 2 u
2
a
,
(33)
dx 2 y 2
t
уравнение Лапласа с тремя неизвестными переменными имеет вид:
2u 2u 2u
0.
(34)
x 2 y 2 z 2
Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод
уравнений электрических колебаний в проводах.
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.
Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по
касательной к её профилю. Пусть струна длины l в начальный момент напрвлена
по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в
точках х = 0 и х = l. Если струну отклонить от её первоначального положения, а
потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, предать в начальный
момент её точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать её
точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения –
180
говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в определении
закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения.
В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит
перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс
колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает величину
перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.
Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, u ), то
будем предполагать, что длина элемента струны М1М2 равняется её проекции
на ось Ох, т. е. М1М2 = х2 – х1. Также будем предполагать, что натяжение во
всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.
Рассмотрим элемент струны ММ′. На концах этого элемента, по касательным к
струне, действуют силы Т.
Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ. Тогда проекция на ось
Ou сил, действующих на элемент ММ′, будет равна T· sin (φ + ∆φ) – sin φ . Так
как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, мы будем иметь:
T sin (φ + ∆φ) – T sin φ ≈ T tg (φ + ∆φ) – T tg φ =
u x x , t u x , t
T
x
x
2 u x x , t
2 u ( x , y)
T
x T
x ,
2
2
x
x
(0 1)
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных
скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к
элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны.
Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно ∂2u / ∂t2.
Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
2u
2u
x 2 T 2 x.
t
t
Сокращая на ∆х и обозначая a2 = T/ ρ, получаем уравнение движения
2
2u
2 u
a
.
(35)
t 2
x 2
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного
определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая
функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям, указывающих,
что делается на концах струны (х = 0 и х = ℓ), и начальным условиям,
описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность
граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ℓ
неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства:
u (0, t) = 0,
(36)
181
u (ℓ, t) = 0.
(36,)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.
В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей
придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x). Таким образом, должно
быть
u (x, 0) = u |t = 0 = ƒ(x).
(37)
Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны,
которая определяется функцией φ(х):
u
t
t 0
( x ).
(101' ' )
Условия (101,) и (101, ,) являются начальными условиями.
Замечание. В частности, может быть, ƒ(x) ≡ 0 или φ(x) ≡ 0. Если же ƒ(x) ≡ 0 и
φ(x) ≡ 0, то струна будет находиться в покое, следовательно, u (x, t) ≡ 0.
Как указывалось выше, к уравнению (30) приводит и задача об электрических
колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе
характеризуется величиной ί(x, t) и напряжением υ(x, t), которые зависят от
координаты х точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода ∆х,
можем написать, что падение напряжения на элементе ∆х равно
( x , t ) ( x x , t )
x.
x
Это падение напряжения складывается из омического, равного ίR∆x, и
индуктивного , равного (∂ ί /∂ t )L∆x. Итак,
x Rx Lx,
x
t
(102)
где R и L - сопротивление и коэффициент самоиндукции, рассчитанный на
единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении,
обратном возрастанию υ. Сокращая на ∆х, получаем уравнение
R L 0.
x
t
(103)
Далее, разность токов, выходящих из элемента ∆х и выходящего из него время
∆t, будет
( x , t ) ( x x, t )
xt.
x
Она расходуется на зарядку элемента, равную C∆x (∂υ /∂t) ∆t, и на утечку через
боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную
Аυ∆х∆t (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и
сокращая на ∆x∆t, получим уравнение:
C A 0.
x
t
(104)
Уравнения (103) и (104) принято называть телеграфными уравнениями.
Из системы уравнений (103) и (104) можно получить уравнение, содержащую
только искомую функцию ί(x, t), и уравнение, содержащее только искомую
функцию υ (x, t). Продифференцируем члены уравнения (104) по х; члены
182
уравнения (103) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя
вычитание, получим:
2
2
A
CR
CL 2 0
2
x
x
x
t
Подставляя в последнее уравнение выражение (∂υ /∂х) из уравнения (103),
получим:
2
2
A R L CR
CL 2 0
2
t
x
x
t
или
2
2
CL
CR
AL
AR .
2
2
t
x
t
(105)
Аналогичным образом получается уравнение для определения υ(x, t):
2
2
CL
(
CR
AL
)
AR .
t
x 2
t 2
(106)
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А = 0) и сопротивлением (R =
0), то уравнения (105) и (106) переходят в волновые уравнения:
2 2
a
,
x 2 t 2
2 2
a
,
x 2 t 2
2
2
где обозначено: a2 = 1/CL. Исходя из физических условий, формулируются
граничные и начальные условия задачи.
183
ЛЕКЦИЯ 24
Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных
(методом Фурье)
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №12)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Где можно применять уравнение
теме.
математической физики?
2. Почему метод решения называется
2. Конспектирует ответов
методом Фурье?
данных вопросов.
3. Как формируются краевые условия для
уравнений колебания струны?
3. Обсуждает разновидность
2.2. Преподаватель продолжает изложение матриц и действия над ними.
лекции, используя визуальных
материалов.
4. Отвечая на вопросы
2.3. Указывает на приложения теории
записывает основные места.
уравнений колебания струны в различных
областях науки и техники.
5. Записывает каждый вопрос,
2.4. Используя нижеследующие вопросы
запоминает определения и
излогает суть данного занятия:
приводить примеры для
а) Как формилируются граничные условия каждого случая.
для уравнений колебания струны?
б) Как формилируются начальные условия
для уравнений колебания струны?
в) В каких областях науки и техники
применяются уравнения колебании
струны?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Метод разделения переменных (или метод Фурье) является типичным для
решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение
уравнения
2
2u
2 u
a
,
2
2
t
x
(107)
удовлетворяющее краевым условиям:
u (0, t) = 0,
(108)
184
u (ℓ, t) = 0,
u (x, 0) = ƒ(x),
u
t
t 0
(109)
(110)
( x ).
(111)
Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решения уравнения (107),
удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109), в виде произведения двух
функций X(x) и T(t), из которых первая зависит только от х, вторая только от t:
u (x, t) = X (x) T (t).
(112)
Подставляя в уравнение (107), получаем:
X (x) T′′(t) = a2 X′′(x) T(t).
Разделив члены равенства на a2 XT
T ' ' X' '
.
a 2T X
(113)
В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от х, слева –
функция, не зависящая от t. Равенство (113) возможно только в том случае, когда
левая и правая части не зависят ни от х, ни от t, т. е. равны постоянному числу.
Обозначим его через – λ, где λ > 0 ( позднее будет рассмотрен случай λ < 0).
Итак,
T' ' X' '
.
2
a T X
Из этих равенств получаем два уравнения:
X′′ + λX = 0,
T′′ + a2 λT = 0.
Общие решения этих уравнений будут:
(114)
(115)
X( x ) A cos x B sin x,
116
T( t ) C cos a t D sin a t,
(117)
где A, B, C, D – произвольные постоянные.
Подставляя выражения X(x) и T(t) в равенство (112), получим:
u(x, t ) A cos x B sin x C cos a t D sin a t .
Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия (108) и
(109). Так как T (t) тождественно неравна нулю (в противном случае u (x, t) ≡ 0,
что противоречит поставленному условию),то функция X (x) должна
удовлетворять условиям (108)
и (109), т. е. должно быть Х (0) =0, Х (ℓ) = 0. Подставляя значения х=0 и х = ℓ в
равенство (116), на основании (108) и (109) получаем:
0 = А · 1 + В · 0,
0 A cos B sin 0.
Из первого уравнения находим А = 0. Из второго следует:
B sin 0.
В ≠ 0, так как в противном случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0, что противоречит
условию. Следовательно, должно быть
185
sin 0,
откуда
n
(n 1,2,)
(118)
(мы не берем значение n = 0, так как в этом случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0). Итак,
мы получили:
X B sin
n
x.
(119)
Найденные значения λ называются собственными значениями для данной
краевой задачи. Соответствующие им функции Х (х) называются собственными
функциями.
Замечание. Если бы мы знали вместо – λ выражение + λ = k2, то уравнение (114)
приняло бы вид
Х′′- k2Х = 0.
Общее решение этого уравнения:
Х = Аekx + Be -kx .
Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным
условиям (108) и (109).
Зная λ1/2, мы пользуясь равенством (117) , можем написать:
T( t ) C cos
an
an
t D sin
t
(n 1,2,).
(120)
Для каждого значения n, следовательно, для каждого λ, выражения (119) и (120)
подставляем в равенство (112)и получаем решение уравнения (107),
удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109). Это решение обозначим un
(x, t):
u n ( x, t ) sin
n
an
an
x C n cos
t D n sin
t .
(121)
Для каждого значения n мы можем брать свои постоянные C и D и потому
пишем Cn и Dn (постоянная В включена в Cn и Dn). Так как уравнение (107)
линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому
функция, представленная рядом
u ( x, t ) u n ( x, t )
n 1
или
an
an
n
u ( x, t ) C n cos
t D n sin
t sin
x,
n 1
(122)
также будет решением дифференциального уравнения (107), которое будет
удовлетворять граничным условиям (108) и (109). Очевидно, ряд (122) будет
решением уравнения (107) только в том случае, если коэффициенты Cn и Dn
таковы, что этот ряд сходится в ряды получающиеся после двукратного
почленного дифференцирования по х и по t. Решение (122) должно еще
удовлетворять начальным условиям (110) и (111). Этого мы будем добиваться
186
путем подбора постоянных Cn и Dn.
получим :
f ( x ) C n sin
n 1
Подставляя в равенство (122)
n
x.
t = 0,
(123)
Если функция ƒ(x) такова, что в интервале (0, ℓ) ее можно разложить в ряд
Фурье, то условие (123) будет выполняться, если положить
2
n
C n f ( x ) sin xdx .
0
(124)
Далее, дифференцируем члены равенства (122) по t и подставляем t = 0. Из
условия (111) получается равенство
( x ) D n
n 1
an
n
sin
x.
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
an 2
n
Dn
( x ) sin xdx
0
2
n
Dn
(
x
)
sin
xdx .
an 0
(125)
или
Итак, мы доказали, что ряд (122), где коэффициенты Cn и Dn определены по
формулам (124) и (125), если он допускает двукратное почленное
дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением
уравнения (107) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (108) – (111).
Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим
методом, можно доказать, что ряд (122) представляет собой решение и в том
случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом
функция ƒ(x) должна быть дважды дифференцируемой, а функция φ(x) – один
раз дифференцируемой.
187
ЛЕКЦИЯ 25
Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой
задачи
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №13)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Где можно применять уравнение
теме.
распространение тепла в стержне?
2. Чем отличается уравнения колебания
2. Конспектирует ответов
струны от уравнения распространение
данных вопросов.
тепла в стержне?
3. Как формируются краевые условия для 3. Обсуждает разновидность
уравнения распространение тепла в
матриц и действия над ними.
стержне?
2.2. Преподаватель продолжает изложение 4. Отвечая на вопросы
лекции, используя визуальных
записывает основные места.
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
5. Записывает каждый вопрос,
уравнения распространение тепла в
запоминает определения и
различных областях науки и техники.
приводить примеры для
2.4. Используя нижеследующие вопросы
каждого случая.
излогает суть данного занятия:
а) Как формилируются граничные условия
для уравнения распространение тепла в
стержне?
б) Как формилируются начальные условия
для уравнения распространение тепла в
стержне?
в) В каких областях науки и техники
применяются уравнения распространение
тепла в стержне?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Рассмотрим однородный стержень длины ℓ. Будем предполагать, что боковая
поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного
сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла
в стержне.
188
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = , а
другой – с точкой х = ℓ.
Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t.
Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е.
количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу
времени, определяется формулой
q k
u
S,
x
(126)
где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент
теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и
х2 (х2 – х1 = ∆х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за
время ∆t, будет равно
Q1 k
то же самое с абсциссой х2:
Q 2 k
u
x
u
x
x x 1 St ,
xx 2
St.
(127)
(128)
Приток ∆Q1 - ∆Q2 в элемент стержня за время ∆t будет равняться:
u
Q1 Q 2 k
x
x x1
u
St k
x
xx 2
St
2u
k 2 xS t
x
(129)
Этот приток тепла за время ∆t затратился на повышение температуры элемента
стержня на величину ∆u:
Q1 Q 2 cxSu
или
Q1 Q 2 cxS
u
t ,
x
(130)
где с – теплоемкость вещества стержня, ρ – плотность вещества стержня (ρ∆xS –
масса элемента стержня).
Приравнивая выражения (129) и (130) одного и того же количества тепла ∆Q1 ∆Q2, получим:
189
2u
u
k 2 xS t cxS t
t
x
или
u k 2 u
t c x 2
или
2
u
2 u
a
,
2
t
x
k
где
a2.
c
(131)
Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в
однородном стержне.
Чтобы решение уравнения (131) было вполне определено, функция u (x, t)
должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим
условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (131) могут быть
различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой
задаче для 0 ≤ t ≤ T, следующие:
u (x, 0) = φ(x),
(132)
u (0, t) = ψ1(t),
(133)
u (ℓ, t) = ψ2(t).
(134)
Физическое условие (132) (начальное условие) соответствует тому, что при t = 0
в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (133) и
(134) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0
и при х = ℓ поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.
Доказывается, что уравнение (131) имеет единственное решение в области 0 ≤ х
≤ ℓ, 0 ≤ t ≤ T , удовлетворяющее условиям (132) – (134).
Распространение тепла в пространстве.
Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть
u(x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t.
Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку
∆s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется
формулой (аналогично формуле (126))
Q k
u
s,
n
(135)
где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы
считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по
нормали к площадке ∆s в направлении движения тепла. Таким образом, можем
записать:
u u
u
u
cos cos cos ,
n x
y
z
190
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора n, или
u
n grad u.
n
u
Подставляя выражение n в формулу (135), получаем:
∆Q = -k n grad u ∆s.
Количество тепла, протекающего за время ∆t через площадку ∆s, будет равно:
∆Q∆t = -k n grad u ∆t ∆s.
Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый
объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через
поверхность S, будет равно:
Q t k n grad u ds,
(136)
S
где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S.
Очевидно, что формула (136) дает количество тепла, поступающего в объем V
(или уходящего из объема V) за время ∆t. Количество тепла, поступившего в
объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.
Рассмотрим элементарный объем ∆υ. Пусть за время ∆t его температура
поднялась на ∆u. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это
повышение температуры элемента ∆υ, будет равно
cu c
u
t ,
t
где с – теплоемкость вещества, ρ – плотность. Общее количество тепла,
затраченное на повышение температуры в объеме V за время ∆t, будет
t c
V
u
d.
t
Но это есть тепло, поступающее в объем V за время ∆t; оно определено
формулой (136) . Таким образом, имеет место равенство
t k n grad u ds t c
S
V
Сокращая на ∆t, получаем:
k n grad u ds c
S
V
u
d.
t
u
d.
t
(137)
Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем
по формуле Остроградского (в векторной форме, где F – дивергенция векторного
поля, σ – замкнутая поверхность)
divFd Fnds,
V
полагая F = k grad u:
(k grad u) n ds div(k grad u)d.
S
V
191
Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (137), тройным
интегралом, получим:
div(k grad u)d c
V
V
u
d
t
или
u
div(k
grad
u)
c
d 0.
t
V
(138)
Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим :
u
div
(
k
grad
)
c
0,
t x x , y y ,z z
1
1
(139)
1
где P(x, y, z) – некоторая точка объема V.
Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве,
где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что
подынтегральная функция в равенстве (138) непрерывна, то равенство (139)
будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,
u
c
div (k grad u ).
(140)
t
Но
u
u
u
k grad u k k
j k
x
y
z
u u u
k k k .
x x y y z z
Подставляя в уравнение (140), получаем:
u u u u
c
k k k .
t x x y y z z
Если k – постоянное, то
2u 2u 2u
div (k grad u ) k div (grad u) k 2 2 2 ,
x
y
z
и уравнение (140) в этом случае дает:
2u 2u 2u
u
с
k 2 2 2
x
t
y
z
или, положив
2u 2u 2u
u
2
k
a 2 2 2 .
(142)
a2
x
t
y
z
c
Коротко уравнение (142) записывается так:
div (k grad u )
192
u
a 2 u,
t
u
2u
x 2
2u
y 2
2u
z 2
,
где
∆u – оператор Лапласа. Уравнение (142) и есть уравнение
теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение,
отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.
Пусть имеем тело Ω, поверхность которого σ. В этом теле рассматривается
процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана.
Это соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 – начальное
условие:
u(x, y, z, 0) = φ (x, y, z).
(143)
Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности σ
тела в любой момент времени t – граничное условие:
u (М, t) = ψ (М, t).
(144)
(Возможны и другие граничные условия.)
Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что
температура не зависит от z, то получаем уравнение:
2u 2u
u
a2 2 2
(145)
x
t
y
уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается
распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия,
аналогично (143) и (144), формулируются так:
u (x, y, 0) = φ (x, y),
u(М, t) = ψ (М, t),
где φ и ψ – заданные функции, М – точка границы С.
Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение
2
u
2 u
a
t
x 2
- уравнение распространения тепла в стержне.
ЛЕКЦИЯ 26
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №14)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
193
2-й этап
Основной
(60 мин)
3-й этап
Заключение
(10 мин)
2.1. С целью определения степени
готовности студентов проводить блиц
вопросы.
1. Где и как можно применять методы
операционного исчисления?
2. Какая функция можно называть
оргиналом?
3. Всякая ли фунция имеет изображения
Лапласа?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения
операционного исчисления в различных
областях науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Как формилируются методы прложения
операционного исчисления?
б) Как находится изображение оргинала?
в) Как находится оргинал изображения?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
Заканчивает лекцию и обращает внимание
студентов на основные задачи. Указывает
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
1. Отвечая на вопросы,
получают подробные
представление об изучаемой
теме.
2. Конспектирует ответов
данных вопросов.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
§ 1. Преобразование Лапласа
Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция f ( t ) называется
оригиналом, если выполняются следующие условия:
1) f (t ) 0 для всех отрицательных t;
2) при t f ( t ) растет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие
постоянные M > 0 и c > 0, что f (t ) Mect для всех t.
Число с называется показателем роста f ( t ) . Очевидно, что для
ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю.
Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда
1 при t 0;
H (t )
0 при t 0.
Если функция f ( t ) удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то
произведение H ( t ) f ( t ) будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом.
Для упрощения записи будем, как правило, множитель (t) опускать, считая, что
все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных
значениях t.
Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как
at
e , sin bt , cos bt , eat cos bt и т.п.
194
Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются
оригиналами и что оригиналом является функция f ( t ) t при t 0 (доказательства
следует найти самостоятельно).
Замечание. Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной
степени Pn (t ) , а также функции вида Pn (t )eat cos bt являются оригиналами.
Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется
несобственный интеграл вида
f (t )e pt dt ,
(1.1)
0
где p i – комплексный параметр.
Теорема. Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Пс:
Re p c , где с – показатель роста f (t). В самом деле, по определению оригинала
имеем f (t )e pt f (t ) et eit Me(c)t . Таким образом, интеграл (1.1)
мажорируется сходящимся интегралом Me( c )t dt M /( c) , и, следовательно,
0
сходится абсолютно в П с.
Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в
дальнейшем неравенство:
f (t )e pt dt
0
M
.
