ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

УДК 621.1:536.24
Чарин А.В., Лагун И.М., Тульский гос. ун-т
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Операционным методом решена задача теплопроводности в плоской полубесконечной стенке при граничных условиях третьего рода с изменяющимся во времени по экспоненциально-степенному закону коэффициентом теплоотдачи. Получены простые и удобные для инженерной
практики зависимости для расчета температуры нагреваемой поверхности.
Известно [1], что нестационарность процессов тепло- и массообмена характерна не только для периодов пуска, остановки, но также и для основных режимов работы тепловых машин. Переходные и неустойчивые
режимы рабочих процессов при переменном количестве рабочего тела
приводят к сложным закономерностям изменения коэффициента теплоотдачи между рабочим телом и конструкцией. Задача по определению температурного поля в элементах конструкции при переменном во времени
коэффициенте теплоотдачи представляется весьма сложной [2]. Существуют различные подходы к определению коэффициента теплоотдачи
[3,4], кроме того, в зависимости от режима работы теплового двигателя эта
величина может как расти, так и падать с различной скоростью. Выбранный экспоненциально-степенной закон
  A nec
позволяет путем вариации коэффициентов
 A, n, c 
(1)
получать различный
характер кривых изменения коэффициента теплоотдачи  во времени  .
При резких изменениях коэффициента теплоотдачи во времени и при
малой продолжительности переходных или неустойчивых режимов работы
важно проследить изменение температурного поля в конструкции у поверхности. Поведение температурного поля представляет интерес для
определения работоспособности двигателя.
В связи с отмеченным рассмотрим процесс теплопередачи в полубесконечной стенке  0  x    при принятом законе изменения коэффициента теплоотдачи (1).
Считая, что теплофизические параметры материала не зависят от
температуры и принимая постоянным начальное распределение температуры в стенке TH , поставленная задача в прямоугольной системе координат может быть записана в виде:
T  x, 
 2T  x, 
a

 x2
при
0  x  ,
  0,
T  x,0   TH
при
0  x  ,
  0,
при
x  0,
  0,
при
x  ,
  0,

T  0, 
 A nec TГ  T  0,   0
x
T  , 
 0,
x
T  ,   TH
(2)
где T , TГ – температура стенки и среды;  ,a – коэффициенты тепло- и
температуропроводности соответственно.
Применяя преобразование Лапласа, перейдем от системы уравнений
(2) к изображениям. В результате имеем
d 2t  x, s 
d x2
s
T
 t  x, s   H  0,
a
a
T
t  x,0   H ,
s
(3)
 n
d t  0, s  ATГ
n!
A
n d t  0, s  c 

  1
 0,
n

dx
  s  c n 1 
ds
d t  , s 
 0,
dx
T
t  , s   H ,
s
где t  x, s  – изображение функции T  x,  .
Из системы уравнений (3) получаем решение:

s
x
a
T
A a 
e
n
t  x, s   H 
n ! TГ   1 TH 

 s  s  c n 1
s

(4)
При переходе от изображения к оригиналу для каждого слагаемого
отдельно общее решение приводится к виду:

T  x,   TH 
A a c 
n
e
TГ   1 TH   



 
0
k2
c


n
4 d 
  e

(5)
Интеграл, стоящий в правой части равенства (5), может быть вычислен с заданной точностью по формулам приближенного интегрирования.
Если показатель степени n известен, то указанный интеграл дает простые
зависимости при разложении в подинтегральном выражении функции
   n – в биномиальный, а экспоненты
– в степенной ряды.
Анализ экспериментальных данных [3,4] по изменению коэффициента теплоотдачи в ряде тепловых двигателей показывает, что достаточно
удовлетворительная аппроксимация может быть получена при n  1...4 .
Принимая n  4 и раскрывая интеграл в правой части равенства (5),
выражение для определения температуры поверхности теплообмена (при
x  0 и k  0 ) можно привести к виду
1

m
 cm 

2
A a c
T  0,   TH 
e TГ  TH   4 

1
 
m
!
 m 0
m

2

 c
4 3 
m

m
3
2
3
m 0 m ! m 
2
 c
 

m
m
 c
 6 2 
m

m
5
2
5
m 0 m ! m 
2
 c
 4 
m

m
7
2
7
m 0 m ! m 
2

9
2

9
m
!
m 0
m  
2
(6)
n  1 , соответственно получим
Полагая в общем решении
T  0,   TH 

A

1

m
m

 1
a c
c  2
e TГ  TH  



  m 0 m ! m  1

2

3
m
m
 c 
2
1

  m 0 m ! m  3
(7)
.
2
Зависимости (6) и (7) могут быть упрощены, если учесть соотношения:
 cm 
m
1
2

    c   Bm ,
1
m 0 m ! m 
m 0
2

 c
m

m
3
2

m
     c   Bm ,

3
m
!
m 0
m 0
m
2
и так далее.
m
где Bm 
где Bm 
1
1

m ! m  
2

1
3

m ! m  
2

;
После простых преобразований для определения температуры поверхности теплообмена получим
T  0,   TH  TГ  TH 
где
для n  1 :
для n  4 :
A n

a c 
m
e   c   Bm ,

(8)
m 0


1  1
1 
Bm 


,
m ! m  1 m  3 

2
2


1  1
4
6
4
1 
Bm 





,
m ! m  1 m  3 m  5 m  7 m  9 

2
2
2
2
2
m  0, 1, 2, 3 ...
Следует заметить, что с возрастанием m коэффициент Bm быстро
уменьшается и для практических расчетов обычно можно ограничиться 5 –
7 значениями.
Сравнение результатов расчета температуры поверхности теплообмена по зависимости (8) и методом численного интегрирования показало
удовлетворительное совпадение: расхождение не превышало 5%.
Библиографический список
1.
Кузьмин М.П., Лагун И.М. Нестационарный тепловой режим
элементов конструкций двигателей летательных аппаратов.- М.: Машиностроение, 1988.- 240с.
2.
Лыков А.В. Теория теплопроводности.- М.: Высшая школа,
1967.- 597с.
3.
Нестационарный теплообмен // В.К. Кошкин, Э.К. Калинин,
Г.А. Дрейцер, С.А. Ярхо / М.: Машиностроение, 1973.- 327с.
4.
Лагун И.М. Нестационарный конвективный теплообмен // Из-
вестия РАН. Энергетика.- 1994. №2.- С.141-146.