ЕН.Ф.1.1 МАТЕМАТИКА. МА 240
advertisement
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД
КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Определение, основные понятия, формы записи комплексных чисел
Определение. Комплексным числом z называется пара действительных
чисел (x,y), записанных в определенном порядке: z =(x, y). Одним из обозначений служит запись вида
z x iy ,
(1.1)
называемая алгебраической формой записи комплексного числа z. В записи
(1.1) x называется действительной, y– мнимой частями комплексного числа z
(для этого употребляется также запись x Re z, y Im z ) ; i называется “мнимой
единицей”.
Для геометрического изображения
(z )
комплексного числа z вводят на
плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy; ось
Ox называется действительной, OyM ( x, y )
мнимой осями, а плоскость Oxy –
r z
комплексной плоскостью (z). Комплексному числу z x iy можно
поставить в соответствие точку
M ( x, y ) плоскости (z), либо вектор
0
Рис.1.
OM - и точка и вектор служат геометрическом изображением комплексного числа z - z ( x, y ) , z OM (рис.1).
Модуль вектора OM(r OM ) называется модулем комплексного числа z; он
определяется по формуле
r z x2 y2 .
(1.2)
Угол между действительной осью Ox и вектором OM называется аргументом комплексного числа z: Arg z . Значение , заключенное в промежутке
, называется главным значением аргумента (обозначение –arg z):
arg z
(1.3)
и, следовательно,
Arg z arg z 2n, n 0;1,2,...
(1.3)
Главное значение аргумента комплексного числа z можно определить по формуле
240
y
arctg
, если x 0;
x
y
(1.4)
arg z arctg , если x 0, y 0;
x
y
arctg x , если x 0, y 0.
Определение. Запись вида
z z (cos(arg z ) i sin(arg z ))
(1.5)
называется тригонометрической формой записи комплексного числа z.
Замечание. Комплексное число z записывается также в показательной
форме
z z e i (arg z 2n)
.
(1.5)
Для сравнения комплексных чисел z1 и z 2 вводится лишь операция равенства: комплексные числа z1 x1 iy1 и z 2 x2 iy2 равны ( z1 z 2 ) если
равны соответственно их действительные и мнимые части: x1 x2 , y1 y 2 . Равенство чисел, записанных в тригонометрической форме, формулируется следующим образом: z1 z 2 , если модули их равны: z1 z 2 , а аргументы связаны соотношением
Argz1 Argz 2 2n
(1.6)
(следует обратить внимание на то, что здесь сравниваются не элементы множества, а сами бесконечные множества).
Определение. Два комплексных
(z )
числа x iy и x iy называются комплексно-сопряженными числами. Для этоM ( x, y )
го употребляют обозначение z и z (рис.2).
0
z
Рис.2.
M ( x, y )
Действия сложения, вычитания, умножения и деления.
Действия сложения и вычитания над
комплексными числами определяются
( z)
z 2 z1
z1
z2
0
241
геометрически, то есть как соответствующие действия над векторами (см.
рис.3) и, следовательно, выполняются по формулам:
Рис.3.
z1 z 2 ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) ;
(1.7)
z1 z 2 ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 )
(1.8)
– чтобы сложить два комплексных числа (например), нужно сложить отдельно
действительные и мнимые части, что и будет действительной и мнимой частями суммы чисел. Из формул (1.7) и (1.8) находим
zz
zz
.
Im z
Re z
;
2i
2
(1.9)
Под произведением комплексных чисел z1 и z 2 (обозначается z1 z 2 ) понимается комплексное число z, равное
z ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) .
(1.10)
Частное комплексных чисел z1 и z 2 определяется через действие умножения и
может быть проведено по формуле
z1 x1x2 y1 y2
x2 y1 x1 y2
.
i
2
2
2
2
z2
x2 y 2
x2 y 2
(1.11)
2
Практические поступают иначе. Так как по формуле (1.10) z z1 z , то деление удобно выполнять по следующей формуле:
z1 z1 z 2
(1.11)
2
z2
z
2
Так введенные операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:
1. z1 z 2 z 2 z1 (коммутативность сложения);
2. z1 ( z 2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3 (ассоциативность сложения);
3. z1 z 2 z 2 z1 (коммутативность умножения);
4. z1 ( z 2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3 (ассоциативность умножения);
5. z1 ( z 2 z3 ) z1 z 2 z1 z3 (дистрибутивность умножения относительно
сложения).
Формула (1.10) “раскрывает смысл” мнимой единицы” i : i 2 1. Таким
образом, умножение комплексных чисел производится по обычным правилам
алгебры с заменой i 2 на –1.
Приведем решение “ типовых примеров” на введенные выше понятия.
Пример 1. Показать, что z1 z 2 z1 z 2 .
242
Решение. По
z1 z 2 ( x1 x2 )
определению
суммы
и
ее
свойств имеем:
i ( y1 y 2 ) ;
( z1 z2 ) ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) ( x1 iy1 ) ( x2 iy2 ) z1 z 2 .
Пример
2.
Найти
действительные
решения
уравнения
(4 2i) x (5 3i) y 13 i .
Решение. Запишем левую часть уравнения в алгебраической форме:
(4 x 5 y) i(2 x 3 y) 13 i . По определению равенства комплексных чисел получим систему уравнений 4 x 5 y 13; 2 x 3 y 1 , решением которой является
пара чисел x 2, y 1.
(3 4i ) z1 2i z 2 3 i;
Пример 3. Решить систему уравнений:
(6 4i ) z1 3z 2 10 7i.
3 4i 2i
Решение. Так как
1 0 , то система имеет единственное
6 4i 3
решение, которое можно найти по правилу Крамера. Имеем
3 i 2i
3 4i 3 i
z1
5 23i;
z2
26 37i и, следовательно,
10 7i 3
6 4i 10 7i
z
z
z1 1 5 23i; z 2 2 26 37i .
Пример 4. Для числа z sin i cos
а) построить геометрическое
8
8
изображение; б) найти модуль и главное значение аргумента; в) записать число
в тригонометрической форме; г) записать число в показательной форме.
Решение. Число представлено, очевидно, в алгебраической форме (не
(z )
имеет вида (1.5)): x sin ; y cos .
8
8
sin
На рис.4 число представлено геометриче8
ски. Найдем модуль комплексного числа
z.
По
формуле
(1.2)
z sin 2 cos2 1 . Так как точка z
cos
8
8
8
расположена в третьем квадранте
( x 0, y 0) , то главное значение аргумента его следует вычислить по третьей строчке формулы (1.4):
3
3
5
arg z arctg(ctg ) arctg[tg( )] arctg(tg )
8
2 8
8
8
8
5
. Таким образом, Arg z 2n (n 0, 1, 2,...) . Запишем z в тригоно8
5
5
метрической форме: z cos( ) i sin( ) и показательной форме:
8
8
243
ze
5
i
8 .
ВОЗВЕДЕНИЕ В ЦЕЛУЮ СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической
форме, находится по формуле
z1 z 2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
(1.12)
– при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
складываются. Деление выполняется по формуле
z1 r1
[cos(1 2 ) i sin( 1 2 )] .
z 2 r2
(1.13)
Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по
формуле
z n r n (cosn i sin n) .
(1.14)
Следствием формулы (1.14) является формула Муавра
(cos i sin ) n cosn i sin n .
(1.15)
Извлечение корня n –ой степени из комплексного числа z производится
по формуле:
n z n z (cos arg z 2k i sin arg z 2k ) ,
n
n
(1.16)
k 0,1, 2,..., n 1 – корень n-ой степени из комплексного числа z имеет (только)
n различных значений. Точки, соответствующие значениям n z , являются вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R n z c
центром в начале координат. Для геометрического определения корней (1.16)
следует найти по данной формуле одно значение корня, поставить соответствующую точку на окружности, разбить затем окружность на n равных частей
– таким образом могут быть построены остальные вершины n–угольника.
Приведем решение примеров.
Пример 1. Вычислить (1 i 3)59 ; решение записать в алгебраической,
тригонометрической и показательной формах.
Решение. Представим число 1 i 3 в тригонометрической форме:
2
2
1 i 3 2(cos i sin ) .
По
формуле
(1.4)
находим:
3
3
(1 i 3)59
59 2
59 2
(60 1) 2
(60 1)2
259 (cos
i sin
) 259 [cos
i sin
]
3
3
3
3
244
2
2
2
2
) i sin( 40 )] 259 [cos( ) i sin( )] .
3
3
3
3
2
Так как здесь
, то последняя запись представляет исходное число
3
в тригонометрической форме. В алгебраической форме записи число имеет вид:
259 [cos(40
(1 i 3)59 259 (1 i 3) и в показательной : (1 i 3 )59 259 e
2
i
3 .
Пример 2. Вычислить 4 3 i .
Решение. Представим число 3 i в тригонометрической форме:
5
5
3 i 2(cos i sin ) . По формуле (1.16) находим:
6
6
5 / 6 2k
5 / 6 2k
z k 1 4 2 (cos
i sin
), k 0, 3 . Полагая последовательно k
4
4
равным 0, 1, 2 и 3, находим корни:
5
5
17
17
z1 4 2 (cos i sin );
z2 4 2 (cos
i sin
);
24
24
24
24
29
29
41
41
z3 4 2 (cos
i sin
) ; z 4 4 2 (cos
i sin
).
24
24
24
24
Для построения этих чисел на комплексной плоскости (z) проведем окружность
5
5
радиуса R zk 1 4 2 . На окружности отметим точку z1 4 2 (cos i sin ) .
24
24
Разбивая, далее, окружность на четыре рав(z )
ные части, изобразим остальные точки (см.
z2
5
z1
рис.5; заметим, что
рад. соответствует
24
5
3730).
0
24
Пример 3. Решить уравнение
2
z (2 i) z 7i 1 0 .
z3
z4
Решение. Имеем
2i
4 1 4i 4 28i 2 i
7 24i
z
Рис.5.
2
4
2
2
. Значение 7 24i определим алгебраическим путем. Положим:
7 24i x iy (x и y –действительные числа). Возводя в квадрат и используя
определение равенства комплексных чисел, найдем систему уравнений:
7 24i x 2 y 2 2 xyi x 2 y 2 7 ; xy 12 . Исключая y, придем к уравне144
нию x 2 2 7 0 , или x 4 7 x 2 144 0 . Определим корни уравнения:
x
7 625
7
49 576
16. Знак минус перед корнем следует отброx2
2
2
4
245
сить, так как x- действительное число. Далее находим: x1 4, x2 4 и
y1 3, y 2 3 . Запишем найденные решения: 7 4i 4 3i и
2i
4 3i 6 2i
3i;
7 24i 4 3i и, окончательно, z1
2
3
2
2 i 4 3i 2 4i
z2
1 2i .
2
2
2
Замечание. Решение квадратных уравнений (иногда) можно найти с помощью теоремы Виета. Пусть требуется решить уравнение z 2 (1 i) z i 0 .
Если взять z1 1 и z 2 i , то получим, что z1 z 2 i , z1 z 2 1 i . На основании теоремы утверждаем, что 1 и i – корни исходного уравнения.
МНОЖЕСТВА ТОЧЕК НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ. ЗАДАНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
При решении геометрических задач используется геометрический смысл
модуля комплексного числа, его аргумента, геометрический смысл введенных
алгебраических операций и пр. Приведем конкретные примеры.
Пример 1. Какое множество точек на плоскости (z) определяется условием Im z 2 2 ?
Решение. Имеем z 2 ( x iy ) 2 x 2 y 2 i 2 xy
(z )
0
и, стало быть, Im z 2 2 xy . По условию 2 xy 2
или xy 1. Последнее неравенство определяет
множество точек в первом и третьем квадрантах, соответственно над и под гиперболой (см.
рис.6).
Пример 2. Какое множество точек на
плоскости
(z)
определяется
условием
3
arg(Рис.6.
z 1 i) ?
2
4
Решение. Комплексное число z 1 i z (1 i) изображается вектором, началом которого является точка –1+i и концом – точка z. Угол между
этим вектором и осью Ox есть arg( z 1 i) , и он меняется в пределах от / 2
до 3 / 4 . Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми,
выходящими из точки –1+ i и образующими с
(z )
/ 2
осью
Ox
углы
в
и
3 / 4 (рис.7).
