реферат - science.aspu.ru - Астраханский государственный
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Астраханский государственный университет» кафедра философии РЕФЕРАТ для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки на тему: «Методы моделирования формирования мнений в виртуальных сетях» Выполнила: Шиняева Т.С. кафедра прикладной математики и информатики Астрахань – 2015 г. Содержание Введение................................................................................................................... 3 Глава 1. Распространение информации ................................................................ 5 Распространение эпидемий...................................................................... 5 Эпидемии в сетях ...................................................................................... 7 SIR модель ............................................................................................. 7 SIR эпидемии и перколяция................................................................. 9 SIS модель.............................................................................................. 9 SIRS модель ......................................................................................... 10 Глава 2. Распространение идей............................................................................ 13 Модели диффузии инновации ............................................................... 15 Глава 3. Пороговые модели влияния................................................................... 17 Модели с порогами ................................................................................. 17 Модель независимых каскадов.............................................................. 18 Заключение ............................................................................................................ 20 Список литературы ............................................................................................... 21 2 Введение Изучением механизмов распространения идей, мнений в социальных группах интересуются ученые из разных областей наук: социологии, экономики, маркетинга, физики и других [6, 11, 10]. В настоящей работе рассматриваются модели распространения информации и принятия новых идей и технологий в виртуальных сетях. Виртуальная социальная сеть — это платформа, онлайн-сервис или веб-сайт, предназначенный для построения, отражения и организации социальных взаимоотношений, визуализацией которых являются социальные графы. В математической теории графом называется совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин (связей между вершинами). Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. В случае виртуальных социальных сетей в качестве узлами графа являются агенты (субъекты — индивидуальные или коллективные, например, индивиды, группы), а совокупность связей описывает отношения между ними (дружба, семейные или деловые связи) [1]. Возможно две принципиально разные ситуации. 1) Распространение информации, не требующей от агента принятия решений (слухи, новости). Например, увидев рекламу, человек независимо от того, хочет он этого или нет, узнает о новом продукте. Этой проблеме посвящена первая глава, где будет рассмотрен ряд моделей, базирующийся на аналогии с медициной и физикой. 2) Распространение информации, предполагающее от агента принятия решения (использование инноваций). Этим процессам посвящена вторая глава, где будет рассмотрен процесс известный как «диффузия инноваций»: процесс распространения новых моделей поведения, обычаев, мнений и технологий от человека к человеку в социальных сетях. 3 Представляя формально виртуальную сеть в виде графа, вершинами (узлами) которого являются агенты (пользователи сети), а ребрами — связи между ними, можно рассмотреть ряд явлений, которые не могут быть хорошо смоделированы на уровне однородных групп населения. Большинство наших взаимодействий с остальным миром происходят на местном, а не глобальном уровне — нас зачастую не волнуют решения, которые принимаются в целом мире, так, как волнуют решения, принимаемые нашими друзьями и коллегами. Например, на работе мы выбираем не наиболее универсальную и популярную технологию, а ту технологию, которая бы хорошо сочеталась с технологиями, которые используют коллеги. Подражание поведению других может быть полезно, и на это есть как минимум две причины. Во-первых, принимая во внимание поведение других людей, человек получает косвенную информацию об их знаниях, на основании которой может принять решение. Во-вторых, человек может получать прямые выгоды от копирования решений других — например, выгоды, которые возникают при использовании совместимых технологий, вместо несовместимых. Модели такого типа будут рассмотрены в третьей главе. 