МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПРОСТЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ Работу выполнила Мельниченко Ольга Тимофеевна Учитель начальных классов МБОУ СОШ № 18 МО г-к Анапа ОГЛАВЛЕНИЕ Введение…………………………………………………………………… 3 Глава 1. Простые арифметические задачи в начальном курсе математики………………………………………………………………… 6 1.1. Характеристика простых арифметических задач и ее элементов… 6 1.2. Классификация простых арифметических задач………………...... 13 1.3. Методические подходы к формированию умения решать простые арифметические задачи…………...………………………………… 18 1.4. Методика работы над простой арифметической задачей………… 26 Глава 2. Совершенствование арифметических методики задач изучения в простых начальных классах…………………………………………. 35 2.1. Анализ практики работы учителей по изучению простых арифметических задач в начальных классах………………………………….. 35 2.2. Описание нетрадиционной арифметических методики задач изучения в простых начальных классах…………………………………….. 37 2.3. Анализ результатов опытно-экспериментальной работы…………. 53 Заключение………………………………………………………………… 57 Список литературы………………………………………………………... 58 2 ВВЕДЕНИЕ В начальном курсе математики арифметическим задачам придается большое значение. Делая первые шаги в усвоении математики, младший школьник, безусловно, опирается на свой жизненный опыт, очень важно, чтобы этот опыт был использован для осознания практической значимости математики. Являясь моделью реальных явлений, текстовые задачи помогают ему в этом, выполняя обучающую, развивающую и воспитывающую функцию. Обучающая функция задач заключается, прежде всего, в том, что в процессе их решения у школьников формируются те или иные математические знания и умения. В процессе решения задач учащиеся реализуют ряд умственных действий: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и др., через решение задач у детей формируется ряд учебных действий: анализ текста задачи, установление связей между данными, искомым задачи, запись решения и др. В результате задача выполняет свою развивающую функцию. Воспитательная функция задач реализуется через их содержание и через организацию работы школьников (индивидуальная, групповая, фронтальная), через различные методические приемы обучения. Через содержание задачи дети знакомятся с интересными фактами, тем самым расширяется их кругозор, осуществляется тесная связь с жизнью, формируется мировоззрение. Проблема обучения учащихся решению задач раскрывается в исследованиях М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, Н.Б. Истоминой, М.И. Моро, А.М. Пышкало, В.В. Статкевич и др. В своей работе мы остановились достаточно подробно и на исследованиях, проведенных преподавателем Армавирского государственного педагогического университета Л.М. Дьяковой. На основе проведенного ею анализа традиционного подхода к изучению простых арифметических задач и выделенных методических просчетов мы разработали содержание методики изучения простых задач, 3 раскрывающих смысл отношений между числами. Анализ психолого-педагогической, методической литературы, наблюдения за работой учителей и наш небольшой опыт показал, что в практике работы учителей не реализуются все возможности задач, не используются эффективные приемы работы, имеющие место в теоретической литературе. В связи со сказанным мы определили тему квалификационной работы: «Методика изучения простых арифметических задач в начальных классах». Объект исследования – методика изучения простых арифметических задач. Предмет исследования - содержание методики изучения простых арифметических задач в начальных классах. Цель исследования - разработать содержание методики изучения простых арифметических задач в начальных классах. Задачи исследования: - изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме исследования; - проанализировать учебники математики начальной школы с точки зрения эффективности подхода к изучению простых арифметических задач; - выявить методические просчеты, имеющие место в практике работы учителей; - разработать систему заданий к каждому этапу методики изучения простых арифметических задач (подготовительный, изучения, закрепления). Гипотеза исследования: методика изучения простых арифметических задач в начальных классах будет эффективна, если - реализовать в практике разработанную нами систему заданий в соответствии со следующими этапами: подготовительный, этап изучения и закрепления; 4 - реализовывать систему заданий при изучении каждого вида арифметических задач; - использовать активные методы обучения на этапе изучения каждого нового вида задачи. Методологической основой исследования является целостный и системный подходы к рассмотрению педагогического процесса, теория процесса усвоения знаний, умений, навыков, теория соответствия, теория отношений (больше, меньше, столько же). Методы исследования использовались следующие: теоретический анализ литературы, сравнение, обобщение опыта работы учителей, наблюдение, анкетирование, систематизация выводов. Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. 5 ГЛАВА 1. ПРОСТЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 1.1. Характеристика простых арифметических задач и ее элементов. В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количеств, отношении между реальными объектами. Поэтому их называют «текстовыми», «сюжетными», «вычислительными». При обучении младших школьников математике решению этих задач уделяется большое внимание. Это обусловлено следующим. 1. В сюжетах находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребенка. Это помогает ему осознать реальные количественные отношения между различными объектами (величинами) и тем самым углубить и расширить свои представления о реальной действительности. 2. Решение этих задач позволяет ребенку осознать практическую значимость тех математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики. 3. В процессе их решения у ребенка можно формировать умения, необходимые для решения любой математической задачи (выделять данные и искомое, условие и вопрос, устанавливать зависимость между ними, строить умозаключения, моделировать, проверять полученный результат). Итак, дидактическая роль арифметических задач велика. Арифметические задачи служат: 1) раскрытию сущности арифметических знаний, их усвоению: - на простых задачах раскрывается сущность арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления; 6 - усваиваются таблицы действий сложения и вычитания, умножения и деления, свойства этих действий; - усваиваются зависимости между величинами: ценой, количеством, стоимостью, путем, временем, скоростью и др.; - формируются вычислительные навыки, - обобщаются знания путем многочисленных тренировок в вычислениях, проговаривания, переноса знаний на новые числовые множества; 2) являются средством связи математических знаний с окружающей действительностью, с практической деятельностью учеников; 3) на задачах формируются приемы логического мышления: анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация, абстрагирование, конкретизация, аналогия. Например: Маша купила 3 альбома по 15 рублей. Сколько всего рублей заплатила Маша? Решая такие задачи, ученики скоро осознают, что объединять можно только множества одной природы, что такому объединению множеств соответствует арифметическое действие «сложение», что, умея складывать численности множеств, можно быстро решать многие практические проблемы: найти общую численность предметов, стоимость, объём выполненной работы. Задачи средством являются средством обобщения ознакомления закономерностей до с новыми уровня знаниями, формулировок, символических знаний. Например, свойство дистрибутивности умножения относительно сложения вводится на основе решения задачи двумя способами. Чтение записей решения является обобщённой формулировкой свойства: (4+3)*2=7*2=14 (4+3)*2=4*2+3*2=14 7 Содержание самой задачи показывает, что знание закономерностей – потребность практики. Формулировка решения (свойства) выделяет целый класс ситуаций, взаимосвязь между объектами которых может быть выражена аналогично. Например, 5 берёз и 7 клёнов посадили в 3 ряда. Двое приятелей купили по 10 тетрадей в линию и по 20 в клетку каждый. Надо узнать общее число объектов. Способ решения этих задач будет один и тот же. Процесс решения задач при правильно усвоенной методике работы над задачей формирует приёмы логического мышления, которые активно используются на различных этапах работы над задачей. Решение задач оказывает влияние и на формирование качеств личности: ума, воли, чувств. Итак, арифметическая задача – математическое задание, в котором отражена определённая жизненная ситуация имеются связанные с нею данные (2 и более) числа и искомое число, которое требуется найти, но не указано, с помощью какого арифметического действия. (И.Б. Истомина, М.А. Бантова) Известны элементы арифметической задачи: Условия – часть задачи, содержащая описания ситуации и данные числа. Вопрос – часть задачи, в которой говорится о том, что нужно найти (искомое). Решение – процесс рассуждения, установление взаимосвязи между данными и искомым, в результате которого происходит выбор арифметических действий, устанавливается их последовательность, производятся вычисления, и находится ответ. Ответ – высказывание, констатирующее, какое искомое число найдено и чему оно равно. Пример. Первое звено собрало для детского дома на три книги меньше, чем второе. Сколько книг собрало первое звено, если второе собрало девять книг? – Это задача, так как: в ней есть рассказ (ситуация), есть данные (3 8 книги, 9 книг) и искомое (число книг, собранным первым звеном) числа, нет прямого указания на арифметическое действие. Условие: первое звено собрало на 3 книги меньше, чем второе. Второе собрало 9 книг. Вопрос: сколько книг собрало первое звено? Структура задачи усложнена тем, что одно из данных находится в вопросе. Для того чтобы выделить в чистом виде условие и вопрос, необходима переформулировка текста задачи. Решение: Известно, что второе звено собрало 9 книг, а первое – на 3 книги меньше, чем второе. Это значит, что первое звено собрало столько же, сколько второе (9 книг), но без 3-х книг. Чтобы найти, сколько книг собрало первое звено, нужно из 9 книг вычесть 3 книги. 9-3=6 (книг). Ответ: первое звено собрало 6 книг. Следует иметь в виду, что понятие «решение задачи» можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т. е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата. С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который, в свою очередь, тоже можно рассматривать с различных точек зрения. Во-первых, как способ нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной способ. Рассмотрим различные способы решения текстовых задач на конкретном примере: Задача. Восемь яблок разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок? Учащиеся могут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 8. Для этого они отсчитают 8 яблок, положат 2 на одну тарелку, затем 2 на другую и т. д. пока не разложат все. Посчитав количество тарелок, они ответят на поставленный вопрос. Такой способ 9 решения можно назвать практическим или предметным. Его возможности ограничены, т.