Дисперсия света (конспект лекций по оптике)

Дисперсия света.
1. Известно, что для однородной линейной изотропной (=const) немагнитной (=1)
среды в отсутствии зарядов и токов (=0; j=0) из уравнений Максвелла можно получить
волновое уравнение в виде:
 2E
E   0  0 2 .
t
(аналогичное уравнение можно получить и для магнитных векторов B или H).
Решение волнового уравнения ищем в виде плоской монохроматической волны
Er, t   E0 e i t kr  .
(1)
В результате подстановки (1) в волновое уравнение получаем, что частота ω и
модуль волнового вектора k= k должны удовлетворять дисперсионному уравнению:
2
k  2 ,
c
2
(2)
1
 3108 м/с – скорость света в вакууме.
 0 0
Среда называется диспергирующей, если диэлектрическая проницаемость среды
зависит от частоты  волны
где c 2 
  
(напомним, что при переходе из одной среды в другую частота  волны остается
неизменной). В диспергирующих средах фазовая скорость распространения волн зависит
от частоты . Дисперсия объясняется тем, что среда под действием электрического поля
волны поляризуется по-разному для различных частот (см. ниже).
Диэлектрическая проницаемость среды  – в общем случае комплексная величина
(см. ниже):
(3)
    i .
Так как D  0E , то модуль
2
2
    
определяет амплитуду электрической индукции D, а
tg 


(4)
(5)
характеризует разность фаз между D и Е (δ – так называемый угол диэлектрических
потерь).
Для прозрачных (непоглощающих) сред  - величина действительная   0 , тогда


k
   n ,
c
c
где n - показатель преломления среды. Зависимость показателя преломления от
частоты также называют дисперсией. Для таких сред из (1) следует формула для
фазовой скорости
v

c

.
k n
2. В соответствии с (2) и (3) волновой вектор k можно представить в виде:
k  k   ik  .
Подставляя (6) в (1), для уравнения плоской волны получаем:
Er, t   E0e kr e i t kr  .
(6)
(7)
2
Таким образом, в направлении k  происходит наибыстрейшее изменение фазы волны
(   t  kr  0 ), а в направлении k  – уменьшение амплитуды. Таким образом,
ненулевое значение k  свидетельствует о наличии поглощения в среде.
3. Свойства среды в поле световой волны принято характеризовать с помощью
показателя преломления n:

(8)
k  n ,
c
от которого зависит фазовая скорость волны:

c
(9)
v  ek   ek  ,
k
n
и показателя поглощения (коэффициента экстинкции) æ:

(10)
k   æ .
c
Поскольку интенсивность I волны в среде пропорциональна квадрату ее амплитуды, то
при æ  0 :
(11)
I  I 0ere k ,

æ – коэффициент поглощения, не зависящий от интенсивности световой
c
волны (закон Бугера).
~ и
В соответствии с (2, 3, 6, 8 и 9) комплексный показатель преломления n
проницаемость ε связаны соотношением:
где   2
n~  n  iæ      i .
Поэтому:


1
n 2    1  tg2  1 ,
2
1
æ 2    1  tg2  1 .
2

(13)

(14)
Если tg2  1 (среда – диэлектрик), то n   , æ 
проводник), то n  æ 
(12)
1
tg . Если tg2  1 (среда –
2

tg .
2
4. Совокупность явлений, обусловленных зависимостью характеристик среды n и æ от
частоты ω световой волны, получила название «дисперсии света».
Основные закономерности распространения света в среде зачастую удается описать с
помощью простой классической модели среды как ансамбля гармонических осцилляторов
(модель Лоренца).
В рамках этой модели среда представляется как совокупность не
взаимодействующих друг с другом атомов. Каждый из одиночных атомов есть
положительно заряженное ядро, тесно связанные с ним внутренние электроны и один
единственный внешний электрон, называемый оптическим. Запишем уравнение
движения оптического электрона одиночного атома в электрическом поле волны
(влиянием магнитного поля пренебрегаем):




r   2 Гr   02 r   e Et  .
m
Данное соотношение является хорошо знакомым уравнением вынужденных колебаний.




