Построение графиков функций, аналитическое представление

Составители: учителя математики Бобрус В.А. Горшкова И.А.
Блок № 1.
1. Определение модуля числа.
Решение уравнений, содержащих модуль.
Определение: Модулем числа называется расстояние от начала отсчёта до точки,
изображающей это число на координатной прямой.
Иногда вместо термина «модуль» используется термин «абсолютная величина» или
«абсолютное значение» числа. Обозначается модуль посредством символа ││.
В соответствии с приведенным определением: │5│=5, │-3│=3, │0│=0.
Геометрическая интерпретация определения.
│-а│
│а│
-а
о
а
х
Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую
запись определения.
а, если а>0, (1)
│а│=
0, если а=0,
(2)
-а, если а<0. (3)
Часто строчку (2) объединяют со строчкой (1) или со строчкой (3). Чаще всего
применяется запись:
а, если а≥0,
│а│=
-а, если а<0.
Отметим, что термин «модуль» (от латинского modulus–мера) ввел английский
математик Р.Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс
(1815-1897) в 1841г. Пользуясь приведённым определением можно решать уравнения
и неравенства, содержащие модуль.
1.1. Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные
величины.
1) Уравнения вида │х│=а, если а<о, решений не имеют; если а=о, то х=о; если же
а>о, то х=а и х=-а.
Пример: │х│= 7 по определению модуля данное уравнение имеет корни х 1 =7, х 2 =-7.
2) Уравнение вида f(│х│) = а, где а≥о равносильно объединению уравнений:
f(х)=а
f(х)=-а.
Пример: │2х-3│ = 2 по определению абсолютной величины имеем:
2х-3=2,
х=2,5,
=>
2х-3=-2;
х=0,5.
Ответ: х1=2,5; х2=0,5.
3) Уравнение вида │f(х)│= g(х) равносильно системе уравнений:
f(х)= g(х),
f(х)= - g(х)
g(х)≥0.
Пример: │2х-5│= х-1
Решение:
х=4,
х=2,
х≥1.
2х-5=х-1,
2х-5=1-х,
х-1≥0.
Ответ:
=> х1=4; х2=2;
х1=4, х2=2.
4) Уравнение вида │f(x)│=│g(x)│ равносильно объединению уравнений
f (x)=g(x),
f (x)=-g(x).
Пример : │2-3х│=│5-2х│
2-3х=5-2х,
2-3х=2х-5;
-х=3,
-5х=-7;
х=-3,
х=1,4.
Ответ: х1=-3, х2=1,4.
Таблица.
│х│= а
а<0
решений нет
а=0, х=0
a>0
х=а,
х=-а.
│х-b│= a
a<0
решений нет
а=0, х=b
а>0
x=b-a,
х=b+a.
│f(x)│=│g(x)│
равносильно
объединению
уравнений
f(x)=g(x),
f(x)=-g(x).
│f(x)│= g(x)
равносильно
системе
уравнений
f(x)=g(x),
f(x)=-g(x),
g(x)≥0.
1.2
Метод интервалов в решении уравнений, содержащих модуль.
Уравнения вида │f1(х)│+│f2(x)│+……+│fn(x)│=g(x) решают так: для каждой из этих
функций находят область определения, её нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва
разбивают общую область определения функции fj(x) (j=1,2,…n) на промежутки, в
каждом из которых каждая из функций fj(х) сохраняет постоянный знак. Далее используя
определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее
решению.
Алгоритм решения уравнения F(x)=0, где его левая часть содержит модули некоторых
функций │f1(x)│, │f2(x)│, ……│fn(x)│:
1. Решают каждое из уравнений f1(x)=0,f2(x)=0,…fn(x)=0.
2. Вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков.
3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не
содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом
промежутке.
4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом
промежутке получается.
5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут
корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.
6. Все корни уравнения F(x)=0 получают, объединяя все корни, найденные на всех
промежутках.
Пример:
2│х-2│-3│х+4│=1.
Решение.
1). Найдём критические точки:
а) х-2=0
б) х+4=0
х=2
х=-4
2) х-2
-4
- 2
х+4
+
+
+
3) 1. х<-4,
-4≤х≤2,
-2х+4+3х+12=1,
x<-4,
х=-15.
х = -15.
Ответ: x1 = -15, х2 = -1,8.
2.
х
3.
2х-4-3х-12=1,
-2х+4-3х-12=1,
х>2
-4≤х≤2,
х=-1,8.
х = -1,8.
х>2,
х=-17.


1.3
Решение уравнений, содержащих “ модуль в модуле “.
При выполнении таких упражнений нужно, как правило, сначала освободиться от
внутреннего модуля, а затем раскрыть оставшиеся модули.
Пример 1.
││2х-3│-х│= 6.
1) 2х-3≥0 => х≥3/2
│2х-3-х│= 6
х-3= ±6
х=-3, -3  [3/2;+∞)
x=9, 9  [3/2;+∞)
Ответ: х1= 9, х2= -1.
2) 2х-3<0 => x<3/2
│-2x+3-x│= 6
-3x+3= ±6
x= -1, -1  (-∞;3/2)
x= 3, 3  (-∞;3/2)
Пример 2.
│5-│х││= 3
При решении этого примера целесообразно сразу воспользоваться определением модуля.
5-│х│= ± 3
1) 5-│х│ = 3
2) 5-│х│ = -3
│х│= 2
│х│= 8
х=±2
х=±8
Ответ: x1,2 = ± 2, х3,4 = ± 8.
Пример 3.
│2х-3-│х+2││= 8х+12
Решение.
1) х+2 = 0, х=-2
Рассмотрим промежутки х<-2, х≥-2
а) х<-2
х+2<0 => │x+2│= -x-2
Имеем уравнение:
│2x-3+x+2│= 8x+12
│3x-1│= 8x+12
3x-1=0, х = 1/3  (-∞;-2)
-2
1/3
х
При х<-2, 3х-1< 0 => -3x+1= 8x+12
x=-1, -1  (-∞;-2) => на промежутке х<-2 данное уравнение решений не имеет.
б) х≥-2
х+2≥0 => │2x-3-x-2│= 8x+12
│x-5│= 8x+12
x-5 = 0, х=5
Рассмотрим промежутки: -2≤x<5; x≥5.
При -2≤х<5
При х≥5
-х+5=8х+12
х-5=8х+12
9х=-7
7х=-17
х=-7/9, -7/9  [-2;5)
x=-17/7, -17/7  [5;+∞)
-2
5
х
Ответ: x=-7/9.
1.4. Метод введения новой переменной.
Пример 1.
│2-│х+1││= 3.
Решение.
Пусть │х+1│= у, тогда │2-у│= 3 
у=-1, (1)
 2-у=3,
2-у=-3;
у=5;
(2)
Вернёмся к замене:
(1)│х+1│= -1
Нет решений.
(2) │х+1│= 5  х+1=5,
х=4,
х+1=-5;
х=-6.
Ответ: -6; 4.
Пример 2.
3х2-5│х│-8=0
Заметим, что │х│2= х2; введём обозначение │х│= t,
3t2-5t-8=0
D=25+4  3  8=121>0,
t 1 = (5+11)/6=8/3;
t 2 = (5-11)/6=-1.
Вернёмся к замене:
│x│= -1, решений нет.
│х│=8/3; x1=8/3, х2=-8/3.
Ответ: x1=-8/3, х2=8/3.
1.5. Умный гору обойдёт.
(Когда модуль можно не раскрывать).
Одним из распространённых (и порой единственно возможных) способов решения задач,
содержащих модуль, есть процесс его раскрытия.
Однако для некоторых примеров знание ряда популярных свойств модуля может
значительно сократить решение.
Свойство 1. Для любого действительного а, │а│ ≥ 0.
Свойство 2. │-а│=│а│.
Свойство 3. │а  b│=│a│  │b│.
Свойство 4. │а│+│ b│= a+b  a≥0 и b≥0.
Свойство 5. │a│+│b│=│a+b│  a  b≥0.
Свойство 6. │a│+│b│=│a-b│  a  b≤0.
Свойство 7. Для любых действительных a и b, │a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.
Свойство 8. │a│-│b│≥0  a2-b2≥0.
Свойство 9. Для a1, а2 …аn справедливо │а1 + а2 +…+аn │≤│а1 │+│а2 │+…+│аn │.
Свойство 10. а 2 =│а│.
Свойство 11. │а│2 = а2 .
Пример 1.
│х-2│+│х-1│= х-5
Решение. Поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна, то х≥5. Это
позволяет раскрыть модуль и прийти к системе, равносильной исходному уравнению.
х-2+х-1= х-5,
х≥5.
х=-2,
х≥5.
Отсюда получаем
Ответ: нет решений.
Пример 2.
│х3 -1│+│2-х3 │=1
Решение.
Заметим, что │х3 -1+2-х3 │= 1, значит │х3 -1│+│2-х3 │=│х3 -1+2-х3 │ 
по свойству │а│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ с учётом условия равенства │а+b│=│a│+│b│
 a  b≥0, равносильно неравенству (х3 -1)(2-х3 )≥0.
(х-1)(х2 +х+1)( 3 2 - х )( 3 2 2 + 3 2 х+х2 )≥0 решением, которого является числовой отрезок
х1=1, х2= 3 2
[1; 3 2 ].
+
Ответ: x  [1;
3
2 ].
1
3
2
х
Пример 3.
│х-2│=│3-х│
Решение.
Учитывая свойство │а│=│b│  a2-b2=0, получаем (х-2)2-(3-х)2 = 0. (х-2-3+х)(х-2+3-х)=0,
2х-5=0  х=2,5.
1.6 Другие задачи.
1. Дана точка М(1,5). Найдите координаты L и N такие, что MN=2ML, если NL=10,5.
Сколько решений имеет задача?
Решение.
Пусть х-координата L, тогда ML=│х-1,5│, MN=2│x-1,5│=│(2x-1,5)-1,5│,т.е. координата
точки N (2x-1,5).
NL=│2x-1,5-х│=│х-1,5│, что по условию равно 10,5.
│x-1,5│=10,5