к. учащиеся могут выполнить предметные действия только с небольшим количеством предметов. Усвоив смысл действия деления и его запись, можно решить задачу уже не практически, а арифметическим способом, записав решение: 8:2=4. Для решения можно применить алгебраический способ. При этом рассуждения будут следующими: «Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой Х. На каждой тарелке 2 яблока, значит, число всех яблок 2.Х. Так как в условии известно, что число всех яблок 8, то можно записать уравнение 2.Х=8 и решить его: Х=8:2, Х=4. Ту же задачу можно решить графическим способом, изобразив каждое яблоко отрезком. Этот способ решения близок к практическому, но носит более абстрактный характер и требует специального разъяснения. Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называют простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называют составными. Составную задачу, так же как и простую, можно решить, используя различные способы. Начальный курс математики ставит своей основной целью научить младших школьников решать задачи арифметическим способом, который сводится к выбору арифметических действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Решение задач оформляется в виде последовательности числовых равенств, к которым даются пояснения, или числовым выражением. В начальных классах используются различные формы записи решения задач: по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением. Рассмотрим различные формы записи решения на примере конкретной задачи: 10 У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 - на вторую, остальные - на третью. Сколько книг на третьей полке? а) Решение по действиям: 1) 28+12=40 (к.) 2) 90 - 40=50 (к.) Ответ: 50 книг на третьей полке. б) По действиям с пояснением: 1) 28+12=40 (к.) - на первой и второй полках вместе. 2) 90 - 40=50 (к.) - на третьей полке. Ответ: 50 книг. в) С вопросами: 1). Сколько книг на первой и второй полках вместе? 28+12=40 (к.) 2). Сколько книг на третьей полке? 90 - 40=50 (к.) Ответ: 50 книг на третьей полке. г) Выражением: 90-(28+12) При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так: 90-(28+12) = 50 (к.) Ответ: 50 книг на третьей полке. Не следует путать такие понятия, как: решение задачи различными способами (практический, арифметический, графический, алгебраический); различные формы записи арифметического способа решения задачи (по действиям, выражением, по действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными арифметическими способами. В последнем случае речь идет о возможности установления различных связей между данными и искомыми, а следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи. 11 Например, рассмотренную выше задачу можно решить другим арифметическим способом: 1) 90 - 28 = 62 (к.) - на второй и третьей полке. 2) 62 - 12 = 50 (к.) - на третьей полке. Ответ: 50 книг на третьей полке. В качестве арифметического способа можно рассматривать и такое решение данной задачи: 1) 90 - 12 = 78 (к.) - на первой и третьей полке. 2) 78 - 28 = 50 (к.) - на третьей полке. В числе способов решения задач можно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического способа решения, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание, схема моделирует только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство). Тем не менее моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить на вопрос задачи. Покажем это на конкретных примерах: В двух вагонах ехали пассажиры, по 36 человек в каждом вагоне. На станции из первого вагона вышло несколько человек, а из второго вагона вышло столько, сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух вагонах? В данном случае схема выступает как способ и как форма записи решения задачи. вышло осталось вышло осталось Возможен и комбинированный способ. В этом случае для записи решения задачи могут быть использованы одновременно схема и числовые равенства. Например: 12 Когда из гаража выехало 18 машин, в нем осталось в три раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже? Решение этой задачи арифметическим способом довольно сложно для ребенка. Но если использовать схему, то от нее легко перейти к записи арифметического действия. В этом случае запись решения будет иметь вид: Осталось •———• Было •—————• 1) 18:2=9 (м.) 2) 9.3=27 (м.) Ответ: 27 машин было в гараже. В альбоме для раскрашивания 48 листов. Часть альбома Коля раскрасил. Сколько листов осталось не раскрашенными, если Коля раскрасил в 2 раза больше, чем ему осталось? Решение задачи можно оформить так: Раскрасил Осталось 48:3=16 (л.) Ответ: 16 листов. 1.2. Классификация простых арифметических задач. Отдельной темы «Задачи» в курсе математики начальной школы нет. Это говорит о том, что решение задач – не самоцель. Они подобраны и распределены таким образом, что способствуют либо раскрытию сущности новых знаний, либо их усвоению, формированию умений и навыков (арифметических, алгебраических и геометрических). Говорят так, что задачи подобраны целесообразно. Принцип целесообразных задач впервые введен и осуществлен в учебном процессе известным русским методистом С.И. Шохор-Троцким. 13 В нашей работе мы остановимся на простых арифметических задачах. Процесс обучения решению простых задач является одновременно процессом формирования математических понятий. В связи с этим, в зависимости от тех понятий, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, простые задачи делятся на три группы. Простые задачи Задачи, раскрывающи е смысл арифметическ их действий. Задачи, раскрывающие отношения между числами. Задачи на нахождение Задачи на суммы двух чисел; увеличения числа на несколько Задачи на нахождение единиц в прямой и остатка; косвенной формах; Задачи на нахождения на произведения двух Задачи уменьшения числа чисел; на несколько Задачи на нахождение единиц в прямой и частного двух чисел. косвенной формах; Задачи на увеличения числа в несколько раз в прямой и косвенной формах; Задачи на уменьшения числа в несколько раз в прямой и косвенной формах; Задачи на разностное Задачи, на нахождение не- известных компонентов арифметическ их действий. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого; Задачи на нахождения неизвестного уменьшаемого; Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого; Задачи на нахождение неизвестного множителя; Задачи на нахождения неизвестного делимого; Задачи на нахождение 14 сравнение; Задачи на кратное сравнение. неизвестного делителя. Рассмотрим первую группу задач. Простые задачи, раскрывающие смысл действия сложения. На одной полке 5 книг, на другой – 3. Сколько книг на двух полках? У Гали 5 шаров, а у Ромы - 2. Сколько шаров всего? У Гали 5 шаров, ей подарили еще 2. Сколько стало шаров у Гали? Действие сложения соответствует операции объединения множеств. Поэтому внешним признаком задачи, раскрывающей смысл действия сложения, является наличие в вопросе слов «вместе», «всего» или возможности перефразирования вопроса так, чтобы в нем появилось одно из этих слов. Например, в первой задаче возможна формулировка вопроса: «Сколько всего книг?» Простые задачи, раскрывающие смысл действия вычитания. На полке стояло 5 книг. 2 книги сняли. Сколько книг осталось на полке? Действие вычитание соответствует удалению подмножества из данного множества. Поэтому внешним признаком задачи, раскрывающей смысл действия вычитания, является наличие в вопросе слова «осталось». Простые задачи, раскрывающие смысл действия умножения. На 2 полках стояло по 5 книг. Сколько книг стояло на полках? По 4 дерева посадили в 3 ряда. Сколько деревьев посадили? Действие умножение соответствует операции объединения равночисленных множеств. Поэтому внешним нескольких признаком задачи, раскрывающей смысл действия умножения, является наличие в условии слов «2 по 5» или «по 5 взято 2 раза» или других, передающих тот же смысл. Простые задачи, раскрывающие смысл действия деления (по содержанию). 18 книг расставили по 3 на полки. Сколько потребовалось полок? 15 Действие деление соответствует операции разделения множеств на равночисленные подмножества. Внешним признаком задачи, раскрывающей смысл действия деления, являются слова «18 по 3». Простые задачи, раскрывающие смысл действия деления (на равные части). 18 книг расставили на 6 полок поровну. Сколько книг на каждой полке? Внешним признаком задач, раскрывающих смысл действия деления на равные части, является наличие слов «разделили поровну» или «на равные части» или других, имеющих тот же смысл. Рассмотрим вторую группу задач. Задачи на увеличение числа на несколько единиц. У Маши 9 маков, а у Риты на 2 мака больше, чем у Маши. Сколько маков у Риты? (Прямая форма.) У Маши 9 маков, это на 2 мака меньше, чем у Риты. Сколько маков у Риты? (Косвенная форма.) Задачи на уменьшение числа на несколько единиц. У Маши 9 маков, а у Риты на 2 мака меньше. Сколько маков у Риты? (Прямая форма.) У Маши 9 маков, это на 2 мака больше, чем у Риты. Сколько маков у Риты? (Косвенная форма.) Задачи на увеличение числа в несколько раз. В одной вазе 6 яблок, а в другой в 3 раза больше. Сколько яблок во второй вазе? (Прямая форма.) В одной вазе 6 яблок, это в 3 раза меньше, чем в другой. Сколько яблок в другой вазе? (Косвенная форма.) Задачи на уменьшение числа в несколько раз. На ветке 8 синиц, а воробьев в 2 раза меньше. Сколько воробьев на ветке? (Прямая форма.) На ветке 8 синиц, это в 2 раза больше, чем воробьев. Сколько воробьев на ветке? (Косвенная форма.) 16 Задачи на разностное сравнение. У Маши 9 маков, а у Риты 7. На сколько у Маши маков больше, чем у Риты? На сколько у Риты маков меньше, чем у Маши? Задачи на кратное сравнение. В саду 5 кустов малины и 10 кустов смородины. Во сколько раз кустов малины меньше, чем смородины? Во сколько раз кустов смородины больше, чем малины? Рассмотрим третью группу задач. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого. В вазе 3 ромашки и несколько васильков. Всего 5 цветов. Сколько васильков? Признаком задач данного типа является наличие неизвестного числа, выраженного словами «несколько», «некоторое» и пр. Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого. У Юры несколько марок. Когда он подарил товарищу 2, у него осталось 5. Сколько марок было у Юры? В данной задаче неизвестное число явно названо в условии – «несколько». Но оно может быть и неявно выражено. Например: Когда из вазы взяли 3 груши, в ней осталось 7. Сколько груш было в вазе? для таких задач характерны слова «когда», «после того как», «если». Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого. На аэродроме было 8 самолетов. Когда несколько улетело, осталось 5. Сколько самолетов улетело? Перед выходом в рейс в баке автобуса было 80 л бензина. После рейса осталось 45. Сколько л бензина израсходовано? В первой задаче используется явно выраженное неизвестное вычитаемое через слово «несколько». Во второй задаче прозрачность процесса отсутствует, т.к. отсутствует слово «несколько расходовано». Этим задача осложнена. Чтобы структура стала прозрачной, при разборе следует установить процесс: было – израсходовали – осталось. Задачи на нахождение неизвестного множителя. 17 Мальчик купил несколько гвоздик по 12 рублей. Всего он заплатил 36 рублей. Сколько гвоздик купил мальчик? Задачи на нахождение неизвестного делимого. Несколько тетрадей разделили между тремя учениками. Каждый получил по 4 тетради. Сколько тетрадей было? Задачи на нахождение неизвестного делителя. 12 тетрадей раздали ученикам поровну. Тетради получили 3 ученика. По сколько тетрадей получил каждый? 