43 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СВОЙСТВА ЖИВУЧЕСТИ

кибернетика
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СВОЙСТВА
ЖИВУЧЕСТИ БИНОМИАЛЬНЫХ СТРУКТУР*
Р.С. Судаков1, Н. Алымов2
Вычислительный центр РАН
2
Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина
1
GENERAL REGULARITIES OF BINOMIAL STRUCTURES
SURVIVAL PROPERTY
R.S. Sudakov, N. Alymov
В статье вводится понятие биномиальной структуры, впервые предлагается простой количественный критерий для оценки
ее живучести по результатам испытаний, а также выявляются
основные закономерности свойства живучести биномиальных
структур.
In the article the concept of a binomial structure is entered, a
simple quantitative criterion for an evaluation of its survival by results
of tests for the first time is offered, and also the general regularities of
binomial structures survival property emerge.
Под живучестью системы понимается ее свойство сохранять или восстанавливать свои функции
в условиях отказов части элементов и негативного
воздействия внешней среды.
Проблема оценки, контроля и обеспечения живучести сложных систем является весьма масштабной и является одним из актуальных направлений
прикладных исследований. Число работ по теории
живучести, посвященных ее количественной оценке по результатам испытаний, крайне ограничено,
что объясняется сложностью этой задачи, как в ее
постановочной части, так и в разработке методов
решения. Теория живучести находится в стадии
своего становления. Вместе с тем уже имеются
исследования [2–6], в которых формулируются
основные принципы теории живучести систем,
разрабатываются концепции и методология ее
построения. Однако в этих работах не ставился
вопрос о построении количественного критерия
живучести и оценки этого критерия по результатам испытаний, поскольку в них рассматривалась
система общего типа. В настоящей статье на основе
наших исследований [8, 10] рассматривается частный класс систем, называемых биномиальными
структурами. За счет сужения исходного понятия
системы удается предложить количественный критерий оценки ее живучести, поставить и решить
задачу оценки живучести по результатам испытаний, а также выявить основные закономерности
свойства живучести систем.
По мнению большинства исследователей, понятие живучести используется, как правило, для систем
со сложной структурой, содержащих большое число
элементов и функционирующих в условиях активно
противодействующей внешней среды.
Очевидно, что понятие живучести имеет самостоятельное значение. Его соотношение с понятием
надежности обсуждается в [3, 4]. Отметим, что надежность систем изучается для фиксированных в
технической документации параметров внешней
среды, в то время как живучесть систем исследуется с
учетом всевозможных значений этих параметров.
* Статья принята к печати 22.08.2006
ПОНЯТИЕ БИНОМИАЛЬНОЙ
СТРУКТУРЫ И УСЛОВИЕ ЖИВУЧЕСТИ
Под биномиальной структурой нами понимается система из n элементов, функционирующая на
заданном интервале времени [0,T] при выполнении
допущений схемы испытаний Бернулли. Считается,
что каждый элемент с номером i может находиться
на [0,T] в одном из двух состояний Ai или Аi (успех
или отказ). Состояния Ai считаются независимыми, и
поэтому элементы называются независимыми. Каждый из элементов имеет одну и ту же вероятность
p = P(Ai) = 1q успешной работы на [0,T]. Условие
обеспечения живучести биномиальной структуры
принимается нами в форме
r ≤ d,
(1)
где r и d – число элементов, выходящих из строя на
[0,T] и его максимально допустимое (критическое)
значение. Задача выбора критического числа d отказов еще не имеет общего решения. Вместе с тем
в ряде конкретных исследований уже делаются попытки определения этого значения [2].
Для биномиальной структуры принимается
допущение о том, что если r>d, то эта система не
обладает свойством живучести и не может выполнять свои функции на [0,T].
Многие объекты, обладающие свойством живучести, удовлетворяют допущениям понятия биномиальной структуры. В качестве примера приведем
фазированную антенную решетку. Элементы решетки
(излучатели) приближенно могут считаться независи-
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2007/2
43
кибернетика
мыми и имеющими одну и ту же вероятность p успешной работы на [0,T]. Одним из свойств фазированной
антенной решетки является высокая живучесть. Выход
из строя отдельных ее элементов (даже до 30%) не влияет на работу всей антенны [1]. Общее число элементов
может иметь порядок n =103÷105. Условие живучести
антенны формулируется в виде неравенства r ≤ d, где
r и d – число излучателей, выходящих из строя на [0,T]
и максимально допустимое (критическое) значение
величины r. Например, при n =103 условие живучести
может иметь вид r ≤ 300, или r/n ≤ qo, где qo = d/n= 0,3.
КРИТЕРИЙ ЖИВУЧЕСТИ
БИНОМИАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
В качестве критерия живучести сложной биномиальной структуры на заданном интервале
времени [0,T] в настоящей работе принимается
вероятность G выполнения условия живучести (1)
на [0,T]. В силу определения биномиальной структуры критерий G выражается с помощью значения
функции биномиального распределения в форме
она часто дает завышенные результаты, а это крайне
нежелательно при оценке живучести cистемы. Кроме
того, вычисление суммы большого числа слагаемых с
достаточной точностью при использовании приближения Пуассона является сложной задачей. Следуя
нашим работам [7, 10], покажем, что для критерия
G справедлива следующая оценка снизу:
(3)
где qo = d/n. Действительно, так как
где
уk =
,
то с учетом формулы бинома Ньютона получаем
В силу cоотношения (3) величина
G= P(r≤d) =
.
(2)
Здесь q = l p, а
– биномиальный коэффициент. При рассмотрении сложной биномиальной структуры может
использоваться критерий G = f (G1,G2,…,Gm), зависящий от критериев Gi живучести ее блоков.