x-1,5 = 10,5,
x-1,5 = -10,5;
x = 12,
x = -9.
Ответ: задача имеет два решения: L(12), N(22,5) и L(-9), N(-19,5).
2. Найти количество целых решений уравнения:
Х 2  6 Х  9 + 25  10 Х  Х 2 = 8.
Решение.
(х  3) 2 
( х  5) 2 = 8,
-5≤x≤3,
III.
3-x+x+5=8;
x>3,
x-3+x+5=8;
-5≤x≤3,
8=8.
x>3,
x=3.
Заметим что, х2-6х+9=(х-3)2, х2+10х+25= (х+5)2, тогда
вспомним, что a 2 =│а│
│х-3│+│х+5│= 8.
I.
I
II
x<-5,
3-x-x-5=8;
II .
III
-5
3
x<5,
x=-5.
x


Значит, -5≤х≤3 –решение исходного уравнения. Найдём целые решения уравнения, их
всего девять.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Ответ: 9.
Приложение № 1.
I. Решите уравнения:
1.
2.
3.
4.
5.
│5-4х│= 1
│5х-3│= 4
│3х-3│= 6
│5х+4│= 10
│5х+2│= 4
1;1,5
 0,2;1,4
 1;3
 2,8;1,2
 1,2;0,4
II. Найдите корни уравнения:
1. │-x+2│= 2x+1
2. │5-х│= 2(2х-5)
3. │3x+1│+x= 9
Ответ: 1/3
Ответ: 3
Ответ: { -5;2 }
III. Решите уравнения:
1.
2.
3.
4.
│4x-1│= │2x+3│
│x+2│= │x-1│
│x+5│= │10+x│
│2-3x│= │5-2x│
5. │х+3│+│2х-1│= 8
6.
7.
8.
9.
│x-3│+2│x+1│= 4
│x-2│-│5+x│= 3
│x+6│-│x│-│x-6│= 18
│x+1│+│2-x│-│x+3│= 4
10. ││x-3│+2│= 3x-5
11. │2│x│-1│= 3
12. ││││x-1│+2│-1│+1│= 2
13. ││││x│-4 │-3│-2│= 1
Ответ: { -1/3;2 }
Ответ: -0,5
Ответ: -7,5
Ответ: { -3;1,4 }
1
Ответ: { -3 ;2 }
3
Ответ: -1.
Ответ:-3.
Ответ: [6;+∞)
Ответ: {-2;8 }
Ответ: 2,5
Ответ: {-2;2 }
Ответ: 1
Ответ: {-10;-8;-6;-4;-2;0;2;4;6;8;10}
Приложение № 2.
1.
Решить уравнения.
1.
2+ х 2  2 х  1 = 3х+1
Ответ: 1.
2.
х 2  2х  1 + 4  4х  х2
3. x2 - 6│x│ - 2 = 0
Ответ: {-3,5; 2,5 }
Ответ: {3+ 11 ;-3- 11 }
=6
4. x2 -4│x│-1= 0
Ответ: {2+ 5 ;-2- 5 }
5. 3- х  4 х  1 = 2
Ответ: {0,2}
2
2.
Решите задачу:
1.) Дана точка М(3). Найдите координаты точек L и N таких, что MN=3ML, если
NL=10. Сколько решений имеет задача?
Ответ: L(8), N(18) и L(-2), N(-12).
2.) Дана точка К(2,5). Найдите координаты точек P и L таких, что KL=2KP, если
PL=9,5.
Ответ: P(12), L(21,5) и P(-7), L(-16;5).
3.
Решите уравнения:
Ответ: -6;6.
1. x2 - 5 х 2 - 6 = 0
2.
х  8 х  16 + 1  4 х  4 х = 10
Ответ: 5;-5/3.
3.
( х  1  2) +
Ответ: x  [5;26].
4.
х  5 4 х 1 + х  2  2 х 1 = 1
Ответ: x  [0;3].
5.
х  2х  1  4  х  3 2х  1 =
Ответ: 2,5.
6.
х  2х  1  х  2х  1 = 1
Нет решений.
7.
х  2х  1  х  2х  1 = 2
Ответ: 1,5
8.
х  6х  9  х  6х  9  6
Ответ: x  [3;+∞).
2
2
2
( х  1  5) = 3
2
32
Приложение № 3.
В–1
1.
2.
│5х+3│= 1
│2x+5│+│2x-3│= 8
3.
│x2+2x│-│2-x│=│ x2-х│
4.
5.
x2 - 2│x│- 8 = 0
││3-2x│-1│= 2│x│
Ответ: x1=-0,8, x2=-0,4.
Ответ: -2,5≤x≤1,5
1 5
Ответ: x=
2
Ответ: x1 =4, x2=-4.
Ответ: x=0,5.
В-2
1.
2.
3.
4.
5.
│2х-3│= 5
│х-3│= │х│-3
2│x+6│-│x│+│x-6│= 18
2x2-│x│-1=0
│2│x│-1│=3
Ответ: x1=4, x2=-1.
Ответ: x≥3.
Ответ: x=-12, 0≤x≤6.
Ответ: x1=1, x2=-1.
Ответ: x1=-2, x2=2.
В-3
1.
2.
3.
4.
5.
│х2-2х│-3=0
│x│-│x+2│=0
│x│-2│x+1│+3│x+2│=0
x2-7│x│+12=0
││x-3│+2│=3x-5
Ответ: x1=3, x2=-1.
Ответ: x=-1.
Ответ: x=-2.
Ответ: x1,2 =±3, x3,4=±4.
Ответ: x=2,5.
B-4
1.
│2x-x2-8│=x2 -1
2.
│2x-3 │-│5x+4│=0
3.
4.
2│3x+1│-5 │2-x│=4│x+8│-7
x2-4│x│-12=0
5.
││x │-2│=1-2x
Ответ: x=4,5.
1
7
, х2 
.
Ответ: x1=
7
3
Ответ: x1=-7,4; x2=-9.
Ответ: x1=6; x2=-6.
1
.
Ответ: 3
Блок №2.
Неравенства, содержащие знак модуля.
Рассмотрим основные типы неравенств и способы их решения.
Решение неравенств (а>0).
│x│≤a
│x│<a
-а
а
-а≤х≤а
[-a;a]
-а
а
-а<x<a
(-a;a)
│х│≥а
-а а
х≤-а,х≥а
(-∞;-a]  [a; ∞)
│х│>a
│x│≤0
│x│<0, │x│≤-a, │x│<-a.
Нет решений.
x=0
│x│≥0
-а
а
х-любое число
х<-a, x>a
(-∞;+∞)
(-∞;-a)  (a;+∞)
│x│>0
х<0, x>0
(-∞;0)  (0;+∞)
│x│≥ -a, │ х│> -a
x-любое число
(-∞;+∞)
Решение неравенств вида │f(x)│< g(x) равносильно системе
f(x)<g(x),
f(x)>-g(x)
или
-g(x)<f(x)<g(x).
Решение неравенства вида │f(x)│> g(x)
f(x)>g(x),
f(x)>-g(x) .
Неравенство │f(x)│>│g(x)│ равносильно неравенству f 2 (x) > g 2 (x) или
неравенству (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))>0.
1. Решить неравенство │2х-3│< 2.
1 способ . 2х-3< 2 ,
2x-3> -2
Ответ: (0,5;2,5).

x<2,5 ,
x>0,5

0,5<x<2,5
2 способ. Возведём обе части неравенства в квадрат (2х – 3)2 < 4
4x2-12x+5 < 0
4x2-12x+5 = 0
Решим полученное неравенство
4(х-0,5)(х-2,5) < 0.
+
+
0,5
-
2,5
x1 = 0,5, x2 =2,5
x
а) х > 2,5;
4(x-0,5)(x-2,5) > 0;
б) 0,5<x<2,5; 4(x-0,5)(x-2,5) < 0;
в) x<0,5;
4(x-0,5)(x-2,5) > 0;
Ответ: (0,5;2,5).
3 способ. Графическое решение.
Строим графики функций:
y =│2x-3│ и y = 2.
y=│2x-3│
1) y=2x-3 отображаем часть графика, лежащего ниже оси ОХ симметрично
относительно этой оси.
2) │2х-3│ = 2
х1=0,5; x2=2,5.
Ответ: (0,5;2,5).
2. Решить неравенство │3х-5│ > 10.
3х-5 > 10 ,
1 cпособ .
3x-5 < -10
Ответ: (-∞; -1
x > 5,
5
x<- .
3
2
)  (5;+∞).
3
2 способ . (3х – 5)2 > 100
+
9x2 - 30x + 25 > 100
3x2 - 10x – 25 > 0
3x2 -10x – 25 = 0
2
x1 = -1 , x2 = 5.
3
2
)  (5; ) .
3
3 способ. Графическое решение:
Ответ: (-∞; -1
-1
+
2
3
-
5
x
Решение неравенств, содержащих несколько модулей.
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на
промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков
сохраняли знак. Данный метод называется методом интервалов.
Например:
1. Решить неравенство :
│2х - 1│- │х – 2│ ≥ 4.
Найдём значение х , при которых подмодульное выражение обращается в нуль:
2х-1=0
х=0,5
х-2=0
х=2
Отметим найденные значения на числовой оси и рассмотрим решение неравенства на
каждом из промежутков.
2х-1
-
х-2
-
0,5
+
2
-
+
+
А)
х < 0,5,
-2х+1-(-х+2) ≥ 4
x < 0,5,
x≤-5.
│2х – 1│ = -2х + 1
│х-2│ = -х+2

x ≤-5.
Б)
0,5 ≤ х ≤ 2 ,
2х-1+х-2 ≥ 4.
0,5 ≤ х ≤ 2 ,
1
х≥2 .
3
│2х-1│ = 2х-1
│ х-2 │ = -х+2