Re p c
(1.2)
Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа
f ( p)
f (t )e pt dt
(1.3)
0
представляет собой функцию параметра p, определенную в полуплоскости
Пс: Re p c . Функция f ( p) называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу)
оригинала f ( t ) . Тот факт, что f ( p) есть Лаплас-образ f ( t ) , обозначается
f ( p) f (t ) или f (t ) f ( p) .
Соотношение (1.3), устанавливающее связь между оригиналом и его
Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа следующие:
1. Теорема линейности. При любых постоянных a и b
af (t ) bg (t ) af ( p) bg ( p) .
Это утверждение вытекает из определения (1.3) и свойств интегралов.
2. Имеет место lim f ( p) 0 , что непосредственно следует из неравенства
Re p
(1.2).
3. Теорема подобия. Для любого
a0
f (at )
1
a
195
p
f .
a
Действительно, полагая
at ,
получим
f (at )
f (at )e
pt
0
1
dt
a
f
0
4. Теорема смещения. Для любого а
e f (t )
at
e
at
f (t )e
0
pt
dt
p
a
()e d
eat f (t ) f ( p a ) .
Действительно,
f (t )e ( p a )t dt f ( p a ) .
0
5. Теорема запаздывания. Для любого
определению преобразования Лапласа имеем
H (t ) f (t )
0 e p f ( p) H (t ) f (t ) .
H (t ) f (t )e pt dt
Здесь учтено, что
s t , получим
H (t ) 0
при
H (t ) f (t )
По
f (t )e pt dt .
0
t .
Выполнив в последнем интеграле замену
f ( s )e p ( s ) ds e p
0
t0
1 p
f .
a a
f ( s )e ps ds e p f ( p ) .
0
Обратное преобразование Лапласа.
Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при
оригинал f t 0 , то
f ( p)
f (t )e pt dt
i t
f (t )e dt
f (t )e t e it dt
1
i t
(t )e dt ,
2
где t 2 f t et ; σ c ; c – показатель роста f ( t ) .
Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для t .
Таким образом, Лаплас-образ функции f ( t ) является Фурье-образом функции
t . Из формулы обратного преобразования Фурье получим, что в точках
непрерывности f ( t )
2 f t e t
1
it
f i e d .
2
Отсюда
f t
i
1
1
it
f i e
d
f p e pt dp, c.
2
2i i
(1.4)
Если в точке t функция f ( t ) терпит разрыв, то значение интеграла в (1.4) равно
полусумме односторонних пределов f ( t ) в этой точке.
Формула (1.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с
помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему
изображению с точностью до значений в точках разрыва.
196
§ 2. Изображения простейших функций
Единичная функция Хевисайда.
Имеем:
H (t )
e
H (t )e pt dt
0
Так как при
pt
dt
0
Re p 0 lim e pt 0
t
1 pt
e
p
0
1
( lim e pt 1) .
p t
, то
H (t )
1
.
p
Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом
запаздывания получим
H (t ) по
теореме
1
.
p
H (t ) e p
Экспонента. По теореме смещения
eat eat H (t ) H ( p a)
1
.
pa
Гиперболические и тригонометрические функции.
В силу линейности преобразования Лапласа имеем
ebt ebt 1 1
1
p
chbt
2 2 ;
2
2 p b p b p b
shbt
ebt ebt
1 1
1
b
2 2 ;
2
2 p b p b p b
sin bt
eibt eibt 1 1
1
b
2 2 ;
2i
2i p ib p ib p b
eibt eibt
1 1
1
p
cos bt
2 2 .
2
2 p ib p ib p b
Степенная функция с натуральным показателем. Положим fn (t ) t n , где
n 0,1,2, . Тогда при n 0
f n ( p)
t e
n pt
0
При
Re p 0 lim t n1e pt 0 ,
t
e pt n
dt
t
p
0
n
p
t
n 1 pt
e
0
поэтому
fn p
n
p
t
n 1 pt
e
0
197
dt
n
f n 1 ( p ).
p
dt .
Отсюда
fn p
Так как
n n 1
n
f n 1 p
fn2 p
p
p2
f 0 p H p 1/ p ,
n n 1 n 2 1
pn
f0 p .
то
t n fn p
n!
.
p n 1
Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы
оригиналов eat cos bt, eat sin bt, eat t n .
Периодические функции. Если оригинал f (t ) является
Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу
T
f p
f t e
pt
dt
0
(2.1)
.
1 e pT
Действительно, в этом случае
f ( p)
0
Выполнив замену
k 1T
k 0
kT
f t e pt dt
f t e pt dt .
t s kT , в силу периодичности f t
T
f p f s kT e
p s kT
будем иметь
ds
k 0 0
T
T
k 0
0
0
k 0
e kpT f s e ps ds f s e ps ds e kpT
.
Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной
геометрической прогрессии со знаменателем q e pT . Так как при Re p 0
q e pT 1 , то ряд сходится, и его сумма равна 1/(1 e pT ) , откуда и следует
доказываемое утверждение.
Пример. Найти Лаплас-образ оригинала f t t
Решение. Имеем
T
0
1
f t e pt dt te pt dt
0
( t [0;1]
с периодом Т = 1).
e p 1 e p
.
p
p2
Следовательно, в силу (2.1)
f p
1 1 e p
p 2 p 1 e p
.
Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция
g t Ak , t tk , tk 1 , k 0,1, 2, , где Ak const , а числа tk образуют возрастающую
последовательность, может быть представлена в виде
g t ak H t tk , k 1,2, ,
k
198
где
a0 A0 , ak Ak Ak 1
Тогда
g p
1
ak e ptk .
p k
Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции
k
g t 1 , t k , k 1 , k 0,1,2,
Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию
вида
t при t [a, b];
q t
0 при t [a, b],
где t – функция, определенная для всех t 0.
Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем
записать
q t H t a (t ) H t b (t ) .
функции
где
c t t c ,
c [a, b) .
a (t a) H t b b t b , и по теореме запаздывания
Введем
q t H t a
Тогда
q p a p e ap b p e bp .
Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции
t 2 при t [1, 2];
q(t )
0 при t [1, 2].
Решение. Так как
a 1, b 2 ;
a t t 1 t 2 2t 1; b t t 2 t 2 4t 4 ;
2
a p
2
2
2 1
2
4 4
2 ; b p 3 2 ,
3
p
p
p
p
p
p
то
q p
Дельта-функция
импульсных функций
2 p
1 2 2 p 2 4
2 1 e 2 4 e .
p p
p
p
p
Дирака.
Рассмотрим
семейство
ступенчатых
1
при t [0, h] 1
(t , h) h
[ H (t ) H (t h)]
h
0
при
t
[0,
h
]
(2.2)
и семейство их изображений по Лапласу
p, h
При
h0
1 e ph
ph
семейство функций t , h расходится, так как
199
.
(2.3)
0 при t 0;
lim t , h
h 0
при t 0.
Введем условную функцию (t ) – дельта-функцию Дирака, которую будем
считать пределом семейства (2.2): t lim
t , h . Таким образом, дельта-функция
h 0
равна нулю всюду, кроме точки t 0 , где она равна .
Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (2.3)
при h 0 :
1 e ph
1.
h 0
ph
t p lim p, h lim
h 0
Далее по определению положим
b
b
b
a
a
b
t dt lim t , h dt ; (t ) f t dt lim t , h f t dt .
h 0
a
h0
a
Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость
следующих утверждений:
b
0 при 0 [a, b];
0 [ a, b];
t dt 1 при
a
(2.4)
0 при 0 [a, b];
0 [a, b];
b
t f t dt f (0) при
a
0 при [a, b];
a t dt 1 при [a, b];
b
(2.5)
0 при [a, b];
[a, b].
b
t f t dt f (0) при
a
(2.6)
Выражения (2.5) и (2.6) корректны только при условии непрерывности
функции f(t).
Замечание 1. Из утверждения (2.6) следует, что
t
t e
pt
dt e p ,
0
что полностью соответствует теореме запаздывания.
Замечание 2. В силу (2.4) имеем
t
0 при t 0
t dt 1 при t 0 H (t ) .
0
Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как
производную единичной функции Хевисайда.
В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для
моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных
явлений.
§ 3. Основные теоремы операционного исчисления
Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов
функция
200
f t
и
g t
называется
t
f g t f s g t s ds .
0
Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.
Найдем для примера свертку произвольного оригинала
функции
H t
t
Имеем f H t f s H t s ds . Так как
H t s 1
f t
при
и единичной
s 0, t
то
0
t
f H t f s ds .
(3.1)
0
Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна,
т.е. g f t f g t , следует самостоятельно.
Теорема 1. Если f p f t и g p g t , то
f p g p f g t .
Действительно, по определению (1.3) имеем
f g t f g t e pt dt
0
t
pt
pt
0 0 f s g t s ds e dt D f s g t s e dsdt ,
где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств
0 t ;
0 s t .
Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим
0
s
f g t f s ds g t s e pt dt .
Введем вместо t новую переменную
u t s .
0
0
Тогда
f g t f s ds g u e p s u du
0
f s e ps ds g u e pu du f p g p ,
0
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти оригинал f t , если его Лаплас-образ
f ( р)
p
( p 1)2
2
.
Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух
изображений, для которых известны оригиналы:
f ( р)
p
1
.
2
p 1 p 1
2
Так как
p
1
g t cos t , 2
h t sin t ,
p 1
p 1
2
201
то по теореме 1 имеем
t
f p g h t cos( s )sin t s ds
0
t
1
1
sin t sin t 2 s ds t sin t .
20
2
Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:
[(af1 bf2 ) g ](t ) a( f1 g )(t ) b( f 2 g )(t ) ,
где а и b – постоянные.
Упражнение 2. Найти свертку функций f t t и g t sin t .
202
ЛЕКЦИЯ 27
Интегрирование и дифференцирование оригиналов
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №15)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Как можно найти производную
теме.
изображения?
2. Как можно найти производную
2. Конспектирует ответов
оргиналом?
данных вопросов.
3. Как можно найти изображение
дифференциала?
3. Обсуждает разновидность
2.2. Преподаватель продолжает изложение матриц и действия над ними.
лекции, используя визуальных
материалов.
4. Отвечая на вопросы
2.3. Указывает на приложения
записывает основные места.
операционного исчисления в различных
областях науки и техники.
5. Записывает каждый вопрос,
2.4. Используя нижеследующие вопросы
запоминает определения и
излогает суть данного занятия:
приводить примеры для
а) Как находится производная
каждого случая.
произвольного порядка изображения?
б) Как находится рекуррентная формула
изображение дифференциала?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы
следующие теоремы.
Теорема 2. Если
f ( p) f (t ),
то
t
f ( p)
f ( s )ds .
p
0
Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда
t
1
f s ds f H t f p H p f p p .
0
Теорема 3. Если f t и
f t
– оригиналы и f t f p , то
f t p f p f 0 .
(3.2)
В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (3.1) будем иметь
203
t
f t f 0 f s ds f 0 H t f H t .
0
Тогда по теореме 1
f p f 0 H p f p H p
1
f 0 f p .
p
Отсюда f p p f p f 0 , что и требовалось доказать.
Применив формулу (3.2) дважды, получим
f t p f p f 0 p p f p f 0 f 0
p 2 f p pf 0 f 0
и т.д. В частности, если f 0 0 , то f t p f p , т.е. в этом случае
дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.
Дифференцирование и интегрирование изображений.
Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:
1. Если f t – оригинал с показателем роста c , то его изображение f p
имеет в области c : Re p c производные любых порядков.
2. При том же условии пределы, производные и интегралы от f p в
области c можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком
интеграла (1.3).
Теорема 4. Если
f p f t ,
то
df
p t f t ,
dp
т.е. дифференцирование
изображения сводится к умножению оригинала на t . Действительно,
дифференцируя (1.3) по параметру p, получим
df
d
p
dp
dp
f t e pt dt
0
t f t e
pt
dt .
0
Справа стоит интеграл Лапласа для функции
t f t
(t ) f t , следовательно,
df
p ,
dp
что и требовалось доказать.
Применив несколько раз теорему 4, получим
t
Теорема 5. Если f t
и
f t
t
n
f t
dn f
p .
dp n
– оригиналы и f p f t , то
f q dq
p
f t
t
,
т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению
оригинала на t . Так как в силу (1.3) имеем
f q
f t e
0
204
qt
dt ,
то
f q dq dq f t e
p
p
0
Поскольку при
t0
и
0
p
f t dt e
lim e qt e pt
q
f t
t
q
dt
0
Re q 0 lim e qt 0 ,
qt
f q dq
p
qt
dq
dt .
то
0
f t
t
e pt dt
f t
t
.
Рассмотрим функции
cos bt
p
b
; sin bt 2
2
p b
p b2
2
.
По теореме 4 имеем
Так как
ebt eat
t cos bt
d
p
p 2 b2
;
2
dp p b 2 p 2 b 2 2
t sin bt
d b
2 pb
2
2
2
dp p b p b 2 2
1
1
,
p b p a
.
то по теореме 5
1
ebt e at
1
pa
dq ln
t
q b q a
p b
0
.
Точно так же получим
sin t
1
2
dq arctgp arcctgp .
t
q 1
2
р
Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса
t
sin t
arcctg p
dt
.
t
p
0
si t
Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.
Следствие 1. Если сходится интеграл
f t dt ,
(3.3)
0
то
f t dt lim f p .
0
p 0
(3.4)
Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение f p непрерывно в
замкнутой области c : Re p 0 . Переходя к пределу в (1.3) при p 0 , приходим к
требуемому результату.
205
Следствие 2. Если сходится интеграл
f t ,
dt
t
то
0
Так как
f t
t
0
f p dp ,
t
dt f p dp .
0
то в силу (1.4)
p
0
Для
f t
sin t 1/(1 p 2 )
f t
p
0
dt lim f p dp f p dp .
p 0
t
справедливо равенство
0
sin t
1
dt
dp .
2
t
1 p
2
0
Следствие 3. Если f t , f t – оригиналы, то f 0 lim
p f p . Действительно, по
p
теореме 3
f p p f p f 0 .
С другой стороны,
lim f p 0
(3.5)
(см. § 1). Переходя к пределу в (3.5) при
p,
p
получим требуемый результат.
Следствие 4. Если f t и f t – оригиналы и существует конечный предел
lim f t f , то
t
f lim p f ( p) .
(3.6)
p 0
Исходим из равенства
f f 0
f t dt .
(3.7)
0
В силу (1.4) и теоремы 3
f t dt lim f p lim p f p f 0 .
p 0
0
p 0
Из (3.7) и (3.8) получаем (3.6).
Формула (3.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при
имея в своем распоряжении только их изображения.
Упражнение. Вычислить несобственный интеграл
0
e at e bt
dt ,
t
(3.8)
t ,
где
ba 0.
§ 4. Формула разложения Хевисайда
Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную
функцию.
206
Теорема. Пусть f p
Q p
R p
, где Q p и R p – дифференцируемые функции.
Введем pk ( k 1, 2, ) как полюсы функции f p , т.е. корни (нули) ее знаменателя.
Тогда, если R ' pk 0 k 1, 2 , получим формулу Хевисайда:
f p f t
k
Q pk pk t
e .
R pk
(4.1)
Доказательство проведем для случая, когда Q p и R p – многочлены
степеней т и п соответственно, при этом т п. Тогда f p – правильная
рациональная дробь. Представим f p в виде суммы простейших дробей:
f p
k
Ak
p pk
.
(4.2)
Ak
найдем из тождества (4.2), переписав его
n
Отсюда f t Ak e p t . Коэффициенты
k
k 1
в виде
Q p
R p
Ak
q p ,
p pk
где
q p
ik
Ai
p pi
.
Умножим обе части последнего равенства на p pk и перейдем к пределу при
p p k . Учитывая, что lim q( p) p pk 0 и R pk 0 , получим
p p
k
Ak lim
p pk
Q p
R p
Q p :
p pk plim
p
k
R p R pk
p pk
Q pk
,
R pk
откуда и следует (17.1). Теорема доказана.
Замечание 1. Если коэффициенты многочленов Q p и R p вещественны,
то комплексные корни многочлена R p попарно сопряжены. Следовательно, в
формуле (4.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые,
соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена R p , и
формула Хевисайда примет вид
f t
Q pk pk t
Q pk pk t
e 2Re
e
R pk
R pk
,
(4.3)
где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена R p ,
вторая – на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.
Замечание 2. Каждый член формулы (4.1) представляет собой записанное в
комплексной форме колебание Ak es t cos k t i sin k t , где sk Re pk ; k Im pk . Таким
образом, вещественным корням ( k 0 ) соответствуют апериодические
колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями sk –
k
207
затухающие колебания, чисто мнимым корням sk 0 – незатухающие
гармонические колебания.
Если знаменатель R p не имеет корней с положительными вещественными
частями sk , то при достаточно больших значениях t получим установившийся
режим:
f t A0 2Re
k 0
Q ik
e i k t ,
(4.4)
R ' ik
где
A0 lim
p 0
pQ p
R p
Q 0
R ' 0
;
– чисто мнимые корни многочлена R p с положительными мнимыми
частями.
Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными
частями, экспоненциально затухают при t и поэтому не входят в
установившийся режим.
Пример 1. Найти оригинал изображения
pk i k
f p
Решение. Имеем
многочлена R p :
1
.
p p4 4
Q p 1; R p p p 4 1 ; R ' p 5 p 4 1 .
Выпишем корни
p0 0; p1,2 1 i; p3,4 1 i .
По формуле (4.1)
f p
Q p0
Q p1 p1t Q p3 p3t
e p0t 2 Re
e
e .
R ' p0
R ' p3
R ' p1
Здесь R ' p0 R ' 0 4 , R ' pk 5 pk4 4 16 k 1, 3 , так как числа
уравнения p4 4 0 . Следовательно,
f p
pk k 1,
, 4
– корни
1 1
1
1 i t
1 i t
Re e e 1 ch t cos t .
4 8
4
Пример 2. Найти оригинал изображения
f p
ch ap
,
p ch bp
где а 0; b 0 .
Решение. Здесь функция R p p ch ap , помимо очевидного корня p 0 ,
имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции ch p . Решая
уравнение
ch p 0 ,
получим
ebp ebp 0 ,
откуда
Таким образом, корни знаменателя
где
k 0, 1, 2,
208
e2bp 1 2bp
R p
имеют вид
2k 1
i ( k 0, 1, 2, ) .
2
2k 1
p 0 и p pk
i ,
2b
Далее запишем
R 0 p ch bp 0 ch 0 1 ;
R pk p ch bp pk bpk sh bpk
2k 1
k 1 2k 1
2k 1
i sh
i 1
;
2
2
2
(2k 1)a
2k 1
Q pk ch apk ch a
i cos
; Q 0 1.
2
b
2b
По формуле (17.3) находим оригинал
f (t ) 1
(1) k 1
(2k 1)a
(2k 1)
cos
cos
t.
k 0 2k 1
2b
2b
4
209
ЛЕКЦИЯ 28
§ 5. Операторный метод решения дифференциальных уравнений
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №16)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Как можно вспомогательное уравнение
теме.
для решения дифференциальных
уравнений?
2. Конспектирует ответов
2. Как можно применять метод
данных вопросов.
операционного исчисления для решения
дифференциальных уравнений?
3. Обсуждает разновидность
3. Чем отличается методы операционного матриц и действия над ними.
исчисления для решения
дифференциальных уравнений от других
4. Отвечая на вопросы
методов?
записывает основные места.
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
5. Записывает каждый вопрос,
материалов.
запоминает определения и
2.3. Указывает на приложения
приводить примеры для
операционного исчисления в различных
каждого случая.
областях науки и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Как находится решение
дифференциального уравнения
произвольного порядка?
