Лекции по ТФКП часть 2

Функция
z  ln w аналитична при
w  0 , как функция обратная для
аналитической функции w  e z , а ее производная
 ln w 
1
 e 

z
1 1
 .
ez w
Другие однозначные ветви логарифмической функции отличаются от главной
ветви
z  ln w на постоянные вида
i 2 k ,
а следовательно их производные
совпадают с производной функции z  ln w .
Этот факт условно записывают так
 Lnw  
1
, w  0.
w
Точка w  0 — особая точка для логарифмической многозначной функции. Эту
точку w  0 называют точкой ветвления многозначной функции z  Lnw . .
Значения многозначной логарифмической функции
z  Lnw при w  w0  w  0
называются логарифмами комплексного числа
уравнение
ez  w
w0
И
, как мы показали, решая
(смотри свойства показательной функции), эти логарифмы
определены для любого комплексного числа
w0  0
И ВЫЧИСЛЯЮТСЯ
при помощи
формулы
Lnw0  ln w0  i  arg w0  2 k  ,  k  0,  1,  2,
.
Свойства логарифмов комплексных чисел.
1. Ln  w1  w2   Lnw1  Lnw2. .
В самом деле,
Ln  w1  w2   ln w1  w2  iArg  w1  w2   ln w1  ln w2  i  Argw1  Argw2  
  ln w1  iArgw1    ln w2  iArgw2   Lnw1  Lnw2 .
2. Аналогичным образом доказывается, что
Ln  w1 / w2   Lnw1  Lnw2.
3. Имеет место следующее соотношение
Lnwn  n ln w  2 ik .
Действительно
Lnwn  Ln  w  w 
 w  Lnw  Lnw 
  ln w  i 2 k1    ln w  i 2 k2  
 Lnw 
  ln w  i 2 kn   n ln w  i 2 k . .
Здесь k1 , k2 ,
, kn — произвольные, не зависящие друг от друга, целые числа, и
их сумма - произвольное целое число k .
Обратим внимание на следующие три случая.
1) Пусть w — положительное действительное число.
Тогда
Lnw  ln w  i  arg w  2 k   ln w  2 ik .
В этом случае Lnw имеет бесконечное множество значений, однако лишь одно из
них является действительным. Это
ln w , т.е. то значение логарифма, которое
известно из элементарной алгебры.
2) Пусть w — отрицательное действительное число.
Тогда имеем
Lnw  ln w  i  arg w  2 k   ln  w  i   2 ik   ln  w  i  2k  1 .
В этом случае среди бесконечного множества значений нет ни одного
действительного.
3) Пусть w  1.
Тогда
Lnw  ln w  iArgw  iArgw.
В этом случае все значения логарифма являются чисто мнимыми.
4.9. Радикал
Определение 4.5.
Радикалом n  й степени называется соответствие обратное степенной функции
w  zn.
Разрешая данное уравнение при произвольном w относительно
формулу для нахождения значений радикала для данного w
z
n
arg w  2 k
arg w  2 k 

w  cos
 i sin
,
n
n

 
k  0,1,
, n  1.
Последнюю формулу кратко запишем следующим образом
z  n w.
z получим
Символ
n
w обозначает множество всех значений радикала для данного w , т.е.
n
w
n
arg w  2 k
arg w  2 k 

w  cos
 i sin
,
n
n

 
k  0,1,
(4.25)
, n  1.
Таким образом, мы видим, что соответствие-радикал n -значно и функцией в
современном понимании этого слова не является.
Однако в случае, когда многозначное соответствие определено на множестве
комплексных чисел и значениями этого соответствия являются комплексные числа,
многозначное соответствие называют многозначной функцией. (Этот случай имеет
место у нас).
z  n w — "многозначная функция" комплексного переменного
Итак, радикал
w.
Полагая в формуле (4.25)
k  0, k  1, , k  n  1,
получим n однозначных функций
z
z
n
n
arg w
arg w 

w  cos
 i sin

n
n 
 
 w ,
n
0
arg w  2
arg w  2

w  cos
 i sin
n
n
 



 w ,
n
1
arg w  2  n  1
arg w  2  n  1 

z  n w  cos
 i sin

n
n
 

 w
n
,
n 1
которые называют однозначными ветвями многозначного радикала n -й степени.
Каждая ветвь в силу ее определения является функцией обратной для функции
w  z n , точнее для ее сужения на некоторый угол с вершиной в начале координат.
Так, например, ветвь
z
n
arg w
arg w 

w  cos
 i sin

n
n 
 
(4.26)
есть функция обратная для сужения функции w  z n на угол 0  arg z   2 / n  , так
как функция w  z n , как известно, однолистна внутри данного угла (рис.4.12), а значит,
имеет обратную функцию. Этой обратной функцией может быть эдна из ветвей
радикала n -й степени, гак как этот радикал является соответствием, обратным для
степенной функции w  z n . Осталось показать, что именно ветвь z 
 w
n
0
является
обратной функцией в углу 0  arg z   2 / n  .
Легко заметить, что условию
0  arg z   2 / n 
из всех однозначных ветвей удовлетворяет единственная ветвь
z
 w .
n
0
В точке w  0 все ветви радикала совпадают по определению
 0   0
n
n
0

1

 0
 0.
n
n1
Точка w  0 называется точкой ветвления многозначной функции
z
 w .
n
0
Каждая из однозначных ветвей радикала, будучи обратной для сужения
аналитической в С степенной функции w  z n на некоторое множество точек, будет
аналитической во всех точках комплексной плоскости, кроме w  0 .
4.10. Поверхность Римана
Рассмотрим
функцию
w  z2 .
полуплоскость (угол 0  arg z   )
Мы
знаем,
что
функция
w  z 2 верхнюю
G1 отображает на всю комплексную плоскость с
разрезом вдоль положительной действительной оси.
Будем считать, что образом G1 является первый экземпляр комплексной плоскости
w1 с разрезом (рис.4.13).
Положительная часть оси Ox переходит при отображении в верхний край разреза,
а образом отрицательной части оси Ox является нижний край разреза.
Область G2 (угол 0  arg z  2 ) функцией w  z 2 также отображается на всю
комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси.
Будем считать, что образом G2 является второй экземпляр комплексной плоскости
wII с разрезом.
Отрицательная часть оси Ox как граница области G2 переходит в верхний край
разреза, а положительная часть оси Ox переходит в нижний край разреза.
Указанная договоренность имеет смысл, так как если луч
Oz * начинает
перемещаться в области G2 от отрицательной части оси Ox , то образ луча Oz * — луч
Ow * начинает двигаться от верхнего края разреза плоскости wII .
Склеим края границ областей G1 и G2 , тогда нужно склеить и разрезы их образов.
Склеим верхний край разреза плоскости wI с нижним краем разреза плоскости wII , а
нижний край разреза плоскости wI с верхним краем разреза плоскости wII * . Получим
2-листную поверхность, на которую функция w  z 2 взаимно однозначно отображает
всю комплексную плоскость. Следовательно, обратная функция z  w будет на
построенной поверхности однозначной и будет отображать эту поверхность на всю
комплексную плоскость.
Построенная поверхность называется поверхностью Римана функции z  w .
Аналогично строятся поверхности Римана для радикала
n
w при n  3, n  4,
. При
этом число листов, из которых будет состоять поверхность Римана, соответственно равны 3, 4 и т.п.
4.11. Обратные тригонометрические функции
Известно, что уравнение
z  sin w
имеет решение при любом z .
(4.27)
Решение уравнения (4.27) будем обозначать символом
словами, w  Arc sin z есть множество всех значений
w  Arc sin z .
Иными
w , удовлетворяющих уравнению
z  sin w. Найдем формулу для вычисления Arc sin z . Заменяя в (4.27) sin w через
eiw  eiw
, получим
2i
eiw  eiw
 z, e2iw  2izeiw  1  0.
2i
Последнее равенство разрешим относительно
eiw . Найдем
eiw  iz  1  z 2 .
Отсюда

w  Arc sin z  1/ i  Ln iz  1  z 2

(4.28)
или


Arc sin z  i  Ln iz  1  z 2 .
Аналогичные формулы могут быть получены и для
Arc cos z , Arctgz , Arcctgz.
Так, например,

w  Arc cos z  1/ i  Ln z  z 2  1

или


Arc cos z  i  Ln z  z 2  1 .
Из
(4.28)
следует,
что
при
любом
z,
так
как iz  1  z 2  0,
Arc sin z , существует и имеет бесконечно много значений.
Если z - действительное число и z  1, то
iz  1  z 2  1
и


w  Arc sin z  arg iz  1z 2  2 k .
В этом случае все значения Arc sin z действительные и совпадают со значениями
Arc sin x .
Пример.
Вычислить Arc sin 2i .
Решение.

Arc sin 2i  i  Ln i  2i  1   2i
2
  iLn 2 

5 .
Далее, 2  5  0, поэтому 2  5  5  2,


arg 2  5  0, Arcsin2i  iLn


5  2  2 k
 k  0, 1,  2, .
Очевидно, 2  5  0, поэтому Arcsin2i  iLn


5  2   2k  1 
 k  0, 1,  2, .
4.12. Дробно-линейная функция
Эта функция определяется следующим равенством
w
az  b
 l  z,
cz  d
(4.29)
где a, b, c, d — заданные комплексные числа при условии
a b
 0;
c d
z — независимая комплексная переменная.
Замечание 1.
Рассмотренная ранее функция
w  1/ z является частным случаем дробно-
линейной функции. Если a  0, b  1, c  1, d  0, то из (4.29) получим w  1/ z .
Из формулы (4.29) видно, что дробно-линейная функция определена во всей
комплексной плоскости, кроме точки p   d / c, называемой полюсом дробно-линейной
функции.
Разделив в формуле (4.29) числитель на знаменатель, получим
w  A
где B 
B
 l  z,
z p
(4.30)
b ad

 0; p  d / c; A  a / c .
c c2
Свойства дробно-линейной функции.
1. Как мы уже отметили, область определения дробно-линейной функции —
все множество комплексных чисел за исключением точки p  d / c.
2. Множество значений дробно-линейной функции — все множество
комплексных чисел за исключением точки A  w.
В самом деле уравнение (4.30) разрешимо относительно z при любом w  A :
z  p
B
.
w A
(4.31)
Это означает, что дробно-линейная функция принимает любое значение w  A.
3. Из (4.30) видно, что
A
B
B
 A
,
z1  p
z2  p
если z1  z2 , т.е. дробно-линейная функция является однолистной в своей области
определения.
4. Продолжение функции в расширенную комплексную плоскость.
Заметим, что

B 
lim  A 
  ,
z p
z p


B 
lim  A 
  A,
z 
z p

(4.32)
(4,33)
B 

lim  p 
  ,
w A
w A

(4.34)
B 

lim  p 
  p.
w
w A

(4.35)
Используя очевидные равенства (4.32) — (4.35), дробно-линейную функцию l можно
продолжить по непрерывности на расширенную комплексную плоскость C  C

(буквой C всегда обозначаем множество всех комплексных чисел)
B

 A  z  p , z  p , z  ,

l  z    ,
z  p,
 A,
z  .


