методичка по системному анализу
advertisement
Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Забайкальский аграрный институт - филиал ФГБОУ ВПО «Иркутская государственная сельскохозяйственная академия» Факультет экономический Кафедра естественно-научных и гуманитарных дисциплин СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 080200.62 МЕНЕДЖМЕНТ Чита 2014 ББК Составители: О.Е. Колосова Рецензент: Ю.И. Щвецова старший преподаватель кафедры естественнонаучных и гуманитарных дисциплин ЗабАИ Печатается по решению методической комиссии экономического факультета Забайкальского аграрного института Протокол № ___ « ___» _________2014 г. Содержит справочный методический материал и контрольные задания по системному анализу в двадцати вариантах, которые отличаются по содержанию, но имеют общую структуру построения, типы заданий и рекомендации по их выполнению. Предназначены для студентов 1 курса по направлению подготовки 080200.62 – «Менеджмент» заочной формы обучения, для внутреннего пользования. 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины состоит в изучении новых подходов качественной теории систем, базирующейся на системном анализе состояния прикладных информационных технологий, закономерностей функционирования и развития систем, методов и моделей теории систем и др. и, как результат, выработать навыки системного мышления у студентов и подготовить их к решению практических задач анализа и синтеза систем. В результате изучения дисциплины студент должен иметь представление: о значении дисциплины «Теория систем и системного анализа», ее месте в области современной науки и роли в решении практических задач; об истории развития и современных исследованиях системного анализа; знать: методологию системного подхода; основные подходы при системном описании экономического анализа; основные типы шкал измерения в системах; показатели и критерии оценки сложных систем; основы развития систем организационного управления; основные элементы теории математического прогнозирования и идентификации систем; иметь опыт: построения математических моделей сложных систем; выбора метода решения задачи; применения аналитического аппарата современных методов системного анализа для решения практических задач; применения методов качественного и количественного оценивания функционирования систем для анализа сложных систем. уметь: решать задач анализа и моделирования сложных систем с помощью математических методов; применять методы системного анализа для решения практических задач и синтеза сложных систем. 2. Место дисциплины в структуре ООП Дисциплина системный анализ включена в обязательный перечень ФГОС ВПО, в математический и естественнонаучный цикл, вариативной части (по выбору) и изучается в течение 1 курса. Предшествующими курсами, на которых непосредственно 3 базируется дисциплина системный анализ являются: «математика», включая линейную алгебру, «Теория вероятностей и математическая статистика», «Информатика». Она является основополагающей для изучения дисциплин управленческого и экономико-математического циклов, вооружая студентов основами теоретических знаний и практических навыков использования информационных технологий в работе с экономическими задачами. 1. 2. 3. 4. 5. 3. Компетенции студента, формируемые в результате освоения дисциплины. ОК-12 - осознанием социальной значимости своей будущей профессии, обладанием высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности; ОК-13 - способностью анализировать социально значимые проблемы и процессы; ОК-15владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; ОК-16 - пониманием роли и значения информации и информационных технологий в развитии современного общества и экономических знаний; ОК-20 - способностью учитывать последствия управленческих решений и действий с позиции социальной ответственности; 4. Структура дисциплины и виды учебной работы Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единиц 108 часов. Распределение трудоемкости в часах по всем видам аудиторной и самостоятельной работ студента по семестрам оформляется в виде таблицы 1. Таблица 1 - Трудоёмкость дисциплины и виды учебной работы 080200.62 Вид учебной работы Всего часов Аудиторные занятия (всего) В том числе: Лекции Лабораторные занятия (ЛЗ) Самостоятельная работа (всего) Вид промежуточной аттестации Общая трудоемкость часы зачетные единицы 4 Курс 12 1 12 6 6 96 зачет 108 3 080200.62 ССО Всего часов Курс 8 1 8 6 6 96 зачет 108 4 4 100 зачет 108 4 4 100 зачет 108 3 3 3 5. Содержание разделов дисциплины 1. Предмет и история общей теории систем. Предпосылки возникновения общей теории систем. Проблема языка междисциплинарного обмена знаниями. Определения понятия «система». Категории «событие», «явление», «поведение», «фазовое пространство». Методы теории систем. Эволюция понятия «система». История становления системных воззрений. Возникновение, современное состояние и перспективы развития теории систем. 2. Системы и их свойства. Декомпозиция и агрегирование систем. Подходы к определению системы. Способы описания и характерные признаки систем. Классификация систем. Элементы и подсистемы. Установление границ системы. Цели и задачи системы. Структура системы. Свойства систем: структурные, динамические. Инерционность систем. Двойственность свойств сложных систем. Оценка свойств систем. Сложность систем. Особенности сложных систем. Проблема анализа сложной системы. Алгоритм анализа. Декомпозиция систем: генерирование и отбор вариантов решений. Построение дерева целей. Алгоритм декомпозиции. Применение морфологического анализа при построении декомпозиционного дерева. Агрегирование систем. 3. Этапы системного анализа. Разработки методики системного анализа. Формулировка проблемы. Выявление целей. Формирование критериев. Генерирование альтернатив. Разработка алгоритма проведения системного анализа. Реализация результатов системных исследований. Применение методов системного анализа к исследованию социальных и экономических систем. Применение методов системного анализа в управлении. Системный анализ управления проектами. Перспективы развития системного анализа. 