б) Как находится решение системы
дифференциального уравнения?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Дифференциальные уравнения.
линейного дифференциального уравнения
Рассмотрим
n
a
k 0
(здесь
ak const, k 0,1,
n, a0 0 )
nk
задачу
x f t
Коши
для
(5.1)
k
с начальными условиями
x
k
210
0 k ,
k 0, 1,
n 1.
(5.2)
Переходя в (5.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа
будем иметь
n
a
k 0
nk
x
k
p f p .
(5.3)
Изображения производных, используя теорему 3 и начальные условия (5.2),
запишем в виде
x
k
k 1
p p k x p p i k 1i .
(5.4)
i o
Подставив (5.4) в (5.3), после несложных преобразований получим операторное
уравнение
A p x p f p B p ,
где
n
A p an k p k
(5.5)
n
k 1
B( p) an k pi k 1i .
k 0
i 0
(характеристический многочлен);
k 0
Из уравнения (5.5) найдем операторное решение
x p
f p B p
A p
.
(5.6)
Решением задачи Коши (5.1), (5.2) является оригинал операторного решения
(5.6):
x t
Для задачи Коши
можно записать
f p B p
A p
.
x x et , x 0 1 и x 0 1
f t et f p
в принятых обозначениях
1
;
p 1
x t x p , x t px p 1, x t p 2 x p p 1 ;
A p p 2 1, B p p 1 .
Операторное уравнение имеет вид
p
2
1 x p
1
p 1.
p 1
Разложим операторное решение на простейшие дроби:
x p
1
1
1
1
2
p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1
2
1 1
5 1
1
1
4 p 1 4 p 1 2 p 12
.
С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:
1
1
et ,
et ,
p 1
p 1
211
1
p 1
2
tet .
Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид
1
5
1
x t et et tet .
4
4
2
x
( IV )
Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
x " 1 с начальными условиями x k 0 0 , где k 0,1, 2, 3 .
Решение. Запишем операторное уравнение
p 2 p 2 1 x p
1
.
p
Его решение имеет вид
1
.
p p 2 1
x p
3
Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:
t
1
1 1
sh t ;
sh tdt ch t 1;
2
p 1
p p 2 1 0
t
1 1
ch t 1 dt sh t t ;
p 2 p 2 1 o
t
1 1
t2
(sh t t )dt ch t 1 x t .
3
2
p p 1
2
0
Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
x a x t , h с нулевыми начальными условиями, где t , h A H t H t h –
ступенчатая импульсная функция.
2
Решение. Запишем операторное уравнение
p2 a2 x p A
1 e hp
h
и его решение
x p A
1 e hp
.
p p2 a2
Из теоремы 2 § 16 следует
t
1
1
1
2
at
sin at dt 2 1 cos at 2 sin 2
2
2
a0
a
a
2
p p a
в соответствии с теоремой запаздывания (§ 2)
e hp
2
a(t h)
2 H t h sin 2
.
2
2
a
2
p p a
Окончательно,
212
;
x t
a t h
2 A 2 at
sin
H t h sin 2
.
2
a
2
2
Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и
находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически
меняющаяся сила Q(t ) A cos t . В момент времени точка подверглась удару,
несущему импульс S . Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения
точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.
Решение. Уравнение движения запишем в виде
mx F Q t S t ,
где
F cx
– упругая сила; t – функция Дирака. Решим операторное уравнение
x p a
где
c / m ; a A / m; b S / m .
При
p
e p
b 2
2
2
( p )( p )
p 2
2
Если
,
p
2
p
2
2
p
2
2
1
p
p
1
2
2
(cos t cos t ) .
2
2
2
2
p
p
2
2
(случай резонанса), то
p
p
2
2 2
1
t sin t .
2
По теореме запаздывания
e p
1
H t sin t .
2
2
p
Окончательно,
1
2 2 cos t cos t при ,
b
x t H t sin t a
1 t sin t при .
2
Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения
(5.1) при начальных условиях x k 0 0 (k 1, , n 1) . Операторное решение в этом
случае имеет вид
x p
1
f p .
A p
Пусть весовая функция w t – оригинал для
получим
1/ A p .
Тогда по теореме 1 § 16
t
x t w g t w t s f s ds .
0
Соотношение (5.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.
213
(5.7)
Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля
непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно
преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми)
начальными условиями. Для этого введем новую функцию y t , полагая
x t y t q t ,
(5.8)
где q t k t k ; k x k 0 – начальные значения искомого решения x t .
k!
n 1
k 0
Как легко видеть, q k 0 k k 0, , n 1 , и следовательно, y k 0 0 .
Таким образом, функция y t – решение уравнения (5.1) с правой частью
n 1
f1 t f t an k q
k
t , полученной в результате подстановки (5.8) в (5.1), при
k 0
нулевых начальных данных.
Используя (5.7), найдем y t w f1 t и x t q t w f1 t .
Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши
x 2 x x
et
t
t 1
с начальными условиями x 0 2; x 0 1 .
Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с
(5.8), x t y t 2 t . Тогда x t y t 1, x t y t , и для определения y t
получим уравнение y " 2 y y et /(t 1) f1 t с однородными начальными
условиями.
Для
рассматриваемой
задачи
характеристический
многочлен
2
2
t
A p p 2 p 1 p 1 , весовая функция w t te . По формуле Дюамеля
t
y t w f1 t t s et s
0
es
ds
s 1
ts
s 1 ds e t 1 ln t 1 t .
t
=e
t
t
0
Окончательно,
x t 2 t et t 1 ln t 1 t .
214
ЛЕКЦИЯ 29
§ 6. Системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в
матричной записи имеет вид
X AX F t , X 0 X 0 ,
где
X t x1 t , x2 t ,
, xn t
T
– вектор искомых функций;
(5.9)
F t f1 t , f 2 t ,
– вектор правых частей; A ai j nn – матрица коэффициентов; X 0 x10 , x20 ,
вектор начальных данных.
Переходя в (5.9) к изображениям, получим операторную систему
p X p X 0 AX p F p ,
где X p x1 p , , xn p ; F p f1 p , , f n p – Лаплас-образы
искомых функций и правых частей соответственно.
Из (5.10) находим операторное решение
T
T
, f n t
, xn0
T
T
–
(5.10)
векторов
X p B p F p BX 0 ,
(5.11)
где B p pE A ; Е – единичная матрица.
Оригинал X t операторного решения (5.11) является решением исходной
задачи Коши (5.9).
Обозначим W t wi j t nn весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для
B p bi j p , где wi j t bi j p . Тогда из (5.11) в соответствии с теоремой 1 §
n n
3будем иметь
1
t
X t W F t W t X 0 W t s F s ds W t X 0 .
(5.12)
0
При нулевых начальных условиях
t
X t W F t W t s F s ds .
(5.13)
0
Соотношение (5.13) представляет собой матричный аналог интеграла
Дюамеля.
Пример 5. Найти решение задачи Коши
x x y et ;
t
y x y e
с начальными условиями x 0 y 0 1 .
Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:
X ' AX F t ; X 0 X 0 ,
215
где
T
1 1
T
T
0
X x, y , F t e t , e t , A
, X 1,1
1 1
B p pE A
. Тогда
1
1
1
1 p
1 p 1
1
1 1 e2t 1 e2t
;
W t
1 p
p p 2 1
2 1 e2t 1 e2t
1 1 p
t
t
2 t s
2 t s
1 e es
1
1
1 1 e
W
F
t
ds e s ds et 1 ;
2 t s
2 t s s
2 1 e
1 e
1
1
e
0
0
1 1 e2t 1 e2t 1 1
W t X 0
.
2 1 e2t 1 e2t 1 1
Окончательно, по формуле (5.12) получим
1
X t e
1
или
t
x t et ;
t
y t e .
Замечание. Формулы (5.12) и (5.13) имеют большое теоретическое
значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы
дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых
частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так
как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с
вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике
обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи
системы уравнений, а при решении операторной системы используют
конкретные особенности исследуемой задачи.
Пример 6. Решить задачу Коши:
x ' 2 x y z;
с
y ' x z;
z ' 3 x y 2 z
начальными условиями x 0 y 0 1, z 0 0 .
Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом
начальных условий будем иметь
p 2 x p y p z p 1;
x p p y p z p 1;
3x p y p p 2 z p 0.
Запишем решение операторной системы
x p y p
p2
2
.
; z p
p p 1
p p 1
Тогда x t y t 2 et ; z t 2 et 1 .
216
ЛЕКЦИЯ 30
Теория вероятности и математическая статистика
Аксиоматика теории вероятности.Случайные события. Относительная
частота
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №17)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Как возник предмет теории
теме.
вероятностей?
2. Какие события можно называть
2. Конспектирует ответов
случайными?
данных вопросов.
3. Как находится относительная частота и
вероятность случайных событий?
3. Обсуждает разновидность
2.2. Преподаватель продолжает изложение матриц и действия над ними.
лекции, используя визуальных
материалов.
4. Отвечая на вопросы
2.3. Указывает на приложения теории
записывает основные места.
вероятностей в различных областях науки
и техники.
5. Записывает каждый вопрос,
2.4. Используя нижеследующие вопросы
запоминает определения и
излогает суть данного занятия:
приводить примеры для
а) Как излагается классическое
каждого случая.
определение вероятности?
б) Как излагается геометрическое
определение вероятности?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Введение
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе
массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности.
Теория вероятности изучает данные закономерности.
Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки”
в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном
подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.
Испытанием называется реализация определенного комплекса условий,
который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс
217
условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом
испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.
Например: испытание - подбрасывание монеты.
Результатом испытания является событие. Событие бывает:
Достоверное (всегда происходит в результате испытания);
Невозможное (никогда не происходит);
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет
на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием.
В результате испытания происходят только элементарные события.
Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний
называется пространством элементарных событий.
Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика.
Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.
Совокупность элементарных событий это пространство элементарных
событий.
Сложным событием называется произвольное подмножество пространства
элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда,
когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее
сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно
элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные
события, в состав которых входят эти элементарные.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.
Введем следующие обозначения:
А - событие;
- элементы пространства ;
- пространство элементарных событий;
U - пространство элементарных событий как достоверное событие;
V - невозможное событие.
Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.
Операции над событиями
1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех
элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если
элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В
результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие,
которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий
состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.
B
A
218
2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных
событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий
называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai,
i=1, ..., m.
B
A
3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех
элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.
B
A
4. Событие
называется противоположным событию A, если оно
удовлетворяет двум свойствам.
Формулы де Моргана: A B A B и A B A B
A
5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут
произойти в результате одного испытания.
События A и B называются несовместными, если они не имеют общих
элементарных событий.
219
C=AB=V
Тут V - пустое множество.
Частность наступления события
Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m
элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний
рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства
элементарных событий и невозможное событие V.
Пример:
=(1, 2, 3)
A1=V, A2=(1), A3=(2), A4=(3), A5=(1, 2),
A6=(2, 3), A7=(1, 3), A8=(1, 2, 3).
Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие
AF. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний,
в каждом из которых произошло событие A.
Частостью наступления события A в n испытаниях называется число
W n ( A)
nA
n
Свойства частност.
1. 0 W n (A) 1
2. Частость достоверного события равна 1. n(U)=1.
3. Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.
Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.
Ai A j V Событие
i j
k
k
A Ai
W n ( A) W n ( Ai )
i1
i1
Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По
определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое
событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что
никакое другое событие Aj (ij) в этом испытании произойти не может.
Следовательно:
nA=nA1+nA2+...+nAk
k
n
W n (A) A
n
n
Ai
i1
n
k
k
nAi
W n ( A)
i1 n
i1
Теория вероятности используется при описании только таких испытаний,
для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A
частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний
имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления
события A.
Следовательно,
если
рассматривается
вероятность
наступления
произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это
частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии
испытаний.
220
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при
числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя
американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом
определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних
логических несоответствий.
Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.
Аксиоматика теории вероятности.
Построение вероятностного пространства
Последовательно строим вероятностное пространство.
Этап 1:
Имеется испытание. В результате проведения испытания может
наблюдаться одно событие из серии событий . Все события из системы
называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A , B
наблюдаемы, то наблюдаемы и события A, B, A + B, A B .
Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если
для двух произвольных событий A, B F выполняется:
1) Дополнения A, B F
2) (A+B) F, (AB) F
3) все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
4) все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
5) все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
Таким образом, систему мы расширяем до алгебры или поля F путем
включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем,
что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем
или алгеброй.
Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой
системой - алгеброй, полем.
Этап 2:
Каждому событию A F ставим в соответствие число P(A), которое
называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает
вероятностную меру.
Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой
являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера
удовлетворяет системе из трех аксиом.
1. A F 0 P ( A ) 1
2. P(U)=1.
3. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных
событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.
Ai A j V .
i j
n
Если A Ai , то
i1
n
P ( A) P ( Ai ) .
i1
Алгебра событий называется - алгеброй, если эта система событий
содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их
дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их
дополнения.
221
Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные
интервалы вида axb, ba.
Распространение этой алгебры на - алгебру приводит к понятию
борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими
множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида
axb, но и расширением полей вида axb, axb.
Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F,
т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории
вероятности.
0 P ( A ) 1.
1. A F
P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и
называющееся вероятностью наступления события A.
2. P(A) [0, 1]
P(U)=1.
3. Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий
Ai A j
i j
k
Если A Ai , то
i1
k
P ( A) P ( Ai ) .
i1
Определение вероятностного пространства
Вероятностным пространством называется тройка (, , P), где
- пространство элементарных событий, построенное для данного
испытания;
- -алгебра, заданная на - системе возможных событий, которая
интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;
P - - аддитивная мера, т.е. - аддитивная неотрицательная функция,
аргументами которой являются аргументы из - алгебры и удовлетворяющая
трем аксиомам теории вероятности.
1. A P ( A ) 1. P(A) - называется вероятностью наступления события
A.
2. Вероятность достоверного события равна 1
P()=1.
3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
k
k
i1
i1
P ( Ai ) P ( Ai )
Ai A j V ,
i j
Ai .
k - возможно бесконечное число.
Следствие:
Вероятность невозможного события равна 0.
По определению суммы имеет место неравенство +V=. и V
несовместные события.
По третей аксиоме теории вероятности имеем:
P(+V)=P(Q)=P(U)=1
P()+P(V)=P()
1+P(V)=1
P(V)=1
222
Пусть состоит из конечного числа элементарных событий ={E1, E2,...,
m
Em} тогда по определению Ei . Элементарные события несовместны, тогда
i1
по третей аксиоме теории вероятности имеет место
m
P (E ) 1
i
i1
Пусть некоторое событие A состоит из k элементарных событий, тогда
k
{Ei1, Ei2,..., Eik} P ( A) P (E ij )
j 1
Доказать: Если AB, то P(B)P(A), B=A+C, A и C несовместны.
* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории
вероятности P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) т.к. 1P(C)0 - положительное число, то
P(B)P(A).
Классическое определение вероятности
Пусть состоит из конечного числа элементарных событий и все
элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя
отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать
равновероятными.
m
Тогда достоверное событие U i
m - количество равновероятных
i1
событий
m
P (U ) P ( i ) ,
i1
m
1 P ( i ) ,
i
P( i )
i1
k
Пусть произвольное событие A ij
j 1
Тогда
1
m
k
P ( A) P ( ij )
j 1
k
, т.е.
m
событие A состоит из k элементарных событий.
Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и
равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна
дроби, числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в
данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.
ЛЕКЦИЯ 31
Условная вероятность. Независимые события.
Формула полной вероятности
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №18)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Как определяется условная
теме.
вероятность?
2. Какие события можно называть
2. Конспектирует ответов
независимыми?
данных вопросов.
223
3-й этап
Заключение
(10 мин)
3. Как находится формула полной
вероятности случайных событий?
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
материалов.
2.3. Указывает на приложения теории
вероятностей в различных областях науки
и техники.
2.4. Используя нижеследующие вопросы
излогает суть данного занятия:
а) Как получается формула Байеса?
б) Как находится вероятности
независимых событий?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
Заканчивает лекцию и обращает внимание
студентов на основные задачи. Указывает
методы их решения и области их
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
3. Обсуждает разновидность
матриц и действия над ними.
4. Отвечая на вопросы
записывает основные места.
5. Записывает каждый вопрос,
запоминает определения и
приводить примеры для
каждого случая.
Задаёт вопросы по теме.
Записывает вопросы
домашней работы.
Условной вероятностью наступления события A, при условии события B,
называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если
известно, что в это испытании произошло событие B и обозначается в виде
P(A/B)
.
Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных
элементарных событий
m
A
r
B
AB
Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий,
входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для
данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного
события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению
вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.
P (A / B )
r / m P ( AB )
t/m
P (B )
224
P( AB)
P( B)
P( AB)
P( B / A)
P( A)
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
P( A / B)
В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории
вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой
формулы.
Обоснование формулы условной вероятности в общем случае
Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло
событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что
произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к.
под вероятностью наступления события понимается предел частости
наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.
nA B nA B / n W n ( A B )
nB
nB / n
W n (B )
P ( A BC ) P ( A) P ( B / A) P (C / A B )
Условная частость Wn(A / B) =
Рассматривая AB как одно событие D имеем: P (DC ) P (D ) P (C / D ) с другой
стороны
P (D ) P ( A B ) P ( A) P ( B / A)
P ( A BC ) P (DC ) P (D ) P (C / D ) P ( A) P ( B / A) P (C / D ) P ( A) P ( B / A) P (C / A B )
Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их
совместного
наступления
равна:
P(A1A2... Ak ) P(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A2A1)...P(Ak / A1A2... Ak 1)
Доказательство проведем по мат индукции.
Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)
Пусть формула верна для k-1.
P(A1A2... Ak 1) P(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A2A1)...P(Ak 1 / A1A2... Ak 2 )
Введем событие B.
B = A1A2... Ak 1
P(A1A2...Ak-1)=P(B)
P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)P(AkB)
Независимые события
Два события A и B называются независимыми, если P(A/B)=P(A);
P(B)=P(B/A) - доказать.
В этом случае вероятность наступления двух событий A и B равна
P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B),
при этом покажем, что P(B/A)=P(B); P(AB)=P(B)P(A)=P(A)P(B/A)
225
События A1A2...Ak называются независимыми между собой, если
k
вероятность их совместного наступления P(A1A 2 ... A k ) = P(A i ) ;
i=1
P(A j / A1A 2 ... A j-1 ) = P(A j ) . Два независимых события совместны.
* Если бы события были несовместны, то P(A/B)=0 и P(B/A)=0, т.к. они
независимы, то P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B), т.е. утверждение “независимые
события несовместны”, т.к. P(A)=0 и P(B)=0, то это утверждение неверно.
Формула сложения вероятностей.
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
U - достоверное событие
U A B A B A B A B
Покажем, что события A B è A B несовместны.
* Если события несовместны, то (A B ) A B 0 ; ( A B ) A B 0 ;
т.е. события несовместны.
Тогда по третей аксиоме теории вероятности P ( A B ) P ( A B ) 1
P(A B ) 1 P(A B )
(1)
Справедливо следующее тождество на основании (1) и закона
дистрибутивности
U A A B A B A A ( B B ) A A U A A U
Показать самим, что все три множества попарно несовместны.