4 Глава 1. Распространение информации Данная глава посвящена моделям, описывающим процесс распространения информации внутри сети. Глава начинается с рассмотрения аналогии этого процесса с процессом распространения инфекционных заболеваний в обществе. Далее представлена простая модель распространения заболевания в сети и некоторые её вариации. Распространение эпидемий Рассмотрим вопрос распространения инфекционного заболевания в обществе людей, чьи отношения описываются сетью контактов. Человек может заразиться при взаимодействии с одним из своих инфицированных соседей. В некоторой степени это происходит случайно, т.к. шанс взаимодействия может быть случайным и кроме того для распространения заболевания могут потребоваться специальные условия. Предположим, что шанс заразиться здоровому человеку возрастает с числом зараженных соседей. Можно выделить ряд очевидно важных проблем: • При каких условиях первоначальная вспышка (очаг) распространится на нетривиальную часть населения? • Какой процент населения будет в итоге инфицирован? • Как это зависит от сети контактов в обществе? • Как это зависит от вероятности заражения и темпа выздоровления? • Что если у некоторой части населения имеется иммунитет к заболеванию, или требуются различные частоты взаимодействия, чтобы заразиться? • Как бы повлияла иммунизация населения на распространение болезни? В 1927 году В.О. Кермак и А.Г. Маккендрик предложили модель распространения эпидемий — SIR модель, что означает «susceptible, infected, 5 recovered/removed» (восприимчив, заражен, излечен) [14]. Согласно данной модели особи популяции могут пребывать в трех различных состояниях: восприимчив к заболеванию, заражен, получил иммунитет или погиб. Здоровая особь может подхватить вирус при контакте с одним из инфицированных соседей. В результате заболевания особь либо получает иммунитет, либо умирает. В данном случае рассматривается простейший случай — полностью смешанная модель, когда происходит взаимодействие каждого с каждым. Кроме этого, используется следующее допущение: популяция замкнута и имеет постоянный размер. Это означает, что особи не рождаются, не умирают по другим причинам, не мигрируют. Несмотря на столь упрощенное описание реального процесса, SIR модель содержит параметры, от которых сильно зависит поведение модели: скорость инфицирования и скорость выздоровления, что позволяет эффективно предсказывать наличие критических факторов, показывающих возникнет ли эпидемия или болезнь отступит. В частности, Кермаком и МакКендриком установлена теорема об эпидемиологическом пределе: эпидемия может начаться, только если исходное число уязвимых индивидов в популяции больше эпидемиологического предела (отношения скорости излечения и заражения). Существует множество вариаций данной модели. Наиболее упрощенный вариант — SI модель — вся популяция разделяется на индивидов, подверженных заболеванию, и зараженных индивидов. Данная модель позволяет определить количество инфицированных особей в момент времени, параметр модели — скорость заражения. Решение SI модели — логистическая кривая. SIS модель позволяет моделировать эпидемии, при которых особи могут быть инфицированы несколько раз. В SIRS модели особь перенесшая заболевание спустя некоторое время может быть заражена снова. 6 Эпидемии в сетях Очевидно, распространение через сеть информации, мнений, приобретение продукции, моды, участие в программах и другие поведения аналогично распространению инфекционных заболеваний. Введение сетевого фактора очень важно для таких задач, т.