4. Информационное обеспечение системного анализа. Роль информации в решении системных проблем. Тип информационной среды: определенность, риск, неопределенность, нечеткость. Количество информации как мера организованности системы и мера уменьшения разнообразия. Влияние информации на живучесть системы. Факторы, которые необходимо учитывать при проведении изменений в системе. Оптимальное дозирование управляющих воздействий. Закон необходимости разнообразия У. Эшби. 5. Системное моделирование. Моделирование как способ существования сознания. Роль моделирования в исследовании систем. Общие свойства моделей. Типы моделей. Соотношение эксперимента и модели. Теоретико-множественные отношения как базис количественного описания моделей. Принципы отбора, используемые при моделировании на разных уровнях организации систем. Физические и критериальные ограничения. Механизмы 5 поддержки равновесия в системах: энтропийный, гомеостатический, морфогенетический. Роль обратной связи и информации в поддержании стабильности систем. Гомоморфизм — методологическая основа метода моделирования. Формы представления систем и соответствующие им математические методы. Принцип полного использования информации в моделировании экономических и информационных систем. Понятие об имитационном моделировании. Основное предположение имитационного моделирования. Организация и постановка компьютерного эксперимента на имитационной модели. Модель как средство экономического анализа. Принципы разработки аналитических экономико-математических моделей. Моделирование информационных систем: цели, методы, апробация. 6. Математические методы в теории систем: экстремальные задачи на графах и теория расписаний, линейное программирование, дискретное программирование. Математическое описание системы на языке теории множеств. Методы изучения структуры системы: топологический анализ, понятие покрытия (разбиения) и иерархии. Задачи сетевого планирования, определение критических путей и резервов времени. Частные и общие задачи теории расписаний. Алгоритмы построения расписаний. Каноническая форма задачи оптимизации линейной целевой функции, алгоритм симплекс-метода в табличной и матричной форме, его геометрическая интерпретация. Двойственность в задачах линейного программирования. Методы решения целочисленных задач. Метод ветвей и границ и его применение для решения задач: о рюкзаке, о назначении, о коммивояжере, о размещении, о покрытии, а также целочисленных задач линейного программирования. 7. Принятие решений в сложных системах. Основные понятия, характеризующие процесс принятия решений. Подходы к принятию решений. Структура процесса принятия решений. Формализация задачи принятия решений. Классификация задач принятия решений в зависимости от различных факторов. Типы критериев принятия решений в системах. Виды оценок, используемых при определении значений критериев. Меры информации, применяемые при различных типах исходов. Задача принятия решения в общей теории систем. Методы описания выбора (критериальный метод, бинарные отношения, функции выбора). Современные вычислительные методы теории принятия решений. Групповой выбор. Выбор в условиях неопределенности (игровые методы). Выбор в условиях статистической неопределенности. Выбор в условиях нечеткой неопределенности. Экспертный выбор. 6 6. Общие методические указания по изучению дисциплины Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных работ. При работе над учебником следует воспроизводить на бумаге в форме конспекта основные моменты рассматриваемого вопроса программы, обращая особое внимание на определение основных понятий, формулировки теорем, формулы. Работа над учебником должна сопровождаться решением задач. Если в процессе изучения материала по учебнику или при решении задач возникают трудности, можно обратиться к преподавателю кафедры естественнонаучных и гуманитарных дисциплин для получения устной или письменной консультации. В случае письменной консультации следует точно указать характер затруднения, полное название учебника или задачника, где находится непонятный вопрос или задача, год издания и страницу. В соответствии с действующими учебными планами студентызаочники изучают курс системного анализа в течение первого курса и выполняют одну контрольную работу. Контрольная работа выполняется на первом курсе после изучения тем 1—7. При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями: 1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, номер контрольной работы, домашний адрес студента. 2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие. 3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем. 4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах. 5. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3—4 см для замечаний преподавателя. 6. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная контрольная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена. 7 7. Получив прорецензированную работу (как зачтенную, так и незачтенную), студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу. 8. Студент выполняет вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть нечетное число (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1. Если предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное (21 4, 6, 8) или ноль, то номера задач приводятся в таблице 2. Таблица 1. Номер варианта Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 0 Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 42 44 46 48 50 41 43 45 47 49 60 58 56 54 52 51 53 55 59 57 Таблица 2. Номер варианта Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 0 Номер задания 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 32 34 