Пример 3. Какая кривая задается уравнением z c z c 2a , где c и a – дей1 i
ствительные
положительные
числа, причем a
(z)
y
0
>c.
z c есть расстояние
Решение. Модуль
z
между точками z и – c; z c - расстояние
Рис.7.
-C
C
x
246
между точками z и c. По условию сумма расстояний от точки z до двух данных
точек -c и c есть величина постоянная. Значит, точка z лежит на эллипсе. Уравx2 y2
2 1,
нение
этого
эллипса
имеет
вид
где
2
a
b
2
2
2
b a c (рис.8).
1 1
Пример 4. Какая кривая определяется уравнением Re ?
z 4
1 1
zz
x
1
Решение. Имеем (см.(1.9)) Re z z
. По условию
2
2
z
2
2
z
z
x y
x
1
или x 2 y 2 4 x 0 - это
2
2
4
(z )
x y
окружность ( x 2) 2 y 2 4 (рис.9).
Рис.9.
Пример 5. Написать в комплексной
форме уравнение прямой Ax By C 0 .
Решение. Подставляя x и y по формуле
(1.9) в уравнение прямой, получим
A( z z ) Bi( z z ) 2C 0 ,
или
( A iB) z ( A iB) z 2C 0 . Обозначив A iB a , 2C Рис.9.
b получим уравнение:
a z a z b 0 - уравнение прямой в комплексной форме.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать следующие соотношения:
z z
а) z1 z2 z1 z2 ; б) z1 z 2 z1 z 2 ; в) 1 1 ; г) z1 z 2 z1 z 2 .
z2 z2
2. Найти:
1
2
1 i
а) ; б)
; в)
; г) ( 3 i)5 ; д) (1 i 3)3 .
1 3i
i
1 i
3. Найти действительные решения уравнений:
а) (3x i)(2 i) ( x iy )(1 2i) 5 6i ;
0
б) ( x iy )(a ib) i 5 , где a, b – заданные действительные числа, a b ;
1
2i
2.
в)
z i 1 i
1
1
4. Представить комплексное число
в алгебраической фор
(a ib) 2 (a ib) 2
ме.
247
5. Вычислить
1 x 2 ix
(x- действительное число).
x i 1 x
6. Выделить x и y через u и v (x,…,v – действительные числа), если
1
1
1.
x iy u iv
2
7. Найти все числа, удовлетворяющие условию z z 2 .
8. Решить системы уравнений:
z1 2 z 2 1 i;
(1 i ) z1 i z 2 3 4i;
а)
б)
3 z1 iz 2 2 3i;
i z1 (1 i ) z 2 6 i;
(1 i ) z1 (1 i ) z 2 0;
(3 i ) z1 (4 2i ) z 2 2 6i;
в)
г)
z1 (3 i ) z 2 3 3i;
(4 2i ) z1 (2 3i ) z 2 5 4i.
9. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа. Записать
число в тригонометрической и показательной формах:
а) –2; б) 2i; в) 2 i 2 ; г) –z - i; д) 4-3i; е) cos i sin ;
5
5
3
ж) 1 sin i cos (0 ) ; з) cos i sin ( ) ;
2
2
1 cos i sin
и)
(0 ) .
1 cos i sin
2
10.Вычислить:
40
8
1 i 3
1 i
;
а) (1 i 3) ; б) (1 i) ; в)
; г)
1 i
1 i
(1 i 3 )15 (1 i 3 )15
д)
.
(1 i ) 20
(1 i ) 20
11.Найти все значения корней:
9
24
i ; б) 2 2 3 i ; в) 3 i 3 ; г) 3 4i ; д) 3 1 ; е)
2i
1 2i
ж) 3
; з) 4 16 ; и) 4 i ; к) 5 1 3i ; л) 5
; м) 8 1 .
1 i
1 3i
12.Решить квадратные уравнения:
а) z 2 (3 2i) z 5 5i 0 ; б) (2 i) z 2 (5 i) z 2 2i 0 ;
а)
в) z 2 (5 2i) z 5(1 i) 0 .
13.Решить уравнения:
а) z 3 3z 2 3z 3 0 ; б) z 4 4 z 3 6 z 2 4 z 15 0 ;
3
1 i ;
в) 2 z 3z 1 2i ;
2
z 1
г) z 2 z 2 0 ; д)
2i .
z 1
14.Найти множества точек на плоскости (z), определяемые заданными условиями:
8
4
248
а)
z 1
1;
z 1
б) z 2 1 a 2 (a 0) ;
в) 1 z 2 i 2 ; г) z 1 Re z ;
1
1
; е) z 2 Im z ; ж) Im ;
2
4
z
1
1
1 1
з) Re Im .
4
z
z 2
15.Какие линии определяются следующими уравнениями:
1
а) Re z 2 1 ; б) Re 1; в) Im ( z 2 z ) 2 Im z ;
z
г) 2 zz (2 i) z (2 i) z 2 ; д) z z1 z z 2 ; е) Re(1 z ) z ; ж)
z z.
16. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий:
а) координатных осей Ox и Oy; б) прямой y = x; в) прямой y kx b , k, b -
д) 0 arg z
действительные числа; г) гиперболы x 2 y 2 a 2 ; д) окружности
x 2 y 2 2x 0 .
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Определение 1. Областью в комплексной плоскости (z) называется открытое связное множество.
Определение 2. Открытым называется множество, состоящее лишь из
внутренних точек.
Определение 3. Точка z называется внутренней точкой множества, если
она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью.
Определение 4. Под - окрестностью точки a понимается открытый круг
радиуса с центром в точке a:
z a .
(2.1)
Определение 5. Множество называется связным, если любые две его
точки z1 и z2 можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.
Определение 6. Область называется ограниченной, если все ее точки
принадлежат некоторому кругу радиуса R с центром в начале координат. Иначе
она называется неограниченной.
Определение 7. Границей Г области D называется совокупность точек, не
принадлежащих области D, но любая окрестность которых содержит точки,
принадлежащие области D.
Определение 8. Область D вместе с границей Г называется замкнутой
областью; обозначается это D D Г .
Определение 9. Ограниченная область называется односвязной областью, если ее граница состоит из одной связной линии; многосвязной областью,
249
если ее граница состоит из нескольких связных линий. Связной называется линия, из любой точки которой можно перейти по ней в любую другую ее точку.
Определение 10. Говорят, что в области D определена функция w f (z ) ,
если z D поставлено в соответствие (по некоторому закону соответствия)
одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений
w. Пусть w u v . Тогда
(2.2)
w u ( x, y) iv( x, y) f ( z ) .
Функция комплексного переменного (ФКП) (2.2) не имеет графика: она соответствует заданию двух действительных функций переменных x и y:
(2.2)
u u ( x, y ) ; v v( x, y) .
Геометрический смысл ее состоит в осуществлении отображения точек комплексной плоскости (z) на соответствующие точки комплексной плоскости (w)
(формула (2.2)).
Пусть в плоскости (z) кривая задана уравнением F ( x, y ) 0 . Чтобы найти
уравнение образа Ф(u, v) 0 этой кривой в плоскости (w) при отображении с
помощью функции w f ( z ) u iv , нужно исключить x и y из уравнений
u u ( x, y );
(2.3)
v v( x, y );
F ( x, y ) 0.
Если кривая задана параметрическими уравнениями x x(t ); y y(t ) или
z z (t ) x(t ) iy (t ) , то параметрические уравнения ее образа при отображении w f ( z ) u iv будут
u u[ x(t ), y (t )] U (t );
(2.3)
v v[ x(t ) y (t )] V (t ).
Пример 1. Даны множества точек: a) z i 3 ;
б) 1 z 2 ;
в) arg z ; г) 2 z 1 z 2 . Какие из этих множеств являются областями?
2
Решение. В соответствии с определениями 1-9 заключаем, что множества
z i 3 - открытый круг с центром в точке –i радиуса 3, множество 1 z 2 открытое круговое кольцо с центром в начале координат, множество
arg z - открытый угол (см. рис.7) являются областями. Построив множе2
ство г): [ x 2 ( y 1) 2 2][ x 2 ( y 1) 2 2] 0 (см. рис.10) убеждаемся, что оно не
является областью (не выполняется для него условие связности).
250
( z)
( z)
( z)
R3
0
i
( z)
1
0
0
2
0
б
Рис.10.
Пример 2. Найти действительную и мнимую часть функции w z 3 iz .
Решение.
Имеем
w u iv ( x iy)3 i( x iy ) ( x3 3xy 2 y)
+ i(3x 2 y y 3 x) ; отсюда u x3 3xy 2 y ; v 3x 2 y x y 3 .
Пример 3. В какую кривую отображается единичная окружность z 1 с
помощью функции w z 2 ?
Решение. Имеем u x 2 y 2 ; v 2 xy . Исключая x и y из уравнений
u x 2 y 2 ; v 2 xy ; x 2 y 2 1 , получим u 2 v 2 1. Таким образом, окружность z 1 преобразуется при преобразовании w z 2 в окружность u 2 v 2 1
в плоскости (w) . Так как Arg w 2 Arg z 2k , то когда точка z описывает полную окружность z 1, ее образ (точка w) описывает две полные окружности
w 1.
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФКП
Основные элементарные ФКП могут быть определены следующим образом.
1. Показательная функция e z :
z2
zn
e 1 z
...
...
2!
n!
z
z .
(2.4)
Функция обладает следующими свойствами: 1) e z1 z2 e z1 e z2 ; 2)
e z 2ki e z ; 3) e z e x (cos y i sin y) .
2. Тригонометрические функции sin z и cos z :
z3
z 2n 1
n
sin z z ... (1)
... , z ;
3!
(2n 1)!
(2.5)
2n
z2
n z
cos z 1
... (1)
.... , z .
2!
(2n)!
(2.6)
Функции являются периодическими с периодом T 2 . Для функций e z , sin z
251
и cos z имеют место формулы Эйлера:
eiz cos z i sin z , eiz cos z i sin z ;
(2.7)
eiz e iz
eiz e iz
, sin z
.
cos z
2i
2
(2.8)
3. Тригонометрические функции tg z и ctg z определяются равенствами
sin z
cos z
; ctg z
.
tg z
cos z
sin z
(2.9)
Для тригонометрических функций сохраняются свойства “действительной”
тригонометрии.
4. Гиперболические функции sh z,...,cth z определяются равенствами:
z3
z 2n 1
sh z z ...
...
3!
(2n 1)!
(2.10)
z2
z 2n
ch z 1
...
...
2!
(2n)!
(2.11)
th z
sh z
ch z
.
; cth z
ch z
sh z
(2.12)
Между тригонометрическими и гиперболическими функциями устанавливается
связь:
cosiz ch z;
sin iz i sh z;
(2.12)
ch iz cos z;
sh iz i sin z.
Справедливы также соотношения
e z e z
e z e z
sh z
; ch z
.
2
2
(2.13)
e z ch z sh z ; e z ch z sh z .
(2.14)
5. Логарифмическая функция w Ln z ( z 0) - комплекснозначный логарифм –
определяется как функция, обратная показательной z e w . При этом
Ln z arg ln z i(arg z 2k)
(2.15)
есть запись логарифмической функции в алгебраической форме.
Вводится понятие главного значения (однозначной ветви) Ln z : ln z ln z i ,
так как из формулы (2.15) следует, что Ln z является бесконечнозначной функцией. Справедливы соотношения (свойства функции Ln z ):
252
z
Ln( z1 z2 ) Ln z1 Ln z2 ; Ln 1 Ln z1 Ln z2 ; Ln z n n Ln z 2ki.
z2
(2.16)
Заметим, что эти равенства следует понимать как равенства между множествами.