к. структура сети может быть очень важна в прогнозировании возможных исходов. Если между лицами относительно немного контактов, тогда, возможно, заболевание не распространится никогда. Изолированные от других группы лиц могут остаться незараженными. Перейдём к стандартным моделям в эпидемиологической литературе, где инфекция между узлами является случайной и вероятность наступления инфекции зависит от числа соседей узла, и состояния этих соседей. SIR модель Рассмотрим сеть потенциальных контактов, представленную в виде графа. В ходе эпидемии отдельный узел модели пребывает в трёх потенциальных состояниях • Восприимчив (susceptible): До того, как узел заражен, он может заразиться от своих соседей. • Заражен (infectious): После того, как узел заразился, он становится заразным и с некоторой вероятностью может заразить своих восприимчивых соседей. • Получил иммунитет или погиб (removed): После того, как конкретный узел перенес заболевание, он удаляется из рассмотрения, т.к. больше не представляет угрозы распространения эпидемии. Будем кратко обозначать эти состояния как S, I и R. Процесс распространения эпидемии сильно зависит от структуры сети, а также от двух дополнительных величин: вероятность заражения и продолжительность заболевания. 7 • Первоначально некоторые узлы находятся в состоянии I, а оставшиеся — в состоянии S. • Каждый узел v, перешедший в состояние I, остается заразным в течение фиксированного числа шагов tI. • На каждом шаге tI инфицированные узлы v с вероятностью p заражают своих восприимчивых соседей. • После tI шагов узел v уже не заразен и не восприимчив к инфекции, т.е. переходит в состояние R. С этого момента узел v уже не может заразиться и распространять заболевание. SIR модель является наиболее подходящей для описания распространения заболевания, которым человек может заболеть только один раз в жизни (например, ветрянка). После заражения узел удаляется либо потому, что он приобрел пожизненный иммунитет, либо потому, что болезнь убила его. В данной модели имеют место следующие эффекты и свойства: • Контактная сеть может быть сколь угодно сложной. • Вероятность заражения постоянна и одинакова для всех узлов. • Инфицированный узел одинаково заразен на каждом шаге tI, во время которого он является носителем заболевания. Тем не менее, модель нетрудно расширить для обработки более сложных предположений. Например, можно определить вероятности заражения pv,w для каждой пары узлов v и w. Тогда большое значение pv,w будет свидетельствовать о тесной связи узлов v и w и о большей вероятности заражения. Также мы можем рассматривать инфекционный период как случайную величину, предполагая, что инфицированный узел на каждом шаге может излечиться с вероятностью q. Более сложные расширения модели включает разделение этапа I на несколько составляющих (например, начало, середина и конец периода заболевания) с разными вероятностями. Такие модели могут быть 8 использованы для моделирования распространения инфекций с длительным инкубационным периодом [12]. SIR эпидемии и перколяция В физике и химии явлением перколяции называется явление протекания или не протекания жидкостей через пористые материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и другие подобные процессы. Теория перколяции находит применение в описании разнообразных систем и явлений, в том числе и для распространения эпидемий. В SIR модели распространение эпидемии представляет собой динамический процесс, в котором состояние сети развивается шаг за шагом в течение долгого времени. Однако существует эквивалентная и полностью статическая модель этих эпидемий [3, 8]. В SIR модели положим продолжительность заболевания равной одному шагу. Рассмотрим шаг, на котором узел v был инфицирован и имел восприимчивого соседа w. Таким образом, у узла v есть единственный шанс инфицировать узел w, и ему это удается с вероятностью p. Очевидно, что не имеет значения, будем ли мы определять, инфицирует ли узел v своего соседа w в момент заражения v или в самом начале процесса. Тогда изначально все ребра сети могут быть помечены как проводящие и непроводящие. Проводящие ребра используются для определения хода развития эпидемии: узел v будет заражен в ходе эпидемии, только в том случае, если существует путь от одного из первоначально инфицированных узлов к данному узлу v. SIS модель SIS модель — вариация SIR модели, позволяющая моделировать эпидемии, при которых узлы могут быть инфицированы несколько раз. В данной модели узлы переключаются между двумя возможными состояниями: подвержен (S) и инфицирован (I). 