12 тетрадей раздали нескольким ученикам. Каждый получил по 4 тетради. Сколько учеников получили тетради? 1.3. Различные методические подходы к формированию умения решать простые арифметические задачи. Вопрос о том, как научить детей устанавливать связи между данными и искомыми в текстовой задаче и в соответствии с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия, решается в методической науке поразному. Тем не менее, все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, по мнению Н.Б. Истоминой, целесообразно принципиально рассматривать отличающихся друг от с друга точки зрения подходов. двух Различие поставленных целей обусловливает различие методических подходов к обучению решению задач. Один подход нацелен на раскрытие смысла арифметических действий через решение задач определенных типов (некоторые методисты употребляют термин «видов»). Рассмотрим, например, задачу: «Коля После нашел 5 грибов, а Миша — 3. Сколько грибов они нашли вместе?» прочтения задача наглядно интерпретируется. Деятельность школьников направляется заданиями учителя: 18 - Поставьте на наборное полотно, сколько грибов нашел Коля. (Учащиеся выставляют 5 грибов или 5 кружков, квадратов, «фишек».) - Теперь поставьте на наборное полотно, сколько грибов нашел Миша. (Ученики выставляют 3 гриба.) - Сколько грибов они нашли вместе? Ответ на этот вопрос не вызывает затруднений у детей, так как все найденные грибы находятся перед их глазами, они могут либо их пересчитать, либо присчитать к первой совокупности грибы второй совокупности. На поставленный вопрос они отвечают: «8 грибов». Теперь важно выяснить, каким способом получен ответ, поэтому учитель обращается к детям с вопросом: «Как решили задачу?», предполагая получить ответ: «К 5 прибавил 3, получил 8». Учитель недоумевает, когда некоторые ученики или совсем не могут ответить на вопрос, или отвечают так: «Я посчитал». - В чем же причина? Ведь ученики видели, что сначала выставили 5 грибов, затем добавили 3, значит, нужно ответить на вопрос так: «К пяти прибавить три». Но здесь действует психологическая закономерность, которая заключается в тенденции сохранять известные способы действий в знакомой ситуации (в данном случае речь идет о пересчитывании или присчитывании). Выставленные на наборном полотне предметы создают все условия для обращения к известным способам действий. Так как все грибы находятся перед глазами ученика, то у него, естественно, не возникает необходимости прибегнуть к сложению чисел пяти и трех. Учитель начинает использовать различные приемы, с помощью которых он разъяснил школьнику, что от него требуется. В одном случае это показ образца: «Ты должен сложить числа 5 и 3, значит, решение задачи нужно записать так: 5+3». В другом случае используют наводящий вопрос: «Данные в задаче нужно складывать или вычитать?» Этот вопрос помогает ученику дать правильный ответ. 19 Рассмотрим такую задачу: «У зайчика было 10 морковок, 3 он съел. Сколько морковок осталось у зайчика? Школьник поступает так. Он выставляет на наборное полотно 10 морковок (или может нарисовать их) - это известное число, затем убирает (или перечеркивает) 3 морковки — это тоже известное число. Фактически ответ на вопрос уже получен, так как оставшиеся на доске (в тетради) морковки учащийся может пересчитать. Теперь он должен выполнить вторую операцию — записать решение в виде равенства (арифметическим действием). В качестве вспомогательного средства выступает вопрос: «Увеличилось или уменьшилось число морковок?» (Морковок стало меньше, значит, нужно вычитать.) Запись 10-3=7 является решением задачи. Описанные ситуации характеризуют определенный подход к методике работы над задачей, при которой формирование у учащихся того или иного механизма решения простых задач есть одновременно и формирование у них той или иной определенную трактовки арифметических познавательную ценность, действий. такой Представляя подход имеет один существенный недостаток: решая простые задачи на уровне предметных действий, ученик не осознает, что он производит то или иное арифметическое действие. Для него теряется смысл вопроса: «Как решал задачу?» Кроме того, задача выступает для него как определенное упражнение, суть которого сводится сначала к выполнению предметных действий, а затем к записи их в виде операций с числами. В такой ситуации ученику довольно трудно осознать необходимость выбора арифметического действия. В результате предметных действий он получает ответ на вопрос задачи, и выбор арифметического действия теряет для школьника практическую формальную значимость дополнительную нагрузку. или представляет Ребенку трудно осознать, операцию, зачем нужно записывать решение в виде равенства. Требуется определенное время, чтобы это действие вошло у него в привычку. Здесь многое зависит от количества тренировочных упражнений, 20 выполняемых учащимися, но при этом операция выбора арифметического действия для решения задачи довольно долгое время не осознается ими и выполняется формально. Другой подход, реализующий положение о тесной взаимосвязи решения простых задач и смысла арифметических действий заключается в том, что смысл арифметических действий осознается школьником до решения задач. Сторонником этой точки зрения являлся прогрессивный русский методист Ф. А. Эрн, который считает, что у ученика сначала должно быть сформировано понятие арифметических действиях и лишь затем — умение брать то или иное действие для решения данной задачи. Психолог Н.А. Менчинская рассматривает выбор арифметического действия как новую умственную опepацию, суть которой сводится к переводу конкретной ситуации, описанной в задаче, в план арифметических операций. Безусловно, для выполнения данной операции в умственном плане ученик должен овладеть ею в предметном плане. Но, в отличие от первого подхода, он овладевает предметным планом не в процессе решения задач, а в процессе различных упражнений, которые предшествуй решению. По форме эти упражнения могут напоминать задачу, но их назначение другое. В процессе выполнения таких упражнений у учащихся формируется умение переводить реальные ситуации на язык математических знаков или осознается смысл арифметических действий. К решению же задач ученик приступает, когда это умение у него сформировано. Например, ему предлагается сначала положить 5 морковок, затем еще 2. Выясняется, сколько всего морковок положил. Ответ на вопрос (подчеркнем, что данное задание не называется задачей) может быть дан путем пересчитывания морковок (начиная с первой) - эти действия можно поставить на самый низкий уровень оперирования с числами; ответ может быть дан путем присчитывания, в этом случае 5 воспринимается им как количественное число и он присчитывает две единицы к пяти — эти 21 действия можно поставить на второй уровень. Наконец, учитель проводит работу по формированию у учащихся понятия об арифметическом действии. Он фиксирует их внимание на том, что сначала было 5 морковок. Каким математическим знаком (цифрой) это можно обозначить? К ним добавили 2 морковки. Каким знаком это можно обозначить? На доске и в кассах цифр появляется запись 5 2. Теперь надо разъяснить смысл знака +. (В математике используется знак для обозначения увеличения той или иной совокупности предметов.) Учитель показывает место этого знака. Наконец, определяется место числа 7. Момент введения записи равенства (знакомства школьников с нею) требует самых подробных разъяснений. Здесь не следует полагаться на тот опыт, который дети в том или ином виде приобрели до школы. Ведь для младшего школьника это фактически совсем новый, неизвестный математический язык (ему, собственно, так и следует говорить, объясняя смысл каждого нового значка и соотнося его с реальными ситуациями). Для овладения умением переводить предметные действия на язык математических знаков полезно использовать схемы вида: + = , которые сопровождают предметные действия или иллюстрации. Например: «В одной вазе 5 цветов, а в другой — 4. Сколько цветов в обеих вазах?» Реальная ситуация соотносится со схемой: В какое «окошко» запишем число 5? В какое число 4? В какое число 9? (Предварительно ученики нашли все цветы, пересчитав их.) Последовательность этих вопросов следует варьировать, т.е. начинать с «окошка» после знака «равно», затем спрашивать, какое число запишем во второе «окошко» и т. д. При формировании умения, о котором идет речь, следует идти не только от предметных действий к математическим знакам, но и наоборот. Например, даны записи: 5+4=9, 5-4=1. Учитель проделывает сначала одни действия: выставляет на наборное полотно 5 предметов, затем убирает и спрашивает, какой записи соответствует то действие, которое он выполнил. Затем 22 предлагает ситуацию, которая соответствует другой записи. Итак, второй подход к обучению решения простых задач характеризуется тем, что: а) их решению предшествует большая подготовительная работа по разъяснению смысла арифметических действий; б) в процессе этой работы у учащихся формируется умение переводить различные реальные ситуации на язык математических знаков. Этот подход позволяет им уже при первом знакомстве с задачей осознать смысл ее решения. В этом случае становится понятным знакомство с ее структурой, составными элементами которой являются условие (в нем содержится то, что известно) и вопрос задачи (в нем спрашивается о том, что неизвестно, и это нужно найти, выбрав соответствующее арифметическое действие). Чтобы школьники осознали сам процесс выбора арифметического действия, важно использовать наглядность, но она должна исключать возможность пересчитывания или присчитывания для ответа на вопрос. Это способствует лучшему осознанию таких понятий, как «известное» и «неизвестное» числа. Например, работа над задачей: «У зайчика было 10 морковок. 2 он съел. Сколько морковок осталось у зайчика?» в соответствии со вторым подходом организуется таким образом. Ученики отсчитывают 10 морковок - это известное число. Эти морковки они кладут в коробочку или конверт. Далее выполняют предметное действие, соответствующее условию: «съел 2 морковки» (из конверта вынимаются 2 морковки, их можно отдать зайчику), это тоже известное число. Пользуясь двумя известными числами, нужно найти третье, то, о котором спрашивается в задаче. Оставшиеся морковки находятся в конверте, их пересчитать нельзя, поэтому запись приобретает смысл. Наглядность, безусловно, помогает детям в выборе арифметического действия, которое в данном случае они соотносили с уменьшением данной совокупности. Рассмотрим другую задачу: «С дерева сначала улетели 5 птичек, а затем 23 еще 3. Сколько всего птичек улетело?» Сначала улетели 5 птичек. Учащиеся отсчитывают 5 птичек (это известно) и кладут их в конверт, затем отсчитывают 3 птички (это тоже известное число) и кладут в тот же конверт (в конверте те птички, которые улетели). Использование наглядности помогает им увидеть, пяти добавили три. Но возможность пересчитывания исключена. Надо выбрать действие для решения задачи. Деятельность школьников, организованная таким образом создает условия для овладения новой операцией. Тем не менее, следует учитывать, что не все дети могут быть к этому готовы. Поэтому известный способ действия (пересчитывание) можно применять при решении задач, но не для выбора арифметического действия, а с целью проверки ее решения. Т. е. после того как решение записано: 5+3=8, учитель предлагает выполнить проверку (к этому лучше привлечь ученика, который испытывает затруднения в выборе арифметического действия для ее решения). Проверка может осуществляться по-разному. Можно: а) просто пересчитать всех птичек, которые находятся в конверте, и убедиться в том, что их 8; б) «проиграть» сюжет задачи и последовательно выложить из конверта на наборное полотно сначала 5 птичек, потом 3 и убедиться пересчитыванием, что их 8. Существенно, что известный ученикам способ действия используется не для ответа на вопрос задачи, а для проверки ее решения. Описанная выше деятельность учащихся при решении простой задачи с самого начала нацелена на формирование общего умения решать задачи: а) выделять известное и неизвестное; б) направлять свою деятельность на выбор арифметического действия для ее решения. Однако в традиционной методике ученик не ориентирован на формирование общего способа решения простых задач, учебник и методические рекомендации не предлагают общего алгоритма работы над задачами. 