6. Обратные тригонометрические функции определяются как решения соответствующих уравнений (например, функция w Arcsin z есть обратная по отношению к sin z , то есть это решение уравнения z sin w и пр.) Все эти функции
бесконечнозначны и выражаются через логарифмические функции:
Arc sin z i Ln(iz 1 z 2 )
Arc cos z i Ln( z z 2 1)
i
1 iz
Arctg z Ln
2 1 iz
i
z i
Arcctg z Ln
2
z i
7. Обратные гиперболические функции вычисляются по формулам:
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Arsh z Ln( z z 2 1);
(2.21)
Arch z Ln( z z 2 1);
(2.22)
1 1 z
Arth z Ln
;
2 1 z
1 1 z
Arс th z Ln
;
2
z 1
(2.23)
(2.24)
8. Общая степенная функция w z a определяется по формуле
z a ea Ln z (a, z – комплексные числа)
(2.25)
Пусть a i . Степенная функция бесконечнозначна, если 0 или
- число иррациональное.
9. Общая показательная функция w a z . По определению
(2.26)
a z e z Ln a .
Из представления a z e z ln a ei 2kz видно, что эта функция представляет собой
совокупность отдельных функций, отличающихся друг от друга множителем
ei 2k z , k Z .
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Определение. Число A называется пределом функции f (z ) при
z z0 (обозначается A lim f ( z ) ), если 0 0 такое, что
z z0
253
z z0 : z z0 выполняется неравенство
f ( z) A .
(2.27)
Говорят, что
z z0
lim f ( z ) , если E 0 0 такое, что z z0 :
z z0
f ( z) E .
(2.27)
Замечание. Существование предела по любому фиксированному пути
( z z0 ) для функции f (z ) еще не гарантирует существование предела f (z )
при z z0 .
1 z z
Пример. Показать, что для функции f ( z ) lim f ( z ) .
2i z z z0
1 rei re i
Решение. При r 0 по любому лучу rei имеем lim i i
z 0 2i re
re
sin 2 , то есть эти пределы различны для различных направлений- они заполняют сплошь отрезок [-1,1] и, следовательно, lim f ( z ) .
z 0
Определение 2. Функция f (z ) называется непрерывной в точке z0 , если
она определена в этой точке и lim f ( z ) f ( z0 ) .
z z0
Определение 3. Функция f (z ) , непрерывная в каждой точке области D,
называется непрерывной в этой области.
Задачи для самостоятельного решения
17. Изобразить множества; выяснить, какие из них являются областями, какие
нет, какие из них - ограниченные области, какие не ограничены:
а) Re z ; б) Re z ; в) Im z ; г) Re z ; Im z ;
д) r z z0 R .
18. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий (t- действительный параметр):
а) x 2 cost , y 2 sin t ; б) x 2t , y t 1; в) y 2 x ; г) 2 x 3 y 1 ;
x2 y2
1.
д)
4
9
19. Какие линии заданы комплексным уравнением (t-действительный параметр):
i
а) z (1 i)t ; б) z t 2 it 4 ; в) z cost i sin t ; г) z t ; д) z t (it 2 1) ?
t
20. Для указанных функций найти действительную и мнимую части:
1
iz 1
z
а) w z iz 2 ; б) w z 2 i ; в) w i z 3 ; г) w ; д) w
; е) w .
z
1 z
z
254
21. Найти образы данных точек при указанных отображениях: а) z0 i ,
1
z
; г) z0 2 3i , w .
w z 2 ; б) z0 1 i , w ( z i) 2 ; в) z0 1 , w
z i
z
2
22. На какие линии плоскости (w) отображает функция w z следующие линии плоскости (z): а) прямую x 2 ; б) прямую y 1 ; в)гиперболу xy 1 ;
г)окружность x 2 y 2 4 ?
1
отобраz
3
б) Re z 0 ; в) arg z ;
4
23. Найти уравнение линий плоскости (w), на которые функция w
жает следующие линии плоскости (z): а) z
1
;
2
г) arg z 2 ; д) Re z Im z ; е) z z .
2
24. Выделить действительную и мнимую части у следующих функций:
2
2
а) w e z ; б) w e z ; в) w sin z ; г) w ch( z i) ; д) w 2 z ; е) w sh z ;
ж) w tg z .
25. Записать комплексные числа в показательной форме: а) 1; б) i; в) 1+i;
г) e2 (cos3 i sin 3) ; д) cos 2 i sin 2 .
26. Вычислить: а) Ln(1) ; б) Ln(1 i) ; в) Ln( 3 4i) ; г) Ln( i ) .
i
27. Записать в алгебраической форме : а) sin i ; б) cos i ; в); tg
; г) ctg i ;
2
i
д) sh ; е) t h i .
2
28. Вычислить: а) Arc sin i ; б) Arctg 2i ; в) Arc cosi ; г) Arsh i ; д) Arth i .
29. Найти: а) 32 i ; б)1 ; в) (1)
i
1 i
2
2i
3 i
1 i
i
; г) (1 i) ; д)
; е)
2
2
2
;
ж) (1 i)33i .
Решить уравнения:
30. e z i 0 . 31. 4 cos z 5 0 . 32. sh iz i . 33. sin z i . 34. eix cos x
( x R) . 34. e2 z 2e z 3 0 . 36. ch z i . 37. а) ln( z i) 0 ; б) ln( i z ) 1 .
Вычислить пределы:
z 2 4iz 3
cos z
sin iz
38. lim
. 39. lim
. 40. lim arg z . 41. lim
.
i ch z i sh z
z i
z i
z i
z 0 ch iz
z
4
42. lim
e
2iz
1
.
eiz i
Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций:
43. w z . 44. w z Re z . 45. w e z . 46. w cos z .
z / 2
255
Как доопределить данные функции в точке z 0 , чтобы они стали непрерывными в этой точке:
z Re z
z Im( z 2 )
47. f ( z )
. 48. f ( z )
. 49. f ( z ) e
2
z
z
1
z
. 50. f ( z )
z
.
z
51. Доказать, что функция e z не имеет предела при z .
Указание. Положить z iy , так что e z cos y i sin y .
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФКП. АНАЛИТИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ
Определение 1. Функция f (z ) называется дифференцируемой в точке
z D , если существует предел
f ( z z ) f ( z )
( z z D) .
lim
z
z 0
(3.1)
Этот предел называется производной функции f (z ) в точке z. Для нее упоdf ( z )
требляются обозначения f ( z ),
.
dz
Теорема. Для того, чтобы функция w f ( z ) u ( x, y) iv( x, y) была дифференцируемой в точке z, необходимо и достаточно, чтобы функции u u ( x, y ) ,
v v( x, y) были дифференцируемы в этой точке и выполнялись условия КошиРимана (говорят также Даламбера-Эйлера):
u v u
v
;
.
x y y
x
(3.2)
Определение 2. Функция w f (z ) называется аналитической (регулярной) в данной точке z D , если она дифференцируема как в самой точке z, так
и в некоторой ее окрестности.
Определение 3. Функция f (z ) называется аналитической в области D,
если она аналитична в каждой точке этой области.
Для любой аналитической функции f (z ) имеем
u v v u u u v v
f ( z )
i i
i
i .
x x y y x
y y x
(3.3)
Заметим, что формулы дифференцирования ФКП аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной.
Пример 1. Показать, что функция f ( z ) e2 z аналитична и найти f (z ) .
256
Решение. Имеем e2 z e2 x (cos 2 y i sin 2 y) , то есть u( x, y) e2 x cos 2 y ,
u
u
Поэтому
2e 2 x cos 2 y ,
2e 2 x sin 2 y ,
v( x, y) e2 x sin 2 y .
x
y
v
v
2e 2 x sin 2 y ,
2e 2 x cos 2 y и, следовательно, условия (3.2) выполняются
x
y
во
всей
плоскости;
по
первой
из
формул
(3.3)
имеем
2z
2x
2x
2z
(e ) 2e cos 2 y i 2e sin 2 y 2e .
Пример 2. Является ли функция w z z аналитической хотя бы в одной
точке?
Решение. Имеем z z x 2 y 2 , так что u x 2 y 2 , v 0 . Условия КошиРимана имеют вид: 2 x 0 , 2 y 0 и удовлетворяются только в точке (0,0). Следовательно, функция w z z дифференцируема только в точке (0,0) и нигде не
f
z z
аналитична. По определению (3.1) запишем lim
lim
lim z
z 0 z z 0 z
z 0
lim (x iy ) 0 . Таким образом, производная f (0) существует и равна
x 0
y 0
нулю.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. СОПРЯЖЕННО-ГАРМОНИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ. ВОССТАНОВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ f (z )
Определение 1. Функция u u ( x, y ) называется гармонической в области
D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второ 2u 2 u
го порядка включительно и в этой области лапласиан u 0 2 2 0 .
x
y
Определение 2. Две гармонические функции u u ( x, y ) , v v( x, y) , удовлетворяющие условию (3.2), называются сопряженно- гармоническими функциями.
Теорема. Для того, чтобы функции u u ( x, y ) , v v( x, y) были соответственно действительной и мнимой частями аналитической функции
f ( z ) u iv , необходимо и достаточно, чтобы они были сопряженногармоническими функциями. Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию f (z ) можно восстановить, если известна ее действительная
u u ( x, y ) или мнимая часть v( x, y) .
Пример 1. При каких условиях трехчлен u ax2 2bxy cy 2 является
гармонической функцией?
2u
2u
2
a
Решение. Находим:
,
2c . Лапласиан u 0 (то есть
2
2
x
y
2a 2c 0 ), если a c 0 (при b ).
257
Пример 2. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая
часть v 2 x 2 2 y 2 x при дополнительном условии f (0) 0 .
v
v
Решение. Так как
4 x 1,
4 y , то из условий Коши Римана (3.2)
x
y
u
u
находим производные
4 y (1);
4 x 1 (2). Из первого из этих уравx
y
нений находим: u 4 ydx 4 xy ( y) , где ( y ) - произвольная функция переменной y. Для определения ( y ) дифференцируем u по y и подставляем в (2):
4 x ( y ) 4 x 1, откуда ( y ) 1 и ( y) y c . Следовательно,
u 4 xy y c и окончательно получим : w u iv 4 xy y c
i(2 x 2 2 y 2 x) 2i( x 2 y 2 2ixy ) i( x iy ) с 2iz 2 iz c . Определим c:
f (0) 2i 0 i 0 c и c 0 ; таким образом, w 2iz 2 iz .
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДНОЙ
Если функция f (z ) аналитична в точке z0 и f ( z0 ) 0 , то k f ( z0 )
равен коэффициенту растяжения в точке z0 при отображении w f (z )
плоскости (z) на плоскость (w). Аргумент производной f ( z0 ) геометрически равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к
любой гладкой кривой на плоскости (z), проходящей через точку z0 , чтобы
получить направление касательной в точке w0 f ( z0 ) .
Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении w z 2 в точке z0 2 i 2 .
Решение. Имеем w( z ) 2 z , так что w( z0 ) 2 2 i 2 2 . Перейдя от алгебраической формы записи комплексного числа w( z0 ) к тригонометрической,
2
2
4 cos i sin , то есть k 4 , угол поi
получим: 2 2 i 2 2 4
2
4
4
2
ворота / 4 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
52.Пользуясь условиями Коши-Римана, выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими, хотя бы в одной точке, какие - нет.
2
а) w z 2 z ; б) w z e z ; в) w z z ; г) w e z ; д) w z Re z ;
е) w sin 3z i ; ж) w z Re z ; з) w z Im z ; и) w z Im z ; к) w ch z .
53.Показать, что в области Re z 0 w ln z - аналитическая функция.
258
54.Показать, что условия Коши-Римана в полярных координатах имеют вид
u 1 v u
v
;
r . Проверить выполнение этих условий для функций
r r
r
а) w ln z ; б) w ln 2 z .
55.Доказать, что если f (z ) и g (z ) - аналитические в области D функции, то
функции f ( z ) g ( z ) , f ( z ) g ( z ) также аналитичны в области D, а частное
f ( z ) / g ( z ) -аналитическая функция во всех точках области D, в которых
g ( z ) 0 . При этом имеют место формулы ( f ( z ) g ( z )) f ( z ) g ( z ) ;
f ( z)
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
[ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) ;
.
g 2 ( z)
g ( z)
56.Используя утверждение задачи 4, найти области аналитичности функций и
z cos z
их производные: а) f ( z ) tg z ; б) f ( z ) z e z ; в) f ( z )
;
1 z2
ez 1
ez
1
г) f ( z ) z
; д) f ( z )
; е) f ( z ) ; ж) f ( z ) cth z ;
z
tg z ctg z
e 1
cos z
з) f ( z )
.
cos z sin z
57.Показать, что нижеследующие функции являются гармоническими:
x2
2
2
x
2
2
а) u x 2 x y ; б) u 2e cos y ; в) u ln( x y ) ; г) u 2
;
x y2
y
y
д) u 2
;
е)
.
u
arctg
x
x y2
58.В следующих примерах даны пары u ( x, y ) , v( x, y) гармонических функций.