9 Механика модели очень близка к механике SIR модели, за исключением того, что узлы не удаляются из рассмотрения: • Первоначально некоторые узлы находятся в состоянии I, а оставшиеся — в состоянии S. • Каждый узел v, перешедший в состояние I, остается заразным в течение фиксированного числа шагов tI. • На каждом шаге tI инфицированные узлы v с вероятностью p заражают своих восприимчивых соседей. • После tI шагов узел v уже не заразен и возвращается в состояние S. Как и SIR модель, SIS модель может быть расширена для обработки более общих предположений: различные вероятности цепной реакции между различными парами узлов; вероятностный процесс выздоровления, при котором каждый из инфицированных узлов переходит обратно в восприимчивое состояния с вероятностью q; и несколько этапов инфекции, с различными свойствами. В SIR модели эпидемия приходит к концу за относительно небольшое число шагов, т.к. узлы не подвержены повторному заражению. В SIS модели эпидемия может распространяться в течение очень долгого времени, т.к. она может пробегать по узлам много раз. SIRS модель Более сложная SIRS модель, в которой после выздоровления человек получает временный, а не постоянный иммунитет и через некоторое время вновь становится восприимчивым к болезни. Заболевание гриппом — простейший пример ситуации, где такая модель естественна. Для этой модели важны не только такие параметры как вероятность заражения и продолжительность заболевания, но и продолжительность временного иммунитета. Модель работает следующим образом: 10 • Первоначально некоторые узлы находятся в состоянии I, а оставшиеся — в состоянии S. • Каждый узел v, перешедший в состояние I, остается заразным в течение фиксированного числа шагов tI. • На каждом шаге tI инфицированные узлы v с вероятностью p заражают своих восприимчивых соседей. • После tI шагов узел v уже не заразен и переходит в состояние R на определенное число шагов tR. В течение этого времени узел не может быть инфицирован, а так же не может передавать инфекцию соседним узлам. • После tR шагов узел v возвращается в состояние S. В статье [15] авторы анализировали распространение инфекций сетей с различными структурами. В частности, взаимодействия популяции описывались моделями малых миров в различных состояниях: от регулярной сети до случайной сети. Для более упорядоченных систем, было обнаружено колебание количества инфицированных вблизи низкого значения. В случае случайной сети наблюдался переход к автоколебаниям, амплитуда которых составляла размер зараженной субпопуляции. В статье [2] авторы рассматривают виртуальные сети в качестве возбудимой среды и применяют обобщенную модель Винера-Розенблюта [17] (очень похожую на SIRS модель) для моделирования распространения новых научных идей в научном сообществе. Согласно данной модели элементы возбудимой среды осуществляют последовательный переход в три возможных состояния: состояние покоя (аналог состояния S), состояние возбуждения (аналог состояния I) и рефрактерное состояние (аналог состояния R). Переход контролируется концентрацией активатора, значением порога возбуждения, скоростью распада активатора, временами жизни возбужденного и рефракторного состояний. В данной модели сеть была представлена в виде полного графа, эксперименты проводились для аморфной сети (сеть без явного лидера) и для сети с активным центром (в 11 сети имеется стабильный и достаточно мощный источник активатора). В первом случае, в результате моделирования удалось получить режимы при которых, одновременно в обсуждение темы вовлечены различные части общества: значительные и небольшие, а также режим затухания возбуждения. При моделировании в сети с активным центром была получена хаотическая динамика интереса к проблеме. 