(4.36)
Так доопределенная функция осуществляет взаимнооднозначное
расширений
w  A
комплексной
B
,
z p
плоскости

C C
отображение
на себя, так как функция
как мы уже отметили, взаимно-однозначно отображает множество
C1  C \  p на множество C2  C \  A и кроме того имеем:
l  p   , l     A; l   A  ; l      p.
5. Дробно-линейная функция аналитична во всей комплексной плоскости
кроме полюса.
В самом деле, в любой точке z  p существует
l  z  
dw 
B 
B
  A
 0,
 
2
dz 
z p
 z  p
и это означает аналитичность дробно-линейной функции во всей комплексной
плоскости с исключенным из нее полюсом функции.
Так кaк дробно-линейная функция l однолистна в области C1  C \  p и l   z   0, то
она конформно отображает область C1 на ее образ - область C2  C \  A .
Замечанние 2.
Можно ввести понятие конформности отображения в полюсе и в бесконечно
удаленной точке
z   , тогда окажется, что дробно-линейная функция конформно
отображает расширенную комплексную плоскость на себя.
6. Круговое свойство дробно-линейной функции.
Как известно, уравнение вида
A *  x 2  y 2   B * x  Cy  D  0
(4.37)
есть уравнение окружности, если A*  0 , и является уравнением прямой, если A*  0 .
Полагаем
z  x  iy , z  x  iy.




Тогда x  z  z / 2, y  z  z / 2i , и уравнение
(4.37) примет вид




A * z  z  B * z  z / 2  C z  z / 2i  D  0
или
A * z  z  Ez  E  z  D  0,
где E  1/ 2   B * iC  ; E  1/ 2   B * iC  .
(4.38)
Теорема 4.1.
Каждая дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую
или окружность, причем прямая может переходить в окружность и наоборот.
Доказательство.
Дробно-линейную функцию
w  A
B
z p
можно представить как композицию следующих отображений:
1 t  z  p; 2   1/ t; 3 w  A  B .
t  z  p — это параллельный перенос на плоскости. При этом
Отображение
отображении прямая остается прямой, окружность - окружностью.
Отображение w  A  B — это отображение подобия, поворота и параллельного
переноса. При этом отображении также прямая остается прямой, окружность окружностью.
Рассмотрим более подробно отображение   1/ t .
На плоскости
уравнение окружности имеет вид
A * t  t  Et  E  t  D  0
(4.39)
(см.уравнение (4.38), если A*  0 — это уравнение окружности).
Если   1/ t , то   1/ t , t  1/  , t  1/  .
На плоскости
точки, лежащие на окружности или прямой, удовлетворяют
уравнению (4.39). Какому уравнению будут удовлетворять образы точек окружности
при отображении   1/ t ?
Чтобы получить это уравнение, подставим   1/ t , и t  1/  в уравнение (4.39) и
получим
A*
1

1
1
 E  E  D  0.


Последнее уравнение равносильно уравнению
D  E1  E1  A*  0,
(4.40)
E1  E, E1  E (при условии, что   0 ).
Уравнение
на плоскости
(4.40)
.
—
это
уравнение
прямой
или
окружности
Таким образом, все три отображения, из которых составлена дробно-линейная
функция
w  A
B
z p
отображают прямые или окружности в прямые или окружности, а следовательно, и
дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или
окружность. Теорема 4.1. доказана.
7. Дробным отношением четырех точек z1 , z2 , z3 , z4 называется выражение
 z1 , z2 , z3 , z4  
z1  z3 z1  z4
:
.
z 2  z3 z 2  z 4
Теорема 4.2.
При дробно-линейном отображении
w
az  b
cz  d
двойное отношение любых четырех попарно различных точек не изменяется,
т.е. если
wi  w  zi 
i  1, 2,3, 4 ,
то  w1 , w2 , w3 , w4    z1 , z2 , z3 , z4  .
Доказательство.
Подставляя в двойное отношение  w1 , w2 , w3 , w4  разности
wi  w j 
где i  1, 2; j  3, 4,
azi  b az j  b  ad  bc   zi  z j 


,
czi  d cz j  d  czi  d  czi  d 
после алгебраических преобразований получим выражение
 z1, z2 , z3 , z4 
Теорема доказана.
Замечание 3.
Теорема 4.2. позволяет найти дробно-линейную функцию, переводящую три
попарно различные точки z1 , z2 , z3
соответственно в три попарно различные точки
w1 , w2 , w3 . Эта функция определяется равенством
w  w1 w3  w1 z  z1 z3  z1
:

:
.
w  w2 w3  w2 z  z2 z3  z2
(4.41)
В самом деле, выразив
w через z из равенства (4.41), мы получим дробно-
линейную функцию (помним, что z1 , z2 , z3 , w1 , w2 , w3 — заданные числа).
Из равенства (4.41) кроме этого видно, что при z  zk , w  wk , k  1, 2,3, т.е. точка
zk отображается в точку wk .
Замечание 4.
Мы знаем, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную
плоскость на себя, а также из теоремы о круговом свойстве знаем, что с помощью
дробно-линейной функции можно отображать конформно области ограниченные
прямыми или окружностями, на области, ограниченные прямыми или окружностями.
Например:
1) круг на круг;
2) круг на внешность круга;
3) полуплоскость на внутренность или внешность круга и наоборот.
Как выполняется такое отображение покажем на примерах.
Задача.
Отобразить конформно круг
полуплоскость плоскости
w
z  1 на плоскости
на верхнюю
z
.
Решение задачи.
Чтобы решить поставленную задачу, достаточно отобразить границу
окружности z  1 на границу y - ось
O1u
на плоскости
w
l—
с сохранением
ориентации (рис.4.14).
Для построения дробно-линейной функции, отображающей окружность z  1 на
ось O1u достаточно выбрать три различные точки
z1 , z2 , z3 на окружности z  1 и три различные точки w1 , w2 , w3 на оси .
Тогда, как мы знаем из замечания к свойству 7, существует дробно-линейная
функция» определяемая равенством (4.41), которая отображает точку zk в точку wk
k  1, 2,3 , а, следовательно, окружность z  1 отобразится на ось O1u .
При этом оказывается, что, если три точки
z1 , z2 , z3 и точки
w1 , w2 , w3
занумерованы в указанном на чертеже порядке (при движении от z1 к z2 через точку
z2 область g остается слева, а при движении от w1 к w3 через w2 область D также
остается слева), то дробно-линейная функция, определенная равенством (4.41), сохранит
ориентацию при отображении кривой l на кривую y , а, следовательно, данная функция
и решит поставленную задачу.
Замечание 5.
Утверждение о сохранении ориентации при отображении кривой l на кривую y
при указанном выборе точек zk , и wk
 k  1, 2,3
кривых l и y соответственно
приводится нами без доказательства.
4.13. Функция Жуковского
Функцией Жуковского называется функция вида
1
1
w  f  z    z  .
2
z
(4.42)
Функция (4.42) называется так из-за тех приложений, которые дал ей
Н.Е.Жуковский (1847-1921) в аэродинамике.
Установим некоторые свойства функции Жуковского.
1. Функция
1
1
w z 
2
z
определена и однозначна для всех z  0.
2. Она аналитична в области C \ 0 , при этом
1
1
w  1  2  .
2 z 
3. Найдем область однолистности отображения
1
1
w  f  z    z  .
2
z
Для этого посмотрим, где возможно нарушение однолистности функции
Жуковского в комплексной плоскости, т.е. где при z1  z2
будем иметь
1
1  1
1
 z1     z2   .
2
z1  2 
z2 
(4.43)
Отсюда находим
z1  z2 
z1  z2
.
z1 z2
Так как z1  z2 , то из последнего равенства следует
z1 z2  1.
(4.44)
Таким образом, для однолистности отображения (4.42) в какой-нибудь области D
необходимо и достаточно, чтобы область D не содержала никакой пары точек
z1 и
z2 , для которых z1 z2  1.
Геометрически равенство (4.44) означает, что точка z2  1/ z1 получается из точки
z1 двойной симметрией относительно окружности z  1 и относительно прямой
Im z  0. .
Примером
области,
удовлетворяющей
условию
однолистности,
является,
например, внутренность единичного круга z  1 или его внешность z  1. .
4. Рассмотрим отображение окружности
z  r , осуществляемое функцией
Жуковского.
Положим w  u  i ,
z  rei .
Тогда
1
1
1
 1

w  u  i   rei  e  i    r  cos   i sin     cos   i sin    
2
r
r
 2

1
1
1
1
  r   cos   i  r   sin  .
2
r
2
r
Отсюда находим параметрические уравнения образа окружности
1
1
1
1
u   r   cos  ,    r   sin  .  0    2 
2
r
2
r
(4.45)
Исключив параметр  , получим
u2  2

 1,
a 2 b2
(4.46)
1
1
1
1
где a   r   , b   r   , то есть получим эллипс с полу осями a и b .
2
r
2
r
Таким образом, функция
1
1
w   z   отображает окружность z  r в эллипс.
2
z
Так как a 2  b2  1, , то фокусы эллипса лежат в точках
1,0
и  1, 0 действительной
оси u.
При
r 1
эллипс
вырождается
в
отрезок
действительной
оси
l  w  u  i :  1  u  1,   0 , проходимый точкой w дважды: при изменении  от
0 до  и от  до 2 .
Рассмотрим внешность единичной окружности z  1.
Если ее рассматривать как область, заметаемую окружностью
z r
при
изменении r от 1 до  ( r  1 исключается), то эллипс (4.46) опишет всю плоскость
w , исключая отрезок
 1, 1
действительной оси. При этом, если окружность z  1
проходится по часовой стрелке, то разрез по отрезку
 1, 1
проходится также по
часовой стрелке (рис.4.15).
Это
означает, что функция Жуковского конформно отображает внешность
единичного круга на плоскость w с разрезом по отрезку  1, 1 .
Легко показать, что внутренность единичного круга переходит в ту же область.
Это следует хотя бы из того, что функция Жуковского не меняется при замене z на 1/ z .
Но при этом внешность круга z  1 переходит во внутренность z  1.
При этом, если окружность
z  1 проходится против часовой стрелки, то образ
окружности (разрез по отрезку  1, 1 ) проходится по часовой стрелке (рис.4.16).
Это
означает,
что функция
1
1
w z 
2
z
конформно отображает внутренность
единичного круга на плоскость w с разрезом по отрезку  1, 1 действительной оси.
1
1
Найдем образ луча arg z   при отображении w   z   .
2
z
Ему в плоскости w будет соответствовать линия, параметрические уравнения
которой имеют вид:
1
1
1
1
u   r   cos  ,    r   sin  .
2
r
2
r
Исключая параметр r , при   k 2
 0  r    .
 k  целое
(4.47)
получаем уравнение гиперболы
u2
2

 1.
cos 2  sin 2 
(4.47)
Полуфокусное расстояние равно
a 2  b2  cos2   sin 2   1,
отсюда вытекает, что фокусы гиперболы находятся в точках
 1, 1
и  1, 1 , т.е. она
софокусна с ранее полученным эллипсом.
Если 0     / 2, то кривая (4.47) является правой ветвью гиперболы (4.48), т.е.
луч arg z   при 0     / 2 переходит в правую ветвь гиперболы (4.48).
При замене в (4.47)  на
   
