Лекция 17. ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПЕЙ .

170
Лекция 17. ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПЕЙ
План
1. Операторные входные и передаточные функции.
2. Полюсы и нули функций цепей.
3. Выводы.
1. Операторные входные и передаточные функции
Операторной функцией цепи называют отношение изображения реакции к изображению входного воздействия. Обычно, если это не приводит к
путанице, слово «операторный» опускают. Функции цепи определяют при
нулевых начальных условиях, поэтому в операторных схемах замещения индуктивного и емкостного элементов отсутствуют независимые источники.
Таким образом, операторная функция является изображением реакции цепи
при нулевых начальных условиях.
Если входное воздействие и реакция принадлежат одной паре зажимов,
операторную функцию называют входной. Операторное входное сопротивление
Z ( p) =
U ( p)
.
I ( p)
Операторная входная проводимость определяется как обратная величина входного сопротивления
Y ( p) =
1
I ( p)
.
=
Z ( p) U ( p)
Если входное воздействие и реакция принадлежат разным парам зажимов, мы имеем операторные передаточные функции. Как и в случае комплексных передаточных функций, в зависимости от вида переменных различают функции передачи напряжения H U ( p ) , функции передачи тока H I ( p ) ,
передаточные сопротивления или проводимости.
Следует подчеркнуть несколько особенностей передаточных функций.
Во-первых, для однозначного определения передаточной функции необходимо указать направления токов и напряжений. Во-вторых, следует помнить,
что первый индекс соответствует выходу, а второй – входу. В-третьих, передаточное сопротивление Z 21 ( p ) не является величиной, обратной проводимости Y21 ( p ) .
171
Входные и передаточные операторные функции имеют одно общее название – функции цепи. При определении входных и передаточных функций
мы не указывали, какой источник (напряжения или тока) включен на входе.
Отсюда следует, что операторные функции не зависят от того, какой источник включен на входе.
Известно, что реакция линейной цепи является суммой двух составляющих: реакции при нулевом входном сигнале и реакции при нулевом начальном состоянии. Поскольку функции цепи определяются при нулевых начальных условиях, они являются изображением реакции при нулевом начальном состоянии.
Функции цепей можно получить из системы уравнений, составленных
для операторной схемы замещения. Они представляют отношение определителей и алгебраических дополнений матриц коэффициентов системы уравнений. Каждый элемент такой матрицы представляет рациональную функцию с
вещественными коэффициентами. Поэтому функции цепей являются дробнорациональными функциями, т. е. отношением многочленов комплексной переменной p. В общем случае функцию цепи можно записать в виде
N ( p ) bm p m + bm-1 p m-1 + K + b1 p + b0
.
H ( p) =
=
D( p ) a n p n + an-1 p n-1 + K + a1 p + a0
Порядок числителя и знаменателя функции цепи зависит от суммарного числа реактивных элементов.
Операторные функции цепи имеют простую связь с комплексными передаточными функциями. Чтобы получить операторную передаточную
функцию H(p), достаточно заменить в формуле комплексной передаточной
функции переменную jω на p. Однако в отличие от комплексных передаточных функций, определяющих реакцию цепи в установившемся режиме на
синусоидальное воздействие, операторная функция позволяет рассчитать реакцию цепи на воздействие любой формы.
Рассмотрим теперь связь операторных функций цепей с временными
характеристиками. Если на входе действует единичная импульсная функция
напряжения или тока, то реакция на выходе является импульсной характеристикой цепи. Следовательно, операторные функции являются изображением
импульсных характеристик.
Пример 17.1. Рассчитать импульсную и переходную характеристики
фильтра, показанного на рис. 17.1. Комплексная передаточная функция
фильтра определяется формулой
K
R1 R2C1C 2
H ( jw) =
. (17.1)
é
ù
1
1
1
1
(1 - K )ú +
- w2 + jwê
+
+
R
C
R
C
R
C
ë 1 1
û R1 R2 C1C 2
2 1
2 2
172
Рис. 17.1
Решение. Операторную передаточную функцию H ( p ) получим из
формулы (17.1), заменив jw на p :
2 × 108
H ( p) = 2
.
p + 1.414 × 10 4 p + 108
Как показано выше, импульсная характеристика является оригиналом
H ( p ) . Полюсы передаточной функции p1, 2 = -0.707 × 10 4 ± j 0.707 × 10 4 . Определим вычеты, пользуясь формулой (16.9):
A1, 2 = 1.414 × 10 4 e m j p 2 .
В соответствии с (16.11) импульсная характеристика
(
)
h0 (t ) = 2.828 × 10 4 × e -0.707×10 t sin 0.707 × 10 4 t .
4
График импульсной характеристики показан на рис. 17.2.
Изображение переходной характеристики
1
2 × 10 8
L{h(t )} = H ( p ) =
.
p
p p 2 + 1.414 × 10 4 p + 10 8
(
)
Изображение имеет три полюса: p1 = 0, p 2,3 = -0.707 × 10 4 ± j 0.707 × 10 4 .
o
Соответствующие вычеты: A1 = 2, A2,3 = 1.414 e m j 225 .