ГАРАНТИРОВАННЫЙ КРИТЕРИЙ
ЖИВУЧЕСТИ
Пусть число элементов системы равно значению n = 1000, а критическое число отказов d = 300,
причем вероятность безотказной работы одного
элемента p = 0,9960. Тогда критерий живучести
рассматриваемой биномиальной структуры выражается в форме
,
а для вычисления G требуется вычисление большого
числа d =300 слагаемых в сумме. В силу накопления
погрешностей округления может возникнуть недопустимая ошибка при нахождении величины G.
Для оценки критерия можно G использовать приближение Пуассона вида
(4)
может рассматриваться как гарантированный критерий живучести биномиальной структуры.
Критерий G* живучести не требует вычисления
сумм и впервые позволяет в элементарной форме
найти оценку живучести биномиальной структуры,
в том числе и по результатам испытаний.
Пример 1. Для исходных данных биномиальной
структуры n = 1000, d =300 и p =0,9960 по формуле
(4) получаем следующий результат: G* = 0,9820, где
G* – гарантированный критерий живучести.
НОВЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ ЖИВУЧЕСТИ
ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ
При проведении расчета в примере 1 предполагалось, что вероятность p безотказной работы
элемента системы на [0,T] известна. Однако во
многих случаях такой информации не имеется, а
указанная вероятность оценивается по результатам испытаний. В таких случаях целесообразно
находить γ – нижнюю границу pн для параметра
p. Эта граница должна удовлетворять условию
P(pн≤p) ≥ γ , где γ – заданная доверительная вероятность. Покажем, что если найдена величина pн,
то γ – нижнюю границу Gн для критерия G можно
найти по формуле
(5)
Действительно, в силу монотонного возрастания по величине p критерия G* [6], а также из
неравенства (1) получаем:
Однако точность этой оценки еще не установлена. Проведенные нами расчеты показывают, что
44
P(Gн>G) ≤ P(Gн>G*) = P(pн>p) ≤ 1 γ, или P(Gн≤G) ≥ γ.
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2007/2
кибернетика
Отметим, что задача оценки живучести
сложных биномиальных структур по результатам
испытаний ранее не исследовалась.
Пример 2. Для исходных данных биномиальной
структуры n = 1000, d =300 проведено одно испытание
cистемы (N1 =1) на интервале времени [0,T], причем
из строя не вышел ни один элемент. Требуется найти
γ – нижнюю границу Gн для критерия живучести G,
если задано значение доверительной вероятности γ =
0,99. Для решения этой задачи учтем, что по условию
задачи элемент системы прошел N = N1·1000 = 1000
испытаний при числе отказов r1= 0. Найдем значение
γ – нижней границы pн для параметра p по формуле
из [5] вида pн = (1–γ)1/N, откуда pн =0,011/1000= 0,9950.
Из соотношения (5) получаем значение γ – нижней
границы Gн = 0,9710.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
СВОЙСТВА ЖИВУЧЕСТИ
Рассматривая выражение (5) можно придти к
следующим утверждениям, которые условно можно
назвать основными закономерностями биномиальных структур:
– при фиксированном числе n элементов в системе и
при фиксированной критической доле qo = d/n ее элементов, выбывающих из строя на [0,T], живучесть системы
возрастает с ростом вероятности p успешного функционирования на [0,T] каждого ее отдельного элемента;
– при фиксированных значениях параметров p
и qo живучесть системы убывает с ростом числа n
ее элементов;
– при фиксированных значениях параметров p
и n живучесть системы возрастает с увеличением
критической (максимально допустимой) доли qo ее
элементов, выбывающих из строя на [0,T].
На первый взгляд первое утверждение кажется
очевидным, так как принято считать, что живучесть
системы возрастает с ростом вероятности успешного функционирования p ее каждого элемента. Однако это верно лишь при фиксированных параметрах
n и qo. Если одновременно с ростом p увеличивается
и число n элементов или снижается допустимая доля
qo отказов элементов, то живучесть системы может
как возрастать, так и убывать. Аналогичные особенности имеют и остальные утверждения. Таким образом, если число элементов биномиальной структуры
возрастает, то для обеспечения живучести структуры необходимо либо повысить уровень вероятности
успешного функционирования каждого отдельного
элемента, либо за счет повышения восстановительных функций системы увеличить допустимый
уровень доли выбывающих элементов.
3. Волик Б.Г., Рябинин И.А. Эффективность,
надежность и живучесть управляемых систем. //
Автоматика и телемеханика. 1994. №12. C. 151–160.
4. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Предфрактальные
графы в проектировании и анализе сложных
структур. М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша
РАН, М., 2003. №10.
5. Малашенко Ю.Е., Новикова Н.М., Поспелова И.И.
Многокритериальный синтез потоковых сетей с
гарантией живучести. Изв. РАН. Теория и системы
управления. 2001. № 1.
6. Надежность и эффективность в технике.
Справочник. Т. 6 . //Под ред. Р.С. Судакова. М.:
Машиностроение, 1989. 423 с.
7. Судаков Р.С. Приложения биномиальной схемы
испытаний Бернулли. М.: Знание, 2006. 90 с.
8. Судаков Р.С. Простые методы прикладной теории
матриц. М.: Терра, 2005. 368 с.
9. Судаков Р.С. Теория испытаний технических систем.
М.: Машиностроение, 1988, 345 с.
10. Судаков Р.С., Алымов Н. Элементы теории
живучести сложных систем. М.: Знание, 2006. 145 с.
ЛИТЕРАТУРА
1. Антенные системы радиоэлектронной техники //Под
ред. Л.Н. Макарова. М.: Воениздат, 1993. 366 с.
2. Базыкин А.Д. Теории нелинейной динамики
взаимодействующих биологических популяций.
Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. 368 с.
ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
2007/2
45