a b b c a c → → → ∨ → a b b c a c → → → ∨ → = a b b c a c

1) Проверить, является ли тавтологией формула
( a → b ) → (b → c ∨ ( a → c ))
Формула называется тождественно-истинной, или тавтологией, если она принимает значение "истинно" при
всех значениях переменных, входящих в неё. Иными словами, тавтологией является функция, где все
переменные фиктивны и хотя бы при одном наборе значений аргументов её значение равно 1.
Применяя равносильные преобразования (используя свойства логических операций), минимизируем
формулу:
( a → b) → (b → c ∨ ( a → c )) =
(
) (
)
= a ∨ b ∨ b ∨ c ∨ ( a ∨ c ) = [правило де Моргана] =
= ( a ∧ b ) ∨ ( b ∧ c ) ∨ ( a ∨ c ) = [коммутативность дизъюнкции и конъюнкции] =
= a ∨ ( a ∧ b ) ∨ c ∨ (c ∧ b) =
= a ∨ b ∨ c ∨ b = [коммутативность дизъюнкции и закон склеивания] =
=1
Поскольку данная формула тождественно равна 1, то она является тавтологией.
● В процессе преобразований применили следующие свойства булевых операций:
правило де Моргана
x∧ y = x ∨ y
x∨ y = x ∧ y
соотношение эквивалентности для импликации
x→ y=x∨y
закон склеивания
x ∨ x = x ⊕x =1
другие тождества
x ∨ ( x ∧ y) = x ∨ y
Литература:
1) Спирина М.С., Спирин П.А. "Дискретная математика", 2004, стр. 155 (тавтология);
2) Галушкина Ю.И., Марьямов А.Н. "Конспект лекций по дискретной математике", 2007, стр. 23 (свойства булевых функций).
1