нет решения
В)
│2x – 1│ = 2x – 1
│x – 2│ = x – 2
x > 2,
2x – 1 – x + 2 ≥ 4.
x > 2,
x ≥ 3.

x ≥ 3.
Решением данного неравенства является объединение двух систем неравенств.
Ответ: (-  ; -5]  [3;+  ).
2.
Решить неравенство:
│x2 – 3x + 2│ + │2x + 1│ ≤ 5.
x2 – 3x + 2 = 0,
x1 = 2, x2 = 1.
2x + 1 =0
x = -0,5.
Числовая прямая разбивается на участки.
х2 -3х + 2
2х + 1
+
-0,5
-
+
1
-
+
2
+
+
+
На каждом промежутке на основании определения абсолютной величины знак модуля
можно снять.
А)
х ≤ -0,5,

х2–3х+2–2х-1≤5;

х ≤ -0,5,

х ≤ -0,5,

5  41
5  41
х
;
2
2
-0,5<x<1,
-1≤x≤2;
х2-5х-4≤0;
5  41
≤ х ≤ -0,5.
2
Б)
-0,5<x<1,

x2-3x+2+2x+1≤5;
-0,5<x<1,
x2-x-2≤0 ;

B)
1≤x<2,

2
-x +3x-2+2x+1≤5;
1≤x<2,
x2-5x+6≥0;

Г)
х≥2;

x2-3x+2+2x+1≤5;
x≥2;
x2-x-2≤0;


-0,5<x<1;
1≤x<2,
x≤2, x≥3;

1≤x<2;
x≥2;
-1≤x≤2;

x=2.
 5  41 
;2 .
Ответ: 
 2

Данное неравенство решено методом интервалов.
Рассмотрим другое решение. Напомним, что:

│х│≤ b
x ≤ b,
или
-b ≤ x ≤ b.
x ≥ -b;
│x2 – 3x + 2│ + │2x+ 1│ ≤ 5;
│x2 – 3x + 2│≤ 5-│2x + 1│  x2 - 3x + 2 ≤ 5 -│2x+1│,  │2x + 1│≤ -x2 + 3x+3, 
x2 - 3x + 2 ≥-5 +│2x+1│; │2x +1│≤ x2- 3x + 7;
2x + 1 ≤ - x2 + 3x +3,
2x + 1 ≥ x2 – 3x – 3;
x2 –x -2 ≤ 0,
x2 -5x -4 ≤ 0;

2x + 1 ≤ x – 3x + 7,
2x + 1 ≥ -x2 + 3x -7;

x – 5x + 6 ≥ 0,
x2 – x + 8 ≥ 0;
2
2
-1 ≤ x ≤ 2,
5  41
5  41
х
;
2
2
5  41
 x  2,
2

x ≤ 2, x ≥ 3,
5  41
 х  2.
2
x ≤ 2, x ≥ 3;
x – любое число;
 5  41 
;2.
Ответ: 
 2

При решении данного неравенства особых преимуществ по сравнению с первым
методом не видно. Однако в некоторых случаях эти преимущества весьма заметны.
3.
Решить неравенство:
│x2 – 3x│ + x – 2 < 0
x2 -3x = 0
x2 – 3x
x(x – 3) = 0
x1 = 0, x2 = 3.
+
0
A)
x ≤ 0,

2
x -3x+x-2<0;
x ≤ 0,

2
x -2x-2<0;
Б)

0<x<3 ,
2
-x +3x+x-2<0;
В)
 х  3,

х  3,
2
2
х -3х+х-2<0;
x -2x-2<0;

0<x<3,
2
-x +4x-2<0;
+
3
x
3  x  0.
x ≤ 0,
1- 3  x  1  3;

1-
0<x<3,
x<2- 2 , х  2  2.

0 < x < 2- 2.
 Нет решений.
х  3,
1- 3  x  1  3.
Ответ: (1- 3;2  2) .
Данное неравенство решено методом интервалов. Рассмотрим иное решение.
│х2 – 3х│+ х – 2 < 0
│x2 – 3x│< 2 – x;
Так как │х│< a равносильно системе неравенств х<a,
x>-a; то

х2 -3х < 2 - x,
x2 – 3x > -2 + x;


2- 2
3
1-
Ответ: (1 -

x2 – 2x – 2 < 0,
x2 – 4x + 2 > 0;
3;2-

1+ 3
1 - 3 < x < 1 + 3.
x < 2 - 2 , x  2  2.

2+
x
2
2).
Решить неравенство:
4.
│2x -1│ - 3x + 2 > 0.
2x – 1 = 0
2x – 1
x = 0,5.
-
+

0,5
1
А)
x
способ.

х ≤ 0,5,
х ≤ 0,5
3
x< ;
5
x > 0,5,
x < 1;
-2х + 1 – 3х + 2 > 0;
Б)
х > 0,5,
2x – 1 – 3x + 2 > 0;



Ответ: (-  ;1).
2 способ.
Так как │х│ > a равносильно совокупности неравенств
2x -1 > 3x – 2,
х  0,5.
0,5 < x < 1.
х > a, то
x < -a;
x < 1,
3
x< .
5
2x – 1 < -3x + 2;
Ответ: (-  ; 1).
5.
Решить неравенство:
│x - 2│ > │x + 3│.
1 способ.
х–2=0
х = 2,
х–2
-
х+3
-
х+3=0
х =-3,
-

-3
+
+

2
+
х
а)
х  -3,
-х+2>-x-3;
б)
-3<x<2,
-x+2>x+3;
в)
х 2,
х-2>x+3;

х  -3,
0x>-5;




-3<x<2,
x<-0,5;
х  2,
0x>5;


х  -3,
x- любое число;
х  -3.
-3<x<-0,5.
х  2,
 нет решений.
решений нет;
Ответ: (-  ; -0,5).
2 способ. Возведём обе части в квадрат.
х2 – 4х + 4 > x2 + 6x + 9
10x < -5,
x < -0,5.
Ответ: (-  ; -0,5).
Решение неравенств содержащих модуль в модуле.
1. Решить неравенство
│3 -│х – 2││  1
Начнём раскрывать модуль с внутреннего модуля: x -2 =0, x=2.
1) x  2, тогда │х – 2│ = 2 – х, имеем │3 - (2 – х)│  1  │х + 1│  1 х + 1 = 0
а) х  -1, то │х + 1│= -х-1  -х-1  1  х  -2 ;
х = -1.
Имеем: x  -1,
x  -2;



-2
-1
2
x
-2  х  1.
б) х > -1, то │х + 1│= х + 1  х + 1  1
 х0
Имеем: х > -1,
x  0;



-1  х  0.
-1
0
2
x
 │3 - х + 2│  1  │5 – х│  1. 5 – х=0, х=5.
2) x > 2, тогда │х – 2│= х – 2
а) х  5,
│5 – х│= 5 – х  5 - х  1  х  4.
Имеем:
x  5,
 4  х  5.
x  4;



2
4
5
x
б) х > 5, │5 – x│= x – 5  x – 5  1  x  6

Имеем:
x  6,
5 < x  6.
x > 5;



2
5
6
x
Объединив все решения, получаем: -2  х  0, 4  х  6. Ответ: [- 2; 0]  [4;6].
Можно решить данное неравенство иначе. Напомним:

│x│  a,  - a  х  а.
│x│  a,
x  а или х   а.



│3 - │х – 2││  1
-1  3  х  2 1
-4   х  2  2
2 х  2  4

│х - 2│  4,
│х – 2│  2;

-2  х  6,
x  0, х  4.

│x – 2│  4

-2

0

│x – 2│  2

-4  х  2  4

4
-2  х  6.