36 38 40 8 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 1. ТЕОРИЯ ГРАФОВ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ Граф – это совокупность двух множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества ребер А. Каждый элемент вершины есть упорядоченная пара и элементов множества , называются концевыми точками или концами ребра а. Граф называется конечным, если множества R и конечны. Это определение графа должно быть дополнено в одном важном отношении. В определении ребра можно принимать или не принимать во внимание порядок расположения двух его концов. Если этот порядок несущественен, т. е. если , то говорят, что a есть неориентированное ребро; если же этот порядок существенен, то a называется ориентированным ребром (ориентированное ребро часто называется дугой). В последнем случае вершиной, а называется также начальной – конечной вершиной ребра a. Граф называется неориентированным, если каждое его ребро не ориентировано, и ориентированным, если ориентированы все его ребра. В ряде случаев естественно рассматривать смешанные графы, имеющие как ориентированные, так и неориентированные ребра. Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. Она обычно считается неориентированной. Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой. Вершина, не инцидентная никакому ребру, называется изолированной. Граф, состоящий только из изолированных 9 вершин, называется нуль-графом. Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными. Число ребер, инцидентных одной вершине через , будем обозначать . Это число называется локальной степенью или просто степенью графа в вершине . В случае ориентированного графа G обозначим через число ребер, соответственно выходящих из вершины и и входящих в степенями G в . Эти числа называются локальными . Если все числа конечны, то граф называется локально-конечным. Вершина степени 1 называется висячей. Вершина степени 0 называется изолированной. Рисунок 1. На рис. 1 ребро и – параллельные ребра, инцидентны друг другу; – смежные вершины, смежные вершины; степень вершины вершина, – петля; вершина равна трем, и – – висячая – изолированная. Т е о р е м а 1. В графе G сумма степеней всех его вершин – число четное, равное удвоенному числу ребер графа: число вершин графа, m – число его ребер. 10 , где n – Т е о р е м а 2. Число нечетных вершин любого графа, т. е. вершин, имеющих нечетную степень, четно. Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром и он не содержит параллельных ребер. Дополнением графа G называется граф с теми же вершинами, что и граф G и содержащий только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получился полный граф. Граф G называется плоским, если он может быть изображен на плоскости так, что все пересечения ребер являются его вершинами. Рисунок 2. На рис. 2 изображены следующие графы: вершинами, дополнение графа – полный граф с пятью – некоторый граф, имеющий пять вершин, – . 1.2. СВЯЗНОСТЬ Пусть G – неориентированный граф. Маршрутом в G называется такая конечная или бесконечная последовательность ребер , (1) что каждые два соседних ребра и имеют общую концевую точку. Таким образом, можно записать . (2) Одно и то же ребро а может встретиться в маршруте несколько раз. Если в (1) нет ребер, предшествующих 11 , то называется начальной вершиной S, а если нет ребер, следующих за конечной вершиной S. Любая вершина соседним ребрам и , то называется в (2), принадлежащая двум , называется внутренней, или промежуточной, вершиной. Маршрут называется нетривиальным, если он содержит хотя бы одно ребро. Если маршрут S имеет как начальную вершину вершину , так и конечную , то можно записать (3) и называть и концевыми точками или концами маршрута S. Будем говорить, что S есть маршрут длины n, соединяющий Если и . , то маршрут будет называться циклическим. Маршрут называется цепью, а циклический маршрут – циклом, если каждое его ребро встречается в нем не более одного раза; вершины в цепи могут повторяться и несколько раз. Нециклическая цепь называется простой цепью, если в ней никакая вершина не повторяется. Цикл с концом называется простым циклом, если не является в нем промежуточной вершиной и никакие другие вершины не повторяются. Т е о р е м а 3. Для того чтобы граф G представлял собой простой цикл, необходимо и достаточно, чтобы каждая его вершина имела степень 2. Для ориентированного графа можно вводить как неориентированные маршруты, цепи и простые цепи, не принимая во внимание ориентации ребер, так и ориентированные маршруты (цепи, простые цепи), в которых все ребра (2) проходятся в направлении их ориентации. Ориентированную цепь ориентированный цикл – контуром. 12 называют также путем, а Пусть граф G – неориентированный. Две вершины и называются связанными, если существует маршрут вида (1) с концами и . Граф называется связным, если любая пара вершин связана. В противном случае он является несвязным. Любой несвязный граф является совокупностью связных графов, которые обладают тем свойством, что никакая вершина одного из них не связана путем ни с какой вершиной другого. Каждый из этих графов называется компонентой графа G. Пусть G – связный неориентированный граф. Так как две любые вершины и и связаны, существуют простые цепи с концами . Длины этих простых цепей являются неотрицательными числами. Следовательно, между и должны существовать цепи наименьшей длины. Эта наименьшая длина называется расстоянием и . Допустим, по определению, = 0. Для конечных связных графов можно также ввести протяженность вершинами и между между двумя как длину самой длинной связывающей их простой цепи. 1.3. ПОДГРАФЫ Граф и называется подграфом графа являются подмножествами R и , если , причем ребро содержится в только в том случае, если его концевые вершины содержатся в Пусть –некоторое и пусть подмножество множества . вершин графа – множество всех ребер графа G, концевые вершины 13 которых входят в . Тогда граф называется вершинно- порожденным подграфом графа G. Обозначим через подмножество множества ребер графа G и пусть вершин графа G, инцидентных ребрам из некоторое есть множество всех . Тогда граф называется реберно-порожденным подграфом графа G. Рисунок 3. На рис. 3 изображены вершинно-порожденный подграф представленного на рис. 11.1 (множество вершин порожденный подграф ребер , ), и реберно– того же графа G (того же графа G ( множество ). 