«...Î ïðèÿòíîì ðàññìîòðåíèè êðèâîëèíåéíûõ ôèãóð» Â 16

16
 ÀÎ
ÍÐ
T È2È
000/¹6
È Ç È ÑÊ Ò
ÍÀÓÊÈ
«...Î ïðèÿòíîì ðàññìîòðåíèè
êðèâîëèíåéíûõ ôèãóð»
À.ÂÀÑÈËÜÅÂ
Â
ÅËÈÊÈÉ ÍÅÌÅÖÊÈÉ Ó×ÅÍÛÉ ÃÎÒÔÐÈÄ ÂÈËÜ-
ãåëüì Ëåéáíèö – îäíà èç íàèáîëåå ÿðêèõ ôèãóð
â èñòîðèè ìèðîâîé íàóêè. Åãî âêëàä â ðàçâèòèå
èäåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè ïîëó÷èë âñåîáùåå ïðèçíàíèå. Íàðÿäó ñ Íüþòîíîì Ëåéáíèö äåëèò ñëàâó îòêðûòèÿ
àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ âåëè÷èí, ÿâëÿåòñÿ ñîçäàòåëåì
äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèé, ïðè÷åì ñàìè ýòè òåðìèíû ââåäåíû Ëåéáíèöåì, èì æå ïðåäëîæåíà è ñèìâîëèêà äëÿ îáîçíà÷åíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ è
èíòåãðàëîâ.
Íî äåÿòåëüíîñòü Ëåéáíèöà íå îãðàíè÷èâàëàñü òîëüêî
ìàòåìàòèêîé. Îí âíåñ çíà÷èòåëüíûé âêëàä â ðàçâèòèå
ìåõàíèêè è ôèçèêè, ÿâëÿëñÿ îäíèì èç êðóïíåéøèõ
ôèëîñîôîâ íîâîãî âðåìåíè, çàíèìàëñÿ ëîãèêîé, þðèñïðóäåíöèåé, èñòîðèåé è òåîëîãèåé, âûäâèíóë öåííûå
èäåè â ãåîëîãèè, ÿçûêîçíàíèè è ïñèõîëîãèè, áûë ïðè÷àñòåí ê ãîðíîìó, ìîíåòíîìó è áèáëèîòå÷íîìó äåëó, èçîáðåòàë ðàçëè÷íûå óñòðîéñòâà, â òîì ÷èñëå ñ÷åòíóþ ìàøèíó, áûë ïóáëèöèñòîì, ïîëèòèêîì è äèïëîìàòîì, îðãàíèçîâûâàë àêàäåìèè íàóê, ñòàâèë õèìè÷åñêèå îïûòû è
èíòåðåñîâàëñÿ ìåäèöèíîé. Íå âåçäå îí äîñòèã òàêèõ
âåðøèí, êàê â ôèëîñîôèè èëè ìàòåìàòèêå, íî òî, ÷òî èì
ñäåëàíî, ñîõðàíÿåò è ïî ñåé äåíü íåïðåõîäÿùèé èíòåðåñ.
Ëåéáíèö ðîäèëñÿ 21 èþíÿ (3 èþëÿ ïî íîâîìó ñòèëþ)
1646 ãîäà â ñåìüå ïðîôåññîðà ìîðàëè Ëåéïöèãñêîãî
óíèâåðñèòåòà.  15 ëåò îí ïîñòóïèë íà þðèäè÷åñêèé
ôàêóëüòåò òîãî æå óíèâåðñèòåòà è â 1666 ãîäó îêîí÷èë åãî,
ïðîó÷èâøèñü, êðîìå òîãî, îäèí ñåìåñòð â Éåíå ó çíàìåíèòîãî òîãäà íåìåöêîãî ìàòåìàòèêà ß.Âåéãåëÿ. Ïî âîçâðàùåíèè èç Éåíû Ëåéáíèö ïîëó÷èë çâàíèå ìàãèñòðà ôèëîñîôèè, à çàòåì áàêàëàâðà þðèñïðóäåíöèè, ÷òî îçíà÷àëî
îêîí÷àòåëüíîå îâëàäåíèå ñïåöèàëüíîñòüþ þðèñòà. Íî
Ëåéáíèö õîòåë ïîéòè äàëüøå. Â þðèñïðóäåíöèè îí óâèäåë
ïóíêòû ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ ìàòåìàòèêîé è ëîãèêîé.
Óåõàâ â 1666 ãîäó â Íþðíáåðã, Ëåéáíèö ñòàíîâèòñÿ
äîêòîðîì ïðàâà, îäíîâðåìåííî óâëåêàÿñü àëõèìèåé. Çàòåì, óæå â Ìàéíöå, îí âûñòóïàåò ñ ïåðâûìè ñàìîñòîÿòåëüíûìè ðàáîòàìè â îáëàñòè åñòåñòâîçíàíèÿ, ãäå èçëàãàåò
ñâîè ïðåäñòàâëåíèÿ î òåëàõ, èõ ñâîéñòâàõ, ïðîñòðàíñòâå
è âðåìåíè, î äâèæåíèè è ñèëàõ è íà÷èíàåò ðàáîòàòü íàä
ñ÷åòíîé ìàøèíîé.