Найти среди них сопряженные пары гармонических функций: а) u 3( x 2 y 2 ) ,
x
y
v
,
; в) u x , v y ; г)
v 3x 2 y 3 ; б) u 2
x y2
x2 y2
u e x cos y 1, v 1 e x sin y .
59.Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части: а) v x3 3xy 2 , 0 z , f (i) i ; б)
в) v x 2 y 2 1 , 0 z , f (1) 0 ; г)
x
y
2y ,
u 2 xy 3 , 0 z ; д) v arctg , 0 z , f (1) 0 ; е) u 2
x
x y2
v 2e x sin ,
0 z ,
0 z ;
f (1) 0 ;
ж) u x 2 y 2 xy , 0 z ; з) v xy , 0 z ; и) u 2 sin x ch y x ,
0 z , f (0) 0 ; к) v 2 sin 2 x sh 2 y y , 0 z , f (0) 2 .
259
60.Можно ли найти аналитическую функцию, у которой действительная часть
равна а) x 2 y 2 ; б) x3 y 3 ; в) (e x e x ) sin y ?
61.Найти коэффициент растяжения k и угол поворота для заданных отображений w f (z ) в указанных точках:
а) w z 2 ,
z0 2 (1 i ) ; б) w z 2 , z0 i ; в) w z 3 , z0 1 i ;
г) w z 3 , z0 1; д) w sin z , z0 0 ; е) w ie 2 z , z0 2i .
62. Выяснить, какая часть плоскости (w) растягивается, а какая сжимается при
1
следующих отображениях а) w ; б) w e z 1 ; в) w ln( z 1) ; г)
z
2
w z 2z .
63. Найти множество всех тех точек z0 , в которых при следующих отображе1 iz
ниях коэффициент растяжения k 1: а) w ( z 1) 2 ; б) w z 2 iz ; в) w
;
1 iz
г) w z 3 .
64. Найти множества всех тех точек z0 , в которых при следующих отображеi
1 iz
ниях угол поворота 0 : а) w ; б) w
; в) w z 2 iz ; г)
1 iz
z
2
w z 2z .
16.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФКП
16.4.1.
ИНТЕГРАЛ ПО КРИВОЙ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ
Пусть однозначная функция f (z ) определена и непрерывна в области D;
L-кусочно –гладкая замкнутая или незамкнутая кривая, лежащая в D.
По определению
f ( z )dz
L
n
lim
f ( k )zk .
sup z k 0 k 1
Если f ( z ) u( x, y) iv( x, y) , то
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
L
L
(4.1)
(4.2)
L
- вычисление интеграла (4.1) сводится к вычислению (обычных) криволинейных интегралов второго рода. Заметим, что интеграл (4.1) зависит, вообще говоря, от пути интегрирования L. Пусть кривая L задана параметрическими
уравнениями x x(t ) , y y(t ) (или в комплексной форме z (t ) x(t ) iy (t ) ),
начальная и конечная точки кривой L соответствуют значениям параметра
t , t . Тогда
f (t )dt f [ z (t )]z(t )dt .
L
(4.3)
Если f (z ) аналитична в односвязной области D, z0 , z1 D , (z ) -какаялибо первообразная для f (z ) (( z ) f ( z )) , то имеет место формула Ньютона260
Лейбница:
z1
z
f ( z )dz ( z ) z10 ( z1 ) ( z0 ) .
(4.4)
z0
Справедлива формула интегрирования по частям:
z1
z0
z
f ( z ) g ( z )dz [ f ( z ) g ( z )] z1
0
z1
g ( z ) f ( z )dz ,
(4.5)
z0
где f (z ) , g (z ) - аналитические функции в односвязной области D, z0 , z1 - произвольные точки этой области.
Замена переменных в интегралах от ФКП аналогична случаю ФДП. Пусть
аналитическая функция z g (w) отображает взаимно однозначно контур L в
плоскости (z) на контур L в плоскости (w). Тогда
f ( z )dz f [ g (w)]g (w)dw .
L
L
(4.6)
Если функция является многозначной, то для вычисления интеграла указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется при этом. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрирования L замкнут, то начальной точкой z0 пути
ин тегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной
функции.
Пример 1. Вычислить I (1 i 2 z )dz по кривой L : y x 2 , соединяюL
щей точки z0 0 и z1 1 .
Решение. Для параболы y x 2 имеем dy 2 xdx , 0 x 1. По формуле
(4.2)
1
1
4
I [1 2 x (1 2 x 2 )2 x]dx i [1 2 x 2 (1 2 x)2 x]dx 2 i .
3
0
0
Пример 2. Вычислить I ( z z )dz , где L-дуга окружности z 1,
L
/ 2 arg z 3 / 2 .
Решение. Положим z (t ) eit , / 2 t 3 / 2 . Тогда z(t ) ieit dt , и по
3 / 2
формуле (4.3) находим: I (e e
/ 2
it
it
2i
3 / 2
1
)ie dt i e 2it t
i .
2i
/ 2
it
Пример 3. Вычислить I (3 z 2 2 z )dz .
1 i
Решение. Так как подынтегральная функция f ( z ) 3z 2 2 z аналитична
всюду, то по (4.4) найдем: I ( z 3 z 2 )
2i
1i
7 19i .
261
i
Пример 4. Вычислить I z cos zdz .
0
Решение. Функции f ( z ) z и g ( z ) sin z аналитичны всюду. По формуле (4.5) получим:
i
i
I z (sin z )dz ( z sin z ) 0 sin zdz i sin i cos z 0 sh1 ch1 1 e1 1.
i
0
i
0
dz
Пример 5. Вычислить I 3 , L {z : z 1 , / 2 arg z / 2} ,
L z
1
3
3
1 i
.
2
2
Решение. Функция
3
z является многозначной:
3
z 3 z e
i
2k
3 ,
1
3
удовлетворяет та однозначная ветвь
k 0,1,2; arg z . Условию 3 1 i
2
2
этой функции, для которой k=1. Действительно, при k=1 (и так как arg 1 0 )
3
1e
i
0 2
3
cos
2
2
3
. Полагая теперь z () ei ( / 2
i sin
1 i
3
3
2
/ 2) на кривой L, находим
/2
I
ie
i
i ( 2 ) / 3
/ 2 e
3
z e
2 2
/ 2 i
e 3 3 id
/ 2
i
2
3 ,
z() iei и, следовательно,
2 2
3 i 3 3
e
/2
2
/ 2
3 i 3
i
e
e
2
9 3 3
i
.
4
4
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КОШИ
Теорема Коши. Если функция f (z ) аналитична в односвязной области,
ограниченной контуром Г и -замкнутый контур в D, то
f ( z )dz 0 .
(4.7)
Если, дополнительно, функция f (z ) непрерывна в замкнутой области
D Г D , то
(4.7)
f ( z )dz 0
Г
-теорема Коши для односвязной области.
262
Если функция f (z ) аналитична в многосвязной области D, ограниченной
внешним контуром Г и внутренними 1,... k и непрерывна в замкнутой области
D , то (контур Г 1 ... k обходится в положительном направлении)
(4.8)
f ( z )dz 0
k
Г m
m 1
-теорема Коши для многосвязной области. Дадим другую формулировку этой
теоремы:
k
f ( z )dz f ( z )dz
(4.9)
m 1 m
Г
- интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (все контуры проходятся в одном и том же направлении).
Если f (z ) аналитична в области D, z D и СD – контур, охватывающий точку z , то справедлива интегральная формула Коши
1 f ( )d
( ) .
(4.10)
f ( z)
2i z
При этом функция f (z ) имеет всюду в D производные любого порядка, для которых справедливы формулы
n!
f ( )d
.
(4.11)
f (n) ( z )
2i ( z ) n 1
ch iz dz
Пример 1. Вычислить I
2
z 2 z 4z 3
.
Решение. Внутри окружности z 2 знаменатель дроби обращается в
нуль в точке z0 1. Для применения формулы (4.10) перепишем интеграл в
ch iz
ch iz dz
ch iz
z 3 dz . Здесь z0 1 и f ( z )
виде I
анали(
z
1
)(
z
3
)
z
(
1
)
z
3
z 2
z 2
тична в круге z 2 . Тогда I [2i f (1)] 2i
ez
Пример 2. Вычислить I
3
Г z ( z 1)
б) Г: z 2 3 .
ch(i)
i ch i i cos1 .
2
dz по а) контуру Г: z 2 0,5 ;
Решение.
y
-1 1 2 2
функция
f ( z)
а) в круге z 2 0,5
ez
аналитична;
z 3 ( z 1)
следовательно, по теореме (4.7) I 0 ;
б) так как внутри контура интегрирова5
x
263
ния знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках z1 0
и z 2 1, то для того, чтобы стало возможным применить формулы (4.10) и
(4.11), рассмотрим многосвязную область D (см. рис.11), ограниченную окружностью Г {z : z 2 3} и внутренними контурами 1 {z : z } и
2 {z : z 1 } (0 1 / 2) . Тогда в D функция f ( z )
ez
является
z 3 ( z 1)
аналитической,
и
по
теореме
(4.9)
можно
записать:
f ( z)dz f ( z )dz f ( z )dz . Для вычисления интегралов справа применим
1
Г
2
формулы
(4.10)
и
(4.11):
ez
ez
z
e z dz
e z dz
z 3 dz 2i e
2
ei
z 31 dz
;
3
z 1
3
3
z z 1
2 z ( z 1) 2
1 z ( z 1) 1 z
e z ( z 2 4 z 5)
2i d 2 e z
и,
таким
i
5i
2! dz 2 z 1
( z 1)3
z 0
z 0
I i(2e 5) .
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы по заданным контурам:
65. (2 z 1) z dz , L {z : z 1; 0 arg z } .
образом,
L
66. e
z
2
Re zdz , L – прямая, соединяющая точки z1 0 , z2 1 i .
L
67. Im zdz , L {( x, y) : y 2 x 2 , 0 x 1} .
L
68. (iz 2 2 z )dz , L {z : z 2, 0 arg z / 2} .
L
69. Re( z z 2 )dz , L {( x, y) : y 2 x 2 , 0 x 1}.
L
70. z e z dz , L – отрезок от точки z0 1 до точки z1 i .
L
1
71. Re(cos z ) sin zdz , L {z : Re z / 3, Im z } .
2
L
z
72. dz , L {z : z 1, 0 arg z / 2} .
Lz
i
i
i
ln( z 1)
dz .
1 z 1
i
73. ze dz . 74. (3 z 2 z )dz . 75. z sin zdz . 76.
1
z
1
4
3
1
264
1 i
77. sin z cos zdz .
78. z dz , L {z : z 1, / 2 arg z } .
0
L
dz
79.
, L- верхняя половина окружности z 1; 4 1 1 .
4 3
L z
i
cos zdz
i
80.
, sin(1) i sin 1 . 81. Lnzdz , L :{z : z 1}, Ln i .
2
1 sin z
L
82. z n Ln zdz , L {z : z 1}, Ln( 1) i .
L
Применяя теоремы и интегральные формулы Коши, вычислить интегралы:
1
ez
83.
z 1
1
2
z2 z
dz .
84.
dz
86.
z 4 ( z
2
9)( z 9)
.
4
z 2 2 z 1
z
dz
4
89.
. 90.
2
z 1 1 ( z 1) ( z 3)
z 1 / 2
1 sin z
z
2
dz .
85.
cos(z i)
z (e z 2)
z 3
sin z sin( z 1)
87.
z z
2
z 2
sin
92.
ch z
dz .
88.
z 2 3 z
3
4z
sh 2 zdz
z 1
ch e 2i
dz . 91.
2
z 1 / 2
1
z
dz .
z
cos
3
3
.
dz .
z 1
dz .
РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Рассмотрим ряд с комплексными членами
z1 z2 ... zn ... zn .
n 1
(5.1)
Теорема. Для сходимости ряда (5.1) необходимо и достаточно, чтобы
т 1
n 1
сходились оба ряда: xn (5.1) и yn (5.1) .
Определение. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
z1 z2 ... zn ... zn .
(5.2)
n 1
Ряды (5.1), (5.1) и (5.2) являются рядами с действительными членами и вопрос
об их сходимости решается с помощью известных признаков сходимости рядов
в действительной области.
265
e in
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
2
n 1 n
.
Решение. а) имеем ein cos n i sin n . Таким образом, вопрос о сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными
sin n
cos n
членами: 2 и 2 . Так как каждый из рядов сходится абсолютно, то и
n 1 n
n 1 n
данный ряд сходится абсолютно. б) приведем еще решение. Исследуем ряд на
1
in
абсолютную сходимость, для чего составим ряд ( e cos n i sin n 1) : 2 n 1n
этот ряд сходится абсолютно.
Пример 2. Исследовать поведение ряда
i
e
n 1
Решение. Так как ряд
cos
n 1
n
n
n
.
n расходится, то расходится и исходный ряд.
СТЕПЕННЫЕ, СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ И ДВУСТОРОННИЕ РЯДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. РЯД ВИДА
с0 с1z c2 z 2 ... cn z n ... cn z n ,
n 0
(5.3)
где c0 , c1, c2 ,…-комплексные постоянные, а z- комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области.
Определение 2. Ряд вида
с0 с1 ( z a) c2 ( z a) 2 ...сn ( z a) n ... cn ( z a) n
n 0
(5.4)
называется степенным рядом общего вида.
Определение 3. Ряд вида
сn
n 1( z a )
n
(5.5)
называется рядом, сводящимся к степенному общего вида.
Определение 4. Двусторонним называется ряд вида
cn ( z a) n
.
n
(5.6)
Область сходимости степенного ряда (5.1) есть круг с центром в начале коор266
динат: z R , где R – радиус сходимости. В некоторых случаях он может быть
определен по формулам
c
а ) R lim n
(cn 0 n);
n cn 1
(5.7)
1
б) R
.
lim n cn
n
Для рядов (5.4) областью сходимости служит круг z a R . Область сходимо1
сти ряда (5.5) ищется после проведения замены:
. Ряд вида (5.6) схоza
дится в области, в которой сходятся ряды
c
c
c
n n 1 2 2 ...,
z a ( z a)
n 1( z a)
(5.8)
cn ( z a) n c0 c1( z a) c2 ( z a) 2 ...
n 0
(5.9)
Пусть ряд (5.8) сходится в области z a r , то есть вне круга с центром
в точке z a и радиуса r, а ряд (5.9) в круге z a r . Тогда, если 1) r R , то
ряд (5.6) расходится всюду; 2) r R , то ряд (5.6) сходится в кольце
r z a R . Здесь r 0 , 0 R .
Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда (1 i) n z n .
n 0
n
Решение. Находим модуль коэффициента cn (1 i) : cn (1 i) n
n
1 i ( 2)
n
n
22 .
Применяя формулу б) из (5.7), найдем R
Пример 2. Найти область сходимости ряда
sin in
n 1( z i )
Решение.
Имеем
с n sin in i sh n ,
n
1
.
2
.
c n 1 i sh( n 1)
и
i sh(n 1)
sh(n 1)
e n 1 e n 1
lim
e . Следовательно, ряд
r lim
lim
i sh n
n sh n
n e n e n
n
сходится в области z i e , то есть вне круга с центром в точке a i радиуса r e .
( z 1) n
in
e
Пример 3. Определить область сходимости ряда
.
n
1
n 1( z 1)
n 0
in
e
2
267
e in
n
n 1( z 1)
Решение. Для ряда
ei ( n 1)
тельно, r lim
n
ein
пенного ряда
имеем с n ein , c n 1 ei (n 1) . Следова-
1 . Первый ряд сходится в области z 1 1 . Для сте-
( z 1) n
1
n 0 in
e 2
имеем сn ein 1/ 2 , cn 1 ei (n 1) 1/ 2 . Его радиус
cn
e in 1 / 2
lim i ( n 1) 1 / 2 1, то есть второй ряд сходится в
n cn 1
n e
сходимости R lim
области z 1 1. Данный ряд расходится всюду.
Пример 4. Определить область сходимости ряда
(3 4i ) n
n
z 2i
.
n
6
n 1( z 2i )
n 0
Решение. Для первого из рядов имеем сn (3 4i) n , c n 1 (3 4i)n 1 .
Следовательно, r lim
n
(3 4i) n 1
(3 4i)
n
lim 3 4i 5 . Первый ряд сходится в
n
области z 2i 5 . Для второго ряда имеем cn 6 n , cn 1 6 n 1 . Радиус его
сходимости R lim
6 n
n 6 n 1
6 - он сходится в области z 2i 6 . Таким обра-
зом. Данный ряд сходится в кольце (r 5 R 6) : 5 z 2i 6 .
16.5.3.
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
1. Ряд Тейлора. Функция f (z ) однозначная и аналитическая в точке z a
разлагается (то есть является суммой) в окрестности этой точки в степенной
ряд – ряд Тейлора
f ( z ) cn ( z a) n ,
(5.10)
n 0
где коэффициенты cn вычисляются по формулам
f ( n) (a)
1
f ( z )dz
cn
n!
2i Г ( z a) n 1
(n 0,1,2...) ,
(5.11)
где Г – окружность с центром в точке z a , целиком лежащая в области аналитичности f (z ) . Областью сходимости ряда является круг с центром в точке
разложения радиуса R, равном расстоянию от центра разложения до ближайшей осо бой точки – точки, в которой f (z ) теряет аналитичность.
268
Теорема Тейлора. Функция f (z ) , аналитическая в круге z a R однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (5.10), коэффициенты которого
определяются по формулам (5.11).
Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд
Тейлора. При a 0 ряд (5.10) называется рядом Маклорена.
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими
разложениями элементарных функций:
2n
zn
z
n z
1) e
, z (Z ) ; 2) cos z (1)
, z (Z ) ;
(2n)!
n 0 n!
n 0
3) sin z (1) n
n 0
z 2n 1
, z (Z ) ;
(2n 1)!
4)
ln(1 z ) (1) n 1
n 1
zn
,
n
z 1;
(5.12)
( 1)...( n 1)
z 2 n 1
5) arctg z (1)
, z 1 ; 6) (1 z ) 1
zn ,
2n 1
n!
n 0
n 1
1
z 1, R ; 7)
1 z z 2 ... (1) n z n ... z 1 ;
1 z
n 1
1
(1)
d n 1 1
8)
.
(1 z ) n (n 1)! dz n 1 1 z
Для непосредственного разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора), необходимо найти закон получения производной n-го порядка (подобные
примеры опустим).
Пример 1. Разложить в ряд по степеням ( z 3) функцию
f ( z ) ln( 2 5 z ) .
Решение. Рассмотрим сначала следующее преобразование данной лога5
5
рифмической функции ln( 2 5 z ) ln[17 (1 ( z 3))] ln 17 ln[1 ( z 3)] .
17
17
5
Воспользуемся разложением 4) из (5.12) для ln(1 u ) , полагая u ( z 3) .
17
Так как разложение 4) имеет место при u 1, то наше разложение будет иметь
5
17
z 3 1. Таким образом, для z 3 : ln( 2 5 z ) ln 17
место при
17
5
n
5 ( z 3) n
5
n 1
.
(1) ( ( z 3)) ln 17
17
n
n
n 1
n 1 17
Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.
n 1
n
269
Пример 2. Разложить в ряд по степеням z функцию
z 2 2 z 19
.
f ( z)
( z 3) 2 (2 z 5)
1
2
.
2 z 5 ( z 3) 2
По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (5.12) получим:
Решение. Разложим f (z ) на простейшие дроби: f ( z )
1
1
1
1
2
2
1
2 z
5
2z
(1) n , z и
,
2 z 5 5 1 2 z 5 n 0
5
2
z
3
3
1
z
/
3
3 n 0 3
5
z 3 . Замечая, что [2( z 3)] 2( z 3) 2 и применяя теорему о возможном
почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости, получим
1
2
2 n z n 1 2 (n 1) z n
, z 3 . Складывая ряды для
и
2
n
n
1
2z 5
3 n 1 3
3 n 0 3
( z 3)
n
n
n
5
2(n 1) n
n 2
,
имеем
,
.
z
f
(
z
)
(
1
)
z
n 1
n2
2
( z 3) 2
5
3
n 0
2. Ряды Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется ряд (5.6)
2
1
n
n
n 0
cn ( z a) n cn ( z a) n cn ( z a) n ;
(5.6)
при этом ряд c n ( z a) n называется главной частью ряда Лорана, а ряд
n 1
cn ( z a) n - правильной частью. Если lim
n 0
n
n
c n r R
1
lim
n
n
cn
, то обла-
стью сходимости ряда (5.6) является кольцо 0 r z a R .
Теорема Лорана. Если функция f (z ) аналитична в кольце
0 r z a R , то в этом кольце она единственным образом представима в
виде ряда Лорана (5.6), коэффициенты которого вычисляются по формулам:
1
f ( z )dz
(n R; n 0, 1, 2,...)
сn
(5.13)
2i z a ( z a) n 1
Заметим, что из этой теоремы “кольца разложимости” определяются через расстояния от центра разложения до двух “соседних” особых точек f (z ) .
Вычисление контурных интегралов (5.14), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.
270
Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце 0 z 1 2 функцию
1
f ( z) 2
.
2
( z 1)
Решение. Преобразуем данную функцию:
2
1
1 1
1
1 1
1
1
1
f ( z) 2
.
4 ( z 1) 2 z 1 z 1 ( z 1) 2
( z 1) 2 4 z 1 z 1
(1)
Первые два слагаемых в правой части (1) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности ( z 1) . Последние два слагаемых запишем в виде:
2
1
1 z 1
1
1
1
1
1
,
. Применяя формулу 7),
z 1 ( z 1) 2 2 1 z 1 ( z 1) 2 4 2
2
а затем 8) (из (5.12)), найдем
2
3
1
1 z 1 z 1 z 1
1
... ,
z 1 2
2
2 2
(2)
2
3
1
1
z 1
z 1
1 ( z 1) 3
(3)
4
...
2
2
( z 1) 2 4
Подставляя (2) и (3) в (1), после несложных преобразований получим разложение f (z ) в кольце 0 z 1 2 в ряд Лорана:
1 1
1
1 (1) n (n 3)
n
f ( z)
(
z
1
)
.
4 ( z 1) 2 z 1 4 n 0
2n
Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию f ( z ) z 2 cos
сти a 0 .
1
в окрестноz
2 4 6
...
Решение. Для любого комплексного имеем cos 1
2! 4! 6!
1
1
1
1
1
1
2
Полагая , получим: z 2 cos z 2 (1
...)
z
z
z
2
2! z 2 4! z 4 6! z 6
1
1
... . Это разложение справедливо для любой точки z 0 . В дан2
4
4! z
6! z
ном случае “кольцо” представляет собой всю комплексную плоскость с одной
выброшенной точкой z 0 : 0 z (r 0, R ) .
Пример 3. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции
2z 1
f ( z) 2
.
z z2
271
Решение. Функция f (z ) имеет две особые точки: z1 2 и z 2 1. Следовательно, имеется три “кольца” с центром в точке a 0 , в каждом из которых
f (z ) является аналитической: а) круг z 1 ; б) кольцо 1 z 2 ; в) 2 z внешность круга z 2 . Найдем ряды Лорана для функции f (z ) в каждом из
этих “колец”. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших
1
1
дробей: f ( z )
(1). а)разложение в круге z 1 . Преобразуем (1)
z 2 z 1
1
1
1 1
1
следующим образом: f ( z )
(2). Используя форму
z 1 z 2 2 1 z 1 z
2
1
лу 7) из (5.12), получим:
z 1 (3);
1 z z 2 z 3 ... ,
1 z
1
z z 2 z3
1
... , z 2 (4). Подставляя эти разложения в (2), получим:
z
2
4
8
1
2
2z 1
1 z
z2
1 3
7 2 15 3
2
...