24 Анализ же учебников по программе 1-4 показал, что, например, понятия арифметических действий: сложение, вычитание, умножение и деление вводятся через задачу, свойства арифметических действий, вычислительные приемы – путем переноса жизненной ситуации на язык математической символики, а задачи же вводятся позже и служат средством переноса знаний в новые условия. Следовательно, можно сделать вывод, что в учебнике реализуется оба подхода, т.е. в учебнике не выработана единая авторская линия. В современной методике обучения решению простых задач учащиеся не ориентируются на запоминание и узнавание их видов, так как это тормозит развитие их анализировать мышления, задачу, не способствует проводить формированию рассуждения, обосновывать умения выбор арифметического действия. Их деятельность при ориентации на виды задач сводится к узнаванию знакомой задачи и запоминанию того, каким арифметическим действием ее следует решать. Элементы этой методики нашли отражение в опыте работы С.Н. Лысенковой, которая в качестве средства, помогающего запомнить вид задачи (название видов задач не вводятся) использует «опорные схемы». Следует отметить, что на определенном этапе обучения использование «опорных схем» приносит положительные результаты. Этому способствует большое количеств однотипных упражнений, в процессе выполнения которых решение простых задач доводится до уровня навыка. Но не следует обольщаться такими результатами. Решая задачи с использованием «опорных схем», дети не приучаются думать, рассуждать, анализировать. Если потребность в этих действиях не сформирована у учащихся в процессе решения простых задач, то они испытывают трудности при решении составных. Для преодоления этих трудностей необходимо выделять определенные виды составных задач и отрабатывать у школьников умение их решать. В результате они решают только те задачи, которые предварительно подробно разбирались и 25 составлялись к ним схемы. Итак, действующая программа по математике для начальных классов исключает ориентировку учащихся на узнавание видов простых задач. В объяснительной записке к программе М.И. Моро по математике для начальных классов I - IV отмечается, что система в подборе задач и расположении их во времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наиболее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач, сходных в том или ином отношении, а также взаимно обратных задач. При этом имеется в виду, что в процессе упражнений дети будут встречаться с задачами различных видов. Это исключает возможность выработки штампов в решении; они с самого начала буду поставлены перед необходимостью каждый раз производить анализ задачи, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения. 1.4. Методика работы над простой арифметической задачей. В традиционной методике принято выделять основные этапы работы над арифметической задачей. (М.А Бантова, Н.Б. Истомина и др.) Назовем их и рассмотрим согласно теории М.А. Бантовой. 1 этап – ознакомление с содержанием задачи; 2 этап – поиск решения задачи; 3 этап – выполнение решения задачи; 4 этап – проверка решения задачи. Эти этапы являются общими для простой и составной задач. Этапы органически связаны между собой и работа на каждом из них ведется преимущественно под руководством учителя. 1. Ознакомление с содержанием задачи. Ознакомиться с содержанием задачи - значит, прочитав ее, представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче. Читают задачу, как правило, дети. Учитель читает задачу лишь в тех случаях, когда у детей нет текста задачи или когда они еще не умеют читать. Очень важно научить детей правильно читать задачу: делать ударение на 26 числовых данных и на словах, которые определяют выбор действия, таких, как «было», «уехали», «осталось», «стало поровну» и т, п., выделять интонацией вопрос задачи. Задачу рекомендуется читать один-два, а иногда и большее число раз, но постепенно их следует приучать к запоминанию задачи с одного чтения, так как в этом случае они будут сразу читать задачу более сосредоточенно. Читая задачу, дети должны представлять ту жизненную ситуацию, которая отражена и задаче. С этой целью полезно после чтения предлагать им представить себе то, о чем говорится в задаче, и рассказать, как они представили (нарисовать словесную картинку). 2. Поиск решения задачи. После ознакомления с содержанием задачи можно приступить к поиску ее решения: ученики должны выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа, установить связи между данными и искомым и на этой основе выбрать соответствующие арифметические действия. При введении задач нового вида поиском решения руководит учитель, а затем учащиеся выполняют это самостоятельно. В том и другом случае используются специальные приемы, которые помогают детям вычленить величины, данные и искомые числа, установить связи между ними. К таким приемам относятся иллюстрация задачи, повторение задачи, разбор и составление плана решения задачи. За иллюстрацию задачи М.А. Бантова принимает использование средств наглядности для вычленения величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между ними. Иллюстрация может быть предметной или схематической. В первом случае используются для иллюстрации либо предметы, либо рисунки предметов, о которых идет речь в задаче. Под схематической иллюстрацией автор принимает краткую запись задачи. В краткой записи фиксируются в удобной форме величины, числа данные и искомые, а также некоторые слова, показывающие, о чем говорится в задаче: «было», «положили», «стало» и т. п., и слова, 27 обозначающие отношения: «больше», «меньше», «одинаковая» и т. п. 3. Решение задачи. Решение задачи - это выполнение арифметических действий. При этом обязательны пояснения, что находим, выполняя каждое действие. Решение задачи может выполняться устно и письменно. При устном решении соответствующие арифметические действия и пояснения выполняются устно, при письменном – письменные. В начальных классах могут быть использованы следующие формы записи решения: 1. составление по задаче выражения и нахождение его значения; 2. составление по задаче уравнения и его решение; 3. запись решения в виде отдельных действий с пояснением и без него; 4. запись решения по вопросам. 4. Проверка решения задач. Проверить решение задачи – значит, установить, что оно правильно или ошибочно. В начальных классах используются следующие четыре способа проверки: 1) Составление и решение обратной задачи. В этом случае детям предлагается составить и решить задачу, обратную по отношению к данной. Если при решении обратной задачи в результате получится число, которое было дано в данной задаче, то можно считать, что данная задача решена правильно. 2) Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными числами. При проверке решения задачи этим способом выполняют арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно. 3) Решение задачи другим способом. Если задачу можно решить различными способами, то получение одинаковых результатов подтверждает, что задача решена правильно. 28 4) Прикидка ответа (установление соответствия искомого числа области своих значений). Применение этого способа состоит в том, что до решения задачи устанавливается область значений искомого числа, т. е. устанавливается, больше или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое число. После решения задачи определяется, соответствует ли полученный результат установленной области значений, если он не соответствует установленным границам, значит, задача решена неправильно. Итак, мы рассмотрели общие вопросы методики работы над задачами любого типа, основываясь на теории М.А. Бантовой. Анализ традиционной методики, наблюдения за практикой работы учителей позволил заметить, что каждая решаемая на уроке или дома задача воспринимается как новая или решается по образцу классной работы, т.е. у учащихся не формируется общий способ решения задач. Причин, по-нашему мнению достаточно много. Прежде всего, следует отметить отсутствие четкости в этапах работы над задачей и единых вопросов на этих этапах. Каждый раз учитель работает над задачей по-разному. В представленной выше нами методике не разводятся такие этапы как разбор и поиск решения задачи. На практике мы наблюдаем, что разбор, поиск и запись решения могут осуществляться в единстве. Следовательно, целостного восприятия таких этапов как разбор, поиск и запись решения у учащихся не происходит. По этим причинам процесс формирования умения и навыка решения задач осложняется и продлевается во времени. Рассмотрим другой подход к работе над простой арифметической задачей, предложенный Л.М. Дьяковой. Умение решать задачи Л.М. Дьякова неразрывно связывает с усвоением алгоритма работы над задачей (последовательность). Учащиеся должны усвоить способ работы над задачей в целом. Поскольку это система действий, то её нужно тщательно формировать. Для того чтобы решить эту методическую задачу, по ее мнению, учитель должен сам чётко 29 придерживаться основных этапов работы над задачей каждый раз, работая с классом, и неукоснительно выполнять методические требования, положительно влияющие на логику рассуждений, на их осознанное выполнение учащимися. Автором выделены следующие основные этапы работы над простой арифметической задачей: 1. Чтение задачи. Математически грамотное чтение предполагает логические ударения и паузы: логические ударения делаются на опорные слова, данные и искомые числа, на слова, выражающие связи и отношения между числами, логическими паузами выделяются эти же слова и числа. Выполнение общепринятых требований к чтению математических текстов формирует вдумчивое, осознанное восприятие математической сущности задачи уже при первом чтении. Очень часто учителя предлагают ученикам читать задачу для всего класса, это не верно. Ученик должен сначала сам шепотом прочитать задачу, чтобы осмыслить её содержание. Когда он будет читать задачу всему классу - всем будет ясно, как он её понимает. 