получается левая ветвь той же гиперболы, т.е.
луч arg z   при  / 2     переходит в левую часть гиперболы (4.48).
Заметим также, что при замене в (4.47)  на  получается так же ветвь
гиперболы (4.48), но ее ориентация меняется на противоположную.
Рассмотрим лучи arg z   при   k / 2
arg z   / 2 переходит в мнимую ось
 k  целое . Из (4.47) получаем, что луч
Re w  0. Луч arg z  3 / 2 также переходит в
мнимую ось Re w  0. При   0 из (4.47) следует, что луч arg z  0 переходит в луч
1,  
действительной оси, проходимый дважды: луч 1,   переходит в луч 1,  
и полуинтервал
 0, 1
- в луч
1,   .
Аналогично, луч arg z   переходит в луч
 , 1 , проходимый дважды.
Таким
образом,
функция
Жуковского
w
1
1
z 
2
z
осуществляет
преобразование ортогональной системы полярных координат на плоскости
z
в
ортогональную криволинейную систему координат, координатными линиями которой
служат семейства эллипсов (4.46) и гипербол (4.48).
Пример 1.
Пользуясь функцией Жуковского, найти образ области
z  1, 0  arg z   / 4.
1
1
При отображении w   z   луч AB переходит в луч 1,    оси u , дуга AC
2
z
окружности z  1 перейдет в отрезок A1 B1 оси u , а луч CD перейдет в верхнюю часть
правой ветви гиперболы u 2   21/ 2 (рис.4.17).
Следовательно, контур DCAB данной области перейдет в контур C1B1 A1D1.
Выясним, какая часть плоскости w ограниченная контуром C1B1 A1D1 , будет
являться образом заданной области. Это можно сделать, показав, куда переходит какаянибудь
внутренняя точка данной
области, или
воспользовавшись принципом
соответствия границ.
Согласно принципу соответствия границ получим, что область
z  1, 0  arg z   / 4
переводится функцией Жуковского в область
u 2   2  1/ 2,
u  2 / 2,   0.
Замечание.
Используя функцию Жуковского и ранее рассмотренные функции, можно изучить
отображения, осуществляемые с помощью функций
отображение
w  cos z 
ciz  c iz
2
можно
w  cos z и w  sin z , так как
рассматривать,
как
суперпозицию
отображений:
1 w1  iz; 2  w2  ew1 ;
а отображение w  sin z 
1
1 
3 w   w2   ,
2
w2 
ciz  c iz
является суперпозицией отображений:
2i
1 w1  iz; 2  w2  ew1 ; 3 w3  iw;
1
1 
4  w   w3   .
2
w3 
Пример 2.
На какую область плоскости w функция
w  chz конформно преобразует
полуполосу 0  Im z   , Re z  0?
Решение.
Преобразование можно рассматривать как суперпозицию преобразований:
1 w1  e z ;
1
1
2  w   w1   .
2
w1 
Преобразование w1  c z конформно переведет полуполосу
область Im w1  0, w1  1 плоскости w1 (рис.4.18).
0  Im z   ,
Re z  0 на
1
1
С помощью функции w   w1   верхняя полуокружность
2
w1 
переходит
в
верхний
берег
разреза
действительной оси Im w  0 ; полуинтервалы
Im w  0
переходят
 ,
1 и 1,   
Применяя принцип соответствия границ,
отображает
область
в
1
 1, Im w1  0
отрезку
верхние
действительной
получим,
 Im w
1
 1, 1
1 и 1,    действительной оси
соответственно
разрезов по полуинтервалам
конформно
 ,
по
w
что функция
оси
берега
Im w  0 .
1
1
w   w1  
2
w1 
 0, w1  1 на верхнюю полуплоскость
Im w  0 .
Так как преобразования
1 , 2  конформны в соответствующих областях, то
функция w  chz преобразует данную полуполосу
0  Im z   ,
Re z  0 в верхнюю
полуплоскость Im w  0 конформно.
5. Основные интегральные теоремы теории аналитических функций
5.1. Интегрирование комплексных функций
Для построения интеграла от комплексных функций нам потребуется вспомнить
некоторые понятия, известные из предыдущих разделов курса математического
анализа.
Определение 5.1.
Непрерывной плоской кривой называется множество точек плоскости, координаты
которых определяются равенствами вида
x    t  

y    t  
  t  ,
где функции  и  непрерывны на отрезке  ,  .
Непрерывная кривая называется гладкой на отрезке  ,   , если производные
   t  ,    t  непрерывны на  ,   и одновременно в нуль не обращаются.
Пример 1.
x    t  

y    t  
0 t 
— полуокружность — непрерывная гладкая кривая, так как
  t   cos t ,   t   sin t
непрерывны на отрезке 0,   вместе с производными    t    sin t ,    t   cos t и эти
производные одновременно в нуль не обращаются на 0,   (рис. 5.1).
Вспомним
также определение криволинейного интеграла второго рода.
Для
определения последнего нам необходимо иметь спрямляемую непрерывную кривую
AB с указанным ней направлением, например, от А к а также действительную функцию
двух действительных переменных
u  u x, y , заданную на этой кривой (рис. 5.2).
Разбиваем
точками M 0  x0 , y0  ,
кривую
AB
, M n  xn , yn  на n частей
произвольным образом.
Назовем эти части кривой элементарными дугами.
На каждой элементарной дуге M k 1 M k , k  1,


M k x k , y k и составляем интегральную сумму
u x
n
k 1
k

, y k xk ,
где xk  xk  xk 1 .
Пусть   max x1 , x2 ,
, xn .
, n произвольно выбираем точку
Определение 5.2.
n


lim  u x k , y k xk
 0
k 1
называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции u  u  x, y  по кривой
AB в направлении от точки A до точки B . Обозначение

n

lim  u x k , y k xk 
 0
Аналогично
определяется
k 1
криволинейный
n


 xk , y k yk ;
 u  x, y  dx  lim
*
 0
AB
k 1
 u  x, y  dx .
AB
от функции     x, y  :
интеграл
*  max  y1 , y2 , , yn  .
Сумму этих двух интегралов также называют криволинейным интегралом и обозначают
символом
 u  x, y  dx    x, y  dy .
AB
Итак, по определению
 u  x, y  dx    x, y  dy   u  x, y  dx     x, y  dy .
AB
AB
AB
Пример 2.
Вычислить I 
 xydx   x  y  dy , где
AB -парабола y  x 2 , 0  x  1.
AB
Решение.
I

AB
1
xydx   x  y  dy    xx 2   x  x 2   2 x  dx.
0
(Вместо y подставили x 2 , dy  2 xdx ).
 2 x3 x 4  1 2 1 5
I    x  2 x  2 x  dx    2 x 2  x3  dx  
     .
4  0 3 4 12
 3
0
0
1
1
3
2
3
Определение интеграла от комплексной функции. Пусть задана непрерывная
спрямляемая кривая AB и указано направление на этой кривой, например, от A до B .
На кривой AB задана также комплексная функция.
f  z   u  x, y   i  x, y  .
Разбиваем кривую AB точками
z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 ,
, zk  xk  iyk ,
, zn1  xn1  iyn1
точку
A обозначим через
z0 , точку
B - через zn ) на
n частей произвольным
образом (рис. 5.3). Между соседними точками деления кривой на части произвольно
выбираем точки
1  1  i 1 , 2  1  i  2 , , k   k  i k , , n   n  i n .
Составим сумму
n
   f  k  zk ,
k 1
где zk  zk  zk 1  xk  iyk .
Сумму  назовем интегральной суммой комплексной функции f по кривой AB
в
направлении от A к B .
d  max  z1 , z2 ,
Пусть
, zn  .
Определение 5.3.
Комплексное число I называется пределом интегральной суммы  при d  0,
если для
   0,     0,
что для любого разбиения кривой
AB на части и
произвольного выбора точек  k имеем
  I  ,
как только
d     .
Определение 5.4.
Интегралом от комплексной функции
f по кривой AB в направлении от
A к B называется предел интегральной суммы  при d  0.
Обозначается интеграл символом
 f  z  dz .
AB
И так, по определению

AB
n
f  z dz  lim  f  k  zk .
d 0
k 1
Замечание 1.
Если кривая
AB замкнута, т.е.
A  B , то определение интеграла остается
прежним. В этом случае направление интегрирования можно выбирать двумя
способами.
Интегрирование проводится по замкнутой кривой C в направлении
1)
(положительном), при котором конечная область D , ограниченная кривой C , остается
слева.
(Иногда
такое
направление
интегрирования
по
кривой
C
называют
интегрированием по кривой "против часовой стрелки") (рис.5.4). Обозначают в этом
случае интеграл одним из следующих символов
 f  z  dz   f  z dz   f  z  dz .
C
C
Если интегрирование по замкнутой кривой C проводится в направлении
2)
противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения
интеграла употребляют символы.
 f  z  dz   f  z  dz .
C
Последнее направление интегрирования называют также отрицательным.
Вычисление интеграла от комплексной функции.
Заменим в интегральной сумме 
f  k   u k , k   i k ,  k  и zk  xk  iyk ,
получим:
n
   u  k ,  k   i  k ,  k    xk  yk  ,
k 1
n
n
k 1
k 1
   u  k ,  k  xk    k ,  k  yk   i  u  k ,  k  xk    k ,  k  yk  .
Переходя в этом уравнении к пределу при d  0. d  0  z1 ,
одновременно, это означает, что все x1 , x2 ,
означает, что   max  x1 , x2 ,
, xn , y1 ,
, yn  0, а это в свою очередь
, xn  и  *  max  y1 , y2 ,
, yn   0 ) получим


 f  z  dz   u  x, y  dx     x, y  dy  i     x, y  dx   u  x, y  dy 
AB
AB
AB
AB
AB
или в другой записи

AB
f  z  dz 
, zn  0


u
x
,
y
dx


x
,
y
dy

i

x
,
y
dx

u
x
,
y
dy












AB
 AB

—
формула
для
вычисления
интеграла
от
комплексной
функции
с
помощью
криволинейных интегралов от действительных функций двух действительных переменных.
Замечание 2.
Если кривая
AB представляет замкнутую кривую
C и интегрирование
проводится в положительном направлении, то последняя формула примет вид


 f  z dz   u  x, y  dx    x, y  dy  i   x, y  dx  u  x, y  dy  .
C
C
C
Замечание3.
Если кривая AB гладкая и задана в параметрическом виде
x  x  t  

y  y  t  
точка A имеет координаты
0t  ,
 x   , y   , точка
B —  x    , y     , то легко проверить,
что из последних формул получим

 f  z  dz   f  z t  z t  dt ,
AB

 f  z  dz   f  z t  z t  dt ,
C
где z  t   x  t   iy  t  , z t   x t   iy t  .
В случае замкнутой кривой C  соответствует началу обхода этой кривой,  - концу
обхода).
Пример 3.
Вычислить интеграл I 
dz
.
z  z0
z  z0  R

Из точки z0 проводим прямую z0 A параллельную оси Ox. Тогда угол между
лучом
z0 A
и вектором
z0 z
является аргументом комплексного числа
z  z0 , z  z0  R (рис. 5.5).
Теперь
число
z  z0
можно
представить
в
показательной
форме
z  z0  Reit ; z  z0  Reit .
При изменении t от 0 по 2 точка z опишет окружность C . Следовательно,
z  z0  Reit  z t  является комплексным уравнением окружности C .
Для вычисления интеграла I используем формулу

 f  z  dz   f  z t  z t  dt ,
C
где уравнение z  z  t  является комплексным уравнением кривой интегрирования C ,
 — соответствует началу кривой
интегрирования,

—
концу кривой
интегрирования.
В случае нашего примера
f  z 
1
;  0;   2 ;
z  z0
2
I

0
z  t   Rieit dt;
2
1
R i eit dt  i  dt  2 i .
it
Rie
0
Итак,
dz
 2 i.
z  z0
z  z0  R

Свойства комплексного интеграла:
1.
 dz  B  A.
AB
Доказательство:
f  z   1; f  k   1.
Интегральная сумма
n
   f  k zk
k 1
в этом случае имеет вид:
n
   zk   z1  z1    z2  z1  
k 1
 1 dz  lim   B  A
AB
d 0
  zn  zn 1   zn  z0  B  A  const ;
 d  max  z
Следующие свойства 2-6 вытекают из формулы
1
, z2 ,
, zn
.