1.4. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ Объединением граф графов и называется , множество вершин которого есть объединение множеств вершин графов и , а множество ребер является объединением множеств ребер этих графов Пересечением графов и множество вершин которого Кольцевой суммой . называется граф , , а множество ребер графов и называется , порожденный на множестве ребер на множестве ребер, присутствующих либо в принадлежащих их пересечению 14 . граф , т. е. , либо в , но не Рисунок 4. На рис. 4 изображены графы , . 1.5. ЭЙЛЕРОВЫ И ГАМИЛЬТОНОВЫ ГРАФЫ Эйлеровым циклом (путем) графа называется цикл (путь), содержащий все ребра графа ровно один раз. Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом. Т е о р е м а 4. Граф G обладает эйлеровым циклом с концами и тогда и только тогда, когда G – связный и , – единственные его вершины нечетной степени. Т е о р е м а 5. Граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда G – связный и все его вершины имеют четную степень. Гамильтоновым циклом (путем) графа G называется цикл (путь), проходящий через каждую вершину G в точности по одному разу. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым. Критерий существования гамильтонова цикла в произвольном графе G еще не найден. Достаточным условием существования гамильтонова цикла является полнота графа G. 15 Рисунок 5. Рисунок 6. На рис. 5 граф G не является эйлеровым (вершина инцидентна только одному ребру) и не является гамильтоновым, но обладает эйлеровым путем . Граф с концевыми вершинами изображенный на рис. является 6 и эйлеровым (последовательность ребер образует эйлеров цикл). 1.6. МАТРИЦЫ ГРАФОВ Граф может быть задан разными способами: рисунком, перечислением вершин и ребер (или дуг) и т. д. Одним из самых удобных способов является задание графа с помощью матрицы. Определение. Матрица смежности простого графа G (V , E ) , V n 1, v и v j смежны, Ann ( a i , j ) , где ai , j i иначе; 0, Свойства матрицы смежности: Симметричность. Элементы главной диагонали ai , j 0, i j . Число единиц в i ой строке ( i ом столбце) равно d (vi ) . Диагональный элемент А2 равен d (vi ) . А произвольный элемент матрицы A l равен числу маршрутов длины l , соединяющих vi и v j . Определение. Матрица инциденций простого графа 1, v и e j инцидентны bi , j i иначе 0, Свойства матрицы инциденций: В каждом столбце ровно 2 единицы. Число единиц в строке равно степени вершины. 16 G(V , E ), V n, E m, B bi , j nm Пример: Матрица смежности для графа на рис. 7 0 1 1 0 А 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Матрица инциденций для графа на рис. 7 1 1 0 0 В 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.7. ПОТОКИ В СЕТЯХ Сетью называется граф, элементам которого поставлены в соответствие некоторые параметры. Далее элементы множества R будем называть узлами, а множества некоторой сети поставлено в соответствие неотрицательное (действительное) число дуги . Функция – дугами. Пусть каждой дуге , называемое пропускной способностью , отображающая множество в множество неотрицательных чисел, называется функцией пропускной способности. Пусть s и t – два различных узла из R. Стационарный поток величины v из s в t в сети множество есть функция f, отображающая множество А в неотрицательных чисел, уравнениям и неравенствам 17 удовлетворяющая линейным (14.4) (14.5) где («после x»), («перед х»). Будем называть узел s – источником, узел t – стоком, а остальные узлы – промежуточными. Если дан поток f, то число называется дуговым потоком или потоком по дуге . Поскольку и удовлетворяют условиям (14.4) и (14.5), вопрос о существовании потока не возникает. Система уравнений (14.4) избыточна, так как складывая все строки ее матрицы, мы получаем нулевой вектор. Таким образом, не нарушая общности, можно отбросить одно из уравнений системы. Потоком в сети назовем функцию f, сопоставляющую каждому ребру сети целое число и обладающую следующими свойствами: (косо симметрия), (допустимость). 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Среди оптимизационных задач в теории принятия решений наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами. Начнем с примера (см. [2]). Производственная задача. Цех может производить стулья и столы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола - 20 единиц (футов красного дерева). Стул требует 10 человекочасов, стол - 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула - 45 долларов США, при производстве стола - 80 долларов США. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль? Обозначим: Х1 - число изготовленных стульев, Х2 - число 18 сделанных столов. Задача оптимизации имеет вид: 45 Х1 + 80 Х2 → max , 5 Х1 + 20 Х2 ≤ 400 , 10 Х1 + 15 Х2 ≤ 450 , Х1 ≥ 0 , Х2 ≥ 0 . В первой строке выписана целевая функция - прибыль при выпуске Х1 стульев и Х2 столов. Ее требуется максимизировать, выбирая оптимальные значения переменных Х1 и Х2 . При этом должны быть выполнены ограничения по материалу (вторая строчка) - истрачено не более 400 футов красного дерева. А также и ограничения по труду (третья строчка) - затрачено не более 450 часов. Кроме того, нельзя забывать, что число столов и число стульев неотрицательны. Если Х1 = 0, то это значит, что стулья не выпускаются. Если же хоть один стул сделан, то Х1 положительно. Но невозможно представить себе отрицательный выпуск Х1 не может быть отрицательным с экономической точки зрения, хотя с математической точки зрения такого ограничения усмотреть нельзя. В четвертой и пятой строчках задачи и констатируется, что переменные неотрицательны. Условия производственной задачи можно изобразить на координатной плоскости. Будем по горизонтальной оси абсцисс откладывать значения Х1 , а по вертикальной оси ординат - значения Х2 . Тогда ограничения по материалу и последние две строчки оптимизационной задачи выделяют возможные значения (Х1 , Х2) объемов выпуска в виде треугольника (рис.1). Таким образом, ограничения по материалу изображаются в виде выпуклого многоугольника, конкретно, треугольника. Этот треугольник получается путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей второй строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х1, соответствующую стульям, в точке (80,0). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление стульев, то будет изготовлено 80 стульев. Та же прямая пересекает ось Х2, соответствующую 19 столам, в точке (0,20). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление столов, то будет изготовлено 20 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, а не равенство - материал останется. Аналогичным образом можно изобразить и ограничения по труду (рис.2). Таким образом, ограничения по труду также изображаются в виде треугольника. Этот треугольник также получается путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей третьей строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х1, соответствующую стульям, в точке (45,0). Это означает, что если все трудовые ресурсы пустить на изготовление стульев, то будет сделано 45 стульев. Та же прямая пересекает ось Х2, соответствующую столам, в точке (0,30). Это означает, что если всех рабочих поставить на изготовление столов, то будет сделано 30 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, а не равенство - часть рабочих будет простаивать. Мы видим, что очевидного решения нет - для изготовления 80 стульев есть материал, но не хватает рабочих рук, а для производства 30 столов есть рабочая сила, но нет материала, Значит, надо изготавливать и то, и другое. Но в каком соотношении? Чтобы ответить на этот вопрос, надо "совместить" рис.1 и рис.2, получив область возможных решений, а затем проследить, какие значения принимает целевая функция на этом множестве (рис.3). 20 Таким образом, множество возможных значений объемов выпуска стульев и столов (Х1 , Х2 ), или, в других терминах, множество А, задающее ограничения на параметр управления в общей оптимизационной задаче, представляет собой пересечение двух треугольников, т.е. выпуклый четырехугольник, показанный на рис.3. Три его вершины очевидны - это (0,0), (45,0) и (0,20). Четвертая - это пересечение двух прямых - границ треугольников на рис.1 и рис.2, т.е. решение системы уравнений 5 Х1 + 20 Х2 = 400 , 10 Х1 + 15 Х2 = 450 . Из первого уравнения: 5 Х1 = 400 - 20 Х2 , Х1 = 80 - 4 Х2 . Подставляем во второе уравнение: 10 (80 - 4 Х2) + 15 Х2 = 800 - 40Х2 + 15 Х2 = 800 - 25 Х2 = 450, следовательно, 25 Х2 = 350, Х2 = 14, откуда Х1 = 80 - 4 х 14 = 80 -56 = 24. Итак, четвертая вершина четырехугольника - это (24, 14). Надо найти максимум линейной функции на выпуклом многоугольнике. (В общем случае линейного программирования максимум линейной функции на выпуклом многограннике, лежащем в конечномерном линейном пространстве.) Основная идея линейного программирования состоит в том, что максимум достигается в вершинах многоугольника. В общем случае - в одной вершине, и это - единственная точка максимума. В частном - в двух, и тогда отрезок, их соединяющий, тоже состоит из точек максимума. Целевая функция 45 Х1 + 80 Х2 принимает минимальное значение, равное 0, в вершине (0,0). При увеличении аргументов эта функция увеличивается. В вершине (24,14) она принимает значение 2200. При этом прямая 45 Х1 + 80 Х2 = 2200 проходит между прямыми ограничений 5 Х1 + 20 Х2 = 400 и 10 Х1 + 15 Х2 = 450, пересекающимися в той же точке. Отсюда, как и из непосредственной проверки двух оставшихся вершин, 21 вытекает, что максимум целевой функции, равный 2200, достигается в вершине (24,14). Таким образом, оптимальный выпуск таков: 24 стула и 14 столов. При этом используется весь материал и все трудовые ресурсы, а прибыль равна 2200 долларам США. Двойственная задача. Каждой задаче линейного программирования соответствует так называемая двойственная задача. В ней по сравнению с исходной задачей строки переходят в столбцы, неравенства меняют знак, вместо максимума ищется минимум (или наоборот, вместо минимума максимум). Задача, двойственная к двойственной - эта сама исходная задача. Сравним исходную задачу (слева) и двойственную к ней (справа): 45 Х1 + 80 Х2 → max , 400 W1 + 450 W2 → min , 5 Х1 + 20 Х2 ≤ 400 , 5 W1 + 10 W2 ≥ 45, 10 Х1 + 15 Х2 ≤ 450 , 20 W1 + 15 W2 ≥ 80, Х1 ≥ 0 , W1 ≥ 0, Х2 ≥ 0 . W2 ≥ 0. Почему двойственная задача столь важна? Можно доказать, что оптимальные значения целевых функций в исходной и двойственной задачах совпадают (т.е. максимум в исходной задаче совпадает с минимумом в двойственной). При этом оптимальные значения W1 и W2 показывают стоимость материала и труда соответственно, если их оценивать по вкладу в целевую функцию. Чтобы не путать с рыночными ценами этих факторов производства, W1 и W2 называют "объективно обусловленными оценками" сырья и рабочей силы. Линейное программирование как научно-практическая дисциплина. Из всех задач оптимизации задачи линейного программирования выделяются тем, что в них ограничения - системы линейных неравенств или равенств. Ограничения задают выпуклые линейные многогранники в конечном линейном пространстве. Целевые функции также линейны. Впервые такие задачи решались советским математиком Л.В. Канторовичем (1912-1986) в 1930-х годах как задачи производственного менеджмента с целью оптимизации организации производства и производственных процессов, например, процессов загрузки станков и раскройки листов материалов. После второй мировой войны аналогичными задачами занялись в США. В 1975 г. Т. Купманс (19101985, родился в Нидерландах, работал в основном в США) и академик АН СССР Л.