A A B (A A )B V B V
A A B (A A )B V B V
A BA B A A ( BB ) A A V V
На основании первой и третей аксиомы теории вероятности получаем:
P ( A B ) 1 P ( A) P ( A B )
P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 1 P ( A) P ( A B ) P ( A) P ( A B )
Имеет место тождество B AB A B , показать самим, что AB è A B
несовместны
ABA B ( AA )( BB ) VV V
По третей аксиоме:
P ( A B ) P ( A) P ( A B )
P ( A B ) P ( B ) P ( AB )
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
Для экзамена доказать самим формулу суммы произвольного числа событий
k
k
i1
i1
k 1
k
k 2 k 1
k
P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai A j ) P ( Ai A j Al ) ...
i1 j i1
i1 j i1l j 1
Формула полной вероятности
Рассмотрим систему A из k попарно несовместных событий.
B1, B2, ..., Bk
Bi B j V
i, j , i j
Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B1A+B2A+...+BkA.
226
Показать, что события B1A, B2A, BkA попарно несовместны.
BiABjA=BiBjAA=VAA=V
Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A,
обязательно входит в некоторое, но одно Bi, т.к. B1, B2, ..., Bk образуют полную
группу.
Т.к. B1, B2, ..., Bk несовместны, то по третей аксиоме теории вероятности
имеем:
k
k
k
i1
i1
i1
P ( A) P ( Bi A) P ( Bi A) P ( Bi ) P ( A / Bi ) ; т.е.
k
P ( A) P ( Bi ) P ( A / Bi )
i1
Например: Имеются урны трех составов
1 5 урн
6 белых и 3 черных
шара
2 3 урны 10 белых и 1
черный
3 7 урн
0 белых и 10
черных
Все шары в каждой урне перемешаны.
Испытание - извлекается шар. Какая вероятность того, что при этом будет
извлечен белый шар.
B1 - Вытащить любой шар из урны 1.
B2 - Вытащить любой шар из урны 2.
B3 - Вытащить любой шар из урны 3.
A - Извлечь белый шар.
A=B1A+B2A+B3A
B1, B2, B3 - попарно несовместны.
Формула полной вероятности:
P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)
P(B1)=1/ P(A/B1)=6/9=
3
2/3
P(B2)=1/ P(A/B2)=10/1
5
1
P(B3)=7/ P(A/B3)=0
15
P(A)=1/32/3+1/511/10+7/150=2/9+2/11=40/990.4
Формула Байеса.
Постановка задачи та же, но решаем обратную задачу.
Проводится испытание, в результате которого произошло событие A. Какова
вероятность того, что в этом испытании произошло событие Bi.
Условные вероятности называются апостериорными, а безусловные априорными вероятностями.
227
P(ABi)=P(A)P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)
P ( Bi ) P ( A / Bi )
P ( Bi ) P ( A / Bi )
k
P ( A)
P ( Bi ) P ( A / Bi )
Откуда, P ( Bi / A)
i1
Таким образом, формула Байеса: P ( Bi / A)
P ( Bi ) P ( A / Bi )
k
P (B )P (A / B )
i
i
i1
ЛЕКЦИЯ 32
Биномиальное распределение.
n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания
независимы, в каждом из них происходит событие A , либо A с вероятностью
наступления P(A) = p; P(A) = q = 1- p
Найдем вероятность того, что в результате проведенных n испытаний
событие А произошло m раз:
Pn m ?
Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим
композиционное пространство элементарных событий.
Общий вид элемента этого пространства следующий:
1
2
3
A A A A
n
...
гд
е
A1 A
i 01
,
i 0 ýòî A
При этом вероятность наступления такого события равна:
n
i
p i1
n
q
i
(умножение при независимых событиях)
Найдем вероятность наступления любого элементарного события из
композиционного пространства:
P A p
P A 1 A 2 ... A n
n
j
m
q n m
j1
Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие: в n
испытаниях событие A произошло m раз.
Событие A состоит из C mn - общее кол-во элементарных событий, в которое
входит событие А. А произошло m раз, A - n-m раз. Вероятность каждого из этих
элементарных событий одинакова и равна:
pn q n m
Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятности результат
равняется:
m
n m
Pn m C m
n p q
(сложение вероятностей)
228
Cm
n
n!
m ! n m !
Случайная величина
Пусть имеется вероятностное пространство вида , , .
Случайной величиной называется измеримая числовая скалярная функция
, элементами которой являются элементарные события.
Числовая скалярная функция - это функция, удовлетворяющая следующему
условию:
x событие : - алгебре и, следовательно, имеет вероятность
наступления.
Если произведено испытание, в результате которого произошло некоторое
элементарное событие x, x . В соответствии с функцией этому
элементарному событию соответствует число, которое называется реализацией
случайной величины x в данном испытании.
В соответствии с определением случайной величины вводится числовая
скалярная функция F(x), x , определенная для каждого действительного x и
по определению равная вероятности наступления события:
F x P(: x)
0 F x 1
Эта функция называется функцией распределения случайной величины .
Рассмотрим три события:
A1 {: b
A 2 {: a }
A 3 {: a b}
где a<b, a, b - действительные числа.
Свойства:
A 2 A1 A 3; A1 A 2 A 3
Покажем, что из факта
и равенства
A1 A 2 A 3
A2 -алгебре
A1 -алгебре
следует, что A3 .
A1 A 2 A 3
A 3 A1 A 2
По определению -алгебры A3 измерима, поэтому можно принять III
аксиому теории вероятности:
F b F a P (a b )
a , b; a b
P (a b ) F b F a
F 0
F 1
229
F(x) - неубывающая функция
Если x<y, то
F y P(: y) P(: x) P(: x y) P(: x) F x
т.к. 0 P(: x) 1, то преобразования верны.
Для всех технических приложений функцию распределения можно считать
направленной слева.
В силу того, что функция распределения не убывает, она однозначно задает
стчетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами
ненулевой длины.
По введенному полю построим борелевскую алгебру. Обозначим ее .
Возьмем произвольное число B не принадлежащее полю. Это точка или
сегмент. Т.к. множество {: B} получено с помощью счетной суммы или
счетного пересечения множеств принадлежащих -алгебре, то и это множество
принадлежит -алгебре и, следовательно, существует вероятность наступления
события B. Следовательно, имеет место следующее эквивалентное определение
измеримой функции.
Функция называется измеримой, если для любого BО множество
A 1 - алгебре
где A : w x 1B, x B
1B множество, полученное следующим образом:
x 1x
Функция g(x) называется борелевской функцией, если для любого B
множество
g 1B x g 1y, y B
Борелевская функция - функция, определяемая на системе борелевских
множеств.
В функциональном анализе показано, что все известные аналитические
функции являются борелевскими.
ТЕОРЕМА:
Пусть g(x) борелевская функция, - случайная величина, т.е. измеримая
функция. Тогда функция
g
является измеримой и, следовательно, случайной величиной.
Берем произвольное B. B1 g1B по определению борелевской функции.
Рассмотрим множество
A 1B1 1x, x B1
т.к. B1 измеримая функция и B1 , то A-алгебре
Следовательно, функция g - измеримая функция, т.е. случайная
величина.
230
ЛЕКЦИЯ 33
Дискретные случайные величины
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №19)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Как определяется биномиальное
теме.
распределение вероятностей?
2. Какие случайные величины можно
2. Конспектирует ответов
называть дискретными?
данных вопросов.
3. Какие имеются числовые
характеристики дискретных случайных
3. Обсуждает разновидность
величин?
матриц и действия над ними.
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
4. Отвечая на вопросы
материалов.
записывает основные места.
2.3. Указывает на приложения теории
вероятностей в различных областях науки 5. Записывает каждый вопрос,
и техники.
запоминает определения и
2.4. Используя нижеследующие вопросы
приводить примеры для
излогает суть данного занятия:
каждого случая.
а) Как находится математическое
ожидание дискретных случайных
величин?
б) Как находится дисперсия дискретных
случайных величин?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания
она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных
числовых значений.
Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами:
X, Y, Z
Вероятностное пространство дискретной случайной величины задается в
виде:
x , x ,..., xn
X 1 2
,
p1, p 2,..., p n
n - конечное или бесконечное.
Пример:
231
Испытание - композиция n-независимых испытаний, в каждом из которых
происходит событие A с вероятностью p, либо A с вероятностью 1-p.
Вероятностное пространство
A , A ,..., A
PA , A ,..., A P A C
1
1
2
n
2
n
n
j
m
n
pm q n m
j 1
В этом примере -алгеброй является множество всех подмножеств
пространства элементарных событий. Введенную нами случайную величину x по
определению можно задать:
0
X n
q
1
C1n
p q
2
n 1
C 2n
m
p q
2
n 2
Cm
n
p q
m
n m
n
pn
- верхняя строчка - это совокупность возможных числовых значений,
которые может принимать случайная величина;
- нижняя строчка - вероятность наступления этих числовых значений.
Практически во всех задачах естествознания отсутствует промежуточный
этап: испытание, - пространство всех возможных исходов испытания, числовая скалярная функция, элементы которой .
На самом деле структура:
- испытание;
- исход испытания;
- число на числовой оси.
Вероятностные характеристики дискретных случайных величин.
Математическим ожиданием случайной величины X называется число вида
s
MX
x p
i
i
i 1
xi - все возможные различные конкретные исходы испытания;
pi - вероятности их наступления.
Математическое ожидание является как бы аналогом центра масс точечной
механической системы:
x , x ,..., x s
X 1 2
p1, p 2 ,..., p s
Как центр масс:
MX
x1 p1 x2 p 2 x3 p 3 ... x s p s
p1 p 2 p 3 ... p s
ò. ê . p1 p 2 p 3 ... p s 1, òî
s
MX x1 p1 x2 p 2 x3 p 3 ... x s p s
x p
i
i
i 1
Смысл характеристики мат.ожидания заключается в следующем: это точка
на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных
испытаний над дискретной случайной величиной.
Свойства математического ожидания
232
1. MC=C
C
X C 1 C
1
2. MCX=CMX
Построим таблицу для случайной величины CX:
C x1 C x2 ... C x n
CX
p1 p 2 ... p n
по определению математического ожидания:
n
MCX
n
Cxi p i C
i 1
x p
i
i
CMX
i 1
3. M(X+a)=MX+a, a=const
Построим таблицу для случайной величины x+a
X a X 2 a ... X n a
X a 1
p1 p 2 ... p n
M X a
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
n
xi a p i xi p i a p i MX a p i p i 1 MX a
i 1
Доказать следствие
4. M(aX+b)=aMX+b, где a, b - константы
a x b a x2 b ... a x n b
aX b 1
p2
...
pn
p1
M a X b
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
a xi b p i a xi p i b p i a xi p i b p i a MX b
Пусть случайная величина Y является функцией f(x) от случайной величины
X. Построим вероятностное пространство случайной величины Y.
Y f (x)
f x1 f x2 ... f xn
p 2 ... p n
p1
Верхняя строчка является пространством элементарных событий для
случайной величины Y. В противном случае верхняя строчка является
пространством элементарных событий для величины Y.
Все одинаковые числа в верхней строчке заменяется одним, вероятность
наступления которого равна сумме соответствующих вероятностей.
Следствие.
Математическое ожидание случайной величины Y равняется:
n
MY
f x p
i
i
i 1
i 1, n
Начальным моментом К-го порядка случайной величины X называется
математическое ожидание случайной величины Xk.
233
n
x
k MX
k
k
i
pi
i 1
Центрированная случайная величина - это величина, равная X’=X-MX
Покажем, что математическое ожидание MX’ равно 0.
n
1) MX'
i 1
x i M x i p i
n
i 1
2) M X MX MX MX 0
n
x i p i MX
p
i
MX MX 0
i 1
Центральным моментом К-го порядка называется начальный момент К-го
порядка случайной величины X’
k M ( X' ) k
n
x MX
k
i
pi
i 1
при решении реальных задач практические вероятности р i неизвестны, но
считая, что вероятность - это частость, при большом числе испытаний
k
k
n
x
ni
n
k
i
i 1
s
x
i
i 1
k n
i
n
Дисперсия случайной величины
Дисперсией случайной величины X, называется центральный момент
второго порядка случайной величины X.
DX 2
s
x
2
i
pi
i 1
Дисперсия является мерой концентрации результатов конкретных
испытаний над случайной величиной X.
Свойства.
1. Чем меньше дисперсия, тем более тесно группируются результаты
конкретных испытаний относительно математического ожидания.
Пусть дисперсия мала, тогда мало каждое слагаемое суммы (xi-)2pi. Тогда
для , xi которое по модулю резко отличается от математического ожидания , pi мало. Следовательно, большую вероятность наступления могут иметь лишь те xi,
которые по модулю мало отличаются от математического ожидания.
2. Если дисперсия равна 0, то X - const.
DX 0
s
x
i
2
p i 0 x i 0 x i M x i x i x i C const
i 1
3.
D(X+C)=DX
Y=X+C
Y’=Y-MY=X+C-M(X+C)=X+C-MX-C=X-MX=X’
DY=M(Y’)2=M(X’)2=DX
234
4.
DCX=C2DX
Y=CX
DY= M(Y’)2=M(Y’)2
Y’=Y-MY=CX-MCX=CX-MCX=C(X-MX)=CX’
DY= M(Y’)2=M(CX’)2=C2M(X’)2=C2DX
5.
DX 2 12
DX
s
s
s
s
s
s
2
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
1
2
xi 1 p i x2i p i 1 2 xi p i 12 p i x2i p i 1 2 xi p i 2
Построим функцию распределения для дискретной случайной величины.
Для удобства договоримся, что случайные величины располагаются в порядке
возрастания.
x x2 ... x s
X 1
p1 p 2 ... p s
F x P X x
т.е. по определению для любого действительного X, F(x) численно равно
вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X
оно приняло значение строго меньше x.
1
F(x)
P1+P2+P3
P1+P2
P2
x1
x2
x3
x4
x5
Производная функция
x x2 ... xs
X 1
p1 p 2 ... p s
Характеристической функцией случайной величины X называется функция
действительного аргумента вида
Me
1Xt
s
e
1X i t
pi
i 1
Производящей функцией называется скалярная функция вида:
m x t Me Xt
235
Свойства производящей функции
1.
m x t Me Xt
s
e
Xt
pi
i 1
2.
d k m x t
t 0
dt k
d k e x i t
x ik e x i t
dt k
dk
e
dt
k
xit
k
pi
s
x
k
i
e x i t p i
i 1
ï ðè t= 0
s
s
x ik e x i t p i
i 1
s
x ik 1 p i
i 1
x p
i
i
k
i 1
3. Разложение производящей функции в ряд Маклорена имеет вид
m x t 1
1
t
1!
2
2!
t 2 ...
k
k!
t k ...
Формула Тейлора имеет вид
2
F ' t 0 t t 0 F " t 0 t t 0
1 n
n
F t F t 0
... F t 0 t t 0 ...
1!
2!
n!
при to=0 она носит название формулы Маклорена
F t 0 F 0
F ' t 0 t 0 1
s
e x i t p i
s
t 0
i 1
p
i
1
i 1
F " t 0 t 0 2
F t 1
1
1!
t
2
2!
t 2 ...
1
n t n ...
n!
Пример:
Рассмотрим случайную величину, распределенную по биноминальному
закону распределения:
i, i 0, n
X i i n i
C n p q
Найдем производящую функцию:
m x t
n
e it C in p i q n i
i 0
et p q
C e p q
n
i
n
i 0
t
i
n i
a b a n C1n b a n 1 ... C in b a n i ... b n
n
Найти DX и MX
236
n
dmx t
1 MX
dt
t 0
d et p q
dt
2
t
d 2 mx t d e p q
2
dt 2
dt
np e t n 1 e t p q
np pn 1 p q
n2
n2
n
n
n et p q
dn e t p q
n 1
dt
pe t e t p q
p q
n 1
n p
2
n 1
2
n 1
pe t
pe t
t 0
n p 1 p
n 1
p np
n2
et et p q
e t np e 2 t pn 1 e t p q
n 1
t 0
np 2 np
DX 2 12 n 2 p 2 np 2 np n 2 p 2 np np 2 np1 p npq
Первая модель распеделения Пуассона
Проведена неограниченно большая серия испытаний, в результате каждого
испытания случайным образом появляется точка на числовой оси. Случайное
распределение точек на числовой оси удовлетворяет следующим трем
свойствам.
1. Стационарность. Вероятность того, что на отрезок данной длины попадает
данное количество точек определяется только длиной этого отрезка и не зависит
от расположения этого отрезка на числовой оси.
2. Ординарность. Вероятность того, что на достаточно малый отрезок длины
x попадает одна точка, является бесконечно малой x порядка. Вероятность
того, что на этот отрезок попадает более, чем одна точка, является бесконечно
малой более высокого порядка, чем x.
3. Свойство без последействия. Вероятность того, что на данный отрезок
попало определенное количество точек не зависит от того, сколько точек в
результате проведенной бесконечно серии испытаний попало на отрезок, не
пересекающийся с данным.
Найти вероятность того, что на данный отрезок длина l попадает m точек.
l
Обозначим через xl - случайная величина, равная численности точек,
выпавших на отрезок длины l.
i, i 0,
Xl
P
i
l
На числовой оси рассмотрим отрезок длины 1 и обозначим:
MX1=
Математическое ожидание числа точек, попавших на отрезок длины 1. По
свойству стационарности l одинаково для всех отрезков.
MX1=ll - доказать
237
Пусть l - целое число. Разобьем отрезок длины l на l отрезков единой длины.
Тогда количество точек, попавших на отрезок длины l будет равно числу точек,
попавших на каждый из непересекающихся отрезков длины 1 (тут
использовалось свойство беспоследействия).
Используя формулу
M
0
x x
i
i 0
i
i 0
имеем
MX1=ll
Математическое ожидание числа точек, попавшие на отрезок длины l равно
мат. ожиданий точек, попавших на непересекающиеся отрезки. Пусть l - не целое
число. Выделяем целую часть. Тогда
MX l l M 1 l
На числовой оси рассмотрим отрезок длины l, разобьем его на n отрезков
данной длины
x
l
n
такой, что позволит использовать свойство ординарности. Тогда с
определенной погрешностью, которая тем меньше, чем больше n можно считать
1
0
X x
P
0
P
x x 1
т.е. на отрезок длины x попадает не более, чем одна точка, тогда
x MX x 0 Px 0 1 Px 1 Px 1
Для достаточного малого отрезка длины lx вероятность попадания в него
одной точки x, а вероятность того, что ничего не произойдет 1- x.
В сделанных предположениях m точек попадает на отрезок длины l только в
одном случае, когда в m отрезках попадает по одной точке. Тогда на основании
3-го свойства искомая вероятность равна
Pn m C m
n x 1 x
m
n m
mn ! l
m !n m ! n
m
l
1
n
n m
l
1
n
m
Точную вероятность получим путем предельного перехода при числе
разделений отрезка n
238
lim Pn m C m
n l 1 l
m
Ï
m
n m
n
l a lim
n
n m 1... n a m
n
a
1
n
l
1
n
n
l
1
n
m
n
nm a m
1
n
m!
n!
l
m !n m ! n
lim
m
a m a
e
m!
a n a n n
1 1 e
n a
n
Ï
m
a m a
e
m!
Ï
m
1
m
e a
m 0
Ï
m 0
am
e a ea 1
m
!
m 0
Тут мы разложили
am
m!
m 0
в ряд Маклорена.