(
1
z
z
...)
z
z z ... - это
2
2
4
8
2
4
8
6
z z2
разложение есть ряд Маклорена функции f (z ) . б) разложение в кольце
1
1 z 2 . Ряд (4) для функции
остается сходящимся в этом кольце, так
1 z / 2
1
как z 2 . Ряд (3) для функции
расходится для z 1. Поэтому преобразу1 z
f (z )
ем
следующим
образом:
1 1
1 1
1
1
(5). Применяя формулу 7), получим:
f ( z)
1
1
2 1 z z 1 1
z
1
2
z
z
1
1
1
2 3 ... (6). Этот ряд сходится, если 1 , то есть при z 1. Подставляя
z
z
z
1 zn
(4) и (6) в (5), найдем 2
. в) разложение для z 2 . Ряд
z z 2 n 1z n 2 n 0 2 n
1
1
(4) для функции
при z 2 расходится, а ряд (6) для функции
будет
z
z
1
1
2
2
сходиться, так как, если z 2 , то и подавно z 1. Функцию f (z ) представим
2z 1
1
1 1
1 1
в таком виде f ( z )
z 1 2 z 1 1
z
z
1 1
1
. Используя формулу
z 1 2 1 1
z
z
272
1
2 4
1 1
2 1
5
7
(1
... 1 2 ...) 2 3 4 ... . Заz z
z z
z
z z2
z
z
метим, что этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.
2z 3
Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию f ( z ) 2
в окрестz 3z 2
ности ее особых точек.
Решение. Особые точки функции: z1 1, z 2 2 . а) разложение f (z ) в
окрестности точки z1 1 , то есть в кольце 0 z 1 1 . Представим функцию
2z 3
1
1
. Правую часть
f (z ) в виде суммы простейших дробей: 2
z
1
z
2
z 3z 2
2z 3
1
1
преобразуем так: 2
. Применяя разложение 7), в ко
z 3z 2 z 1 1 ( z 1)
тором
z
заменим
на
получим
( z 1) ,
7), получаем f ( z )
1
2z 3
1
2
[1 ( z 1) ( z 1) ...] или 2
( z 1) n .
2
z 1 n 0
z 3z 2 z 1
z 3z 2
б) разложение f (z ) в окрестности точки z 2 2 , то есть в кольце 0 z 2 1.
2z 3
1
1
1
1
Имеем
z 2 3z 2 z 1 z 2 z 2 1 ( z 2)
1
1
2
3
1 ( z 2) ( z 2) ( z 2) ...
(1) n ( z 2) n .
z2
z 2 n 0
2z 3
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость ряды:
e 2 ni
(1 i ) n
n sin in
93.
.
94.
.
95. n / 2
.
n
cos in
n 1n n
n 12
n 1 3
ln n
1
n
96.
.
97.
.
98.
.
sh
in
tg
i
n
(
n
i
)
n
n 1
n 1
Найти радиусы сходимости следующих степенных рядов:
99. e z .
in n
n 0
n
n
z
101.
.
n 1 ln in
z
100.
.
n 0 1 i
zn
i n
102. sin z . 103. n
. 104. (n i) z n .
n
n 0 sh (1 in)
n 1
n 0
Определить область сходимости следующих рядов:
( 2 i 2 )n
( z 1 i) n
n 2 n
n
n
105.
. 106. e (iz ) . 107.
. 108.
.
n
ni
zn
n 1
n 1
n 1( z 2 i )
n 1
109.
( z i) n
n 1
2n
2 n
z
. 110.
n 1 z
n 0 4
n
. 111.
n
n 1( z 1 i )
n
n( z 1 i ) n .
n 0
273
2n 1
( z 1) n
( z i) n
112.
.
(0! 1) . 113.
n
n
n
n
!
(
z
i
)
(
z
1
)
(
i
n
)
n 1
n 0
n 1
n 0
1
114.
(1) n ( z 1) n .
z 1 n 0
Данные ниже функции разложить вряд Тейлора, используя готовые разложения, и найти радиусы сходимости рядов:
115. sin( 2 z 1) по степеням ( z 1) . 116. cos z по степеням ( z ) .
4
1
117. e z по степеням (2 z 1) . 118.
по степеням ( z 2) .
3z 1
z 1
119. 2
по степеням z. 120. ln( 2 z z 2 ) по степеням z.
z 4z 5
3z 1
121.
по степеням z.
( z 2) 2
Разложить в ряд Лорана в окрестности точки a 0 следующие функции:
1 cos z
sin 2 z
ez
1
122.
. 123.
. 124. z 4 cos . 125.
.
z
z
z
z4
Разложить следующие функции в ряд Лорана в указанных кольцах:
1
126.
, а) 2 z 3 ; б) 3 z .
( z 2)( z 3)
1
127.
, а) 1 z 4 ; б) 4 z .
( z 2)(1 z 2 )
128.
sin in
z2 z 3
z 3 3z 2
z2
, а) z 1 ; б) 1 z 2 ; в) 2 z .
z5
, 2 z 1 . 130. 2
, 2 z .
z 2 4z 3
( z 4) 2
1
131. 2
, 4 z 2 .
( z 4) 2
129.
16.6. НУЛИ ФУНКЦИИ. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Определение. Точка z0 называется нулем аналитической функции f (z )
порядка
(или
кратности)
n,
если
f ( z0 ) f ( z0 ) ... f (n 1) ( z0 ) 0 ,
f (n) ( z0 ) 0 . В случае n 1 точка z0 называется простым нулем.
Теорема. Для того, чтобы точка z0 была нулем n – го порядка функции f (z ) ,
аналитической в точке z0 , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой ок
274
рестности этой точки имело место равенство f ( z ) ( z z0 ) n ( z ) , где (z ) аналитична в точке z0 и ( z0 ) 0 .
Пример 1. Найти нули функции f ( z ) 1 cos z и определить их порядки.
Решение. Из уравнения 1 cos z 0 находим точки z n (2n 1) (n Z ) f [(2n 1)] sin( 2n 1) 0 ,
нули
данной
функции.
Имеем:
f [( 2n 1)] cos( 2n 1) 1 0 , то есть точки z n (2n 1) (n Z ) - нули
второго порядка данной функции.
Пример 2. Найти нули функции f ( z) ( z 2 1)3 sh z и определить их порядки.
Решение. Полагая ( z 2 1)3 sh z 0 , получим, что z 2 1 0 или sh z 0 .
Решая эти уравнения, находим нули функции f (z ) : z i, z ni , n Z .
Пусть z i ; тогда f (z ) можно представить в виде f ( z ) ( z i )3 ( z ) , где
функция ( z ) ( z i)3 sh z является аналитической в точке z i , причем
(i) 8i sh i 8 sin 1 0 . Это означает, что точка z i есть нуль третьего
порядка. Аналогично доказывается, что и точка z i является нулем третьего
порядка. Исследуем нули z ni , n Z . Производная f ( z ) 6 z ( z 2 1) 2 sh z
+ ( z 2 1)3 ch z в точках z ni отлична от нуля. Следовательно, z ni - простые нули функции f (z ) .
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Напомним определение. Точка z0 называется особой точкой аналитической функции f (z ) , если в ней аналитичность ее нарушается.
Определение 2. Точка z0 называется изолированной особой точкой
функции f (z ) , если существует окрестность 0 z z0 этой точки с исключенной точкой z0 , в которой f (z ) аналитична, кроме самой точки z0 .
Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.
Определение 3. Точка z0 называется устранимой особой точкой f (z ) ,
если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной
части.
Определение 4. Точка z0 называется полюсом кратности n функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является с n (cn 0) .
Определение 5. Точка z0 называется существенно особой точкой функции f (z ) , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой
точки содержит бесконечное число членов.
Приведем критерии типа изолированных особых точек.
275
1) для того, чтобы точка z0 была устранимой особой точкой функции
необходимо и достаточно, чтобы lim f ( z ) A ( A ) .
f (z ) ,
z z0
2) для того, чтобы точка z0 была полюсом кратности n функции f (z ) , необходимо и достаточно, чтобы lim f ( z ) 0 , lim [ f ( z )( z z0 ) n ] B ( B ) .
z z0
z z0
3) для того, чтобы точка z0 была существенно особой точкой функции
необходимо и достаточно, чтобы lim f ( z ) .
f (z ) ,
z z 0
Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка z0 была полюсом порядка n функции f (z ) , нужно, чтобы она была нулем n - го порядка функции
1
(связь между нулями и полюсами).
f ( z)
1 cos z
Пример 1. Для функции f ( z )
особой точкой является z 0 .
z2
1 cos z 1
Имеем lim
- z 0 есть устранимая особая точка.
2
z 0
z2
1
Пример 2. Для функции f ( z ) 5 z 0 является особой точкой. Так как
z
1
lim 5 - это полюс. Так как для функции g ( z ) z 5 т. z 0 является нулем
z 0 z
1
пятого порядка, то z 0 - полюс пятого порядка функции 5 .
z
Пример 3. Для функции
1
ez
1
f ( z) e z
z 0 является особой точкой. Разло-
1
1
1
... в главной части содержит
z 2! z 2 3! z 3
бесконечное число членов: это существенно особая точка.
1
Пример 4. Найти все особые точки функции f ( z ) 1
и определить
жение f (z ) в ряд Лорана:
1
e z 1
их характер.
Решение. Особыми точками являются точка z 0 и точки, в которых
знаменатель обращается в нуль. Имеем
1
ez
1
1 0 , откуда Ln( 1)
z
1
, причем эти точки являются нулями первого порядка. Следова(2n i )i
1
тельно, в точках zn
, n Z функция f (z ) имеет простые полюса.
(2n 1)i
zn
276
Точка z 0 не является изолированной особой точкой, так как она является
пределом полюсов: lim zn 0 : это означает, что любая окрестность точки
n
z 0 содержит бесконечное число особых точек f (z ) .
Задачи для самостоятельного решения
У нижеследующих функций найти нули и определить их порядки:
sh 2 z
sin z
4
2
132. z 4z . 133.
. 134.
. 135. 1 ch z . 136. ( z 2 2 )(1 e z ) .
z
z
137. cos z ch iz .
Найти порядок нуля z0 0 для следующих функций:
z6
138.
2
2
.
(1 cos 2 z ) 2
.
z sh z
139. esin z e tg z . 140.
z
z
sin
2 2
141. 6 sin z 3 z 3 ( z 6 6) .
Определить характер особой точки z0 0 для следующих функций:
1
sin z
1
142.
. 143.
.
144.
.
z sin z
z2
e z z 1
cos z 1
2
Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:
1
145.
.
1 sin z
z
z5 2z 4 z3
150.
1
e z 1
146.
1 cos z
z2
.
147.
1
z
e 2.
148. cos
1
. 149.
z 2i
.
1
z
1
151. z sin .
z
.
2
1
z .
152.
cos z 1
z cos
153. th z .
ВЫЧЕТЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ИХ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ
ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ
Пусть функция f (z ) аналитична в некоторой окрестности точки a за исключением быть может самой точки а.
Определение. Вычетом функции f (z ) относительно точки а (обозначается res f (a) или res f ( z ) называется число, равное
a
1
(7.1)
f ( z )dz ;
2i L
L- простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции
f (z ) и содержащий внутри себя (только) одну особую точку а. В качестве L
удобно брать окружность z a достаточно малого радиуса . Из определеresf (a )
277
ния (7.I) следует, что вычет функции f (z ) совпадает с коэффициентом с1 разложения ее в ряд Лорана по степеням z a :
res f (a) c1 .
(7.2)
Из представления (7.2) следует, что вычет в правильной и устранимой
особой точках равен нулю. Вычет f (z ) в простом полюсе определяется по
формуле
(7.3)
res f (a) lim [ f ( z )( z a)] .
z a
( z )
, причем а – простой нуль функции (z ) , а (a) 0 , то
( z )
(a)
.
(7.4)
res f (a)
(a)
Вычет функции f (z ) в полюсе а порядка m определяется по формуле
Если f ( z )
1
d m 1
resf (a)
lim m 1 [ f ( z )( z a) m ] .