 f  z  dz   udx dy  i   dx  udy 
AB
AB
и
AB
соответствующих
свойств
интегралов
от
действительных
функций
двух
действительных переменных
  f  z   g  z  dz   f  z dz   g  z dz.
2.
AB
3.
AB
 f  z  dz    f  z  dz;


  f  z  dz   f  z  dz  .
C
C

 kf  z  dz  k  f  z  dz,
k  const.
AB
4.
BA
AB
5.
AB
AB
 f  z  dz   f  z  dz   f  z dz,
AB
AC
CB
если AB  AC CB (рис. 5.6).
6. Если комплексная функция
f непрерывна на кривой
AB , то она интегрируемы по
этой кривой.
7. Если на кривой AB имеем
f  z   M  const ,
 f  z   Ml,
то
AB
где l — длина кривой интегрирования AB .
Доказательство.

n
f  z  dz  lim  f  k  zk
d 0
AB

(рис. 5.7).
k 1
n
f  z  dz  lim  f  k  zk .
d 0
AB
k 1
Но
n

k 1
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
f  k  zk   f  k   f  k  zk   M zk  M  zk .
zk — длина k - го звена ломаной z0 z1
длина ломаной
zn 1 zn , вписанной в кривую AB ,
zn 1 zn , которая меньше длины l кривой AB , т.е.
z0 z1
n
 z
k 1
n
 z
k 1
k
k
—
 l и,
следовательно
n
 f   z
k 1
k
k
 Ml  const.
Переходя в этом неравенстве к пределу и учитывая, что
lim Ml  M , получим
d 0
доказываемое утверждение.
5.2. Теорема Коши для односвязной области
Для формулировки и доказательства теоремы Коши приведем некоторые
определения.
Определение 5.5.
Область G называется односвязной, если внутренность любой замкнутой кривой
C , принадлежащей области G , состоит только из точек данной области.
Определение 5.6.
Комплексная функция f называется аналитической в области G и на ее границе
L , если эта функция аналитична в некоторой области
G1 , содержащей область G
вместе с ее границей L .
Теорема 5.1.
Если функция f аналитична в односвязной области G , то интеграл по любой
спрямляемой замкнутой кривой C , принадлежащей области G ,
 f  z  dz  0
C
Доказательство .
(рис. 5.8).
равен нулю, т.е.
Доказательство теоремы приведем для случая, когда кривая
C пересекается
прямыми параллельными координатным осям не более чем в двух точках, точках, а
частные производные
u  u 
функции f  z   u  i непрерывны в области G .
,
, ,
x x y y
Для доказательства теоремы нам потребуется формула Грина:
 Q
P 
  x  y  dxdy   Pdx  Qdy,
D
C
где D - область, ограниченная кривой C .
Применим формулу Грина к действительной и мнимой частям правой части
формулы

C


f  z  dz   udx   dy  i    dx  udy ,
C
C

учитывая, что для аналитической функции
f  z   u  i в области
G
выполняются условия Коши-Римана
u  u


;
 .
x y y
x
Имеем по формуле Грина
 u
 
  dx  udy    x  y  dxdy  0,
C
D
так как в области D в силу условий Коши-Римана
u 

 0.
x y
Аналогично докажем, что
 udx   dy  0,
C
а, значит
 f  z  dz  0.
C
Что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Если комплексная функция
f аналитична в односвязной области
D и на ее
границе C , то
 f  z  dz  0.
C
В самом деле, если функция
f аналитична в области D и на ее границе C , то
это означает, что существует область D , содержащая область D вместе с границей C ,
и при этом в области D функция
f аналитична, а тогда по теореме 5.1. имеем
утверждение следствия 1.
Следствие 2.
Если функция
f аналитична в односвязной области
функции не зависит от пути интегрирования, т.е., если
G , то интеграл от этой
z1 и z2 - любые две точки
области G , a z1mz2 и z1nz2 - две любые спрямляемые кривые, соединяющие эти
точки (рис. 5.9), то

 f  z  dz.
fdz 
z1mz2
z1 nz2
В самом деле по теореме Коши имеем

f  z  dz  0.
z1nz2 mz1
Используя свойства интегралов, имеем

f  z  dz 
z1nz2 mz1
 f  z  dz   f  z  dz  0,
z1nz2
z2 mz1
т.е.
 f  z  dz    f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz
z1nz2
z2 mz1
z1mz2
z1nz2
z1mz2
что и требовалось доказать.
5.3. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для
комплексных функций
Определение 5.7.
Аналитическая в области D функция F называется первообразной функции f
в D , если для всех z  D
F   z   f  z . .
Если F - первообразная функции f в области
D , тогда, очевидно, функция
  z   F  z   C - также первообразная функции f при любом постоянном C .
В самом деле
  z    F  z   C   F   z   C   f  z  ,
т.е. функция  - первообразная функции f .
Покажем, что других первообразных функция
первообразная
F1  z   F  z   C.
F1 имеет вид
функции f отличная от F . Тогда
f
Пусть
не имеет, т.е. любая
F1 - любая первообразная
  z   F1  z   F  z  - функция аналитическая в
области D как разность двух аналитических функций.
Имеем далее
  z   F   z   F   z   f  z   f  z   0 , z  D.
Выделим действительную и мнимую части функции 
  z   u  x, y   i  x, y 
и тогда
  z  
u   u
i

i
 0.
x
x y
y
(Смотри определение производной и систему Коши-Римана).
Из последнего равенства имеем в области D
u   



 0,
x y x y
откуда вытекает u  x, y   C1  const ,   x, y   C2  const в области D , .т.е.
  z   u  x, y   i  x, y   C1  iC2  C  const.
Значит, F1  z   F  z   C
,
что
и
совокупность всех первообразных функции
F  z   C , где
требовалось
доказать.
Таким
образом,
f в области
D выражается формулой
F - некоторая первообразная функции
f , и C - комплексная
постоянная.
Пусть D - односвязная область и AB спрямляемая простая дуга, лежащая в D .
Интеграл по дуге AB от аналитической в
D функции
f по следствию из теоремы
Коши для односвязной области не зависит от пути интегрирования.
Также, как упомянутое следствие, доказывается следующее утверждение.
Комплексный интеграл от непрерывной в односвязной области D функции
также не зависит от пути интегрирования, если интеграл от
f
f
вдоль любой
спрямляемой кривой, лежащей в D , равен нулю. Для интеграла, не зависящего от пути
интегрирования, естественно ограничиться указанием вместо пути интегрирования
только его начала A  z0 и конца B  z , полагая
z1
 f  t  dt   f  t  dt.
AB
z0
Теорема 5.2.
Пусть функция f непрерывна в односвязной области D и пусть интеграл от f
по любой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в D , равен нулю. Тогда функция
z1
F  z    f  t  dt
 z0 , z  D 
z0
есть первообразная функции f в области D .
Доказательство.
Покажем, что в  z  D
 F  z   f  z .
Имеем
F  z  z  
z z
 f t  dt.
z0
F  z   F  z  z   F  z  
z z
 f t  dt ,
z
при этом будем предполагать, что интегрирование ведется по отрезку прямой,
соединяющей точки
z  z . Такое предположение можно ввести, так как по
z и
условию интеграл не зависит от пути интегрирования.
F  z  F  z  z   F  z  1 z z


f  t  dt.
z
z
z z
Для того, чтобы доказать, что
F  z 
 f  z,
z 0
z
 lim
изучим модуль разности
z z
z z

F  z 
1 
1
 f z 
f
t
dt

f  z  dz  
   

z
z  z
z
 z
В силу непрерывности функции
f t   f  z   ,
если
t  z   ..
f
в точке
Поэтому
z z

z

 f  t  dt  f  z   dt .
z
z для любого
  0   0,
при z   , а значит t  z   будем
иметь
F  z 
1
 f  z 
z
z
z z
 f  t   f  z  dt   .
(Смотри свойство комплексного интеграла, содержащее в себе неравенство; в
нашем случае длина кривой интегрирования - это длина отрезка соединяющего точки z
и z  z . Эта длина равна z ).
Итак, имеем
F  z 
 f  z    при z   , что равносильно
z
F
 f  z .
z 0 z
 lim
Теорема доказана.
Следствие.
Если функция f аналитическая в односвязной области D , то функция
z
F  x    f  t  dt
z0
является первообразной для функции f в области D .
В самом деле, по теореме Коши для односвязной области
 f t  dt 0
для
Г
замкнутой кривой Г  D , тогда из теоремы вытекает утверждение следствия.
Теорема 5.3.
Если f аналитична в односвязной области D , то
z
 f t  dt    z     z  ,
0
z0
где  - любая первообразная функции f в области D .
Доказательство.
Как нами показано, функция
z
F  z    f  t  dt
z0
является первообразной для функции f , а любая другая первообразная  имеет вид
z
  z    f  t  dt  C.
z0
Полагая здесь z  z0 , имеем   z0   C и тогда
z
 f t  dt    z     z  ,
0
z0
что и требовалось доказать.
Замечание.
Пусть
D - многосвязная область и f - аналитическая функция в D . Если
интеграл от f по каждой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в D , равен нулю, то
к интегралу
z
F  z    f  t  dt
z0
можно применить все сказанное выше в этом пункте. Мы получим, что функции
аналитична в D , F   z   f  z  ,
F
F  z     z     z0  , где  - любая первообразная
функции f в D . Если в многосвязной области D существует хотя бы одна спрямляемая
замкнутая кривая Г , для которой
 f t  dt  0,
то для двух простых дуг, соединяющих
Г
z0 c z , значения интеграла от
f , вообще говоря, не
будут
равны и
функция
z
F  z    f  t  dt будет многозначной и говорить о ее производной не имеет смысла.
z0
5.4. Теорема Коши для многосвязной области
Всякая неодносвязная область называется многосвязной. Рассмотрим, например,
многосвязную область, граница которой состоит из замкнутой кривой (замкнутого
контура) C0 и n замкнутых контуров C1 ,
, Cn, лежащих внутри C0 (рис. 5.10). На
чертеже у нас n  2.
Границу многосвязной области обозначим через C .
C  C0
C1
Cn.
Интеграл по границе C определим равенством

def
f  z  dz 
C
 f  z  dz   f  z  dz 
C0
C0

 f  z  dz.
Cn
(Замкнутый контур C0 при интегрировании обходится в положительном направлении,
контура C1 , C2 ,
, Cn - в отрицательном).
Теорема 5.4. (Теорема Коши для многосвязной области).
Если комплексная функция f аналитична в многосвязной области
границе C , то интеграл по границе области равен нулю, т.е.
 f  z  dz  0.
C
Доказательство.
G и на ее
Рассмотрим случай n  2 (см. рис. 5.10). Проведем дополнительное построение:
соединим
C0 .
отрезком
ab кривые C0 и C1 отрезком cl  C1 и C2 , отрезком hr  C2 и
Получим две односвязные
области
G1 с
границей
L1  abnclkhrsa и G1 с
L2  amrhlctba.
границей
По следствию 1 из теоремы Коши для односвязных областей G1 и G2 имеем:
 f  z  dz  0;
 f  z  dz  0.
L1
L2
Складывая эти два равенства, получим
 f  z  dz   f  z  dz  0.
L1
L2
Запишем это равенство подробнее:
 f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz 
ab
bnc
  f  z  dz 
rh
cl
lkh
hr
rsa
amr
 f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz  0.
hkl
lc
ctb
ba
Учитывая, что

ab


 0,

;
rsa

   0,     0,


cl
lc
hr
rh
а также, что


amr
получим

rsa

C0
bnc

ctb
 ;
C1



hl
lkh


C2
 f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz  0, т.е.
C0
C1
C2
 f  z  dz  0  C  C
0
C1 C2  ,
C
что и требовалось доказать.
Следствие.
При условиях теоремы
 f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz 
C0
В самом деле по теореме имеем
C1
C2

 f  z  dz.
Cn
 f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz 
C
C0
C1
  f  z  dz 0,
C2
Cn
Отсюда
 f  z  dz    f  z  dz   f  z  dz 
C0
C1
C2

 f  z  dz,
Cn
что и требовалось доказать.
Если n  1 (рис. 5.11), то последняя формула имеет вид
 f  z  dz   f  z  dz.
C0
C1
Пример.
Вычислить интеграл I  
C
dz
, где z0 лежит внутри C . Построим окружность
z  z0
C1 : z  z0  R (рис. 5.12). В области G , ограниченной окружностью C1 и кривой C ,
подынтегральная функция
f  z 
1
аналитична. Она аналитична также на кривых
z  z0
C и C1 . Значит по следствию имеем
1
 zz
C
0
dz  
C1
1
dz.
z  z0
Но ранее нами доказано , что
dz
 zz
C1
 2 i.
0
Значит
1
 zz
C
dz  2 i
0
для любой кривой C , содержащей внутри себя точку z0 .
5.5. Формула Коши
Теорема 5.5.
Если функция f аналитична в односвязной области
D и на ее границе, a z -
любая точка этой области, то
f z 
f t 
1
dt ,