6
х

x – 2  2,
x – 2  -2;
x  4,
x  0.
Ответ: [-2; 0]  [4; 6].
Решить неравенство:
2
х  х  3  5  х 3  х  8.
3
Это неравенство не так просто решить стандартным путём. В то время как, переходя к
системе, мы его решим без особого труда.
х 3  х  3  5  х 3  х  8,
х 3  х  3  х 3  х  13,


х 3  х  3  5   х 3  х  8;
х 3  х  3  х 3  х  13,
х 3  х  3   х 3  х  13; 
х 3  х  3   х 3  х  3,
х 3  х  3  х 3  х  3;
 3 5  х  8,

х  любое;
Ответ: [  3 5;8].
x 3  x  3   x 3  x  3;
х  8,
х 3  5;
х 3  0,
x  3;

 3 5  х  8.
 х  любое ,
 3 5  х  8.
Метод введения новой переменной.
1) Решить неравенство:
2  х  1  3.
Пусть х  1  у , тогда 2  у  3.
 5   у  1,
Вернёмся к замене
1  х 1  5

х  1  1
Ответ:
 3  2  у  3.
 1  у  5.
х 1  5
х  1  1,
х 1  5

 5  х 1  5
х  R.
[-6;4].
2) Решите неравенство:

 6  х  4,
х  любое,
6 х  4

 6  х  4.

2
 х  2.
х 1
2
 a  2  2( a  2)( a  1)
a 1
a ( a  1)  0 .
+
-
Пусть х  а , заметим, что х  1  0  
a 2  a  2  2,
0  а  1,
0  х 1
a 2  a  0,
х  1,

х  0;

 1  х  1,
x  R;
0
+
1
а
 1  x  1.
Ответ: [-1;1].
Замечание:
1. Надо каждый раз обращать внимание учащихся на рациональность какого-то
способа. В данном случае рациональнее способ введения новой переменной.
Решение этого неравенства путём раскрытия модуля по определению займёт
больше времени.
2. Надо разнообразить формулировки заданий. Отойти от стандарта “ Решить
неравенство”.
1) Найти область определения функции:
1) у 
х3
2) y  4 x  1  1,
3) у 
2
х 5
,
D:
х  3  0, х  R.
D:
x  1  1  0, x  1  1, x  R.
D:
х  5  0, x  R, x  5.
2) При каких значениях х график функции y=f(x) лежит выше (ниже) графика
функции у = g(x)?
1) у = │х│, у = 3
1 способ
│х│>3

(выше)
x > 3,
x < -3;
Ответ: (-  ;-3)  (3;+  ).
2способ
│х│> 3, возведём в квадрат.
х2 > 9, x2 -9 > 0, (x – 3)(x + 3) > 0.
Ответ: (  ;3)  (3;).
+
_
-3
3 ) При каких значениях х расстояние между графиками у = f(x) и y = d(x),
не превышает а?
1) y = x-1, y = x, a = 3
х  1  х  3,  1  3  верно  х  R.
Ответ: x  R.
2) у = 2х – 3,
у = 5, а = -3.
2х  3  5  3  нет решений.
3) у =│х + 2│,
у = -1, а = 4,
+
3
х
х  2  ( 1)  4,
х  2  1  4,
-4  х  2  1  4,
х  2  3,
 3  х  2  3,


х  2  5;
Ответ: [-5;1].
-5  х  2  3,
 5  х  1,
х  R;

 5  х  1.
x  R;
4) При каких значениях х график функции у = f(x) не пересекает график функции
у = d(x)?
1) у = │2х – 5│, у = 0.

│2х – 5│ > 0,
│2x – 5│ < 0;
Ответ: х  R, x  2,5.
х  R, x  2,5,
нет решений.
2) у = │2х – 5│, у = -5.
x  R,
нет решений.
│2х – 5│ > -5,
│2x – 5│ < -5.
Ответ: х  R.
3) y = │2x – 5│, y = 5.
1 способ.
│2х – 5│ > 5,
│2x – 5│ < 5;

2x – 5 > 5,
2x – 5 < 5;
2x – 5 < 5,
2x – 5 > 5;

x > 5,
x < 0;
x < 5,
x > 0.

x < 0, x > 5,
0 < x < 5.
Ответ: ( ;0)  (0;5)  (5;).
2 способ. Возведём в квадрат.
│2х – 5│ > 5,
│2x – 5│ < 5;
4x2 -20x + 25 > 25,
4x2 – 20x > 0,
2
4x – 20x + 25 < 25;
4x2 – 20x < 0;
Ответ: ( ;0)  (0;5)  (5;).
x < 0, x > 5,
0 < x < 5.
5) При каких значениях х график функции у = f(x) лежит выше (ниже) оси абсцисс?
1) у = │х│ (ось абсцисс: у = 0).
│х│> 0,
x  R, x  0,
│x│< 0;
нет решений.
Ответ: х  R, x  0.
2) y = │x│-│x + 1│.
│x│-│x + 1│ > 0,
│x│-│x + 1│ < 0;

│x│ > │x + 1│,
│x│ < │x + 1│;

1
x<- ,
2
1
x>2.
│x│> │x + 1│, возведём в квадрат
х2 > х2 +2х + 1
2x < -1
1
x<- .
2
1
Ответ: х  R, x   .
2
Решение неравенств с модулем на координатной прямой.
На координатной прямой можно решить неравенства вида:
х  а < b(  ), х  а  b(), x  a  x  b (),
используя геометрический смысл модуля.
x  a  x  b (),
1. х  3  1.
Переводя эту запись на «язык расстояний», получаем предложение: «расстояние от точки
с координатой х до точки с координатой 3 меньше 1».

2

3

4
х
Отметим сначала точки на координатной прямой, удалённые от 3 на расстояние, равное 1.
Это точки 2 и 4. Решение данного неравенства составляют числа, принадлежащие
интервалу (2;4).
2. х  3  1.
Рассуждаем аналогично. Расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3
больше 1.

2

3

4
х
Ответ: (- ;2)  ( 4;).
3. х  5  3 или x  (5)  3.
Рассуждаем аналогично. Расстояние от точки с координатой х до точки с координатой (-5)
больше 3.



-8
-5
-2
4. х  2  x  1 или x  (2)  x  1.
х
Ответ: (- ;8)  ( 2;).
Расстояние от точки с координатой х до точки с координатой (-2) больше её расстояния
до точки с координатой 1.



-2
-0,5
1
х
Отметим точку, равноудалённую от точек (-2) и 1. Это точка с координатой (-0,5).
А теперь отметим точки, расположенные к 1 ближе, чем к (-2).
Ответ: (-0,5;+  ).
5. х  2  х  1 или х  (2)  х  1 .
Расстояние от точки с координатой х до точки с координатой (-2) меньше или равно
расстоянию до точки с координатой 1 .

-0,5

-2

1
х
Ответ: (-  ;-0,5].
Нестандартные способы решения задач.
1. Решить неравенство:
х2  х  1
1
, где x  1.
 x
х 1
x 1
х2 – х + 1 > 0

х2  х  1  х2  х  1
x2  x
1
1

 x
x 1
x 1
x 1
x2  x  x x  1



x2  x
 x
x 1
х2  х  1
1
 x

х 1
x 1
так как x  1  0 
x2  x  x2  x .
Так как правая часть неотрицательна, то неравенство выполняется только для таких
х ,при которых левая часть неравенства строго отрицательна, то есть:
х2 – х < 0
x(x – 1) < 0
0 < x < 1.
Ответ: (0;1).
2. Решить неравенство:
х 2  6 х  9  х 2  4 х  4  0.
Так как левая часть неотрицательна, то возможно лишь равенство 0, то есть:
х 2  6 х  9  х 2  4 х  4  0.
( х  3) 2  ( х  2) 2  0
х3  х2  0
Сумма модулей равна 0 тогда и только тогда, когда:
х  3  0 и х  2  0.
х=2
х=3
х  3  0,
х  3,

х  2  0.
х  2.
Нет решений.
3. Решить неравенство:
х2  х
4  х3
 0.
4  x 3  0,  x  3 4  x  2  x  0 .
x2  x
x2  4x  4  x2
4 x  4
x  1.
Учитывая что x  3 4 , получаем:
 1  x  3 4.
Ответ: (  1; 3 4 ).
4. х  6  x 2  5 x  9 .
x 2  5 x  9  0, x  R,  x 2  5 x  9  x 2  5 x  9
x  6  x 2  5 x  9  x 2  6 x  15  0
а)
что
невозможно
x6
2
x  6 x  15  0, x  R.
6  x  x 2  5 x  9  x 2  4 x  3  0  1  x  3.
б)
x6
Ответ: (1;3).
так
как
Контроль проводится в виде самостоятельной работы, проверочной работы (в парах,
группах), контрольной работы, зачёта.
Задания для этих работ предлагаются в приложении.
Проводится исследовательская работа самими учащимися по выявлению наиболее
рационального способа решения для конкретного неравенства:
1) по определению;
2) метод интервалов;
3) возведение в квадрат;
4) введение новой переменной;
5) графический;
6) используя геометрический смысл модуля;
7) нестандартные способы.
Также учащиеся сами составляют задания дома, выбирают рациональные способы
решения, защищают свои проекты, а после проверяют друг друга.
Полезно провести тестовую работу из заданий I уровня.
Приложение № 4.
Самостоятельная работа по теме «Неравенства с модулем».
Вариант I .
1) х  2 х  8  0;
Вариант II.
1) х  6 х  7  0;
2) 4 х  1  2 х  4  0;
2) 3х  2  х  0;
3) х  1  х  3  6;
3) x  1  x  5  8;
4)2 х 2  1  x  1.
4) x 2  3  x 2  x  7.
2
1) х  4; х  4.
 3 5
2)  ; .
 2 6
3) 4;2.
1 3