(m 1)! z a dz
(7.5)
Если точка а – существенно особая точка функции f (z ) , то для определения res f (a) необходимо найти коэффициент с1 в лорановском разложении
функции f (z ) в окрестности точки а.
sin z 2
Пример 1. Найти вычеты функции f ( z )
в ее особых точках.
3 2
z z
4
Решение. Особыми точками функции f (z ) являются точки z 0 и z .
4
2
sin z
1
4
В точке z 0 имеем: lim f ( z ) lim
, то есть точка
lim
z / 4
z 0
z 0 z 2
z 0 - устранимая особая точка функции f (z ) . Поэтому res f (0) 0 . В точке
lim f ( z ) , то есть точка z - полюс (первого порядка) функции
z
4 z / 4
4
f (z ) .
По
формуле
(7.3)
имеем
sin z 2 16
2
res f lim f ( z ) z lim
2 sin
.
4 z / 4 z 2
16
4 z / 4
Пример 2. Определить вычет функции f ( z )
1
( z 1)
2
3
относительно
точки z i .
Решение. Точка z i является полюсом третьего порядка функции, так
как
1
1
. В соответствии с (7.5) получим:
( z 2 1)3 ( z i )3 ( z i )3
278
1
d2
1
d2
1
3i
3
.
res f (i) lim 2 [ f ( z )( z i ) ] lim 2 ( z i) 3 lim [12( z i) 5 ]
2! z i dz
2 z i dz
2 z i
16
3
( z) e z 2
Пример 3. Найти вычет функции f
в ее особых точках.
Решение. Особой для данной функции является точка z = 2. Это – существенно особая точка (из свойств функции e z следует, что lim e z ). Для
z
определения вычета найдем коэффициент c1 разложения функции
3
e z 2
в ряд
3
z
e 2
2
3
1 3
1
Лорана по степеням z – 2. Так как
... ,
z 2 2! z 2
0 z 2 , то c1 3 и, следовательно, res f (2) 3 .
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Теорема Коши о вычетах. Если функция f (z ) аналитична на границе L
области D и внутри области, за исключением конечного числа изолированных
особых точек a1, a2 ,..., an , то
n
f ( z )dz 2i res f (ak ) .
(7.6)
k 1
L
dz
, где L : z 2 2 .
2 2
(
z
2
)
(
z
1
)
L
Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются z 2 полюс второго порядка, z i - полюса первого порядка. Внутри окружности
z 2 2 (см. рис.12) лежит лишь точка
(z )
z 2 . Поэтому по формуле (7.6)
Пример 1. Вычислить интеграл
i
dz
L ( z 2)
2
( z 1)
2
d 1
z 2 dz z 2 1
2i res f (2) 2i lim
.
Пример 2. Вычислить интеграл
i
Рис.12
2
e1 / z
2
3
dz , L : z i .
2
L z 1
I
2
2
e1 / z
3
Решение. В области D : z i
функция f ( z ) 2
имеет две осо2
z 1
бые точки: z i - полюс первого порядка и z 0 – существенно особая точка.
279
e1 / z
По формуле (7.4) имеем res f (i )
2z
2
(2ie) 1 .Для нахождения вычета в
z i
точке z 0 необходимо иметь лорановское разложение функции f (z ) в окрестности
точки
Из
представления
функции
в
виде
z 0.
1
1
1
f ( z) e
2 1 2 следует, что в ее лорановском разложении содержатz z
1
ся только четные степени z и . Так что c1 0 и res f (0) 0 . По теореме Коz
ши о вычетах (7.6) I .
e
1/ z 2
16.7.3.
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ
“ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ” ИНТЕГРАЛОВ
P( z )
1. Если рациональная функция R( x)
не имеет полюсов на вещественной
Q( z )
оси и степень знаменателя Q(z ) , по крайней мере, на две единицы выше степени числителя P(z ) , то
n
P( x)
dx
2
i
res R(ak ) ,
(7.7)
Q( x)
k
1
где a1, a2 ,..., an - нули Q(z ) , лежащие в верхней полуплоскости ( Im z 0 ).
2. Пусть R(sin x, cos x) F ( z ) , если положить eix z . Тогда
2
R(cos x, sin x)dx 2i ,
(7.8)
0
где есть сумма вычетов функции F (z ) относительно полюсов, заключенных
внутри окружности z 1.
Пример 1. Вычислить интеграл I
x 2 dx
.
2
2
(x
9
)
0
Решение. Подынтегральная функция – четная, поэтому
x 2dx
1 x 2 dx
.
2
2 2
2
2
(
x
9
)
(
x
9
)
0
Для функции R( x)
x2
: P( z ) z 2 , Q( z) ( z 2 9)2 – многочлены второй
( x 9)
и четвертой степени (m 2, k 4) и k m 2 . Нули функции Q(z ) : z 3i и
z 3i лежат вне вещественной оси, причем в верхней полуплоскости лежит
2
2
280
лишь нуль z 3i . Условия теоремы (7.7) выполнены для данной функции, и,
x 2dx
z2
d
z2
следовательно, 2
2i res 2
2i lim
2
2
2
dz
z
3
i
3
i
(
x
9
)
(
z
9
)
(
z
3
i
)
6iz
1
2i lim
и
I
.
6
z 3i ( z 3i )3
2 6 12
2
Пример 2. Вычислить интеграл I
0
ix
dx
(a b cos x) 2
(a b 0) .
Решение. Применяя подстановку e z , получим после преобразований
n
4
zdz
4
z2 1
dz
(cos x
, dx ) I
2
i
res F ( zk ) .
2z
iz
i z 1 (bz 2 2az b) 2 i
k 1
Внутри единичного круга z 1 при условии (a b 0) находится только один
полюс
F ( z)
(двукратный)
a a 2 b2
.
z1
b
Вычет
функции
относительно
этого
полюса
z
(bz 2 2az b) 2
2a
a 2
d
z ( z z1 ) 2
2 3 / 2
I
=
и
.
(
a
b
)
res F ( z1 ) lim
2
4
z z1 dz b ( z z1 ) 2 ( z z2 ) 2
(a 2 b 2 )3 / 2
Задачи для самостоятельного решения
В нижеследующих задачах требуется найти вычеты указанных функций относительно ее конечных изолированных особых точек.
154. f ( z )
1
3 z
z e ;
155. f ( z )
1 cos z
157. f ( z )
z ( z 3)
3
;
ez
;
1
2
sin z
4
cos z
158. f ( z )
;
3 2
z z
2
z
ctg z
160. f ( z ) cos
; 161. f ( z )
;
z 1
z
Вычислить контурные интегралы:
zdz
163.
L ( z 1) ( z 2)
165.
2
zdz
z
Le 3
156. f ( z )
e
1
z2
1 z4
;
159. f ( z ) ctg2 z ;
162. f ( z )
ez
2
z 2n 1
.
2
, L : x 2 / 3 y 2 / 3 32 / 3 ; 164.
, L : z 1 4 ;
ez 1
Lz
166.
L sin
z 2 dz
3
z cos z
3
iz
2
dz , L : z i 3 ;
, L : z 1;
281
sin z
x2
e z dz
2
dz , L :
y 1 ; 168. 4
167. 2
, L : z i 1.
3
2
4
(
z
1
)
z
2
z
1
L
L
169.
z sin z dz
( z 1)5
L
x2 y2
1;
, L:
3
9
171. z tg zdz , L : z 1; 172.
170. (sin
L
1
z2
2
e z cos z )dz , L : z 1;
z 3dz
, L : z 1.
4
2
z
1
L
L
Вычислить действительные интегралы:
dx
dx
173. 2
;
174.
;
(
a
0
,
b
0
)
2
2
2
2
3
(
x
a
)(
x
b
)
(x
1
)
175.
xdx
( x
2
178.
0
2
2
4 x 13)
; 176.
2
cos2 3x dx
1 2a cos x a
( x
2
dx
2
2 x 2)
2
, a 1; 179.
2
0
;
2
177.
cos x dx
1 2a sin x a 2
0
dx
, a 1.
a cos x
, 0 a 1;
sin 2 xdx
180.
, a b 0.
a
b
cos
x
0
Ответы к задачам главы 16
1 3
20
36
2. а) –i. б) i. в) –i. г) 16( 3 i ) . д) –8. 3. а) x , y .
17
5 5
17
2(a 2 b 2 )
b
a
б) x 2
, y 2
. в) действительного решения нет. 4. 2
.
(a b 2 ) 2
a b2
a b2
5. i. 6. x
u 2 v2 4
(1 u ) 2 v 2
, y
v
(1 u ) 2 v
. 7. 0; 1;
2
1
3
i . 8.а)
2
2
6 i ,
z1 5 7i , z 2 1 6i . б) 2 i; 1 4i. в) 1 i; 1 i. г) 1+i; i. 9. а) (2; ) .
4
3
1
3
б) (2; ) . в) (1; ). г) (5 2 ; arctg ) . д) (5; arctg ) . е) (1; ) .
7
5
4
2
4
ж) ( 2(1 sin ) ; ) . з) (1; 2 ) . и) (1; ) . 10. а) 2 9 . б) 212 . в) 1.
4 2
1
(1 i ) . б) ( 3 i ) . в)
г) 219 (1 i 3) . д) –64. 11. а)
2
5
(4 12 ; (
k)) ,
12
34
2k
1
;
,
k
0
,
2
.
2
i
. д)
е)
(1 i ) ;
k 0;1. г)
3
2
3
6
2 ( cos i sin );
12
12
282
(1 8k )
i cos ) . ж) 6 2 ;
, k 0,2 . з) 2 (1 i ) .
12
12
12
3
(2k 1) arctg
3
3
4 , k 0,4 .
и) cos i sin ; cos i sin . к) 5 5;
8
8
8
8
5
2
1 1 8k
1 8k
(1 ( )i ) . 12. а) 2+
л) 10 cos
i sin
, k 0,4. м) 1; i;
2
20
20
2
i;
32
3 2 3
1
1- 3i. б) 1- i; (4 2i ) . в) –2+ i; -3+ i. 13. а) (1 3 2 ); 1
.
i
5
2
2
8k 1
8k 1
94 2
i sin
, k 0,3.
б) 5; -3; 1 4i . в)
i . г) 2 cos
16
16
15
3
1
д) 1 2i; (1 2i ) . 14. а) правая полуплоскость, включая и ось Oy. б) мно5
жество точек вне лемнискаты ( x 2 y 2 1) 2 4 x 2 y 2 a 4 . в) концентрическое
кольцо, ограниченное окружностями радиусов R1 1 и R2 2 с центром в точке z0 2 i . Обе окружности принадлежат множеству. г) внешность параболы
6
12 (sin
y 2 1 2 x (парабола не входит в данное множество). д) сектор, ограниченный
лучами y 0 ( x 0) и y x ( x 0) (луч y 0 не принадлежит сектору). е)
внешность
параболы
y 0,5x 2 2 .
ж)
внутренность
окружности
x 2 ( y 1) 2 1 .
з) область, заключенная между окружностями ( x 1) 2 ( y 1) 2 2 и
( x 2) 2 ( y 2) 2 8 . 15. а) гипербола x 2 y 2 1. б) окружность
1
1
1
9
( x ) 2 y 2 . в) гипербола xy 1. г) окружность ( x 1) 2 ( y ) 2 .
2
4
2
4
z
z
д) прямая, перпендикулярная к отрезку 1 2 и проходящая через его середину.
е) парабола y 2 2 x 1 . ж) ось Ox.
16. а) z z 0 ; z z 0 .
б) z z i( z z ) 0 . в) k ( z z ) 2b i( z z ) 0 . г) z 2 z 2 2a 2 .
д) z z z z i( z z ) 0 .
17.
283
(z )
(z )
(z )
x
0
0
0
б
(z )
(z )
y
x
z0
0
0
д
в) – неограниченная область; г) – ограниченная область.
18. а) z 2(cost i sin t ) 2eit ; б) z 2t (t 2 1)i ; в) z (1 2i)t ;
1
2
г) z i (1 i )t ; д) z 2 cost 3i sin t .
3
3
19. а) x y 0 ; б) x y 2 4 ; в) x 2 y 2 1; г) y x3 ; д) xy 1 .