В. Канторович были награждены Нобелевскими премиями по экономике. Рассмотрим несколько задач линейного программирования. Задача об оптимизации смеси (упрощенный вариант). На химическом комбинате для оптимизации технологического процесса надо составить самую дешевую смесь, содержащую необходимое количество определенных веществ (обозначим их Т и Н). Энергетическая ценность 22 смеси (в калориях) должна быть не менее заданной. Пусть для простоты смесь составляется из двух компонентов - К и С. Сколько каждого из них взять для включения в смесь? Исходные данные для расчетов приведены в табл.3. Табл.3. Исходные данные в задаче об оптимизации смеси. Содержание Содержание Потребность в 1 унции К в 1 унции С Вещество Т 0,10 мг 0,25 мг 1,00 мг Вещество Н 1,00 мг 0,25 мг 5,00 мг Калории 110,00 120,00 400,00 Стоимость 3,8 4,2 1 унции, в центах Задача линейного программирования имеет вид: 3,8 К + 4,2 С → min , 0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00 , 1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00 , 110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00 , К≥0, С≥0. Ее графическое решение представлено на рис.4. Рис.4. Графическое решение задачи об оптимизации смеси. На рис.4 ради облегчения восприятия четыре прямые обозначены номерами (1) - (4). Прямая (1) - это прямая 1,00К + 0,25С = 5,00 (ограничение по веществу Н). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (5,0) на оси абсцисс и (0,20) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К, С) лежат выше прямой (1), в отличие от ранее рассмотренных случаев в предыдущей производственной задаче. 23 Прямая (2) - это прямая 110,00 К + 120,00 С = 400,00 (ограничение по калориям). Обратим внимание, что в области неотрицательных С она расположена всюду ниже прямой (1). Действительно, это верно при К=0, прямая (1) проходит через точку (0,20), а прямая (2) - через точку (0, 400/120). Точка пересечения двух прямых находится при решении системы уравнений 1,00 К + 0,25 С = 5,00 , 110,00 К + 120,00 С = 400,00 . Из первого уравнения К = 5 - 0,25 С. Подставим во второе: 110 (50,25 С) + 120 С = 400, откуда 550 - 27,5 С + 120 С = 400. Следовательно, 150 = - 92,5 С, т.е. решение достигается при отрицательном С. Это и означает, что при всех положительных С прямая (2) лежит ниже прямой (1). Значит, если выполнено ограничения по Н, то обязательно выполнено и ограничение по калориям. Мы столкнулись с новым явлением некоторые ограничения с математической точки зрения могут оказаться лишними. С экономической точки зрения они необходимы, отражают существенные черты постановки задачи, но в данном случае внутренняя структура задачи оказалась такова, что ограничение по калориям не участвует в формировании допустимой области параметров и нахождении решения. Прямая (4) - это прямая 0,1 К + 0,25 С = 1 (ограничение по веществу Т). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (10,0) на оси абсцисс и (0,4) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К,С) лежат выше прямой (4), как и для прямой (1). Следовательно, область допустимых значений параметров (К, С) является неограниченной сверху. Из всей плоскости она выделяется осями координат (лежит в первом квадранте) и прямыми (1) и (4) (лежит выше этих прямых). Область допустимых значений параметров (К, С) можно назвать "неограниченным многоугольником". Минимум целевой функции 3,8 К + 4,2 С может достигаться только в вершинах этого "многоугольника". Вершин всего три. Это пересечения с осями абсцисс (10,0) и ординат (0,20) прямых (1) и (4) (в каждом случае из двух пересечений берется то, которое удовлетворяет обоим ограничениям). Третья вершина - это точка пересечения прямых (1) и (4), координаты которой находятся при решении системы уравнений 0,10 К + 0,25 С = 1,00 , 1,00 К + 0,25 С = 5,00 . Из второго уравнения К = 5 - 0,25 С, из первого 0,10 (5 - 0,25 С) + 0,25 С = 0,5 - 0,025 С + 0,25 С = 0,5 + 0,225 С = 1, откуда С = 0,5/0,225 = 20/9 и К = 5 - 5/9 = 40/9. Итак, А = (40/9; 20/9). Прямая (3) на рис.4 - это прямая, соответствующая целевой функции 3,8 К + 4,2 С . Она проходит между прямыми (1) и (4), задающими ограничения, и минимум достигается в точке А, через которую и проходит прямая (3). Следовательно, минимум равен 3,8х40/9 + 4,2х20/9 = 236/9. Задача об оптимизации смеси полностью решена. 24 Двойственная задача, построенная по описанным выше правилам, имеет приведенный ниже вид (мы повторяем здесь и исходную задачу об оптимизации смеси, чтобы наглядно продемонстрировать технологию построения двойственной задачи): 3,8 К + 4,2 С → min , W1 + 5 W2 + 400 W3 → max , 0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00 , 0,1 W1 + 1,10 W2 + 110 W3 ≤ 3,8 , 1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00 , 0,25W1 + 0,25 W2 + 120 W3 ≤ 4,2 , 110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00 , W1 ≥ 0 , К≥0, W2 ≥ 0 , С≥0. W3 ≥ 0 . Минимальное значение в прямой задаче, как и должно быть, равно максимальному значению в двойственной задаче, т.е. оба числа равны 236/9. Интерпретация двойственных переменных: W1 - "стоимость" единицы вещества Т, а W2 - "стоимость" единицы вещества Н, измеренные "по их вкладу" в целевую функцию. При этом W3 = 0, поскольку ограничение на число калорий никак не участвует в формировании оптимального решения. Итак, W1 , W2 , W3 - это т.н. объективно обусловленные оценки (по Л.