2. Разбор содержания с одновременной краткой записью задачи. Разбор или анализ содержания предполагает выделение математической сущности, отделение её от ситуации. Краткая запись задачи – это символическая запись её математической сущности представляет собой систему опорных слов, данных, искомого, символического, или схематического обозначения связей между числами (словесно-знаковая, схема, таблица, чертеж). С методической точки зрения разбор содержания – это система вопросов и ответов, краткая запись задачи – форма фиксирования этих ответов. Поэтому разбор не может быть хаотическим – вопросы разбора следует ставить таким образом, чтобы ответы на них могли быть записаны элементом краткой записи. Более того, краткая запись, по логике вещей, должна возникать последовательно. Для того чтобы дети уловили логику разбора любой задачи, учитель должен раскрыть его связь с краткой записью 30 задачи. Здесь большую роль играет предварительная подготовка учителя к работе над задачей. Чтобы правильно определить систему вопросов для разбора задачи, следует: - сначала сделать краткую запись разбора задачи, - сформулировать вопросы так, чтобы в ответах к ним постепенно появились опорные слова, данные числа, связи между нами, искомое число. При этом должны соблюдаться следующие методические требования: никаких лишних вопросов, не имеющих отношения к краткой записи задачи, не должно быть. (Если известно, что в тексте есть слова, требующие пояснения, трудно представимая ситуация и т.п., т.е. материал, над которым надо поработать дополнительно, чтобы не возникло проблем при решении задачи, то выполните эту работу заранее – при решении устных задач, в мини-беседах, предшествующих работе над задачей.); последовательность вопросов определяется последовательностью элементов краткой записи; элементы краткой записи задачи появляются на доске только одновременно с ответом учащихся. Ни один знак на доске не должен быть добавлен, поставлен учителем, если о нём не сказали ученики; характер вопросов должен быть поисковым. Ответы на них ученик должен выбирать, искать в тексте, самостоятельно формулировать. Например: Известно ли? Что известно о …? Как обозначить …? Что сказать об …? О каких величинах говориться в задаче? Какие слова выберем для краткой записи? В какой форме составим краткую запись? Например: Вопросы учителя - Какие цветы девочка? Краткая запись задачи сорвала Ромашки Васильки - Известно ли, сколько ромашек сорвала девочка? -3 шт. 31 - Известно ли, сколько васильков сорвала девочка? -2 шт. - Как обозначим неизвестное число? ? - Но что сказано о васильках? на 2 больше, чем ромашек - О чём спрашивается в Знак вопроса подчёркивается задаче? или обводиться круговым движением руки. Если учитель в работе с классом соблюдает названные требования, то у учащихся постепенно складывается способ разбора как способ действия: сначала в тексте нужно выбрать опорные слова, затем данные, искомое числа, связи между ними, прочитать вопрос. Чтобы осуществить этот способ, ученик сам ставит себе те вопросы, которые поставил бы ему учитель. Так усваивается алгоритм разбора содержания простой задачи. Часто возникает вопрос, всегда ли нужно делать краткую запись задачи? На этот вопрос Л.М. Дьякова отвечает, если мы знакомим учеников с новым видом простых текстовых задач, то образец краткой записи задачи должен быть дан на доске и ученики должны записать его в тетради. Краткая запись нужна и на этапе формирования умения решать задачи данного вида. Но в целях экономии времени при коллективном разборе содержания задачи её достаточно сделать только на доске, при самостоятельном решении – только в тетрадях (иногда для проверки правильности краткой записи один из учеников может вместо тетради работать и на индивидуальной доске). Если задача решается устно, то лучше никаких записей не делать. 3. Выбор арифметического действия, выполнение которого приводит к нахождению искомого числа. Для того чтобы выбор действия был осознан учеником, нужно чтобы он умел его обосновать. Поэтому, прежде чем спросить, каким действием найдём искомое число, надо обратить внимание ученика на причину выбора этого действия. Например, в рассматриваемой задаче следует задать вопрос: «Что значит, васильков на 2 больше, чем ромашек?» Ответ следует следующий: «Это значит, что их столько же, сколько ромашек, да ещё 2.» «Каким действием найдём, сколько 32 васильков собрала девочка?» Для ученика это поисковый вопрос, так как он должен вспомнить смысл отношения «больше» и перенести его в новую ситуацию, сформулировать ответ на вопрос. 4. Решение задачи предполагает проговаривание выражения или примера. Форму записи определяет учитель. - Расскажите, как мы будем решать задачу? Почему прибавляем 2? - Запишите решение задачи примером. - Чему равно искомое число? Здесь происходит осмысление учащимися способа решения задачи, над какими числами, какое действие и почему выполняли, что нашли. 5. Ответ задачи. Устно ответ всегда проговаривается полностью, так как это заставляет ученика ещё раз задуматься над тем, что мы решали задачу, какое искомое нашли, чему оно равно. - Что мы нашли? Ответили ли мы на вопрос задачи? - Проговорите полный ответ. - Запишите ответ кратко. 6. Работа над решённой задачей направлена на осмысление способа решения, его единственность или на выполнение творческих заданий: составить схему решения, придумать аналогичную задачу, изменить условие, данные, вопрос, и др. Например: - Как вы рассуждали, чтобы решить задачу? - Могло ли быть ответом другое число, не равное 5? Почему? - Чего больше у девочки – ромашек или васильков? А чего больше должно было быть? (Обращаются к тексту задачи.) - Составьте схему решения задачи. Проверьте по схеме – правильно ли мы решили задачу. - Составьте похожую задачу о грибах. - Что изменится в условии задачи, если её решением будет пример 3-2=1(шт.)? И др. 33 Л.М. Дьяковой отмечено, что работа над решённой задачей зависит от ряда причин: впервые или нет решается задача (если знакомим с новым типом задач, то эта работа опускается; если способ решения уже усвоен, то необходима творческая работа, способствующая разновидению содержания и способов решения сходных ситуаций, задач); легко ли нашли решение ученики, хорошо ли рассуждали (если нет – важно ещё раз повторить все рассуждения); имеется или нет на уроке время для работы над решенной задачей; поставил или нет учитель задачу формирования творческих способностей учеников. Усвоение учащимися всех этапов работы над простой арифметической задачей возможно только в том случае, если учитель при ознакомлении с каждым новым видом задач соблюдает их, при этом постоянно даёт установку: - читаем задачу, - разбираем задачу, - записываем её кратко, - ищем решение, - записываем решение, - даём полный ответ на вопрос задачи, отвечаем на трудный вопрос (или выполняем трудное задание); Если при работе ученика у доски учитель требует таких же рассуждений, при этом привлекает весь класс, призывает помогать, исправлять, если при проверке домашней задачи учитель спрашивает не только ответ или чтение действий, а предлагает рассказать, как ученик рассуждал. Начиная с первых текстовых задач, дети должны усваивать способ работы над задачей: сначала с помощью работы учителя, затем опираясь на памятку, наконец – рассуждая полностью самостоятельно. Образец памятки: 34 - Прочитай задачу, всё ли слова тебе понятны. - Разбери задачу, составь её краткую запись. - Подумай, каким действием можно найти искомое число, почему. - Запиши решение. - Запиши ответ. Сначала эта работа будет требовать много времени, терпения, но когда ученики усвоят алгоритм работы над задачей, у них появится математический язык, они будут хорошо рассуждать. Это сэкономит время во всей последующей работе над задачами, появится интерес к предмету. При разработке методики изучения простых арифметических задач мы опирались на исследования Л.М. Дьяковой. 35 ГЛАВА 2. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ПРОСТЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ 2.1. Анализ практики работы учителей по изучению простых арифметических задач в начальных классах. Для того чтобы определить, имеются ли место трудности у учителей при изучении простых арифметических задач, мы провели анкетирование. Мы предложили учителям ответить на следующие вопросы: 1. Испытываете ли Вы трудности при изучении простых арифметических задач? 2. Если «да», то какие? 3. Назовите этапы работы над задачей. 4. При изучении какой темы вводите понятие «задача»? («Нумерация», «Сложение и вычитание», другие). 5. Какую цель Вы преследуете при решении задачи: - решить одну задачу; - научить решать типовые задачи; - формировать общий способ решения задач; - узнавать типовую задачу и подбирать известный способ ее решения. 6. Как, по Вашему мнению, умеют ли дети решать задачи? 7. Что значит уметь решать задачи? (узнавать тип задачи, ответить на вопрос задачи, другое) 8. Назовите признаки задачи. Было опрошено 10 учителей начальных классов школ г. Краснодара. Надо отметить, что учителя отвечали с небольшой охотой. Анализ ответов показал следующие результаты. На 1 вопрос (Имеют ли место трудности?) 8 учителей из 10 ответили, что не имеют. Но на вопрос 6 (Умеют ли дети решать задачи?) 10 учителей из 10 ответили, что не все дети умеют и не все задачи. Такое столкновение вопросов позволяет сделать вывод, что учителя 36 уверены в совершенстве своей методике изучения задач, а в том, что дети не решают задачи, виноваты сами дети. На 3 вопрос (Назвать этапы работы над задачей.) учителя отметили следующие: чтение, анализ, решение, ответ. На наш взгляд, не отмечен основной этап работы над простой арифметической задачей – это выбор действия, где как раз-то и устанавливаются связи между данными и искомым числами. Это подтверждает позицию учителей (5 из 10) при ответе на 7 вопрос (Что значит решить задачу.) – значит, ответить на ее вопрос. Если ориентирован учитель на конечный результат задачи, то, конечно, к этому стремится и ученик. Этого же недостаточно. Главное в задаче – это установить отношения между данными и искомым числами. 5 других учителей из 10 на 7 вопрос ответили, что важно определить тип задачи. Эта же позиция была подтверждена ответами на 5 вопрос (Какую цель преследуете при решении задачи?). 7 учителей из 10 ответили, что важно научить узнавать тип задачи и подбирать способ решения. 2 учителя указали на обучение типовым задачам, 1 учитель – на формирование общего умения решать задачи. На 4 вопрос (При изучении какой темы вводите понятие «задача»?) практически все учителя обращались к учебнику. Конечно, это можно объяснить тем, что учебники новые, учителя не успели с ними ознакомиться. На последний вопрос (Назвать признаки задачи) учителя ответили, что это условие, вопрос, решение, ответ, т.е. назвали части задачи. Это говорит о том, что вводится понятие «задача» через ее части, не вводятся признаки задачи (сюжет, данные, искомое, связи между ними, отсутствие прямого указания на арифметическое действие), что не формируется обобщенное понятие «задание», не отличаются задачи от других видов заданий. Таким образом, мы можем сделать вывод, что в практике работы учителей имеют место методические просчеты, которые обязательно сказываются на качестве усваиваемых знаний. 37 С целью выявления наличия ошибок при решении задач мы предложили учащимся 2-х первых классов небольшую проверочную работу в конце учебного года. Мы надеялись, что в решении простых задач у учащихся не будет ошибок. Мы предложили всего 3 задачи: 1). У Маши 15 яблок, а у Коли на 8 меньше. Сколько яблок у Коли? 2). В корзине 14 шишек и 9 грибов. На сколько грибов меньше, чем шишек? 