Ибрагимов И.З. Обтекание пластинки вблизи экрана

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ
010800.62 – МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЫПУСКНАЯ БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ВБЛИЗИ ЭКРАНА
Работа завершена:
«___»___________2015г.
_____________ И.З. Ибрагимов
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
Кандидат физ.-мат. наук, доцент
«___»___________2015г.
_______________ Р.Ф. Марданов
Заведующий кафедрой:
Доктор физ.-мат. наук, профессор
«___»___________2015г
_________________ А.Г. Егоров
Казань – 2015 год
Содержание
Введение ................................................................................................................... 3
1.Постановка задачи................................................................................................ 5
2.Решение ................................................................................................................. 6
3.Вычисление интеграла типа Коши ................................................................... 12
4.Результаты расчетов........................................................................................... 14
Заключение ............................................................................................................ 23
Список литературы ............................................................................................... 24
2
Введение
Теория потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости –
наиболее развитый раздел современной гидромеханики. Объясняется это
двумя обстоятельствами. Во-первых, данная теория имеет целый ряд важных
практических приложений и дает вполне приемлемые результаты в тех
областях исследования, где вязкость жидкости можно пренебречь. Сюда
относят струйные и кавитационные течения, поверхностные волны на воде,
течения около крыловых профилей при дозвуковых скоростях [1,2]. Вовторых, при исследовании плоских потенциальных течений можно с успехом
использовать глубоко развитый аппарат теории функций комплексного
переменного: технику конформных отображений, вариационные методы и
метод интегральных уравнений, что позволяет во многих случаях получить
точное аналитическое решение задачи.
Задачи взаимодействия потоков с различными константами Бернулли
даже в рамках ИНЖ сложны, так как в данных задачах функция
комплексного потенциала терпит скачок на линии раздела сред. Чаще всего
применяются итерационные методы решения. Примерами рассматриваемых
проблем является задачи: о движении тела вблизи свободной поверхности;
движение тел с выдувом реактивных струй; взаимодействие, соударение
струй с различными константами Бернулли; движение тел вблизи твердого
экрана.
В настоящей работе рассмотрена задача об обтекании пластинки
вблизи экрана. Экран интерпретируется как плоскопараллельный поток
очень тяжелой жидкости. Классический подход к решению таких задач,
заключается в использовании аппарата эллиптических функций для решения
краевой задачи в двусвязной области [3].
3
В данной работе применялся другой подход, который был предложен
Д.В.
Маклаковым
[4],
заключающийся
в
введении
фиктивного
плоскопараллельного потока ИНЖ под экраном. В этом случае область
течения становится односвязной, а решение задач сводится к отысканию
кусочно аналитической функции комплексного потенциала.
Также в работе изложен метод численного интегрирования интеграла
типа
Коши,
проведена
серия
расчетов
распределения
скорости
и
коэффициента давления по поверхности плоской пластинки, построены
линии тока.
4
1. Постановка задачи
В физической плоскости 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 на пластинку CB длиной l, натекает
поток ИНЖ со скоростью 𝑣∞ (рис. 1). Пластинка расположена под углом 𝛼 к
горизонту и на расстоянии h от экрана. Точка A – точка разветвления потока,
точка B – задняя кромка, является точкой схода потока, h – расстояние между
точкой B и экраном. Направим ось 𝑥 по горизонтали вправо, так чтобы ось
совпадала с линией экрана L. Ось 𝑦 проведем через точку B.
Требуется построить распределение скорости 𝑣(𝑠) и коэффициент
давления 𝐶𝑝 по поверхности пластинки, а так же линии тока.
Рис. 1. Физическая плоскость z
5
2. Решение
Согласно [4] под экраном введем фиктивный плоскопараллельный
поток тяжелой ИНЖ со скоростью 𝑣∞ , и рассмотрим кусочно-аналитическую
функцию 𝑤(𝑧). При этом линия L экрана, будет линией раздела сред,
являющейся линией тока.