12 Глава 2. Распространение идей Рассмотрим как новые модели поведения, обычаи, мнения и технологии распространяются от человека к человеку в социальных сетях, как влияют друзья человека на принятие им новой идеи. В социологии изучению этого процесса, известному как «диффузия инноваций», посвящено некоторое количество эмпирических работ [22, 5, 19]. Исследования, проведенные в середине 20 века, установили базовую стратегию исследования распространения новых идей или технологий в группе людей и проанализировали факторы, способствующие или препятствующие этому процессу. Несколько ранних работ фокусировались на случаях, в которых социальное влияние обусловлено, прежде всего, информационными эффектами. Человек принимает решение принять инновацию, опираясь на косвенную информацию: действия, предпринимаемые его соседями по сети. Два наиболее влиятельных ранних научных трудов, описывающих такие информационные эффекты были исследования Брайса Райана и Нила Гросса о выборе фермеров штата Айова в пользу нового, более продуктивного сорта кукурузы и [21] и Коулмана, Каца, и Менцеля о распространении нового лекарства (тетрациклина) среди врачей Соединенных Штатов [5]. В исследовании Райана и Гросса были опрошены фермеры с целью определить, как и когда они решили начать использовать гибридные семена кукурузы. Было установлено, что большинство фермеров впервые узнав о новом сорте кукурузы не спешили его использовать, а ждали, пока другие фермеры добьются успеха, что бы последовать их примеру. Коулмана, Каца, и Менцеля обнаружили подобную схему принятия, но были заинтригованы коротким, по сравнению с принятием гибридной кукурузы (больше 10 лет) в Айове, сроком (17 месяцев) полного принятия инновации. Исследователи выяснили, что межличностные связи среди врачей были более значимыми 13 для темпов принятия, чем сообщения СМИ, такие, например, как рекламные буклеты фармацевтических компаний и медицинские журналы. Врачи узнавали о новом лекарстве и некоторых его свойствах из СМИ. Однако большинство из них пользовались новым лекарством для лечения пациентов только после беседы с другим врачом, который уже успешно применил его Существует ключевая разница между процессами распространения и принятия инноваций. Этот контраст был уже важен в ранние дни изучения диффузии. Например, на Рис. 1, который взят из [21], четко видно волну распространения информации о нововведении, которая значительно предшествует волне принятия решения об использовании нового продукта. Рис. 1. Процессы распространения информации о новом сорте кукурузы и процесс начала его использования в исследовании Райана–Гросса [21] Другие важные исследования диффузии инноваций ориентированы на случаи, когда решения о принятии инновации основаны на эффекте прямых выгод. Такие эффекты выявили исследования диффузии новостей посредством новых медиатехнологий, особенно интерактивных медиа, таких как телефон, электронная почта или факсимильная связь [7]. Например, сотруднику становится выгодно пользоваться новой технологией, если большинство его коллег уже использует её. Для описания феномена быстрого 14 принятия новой медиатехнологии большим количеством людей, социологи заимствовали из физики термин «критическая масса» [16]. Модели диффузии инновации В своей монографии, ставшей классической, Эверетт Роджерс проанализировал тысячи научных работ, относящихся к диффузии инноваций, за определенный период времени и обнаружил закономерность: все изученные работы включали такие компоненты, как нововведение; передача информации от индивида к индивиду; сообщество или социальное окружение; фактор времени [19]. Согласно теории диффузии инноваций, любая инновация (например, новая идея, методика, технология) распространяется в обществе по определенной предсказуемой модели. Некоторые люди принимают инновацию сразу же, едва услышав о ней. Другим людям требуется больше времени, чтобы попробовать что-либо новое, у третьих этот процесс проходит еще дольше. Графически данная модель представлена в виде Sобразной кривой, отражающей зависимость доли захваченного инновацией рынка от времени. Э. Роджерс выделял 5 категорий людей: новаторы, ранние последователи, раннее большинство, позднее большинство и поздние последователи. В 1969 году Фрэнк Басс предложил математическую модель, которая описывала процесс принятия обществом новых товаров длительного пользования [4]. Согласно данной модели рост количества потребителей новых продуктов объясняется двумя эффектами: эффектом рекламы и эффектом межличностного взаимодействия. Ф. Басс выделил две группы людей: • Инноваторы — люди, которые первыми начинают использовать новый продукт, информацию о котором черпают из различных источников (СМИ, реклама и т.