3). В коробке 8 карандашей, а на столе на 5 больше. Сколько карандашей на столе? Проверочную работу писало 46 учеников (1-А –24 ученика и 1-Б – 22 ученика). Ошибки в решении задач допустили 22 ученика, в вычислениях – 18. Нас интересовали только ошибки в решении задач. Больше всего ошибок было в решении задачи на разностное сравнение (12 учеников). Самой распространенной ошибкой была следующая: дети к 9 + 5. Они использовали состав двузначного числа 14 и прибавляли недостающее число грибов до шишек. В решении задач на увеличение и уменьшение «на» 4 ученика не верно определили действие. Итак, анализ результатов проверочной работы учащихся показал невысокий результат на конец года. Сопоставив анализ анкет учителей и результаты работ учащихся, мы сделали вывод, что есть необходимость совершенствовать традиционный подход к изучению простых арифметических задач. 2.2. Описание нетрадиционной методики изучения простых арифметических задач в начальных классах. В первой главе мы представили традиционную методику работы над задачами. В 1 параграфе данной главы мы показали, с какими трудностями встречаются учителя при обучении учащихся решению задач. Столкнувшись 38 с таким противоречием, мы пришли к необходимости поиска новых путей к изучению простых арифметических задач в начальных классах. Особое место в процессе изучения задач занимает ознакомление с понятием «задача» и ее элементами. От момента введения понятия «задача», признаков, частей зависит весь процесс формирования умения решать задачи. Мы уже отмечали, что обучение математике в начальных классах основано на системе целесообразно подобранных задач – это один из важнейших принципов построения программы по математике. Впервые с арифметическими нетекстовыми задачами первоклассники встречаются уже на первом уроке математики, но они этого ещё не знают, так как задачи составляет и предлагает им учитель. А дети должны научиться понимать рассказы и вопросы учителя, самостоятельно составлять рассказ по картинке, схеме, ставить вопросы к ним, давать на них полный ответ. С понятием «задача» и её элементами дети знакомятся при введении текстовой задачи на с.80 учебника математики для 1 класса 2009 г. издания. За долго до появления текстовых задач имеют место нетекстовые и полутекстовые задачи. Обойтись без задач не возможно – они являются той благодатной основой, на которой осознаётся понятие числа и цифры, осуществляется подготовка к изучению вычислительных приёмов, арифметических действий и их свойств. Кроме того, понятие задачи и её элементов не определяются, как и большинство других понятий начального курса математики, а потому их содержание усваивается в процессе выполнения заданий практического характера, заданий на сравнение ситуаций и рассказов. В методике введения понятия «задача» и её элементов можно выделить 3 этапа: подготовительный, этап ознакомления и закрепление. Подготовительный этап. Задачи подготовительного этапа: 39 - научить описывать действия, производимые учителем с демонстрационным материалом; - научить составлять рассказ к рисунку, различные рассказы к одному и тому же рисунку; - научить иллюстрировать раздаточным материалом, рисунком, схемой, рассказ учителя, ученика; - научить ставить вопросы к рисунку, схеме, демонстрации учителя; - научить представлять ситуацию, о которой говориться в рассказе; - научить записывать выражение, пример к демонстрации, схеме, рисунку. Подготовительный этап начинается с первого урока математики в 1 классе, на которых ученики должны усвоить все названные учебные действия. Для этого этапа целесообразны задания вида: - Внимательно смотрите, что я буду делать и как об этом рассказывать. (Учитель пошагово с паузами выполняет демонстрацию и описывает её: Я поставила красные кружки. Их (пересчитывает) три. Затем я поставила жёлтые кружки, их два. Короче можно рассказать так: Я поставила три красных и два жёлтых кружка.) - Теперь вы расскажите, что я делаю. (Учитель демонстрирует, ученики составляют рассказ. Аналогично обучаем составлению рассказа по рисунку.) - Что вы видите на рисунке? (Веточки с вишнями.) - Что вы можете рассказать о веточке, расположенной слева? (На веточке слева 1 вишенка и 3 листочка.) - Что вы можете рассказать о веточке, расположенной справа? (на веточке справа 3 вишенки и 1 листочек.) - Составьте рассказ о вишенках (и о листочках). - Рассмотрите второй рисунок и сами составьте рассказ. Описанные выше задания позволяют детализировано формировать элементарные учебные действия – составление рассказа к демонстрации, рисунку. В этой работе учителя иногда допускают такую методическую ошибку как требование сразу, без детализированного образца составить 40 рассказ. Это приводит к тому, что многие дети, не зная способа действия, долго не умеют составлять рассказы без наводящих вопросов, что отрицательно влияет на их развитие и на подготовку к решению простых задач – у них остаётся так и не сформированной способность к цельному восприятию ситуации. Аналогичную работу следует проводить и по формированию умения иллюстрировать (конкретизировать) рассказ (описание) ситуации. Образец учителя: - На полянке играло пять зайчиков (пауза, выставляются по одной 5 картинок – дети считают «про себя») и бельчонок (пауза выставляется карточка). - Теперь я буду рассказывать, а вы покажите на наборном полотне, о чем я рассказываю: У Пети было 4 яблока, 2 яблока он отдал Маше. (В паузах дети рассказывают, что они сделали – выставили 4 картинки, 2 отодвинули (убрали)). После того, как дети научатся составлять рассказы и конкретизировать их, эту работу можно дополнить требованиями: «О чем можно спросить?», «Какой вопрос вы хотите поставить к рассказу?», «Составьте различные рассказы к рисунку», «Какие вопросы можно поставить к каждому рассказу?». Можно усилить проблемность заданий: «Составьте рассказ к данному вопросу. Проиллюстрируйте его», «Представьте, что вы пошли в лес за грибами. Придумайте рассказ про грибы. Поставьте вопрос к рассказу». Также детализировано следует обучать составлять математическое выражение, затем пример к рассказам к сформулированной учителем устной задаче, к серии рисунков, передающих процесс, в котором сам ученик должен увидеть связи, разные ситуации. Каждый раз учитель должен требовать от учащихся полного ответа на поставленный вопрос. Это формирует культуру математической речи. Рассмотрим работу по обучению учащихся умению составлять схему к рассказу. «На санках катались 3 мальчика и 2 девочки». Рисовать мальчиков и девочек трудно, долго, да и не обязательно – можно рисунок заменить 41 схемой. Для этого, например, обозначить мальчика синим треугольником, а девочку красным. Мальчиков – 3, значит, нужно нарисовать три синих треугольника (рисуем), девочек 2 – рисуем 2 красных треугольника. Получили схему рассказа. - Что обозначает синий треугольник? Красный? - Почему мы нарисовали 3 синих треугольника, 2 красных? - Как называется такой рисунок? Почему схема, а не рисунок? - Дополните схему цифрами. К какому рассказу составлена схема? Какой вопрос можно поставить к рассказу? Сосчитайте, сколько всего было детей. - Составьте другой рассказ к этой схеме. (На санках каталось 5 детей. Из них 3 мальчика и 2 девочки.). Можно ли задать вопрос к такому рассказу? (Можно, но считать ничего не надо, всё известно.) - Послушайте мой рассказ: На санках каталось 5 детей (рисуем 5 треугольников). Потом 2 из них ушло домой (2 треугольника перечёркиваются). Что я составила? Что обозначают 5 треугольников? Почему я перечеркнула 2 треугольника? О чём можно спросить? Сосчитайте, сколько детей осталось. - Составьте сами схему к рассказу: На одной ветке висело 4 яблока, а на другой – 3 яблока. Какой фигурой обозначим яблоко? Объясните, как вы составили схему. - Составьте схему к другому рассказу: На берегу сидело 8 синичек, 2 синички улетели. Обозначьте синичку квадратиком. Объясните, как вы составляли схему. - Составьте рассказы к схемам. - Поставьте к рассказам вопросы. Задания данного вида закладывают прочную чувственную основу, формируют математическую речь учащихся с первых уроков, учат их практическому анализу, синтезу, абстрагированию, что является необходимым при решении текстовых задач. 42 На этапе подготовки к ознакомлению с понятием задачи используют следующие методы обучения: беседу, в основе которой лежит демонстрация; практическую работу с конкретными множествами предметов, изображений; рассказ, работу по рисунку; упражнения в символической записи рассказов; логические методы обучения: анализ, синтез, абстрагирование, обобщение в слове, сравнение рассказов, вопросов, готовых задач учителя, данных в устной форме. Из средств обучения преобладают: демонстрационный и раздаточный материал, рисунки, схемы, символические записи. Этап ознакомления. Цель этапа ознакомления с понятиями задачи, условия, вопроса, решения, ответа – ввести эти термины и раскрыть их сущность. В традиционном подходе все эти термины вводятся на одном уроке методом показа и объяснения: учитель формулирует задачу, выделяя в ней то, что известно (условие), и то, что нужно найти (вопрос). Дети легко выделяют условие и вопрос, так как они к этому уже подготовлены, значит, им нужно только осознать, что в условии все числа известны, а в вопросе находится искомое число, а также запомнить новые термины: условие, вопрос; вместе условие и вопрос создают задачу. Далее записывается выражение к рассказу, находится его значение. Следует подчеркнуть, что задача сначала решается устно, затем записывается её решение. Тогда дети поймут, что нужно рассуждать, а не только записывать решение. Следует установить отличие примера вообще от примера – решения задачи, дать образец записи решения, полностью проговорить ответ. После таких разъяснений необходимо закрепить термины в многочисленных упражнениях по их использованию. Здесь подходит ролевое проговаривание элементов задачи, всей задачи: прямые и обратные задания: повторите, условие, вопрос, задачу; прочитайте решение; проговорите ответ; придумайте задачу; назовите условие, вопрос, решение, ответ; к данному решению придумайте задачу, выделите её условие, вопрос. Этап закрепления. 43 Этап усвоения сущности введённых терминах, оперирование ими осуществляется на следующих уроках, уроках закрепления, в процессе решения специально подобранных заданий. Например, для раскрытия сущности понятия «задача» могут быть предложены задания вида: - Чему равна сумма 6 и 2? - Вова сорвал 6 красных яблок и 2 зелёных. Сколько всего яблок сорвал Вова? (Сравните задания. Какое из них можно назвать задачей? Почему?) - Саша нашёл 2 груздя и 4 лисички. Всего он нашёл 6 грибов. Сколько всего грибов нашёл Саша? (Можно ли это задание назвать задачей? Почему?) - Витя и Коля рисовали флажки. Коля нарисовал 5 флажков. Сколько всего флажков нарисовали мальчики? (Можно ли такую задачу решить? Почему? Дополните задачу. Решите её. Сколько всего чисел, о которых говорится в задаче? Какие они?) - Ученики посадили 6 берёз и 4 липы. (Как назвать то, что вы услышали? Можно ли сказать, что это задача? Почему?) Теперь остановимся на методике изучения лишь одной группы задач – задач, раскрывающих смысл отношений между числами (на больше, на меньше), на разностное сравнение чисел. Свою методику мы основывали на исследованиях Л.