Если Et   E0 e it , то ищем решение в виде rt   r0eit , получаем:
 
3
e

m
E0
    2iГ




Так как дипольный момент p  er0 , поляризованность P  Np , где N –



концентрация электронов, и P   0 E    1 0 E , то в итоге зависимость линейной
оптической восприимчивости χ среды от частоты ω имеет вид:
2p
,
(15)
    1  2
0  2  2i
где ω0 и  – собственная частота и коэффициент затухания колебаний осцилляторов (как
правило,   0 ), ωp – так называемая плазменная частота:

r0 t  
2
0
2
N  e2
,
(16)
0m
е и m – заряд и масса осцилляторов, N – их концентрация. Выражение (15) носит
название закона дисперсии. Причины названия «плазменная частота» приводятся ниже.
Оценки для плазменной частоты.
Для конденсированных сред: N1028 м-3; p5,61015 c-1; p0,33 мкм -ультрафиолет.
Для разреженных сред: N1025 м-3; p1,71014 c-1; p10,5 мкм - инфракрасный.
2p 
Анализ закона дисперсии (15) вследствие его громоздкости – непростая задача,
поэтому рассмотрим некоторые частные случаи.
А. Для разреженных газов вблизи резонансной частоты (   0  0 ) можно
считать, что:
02  2  0  0    20 0   и   0 ,
откуда из (15) следует:
  1 
2p
20 0    2i0
1
n  Re   1 
2p
40
æ  Im  
2p
20


2p 0    i
1
 1

0    i
20 0  2   2
0  
0  2   2
2p
40

,
(17)

0  2   2

æ.
(18)
с
Графики зависимостей α(ω) и n(ω) приведены на рис. 1.
Из рисунка видно, что поглощение α(ω) велико только в узкой области вблизи
собственной частоты 0 шириной   2  0 , называемой полосой поглощения. В
  2
этой полосе для показателя преломления
полосы поглощения
n
 0 – область аномальной дисперсии; вне

n
 0 – область нормальной дисперсии (пояснения – см. ниже).

4
()
2Г

0
n()
0
1
0

0
Рис. 1. Зависимости  и n от частоты 
Б. Если   0 (частота падающей волны существенно меньше частоты
собственных колебаний) и затухание мало, то в соответствии с (15):
  1 
2p
02  2

2p
 2 
02 1  2 
  
0


2p  2 
1 
;
02  02 
2p  2 
B
1  2   A1  2 
n 1 
(19)
2 

20  0 
  
– дисперсионная формула Коши, которая хорошо описывает дисперсию газов в видимой
и ИК областях спектра.
В. Если в среде присутствуют несколько видов гармонических осцилляторов (со
своими Nj, mj, qj, Гj ), то формула (15) принимает вид:
  1  2p 
j
fj
02 j  2  2i j 
(15а)
N j  q 2j
где f j 
0m j
N  e2
0m
- сила j-го осциллятора, которая определяется экспериментально.
Формула (15а) называют формулой Зелмеера.
Г. При распространении электромагнитной волны в ионосфере в формуле (15)
следует положить
0  0 ,   0
(нет возвращающей силы, затухание мало).
Тогда закон дисперсии запишется в виде:
2p
  1  2 .

Анализ особенностей распространения волн в такой среде будет рассмотрен ниже.
5. Так как фазовая скорость (9) зависит от n, то в среде с дисперсией n  n :
5
c

.
(24)

n k 
А это значит, что при распространении светового импульса конечной длительности в
среде с дисперсией его форма может существенно искажаться.
   
Рассмотрим подробнее распространение импульса в диспергирующей среде .
Пусть две плоские монохроматические одинаково линейно поляризованные волны
одинаковой амплитуды распространяются, к примеру, вдоль оси z:
E1 z, t   E0 sin1t  k1 z  ;
E2 z, t   E0 sin2t  k 2 z  ,
причем частоты и волновые числа обеих волн примерно одинаковы:
1  2 ;
k1  k 2


(как следствие, примерно одинаковы и фазовые скорости 1  1   2  2 ).
k1
k2
Для результирующей волны получим:
  k 
E z, t   E1 z, t   E2 z, t   2 E0 cos
t
z   sin 0t  k 0 z  ,
2 
 2
  2
k k
где   1  2 ; k  k1  k 2 ; 0  1
; k0  1 2 .
2
2
Первый сомножитель в формуле есть огибающая группы волн:
  k 
Az, t   2 E0 cos
t
z ,
2 
 2
которая распространяется в пространстве со скоростью

,
u
k
называемой групповой скоростью распространения волнового пакета.
Более строгий вывод формулы для групповой скорости приведен в Приложении,
где показано, что
u

.
k
Пусть в диспергирующей среде распространяется импульс, характеризуемый узким
спектральным диапазоном   0  , причем в этом диапазоне производная
k 
k
не зависит от частоты. Тогда импульс распространяется с единой групповой
 0
скоростью
u
1 
,

k  k 
0
которая характеризует скорость движения огибающей волнового пакета (а
следовательно, и скорость переноса волной энергии), которая, вообще говоря,
отличается от фазовой скорости света. В этом случае импульс не расплывается, сохраняя
свою первоначальную форму.
Получим связь между фазовой  и групповой u скоростями для случая, когда закон
дисперсии задан в виде      :
    k  ;
6
u
Так как
k