Введем каноническую область 𝜁 (рис. 2), в которой течению в
физической
плоскости
будет
соответствовать
обтекание
цилиндра
единичного радиуса. Скорость потока 𝑢0 направлена под углом 𝛽 к
горизонту. Поток разделяется в точке A с координатой 𝜁𝑎 = 𝑒 𝑖𝛾𝑎 на
окружности и сходит в точке B с координатой 𝜁 = 1. Обозначим за 𝐿𝜁 образ
экрана в плоскости 𝜁.
Рис. 2. Каноническая плоскость 𝜁
Применив
функцию
Жуковского,
найдем
отображение
𝑧(𝜁).
Потребуем, для однозначности отображения, переход точки 𝜁 = 1 в точку
𝑧 = 𝑖ℎ и соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей 𝑧 и 𝜁:
6
𝑙
1
1
2 2
𝜁
𝑧(𝜁 ) = 𝑒 −𝑖𝛼 ( (𝜁 + ) − 1) + 𝑖ℎ .
(1)
Используя обратную функцию Жуковского, не трудно найти обратное
отображение 𝜁(𝑧):
2
2
𝑙
𝑙
2
𝜁 (𝑧) = [𝑒 𝑖𝛼 (𝑧 − 𝑖ℎ) + 1] + √[𝑒 𝑖𝛼 (𝑧 − 𝑖ℎ) + 1] − 1 . (2)
Отобразив линию L при помощи (2), можно найти 𝐿𝜁 – образ экрана в
плоскости 𝜁.
Согласно [4] введем комплексно сопряженную скорость в плоскости 𝜁
в виде:
𝑑𝑤
𝑑𝜁
1
𝜁𝑎
𝜁
𝜁
= 𝑢0 𝑒 −𝑖𝛽 (1 − ) (1 −
) 𝑒 −𝛺(𝜁) ,
(3)
где 𝛺 = 𝑇 + 𝑖𝛬. 𝑇 – реальная, 𝛬 – мнимая часть 𝛺.
Введем функцию Жуковского – Мичела 𝜒:
𝜒 = ln (
1 𝑑𝑤
𝑣∞ 𝑑𝑧
) = ln
𝑣̅
𝑣∞
+ 𝑖𝜃.
(4)
Выделим особенности этой функции в критических точках и на линии 𝐿𝜁 ,
построив функцию:
𝜒0 = ln (1 −
𝜁𝑎
𝜁
1
) − ln (1 + ) − 𝛺(𝜁 ) ,
𝜁
и введем функцию: 𝜒̃ = 𝜒 − 𝜒0 = 𝑆̃ + 𝑖𝜃.
Выразим из (4) комплексно сопряженную скорость:
𝑑𝑤
𝑑𝑧
= 𝑣∞ 𝑒 𝜒̃−𝛺(𝜁)
𝜁−𝜁𝑎
𝜁+1
Продифференцировав (1), найдем:
7
.
(5)
𝑑𝑧
𝑑𝜁
С другой стороны
𝑙
1
4
𝜁2
= 𝑒 −𝑖𝛼 (1 −
𝑑𝑧
𝑑𝜁
𝑑𝑧
(6)
можно получить из формулы, (3) на (5) в виде:
=
𝑑𝜁
).
𝑑𝑤 𝑑𝑤
𝑑𝜁
⁄
𝑑𝑧
=
𝑢0
𝑣∞
1
1
𝜁
𝜁
𝑒 −𝑖𝛽−𝜒̃ (1 − ) (1 + ) .
(7)
Так как функция (7) аналитическая, следовательно, функция 𝜒̃ тоже
является аналитической, и скачок на 𝐿𝜁 убран правильно.
Рассмотрим (7) на бесконечности с учетом формул (3), (5), (6):
𝑑𝑧
| =
𝑑𝜁 ∞
𝑑𝑤
𝑑𝑤
| ⁄
𝑙
| ⇒ 𝑒 𝑖𝛼 = 𝑢0 𝑒 −𝑖𝛽 ⁄𝑣∞ ,
𝑑𝜁 ∞ 𝑑𝑧 ∞
4
откуда найдем:
𝑙
𝑢0 = 𝑣∞ ,
𝛽=𝛼.