2 i C t  z
(формула Коши), где C - граница области, t  C .
Доказательство.
Пусть
z - любая точка области z . Построим окружность  0 радиуса  с центром в
точке z
и принадлежащую D (рис. 5.13). Рассмотрим также вспомогательную функцию
 f t   f  z 
,tz

 t   
,
tz
 f  z,
tz

заданную в замкнутой области D . (Точка t здесь рассматривается как переменная,
z  const ).
Функция
 аналитична во всех точках области D , кроме точки
t  z , где
знаменатель обращается в нуль. Эта аналитичность вытекает из аналитичности
 t tz
и знаменателя  
в области D и на ее границе. В
силу аналитичности функция  непрерывна в указанных точках t  z.
числителя
 t   f t   f  z 
Покажем, что при t  z функция  также непрерывна.
В самом деле
lim  t   lim
t z
т.е ,
lim  t     z  ,
t z
t z
f t   f  z 
f  z  z 
 lim
 f  z    z ,
t 0
tz
t
что и означает непрерывность. Таким образом, функция 
непрерывна в (Замкнутой области D  D C , а значит функция  ограничена в D , т.е.
 M  const , M  0, такая, что для  t  D имеем
 t   M .
Применим теперь к функции  и многосвязной области, ограниченной замкнутыми
кривыми   и C , следствие из теоремы Коши для многосвязной области
 t  dt    t  dt.
и получим
C

Отсюда получим
  t  dt     t  dt  Ml ,
C

где l  2 - длина окружности   , при этом радиус
 может быть сколь угодно
малым.
Итак имеем 0 
   t  dt  M 2 ,

где M 2 , будучи положительным, стремится к нулю при   0.
Но
0     t  dt     t  dt  const.


Следовательно, из неравенства
   t  dt  M 2

имеем
   t  dt  0,

а значит,
  t  dt  0    t  dt  0.
C
C
Подставим вместо   t  его значение и получим

C
f t   f  z 
dt  0,
tz
f t 
f t 
 t  z dt   t  z dt  0,
C
C
f t 
dt
 t  z dt  f  z  t  z ,
C
C
f  z  не зависит от переменной t , то f  z  можно вынести за знак интеграла.
так как
Но
dt
dt
 t  z  2 i, следовательно  t  z  f  z  2 i. .
C
C
Отсюда и следует формула Коши.
Теорема доказана.
Замечание 1.
Формула Коши дает возможность решать две задачи.
1-я задача - так называемая краевая задача.
Найти значение функции f в любой внутренней точке z односвязной области
D , если известны значения этой функции f  t  на границе области D - кривой C , т.е.
при t  C .
Формула Коши
f z 
f t 
1
dt

2 i C t  z
дает решение поставленной задачи: вычислив интеграл и разделив его на 2 i , получим
f  z  - значение функции f в любой точке z  D .
2-я задача. Вычислить интеграл
I 
f t  t  z
dt ,
C
где f - функция аналитическая на замкнутой кривой C и внутри ее.
По формуле Коши имеем
f z 
f t 
1
dt.

2 i C t  z
Отсюда
f t 
 t  z dt  f  z   2 i.
C
Поставленная задача 2 решена.
Замечание 2.
Формула Коши имеет место и для многосвязной области, т.е. если функция
аналитична внутри многосвязной области
D и на ее границе
f
C , a z - любая
внутренняя точка области D (рис. 5.14), то
f z 
f t 
1
dt ,

2 i C t  z
где
f t 
f t 
f t 
f t 
 t  z dt   t  z dt   t  z dt   t  z dt.
C
C0
C1
C2
Доказательство этого утверждения имеется в книге 1 .
5.6. Бесконечная дифференцируемость аналитической
функции
Теорема 5.6.
Если функция
границе
f аналитична в односвязной или многосвязной области D и на ее
C , то в каждой точке z этой области существует производная
любого
порядка, вычисляемая по формуле
f t 
n!
dt.

2 i C  t  z n 1
f  n  z  
Доказательство.
Пусть n  1 . В этом случае ясно, что в силу аналитичности функции в области D в
каждой точке z области D производная существует, и нам остается доказать, что для
этой производной имеет место формула
f  z 
f t 
1!
dt.

2 i C  t  z 2
Возьмем произвольную точку z  z  D . По формуле Коши
будем иметь:
f z 
f  z  z  
f t 
1
dt ;

z i C t  z
f t 
1
dt.

z i C t   z  z 
Составим отношение
f  z  f  z  z   f  z 
1
1
1 




f  t  dt 


z
z
2 iz C  t  z  z t  z 

f t 
1
dt.
2 i C  t  z  t  z  z 
Переходя к пределу под знаком интеграла при z  0, получим
f  z 
f t 
1

dt ,

z 0
z
2 i C  t  z 2
f   z   lim
что и требовалось доказать. (Нами не обоснован предельный переход под знаком
интеграла. Его обоснование можно найти в книге 1 ).
Аналогичным приемом доказывается существование f   z  и
формула
f   z  
f t 
2!
dt.

2 i C  t  z 3
Методом математической индукции доказывается существование производной
любого порядка и формула
f  n  z  
f t 
n!
dt , n  0, 2,
2 i C  t  z n 1
.
Теорема доказана.
Теорема 5.7, (Mopepa).
Если функция f непрерывна в односвязной области D и интеграл от f по любой
спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в D , равен нулю, то f аналитична в D .
Доказательство.
z
По теореме 5.2. функция
F  z    f  t  dt аналитична в D и F   z   f  z  . Но
z0
функция, аналитическая в D , бесконечное число раз дифференцируема в  z  D , т.е.,
например, в  z  D  F   z   f   z  , а это означает аналитичность функции
D.
Теорема доказана.
f в области
5.7. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
Как хорошо известно, методы ТАФ широко используются в других разделах
математики. В частности, например, при доказательстве основной теоремы алгебры.
При доказательстве основной теоремы алгебры нам потребуется теорема Лиувилля.
Теорема 5.8. (Лиувилля).
Если функция f - аналитична и ограничена во всей комплексной плоскости C , то
она представляет собой постоянную, т.е. f  z   K  const для
 z C .
Доказательство.
Пусть z0 - произвольная точка плоскости C , а  : t  z0  R окружность радиуса
R с центром z0 .
По известной интегральной формуле для производных имеем
f   z0  
f  t  dt
1
.

2 i   t  z0 2
Так как  M , что f  t   M , для  z C , то
f t 
 t  z0 
2

f t 
 t  z0 
2

M
R2
и тогда
f   z0  
f  t  dt
1
1 M
M

 2  2 R  .
2

2 i   t  z0 
2 R
R
(См. 7 свойств интеграла, где I = 2nR, § 5.1).
Так как
f   z0   0 для
R  0 - любое положительное число, то
f   z0   0,
а
значит
 z  C , а следовательно f  z   const , так как
f  u  i , f   z0  

u  u 
i

i
0
x
x y
y
u   u



 0  u  const ,   const ,
x x y y
Теорема доказана.
Теорема 5.9. (Основная теорема алгебры)
Всякий многочлен
Pn  z   c0  c1z 
 cn z n над полем комплексных чисел
( cn  0, n  1 ) имеет по крайней мере один корень.
Доказательство.
и
Проведем доказательство от противного. Пусть многочлен Pn  z  не имеет корней.
Тогда функция f  z  
1
является во всей комплексной плоскости аналитической.
Pn  z 
Но lim f  z   0, так как
lim Pn  z   , что значит, для
z 
z 
   0,  R  0, что для
 z, z  R  f  z    .
z  R функция f - непрерывна как функция аналитическая
В замкнутом круге
в этом круге.
Из непрерывности в замкнутом круге следует ограниченность функции f в этом
круге.
 M  const
что
M *  max  , M  , получим
f  z  M
для
 z из данного круга
z  R . Полагая
f  z   M * для  z  C . .
А тогда в силу теоремы Лиувилля имеем
определению функции f  z  . Итак, многочлен
f  z   const , что противоречит
Pn  z  имеет по крайней мере один
корень.
Теорема доказана.
Замечание.
Как утверждается в книге В.Монтуров и др. "Толковый словарь математических
терминов". Москва, 1985 г.: "Основная теорема алгебры называется так потому, что
основное содержание алгебры в XVII-XVII вв. сводилось к решению уравнений.
Основная теорема алгебры была доказана впервые в XVII веке французским
математиком Жиро-ром, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким
математиком Гауссом".
6. Ряды
6.1. Числовые комплексные ряды
Определение 6.1.
Числовым комплексным рядом называется выражение следующего вида
z1  z2 
 zn 

  zk ,
k 1
где zk  xk  iyk - комплексные числа.
(6.1)
Определение 6.2.
Сумма Sn  z1 
 zn называется частичной суммой ряда.
Определение 6.2.
Числовой
комплексный
 Sn 
последовательность
ряд
называется
сходящимся,
если
сходится
S  lim S n называется суммой
его частичных сумм. Число
n 
ряда.
Теорема 6.1. (Критерии сходимости числового ряда).