В. Канторовичу) ресурсов (веществ Т и Н, калорий). Планирование номенклатуры и объемов выпуска. Вернемся к организации производства. Предприятие может выпускать автоматические кухни (вид кастрюль), кофеварки и самовары. В табл.4 приведены данные о производственных мощностях, имеющихся на предприятии (в штуках изделий). Табл.4. Производственные мощности (в шт.) Кухни Кофеварки Самова ры Штамповка 20000 30000 12000 Отделка 30000 10000 10000 Сборка 20000 12000 8000 Объем выпуска Х1 Х2 Х3 Удельная 15 12 14 прибыль (на одно изделие) При этом штамповка и отделка проводятся на одном и том же оборудовании. Оно позволяет штамповать за заданное время или 20000 кухонь, либо 30000 кофеварок, либо и то, и другое, не в меньшем количестве. А вот сборка проводится на отдельных участках. Задача линейного программирования имеет вид: Х1 ≥ 0 , Х2 ≥ 0 , Х3 ≥ 0 , (0) Х1 / 200 + Х2 / 300 + Х3 / 120 ≤ 100 , (1) Х1 / 300 + Х2 / 100 + Х3 / 100 ≤ 100 , (2) Х1 / 200 ≤ 100 , (3) Х2 / 120 ≤ 100 , (4) 25 Х3 / 80 ≤ 100 , (5) F = 15 Х1 + 12 Х2 + 14 Х3 → max . Здесь: (0) - обычное в экономике условие неотрицательности переменных, (1) - ограничение по возможностям штамповки (выраженное для облегчения восприятия в процентах), (2) - ограничение по возможностям отделки, (3) - ограничение по сборке для кухонь, (4) - то же для кофемолок, (5) - то же для самоваров (как уже говорилось, все три вида изделий собираются на отдельных линиях). Наконец, целевая функция F - общая прибыль предприятия. Заметим, что неравенство (3) вытекает из неравенства (1), а неравенство (4) - из (2). Поэтому неравенства (3) и (4) можно сразу отбросить. Отметим сразу любопытный факт. Как будет установлено, в оптимальном плане Х3 = 0, т.е. самовары выпускать невыгодно. 26 ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Задание №1. 1. История теории систем и системного анализа. 2. Предмет системного анализа. 3. Понятие о системе. 4. Система и среда. 5. Понятия, характеризующие строение системы. 6. Понятия, характеризующие функционирование и развитие системы. 7. Виды и формы представления структуры системы. 8. Многоуровневые иерархические структуры 9. Классификация систем. 10.Закономерности систем. 11.Закономерности целеобразования. 12.Проблема принятия решения. 13.Подходы к анализу и проектированию систем. 14.Классификация методов моделирования систем. 15.Методы формализованного представления систем. 16.Методы активизации использования интуиции и опыта специалистов. 17.Понятие о методике системного анализа. 18.Проблемы формулирования цели при управлении развивающимися системами. 19.Логарифмический критерий оценки экономической системы. 20.Методика проектирования и развития системы управления предприятием (организацией). 27 Задание №2. Графы G1 и G2 заданы матрицами смежности А и В соответственно. Требуется: a) Построить геометрические изображения графов G1 и G2; b) Найти степени вершин графов G1 и G2; c) Задать графы G1 и G2 матрицами инцидентности; d) Найти матрицу смежности пересечения графов G1 и G2, построить чертеж; e) Найти матрицу смежности объединения графов G1 и G2, построить чертеж; f) Найти матрицу смежности дополнения графа G1 и построить граф ̅̅̅ 𝐺1 . 0 1 0 A 0 21. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 A 1 22. 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 A 0 23. 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 B 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 28 0 0 0 A 0 24. 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 B 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 A 0 25. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 B 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 A 0 26. 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 A 0 27. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 , 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 29 0 1 0 A 0 28. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 B 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 A 1 29. 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 A 0 30. 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 30 Задание №3. Неориентированный граф G содержит 10 вершин. Расстояния между вершинами заданы в таблице 1. Найти минимальное остов-дерево. Сделать чертеж. 34 35 36 37 38 длина длина длина длина длина 1 2 4 4 3 6 10 6 4 1 3 7 5 9 9 8 3 4 6 6 7 8 12 10 2 10 2 5 12 7 8 15 6 3 3 9 9 11 9 12 8 6 9 11 14 13 15 17 5 9 10 8 14 10 16 17 2 1 1 5 3 7 7 6 1 2 8 4 3 6 14 6 3 4 6 6 7 8 12 10 6 6 5 9 12 11 11 15 2 3 1 5 5 7 7 8 4 1 3 7 5 9 9 8 7 4 7 10 8 12 13 14 9 2 3 12 11 14 9 14 1 7 2 4 8 6 8 11 5 5 7 8 10 10 13 13 10 3 5 13 13 15 11 16 3 8 4 6 5 8 10 14 31 39 40 длина 33 длина 32 длина 2 4 6 10 3 4 5 5 7 8 6 9 6 9 7 10 9 9 10 31 длина конец 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 номер задания длина начало ребро 5 3 4 1 7 7 13 9 6 3 9 12 12 11 4 5 5 7 7 7 9 8 6 1 4 1 7 8 5 2 10 6 8 9 6 5 11 9 1 1 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 9 конец начало Задание №4. Граф состоит из 10 вершин. Расстояния между вершинами заданы в таблице 2. Найти кратчайший путь между вершинами 1 и 10. Сделать чертеж. 2 5 3 4 4 6 6 7 7 9 8 10 10 10 Длина ребра 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1 1 3 3 6 7 8 8 9 9 9 9 10 10 17 11 19 10 15 20 15 4 13 7 12 9 1 2 20 13 14 7 10 12 7 19 7 4 10 10 7 13 12 10 8 9 6 11 7 1 14 2 17 16 2 3 17 13 1 12 7 1 1 8 16 17 10 9 15 11 9 2 13 17 17 2 16 8 14 18 14 15 14 2 14 12 15 14 13 8 1 13 18 19 15 7 4 20 13 13 9 11 5 10 12 14 7 20 2 7 11 16 10 14 20 14 3 13 5 3 19 17 3 4 13 18 4 13 1 6 19 18 2 3 16 3 16 1 10 14 32 Задание №5. 51-60. На три станции A1 , A1 , A3 поступил однородный груз в количестве: а1 - на станцию А1 , а2 - на станцию А2 , а3 - на станцию А3 . Полученный груз требуется перевезти в 5 пунктов: b1 – в пункт В1, b2 – в пункт В2, b3 – в пункт В3, b4 – в пункт В4, b5 – в пункт В5. Расстояния между пунктами отправления и пунктами назначения указаны в матрице расстояний Пункты отправле ния В1 В2 В3 В4 В5 А1 d11 d21 d31 d41 d51 А2 d21 d22 d23 d24 d25 А3 d31 d32 d33 d34 d35 Пункты назначения Стоимость перевозок пропорциональна количеству груза и расстоянию на которое этот груз перевозится. Спланировать перевозки так чтобы их стоимость была минимальной (ввиду пропорциональности затрат количеству груза и расстоянию достаточно минимизировать общий объем, выраженный в тонно-километрах). 