Найдем производящую функцию распределения Пуассона
m x t
e
mt
m 0
Найти MX и DX
a e 1
de
t
MX
2
dt
d 2e
a et e
t 0
t
a et 1
t a e 1
e
ae e
t 0
a et 1
a et e
ae t 1
a et 1
'
a et 1
dt 2
et a
a m a
e mt a m a
e e a
e
m!
m!
m !
m 0
m 0
t 0
'
t 0
m
e a eae e
t
a e t 1
a 11
ae0e a e0 e0 a 1 a
a et 1
a et 1
a et 1
t
t
a et e
et e
a e ae e
'
t 0
a 1 1 a 1 1 a 2 a
DX 2 12 2 MX a 2 a a 2 a
2
Вторая модель распределения Пуассона
Рассматривается обычная схема биноминального распределения, в котором
n - велико, а p - достаточно мало. Тогда точная формула для вероятности
появления события A в m испытаниях имеет вид
m
n m
Cm
n p q
Эта формула при больших n вычисляется сложно. Такую вероятность
заменяют приближенной
a m a
e , ã ä å a=p n
m!
Для найденного a построим гипотетический ряд вероятностей
m
a a
Cm
n 1
n n
m
n m
a
lim C m
n 1
n
n
239
a
n
n m
a m a
e
m!
Предполагается, что для достаточно больших n и малых p искомая
вероятность
n
m n
Cm
n p q
является членом построенного гипотетического ряда вероятностей, а во
вторых находится в малой окрестности предельного значения этого ряда. И,
следовательно, это значение можно взять в качестве допустимой хорошей
аппроксимации значений искомой вероятности.
ЛЕКЦИЯ 34
Непрерывные случайные величины
Технологическая карта лекционного занятия (занятие №20)
Этапы,
Содержание деятельности
время
преподаватель
студент
1-й этап.
1.1. Определяет тему, цель и метод
1.1. Слушает и конспектирует.
Введение
изложения занятия.
(10 мин)
2-й этап
2.1. С целью определения степени
1. Отвечая на вопросы,
Основной
готовности студентов проводить блиц
получают подробные
(60 мин)
вопросы.
представление об изучаемой
1. Как определяется нормальное
теме.
распределение вероятностей Пуассона?
2. Какие случайные величины можно
2. Конспектирует ответов
называть непрерывными?
данных вопросов.
3. Какие имеются числовые
характеристики непрерывных случайных
3. Обсуждает разновидность
величин?
матриц и действия над ними.
2.2. Преподаватель продолжает изложение
лекции, используя визуальных
4. Отвечая на вопросы
материалов.
записывает основные места.
2.3. Указывает на приложения теории
вероятностей в различных областях науки 5. Записывает каждый вопрос,
и техники.
запоминает определения и
2.4. Используя нижеследующие вопросы
приводить примеры для
излогает суть данного занятия:
каждого случая.
а) Как находится математическое
ожидание непрерывных случайных
величин?
б) Как находится дисперсия непрерывных
случайных величин?
2.5. Обращает внимание студентов на
основные понятия и их приложения.
3-й этап
Заканчивает лекцию и обращает внимание Задаёт вопросы по теме.
Заключение студентов на основные задачи. Указывает
Записывает вопросы
(10 мин)
методы их решения и области их
домашней работы.
применения. Выставить баллы наиболее
активным студентам.
240
Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность
всех точек числовой оси. В этом случае введенная ранее функция распределения
имеет вид: F ( x ) P ( X x ) .
Пусть функция распределения является непрерывной. Найдем вероятность
того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a, где a
- произвольное действительное число.
P(X=a).
1
n
x a )
Рассмотрим неравенство: x a lim(
n
Доказать самим.
x a
1
n
1
x a lim( x a )
n
n
1
x a lim
n n
x a
Следовательно:
1
1
1
P ( x a) lim( a X a ) lim( F ( a) F ( a )) lim( F ( a ) F ( a)) 0
n
n
n
n
n
n
Мы впервые столкнулись с ситуацией, когда событие принципиально может
произойти в результате испытания, но имеет вероятность равную 0 . В
инженерном толковании это означает: в данной конечной серии испытаний
данное событие никогда не произойдет.
Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством
элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки)
числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна
нулю.
P(aX<b)=P(aXb)=F(b)-F(a)
Если от сложного события вычесть конечное либо счетное множество,
вероятность наступления нового события останется неизменной.
Функция f(x) - числовая скалярная функция действительного аргумента x
называется плотностью вероятности, и существует в точке x, если в этой точке
существует предел:
( x X x x )
F ( x x ) F ( x )
lim
F ( x )
x
x
x
x
f ( x ) lim
Свойства плотности вероятности.
1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией.
x
2. F(x) = P(X < x) = f(U)dU
-
F ( x ) = F ( x ) - F (-)
b
3. P(a x b) = f(x)dx
a
241
P(a x b) = F(b) - F(a) =
b
a
b
a
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
4.
f(x)dx 1
f(x)dx P(X ) F () F () 1 0 1
Следствие: Если пространством элементарных событий является отрезок
числовой оси, то пространство элементарных событий формально можно
распространить на всю числовую ось, положив вне отрезка значение плотности
вероятности равное 0.
Второе эквивалентное определение плотности вероятности.
Если
плотность
вероятности
в
точке
x
существует,
то
P(xXx+x)=f(x)x+о(x). Вероятность того, что в результате испытания
x
x+x
случайная величина
примет значение в отрезке с точностью до о(x) равна
F(x)x.
Пример:
Равномерное распределение.
p( x ) c,
p( x ) 0,
a x b
ax b
тут p(x)=f(x).
p(x
c
)
a
b
b
b
b
a
a
a
p(x)dx p(x)dx cd(x) = cx
т.к.
c(b a)
1
p(x)dx 1, òî ñ b a
F(x
) 1
a
b
Экспоненциальное распределение.
242
p( x ) e x ,
p( x ) 0,
x 0
x 0
1
p(x)=ex
0
p(x)dx e
x
dx d(-e x ) e x
0
0
1 lim e x 1
x
1
2
Непрерывная случайная
величина
является математической абстракцией и в
чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически не
может существовать измерительное устройство, вычисляющее это величину.
Следовательно, всегда исследователь имеет дело со случайными дискретными
величинами. На практике отрезок [a, b] разбивают на отрезки одинаковой
длинны, длину устремляют к нулю. При этом x принадлежит отрезку.
Вероятность того, что отрезок содержит x равна
x
. При x 0 ситуация
b a
эквивалентна следующему: имеется бесконечное множество лотерейных
билетов, один ваш. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не
выиграете. Независимо от этого велико удобство работы с непрерывными
величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются
одной из двух функций - плотностью распределения либо плотностью
вероятности.
Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.
Пусть имеется случайная величина, являющаяся функцией от непрерывной
случайной величины X.
Y=(x)
Математическим ожиданием непрерывной случайной величены является
число:
M Y ( x ) f x ( x )dx , fx ( x ) - плотность вероятности случайной величины.
Обоснование этой формулы.
Аппроксимируем непрерывную случайную величину Y случайной величены
*
Y , которая является дискретной. Пусть числовая ось - пространство
элементарных событий случайной величены X, разобьем всю числовую ось на
отрезки достаточно малой длины.
xn xn-1
xn- xn
x0 x1
1
2n отрезков.
Если в результате испытания случайная величена X попала в отрезок с
начальной вершиной xi, то случайная величена X* приняла значение (xi) с
точностью до бесконечно малой x - длины i-го отрезка. Вероятность того, что
243
Y* примет значение (xi) с точностью до бесконечно малой более высокого
порядка, чем x, тем более точно Y* аппроксимирует Y.
Вероятность наступления (xi) для Y* равна fx (x i )x
( x i )
Y*
f x ( x i ) x
M Y ( x i ) f x ( x i ) x , при n эта сумма переходит в M Y ( x i ) f x ( x i )dx .
*
*
i
Тогда 1 M X xf x ( x )dx .
Самим показать, что все свойства мат. ожидания для дискретной случайной
величены сохраняются для непрерывной случайной величены.
M ax b aMX b
M ax b
ax bfx xdx
axfx xdx b fx xdx a xfx xdx b fx xdx fx xdx 1 aMX b
k
x f xdx
b
x
k
x
k
fx xdx
DX 2
x f xdx
2
x
Доказать, что
DCX C 2DX
D (C X) DX
DX 2 12
DX 2
x f xdx
2
x
DCX
2
2
2
2
2
CX MCX fx xdx CX CMX fx xdx C X MX fx xdx C DX
D C X DX
D C X
DX
C X M X C f xdx C X MX C f xdx X MX f xdx DX
2
x
x
2
2
2
2
2
x fx xdx x 2x fx xdx x fx xdx 2x fx xdx
2
2
x
2 12
DX
2
2x f xdx
2
x
m x t Me xt
2
2MX 2 fx xdx 2 2 2 2 2
e f xdx
xt
x
Доказать самим, что свойство 1 и 2 для производящей функции в
дискретном случае справедливы и для непрерывного.
244
d k m x t
t 0
dt k
k
d
k
e f xdx
ixt
x
t 0
dt k
d k eixt fx xdx
t 0
dt k
i k x k eixt fx xdx i k
x k eix0fx xdx i k
x f xdx
k
x
Распределение Гаусса - нормальное
Случайная величина имеет нормальное распределение (распределение
Гаусса) и называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности
n x, a,
1
2
e
x a 2
2 2
fx x, 0
Из определения
N x, a , Fx x
1
2
e
U a 2
2 2
dU
функция распределения
nx, a, dx
2
1
2
e
1
Z2
Z dZ
e
x a 2
2 2
1
x a
dx
Z; dx dZ
2
Z
1
u; dZ 2du
2
e
Z2
Z dZ
e
u 2
du 1
Найдем выражение для производящей функции нормального распределения
m x t Me xt
e
2
1
xt
xa 2
2 2
2
z2
za t 2
e
dz
eat
2
x a
dx
z; x z a ; dx dz
e
1 2
z 2zt
2
2t 2
dz e e
at
2
1
2
e
1
zt 2
2
dt
z t
u; dz du
2
=1 (интеграл Эйлера)
245
mx t e
at
2t 2
2
dmx t
t 0 a
dt
MX a,
”‹ Љ” n x, ,
m© x t
2
d mx t
dt
2
t 0
2t 2
2
at
2
a
2t e
2
©
2t 2
2t 2
2
2
at
2 e at e 2 a
2
2t a
2t e
2
2
t
2e0 a 2 2 a 2
DX 2 12 2 a 2 a 2 2
Изобразим примерный вид плотности
n(x,,)
-10
v
z
10
Рассмотрим центрированную нормальную величину, т.е. MX=0
nx,0,
У центральной нормированной величины все нечетные начальные моменты
равны 0
246
m x t e
t
t 2 2
2
am
e
m 0 m!
a
m x t 1
1
1!
t
2
2!
t 2 ...
k
t k ...
k!
t
e 2
2 2
m x t MX 0
1
2
3
k
2
t t
t
t
2 2
2
2
1
...
...
k
1!
2!
3!
!
2
t 2 2 t 4 4
t k k
t k k
1
...
2 1! 2 2!
k!
k
2 !
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t 2 2
e 2
. ђ. m x t m x t ,
”
2
1
1!
t 0 1 0
t 2 2
t
1 2
2!
2!
1 3 ... 2n -1 0
2
Функция Лапласа
Функцией Лапласа называется функция вида
u2
1 z 2
Ф0 z
e du
2 0
Свойства:
1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания нормальной
случайной величины с параметрами
MX=0
DX=1
в интервале (0, z)
2)
Ô 0
1
2
Ô 0
3)
1
2
Ô 0 z Ô 0
- функция нечетная
247
Иногда в литературе встречаются два вида функций Лапласа
1
Ô 0 z
2
e
u2
2 du
1
Ô 0 z Ô 0 z
2
Функция Лапласа табулирована. Функция Лапласа используется для
выполнения событий вида
nx,,
для произвольных нормальных величин.
Найдем вероятность того, что в результате испытания над x произойдет
сложное событие: x примет числовое значение, принадлежащее отрезку с
концами (a, b).
P a x b
1
2
b
e
x 2
2 2
a
b
1
1
x
dx
z; dx dz
2
e
z2
2 dz
a
b
1
2
a
0
e
z2
2 dz
1
2
0
e
z2
2 dz
b
a
Ô 0
Ô 0
Пример.
x - случайная величина.
f(x) - плотность вероятности.
Найти плотность вероятности g(n) случайной величины H.
X
X+dX
x
H
H+dH
h
Рассмотрим отрезок (h, h+dh). Событию попадание H в отрезок (h, h+dh) в
силу однозначности функции h(x) соответствует попадание x в отрезок (x, x+dx).
При этом вероятности наступления такого события одинаковы:
x h
h x
Тогда построим функцию h(x), обратную x(h), x=x(h).
dx h
т.к. dh 0 è dx 0, òî dx dh
dh
Вероятность первого события равна
gh , dh 0dh
Вероятность второго события
dxh
f xh ,
dh 0dxh
Следовательно
dh
dx h
dh
gh f xh
248
Неравенство Чебышева
Рассмотрим случайную величину X с конечным мат. ожиданием и
дисперсией DX
Для любого неотрицательного числа t вероятность наступления события
1
P x t
t2
Пусть Z - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(Z).
Пространство событий величины Z (0; ). Тогда имеет место неравенство
PZ
MZ
Доказать неравенства
MZ
Zf Z dZ Zf Z dZ Zf Z dZ Zf Z dZ f Z dZ P Z
PZ
M Z
0
Рассмотрим два сложных события
xa
x a 2 2
a - произвольное действительное число.
Показать самим, что x - удовлетворяет и одному и другому неравенству.
Тогда a, 0 справедливо
2
M x a
2
2
P x a P x a
2
В данном случае 2 Z x a 2
Равномерность неравенств при >0
xa
x a 2 2
x a
x a
x a 2 2 0
x a x a 0
x a
x a
x a 0
x a 0
x a
x a
или, в частности, при a==MX
P x
DX
2
при =t справедливо неравенство Чебышева.
249
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
2-том, Т.: 1987
2. www.edu.uz
3. Шмелев П. А. Теоря рядов в задачах и упражнениях. М.: «Высшая
школа», 1983, 176 с.
4. Шипачев А. С. Высшая математика М.; Наука, 1999.
5. Шестаков А.А. и др. Курс высшей математики М.; Наука, 1999.
6. www.5ballov.ru
7. Романовский П. И. Ряды Фуръе. М.; Наука, 2001.
8. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа М.: 1987.
250
251
Введение
Данный сборник вопросов и задач для самостоятельных работ по высшей
математике предназначен для студентов, изучающих курс высшей математики.
Сборник самостоятельных заданий по высшей математике построен в виде
занятий, и прежде чем начать решать задачи, Вам предлагается ответить на
вопросы теории. Цель этих самостоятельных занятий расширить и закрепить
Ваши знания, акцентировать Ваше внимание на ключевых понятиях данных
разделов.
252
ЗАДАНИЕ №1
Линейная алгебра
Теоретические вопросы по теме: ”Линейная алгебра”
1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя
не изменяется?
2. В каких случаях определитель равен нулю?
3. Дайте определения минора и алгебраического дополнения элемента
определителя. Сформулируйте основное правило вычисление определителей.
4. Что такое матрица, отличие матрицы от определителя. перечислите и
приведите примеры различных видов матриц.
5. Как осуществляются линейные операции над матриц.
6. Как перемножить две матрицы? Сформулируйте правило умножения матрицы
на матрицу. Свойства произведения матриц.
7. Изложите схему нахождения обратной матрицы. Любая ли матрица имеет
обратную? Что такое вырожденная матрица?
8. Расскажите об основных типах матричных уравнений и схемах их решения.
9. Дайте определение решения системы линейных уравнений. Расшифруйте
понятия “совместная”, “определённая”, “неопределённая” системы.
10. Напишите формулы Крамера.
11. В чём заключается матричный метод решения систем? Когда он применим?
12. Что называется рангом матрицы? как он находится?
13. Сформулируйте теорему Кронекера- Капели.
14. При каких условиях система линейных уравнений имеет единственное и
множество решений?
15. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
16. Какие неизвестные и в каком случае называются базисными, какие
свободными? Что такое общее и частное решения неопределённой системы?
17. Какие особенности однородных систем линейных уравнений Вы знаете? Как
строится фундаментальная система решений?
18. Сформулируйте определения и изложите схему нахождения собственных
значений и собственных векторов матрицы.
253
Примеры
1. Вычислить определители
а)
2 1
1 1
3 0
1 0
3
0
7
0
3
4
9
3
2
5
3
1 4
1
b)
4 6 2
3 2 1
1
3
0
5
2. Найдите матрицу Х из уравнения. Сделать проверку
0
1 2
2 5 2 Х =
0 2 5
1 0 0
0 1 1
0 1 0
3. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
4 2
1 3
1. А =
1
1
5 3
2. В =
4. Решить систему линейных уравнений:
а) методом Крамера,
b) матричным методом
2 х у 6 z 25
а) 3x 2 y 4 z 12
x y 3z 14
b)
х 2 у 3z 13
5x y 4 z 2
x 3y
6
5. Решить систему методом Гаусса
3x1 4 x 2 2 x3 x 4 16
x 7x x
x 23
2
3
а) 1
2 x1 x 2 3x3 5 x 4 10
4 x1 3x 2 4 x3 6 x 4 1
2 x
x
с) 1
3x1
x1
4 x2
2 x2
6 x2
2 x3
6 x3 x 4
3x3 x 4
9 x3 x 4
3x3 5 x 4
5 x1 4 x 2 x3 3x 4 5
2 x x
x3 4 x 4 2
2
b) 1
3x1 2 x 2 x3 x 4 3
x1 3x 2 2 x3 2 x 4 4
0
0
0
0
254
Задание №2
Векторная алгебра
Теоретические вопросы по теме: “ Векторная алгебра”
1. Что называется вектором, модулем вектора?
2. Дайте понятия коллинеарных, компланарных, свободных, равных векторов.
Сформулируйте условие равенства векторов.
3. Как выполняются линейные операции над векторами? Каковы свойства этих
операций?
4. какие векторы называются линейно зависимыми и независимыми?
5. Дайте понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве. Как
записывается разложение вектора по выбранному базису? Что такое координаты
вектора?
6. какой базис называется декартовым? Как осуществляются линейные операции
над векторами в координатной форме?
7. Модуль вектора. Координаты вектора, заданного координатами начальной и
конечной точек. Расстояние между двумя точками.
8. Дайте понятие орта вектора. Как находятся направляющие косинусы вектора?
9. Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его
свойства? Как выражается скалярное произведение через координаты
перемножаемых векторов? Для решения каких задач и как может быть
использовано скалярное произведение?
10. Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его
свойства? Как выражается векторное произведение через координаты
перемножаемых векторов? Для решения каких задач и как может быть
использовано векторное произведение?
11. Что называется смешанным произведением трёх векторов? Каковы его
свойства? Как выражается векторное
смешанное произведение через
координаты перемножаемых векторов? Для решения каких задач и как может
быть использовано смешанное произведение?
12. Запишите в векторной и координатной формах условия коллинеарности,
перпендикулярности, перпендикулярности и компланарности векторов.
Примеры
1. Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a , AC c . Точка делит
диагональ АС в отношении |AM| : |MC| = 2/7. Выразить векторы AD , BD , MD ,
MB через векторы a и c .
2. Доказать, что векторы p {0;2;1} , q {0;1;1} , r {5;3;2} образуют базис и найти
разложение вектора x {15;20;1} в этом базисе.
255
3. Радиус-вектор точки М составляет с осью ОХ угол 60 0 , с осью OY угол
45 0 , длина вектора | OM | 10 . Опередить координаты точки М, если
координата z<0.