4
(8)
Выразим из (7) 𝜒̃:
1
1
𝑣∞ 𝑑𝑧
𝜁
𝜁
𝑢0 𝑑𝜁
𝜒̃ = −𝑖𝛽 + ln (1 − ) + ln (1 + ) − ln (
).
(9)
Подставив формулу (6) и соотношение (8) в формулу (9) получим, что для
нашей задачи функция 𝜒̃(𝜁) ≡ 0.
Рассмотрим функцию
𝛬(𝛾 ) =
𝑑𝑤
𝑑𝜁
𝛾𝑎 +𝜋
2
на окружности 𝜁 = 𝑒 𝑖𝛾 , откуда следует, что:
− 𝛽 = 𝛿 ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 .
Комплексно сопряженная скорость отыскивается в виде:
𝑑𝑤
𝑑𝑧
= 𝑓(𝑧)𝑒 −𝛺(𝑧) ,
8
(10)
где 𝑓(𝑧) – непрерывная функция (аналитическая, может иметь особенности в
некоторых точках), 𝛺(𝜁) – содержит скачок на линии L, т. е. кусочно
аналитическая.
𝑑𝑤1
𝑑𝑧
= 𝑓 (𝑧)𝑒 −𝛺1 (𝑧) = 𝑣1 e−i𝜃1 ,
𝑑𝑤2
𝑑𝑧
= 𝑓(𝑧)𝑒 −𝛺2 (𝑧) = 𝑣2 e−i𝜃2 .
Прологарифмируем и рассмотрим на границе линии раздела, где 𝜃1 = 𝜃2 .
Получим 𝛺2 − 𝛺1 = 𝑇2 − 𝑇1 = ln
𝑣1
= 𝜆 . Для удовлетворения этого условия
𝑣2
приходится организовывать итерационный процесс.
𝜆(𝑡) = ln (
𝑣∞
𝑣(𝑡)
)
(11)
Функция 𝛺, удовлетворяющая заданному скачку на 𝐿𝜁 и условию 𝛬(𝛾) ≡ 𝛿,
можно найти по формуле [4]:
̅̅̅̅̅̅̅
1
𝛺(𝜁 ) = Ф(𝜁 ) + Ф ( ̅ ) − Ф(0) .
𝜁
(12)
Здесь черта означает комплексное сопряжение. Ф(𝜁) – интеграл типа Коши
[5]:
Ф(𝜁 ) =
1
𝜆(𝑡)𝑑𝑡
∫
.
2𝜋𝑖
𝑡−𝜁
(13)
𝐿𝜁
Не трудно показать, что:
𝛬(𝛾 ) = 𝛿 = ImФ(0).
Интеграл типа Коши является функцией аналитической во всей
комплексной плоскости, кроме точек контура 𝐿𝜁 . Для вычисления данного
интеграла необходимо знать линию интегрирования 𝐿𝜁 , которая в нашей
задаче известна, и функцию плотности 𝜆(𝑡).
9
Для нахождения неизвестной заранее функции 𝜆(𝑡), организуем
итерационный процесс по следующей схеме:
𝜆(𝑡) → 𝛺(𝜁 ) →
𝑑𝑤
→ 𝑣 (𝑡) → 𝜆(𝑡) .
𝑑𝑧
На начальном этапе задаем начальное приближение, например 𝜆0 (𝑡) ≡
0.
Основной этап итерационного процесса содержит следующие шаги:
1.
Вычислим 𝛺(𝜁) по формуле (12), т.е. определим 𝑇(𝑡) , 𝑇(𝛾) и 𝛿.
2.
Найдем точку разветвления потока в канонической плоскости 𝜁𝑎 =
𝑒 𝑖𝛾𝑎 , где 𝛾𝑎 = 𝜋 + 2(𝛿 + 𝛽) выразим из формулы (10).
3.
Затем определим скорость 𝑣(𝑡) на экране используя (5)
𝑣 (𝑡) = |
4.