20. а) u x 2xy, v y 2 x 2 y; б) u x 2 y 2 , v 1 2 xy; в) u 3xy 2 x3 ,
y
x 2 xy y 1
x
v
;
u
,
,
г) u 2
д)
v 1 3x 2 y y 3 ;
x2 y2
( x 1) 2 y 2
x y2
v
x2 y y 2
x2 y2
( x 1) 2 y
x2 y
; е) u
2
, v
2
2 xy
.
x2 y2
1 i
5 12i
21. а) w 1; б) w 3 4i ; в) w
; г) w
.
13
2
22. а) парабола 16u 64 v 2 ; б)парабола 4u v 2 4 ;
в) прямая v 2 ; г)
2
2
окружность u v 16 .
23. а) окружность u 2 v 2 4 , проходимая по ходу часовой стрелки; б)ось Ov
(исключая точку О), проходимая так: сначала от 0 до , а затем от до 0;
в) луч, идущий по биссектрисе III координатного угла из в 0; г) луч, идущий
по биссектрисе I координатного угла из в 0; д) биссектриса II координатного
угла, пробегаемая из 0 до , и биссектриса IV координатного угла, пробегаемая из в 0; е) положительная действительная полуось, пробегаемая из в
0.
2
2
2
2
24. а) u e x cos y , v e x sin y ; б) u e x y cos 2 xy , v e x y sin 2 xy ;
в) u sin x ch y , v cos x sh y ; г) u ch x cos(y 1) , v sh x sin( y 1) ;
284
д) u e( x
2 y 2 ) ln 2 4kxy
cos[2k( x 2 y 2 ) 2 ln 2 xy ] ,
2 y 2 ) ln 2 4kxy
sin[ 2k( x 2 y 2 ) 2 ln 2 xy ] (k Z ) ;
sin x cos x
sh y ch y
v
е) u ch x cos y , v ch x sin y ; ж) u 2
,
.
ch y sin 2 x
ch 2 y sin 2 x
v e( x
25. а) ei0 ; б) ei / 2 ; в) 2ei / 4 ; г) e 23i ; д) e 2i .
1
26. а) (2k 1)i ; б) ln 2 i(2k / 4) ; в) ln 5 i[(2k 1) arctg 4 / 3] ;
2
г) (2k / 2)i .
27. а) i sh ; б) ch ; в) i th ; г) i cth ; д) i ; е)0.
2
2k 1
i ln 3
i
28. а) k i ln[ 2 (1) k ]; б)
; в) k ln 2 ; г) ( 2k)i ;
2
2
2
2
1
д) (k )i .
4
29. а) e
2 ln 3 2k
1
( 4k )
2 ;
д) e
(cos ln 3 i sin ln 3) ; б) e
i
(i 1)(2k )
6
е) e
;
2k
; в) e
2 ( 2 k 1) i
;
1
ln 2
( 2 k ) i
4 e 2 ;
г) e
3
3( 2k ) 3( ln 2 2k)i
2
2
4
ж) 2 e
.
1
1
30. z (2k )i . 31. z (2k 1) i ln 2 . 32. z (k ) .
2
2
33. z1 2k i ln( 2 1 ) , z2 (2k 1) i ln( 2 1 ) . 34. x 0 .
1
35. z 2ki , z (2k 1)i ln 3 . 36. z1 ln(1 2 ) (2k )i ,
2
1
z2 ln( 2 1) (2k )i . 37.а) z 1 i ; б) z e i . 38. 2i . 39. 1.
2
40. / 4 . 41. . 42. 1 i . 47. f (0) 0 . 48. f (0) 0 . 49. f (0) 0 .
50. lim f ( z ) .
z 0
52. а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) нет; и) нет; к) да.
1
1
56. а) вся плоскость, кроме точек z (k ); (tg z )
;
2
2
cos z
б) вся плоскость; f ( z ) e z (1 z ) ; в) вся плоскость, кроме точек z1,2 i ;
f ( z )
(1 z 2 ) cos z z (1 z 2 ) sin z
f ( z )
(1 z 2 ) 2
2e z
(e z 1)
; г) вся плоскость, кроме точек z 2ki ;
; д) вся плоскость, кроме точек z
2
k
; f ( z ) cos 2 z ;
2
285
е) вся плоскость, кроме точки z 0 ; f ( z )
кроме
точек z ki ; f ( z )
e z ( z 1)
z2
; ж) вся плоскость,
1
;
з)
вся
плоскость,
кроме
точек
z
(k
) ;
2
4
sh z
1
1
.
1 sin 2 z
58. а) нет; б) да; в) нет; г) да.
59. а) f ( z) iz 3 i 1; б) f ( z ) 2e z c ; в) f ( z ) i( z 2 1) ;
1
г) f ( z ) iz 2 3 c i ; д) f ( z ) ln z ; е) f ( z ) 2iz 2i 1;
z
z2
2i 2
f
(
z
)
c ; и) f ( z ) 2 ln z z ;
ж) f ( z )
;
з)
z c i
2
2
k) f ( z ) 2 cos 2 z z .
60. В примерах а), б) заданные функции не гармонические;
в) f ( z ) ie z ie z ic .
61. а) k 4 , ; б) k 2 , ; в) k 6 , ; г) k 3, 0 ;
4
2
2
д) k 1, 0 ; е) k 2 , .
2
62. а) сжимается область z 1, а растягивается область z 1 ;
б) сжимается полуплоскость Re z 1 , а растягивается полуплоскость Re z 1 ;
в) сжимается область z 1 1 , а растягивается область z 1 1 ;
г) сжимается внутренность круга z 1 1 , а растягивается внешность этого
круга.
63. а) z 1 1 / 2 ; б) z 0,5i 0,5 ; в) z i 2 ; г) z ( 3 ) 1 .
64. а) z : Im(1 i ) z 0, то есть прямая y x ; б) z : Im(1 i ) (1 z ) 0, т.е.
прямая x y 1 0 ; в) луч 0 x , y 1 / 2 ; г) луч 1 x , y 0 .
8 8
2
1 i
1
.
65. 4 i . 66. (e 2 1)(1 i) . 67. 2i . 68. 4 i . 69.
3 3
3
30 3
4
1 i
i 3
70. (2 sin 1 e) i(1 2 cos1) . 71.
. 73. (i 1)ei . 74.
(1 sh1) . 72.
3
8
2
3
1
(i 1) . 75. cos1 sin 1 ie 1 . 76.
3 ln 2 2 i ln 2 .
8
5
8 4
1
77. [1 cos(2 2i)] .
4
78. 2 (1 2 i ) . 79. 2 2 4 i 2 2 . 80. 2 sh 1 i ( 2 sh 1 2 sin 1) .
f ( z )
286
81. 2 . 82. (1) n 1
ch1
2i
2
i
. 83. 0. 84.
i . 85. i ch . 86. . 87. 0.
n 1
3
45
2
88. i .
2
( 2) 2
89.
i . 90. sh1 . 91. 2 . 92. 2i . 93. Сходится. 94. Схо2
8
дится. 95. Сходится. 96. Расходится. 97. Расходится. 98. Сходится (абсолютно).
99. R 1. 100. R 2 . 101. R . 102. R 1. 103. R . 104. R 1.
1
105. z 2 . 106. z e . 107. z 2 i . 108. z 1 i 1. 109. z i 2 .
2
110. 2 z 4 . 111. Расходится всюду. 112. z i e . 113. z 1 2 .
114. 0 z 1 1 .
22
23
( z 1) 2 sin 1 ( z 1)3 cos1 ..., R .
2!
3!
2
3
1
1
1
116.
1 z z z ... , R .
4 2!
4 3!
4
2
1
1
1
117. e 1 (2 z 1) 2 (2 z 1) 2 3 (2 z 1)3 ... , R .
2!2
3!2
2
3
5
1 3
32
2 3
118. 1 ( z 2) 2 ( z 2) 3 ( z 2)3 ... , R .
3
5 5
5
5
115. sin 1 2( z 1) cos1
z 5 z 2 7 z3
1 9
41 2
ln
2
..., R 1.
119. z
z ... , R 1. 120.
2 24
38
5 25
125
7n 1
3z 1
1
n
(3 z 1)
121. n 2 z , z 2 . Указание.
.
2
z
2
(
z
2
)
2
n 0
2
1
z z2
1
1
4
16 3 64 5
4 z
... . 124. z
....
122. z z z ... . 123. 1
z
2! 3!
2! 4! 6! z 2
2!
4!
6!
3n 1 2 n 1
2n 1 1 z
1 z2
... . 126. а) n ; б)
125. 4
.
3 n 0 3
zn
z
2! z 2 4! 6!
n 1
n 1 z
1 22 1 23 2 24 2 25 2
.
127. а) не разлагается; б)
...
4
5
6
5 z 3
z
z
z
n
( 1) n
1 n ( 2 ) n
(1) n n 1
n
z
128. а) n n z ; б) n 1 n 1
; в)
.
z n 1 z n 1
2
n 1z
n 0 2
n 1
( n 2) 4 n 1
2n 2
n 4 n 1
1
129.
. 130. z
. 131.
.
5
n 3
z 1 n 2 ( z 1) n
z 2n 1
(
z
2
)
n 0
n 1
2
1
n
287
132. z 0 - второго порядка, z1,2 2i - простые. 133. z n (n 1,2,...) простые. 134. z ni (n 1,2,...)- второго порядка. 135. z (2n 1)i
(n 1,2,...) - второго порядка. 136. z1,2 i - второго порядка, z (2n 1)i
(n Z ) - простые. 138. Второго по2
рядка. 139. Третьего порядка. 140. Третьего порядка. 141. Пятнадцатого порядка. 142. Полюс третьего порядка. 143. Полюс четвертого порядка.
144. Полюс простой. 145. z (4n 1) (n Z ) - полюсы второго порядка.
2
146. z 0 - устранимая особая точка. 147. z 2 - существенно особая точка.
148. z 2i - существенно особая точка. 149. z 0 -полюс второго порядка,
z 1- полюс второго порядка. 150. z 0 - полюс второго порядка,
z 2ni , (n 1,2,...) - полюса простые. 151. z 0 - существенно особая точка.
152. z 0 - существенно особая точка, z 2n , (n 1,2,...) - полюсы второго
1
порядка. 153. z n i (n 0,1,2,...) - простые полюсы.
2
(n 1,2,3...) - простые. 137. z (2n 1)
2 / 6 2n
;
3 e
1
n
154. res f (0) . 155. res f [(1)
n]
6
24
2 e / 6 ( 2n 1) .
3
2 / 6 2n
;
3 e
n 1
resf [( 1)
n]
(n 0,1,2,...) .
6
2
/
6
(
2
n
1
)
e
3
156. res f (0) 0 , res f ( zk ) 0 , где zk (k 1,4) - корни уравнения z 4 1 0 .
2
1
3
157. res f (0) , res f (3) sin 2 .
27
6
2
4
158. res f (0) 2 , res f 0 . 159. res f (n) 0 , n Z . 160.
2
res f (1) sin 1.
1
161. res f (0) 0 , res f (n) (n) 1 (n 1,2,...) . 162. res f (0) .
n!
4
163. 0. 164. 2(1 e1)i . 165. ln 3 i . 166. 2i . 167. 0. 168. (cos1 sin 1
3
i
+ i(sin 1 cos1)) . 169.
(sin 1 4 cos1) . 170. 0. 171. 0. 172. i .
2
12
288
3
173.
. 174.
. 175. . 176. . 177.
27
8
ab(a b)
2
2
179. 0. 180. 2 (a a 2 b 2 ) .
b
2
a 1
2
. 178.
(a 6 1)
1 a2
.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер
Номер и дата
Подпись заведуюПодпись декана фаизменений в протокола засещего кафедрой,
культета (проректора
программе
дания кафедры,
утверждающего
по учебной работе),
на котором было внесенное измене- утверждающего данпринято данное
ние
ное изменение
решение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Верещагин Б.М., доцент
Будкин К.А., ассистент
Учебный год
Факультет
Специальность
2010-2011
ФМОИП
2010-2011
ФМОИП
Прикладная математика и
информатика
Прикладная математика и
информатика
289