4. В треугольнике АВС А(-4; -3; -6), В(-1; 7; -3), AC ={7;2;13}.
Найти:
а) длину высоты, опущенной на сторону AC ,
б) косинус угла между медианой AM и стороной BC .
5. Параллелограмм построен на векторах a 2 p q и b 2 p 5q , где | p | 5 , | q | 5 ,
( p q) 60 0 . Определить:
а) косинус угла между векторами a и b ;
б) длину высоты, опущенной на сторону b .
6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , если известно,
что (a, c) 0 , (b, c) 0 , (a b) 4 , | a | 1 / 2 , 6| b |=2, | c | 9 .
7. Определить, при каких значениях векторы a 11i j 9k , b i 13 j 8k
будут взаимно перпендикулярны.
8. Найти единичный вектор e , который одновременно перпендикулярен
векторам a {7;4;6} и b {2;1;1} , если (e i) 2 .
9. В пирамиде АВCD с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;2), С(1;1;4), D(6;-3;8)
найти объём пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины D на грань
АBC.
Задание №3.
Аналитическая геометрия на плоскости
Теоретические вопросы по теме
“ Аналитическая геометрия на плоскости”
1. Прямая линия на плоскости, её общее уравнение.
2. Дайте понятие нормального и направляющего вектора прямой, углового
вектора коэффициента.
3. запишите различные виды уравнений прямой на плоскости и укажите
геометрический смысл параметров уравнений.
4. Как определяется взаимное расположение прямых на плоскости. Запишите
формулы для определения угла между прямыми, условия параллельности и
перпендикулярности в случае различных видов уравнений прямых. Как найти
точку пересечения прямых?
256
5. Выведите формулу для вычисления расстояния то точки до прямой. Как
определить расстояние между параллельными прямыми?
6. Какая линия на плоскости называется окружностью? Запишите канонические
уравнение и поясните схему построения окружности.
7. Дайте определение эллипса. Запишите каноническое уравнение и поясните
схему построения эллипса.
8. Какая линия на плоскости называется гиперболой? Запишите каноническое
уравнение и поясните схему построения гиперболы.
9. Какая линия на плоскости называется параболой? Запишите канонические
уравнение параболы. Поясните схему построения параболы.
10. Изложите схему приведения общего уравнения кривой к каноническому
виду.
11. Дайте понятия полярной системы координат. Уравнения линий в полярной
системе координат. Приведите примеры. Как связаны декартовые и полярные
координаты точки на плоскости? Как построить кривую в полярной системе
координат?
12. Опишите параметрический способ задания и построения линий на плоскости.
Приведите примеры. Уравнения.
Примеры
1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(7;-2):
y
x
1
3 7
x 2t 10
b) перпендикулярно прямой
y 2t 3
а) параллельно прямой
c) под углом 450 к прямой 3х+8у-12=0
2. Даны вершины треугольника АВС А(-14;10), В(10;3), С(-8;27).
Составить:
а) уравнение стороны АВ,
б) уравнение медианы СМ,
в) уравнение высоты АН и найти её длину.
3. Даны две прямые l1 и l2
l1 :
y 8
x
,
4
2
l2 :
x y
1
7 5
Найти:
А) точку пересечение прямых;
В) косинус угла между прямыми;
С) составить уравнения биссектрис угла между прямыми.
4. Привести уравнения линий к каноническому виду и построить кривые:
1) x2 + y2 + 3x = 0
2) 2x2 – 4x + y2 – 10y + 15 = 0
3) y = 6 - x 2 6x 13
4) x = -y2 + 7y + 1
5) x2 – 4xy + y2 + 15 = 0
6) 3x2 + 4xy + 3y2 + 1=0
257
5. Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах:
1) cos 3
3
2)
4
2 5 cos
6. Построить линии, заданные параметрическими уравнениями:
x 4 cos t
y 2
1)
x 5 sin t
y 4 cos t
2)
Задание №4.
Аналитическая геометрия в пространстве
Теоретические вопросы по теме
«Аналитическая геометрия в пространстве »
1. Плоскость, её общее уравнение.
2. Как определяется взаимное расположение плоскостей? Запишите формулы для
определения угла между плоскостями, условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей.
3. Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости. Как
определить расстояние между параллельными плоскостями?
4. Запишите различные уравнения прямой в пространстве и поясните смысл
параметров, входящих в уравнение.
5. Изложите схему приведения общего уравнения прямой в пространстве к
каноническому виду.
6. Как определить взаимное расположение прямых в пространстве? Запишите
формулы для определения угла между прямыми в пространстве, условия
параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве?
7. Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой в
пространстве?
8. Как определяется взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве? Запишите формулы для определения угла между прямой и
плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости.
9. Как найти точку пересечения прямой и плоскости в пространстве?
10. Назовите поверхности 2-го порядка и напишите их канонические.
Примеры
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1 (1;9;-4),
М2(5;7;1) параллельно вектору a {3;6;4} . Найти объём треугольной пирамиды,
которую плоскость отсекает от координатного октанта.
258
2. Из общих уравнений прямой получить канонические и параметрические
6 x 7 y x 2 0
x 7 y 4z 5 0
3. Найти точку пересечения и угол между прямой
x2 y4
z
6
5
2
и плоскостью, проходящей через три точки
А1(2;-4;-3), А2(5;-6;0) и А3(-1;3;-1)
4. Найти расстояние от точки V(3;4;-1) до прямой, проходящей через две точки
А1 (1;3;-6) и А2(2;2;1).
5. Построить поверхности
1) x2 + z2 = y2 ,
4) х – 4 = y2,
2) x2 + y2 = 8 – 2z, 3)
x2 y2
z 2 12 ,
2
6
5) 3x2 + 2z2 =6
6. Построить тело, ограниченное поверхностями:
z 0,
x 1,
А)
y 4 x,
z y
С)
z 0,
x 2,
y 2 x,
z y
x 2 y 2 1 z,
В) x y 3,
x 0, y 0, z 0
D)
x 2 y 2 4 z,
x y 4,
x 0, y 0, z 0
Задание №5.
Предел. Непрерывность.
Теоретические вопросы по теме: “ Предел, непрерывность”
259
1. Сформулируйте определения бесконечно малой и бесконечно большой
величин.
2. Сформулируйте определения предела функции в точке и на бесконечности.
Сформулируйте основные теоремы о пределах.
3. Сформулируйте определение предела числовой последовательности.
4. Запишите формулы 1-го и 2-го замечательных пределов и следствий из них.
5. Как сравнить две бесконечно малые величины? Что такое относительный
порядок малости?
6. В каком случае бесконечно малые будут эквивалентны? Приведите примеры
наиболее часто встречающихся соотношений эквивалентности.
7. Перечислите все виды неопределённостей. Какие приёмы используются для
раскрытия неопределённостей?
8. Что такое односторонние пределы функции в точке. Приведите примеры
вычисления таких пределов.
9. Сформулируйте различные условия непрерывности функции в точке и на
интервале. Какими свойствами обладает функции, непрерывные в точке?
10. Какими свойствами обладает функции, непрерывные в замкнутом
промежутке? Проиллюстрируйте графически теоремы Вейерштрасса и Коши.
11. Что понимают под разрывом функции в точке? Какие типы разрывов следует
различать? Дайте определения каждого типа разрыва и их геометрическую
иллюстрацию.
Примеры
1.Найти пределы
(1 3n) 3 27 n 3
1. lim
n (1 5n) 2 7n 2
2. lim
n
3. lim
x 0
n 4 7 n 2 3 4n 6 2
(3n n ) 7 n 2n 2
arcsin( 9 x 3 3)
ln(1 sin x 5 )
6x3 2x 2
9. lim
x 0 sin 2 5 x
arctg 2 5 x
10. lim
x0 34 x 1
11. lim
x 0
2 5 n 2
3n 2 4n 1
4. lim 2
n 3n 5n 1
(n 1)!(n 2)!
5. lim
n
(n 3)!
2 4 n 5 8 n2
6. lim
n 3 8 2 n 1 4 4 n 3
7 x 2 8x 3
7. lim
n 3 x 5 x 2 1
ln( 5 x 2 1)
12. lim
x 1
1 3x 2 1
1 cos 3x
tg 2 x
sin 5 x
13. lim
x0
7x
1 3 x
1
3x 2 x 1
14. lim
x 1
x
15.
1
sin
lim (cos x) 2 x
x0
260
8. lim
x 4
1 2x 3
x 2
16. lim n 3 1 2n 3
n
2. Для данных бесконечно малых, при x x 0 величин записать эквивалентные в
виде А(x-x0)k
1.
2.
3 5
2 x 1 1 , x0 = 0
3. ln2(5-x), x0=4
4. tg x , x0 =
x 2 3x 5
, x0=0
7x 1
3
3
3. Исследовать на непрерывность функции
2x 1
1. y 2
x 4
2. y
2
1
3 4 x 3
2 x ,
x0
3. y 4 x 10, 0 x 3
x 1 x 3
Задание №6.
Производные
Теоретические вопросы по теме: «Производные»
1.Сформулируйте определение производной. В чем состоит геометрический и
физический смысл производной?
2. Какая функция называется дифференцируемой в точке? на интервале? Как
связаны понятия «непрерывность» и «дифференцируемость» функции в точке?
Приведение графические примеры функции, непрерывных, но не
дифференцируемых в точке. Как записывается приращение дифференцируемой
функции.
3.Запишите правела дифференцирования суммы, произведение, частного двух
функций.
4. Запишите правела дифференцирования сложной и обратной функций,
параметрической заданной функции.
5. Опишите прием логарифмического дифференцирования. Когда применяется?
6. Опишите прием дифференцирования неявно заданной функции.
7. Проверьте, знаете ли вы формулы дифференцирования (произведенных
основных элементов функций)Запишите их.
8. Что такое дифференциал функции? Как он связан с производной функции и ее
приращением? Каков его геометрический и физический смысл?
9. Как находятся производные и дифференциалы высших порядков?
10. Какими свойствами обладают и дифференцируемые функции
(Сформулируйте и проиллюстрируйте графики теоремы Ферма, Роля, Лагранжа,
Коши).
Примеры
261
1. Найти производные y (x) данных функций
1
(2 x 3) 2
2x 3
1
x 1
4) y 3
6
2 x 1 (7 x 5)
сер( х 1)
1
6) y
ln( x 1) th 3x
2) y sh
1) y (2 x 3) 4 x 2 12 x 5
2
3
3) y cos 3 (5 x 4) e 3 x
5) y 4
sin 2 x
7) y ln 5
3 ln arcsin x
(1 tgx) cos 3 7 x
(4 x 3 x) 2 ln 6 x
9) y ( x cos x 3)
x
2
2
8) y 3
e sin x cos x 2 x
(9 x 2) 5
10) y (arctg3 )
4
x
1
ln x
2
x
x2
12) e cos xy
x 2 y 4 9tg 3 (5 y 1)
2 y
y
y
13) arctg 2 y 5 ( 2 x 3 y )
14) x ( y 4) 2 y 3 7 y 2
x
d 2x
dx
2. Найти
и 2 для функции
dy
dx
x cos t sin t
2x 3
1) y
2)
2
( x 4)
y sin 2t
11) sin
3) y (5x 9) 53 x
3
4) x t 1
y ln t
3. Вычислить значение производной функции в указанной точке
x sin t
y cos 2t
1) y e xln(x2) , x0=0
2)
t0
6
4. Найти dy и d2y функций
1) y
2x 3
5x 2 x 4
2) у = 5 –ln x
Задание №7.
Приложения производной
Теоретические вопросы по теме: «Приложение производной»
1. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на интервале
функции.
2. Сформулируйте необходимое и достаточное условия возрастания (убывания)
функции в интервале. Поясните их графически.
262
3. Что такое экстремум функции? Какие существуют виды экстремумов?
4. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции
точке. Приведите графические примеры.
5. Сформулируйте 1 – ое достаточное условие существования экстремума.
6. Сформулируйте 2 – ое достаточное условие существования экстремума.
7. Изложите схему исследования функции на экстремум.
8. Изложите схему нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в
интервале.
9. Дайте определения выпуклости и вогнутости кривой в интервале, точек
перегиба. Проиллюстрируйте геометрически.
10. Сформулируйте достаточные условия выпуклости и вогнутости кривой в
интервале.
11. Сформулируйте необходимое и достаточное условия существовании точек
перегиба. Изложите схему отыскания точек перегиба.
12. Что называется асимптотой кривой? Какие виды асимптот различают?
13. Изложите схему отыскания вертикальных асимптот.
14. Запишите уравнение наклонной асимптоты и формулы нахождения
параметров этого уравнения. В каких случаях можно говорить об отсутствии у
кривой наклонной асимптоты?
15. Дайте определение и запишите уравнения касательной и нормали к кривой.
16. В чем состоит, правило Лопиталя? Для раскрытия каких неопределенностей
оно применяется?
Примеры
1. Исследовать на экстремум функции
1) y
1
4x3 x 4
5
3) у = sin 2x + 2 cos x
2) y 3 x 3 6x 2
2. Составить уравнения всех асимптот следующих кривых
1) y
x2
x2 1
2) y ln
x2
x2
3) у = (x2 – 4x + 3)·ex-1
3. Провести полное исследование и построить графики функций
1) y
4x 3
x3 1
2) у = (х – 1)·e3x+1
3) y = ln (x2 + 1)
4. Сумма двух положительных чисел равна α. Найти эти числа при наименьшем
значении их произведения.
5. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с
абсциссой х = х0, или соответствующей значению параметра t = t0
1) y 84 x 70
x0 = 16
x 5 cos 3 t
2)
y 5 sin 3 t
t0 = π/3
263
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2 sin 2x + cos 4x
в интервале [0; π/3]
7. Используя правило Лопиталя, найти пределы
1) lim
x 1
1 cos x
tg 2x
2) lim ln( x e) x
1
3) lim
x 0
x 0
1 cos x cos x
x2
Задание №8.
Функции нескольких переменных
Теоретические вопросы по теме: «Функции нескольких переменных»
1. Дайте понятие функции двух и более независимых переменных, области
определения функции. Что является графиком функции двух переменных?
2. Дайте определение предела функции z = f ( x, y ) при М (х;у) M ( x0 ; y 0 )
3. дайте определение непрерывность функции двух независимых переменных в
точке и в области. Приведите примеры разных функций.
4. Сформулируйте определение частных производных функции двух независимы
переменных по каждой из них. В чем состоит геометрический смысл частных
производных функции.
5. Сформулируйте определение частного приращения к частного дифференциала
функции z = f ( x, y ) по каждой переменной.
6. Сформулируйте определение полного приращения и полного дифференциала
функции z = f ( x, y ) и запишите формулу вычисления полного дифференциала.
7. Как находятся частные производные высшего порядка? Сформулируйте
условия равенства смешанных производных.
8. Получите формулу полного дифференциала второго порядка функции двух
перемешанных.
9. Дайте понятие сложных функции нескольких
переменных. Запишите
формулы дифференцирования сложной функции. Запишите формулы
дифференцирования неявного заданной функции.
10. Что такое касательная плоскость и нормаль к поверхности? Запишите
уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной неявным
уравнением
S : F (x;x;z) = 0 и уравнением в явной форме S : z = f ( x; y ).
11. Сформулируйте определение экстремума функции двух переменных. Каковы
необходимые условия существования экстремума функции двух переменных.
12. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума для функции
двух переменных.
13. Изложите схему нахождения наибольшего и наименьшего значения функции
в замкнутой области.
Примеры
264
1. Найти и изобразить области определения функций:
1) x = ln x – ln sin y
2) z 5 4 x 9 y 16
2
2
2. Найти частные производные z’x и z’y
1) z ln acr sin x 5 y 3 ,
3) z sin 7 xy
y3
2x 5 y
5) z u 6 9 sin v , u acrtg
6) ln z
3
tgx 9
y 3 ln( 2 y 2 )
2) z x 3 arctg
4) z
cos(6 y x)
x y
2
5
(x e5 y ) 2
3x
, v cos 2 y
2y
y
x3 y z 2
z
3. Найти производную x’t, если
z x 3 1 arctg ( y 2 ) , где x = ln (3 – t), у = arccos (1+ t)
4. Найти
d
y
4 x
3
arccos , если y e sin x
dx
x
5. Найти dz и d2z для функции z x e y
2
6. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в
указанной точке М0
x y z 4 x 2 y 2 z 2 2 , М0(2;3;5)
7. Исследовать на экстремум функцию z 3x 3 3 y 3 9 xy 10
8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy в замкнутой
области D : {x 2 y 2 1}
9. Найти производную скалярного поля U{x; y; z) z y y z в точке М0(2;4;4) в
направлении вектора нормали к поверхности S : 2x2 – y2 + 4z = 0, образующего
острый угол с положительным направлением оси OZ.
10. Найти величину и направление вектора наибольшей скорости изменения
температурного поля T {x; y; z ) z (ln y arctgz ) в точках М1(-2;1;-1) и М2(-e;e;0).
Задание №9.
Неопределенный интеграл
265
Теоретические вопросы по теме: «Неопределенный интеграл»
1. Дайте определение первообразной функции и неопределенного интервала.
Укажите его геометрический смысл. Сформулируйте и докажите теорему о
первообразных.
2. Сформулируйте свойства неопределенного интервала.
3. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.
4. В чем состоит свойства инвариантности основных формул интегрирования?
Изложите суть метода подведения под знак дифференциала.
5. Перечислите основные виды интегралов, берущихся методом интегрирования
по частям. В чем состоит сам метод?
6. Запишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. В чем
состоит принцип выбора подходящей подстановки? Каковы основные этапы
проведения замены переменной?
7. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе
дроби.
8. Сформулируйте схему разложения рациональной дроби и на простейшие
слагаемые. Как интегрировать правильные и неправильные дроби?
9. Какие выбираются алгебраические подстановки при интегрировании
иррациональных функций?
10. Расскажите об интегрировании дифференциального бинома. Подстановки
Чебышева.
11. Расскажите, в каких случаях при интегрировании иррациональных функций
используются тригонометрические подстановки и какие именно.
12. В чём суть универсальной тригонометрической подстановки?
13. Изложите случаи, когда при интегрировании тригонометрических функций
можно обойтись без универсальной тригонометрической подстановки.
14. Что Вы знаете о неберущихся интегралах? Приведите примеры.
Примеры
dx
(2 ln x 5)
1.
x cos
3.
(5 x 6 )
2
dx
9
5tg (1 / x )
x 2 cos 2 (1 / x)
(5 x 4) dx
7. 2
x 9
dx
5.
9.
25 3x
11. x 2 ln( 1 x 3 )dx
15.
1 x arcsin
e sin xdx
5x
ln(sin
4.
6.
x ( 2 x)
cos xdx
5 sin x 2
8. (1 tgx) 2 dx
13.
ctgxdx
x)
dx
2.
x dx
10. x 3 7 9 x 2 dx
12. (7 x 6) cos 3xdx
14. x acrtg (5 x)dx
16. x 7 e x dx
4
266
17.
x
19.
3x
2
dx
6 x 10
( x 9) dx
2
x4
x 4 dx
( x 2 1)( x 2)
dx
23. 4 3
x x
21.
25.
2 x 1dx
x2
5
1 3 x
27.
31.
3 2 cos x 5 sin x
x x
5
2
dx
dx
33. cos 5 xdx
35. sin 3x cos 2 5 xdx
37.
e x 1 e x dx
ex 1
dx
18.
20.
26.
1
30.
8x x 2
(1 2 x)dx
x 2 4x 5
(2 x 3 3x 1)dx
22.