Числовой ряд  z k сходится тогда и только тогда, если последовательность его
k 1
частичных сумм фундаментальна, т.е. если для любого числа   0  натуральное число
N  N   такое, что для n  N и любого натурального p имеем
S pn  Sn   .
(6. 2)
Доказательство.
Необходимость.
последовательность
сходимости
Допустим,
 Sn  ,
числовых
что
числовой
ряд
сходится,
тогда
сходится
а тогда по необходимому и достаточному условию
последовательностей
будет
следовать,
что
 Sn 
-
фундаментальная.
Достаточность.
Пусть
последовательность
 Sn 
-
фундаментальная,
тогда
последовательность  Sn  сходится, и значит сходится и числовой комплексный ряд (6.1).
Теорема доказана.
Замечание 1.
Из условия (6.2) при p  1 получаем условие zn1   при n  N , т.е.
lim zn 1  0,
n 
а значит и
lim zn  0.
(6. 3)
n 
Условие (6.3), как известно, называют необходимым условием сходимости ряда.
Пример 1.
Ряд 1  q 
 q n1 
zn  q n1  q
n 1
при
q  1 расходится,
 1 и lim zn  0.
n 
так как
Замечание 2.

z , z
Очевидно, если комплексный ряд
k
k
 xk  iyk сходится к сумме S  a  ib,
k
то одновременно сходятся действительные ряды

x
k 1
(6.4)
k

y
k 1
(6.5)
k
к a и b соответственно.
В самом деле, пусть
S  lim Sn , Sn  z1 
n 
 zn 
для    0,  N  N   , что для всех n  N  S  Sn   
  a  ib    x1  iy1  
  xn  iyn    

 a   x1 
 xn   i b   y1 

 iyn    
a   x1 
 xn   
(6.6)
b   y1 
 yn   
(6.7)
при n  N это означает сходимость ряда (6.4) к a и ряда (6.5) к b . Пусть теперь
имеем (6.6) и (6.7), т.е. ряды (6.4) и (6.5) сходятся. Тогда
S  S n   a  ib   S n  a   x1 
 xn   b   y1 
 yn   2
при n  N , а последнее означает сходимость комплексного ряда

z
k 1
k
к сумме
S  a  ib.
Определение 6.3'.

Комплексный ряд
z
k 1
k
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

z
k 1
k
(6.8)
Теорема 6.2.
Из абсолютной сходимости комплексного ряда следует его сходимость.
Доказательство.
Дано, что положительный ряд (6.8) сходится.
zk  xk  iyk .
Но
xk  zk ,
(6.9)
yk  zk .
(6.10)
По признаку сравнения положительных действительных рядов из неравенств (6.9),
(6.10) и сходимости ряда (6.8) следует сходимость положительных действительных
рядов

x
k 1
(6.11)
k

y
k 1
(6.12)
k
Сходимость последних рядов означает абсолютную сходимость рядов

 xk ,
k 1

y .
k 1
k
Из теории действительных числовых рядов известно, что если ряд абсолютно
сходится, то он сходится.
Итак, ряды (6.4) и (6.5) сходятся, а значит, как мы уже отмечали в данном
параграфе, сходится комплексный ряд

z ,
k 1
где
k
zk  xk  iy k . .
Замечание 3.
Из неравенств
xk  zk  xk  yk ,
yk  zk
следует, что абсолютная сходимость комплексного ряда

 xk ,
k 1

y .
k 1
k
эквивалентна одновременной абсолютной сходимости действительных рядов.
Следовательно, на абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами
переносится теорема о том, что произвольное изменение порядка членов абсолютно
сходящегося ряда не влияет на сумму ряда.
Произведением двух комплексных рядов


k 1
k
,
(6.14)
называется ряд

  
1
k 1
k
  k 1  .
  2  k 1 
(6.15)
Если ряды (6.13) и (6.14) абсолютно сходятся, то абсолютно сходится и ряд (6.15),
причем для сумм
S , S , S  этих рядов имеет место равенство
S   S  S . Последнее
утверждение доказывается для комплексных рядов также, как и соответствующее
утверждение для действительных рядов.
комплексного ряда
Судить об абсолютной сходимости

 zk , т.е. о сходимости положительного ряда
k 1
основании любого признака сходимости рядов с

z
k 1
k
, можно на
неотрицательными членами,
например, с помощью признака Коши.
Пример 2.
Исследовать сходимость ряда

2  i
k 1
3k

k
.
Решение.
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов заданного ряда


k 1

2i
5k
 k .
3k
k 1 3
k
Применяя к последнему ряду признак Коши, имеем
lim k
k 
Следовательно, ряд

2  i
k 1
3k

5k
5

 1.
k
3
3
k
сходится абсолютно.

Если все члены комплексного ряда
 z , не обращаются в нуль, т.е.
k 1
 k  1, 2,
k
zk  0 для
, то для исследования на абсолютную сходимость комплексного ряда можно
применять признак Даламбера.
Пример 3.
k 3  i 
Исследовать сходимость ряда 
.
5k
k 1

Решение.
k

k 3i
k 10k
Рассмотрим ряд 

, составленный из модулей членов исходного

5k
5k
k 1
k 1
k

ряда.
Применяя к ряду признак Даламбера, имеем
  k  1 10k 1 k 10k
lim 
:
k  
5k 1
5k


k  1 10
10
  lim


 1.
 k  k
5
5

k 3  i 
Следовательно, ряд 
сходится абсолютно.
5k
k 1
k

6.2. Функциональные комплексные ряды
Функциональным комплексным рядом называется ряд

 f  z,
k 1
где
f1  z  , f 2  z  ,
, fn  z  ,
k
- комплексные функции комплексного переменного,
заданные на некотором множестве Е комплексных чисел. В дальнейшем комплексные
функции комплексного переменного
будем
называть
комплексными
функциями).
n
Сумма S n  z    f k  z  называется частичной суммой ряда (6.16).
k 1
Определение 6.4.
Комплексный функциональный ряд называется сходящимся в точке z0 множества
E , если сходится следующий числовой комплексный ряд

 f  z ,
k 1
где f1  z0  , f 2  z0  ,
k
(6.17)
0
- числа - значения функций f1 , f 2 ,
в точке z0 .
Определение 6.5.
Функциональный комплексный ряд (6.16) называется сходящимся к функции
w  f  z  на множестве Е если он сходится в каждой точке z  E и сумма этого ряда в
произвольной точке z  E равна f  z  .
Пример 1.
Рассмотрим ряд
1 z  z2 
 z n1 
,
(6.18)
который
в
дальнейшем
f1  z   1, f 2  z   z,
будем
, f n  z   z n1,
называть
геометрическим
рядом.
Здесь
- функции заданные на всем множестве комплексных
чисел z .
 z n 1.
Sn  1  z  z 2 
(6.19)
Очевидно вспомогательное тождество
1  z n  1  z  1  z 
 z n 1 
(6.20)
n  2 . Используя метод матиндукции, его можно
(Тождество хорошо известно для
доказать для любого n ).
Из (6.20) имеем
1 zn
 1 z 
1 z
 z n 1.
Откуда на основании (6.19) имеем
1
zn

 Sn  z  .
1 z 1 z
Пусть z0 - любое комплексное число. При z  z 0 функциональный комплексный ряд
(6.18) превращается в комплексный числовой ряд
1  z0  z02 
 z0n 1 
,
(6.22)
Частичная сумма последнего ряда на основании (6.21) имеет вид
S n  z0  
zn
1
 0 .
1  z0 1  z0
(6.23)
Из (6.23) следует
z0n
1
Sn  z0  

,
1  z0 1  z0
(6.24)
Отсюда видно, что если z0  1 , то
n
z0
 0, при n  0.
1  z0
А это значит, что
S n  z0  
1
 0 при n  0.
1  z0
т.е.
lim S n  z0  
n 0
1
.
1  z0
(6.26)
Поскольку z0 - любое комплексное число, модуль которого меньше 1, то мы доказали,
что функциональный ряд (6.18) сходится в круге
z  1 (рис.6.1) к функции
1
,
1 z
которая в этом случае и является суммой функционального ряда в круге z  1 .
Очевидно, при
z 1
z n 1 не стремится к нулю,
n -й член ряда (6.18)
необходимый признак
сходимости ряда не выполняется, и при z  1 ряд (6.18) расходится.
Определение 6.6.
Функциональный ряд (6.16) называется равномерно сходящимся к своей сумме
f  z  на множестве E , если для любого   0 существует N   , что для всех z  E и
всех n  N   выполняется неравенство f  z   Sn  z    . .
f  z   Sn  z  
Обозначив

 f  z  , определение равномерной сходимости ряда
k  n 1
k
(6.16) можно сформулировать так: функциональный ряд называется равномерно
сходящимся к своей сумме f  z  на множестве E , если для любого   0 существует
N   , что для всех z  E и всех n  N   выполняется неравенство

 f  z  .
k  n 1
Укажем
важный
для
k
приложений
достаточный
сходимости.
Теорема 6.3.
Если числовой положительный ряд

a ,
k 1
k
ak  0, k  1, 2,
сходится и для всех z  E
f k  z   ak ; k  1, 2,
,
признак равномерной
то функциональный комплексный ряд

 f z
k
k 1
равномерно сходимся на множестве E .
Доказательство.

a
Так как ряд
k 1
n  N   , что

a
k  n 1
k
сходится,
k
то для
n  N   . Из неравенства
  при
сходимости числового положительного
ряда

a
k  n 1

 f  z
ряд
k  n 1
k

k  n 1
для любого n  N
k  n 1
k
имеем,
что
 k  1, 2, 
и
функциональный
E . Учитывая,
при всех z  E , получим


k
f k  z   ak
сходится абсолютно в каждой точке множества
что f k  z   ak , k  1, 2,
 f  z
  0 существует такой номер
любого
fk  z  


k  n 1

f k  z    ak  
k  n 1
и любого z  E , что и доказывает равномерную сходимость ряда
на множестве E .
Пример 2.
Покажем, что ряд (6.18) равномерно сходится во всяком круге z  r  1 .
Рассмотрим числовой положительный ряд

r
k
, где 0  r  1
(6.27)
k 0
Ряд (6.27) представляет собой геометрическую прогрессию и сходится при 0  r  11. В
круге
z  r имеем
f k  z   z k 1  z
при k  1, 2,
k 1
 r k 1
(6.28)
.
По теореме (6.3) в силу (6.28) ряд (6.18) равномерно сходится в круге z  r  1 .
Замечание 1.
Следует заметить, что в круге z  1 ряд сходится, но неравномерно. В самом деле,
z  1 ряд (6.18) сходится к сумме
мы знаем, что в круге
1
 1 z  z2 
1 z
Имеем также
 z n 1 
.
f  z 
1
, т.е
1 z
n
z
1
Sn  z  

.
1 z 1 z
Отсюда видно, что для любого   0 мы не можем добиться выполнения неравенства
n
z
1
Sn  z  


1 z 1 z
для всех z
из
круга
z  1,
одновременно,
ибо
(6.29)
при
n
z
z 1
 ,
1 z
z  1, z  1, 1  z  0, а значит при
n
т.е. S n  z  
1
 , и
1 z
неравенство (6.29) невозможно для всех z из круга z  1 одновременно.
Также, как и для действительных рядов доказываются следующие две теоремы.
Теорема 6.4.
Если функциональный комплексный ряд

 f z
k 1
k
составлен из функций непрерывных
на множестве E и равномерно сходится на этом множестве, то и сумма ряда

f  z    fk  z 
k 1
будет функцией непрерывной на множестве E .
Доказательство.
Пусть
z0 - произвольная точка множества E докажем непрерывность суммы
ряда f  z  в этой точке.
Возьмем произвольное число
  0. . Так как функциональный ряд

 f z
k 1
k
равномерно сходится на множестве E , то можно найти такой номер N  N   , что для
всех n  N и всех z  D выполняется неравенство
n
f  z   S n  z    , где S n  z    f k  z  .
k 1
Зафиксируем теперь какой-нибудь номер n  N и рассмотрим частичную сумму
ряда Sn  z  с этим фиксированным номером.
Так как
Sn  z  непрерывна в точке
такое   0 , что для всех
неравенство
z0 ,
то для числа
z , удовлетворяющих условию

3
 0 можно найти
z  z0   , выполняется

S n  z   S n  z0   .
3
Теперь для разности f  z   f  z0  получим
f  z   f  z0   f  z   S n  z   S n  z   S n  z 0   S n  z 0   f  z 0  
 f  z   S n  z   S n  z   S n  z0   S n  z0   f  z0  

3


3


3

для всех z , удовлетворяющих условию z  z0   .
Таким образом, мы доказали, что для любого   0 можно найти такое   0 ,
что для 2, удовлетворяющих условию z  z0   , выполняется неравенство
f  z   f  z0    .
f  z  в произвольной точке z0  D доказана. Этим самым
Непрерывность
доказана ее непрерывность и на множестве E .
Теорема 6.5.
Если составленный из непрерывных функций ряд

 f  z  равномерно сходится
k 1
в области
k
f  z  , то этот ряд можно интегрировать почленно по любой
D к сумме
спрямляемой дуге AB , целиком расположенной в области D , т.е.