, получим:

dk
d
d
d
 
 k  .
dk
dk
u  
– формула Рэлея.
d
d
()

d/d
u


0
Рис. 2. Графическое определение групповой скорости из закона дисперсии
Рис.2 иллюстрирует полученную формулу:
Если задана зависимость n показателя преломления от частоты, то
ck  n ,
cdk  d  n  dn
1 dk 1 
dn 

 n    ,
u d c 
d 
или
u
с
n
dn
d


.
 dn
1
n d
 dn

 0
Из полученной формулы следует, что в области аномальной дисперсии 
 d

формально групповая скорость u  c , однако из-за сильного поглощения света в этой
области оперирование понятием групповой скорости теряет смысл.
Пример. При распространении электромагнитной волны в ионосфере в формуле (15)
следует положить
0  0 ,   0
(нет возвращающей силы, затухание мало).
Тогда закон дисперсии запишется в виде:
2p
  1  2 .

Из данной формулы следует, что плазменная частота является своеобразной
границей.
Если    p , то 0    1 , фазовая скорость превышает скорость света в вакууме.
Получим связь фазовой и групповой скоростей.
Если    p , то 0    1 и фазовая скорость

Воспользуемся дисперсионным уравнением:
c

 c.
7
2
2   p
k   2  1 2
 
c

 2
1

 2  2p  2 .
 c2
c

1
2k  dk  2  d  2 ;
c
1
2k  dk  2  d  2
c
k dk
1

 ;
 d c 2
  u  c2 .
Так как   c , то групповая скорость u  c меньше скорости света.
Если    p , то   0 , т.е. показатель преломления среды является чисто
2
мнимым. Ранее отмечалось, что мнимая часть показателя преломления приводит к
уменьшению амплитуды. Но выше предполагалось, что затухание мало:   0 .
Получается противоречие: энергия в ионосфере не поглощается, а амплитуда падает!
Данное «противоречие» будет подробно рассмотрено в теме «Полное внутреннее
отражение». Но отметим, что ситуация соответствует случаю полного внутреннего
отражения волн от ионосферы. Именно этот факт способствует распространению
радиоволн вокруг земного шара.
Расплывание волнового пакета.
Пусть в диспергирующей среде распространяется световой импульс длительностью ,
2
ему соответствует спектральный интервал   2  1 
.

Представим импульс как совокупность двух волновых пакетов с групповыми
скоростями распространения, заданными для граничных частот:


;
.
u1 
u2 
k 1
k 2
Пройдя расстояние z, они разойдутся по времени на
z
z
t   .
u1 u 2
Расстояние z будем называть дисперсионной длиной импульса, если справедливо
соотношение
t   .
В результате получим:
 1 1   k
z
z
k    2 k 
2
    z    z

z
   z  k  
.
2


u1 u 2

 u1 u 2    1  2    * 
Для дисперсионной длины расплывания получим:
2
zдисп 
.
2k 
(обратим внимание, что в данном случае k  
 2k
2
- это обозначение второй

*
производной).
Приложение.
Более строгий вывод формулы для групповой скорости.
8
Пусть на входе в диспергирующую среду (z=0) квазимонохроматический импульс
представим в виде:
E0 t , z  0  A0 t  ei0t .
Воспользуемся фурье-представлением:
1
E0 t  
F0   e it d ,

2
 it 
где F0    E0 t   e dt  - фурье-разложение импульса на входе в среду по частотам.
Будем считать, что в процессе распространения волны вдоль оси z нет поглощения
энергии, а меняется только фаза волны на величину   k  z , т.е.
F , z   F0  e ikz .
В случае узкополосного сигнала   0  для закона дисперсии k  можно
воспользоваться разложением:
k
1  2k
2
k   k 0  
   0    2    0  =
 0
2  
0
1
2
 k0  k     0   k     0  .
2
k
(здесь и далее через k  обозначена производная
).
 0
Вернемся к временному представлению
1
1
E t , z  
F , z   e it d 
E0 t   e it   e ikz  e it ddt  =



2
2
1

E0 t   e it   e ik0 z  e ik 0 z  eit d  dt  .

2
Заметим, что интеграл по переменной  имеет вид:
1
it 
ik z
it
it   k z t 
d 
t   k z  t  ,
 e  e  e d   e
2
где  -дельта-функция.
В результате получаем:
E t , z    E0 t   e ik0 z  eik 0 z  t   k z  t   dt  =
 E0 t  k z   e ik0 z  eik 0 z .
Вспоминая, что
получим:
E0 t   A0 t   ei0t ,
Et , z   A0 t  k z   ei0 t k z   e ik0 z  eik 0 z  A0 t  k z   ei 0t k0 z  .
Если в заданном спектральном диапазоне   0  производная k  
зависит от частоты, то поверхность постоянной
распространяется со скоростью
dz 1 
u
 
,
dt k  k 0
амплитуды
k
не
 0
t  k z  const 