( x 1) 2 ( x 2 9)
dx
24. 3
8x 1
x dx
3
x
dx
(x 1) 5
dx
32.
4 3 sin 2 x
dx
34. 4
sin x cos 4 x
dx
36.
1 ctgx
2
38. arctg (1 x )dx
Задание №10.
Определенный интеграл
Теоретические вопросы по теме: «Определенные интеграл»
1.Расскажите схему составления интегральной суммы и определенного
интеграла для функции в данном интеграле
2. Сформулируйте геометрический смысл определенного интеграла.
3. Сформулируйте и поясните геометрическую теорему существования
определенного интеграла.
4. Сформулируйте и поясните геометрически простейшие свойства
определенного интеграла.
5. Сформулируйте, запишите и поясните геометрическую теорему об оценке
величины определенного интеграла.
6. Запишите и геометрически поясните теорему о среднем для определения
интеграла. Что такое среднее значение функции в интеграле?
7. Сформулируйте и докажите теорему о производной интеграла по переменному
верхнему пределу.
8. Выведите формулу Ньютона-Лейбница. В чем заключается сходство и
различие определенного и неопределенного интегралов?
9. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примерах методах вычисления
определенных интегралов (непосредственное, интегрирование по частям, замены
переменной).
267
10. Дайте определение несоответственного интеграла по бесконечному
промежутку. В чем его геометрический смысл? Как установить сходимость
несобственных интегралов 1-го рода?
11. Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной функции. В
чем его геометрический смысл? Как установить сходимость несобственных
интегралов 2-го рода?
12. Выведите формулы для вычисления площади плоских фигур.
13. Выведите формулы для вычисления объемов тел по площади поперечного
сечения и тел вращения.
14. Выведите формулу для вычисления длин дуг плоских кривых и площадей
поверхности вращения.
15. Сформулируйте теоремы Гульдена.
16. Решения каких физических задач сводятся к вычислениям определенных или
не собственных интегралов?
Примеры
1. Вычислить определённые интегралы.
e2
1)
x
1
3
dx
1 ln x
2)
1
x2 1
dx
x2
/3
1
3) x arctg ( x)dx
3
4)
0
dx
1 sin x
/4
2. Найти среднее значение функций в указанных интервалах.
x
sin 2 x
x
2) y 2
x 3x 1
1) y
2 ; 3
1;3
3. Исследовать на сходимость несобственные интегралы.
0
1)
x sin( x
0
2
)dx
dx
2)
x
1 1 e
3) x arctg
3
1
5
x
3
dx
4)
0
x 4 dx
(x 4 81) 5
4. Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями:
y 5 / x
1. L x y 6
x 6
2 cos( / 4)
2. L
2 sin( / 4)
5. Найти объём тела, образованного вращением фигуры Ф, ограниченной
указанными линиями: 1. – вокруг оси ОХ,
2. – вокруг оси OY:
268
y 2 ( x 1) 3
1. L:
x 2
y ex
2. L: x 2
x 0
6. Вычислить длины дуг кривых:
2 4
24 3
x
y x x
1. L:
5
3
y 0
2 3
24 3
x
y x x
3. L:
5
3
y 0
x 4 cos3 t
2. L: y 4 sin 3 t
/ 6 t / 4
x 9 cos2 t
4. L: y 9 sin 2 t
/ 6 t / 2
Задание №11.
Кратные интегралы
Вопросы по теме: «Кратные интегралы»
1. Изложите схему составления интегральной суммы для функции двух
переменных в данной плоской области.
2. Сформулируйте определение двойного интеграла и его геометрический смысл.
3. Сформулируйте, запишите и поясните основные свойства двойного интеграла.
4. Сформулируйте теорему о средние для двойного интеграла, сформулируйте ее
геометрический смысл. Что такое среднее значение функции в плоской области
и как оно вычисляется?
5. Что такое повторный интеграл? Как выбирается порядок интегрирования? Как
проводят вычисления двойного интеграла в декартовой системе координат?
6. Запишите формулу замены переменных в двойном интеграле. Якобиан
переходов от декартовых координат к полярным.
7. Изложите схему перевода в двойном интеграле от декартовых координат к
полярным.
8. Какие возможны приложения двойного интеграла? Запишите формулы.
9. Изложите схему составления интегральной суммы для функции трех
переменных в некоторой области трехмерного пространства.
10. Сформулируйте определение и запишите основные свойства тройного
интеграла.
269
11. Сформулируйте теорему о среднем для тройном интервале. Что такое
среднее значение функции в области и как оно вычисляется?
12. Изложите схему вычисления тройного интервала в декартовой системе
координат.
13. Запишите формулу замены переменных в тройном интервале. Якобиан
перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим.
14. Изложите схему перехода в тройном интервале от декартовых координат к
цилиндрическим и сферическим.
15. Какие возможны приложения тройного интервала?
Примеры
1. В двойном интеграле
f ( x; y)dxdy перейти к повторному интегралу и
( D)
расставить пределы интегрирования по области (D), ограниченной линиями:
1) y 12 x 2 ,
x=0,
y 2 3 12 x 2 ,
x 0
2) y | ln x | ,
y=5.
2. Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
D : {x 2 y 2 bx, x 0}
xdxdy ,
( D)
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1) y = 2;
y = x2 + 5; x = 1;
x = 3.
2
2 5/2
2
2) (x + у ) = x · y .
4. Вычислить массу пластинки, занимающей область (D), при заданной
поверхностной плотности ( x; y ) :
1) D : {y = 4x + 6, x – 2y – 1 = 0, x = -1}, δ(x;y) = x.
2) D : {y ≤ x2 + y2 ≤ 2y}, δ(x;y) = 3y.
5. Записать тройной интеграл
f ( x; y; z )dxdydz
в виде повторного и расставить
(V )
пределы интегрирования по области (V), ограниченной поверхностями:
1) z = x2, 2x = y, x = 4, y ≥ 0, z ≥ 0. 2) x2 + y2 = 4, y = x 2 z 2 , y ≥ 0.
6. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
1) x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 9, y ≤ x, y ≥ 0, z ≥ 0.
2) z = 4 – x2 – y2, x + y = 2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
7. Вычислить массу тела, занимающего область
270
V : {x2 +y2 = 2x, x+ z = 2, y ≥ 0, z ≥ 0}, если задана объёмная плотность
( x; y; z )
y
x2 y2
.
Задание №12.
Криволинейный и поверхностный интегралы.
Векторное поле.
Вопросы по теме: «Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория
поля»
1. Дайте определение криволинейного интеграла 1-го рода по дуге кривой. Для
решения каких задач он используется ? Как вычисляется интеграл в зависимости
от способа задания линии?
2. . Дайте определение криволинейного интеграла 2-го рода по координатам. Как
вычисляется интеграл?
3. Запишите формулу Грина вычисление криволинейного интеграла 2-го рода по
замкнутому контору на плоскости. Сформулируйте условия независимости
интеграла от пути интегрирования.
4. Дайте определение поверхностного интеграла 1-го рода по площади
поверхности. Для решения каких задач он используется? Как сводится
поверхностный интеграл 1-го рода к двойному?
5. Дайте определение поверхностного интеграла 2-го рода по координатам. Как
вычисляется интеграл?
6. Запишите формулу Остроградского-Гауса в координатной форме. Запишите
формулу Стокса вычислить криволинейного интеграла 2-го рода по замкнутой
кривой в пространстве.
7. Дайте определение векторного поля. Приведите физические примеры.
8. Дайте определение и запишите формулу для вычисления потока векторного
поля в векторной и координатной формах.
9. Дайте понятие дивергенции векторного поля. В чем состоит ее физический
смысл? Запишите формулу для вычисления дивергенции.
10. Запишите формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме для
вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Поясните
физический смысл формулы.
11. Дайте определение и запишите формулу вычисление циркуляции векторного
поля в векторной и координатной формах. Поясните физический смысл
циркуляции на примере поля скоростей частиц текущей жидкости.
12. Дайте понятие ротора векторного поля. Запишите формулу нахождения
ротора.
13. Запишите формулу Стокса в векторной форме. Поясните смысл формулы.
14. Какое векторное поле называется потенциальным? Что такое потенциал? Как
он находится? Сформулируйте свойства потенциального поля.
271
15. Какое векторное поле называется соленоидальным? Что такое векторная
трубка? Сформулируйте свойства соленоидального поля.
16. Какое векторное поле называется гармоническим? Сформулируйте свойства
гармонического поля.
17. Дайте понятие оператора Гамильтона. Как с его помощью можно записать
дифференциальные векторные операции первого порядка?
18. Дайте понятие оператора Лапласа и гармонической функции.
Примеры
1. Найти массу линии sin 2 , 0 / 2 , если линейная плотность
( x; y )
2 xy
.
x y2
2
2. Вычислить интеграл
L
dl
x y2 z2
2
, где L: отрезок прямой, соединяющий
точки А(1;1;1) и В(2;2;2).
3. Найти площадь части поверхности параболоида, x2 + y2 = 6z, заключённой
внутри цилиндра x2 + y2 = 27.
4. Найти массу цилиндрической поверхности x2 + z2 = 1, 0 ≤ y ≤ 2, если
поверхностная плотность δ(x;y;z) = (x2 + z2)-1.
5. Найти работу силового поля F ( x; y) x x 2 y 2 ; y x 2 y 2 вдоль дуги
плоской кривой L:
x = 4cos t, y = 4 sin t, (x ≥ 0; y ≥ 0) между точками (4;0) и (0;4).
6. Найти поток векторного поля A через поверхность S в сторону внешней
нормали
1) A {0; y;3z} , где S – часть плоскости x + 2y + 2z = 2, вырезанной
координатными плоскостями
2) A 2 z y 7 x i cos z 2 y j ln x y 5z k , где S – полная поверхность
усечённого конуса z2 + y2 = (x – 5)2, x=1, x=4.
3) A 3xz i 2 x j y k , где S – полная поверхность тела, ограниченного
поверхностями x + y + z = 2, x=1, x=0, y=0, z=0.
7. Найти модуль циркуляции векторного поля A вдоль контура L
1) A y ln( x 1); 2x cos y , L – замкнутая линия y = x2, x = y2.
x 2 y 2 z 2 9,
2) A yz i xz j xy k , L - 2 2
x y 9
272
8. Проверить, будет ли векторное поле A
xi y j z k
x2 y2 z 2
потенциальным. В случае
положительного ответа найти его потенциал.
Задание №13.
Дифференциальные уравнения и системы
Теоретические вопросы по теме: ”Дифференциальные уравнения и
системы”
1. Дайте определения дифференциального уравнения 1-го порядка, его общего и
частного решений. Задача Коши. Геометрический смысл уравнения и его
решений.
2. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи
Коши для уравнении 1-го порядка.
3. Какие уравнения 1-го порядка называются уравнением с разделёнными и
разделяющимися переменными? В каких случаях возможно разделение
переменных?
4. Какие уравнения 1-го порядка называются однородными? Изложите метод
интегрирования однородных уравнений.
5. какие уравнения 1-го порядка называются линейными? Каковы критерии
линейности? Изложите методы решения линейных уравнений.
6. Расскажите об интегрировании уравнения Бернулли.
7. Дайте определение уравнения в полных дифференциалах. Изложите метод его
решения.
8. Дайте определения дифференциального уравнения 2-го, его общего и частного
решений. Проиллюстрируйте их геометрический смысл.
9. Сформулируйте задачу Коши для уравнения 2-го порядка и теорему
существования и единственности её решения.
10. В каких случаях уравнения высших порядков допускают понижение порядка?
Изложите методы интегрирования таких уравнений.
11. Дайте определения линейного Дифференциального уравнения n-го и 2-го
порядка ( однородного и неоднородного). Сформулируйте основные свойства
частных решений линейного однородного уравнения.
12. Сформулируйте понятие и критерий линейной зависимости и линейной
независимости системы функций. Определитель Вронского.
13. Сформулируйте теорему об общем решении однородного линейного
уравнения ( на примере уравнения 2-го порядка).
14. изложите метод нахождение общего решения однородного линейного
уравнения с постоянными коэффициентами.
15. Сформулируйте теорему о структуре общего решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения.
16. Изложите метод вариации произвольных постоянных нахождения общего
решения неоднородного линейного уравнения.
273
17. Изложите метод неопределённых Коэффициентов нахождения частного
решения неоднородного линейного уравнения.
18. Дайте определение нормальной системы Дифференциальных уравнений 1-го
порядка.
19. Изложите методы исключения и характеристического уравнения отыскания
общего решения системы дифференциальных уравнений.
Примеры
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
2. x 1 y 2 yy 1 x 2 0.
1. 4 xdx 3 ydy 3x2 ydy 2 xy 2dx.
4 y 2 dx ydy x 2 ydy.
3.
5.
6 xdx 6 ydy 2 x2 ydy 3xy 2dx.
6. x 3 y 2 dx y 2 x 2 dy 0.
8.
7. e 2 x 5 dy y e 2 x dx 0.
9.
3 y 2 dx ydy x 2 ydy.
4.
6 xdx 6 ydy 3x2 ydy 2 xy 2dx.
yy
10.
1 x2
1 0.
1 y2
x 5 y 2 dx y 4 x 2 dy 0.
2. Найти общие решения уравнений первого порядка.
1) sin( xy) xy cos( xy)dx x 2 cos( xy)dy 0 ,
2) xy' y y ln
x y
,
x
3) (1 x 2 ) y' xy x 2 y 2 ,
4) (1 x 2 ) y' y 1 x 2 xy ,
5) ( xy'1) ln x 2 y ,
6) cos ydx ( x 2 cos y) sin ydy
3. Найти частные решения уравнений
1) xy'2 x 3 y y , у(1) = 4. 2) xy' x y , у(0) = 0.
y
xdy
x
dx 2
e
0 , у(1) = 2.
2
2
2
x
y
x
y
2
2
4) ( x y y) y' x 2 y y x 2 1, у(0) = 0.
3)
4. Найти решения уравнений высшего порядка
1) y' ' y'( y' ) 2 ,
у(0)=0, у’(0)=1, 2) y' ' xy' ' '( y' ' ' ) 3 0 , 3) x( y' '1) y' 0
4) x 3 y ( 4) 4 ,
1
2
, 6) y ' ' y 2 ,
x
3e
sin x
2x
y
'
'
8
y
'
17
y
10
e
8)
5) y ' '3 y '2 y
7) y ' '2 y'15 y x sin 5 x ,
9) x' '9 x (2t 2 5t )e 3t , x(0) 2 , x' (0) 1 ,
10) x' '4 x'4 x 2t 4 t , x(0) 0 , x' (0) 2
5. Найти решения линейных систем
x' 2 x 2 y
y' x 5 y
1)
x' 2 x 4 y
,
y' 4 x 2 y
2)
x(0) 0
y (0) 1
274
dx
dt 5 x 4 y
3)
dy 4 x 3 y
dt
dx
dt 4 x y 5t 1
4)
dy x 2 y t 1
dt
Задание №14
Числовые и функциональные ряды
Теоретические вопросы по теме: ”Ряды”
1. Что такое числовой ряд? Что понимается под суммой ряда? Сформулируйте и
докажите необходимый признак сходимости.
2. Сформулируйте свойства сходящихся рядов. Дайте понятие остатка ряда.
3. Сформулируйте признак сходимости знакоположительных рядов. Какие
эталонные ряды вы знаете?
4. Сформулируйте и докажите признак Даламбера. Поясните, для каких видов
числовых рядов он эффективен.
5.Сформулируйте и докажите радикальный признак Коши. Для каких видов
числовых рядов он применяется?
6. Сформулируйте и докажите интегральный признак Коши. В каких случаях его
следует применять?
7.
Сформулируйте
и
докажите
признак
Лейбница
сходимости
знакочередующихся рядов. Как проводится оценка суммы и остатка такого ряда?
Дайте понятие абсолютной и условной сходимости.
8.Дайте понятия функционального ряда и области его сходимости. Что такое
равномерная и абсолютная сходимость? Перечислите свойства равномерно и
абсолютно сходящихся рядов.
9.Сформулируйте и докажи признак Вейрштрасса равномерной сходимости
функционального ряда?
10. Дайте понятие степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля.
11. Какие условия используются для нахождения интервала сходимости
степенного ряда? Что такое радиус сходимости?
12 Какой ряд называется рядом Тейлора? Рядом Маклорена для данной
функции? Какие условия разложения функции в ряд Тейлора? В чем состоит
формальное построение ряда Тейлора (Маклорена)?
13. Получите ряды Маклорена для некоторых элементарных функции. Укажите
интервалы их сходимости. Поясните на примерах, как, используя готовое
разложение, получить разложение в ряд Маклорена более сложных функций. Как
применяются степенные ряды в приближенных вычислениях?
14. Дайте понятие тригонометрического ряда. Получите формулы Фурье для
нахождения коэффициентов ряда (функции периодическая и заданная на
интервале ; ).
15. Сформулируйте теорему Дирихле об условиях разложения функции в ряд
Фурье.
16. Как выглядят формулы Фурье для четных и нечетных функций?
275
17. Запишите формулы Фурье для случая разложения функции, заданной в
произвольном интервале.
18. Как раскладывать в ряд Фурье непериодические функции?
Примеры
4
2. (1) n 1
n 1
n2
1
1. 2
n 2 n ln n
2 4 ... (2n 2)
4. (1)
1 4 ... (3n 2)
n 1
1
5. 3n 2
(5n 1)
n 1 ln
n
n 2
8.
n3 ln 2 n
2n 2 5 3n
6. (1) 2
n 1
5n n 1
n
n
31 / n
n2
1
7.
37 n 2
3.
n 1 (2n 1)!
n/2
(1) n
n 1
2. Найти области сходимости функциональных рядов
1.
2
n2
( x 2)
( x 2 x 11) n
2. (1)
5 n (n 2 5)
n 1
n2
n
n 1
n
1
4. 3 4 n / x
n
n 1
1
3. 2 tg n x
n 1 n
3. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х0 функции
1. y
1
4 x
2
2. y e 3 x , x0 = 1
, x0 = 0.
4. Вычислить интегралы с точностью 0,001.
0,5
1.
3
ln( 1 x )dx
1
2. cos 3 x dx
0
0
5. Разложить в ряд Фурье функции в указанном интервале
2x
1. y e
0 x2
(по синусам).
2. ó
õ
x 0,
0 x
Задание №15
Операционное исчисление
Теоретические вопросы по теме:
”Операционное исчисление”
1. Изложите понятие и условия существования оригинала.
2. Несобственный интеграл какого вида называется интегралом Лапласа для
оригинала f(t)?
276
3. Какая функция называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу)
оригинала f ( t ) ?
4. Какие свойства преобразования Лапласа вы знаете?
5. Какой имеет вид единичная функция Хевисайда?
6. Приведите изображения для единичной функцииХевисайда.
7. Приведите несколько изображений элементарных функций.
8. Приведите несколько изображений со смешением аргументов элементарных
функций.
9. Приведите несколько изображений с подобием аргументов элементарных
функций.
10. По какой формуле определяют обратное преобразование Лапласа, с помощью
которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению.
11. По какой формуле определяют свертку оригиналов f t и g t .
12. Приведите теорем интегрирование и дифференцирование оригиналов.
13. Приведите теорем интегрирование и дифференцирование изображений.
Примеры
Найти Лаплас-образ следующих оригиналов
1) f t t ( t [0;1] с периодом Т = 1).
2) импульсной функции
t 2 при t [1, 2];
q(t )
0 при t [1, 2].