AB

f  z  dz    f k  z  dz.
(6.80)
k 1 AB
Доказательство.
Интеграл
 f  z  dz
имеет смысл, так как, по теореме 6.4. f  z  непрерывна в D .
AB

Так как ряд
 f z
k 1
сходится равномерно в области D , то для любого
k
заданного   0 можно указать такой номер N что для всех z  D
Rn  z  
где l - длина дуги AB , a Rn  z  

AB
l
при n  N   ,

 f  z  . Тогда
k  n 1

k
f  z  dz    f k  z  dz 
что и доказывает теорему.
Пример 3.

k 1 AB
 R  z  dz  
n
AB
AB
Rn  z  dz   ,
1
 1 z  z2 
1 z
Пусть AB произвольная
Функции
f k  z   z k 1
кривая
 k  1, 2, 
 z n 1 
.
(6.31)
принадлежащая
z  1 (рис. 6.2).
кругу
- непрерывные на всей комплексной плоскости, а
значит, и на кривой AB .
Следовательно,

1
z k 1dz
AB 1  z dz  

k 1 AB
В
предыдущей
теореме
было
отмечено,
условиях комплексные функциональные ряды можно
что
при определенных
почленно
интегрировать.
Возникает вопрос: при каких условиях можно комплексный ряд дифференцировать?
Ответ на это вопрос дает следующая теорема.
Теорема 6.6 (Вейерштрасса).
Если функциональный ряд

 f z
k 1
k
составлен из функций аналитических в области D и равномерно сходится во всяком
замкнутом круге K  D , то сумма ряда есть функция аналитическая в области D и ряд
можно почленно дифференцировать любое число раз, т.е. для любого z  D , имеем

f m  z    f km  z ,
m  1, 2,3,
,
(6.32)
k 1

f  z    fk  z  .
(6.33)
k 1
Доказательство.
1. Докажем, что при условиях теоремы сумма ряда есть функция аналитическая в
области D . Пусть z0 - любая точка из области D . Построим круг K  D с центром в
точке z0 . Пусть  - любая спрямляемая замкнутая кривая, которая принадлежит круг
K (рис.6.3).
По условию теоремы ряд (6.33) равномерно сходится в
круге
K
и составлен из
аналитических, а значит, непрерывных в области D функций.
Тогда по теореме 6.4 сумма ряда есть функция непрерывная, а по теореме 6.5 ряд
можно почленно интегрировать по любой замкнутой кривой   K , т.е.


f  z  dz   f k  z  dz.
k 1
По теореме Коши для односвязной области имеем :
 f  z  dz  0
(6.35)
k
при k  1, 2,
.
Из (6.34) и (6.35) имеем
 f  z dz  0
(6.36)
для любой замкнутой кривой   K . Из (6.36) на основании теоремы Морера следует,
что в круге
функция
K функция
f есть функция аналитическая, а значит в точке
z0  K
f дифференцируема. Поскольку z0 - произвольная точка из области D , то
мы получили, что функция f дифференцируема в каждой точке области, а это означает
аналитичность функции f в области D .
Первая часть теоремы доказана.
2. Разделим левую и правую части равенства (6.33)
2 i  z  z0 
m 1
и получим

f  z
fk  z 
1
1


.

m 1
m 1
2 i  z  z0 
k 1 2 i  z  z0 
ряд (6.37) в силу равномерной сходимости ряда (6.33) в замкнутом круге K будет
равномерно сходится на окружности C ограничивающей этот круг. Следовательно, по
теореме 6.5 ряд (6.37) можно почленно проинтегрировать по кривой C .

f z
fk  z 
1
1
dz

.

m 1
m 1


2 i C  z  z0 
k 1 2 i C  z  z0 
(6.38)
На основании интегральных формул для производных т-то порядка (см. параграф
"Бесконечная дифференцируемость аналитических функций") из (6.38) получим

f m  z0    f k  z0  ,
m  1, 2,
.
(6.39)
k 1
Так как z0 - произвольная точка области D , то из (6.39) мы получили,
каждой
точке
области
D ряд
(6.33)
что
в
можно почленно дифференцировать любое
число раз.
Теорема доказана.
6.3. Степенные комплексные ряды
Степенным комплексным рядом называется функциональный комплексный ряд
следующего вида

C  z  z 
k
k 0
Здесь
z0 , c0 , c1 , c2 ,
0
k
.
(6.40)
, - заданные комплексные числа,
z - любое комплексное
число. Как мы видим, степенной ряд (6.40) составлен из следующих функций:
f1  z   c0 ; f 2  z   c1  z  z0  ,
, f k  z   ck  z  z 0 
k 1
,
,
которые
все
являются
аналитическими во всей комплексной плоскости, а значит, и непрерывными там.
Множество точек комплексной плоскости, в которых степенной ряд сходится,
называется его областью сходимости.
Пример 1.
Степенной ряд
 z n1 
1 z  z2 
(6.41)
,
в котором
z0  0, c0  c1  c2 
как мы знаем, сходится в открытом круге
 1,
z  1 и расходится для точек z , таких, что
z  1 . Значит, областью сходимости этого степенного ряда является открытый круг
z  1.
Одной из основных в теории степенных рядов является следующая теорема.
Теорема 6.7 (Абеля).
Если степенной ряд

C z  z 
k 0
k
сходится в некоторой точке z1  z0 , то
k
0
он абсолютно сходится и в любой точке z , удовлетворяющей условию z  z0  z1  z0 ,
r  z1  z0
т.е. абсолютно сходится в круге радиуса
с центром в точке z0 (рис. 6.4).
Доказательство.
Пусть z - произвольная точка из. указанного круга. Тогда
z  z0
 q  1.
z1  z0
Так как в точке
z1 степенной ряд сходится, то на основании необходимого
Ck  z1  z0   0 при
k
признака сходимости любого ряда будем иметь
k  .
Следовательно, существует такая константа M , что
Ck  z1  z0  M при k  0,1, 2,
k
.
Отсюда для коэффициентов Ck данного степенного ряда получим оценки
Ck 
M
при k  0,1, 2,
z1  z0
.
Тогда
Ck  z  z0 
k
 z  z0
 M 
 z1  z0
k

 .

Но ряд

 Mq
k
,
k 0
где
членов
q
z  z0
 1, сходится, так как сходится ряд
z1  z0
бесконечной

q
k
, представляющий сумму
k 0
геометрической прогрессии со знаменателем меньшим
единицы. Тогда по признаку сравнения для положительных рядов из сходимости
положительного ряда (6.43) на основании неравенства (6.42) втекает сходимость ряда

 C z  z 
k 0

 C z  z 
k 0
k
k
0
k
0
r  z1  z0 . .
в рассматриваемом круге радиуса
Сходимость
k
последнего
ряда
означает
абсолютную
сходимость
ряда
в указанном круге. Теорема доказана.
Следствие.
Если степенной ряд

 C z  z 
k
k 0
k
расходится
0
некоторой точке z  z1 , то он
в
расходится и во всех точках z , удовлетворяющих неравенству z  z0  z1  z0 .
Предполагая противное, получим, что по теореме Абеля ряд должен сходится в
любом круге радиуса
  z  z0 ,
в частности, и в точке z  z1 , что противоречит
условию.
Определение 6.7.
Областью сходимости степенного ряда называется множество точек плоскости, в
которых ряд сходится.
Теорема Абеля дает возможность выяснить структуру области сходимости
произвольного степенного ряда. Существуют степенные ряды, которые сходятся в
единственной точке z  z0 .
Назовем такие ряды рядами 1-го типа.
Примером такого ряда является ряд
1  z  22 z 2 
 nn z n1 
,
здесь z0  0 при z  z0  0 имеем числовой ряд
1 0  0 
0
,
который сходится и сумма его равна 1.
Пусть теперь z  0. Тогда общий член ряда
n n z n   при n   ,
так как, начиная с некоторого достаточно большого
следовательно,
n , будем иметь n z  2 и,
 n z   2 . Итак, рассматриваемый ряд расходится при любом
n n
n
z  0.
Существуют степенные ряды, сходящиеся во всякой точке плоскости. Такие ряды
называются рядами 2-го типа. На основании теоремы Абеля такие ряды должны
абсолютно сходится во всякой точке комплексной плоскости (Почему?). Примером ряда
2-го типа является следующий ряд
z z2
1  2 
1 2

zn

nn
.
Для любого z имеем
n
zn  z   1 
    ,
nn  n   2 
n
как только n такое, что
z 1
 .
n 2
Но числовой ряд
1
1 1
 
2 22
сходится, а тогда на основании (6.44) по признаку сравнения для положительных рядов
следует абсолютная сходимость рассматриваемого ряда.
К третьему типу отнесем степенные ряды, которые не принадлежат ни первому,
ни второму типу. Ряды третьего типа имеют точки, отличные от
z0 , в которых они
сходятся, и есть точки, в которых они расходятся. Исследуем область сходимости рядов
3-го типа.
Проведем из точки z0 луч (рис. 6.5). На этом луче найдется точка
которой ряд сходится и найдется точка
проведенного луча обозначим через
A  z0 , в
B , в которой ряд расходится. Отрезок
AB
I1 . Разделим этот отрезок пополам и обозначим
через I 2 ту половину отрезка I1 левый конец которой является точкой сходимости, а
правый конец - точкой расходимости ряда. Отрезок I 2 опять делим пополам и выбираем
ту половину отрезка I 2 , левый конец которой является точкой сходимости, а правый точкой расходимости ряда. Эту половину обозначим через I 3 результате, продолжая это
процесс неограниченно, получим стягивающуюся последовательность отрезков  I n  ,
вложенных друг в друга.
По
теореме
о
стягивающейся
последовательности
отрезков
единственная точка M , принадлежащая всем отрезкам I n  n  1, 2,
.
существует
Положим R  M  z0 и рассмотрим
окружность z  z0  R. Докажем, что
рассматриваемый ряд абсолютно сходится во всякой точке
окружности, и расходится
в
каждой
точке
z,
z , лежащей внутри этой
лежащей
вне
окружности
z  z0  R.
Пусть z  - произвольная точка, лежащая внутри окружности z  z0  R.
zn , являющуюся левым концом отрезка
На рассмотренном луче изберем
In .
Предполагаем при этом n настолько большим, что z  z0  zn  z0 .
 I n  , в точке
Так как, по построению последовательности
zn рассматриваемый
ряд сходится, то, согласно теореме Абеля, ряд будет абсолютно сходящимся и в точке
zn .
Так как, zn - любая точка, лежащая внутри окружности z  z0  R , то заключаем,
что рассматриваемый ряд сходится, и притом абсолютно, в круге z  z0  R.
Пусть z n - любая точка, лежащая вне окружности
z  z0  R . На луче выберем
точку z n , являющуюся правым концом отрезка I n . При этом предполагаем n настолько
большим, что z  z0  zn  z0 . Так как, согласно построению последовательности  I n  в
точке z n ряд расходится, то, по следствию из теоремы Абеля, он расходится и в точке
z n . Так как z n - любая точка, лежащая вне окружности z  z0  R , то рассматриваемый
ряд будет расходиться в области
z  z0  R.
Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится при всяком z , для которого
z  z0  R и расходится при всяком z , для которого z  z0  R.
Найденный круг с центром
R  M  z0
z0 называется кругом сходимости, а его радиус
- радиусом сходимости степенного ряда. Для рядов 1-го типа условились
считать, что R  0 , для степенных рядов 2-го типа - R  . Как мы покажем ниже в
точках окружности круга сходимости степенные ряды могут сходиться, но могут и
расходиться.
Из приведенных рассуждений вытекает теорема
Теорема 6.8.
Для всякого степенного ряда