4) ;1    1;    ; .
2 2


2
1)  7  х  7.
3  1


2)  ;     ; .
2  4


3) ;1  7; .
4) 2,5;2 .
Приложение № 5.
Решите неравенства, найдите наиболее удобный способ решения.
1) х  7  0;
2) x  3  1;
3) x  1  1;
4) x  3  2;
5) 3x  2,5  2;
6) 5  2 x  1;
7) x  9  9;
8) 3  x  x;
9) 2 x 2  9 x  15  2;
10) x 2  5 x  6;
11) x  3  1;
12) x 2  3  1;
13) x x  4  3x  6;
14) x  6 x  5  3;
2
15) 2 x  1  3x  2  0;
16) x  3  x  2 ;
17)
x 1
 1.
3  2x
1)7
2)
3) х  любое
4)(1;5)
1
5)( ;1,5)
6
6)( ;2)  (3;).
7)[ 0;18]
8) x  любое
9) х  любое
10)( 6;3)  ( 2;1)
11)( ;4)  ( 2;)
12)( 2; 2 )  ( 2 ;2)
13)[ 2;3]  [6;)
14)[ 3  7; 2]  [4;3  7 ]
15)( ;1)
16)( ;0,5)
2
17)( ;1,5)  (1,5;4)
3
Приложение № 6.
Решите неравенства:
1.
2.
3.
х  1  х  2  3;
 2;1
1
3х  1  4 х  3  3 ;
4
3
5 х  1  2  3х  2 ;
5
х
3
4
х
1
5
2

  2;2 5 
 1

  2 ; 
4.
3х  2  2 х  3  11;
5.
2 х  1  3х  2  5 х  3;
6.
2  5 х  х  1  х  3;
7.
х  1  2х  3  х  2 ;
5

 ;1  2;
8.
5х  1  4 х  2  х  3 ;
х  любое
9.
2 х  5  3х  7  4 x  1;
1

  ;2   3; 
5

10. x 2  x  1  5;
11. x  2  3  x 2  0;
12. x 2  3  x 2  x  7;
13. x  2  x  2  4;
14. 2 x  1  x  3  4;
15. 2 x  3  x  4 x  1;
16. x  1  x  3  6;
 ;0   4 ; 
1  17 
;2

 2



1  21  1  21
  ;
; 


2   2


 2,5;2
 2;2
0;2
4

  ; 
7

 4;2
19. x  4  x  1  7;
 ;1  7;
 4;0  2;4
 2;5
20. 2 x 2  1  x  1;
 ;1    1; 1    3 ; 
17. x  1  x  5  8;
18. x  2  x  1  x  3  4;

2
2

Приложение № 7
. Найти наибольшее целое х , удовлетворяющее неравенству:
1.
5 х  3  6 x  2;
0
2.
x  3  2 x;
0
3.
4 x  2  5 x  3;
1
4.
2 x  2  3x  2;
1
5.
6 x  5  7 x  8;
2
6.
3 x  4  5 x;
1.
7.
0,5  1  x  5;
1
8.
2  x  3x  3;
2
9.
0,25  1  x  5;
7
10. 1,5 x  3  2 x  0,5;
4
11. 2  3x  1  5;
1
. Найти наименьшее целое х , удовлетворяющее неравенству:
1.
2x  5
 1;
x 1
0
2.
2x  5
 1;
x2
1
3.
x2
 1;
x3
4
4.
3x  1
 7;
2 x
3
5.
3x  4
 2;
x3
4
6.
4 x
 3;
1 x
0
7.
x 1
 2,5;
2x  3
III. Решите неравенства:
2
 ;11  11; 
1.
х 2  х 2  х  11;
2.
2 x  x  2  3;
3.
2 x  1  3x  1  x  2;
4.
2 x 2  x  3  2 x 2  x  5;
 4;
5.
x 3  x  1  5  x 3  x  8;
 ; 6 
6.
х  1  2;
 ;1  1; 
7.
x  3  4  0;
 7;1
8.
3  x  2  1;
 2;0  4;6
9.
x 2  4 x  3  2;
10. 2 x  1  3x  1  x  2;
11. x  3  2  1;
12. x  4  2  3;
13. 2 x  1  2  3;
14. 3x  4  5  1;
 1 2
  ;1 
 3 3
 2

  3 ; 
3
 2 
 
3;  2  3  2  3;2  3
2

  ; 
3

0;2  4;6
 1;9
 ;2  3; 
2 
2  1


  ;    0;2    3 ; 
3 
3  3


15.
2
 х  2;
х 1
 1;1
16.
3
 x  1  1;
x 1 1
 1;3
17.
5
 3 x;
3 x  4
2;4
18.
 60
 x  9;
x 7
19.
5
 x  2  2;
x2 2
 5;1
20.
5
 2 x  1  5;
x 1  3
 3;1
21.
2
  2 x  1  2;
2x  1  1
 1;0
22.
88
 2 x  3  15;
x3 6
 5;1
23.
4
 2 x  3;
2x  3  3
 2;1
24.
6
 x  2;
x2 5
 3;1
 3;3