3)
f (t ) sin 3t 5 cos 4t t 3
4)
f (t ) 5 sin 6t 3 cos 7t 9t 5
5)
f (t ) 8 sin 4t 7 cos5t t 4 e 2t
6)
f (t ) 6 cos3t 12t 4 e 3t 2
Найти оригинал f t , если его Лаплас-образ
1)
2)
3)
p
.
( p 1)2
1
f p
p p4 4
f ( р)
2
f p
ch ap
,
p ch bp
.
где а 0;
b 0.
4) Найти свертку функций f t t и g t sin t .
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
1) x ( IV ) x " 1 с начальными условиями x k 0 0 , где k 0,1, 2, 3 .
277
2) x a2 x t, h с нулевыми начальными условиями, где t, h A H t H t h –
ступенчатая импульсная функция.
3) На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся
на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся
сила Q(t ) A cos t . В момент времени точка подверглась удару, несущему
импульс S . Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в
начальный момент времени она покоилась в начале координат.
4) С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши
x 2 x x
et
t
t 1 ,
с начальными условиями x 0 2; x 0 1 .
5) Найти решение задачи Коши
x x y et ;
t
y x y e
с начальными условиями x 0 y 0 1 .
6) Решить задачу Коши:
x ' 2 x y z;
с
y ' x z;
z ' 3 x y 2 z
начальными условиями x 0 y 0 1, z 0 0 .
278
279
Введение
Данный сборник вопросов и задач для самостоятельных работ по высшей
математике предназначен для студентов, изучающих курс высшей математики.
Сборник самостоятельных заданий по высшей математике построен в виде
занятий, и прежде чем начать решать задачи, Вам предлагается ответить на
вопросы теории. Цель этих самостоятельных занятий расширить и закрепить
Ваши знания, акцентировать Ваше внимание на ключевых понятиях данных
разделов.
280
Лабораторная работа №1
Решения систем линейных алгебраических
уравнений по формулам Крамера
Пусть дана СЛАУ из двух уравнений с двумя неизвестными:
a11 x a12 y b1
a21 x a22 y b2 .
(1)
Здесь a11 , a12 , a21 и a22 -коэффициенты при неизвестных, b1 и b2 свободные
числа (или члены).
Обозначим через
a11
a12
a 21
a 22
основной определитель, составленный из
коэффициентов неизвестных, через x
b1
a12
b2
a22
- определитель, где
коэффициенты при x заменены свободными членами, через
y
a11
b1
a21
b2
определитель, где коэффициенты при y заменены свободными членами.
При условии, если 0, то неизвестные находятся по формулам
y
, которые называются формулами Крамера.
x x и y
Теперь приведём примеры для данного метода.
Пример 1.Решить систему уравнение
2 x 3 y 1
5 x 4 y 1.
Обозначим:
y
2
5
2
5
3
2 4 3 5 7 0 ,
4
x
1
1
3
4 3 7;
4
1
2 5 7.
1
y 7
x
7
1.
1; y
7
7
y 1.
Таким образом, имеем x 1,
Откуда находим
x
Пример 2. Решить систему уравнение
Находим , 1 x1 ,
3x1 2 x2 x3 6
2 x1 3x2 3x3 2
4 x 2 x 5 x 1.
2
3
1
2 x2 ,
3 x3 .
3
2
1
6
2
1
2
3
1
3
3
4
2
5
45 24 4 12 18 20 87 0 , 1 2
1
2
5
281
90 6 4 3 36 20 87 ,
3
6
1
3
2
6
2 2
2
3
30 2 72 8 9 60 87 , 3 2
4
3
2
2
1
4
1
5
9 16 24 72 4 12 87 .
После чего, по формулам Крамера получим:
87
87
87
x1
1;
x2
1;
x3
1.
87
87
87
Пусть
имеем
систему
линейных
алгебраических
уравнений:
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n b2
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
a x a x a x b
nn n
n
n1 1 n 2 2
Ее можно записать в матричной форме:
AX = B,
где
x1
b1
x2
b
A aij i, j 1,2,,n; X ;B 2 .
xn
bn
Если определитель матрицы A не равен нулю, то система имеет
единственное решение, определяемое формулами:
x1
1 , x 2 , , x n
2
n
Здесь i – определитель n-го порядка, получающийся из определителя
матрицы A коэффициентов системы заменой i-го столбца столбцом свободных
членов.
Например,
3x1 2 x2 x3 2
2 x1 x2 2 x3 3 ;
4 x x 3x 5
3
1 2
3 2 1
2 2 1
2 1 2 17; 1 3 1 2 16;
4
1 3
5
1 3
3 2 1
2 2 3 2 3;
4 5
3
x1
3 2 2
3 2 1 3 8;
4
1 5
16
3
8
; x 2 ; x3 .
17
17
17
Отметим, что если определитель матрицы А коэффициентов квадратной
системы линейных уравнений равен нулю, то возможен один из двух случаев:
либо система несовместна, либо она совместна и неопределенна.
282
Варианты задания
Найти решения системы уравнений по формулам Крамера, где n-номер варианта
студента по журналу:
x ny 3z 2
nx 2 y 5 z 3
2 x y nz 4.
Лабораторная работа №2
Решение систем линейных алгебраических
уравнений матричным методом
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений.
3 x1 2 x 2 4 x3 5
4 x1 5 x 2 3 x3 6
2 x1 5 x 2 4 x3 1
(1)
обозначим
3 2 4
А 4 5 3 ,
2 5 4
х1
Х х2 ,
х
3
5
В 6 ,
1
где А-матрица коэффициентов при неизвестных, Х–матрица столбец
неизвестных, В- матрица столбец свободных чисел.
Умножая матрицу А на матрицу Х и приравнивая к матрице В получим
АХ=В ,
(2)
матричную запись системы (1), где требуется найти неизвестную матрицу Х.
Если матрица невырожденная, то система (1) имеет единственное решение.
Допустим, что матрица А невырожденная, тогда существует обратная матрица А1
. Обе части равенства (2) умножим слева на А-1, тогда получим:
А1 АХ А1 В ,
(3)
Так, как
А-1А=Е
и ЕХ=Х,
то имеем
283
Х=А-1В .
(4)
-1
Таким образом, получаем решение системы (1). Но в данном случае матрица А
не вычислена, т.е. элементы обратной матрицы А-1 подлежать определению.
Иначе говоря, решение системы (1) сводится к нахождению обратной матрицы
для А. По этой причине, этот метод называется матричным методом решения
СЛАУ.
Обратная матрица А-1 к матрице А имеет следующий вид:
A11 A21 A31
1
А
A12 A22 A32 ,
det A
A13 A23 A33
где элементы Aij (i 1;3 , j 1;3) находятся следующим образом
1
Aij (1) i j M ij , здесь M ij миноры матрицы А.
3
Вычислим detA: det A 4
2
2 4
5 3 60 12 80 40 45 32 61.
5
4
Теперь вычислим элементы Aij :
A11 (1)11
5 3
20 15 5 ,
5 4
A13 (1)13
4 5
20 10 30 ,
2 5
A21 (1) 21
2 4
(8 20) 12 ,
5 4
A22 (1) 2 2
3 4
12 8 4 ,
5 4
A23 (1) 23
3 2
(15 4) 11 ,
2 5
A12 (1)1 2
A31 (1) 31
2 4
6 20 14 ,
5 3
A33 (1) 33
3 2
15 8 23.
4 5
4 3
(16 6) 22 ,
2 4
A32 (1) 3 2
3
4
4
(9 16) 25 ,
3
После того, как найдены элементы обратной матрицы A-1, то можно
написать
A11
1
A
А 1
12
det A
A13
A21
A22
A23
A31
5 12 14
1
A32 22 4
25 .
61
30 11
23
A33
Для проверки правильности A-1, нужно проверить А-1А=Е.
5 12 14 3
1
A 1 A 22 4
25 4
61
30 11 23 2
2 4
61 0 0 1
1
5 3 0 61 0 0
61
0
5 4
0 61 0
к как, получена единичная матрица, то A-1 найдена правильно.
5 12 14 5
61 1
1
1
Теперь находим A 1 B 22 4 25 6 61 1.
61
61
30 11 23 1
61 1
284
0 0
1 0 E. Та
0 1
Из того, что
получим
X A1 B
x1 1
X x 2 1 , откуда имеем
x3 1
x1 1, x2 1, x3 1,
а это и есть решение данной системы.
Варианты задания
Найти решения системы уравнений матричным методом, где n-номер варианта
студента по журналу:
x ny 3z 2
nx 2 y 5 z 3
2 x y nz 4.
Лабораторная работа №3
Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
.
Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее
несовместность. Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или
методом последовательного исключения неизвестных.
Выпишем расширенную матрицу системы
Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:
1. перестановка строк;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.
Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления
определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами.
Читатель легко проверит, что если по матрице, полученной из
выполнением
элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система
будет равносильна исходной.
285
Цель алгоритма -с помощью применения последовательности элементарных
операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может,
первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в
каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец
в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой
элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не
нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена
строк в матрице уже произведена, то есть a1 j 0 . Тогда ко второй строке
a2 j
прибавим первую, умноженную на число
a
1j
a3 j
, и т.д.
первую, умноженную на число
a
1j
, к третьей строке прибавим
В результате получим матрицу
a11 a12 a13 ... a1n b1
0 a22 a23 ... a2 n b2
0 a
32 a33 ... a3 n b3
A1
.....................................
0 an 2 an 3 ... ann bn
Если в матрице A1 встретилась строка с номером , в которой все
элементы a kj равны нулю, а bkj 0 , то выполнение алгоритма останавливаем и
делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему
уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь
вид
0 x1 0 x2 ... 0 xn bk .
Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел x1 , x2 , ... , xn .
К матрице A1 применяем тот же метод что и для A, тогда получим матрицу
следующего вида
286
a11 a12 a13 ... a1n b1
a22 a23 ... a2 n b2
0
0
0 a33 ... a3n b3
.
A2
.....................................
0
0
a
.
.
.
a
b
n
3
nn
n
Продолжая применять этот метод последовательно для матрицы An
a11 a12 a13 ... a1n1 a1n b1
a22 a23 ... a2 n1 a2 n b2
0
0
0
a
.
.
.
a
a
b
33
3n 1
3n
3
получим An
.
...............................................
0
0 ... 0 ann bn
0
b
Теперь из уравнение a nn xn bn находим xn n . Найденный корень подставляя
ann
b
bn1 an1n n
ann
в уравнение an1n1 xn1 an1n xn bn1 находим xn1
. Таким
an1n1
образом продолжая этот процесс, последовательно находим все корни
xn , xn1 , xn2 , . . . , x2 , x1.
Пример. Решите систему
Решение. Имеем:
3
Первую строку, умноженную на числа , (1), (2) прибавим
2
соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам:
287
4
К третьей строке прибавим вторую, умноженную на . Получим
7
К четвертой строке прибавим третью, умноженную на
49
15
:
Выписываем по матрице A3 систему уравнений:
Находим последовательно значения неизвестных:
Ответ:
.
288
Варианты задания
Найти решения системы уравнений методом Гаусса, где n-номер варианта
студента по журналу:
x ny 3z 2t 2
nx 2 y 5 z 3t 3
2 x y nz 6t 4
3x 2 y 3z nt 5.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 (2к)
Приближенное решение дифференциального уравнения вторго порядка
I. Метод последовательного дифференцирования
Пусть дано дифференциальное уравнение (ДУ) второго порядка
y' ' F x, y, y'
(1)
с начальными условиями
y / x xo y0 ;
y' / x xo y'0 .
(2)
Требуется найти частное решение (1), удовлетворяющее начальным условиям
(2).
Искомую функцию у=у(х) разложим в степенной ряд по степеням
х-хо. Этот ряд, как и все степенные ряды, является рядом Тейлора своей суммы.
Поэтому он имеет следующий вид:
(n)
y ' ( x0 )
(3)
x x0 y' ' ( x0 ) x x0 2 ... y ( x0 ) x x0 n ...
y y x0
1!
2!
n!
Из условие (2) получим y0 yx0 , y'0 y' ( x0 ) , а из уравнение (1) имеем
y ' ' ( x0 ) y ' ' x x F x0 ; y 0 ; y ' 0 .
Теперь уравнение (1) последовательно дифференцируем и после каждого
раза дифференцирования положив x=x0 найдем следующие:
0
y ' ' ' ( x0 ), y ( IV ) ( x0 ), y ( v ) ( x0 ),... y ( n ) ( x0 )
.
Здесь процесс заканчивается в двух случаев:
1) процесс прерывается по данным коэффициентам;
2) процесс заканчивается нахождением общего числа (члена) коэффициентов.
289
Найденные значения производных подставим в равенство (3). Полученный
ряд, для всех значений х, при которых сходится ряд (3), будет искомым
решением данного ДУ.
y ' ' xy' y
Пример 1. Дано ДУ
(1) с начальными условиями
y / x0 0, y' / x0 1 (2).
Решение. Из
уравнение (1)
удовлетворяющее условиям (2) находим
y ' ' (0) 0 1 0 0 .
Теперь последовательно дифференцируя уравнение (1) и используя
условия (2) получим следующие:
y ' ' ' 2 y ' xy' '
y
IV
3 y ' ' xy' ' '
y ' ' ' ( 0) 2
y IV (0) 0
y V 4 y ' ' ' xy IV
y V ( 0) 8 2 4
y VI 5 y IV xyV
y VI (0) 0
y VII 6 y V xyVI
y VII (0) 48 2 4 6;
y ( 2 n ) (2n 1) y ( 2 n 2 ) xy( 2 n 1) ,
y ( 2 n ) (0) 0
y ( 2 n 1) 2ny ( 2 n 1) xy( 2 n ) ,
y ( 2 n 1) (0) 2 4 6 2n (2n)!!
Теперь полученные значения для производных подставим в ряд (3):
1
0
2
0
y 0 ( x 0) ( x 0) 2 ( x 0) 3 ( x 0) 4 ...
1!
2!
3!
4!
или это кратко запишем в следующем виде :
(2n)!! 2n1 x 2n1
x3
x5
x7
x
x
...
1 3 1 3 5 1 3 5 7
n0 (2n 1)!
n 0 (2n 1)!!
y
Найдем радиус сходимости этого ряда. Так как
un
x 2 n1
,
1 3 5 7(2n 1)( 2n 1)
un1
x 2 n 3
1 3 5 7...(2n 1)( 2n 3)
то по признаку Даламбера
u n1
x 2 n 3
1 3 5 7...(2n 1)( 2n 1`)
lim
n u
n 1 3 5 7...2n 1( 2n 3)
x 2 n1
n
lim
x2
1
x 2 lim
x2 0 0 1
n 2 n 3
n 2n 3
lim
ряд сходится при всех значений х, т.е. радиус сходимости R .
Таким образом искомое решение будет функция в виде ряда (3):
(2n)!! 2n1 x 2n1
x3
x5
x7
x
x
...
1 3 1 3 5 1 3 5 7
n0 (2n 1)!
n 0 (2n 1)!!
y
II. Метод сравнение коэффициентов
Пусть дано дифференциальное уравнение (ДУ) второго порядка
y' ' F x, y, y'
(1)
с начальными условиями
y / x xo y0 ;
y' / x xo y'0 .
(2)
Требуется найти частное решение (1), удовлетворяющее начальным условиям
(2).
290
Искомое решение у= у(х) разложим в степенной ряд по степеням х-х0 . Из
начальных условий находим коэффициенты
а0 у0 ,
а1 у'0 , a2
y0''
y ( n1)
,..., an1
,...
2!
(n 1)!
В данном ДУ вместе y, y , y и данной функции подставляем их разложения по
степеням
x-x0 при x=x0 , потом приравниваем коэффициенты при х-х0 с
одинаковыми степенями, после чего находим коэффициенты ряда.
Пример 2. Дано ДУ
с начальными условиями
y ' ' 2 xy' 4 y
y / x 0 0, y' / x 0 1 .
Требуется найти решение данного ДУ удовлетворяющее начальных условий.
Решение. Пусть
y a 0 a1 x a 2 x 2 ... a n x n ...
Из начальных условий определим, что
ao 0, a1 1 ,
откуда получим
y x a 2 x a3 x ... a n x ...
2
3
n
Дифференцируя у два раза получим
y '1 2a 2 x 3a3 x 2 ... na n x n 1 ...
y ' ' 2a 2 2 3a3 x ... (n 1)na n x n 2 ...
Эти выражения подставим в данное ДУ:
2a2 2 3a3 x ... (n 1)nan x n2 ...
2 x(1 2a2 x 3a3 x 2 ... nan x n1 ...) 4( x a2 x 2 a3 x 3 ...an x n ...)
Теперь приравниваем коэффициенты при x с равными:
т.е. a2 0
2a2 0
т.е. a3 1
2 3a 2 4
т.е. a4 0
3 4a 4a 4a
3
4
2
2
n(n 1)an (n 2) 2an2 4an2 n2an 2 ,
или
n(n 1)an n2an2
an
2a n 2
,
n 1
из
полученного находим следующее
a5
2 1 1
;
4
2
a6
2a 5
2a 4
20
1
0; a 7
;
5
5
6
3!
1
2
1
a9 3! , . . . ,
a 2 k 0,
8
4!
2a 6
0
0;
7
7
1
2
(k 1)! 1
a 2 k 1
.
2k
k!
a8
Подставляя найденные коэффициенты в ряд для выражения у, получим:
y x x3
x5 x7
x 2 k 1
...
...
2! 3!
k!
Полученный ряд является сходящимися для всех значений x. Окончательно
будем иметь:
2
x2
x4
x6
x8
y x(1
...) xe x .
1!
Итак,
2!
3!
4!
2
y xe x является частным решением данного уравнения.
291
Варианты задания
1
y xy
y x 0 1
2
y xy y
y x 0 1
3
y y xy o
y x 0 0
y x 0 0
y x0 1
16
y yy x 2
y x 0 1
yx0 1
17
y x sin xy
y x1 0
y x 0
18
y xy y 1
y x 0 0
y x 0 0
2
y x 0 0
4
(1 x 2 ) y xy
y x 0 1
y x0 1
19
y xyy
y x 0 1
yx0 1
5
y 2 xy 0
y x 0 1
y x0 1
20
xy y y
y x 0 0
y x0 1
6
y xyy
y x 0 1
y x0 1
21
y 1 x 2 2 xy
y x 0 1
y x 0 3
7
xy y 0
y x 0 1
y x 1 1
22
xy x( y ) 2 y
y x 0 2
y x2 1
8
y"2 xy' 2e x 2 y x0 1
y'
0
23
y"9 y 9
y
9
y" y 2 cos x 0
y x 0 1
y x 0 0
24
2 xy 3 y 2 1
y x 2 1
y x 2 1
10
y xy 0
y x 0 1
y x 0 0
25
yy x 2 ( y ) 2
y x1 2
y x1 1
11
y xy y e x
y x 0 0
yx0 1
26
y 3 xy' ' y '
y x 1 1
y x1 0
12
y xy 2 y'
y x 0 2
y x0 1
27
y xy' y 1
y x 0 1
y x 0 0
13
y xy 2 y'
y x 0 1
y x 0
28
y y y sin 2 x 0 y x 0
y x 1
14
y xy y
y x 0 1
y x 0 0
29
y 2 xy e x
y x 0 2
yx0 1
15
(1 x 2 ) y xy y 0
y x 0 1
yx0 1
30
y x 2 y 2 y( x 1)
y x 0 1
yx0 1
x 0
3
292
x o
0 y'
x 0
3
293
294