51. a3=150 12 15 21 14 17 D 14 8 15 11 21 19 16 26 12 20 b1=180 b2=100 a1=200 a2=150 b3=70 b4=130 b5=110 52. a3=220 12 21 9 10 16 D 13 15 11 13 21 19 26 12 17 20 b1=180 b2=140 a1=300 a2=280 53. b4=12 b5=170 a3=150 12 8 21 10 15 D 13 4 15 13 21 10 16 26 17 20 b1=180 b2=120 a1=400 a3=350 13 9 5 11 17 D 14 5 12 14 22 20 17 13 18 21 b1=200 b2=170 a1=250 a2=200 54. b3=190 a2=250 b3=90 b3=230 b4=105 b4=225 b5=105 33 b5=175 55. a3=150 8 20 7 11 16 D 4 14 12 15 17 15 22 11 12 19 b1=160 b2=70 a1=150 a2=200 56. b1=170 b2=120 a1=150 a3=200 14 6 4 9 4 D 17 10 9 11 5 15 11 6 13 8 b1=180 b2=120 a1=250 a3=350 9 15 35 20 7 D 15 35 12 11 6 16 19 40 15 25 b1=300 b2=160 a1=150 a3=200 20 3 9 15 35 D 14 10 12 20 46 25 11 16 19 48 b1=100 b2=70 a1=280 a3=300 7 3 9 15 35 D 3 10 12 20 46 15 11 16 19 48 b1=190 b2=140 a2=400 59. a2=150 60. b5=100 a3=220 a2=250 58. b4=80 28 12 7 18 7 D 35 14 12 15 3 30 16 11 25 15 a1=280 a2=300 57. b3=90 a2=220 b3=190 b3=90 b3=220 b3=130 b3=180 b4=140 b5=180 b4=105 b5=105 b4=180 b5=140 b4=110 b4=120 b5=90 b5=170 34 Библиографический список Основная литература 1. Волкова, Виолетта Николаевна. Теория систем и системный анализ: учебник/ В. Н. Волкова, А. А. Денисов. - 2-е изд., перераб. и доп.. - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 616 с. 2. Давыдов, Иван Степанович. Информатика: учебное пособие/ И. С. Давыдов. - СПб.: Проспект Науки, 2009. - 480 с. 3. Гуда А.Н. Информатика. Общий курс: учебник/ А. Н. Гуда, М. А. Бутакова, Н. М. Нечитайло, А. В. Чернов. - 4-е изд.. - М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков К"; Ростов н/Д: Наука Спектр, 2011. - 400 с. 4. Степанов, Анатолий Николаевич. Информатика: учебник/ А. Н. Степанов. - 6-е изд.. - СПб.: Питер, 2010. - 720 с. 1. Акулич, Иван Людвигович. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие/ И. Л. Акулич. - 2-е изд., испр.. - СПб.: Лань, 2009. - 352 с. 2. Практикум по экономико-математическим методам и моделированию в землеустройстве./ Под ред. Волкова С.Н. – М.: Агропромиздат, 1991. – 256 с. 3. Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении материально-техническом снабжением. – М.: Высш. шк., 1990. – 208 с. 4. Тунеев М.М., Сухоруков В.Ф. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 144 с. 5. Высшая математика для экономистов./ Под ред. Кремера Н.Ш.-2-е изд., перераб. и доп. – М: Юнити, 2002. – 471 с. Дополнительная литература: 6. Нуреев, Рустем Махмутович. Экономика развития: модели становления рыночной экономики: учебник/ Р. М. Нуреев. - 2-е изд., перераб. и доп.. - М.: Норма; М.: Инфра-М, 2010. - 640 с. 7. Ясенев В.Н. Информационные системы и технологии в экономике [Электронный ресурс]/ В. Н. Ясенев. - 3-е изд., перер. и доп.. - Электрон. текстовые дан.. - М.: Юнити-Дана, 2011 эл. опт. диск (CD-ROM) 8. Голицына О.Л. Информационные системы. -М.: Форум, 2009.-496 с. 9. Информационные системы в экономике: учеб. пособие / Под ред. А. Н. Романова, Б. Е. Одинцова.- М.: Вузовский учебник, 2008.-411 с. 10. Практикум по социально-экономической статистике: учебнометодическое пособие/ ред. М. Г. Назарова. - М.: Кнорус, 2009. - 368 с. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы Поисковые системы: Yandex, Rambler, Google. Свободная энциклопедия Википедия (http://ru.wikipedia.org). 35 Оглавление ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА........................................................................ 3 1. Цели и задачи дисциплины ......................................................................... 3 2. Место дисциплины в структуре ООП ........................................................ 3 3. Компетенции студента, формируемые в результате освоения дисциплины. ...................................................................................................... 4 4. Структура дисциплины и виды учебной работы ...................................... 4 5. Содержание разделов дисциплины ............................................................ 5 6. Общие методические указания по изучению дисциплины ...................... 7 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ .................................................................................................................. 9 1. ТЕОРИЯ ГРАФОВ ..................................................................................... 9 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ .................................. 9 1.2. СВЯЗНОСТЬ ...................................................................................... 11 1.3. ПОДГРАФЫ....................................................................................... 13 1.4. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ......................................................... 14 1.5. ЭЙЛЕРОВЫ И ГАМИЛЬТОНОВЫ ГРАФЫ ................................. 15 1.6. МАТРИЦЫ ГРАФОВ........................................................................ 16 1.7. ПОТОКИ В СЕТЯХ ........................................................................... 17 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ................................................ 18 ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.................................................... 27 Библиографический список ............................................................................. 35 Оглавление ......................................................................................................... 36 36 Системный анализ: Методические указания и контрольные задания/Забаи.; Сост., О.Е. Колосова. Чита., 2014. 38 с. Предназначены для студентов 1 курса Табл. 6. Ил. А. Утверждены методической комиссией технологического факультета Рецензент: Ю.И. Щвецова старший преподаватель кафедры естественнонаучных и гуманитарных дисциплин ЗабАИ 37