МОДЕЛЬ РЕГУЛЯЦИИ БИОСИНТЕЗА Ключевые слова

МОДЕЛЬ РЕГУЛЯЦИИ БИОСИНТЕЗА
К.Ю. Горбунов, В.А. Любецкий
Институт проблем передачи информации РАН
127994, Москва, Б. Каретный пер, 19
gorbunov@iitp.ru, lyubetsk@iitp.ru
тел: +7 (095) 413-46-43, факс +7 (095) 209-05-79
Ключевые слова: биоинформатика, регуляция биосинтеза, аттенюаторная регуляция, репрессорная регуляция
Abstract
We propose a methodological approach based on the generalized automata theory (directed
graphs with potentially infinite number of marks). This theory can be used to model metabolite
biosynthesis in bacterial culture. Results of testing of our algorithm are given.
Введение
Широко известна задача моделирования биосинтеза веществ в бактериальной культуре и,
в частности, построения модели регуляции экспрессии генов, см., например, [1, 2]. Попытки
такого моделирования, основанные на аппаратах дифференциальных уравнений или случайных
процессов, сталкиваются с известными вычислительными трудностями, а также с трудностями
интерпретации результатов. Последние связаны с косвенным характером описания биологических процессов при использовании такого математического аппарата. Желательно развитие
более прямого и вычислительно более прозрачного аппарата для решения этой задачи.
Мы предлагаем подход к указанной задаче, основанный на обобщенной теории автоматов
(ориентированный граф с потенциально бесконечным числом меток). На этом языке описываются процессы транскрипции и трансляции – в этом сообщении в части репрессорной и аттенюаторной регуляций экспрессии оперона и биосинтеза аминокислот. А именно, предлагается
выделить конечное число вершин графа – «состояний системы»: из одного состояния возможен
переход в одно из нескольких других в зависимости от, например, концентрации веществ и
значений некоторых случайных величин. Скажем, в зависимости от концентрации триптофана
из «паузно-кодонного» состояния (когда РНК-полимераза находится в последнем такте паузы,
а рибосома – на последнем регуляторном кодоне) возможен переход в «послепаузно-кодонное»
состояние (когда рибосома осталась на том же регуляторном кодоне) или переход в «послепаузно-послекодонное» состояние (когда рибосома сошла с регуляторных кодонов). При этом
вершинам графа на каждом такте динамически приписываются числа, характеризующие: долю
бактерий из культуры, находящихся в данном состоянии, и некоторых средние показатели
культуры. На основе такого подхода нами, в частности, компьютерно моделировалась регуляция биосинтеза триптофана. Были получены графики, которые показывают, например, что репрессорная регуляция быстрее реагирует на концентрацию триптофана, чем аттенюаторная
(факт экспериментально известный).
1 Описание модели
Множество возможных состояний представим множеством вершин ориентированного
графа, в котором каждое направленное ребро ведёт из состояния в другое возможное состояние. Каждой вершине приписано рациональное число (от 0 до 100), которое интерпретируется
как процент бактерий в культуре, у которых фиксированный оперон (ортологичный ряд оперо-
151
нов) находится в состоянии, соответствующем этой вершине. Тактовая динамика на этом графе
состоит в изменении этого (процентного) распределения и некоторых средних характеристик
культуры.
Рассмотрим наш подход на примере синтеза триптофана. Рассматривается динамика изменения концентраций ферментов синтеза триптофана, самого триптофана и активного репрессора. Для простоты мы говорим сейчас об одном ферменте и одном репрессоре, хотя модель
легко позволяет рассматривать несколько ферментов и репрессоров/активаторов. Конечно, в
разных клетках концентрации веществ в каждый момент различаются. Мы оперируем с их
средними значениями (так же, как в [1, 2] и многих работах), принимая, что зависимости между средними значениями (по крайней мере, в среднем) соответствуют зависимостям между
концентрациями этих веществ в отдельной клетке. Если мы хотим учитывать неоднородность
концентраций, то можно отражать в состоянии оперона степень концентрации каждого из веществ. Вероятность посадки РНК-полимеразы (за один такт времени) зависит от текущей концентрации активного репрессора; другие вероятности зависят также от различных концентраций. Регуляция производства триптофана выражается в следующем. С ростом концентрации
триптофана: растёт вероятность сдвига рибосомы с регуляторного кодона; усиливается ингибирование фермента триптофаном; падает количество триптофана, производимого 1% фермента; растёт концентрация активного репрессора. Вид этих зависимостей подбирался на основе
известных биологических наблюдений и из общих соображений о характере биосинтеза. Учитывались также процессы утилизации триптофана, его транспорта из внешней среды, распада
фермента и роста бактериальной культуры.
Наша модель процесса биосинтеза триптофана включает: множество состояний бактерий
и функцию (возможно, вероятностную), которая по процентному распределению бактерий по
состояниям и текущей концентрации фермента, триптофана и активного репрессора выдаёт новое процентное распределение и новую концентрацию этих веществ (для следующего такта).