𝑑𝑤
𝑡 − 𝜁𝑎
|
= 𝑣∞ 𝑒 −𝑇(𝑡) |
|
𝑑𝑧 𝜁=𝑡
𝑡+1
Подставляя 𝑣 (𝑡) в формулу (11), вычислим новое приближение
функции 𝜆𝑘 (𝑡).
Итерационный процесс продолжается, пока не выполнится следующее
условие:
‖𝜆𝑘 − 𝜆𝑘−1 ‖ < 𝜀
Найдем распределение скорости 𝑣(𝑠) по пластинке.
𝑣(𝑠) = {
𝑣(𝛾) ,
𝑠(𝛾) .
Функцию 𝑣(𝛾) найдем из формулы (5), подставив 𝜁 = 𝑒 𝑖𝛾 :
𝑣 (𝛾 ) = −𝑣∞ 𝑒 −𝑇(𝛾) sin
𝛾 − 𝛾𝑎
𝛾
cos−1 .
2
2
Дуговую абсциссу представим в виде:
1 − 𝑥1 ,
𝑠={
3 + 𝑥1 ,
на нижней поверхности пластинки
,
на верхней поверхности пластинки
10
1
1
где 𝑥1 выразим, как 𝑥1 = 𝑅𝑒 ( (𝑒 𝑖𝛾 + 𝑖𝛾)) = cos 𝛾. Тогда
2
𝑒
𝑙 1 − cos 𝛾 ,
𝑠(𝛾) = {
2 3 + cos 𝛾 ,
𝜋 < 𝛾 < 2𝜋
0<𝛾<𝜋
Зная, 𝑣(𝛾) найдем коэффициент давления по пластинке по формуле:
𝑣(𝛾)2
𝐶𝑝 (𝛾) = 1 −
𝑣∞ 2
11
3. Вычисление интеграла типа Коши
Основной сложностью является вычисление интеграла (13). Интеграл
типа Коши построен так же, как и интеграл Коши, только 𝜆(𝑡) –произвольная
комплексная функция, а линия 𝑙 – может быть незамкнутой:
Ф(𝑧) =
1
𝜆(𝑡)𝑑𝑡
∫
,
2𝜋𝑖
𝑡−𝑧
(14)
𝑙
где функция 𝜆(𝑡) называется его плотностью, 1⁄(𝑡 − 𝜁) – ядром.
Функция (14) дает решение задачи Римана об определении двух
аналитических функций Ф+ (𝑧) и Ф− (𝑧) через значение скачка на границе
𝜆(𝑧) = Ф+ (𝑧) − Ф− (𝑧).
По формулам Сохоцкого [6], если 𝑧 → 𝑡:
1
Ф+ (𝑡) = Ф(𝑡) + 𝜆(𝑧) ,
2
1
Ф− (𝑡) = Ф(𝑡) − 𝜆(𝑧) ,
2
где Ф(𝑡) – особый интеграл, взятый в смысле главного значения по Коши.
Если 𝑧 ∉ 𝑙, то интеграл (14) без особенностей. Подынтегральную
функцию разбиваем на реальную и мнимую часть. Интегрируем по
отдельности любым удобным методом. Необходимо учесть, что 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑖𝜗 𝑑𝜎,
где 𝜗 и 𝜎– угол наклона касательной и дуговая абсцисса линии 𝑙.
Если 𝑧 ∈ 𝑙, тогда разбиваем (14) на две части:
Ф(𝑧) =
1
𝜆(𝑡) − 𝜆(𝑧)
𝜆(𝑧)
𝑑𝑡
∫
𝑑𝑡 +
∫
.
2𝜋𝑖
𝑡−𝑧
2𝜋𝑖 𝑡 − 𝑧
𝑙
𝑙
Первый интеграл 𝐼1 не содержит особенностей, так как в точке 𝑡 = 𝑧,
подынтегральная функция вычисляется как:
𝜆(𝑡) − 𝜆(𝑧)
→ 𝜆′ (𝑧) ,
𝑡−𝑧
12
и не имеет особенностей второй интеграл 𝐼2 , вычислим аналитически:
1
𝑑𝑡
1
1
∫
=
ln(𝑡 − 𝑧)| =
(𝐴 + 𝑖𝐵)
2𝜋𝑖 𝑡 − 𝑧 2𝜋𝑖
2𝜋𝑖
𝑙
𝑙
Если 𝑙 – замкнута, то 𝐴 = 0, иначе 𝐴 = ln |
𝑡к −𝑧
𝑡н −𝑧
|, где 𝑡н и 𝑡к – начало и конец
линии 𝑙.