М. Дьяковой. При изучении любого математического знания, в том числе и простых арифметических задач, принято выделять следующие этапы методики: - подготовительный этап; - этап изучения; - этап закрепления. Рассмотрим содержание каждого этапа. Простые задачи, раскрывающие смысл отношений между числами (на больше, на меньше). Подготовительный этап. Задачи этапа: 44 - научить сравнивать 2 множества объектов путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами; - понимать и описывать словами смысл отношения «столько же», «поровну», «больше (меньше) на», «увеличить (уменьшить) на несколько единиц»; - научить уравнивать 2 множества различными способами: добавлением некоторого числа элементов к множеству меньшей численности или удалением подмножества большего множества; - научить переводить «бытовые отношения» (прилетели, подарил, нарисовал ещё и т.п.) на язык «больше (меньше) на»; Этот этап начинается с первых уроков математики в 1 классе. Формирование названных отношений между множествами, изучение свойств нумерации и вычислительных приёмов, осуществляется в процессе решения нетекстовых задач. Рассмотрим несколько подробнее эти процессы. Сравнение конкретных множеств формирует умение устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств различными способами, на основании чего осознаётся сущность отношений «больше», «меньше», «столько же» между 2 множествами. На этой же основе устанавливаются отношения «больше», «меньше», «равно» для чисел 1 и 2, 2 и 3. Здесь же вводятся первые знаки и появляются числовые равенства и неравенства (термины вводятся). Далее начинается изучение свойств нумерации: если к данному числу прибавить 1, то получим следующее за ним число. Это число больше данного (3+1=4. 4>3). Если из данного числа вычесть 1, то получим предшествующее ему число. Оно меньше, чем данное (4-1=3, 3<4). Когда эти свойства и вытекающие из них отношения будут усвоены, осуществляется знакомство учеников с терминами «увеличить», «уменьшить», увеличить – значит, присчитать, уменьшить – значит, отсчитать. По мере изучения вычислительных приёмов 2, 3 абстрагируется сущность понятий: «стало на 2(3) больше (меньше), «увеличить (уменьшить) на 2 (3)». Наконец, 45 происходит обобщение: «на 2 больше – значит, столько же ещё 2», «на 2 меньше – значит, столько же, но без 2». Виды заданий: - (На наборном полотне выставлено 5 квадратов). Не считая квадраты, поставьте столько же кругов. Как вы это сделали? Что можно сказать о квадратах? О кругах? Почему? - (На наборном полотне выставлено 5 квадратов). Увеличьте число квадратов на 2. Запишите, не вычисляя, сколько их стало. Их стало больше или меньше? Как сказать, не вычисляя, сколько их стало? Как вы понимаете слово «увеличить»? «увеличьте на 3», покажите это на схеме. - Назовите числа, которые на 3 больше другого числа? Покажите это на схеме. - Как получены числа: 10, 8, 6? Продолжите запись. Постройте лесенку этих чисел. Что значит, что 8 на 2 меньше, чем 10? Покажите это на схеме. 10 0000000000 8 00000000 - Сравните числа 3 и 2. Ответ подтвердите рисунком. - Прочитайте записи: 4 > 3; 5 < 6. Верны ли они? Ответ обоснуйте. Проверьте ответ составлением схем. - Увеличьте числа 5, 7, 9 на 1. Что значит увеличить число на 1? Уменьшите числа 8, 6, 4, на 1. Что значит уменьшить число на один? - Увеличьте число 6 на 2. Какое получилось число – большее или меньшее 6? - Как по-другому сформулировать это задание? Достаточный чувственный опыт, получивший обобщение в формулировке, делает возможным решение нетекстовых задач и задач с неполным текстом, включающих конкретизацию данного множества. Цель этих задач – расшифровать область применения отношений «больше на», 46 «меньше на», сформировать обратные связи – умение конкретизировать заданные словесно отношения. Нетекстовые задачи даются учителем в устной форме и сопровождаются демонстрацией. Если учитель конкретизирует свои действия, то именно на этом этапе у учащихся складывается умение конкретизировать содержание задач. Например: Катя (выставляется фигурка девочки) нарисовала 3 флажка (выставляют флажки). Галя (фигурка девочки) нарисовала на 2 флажка больше (табличка «на 2 больше»). Сколько флажков нарисовала Галя. Здесь дети должны осознать, что какие-то данные в задаче числа могут быть сразу изображены, а какие-то – позже, после того, как разберёшься, как их изобразить. КГ- 3 фл. ? фл., на 2 фл. б. Кроме того, в задаче есть неизвестное число, и его надо тоже как-то отобразить в рисунке (пока – это табличка со словами и её надо чем-то заменить). Если учитель будет сочетать слово с действием, то ученики приучатся изображать только то, что известно, ничего не придумывая, не приписывая; а то, что пока не могут изобразить, будут держать «в уме», переосмысливая, как это можно конкретизировать. Тогда в последствии не будет ошибок ни в краткой записи задачи, ни в выборе её решения. Кроме того, детализированная подача содержания задачи учит её анализировать, выделяя математическую сущность. Из всех этапов работы над нетекстовой задачей первый (чтение) осуществляет учитель, обучая по существу грамотному «чтению» задача. Дети учатся понимать, какие слова являются главными, что надо выделять данные числа, слово «больше (меньше) на несколько единиц», искомое число, что всё это можно показать на наборном полотне («записать» задачу кратко). Завершается этот этап повторением задачи учащимися по изображениям на доске. (В последствии работа над содержанием задачи, но уже текстовой, будет расчленена на два этапа: чтение и разбор содержания). 47 Далее ищем решение задачи и уточняем её конкретизацию: - Итак, у Кати 3 флажка, а у Гали на 2 флажка больше. - Что значит, что у Гали на 2 флажка больше, чем у Кати? (это значит, что у Гали столько же флажков, сколько у Кати да ещё 2 флажка). - Давайте нарисуем это. Убирается табличка и рисуется «столько же» (отделяем чертой) и ещё 2 флажка. - Как, не вычисляя, записать, сколько флажков у Гали? Почему прибавляем? - Вычислите. Запишите решение примером. Проговорите ответ. Запишите его. Далее работа над задачей строится так, чтобы степень самостоятельности детей возрастала: - Учитель формулирует задачу, ученики её демонстрируют, причем сразу раскрывают смысл заданного отношения. Таким образом, имеет место полная наглядность при чтении задачи. Решение объясняет и записывает тоже ученик, его правильность проверяют остальные учащиеся. - Учащиеся составляют задачу по рисунку с невидимыми данными числами и записанным отношением. Это творческая работа, задание обратно тем, которые давал учитель, поэтому выполнить их могут только те ученики, которые хорошо осознали отношения между числами. Решают задачу они тоже самостоятельно. - Учащиеся читают неполную текстовую задачу, содержащую одно, конкретизированное множество объектов, число. Наглядность неполная, отношение не выделено из текста, вопрос тоже неполный. Дополнение должны сделать ученики самостоятельно. Получилась полная, устная задача, работа над которой детям уже знакома. Только строить её следует более алгоритмично: Проверьте полностью задачу. Разбираем задачу: что известно? Что надо найти? 48 Ищем решение задачи: У кого солдатиков больше? Что значит, что у Толи на 4 солдатика больше, чем у Вовы? Каким действием найдём, сколько солдатиков у Толи? Запишите решение примером. Дайте полный ответ. Ознакомление с текстовой задачей, раскрывающей отношения «больше (меньше) на несколько единиц», теперь не вызовет особых затруднений, так как оно связанно с повышением степени самостоятельности и уровня абстрактности в восприятии задачи, способ решения которой ученикам уже знаком. Этап изучения. Цель данного этапа – научить самостоятельно читать, осознавать содержание задачи. Степень конкретизации повышается – не обязательно составлять рисунок или схему, достаточно краткой словестно-знаковой записи задачи. Для обработки алгоритма решения простой задачи используются классные и индивидуальные памятки со стабильными по форме заданиями для учащихся: - Читайте задачу. - Разбирайте задачу. - Ищите решение. - Дайте полный ответ. Покажем методику работы над первой текстовой задачей. Читаем задачу (про себя, потом вслух). У /Коли/ /7/ марок, а у /Тани/ /на/ /3/ марки/ больше/. Сколько марок у /Тани/? Разбираем задачу. - О ком говорится в задаче? (Походу ответов учащихся составляем краткую запись задачи): - Известно ли, сколько марок у Коли? 49 - Известно ли, сколько марок у Тани? Будем неизвестное число обозначать вопросом. Что сказано о марках Тани? К. - 7 марок Т. - ? марок, на 3 марки б. - О чем спрашивается в задаче? Подчеркнем вопрос. Этим мы покажем, что это неизвестное число является искомым числом. - Мы составили краткую запись задачи. Запишите её в тетрадь. - Повторите задачу по краткой записи. - Ищем решение задачи: У кого марок больше? Это значит, что у Тани на 3 марки больше чем у Коли? Каким действием найдем, сколько марок у Тани? - Запишем решение задачи примером: 7+3=10 (марок). Действительно ли получили, что у Тани марок больше? Значит, задачу решили верно. - Дайте полный ответ. Запишите его полностью. (Даётся образец. Ответ: у Тани 10 марок). Обобщение учителя. Мы с вами решали много задач. Для того чтобы научить вас рассуждать, я всё время задавала вам вопросы. Теперь вы должны сами научиться рассуждать, без моих вопросов. Помощником вам пока будет памятка. Прочитайте её: Прочитай задачу. Разбери задачу: что в ней известно, что нет, что надо найти. Рассуждай, как найти решение. Запиши решение. Дай полный ответ. Запиши его. Послушайте, как бы вы рассуждали, если бы решали задачу сами: «Задача… (читает текст). Разбираю задачу: В ней говориться о Коли и Тане (Записывает «К.» и «Т.»). Известно, что у Коли было 7 марок. (Запись). Сколько марок было у Тани неизвестно, ставлю вопрос (запись). Но сказано, 50 что у Тани было на 3 марки больше (Запись). В задаче спрашивается: «Сколько марок было у Тани?» Ищу решение задачи: У Тани марок больше, чем у Коли. Это значит, что у Тани столько же марок, сколько у Коли, т.е. 7 марок да ещё 3 марки. Чтобы узнать, сколько марок у Тани, надо к семи прибавить три. Запишу решение (запись). Ответ: У Тани 10 марок. Запишу ответ». Попробуйте сами рассказать ещё раз, как решаем задачу (2-3 человека). (Краткая запись задачи делается отвечающим рядом с записью учителя, но по ходу объяснения.) Формирование умения решать задачи данного вида и усвоение алгоритма работы над задачей происходит на последующих уроках. Необходимо предоставлять учащимся максимум самостоятельности. Средством руководства деятельностью учащихся является памятка, учитель контролирует, если нужно – исправляет. Надо учесть, что детям ещё очень трудно говорить, тем более – в определенной системе, но не надо бояться потерять время. Всё это окупится во всей последующей работе. Помните, что на этих уроках закладывается основа работы над всеми простыми и составными задачами. Итак, ученик работает, руководствуясь памяткой. Это может быть работа у доски, самостоятельная работа с последующей проверкой, проверка домашней работы, работа в группах, индивидуальный опрос. Простые задачи на разностное сравнение чисел. Это задачи, в которых даны два числа и требуется узнать, на сколько одно число больше (меньше), чем другое. Решаются вычитанием меньшего числа из большего. Опыт показывает, что способ решения ученики, как правило, усваивают формально, не очень осознавая, почему надо вычитать. Особую трудность вызывают задачи, в которых числа обозначают объекты различной природы: кольца и шляпы, конверты и открытки, костюмы и шляпы и т.