ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МИКРОМАГНИТНЫХ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М. В. ЛОМОНОСОВА
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
На правах рукописи
СЕРГЕЕВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
МИКРОМАГНИТНЫХ СТРУКТУР
Специальность 01.04.11 – физика магнитных явлений
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
д.ф-м.н., доц. Пятаков А.П.
Москва – 2014
2
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1
4
Обзор литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2 Неоднородный магнитоэлектрический эффект . . . . . . . . . . .
16
1.3 Циклоидальные и геликоидальные спиновые структуры . . . . . .
19
1.3.1
Теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3.2
Примеры реальных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4 Доменные границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.4.1
Теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.4.2
Примеры реальных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.5 Структуры с цилиндрической симметрией . . . . . . . . . . . . . .
40
1.5.1
Теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.5.2
Примеры реальных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.6 Выводы из обзора литературы и постановка задачи . . . . . . . .
60
Глава 2
Геометрический анализ микромагнитной структуры доменных границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2 Метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.3 Доменная граница при H = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.3.1
Экспериментальные факты . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.3.2
Теоретическое описание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.4 Доменная граница при H 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.4.1
Экспериментальные факты . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.4.2
Теоретическое описание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Глава 3
Численное моделирование магнитоэлектрических свойств
доменных границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.2 Метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3
3.2.1
Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.2.2
Реализация алгоритма для микромагнитной задачи . . . .
86
3.3 Поверхностный электрический заряд доменных границ . . . . . .
91
3.3.1
Плотность свободной энергии . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.3.2
Влияние ромбической анизотропии . . . . . . . . . . . . . .
92
3.3.3
Влияние эффективного электрического поля . . . . . . . .
95
3.3.4
Результаты расчетов для реального образца . . . . . . . .
98
3.4 Рассмотрение альтернативной модели магнитоэлектрического взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Глава 4
Магнитоэлектрические свойства линейных и точечных
топологических дефектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Дефекты пониженной размерности внутри доменных границ . . . 112
4.2.1
Вертикальная блоховская линия . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2
Точка Блоха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 Зарождение скирмионов с помощью электрического поля . . . . . 121
4.3.1
Модель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2
Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Заключение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4
Введение
Актуальность работы. Данная работа посвящена изучению магнитоэлектрических свойств пространственно-неоднородных спиновых структур. В
магнитоупорядоченных средах сосуществуют и конкурируют различные взаимодействия между магнитными моментами: обменное взаимодействие нескольких типов, взаимодействие Дзялошинского-Мория, диполь-дипольное взаимодействие. Их совместное действие приводит к стабилизации разнообразных неоднородных спиновых структур. Среди них — протяженные пространственно-модулированные структуры, характеризующиеся одним или несколькими волновыми векторами; соразмерные структуры с пространственным периодом, кратным постоянной кристаллической решетки; скирмионы — двумерные цилиндрически-симметричные солитоны, стабилизированные взаимодействием Дзялошинского-Мория, и многие другие структуры.
Неоднородные спиновые структуры, интересные сами по себе, стали предметом пристального внимания после обнаружения в некоторых из них электрической поляризации. Ее появление обусловлено неоднородным магнитоэлектрическим эффектом, суть которого заключается в том, что электрическая поляризация может возникнуть в области магнитной неоднородности [1]. Возможность сосуществования намагниченности и электрической поляризации в одном
веществе устанавливает определенные требования к магнитной группе симметрии кристалла. Но эти требования могут быть удовлетворены и путем локального понижения симметрии за счет возникновения магнитной неоднородности,
что, во-первых, существенно расширяет класс веществ, в которых может быть
реализовано магнитоэлектрическое взаимодействие; во-вторых, обуславливает
сильную связь между электрической поляризацией и распределением вектора
намагниченности, открывающую возможности управления намагниченностью
с помощью электрического поля и электрической поляризацией — с помощью
магнитного [2].
Однако специфика механизмов, стабилизирующих перечисленные выше
спиновые структуры, такова, что они образуются лишь при температурах существенно ниже комнатной. В то же время при высоких температурах в магнитоупорядоченных средах существуют магнитные неоднородности, возникающие
5
между областями однородного распределения параметра порядка — доменные
границы [3]. Как правило, в силу стремления уменьшить поверхностную энергию, они являются плоскими, но обладают при этом богатой внутренней структурой, допускающей существование нескольких классов магнитных неоднородностей. Доменная граница характеризуется определенной киральностью, в зависимости от того, по или против часовой стрелки происходит в ней разворот
вектора намагниченности. Более того, участки с различной киральностью могут соседствовать в одной доменной границе. В этом случае они будут разделены “границей” пониженной размерности, называемой вертикальной блоховской
линией. Наконец, существует свобода и в выборе направления вектора намагниченности в блоховской линии, делающая возможным существование точки
Блоха — точечной “границы”, разделяющей разные участки вертикальной блоховской линии.
Электростатические свойства магнитных доменных границ были экспериментально обнаружены в пленках феррит-гранатов: границы смещались из
положения равновесия под действием неоднородного электрического поля, создававшегося заостренным электродом [4, 5]. Наиболее вероятным механизмом
возникновения электрической поляризации у доменных границ является неоднородный магнитоэлектрический эффект. В этом случае вертикальные блоховские линии и точки Блоха также могут обладать электрической поляризацией.
Актуальность данной работы связана с необходимостью построения теоретической модели наблюдаемого магнитоэлектрического поведения доменных границ, а также изучения электростатических свойств микромагнитных объектов,
экспериментальные исследования которых предстоят в будущем.
Целью диссертационной работы является теоретическое изучение электростатических свойств микромагнитных структур, обусловленных неоднородным магнитоэлектрическим эффектом. В работе решены следующие задачи:
1. Построение модели микромагнитной структуры доменной границы в пленке феррит-граната и расчет соответствующего распределения электрической поляризации.
2. Теоретический анализ влияния внешнего магнитного поля на микромагнитную структуру и на электростатические свойства доменных границ с
6
учетом одноосной, ромбической и кубической магнитной анизотропии.
3. Изучение распределения электрического заряда магнитных неоднородностей внутри доменных границ — вертикальной блоховской линии и точки
Блоха.
4. Доказательство возможности зарождения магнитного скирмиона с помощью электрического поля в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
1. Теоретически объяснены качественные особенности экспериментальных
зависимостей смещения границы под действием электрического поля от
напряженности внешнего магнитного поля.
2. Впервые рассчитано распределение объемной и поверхностной плотности
электрического заряда в скрученной доменной границе, распределение
вектора намагниченности в которой изменяется по толщине пленки под
действием полей размагничивания.
3. С помощью численного микромагнитного моделирования методом имитации отжига изучено распределение векторов намагниченности и электрической поляризации в доменной границе в пленке феррит-граната с
учетом наведенной магнитной анизотропии в присутствии внешнего магнитного поля.
4. Впервые рассчитаны величины полного поверхностного электрического
заряда, присущего вертикальной блоховской линии, и объемного заряда
точки Блоха. Методом непрерывных деформаций распределения вектора намагниченности установлено отсутствие связи между электрическим
зарядом точки Блоха и ее топологическим зарядом.
5. Путем численного моделирования впервые продемонстрирована возможность зарождения и стабилизации кирального магнитоэлектрического скирмиона с помощью электрического поля.
7
Практическая значимость работы обусловлена тем, что магнитоэлектрические свойства микромагнитных объектов открывают перспективы создания технологий хранения информации, характеризующихся высокой плотностью записи и малым энергопотреблением. Среди предложенных на сегодняшний день концепций устройств памяти присутствуют основанные на использовании как доменных границ, так и скирмионов. Однако для управления микромагнитными объектами традиционно используются электрические токи. Электростатические свойства доменных границ и других объектов, рассмотренные в
данной работе, делают возможным управление ими с помощью электрического
поля, что сопровождается меньшими энергозатратами.
Научные положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Характер зависимости плотности поверхностного электрического заряда
доменной границы от угла скручивания, обусловленного внешним магнитным полем.
2. Вид пространственного распределения плотности объемного и поверхностного электрических зарядов в скрученной доменной границе, вертикальной блоховской линии и точке Блоха.
3. Влияние параметров ромбической анизотропии Kr и ϕr на вид зависимости линейной плотности поверхностного электрического заряда доменной границы от напряженности внешнего магнитного поля, направленного
перпендикулярно плоскости границы. Здесь Kr — константа анизотропии,
а ϕr — угол между ортом анизотропии и нормалью к плоскости доменной
границы.
4. Линейный характер зависимости переходного значения напряженности
магнитного поля HxT от напряженности эффективного электрического поля E0 , характеризующего нарушение центральной симметрии в кристалле, где HxT — значение напряженности магнитного поля, при котором доменные границы различной киральности обладают равной энергией.
5. Возможность зарождения и стабилизации кирального магнитоэлектрического скирмиона с помощью электрического поля. Необходимая для этого
8
величина напряженности электрического поля может быть оценена по порядку величины как 106 В/см, что лежит в диапазоне экспериментально
достижимых значений.
Апробация результатов. Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были представлены на следующих конференциях:
1. XXI Международная конференция “Новое в магнетизме и магнитных материалах”, Москва, 2009.
2. XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов-2009”, Москва, 2009.
3. 12th International Ceramics Congress, Монтекатини-терме, Италия, 2010.
4. Euro-Asian Symposium on Magnetism: Nanospintronics, Екатеринбург, 2010.
5. Moscow International Symposium on Magnetism, Москва, 2011.
6. International School of Oxide Electronics, Франция, Каржез (о. Корсика),
2011.
7. XXII Международная конференция “Новое в магнетизме и магнитных материалах”, Астрахань, 2012.
Кроме того, изложенные в диссертации результаты неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры физики колебаний
физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Публикации. Основные результаты работы отражены в 14 публикациях,
в том числе в 5 статьях в рецензируемых научных журналах (в том числе 2
— из перечня ВАК) и 9 публикациях в сборниках тезисов докладов и трудов
международных конференций.
Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованностью сделанных допущений, согласием результатов, полученных в рамках
различных рассмотренных моделей, использованием апробированных численных методов и согласием полученных результатов с экспериментальными данными.
9
Личный вклад автора. Все оригинальные результаты, изложенные в
диссертационной работе, получены автором. Обсуждение результатов и подготовка публикаций осуществлялись совместно с соавторами.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 143
страницы, включающих 45 рисунков и 3 таблицы. Библиография содержит 113
наименований.
10
Глава 1
Обзор литературы
1.1
Введение
Электромагнетизм сегодня: геометрия, симметрия, топология
Тесная связь между физическими явлениями и геометрическими структурами была установлена Эйнштейном в Общей теории относительности: он
указал на эквивалентность сил гравитации и кривизны пространства-времени,
обусловленной присутствием массивных тел. В течение прошлого столетия идеи
геометризации — то есть поиска геометрических объектов, структура которых
отвечает физическим свойствам изучаемой системы — вошли в фундамент теоретической физики в виде так называемых калибровочных теорий. Ключевую
роль в них играет калибровочная симметрия, понимаемая как инвариантность
наблюдаемых физических величин относительно калибровочных преобразований полей [6]. Примером такой теории является электромагнетизм Максвелла:
~ r, t) определен с точностью до градиента некомагнитный вектор-потенциал A(~
торой функции ∇f (~r, t), а скалярный электрический ϕ(~r, t) — с точностью до
производной этой функции по времени ∂t f (~r, t). Калибровочное преобразование
потенциалов следующего вида:
~ r, t) → A
~ 0 (~r, t) = A(~
~ r, t) + ∇f (~r, t)
A(~
ϕ(~r, t) → ϕ 0 (~r, t) = ϕ(~r, t) − ∂t f (~r, t)
никак не отразится на конфигурации наблюдаемого электромагнитного поля.
Долгое время электромагнитные потенциалы рассматривались всего лишь
как удобный инструмент описания полей, а калибровочная инвариантность —
как занятная математическая черта теории. Но это оказалось справедливо только в классическом мире. Я. Ааронов и Д. Бом (Y. Aharonov & D. Bohm) предложили эксперимент на основе двухщелевой интерференции отдельных электронов, показывающий, что в квантовой механике вектор-потенциал является
более фундаментальным физическим объектом, чем магнитное поле [7]. Если
11
в области между щелями интерферометра поместить соленоид, содержащий
магнитное поле, интерференционная картина сместится — несмотря на то, что
в области пространства, доступной для электрона, напряженность магнитного
поля равна нулю. Дело в том, что волновая функция электрона, движущегося
в присутствии вектор-потенциала, набирает фазу, зависящую от него. Следовательно, при изменении магнитного потока в соленоиде разность фаз между
“частями” волновой функции, прошедшими с разных сторон соленоида, изменится, что и приведет к сдвигу интерференционной картины.
Электрические и магнитные свойства твердых тел также лежат за пределами классической электродинамики, поскольку намагниченность обусловлена
наличием у электрона спина, природа которого — сугубо квантовомеханическая. Электрические свойства кристалла задаются распределением электронной плотности в элементарной ячейке, а магнитные — конфигурацией спинов.
Таким образом, взаимодействие магнитной и электрической подсистем (если
оно есть) во многом определяется геометрией кристаллической ячейки. Однако
на практике такое рассмотрение затруднено, поскольку соответствующие экспериментальные данные непросто получить, а теоретические расчеты электронной и спиновой плотности “из первых принципов” (ab initio) стали возможны
лишь с появлением мощных компьютеров.
Чрезвычайно удобным и мощным инструментом изучения твердого тела является теория симметрии. Зная, к какой группе пространственных преобразований симметрии принадлежит кристалл, можно делать вывод о том,
какие ограничения наложены на макроскопические поляризацию и намагниченность. Требование инвариантности свободной энергии относительно данных
преобразований позволяет определить вид разрешенных слагаемых, отвечающих за магнитоэлектрическое взаимодействие. В частности, в выражении для
свободной энергии кристалла кубической симметрии возможно наличие слагаемых вида P M ∂M , где ∂ означает пространственную производную [8]. Это
значит, что в равновесном состоянии электрическая поляризация P~ может воз~,
никнуть в области неоднородного распределения вектора намагниченности M
если последнее обладает необходимой симметрией — например, если спины расположены “веером”. Такая “изгибная деформация” однородного распределения
вектора намагниченности позволяет задать выделенное направление и может
12
сопровождаться появлением электрической поляризации, в отличие от “винтовой” спиновой структуры, подобной “деформации кручения”.
Нарушение симметрии посредством изгиба также сказывается при механической деформации магнитного материала: установлено, что изгибная деформация в сочетании с действием магнитного поля обуславливает возможность
появления эффектов, связанных с киральностью распределения вектора намагниченности [9]. К таким эффектам, в частности, относятся вихревое искажение доменной структуры в квадратной частице с изогнутой поверхностью и
зависимость подвижности доменных границ в нанотрубках от киральности границы. Микромагнитное моделирование показало, что эти эффекты возникают
в силу изгиба материала, безотносительно магнитострикции или возмущения
электронной структуры. В некотором смысле, свойства симметрии являются
выражением геометрических характеристик системы, будь то взаимное расположение атомов в кристаллической ячейке, вид спиновой структуры или макроскопическая деформация материала.
С математической точки зрения, обобщением геометрии является топология: она изучает свойства объектов, сохраняющиеся при непрерывных деформациях (без разрывов и склеиваний). До недавнего времени топология использовалась в физике твердого тела лишь как способ классификации дефектов [10].
Ситуация изменилась после открытия нового класса веществ, роль топологии в
физических свойствах которых оказалась столь важна, что была отражена в их
названии — топологических изоляторов [11]. Объектом, подверженным непрерывным деформациям, в данном случае является зонная структура кристалла.
Как и обычные диэлектрики, топологические изоляторы имеют запрещенную
зону. Но их зонная структура, в отличие от зонной структуры обычных диэлектриков, не является топологически эквивалентной зонной структуре вакуума.
Из-за этого на границе между топологическим изолятором и вакуумом происходит запрещенное в топологии “склеивание”, которое можно понимать почти
буквально: верхняя граница валентной зоны “склеивается” со дном зоны проводимости, и величина запрещенной зоны обращается в нуль. Таким образом,
поверхность топологического изолятора проводит электрический ток. Появление проводимости здесь столь же неизбежно, как и тот факт, что монотонная
непрерывная функция, принимающая отрицательное значение на левом конце
13
Рис. 1.1: Параллельный перенос касательного вектора по поверхности конуса и эффект
Ааронова-Бома.
отрезка и положительное — на правом, где-то на этом отрезке проходит через
ноль. Другими словами, топологическая природа поверхностной проводимости
обуславливает ее устойчивость.
Важной геометрической характеристикой в перечисленных системах из области физики твердого тела выступает кривизна. Казалось бы, эффект АароноваБома и замечания о калибровочной инвариантности электромагнетизма Максвелла не имеют отношения к этому понятию; в действительности, кривизна
играет определяющую роль и в них. Рассмотрим наглядный и при этом точный
геометрический образ, иллюстрирующий взаимосвязь этих явлений — процесс
параллельного переноса вектора на искривленной поверхности [12]. На рисунке
1.1 слева изображена развертка конуса, вдоль края которой идет ряд параллельных векторов. После складывания конуса (рис. 1.1, справа) вектор будет
“поворачиваться” при обходе по окружности конуса. Это и будет параллельным
переносом касательного вектора по поверхности конуса. Отметим, что кривизна
поверхности конуса во всех точках, кроме окрестности вершины, равна нулю
(радиус кривизны вдоль образующей равен бесконечности).
Волновая функция, как известно, определена с точностью до фазового
множителя, поскольку фаза не влияет на плотность вероятности, доступную
для измерения в эксперименте. Однако если изменение фазы носит локальный
14
характер, и имеет вид
ψ(~r, t) → ψ 0 (~r, t) = [exp(iqf (~r, t))]ψ(~r, t),
то уравнение Шредингера “перестает выполняться”. Для того, чтобы это исправить, в определение производных по времени и по пространственным координатам необходимо ввести дополнительные слагаемые; они являются не чем
иным, как потенциалами электромагнитного поля, подчиняющегося уравнениям Максвелла [13]. Величина q в фазовом множителе является зарядом частицы, а функция f (~r, t) — той же функцией, что участвует в калибровочном
преобразовании уравнений Максвелла. Векторный потенциал при этом является величиной, называемой связностью. Она характеризует поворот локального
“базиса”, в котором определяются мнимая и действительная части волновой
функции, от точки к точке. Напряженность электромагнитного поля записывается как тензор Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , по смыслу представляющий собой кривизну. Связность (вектор-потенциал) зависит от выбора базиса (калибровки), в
то время как кривизна (физически измеримая напряженность поля) является
инвариантом.
Представим фазу, которую набирает “часть” волновой функции электрона, проходящая в опыте Ааронова-Бома через ту или иную щель, как угол, на
который повернется вектор при параллельном переносе по поверхности конуса,
изображенного в правой части рисунка 1.1. Тогда разность фаз между интерферирующими “частями” волновой функции в некоторой точке экрана будет
определяться не только положением этой точки, но и величиной угла сектора,
отсутствующего в плоской развертке конуса. Этот угол непосредственно связан
с кривизной вершины конуса — напряженностью магнитного поля в области,
недоступной для электронов. Таким образом, изменяя напряженность магнитного поля внутри соленоида, можно изменять разность фаз в данной точке
интерференционной картины в пределах от 0 до 2π, что соответствует сдвигу
всей картины на один период. Разность фаз, возникающая в этой ситуации, называется топологической, поскольку не зависит от формы траектории частицы
и определяется только тем, сколько раз траектория обходит вокруг соленоида.
Эффект поворота касательного вектора при параллельном переносе по ис-
15
кривленной поверхности проявляется и в классической механике — именно так
можно интерпретировать поворот плоскости маятника Фуко. Соответствующая
фаза будет называться геометрической, поскольку ее величина будет задаваться
телесным углом, под которым траектория движения маятника видна из центра
Земли, и, следовательно, будет зависеть от формы траектории. Аналогичную
геометрическую фазу в контексте квантовой механики называют фазой Берри [14]. Она появляется у волновой функции при адиабатически медленной
циклической эволюции системы в пространстве параметров.
В 2011 году вышел обзор “Калибровочные поля в спинтронике” [15], красноречиво свидетельствующий о проникновении идей и методов теории поля даже в такую прикладную — почти что технологическую — область физики, как
спинтроника. Одним из центральных понятий в этой работе выступает фаза
Берри. Порождающая ее кривизна параметрического пространства выступает
как напряженность эффективного магнитного поля, оказывающего реальное
влияние на поведение системы. В некоторых случаях возникают калибровочные
поля, никак не связанные с фазой Берри, — например, в графене, подверженном
деформации растяжения, или в системах со спин-орбитальным взаимодействием.
Необходимо отметить, что подход, основанный на понятии фазы Берри,
оказался чрезвычайно конструктивным и в теории электрической поляризации,
построение которой было завершено лишь недавно [16]. Попытки вычисления
поляризации в объеме кристалла как усредненного по кристаллической ячейке электрического дипольного момента приводят к противоречию, связанному
со свободой выбора границ ячейки. В современном подходе этой проблемы не
возникает, поскольку предметом рассмотрения является не “мгновенное значение”, а изменение поляризации ∆P~ при адиабатически медленном изменении
параметров системы (например, положений ионов в пространстве).
Таким образом, связь между электричеством и магнетизмом является в
настоящее время предметом исследований в разных областях физики. Природа
взаимосвязи рассматриваемых явлений обуславливает необходимость использования широкого круга математических понятий и методов, от привычного
векторного анализа до абстрактной топологии.
16
1.2
Неоднородный магнитоэлектрический эффект
Данная работа посвящена исследованию электростатических свойств мик-
ромагнитных структур. Основным предметом рассмотрения являются системы,
в которых осуществляется статическая связь пространственных распределений
векторов намагниченности и электрической поляризации. Как правило, иерархия явлений при этом такова: магнитные взаимодействия приводят к появлению
пространственно-неоднородной микромагнитной структуры; если она обладает необходимыми симметрийными свойствами, в той же области пространства
возможно (но не гарантировано) появление электрической поляризации. Этот
эффект носит название неоднородного магнитоэлектрического эффекта [1]. Он
является достаточно общим, поскольку любой магнитный диэлектрик, независимо от группы симметрии, к которой принадлежит кристалл, может оказаться
средой, подходящей для его возникновения. Аналогичный эффект известен и в
жидких кристаллах [17] — электрическая поляризация возникает при изгибной
деформации кюветы с нематическим жидким кристаллом, каждая молекула
которого обладает дипольным моментом.
С феноменологической точки зрения неоднородный магнитоэлектрический
эффект можно объяснить следующим образом [8]. Векторы, описывающие величины различной природы, по-разному ведут себя при преобразованиях вре~
мени и пространства. Магнитные векторы напряженности магнитного поля H
~ изменяют знак при обращении времени t → −t, но не меи намагниченности M
няются при инверсии пространства ~r → −~r. Напротив, векторы электрической
~ и поляризация P~ — инвариприроды — напряженность электрического поля E
антны при обращении времени, но меняют знак при инверсии пространственных координат. Таким образом, закон Фарадея неслучайно связывает пространственную производную электрического поля с производной магнитного поля
по времени: эти комбинации одинаково преобразуются под действием рассмотренных операций. Подобные соображения позволяют заключить, что вектор
электрической поляризации преобразуется так же, как комбинация вектора намагниченности и градиента вектора намагниченности, а значит, эти величины
могут быть связаны соотношением пропорциональности.
Было установлено, что в кристалле кубической симметрии связь между
17
электрической поляризацией и неоднородным распределением вектора намагниченности имеет следующий вид [2]:
~ (∇ · M
~ ) − (M
~ · ∇)M
~ ),
P~ = γχe (M
(1.1)
где γ — магнитоэлектрический коэффициент, а χe — диэлектрическая проницаемость.
Для того, чтобы формула (1.1) была применима, необходимо, чтобы про~ было достаточно гладстранственное распределение вектора намагниченности M
ким — другими словами, характерный период структуры должен существенно превышать размеры кристаллической ячейки. Это требование выполняется
не всегда. В частности, ему не удовлетворяют коллинеарные микромагнитные
структуры, в которых спины могут быть либо параллельны, либо антипараллельны друг другу. Например, в структуре вида ↑↑↓↓ поляризация может возникнуть вследствие обменной стрикции, если магнитные ионы обладают различным электрическим зарядом. Соображения симметрии применимы и в этом
случае: сближение ионов с сонаправленными спинами лишает систему центра
инверсии, что делает возможным возникновение электрической поляризации
(рис. 1.2 б). Однако магнитный момент кристаллической ячейки в этом случае
~ . В частности,
уже не может быть описан одним вектором намагниченности M
для семейства орторомбических манганитов RMn2 O5 (R = Eu, Gd, Er, Y) магнитоэлектрический вклад в свободную энергию имеет вид αPy (A2 − G2 ), где
α — константа магнитоэлектрического взаимодействия, P~ — вектор электриче~ = (S
~1 − S
~2 ) − (S
~3 − S
~4 ) и G
~ = (S
~1 − S
~2 ) + (S
~3 − S
~4 ) —
ской поляризации, A
антиферромагнитные параметры порядка для четырех спинов ионов марганца
Mn3+ [18].
Отметим, что исчерпывающее описание взаимосвязи между магнитной и
электрической подсистемами кристалла предполагает разложение свободной
энергии в ряд по степеням существующих параметров порядка и их комбинаций,
допускаемых симметрией системы [19, 20]. Пространственно-модулированные
спиновые структуры при этом удобно описывать с помощью Фурье-компонент
спиновой плотности. Исключение магнитной симметрии кристаллической ячейки из рассмотрения в рамках “спирального подхода”, базирующегося на соотно-
18
Рис. 1.2: Микроскопические механизмы возникновения электрической поляризации в области неоднородного распределения намагниченности: а — взаимодействие ДзялошинскогоМория; б — обменно-стрикционный механизм [8].
шении (1.1), вызвало критику со стороны приверженцев теоретико-группового
анализа [21]. Однако аргументы, предложенные в качестве свидетельств несостоятельности формулы (1.1), основывались на примерах, выходящих за пределы ее применимости [22].
Для неколлинеарных структур микроскопический механизм связи поляризации и относительной ориентации векторов намагниченности основывается
на обратном взаимодействии Дзялошинского-Мория [23, 24]. Соответствующее
~ ·S
~i × S
~i+1 ,
слагаемое в функционале свободной энергии имеет вид: HDM = D
~i — спин i-того магнитного иона, а D
~ — вектор Дзялошинского-Мория.
где S
~ в свою очередь, пропорционален векторному произведению ~x × ~ri,i+1
Вектор D,
вектора ~x, задающего смещение лиганда (например, кислорода) и единичного вектора ~ri,i+1 вдоль оси, соединяющей магнитные ионы (рис. 1.2 а). Таким
образом, взаимодействие Дзялошинского-Мория связывает угол между спинами и величину смещения немагнитных ионов. Для некоторых микромагнитных
структур все лиганды смещаются в одну сторону, что и приводит к появлению
макроскопической электрической поляризации. По природе это взаимодействие
представляет собой релятивистскую поправку к косвенному обменному взаимодействию, и является сравнительно слабым.
Ниже будут рассмотрены основные типы неколлинеарных микромагнитных структур и их магнитоэлектрические свойства. Последующие разделы,
посвященные пространственно-модулированным спиновым структурам (раздел
1.3), доменным границам (раздел 1.4) и структурам с цилиндрической симмет-
19
рией (раздел 1.5), имеют общую структуру. В начале каждого раздела приводится геометрическое описание и предпосылки возникновения структуры, затем
теоретическое рассмотрение электрических свойств, а в заключение рассматриваются примеры реальных систем.
1.3
Циклоидальные и геликоидальные спиновые структуры
1.3.1
Теория
Геометрическая структура и предпосылки возникновения
Простейшими неколлинеарными пространственно-модулированными спиновыми структурами являются геликоида, циклоида и коническая структура
(рис. 1.3). Каждая из этих структур характеризуется направлением модуляции
и периодом (обе характеристики могут быть объединены с помощью понятия
волнового вектора ~k), а также видом модуляции. В циклоиде вектор намагни~ разворачивается в плоскости, содержащей направление модуляции,
ченности M
а в геликоиде плоскость перпендикулярна этому направлению. В конической
структуре вектор намагниченности лежит на поверхности конуса, поэтому, в
отличие от циклоиды и геликоиды, коническая структура обладает ненулевым
средним по объему значением намагниченности. В зависимости от ориентации
оси конуса относительно направления модуляции выделяют продольную и поперечную конические структуры.
Причиной возникновения неколлинеарных структур являются конкурирующие обменные взаимодействия. Простейшая модель такой структуры представляет собой цепочку магнитных ионов, в которой соседние ионы взаимодействуют ферромагнитно, а через одного — антиферромагнитным образом.
Нетрудно показать, что при определенном соотношении межу величинами обменных констант наиболее энергетически выгодным будет состояние, в котором соседние спины направлены под определенным углом друг к другу, то есть
пространственно-модулированная спиновая структура.
20
Рис. 1.3: Неколлинеарные микромагнитные структуры и их электрическая поляризация: а —
геликоида; б — циклоида; в — продольная коническая структура; г — поперечная коническая
структура.
Электрические свойства
Для описания магнитоэлектрических свойств модулированных структур,
характеризующихся волновым вектором, удобно переписать формулу (1.1) в
следующем виде:
~
P~ ∼ [~k × Ω],
(1.2)
21
~ = M
~ ×
где ~k — волновой вектор структуры, а Ω
~
∂M
~
∂k
— вектор, характеризую-
щий направление разворота спина (нормаль к плоскости разворота).
~ и электрическая поляризаЛегко видеть, что в случае геликоиды ~k k Ω,
ция равна нулю (рис. 1.3 а). С точки зрения симметрии, отсутствие поляризации связано с тем, что микромагнитная структура геликоиды не позволяет
выделить полярного направления. Циклоида, напротив, может приводить к по~ (рис. 1.3 б).
явлению электрической поляризации, поскольку для нее ~k ⊥ Ω
Более интересная ситуация складывается в случае конических структур.
Казалось бы, продольная коническая структура (рис. 1.3 в) позволяет выделить
полярное направление — вдоль волнового вектора. Однако применение формулы (1.2) показывает: несмотря на то, что вектор поляризации P~ будет отличен
от нуля в каждой точке, его пространственное распределение будет представлять собой геликоиду, следовательно, усредненная по объему поляризация будет равна нулю hP~ i = 0. В поперечной конической структуре вектор поляризации “колеблется” вокруг некоторого положения равновесия, и при усреднении
у него остается отличная от нуля компонента hP~ i =
6 0 (рис. 1.3 г).
1.3.2
Примеры реальных систем
В эксперименте описанный выше механизм связи поляризации и распределения вектора намагниченности проявляется в виде возможности взаимного
контроля электрических свойств путем приложения магнитного поля, и магнитных свойств — подачей электрического. Так, в ряде работ изучается деформация неколлинеарных магнитных структур посредством магнитного поля, сопровождающаяся появлением, исчезновением или изменением величины
и направления электрической поляризации. Соответствие результатов измерений предсказаниям теоретической модели служит доказательством того, что
магнитоэлектрический эффект в рассматриваемых кристаллах является неоднородным.
Перовскитоподобный магнитоэлектрик Eu0.55 Y0.45 MnO3 характеризуется
тремя магнитными фазовыми переходами в процессе охлаждения: при 46 К
образуется коллинеарная синусоидальная структура вдоль оси b; при 24 K она
превращается в циклоиду, лежащую в плоскости bc; наконец, при 22 K плос-
22
Рис. 1.4: Зависимость электрической поляризации от магнитного поля в циклоидальном
магнетике Eu0.55 Y0.45 MnO3 [25]: а — зависимость компонент поляризации от величины напряженности магнитного поля, приложенного вдоль одной из кристаллографических осей;
б — зависимость поляризации от угла, задающего направление магнитного поля в плоскости
ac; в — взаимное расположение спиновой структуры и векторов напряженности магнитного
поля и электрической поляризации.
кость циклоиды изменяется на ab. Первая и вторая циклоиды сопровождаются
появлением электрической поляризации вдоль осей c и a, соответственно. В
работе [25] изучается поведение этой системы в сильных магнитных полях (порядка единиц Тесла) при температуре 2 K.
На рисунке 1.4 а показана зависимость компонент электрической поляризации Pa и Pc от величины магнитного поля, приложенного последовательно
вдоль каждой из кристаллических осей. Существенное изменение поляризации
имеет место лишь при H k a и связано со сменой плоскости циклоиды ab → bc.
На рисунке 1.4 б приведены графики зависимости поляризации от угла θ, задающего направление магнитного поля в плоскости ac, как показано на рисунке
1.4 а. Видно, что при достаточно большой абсолютной величине магнитного
поля изменение его направления приводит к изменению знаков компонент поляризации. Характер приведенных зависимостей объясняется тем, что сильное
магнитное поле превращает циклоидальную структуру в коническую, и задает
направление оси конуса. Однако это направление, вообще говоря, не совпада-
23
Рис. 1.5: Магнитоэлектрические циклоиды в DyMnO3 [26]: а — фазовая диаграмма в осях
(T, H). При температурах ниже 17 К возникает несобственное сегнетоэлектрическое упорядочение; б — скачки компонент поляризации при пересечении границы раздела фаз с различными направлениями электрической поляризации; в — магнитоэлектрическая доменная
граница, разделяющая области с различной ориентацией спиновой циклоиды.
ет с направлением приложенного магнитного поля, что связано с магнитной
анизотропией. Графики компонент поляризации изменяются резко около значений θ = 90◦ , 270◦ , поскольку плоскость bc является при данной температуре
трудной как для циклоиды, так и для соответствующей конической структуры.
В работе [26] изучены динамические свойства необычных доменных границ, существующих между областями с различными ориентациями циклоид и,
соответственно, различной электрической поляризацией в соединении DyMnO3 .
Как и в предыдущем случае, здесь наблюдается фазовый переход между циклоидами, лежащими в плоскостях bc и ab; разница состоит в том, что он индуцируется магнитным полем (рис.1.5 а). Каждый тип циклоиды характеризуется
своим направлением электрической поляризации, поэтому фазовый переход сопровождается ее “опрокидыванием” (рис.1.5 б). Непосредственным предметом
исследования был эффект гигантской магнитоемкости. На основе вида резонансных особенностей спектров действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости, снятых при различных значениях магнитного поля, был
сделан вывод о том, что этим особенностям соответствует именно движение
доменных границ, а не электромагнонов.
Численное моделирование микромагнитной структуры доменной границы
24
(рис.1.5 в) показало, что ее ширина превышает размер кристаллической ячейки
примерно в двадцать раз. Поскольку ширина доменной границы связана с ее
подвижностью, данная система обладает преимуществом относительно ферроэлектриков: в них доменные границы являются изинговскими, то есть шириной порядка межатомного расстояния. Магнитоэлектрические циклоидальные
доменные границы в DyMnO3 , напротив, являются гейзенберговскими (ввиду
магнитной природы), и благодаря этому демонстрируют высокую подвижность
даже при температуре 5 K.
Необходимость использования в подобных экспериментах сильных магнитных полей является, наряду с низкими температурами, серьезным препятствием на пути практического использования рассматриваемых эффектов. Уменьшить напряженность магнитного поля можно, если использовать коническую
структуру — тогда для управления поляризацией не потребуется кардинально
видоизменять распределение намагниченности, достаточно будет изменить направление оси конуса. Эту идею удалось реализовать в гексаферрите
Ba2 Mg2 Fe12 O22 : ввиду сравнительно слабой магнитной анизотропии, величины
необходимых управляющих полей не превышают здесь 30 мТ [27].
Микромагнитная структура при температуре от 50 K до 195 K носит геликоидальный характер; ниже 50 K происходит спонтанное формирование продольной конической структуры; в присутствии магнитного поля величиной порядка нескольких десятков милитесла коническая структура с соответствующим направлением оси конуса может возникнуть при любой температуре ниже
195 К (рис. 1.6 а). Следует отметить, что эти структуры носят более сложный
характер, чем изображенные на рисунке 1.3, поскольку при комнатной температуре вещество упорядочено ферримагнитно, и магнитные моменты образуют
две неэквивалентные подрешетки.
При температуре 5 K были проведены измерения электрической поляризации в магнитном поле, направленном перпендикулярно волновому вектору
структуры; его величина периодически изменялась в пределах от −30 мТ до
30 мТ без изменения направления (рис. 1.6 б). При этом было зафиксировано
периодическое изменение электрической поляризации: ее значение достигало
экстремумов, когда ось конуса была перпендикулярна направлению модуляции,
и обращалось в нуль при нулевом значении магнитного поля, когда структура
25
Рис. 1.6: Неколлинеарные структуры в гексаферрите Ba2 Mg2 Fe12 O22 и их поведение в переменном магнитном поле [27]: а — геликоидальная и продольная коническая структуры,
не обладающие электрической поляризацией, и поляризованная магнитоиндуцированная коническая структура с осью конуса, заданной направлением магнитного поля; б — изменение направления оси конуса при изменении проекции напряженности магнитного поля на
ось [100], перпендикулярную направлению модуляции; в — временные зависимости (снизу
вверх): напряженности магнитного поля, электрической поляризации и электрического тока, вызванного изменением ее величины.
возвращалась к естественной продольно-конической конфигурации (рис. 1.6 в).
Описанные выше проявления магнитоэлектрического взаимодействия предполагают управление электрическими свойствами посредством магнитного поля. Обратная ситуация — управление намагниченностью спиральных магнитоэлектриков с помощью электрического поля — в литературе практически не
встречается. Одним из немногих исключений можно считать работу [28], в которой декларируется электрический контроль киральности спиновой структуры в кристалле TbMnO3 , однако осуществляется он несколько специфическим
образом.
Температура антиферромагнитного упорядочения этого вещества составляет около 40 К. При дальнейшем понижении температуры, в области 20−30 K
происходит образование циклоиды, сопровождающейся появлением электрической поляризации. При этом киральность структуры, определяемая тем, по и
26
или против часовой стрелки происходит разворот, задается случайным образом,
поскольку оба состояния вырождены по магнитной энергии. Авторы работы
сняли это вырождение, приложив к образцу в процессе охлаждения электрическое поле напряженностью 160 кВ/м. В зависимости от знака приложенного
электрического поля происходил переход из антиферромагнитной фазы в спиновую циклоиду той или иной киральности. Результат служит хорошим подтверждением теории, основанной на взаимодействия Дзялошинского-Мория,
однако необходимо отметить, что “контроль” при охлаждении осуществляется
однократно, а не в реальном времени, как это было в случае контроля электрической поляризации путем приложения магнитного поля.
О наличии сегнетоэлектрического гистерезиса в соединении DyMnO3 сообщается в работе [29]. Измерения проводились вблизи температуры сегнетоэлектрического упорядочения (около 18 К), связанного с появлением циклоидальной
спиновой структуры. При уменьшении температуры на 3 K относительно температуры фазового перехода остаточная поляризация обращалась в ноль, то есть
ее переключения не происходило. Из этого можно сделать вывод, что магнитоэлектрическое взаимодействие в данном соединении носит слишком слабый
характер, чтобы обеспечить возможность переключения магнитной структуры
электрическим полем вдали от “неустойчивой” точки фазового перехода.
Как правило, энергия взаимодействия поляризации с электрическим полем оказывается существенно меньше характерных энергий взаимодействий,
отвечающих за магнитное упорядочение. Такое положение дел неслучайно: механизм неоднородного магнитоэлектрического эффекта обеспечивает сильную
взаимосвязь между магнитной и электрической подсистемами, поскольку само
существование электрической поляризации обусловлено наличием неоднородного распределения намагниченности; но слабым местом в этом случае является малость абсолютной величины поляризации (порядка 10−2 мкКл/см2 ) [30].
Обратная ситуация складывается в тех магнитоэлектриках, в которых магнитные и электрические свойства связаны не столь тесным образом — они демонстрируют сравнительно большие значения электрической поляризации (до
100 мкКл/см2 ).
Наиболее известным представителем этого семейства является феррит висмута BiFeO3 . Он является не только магнитоэлектриком, но и мультиферроиком
27
— то есть веществом, в котором одновременно сосуществуют несколько видов
упорядочения [31,32]. Сегнетоэлектрическое и антиферромагнитное упорядочения происходят в феррите висмута при температурах, значительно превышающих комнатную, 1103 К и 643 К, соответственно. Отметим, что существенная
разница в температурах упорядочения косвенно указывает на то, что их природа различна. Неоднородный магнитоэлектрический эффект проявился и в этом
веществе, но скорее в роли паразитного, нежели полезного, явления.
Кристаллическая симметрия феррита висмута допускает существование
линейного магнитоэлектрического эффекта, описываемого вкладами в свободную энергию вида αij Ei Hj , однако экспериментальных подтверждений этому
долгое время не было. Оказалось, что для наблюдения линейного магнитоэлектрического эффекта необходимо приложить сильное магнитное поле (H =
200 кЭ) [33]. Линейный эффект был невозможен, поскольку сегнетоэлектрическая поляризация наводила за счет взаимодействия Дзялошинского-Мория
антиферромагнитную циклоиду, и средняя по объему намагниченность равнялась нулю [34].
Необходимо отметить, что взаимодействие Дзялошинского-Мория может
возникать не только в кристаллах, характеризующихся отсутствием преобразования инверсии в группе симметрии, но и в случае, когда нарушение симметрии обусловлено формой образца. Впервые это явление было экспериментально изучено в монослое марганца на вольфрамовой подложке [35]. На рисунке 1.7 а представлено изображение образца, полученное с помощью спинполяризованной сканирующей электронной микроскопии. В нижней части рисунка кружками обозначен экспериментальный сигнал. Сплошная линия с малой длиной волны показывает, каким был бы сигнал от антиферромагнитно
упорядоченных спинов. Экспериментальный сигнал отличается от гипотетического “антиферромагнитного” тем, что, во-первых, модулирован с периодом
около 12 нм (модуляция показана сплошной линией с большой длиной волны);
во-вторых, что фаза сигнала изменяется на противоположную от одного периода модуляции к другому. Эти особенности свидетельствуют, что упорядочение не является антиферромагнитным, а представляет собой пространственномодулированную спиновую структуру. В качестве кандидатов на роль такой
структуры рассматривались волна спиновой плотности, циклоидальная и гели-
28
Рис. 1.7: а — изображение магнитной структуры монослоя марганца на вольфрамовой
подложке, полученное методом спин-поляризованной сканирующей туннельной микроскопии [35]; б — кристаллическая структура соединения CaMn7 O12 , обладающая аксиальной
~ В центре — ион кальция, вокруг
симметрией, которую можно охарактеризовать вектором A.
него расположены ионы марганца в кислородных октаэдрах [36].
коидальная структуры. Измерения с различными направлениями намагниченности иглы туннельного микроскопа позволили заключить, что спин отличен от
нуля во всех точках структуры, то есть она представляет собой спиновую циклоиду или геликоиду. Выбор между последними не мог быть осуществлен на
основе экспериментальных данных; численное моделирование с учетом взаимодействия Дзялошинского-Мория показало, что структура представляла собой
спиновую циклоиду.
В заключение данного раздела рассмотрим соединение CaMn7 O12 , в котором электрическая поляризация возникает при образовании спиновой геликоиды и направлена вдоль ее оси [36, 37]. На первый взгляд, это противоречит соображениям симметрии, отраженным в формуле (1.2): геликоида не позволяет
выделить полярное направление, поэтому не может приводить к возникновению
электрической поляризации. Однако эти рассуждения справедливы лишь для
кристаллов простой кубической симметрии, к которым соединение CaMn7 O12
не относится. В нем кислородные октаэдры, окружающие ионы марганца, образуют вокруг одной из кристаллических осей структуру, напоминающую пропеллер (рис. 1.7 б). В отличие от спиновой геликоиды, такая структура будет
по-разному выглядеть при взгляде с разных концов оси, и, следовательно, мо~
жет быть охарактеризована аксиальным вектором A.
29
Киральность геликоидальной спиновой структуры можно описать с помо~i × S
~j ], где ~rij — вектор, соединяющий соседние спищью псевдоскаляра σ = ~rij [S
~i и S
~j . Комбинация вектора A,
~ характеризующего кристаллическую струкны S
туру, величины σ, определяемой распределением вектора намагниченности и
~ P~ оказывается инвариантом и обеспечивектора электрической поляризации Aσ
вает взаимосвязь электрической и магнитной подсистем. Интересно отметить,
что величина электрической поляризации (|P~ | =2870 мкК/м2 ) в несколько раз
превышает типичное значение поляризации для других спиральных магнитоэлектриков.
1.4
Доменные границы
1.4.1
Теория
Геометрическая структура и предпосылки возникновения
Фазовый переход, сопровождающийся понижением симметрии, приводит к
появлению параметра порядка — величины, характеризующей возникшее упорядочение (для определенности будем считать эту величину векторной). Пространственное распределение параметра порядка может представлять собой доменную структуру, то есть набор областей, внутри каждой из которых параметр
порядка распределен однородно. Причиной образования доменной структуры
является, с одной стороны, понижение энергии образца, ограниченного в пространстве, путем замыкания полей размагничивания (у ферромагнетика) или
деполяризации (в сегнетоэлектрике); с другой — причинно-следственная независимость выбора направления, которое принимает параметр порядка в разных
частях образца в процессе фазового перехода.
Таким образом, внутри доменных границ — областей пространства между
доменами — происходит “состыковка” различных направлений параметра порядка. Геометрия распределения параметра порядка внутри доменной границы
зависит от природы упорядочения и многих других факторов. Например, сегнетоэлектрические доменные границы, как правило, являются изинговскими, то
есть поляризация в них изменяется практически скачкообразно. Если природа
упорядочения в кристалле — магнитная, будь то ферро- или антиферромагне-
30
тик, доменные границы обладают конечной шириной, что связано с наличием
обменного взаимодействия между спинами. Также обменное взаимодействие и
энергия магнитной анизотропии приводят к тому, что доменная граница обладает поверхностной энергией, и, следовательно, поверхностным натяжением,
стремящимся минимизировать площадь ее поверхности (как и в случае мыльных пленок).
Структура магнитной доменной границы впервые была установлена Ландау и Лифшицем [38]. Параметризуем направление вектора намагниченности
полярным и азимутальным углами (θ, ϕ) сферической системы координат с
осью z, направленной параллельно вектору намагниченности в доменах. Ось
x направим от одного домена к другому, то есть перпендикулярно плоскости
доменной границы. Конкуренция энергии одноосной анизотропии K sin2 θ и обменной энергии A(∂x θ)2 приведет к установлению внутри доменной границы
неоднородного распределения намагниченности следующего вида:

θ(x) = 2 arctg exp
ϕ = π/2 + πn,
где ∆ =
x
∆
(1.3)
n ∈ Z,
p
A/K — параметр ширины доменной границы, определяемый кон-
стантами анизотропии и обменного взаимодействия. В рамках приведенной модели значение угла ϕ, строго говоря, произвольно, однако при значениях, отличных от π/2+πn, вектор намагниченности будет обладать компонентой, перпендикулярной плоскости стенки, что приведет к появлению полей размагничивания и повышению энергии. Доменная граница вида (1.3), в которой разворот
вектора намагниченности осуществляется в плоскости доменной границы, называется доменной границей Блоха. При определенных условиях — малой толщине образца или во внешнем магнитном поле — энергетически более выгодной
может стать доменная граница Нееля, в которой вектор намагниченности разворачивается в плоскости, перпендикулярной плоскости доменной границы, то
есть ϕ = πn.
В реальных магнетиках структура доменной границы, как правило, является более сложной, и не принадлежит ни к блоховскому, ни к неелевскому типу.
Причиной этому может служить магнитная анизотропия, отличная от простей-
31
шей одноосной, использованной в модели (1.3). Кроме того, структура доменной границы может быть искажена полями размагничивания, возникающими
из-за наличия в доменах компонент вектора намагниченности, перпендикулярных поверхности образца. Эти поля проникают и вглубь кристалла, приводя
к образованию вблизи его поверхности областей, в которых доменная граница
является неелевской [3].
Электрические свойства
Предложенные на сегодняшний день способы контроля намагниченности с
помощью электрического поля так или иначе связаны с использованием доменных границ. Можно выделить два подхода: один связан с движением магнитоэлектрических доменных границ в мультиферроике, при котором электрическое
поле расширяет соответствующий сегнетоэлектрический домен, что сопровождается расширением (анти)ферромагнитного домена. Необходимым условием
реализации этой схемы, помимо сосуществования в кристалле двух типов упорядочения, является жесткое сцепление друг с другом магнитных и электрических доменных границ.
Второй подход основывается на локальных магнитоэлектрических свойствах самих доменных границ, обусловленных понижением симметрии внутри
границы из-за наличия неоднородного распределения параметра порядка. Эти
свойства проявляются как в наличии магнитного момента у сегнетоэлектрических доменных границ (теоретически рассмотренного в [39,40]), так и в наличии
электрической поляризации — у магнитных.
Электрические свойства доменных границ магнитной природы обусловлены неоднородным магнитоэлектрическим эффектом. Подобно рассмотренным
выше пространственно-модулированным спиновым структурам, доменные границы можно классифицировать по взаимной ориентации направления модуляции и плоскости разворота вектора намагниченности. Согласно теории неоднородного магнитоэлектрического эффекта, доменная граница Блоха в кристалле кубической симметрии не может обладать электрической поляризацией, поскольку ее распределение намагниченности не позволяет выделить полярное направление. Граница неелевского типа, подобная циклоиде, напротив,
32
Рис. 1.8: Визуализация магнитоэлектрических доменов методом генерации второй оптической гармоники в YMnO3 [42]: а — сегнетоэлектрические домены; б — антиферромагнитные
домены; в — комбинация электрического и магнитного откликов; г — форма антиферромагнитных (AFM), сегнетоэлектрических (FEL) магнитоэлектрических (FEL & AFM) доменных
границ.
может привести к возникновению поляризации, лежащей в плоскости доменной границы [2]. Расчеты по формуле (1.1) показывают, что абсолютная величина вектора поляризации будет пропорциональна производной ∂x θ(x). В том
случае, если вектор поляризации обладает компонентами, нормальными к поверхности образца, вдоль соответствующего края доменной границы появится
поверхностный электрический заряд. Это позволит смещать магнитные доменные границы, прикладывая неоднородное электрическое поле, и переключать
таким образом объемную намагниченность некоторой области образца [41].
1.4.2
Примеры реальных систем
Сцепление границ разной природы
Впервые сосуществование сегнетоэлектрических и антиферромагнитных
доменов было экспериментально установлено в манганите иттрия YMnO3 путем генерации второй оптической гармоники [42]. Метод заключается в том,
чтобы, воздействуя на вещество электрическим полем частоты ω, измерять отклик электрических и магнитных диполей на удвоенной частоте 2ω. При этом
измеряемый сигнал будет зависеть от наличия упорядочения, природы параметра порядка и даже его направления. Эту информацию можно извлечь из
данных об амплитуде, фазе и поляризации возбуждаемой волны.
На рисунках (1.8 а, б, в) показаны пространственные распределения интенсивности излучения второй гармоники, полученные при температуре 6 К.
33
Рис. 1.9: Структурные домены в гексаферрите YMnO3 : а — экспериментальные изображения сегнетоэлектрических (сверху) и структурных (снизу) доменов, образующих дискретный
вихрь с шестью лепестками [43]; б — изменение кристаллической структуры при тримеризации. Показан наклон кислородных октаэдров, окружающих ионы марганца, и смещение
иона иттрия; в — вид сверху на ту же систему [44].
На первом рисунке изображен отклик, соответствующий электрическому параметру порядка, на втором — антиферромагнитному, а на третьем — их комбинации. Отметим, что второй снимок, отражающий распределение антиферромагнитного параметра порядка (l), получен в результате интерференции сигналов
от электрической поляризации (P ) и комбинированного магнитоэлектрического
параметра порядка (P l). Сопоставление трех изображений позволило составить
“карту” магнитных и электрических доменных границ (рис. 1.8 г). Согласно ей,
доменные границы различной природы оказываются сцепленными друг с другом, однако невзаимным образом — изменение знака сегнетоэлектрической поляризации всегда сопровождается сменой знака вектора антиферромагнетизма,
в то время как антиферромагнитные доменные границы существуют и в свободном состоянии. Сцепление доменных границ кажется еще более удивительным в свете того, что линейный магнитоэлектрический эффект в YMnO3 запрещен по соображениям симметрии. Отсутствие линейного эффекта наглядно
подтверждается наличием в кадре доменов, соответствующих всем возможным
сочетаниям знаков двух упорядочений: (+, +), (+, −), (−, +) и (−, −).
Причиной наблюдаемого сцепления доменных границ, как было установлено с помощью проникающей электронной микроскопии, является наличие еще
одного упорядочения — структурного [45]. В нижней части рисунка 1.9 а показано полученное этим методом изображение дискретного вихря, состоящего
34
из шести сходящихся в одну точку структурных доменов. Выше представлено
изображение аналогичного дефекта, полученное методом сканирующей зондовой микроскопии, использующим в качестве сигнала обратной связи электрический ток (conductive atomic force microscopy). На этом изображении видно, что
соседние лепестки вихря обладают противоположной по знаку электрической
поляризацией, что свидетельствует о совпадении структурных и сегнетоэлектрических доменных границ.
Кристаллическая решетка соединения представляет собой чередующиеся
слои ионов иттрия и марганца. Структурное упорядочение представляет собой
скос кислородных октаэдров, окружающих ионы марганца, как показано на рисунке 1.9 б. Этот скос может приводить к смещению ионов иттрия вверх или
вниз, что и становится, в конечном счете, причиной возникновения электрической поляризации.
На рисунке 1.9 в представлен вид сверху на ту же структуру. Стрелками
показано направление скоса кислородных октаэдров, окружающих ионы марганца в двух слоях — верхнем (зеленые треугольники) и нижнем (синие треугольники) относительно данного слоя иттрия. При этом ионы иттрия (визуально находящиеся в вершинах треугольников) смещаются в разных направлениях: четыре оранжевых, образующих ромб, — на нас, а два желтых, находящихся внутри ромба, — от нас. Как целое конструкция представляет собой
элементарную ячейку одного из шести возможных структурных доменов. Дли√
на стороны ромба превышает размер стороны треугольника в 3 раз, поэтому
площадь новой элементарной ячейки превышает площадь исходной в три раза, что и отражено в названии структурного перехода — тримеризации. Знак
поляризации всего структурного домена определяется направлением преимущественного смещения ионов иттрия. Другие типы доменов отличаются распределением направления скоса кислородных октаэдров, показанного стрелками,
и, как следствие, знаком поляризации.
Взаимосвязь структурного, сегнетоэлектрического и антиферромагнитного упорядочений теоретически рассмотрена в работе [46] путем разложения свободной энергии в ряд по степеням соответствующих параметров порядка и их
градиентов. В работе показано, что доменные границы только структурного или
только сегнетоэлектрического типа, возможные в принципе, являются энерге-
35
Рис. 1.10: а — четыре типа антиферромагнитных структур в YMnO3 [46]; б — стирание электрических доменов магнитным полем, направленным вдоль оси y и их восстановление после
уменьшения магнитного поля в MnWO4 . Py — y-компонента электрической поляризации,
kx,z — компоненты волнового вектора спиновой структуры, сохраняющиеся в магнитном поле [47].
тически невыгодными по сравнению с комбинированными границами. Кроме
того, рассмотрена антиферромагнитная подсистема кристалла. При температурах ниже 100 К магнитные моменты ионов марганца внутри каждого слоя
образуют неколлинеарную структуру — угол между соседними спинами составляет 120◦ . С учетом наличия двух неэквивалентных слоев марганца, возможны
четыре типа таких структур (рис. 1.10 а). Доменные границы, в которых все
спины структуры разворачиваются на 180◦ , являются свободными и могут возникать внутри одного из структурных доменов, а границы, в которых разворот
осуществляется на угол, кратный 60◦ , оказываются сцепленными со структурными и, следовательно, сегнетоэлектрическими границами. Из этого следует,
что вихревой топологический дефект является также и магнитным вихрем.
В работе [48] магнитоэлектрические свойства двух соединений — YMnO3
и MnWO4 рассмотрены в свете понятия трансляционных доменов. Такие домены возникают, когда упорядочение нарушает не точечную, а трансляционную
симметрию. Примером трансляционных доменов являются структурные домены в манганите иттрия и антиферромагнитные — в MnWO4 . Исследования последнего методом генерации второй оптической гармоники показали наличие
в нем и сегнетоэлектрических, и магнитных доменов. Как и в случае YMnO3 ,
изменение знака поляризации всегда сопровождалось сменой знака магнитного
упорядочения, в то время как некоторые магнитные доменные границы не были
36
связаны с сегнетоэлектрическими. Несмотря на кажущееся сходство в характере сцепления доменных границ, физические причины, обуславливающие его в
этом случае, совершенно иные [47].
В интервале температур от 7.6 К до 12.7 К в соединении в MnWO4 образуется спиновая циклоида с волновым вектором ~k = (0.214, 1 , 0.457). Ее появление
2
сопровождается возникновением поляризации, и вещество становится мультиферроиком. Это происходит неслучайно: как и в системах, рассмотренных в
разделе 1.3, магнитная циклоида обуславливает наличие электрической поляризации [49]. Сегнетоэлектрические доменные границы представляют собой не
что иное, как области смены киральности циклоиды ~k → −~k, а свободные магнитные доменные границы, в свою очередь, — области сбоя фазы циклоиды при
неизменной киральности.
Весьма интересным представляется поведение этой доменной структуры
под действием внешних полей. Электрическое поле, действуя на поляризацию,
приводит к возникновению однодоменного сегнетоэлектрического состояния.
При этом свободные магнитные границы остаются на месте — то есть граница, сменяющая киральность, проходит сквозь сбои фазы циклоиды. Магнитное
поле вдоль оси y, превышающее критическое значение Hc = 4.3 Тл, подавляет
электрическую поляризацию, но при этом информация о киральности сохраняется в магнитной структуре, и после выключения магнитного поля картина
сегнетоэлектрических доменов восстанавливается (рис. 1.10 б).
Еще одним многообещающим классом мультиферроиков со сцепленными
между собой магнитными и электрическими доменными границами являются
редкоземельные ортоферриты RFeO3 . Эксперименты с GdFeO3 продемонстрировали, что при низких температурах (около 2 К) в нем сосуществуют антиферромагнитное упорядочение, слабый ферромагнетизм и несобственное сегнетоэлектрическое упорядочение, обусловленное магнитным посредством обменной
стрикции. Однако сцепление доменных границ оказалось слабым, и управление
намагниченностью электрическим полем было из-за этого неэффективным [51].
Причина малой эффективности сцепления границ кроется в том, что смена
знака поляризации может сопровождаться либо разворотом слабого ферромагнитного момента железа, либо антиферромагнитного момента редкоземельных
ионов; в последнем случае доменная граница окажется чисто сегнетоэлектри-
37
Рис. 1.11: Свойства доменных границ в редкоземельном ортоферрите [50]: а — структура
сегнетоэлектрических доменных границ, сохраняющих (слева) и изменяющих (справа) знак
ферромагнитного момента; б — качественная зависимость порогового значения напряженности электрического поля Et , необходимого для движения разных типов доменных границ,
от длительности импульса. Сплошная линия — зависимость для границы, обусловленной
слабым ферромагнетизмом Fe; штриховая линия — для антиферромагнитной границы Gd;
штрих-пунктирная — для антиферромагнитной границы Dy0.70 Tb0.30 .
ческой, и магнитоэлектрического эффекта не будет (рис. 1.11 а). Избавиться
от этого нежелательного эффекта позволило использование вместо иона Gd соединения Dy0.70 Tb0.30 [50]. Дело в том, что одноионная анизотропия диспрозия
и тиберия существенно превышает анизотропию гадолиния, что сказывается
на ширине, и, следовательно, подвижности соответствующей доменной границы. При достаточно быстром изменении электрического поля узкая антиферромагнитная доменная граница Dy0.70 Tb0.30 не успевает тронуться с места, и
переключение поляризации осуществляется за счет движения ферромагнитной
границы железа. Как показано на рисунке 1.11 б, при увеличении длительности
треугольного импульса электрического поля пороговое значение напряженности, необходимое для движения “редкоземельной” доменной границы (штрихпунктирная линия) уменьшается быстрее, чем соответствующая величина для
“железной” границы (сплошная линия). Поэтому при некотором значении длительности импульса сегнетоэлектрическая доменная граница оказывается сцепленной с антиферромагнитной, и переключения намагниченности не происходит. Характерные значения величин таковы: при амплитуде импульса, равной
38
69.4 кВ/см, переключение режима происходит при длительности импульса 1 с,
то есть импульс электрического поля длительностью менее секунды приводит
к требуемому переключению намагниченности.
Локальные магнитоэлектрические свойства границ
Электростатические свойства магнитных доменных границ были экспериментально обнаружены в пленках феррит-гранатов (BiLu)3 (FeGa)5 O12 : под действием неоднородного электрического поля границы смещались из положения
равновесия [52]. Направление смещения зависело лишь от знака приложенного
напряжения, и было одинаковым для всех границ. При фиксированном значении напряжения величина смещения доменной границы была тем больше, чем
ближе к ней находился электрод. На основе этих особенностей эффекта было
выдвинуто предположение, что наблюдаемое поведение границ связано с наличием на них электрического заряда.
Действительно, другие гипотезы противоречат экспериментальным фактам: магнитострикция, обусловленная механическим давлением иглы на пленку, не зависела бы от знака приложенного напряжения, поскольку игла притягивается к поверхности при обеих его полярностях; магнитные поля, создаваемые токами, действовали бы на разные доменный границы по-разному, в
зависимости от направления намагниченности в доменах; однородный магнитоэлектрический эффект не приводил бы к усилению смещения вблизи доменной
границы.
Электрическое поле создавалось путем подачи напряжения до 1500 В на
медный заостренный электрод, отсутствие токов утечки контролировалось миллиамперметром (рисунок 1.12 а). Изображения доменных границ (рис. 1.12 б)
были получены с помощью магнитооптического эффекта Фарадея — вращения плоскости поляризации проходящего через образец луча лазера. Измерения
проводились при комнатной температуре, что выгодно отличает эту систему от
рассмотренных выше.
Впоследствии были проведены систематические измерения смещения доменных границ в образцах с различной кристаллографической ориентацией,
позволившие выделить еще одну особенность этого явления [5]. Было установ-
39
Рис. 1.12: Электростатические свойства доменных границ в пленках феррит-гранатов
(BiLu)3 (FeGa)5 O12 [5]: а — схема экспериментальной установки. Цифрами обозначены: 1 —
медный электрод в форме иглы, 2 — плоский заземляющий электрод, 3 — пленка ферритграната, 4 — подложка, 5 — линза микроскопа для наблюдения микромагнитной структуры в
проходящем свете; б — смещение доменной границы (2) под действием электрического поля,
создаваемого электродом (1); в — зависимость смещения доменной головки от времени для
трех значений приложенного напряжения.
лено, что в пленках с ориентацией (111) доменные границы никак не реагируют
на приложение электрического поля, в то время как в образцах с ориентацией (210) и (110) эффект смещения имеет место. В работе указано, что различие в кристаллографических ориентациях сказывается на направлении вектора
намагниченности в доменах: в образцах с (111)-ориентацией намагниченность
перпендикулярна поверхности, а в других образцах — отклонена от нормали.
Кроме того, были проведены динамические измерения смещения доменной
головки — области замыкания полосового домена, где доменная граница искривлена (радиус кривизны приближенно равен половине ширины домена). Для
этого на электрод периодически подавались импульсы напряжения; подсветка
также производилась стробоскопически. Изменяя разность фаз импульсов напряжения и подсветки при одинаковой частоте сигналов, экспериментаторам
удалось измерить зависимость смещения доменной головки от времени (рис.
1.12 в). Было установлено, что скорость смещения головки при значении напряжения 400 В (что соответствует напряженности поля вблизи острия 800 кВ/см)
составляет 50 м/с. Смещения доменных головок существенно превосходили смещения доменных границ. В работе [4] также сообщалось о влиянии электрического поля на вертикальные блоховские линии, то есть протяженные одномерные дефекты внутри доменных границ, разделяющие области границы с
различной киральностью, наблюдавшемся в образцах с (111)-ориентацией.
40
Отметим, что эффект движения доменных границ под действием электрического поля косвенно наблюдался ранее в пленках железо-иттриевого граната [53, 54]. Так, в работе [53] высказывается предположение, что электрическое
поле вызывает изменения констант анизотропии, приводящее к наклону оси легкого намагничивания. В присутствии магнитного поля, увеличивающего объем
одних доменов и уменьшающего объем других, такой наклон сопровождался бы
изменением результирующего значения намагниченности. Процессом, компенсирующим это изменение, и выступает смещение доменных границ. В отличие
от описанных выше экспериментов с иглообразным электродом, здесь электрическое поле создается плоскими электродами, и является однородным. Предметом непосредственного измерения выступает вызванное электрическим полем
изменение угла фарадеевского вращения ∆α, характерные значения которого
составляют десятки угловых секунд. На основе измерений этой величины были
сделаны оценки, согласно которым при значениях напряженности электрического и магнитного полей E = 107 В/м и H = 300 Э смещение доменных
границ составляет ∆x ≈ 0.01 мкм, то есть на два порядка меньше характерных
значений смещения в неоднородном электрическом поле (рис. 1.12 б).
1.5
Структуры с цилиндрической симметрией
1.5.1
Теория
Геометрическая структура и предпосылки возникновения
Помимо протяженных микромагнитных структур, таких как доменные
границы и спиновые циклоиды, рассмотренные выше, существуют локальные
структуры, характеризующиеся цилиндрической симметрией. К ним относятся цилиндрические магнитные домены (ЦМД), магнитные вихри и скирмионы.
Несмотря на существование четких морфологических отличий между названными классами структур, актуальность скирмионной тематики способствует
возникновению некоторой путаницы в терминах: авторы статей склонны называть вихри скирмионами, а ЦМД — “гигантскими скирмионами”. В одной из
работ гексагональная решетка ЦМД была названа “гексагональной решеткой
скирмионов” и вовсе без каких-либо оговорок. Помимо различий в характере
41
распределения вектора намагниченности, отличается природа механизмов, обуславливающих стабильность тех или иных структур; обсуждению этих отличий
посвящен данный параграф.
Скирмионы как устойчивые микромагнитные структуры были теоретически предсказаны более двадцати лет назад [55]. Идея пришла из ядерной физики: там элементарные частицы были представлены как вихревые конфигурации непрерывных полей. Стабильность таких конфигураций обеспечивалась
“механизмом Скирма” (Skyrme mechanism, по фамилии автора) — слагаемыми в
лагранжиане, содержащими антисимметричные комбинации пространственных
производных компонент поля [56]. Подобным фактором в случае магнитоупорядоченных сред выступило взаимодействие Дзялошинского-Мория. Его вклад
в свободную энергию может быть представлен в виде антисимметричных инвариантов Лифшица, также содержащих пространственные производные вектора
намагниченности.
Долгое время скирмионы были предметом исключительно теоретических
исследований. В частности, было показано, что такие структуры могут существовать в антиферромагнетиках [57] и в магнитных металлах [58]. В последнем
случае модель включала возможность изменения модуля вектора намагниченности, и решетка скирмионов возникала спонтанно, без приложения внешнего
магнитного поля. Необходимым условием существования скирмионов в объемных образцах было отсутствие преобразования инверсии в группе магнитной
симметрии кристалла. Также в [58] указывается, что наиболее обширным классом кандидатов на обнаружение скирмионов являются поверхности и интерфейсы магнитных материалов, где сама геометрия образца нарушает центральную
симметрию, и, следовательно, может привести к появлению киральных взаимодействий, подобных взаимодействию Дзялошинского-Мория.
Необходимо подчеркнуть, что эти взаимодействия не играют никакой роли
в образовании и обеспечении стабильности вихрей и ЦМД; здесь определяющим фактором является магнитостатическая энергия. В случае дисковидного
образца вектор намагниченности вблизи его края стремится расположиться по
касательной к окружности, чтобы минимизировать магнитные заряды на боковой поверхности и энергию полей размагничивания. В сочетании с обменными
силами это приводит к вихревой структуре, сингулярной в центре: вектор на-
42
магниченности выходит в центре диска из его плоскости, уменьшая тем самым
обменную энергию (см., например, [59, 60]). Также поля размагничивания являются причиной образования магнитных доменов — в частности, цилиндрических [3]. В отсутствие магнитного поля размеры ЦМД задаются соотношением
магнитостатической энергии и поверхностной энергии доменной границы.
Разная природа скирмионов, магнитных вихрей и ЦМД отражается в распределении вектора намагниченности. ЦМД представляет собой центральную
область постоянной намагниченности, разделенную с внешним объемом доменной границей. Размеры цилиндрического домена превышают характерные размеры скирмиона в сотни раз. Особенностью магнитного вихря является сингулярность в его центре; скирмионы, в свою очередь, несингулярны: в уединенном скирмионе угол отклонения вектора намагниченности от вертикали зависит от радиальной координаты линейно вблизи центра и экспоненциально —
ближе к окраине [61]. Следует отметить, что существенным отличием скирмионов от вихрей и ЦМД является киральная природа первых. Взаимодействие
Дзялошинского-Мория стабилизирует скирмионы с определенным направлением закрученности, в то время как для вихрей и ЦМД предпочтительная киральность отсутствует.
Кроме того, скирмионы являются двумерными солитонами1 , стабильность
которых обеспечивается локальной конкуренцией короткодействующих взаимодействий — обменного и взаимодействия Дзялошинского-Мория [62]. В этом
смысле они родственны доменным границам — одномерным солитонам, обусловленным конкуренцией обменной энергии и энергии анизотропии. Дипольдипольное взаимодействие, напротив, не является локальным и не обеспечивает
“топологическую” стабильность ЦМД и вихрей.
Топологический заряд
Каждой микромагнитной структуре, принадлежащей к одному из рассмотренных выше классов, присущ определенный топологический заряд. Он показывает, сколько раз направление вектора намагниченности в данной структуре
1
Здесь под размерностью понимается число координат, необходимых для задания распределения вектора
~ =M
~ (x). Возможна
намагниченности. Для простейшей доменной границы размерность D = 1, поскольку M
и другая трактовка размерности: доменная граница двумерна, поскольку является плоскостью. Размерность
во втором смысле будем обозначать прописной буквой d.
43
заметает поверхность сферы. Для скирмионов и цилиндрических магнитных доменов топологический заряд — целое число, а для вихрей он равен ± 1/2, так
как вектор намагниченности при движении от окраины к центру вихря переходит из горизонтального положения в вертикальное, т.е. лежит либо в верхней,
либо в нижней полусфере.
При известном распределении вектора намагниченности топологический
заряд S можно вычислить по формуле:
1
S=
4π
Z
~n ·
∂~n ∂~n
×
dxdy,
∂x ∂y
(1.4)
где ~n указывает направление вектора намагниченности. Смысл формулы состоит в том, чтобы проинтегрировать по реальному пространству “элементарный”
телесный угол, образованный соседними векторами намагниченности, и разделить на полный телесный угол сферы.
Для вихря важную роль играет полярность — знак z-компоненты вектора
намагниченности в его центре. Независимо от полярности вихрь может обладать разным индексом намотки (winding number), являющимся целым числом,
показывающим, сколько оборотов делает вектор намагниченности в плоскости диска при обходе по его окружности. В случае, если направление поворота вектора намагниченности совпадает с направлением обхода, индекс намотки положителен, и структура является вихрем; в противном случае это
число отрицательно, и такая структура называется антивихрем. Топологический заряд вихря можно выразить через полярность и индекс намотки как
S = − 21 (полярность) × (индекс намотки). Таким образом, возможны четыре
типа (анти)вихрей первого порядка. Пара вихрь-антивихрь может быть как топологически тривиальной (при одинаковых полярностях, S = 0), так и нетривиальной и быть эквивалентной скирмиону или антискирмиону [63].
Отметим, что, в силу дискретности кристаллической решетки, топологический заряд, вообще говоря, не сохраняется. Как только масштаб неоднородности становится сравним с постоянной решетки, возможны разрывные изменения распределения намагниченности, сопровождающиеся изменением топологического заряда [64]. Но при отсутствии внешнего воздействия обменная
энергия удерживает распределение намагниченности от таких деформаций, по-
44
этому спонтанно они не происходят.
Переключение структуры микромагнитных объектов
Идеи применения скирмионов в устройствах памяти сводятся на данный
момент к кодированию информации с помощью факта наличия или отсутствия
скирмиона в данном участке носителя. В частности, в работе [65] проведено численное моделирование зарождения и перемещения скирмионов в тонких пленках с помощью спин-поляризованного тока. Преимуществом скирмионов относительно доменных границ в подобных схемах магнитной памяти (racetrack
memory, см. [66]) является сравнительно низкая величина токов, требующихся
для перемещения скирмионов по “трэку”.
Но принципиально такая схема подобна памяти на ЦМД, технология которой претерпела бурное развитие в 70–80-х годах прошлого века, и практически
исчезла после 90-х. Как отмечалось выше, каждая локализованная микромагнитная структура обладает числовыми характеристиками, принимающими для
стабильных конфигураций дискретные наборы значений. Если кодировать данные с помощью “внутреннего” свойства структуры — топологического заряда,
киральности или полярности (в случае вихря), то исчезает необходимость перемещать структуру в пространстве.
Изменение топологического заряда осуществляется путем внедрения со
свободной поверхности образца точки Блоха — нуль-мерного сингулярного топологического дефекта (d = 0). В точках в малой окрестности точки Блоха
вектор намагниченности принимает все возможные направления [3]. В работе [67] рассматривается переключение полярности вихря под действием статического магнитного поля, при котором точка Блоха продвигается вдоль линии ядра вихря. При этом отмечено, что микромагнитное моделирование точки
Блоха следует проводить с осторожностью, поскольку этот дефект не описывается непрерывным распределением вектора намагниченности. Сингулярный
характер точки Блоха приводит к появлению “трения о сетку” — зависимости
подвижности дефекта от шага сетки, используемой для дискретной аппроксимации непрерывных полей.
Подобный эффект рассмотрен и для реальных систем, с той разницей,
45
что в роли сетки для вычислений выступает атомная решетка [68]. Ввиду того,
что в точке Блоха вектор намагниченности изменяется в сколь угодно близкой окрестности центра, кристаллический периодический потенциал приводит
к ее пиннингу. Например, в кубическом кристалле оптимальным с точки зрения
обменной энергии положением центра точки Блоха будет являться центр кубической ячейки. Движение точки Блоха в центр соседней ячейки будет происходить через положение в центре грани куба, в котором угол между магнитными
моментами увеличится — следовательно, возрастет и обменная энергия.
Использование постоянного магнитного поля для переключения полярности ядра вихря не является оптимальным способом. Так, в работе [69] было
теоретически и экспериментально показано, что для переключения полярности вихря в квадратной пермаллоевой частице (размерами 1500×1500×50 нм)
достаточно приложить магнитное поле амплитудой 0.1 мТ и близкой к резонансу частотой 250 МГц (против значения 331 мТ для статического магнитного поля [67]). Динамика переключения полярности вихря в нестационарном
режиме, которая может отвечать процессу переключения, наблюдавшемуся в
квадратных пермаллоевых образцах, была рассмотрена в [63]. Для этого в ходе
численных экспериментов были изучены трехчастичные рассеяния пар вихрьантивихрь на вихре. При столкновении вихря v1+ с топологически тривиальной
−
парой вихрь-анитивихрь v2− a−
2 , в которой антивихрь a2 имеет полярность, про-
тивоположную полярности вихря v1+ , происходит аннигиляция вихря v1+ с антивихрем a−
2 . Она сопровождается изменением топологического заряда системы
на единицу и излучением энергии в виде спиновых волн. В результате “выживает” только вихрь v2− , что можно трактовать как переключение полярности
вихря v1+ .
Недавно был предложен новый способ переключать полярность вихря циркулярно поляризованным светом — на основе топологического обратного эффекта Фарадея [70]. Теоретически было показано, что поляризованный свет
особенно эффективно взаимодействует с распределением намагниченности, характеризующимся нетривиальной топологией. В области, где находится вихрь,
электроны проводимости приобретают фазу Берри, то есть осуществляется связь
между координатами в реальном пространстве и спиновой частью волновой
функции. Этот механизм играет роль спин-орбитального взаимодействия, необ-
46
ходимого для существования “обычного” обратного эффекта Фарадея. Поскольку вихрь может нести квант магнитного потока h/e, эффективные поля при
размерах в десятки нанометров могут достигать единиц тесла.
Расчеты показали, что при наличии такого распределения намагниченности действие циркулярно поляризованного света приводит к возникновению эффективного магнитного поля, пропорционального плотности топологического
заряда и направленного по или против вектора намагниченности в каждой точке магнитной структуры (в зависимости от знака циркулярной поляризации).
Таким образом, эффект должен работать при температурах, отличных от нуля,
когда тепловые флуктуации могут вывести вектор намагниченности из положения неустойчивого равновесия. Оценки показывают, что время переключения
вихря может быть уменьшено на два порядка по сравнению с временем переключения электрическим током. Возможно, этот эффект играет определенную
роль в зарождении пар вертикальных блоховских линий лучом лазера [71].
Большая часть работ о переключении вихрей посвящена переключению
полярности вихря, то есть направления вектора намагниченности в его центре.
Однако возможно и управление индексом намотки: результаты численного моделирования свидетельствуют, что переключение вихрь — антивихрь возможно в магнитоэлектрике с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом [72].
В таком кристалле распределение намагниченности определенной симметрии
может наводить неоднородную электрическую поляризацию, характеризующуюся той же симметрией, и, следовательно, распределение электрического заряда. Это позволяет влиять на микромагнитную структуру путем приложения
неоднородного электрического поля. Расчеты показали, что электрическое поле от нити, проходящей через центр диска, содержащего магнитоэлектрический
вихрь, может превратить его в антивихрь. Обратное переключение производится подачей на нить напряжения противоположного знака.
Интересный способ управления сразу двумя характеристиками вихря, полярностью и киральностью, с помощью магнитного поля рассматривается в
работах [73–75]. Киральность вихря определяется тем, по или против часовой
стрелки закручено в нем распределение вектора намагниченности. Она является параметром, плохо поддающимся управлению, поскольку поля размагничивания идентичны для двух киральностей вихря. Для переключения полярности,
47
казалось бы, необходимо приложить магнитное поле перпендикулярно плоскости диска. Тем не менее, авторы данной серии работ добились переключения
обоих параметров с помощью магнитного поля, лежащего в плоскости диска.
Секрет кроется в том, что из диска был вырезан сектор с углом раствора 45◦ и
глубиной, равной трети радиуса диска, что придало ему сходство с компьютерным персонажем (“Pac-man-like nanodot”). Переключение осуществлялось путем
намагничивания образца до однородного состояния и последующего уменьшения магнитного поля до нуля. Полярность конечного состояния вихря определялась тем, вдоль какого из краев выемки было направлено магнитное поле, а
киральность — знаком проекции напряженности на соответствующее направление. При этом четыре возможных состояния были вырождены по энергии,
стабильны в отсутствие поля, а требуемое переключение осуществлялось со
стопроцентной вероятностью. Напряженность управляющего поля составляла
около 100 мТ, а размеры пермаллоевой наночастицы — 70 нм диаметр и 40 нм
толщина. Плотность хранения информации массивом таких частиц оценивается
как 1 терабит на квадратный дюйм.
ЦМД также не остаются без внимания исследователей, поскольку, несмотря на сравнительно большие размеры, они могут хранить в себе несколько бит
информации — за счет изменения топологического заряда. Оно может быть реализовано путем зарождения вертикальных блоховских линий с помощью градиента магнитного поля [76]. В работе были рассмотрены уединенные ЦМД как
стабильные спонтанные состояния магнитного диска. Было показано, что под
~ = (0, 0, gx), где x — коордидействием неоднородного магнитного поля вида H
ната в плоскости, а g — параметр градиента, ЦМД приходили в движение по
сложной циклической траектории. Их динамика описывалась коллективными
координатами, представлявшими собой координаты “центра масс” топологического заряда (за исключением случая S = 0). При достаточно сильном градиенте поля распределение намагниченности претерпевало разрывную деформацию,
сопровождавшуюся изменением топологического заряда ЦМД. Авторы работы
всерьез рассматривают возможность практического применения обнаруженных
эффектов, о чем свидетельствует их патент [77], описывающий устройство памяти на основе рассмотренной системы.
48
Рис. 1.13: Скирмионы в MnSi [78]: а — фазовая диаграмма, на которой решетка скирмионов отмечена как А-фаза; б — шесть дифракционных максимумов, свидетельствующих о
наличии гексагональной магнитной структуры в плоскости, перпендикулярной приложенному магнитному полю. Направление магнитного поля не связано с кристаллографической
ориентацией образца.
1.5.2
Примеры реальных систем
Экспериментальные свидетельства существования скирмионов
Впервые скирмионы были экспериментально обнаружены в гелимагнетике
MnSi [78]. Ниже температуры Кюри в этом веществе реализуется, в зависимости
от величины приложенного магнитного поля, геликоидальная или коническая
структура (поле прикладывалось вдоль оси [100]). Было установлено, что вблизи температуры упорядочения, в небольшом интервале значений температуры
и индукции магнитного поля, кристалл находится в некоторой новой “фазе А”
(рис. 1.13 а). О том, что на границе этой области действительно происходит
фазовый переход, свидетельствовали пики величины теплоемкости и скачкообразное уменьшение магнитной восприимчивости, сопровождавшиеся резким
переключением дифракционной картины в нейтронографических данных.
При этом пучок нейтронов был сонаправлен с вектором индукции магнитного поля. Такая геометрия отличается от стандартной, поскольку волновой
вектор модулированной структуры обычно ориентируется по магнитному полю, и для изучения распределения намагниченности пучок нейтронов направляют перпендикулярно этой оси. Оказалось, что на дифракционной картине
наблюдаются шесть максимумов в вершинах правильного шестиугольника —
49
признак гексагональной решетки скирмионов — независимо от взаимной ориентации магнитного поля и кристаллографических осей образца (рис. 1.13 б). В
этом состоит отличие рассматриваемой системы от изученных ранее магнитных
структур с несколькими волновыми векторами, которые были жестко “привязаны” к кристаллической решетке.
То, что гексагональная решетка скирмионов является стабильной конфигурацией в указанной области фазовой диаграммы, было продемонстрировано
и теоретически. Для этого авторам пришлось учесть гауссовы поправки к решениям в приближении среднего поля, поскольку в отсутствие тепловых флуктуаций решетка скирмионов была лишь метастабильным состоянием.
Аналогичные экспериментальные результаты — шесть Брэгговских пиков
— были получены и для соединения Fe1−x Cox Si, x = 0.2 [79]. Вещество с близким
составом, Fe0.5 Co0.5 Si, позволило сделать следующий важный шаг в изучении
скирмионов — наблюдать их в реальном, а не Фурье-, пространстве посредством Лоренцевой электронной микроскопии [80]. Образец представлял собой
тонкую пленку, магнитную структуру которой можно считать двумерной: пространственный период геликоиды (90 нм) превышал толщину пленки, поэтому
ее волновой вектор лежал в плоскости пленки. Магнитное поле, приложенное
перпендикулярно пленке, приводило к подавлению геликоиды и появлению решетки скирмионов (рис. 1.14 а).
На рисунке 1.14 б показано экспериментальное изображение решетки скирмионов. Центральные области скирмионов и пространство между ними черные,
поскольку Лоренцева электронная микроскопия нечувствительна к нормальной
компоненте вектора намагниченности. Распределение его плоскостной компоненты в данном случае даже более информативно: оно позволяет непосредственно убедиться, что мы имеем дело с решеткой скирмионов, обладающих
одинаковой киральностью. Кроме того, были сделаны снимки магнитной структуры в переходных областях фазовой диаграммы: на рис. 1.14 а (1) видно, как
геликоида превращается в решетку скирмионов, а рис. 1.14 а (3) показывает отдельные скирмионы в процессе перехода между решеткой скирмионов и фазой
однородной намагниченности в сильном магнитном поле.
Для нейтронографических исследований требовались объемные образцы
толщиной порядка миллиметра, и область “фазы А” на фазовой диаграмме
50
Рис. 1.14: Скирмионы в Fe0.5 Co0.5 Si [80]: а — фазовая диаграмма. Цифрами отмечены точки,
соответствующе врезкам в верхней части рисунка; б — изображение решетки скирмионов,
полученное с помощью Лоренцевой электронной микроскопии.
была небольшой. В случае тонкой пленки решетка скирмионов оказалась стабильной в более широком диапазоне значений температуры и магнитного поля.
Подробнее зависимость стабильности решетки скирмионов от толщины образца
изучалась в работе [81]. Был изготовлен клиновидный образец FeGe, толщина
которого менялась от 15 нм до сотен нанометров (при периоде геликоиды около
70 нм). Исследования подтвердили, что чем меньше толщина пленки, тем шире
“окно стабильности” скирмионов.
Пленки FeGe были поликристаллическими, что позволило получить интересный кадр, включающий границу раздела зерен (рис. 1.15 а). Инверсия яркости, происходящая на границе (рис. 1.15 б), свидетельствует о смене киральности скирмионов, причиной которой является смена киральности кристаллической структуры в зернах, определяющей знак взаимодействия ДзялошинскогоМория. Также следует отметить, что скирмионы наблюдались при сравнительно высокой температуре (260 К на приведенном изображении).
Следуя логике “чем тоньше образец — тем стабильнее скирмионы”, идеальным местом для их изучения являются истинно двумерные системы. Действительно, квадратная решетка миниатюрных скирмионов (размерами 1 нм на
1 нм, рисунок 1.16 а), обнаруженная в монослое железа на иридиевой подложке,
51
Рис. 1.15: Скирмионы в поликристаллическом FeGe, штриховым пунктиром показана граница между зернами [81]: а — распределение вектора намагниченности в плоскости пленки;
б — исходное недофокусированное изображение (under-focused).
Рис. 1.16: Наноскирмионы в монослое Fe [82]: а — схематическое изображение микромагнитной структуры, штриховым пунктиром отмечена ячейка решетки скирмионов; б, в, г —
экспериментальные изображения. Стрелка в верхнем правом углу показывает направление,
в котором намагничена игла микроскопа. На врезках приведены результаты численного моделирования ожидаемого сигнала.
качественно отличалась от объектов предыдущих исследований: она была стабильна в отсутствие внешнего поля и представляла собой спонтанное состояние
системы [82].
Изображения на рисунках 1.16 б, в, г были получены с помощью спинполяризованной сканирующей туннельной микроскопии. Игла была намагничена в плоскости монослоя, что позволило измерить компоненты вектора намагниченности в плоскости. В образце наблюдались три “домена”, повернутые
друг относительно друга на 120◦ и соответствующие трем возможным взаимным ориентациям квадратной решетки скирмионов и гексагональной кристаллической решетки. Врезки показывают результаты численного моделирования
сигнала микроскопа при соответствующем взаимном расположении вектора намагниченности иглы и магнитной решетки, необходимого для трактовки экспе-
52
риментальных данных.
Предложенная в работе теоретическая модель включает, помимо обменного и антисимметричного взаимодействия Дзялошинского-Мория, четырехспиновое взаимодействие. Оно делает решетку скирмионов более выгодной,
чем спиновая спираль. Взаимодействие Дзялошинского-Мория, в свою очередь,
уменьшает энергию решетки скирмионов по сравнению с решеткой антискирмионов. Большая константа ДМ-взаимодействия обусловлена, с одной стороны,
двумерной геометрией образца, а с другой — большим атомным весом иридия, служащего подложкой. Еще одной интересной особенностью рассматриваемой системы является несоразмерность решетки скирмионов с кристаллической решеткой. Метод спин-поляризованной сканирующей туннельной микроскопии требует низких температур, поэтому опыты проводились при температуре около 11 К. Теоретические расчеты показывают, что решетка наноскирмионов должна существовать в отсутствие магнитного поля и при комнатных
температурах.
“Возникающая” электродинамика (Emergent electrodynamics)
Термин “топологический заряд” может ввести в заблуждение: будто обнаружен новый, отличный от электрического или эффективного магнитного,
заряд. Но это не более чем числовая характеристика, позволяющая классифицировать отображения, в случае распределения вектора намагниченности — из
трехмерного пространства на двумерную сферу. Тем не менее, именно нетривиальная топология скирмионов приводит к возникновению эффективных магнитного и электрического полей, действие которых на реальные электроны было продемонстрировано как теоретически [83], так и экспериментально [84].
При условии того, что размер скирмиона существенно превышает Фермиевскую длину волны электрона проводимости, электрон воспринимает такое распределение намагниченности как адиабатически медленно изменяющееся магнитное поле (1.17 б). Следовательно, пролетая сквозь скирмион, электрон приобретает фазу Берри, которая может быть представлена в форме фазы
Ааронова-Бома, соответствующей эффективным магнитному и электрическому
53
Рис. 1.17: а — зависимость холловского сопротивления от плотности электрического тока в
отсутствие (вверху) и при наличии в образце решетки скирмионов (внизу) [84]; б — поворот
спина электрона при его движении через скирмион приводит к изменению его траектории
под действием эффективного магнитного поля [85].
полям:
~ ie = ~ ijk~n(∂i~n × ∂j ~n),
B
2
~ ie = ~~n(∂i~n × ∂t~n)
E
Магнитное поле здесь представлено как телесный угол бесконечно малой
петли в пространстве, а электрическое — в пространстве-времени. Отметим
~ e пропорциональна подынтегральнотакже, что величина магнитного поля B
i
му выражению в формуле (1.4) для топологического заряда. Это значит, что
каждый скирмион, обладая дискретным топологическим зарядом, несет целое
число квантов магнитного потока. Отсюда следует, что при движении решетки скирмионов по кристаллу в каждой точке будет периодически изменяться
магнитный поток, приводя к возникновению электрического поля.
Экспериментально эти явления были изучены с помощью эффекта Холла в образце MnSi: по нему пропускали электрический ток и измеряли поперечное сопротивление. На рисунке 1.17 а показана зависимость холловского
сопротивления от плотности тока. В отличие от верхнего графика, на нижнем
наблюдается заметное уменьшение сопротивления при превышении плотностью
тока критической величины jc . Разница объясняется тем, что во втором случае
эксперимент проводился при чуть более низкой температуре, и в образце возникала решетка скирмионов. Как только плотность тока превышала критиче-
54
ское значение, сила Магнуса “срывала” скирмионы с дефектов, и они начинали
двигаться по направлению тока. При этом в направлении, перпендикулярном
дрейфу, возникало электрическое поле. Плотность тока, необходимая для перемещения скирмионов, на пять-шесть порядков меньше аналогичной величины
для доменных границ.
Необходимо также отметить, что плотность топологического заряда играет
ключевую роль в динамике вихрей и антивихрей [63], а топологический заряд
ЦМД непосредственно входит в уравнение движения — уравнение Тиля [86],
вызывая появление “гироскопических” сил.
Магнитоэлектрические скирмионы
Скирмионы как наиболее компактные изолированные микромагнитные объекты представляют большой практический интерес в качестве элементов памяти [61]. Стабильность скирмионов может сделать память на их основе энергонезависимой, а низкие управляющие токи позволят уменьшить затраты на перезапись по сравнению с подобными технологиями на базе доменных границ. Но
токовое управление не является оптимальным с точки зрения тепловых потерь:
энергозатраты можно свести к минимуму, если управлять микромагнитными
структурами с помощью электрического поля. Подобными соображениями руководствовались авторы работ, в которых были изучены магнитные и электрические свойства решетки скирмионов в мультиферроике Cu2 OSeO3 [87, 88].
Кристаллическая решетка этого диэлектрика принадлежит той же пространственной группе, что и сплавы MnSi и FeCoSi, в которых скирмионы были обнаружены впервые. Структура решетки не позволяет задать полярного
направления, поэтому в спонтанном состоянии поляризация равна нулю. Магнитное поле может индуцировать различные спиновые конфигурации, понижающие симметрию системы и приводящие к появлению электрической поляризации. Во второй работе величина поляризации была измерена путем регистрации
тока между электродами на противоположных гранях образца, возникающего
при вращении направления приложенного магнитного поля вокруг одной из
кристаллографических осей.
На рисунке 1.18 а приведены соответствующие зависимости различных
55
Рис. 1.18: Магнитоэлектрический эффект и скирмионы в Cu2 OSeO3 [87]: а — зависимость
электрической поляризации образца в парамагнитном состоянии от угла, задающего направление магнитного поля; б — пространственное распределение вектора поляризации (верхний
ряд) и плотности электрического заряда (нижний ряд) от направления магнитного поля; в
— направление электрической поляризации согласно модели d-p гибридизации.
компонент электрической поляризации от углов, задающих направление магнитного поля. Намагниченность при этом следовала за направлением магнитного поля, то есть образец пребывал в однородной ферримагнитной фазе. Измеренные синусоидальные зависимости позволили сделать вывод о том, что в
материале реализуется новый тип магнитоэлектрического взаимодействия, описываемый моделью d-p гибридизации [89]. В отличие от хорошо изученных механизмов возникновения поляризации, дающих поляризацию, пропорциональную скалярному или векторному произведению соседних векторов намагниченности (оба равны нулю в данном случае), модель d-p гибридизации связывает
поляризацию с углом между вектором намагниченности магнитного иона и направлением на ион кислорода (рис. 1.18 в):
p~ij ∝ (~eij · hm
~ i i)2~eij
Теоретическая зависимость, описываемая этим выражением (рис. 1.18 а, штриховая линия) практически совпадает с экспериментальными результатами
(сплошные линии). С помощью этого выражения были рассчитаны распреде-
56
Рис. 1.19:
Скирмионоподобные структуры с переменной киральностью в
BaFe12−x−0.05 Scx Mg0.05 O19 [91]: а — распределение вектора намагниченности в плоскости образца, полученное с помощью Лоренцевой микроскопии; б — траектория, описываемая
вектором намагниченности при движении от окраины к центру (цифрами обозначены точки,
соответствующие точкам на рисунке а); в — гексагональная решетка вихревых структур.
ления электрической поляризации и плотности электрического заряда внутри
скирмиона при разных направлениях магнитного поля (рис. 1.18 б). На рисунках в верхнем ряду изображено распределение вектора электрической поляризации, на рисунках под ними — соответствующее распределение плотности
электрического заряда. Было установлено, что каждый скирмион, в зависимости от направления приложенного магнитного поля, может обладать дипольным или квадрупольным электрическим моментом. При этом направление результирующей электрической поляризации (если она отлична от нуля) может
быть перпендикулярно или параллельно направлению приложенного магнитного поля. Отсюда следует гипотетическая возможность перемещать отдельные
скирмионы, прикладывая к ним неоднородное электрическое поле [90].
Также внимания заслуживают скирмионоподобные структуры в гексаферрите BaFe12−x−0.05 Scx Mg0.05 O19 , являющемся мультиферроиком [91,92]. О магнитоэлектрических свойствах этих объектов ничего не сообщается, но их магнитная структура достаточно любопытна сама по себе: диполь-дипольное взаимодействие приводит к неоднократной смене киральности внутри каждого “скирмиона” (рис. 1.19 а, б). При этом существуют два типа структур, отличающиеся
знаком общего распределения киральности (темные и светлые круги на рисунке 1.19 в). Из рисунка следует, что ни один из типов структур не является
предпочтительным, поскольку их магнитостатические энергии равны. Отметим
57
Рис. 1.20: Управление отдельными скирмионами с помощью туннельного тока: а — схематичные изображения потенциальной энергии скирмиона, зависящей от внешнего поля; б —
исходное состояние после уменьшения индукции магнитного поля от 3 Тл до 1.8 Тл. Выделены четыре скирмиона; в — состояние после пропускания в нескольких точках образца
спин-поляризованного туннельного тока [93].
разницу с изображением решетки киральных скирмионов (рис. 1.15 б).
Возникновение и исчезновение отдельных скирмионов
В двухатомном слое PdFe на иридиевой подложке были впервые продемонстрированы манипуляции со скирмионами, важность которых для технологий
хранения информации трудно переоценить: чтение и запись отдельных скирмионов с помощью спин-поляризованного туннельного тока [93]. Идея состояла
в том, чтобы путем приложения магнитного поля попасть в область фазовой
диаграммы, аналогичную отмеченной точкой (3) на рисунке 1.14 а, то есть соответствующую промежуточному состоянию между решеткой скирмионов и однородно намагниченном ферромагнитным состоянием. Такое состояние реализуется при значениях магнитного поля, близких к B0 , отмеченному на рисунке
1.20 а. На рисунке 1.20 б показано состояние, полученное после уменьшения напряженности магнитного поля из состояния однородной намагниченности. На
изображении выделены четыре скирмиона, образовавшиеся вблизи дефектов.
Эксперимент проводился при температуре T = 4.2 К.
Затем с помощью иглы туннельного микроскопа через различные точки
образца пропускался спин-поляризованный ток. Это приводило к появлению
58
в соответствующих местах скирмионов (1.20 в). Рассматривались несколько
возможных механизмов переключения: тепловой шум, локальный нагрев изза протекания тока, передача энергии инжектированных электронов и спиновый вращающий момент. С целью установить истинную причину зарождения и
уничтожения скирмионов, были предприняты эксперименты, в которых частота переключения измерялась как функция тока, напряжения и приложенного
магнитного поля. Например, при значениях напряжения на игле U = 300 мВ,
тока I = 300 нА и индукции магнитного поля B = 2.7 Тл переключение между
скирмионом и состоянием однородной намагниченности происходило в среднем
один раз в 15 секунд. Измерения показали, что частота переключения существенным образом зависит от приложенного напряжения и линейно — от силы
тока. Последнее означает, что среднее число электронов, необходимое для переключения, в среднем постоянно и не зависит от силы тока. Было установлено,
что движущей силой переключения является энергия электронов |eU |, а спиновый вращающий момент делает одно из направлений перехода более выгодным,
чем другое.
Изменение структуры микромагнитных объектов
Как отмечалось выше, изменение топологических свойств распределения
намагниченности невозможно без участия сингулярного топологического дефекта. Исследования процесса изменения топологического заряда были проведены путем измерения количества скирмионов на двух поверхностях образца
Fe0.5 Co0.5 Si в зависимости от величины приложенного магнитного поля методом
магнитно-силовой микроскопии [94]. Перед измерениями осуществлялось охлаждение образца в присутствии магнитного поля, что привело к существованию
скирмионов как метастабильного состояния при температурах значительно ниже критической температуры перехода “парамагнитное состояние – решетка
скирмионов” (рабочая температура T = 10 К, температура фазового перехода
Tc = 45 К). Возможность “отойти” от точки фазового перехода по шкале температур крайне важна для изучения топологических характеристик распределения вектора намагниченности, поскольку вблизи фазового перехода величина намагниченности подвержена сильным флуктуациям и может обращаться
59
Рис. 1.21: а — схематичное изображение слияния двух нитей скирмионов посредством “монополя” (вверху) и экспериментальное изображение поверхности образца Fe0.5 Co0.5 Si, полученное с помощью магнитно-силовой микроскопии (внизу) [94]; б,в — цилиндрическисимметричные структуры, зарожденные в пленке Tb22 Fe66 Co9 лучом лазера. На верхних
рисунках представлены распределения угла фарадеевского вращения, соответствующего zкомпоненте вектора намагниченности, на нижних — профиль центрального сечения того
же распределения. Плотность энергии лазерного импульса составляет 5 мДж/см2 (б) и
7 мДж/см2 (в) [95].
в ноль, поэтому микромагнитные структуры не обладают топологической стабильностью.
Измерения показали, что изменение величины напряженности магнитного поля приводит к слиянию соседних скирмионов и образованию вытянутых
структур (рис. 1.21 а). Распределение вектора намагниченности в толще пленки
недоступно для изучения с помощью магнитно-силовой микроскопии, поэтому
было проведено микромагнитное моделирование. Достоверность его результатов была проверена сопоставлением полученных значений плотности скирмионов на поверхностях образца с экспериментальными данными. Моделирование
показало, что слияние двух скирмионов происходит путем продвижения сквозь
образец магнитного “монополя”, соединяющего их подобно застежке “молния”.
Также об изменении топологических характеристик распределения вектора намагниченности сообщается в работе [95]: микромагнитные структуры
зарождались в ферримагнитной пленке сплава Tb22 Fe66 Co9 лучом лазера, и в
зависимости от его интенсивности обладали различным топологическим заря-
60
дом. Лазерный импульс длительностью 150 фс с длиной волны λ = 800 нм был
циркулярно поляризован, а его плотность энергии составляла от 4 мДж/см2
до 11 мДж/см2 . На рисунке 1.21 б приведено магнитооптическое изображение
структуры с топологическим зарядом S = +1, полученное в результате действия импульса с плотностью энергии, равной 5 мДж/см2 .
При значениях ниже 4 мДж/см2 микромагнитные структуры не зарождались; в интервале от 5 мДж/см2 до 7 мДж/см2 образовывались кольцеобразные
структуры с топологическим зарядом S = 0 (рис. 1.21 в). При дальнейшем увеличении плотности энергии лазерного импульса происходило образование более сложных структур, форма которых была менее предсказуемой. В отличие
от киральных скирмионов, стабильность этих структур обеспечивается дипольдипольным взаимодействием. Отмечается, что стабильность нанодоменов, подобных изображенному на рисунке 1.21 б, достаточно высока: они не исчезали
по прошествии года после зарождения. С учетом того, что эффект наблюдается
при комнатной температуре, авторы указывают на возможности его применения в технологиях хранения информации. Однако мощность импульса света,
требуемая для зарождения микромагнитных структур, слишком высока для
практического применения — о чем говорит хотя бы тот факт, что лазерный
импульс с плотностью потока, превышающей 15 мДж/см2 , приводил к необратимому повреждению образца.
1.6
Выводы из обзора литературы и постановка задачи
Эффект движения магнитных доменных границ под действием неоднород-
ного электрического поля, описанный в разделе 1.4.2, во многом уникален: он
наблюдается при комнатной температуре и является на данный момент единственным прямым экспериментальным свидетельством наличия у доменных
границ локальных магнитоэлектрических свойств. Существование поляризации
доменных границ, по всей видимости, обусловлено неоднородным магнитоэлектрическим эффектом, носящим весьма общий характер, что делает вероятным
обнаружение подобных явлений в других веществах с магнитными доменными
границами. При этом тип магнитного параметра порядка не играет роли: соображения симметрии, лежащие в основе теоретической модели, работают как
61
для ферро-, ферри-, так и для антиферромагнитных доменных границ.
Неоднородный магнитоэлектрический эффект позволяет предположить наличие электрической поляризации у скирмионов — необычных компактных
микромагнитных объектов, необходимым условием существования которых является отсутствие в системе центра инверсии.
Таким образом, по итогам обзора литературы можно сформулировать следующие задачи дальнейших исследований:
• Построение теоретической модели для объяснения наблюдаемого движения доменных границ под действием электрического поля. Обоснование
гипотезы о том, что движение доменных границ связано с наличием у них
электрической поляризации обусловленного неоднородным магнитоэлектрическим эффектом.
• Изучение электростатических свойств топологических дефектов пониженной размерности, возникающих внутри доменных границ — вертикальных
блоховских линий и точек Блоха.
• Рассмотрение возможности зарождения скирмионов электрическим полем
посредством неоднородного магнитоэлектрического эффекта.
62
Глава 2
Геометрический анализ микромагнитной
структуры доменных границ
2.1
Введение
Неоднородный магнитоэлектрический эффект связывает электрическую
поляризацию и пространственно-неоднородное распределение намагниченности.
При этом наличие электрической поляризации зависит от того, позволяет ли
микромагнитная структура неоднородности задать полярное направление. Следовательно, проверка гипотезы о том, что неоднородный магнитоэлектрический
эффект является механизмом, обуславливающим движение доменных границ
под действием электрического поля, требует детального изучения их микромагнитной структуры.
Вид микромагнитной структуры может быть установлен тем же способом, который использовался при выводе решения (1.3): путем поиска экстремума свободной энергии системы. Однако в данном случае такой подход будет
связан с поиском аналитического решения весьма непростой задачи. Согласно данным [96], образцы, в которых эффект смещения доменных границ имеет
место, характеризуются существенным отклонением направления вектора намагниченности в доменах от нормали к пленке и большими значениями константы ромбической анизотропии в плоскости пленки. Соответствующий вклад
в плотность свободной энергии имеет, согласно модели [97], следующий вид:
wind = −Ku (m
~ · ~nu )2 + Kr (m
~ · ~nr )2 ,
(2.1)
где Ku , ~nu — константа и орт одноосной анизотропии, Kr , ~nr — константа и
орт ромбической анизотропии. Кроме того, как будет показано в главе 3, описание электростатических свойств доменных границ требует учета неоднородного
магнитоэлектрического взаимодействия, задаваемого соотношением (1.1).
Зададим направление вектора намагниченности углами (θ, ϕ) сферической
системы координат с осью x, перпендикулярной плоскости доменной границы и
63
осью z, перпендикулярной поверхности пленки. Запишем уравнения ЛагранжаЭйлера для одномерной задачи, которым должны удовлетворять зависимости
θ(x) и ϕ(x) равновесного распределения вектора намагниченности:
∂w
∂ ∂w
δw
≡
−
=0
δθ
∂θ
∂x ∂(θx )
(2.2)
∂w
∂ ∂w
δw
≡
−
= 0,
δϕ
∂ϕ ∂x ∂(ϕx )
(2.3)
где нижний индекс обозначает производную. Нетрудно убедиться, что вид слагаемых, отвечающих магнитной анизотропии (2.1) и магнитоэлектрическому
взаимодействию, обуславливает невозможность разделения переменных, которое было осуществлено при выводе формулы (1.3). Уравнения (2.2, 2.3) принимают общий вид