 26 ëåò Ëåéáíèö ïåðåñåëÿåòñÿ â Ïàðèæ. Çäåñü îí ëè÷íî
çíàêîìèòñÿ ñ èçâåñòíûìè ôðàíöóçñêèìè ó÷åíûìè, â òîì
÷èñëå ñ Õ.Ãþéãåíñîì, çäåñü íà÷èíàåòñÿ íàèáîëåå àêòèâíûé è ïëîäîòâîðíûé ïåðèîä åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî òâîð÷åñòâà. Ãþéãåíñ çíàêîìèò Ëåéáíèöà ñ ðàáîòàìè Äåêàðòà,
Ãàëèëåÿ, Òîððè÷åëëè, Ïàñêàëÿ. Âî âðåìÿ ïîåçäêè â
Ëîíäîí â 1672 ãîäó Ëåéáíèö çíàêîìèòñÿ ñ àíãëèéñêèìè
ìàòåìàòèêàìè, âñòðå÷àåòñÿ ñ Íüþòîíîì, ñòàíîâèòñÿ ÷ëå-
íîì Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. Â ïàðèæñêèé
ïåðèîä ó Ëåéáíèöà ñôîðìèðîâàëèñü îñíîâíûå èäåè äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèé. Ê ýòîìó
îòêðûòèþ Ëåéáíèö áûë ïîäãîòîâëåí çíàíèåì òîãî, ÷òî
áûëî ñäåëàíî åãî ïðåäøåñòâåííèêàìè â òå÷åíèå ñòîëåòèÿ,
åãî ñîáñòâåííûìè ðåçóëüòàòàìè è òåì ñî÷åòàíèåì ïðîíèöàòåëüíîñòè, èçîáðåòàòåëüíîñòè è ñòðåìëåíèÿ ê îáîáùåíèÿì, êîòîðîå áûëî õàðàêòåðíî äëÿ åãî ìûøëåíèÿ.
Íå ïðèáåãàÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîé ñèìâîëèêå, îòêðûòèå
Ëåéáíèöà ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äâà øèðîêèõ êëàññà çàäà÷ áûëè ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ XVII âåêà. Îäèí èç íèõ ñîñòàâëÿë òàê íàçûâàåìûå
êâàäðàòóðû – çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé ôèãóð ñî
ñëîæíûìè êðèâîëèíåéíûìè ãðàíèöàìè («êðèâîëèíåéíûõ ôèãóð»), à òàêæå îáúåìîâ è ïîëîæåíèé öåíòðîâ
òÿæåñòåé òàêèõ òåë. Îáùèì âî âñåõ ýòèõ çàäà÷àõ áûëî òî,
÷òî èõ ìîæíî áûëî ðåøàòü ïî åäèíîìó ïëàíó: ñíà÷àëà, êàê
ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé
ôèãóðû, ñîñòàâëÿòü ñóììó êîíå÷íîãî ÷èñëà ëåãêî âû÷èñëÿåìûõ ñëàãàåìûõ, çàòåì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî ñëàãàåìûõ
äî áåñêîíå÷íîñòè è òàêèì îáðàçîì, åñëè óäàåòñÿ, íàõîäèòü
òî÷íûé ðåçóëüòàò. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ êâàäðàòóð ïðåäëàãàëèñü ðàçíûå, îíè áûëè ïðèñïîñîáëåíû äëÿ ðåøåíèÿ
îïðåäåëåííîãî êðóãà çàäà÷ èëè ñâîäèëèñü ê ïðèåìó,
îáåñïå÷èâàþùåìó óñïåõ òîëüêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ. Ïðè
ýòîì âûñîêî öåíèëè èìåííî ÷àñòíûå ìåòîäû, à ñòðåìëåíèå
âûÿâèòü òî îáùåå, ÷òî áûëî â ýòèõ ìåòîäàõ, îòíþäü íå
ïðåîáëàäàëî. Ê òîìó æå íå áûëî äîñòàòî÷íîé ñèñòåìû
ïîíÿòèé è îáîçíà÷åíèé, ÷òîáû óäîáíûì îáðàçîì âûðàçèòü
è ìàòåìàòè÷åñêè çàïèñàòü ýòî îáùåå.
Äðóãîé êëàññ çàäà÷ – ýòî çàäà÷è íà ïðîâåäåíèå êàñàòåëüíûõ. ×òîáû äàòü ïðàâèëî ïîñòðîåíèÿ êàñàòåëüíîé ê
çàäàííîé êðèâîé â îïðåäåëåííîé òî÷êå, íàäî óêàçàòü
íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé. Äëÿ îêðóæíîñòè, êàê èçâåñòíî,
ýòîò âîïðîñ ðåøàåòñÿ âåñüìà ïðîñòî, ïîòîìó ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â òî÷êó
êàñàíèÿ. Äëÿ íåêîòîðûõ êðèâûõ èõ ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà òîæå ïîçâîëÿþò äàòü óäîáíîå ïðàâèëî äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàñàòåëüíîé.  îáùåì ñëó÷àå êàñàòåëüíóþ ïîëó÷àþò
êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç
äâå òî÷êè êðèâîé. Ïðè ýòîì îäíó èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ
êðèâîé ïðèáëèæàþò êî âòîðîé, íåïîäâèæíîé; ñåêóùàÿ
êàê áû âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè, ïðåâðàùàÿñü, ïðè ñëèÿíèè îáåèõ òî÷åê, â êàñàòåëüíóþ. Ñëåäèòü
íàäî çà óãëîì, êîòîðûé ñåêóùàÿ îáðàçóåò ñ ôèêñèðîâàííûì íàïðàâëåíèåì (îñüþ Îõ), îí îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå ñåêóùåé. Âû÷èñëÿòü ýòîò óãîë óäîáíî ïî åãî òàíãåíñó,
à òàíãåíñ íàõîäèòñÿ ïî îòíîøåíèþ ðàçíîñòåé êîîðäèíàò
∆y è ∆x ðàññìàòðèâàåìûõ òî÷åê. Êîãäà ïîäâèæíàÿ