п. Дети не понимают, почему надо из шляп вычитать костюмы, а из открыток – конверты. Причиной тому служат просчёты в стабильном 51 методическом подходе – отсутствие чёткого перехода от одного множества объектов к другому через отношение «сколько же». Это приводит к тому, что ученики вообще не видят необходимости выполнять какое-либо арифметическое действие. Поэтому способ решения навязывается им. Рассмотрим методику введения задач данного вида. Подготовительный этап. Цель – раскрыть сущность приёма практического сравнения конкретных множеств и чисел. Виды заданий: - Каких предметов больше? Почему? При выполнении заданий данного вида надо добиться следующего объяснения: под каждым яблоком находится груша, значит, груш столько же, сколько яблок, но есть ещё груши без пары. Значит, яблок меньше, чем груш, а груш больше, чем яблок. Сразу можно спросить: «На сколько?» (вычислять ничего не надо, так как всё видно можно пересчитать груши). - У меня в мешочке 3 яблока и 8 груш. Чего больше? Как записать, что груш больше, чем яблок? (8>3). - Как это показать? (под каждым яблоком поставить грушу). После чего детям предлагается вытащить из мешочка яблоки и столько же груш. - Что можно сказать о выставленных яблоках и грушах? А можно ли узнать, сколько груш осталось в мешочке? Почему 3? Можно ли сказать, на сколько груш больше, чем яблок? Почему вы так считаете? На сколько яблок меньше, чем груш? Объясните. Проверьте. (Пересчитайте остальные груши). - При выполнении заданий второго вида возникает необходимость выполнения арифметического действия. Дети осознают, что они не из груш вычитают яблоки, а из всех груш удаляют, столько груш, сколько дано яблок. Это действие абстрагируется: из большего числа предметов надо вычесть 52 столько этих же предметов, сколько дано других предметов, число которых меньше. На этой основе вводится сравнение чисел: 8>5, т.к. 8 это 5 и 3 (8=5+3). Словами: 8 это столько же (т.е. 5) и ещё 3. Итак, для понимания сущности сравнения множеств объектов, чисел, очень важен переход через «столько же, сколько». В традиционном подходе это не очень чётко просматривается. Задача учителя – усилить этот аспект сравнения множеств и чисел. Этап изучения. Задача: У девочки 5 конвертов и 9 открыток. На сколько открыток больше, чем конвертов? На сколько конвертов меньше, чем открыток? - Чего у девочки больше, конвертов или открыток? (Учитель держит пачки конвертов и открыток). - Как это показать? (Учитель вставляет открытки в конверты, у него в руках ещё пачка открыток). Сделайте вывод. - Как узнать, на сколько открыток больше, чем конвертов? Почему вычитаете 5 открыток? - Запишите решение примером. - Ответьте на второй вопрос задачи. Как вы это узнали? - Сделайте вывод, как узнать, на сколько одно число больше или меньше, чем другое? Формирование умения решать задачи данного вида связанно с умением объяснять способ решения. Поэтому не следует эти задачи решать формально. Надо каждый раз требовать проговаривания: что вычитаем, почему, сколько вычитаем (вычитаем объекты той же природы и столько, сколько объектов другой природы). Следует решать задачи парой: на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и на разностное сравнение. Это предупредит возможность смещения способов их решения по внешнему признаку – в обоих случаях есть слова «на несколько единиц», «на сколько единиц». Целесообразны 53 проверки решения задачи путём составления схем – это позволит ещё раз осмыслить, на какой вопрос отвечаем, почему выбрали то или иное арифметическое действие. Итак, мы представили методику изучения простых арифметических задач, раскрывающих смысл отношений между числами (на больше, на меньше, на разностное сравнение), которая мало имеет место в практике работы учителей. Наш подход основан на многолетних исследованиях Л.М. Дьяковой. Эта методика основана на психологической теории усвоения знаний (понятий, умозаключения), на теориях соответствия и отношений. Мы сделали попытку доказать теоретически эффективность предлагаемого нами подхода к изучению простых арифметических задач. 2.3. Анализ результатов опытно-экспериментальной работы. Анализ результатов, полученных в ходе констатирующего этапа эксперимента и разработанное содержание методики изучения простых арифметических задач, привели нас к мысли апробировать данную методику и сравнить с исходными результатами. Апробация методики осуществлялась на базе 1 класса, где проводился и констатирующий этап эксперимента. Т.к. условия разные, мы не можем претендовать на полную достоверность результатов. В конце реализации на практике нашей методики изучения простых арифметических задач, раскрывающих смысл отношений между числами (на больше (меньше), разностное сравнение), был проведен контрольный этап эксперимента. Мы предложили учащимся решить задачи известных видов. ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА 1 вариант 1. Альпинист 6 дней карабкался на гору, а спустился с горы на 3 дня раньше. Сколько дней спускался с горы альпинист? 2. В одном ведре 8 литров воды, а в другом на 2 литра меньше, чем во втором ведре. Сколько воды во втором ведре? 54 3. длина одной ленты 9 метров, а другой 12. На сколько метров одна лента короче другой? Результаты проверочной работы обобщены и представлены в таблице № 1. Таблица № 1. фамилия имя задачи известных видов задание № 1 задание № 2 задание № 3 1. Юлия Б. + + + 2. Никита Б. + + + 3. Эллина Г. + - - 4. Владлена Г. + - + 5. Юрий Г. + + - 6 Екатерина Г. + + + 7. Анна Д. + + + 8. Артем Д. + + + 9. Дарья Д. + + + 10. Алина Е. + + + 11. Руслан Ж. + + + 12. Анастасия И. + + + 13. Олеся К. + + + 14. Лиана Л. + + - 15. Максим М. + + + 16. Сурпина М. + + - 17. Вова Н. + - + 18. Алексей П. - + + 19. Руслан П. + + - 20. Павел П. + + - 21. Вика С. + + + 22. Маша Т. + + - 23. Рома У. + + 55 24. Вадим Ф. + + + 25. Настя Х. + - - 26. Мария Х. + + + 27. Анита Ш. + - - 28. Вова Ш. + + + 29. Саша Я. + + - 28 96% 25 86% 18 62% ИТОГО: Количественный анализ результатов показал, что учащиеся, участвующие в эксперименте успешно справились с заданиями, что может являться некоторым подтверждением того, что разработанная нами на теоретических положениях (методико-математических, методико- процессуальных) методика изучения простых арифметических задач, является эффективной. Наблюдения за учениками в момент эксперимента показали, что они справились с работой быстро. В процессе выполнения работы учащиеся чувствовали себя уверенно, практически не задавали вопросы учителю, сверстникам, не отвлекались. Этому способствовала нетрадиционная методика изучения простых арифметических задач. Сравнив эти результаты с результатами первого контрольного среза, мы можем сделать вывод, что произошла положительная динамика в знаниях, умениях учащихся. Данные свидетельствуют о том, что разработанная нами методика изучения простых арифметических задач повлияла на качество усвоения изучаемого материала в экспериментальном классе. Тем самым мы доказали выдвинутую нами гипотезу. 56 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В общей системе обучения математике решение арифметических задач является одним из видов эффективных упражнений. Решение арифметических задач имеет важное значение для формирования у детей полноценных математических понятий, для усвоения ими теоретических знаний, определяемых программой, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Так, если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию объединения множеств. Решая, например, задачи на нахождение неизвестного компонента действий (нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого и т.п.), учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно «рисует» условие задачи ), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знание связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида. Как и любого математического знания, процесс изучения простых арифметических задач осуществляется в три этапа: подготовительный, этап изучения и закрепления. 57 В соответствии с данными этапами мы разработали систему заданий, направленную на изучение простых арифметических задач, на примере задач, раскрывающих смысл отношений между числами «на больше». «на меньше», на разностное сравнение. Предложенная нами система заданий основана на теории усвоения математических понятий: на подготовительном этапе система заданий подбирается с учетом отличительных признаков вводимого понятия, на этапе изучения – вводятся все отличительные признаки, причем активными методами обучения, на этапе закрепления учитывается процесс трансформации знаний в умения, а умения в навыки. 58 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Аргинская И.И. Математика 1 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. - М.: 1996г.-118с. 2. Волкова С.И. Столярова Н.Н. Тетрадь с математическими заданиями для 1 класса четырёхлетней начальной школы – рекомендовано Министерством образования РФ – М.: Просвещение 1993г.- 160с. 3. Гребенников В.А. Ознакомление первоклассников с задачей.// Нач. школа. – 1990. - № 10. 4. Дьякова Л.М. Краткий словарь – справочник по методике преподавания математики в начальных классах. – Армавир: АГПИ, 1998. 5. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Академия, 1988. 6. Дьякова Л.М. Методика обучения младших школьников решению арифметических задач. – Армавир, 2001. 7. Дьякова Л.М. Алгоритмы деятельности учителя как средство моделирования уроков математики в начальных классах. Методическое пособие для студентов факультета педагогики и методики начального образования. – Армавир, 2000. 8. Дьякова Л.М. Краткий словарь-справочник по методике преподавания математики в начальных классах. – Армавир, 1998. 9. Дьякова Л.М. Методика преподавания математики в начальных классах в вопросах и ответах. Часть I. Общие вопросы курса. Методическое пособие для студентов 3 курса факультета педагогики и методики начального образования. – Армавир, 1999. 10.Зимняя И.А. Педагогическая психология. Учебник для вузов. – М.: Издательская корпорация «Лосос», 2000. 11.Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика 2 класс» - М.: Новая школа, 1996. 59 12.Истомина Н.Б. Особенности работы по учебнику математики 2 класса четырёхлетней начальной школы. // Нач. школа. – 2000.-№ 8. 13.Левенберг Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. – М.: Просвещение, 1978. 14.Люблинская А.А. Учителю о психологии младшего школьника. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1977. 15.Математика в 1 классе. Пособие для студентов и учителей начальной школы / сост. доцент И.В. Крючкова. – Армавир, 2000. 16.Математика: Учебник для 1 классов четырёхлетней начальной школы / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001. 17.Методика начального обучения математике. / Под общей ред. Столяра А.А. Дрозда В.Л. – Минск: Вышэйшая школа, 1988. 18.Моро М.И, Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 кл. – М.: Просвещение, 1978. 19.Моро М.И. и др. Математика: учебник для 1 классов трёхлетней школы – М.: Просвещение, 1992г.-175с. 20.Статкевич В.В. О начальном обучении решению задач. – Минск, 1970. 21.Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. Учебное пособие средних педагогических заведений. - М.: 1998. – 288 с. 22.Царёва С.Е. Виды работ с задачами на уроке математики // Нач. школа. – 1990 - № 10. 23.Якиманская И.С. Развивающее обучение. - М.: Педагогика, 1979г.-144с. 24.Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования / М –во образования и науки РФ. – М.: Просвещение, 2010. 60