Приложение №8.
 . Найти область определения функции:
1. Y 
x  3;
xR
2. Y 
x  3  1;
( ;2]  [4;)
3. Y 
x  3  1;
x  любое
2
( ; ]  [2;)
3
4. Y  4 3 x  2  4 ;
5. Y  x  3  2 x  x  1  1;
x  любое
6. Y  6 2 x 2  x  1;
[1;)
7. Y 
[5;), x  
2 x 2  9 x  15  20 ;
8. Y  4 5 x  1  3;
xR
9. Y 
xR
10. Y 
2x  7 ;
2 x  5  1;
1
2
( ;3]  [ 2;)
11. Y  3 x  5  x  2 ;
xR
12. Y  4  x x ;
( ;2]
13. Y 
x  x  1;
[1;), x  0
14. Y 
x  5 (4  x ) ;
[ 4;4], x  5
 . При каких значениях х график функции Y=f(x) лежит выше (ниже) графика функции
Y=g(x)?
1. Y  x ,
Y 3
2. Y  x ,
Y  2
3. Y  x ,
Y x
4. Y  x ,
Y  2x  3
5. Y  x ,
Y  x 1
6. Y  x ,
Y  x 1  2
7. Y  3x  1 ,
Y 2 x
8. Y  x 2  6 ,
Y  5 x
9. Y  x  2  x  2 ,
Y 4
10. Y 
x2
,
x 1
Y 2
 . При каких значениях х график функции Y=f(x) лежит выше (ниже) оси абсцисс?
1. Y  x
2. Y  2 x  3
3. Y  x  x  1
4. Y  x  x  1
5. Y  x  2  x  3
6. Y  3 x  6  4
7. Y  3 x  1
8. Y  2 x  7  3 x  5
9. Y  x 2  3 x  2 x  6
10. Y  1  x  x 2  x  3
 V. При каких значениях х график функции Y  f (x ) не пересекает график функции
Y  g (x ) ?
1. Y  2 x  5 ,
Y 0
2. Y  2 x  5 ,
Y  4
3. Y  2 x  5 ,
Y 4
4. Y  2 x  1 ,
Y 3
5. Y  3 x  2 ,
Y 4
6. Y  x  3  2 x ,
Y  x 1 1
7. Y  5 x ,
Y  x2  6
8. Y  4 x 2  4 x  1,
Y  x3
V. При каких значениях х расстояние между графиком функции Y=f(x) и Y=g(x)
не превышает a ?
1. Y  x  1,
Y  x,
a3
2. Y  x  1,
Y  4 x  5,
a4
3. Y  2 x  3,
Y  5,
a5
4. Y  x  2 ,
Y  1,
a2
5. Y  x  1 ,
Y  2 x,
a  10
6. Y  x  1  x 2 ,
Y  3x  x 2  4 ,
a 1
7. Y  x  2 ,
Y  3x  1 ,
a  1
8. Y  x  3 ,
Y  2 x  3,
a3
9. Y  3 x  4 ,
Y  5,
a 1
10. Y  x 2  4 x ,
Y  3,
a2
Блок №3.
Построение графиков функций, аналитическое представление
которых содержит знак модуля.
Цели: научить учащихся строить графики, содержащие модуль; закрепить
изученный материал в ходе выполнения упражнений.
Когда в “стандартные” функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы,
включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить
такие графики, надо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а
также твердо знать и понимать определение модуля числа.
Методические рекомендации.
Начинать изучение данной темы целесообразно с построения графиков, используя
определение модуля. Далее, с помощью геометрических преобразований в следующей
последовательности:
y = f (│x│);
y =│ f (│x│)│;
│y │= f (│x│);
y =│ f (x)│;
│y │= f (x);
│y │= │f (x)│.
Затем познакомить с методом линейного сплайна для построения графиков
косочно-линейных функций и путем сложения ординат графиков слагаемых.
I.
Исходя из определения модуля, функцию y = f (│x│) можно записать в виде:
f (x), при x≥0,
y=
f (-x), при x<0.
Пример 1. Построить графики функций: a) y = 2│x│-2; б) y = │x2-x-6│.
2x-2, при x≥0;
a) 2│x│-2=
-2x-2, при x<0.
у = 2¦x¦-2
Затем по точкам строим левую и правую
части графика.
II.
y =│ f (x)│
f (x), при f (x)≥0;
y=
-f (x), при f (x)<0.
б) y = │x2-x-6│
1) x2-x-6≥0
x2-x-6=0
x1=3, x2=-2
x≤ -2, x≥3
y = x2-x-6
2) x2-x-6<0
-2<x<3
y = -x2+x+6
x2
Пример 2. Самостоятельно построить график: y =2 + ──
│x│
x>0, y =2+ x
x<0, y =2- x
Результат построения проверить.
Дополнительные задания см. в Приложении.
Построение графика с модулем на основе геометрических преобразований.
Цели: повторить изучение, познакомить с новыми геометрическими
преобразованиями, научить применять их к построению графика с модулем.
Перед изучением нового полезно повторить известные преобразования.
y = f (x) – исходный график, тогда:
а) y = f (x) + а – сдвиг по оси OY на а единиц вверх, если а > 0, или вниз, если а < 0;
б) y = f (x + а) – сдвиг по оси OX на а единиц влево, если а > 0, или вправо, если а < 0;
в) y = f k(x), k>0 – растяжение в k раз (при k>1) или сжатие в k раз (при k<1) вдоль оси
ординат;
г) y = f (k x), k>0 – сжатие в k раз (при k<1) вдоль оси абсцисс;
д) y = - f (x) – симметричное отражение графика относительно оси OX;
е) y = f (-x) – симметричное отражение графика относительно оси OY.
Задание. Считая исходным график y = f (x), постройте
графики функций:
а) y = f (x) + 2;
в) y =2 f (x);
д) y =- f (x);
б) y = f (x + 1);
г) y = f (2x);
е) y = f (-x).
б
в
а
г
д
е
Геометрические преобразования графиков с модулем:
1) y = f (│x│);
При построении таких графиков, очевидно, что для отрицательных значений x
значения y будут такими же, как для положительных им соответствующих.
Правило 1 (алгоритм построения). График функции y = f (│x│) получается из
графика функции y = f (x) следующим образом: при х ≥ 0 график y = f (x) сохраняется, и
эта же часть графика симметрично отражается относительно оси ОY.
y
1
-2
-1
0
1
x
3
-1
Задания для самостоятельной работы:
1. Постройте графики следующих функций:
а) y = -x2+4│x│+5;
1
б) y = ── + 1
│x│
б)
y
а)
9
y
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
1
2
3
4
5
x
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
x
2. Постройте график функции y = f (│x│) , если график y = f (x) изображен на рис.
y
4
1
-6
-5
-3
-4
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
2) y =│ f (x)│;
Правило 2. График функции y =│ f (x)│ получается из графика функции y = f (x)
следующим образом: часть графика y = f (x), лежащая над осью OX сохраняется; часть
его, лежащая под осью OX, отображается симметрично относительно оси OX (см. рис.).
y
1
-2
-1
0
1
3
x
-1
Для самостоятельной работы можно предложить построить графики функций:
а) y =│ -2x2+ 6x -2│;
х
б) y =│ ──── │.
х-2
а)
б)
3) y =│ f (│x│)│;
Правило 3. Чтобы построить график функции y =│ f (│x│)│, надо сначала
построить график функции y = f (x) при x > 0, затем при x < 0 построить изображение
симметричное ему относительно оси OY, а затем на интервалах, где f (│x│) < 0,
построить изображение симметричное f (│x│) относительно оси OX.
Пример. y =│ 1 - │x││
1) Строим график функции y = 1 - x
2) График функции y = 1 - │x │ получаем из графика функции y = 1 - x отражением
симметрично (при x ≥ 0 ) относительно оси OY.
3) График функции y =│ 1 - │x││ получаем из графика функции y = 1 - │x │
отображением симметрично оси OX нижней части графика.
Для самостоятельной работы:
а) y =││x│-4│;
a)
б) y =│ x2 - │x│- 2│.
б)
4) │ y│ = f (x);
Поскольку левая часть равенства неотрицательна, то и правая неотрицательна.
Следовательно, график существует только в области неотрицательных значений функции
y = f (x).
Правило 4. График зависимости │ y│ = f (x) получается из графика y = f (x), если
все точки, для которых f (x) ≥ 0 сохраняется и они же переносятся симметрично
относительно оси абсцисс.
Пример. │ y│ = 1 - x
Для самостоятельной работы:
а) │y│ = x2 - 6 x + 8;
б) │y│ = x2 - 4 │x│ + 3.
В случае 4) и далее то, что получается в итоге построения, нельзя назвать графиком
некоторой функции. Так как для того, чтобы множество точек координатной плоскости
являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая,
параллельная оси OY, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.
5) │ y│ = f (│x│);
Если точка (x; y) принадлежит графику, то и точки (x; -y), (-x; y), (-x; -y)
принадлежат графику. Это значит, что график симметричен относительно обеих осей
координат. Поэтому достаточно построить график в первой четверти и затем зеркально
отразить его относительно обеих осей.
Для самостоятельной работы:
2
а) │ y│ = │x│;
б) │ y - 2│ = │x│; в)│ y│ = (2│x│-1)2+3;
г)│y│= ── .
│x│
6) │ y│ =│ f (x)│;
Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполняем построение
сначала графика
y = │f (x)│, а затем множества точек, координаты которых
удовлетворяют условию │ y│ =│ f (x)│.
Порядок построения.
1) Сначала график функции y = f (x).
2) Часть графика f (x) < 0, симметрично отражаем относительно оси OX.
3) Полученный график симметрично отражаем относительно оси OX.
Пример. │ y│ =│ 1 - x│