Переходная характеристика цепи
(
)
h(t ) = 2 + 2.828 × e -0.707×10 t cos 0.707 × 10 4 t - 225o .
4
173
Рис. 17.2
Рис. 17.3
График переходной характеристики показан на рис. 17.3.
2. Полюсы и нули функций цепей
Как уже отмечалось, операторные функции цепей с сосредоточенными
параметрами являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной p. Многочлены числителя и знаменателя можно представить как
произведение линейных множителей:
(
)(
) (
)
p - p1/ p - p 2/ K p - p m/
N ( p)
.
=K
H ( p) =
( p - p1 )( p - p2 )K( p - pn )
D( p )
(17.2)
Корни полинома числителя pi/ называют нулями, а корни полинома
знаменателя p j – полюсами функции цепи. Масштабный множитель K равен
отношению коэффициентов при старших степенях числителя и знаменателя.
Из формулы (17.2) следует, что для того, чтобы полностью задать
функцию цепи, нам достаточно знать ее полюсы и нули, а также множитель
K. Поведение цепи как в частотной, так и во временной областях полностью
определяется расположением полюсов и нулей. Поэтому в большинстве случаев можно полагать K = 1.
Расположение нулей и полюсов определяется типом функции цепи (например операторное входное сопротивление или передаточная функция),
конфигурацией цепи и значениями элементов. Поскольку операторная функция цепи представляет отношение полиномов с вещественными коэффициентами, ее нули и полюсы могут быть вещественными или комплексносопряженными. Полюсы устойчивой цепи должны располагаться в левой
части комплексной плоскости, т. е. они могут быть отрицательными вещественными или комплексными с отрицательными вещественными частями. Ес-
174
ли бы полюс pi был положительным, то соответствующая составляющая реакции Ai e pit не затухала бы, а бесконечно увеличивалась с течением времени.
Цепь с таким поведением называется неустойчивой. Таким образом, полюсы
устойчивой цепи лежат в левой полуплоскости.
Полная реакция цепи состоит из двух составляющих: вынужденной и
свободной. Вынужденная составляющая состоит из слагаемых, определяемых
полюсами входного воздействия. Свободная составляющая образуется слагаемыми, обусловленными полюсами функции цепи. Если входное воздействие
периодическое, то вынужденная составляющая является установившейся.
Полюсы и нули функции цепи удобно изображать на комплексной
плоскости. Полюсы изображают символом «x», а нули – символом «о». Такое
графическое изображение называют полюсно-нулевой диаграммой.
В качестве примера на рис. 17.4 показана полюсно-нулевая диаграмма
p +1
передаточной функции H ( p ) = 2
.
p + 2p + 2
Нули и полюсы определяют не только временные, но и частотные характеристики цепи. Чтобы показать это, положим в (17.2) p = jw .
В результате получим комплексную передаточную функцию, числитель и знаменатель которой представлены в виде произведения сомножителей первого порядка:
(
)(
) (
)
jw - p1/ jw - p 2/ K jw - p m/
N ( jw)
.
=K
H ( jw) =
( jw - p1 )( jw - p2 )K( jw - pn )
D ( jw)
Комплексное число jω - pi может быть представлено в виде вектора на
комплексной плоскости, проведенного из точки pi в точку jω (рис. 17.5).
Модуль комплексной передаточной функции
H ( jω ) = K
jω - p1¢ jω - p ¢2 L jω - pm¢
.
jω - p1 jω - p1 L jω - pn
Значение амплитудно-частотной характеристики на частоте ω равно отношению произведения длин векторов, соединяющих каждый из нулей с точкой jω, к произведению длин векторов, соединяющих каждый из полюсов с
точкой jω на мнимой оси. Аналогично значение фазочастотной характеристики
на частоте ω равно разности сумм углов числителя и знаменателя H ( jω) .
Таким образом, вид частотных характеристик определяется формой
полюсно-нулевой диаграммы.
175
Рис. 17.4
Рис. 17.5
Проиллюстрируем сказанное примером. Передаточная функция
H ( p) =
p
p + 2p + 2
2
имеет комплексно-сопряженные полюсы, расположенные вблизи мнимой
оси: p1, 2 = -1 ± j1 . В окрестностях точки с координатами (0, j1) знаменатель
H ( jw ) принимает минимальные значения. Поэтому амплитудно-частотная
характеристика имеет максимум на частоте w = 1 .
3. Выводы
1. Операторной функцией цепи называют отношение изображения реакции к изображению входного воздействия.
2. Операторные функции определяют при нулевых начальных условиях, поэтому в операторных схемах замещения индуктивного и емкостного
элементов отсутствуют независимые источники. Таким образом, операторная функция является изображением реакции цепи при нулевых начальных
условиях.
3. Операторные функции цепей с сосредоточенными параметрами являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной p.
4. Корни полинома числителя операторной функции называют нулями,
а корни полинома знаменателя – полюсами функции цепи.
5. Полюсы и нули операторной функции определяют поведение цепи в
частотной и временной областях.