F1 (θxx , θ, ϕx , ϕ) = 0
F (θ , θ, ϕ , ϕ) = 0,
2
x
(2.4)
xx
что делает бесперспективным поиск аналитического решения.
Однако для изучения электростатических свойств доменной границы знать
точный вид зависимостей θ(x) и ϕ(x) необязательно. Достаточно информации
о симметрийных свойствах распределения вектора намагниченности, которые
проявляются в распределении вектора электрической поляризации. Изучение
связи между геометрическими параметрами распределения вектора намагниченности в доменной границе и ее электростатическими свойствами может быть
осуществлено с помощью модели, являющейся предметом рассмотрения в данной главе.
2.2
Метод
Доменная граница при H = 0
Пусть требуется найти приближенный вид распределения вектора намагниченности внутри доменной границы. Известно, что в образцах, в которых
присутствует эффект смещения доменных границ под действием электрического поля, направление вектора намагниченности внутри доменов не совпадает с
64
Рис. 2.1: Метод нахождения приближенного распределения вектора намагниченности: а —
наклон оси легкого намагничивания как результат действия преобразования R; б — распределение вектора намагниченности, полученное из исходного действием того же преобразования.
нормалью к поверхности образца. Причиной этому служит одноосная и кубическая магнитные анизотропии, совместное действие которых будем приближенно
описывать как эффективную одноосную анизотропию вида K cos2 θ0 , где θ0 —
угол между вектором намагниченности и наклоненной относительно нормали
“осью легкого намагничивания”. Ромбическую анизотропию, задающую предпочтительную плоскость разворота вектора намагниченности, на данном этапе
учитывать не будем. Таким образом, мы получили задачу, аналогичную классической задаче о доменной границе, рассмотренной в разделе 1.4.1. Разница
сводится к изменению граничных условий и вида слагаемого, соответствующего
вкладу анизотропии в свободную энергию.
Граничные условия видоизмененной задачи могут быть получены из исходных граничных условий действием некоторого преобразования R (рис. 2.1 а).
Идея метода заключается в том, что для получения приближенного решения новой задачи можно подействовать тем же преобразованием на решение исходной
задачи во всем пространстве, как показано на рисунке 2.1 б. Это автоматически приведет к удовлетворению новых граничных условий. Кроме того, решение
65
~ a
Рис. 2.2: К определению структуры доменной границы в присутствии магнитного поля H:
— угловая зависимость плотности свободной энергии одноосной анизотропии; б — структура
~ = 0; в — скручивание доменной границы под действием магнитного
доменной границы при H
поля (справа) и структура соответствующей доменной границы с учетом преобразования
граничных условий (слева).
унаследует основные свойства исходного решения, такие как гладкость и топологические характеристики. При этом полученное решение, вообще говоря, не
будет соответствовать минимуму свободной энергии, определяемому уравнениями (2.4), однако позволит установить качественные соотношения между видом
распределения намагниченности и электрической поляризацией доменной границы.
Доменная граница при H 6= 0
Действие магнитного поля H на структуру доменной границы двояко: оно,
во-первых, “скручивает” ее, и, во-вторых, наклоняет вектор намагниченности
внутри доменов. Под скручиванием1 здесь понимается изменение азимутального угла от ±π/2 (граница блоховского типа) до 0 или π (граница Нееля), такое,
1
Строго говоря, понятие “скрученная доменная граница” обозначает структуру доменной границы, изменяющуюся по толщине пленки и возникающую под действием полей размагничивания, созданных поверхностными магнитными зарядами. Однако поля размагничивания в этом случае оказывают на доменную
границу ровно то же воздействие, что и внешнее магнитное поле в рамках рассматриваемой одномерной
модели, поэтому использование термина “скручивание” представляется уместным.
66
что в результате направление вектора намагниченности в центре доменной границы приближается к направлению приложенного магнитного поля (или совпадает с ним). В случае достаточно сильной одноосной анизотропии скручивание является первичным эффектом по отношению к наклону намагниченности
в доменах. Причиной этого является то, что энергия одноосной анизотропии
определяется полярным углом θ и не зависит от азимутального угла ϕ (рис.
2.2 а), поэтому для небольших значений напряженности магнитного поля изменением θ по сравнению с изменением ϕ можно пренебречь. Под “достаточно
сильной” одноосной анизотропией понимается условие K Ms H, где Ms —
намагниченность насыщения: энергия анизотропии должна существенно превышать энергию Зеемана.
На рисунке 2.2 б изображена доменная граница блоховского типа (плоскость рисунка совпадает с плоскостью пленки). Она соответствует минимуму
энергии, поскольку при значениях азимутального угла ϕ = ±π/2 равна нулю
компонента вектора намагниченности, перпендикулярная плоскости доменной
границы. Следовательно, на доменной границе не образуются магнитные заряды, и поля размагничивания не возникают. Магнитное поле, в свою очередь,
“поляризует ” границу и поворачивает вектор намагниченности так, что азимутальный угол вектора намагниченности в центре доменной границы составляет [3]:

ϕ = arccos(Hx /8Ms ), |Hx | < 8Ms
ϕ = π/2 ± π/2,
|Hx | > 8Ms .
(2.5)
Значение угла ϕ здесь определяется конкуренцией энергии взаимодействия намагниченности с внешним магнитным полем и энергии полей размагничивания,
делающих блоховскую структуру доменной границы предпочтительной.
Если существует ромбическая анизотропия в плоскости пленки, то зависимость ϕ(Hx ) будет отличаться от приведенной, однако для нас важно, что она
останется монотонной: чем больше напряженность магнитного поля Hx , тем
больше отклонение вектора намагниченности от плоскости доменной границы.
Наконец, в образце с наклоненной относительно нормали к его поверхности
осью легкого намагничивания приближенный вид микромагнитной структуры
может быть получен путем действия преобразования R на скрученную домен-
67
ную границу, как показано на рисунке 2.2 в слева.
Электростатические свойства
Зная пространственное распределение вектора намагниченности, по формуле (1.1) можно вычислить распределение электрической поляризации:
~ (∇ · M
~ ) − (M
~ · ∇)M
~ ).
P~ = γχe (M
В дальнейшем мы будем использовать это выражение как связь между распределениями векторов безразмерной намагниченности m
~ и поляризации p~ ,
опуская размерный коэффициент Γ = γχe Ms2 . Воздействие неоднородного электрического поля на микромагнитную структуру будет задаваться соответствующим распределением плотности электрического заряда. Оно определяется как
дивергенция поляризации с обратным знаком: ρe = −∇P~ . Согласно формуле
(1.2), вектор электрической поляризации перпендикулярен направлению модуляции, то есть оси x, направленной от одного домена к другому. Но в этом
случае для рассмотренных выше доменных границ ρe ≡ 0, поскольку в одномерной задаче компоненты поляризации могут зависеть только от координаты
вдоль направления модуляции.
Тем не менее, в реальном образце плотность электрического заряда отлична от нуля, поскольку образец ограничен в пространстве. В рассматриваемом
случае речь идет о тонких пленках, то есть образец ограничен лишь вдоль оси z.
Чтобы учесть это, домножим распределение электрической поляризации (1.1)
на единичную функцию-прямоугольник Π(z), отличную от нуля лишь в интервале z ∈ (−h/2, h/2), где h — толщина образца. Вычисляя дивергенцию и интегрируя результат по оси z, получим, что поверхностная плотность заряда на
поверхностях образца σe (x, y, ±h/2) = ±Pz (x, y, ±h/2), где Pz — z-компонента
электрической поляризации.
68
Рис. 2.3: а, б — экспериментальные изображения, полученные для образца №7 (таблица
2.1): при подаче электрического напряжения U = 1500 В на электрод (1) доменная граница
(2) смещается из положения равновесия [52]; в — направление вектора намагниченности в
доменах относительно кристаллографических осей для образца №7. Ось (210) — нормаль к
поверхности образца, ось (001) направлена от одного домена к другому перпендикулярно
плоскости границы.
2.3
Доменная граница при H = 0
2.3.1
Экспериментальные факты
Рассматриваемый эффект заключается в движении доменных границ под
действием неоднородного электрического поля (рисунок 2.3). Напомним основные особенности явления, наблюдаемого в отсутствие магнитного поля. Они
сформулированы относительно направления смещения доменной границы, под
которым понимается притяжение или отталкивание от электрода.
• Направление смещения данной границы определяется знаком приложенного к электроду напряжения.
• Направление смещения не зависит от направления намагниченности в доменах, которые разделяет данная граница.
• При фиксированной полярности напряжения все доменные границы в образце смещаются в одном направлении.
Обратимся к таблице 2.1, приведенной в [5], содержащей основные параметры исследованных образцов. Заметна корреляция между тремя столбцами:
вторым, шестым и седьмым, отражающими кристаллографическую ориентацию образца, направление вектора намагниченности в доменах и факт наличия
69
№
к.о.
1
2
3
4
5
6
7
(111)
(111)
(110)
(110)
(210)
(210)
(210)
h, мкм 4πMs , Гс p, мкм
8.5
19
4
6
7.4
10
10
63
78
162
76
77
62
53.5
77
39
9.2
14
44
28
34
(θ0 , ϕ0 )
Эффект
(0, 0)
(0, 0)
(10, -53)
(10, 1.5)
(46, 207)
(46, 189)
(40, 189)
Нет
Нет
Есть
Есть
Есть
Есть
Есть
Таблица 2.1: Параметры образцов [5]: к.о. — кристаллографическая ориентация; h — толщина пленки; Ms — намагниченность насыщения; p — период доменной структуры; (θ0 , ϕ0 )
— углы, задающие направление одноосной анизотропии в системе координат, в которой ось
z направлена по нормали к пленке, а ось x — вдоль оси [120] или [110] для пленок с ориентацией (210) и (110), соответственно; Эффект — наличие эффекта смещения доменных границ
под действием электрического поля.
эффекта, соответственно. Два из семи изученных образцов, в которых эффект
не наблюдался, отличаются от остальных высокосимметричной кристаллографической ориентацией (111) и тем, что вектор намагниченности в доменах перпендикулярен плоскости пленки. Таким образом, для теоретического описания
явления на основе неоднородного магнитоэлектрического эффекта требуется
установить связь между наличием или отсутствием электрической поляризации доменной границы и направлением вектора намагниченности в доменах
относительно нормали к поверхности образца.
2.3.2
Теоретическое описание
Рассмотрим классические доменные границы Блоха и Нееля. Для этого
запишем распределение вектора намагниченности, нормированное на Ms , в виде


cos ϕ sin θ



m
~ 0 =  sin ϕ sin θ 
,
cos θ
(2.6)
где угол θ(x) отсчитывается от оси z, а угол ϕ — от оси x в плоскости xy.
Для границы Блоха примем ϕ = π/2 (рис. 2.4 а), для границы Нееля ϕ =
0. Закон изменения угла θ будем считать общим для обеих границ θ(x) =
2 arctg(exp(x/∆)), где ∆ — параметр ширины доменной границы.
70
Вычислим электрическую поляризацию этих границ по формуле (1.1). Для
безразмерной поляризации получим:


p~0 = 

0

0



cos ϕ θx
(2.7)
Как и следовало ожидать, электрической поляризацией обладает лишь неелевская доменная граница, для которой ϕ = 0, и, следовательно, отлична от нуля
z-компонента электрической поляризации (рисунок 2.4 б). Профиль поляризации определяется производной θx ≡
dθ(x)
dx .
При этом разным киральностям
доменной границы, то есть разным направлениям разворота вектора намагниченности (по или против часовой стрелки) будут соответствовать разные знаки
производной θx и электрической поляризации. Интегральное значение поверхностного электрического заряда при этом будет задаваться разницей ∆θ между
направлениями вектора намагниченности в соседних доменах.
Обратимся теперь к случаю, когда ось легкого намагничивания отклонена
от нормали на угол α в сторону оси x. В границе Блоха разворот намагниченности происходит в плоскости yz. Предположим, что наклон оси легкого
намагничивания приведет к соответствующему наклону плоскости разворота.
Другими словами, будем считать, что преобразование R1 представляет собой
матрицу поворота на угол α вокруг оси y. Будем называть такую границу модифицированной границей Блоха. Для распределения вектора намагниченности
находим:


m
~ 1 = R1 m
~0 = 

cos α cos ϕ sin θ + sin α cos θ

sin ϕ sin θ



cos α cos θ − sin α cos ϕ sin θ
(2.8)
Отметим, что после действия указанного преобразования вектор намагниченности в центре доменной границы останется в плоскости доменной границы,
то есть магнитные заряды будут минимальными. Они не могут исчезнуть, поскольку проекции вектора намагниченности на ось x в соседних доменах имеют
разные знаки, то есть градиент вектора намагниченности вдоль этого направ-
71
Рис. 2.4: Распределение вектора намагниченности (стрелки) и ненулевых компонент электрической поляризации (сплошные линии) для доменных границ различных типов: а — граница
Блоха, поляризация отсутствует; б — граница Нееля, поляризация вдоль оси z; в — модифицированная граница Блоха, поляризация вдоль оси y; г — модифицированная граница
Нееля, поляризация неизменна по отношению к случаю а.
ления гарантированно будет отличен от нуля. Эта особенность роднит полученную доменную границу с границей неелевского типа, что отражается на ее
электрических свойствах. Чтобы убедиться в этом, вычислим распределение
электрической поляризации:


0



p~1 = 
−
sin
α
sin
ϕ
θ
x

cos ϕ θx
(2.9)
Для границы неелевского типа наклон оси легкого намагничивания никак не
сказывается на распределении поляризации, поскольку он приводит лишь к
сдвигу пределов изменения угла θ: [0, π] → [α, π + α] (рис. 2.4 г). У модифицированной границы Блоха, в свою очередь, возникает отличная от нуля
y-компонента поляризации, пропорциональная sin α, как показано на рисунке
72
2.4 в.
Таким образом, в рамках данной модели отклонение оси легкого намагничивания от нормали приводит к тому, что электрической поляризацией обладает как неелевская граница, так и модифицированная граница Блоха. Однако
поляризация последней не приводит к возникновению плотности электрического заряда, поскольку лежит в плоскости пленки. Обратимся вновь к таблице
2.1. В шестом столбце представлены углы, задающие направление вектора намагниченности в доменах для различных образцов. В частности, для образца
№7 с кристаллографической ориентацией (210) углы (θ0 , ϕ0 ) принимают значения (40◦ , 189◦ ) (взаимная ориентация кристаллографических осей, плоскости
доменной границы и направления вектора намагниченности в доменах приведена на рисунке 2.3 в). Это направление приближенно соответствует наклону
оси легкого намагничивания на угол α = 9◦ вокруг оси y с последующим поворотом всей структуры на угол γ = 40◦ вокруг оси x. Обозначим поворот,
соответствующий второму преобразованию, R2 . Окончательно для электрической поляризации, соответствующей распределению вектора намагниченности
R2 R1 m
~ 0 , получаем:


0



p~1 = 
(sin
γ
cos
ϕ
−
cos
γ
sin
α
sin
ϕ)
θ
x

(sin γ sin α sin ϕ + cos γ cos ϕ) θx
(2.10)
Следовательно, при γ 6= 0◦ поверхностная плотность электрического заряда
модифицированной границы Блоха, определяемая z-компонентой поляризации,
отлична от нуля и пропорциональна sin α sin γ.
Рассмотрим электростатические свойства скрученной доменной границы
— границы, структура которой изменяется по толщине пленки под действием полей размагничивания. Поля размагничивания создаются поверхностными
магнитными зарядами доменов и направлены таким образом, чтобы “замыкать”
линии намагниченности. Вблизи поверхностей пленки поля размагничивания
превращают доменную границу в неелевскую, а блоховская структура границы
сохраняется лишь в ее центре по толщине пленки. Для расчета электрической
поляризации воспользуемся формулой (2.6) с учетом того, что помимо зависимости полярного угла θ(x) имеет место зависимость полярного угла ϕ(z) (ось z
73
Рис. 2.5: Скрученная доменная граница: а — зависимость азимутального угла по толщине
пленки ϕ(z). Координата границы области, где доменная граница является неелевской, обо~ для двух соседних скрученных
значена zc ; б — распределение вектора намагниченности M
d
~
доменных границ. Показаны поля размагничивания H , объемная плотность ρe и поверхностная плотность σe электрического заряда. Масштабы доменов для наглядности искажены.
направлена перпендикулярно пленке). Будем считать, что направление вектора
намагниченности в доменах совпадает с нормалью к пленке: (θ0 , ϕ0 ) = (0, 0).
Для распределения вектора поляризации получим:


sin ϕ cos θ sin θ ϕz



p~0 = 
−
cos
ϕ
cos
θ
sin
θ
ϕ
z ,

cos ϕ θx
(2.11)
где индексами обозначены производные углов по соответствующим координатам. Зависимость первой компоненты вектора поляризации от координаты x и
третьей — от z приведет к тому, что объемная плотность электрического заряда
ρe будет отлична от нуля:
ρe = 2 sin ϕ sin2 θ ϕz θx
(2.12)
Вместе с поверхностной плотностью электрического заряда σe = pz (±h/2) они
будут задавать распределение заряда с нулевым дипольным, но отличным от
74
нуля квадрупольным моментом, идентичное для всех доменных границ (рис.
~ мы вос2.5 б). Для нахождения распределения вектора намагниченности M
пользовались известным соотношением, связывающим x-компоненту поля размагничивания, толщину пленки h и координату z [3]:
Hxd = 4Ms ln
z + h/2
,
z − h/2
(2.13)
а также формулой (2.5) для зависимости угла скручивания от напряженности магнитного поля. Нетрудно установить, что зависимость ϕ(z) имеет вид,
изображенный на рисунке 2.5 б. При значениях координаты, превышающих по
модулю критическую величину
zc =
h e2 − 1
,
2 e2 + 1
(2.14)
где e — число e, доменная граница является неелевской. В реальном образце
обменное взаимодействие вдоль оси z, не учитываемое здесь, приведет к незначительному сглаживанию изломов зависимости ϕ(z) в точках z = ±zc .
Каждая скрученная доменная граница обладает, во-первых, равными по
знаку и величине поверхностными электрическими зарядами на верхней и нижней поверхностях пленки; во-вторых, противоположным по знаку объемным
зарядом. Плотность объемного заряда пропорциональна производной ϕz , и обращается в ноль в приповерхностных неелевских областях. Причина единообразия распределения электрического заряда для всех доменных границ кроется
в геометрии полей размагничивания. Она такова, что киральность неелевских
участков доменных границ вблизи данной поверхности пленки одинакова для
всех границ и противоположна киральности соответствующих участков границ
вблизи противоположной поверхности.
По данным [96] для образцов, в которых наблюдалось смещение доменных границ под действием электрического поля, они характеризуются сильной
ромбической анизотропией, препятствующей образованию границы неелевского типа и скрученной доменной границы. Ромбическая анизотропия вынуждает
вектор намагниченности разворачиваться в плоскости, незначительно отклоненной от плоскости границы. Поэтому примем в качестве рабочей гипотезы,
75
что в данном образце реализуется модифицированная доменная граница Блоха,
характеризующаяся электрической поляризацией согласно формуле (2.10).
Тогда наблюдаемое смещение границы из положения равновесия под действием неоднородного электрического поля будет обусловлено присущим ей
электрическим дипольным моментом. Знак дипольного момента будет определяться киральностью границы — тем, по или против часовой стрелки происходит разворот вектора намагниченности при переходе от домена к домену.
Следовательно, выдвинутая гипотеза согласуется с первыми двумя из перечисленных в разделе 2.3.1 особенностей явления и не противоречит третьей. Для
объяснения третьей особенности — того, что при данном знаке электрического напряжения все границы в образце смещаются в одну сторону, как будто
обладают электрическим зарядом одного знака — требуется принять, что все
доменные границы обладают одинаковой киральностью. Такое предположение
находится за рамками модели, описывающей отдельную доменную границу.
Доменная граница при H 6= 0
2.4
2.4.1
Экспериментальные факты
Ввиду того, что неоднородный магнитоэлектрический эффект обуславливает тесную связь микромагнитной структуры и присущих ей электростатических свойств, были предприняты эксперименты, в которых образец находился
под действием не только электрического, но и магнитного поля. Величина напряженности магнитного поля была выбрана таким образом, чтобы поле было
достаточно сильным для изменения распределения вектора намагниченности
внутри доменных границ, но слишком слабым для того, чтобы разрушить доменную структуру в целом. Магнитное поле создавалось катушками с током и
было направлено перпендикулярно доменным границам в плоскости пленки.
В присутствии магнитного поля характер поведения доменных границ изменился коренным образом [98]. На рисунке 2.6 а приведены фотографии доменной структуры под действием электрического поля от электрода и магнитного
поля в плоскости. Видно, что смещения доменных границ существенно возросли: если на изображениях, полученных при H = 0, они составляли единицы
76
Рис. 2.6: Смещение доменных границ под действием электрического поля в присутствии
магнитного поля, направленного перпендикулярно границам в плоскости пленки: а — экспериментальные изображения конфигурации доменных границ при различных сочетаниях
полярности электрического напряжения и направлений магнитного поля, U = ±1000 В,
|Hx | = 60 Э [98]; б — зависимость величины смещения двух соседних доменных границ от
величины и направления приложенного магнитного поля, U = +1500 В [99]. Звездочками
показано условное соответствие точек на графике б и двух изображений из серии а.
микрон, то здесь они одного порядка с периодом доменной структуры. Кроме
того, смещается не только граница в непосредственной близости от электрода,
но и соседние с ней границы. Для фиксированных значений напряжения U и
напряженности магнитного поля Hx смещение доменных границ стало периодически изменять знак от границы к границе. Из сопоставления четырех представленных фотографий следует, что направление смещения данной границы в
77
присутствии магнитного поля определяется комбинацией знака приложенного
электрического напряжения и направления магнитного поля. Эти закономерности можно компактно сформулировать в виде “правила знаков”:
sgn(∆x) = (−1)n sgn(U ) sgn(Hx ),
(2.15)
где ∆x — величина смещения доменной границы, n — ее порядковый номер,
U — напряжение, поданное на электрод, Hx — проекция вектора напряженности магнитного поля на ось x, лежащую в плоскости пленки перпендикулярно
доменным границам. Положительные значения смещения соответствуют притяжению, отрицательные — отталкиванию границы от электрода.
Также были получены зависимости смещения двух соседних доменных
границ от величины магнитного поля при фиксированном значении электрического напряжения (рис. 2.6 б) [99]. Они образуют на плоскости (Hx , ∆x) крест,
в определенной степени симметричный относительно оси ∆x. Рассмотрим, как
изменяются величины смещения для двух доменных границ при увеличении
|Hx | от нуля до максимального значения.
(A) |Hx | = 0 : в отсутствие магнитного поля смещение обеих доменных границ
положительно, что согласуется с данными предыдущих экспериментов.
(B) |Hx | = Hxc : при критическом значении напряженности магнитного поля,
составляющем Hxc = (25 ± 5) Э, одна из границ перестает смещаться под
действием электрического поля, в то время как смещение второй возрастает.
(C) |Hx | > Hxc : смещение первой границы изменят знак; модуль смещения
возрастает для обеих границ, пока не выходит на насыщение при Hx ≈
70 Э.
2.4.2
Теоретическое описание
Пространственный период распределения вектора намагниченности полосовой доменной структуры λ складывается из ширины двух доменов и ширины
двух доменных границ. В случае, когда магнитное поле отсутствует, период
78
распределения электрического заряда составляет λ/2, поскольку все доменные
границы обладают зарядом одного знака. Чередование направления смещения
границ в приложенном магнитном поле говорит о том, что период электрической структуры стал равен λ, то есть периоду микромагнитной структуры. В
связи с этим для описания эффекта смещения доменных границ под действием электрического поля в присутствии внешнего магнитного поля необходимо
рассматривать пару соседних доменных границ.
Данные, приведенные на рисунке 2.6, получены для образца №7 с кристаллографической ориентацией (210). При теоретическом описании эффекта
в отсутствие магнитного поля была выдвинута гипотеза, что микромагнитная
структура доменной границы может быть описана как модифицированная граница Блоха, повернутая вокруг оси x (формула 2.10). Примем, что каждая из
двух рассматриваемых границ обладает такой структурой. Тогда свободным
параметром является угол скручивания ϕ. В отсутствие поля он принимает
значения ±π/2, которые, в сочетании с направлением вектора намагниченности в доменах, разделяемых данной границей, определяют ее киральность. Например, на рисунке 2.4 а вектор намагниченности при движении вдоль оси x
вращается против часовой стрелки, если смотреть из начала координат.
Для пары соседних доменных границ возможны два сочетания: они могут обладать либо одинаковой киральностью, либо разной. В первом случае
(ϕ1 , ϕ2 ) = (±π/2, ∓π/2), а во втором — (ϕ1 , ϕ2 ) = (±π/2, ±π/2). Согласно модели, описанной в разделе 2.2, действие магнитного поля будет заключаться в
том, что значения улов ϕ1,2 будут стремиться к 0 (при Hx > 0) или к π (в случае
Hx < 0).
Для случаев одинаковой или разной киральности доменных границ можно
построить графики зависимости максимального по границе значения плотности
электрического заряда на поверхности пленки от угла скручивания ρmax (|ϕ|).
Смещение доменной границы монотонно зависит от плотности электрического
заряда, а угол скручивания, в свою очередь, монотонно зависит от величины
напряженности магнитного поля (чем сильнее поле, тем больше скручивание).
Следовательно, график зависимости ρmax (|ϕ| − π/2) должен иметь те же качественные особенности, что и график зависимости смещения от величины магнитного поля ∆x(Hx ). Модуль значения угла ϕ взят для удобства сопоставления
79
Рис. 2.7: Графики, описывающие свойства двух соседних доменных границ в магнитном поле
согласно модели (2.10) для значений углов (α, γ) = (9◦ , −40◦ ): а,б — зависимости максимального значения плотности электрического заряда от угла скручивания |ϕ|, соответствующие
случаям одинаковой (а) и различной (б) киральности доменных границ; в — распределения
вектора намагниченности и плотности электрического заряда для значений ϕ, отмеченных
точками на графике а.
данных графиков с экспериментальными.
Соответствующий график для случая различной киральности границ изображен на рисунке 2.7 б. В отсутствие магнитного поля, то есть при |ϕ| = π/2,
80
границы имеют электрический заряд разного знака. При Hx > 0 существует
критическое значение напряженности магнитного поля, при котором все границы перестают реагировать на электрическое поле. Эти особенности не соответствуют экспериментальным данным.
Рассмотрим подробнее случай одинаковой киральности доменных границ
(рис. 2.7 а). Проследим изменение электрического заряда границ при изменении
угла |ϕ| от значения π/2 до нуля. При |ϕ| = π/2 две ветви “креста” пересекаются
в отрицательной области, следовательно, обе границы обладают отрицательным
электрическим зарядом и должны притягиваться к электроду с приложенным
положительным напряжением. При критическом значении угла ϕc
cos γ
ϕc = − arctg
sin γ sin α
(2.16)
заряд одной из границ обращается в ноль (значение ϕc нетрудно найти, приравняв нулю z-компоненту электрической поляризации в формуле (2.10)). При
дальнейшем уменьшении угла (то есть росте скручивания) электрические заряды обеих границ возрастают по модулю, но имеют разные знаки. На рисунке
2.7 в представлены распределения вектора намагниченности и плотности электрического заряда, соответствующие характерным точкам на графике 2.7 а.
(A) Распределения A1,2 соответствуют случаю, когда магнитное поле отсутствует. Киральность границ при этом определяется тем, по или против часовой стрелки разворачивается вектор намагниченности в плоскости границы. Обе границы обладают одинаковой киральностью и зарядом одного
знака, величина которого сравнительно мала.
(B) При возрастании величины магнитного поля одна из границ проходит через состояние, обозначенное B1 , в котором электрический заряд равен нулю. Распределение вектора намагниченности в этом состоянии аналогично
модифицированной границе Блоха до поворота на угол γ вокруг оси x,
изображенной на рисунке 2.4 в. Вектор электрической поляризации в ней
отличен от нуля, но лежит в плоскости пленки, поэтому поверхностных
электрических зарядов не возникает.
(C) При дальнейшем увеличении напряженности магнитного поля структура
81
обеих границ стремится к неелевской (рис. 2.4 г). Электрический заряд
такой границы будет пропорционален cos γ, и будет превышать заряд границы A в (tg γ sin α)−1 ≈ 8 раз. При этом киральность границ, в отличие от случая A, будет определяться направлением вращения вектора намагниченности в плоскости xz. Магнитное поле обуславливает различную
киральность соседних границ. Так, в границе C1 разворот вектора намагниченности происходит по часовой стрелке, а в границе C2 — против. В
соответствии с киральностью, доменные границы C1,2 обладают электрическими зарядами разных знаков.
Таким образом, можно констатировать качественное совпадение экспериментальных зависимостей смещения доменной границы под действием электрического поля от величины напряженности магнитного поля, приведенных
на рисунке 2.6 б, с предсказаниями выдвинутой теоретической модели микромагнитной структуры границ. Предложенная модель основана на следующих
предположениях:
• В отсутствие магнитного поля структура доменной границы соответствует
модифицированной границе Блоха (2.10).
• Внешнее магнитное поле изменяет угол скручивания доменной границы
ϕ так, что направление вектора намагниченности в центре доменной границы приближается к направлению магнитного поля.
• Все доменные границы в образце в отсутствие магнитного поля обладают
одинаковой киральностью.
Первые два предположения сделаны в качественном соответствии с требованиями минимальности различных вкладов в свободную энергию образца: обменной энергии, энергии анизотропии, энергии полей размагничивания и энергии взаимодействия с внешним магнитным полем. Третье предположение, в
свою очередь, не может быть обусловлено подобными соображениями. В связи
с этим была выдвинута гипотеза о том, что вследствие исчезновения центра инверсии в процессе роста кристалла внутри него возникает электрическая поляризация P~0 . Поскольку доменные границы с различной киральностью вырождены по магнитной энергии, небольшого значения внутренней электрической
82
поляризации P~0 будет достаточно, чтобы снять вырождение за счет электростатической энергии взаимодействия внутренней поляризации с электрическими зарядами на доменных границах [100].
2.5
Выводы
Предметом данной главы являлось построение геометрической модели мик-
ромагнитной структуры доменных границ, позволяющей качественно изучить
их магнитоэлектрические свойства. Перечислим основные результаты, полученные в рамках этой модели.
• Показано, что отклонение вектора намагниченности в доменах от плоскости доменной границы с необходимостью приводит к наличию у нее
электрической поляризации.
• Установлено, что действие внешнего магнитного поля может приводить
к изменению поверхностного электрического заряда доменной границы.
Полученные зависимости поверхностного заряда доменных границ от угла
скручивания находятся в качественном согласии с экспериментальными
данными.
• Рассчитано распределение электрического заряда в скрученной доменной
границе. Показано, что скрученная доменная граница обладает поверхностным и объемным электрическими зарядами разных знаков; знак зарядов каждого вида совпадает у разных границ.
83
Глава 3
Численное моделирование
магнитоэлектрических свойств доменных границ
3.1
Введение
Модель доменной границы, рассмотренная в главе 2, позволяет устано-
вить связь между геометрическими характеристиками распределения вектора
намагниченности в доменной границе и ее электростатическими свойствами. Но
~ (x, y, z) с
ответ на вопрос о связи геометрических параметров распределения M
физическими характеристиками системы, такими как константы анизотропии и
напряженность приложенного магнитного поля, не может быть получен в рамках геометрической модели. Задача о поиске равновесного распределения вектора намагниченности, соответствующего минимуму функционала свободной
энергии, не поддается в нашем случае аналитическому рассмотрению, поэтому
в качестве метода ее решения было выбрано компьютерное моделирование.
В численном моделировании поиск равновесной микромагнитной конфигурации может быть реализован двумя путями: динамическим и оптимизационным. В первом случае требуется решить уравнение движения магнитных моментов под действием эффективного магнитного поля — уравнение ЛандауЛифшица-Гильберта. Эволюция начинается от начального распределения вектора намагниченности и происходит до тех пор, пока колебания векторов намагниченности не затухнут в силу диссипации. Во втором случае осуществляется
подбор конфигурации системы, соответствующей минимуму энергии, путем перемещений в конфигурационном пространстве. Последовательность шагов при
этом, в отличие от первого случая, никак не связана с динамикой системы и
ходом времени.
Одним из алгоритмов, позволяющих реализовать второй сценарий, является метод имитации отжига (simulated annealing method [101,102]), используемый
для решения широкого круга вариационных задач. Наряду с генетическими алгоритмами, алгоритмами, имитирующими работу нейронной сети и алгоритмами, основанными на моделировании поведения колоний муравьев или пчел, ме-
84
тод имитации отжига относится к “алгоритмам, подсказанным природой” [103].
Отжиг в металлургии — это процесс отвердевания расплавленного металла при
контролируемом понижении температуры. Атомы металла, хаотично перемещающиеся с места на место в жидком состоянии, постепенно занимают свои места
в кристаллической решетке. Плавное уменьшение температуры способствует тому, что результирующая конфигурация будет соответствовать минимуму энергии — то есть будет представлять собой правильную кристаллическую решетку
без дефектов.
3.2
Метод
3.2.1
Общие замечания
Рассмотрим схему минимизации методом имитации отжига функции f (~x),
заданной в n-мерном конфигурационном пространстве параметров системы ~x =
(x1 , x2 , . . . , xn ).
1. Система находится в состоянии ~x i , которому соответствует значение функции f i = f (~x i ). Температура при этом равна T i .
2. На основе состояния ~x i формируется новое пробное состояние ~x i+1 и вычисляется новое значение функции f i+1 = f (~x i+1 ).
3. Проверяется условие:
i+1
f − fi
> rand [0; 1],
exp −
Ti
(3.1)
где rand [0; 1] — случайное число, равномерно распределенное на отрезке
[0; 1].
(I) Если условие выполняется, то происходит уменьшение температуры
T i → T i+1 и осуществляется переход в пробное состояние ~x i → ~x i+1 .
Затем процесс повторяется начиная с пункта 1 для новых значений
переменных.
85
(II) Если условие не выполняется, происходит откат до пункта 2 и генерация новых пробных состояний ~x i+1 до тех пор, пока оно не будет
выполнено.
Критерием остановки поиска может служить выполнение заданного числа
итераций или достижение заданного значения температуры. Ключевой особенностью метода имитации отжига является условие принятия нового состояния
(3.1). Его специфика состоит в том, что с некоторой вероятностью будут приняты даже те шаги, которые ведут к увеличению значения минимизируемой
функции. Чем выше температура, тем больше вероятность принятия такого
шага. В отличие от метода наискорейшего спуска, в котором шаг осуществляется только в направлении уменьшения значения функции, метод имитации
отжига позволяет избежать “застревания” в локальных минимумах.
Отметим, что несмотря на универсальность и простоту идеи, настройка
метода для конкретной задачи может оказаться трудоемкой, поскольку требует подбора множества параметров, которые определяют характер перемещений в конфигурационном пространстве. К этим параметрам относятся начальная температура и параметры, задающие зависимость температуры от номера
итерации и способ генерации нового состояния. Оптимальный набор параметров определяется видом энергетического ландшафта f (~x) — глубиной локальных минимумов, характером их распределения, крутизной склонов. При больших размерностях конфигурационного пространства визуализация ландшафта
невозможна, и судить о том, насколько выбранные параметры ему соответствуют, можно лишь по графику зависимости значения минимизируемой функции
от номера итерации.
Автором была написана программа на языке C++, воплощающая изложенные идеи применительно к задаче поиска равновесного распределения вектора намагниченности путем минимизации функционала плотности свободной
энергии. Выбор оптимизационного подхода для решения задачи о структуре доменной границы в присутствии магнитного поля был обусловлен следующими
факторами:
• Задача поиска равновесного распределения намагниченности носит оптимизационный характер; изучать временную эволюцию распределения
86
вектора намагниченности не требуется.
• При моделировании доменной границы с помощью динамического метода
возникает трудность, связанная с тем, что магнитное поле приводит к движению доменной границы и ее выходу за пределы области моделирования
(размер которой должен быть сравним с шириной доменной границы). В
оптимизационном подходе этой проблемы не возникает.
• Для учета дополнительных взаимодействий достаточно добавить соответствующие слагаемые в выражение для плотности энергии. При динамическом подходе такие изменения требуют расчета эффективного магнитного
поля, соответствующего каждому новому взаимодействию.
3.2.2
Реализация алгоритма для микромагнитной задачи
Генерация нового состояния
~ i набор векторов намагниченности, задающий состояние сиОбозначим M
стемы на шаге с номером i. Случайным образом выберем одну из точек сетки, и
~ i (рис. 3.1). Для этого
повернем находящийся в ней вектор намагниченности M
k
~ i , направление которого также выбирается случайно,
прибавим к нему вектор R
k
и затем нормируем результат так, чтобы изменения модуля вектора намагни~ i для
ченности не происходило. Для определения модуля добавочного вектора R
k
каждой точки сетки ведется статистика: сколько шагов, относящихся к ней, было принято и сколько всего было сделано попыток. Отношение этих двух чисел
определяет коэффициент принятия шага ξki , который постоянно изменяется в
ходе работы алгоритма. Величина Rki вычисляется для каждой точки сетки отдельно. Значение Rki снабжено отрицательной обратной связью, линейной по
разности текущего значения коэффициента принятия шага ξki и желаемого его
значения ξ [ , являющегося константой:
Rki = Rki−1 (1 + τ (ξki − ξ [ )),
(3.2)
где τ — коэффициент обратной связи.
После каждого принятого шага температура уменьшается на величину, за-
87
Рис. 3.1: Процедура генерации нового состояния: а — случайный выбор точки, в которой
будет изменено направление вектора намагниченности; б — поворот выбранного вектора на~ i осуществляется путем прибавления к нему вектора R
~ i и последующей
магниченности M
k
k
~ i направлен случайным образом, а его модуль косвенно зависит от
нормировки. Вектор R
k
текущего значения температуры Ti .
висящую от номера шага. Достижение глобального минимума методом имитации отжига гарантировано для медленного логарифмического закона убывания
температуры T i = T 0 / log(i). Однако на практике, с целью ускорения счета, широко используется другой закон, обеспечивающий более быстрое убывание температуры. Уменьшение температуры осуществляется путем умножения текущего значения на коэффициент, незначительно меньший единицы: T i+1 = ηT i .
Мы воспользуемся вторым законом.
Тестирование алгоритма
Начальная температура T 0 , коэффициент ее убывания η, общее число шагов N , начальное значение случайного добавочного вектора R0 , его коэффициент обратной связи τ и желаемое значение коэффициента принятия шага ξ [
составляют полный набор параметров, управляющих работой алгоритма. Подбор их значений осуществляется эмпирическим путем, до тех пор пока алгоритм
минимизации энергии не будет решать тестовые задачи, для которых известны
аналитические решения, с требуемой точностью.
Кроме того, важным параметром являются начальные условия. Для моделирования доменных границ в качестве начальных условий использовалось
88
Рис. 3.2: Результаты тестирования метода для набора параметров (T 0 , η, N, R0 , τ, ξ [ ) =
(15, 0.9995, 50000, 0.05, 0.005, 0.9): а — зависимость минимизируемой функции от номера
итерации; б — зависимость z-компоненты безразмерного вектора намагниченности от координаты, нормированной на ширину доменной границы ∆. Сплошная линия — аналитическое
решение, квадраты — результаты численного моделирования.
следующее распределение вектора намагниченности:

m
~ = (0, 0, −1) x < x0
m
~ = (0, 0, 1), x > x .
(3.3)
0
Оно содержит в себе минимум необходимой информации: в точке x = x0 находится доменная граница. Отметим, что сведений о киральности границы начальные условия не содержат.
В качестве тестовой задачи использовалась задача о структуре доменной
границы, обусловленной конкуренцией обменного взаимодействия и одноосной
анизотропии, ось которой направлена перпендикулярно поверхности пленки.
Зависимость z-компоненты вектора намагниченности от координаты известна
и задается формулой (1.3).
На рисунке 3.2 а приведен график зависимости значения минимизируемой
функции (энергии микромагнитной структуры) от номера шага. Из графика
следует, что в начале работы алгоритма происходит рост энергии, связанный с
тем, что поворот любого вектора намагниченности, кроме двух центральных,
направление которых противоположно, приведет к росту обменной энергии. На
89
увеличенном фрагменте видно, что локальные возрастания энергии происходят
и на меньших масштабах.
Результат минимизации энергии — зависимость z-компоненты единичного вектора, задающего направление намагниченности — изображен на рисунке 3.2 б. Хорошо видно, что результат моделирования (квадраты) совпадает с
функцией, соответствующей аналитическому решению (сплошная кривая). Эта
0
функция имеет вид f (x) = cos(2 arctg(exp x−x
∆ )). По результатам аппроксима-
ции методом наименьших квадратов относительная погрешность параметра ∆,
определяющего ширину доменной границы, составляет 0.004%, а относительная
погрешность параметра x0 равна 0.0002%.
Энергия микромагнитной конфигурации
Минимизируемая функция представляла собой поверхностную плотность
свободной энергии (в расчете на единицу площади доменной границы), полученную в результате интегрирования объемной плотности энергии по координате x. При вычислении плотности свободной энергии учитывались следующие
вклады [104]:
• Обменная энергия [105]:
wex = A (∇mx )2 + (∇my )2 + (∇mz )2 = −A(m
~ · ∇2 m),
~
(3.4)
где A — обменная константа, m
~ — безразмерный единичный вектор, задающий направление вектора намагниченности.
~
• Зеемановская энергия взаимодействия с внешним магнитным полем H:
~
wZ = −Ms (m
~ · H)
(3.5)
• Энергия наведенной магнитной анизотропии согласно модели [97]:
wind = −Ku (m
~ · ~nu )2 + Kr (m
~ · ~nr )2 ,
(3.6)
где Ku , ~nu — константа и орт одноосной анизотропии, Kr , ~nr — константа
90
и орт ромбической анизотропии. При положительных значениях констант
Ku , Kr > 0 орт ~nu задает направление оси легкого намагничивания, а орт
~nr является нормалью к плоскости легкого намагничивания. Направления
ортов ~ni будем задавать с помощью углов (θi , ϕi ), где i = u, r.
• Энергия кубической магнитной анизотропии:
wcub = −Kc [(m
~ · ~a)2 (m
~ · ~b)2 + (m
~ · ~b)2 (m
~ · ~c)2 + (m
~ · ~c)2 (m
~ · ~a)2 ],
(3.7)
где Kc — константа кубической анизотропии, ~a, ~b, ~c — орты вдоль кристаллических осей.
• Энергия взаимодействия электрической поляризации, присущей микромагнитной структуре, с эффективным электрическим полем:
~ 0 = −γχe Ms2 (m(∇
~ 0,
wme = −P~ E
~
· m)
~ − (m
~ · ∇)m)
~ ·E
(3.8)
где P~ — вектор электрической поляризации, γ — коэффициент магнитоэлектрического взаимодействия, χe — диэлектрическая восприимчивость.
~ 0 вводится как полярный вектор, хаЭффективное электрическое поле E
рактеризующий нарушение центральной симметрии кристалла. Отсутствие
центральной симметрии может быть обусловлено неоднородностью процесса роста или деформациями пленки, вызванными подложкой.
Отметим, что энергия полей размагничивания не входит в рассматриваемый функционал, поскольку экспериментальные образцы характеризуются
большими значениями констант ромбической анизотропии в плоскости пленки [96]. Величины полей размагничивания, как правило, пренебрежимо малы
по сравнению с эффективными полями этой анизотропии.
91
3.3
Поверхностный электрический заряд доменных границ
3.3.1
Плотность свободной энергии
Введем безразмерную координату x = x/∆, где ∆ — параметр ширины
доменной границы, определяемый константами обменного взаимодействия и
p
одноосной анизотропии: ∆ = A/Ku . Будем считать, что эффективное элек~ 0 направлено по нормали к пленке: E
~ 0 = (0, 0, E0 ). Тогда для
трическое поле E
одномерной задачи плотность свободной энергии запишется в виде:
∂ 2m
~
∂mx
∂mz
w(x) = −Ku m
~ ·
− wind − wcub − wZ − Ku mz
− mx
,
∂x2
∂x
∂x
(3.9)
где введено обозначение = γχe Ms2 E0 /(Ku ∆) для безразмерного параметра,
определяющего величину эффективного электрического поля. МинимизируеR
мая функция представляет собой интеграл f = w(x)dx, то есть по сути является поверхностной плотностью свободной энергии в расчете на единицу площади доменной границы. Предполагается, что распределение вектора намагниченности является однородным по оси y и по оси z в пределах [−h/2; h/2], где
h — толщина пленки. Значения диэлектрической восприимчивости и константы неоднородного магнитоэлектрического эффекта составляют, согласно [100],
χe = 4 и γ = 4 · 10−8 см3/2 с г−1/2 , соответственно.
Электростатические свойства доменной границы будем характеризовать
R
линейной плотностью электрического заряда q = Pz dx на верхней поверхности образца в расчете на единицу длины границы. Соответствующий заряд на
нижней поверхности образца равен −q, и доменная граница обладает дипольным моментом d~ = (0, 0, qh). Сила, действующая на диполь со стороны неод~ =
нородного электрического поля, созданного электродом, равна F~e = d~ ∇E
qh∂z Ez ∼ q. Величина смещения доменных границ из положения равновесия
∆x, вызванного электрическим полем, известна из эксперимента. Смещение ∆x
должно монотонно зависеть от силы F~e , поскольку определяется балансом этой
силы и неубывающей возвращающей силы магнитостатической природы. Следовательно, качественные особенности зависимостей заряда q и смещения ∆x
92
от параметров модели должны совпадать.
~ 0 в поляризацию не учитываВклад эффективного электрического поля E
ется, поскольку соответствующее распределение поверхностных зарядов является однородным, и не дает вклада в силу, действующую на доменную границу
в неоднородном электрическом поле. Кроме того, не учитывается воздействие
внешнего электрического поля на доменную границу. Справедливость этого допущения обусловлена тем, что графики зависимости смещения границы ∆x от
напряженности магнитного поля Hx , снятые при различных полярностях напряжения на электроде U = ±U0 , совпадают с точностью до знака смещения
∆x.
Задачей моделирования является установление вида зависимости плотности электрического заряда на верхней поверхности образца в расчете на единицу длины границы от напряженности внешнего магнитного поля q(Hx ), направленного перпендикулярно границе и лежащего в плоскости пленки. Значения линейной плотности электрического заряда q нормированы на величину
q0 = e/мкм, равную заряду электрона на микрометр длины границы.
3.3.2
Влияние ромбической анизотропии
Рассмотрим вначале простейшую модель доменной границы, включающую
скос орта ромбической анизотропии — фактор, который не учитывался в геометрической модели, описанной в разделе 2.2. Будем считать, что кубическая
анизотропия и эффективное электрическое поле отсутствуют (Kc = 0, = 0),
а орт одноосной анизотропии направлен по нормали к пленке (θu = 0). Для
величины константы ромбической анизотропии введем параметр κ = Kr /Ku .
Направление орта ромбической анизотропии ~nr зададим углом ϕr , отсчитываемым в плоскости пленки от оси x (θr = π/2).
На рисунке 3.3 представлены зависимости плотности поверхностного электрического заряда доменной границы от напряженности внешнего магнитного
поля q(Hx ) для нескольких значений угла ϕr . При ϕr = 0◦ ромбическая анизотропия обуславливает блоховский характер разворота вектора намагниченности, поэтому в отсутствие магнитного поля электрический заряд границы равен
нулю. При небольших значениях магнитного поля происходит рост абсолютной
93
Рис. 3.3: Зависимость плотности поверхностного электрического заряда границы q от xкомпоненты напряженности магнитного поля Hx для различных значений угла ромбической
анизотропии. Значение ϕr = 0◦ соответствует доменной границе блоховского типа. Точки —
результат моделирования. Кривые соединяют точки, соответствующие минимальному значению энергии для данной области значений напряженности магнитного поля.
величины электрического заряда, что связано с появлением у доменной границы неелевских черт — ненулевого градиента проекции вектора намагниченности
на направление модуляции. В более сильных магнитных полях становится существенным эффект скоса вектора намагниченности в доменах, что приводит к
уменьшению угла разворота вектора намагниченности, и, следовательно, электрического заряда. Напомним, что электрическая поляризация доменной границы пропорциональна производной θx , поэтому заряд пропорционален полному
R
углу разворота вектора намагниченности: q ∼ θx dx = θ2 − θ1 .
В случае, если угол ϕr , задающий скос плоскости орторомбической анизотропии относительно плоскости границы, отличен от нуля, доменная граница
обладает поверхностным электрическим зарядом и в отсутствие магнитного поля. Однако знак заряда в точке Hx = 0 может быть как положительным, так и
отрицательным, поскольку в отсутствие магнитного поля у границы нет
94
Рис. 3.4: а — график зависимости плотности поверхностного электрического заряда доменной границы q от напряженности внешнего магнитного поля Hx . Точки — результат
моделирования. Сплошной и штриховой линиями показаны ветви, соответствующие разным
киральностям доменной границы. Штрих-пунктирной линией отмечено значение напряженности внешнего магнитного поля HxT , при котором энергии границ с разной киральностью
равны; б — график зависимости значения минимизируемой функции f от Hx ; в — график
зависимости приращения минимизируемой функции df от Hx .
95
предпочтительной киральности. Внешнее магнитное поле делает одно из направлений разворота вектора намагниченности более выгодным — очевидно, то
из них, для которого произведение проекций на ось x вектора намагниченности
в центре границы и напряженности магнитного поля mx (x = 0) Hx положительно.
Отметим, что графики зависимости плотности поверхностного электрического заряда от напряженности внешнего магнитного поля q(Hx ) при ϕr > 0
напоминают петлю гистерезиса. Но это сходство является поверхностным, так
как они получены при монотонном увеличении значения Hx без “обратного хода”. Дело в том, что начальные условия (3.3) соответствуют на энергетическом
ландшафте седловой точке, откуда можно спуститься в один из двух минимумов, соответствующих двум возможным киральностям границы. При отличной
от нуля напряженности внешнего магнитного поля один из минимумов является локальным, а второй — глобальным. В силу вероятностного характера работы алгоритма возможны ошибочные попадания в локальный минимум. Такие
ошибки несложно выявить путем сравнения значений минимизируемой функции, соответствующим разным ветвям “петли”; при этом, в качестве положительного побочного эффекта, они позволяют составить более полное представление о виде энергетического ландшафта.
3.3.3
Влияние эффективного электрического поля
Добавим теперь в модель действие эффективного электрического поля,
величина которого задается безразмерным параметром . Из-за того, что доменные границы с различной киральностью обладают электрическим зарядом
разных знаков, их взаимодействие с эффективным электрическим полем приведет к изменению глубины потенциальных минимумов. Это изменение будет
происходить разнонаправленно для двух минимумов, поэтому значение напряженности внешнего магнитного поля HxT , при котором глубина минимумов одинакова, сместится из точки Hx = 0. Будем называть значение HxT переходным
значением напряженности внешнего магнитного поля.
На рисунке 3.4 а приведены результаты моделирования зависимости q(Hx )
при отличном от нуля значении эффективного электрического поля ( = −0.14).
96
Рис. 3.5: Зависимость плотности поверхностного электрического заряда доменной границы q
от напряженности внешнего магнитного поля Hx для различных значений угла ромбической
анизотропии ϕr .
Из графика видно, что действие электрического поля привело к смещению центра “петли” из начала координат. Однако определить значение напряженности
внешнего магнитного поля HxT , при котором происходит переход с одной ветви
на другую, по такому графику нельзя. Чтобы сделать это, построим график
значения минимизируемой функции для тех же точек (рис. 3.4 б). Точки, лежащие на различных ветвях зависимости q(Hx ), принадлежат двум гладким
пересекающимся кривым; точка их пересечения является искомым переходным
значением HxT . Но и в этом случае определить ее положение непросто, поскольку кривые пересекаются под малым углом.
Проблему можно решить, если построить график приращения минимизируемой функции df ≡ f (Hx + dHx ) − f (Hx ), показанный на рисунке 3.4 в.
Зависимость q(Hx ) (рис. 3.4 а) была получена при последовательном изменении величины внешнего магнитного поля от минимального до максимального
значения с некоторым шагом dHx . То есть график функции f (Hx ), строго говоря, должен включать в себя переходы с одной ветви на другую. Эти переходы
на графике зависимости приращения df (Hx ) выглядят как точки, выпавшие из
97
Рис. 3.6: Зависимость плотности поверхностного электрического заряда доменной границы q от напряженности внешнего магнитного поля Hx для различных значений константы
ромбической анизотропии Kr .
общей зависимости. Для искомого переходного значения напряженности внешнего магнитного поля HxT глубина минимумов одинаковая, поэтому амплитуда
отклонения выпавших точек должна обратиться в ноль. Вблизи искомой точки
разность в энергиях линейно зависит от напряженности магнитного поля, что
позволяет определить переходное значение HxT графически.
Посмотрим теперь, как величина HxT зависит от угла ромбической анизотропии ϕr , ее константы Kr и величины эффективного электрического поля,
определяемой параметром . Для этого построим наборы графиков зависимости плотности поверхностного электрического заряда доменной границы q от
напряженности внешнего магнитного поля Hx для разных значений одного из
этих параметров при фиксированных значениях двух других. Серии графиков
представлены на рисунках 3.5, 3.6 и 3.7. Из них следует, что переходное значение напряженности внешнего магнитного поля HxT , при котором энергии границ
различной киральности равны, не зависит ни от угла ϕr , ни от константы Kr
ромбической анизотропии. Единственным параметром из трех рассматриваемых, который влияет на переходное значение HxT , является эффективное элек-
98
Рис. 3.7: Зависимость плотности поверхностного электрического заряда доменной границы
q от напряженности внешнего магнитного поля Hx для различных значений эффективного
электрического поля .
трическое поле , причем зависимость HxT (), по-видимому, близка к линейной.
3.3.4
Результаты расчетов для реального образца
Чтобы установить характер зависимости переходного значения напряженности внешнего магнитного поля от напряженности эффективного электрического поля HxT () и приблизить численный эксперимент к натурному, проведем
моделирование для параметров, соответствующих реальным характеристикам
образцов (таблица 3.1), для которых были проведены измерения зависимости
∆x(Hx ) смещения границы под действием внешнего электрического поля от
величины напряженности внешнего магнитного поля.
Для точного определения переходного значения напряженности внешнего магнитного поля HxT при данном значении эффективного электрического
поля измерим зависимость разности энергий доменных границ разных киральностей ∆f от напряженности магнитного поля Hx . Киральность границы можно задать, видоизменив начальные условия (3.3) путем изменения компонент
99
№ Ku
5
7
Kc
Kr
ϕ∗u
θu
ϕ∗∗
r
β
731 3208 5333 46.1 207.2 21.3 3.7·10−2
853 1375 2440 40.0 189.4 9.4 6.5·10−2
Таблица 3.1: Параметры образцов (номера соответствуют номерам в таблице 2.1): значения
констант одноосной (Ku ), кубической (Kc ) и ромбической (Kr ) анизотропии, выраженные
в эрг/см3 ; углы, задающие орты одноосной (θu , ϕu ) и ромбической (ϕr ) анизотропии, выраженные в градусах; ∗ здесь: отсчитывается от оси y; ∗∗ здесь: отсчитывается в плоскости,
перпендикулярной ~nu [96]; рассчитанный коэффициент пропорциональности β между величинами напряженности магнитного поля перехода HxT и эффективного электрического поля
E0 .
нескольких векторов вблизи центра доменной границы x = x0 на (0, 1, 0) или
(0, −1, 0). Зависимость ∆f (Hx ) вблизи точки ∆f = 0 является линейной с хорошей точностью, что позволяет определить значение HxT более аккуратно, чем
графически (с относительной погрешностью около 1%). Проводя несколько измерений HxT для разных значений , находим, что зависимость HxT () также является линейной. Возвращаясь к размерным переменным, обозначим β коэффициент пропорциональности между напряженностью магнитного поля перехода
и напряженностью эффективного электрического поля: HxT = βE0 . Аппроксимация методом наименьших квадратов дает для β значения, приведенные в
таблице 3.1. Погрешность аппроксимации не приводится, поскольку несопоставимо мала по сравнению с погрешностью соответствующих экспериментальных
данных.
Линейный характер зависимости HxT (E0 ) согласуется с оценкой, приведенной в [100]:
HxT =
2γMs χe
E0 .
∆
| {z }
(3.10)
βt
Значение критического магнитного поля получено здесь из условия равенства
энергии Зеемана и магнитоэлектрической энергии. Числовые значения коэффициента пропорциональности, полученные по формуле (3.10) составляют для
образцов №5 и №7 βt = 9.1 · 10−2 и βt = 14.2 · 10−2 , соответственно. Расхождение
значений βt с результатами моделирования можно считать хорошим соответствием, учитывая приближенный характер теоретической оценки.
1
Результаты экспериментов, проведенных О.В. Павленко в лаборатории фотоники, спинтроники и метаматериалов кафедры физики колебаний физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова
100
Рис. 3.8: Рассчитанные зависимости плотности поверхностного заряда границы q от напряженности внешнего магнитного поля Hx (кресты, сплошная линия) и экспериментальные результаты для зависимости смещения границы ∆x под действием электрического поля
(U = −1600В) от напряженности внешнего магнитного поля Hx (квадраты1 ) для образцов
№5 (а) и №7 (б).
Обратимся к результатам моделирования зависимости плотности поверхностного электрического заряда доменной границы от напряженности внешнего магнитного поля q(Hx ), представленным на рисунке 3.8 вместе с экспериментальными графиками смещения доменной границы ∆x(Hx ). Величина смещения должна монотонно зависеть от заряда границы, поэтому качественные
особенности обеих зависимостей (рост, убывание, точки пересечения графиком
осей) должны совпадать.
Нетрудно видеть, что особенностями, общими для расчетного и экспериментального графиков, являются пересечение горизонтальной оси в области
Hx < 0 и пересечение вертикальной оси в области q < 0 (∆x < 0). Значение
эффективного электрического поля подобрано так, чтобы переходное значение
напряженности магнитного поля HxT в модели совпадало с критическим значением напряженности Hxc в эксперименте.
Физический смысл величины HxT состоит в том, что при данном значении напряженности магнитного поля энергия доменной границы одинакова для
обеих возможных ее киральностей. Критическое значение внешнего магнитного
поля Hxc в эксперименте — значение напряженности, при котором смещение доменной границы равно нулю. Вообще говоря, эти две величины неэквивалентны.
101
Однако во всех смоделированных ситуациях переход между положительными и
отрицательными значениями электрического заряда осуществлялся при смене
киральности.
Экспериментальные графики на рисунке 3.8 носят скорее гладкий, чем
скачкообразный характер, а горизонтальную ось пересекают под малым относительно общего уклона углом. Смена знака плотности поверхностного электрического заряда q на расчетных графиках, напротив, происходит скачком,
причем абсолютная величина заряда максимальна вблизи точки HxT , что явно противоречит экспериментальным данным. Такое поведение представляется
закономерным ввиду того, что для образца №5 значение константы ромбической анизотропии Kr превышает значение константы одноосной Ku без малого
в семь раз, а для образца №7 — в три раза. Это означает, что внешнее магнитное
поле Hx будет в большей степени наклонять вектор намагниченности в доменах, чем превращать границу модифицированного блоховского типа в границу
Нееля. Наклон вектора намагниченности в доменах, в свою очередь, приведет
к уменьшению заряда доменной границы.
Поскольку основной причиной несоответствия результатов моделирования
экспериментальным данным являются большие значения констант анизотропии, рассмотрим гипотетический кристалл со сравнительно слабыми кубической и ромбической анизотропиями. Уменьшим величины Kc и Kr в 3.3 раза
относительно значений, приведенных в таблице 3.1 для образца №7, а угол ϕr
примем равным 3◦ . Остальные параметры образца оставим без изменения.
На экспериментальных графиках зависимостей смещения ∆x некоторой
доменной границы (рис. 3.9 а) и соседней с ней границы (рис. 3.9 б) от напряженности внешнего магнитного поля Hx можно выделить два участка. Будем
их называть “линейным” и “нелинейным”, в соответствии с формой сплошной
линии, проведенной по экспериментальным точкам.
Обратимся к результатам моделирования зависимости плотности поверхностного заряда доменных границ двух видов от напряженности внешнего магнитного поля −q(Hx ), представленным на рис. 3.9 в, г. Под видом границы
здесь понимается последовательность направлений вектора намагниченности в
доменах, разделяемых границей, при движении вдоль оси x: вверх, вниз или
вниз, вверх. Величина заряда взята с обратным знаком для удобства сравнения
102
Рис. 3.9: а, б — экспериментальные зависимости смещения двух соседних доменных границ
от напряженности внешнего магнитного поля ∆x(Hx ) для образца №7 [99]. Напряжение на
электроде составляло U = +1600 В; в, г — рассчитанные зависимости плотности поверхностного заряда двух соседних доменных границ от напряженности магнитного поля −q(Hx ) для
кристалла с параметрами Ku = 853 эрг/см3 , Kc = 412 эрг/см3 , Kr = 732 эрг/см3 , θu = 40.0◦ ,
ϕu = 189.4◦ , ϕr = 3.0◦ .
с экспериментальными графиками: при положительном напряжении на электроде отрицательный заряд границы проявляется как ее притяжение к электроду, т.е. положительное смещение. Сопоставление экспериментальных данных с результатами моделирования позволяет предположить, что “линейный”
участок на графиках 3.9 а, б соответствует изменению структуры доменной границы при постоянной киральности, а “нелинейный” — изменению киральности
доменной границы.
Рассмотрим соответствующие распределения вектора намагниченности
(рис. 3.10). На нем изображены центральные участки доменных границ, разде-
103
Рис. 3.10: Распределение нормированного вектора намагниченности (справа) для доменных
границ различных киральностей при различных значениях напряженности внешнего магнитного поля Hx . Соответствующие точки отмечены на графике зависимости −q(Hx ) (слева).
Доменная граница, в которой вектор намагниченности поворачивается по часовой стрелке
(против часовой стрелки) при движении вдоль оси x, изображена толстыми (тонкими) стрелками и сплошным (пустым) кружком. Плоскость рисунка совпадает с плоскостью пленки.
Сплошная наклонная линия показывает плоскость ромбической анизотропии.
ляющих домены с проекцией вектора намагниченности mz < 0 (левый домен) и
mz > 0 (правый домен). Для каждого из трех значений напряженности внешнего магнитного поля Hx изображена структура доменных границ двух киральностей — с разворотом вектора намагниченности по и против часовой стрелки.
Энергетически выгодной является та конфигурация, в которой вектор намагниченности в центре доменной границы отклоняется от плоскости ромбической
анизотропии на меньший угол. При Hx = −80 Э (рис. 3.10 а) это справедливо для доменной границы с разворотом вектора намагниченности по часовой
стрелке (толстые векторы на рисунке). При критическом значении напряженности магнитного поля Hx = −25 Э (рис. 3.10 б) разворот происходит в плоскости
104
ромбической анизотропии для обеих киральностей доменных границ, что обуславливает равенство их энергий. В отсутствие эффективного электрического
поля эта точка располагалась бы в начале координат Hx = 0 Э. Наконец, для
значения Hx = 80 Э (рис. 3.10 в) вектор намагниченности составляет меньший
угол с плоскостью ромбической анизотропии в границе с разворотом против
часовой стрелки (тонкие векторы на рисунке).
В свете вышеизложенного можно сделать вывод, что основным фактором,
определяющим электростатические свойства доменных границ, являются геометрические параметры распределения вектора намагниченности. За наличие
электрического заряда у доменной границы отвечает ее “неелевская компонента” — проекция градиента вектора намагниченности на направление модуляции
∂mx /∂x. Причиной наличия неелевской компоненты может служить как отклонение направления вектора намагниченности в доменах от нормали к пленке,
так и отклонение плоскости ромбической анизотропии от плоскости доменной
границы. Если величина неелевской компоненты невелика, то небольших деформаций распределения вектора намагниченности, вызванных магнитным полем, будет достаточно для изменения величины и знака электрического заряда.
Достаточно сильное магнитное поле может привести к существенной перестройке микромагнитной структуры — изменению киральности границы, сопровождающемуся значительным изменением заряда. Отметим, что все эти изменения
микромагнитной структуры под действием магнитного поля не требуют превращения доменной границы в границу Нееля и могут происходить при значениях
константы ромбической анизотропии Kr , сопоставимых с величиной константы одноосной анизотропии Ku . Роли различных параметров кристалла в электростатических свойствах доменных границ, установленные путем численного
моделирования, кратко изложены в таблице 3.2.
3.4
Рассмотрение альтернативной модели магнитоэлектрического взаимодействия
Неоднородный магнитоэлектрический эффект не является единственным
предложенным механизмом объяснения эффекта движения доменных границ
под действием неоднородного электрического поля. Так, в работе [106] вы-
105
Свойство образца
Наклон плоскости ромбической анизотропии относительно плоскости доменной
границы
Выход направления вектора намагниченности в доменах из плоскости доменной
границы
Наличие эффективного электрического
поля E0 (гипотеза)
Значение константы ромбической анизотропии Kr
Следствие
Доменные границы с различной киральностью отличаются по энергии взаимодействия с магнитным полем
Отличная от нуля плотность поверхностного электрического заряда границ в отсутствие магнитного поля
Одна из киральностей становится предпочтительной в отсутствие магнитного поля
Крутизна зависимости поверхностной
плотности электрического заряда от напряженности внешнего магнитного поля
q(Hx )
Таблица 3.2: Факторы, оказывающие влияние на электростатические свойства доменных
границ.
сказывается предположение, что наблюдаемое смещение доменных границ может быть вызвано изменением констант наведенной магнитной анизотропии
под действием неоднородного электрического поля от заостренного электрода. Электрическое поле вызывает смещения ионов, приводящие к локальному
неоднородному в пространстве изменению магнитной анизотропии. Изменение
констант анизотропии, в свою очередь, обуславливает наблюдаемое искривление доменных границ.
Согласно этой модели, эффект движения доменных границ электрическим
полем должен иметь место лишь в тех образцах, в которых направление вектора намагниченности в доменах существенно отклонено от нормали к поверхности пленки, а константа ромбической анизотропии сопоставима по величине
с константой одноосной анизотропии. Данное требование, действительно, выполняется для образцов с кристаллографической ориентацией (210) и (110), в
которых эффект смещения доменных границ имеет место, и не выполняется
для пленок с (111)-ориентацией, в которых эффект не наблюдался.
Однако при попытке объяснить подобным образом результаты экспериментов в присутствии магнитного поля (рис. 2.6) возникают определенные трудности. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим эффективное магнитное поле, действующее на микромагнитную структуру доменной границы согласно модели,
основанной на неоднородном магнитоэлектрическом эффекте и аналогичное поле, возникающее в рамках альтернативной модели.
106
Эффективное магнитное поле, соответствующее некоторому взаимодействию, можно получить путем варьирования вклада этого взаимодействия в
свободную энергию по намагниченности:
~ me = − δw .
H
~
δM
(3.11)
Для вклада, соответствующего неоднородному магнитоэлектрическому эффекту, это дает [107, 108]:
Hime
γ X
∂mj
∂mj
∂Ej ∂Ei
2 Ei
− Ej
− mj
−
,
=−
Ms j
∂xj
∂xi
∂xi
∂xj
(3.12)
где E — приложенное к образцу электрическое поле, Ms — намагниченность
насыщения, m — нормированный на Ms вектор намагниченности, γ — константа
неоднородного магнитоэлектрического эффекта, а i, j = x, y, z.
Эффективное магнитное поле, соответствующее изменению констант анизотропии под действием электрического поля, можно записать в виде [109]:
Hxan =
∂Ex
∂E
∂E
∂E
x
y
z
~ Mx + c
+ b∇E
Mx +
My +
Mz ,
a
∂x
∂x
∂x
∂x
(3.13)
~ — вектор намагниченности, a, b, c — константы. Компоненты Hy и Hz
где M
могут быть получены из выражения (3.13) путем циклической перестановки
индексов x, y, z.
Рассмотрим действие на доменную границу неоднородного электрического
поля, создаваемого точечным положительным зарядом Q, находящимся сбоку
от нее над поверхностью образца. Для z-компонент напряженности соответствующих эффективных магнитных полей в этом случае получаем:
Hzme = −
Hzan
2γ ∂mx
Ez
Ms
∂x
∂Ez
∂Ex
∂Ey
∂Ez
=a
+c
Mx +
My +
Mz
∂z
∂z
∂z
∂z
(3.14)
(3.15)
Посмотрим, как эффективные магнитные поля действуют на доменную границу (рис. 3.11). Для этого построим графики зависимостей Hzan (x) и Hzme (x) для
107
Рис. 3.11: Распределение компоненты напряженности эффективного магнитного поля Hz (x),
соответствующего действию неоднородного электрического поля от точечного заряда Q, дей~ согласно модели неоднородного
ствующего на распределение вектора намагниченности M
магнитоэлектрического эффекта (индекс me, сплошная линия) и модели изменения констант
анизотропии (индекс an, штриховая линия). F~ — сила, действующая на доменную границу
со стороны эффективного магнитного поля.
доменной границы Нееля (результат будет справедлив для любой границы с
отличной от нуля “неелевской компонентой” ∂x mx ). Смещение доменной границы под действием магнитного поля происходит следующим образом: магнитное
~M
~ > 0 и уменьшает объем сополе увеличивает объем домена, в котором H
седнего с ним. Распределение компонент эффективных магнитных полей Hzan и
Hzme можно разделить на две асимметричные части разного знака, находящиеся по разные стороны от центра доменной границы, где значения Hzan и Hzme
обращаются в ноль. Определять направление движения доменной границы будет та часть, которая находится ближе к электрическому заряду, поскольку
в ней компоненты напряженности эффективного магнитного поля достигают
наибольших значений.
Для доменной границы, изображенной на рисунке 3.11 а, оба эффективных
магнитных поля вызовут притяжение доменной границы к точечному заряду.
Действительно, эффективные магнитные поля достигают наибольших значений
108
в области, где они направлены противоположно направлению вектора намагниченности в правом домене, поэтому правый домен будет уменьшаться до тех
пор, пока доменная граница не окажется строго под зарядом. Эта точка будет
положением равновесия.
В случае, если распределение вектора намагниченности имеет вид, представленный на рисунке 3.11 б, эффективные магнитные поля разной природы
будут действовать на доменную границу по-разному: поле Hzme будет отталкивать ее от точечного заряда Q, в то время как поле Hzan по-прежнему будет способствовать ее движению направо. Здесь проявилась принципиальная
разница между рассматриваемыми эффективными магнитными полями. Напряженность поля Hzme , обусловленного неоднородным магнитоэлектрическим
эффектом, пропорциональна производной от вектора намагниченности, поэтому одинакова в двух рассмотренных случаях. Напряженность поля Hzan , в свою
очередь, линейно зависит от значений компонент вектора намагниченности, поэтому во втором случае она изменяет знак.
Следовательно, механизм, основанный на изменении констант анизотропии и приводящий к возникновению эффективного магнитного поля вида (3.13)
может объяснить движение доменных границ только в том случае, когда характер смещения — притяжение или отталкивание — одинаков для всех доменных
границ образца. Это верно для экспериментов в отсутствие внешнего магнитного поля. Однако в магнитном поле, приложенном перпендикулярно доменным
границам в плоскости пленки, наблюдается притяжение одних границ и отталкивание других при постоянном знаке напряжения на электроде. Рассмотренное
изменение констант анизотропии под действием неоднородного электрического
поля не может обуславливать такого поведения доменных границ.
В то же время модель, основанная на неоднородном магнитоэлектрическом
эффекте, позволяет объяснить наблюдаемые зависимости смещения доменных
границ от величины и направления внешнего магнитного поля. Как показало численное моделирование, для существенного изменения величины и смены
знака электрического заряда доменной границы достаточно даже небольшого изменения ее структуры под влиянием внешнего магнитного поля. Тем не
менее, нельзя отрицать, что изменение магнитной анизотропии под действием
электрического поля может оказывать влияние на движение доменных границ.
109
Вопрос о роли этого явления в природе и характере наблюдаемого эффекта
остается открытым.
3.5
Выводы
В данной главе были изложены результаты численного моделирования
микромагнитной структуры доменных границ в феррит-гранатовых пленках с
учетом кубической и наведенной магнитной анизотропии согласно модели, описанной в [97], а также неоднородного магнитоэлектрического эффекта. Микромагнитное моделирование проводилось методом имитации отжига. Ниже приведены основные полученные результаты.
• Установлено, что наличие ромбической анизотропии, плоскость которой
отклонена от плоскости доменной границы, приводит к наличию у границы поверхностного электрического заряда в отсутствие магнитного поля.
При отличных от нуля значениях напряженности магнитного поля отклонение плоскости ромбической анизотропии приводит к появлению разницы в энергиях границ различной киральности.
• Установлено, что при наличии в кристалле эффективного электрического
~ 0 = (0, 0, E0 ) равенство энергий доменных границ разной киральнополя E
сти осуществляется при отличном от нуля значении напряженности внешнего магнитного поля Hx = HxT .
• Показано, что переходное значение напряженности магнитного поля HxT
не зависит от величин константы Kr и азимутального угла ϕr ромбической анизотропии. Установлено, что величина HxT прямо пропорциональна
напряженности эффективного электрического поля E0 . Характер зависимости и полученные значения коэффициента пропорциональности согласуются с оценками, сделанными ранее [100].
• Показано, что характер наблюдаемой в эксперименте зависимости смещения доменной границы ∆x под действием внешнего электрического поля
от напряженности магнитного поля Hx может быть обусловлен как изменением плоскости разворота вектора намагниченности, так и сменой
110
киральности доменных границ.
• Установлено, что характер зависимости линейной плотности поверхностного электрического заряда доменной границы от напряженности внешнего магнитного поля определяется соотношением констант одноосной анизотропии Ku и ромбической анизотропии Kr .
Помимо численного моделирования, в главе 4 главе был рассмотрен альтернативный неоднородному магнитоэлектрическому эффекту механизм магнитоэлектрического взаимодействия, основанный на изменении констант магнитной анизотропии под действием неоднородного электрического поля [106].
Показано, что эффект разнонаправленного смещения доменных границ под действием электрического поля одной полярности, наблюдаемый в присутствии
магнитного поля, не может быть описан в рамках данной модели.
111
Глава 4
Магнитоэлектрические свойства линейных и
точечных топологических дефектов
4.1
Введение
Данная глава посвящена рассмотрению электростатических свойств маг-
нитных топологических дефектов пониженной размерности. Доменная граница
представляет собой двумерный объект (плоскость для полосовых доменов, цилиндр — для цилиндрических). Одномерным дефектом является линия Блоха
(d = 1), а нольмерным — точка Блоха (d = 0). Кроме того, рассматривается возможность зарождения электрическим полем скирмиона — одномерного
(нитевидного) вихревого топологического дефекта.
Вертикальная линия Блоха является границей раздела между областями
блоховской доменной границы с различной киральностью [3]. Такие дефекты
возникают в силу того, что при образовании доменных границ появление участков с тем или иным направлением разворота равновероятно, и выбор киральности в удаленных друг от друга частях границы происходит независимо. По
сути, вертикальная блоховская линия представляет собой линейную “доменную
границу” внутри доменной границы. Вдоль линии структура доменной границы
является неелевской, что позволяет предположить возможность наличия у нее
электрического заряда. В эксперименте было обнаружено, что вертикальные
блоховские линии в феррит-гранатовой пленке с (111)-ориентацией реагируют
на приложение неоднородного электрического поля [4], однако количественных
данных об их поведении нет.
Если зафиксировать распределение вектора намагниченности в пространстве, окружающем вертикальную блоховскую линию, один параметр по-прежнему останется свободным — компонента вектора намагниченности блоховской
линии, нормальная к плоскости доменной границы. Таким образом, структура
блоховской линии определяется в процессе нарушения симметрии, и, следовательно, может сопровождаться появлением “доменов”. Границей между такими
“доменами” внутри вертикальной блоховской линии будет точка Блоха — сингу-
112
лярный топологический дефект, являющийся дискретным аналогом магнитного
монополя. Экспериментальное наблюдение самой точки Блоха является непростой задачей [110], и неудивительно, что о более тонкой характеристике — ее
электрических свойствах — ничего не сообщается. Ниже мы покажем, что в кристалле, где электрическим зарядом обладает вертикальная блоховская линия,
точка Блоха также должна обладать электрическим зарядом.
4.2
Дефекты пониженной размерности внутри доменных
границ
4.2.1
Вертикальная блоховская линия
Рассмотрим электростатические свойства вертикальной блоховской линии,
находящейся в доменной границе между доменами с заданным направлением
намагниченности. Для этого запишем соответствующее распределение вектора
намагниченности, нормированной на величину намагниченности насыщения Ms
в виде [3]:


cos ϕ(y) sin θ(x)



m
~ =
sin
ϕ(y)
sin
θ(x)


cos θ(x)
x
θ(x) = 2 arctg exp
∆
y
ϕ(y) = ±π/2 ± 2 arctg exp
,
Λ
(4.1)
(4.2)
(4.3)
p
A/K — параметр ширины доменной границы, а параметр ширины
p
вертикальной блоховской линии Λ = ∆ Qf (Qf = K/2πMs2 — фактор кагде ∆ =
чества). Ось z направлена перпендикулярно поверхности образца. Оси x и y
лежат в плоскости пленки, причем ось x перпендикулярна плоскости доменной
границы, а ось y лежит в ней. Четыре варианта выбора знаков в выражении
для ϕ(y) соответствуют сочетаниям двух вариантов расположения киральностей блоховских участков границы и двух вариантов направления вектора намагниченности в центре линии Блоха.
Воспользовавшись формулой (1.1), находим пространственное распреде-
113
Рис. 4.1: Электростатические характеристики вертикальной блоховской линии: а — нормированное распределение плотности электрического заряда на верхней поверхности образца
σ(x, y, h/2) в случае ϕ(0) = π; б — то же для случая ϕ(0) = 0; в — распределение объемной
плотности электрического заряда ρe (x, y, z) при −h/2 < z < h/2. Показаны распределения
вектора намагниченности и масштабные элементы, соответствующие ширине доменной границы ∆ и ширине вертикальной блоховской линии Λ.
ление нормированной электрической поляризации и объемной плотности электрического заряда:


p~ = 

2
ϕy sin θ




cos ϕ (θx + ϕy cos θ sin θ)
0
ρe = −2θx ϕy cos θ sin θ,
(4.4)
(4.5)
где индексы обозначают производные углов по соответствующим координатам.
Плотность поверхностного заряда определяется z-компонентой поляризации. При этом на верхней и на нижней поверхностях образца знак поверхностных зарядов вертикальной линии Блоха будет разным. Под “верхней” и “нижней” поверхностями здесь и далее понимаются поверхности, для которых проекции nz > 0 и nz < 0, соответственно (нормаль ~n направлена из образца в
окружающее пространство). Знак электрического заряда на данной поверхности задается направлением вектора намагниченности в центре линии Блоха,
то есть значением ϕ(0). Это наблюдение согласуется с результатами раздела
2.3.2, поскольку в центре линии Блоха доменная граница является неелевской,
и направление вектора намагниченности (при фиксированном направлении в
доменах) определяет ее киральность. На рисунках 4.1 а, б приведены распреде-
114
ления плотности электрического заряда, соответствующие сочетаниям знаков
(+, +) и (−, +) в формуле (4.3). Отметим, что электрический заряд не зависит
от направления вектора намагниченности внутри блоховских участков доменной границы, примыкающих к линии Блоха.
Вычислим полный поверхностный заряд, находящийся на верхней поверхности пленки для микромагнитной конфигурации, изображенной на рисунке
4.1 а:
Z
Q=
Z
σe (x, y, h/2)dxdy =
Pz (x, y, h/2)dxdy =
Z
Z
π
+ 2 arctg ey/Λ dxdy =
= cos ϕ(θx + ϕy cos θ sin θ)dxdy = θx cos
2
Z
Z
= − θx sin(2 arctg ey/Λ )dxdy = −Λ θx ϕy dxdy =
Z π Z 3π
2
= −Λ
dϕdθ = −π 2 Λ (4.6)
0
π
2
Здесь и далее полный заряд является размерной величиной и измеряется в единицах Γ = γχe Ms2 . При интегрировании по y мы воспользовались тем фактом,
что для угловой зависимости вида (4.2) выполняется соотношение θx ∆ = sin θ.
Кроме того, учтено, что слагаемое ϕy cos θ sin θ является функцией, четной по
y и нечетной по x, вследствие чего не дает вклада в полный заряд.
Дипольный момент вертикальной блоховской линии, обусловленный поверхностными зарядами, расстояние между которыми равно толщине пленки
h, составляет π 2 Λh. Распределение объемного заряда в толще образца, изображенное на рисунке 4.1 в, представляющее собой протяженные облака положительного и отрицательного зарядов, также носит дипольный характер, но его
дипольный момент лежит в плоскости пленки.
4.2.2
Точка Блоха
В силу того, что, в отличие от рассмотренных выше дефектов, точка Блоха является сингулярной точкой в распределении вектора намагниченности,
доминирующим вкладом в энергию вблизи ее ядра является обменная энергия.
Простейшей конфигурацией микромагнитной структуры точки Блоха является
115
Рис. 4.2: Микромагнитная структура точки Блоха: а — радиальное распределение вектора
намагниченности; б — то же распределение после действия матрицы поворота Rγz вокруг оси
z на угол γ.
радиальное распределение вектора намагниченности (рис. 4.2а):
x y z
m
~0=± , ,
r r r
где ~r = (x, y, z) — радиус-вектор, r =
~r
=± ,
r
(4.7)
p
x2 + y 2 + z 2 . Строго говоря, микромаг-
нитное рассмотрение точки Блоха неправомерно, поскольку в микромагнетизме
распределение m
~ предполагается гладким. Тем не менее, несмотря на то что
плотность обменной энергии структуры (4.7) стремится к бесконечности вблизи начала координат, полная обменная энергия конечна. В силу изотропности
обменной энергии, ее величина остается неизменной при любых глобальных
поворотах вектора намагниченности, то есть преобразованиях вида Rm
~ 0 , где
R — ортогональная матрица с единичным детерминантом [3]. Принципиально
отличаться друг от друга будут лишь точки Блоха с разными знаками в исходном выражении для m
~ 0 , поскольку они не могут быть переведены друг в друга
никаким поворотом.
Вид распределения вектора намагниченности в точке Блоха будет опре-
116
деляться следующим по значимости вкладом в энергию — магнитостатической
энергией. Без потери общности можно считать, что магнитостатическая энергия
распределения m
~ 0 будет минимизирована поворотом вектора намагниченности
вокруг оси z на угол γ, как показано на рисунке 4.2б. В литературе встречаются
различные значения угла скручивания γ, полученные исходя из разных условий: γ = 2π/3 = 120◦ — из условия минимальности магнитных зарядов [111],
γ = arccos(−33/87) ≈ 112◦ — из условия минимальности магнитостатической
энергии [112], γ = arccos(−7/18) ≈ 113◦ — из того же условия с учетом изменения модуля вектора намагниченности вблизи сингулярности [113].
Найдем распределение вектора электрической поляризации и плотность
электрического заряда, присущего структуре вида (4.7):
x y z
p~0 = ±2 2 , 2 , 2 ,
r r r
2
r2
Для полного электрического заряда точки Блоха радиуса R0 имеем:
ρe = −∇~p = ∓
Z
q(R0 ) =
ρe r2 sin θ dr dϕ dθ = ∓8πR0
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Так же, как и в случае обменной энергии, плотность электрического заряда
стремится к бесконечности в начале координат, но интеграл от нее конечен. Соответствие знаков в выражениях для распределения вектора намагниченности
и для плотности электрического заряда может создать обманчивое впечатление,
что знак электрического заряда точки Блоха связан со знаком ее топологического заряда. Ниже будет показано, что это не так.
Проведем аналогичные вычисления для скрученной точки Блоха. Для этого подействуем на распределение вектора намагниченности m
~ 0 (со знаком плюс)
матрицей поворота Rγz вокруг оси z на угол γ:
m
~ =
1
x cos γ + y sin γ, y cos γ − x sin γ, z
r
(4.11)
117


x(cos γ + 1) + y sin γ

1 

p~ = 2 
y(cos
γ
+
1)
−
x
sin
γ

r 
2z cos γ
(4.12)
Выражение для плотности электрического заряда удобно представить в цилинp
дрической системе координат (R ≡ x2 + y 2 ):
ρe = −
2z 2
z 2 − R2
(cos
γ
+
1)
+
2
cos γ
(R2 + z 2 )2
(R2 + z 2 )2
(4.13)
Интегрируя ρe по объему цилиндра с высотой H (−H/2 6 z 6 H/2) и радиусом
R0 , получим:
4R20
H
(cos γ + 1) − 2πH ln 1 + 2 cos γ (4.14)
q(H, R0 , γ) = −4πR0 arctg
2R0
H
Проверим соответствие полученного результата величине заряда в случае радиального распределения вектора намагниченности (4.10):
√
π
q(H = 2R0 , R0 = R0 , γ = 0) = −8πR0 (ln 2 + ) ≈ 1, 132 · (−8πR0 )
4
(4.15)
Множитель, незначительно больший единицы, возник из-за того, что объем цилиндра несколько превышает объем сферы, около которой он описан. Аналогичная подстановка для произвольного значения угла γ дает q(R0 , γ) = −f (γ)R0 ,
где обозначено f (γ) = π 2 (cos γ + 1) + 4π ln 2 cos γ. Из этого следует, что при
некоторых значениях γ, в частности, при γ = π, электрический заряд изменяет
знак и становится положительным.
Таким образом, полный электрический заряд вблизи сингулярности существенным образом зависит от угла скручивания. Однако в реальном материале распределение вида (4.11) не является полным описанием микромагнитной
структуры точкиqБлоха, поскольку за пределами сферы с радиусом, приблиA
женно равным π3 K
(для значения фактора качества Qf = 10 [67]) должно
произойти “сшивание” распределения вектора намагниченности вблизи сингулярности с распределением во внешних частях области рассмотрения. Чтобы
рассчитать полный электрический заряд точки Блоха с учетом искажений распределения (4.11), вносимых граничными условиями, рассмотрим конфигура-
118
Рис. 4.3: Микромагнитные конфигурации, распределения поверхностного заряда и нормальной составляющей вектора электрической поляризации на верхней и нижней поверхностях
участка пленки, содержащего вертикальную блоховскую линию: а — без точки Блоха; б — с
точкой Блоха, внедрившейся с нижней поверхности пленки; в — с точкой Блоха, внедрившейся с верхней поверхности пленки. Ось x направлена от одного домена к другому, плоскость
yz совпадает с плоскостью доменной границы.
цию точки Блоха, находящейся на вертикальной линии Блоха внутри доменной
границы.
Вначале обратимся к вертикальной блоховской линии, не содержащей точек Блоха (рис. 4.3 а). Распределение вектора намагниченности и плотности
электрического заряда на верхней поверхности пленки соответствует изображенным на рисунке 4.1 а: плотность поверхностного заряда отрицательна. На
нижней поверхности та же микромагнитная конфигурация, как уже отмечалось, приводит к появлению положительного электрического заряда. Согласно
формуле (4.6), полный поверхностный заряд на каждой поверхности равен по
абсолютной величине Q = π 2 Λ, где Λ — параметр ширины линии Блоха.
Теперь представим себе, что в данную вертикальную блоховскую линию
с нижней поверхности пленки внедрилась точка Блоха (рис. 4.3 б). Другими
словами, пусть направление вектора намагниченности в центре изображенного
участка нижней поверхности образца изменилось на противоположное. Тогда
знак электрического заряда и направление электрической поляризации в этой
области также изменятся на противоположные, и знаки заряда на обеих поверхностях пленки будут отрицательными. Аналогичная ситуация возникнет
119
при внедрении точки Блоха с верхней поверхности образца (рис. 4.3 в) — тогда
на верхней и на нижней поверхностях пленки будет находиться положительный
поверхностный заряд.
Вычислим объемный электрический заряд точки Блоха для случая, изображенного на рисунке 4.3 б. Для этого воспользуемся формулой ОстроградскогоГаусса:
Z
QBP =
Z
ρe dxdydz = −
Z
∇~p dV = −
Z
p~ · ~n dS = −
σe dS = 2Q, (4.16)
где ~n — нормаль к поверхности образца, а интегрирование производится по
объему и поверхности прямоугольного параллелепипеда, содержащего вертикальную блоховскую линию.
Из полученного вида распределения электрического заряда следует, что
~ = (0, 0, Ez ), приложенное к вертикальной блоховэлектрическое поле вида E
ской линии, содержащей точку Блоха, может привести к выталкиванию точки Блоха из линии в ту или иную сторону, в зависимости от знака зарядов и
z-компоненты электрического поля. Если же линия изначально не содержала
точку Блоха, то при должном выборе полярности электрическое поле, в принципе, может “перевернуть” диполь поверхностных зарядов путем внедрения и
продвижения точки Блоха.
В заключение рассмотрим вопрос соответствия топологического заряда и
электрических свойств точки Блоха. Топологический заряд распределения вектора намагниченности, описываемого выражением (4.7), может быть определен
как поток гиротропного вектора ~g = (∇ cos θ) × ∇ϕ через любую замкнутую
поверхность, содержащую сингулярную точку, и составляет S = ∓1. Он отрицателен для “расходящейся” точки Блоха, положителен для “сходящейся” и
не изменяется при любых непрерывных деформациях распределения вектора
намагниченности, к которым относятся непрерывные повороты [3].
Воспользуемся последним свойством для вычисления топологического заряда точки Блоха, изображенной на рисунке 4.3 б. Спроецируем конфигурацию вектора намагниченности на верхней и нижней поверхностях образца на
сферу, окружающую точку Блоха. Подействуем на распределение вектора намагниченности последовательно двумя матрицами поворота: вокруг оси y на
120
Рис. 4.4: К вычислению топологического заряда точки Блоха с заданными граничными условиями: а — распределение вектора намагниченности соответствует случаю, изображенному
на рис.4.3 б; б — изменение киральности блоховских участков доменной границы приводит
к изменению топологического заряда S.
угол − π2 и вокруг оси x на угол π (рис. 4.4 а) . В результате мы получили
“расходящуюся” точку Блоха, обладающую топологическим зарядом S = −1.
Действие рассмотренных поворотов можно сделать локальным, вводя гладкую
зависимость углов поворота от расстояния до ядра точки Блоха так, чтобы эти
преобразования сохраняли граничные условия.
Рассмотрим теперь похожее распределение вектора намагниченности, но с
измененной киральностью блоховских участков доменной границы (рис. 4.4 б).
Оно соответствует знакам (−, −) в выражении (4.3). Преобразования, аналогичные рассмотренным выше, позволяют установить, что такая точка Блоха
топологически эквивалентна радиальной “сходящейся” точке Блоха, то есть ее
топологический заряд равен S = +1. При этом электрический заряд обеих
изображенных на рисунке 4.4 точек Блоха составляет +2Q, поскольку не за-
121
висит от киральности блоховских участков доменных границ, не обладающих
электрической поляризацией.
Таким образом, и электрический, и топологический заряды точки Блоха однозначно определяются граничными условиями — распределением вектора намагниченности на замкнутой поверхности, содержащей точку Блоха.
При этом, в зависимости от граничных условий, возможны четыре комбинации
знаков электрического и топологического зарядов, то есть связь между этими
знаками отсутствует.
4.3
Зарождение скирмионов с помощью электрического
поля
Скирмионы и цилиндрические магнитные домены — классы объектов, ха-
рактеризующиеся совершенно разными физическими предпосылками возникновения и стабильности; в то же время, с математической точки зрения соответствующие им распределения вектора намагниченности во многом схожи.
Так, скирмион можно представить себе как ЦМД, внутренняя область которого стянута в точку — другими словами, радиус которого равен ширине доменной границы. Это соображение, вместе с рассмотренными выше электростатическим свойствами доменных границ, позволяет предположить возможность
зарождения скирмиона электрическим полем в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом.
4.3.1
Модель
С целью проверки данного предположения было предпринято микромагнитное моделирование двумерного распределения вектора намагниченности в
~ = (0, 0, Ez ) методом имитации
присутствии внешнего электрического поля E
отжига. Выражение для плотности свободной энергии имеет вид:
2
∂ 2 mx ∂ 2 mx
∂ my ∂ 2 my
mx
+
+ my
+
−
∂x2
∂y2
∂x2
∂y2
2
γχ
M
∂m
∂m
∂m
∂m
e s
x
z
y
z
− Ku m2z −
mz
− mx
+ mz
− my
Ez (4.17)
∆
∂x
∂x
∂y
∂y
A
w(x, y) = − 2
∆
122
и представляет собой расширенную на второе измерение модель для одномерной доменной границы, рассмотренную выше (раздел 3.2.2). Распределение вектора намагниченности предполагается однородным по координате z, что соответствует случаю тонкой пленки (толщиной порядка обменной длины). Здесь
A — константа обменного взаимодействия, m
~ = (mx , my , mz ) — безразмерный
p
вектор, задающий направление намагниченности, ∆ = A/Ku — параметр ширины доменной границы, Ku — константа одноосной анизотропии, орт которой
направлен вдоль оси z, γ — константа неоднородного магнитоэлектрического эффекта, χe — диэлектрическая восприимчивость, Ms — намагниченность
насыщения. Вычисления проводятся в безразмерных координатах x = x/∆,
y = y/∆. Обозначим безразмерный параметр, характеризующий напряженность электрического поля, равный γχe Ms2 Ez /(Ku ∆).
Электрическое поле создается идеальным плоским конденсатором с круглыми пластинами, расположенными на верхней и нижней поверхностях пленки
и имеет вид

E
~ = (0, 0, Ez ) r < r0
E
~ = (0, 0, 0), r > r0 ,
(4.18)
где r — расстояние от центра пластины до рассматриваемой точки в плоскости
пленки, r0 = 3.5∆ — радиус пластины. Магнитоэлектрический вклад в свободную энергию представляет собой энергию взаимодействия электрического поля
~ с поляризацией, сопутствующей распределению вектора намагниченности в
E
силу неоднородного магнитоэлектрического эффекта.
В качестве начальных условий использовались два распределения вектора
намагниченности: однородное m
~ = (0, 0, 1) и распределение вида