Для самостоятельной работы:
а) │ y│ = │x-3│;
б) │ y - 1│ = │x-2│;
в) │ y│ = │x2 - x - 6 │;
г) │ y│ = 1 - │x│.
Для проверки усвоения знаний можно предложить тестовое задание.
Тест.
Вариант 1. Точка М(2;4) принадлежит графику функции y = f (x).
Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.
точки
(2;4)
(-2;4)
(2;-4) (-2;-4)
Ответ
зависимости
y =│ f (x)│
X
y = f (│x│)
X
│y │= f (x)
X
y =│ f (x)│
X
X
│y │= f (│x│)
X
X
│y │= │f (x)│
X
X
X
X
X
X
Вариант 2. Точка М(2;-4) принадлежит графику функции y = f (x). Отметьте
соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.
точки
(2;4)
(-2;4)
(2;-4) (-2;-4)
Ответ
зависимости
y =│ f (x)│
X
y = f (│x│)
X
X
X
X
│y │= f (x)
y =│ f (x)│
X
X
│y │= f (│x│)
│y │= │f (x)│
X
X
Затем можно рассмотреть задание содержащее сразу несколько модулей, чтобы
постепенно увидеть результаты преобразований.
Например, │y │= │2│x│-3│-1
Порядок построения:
y1 =│x│, y2 =2│x│ – растяжение вдоль оси OY в 2 раза.
y3 =2│x│-3 – сдвиг вниз на 3.
y4 =│2│x│-3│ – симметрия точек графика, для которых y2 < 0 относительно оси OX.
y5 =│2│x│-3│-1 – параллельный перенос вдоль оси OY на – 1.
y6 =│y5│ – симметрия точек, для которых y5 ≥ 0 относительно оси OX.
Окончательный вариант графика.
Задания для самостоятельной работы.
1. Постройте графики:
а) y =│(│x│-3)2 - 2│;
8
б) y =│ ──── │.
│x│ - 2
2. Изобразите в системе координат множество точек:
│y │= (│x│+1)2 – 3
III. Графики кусочно-заданных функций.
Цели: закрепить умение строить графики кусочно-элементарных функций, понять
необходимость их применения.
Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов,
происходящих в природе. Их можно разделить на постепенные (непрерывные) и
скачкообразные. Так при падении тела на землю сначала происходит непрерывное
нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость
изменяется скачкообразно, становясь равной 0 или меняя направление (знак) при
“отскоке” тела от земли.
Но раз есть разные процессы, то необходимо и средства для их описания. С этой
целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы. Один из способов введения таких
разрывов следующий.
Пусть функция y = f (x) при x < a определена формулой y = g (x), а при x > a формулой y = h (x), причем будем считать, что каждая из функций g (x) и h (x)
определена для всех значений x и разрывов не имеет. Тогда, если g (a) ≠ h (a) , то функция
f (x) имеет при x = a скачок; если же g (a) = h (a) = f (a) , то “комбинированная” функция
f называется кусочно-элементарной. Кусочно-элементарная функция может быть
определена более чем двумя формулами.
Переход от одной формулы к другой при описании реальных явлений обычно
связан с нарушениями, возмущениями течения процесса в отдельные моменты, со
скачкообразным изменением тех или иных его характеристик. Такой переход иногда
может сохранить непрерывность изменения величины, но вызвать излом ее графика. В
последнем случае скачком меняется не величина, а скорость ее изменения.
f (x), при f (x)≥0,
Функцию y =│ f (x)│, y =
можно считать кусочно-элементарной.
-f (x), при f (x)<0
Пример. Запишите функцию y =│x-3│+ │x+3│ без использования знака модуля и
постройте ее график.
x < -3, у = 3- x -x-3 = -2 x
-3≤ x<3,
y = 3 – x+ x+3 = 6
x ≥ 3,
y = x - 3+ x +3 = 2 x
y=
-2 x,
6,
2 x,
x < -3,
-3≤ x<3,
x ≥ 3,
Далее можно предложить выполнить построение графиков в двух вариантах.
I. Вариант.
I I. Вариант.
y =1,5│x│,
- 2≤ x≤ 2.
│x│=2,
- 1≤ y≤ 3.
Затем пригласить по одному представителю каждого варианта и попросить их на
доске, в одной системе координат изобразить полученные графики.
В результате появляется буква “М”. Выясняется, что множество точек этой буквы
“М” есть объединение построенных множеств, поэтому его следует задать с помощью
совокупности систем:
y =1,5│x│,
- 2≤ x≤ 2.
│x│=2,
- 1≤ y≤ 3.
Подобный пример приводит к мысли, что графиками можно рисовать. Правда,
фигуру в координатной плоскости уже нельзя будет называть графиком функции, но зато
отдельные ее части этому определению соответствуют. Затем можно предложить другие
задания, где в результате построения получается какой-либо рисунок, зашифровано слово
или целое высказывание (Примеры таких заданий см. в Приложении III).
Полезно предложить учащимся самим придумать шифровку какого-либо слова,
рисунка и выполнить на отдельном листе в клетку графическое решение этой задачи, а в
конце изучения темы провести презентацию проектов.
Требования к представлению проекта.
1. В рисунке должно быть не менее трех графиков функций.
2. Для одного из графиков надо подробно описать его построение.
3. Желательно включить графики из всех изученных тем.
4. Рисунок должен быть выполнен аккуратно.
5. Лучше, если рисунок будет иметь обоснованное название.
6. Речь при выступлении грамотна, лаконична.
Такие задания способствуют развитию творческого потенциала ученика, обращены
к практической деятельности учащихся. Порой для учащихся возможность практического
применения того или иного “открытия” является единственным стимулом к свершению
такого открытия.
В качестве примера графика кусочно-заданной функции, имеющей разрывы, можно
предложить построить следующие графики:
а)
а)
x2 – 3x +2
у = ──────
│x-1│
б)
│x-2│
у = ──── (x2 – 2x)
2–x
x2 + 3x +2
+ ───────
│x+1│
б)
IV. Метод линейного сплайна.
Цели: познакомить учащихся с методом линейного сплайна для построения
графиков, содержащих модуль; научить применять его в простых ситуациях.
Пусть заданы x1< x2<…< xn – точки смены формул в кусочно-элементарных
функциях. Функция f, определенная при всех x, называется кусочно-линейной, если она
линейна на каждом интервале (-∞; x1), (x1; x2), …(xn-1; xn), (xn; +∞) и к тому же не
выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит
разрыв.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном. Ее
график есть ломанная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим
значениям x<x1) и правым (отвечающим значениям x>xn).
Пример. Эта функция задается тремя
формулами:
-1,
при x < 0,
y=
2x-1, при 0 ≤ x ≤1,
1,
при x >1.
Не трудно заметить, что эту же функцию
можно задать одной формулой, используя
модули:
y = │x│- │x - 1│.
Оказывается любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать формулой
вида y = ax + b + c1 │x – x1│ + c2 │x – x2│ + …+ cn │x – xn│, где a, b, c …cn – числа.
График любой такой функции – ломанная с бесконечными крайними звеньями.
Чтобы построить такую ломанную, достаточно знать все ее вершины и по одной точке на
левом и правом бесконечных звеньях. Эти соображения позволяют легко строить графики
функций такого вида без раскрытия модулей, не переходя к их кусочному заданию.
Достаточно составить таблицу:
x
y
x0
y0
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
yn
xn+1
yn+1
Где x0 и xn +1 – произвольные значения x, такие, что x0 < x1 и xn+1 > xn, а x1, … , xn – точки
смены формул, y0 ,…, yn+1 – значения функций в этих точках. Все точки наносятся на
координатную плоскость, последовательно соединяются отрезками, два крайних звена –
лучи.
Пример 1. Построить график функции y = 3x + 1 - │x + 1│ + 2│x│
Точки смены формул: x + 1 = 0, x = 0, x = -1
Составим таблицу:
x
-2
-1
0
1
y
-2
0
0
4
Пример 2. Задайте функцию y = x + │x - 2│- │x│ в
виде кусочно-линейной и постройте график двумя
способами.
1 способ.
x
y
-1
1
0
2
2
0
3
1
2 способ.
x < 0, y = x – x + 2 + x,
y=x+2
0 ≤ x≤ 2,
y = x – x + 2 - x,
y=-x+2
x > 2, y = x + x - 2 - x,
y=x–2
y=
x + 2 при x < 0,
- x + 2 при 0 ≤ x≤ 2,
x – 2 при x > 2.
Задания для самостоятельной работы.
Задание 1.
Постройте графики функций:
а)
y = │x + 1│+ │x│- │x - 2│;
б)
y = │x + 2│+ │x│- 2│x - 2│;
в)
y = 2 - │2x + 5│;
г)
y = │x│+ │x - 1│.
а)
x
y
б)
-2
-1
-1
-2
0
-1
в)
2
5
3
6
г)