д.); 15 • Имитаторы — люди, которые узнают о продукте от первой категории и прислушиваются к их мнению. Модель построена на двух ключевых параметрах: один отражает скорость, с которой люди самостоятельно принимают инновацию в ответ на внешний раздражитель (СМИ или реклама), другой отражает скорость, с которой люди принимают инновацию, имитируя действия людей уже принявших инновацию. Модель хорошо иллюстрирует принципы усиливающей обратной связей: количество потребителей продукта увеличивает поток новых потребителей за счет эффекта межличностной коммуникации. 16 Глава 3. Пороговые модели влияния Социолог Марк Грановеттер предложил очень простую математическую модель толпы, готовую учинить беспорядки [9]. Каждый человек в толпе имеет некий «порог». Порог — это количество людей, уже принимающих участие в беспорядках, которого достаточно для присоединения к ним этого человека. Для иллюстрации дальнейшего развития событий Грановеттер предложил очень простое распределение порогов, в котором каждый из 100 человек обладал своим уникальным значением. Иными словами, первый участник имел нулевой порог, второму нужен был один человек, третьему два и так далее — вплоть до самого закоренелого консерватора, который примкнет к беспорядкам лишь после того, как к ним присоединятся остальные 99. Сначала зачинщик — человек с нулевым порогом, затеит беспорядки. Затем к нему присоединится его товарищ с порогом 1 (которому нужен только один человек, чтобы принять участие в беспорядках). Вместе эти двое подстрекателей вовлекут третьего — парня с порогом 2. Этого окажется достаточно, чтобы к ним присоединился четвертый, за ним – пятый и так далее. В соответствии с данным конкретным распределением порогов в итоге вся толпа примет участие в беспорядках. Модели с порогами Рассмотрим пороговую модель. Узлы сети (вершины графа) могут находиться в активном и неактивном состоянии, при этом возможен переход только в одну сторону: из неактивного в активное состояние. На узел, находящийся в неактивном состоянии, оказывают влияние все его активные соседи. Узел становится активным, если сумма влияний на него соседних узлов превышает порог. Порог может быть фиксированным для всех узлов [13], может быть выбран случайно согласно некоторому вероятностному распределению [18], а, в общем, индивидуальные различия обуславливаются 17 опытом агента, его убежденностью, личностными чертами, воздействием средств информации, воспринимаемыми затратами [23]. Распространение активности в линейной пороговой модели зависит от структуры сети: • Распространение происходит быстро в сильно связанных сетях (внутри кластера). • Внешние кластеры замедляют распространение. • Узлы с высокими степенями замедляют распространение. В статье [24] выявляется роль лидеров в распространении нововведений в простой модели социального влияния (насколько изменения мнений таких лидеров приводит к крупным каскадным изменениям мнений в сети). Оказалось, что в большинстве случаев лидеры лишь умеренно «важнее» обычных агентов (за исключением некоторых исключительных случаев): фактически к возникновению больших каскадов приводит влияние одних легко поддающихся влиянию агентов на других, столь же легко поддающихся влиянию. Более того, многие математические модели не требуют введения в явном виде предположения о наличии лидеров мнений или каких-то «особенных» индивидов для формирования S-образной кривой диффузии инноваций. Модель независимых каскадов В модели независимых каскадов узлы сети определяются так же, как и в моделях с порогами. В начальный момент времени имеется некоторый набор активных агентов. Процесс эволюции происходит по дискретным шагам. На каждом шаге активный узел v может активировать соседний узел w с вероятностью pv,w, для этого есть только одна попытка. Если узлу v удалась активация узла w, узел w становится активным на следующем шаге. Процесс продолжается до тех пор, пока не остается возможности для активации узлов. Несколько активных узлов могут одновременно пытаться 18 активировать своего неактивного соседа, т.