C z  z 
k 0
k
0
k
существует круг с центром в точке z0 конечного или бесконечного радиуса, называемый
кругом сходимости этого ряда, внутри которого ряд абсолютно сходится, а вне его
расходится.
Замечание 1.
Из теоремы и замечания о том, что в точках окружности круга сходимости
степенной ряд может сходиться и может расходиться, следует, что область сходимости
степенного ряда состоит, очевидно, из круга сходимости и, возможно, еще из всего или
некоторого множества точек окружности этого круга.
Замечание 2.
Также как и в случае действительных степенных рядов, используя признаки Коши
и Даламбера, получим формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда

C z  z  .
k 0
k
k
0
Например, если существует предел
lim
Ck 1  z  z0 
Ck  z  z0 
k 
k 1
 z  z0 lim
k 
k

C z  z 
то по признаку Даламбера, ряд
k
k 0
k
0
Ck 1
 q.
Ck
абсолютно сходится при
q  1и
расходится при q  1 , т.е.
R
1
.
Ck 1
lim
k  C
k
(6.45)
Аналогичное рассуждение и использование признака Коши дает формулу
1
R
,
(6.46)
lim k Ck
k 
если, конечно, существует предел рассматриваемый в формуле (6.46).
Пример 2.
Найти радиус и круг сходимости степенного ряда
z z2
1  
1 2
C0  1, Ck 
R
1
lim k
k 
1
k

1
, k  1, 2,
k

1
1
lim k
k 
k
zk

k
.
1
, z0  0. Ck  .
k
 lim k k  1,
x 
(6.47)
круг сходимости z  1.
Пример 3.
Ряд
1 z  z2 
на окружности круга сходимости расходится, так как
z n  z  1, если z  1 и, следовательно, общий член ряда не стремится к нулю при
n
n .
Пример 4.
Степенной ряд
z z2
1  
1 2
в точке z  1 окружности круга ходимости z  1
сходится как знакочередующийся
11
1 1
 
2 3
,
1 1
 
2 3
,
а в точке z  1 расходится, так как имеем вид
11
и отличается от расходящегося гармонического ряда
1 1
11  
2 3
только лишним первым членом.
Пример 5.
Рассмотрим теперь ряд
z z2
1  2 
1 2

zn

n2
(6.48)
Как и в случае ряда (6.47) показываем, что радиус сходимости ряда S.48) R  1 . Однако
во всех точках окружности
z  1 круга сходимости
z  1 ряд (6.48) абсолютно
сходится, а значит просто сходится. В самом еле составим ряд из модулей членов ряда
(6.48)
1
z
z2


12 22

zn

n2
(6.49)
Перепишем ряд (6.49) в виде
2
z z
1 2  2 
1
2

zn
n2

(6.50)
Но z  1 и ряд (6.51) примет вид
1
z 1
 
12 22

1

n2
,
(6.51)
а последний ряд, как мы знаем из теории числовых рядов, сходится, а начит ряд (6.47)
абсолютно сходится, а значит и просто сходится, что мы и утверждали.
6.4. Непрерывность и аналитичность сумм степенного ряда.
Теорема 6.9.
Степенной ряд (6.40) равномерно сходится во всяком замкутом круге
z  z0  r  R, где R - радиус сходимости степеного ряда.
Доказательство.
Доказательство
для случая z0  0 (рис.6.6). Точка r принадлежит
проведем
кругу сходимости, значит в этой точке ряд

c z
k 0
k
(6.52)
k
z  r имеем, что ряд
абсолютно сходится, т.е. при

c z
k
(6.53)
k
k 0
сходится.
Ряд (6.53) - числовой положительный сходящийся ряд, Если точка z прина
ck z k  ck z k  ck r k  ck z k .
(6.54)
и ряд (6.53) сходится. Значит по признаку равномерной сходимости функциональных
рядов степенной ряд (6.52) в круге z  r  R равномерно сходится.
Теорема 6.10.
Сумма степенного ряда есть функция непрерывная в круге его сходимости.
Доказательство.
Пусть z1 любая точка круга сходимости степенного ряда (6.40) (рис. 6.7). (Буква
R всегда обозначает радиус сходимости степенного
ряда).
Очевидно
можно
построить круг K : z  z0  r  R, которому точка z1 принадлежит.
По
предыдущей
теореме
в
круге
К степенной ряд равномерно сходится. Но как мы уже отмечали, степенной ряд
составлен из функций C0 , C1  z  z0  , C2  z  z0  ,
2
комплексной плоскости, а значит и в круге
(многочленов) непрерывных во всей
K . Тогда по теореме 6.4. применяемой к
степенному ряду, как частному случаю функционального ряда, сумма степенного ряда
есть функция непрерывная в круге K . , а, следовательно, сумма степенного ряда есть
функция непрерывная в точке z1 . Но точка z1 - произвольная точка круга сходимости, а
это означает, что сумма степенного ряда есть функция непрерывная в круге его
сходимости.
Что и требовалось доказать.
Теорема 6.11.
Сумма степенного ряда есть функция аналитическая в его круге сходимости и ряд
можно дифференцировать почленно любое число раз.
Доказательство.
Степенной
ряд
c0 , c1  z  z0  , c2  z  z0  ,
2
(6.40)
составлен,
как
мы
отмечали,
из
многочленов
которые, как мы знаем, аналитичны во веси комплексном
плоскости, а значит они аналитичны и в круге сходимости. По теореме 6.9 степенной
ряд равномерно сходится во всяком замкнутом круге K . , принадлежащем кругу
сходимости, а тогда по теореме Вейерштрасса сумма степенного ряда есть функция
аналитическая и степенной ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.
Теорема доказана.
6.5. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора
Теорема 6.12.
Функция
f аналитическая в круге K : z  z0  R, разлагается в этом круге в
степенной ряд Тейлора, т.е. для  z  K имеем

f  z    ck  z  z0  ,
k
(6.55)
k 0
где
f  k   z0 
ck 
, и при этом указанное разложение единственно.
k!
Пусть
z
любая точка принадлежащая кругу
K . Построим окружность
C : z  z0  r  R, такую, что точка находится внутри окружности C (рис. 6.8). Тогда по
формуле Коши имеем:
f z 
f t 
1
dt.
2 i C t  z
(6.56)
 z  z0 
1
 1  t  z  1 

tz
 t  z0 
Рассмотрим
Где t  C. Обозначим
q 
(6.57)
z  z0
 q и отметим, что
t  z0
z  z0
t  z0
 1,
(6.58)
так как t  C , а точка z находится внутри окружности,
z  z0  r1  t  z0  r 2 ,
1
 1  q  q2 
1 q
(6.59)
так как q  1.
Запишем более подробно
2
z  z0  z  z0 
1
 1

 
z  z0
t

z
t

z
0
0


1
t  z0
.
И теперь (6.57) запишем
2
1
1  z  z0  z  z 0 
1 


 
t  z t  z0  t  z0  t  z0 

 z  z0  
z  z0
1
1



2
3
t  z t  z0  t  z 0 
 t  z0 
2
Умножим ряд (6.60) на

,

 z  z0  

k 1
 t  z0 
k
(6.60)
f t 
2 i
f t 
1 f t 
1 f t 
1


 z  z0  
2 i t  z 2 i t  z0 2 i  t  z0 2

.
f t 
1
2
z  z0  
3 
2 i  t  z0 

f t 
1
k
z  z0  
k 1 
2 i  t  z0 
(6.61)
.
Полученный ряд (6.61) равномерно сходится относительно переменной
так как
t C ,
z  z0
1 f  t  z  z0 
1

max f  t 
k 1
2 i  t  z0 
2 i tC
r2k 1
k
k

rk
1
max f  t  k11 ,
2 tC
r2
и числовой ряд

r1k
1
max
f
t



r2k 1
k  0 2 i
сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем
z  z0
r1

 1.
r2
t  z0
Следовательно, на основании теоремы 6.5 ряд (6.61) можно интегрировать почленно
f t 
f t 
f t 
1
1
1
dt 
dt 
dt  z  z0  



2 i C t  z
2 i C t  z0
2 i C  t  z0 2

f t 
1
2
dt  z  z0  
3

2 i C  t  z0 

f t 
1
k
dt  z  z0  
k 1

2 i C  t  z0 
(6.62)
По формуле Коши имеем
f t 
f t 
1
1
dt  f  z  ;
dt  f  z0  ;


2 i C t  z
2 i C t  z0
по
интегральным
формулам
для
производных
(см.
параграф
"Бесконечная
дифференцируемость аналитических функций") имеем
f t 
1
dt  f   z0  ;

2 i C  t  z0 2
f t 
f   z0 
1
dt 
,
3

2 i C  t  z0 
2!
,
f t 
f  k   z0 
1
dt 
.
2 i C  t  z0 k 1
k!
Из (6.62) теперь получим
f  z   f  z0  
f   z0 
f   z0 
2
 z  z0  
 z  z0  
1!
2!
f  k   z0 
k

 z  z0   .
k!

(6.63)
Ряд (6.63) можно записать в виде

f  z    ck  z  z0  ,
k 0
где
k
(6.64)
f  k   z0 
ck 
. (6.65)
k!
Степенные ряды, у которых коэффициенты определяются формулами (6.65),
называются степенными рядами Тейлора функции f .
Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Докажем теперь, что разложение в степенной ряд единственно.
Допустим, от противного, что наряду с разложением (6.64) для каждого
zK
имеем

f  z    bk  z  z0  .
k
(6.66)
k 0
Из (6.64) и (6.66) имеем


c  z  z   b  z  z  .
k 0
k
k
0
k
k
k 0
(6.67)
0
Подставляя в последнее равенство z  z0 , получим
c0  0  0 
т.е.
 b0  0  0 
,
c0  b0 . .
Дифференцируем почленно ряды (6.64) и (6.66) и получим

f   z    ck k  z  z0 
k 1
,
(6.68)
.
(6.69)
k 1

f   z    kbk  z  z0 
k 1
k 1
Из (6.68) и (6.69) получим
c1  2c2  z  z0  
 b1  2b2  z  z0  
 nbn  z  z0 
 ncn  z  z0 
n 1

.
n 1


(6.70)
Полагая в равенстве (6.70) z  z0 , получим c1  b1.
Продолжая это процесс, получим при любом k ck  bk .
Единственность доказана.
Теорема доказана.
Следствие.
Если функция f аналитична в точке z0 , то в некоторой окрестности этой точки
функция разлагается в степенной ряд Тейлора.
В самом деле, аналитичность в точке z0 означает, что функция аналитична в
некотором круге с центром в точке z0 , который и является окрестностью точки z0 , а
тогда по теореме в этой окрестности-круге функция разлагается в степенной ряд.