Можно показать школьникам еще один метод построения графиков кусочнолинейных функций. График будет строиться путем сложения ординат графиков функций
y = │x + 1│ и y = │x - 2│, соответствующим одним и тем же абсциссам.
y = │x + 1│ + │x - 2│
Для самостоятельной работы.
Задание 1. Построить график функции y = │x + 1│ - │x - 2│
Задание 2.
а) При каких значениях x функция y = │2x + 3│ + 3│x - 1│- │x - 2│ имеет наименьшее
значение. Найдите это значение.
y=
- 4x –2 при x < -3/2,
4
при –3/2 ≤ x < 1,
6x - 2
при 1 ≤ x < 2,
4x + 2
при x ≥ 2.
Итак, min y = 4. Ответ: [-3/2; 1].
б) При каких значениях x функция y = │x + 1│ + │x - 1│- 2│x - 2│ достигает максимума?
y=
- 4 при x < -1,
2x - 2 при –1 ≤ x < 1,
4x - 4
при 1 ≤ x < 2,
4
при x ≥ 2.
Итак, max y = 4. Ответ: [2; + ∞].
В завершении предложить самостоятельную работу (см. Приложения).
Приложение №9.
Дополнительные задания по теме: “Построение графиков функций, содержащих модуль”.
1.
Пользуясь определением модуля построить графики функций:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
y = x2 -│x│- 6;
y = │x - 6│;
y = x (│x│ - 4);
y = (x - 3) (│x│ + 1);
y = x│x│;
y = │3x2 + 2x +1│ - 3x2;
y = x│x - 4│;
y = │x - 3│(x + 1);
│x - 1│
y = ─────── (x2 – 4);
x-1
x2 (x +1)2
y = x2 + ── + ──── ;
│x│ │x + 1│
и)
к)
л)
y = │x2 + x│- x2.
I.
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
II.
Используя геометрические преобразования, построить графики функций:
1) y = f(│x│).
а) y = x2 - 4│x│ + 3;
б) y = x│x│;
в) y = x│x - 1│;
г) y = (x – 1)│x│;
д) y = (x + 2)│x - 3│;
е) y = x2 - 3│x│;
y = x2 - │x│ - 6;
ж) y = 2│x│ - 0,5x2;
з) y = x2 - │2x - 1│;
│x│+ 2
и) y = ─────;
│x│- 1
2) y = │f(x)│.
а) y = │x2 - x│;
б) y = │x2 – x + 2│; y = │x2 – 3x + 2│;
1
в) y = ─────;
│4 + x│
x+3
г) y =│ ──── │;
x+2
д) y = │- x│;
е) y = │3 - x│;
ж) y =│3 + 0,5 x │;
в)
3) y = │f(│x│)│.
з) y = │- x2 + 6 x + 8│;
и) y = │x + 2│ - 2;
к) y = 3 - │1 - 3x│;
л) y = │ x + 1││ x - 3│;
_________________________
м) y =√( x2 + 2 x + 1) ( x2 - 10 x + 25);
__________
н) y =√x4 - 6 x2 + 9.
г)
а) y = │(│x│ - 3)2 - 2│;
8
б) y =│ ───── │;
│x│ - 2
в) y = │x2 - 5│x│+ 6│;
г) y = │4 - │x││;
д) y = │x2 - │x││;
е) y = ││x2 - 1│ - 2│;
ж) y = │x2 - │ x + 1││;
│x│ - 2
з) y =│ ───── │.
│x│ - 3
4) │y│ = f(x).
а) │y │= 3x - 5;
б) │y │= 2x2 - 5;
в) │y │= 1;
г) │y │= x2 – 5x + 6;
д) │y │= (│x│ + 1)2 - 3;
е) │y - 1│= x;
ж) │y + 2│= x - 1;
з) │y│-│x│ = 2.
5) │y│ = f(│x│).
а) │y │= 2│x│ - 3;
4
б) │y │ = ───;
│ x│
в)
в) │y│+ │x│ = 1;
г) ││y│+ │x││ = 2;
д) │x│- │y│ = 1;
д)
6)
а) │y │= │5 + x│;
б) │y - 2│= │x│;
в) │y│= │3x – x2│;
г) │y│= │3x + x2│;
д) │y│= │ x2 - 3x – 3│;
е) │y + 1│= │x + 3│.
III. Задача 1. Построить на координатной плоскости множество точек, координаты которых
удовлетворяют объединению следующих систем:
y = (x + 1)2,
-3 ≤ x≤ 0.
x = -2,
0 ≤ y≤ 3.
│x│ = 1,
-1 ≤ y≤ 3.
x = 0,
-1 ≤ y≤ 3.
x = 0,
-1 ≤ y≤ 3.
y = 2x + 1,
│x│≤ 1,5.
y = 0,
-2 ≤ y≤ 0.
y = 2x + 1,
│x│≤ 1.
y = 3,
│x│≤ 1.
y = 3,
0 ≤ x≤ 2.
x = 0,
-1 ≤ y≤ 3.
y = 1,
0 ≤ x≤ 1.
y = -1,
0 ≤ x≤ 2.
y = -x2 + 3,
│x│≤ 2.
x2 + y2 = 1,
x = -1,
0 ≤ y≤ 3.
2.
“Человечек”
1) y2 + x2 = 36;
2) y = 3 при -3 ≤ x ≤ -1 и 1 ≤ x ≤ 3;
3) y = 1/2x2 – 4 при -2 ≤ x ≤ 2;
4) │y│ = 1 при -1 ≤ x ≤ 1;
5) │x│ = 1 при -1 ≤ y ≤ 1;
6) │y│ = 14 – x при 7 ≤ x ≤ 9;
7) │y│ = x при 4 ≤ x ≤ 7;
8) │y│ = x + 14 при -9 ≤ x ≤ -7;
9) │y│ = -x при -7 ≤ x ≤ -4;
10) y = -x2 + 10 при -2 ≤ x ≤ 2;
11) y = 6 при -3 ≤ x ≤ 3.
3.
“Тюльпан”
1) y = │x│ + │x + 1│ при -2 ≤ x ≤ 1;
2) y = -2│x – 0,5│ + 4 при 0 ≤ x ≤ 1;
3) y = -2│x + 0,5│ + 4 при -1 ≤ x ≤ 0;
4) y = -2│x + 1,5│ + 4 при -2 ≤ x ≤ -1.
4) Построить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
объединению следующих систем:
“
x = 0,
-1 ≤ y ≤ 3.
y = 3,
│x │≤ 1,5.
y = 0,
-2 ≤ x ≤ 0.
x = 0,
-1 ≤ y ≤ 3.
x = -2,
0 ≤ y ≤ 3.
x2 + ( y – 1)2 = 4
y = 3,
│x │≤ 1.
x = -1,
-1 ≤ y ≤ 3.
x = -1,
-1 ≤ y ≤ 3.
(x+0,5)2+(y–0,5)2=2,25,
│x │≤ 1.
(x+0,5)2+(y–0,5)2=2,25,
│x │≤ 1.
x = 2,
-1 ≤ y ≤ 3.
переваривать
x2 + y2 = 1,
x2 + (y – 2)2 = 1,
x ≥ 0.
_____
y = √1 – x2 + 2,
x < 0.
_____
y = -√1 – x2,
x < 0.
│x │= 1,
-1 ≤ y ≤ 3.
y = 2x+ 3,
-2 ≤ x ≤ 0.
│x │= 1,
-1 ≤ y ≤ 3.
x = -1,
-1 ≤ y ≤ 3.
y = 1,
│x │≤ 1.
y = 0,
-1,5 ≤ x ≤ 1.
y = 1,
│x │≤ 1.
x = 2,
-1 ≤ y ≤ 3.
y = 3,
0 ≤ x ≤ 1.
y =4/3 x + 1/3,
-1 ≤ x ≤ 2.
x =-1,
-1 ≤ y ≤ 3.
(x-0,5)2+(y–1,5)2=2,25,
│x │≤ 1.
y =1/2 x – 1/2,
│x │≤ 1.
x = 1,
-1 ≤ y ≤ 3.
‚ надо
│x │= 1,5,
-1 ≤ y ≤ 3.
x2 + ( y – 1)2 = 4
y = 3,
│x │≤ 1,5.
x = -1,
-1 ≤ y ≤ 3.
y = 2x+ 3,
-2 ≤ x ≤ 0.
y = 3,
-1 ≤ x ≤ 1,5.
y = 3,
0 ≤ x ≤ 1.
x2 + ( y – 1)2 = 4
x =1,
-1 ≤ y ≤ 3.
x = -2,
x = -0,5,
x = -1,
-1 ≤ y ≤ 3.
y = 2x+ 3,
-2 ≤ x ≤ 0.
y = 3,
│x │≤ 1,5.
x = -1,
-1 ≤ y ≤ 3.
x = -1,
x = 2,
-1 ≤ y ≤ 3.
y = 4/3 x+ 1/3,
-1 ≤ x ≤ 2.
y = -1,
│x │≤ 2.
y = 3,
0 ≤ x ≤ 1.
x =0,
-1 ≤ y ≤ 3.
(x+0,5)2+(y–0,5)2=2,25, y = 4/3 x+ 1/3,
│x │≤ 1.
-1 ≤ x ≤ 2.
y = x - 3,
1 ≤ x ≤ 2.
y = 0,
-1,5 ≤ x ≤ 1.
y = -4/3 x+5/3,
-1 ≤ x ≤ 2.
x =1,
-1 ≤ y ≤ 3.
x2 + ( y – 1)2 = 4,
-2 ≤ x ≤ 1.
аппетитом”
А. Франс
5) “Ракета”
у8 = 3x + 14 при -6 ≤ x ≤ -4;
у9 =- ½ │x│- 1 при -6 ≤ x ≤ 6;
у10 = -3x+14 при 4 ≤ x ≤ 6;
у11 = - ½ │x│+ 4 при -16 ≤ x ≤ 6;
6 ≤ x ≤ 16.
2
2
у1 = 2—x + 38 — при -16 ≤ x ≤ -13;
3
3
у2 = 4 при -13 ≤ x ≤ -3, 3 ≤ x ≤ 13;
у3 = -5x - 11 при -4 ≤ x ≤ -3;
у4 = 9 при -6 ≤ x ≤ -4, 4 ≤ x ≤ 6;
1
у5 = - 1— │x│+ 16 при -6 ≤ x ≤ 6;
6
у6 = 5x - 11 при 3 ≤ x ≤ 4;
2
2
у7 = -2— x + 38— при 13 ≤ x ≤ 16;
3
3
4) “
переваривать
, надо
аппетитом”
А. Франс
5) “Ракета”
IV. 1) Построить графики функций:
y = │x + 1│ - │x│ + 3│x - 1│ - 2│x - 2│ - x – 2.
При каких значениях x y = 0 , при каких
значениях x функция принимает наименьшее
значение.
Ответ: min y = -4, y = 0 при x = -2; x ≥ 2.
x
y
-2
-1
-1
-2
0
-1
2
5
3
6
2) Построить графики функций:
a) y = │x + 2│ + │x - 1│ - │x - 3│;
б) y = │x - 1│ + │x + 1│;
в) y = │x - 2│ - │x + 2│;
г) y = │x - 3│ + │2x - 1│;
д) y = │x + 3│ + │2x + 1│ - x;
_______
_______
е) y =√(x – 2)2 + √(2 – x)2 ;
4__________
4___________
ж) y =√(x2 -6x + 9)2 + √(x2 +6x + 9)2 ;
6___________
6__________
з) y =√(x2 +10x + 25)3 - √(x2 -4x + 4)3 .
Дополнительные задания.
V. 1) Построить график функции:
а) y = x2 + 4│x│ - 5;
б) y = │x2 + 4x - 5│;
в) y = │x2 + 4│x│ - 5│;
г) y = x │x│ + 4│x│ - 5;
2) Построить график функции:
а) y = 4x│x│ + x2 - 15 x и найти:
а) область определения и множество значений;
б) промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы;
в) точки пересечения с осями;
г) промежутки знакопостоянства.
Ответы:
а) D(y) = R, E(y) = R;
б) возрастает на (-∞; -2,5] и [1,5; +∞), убывает на [-2,5; 1,5]; точки экстремума -2,5 и 1,5;
экстремумы 18,75 и -11,25.
в) (-5;0); (3;0); (0;0)
г) y > 0 при x  (-5;0)  (3; +∞); y < 0 при x  (-∞;-5)  (0; 3).
В завершении изучения темы “Построение графиков функций, содержащих модуль” можно
выполнить самостоятельную работу, с последующим анализом и разбором ошибок.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
1. Построить график функции:
а) y = x2 + 2│ x │ - 3;
б) y = │x2 + 2 x - 3│;
в) y = │x2 + 2│ x│ - 3│;
г) y = │ x│ x + 2 x – 3.
Вариант 2.
а) y = x2 - 4│ x │ + 3;
б) y = │x2 - 4 x + 3│;
в) y = │x2 - 4│ x│ + 3│;
г) y = │ x│ x - 4 x + 3.
2. Для задания N1(б, г) найти:
а) область определения и множество значений;
б) промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции (если они
есть);
в) точки пересечения с осями;
г) промежутки знакопостоянства.
3. Задайте функцию формулой по ее графику:
а)
б)
а)
б)
4. Постройте график функции, заданной формулой:
_________
_________
2
а) y =  x – 2x + 1 +  x2 – 4x + 4;
_________
_________
2
а) y =  x – 6x + 9 -  x2 – 4x + 4;
(x2 – 4x – 5) │ x - 2│
б) f(x) =  .
(x – 5)
(x2 – 4x – 5) ( x - 2)
б) f(x) =  .
│x – 5│
5. Постройте графики уравнений:
а) │y│ = 2x + 3;
б) │y│ =│4x – x2│.
а) │y│ = x + 3;
б) │y│ =│2x + x2│.