о. вероятность активации тем больше, чем больше у узла соседей. В данной модели распространение активности так же, как и в предыдущей модели, зависит от структуры сети, только с некоторыми изменениями: • Распространение происходит быстро в сильно связанных сетях. • Длинные связи помогают распространению. • Узлы с высокими степенями помогают распространению. 19 Заключение В работе приведены и кратко описаны некоторые известные модели, описывающие распространение мнений в виртуальных сетях, а также модели принятия решений. Приведенные модели хорошо отражают следующие эффекты реальных процессов: • Наличие собственных мнений агентов. • Изменение мнений под влиянием других членов социальной сети. • Различная значимость мнений (влиятельности, доверия) одних агентов для других. • Различная степень подверженности агентов влиянию. • Существование косвенного влияния. 20 Список литературы 1. Губанов Д. А., Новиков Д. А., Чхартишвили А. Г. Модели влияния в социальных сетях // Управление большими системами: сборник трудов.— 2009.— Т. 27.— С. 205–281. 2. Тарасевич Ю.Ю., Зелепухина В. А. Академическая сеть как возбудимая среда // Компьютерные исследования и моделирование.— 2015.— Т. 7, Вып. 1.— С. 177–183. 3. Barbour A.D., Mollison D. Epidemics and random graphs // Stochastic Processes in Epidemic Theory (Lecture Notes in Biomathematics).— 1990.— Vol. 86.— P. 86–89. 4. Bass F.M. A New Product Growth for Model Consumer Durables // Management Science.— 1969.— Vol. 15.— № 5.— P. 215–227. 5. Coleman J., Menzel H., Katz E. Medical Innovations: A Diffusion Study.— Columbia University: Bobbs-Merrill Co, 1966. 6. Easley D., Kleinberg J. Networks, Crowds, and Markets: Reasoning About a Highly Connected World.— Cambridge University Press, 2010.— ISBN 1139490303, 9781139490306. 7. Fischer C.S. America calling: A social history of the telephone to 1940.— University of California Press, 1992.— ISBN 978-0520086470. 8. Frisch H.L., Hammersley J.M. Percolation processes and related topics. // SIAM Journal on Applied Mathematics.— 1963.— Iss. 11(4).— P. 894–918. 9. Granovetter M.S. Threshold Models of Collective Behavior // American Journal of Sociology.— 1978.— Iss. 83(6).— P. 1420–1443. 10. International Conference on Statistical Physics (SigmaPhi2014) / Rhodes, Greece.— 2014.— 183 с. 11. Jackson M.O. Social and Economic Networks.— Princeton University Press, 2008.— ISBN 9781400833993. 12. Keeling M.J., Eames K.T.D.. Network and epidemic models. // Journal of the Royal Society Interface.— 2005.— Vol. 2.— № 4.— P. 295–307. 21 13. Kempe D., Kleinberg J., Tardos E. Maximizing the Spread of Influence through a Social Network. // Proceedings of the 9-th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, 2003.— P. 137–146. 14. Kermack W.O., McKendrick A.G. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 1927.— Vol. 115.— Iss. 772.— P. 700–721. 15. Kuperman M., Abramson G. Small world effect in an epidemiological model // Physical Review Letters.— 2001.— Vol. 86.— № 13.— P. 2909–2912. 16. Markus M.L. Toward a «critical mass» theory of interactive media: Universal access, interdependence and diffusion. // Communication Research.— 1987.— Vol. 14.— № 5.— P. 491–511. 17. Mikhailov A.S. Foundations of Synergetics I: Distributed active systems. Springer series in synergetics.— Springer, 1990. 18. Morris S. Contagion // The Review of Economic Studies.— 2000.— Vol. 67.— № 1.— P. 57–78. 19. Rogers E.M. Diffusion of innovations, 5th Edition.— Simon and Schuster, 2003 — ISBN 0-7432-5823-1. 20. Rolfe M. Social Networks and Threshold Models of Collective Behavior. Preprint.— Chicago: University of Chicago, 2004. 21. Ryan B., Gross N.C. The diffusion of hybrid seed corn in two Iowa communities. // Rural Sociology.— 1943.— Vol. 8.— P. 15–24. 22. Strang D., Soule S. Diffusion in organizations and social movements: From hybrid corn to poison pills. // Annual Review of Sociology.— 1998.— Vol 24.— P. 265–290. 23. Valente T. Network Models of the Diffusion of Innovations.— Cresskill, NJ: Hampton Press, 1995. 24. Watts D., Dodds P. Influentials, Networks, and Public Opinion Formation // Journal of Consumer Research.— 2007.— №34.— P. 441–458. 22