Вводится конечное состояние, интерпретируемое как «выход из игры», на которое процентное распределение не распространяется. Количество попавших в конечное состояние бактерий сразу возмещается прибавкой бактерий в начальном состоянии (оперон свободен). Таким
образом, новое процентное распределение бактерий однозначно определяется по старому с
помощью набора функций fq, где для каждого состояния q функция fq(q’) указывает, как (процентно) распределяются по состояниям q’ бактерии, находившиеся в состоянии q, по окончании такта.
Для простоты считаем, что успех или неуспех синтеза определяется тем, кто (рибосома
или РНК-полимераза) раньше пересечёт свою «линию финиша», расположенную у рибосомы
на заданном расстоянии от группы регуляторных кодонов (считаем их расположенными рядом;
далее кодоном будем называть регуляторный кодон), а у РНК-полимеразы – на заданном расстоянии от места паузы. Исключением считаем случай, когда в момент пересечения полимеразой «линии финиша» рибосома вообще еще не села – этот случай относим к неуспеху. Нами
предложены различные варианты функций fq, а также функции, определяющие концентрации
фермента, триптофана и репрессора на следующем такте по их концентрациям на предыдущем
такте.
2 Результаты моделирования и выводы
Принималось, что скорости РНК-полимеразы и рибосомы постоянны и равны между собой, время паузы постоянно. За единицу времени бралось время транскрипции полимеразой
одного нуклеотида. При этих условиях многие параметры известны из биологических данных
или приближённо рассчитываются. Численное варьирование параметров, значение которых не
вполне ясно, показало, что графики итоговых зависимостей (по крайней мере, на качественном
уровне) мало от них зависят.
152
В начальном моменте все бактерии находились в состоянии q0, концентрации фермента,
триптофана и репрессора брались нулевыми. В первые 135 тактов (когда производство фермента ещё не наладилось) концентрация фермента была нулевой, концентрация триптофана –
очень близкой к нулю, концентрация репрессора колебалась около 0.1. Затем концентрация
фермента стала быстро расти и к такту 139 достигла 0.66, а чуть позже (к такту 153) и концентрация триптофана достигла 1.68, что считается почти критическим избытком. В это время была велика и концентрация репрессора, равная 1.75. Затем все концентрации стали падать и к
такту 271 концентрации фермента и триптофана достигли примерно значения 0.07, что соответствует недостатку триптофана.
Такие большие колебания были характерны лишь для начального отрезка времени, когда
система регулировки синтеза ещё не стабилизировалась. В дальнейшем колебания затухают.
Затухание происходит не очень быстро: в середине второй тысячи тактов всё ещё заметны колебания концентрации фермента примерно от 0.08 до 0.13 и почти синхронно с ней колеблется
концентрация триптофана (от 0.08 до 0.14) и концентрация репрессора (от 0.86 до 1.18). Эти
колебания соответствуют естественному биологическому циклу. Отметим, что, как показали
испытания, предельные значения концентраций не зависят от начального распределения бактерий по состояниям и от начальных концентраций.
Для сопоставления аттенюаторной и репрессорной систем регуляции проводилось ещё два
испытания. В первом из них была резко усилена роль репрессора (соответствующие параметры
были заданы равными 0.1, т.е. в два раза меньше стандартной величины). В результате затухание колебаний резко ускорилось: в середине второй тысячи тактов цикл практически исчез:
концентрация фермента стабилизировалась на уровне 0.11, а концентрация триптофана – на
уровне 0.12. Во втором испытании, наоборот, роль репрессорной системы регуляции была ослаблена (соответствующие параметры равнялись 0.5). В результате колебания стали сильнее, а
их затухание замедлилось: в середине второй тысячи тактов концентрация фермента колебалась от 0.06 до 0.14, а концентрация триптофана – от 0.06 до 0.17. Таким образом, можно сделать вывод, что репрессорная система регуляции действует более оперативно и быстрее реагирует на недостаток или избыток триптофана, чем аттенюаторная. Этот вывод совпадает с известным положением о большей чувствительности репрессорной системы по сравнению с аттенюаторной.
Чтобы приблизить модель к биологической реальности в неё также вводился элемент случайности. А именно, поскольку в реальности потребность клетки в триптофане непостоянна,
отражающий эту потребность параметр колебался случайным образом около своего среднего
значения. При этом все описанные закономерности сохранились, но колебания стали более
хаотическими и перестали затухать в пределе.
Список литературы
[1] Santillam M., Mackey M.C. Dynamic regulation of the tryptofan operon: A modeling study and comparison
with experimental data // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, v. 98, is. 4, 2001, p.p. 1364-1369.
[2] Elf J., Berg O.G., Ehrenberg M. Comparison of Repressor and Transcriptional Attenuator Systems for Control of Amino Acid Biosynthetic Operons // J. Mol. Biol., v. 313, 2001, p.p. 941-954.
153