m
~ = (0, 0, −1) r < 1.8∆
m
~ = (0, 0, 1), r > 1.8∆,
(4.19)
представляющее собой цилиндрический магнитный домен с бесконечно тонкой
стенкой.
123
Рис. 4.5: График зависимости значения минимизируемой функции f от безразмерного параметра , характеризующего напряженность электрического поля, создаваемого плоским
конденсатором с радиусом обкладок r0 = 3.5∆. Крестиками обозначены результаты расчетов; ветвь, показанная сплошной кривой, получена для начального распределения в виде
ЦМД с бесконечно тонкой границей; показанная пунктирной кривой — для начальных условий в виде однородно распределения вектора намагниченности.
4.3.2
Результаты расчетов
В ходе расчетов определялось равновесное распределение вектора намаг~ (x, y), соответствующее каждому из начальных условий, и его
ниченности M
R
энергия f = w(x, y)dxdy для разных значений напряженности электрического поля Ez . Графики зависимости энергии конечного распределения вектора
намагниченности от безразмерной напряженности электрического поля приведены на рисунке 4.5. Видно, что при определенном значении параметра ||
энергия микромагнитного объекта, полученного из ЦМД-подобного распределения (сплошная кривая), становится меньше энергии однородной структуры
(пунктирная кривая). Будем трактовать это значение как критическое значе-
124
ние напряженности электрического поля, при котором происходит зарождение
скирмиона. Отклонение двух точек от сплошной линии вблизи значения = 0
связано с тем, что в отсутствие электрического поля топологически нетривиальная конфигурация распределения вектора намагниченности является нестабильной.
Оценим по порядку величины критическое значение напряженности внешнего электрического поля:
Ezc = c
Ku ∆
≈ 106 В/см,
2
γχe Ms
(4.20)
что лежит в диапазоне экспериментально достижимых значений. Оценка произведена для значения c = 2 и параметров феррит-гранатовых пленок: Ku =
731 эрг/см3 , ∆=140 нм, Ms =6 Гс, χe = 4 и γ = 4 · 10−8 см3/2 с г−1/2 .
~
На рисунке 4.6 представлены распределения векторов намагниченности M
и электрической поляризации P~ , полученные при значениях параметра || = 2,
незначительно превосходящих критические значения зарождения скирмиона.
Из распределений вектора намагниченности следует, что направление электрического поля определяет киральность скирмиона. Введем цилиндрическую систему координат с осью z, направленной перпендикулярно плоскости пленки и
проходящей через центр скирмиона. Структура, образовавшаяся под действием электрического поля, направленного вверх (Ez > 0), характеризуется тем,
что радиальная составляющая вектора намагниченности отрицательна Mr < 0
(рис. 4.6 а). Электрическое поле, направленное вниз (Ez < 0), в свою очередь,
приводит к образованию структуры с Mr > 0 (рис. 4.6 б).
Топологический заряд рассматриваемых скирмионов, вычисленный по формуле (1.4), равен S = −1. Равенство топологического заряда обеих структур
нетрудно установить, если заметить, что одно распределение вектора намагниченности переходит в другое под действием матрицы поворота Rπz вокруг оси
z на угол π.
Распределение вектора электрической поляризации P~ и в том, и в другом
случае, можно охарактеризовать, во-первых, z-компонентой, имеющей тот же
знак, что и z-компонента электрического поля; во-вторых, радиальной компонентой Pr > 0, положительной в обоих случаях. Компонента Pz отвечает за
125
~ различной поРис. 4.6: Скирмионы, возникающие под действием электрического поля E
~ и
лярности: Ez > 0 (а) и Ez < 0 (б). Показаны распределения вектора намагниченности M
вектора электрической поляризации P~ .
взаимодействие с приложенным электрическим полем и обеспечивает скирмиону выигрыш в энергии по сравнению с распределением вектора намагниченности, близким к однородному. Радиальная компонента поляризации возникает из-за того, что вектор намагниченности разворачивается при обходе по
126
окружности скирмиона. Знак Pr определяется тем, совпадает ли направление
этого разворота с направлением обхода. Совпадение или несовпадение этих направлений определяет также знак топологического заряда. Однако скирмион
с Pr < 0, для которого S = 1, не может быть стабилизирован однородным
электрическим полем вида (4.18), поскольку знак z-компоненты поляризации
будет разным для разных участков структуры. Эти соображения подтверждаются результатами моделирования магнитоэлектрического вихря в присутствии
радиально-симметричного электрического поля, созданного нитью, проходящей
перпендикулярно плоскости образца [72].
Отметим, что использование термина “скирмион” применительно к рассмотренным структурам представляется правомерным, поскольку их стабильность обусловлена взаимодействием, носящим локальный характер и предопределяющим киральность структуры. Более того, выражение для магнитоэлектрического вклада в свободную энергию в рассматриваемой модели в точности
совпадает с формулой для взаимодействия Дзялошинского-Мория в веществе,
принадлежащем кристаллографическому классу Cnv :
wDM
∂mz
∂my
∂mz
∂mx
− mx
+ mz
− my
,
= α mz
∂x
∂x
∂y
∂y
(4.21)
где α — константа взаимодействия, приведенной в работе [55].
Однако из графика 4.5 следует, что после выключения электрического поля структуры, изображенные на рисунке 4.6, перестают существовать. С другой
стороны, известны экспериментальные свидетельства существования компактных микромагнитных структур, стабилизация которых осуществляется дальнодействующим диполь-дипольным взаимодействием [91, 95]. Диполь-дипольное
взаимодействие находится за рамками рассмотрения в данной модели, поэтому
вопрос о стабильности магнитоэлектрических скирмионов в отсутствие электрического поля требует дальнейшего рассмотрения. Интересно отметить, что
формально они могут называться скирмионами лишь в том случае, когда стабилизация происходит за счет электрического поля. При этом, в отличие от скирмионов, стабилизированных взаимодействием Дзялошинского-Мория, рассмотренные магнитоэлектрические скирмионы предоставляют больше возможностей для управления. Действительно, знак и величина взаимодействия Дзяло-
127
шинского-Мория обусловлены свойствами симметрии кристалла или геометрией образца, в то время как магнитоэлектрический механизм позволяет варьировать параметры взаимодействия путем изменения напряженности и пространственной конфигурации приложенного электрического поля.
4.4
Выводы
В данной главе были рассмотрены электростатические свойства тополо-
гических дефектов пониженной размерности в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом: вертикальной блоховской линии, точки Блоха и
скирмиона. В заключение перечислим основные полученные результаты.
• Показано, что вертикальная блоховская линия обладает поверхностным
электрическим зарядом, имеющим разный знак на противоположных поверхностях пленки и равным по модулю Q = γχe Ms2 π 2 Λ.
• Установлено, что точка Блоха обладает объемным электрическим зарядом, равным по модулю 2Q. Методом непрерывных деформаций распределения вектора намагниченности показано, что знак электрического заряда точки Блоха не связан со знаком ее топологического заряда.
• Продемонстрирована принципиальная возможность зарождения в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом магнитного скирмиона посредством локального воздействия электрического поля. Необходимая для этого величина напряженности электрического поля может
быть оценена по порядку величины как 106 В/см, что лежит в диапазоне экспериментально достижимых значений. Показано, что направление электрического поля определяет киральность микромагнитной структуры.
128
Заключение
Приведем основные результаты, полученные в диссертационной работе.
1. Построена аналитическая модель микромагнитной структуры доменных
границ в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом,
позволяющая качественно изучать их электростатические свойства. В рамках этой модели показано, что отклонение вектора намагниченности в доменах от плоскости доменной границы с необходимостью приводит к наличию у границы электрической поляризации. Установлено, что действие
внешнего магнитного поля может приводить к изменению поверхностного
электрического заряда доменной границы. Полученные зависимости поверхностного заряда доменных границ от угла скручивания находятся в
качественном согласии с экспериментальными данными.
2. Рассчитано распределение электрического заряда в скрученной доменной
границе в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом.
Показано, что скрученная доменная граница обладает поверхностным и
объемным электрическими зарядами разных знаков; знак зарядов каждого вида совпадает у разных границ.
3. Проведено численное моделирование микромагнитной структуры доменных границ в феррит-гранатовых пленках с учетом кубической и наведенной магнитной анизотропии согласно модели, описанной в [97], а также
неоднородного магнитоэлектрического эффекта. Микромагнитное моделирование проводилось методом имитации отжига. Основные результаты
моделирования заключаются в следующем:
• Установлено, что наличие ромбической анизотропии, плоскость которой отклонена от плоскости доменной границы, приводит к наличию
у границы поверхностного электрического заряда в отсутствие магнитного поля. При отличных от нуля значениях напряженности магнитного поля отклонение плоскости ромбической анизотропии приводит к появлению разницы в энергиях границ различной киральности.
129
• Установлено, что при наличии в кристалле эффективного электриче~ 0 = (0, 0, E0 ) равенство энергий доменных границ разной
ского поля E
киральности осуществляется при отличном от нуля значении напряженности внешнего магнитного поля Hx = HxT .
• Показано, что переходное значение напряженности магнитного поля HxT не зависит от величин константы Kr и азимутального угла
ϕr ромбической анизотропии. Установлено, что величина HxT прямо пропорциональна напряженности эффективного электрического
поля E0 . Характер зависимости и полученные значения коэффициента пропорциональности согласуются с оценками, сделанными ранее [100].
• Установлено, что характер зависимости линейной плотности поверхностного электрического заряда доменной границы от напряженности внешнего магнитного поля определяется соотношением констант
одноосной анизотропии Ku и ромбической анизотропии Kr .
4. Рассмотрен альтернативный неоднородному магнитоэлектрическому эффекту механизм магнитоэлектрического взаимодействия, основанный на
изменении констант магнитной анизотропии под действием неоднородного электрического поля [106]. Показано, что эффект разнонаправленного
смещения доменных границ под действием электрического поля одной полярности, наблюдаемый в присутствии магнитного поля, не может быть
описан в рамках данной модели.
5. Показано, что в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом вертикальная блоховская линия обладает поверхностным электрическим зарядом, имеющим разный знак на противоположных поверхностях пленки и равным по модулю Q = γχe Ms2 π 2 Λ. Точка Блоха обладает объемным электрическим зарядом, равным по модулю 2Q. Методом
непрерывных деформаций распределения вектора намагниченности показано, что знак электрического заряда точки Блоха не связан со знаком ее
топологического заряда.
6. Продемонстрирована принципиальная возможность зарождения магнит-
130
ного скирмиона посредством локального воздействия электрического поля
в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом. Необходимая для этого величина напряженности электрического поля может быть
оценена по порядку величины как 106 В/см, что лежит в диапазоне экспериментально достижимых значений. Показано, что направление электрического поля определяет киральность микромагнитной структуры.
Благодарности
В первую очередь я хотел бы выразить глубокую благодарность А.П. Пятакову, являвшемуся моим бессменным научным руководителем на протяжении многих лет. Под его руководством были проведены школьные исследовательские работы, написаны студенческие курсовые работы, дипломная работа и
данная диссертация. Примечательно, что первая исследовательская работа была посвящена флексоэлектрическому эффекту в жидких кристаллах. Явление,
которое так и не удалось наблюдать с помощью нехитрой экспериментальной
установки на Летней школе, тесно связано с предметом численного моделирования в разделе 4.3 данной диссертационной работы.
Кроме того, я признателен С.С. Кротову и Е.В. Лукашёвой, любезно согласившимися выступить в качестве рецензентов данной работы и высказавшими
ряд ценных замечаний.
Также я благодарен М.В. Мостовому за предоставленную возможность
пройти стажировку в Университете Гронингена (University of Groningen), Нидерланды. Отдельной благодарности заслуживают У.К. Рёсслер (U.K. Rössler)
и А.А. Леонов, чьи советы по методу имитации отжига мне очень помогли.
Кроме того, я хотел бы выразить благодарность: А.С. Логгинову , Г.В. Белокопытову, Т.Б. Косых, А.В. Николаеву, Е.П. Николаевой, О.В. Павленко,
Д.А. Сечину, Н.П. Сергеевой и Ю.Е. Терехову за сотрудничество, ценные советы и поддержку. Также я благодарен моим школьным учителям физики и
геометрии — А.М. Бойченко и М.В. Звереву, от которых я впервые услышал
про уравнения Максвелла, матрицы Паули и программу gnuplot, что оказало
существенное влияние на содержание данной диссертации.
131
Список литературы
1.
Барьяхтар В.Г., Львов В.А., Яблонский Д.А. Теория неоднородного магнитоэлектрического эффекта // Письма В ЖЭТФ. 1983. Т. 37, № 12.
С. 565.
2.
Mostovoy M. Ferroelectricity in Spiral Magnets // Physical Review Letters.
2006. Vol. 96, No. 6. P. 067601.
3.
Малоземов А., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. М.: Мир. 1982.
4.
Logginov A.S., Meshkov G.A., Nikolaev A.V. et al. Electric field control of
micromagnetic structure // Journal of Magnetism and Magnetic Materials.
2007. Vol. 310, No. 2. P. 2569–2571.
5.
Logginov A.S., Meshkov G.A., Nikolaev A.V. et al. Room temperature magnetoelectric control of micromagnetic structure in iron garnet films // Applied
Physics Letters. 2008. Vol. 93, No. 18. P. 182510.
6.
Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. М.: Эдиториал УРСС.
1999.
7.
Aharonov Y., Bohm D. Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory // Phys. Rev. 1959. Vol. 115. P. 485–491.
8.
Cheong S.-W., Mostovoy M. Multiferroics: a magnetic twist for ferroelectricity. // Nature materials. 2007. Vol. 6, No. 1. P. 13–20.
9.
Hertel R. Curvature-Induced Magnetochirality // Spin. 2013. Vol. 03, No. 03.
P. 1340009.
10. Mermin N.D. The topological theory of defects in ordered media // Rev. Mod.
Phys. 1979. Vol. 51. P. 591–648.
11. Hasan M.Z., Kane C.L. Topological Insulators // Physics. 2010. Vol. 82, No. 4.
P. 23.
132
12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука.
1989.
13. Aitchison I.J.R, Hey A.J.G. Gauge theories in particle physics. A practical
introduction. Bristol and Philadelphia: Institute of physics publishig. 2003.
14. Berry M.V. Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. 1984. Vol. 392, No. 1802. P. 45–57.
15. Fujita T., Jalil M.B.A., Tan S.G., Murakami S. Gauge fields in spintronics //
Journal of Applied Physics. 2011. Vol. 110, No. 12. P. 121301.
16. Resta R., Vanderbilt D. Theory of Polarization: A Modern Approach. Springer
Berlin Heidelberg. 2007. Vol. 105 of Topics in Applied Physics. P. 31–68.
17. Sparavigna A., Strigazzi A., Zvezdin A. Electric-field effects on the spin-density
wave in magnetic ferroelectrics // Physical Review B. 1994. Vol. 50, No. 5.
P. 2953–2957.
18. Кадомцева А.М., Кротов С.С., Попов Ю.Ф., Воробьев Г.П. Изучение особенностей магнитоэлектрического поведения семейства мультиферроиков
RMn2 O5 // Физика низких температур. 2006. Т. 32, № 8/9. С. 933–953.
19. Harris A. Landau analysis of the symmetry of the magnetic structure and magnetoelectric interaction in multiferroics // Physical Review B. 2007. Vol. 76,
No. 5. P. 054447.
20. Кротов С.С., Шнайдштейн И.В. Феноменология магнитоиндуцированного
сегнетоэлектричества. М.: Физический факультет МГУ. 2011.
21. Kenzelmann M., Harris A. Comment on “Ferroelectricity in Spiral Magnets” //
Physical Review Letters. 2008. Vol. 100, No. 8. P. 089701.
22. Mostovoy M. Mostovoy Replies // Physical Review Letters. 2008. Vol. 100,
No. 8. P. 089702.
133
23. Katsura H., Nagaosa N., Balatsky A.V. Spin Current and Magnetoelectric
Effect in Noncollinear Magnets // Physical Review Letters. 2005. Vol. 95,
No. 5. P. 057205.
24. Sergienko I., Dagotto E. Role of the Dzyaloshinskii-Moriya interaction in multiferroic perovskites // Physical Review B. 2006. Vol. 73, No. 9. P. 094434.
25. Murakawa H., Onose Y., Kagawa F. et al. Rotation of an Electric Polarization
Vector by Rotating Magnetic Field in Cycloidal Magnet Eu0.55 Y0.45 MnO3 //
Physical Review Letters. 2008. Vol. 101, No. 19. P. 197207.
26. Kagawa F., Mochizuki M., Onose Y. et al. Dynamics of Multiferroic Domain
Wall in Spin-Cycloidal Ferroelectric DyMnO3 // Physical Review Letters.
2009. Vol. 102, No. 5. P. 057604.
27. Ishiwata S., Taguchi Y., Murakawa H. et al. Low-magnetic-field control of
electric polarization vector in a helimagnet. // Science (New York, N.Y.). 2008.
Vol. 319, No. 5870. P. 1643–6.
28. Yamasaki Y., Sagayama H., Goto T. et al. Electric Control of Spin Helicity in
a Magnetic Ferroelectric // Physical Review Letters. 2007. Vol. 98, No. 14.
P. 147204.
29. Милов Е.В., Кадомцева А.М., Воробьев Г.П. и др. Обнаружение переключения спонтанной электрической поляризации в мультиферроике
DyMnO3 // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 85, № 10. С. 610–614.
30. Khomskii D. Classifying multiferroics: Mechanisms and effects // Physics.
2009. Vol. 2. P. 20.
31. Schmid H. Multi-ferroic magnetoelectrics // Ferroelectrics. 1994. Vol. 162,
No. 1. P. 317–338.
32. Eerenstein W., Mathur N. D., Scott J.F. Multiferroic and magnetoelectric materials. // Nature. 2006. Vol. 442, No. 7104. P. 759–65.
134
33. Попов Ю.Ф., Звездин А.К. Линейный магнитоэлектрический эффект и
фазовые переходы в феррите висмута BiFeO3 // Письма в ЖЭТФ. 1993.
Т. 57, № 1. С. 65–68.
34. Sosnowska I., Zvezdin A.K. Origin of the long period magnetic ordering in
BiFeO3 // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1995. Vol. 140-144.
P. 167–168.
35. Bode M., Heide M., von Bergmann K. et al. Chiral magnetic order at surfaces
driven by inversion asymmetry. // Nature. 2007. Vol. 447, No. 7141. P. 190–3.
36. Johnson R.D., Chapon L.C., Khalyavin D.D. et al. Giant Improper Ferroelectricity in the Ferroaxial Magnet CaMn7 O12 // Physical Review Letters. 2012.
Vol. 108, No. 6. P. 067201.
37. Mostovoy M. Multiferroic Propellers // Physics. 2012. Vol. 5. P. 16.
38. Landau L.D., Lifshitz E.M. On the theory of dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies // Phys. Zs. Sowjet. 1935. Vol. 8. P. 153.
39. Daraktchiev M., Catalan G., Scott J.F. Landau theory of domain wall magnetoelectricity // Physical Review B. 2010. Vol. 81, No. 22. P. 224118.
40. Гареева З.В., Звездин А.К. Доменные границы, намагниченность и магнитоэлектрический эффект в пленках феррита висмута // Физика твердого
тела. 2012. Т. 54, № 5. С. 1004–1011.
41. Dzyaloshinskii I. Magnetoelectricity in ferromagnets // EPL (Europhysics Letters). 2008. Vol. 83, No. 6. P. 67001.
42. Fiebig M., Lottermoser Th., Fröhlich D. et al. Observation of coupled magnetic
and electric domains. // Nature. 2002. Vol. 419, No. 6909. P. 818–20.
43. Mostovoy M. Multiferroics: A whirlwind of opportunities. // Nature materials.
2010. Vol. 9, No. 3. P. 188–90.
44. Kumagai Y., Spaldin N. Structural domain walls in polar hexagonal manganites. // Nature communications. 2013. Vol. 4. P. 1540.
135
45. Choi Y.J., Zhang C.L., Lee N., Cheong S-W. Cross-Control of Magnetization
and Polarization by Electric and Magnetic Fields with Competing Multiferroic
and Weak-Ferromagnetic Phases // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105,
No. 9. P. 097201.
46. Artyukhin S., Delaney K.T., Spaldin N.A., Mostovoy M. Landau theory of
topological defects in multiferroic hexagonal manganites // Nature Materials.
2013. Vol. 12, No. 11. P. 1–6.
47. Meier D., Maringer M., Lottermoser Th. et al. Observation and Coupling of
Domains in a Spin-Spiral Multiferroic // Physical Review Letters. 2009. Vol.
102, No. 10. P. 107202.
48. Meier D., Lilienblum M., Becker P. et al. Translation domains in multiferroics // Phase Transitions. 2013. Vol. 86, No. 1. P. 33–52.
49. Sagayama H., Taniguchi K., Abe N. et al. Correlation between ferroelectric
polarization and sense of helical spin order in multiferroic MnWO4 // Physical
Review B. 2008. Vol. 77, No. 22. P. 220407.
50. Tokunaga Y., Taguchi Y., Arima T., Tokura Y. Electric-field-induced generation and reversal of ferromagnetic moment in ferrites // Nature Physics. 2012.
Vol. 8, No. 11. P. 838–844.
51. Tokunaga Y., Furukawa N., Sakai H. et al. Composite domain walls in a multiferroic perovskite ferrite. // Nature materials. 2009. Vol. 8, No. 7. P. 558–62.
52. Логгинов А.С., Мешков Г.А., Николаев А.В., Пятаков А.П. Магнитоэлектрическое управление доменными границами в пленке феррит-граната //
Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 86, № 2. С. 124–127.
53. Krichevtsov B.B., Pisarev R.V., Selitskii A.G. Effect of an electric field on the
magnetization processes in the yttrium iron garnet Y3 Fe5 O12 // Sov. Phys.
JETP. 1992. Vol. 74, No. 1992. P. 565–573.
54. Koronovskyy V., Ryabchenko S., Kovalenko V. Electromagneto-optical effects
on local areas of a ferrite-garnet film // Physical Review B. 2005. Vol. 71,
No. 17. P. 172402.
136
55. Yablonskii D.A., Bogdanov A.N. Thermodynamically stable “vortices” in magnetically ordered crystals. The mixed state of magnets // Zh. Eksp. Teor. Fiz.
1989. Vol. 95. P. 178–182.
56. Skyrme T.H.R. A unified field theory of mesons and baryons // Nuclear
Physics. 1962. Vol. 31. P. 556 – 569.
57. Bogdanov A., Rössler U., Wolf M., Müller K.-H. Magnetic structures and reorientation transitions in noncentrosymmetric uniaxial antiferromagnets // Physical Review B. 2002. Vol. 66, No. 21. P. 214410.
58. Rössler U.K., Bogdanov A.N., Pfleiderer C. Spontaneous skyrmion ground
states in magnetic metals. // Nature. 2006. Vol. 442, No. 7104. P. 797–801.
59. Shinjo T., Okuno T., Hassdorf R. et al. Magnetic Vortex Core Observation in
Circular Dots of Permalloy // Science. 2000. Vol. 289, No. 5481. P. 930–932.
60. Wachowiak A., Wiebe J., Bode M. et al. Direct observation of internal spin
structure of magnetic vortex cores. // Science (New York, N.Y.). 2002. Vol.
298, No. 5593. P. 577–80.
61. Kiselev N.S., Bogdanov A.N., Schäfer R., Röß ler U.K. Chiral skyrmions in
thin magnetic films: new objects for magnetic storage technologies? // Journal
of Physics D: Applied Physics. 2011. Vol. 44, No. 39. P. 392001.
62. Kiselev N.S., Bogdanov A.N., Schäfer R., Rössler U.K. Comment on “Giant
Skyrmions Stabilized by Dipole-Dipole Interactions in Thin Ferromagnetic
Films” // Physical Review Letters. 2011. Vol. 107, No. 17. P. 179701.
63. Komineas S., Papanicolaou N. Transmutation of momentum into position in
magnetic vortices // New Journal of Physics. 2008. Vol. 10, No. 4. P. 043021.
64. Tretiakov O., Tchernyshyov O. Vortices in thin ferromagnetic films and the
skyrmion number // Physical Review B. 2007. Vol. 75, No. 1. P. 012408.
65. Sampaio J., Cros V., Rohart S. et al. Nucleation, stability and current-induced
motion of isolated magnetic skyrmions in nanostructures. // Nature nanotechnology. 2013. No. 8. P. 839—-844.
137
66. Parkin S.S.P., Hayashi M., Thomas L. Magnetic Domain-Wall Racetrack Memory // Science. 2008. Vol. 320, No. 5873. P. 190–194.
67. Thiaville A., Garcı́a J., Dittrich R. et al. Micromagnetic study of Bloch-pointmediated vortex core reversal // Physical Review B. 2003. Vol. 67, No. 9.
P. 094410.
68. Kim S.K., Tchernyshyov O. Pinning of a Bloch point by an atomic lattice //
Physical Review B. 2013. Vol. 88, No. 17. P. 174402.
69. Van Waeyenberge B., Puzic A., Stoll H. et al. Magnetic vortex core reversal by
excitation with short bursts of an alternating field. // Nature. 2006. Vol. 444,
No. 7118. P. 461–4.
70. Taguchi K., Ohe J., Tatara G. Ultrafast magnetic vortex core switching driven
by topological inverse Faraday effect // Physical Review Letters. 2012. Vol.
109, No. 12. P. 127204.
71. Логгинов А.С., Николаев А.В., Онищук В.Н., Поляков П.А. Зарождение
мезоскопических магнитных структур локальным лазерным воздействием // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 66, № 6. С. 398–402.
72. Pyatakov A.P., Meshkov G.A. The Influence of Electric Field on Magnetic
Vortices in Confined Magnetic Structures // PIERS Online. 2010. Vol. 6,
No. 6. P. 582–584.
73. Cambel V., Karapetrov G. Control of vortex chirality and polarity in magnetic nanodots with broken rotational symmetry // Physical Review B. 2011.
Vol. 84, No. 1. P. 014424.
74. Tóbik J., Cambel V., Karapetrov G. Dynamics of vortex nucleation in nanomagnets with broken symmetry // Physical Review B. 2012. Vol. 86, No. 13.
P. 134433.
75. Šoltýs J., Gaži Š., Fedor J. et al. Magnetic nanostructures for non-volatile
memories // Microelectronic Engineering. 2013. Vol. 110. P. 474–478.
138
76. Moutafis C., Komineas S., Bland J. Dynamics and switching processes for magnetic bubbles in nanoelements // Physical Review B. 2009. Vol. 79, No. 22.
P. 224429.
77. Moutafis C., Komineas S. MAGNETIC MEMORY DEVICES AND SYSTEMS. United States Patent Application Publication № US2011/0261602 A1.
2011.
78. Mühlbauer S., Binz B., Jonietz F. et al. Skyrmion lattice in a chiral magnet. //
Science (New York, N.Y.). 2009. Vol. 323, No. 5916. P. 915–919.
79. Münzer W., Neubauer A., Adams T. et al. Skyrmion lattice in the doped semiconductor Fe(1−x) Cox Si // Physical Review B. 2010. Vol. 81, No. 4. P. 041203.
80. Yu X.Z., Onose Y., Kanazawa N. et al. Real-space observation of a twodimensional skyrmion crystal. // Nature. 2010. Vol. 465, No. 7300. P. 901–904.
81. Yu X.Z., Kanazawa N., Onose Y. et al. Near room-temperature formation of
a skyrmion crystal in thin-films of the helimagnet FeGe. // Nature materials.
2011. Vol. 10, No. 2. P. 106–109.
82. Heinze S., von Bergmann K., Menzel M. et al. Spontaneous atomic-scale magnetic skyrmion lattice in two dimensions // Nature Physics. 2011. Vol. 7,
No. 9. P. 713–718. 4-spin exchange.
83. Zang J., Mostovoy M., Han Jung H., Nagaosa N. Dynamics of Skyrmion Crystals in Metallic Thin Films // Physical Review Letters. 2011. Vol. 107, No. 13.
P. 136804.
84. Schulz T., Ritz R., Bauer A. et al. Emergent electrodynamics of skyrmions in
a chiral magnet // Nature Physics. 2012. Vol. 8, No. 4. P. 301–304.
85. Pfleiderer C., Rosch A. Condensed-matter physics: Single skyrmions spotted //
Nature. 2010. Vol. 465, No. 7300. P. 880–881. 10.1038/465880a.
86. Thiele A.A. Steady-State Motion of Magnetic Domains // Physical Review
Letters. 1973. Vol. 30, No. 6. P. 230–233.
139
87. Seki S., Yu X.Z., Ishiwata S., Tokura Y. Observation of skyrmions in a multiferroic material. // Science (New York, N.Y.). 2012. Vol. 336, No. 6078.
P. 198–201.
88. Seki S., Ishiwata S., Tokura Y. Magnetoelectric nature of skyrmions in a chiral
magnetic insulator Cu2 OSeO3 // Physical Review B. 2012. Vol. 86, No. 6.
P. 060403.
89. Murakawa H., Onose Y., Miyahara S. et al. Comprehensive study of the ferroelectricity induced by the spin-dependent d-p hybridization mechanism in
Ba2 XGe2 O7 (X = Mn, Co, and Cu) // Physical Review B. 2012. Vol. 85,
No. 17. P. 174106.
90. Liu Y., Li Y., Han J. H. Skyrmion dynamics in multiferroic insulators // Physical Review B. 2013. Vol. 87, No. 10. P. 100402.
91. Yu X., Mostovoy M., Tokunaga Y. et al. Magnetic stripes and skyrmions with
helicity reversals. // Proceedings of the National Academy of Sciences of the
United States of America. 2012. Vol. 109, No. 23. P. 8856–8860.
92. Rosch A. Extra twist in magnetic bubbles // Proceedings of the National
Academy of Sciences. 2012. Vol. 109, No. 23. P. 8793–8794.
93. Romming N., Hanneken C., Menzel M. et al. Writing and Deleting Single Magnetic Skyrmions // Science. 2013. Vol. 341, No. 6146. P. 636–639.
94. Milde P., Köhler D., Seidel J. et al. Unwinding of a skyrmion lattice by magnetic
monopoles. // Science (New York, N.Y.). 2013. Vol. 340, No. 6136. P. 1076–
1080.
95. Finazzi M., Savoini M., Khorsand A. R. et al. Laser-Induced Magnetic Nanostructures with Tunable Topological Properties // Physical Review Letters.
2013. Vol. 110, No. 17. P. 177205.
96. Балбашов А.М., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г. Свойства пленок
ферритов-гранатов с (210)-ориентацией. Препринт №25(500). М.: ИРЭ АН
СССР. 1988.
140
97. Дикштейн И.Е., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г., Чижик Е.С.
Наведенная и магнитокристаллическая анизотропия эпитаксиальных
магнитных пленок. Препринт №17(492). М.: ИРЭ АН СССР. 1988.
98. Pyatakov A.P., Zvezdin A., Sergeev A.S. et al. Spin Flexoelectricity and New
Aspects of Micromagnetism // Advances in Science and Technology. 2010.
Vol. 67. P. 149–157.
99. Сергеев А.С., Сечин Д.А., Павленко О.В. и др. Влияние магнитного поля
на микромагнитную структуру и электростатические свойства доменных
границ // Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2013.
Т. 77, № 10. С. 1523–1526.
100. Pyatakov A.P., Sechin D.A., Sergeev A.S. et al. Magnetically switched electric
polarity of domain walls in iron garnet films // EPL (Europhysics Letters).
2011. Vol. 93, No. 1. P. 17001.
101. Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N. et al. Equation of State
Calculations by Fast Computing Machines // The Journal of Chemical Physics.
1953. Vol. 21, No. 6. P. 1087.
102. Kirkpatrick S., Gelatt C.D., Vecchi M.P. Optimization by Simulated Annealing // Science. 1983. Vol. 220, No. 4598. P. 671–680.
103. Brownlee J. Clever Algorithms: Nature-Inspired Programming Recipes. LuLu.
2012.
104. Miltat J.E., Donahue M.J. Numerical Micromagnetics: Finite Difference Methods // Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials. John Wiley
& Sons, Ltd. 2007. P. 1–23.
105. Kittel C. Physical Theory of Ferromagnetic Domains // Reviews of Modern
Physics. 1949. Vol. 21, No. 4. P. 541–583.
106. Кабыченков А.Ф., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г. Магнитоэлектрический эффект в пленках гранатов с наведенной магнитной анизотропией в
неоднородном электрическом поле // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 97, № 5.
С. 304–308.
141
107. Мешков
Г.А.
Электрическое
управление
микромагнитными
неоднородностями как новый принцип работы устройств магнитной
электроники: дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.03 и 05.27.01. М. 2011.
108. Fischbacher T., Franchin M., Fangohr H. Micromagnetic simulations of magnetoelectric materials // Journal of Applied Physics. 2011. Vol. 109, No. 7.
P. 07D352.
109. Кабыченков
А.Ф.,
Лисовский
Ф.В.,
Мансветова
Е.Г.
О
магнитоэлектрическом эффекте в неоднородном внешнем электрическом
поле, в Сб. трудов XXII Международной конференции “Новое в магнетизме
и магнитных материалах”. Астрахань: Издательский дом “Астраханский
университет”. 2012.
110. Кабанов Ю.П., Дедух Л.М., Никитенко В.И. Блоховсике точки в осциллирующей блоховской линии // Письма в ЖЭТФ. 1989. Т. 49, № 10.
С. 551–554.
111. Feldtkeller E. Micromagnetically continuous and discontinuous magnetization
distributions // Z. Angew. Phys. 1965. Vol. 19. P. 530–536.
112. Döring W. Point Singularities in Micromagnetism // Journal of Applied
Physics. 1968. Vol. 39, No. 2. P. 1006.
113. Elı́as R.G., Verga A. Magnetization structure of a Bloch point singularity //
The European Physical Journal B. 2011. Vol. 82, No. 2. P. 159–166.
Список публикаций
Публикации в рецензируемых журналах
A1. Pyatakov A.P., Zvezdin A.K, Sergeev A.S., Sechin D.A., Nikolaeva E.P.,
Nikolaev A.V., Logginov A.S. Spin Flexoelectricity and New Aspects of Micromagnetism // Advances in Science and Technology. 2010. Vol. 67. P. 149-157.
142
A2. Pyatakov A.P., Sergeev A.S., Sechin D.A., Meshkov G.A., Nikolaeva E.P.,
Nikolaev A.V., Logginov A.S., Zvezdin A.K. Magnetic domain wall motion
triggered by electric field // Journal of Physics: Conference Series. 2010. Vol.
200. P. 0320059.
A3. Pyatakov A.P., Sechin D.A., Sergeev A.S., Nikolaev A.V., Nikolaeva E.P.,
Logginov A.S., Zvezdin A.K. Magnetically switched electric polarity of domain
walls in iron garnet films // Europhysics Letters. 2011. Vol. 93. P. 17001.
A4. Pyatakov A.P., Zvezdin A.K, Vlasov A.M., Sergeev A.S., Sechin D.A.,
Nikolaeva E.P., Nikolaev A.V., Chou H., Sun S.J., Calvet L.E. Spin Structures
and Domain Walls in Multiferroics // Ferroelectrics. 2012. Vol. 438. P. 79–88.
A5. Сергеев А.С., Сечин Д.А., Павленко О.В., Николаева Е.П., Николаев А.В., Косых Т.Б., Пятаков А.П. Влияние магнитного поля на микромагнитную структуру и электростатические свойства доменных границ //
Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2013. Т. 77, №10.
С. 1523–1526.
Публикации в сборниках трудов конференций
A6. Сергеев А.С., Сечин Д.А. Теория магнитоэлектрических свойств доменных границ в пленках феррит-гранатов // Материалы докладов XVI
Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых
«Ломоносов-2009», секция «Физика», подсекция «Физика магнитных явлений». Москва. 2009. С. 18.
A7. Сечин Д.А., Сергеев А.С. Магнитоэлектрические свойства доменных
границ в пленках феррит-гранатов // XXI Международная конференция
“Новое в магнетизме и магнитных материалах”, сборник трудов. Москва.
2009. С. 329-330.
A8. Pyatakov A.P., Zvezdin A.K., Sergeev A.S., Sechin D.A., Nikolaeva E.P.,
Nikolaev A.V., Logginiov A.S. Spin Flexoelectricity and new aspects of magnetism // 12th International Ceramics Congress, book of abstracts. Montecatini
Terme, Tuscany, Italy. 2010. P. 149-157.
143
A9. Pyatakov A.P., Sechin D.A., Sergeev A.S., Nikolaev A.V., Nikolaeva E.P.,
Meshkov G.A., Logginov A.S., Zvezdin A.K. Ferroelectricity of micromagnetic
structure // Euro-Asian Symposium on Magnetism: Nanospintronics. Ekaterinburg, Russia. 2010. P. 171.
A10. Sergeev A.S., Sechin D.A., Pavlenko O.V., Pyatakov A.P., Nikolaeva E.P.,
Nikolaev A.V. Magnetic-field-tuned electric polarization of micromagnetic structures // Moscow International Symposium on Magnetism, book of abstracts.
Moscow, Russia. 2011. P. 906-907.
A11. Sergeev A.S., Sechin D.A., Pavlenko O.V., Magnetic-field-tunable electrostatic properties of the domain walls // International School of Oxide Electronics, book of abstracts. Cargese, Corsica, France. 2011. P. 100
A12. Сергеев А.С., Сечин Д.А., Пятаков А.П. Скирмионы и неоднородный
магнитоэлектрический эффект // XXII Международная конференция “Новое в магнетизме и магнитных материалах”, сборник трудов. Астрахань,
2012. С. 586-589.
A13. Пятаков А.П., Сечин Д.А., Сергеев А.С., Николаева Е.П., Николаев А.В.
Поворот плоскости магнитных доменных границ, вызванный электрическим полем // XXII Международная конференция “Новое в магнетизме и
магнитных материалах”, сборник трудов. Астрахань. 2012. С. 601-604.
A14. Сечин Д.А., Сергеев А.С., Павленко О.В., Николаева Е.П., Николаев А.В., Пятаков А.П. Магнитоэлектрический эффект в пленках ферритовгранатов // XXII Международная конференция “Новое в магнетизме и
магнитных материалах”, сборник трудов. Астрахань. 2012. С. 590-592.