Основная сложность численного вычисления инт. типа Коши в
правильном нахождении 𝐵 = arg(𝑡к − 𝑧) − arg(𝑡н − 𝑧), так как функция arg
многозначна.
Для определенности будем считать, что ищем Ф+ (𝑧), т.е. 𝑧 подходит к 𝑙
слева. Введем в рассмотрение функцию 𝑓(𝑡) = arg(𝑡 − 𝑧) — функция для
всех точек 𝑙. При правильном выборе ветви arg(𝑡 − 𝑧), 𝑓(𝑡) не должна иметь
скачков, кроме точки 𝑡 = 𝑧, где ее скачок должен иметь значение равное 𝜋.
Если это не так, то добавим или отнимем 2𝜋 на нужных участках, пока не
добьемся нужного поведения 𝑓(𝑡). После этого вычислим 𝐵 = 𝑓(𝑡к ) − 𝑓(𝑡н ).
Тогда из формул Сохоцкого:
Ф+ (𝑧) = 𝐼1 + 𝜆(𝑧)𝐼2 — 𝑧 подходит слева,
Ф− (𝑧) = 𝐼1 + 𝜆(𝑧)𝐼2 − 𝜆(𝑧) — 𝑧 подходит справа,
Ф (𝑧) = 𝐼1 + 𝜆(𝑧)𝐼2 −
𝜆(𝑧)
2
— главное значение (14).
13
4. Результаты расчетов
Для проведения расчетов составлена программа на языке Fortran. Не
теряя общности, во всех расчетах полагалось, что скорость набегающего
потока 𝑣∞ = 1, и длина пластинки 𝑙 = 1. Проведена серия расчетов
распределения скорости и коэффициента давления по поверхности плоской
пластинки, построены линии тока.
В ходе работы программы, был найден образ экрана в плоскости 𝜁. На
рис. 3 показана линия 𝐿𝜁 при ℎ = 0.01, 𝛼 = 30𝑜 .
2
0
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
Рис. 3. Образ экрана в плоскости 𝜁
Также при следующих значениях ℎ = 0.1,
𝛼 = 30𝑜 на рис.4 изображен
график функции 𝜆(𝑠), где 𝑠 – дуговая абсцисса линии 𝐿𝜁 .
14
Lambda
2.25
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
25
30
35
40
45
50
s
Рис. 4. График зависимости 𝜆(𝑠)
Результаты работы программы сравнивались с другим аналитическим
решением [3], где используется аппарат эллиптических функций. На рис. 5
представлено распределение скоростей при ℎ = 1, 𝛼 = 0.1. На рис. 6
распределение скорости по пластинке при ℎ = 0.1, 𝛼 = 30° . На обоих
графиках сплошной линией построено аналитическое решение [3], точками
V(g)
отмечены значения, полученные при помощи программы.
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис. 5. Сравнение решений при ℎ = 1, 𝛼 = 0.1
15
V(g)
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис. 6. Сравнение решений при ℎ = 0.1, 𝛼 = 30°
Из рис. 5 и рис. 6 видно, что результаты, полученные при помощи метода [3],
полностью совпали с нашим решением.
На рис. 7 и рис 8 показано распределение скоростей и коэффициента
давления по пластинке при 𝛼 = 5° . Сплошной линией обозначен график при
V(g)
ℎ = 1, ℎ = 0.1 — штриховая линия, ℎ = 0.01 — штрих-пунктир.
3
2
1
0
-1
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис. 7. 𝑣(𝛾) при 𝛼 = 5°
16
Cp(g)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис.8. 𝐶𝑝 при 𝛼 = 5°
Распределение скоростей и коэффициента давления по пластинке при 𝛼 =
30° показано на рис. 9 и рис. 10: ℎ = 0.01 — штрих-пунктир, ℎ = 0.1 —
V(g)
штрих, ℎ = 1 — сплошная линия.
3
2
1
0
-1
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис. 9. 𝑣(𝛾) при 𝛼 = 30°
17
Cp(g)
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис.10. 𝐶𝑝 при 𝛼 = 30°
На рис. 11 и рис. 12 построены графики распределения скоростей и
коэффициента давления по пластинке при ℎ = 0.1 и разных углах 𝛼, 𝛼 = 5°
V(g)
— штрих-пунктир, 𝛼 = 10° — штрих, 𝛼 = 30° — сплошная линия.
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис.11. 𝑣(𝛾) при ℎ = 0.1
18
Cp(g)
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис.12. 𝐶𝑝 при ℎ = 0.1
На рис. 13 и рис. 14 построены графики распределения скоростей и
коэффициента давления по пластинке при ℎ = 1 и разных углах 𝛼, 𝛼 = 5° —
V(g)
штрих-пунктир, 𝛼 = 10° — штрих, 𝛼 = 30° — сплошная линия.
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис.13. 𝑣(𝛾) при ℎ = 1
19
Cp(g)
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.5
1
1.5
2
s(g)
Рис.14. 𝐶𝑝 при ℎ = 1
На рис. 15 изображены линии тока при 𝛼 = 30° и ℎ = 1.
Рис. 15. Линия тока при 𝛼 = 30° , ℎ = 1
20
Линии тока при 𝛼 = 10° и ℎ = 1 построены на рис. 16.
Рис. 16. Линия тока 𝛼 = 10° , ℎ = 1
Линии тока при малых ℎ , можно увидеть на рис. 17, где 𝛼 = 30° и ℎ = 0.1 .
Рис. 17. Линия тока 𝛼 = 30° , ℎ = 0.1
21
На рис. 18 показаны линии тока при 𝛼 = 10° и ℎ = 0.1 .
22
Заключение
Таким образом, поставленная задача об обтекании пластинки вблизи
твердого экрана решена. Решение было получено в численно-аналитическом
виде. Так же был организован итерационный процесс для нахождения
неизвестной функции 𝜆(𝑡). Проведены 4 серии расчетов: 1) при малом угле
между пластинкой и экраном, 2) при большом угле между пластинкой и
экраном, 3) при малом расстоянии задней кромки пластинки от экрана, 4) при
большом расстоянии задней кромки пластинки от экрана. Построены линии
тока при разных параметрах ℎ и 𝛼. Входе работы были сделаны следующие
выводы:
— Решение, полученное методом [4], полностью совпало с решением,
описанным в [3].
— Скорость потока воздуха в т. 𝐴 равна нулю.
— В передней кромке пластинки коэффициент давления стремится в минус
бесконечность, в результате чего возникает, так называемая, подсасывающая
сила, что затрудняет нахождение коэффициента подъемной силы.
— В задней кромки пластинки поток сходит, и скорость потока не
превосходит скорости на бесконечности.
— При уменьшении высоты ℎ, коэффициент давления в каждой точке
нижней поверхности пластинки возрастает, что говорит о появлении
экранного эффекта. На верхней поверхности пластинки значительных
изменений не наблюдается.
23
Список литературы
1. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536с.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — 7-е изд.,
испр — М. Дрофа, 2003 — 840 с., 311 ил., 22 табл.. — (Классика
отечественной науки)
3. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. 3-е изд. — М.
1980.
4. Маклаков Д.В., Об одной задаче взаимодействия потоков с разными
константами Бернулли, Тр. сем. по краев. задачам, 1983, выпуск 20, 159–170
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. 6-е изд., стер.–СПб.: Издательство «Лань», 2002 г.–688с.
6. Гахов Ф.Д. Краевые
задачи. Изд. 3-е. Главная
редакция
физико-
математической литературы издательства «Наука», 1977.
7. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 2, Главная редакция физикоматематической литературы издательства «Наука», 1976 г., стр. 576.
24