ЛЕКЦИЯ 27 Элементы теории тонкостенных оболочек

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
ЛЕКЦИЯ 27 Элементы теории тонкостенных оболочек
1 Основные положения
Оболочкой называется конструктивный элемент, одно из измерений
которого (толщина) значительно меньше двух других.
Оболочка, во всех точках которой радиусы кривизны  к ,
называется пластиной.
Тонкостенной называется оболочка, для которой

1
 .
Rmin 10
Примеры оболочек показаны на рис. 1. Здесь они рассмотрены под
действием внутреннего давления, создаваемого жидкостью или средой газа.
Рис. 1
Наша задача – как и ранее, научиться определять действующие напряжения
и вести расчеты на прочность.
2
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2 Вывод уравнения Лапласа для определения действующих
напряжений
Вывод проведём при условиях, что а) оболочка есть тело вращения;
б) образующая оболочки – плавная кривая (не имеет изломов), т.е. во всех
точках R  ; в) давление симметрично относительно оси вращения и
плавно изменяется по высоте или неизменно; г) толщина стенки оболочки
так мала, что распределение напряжений по толщине равномерно. Пример
такой оболочки показан на рис. 2.
Рис. 2
Применим метод сечений и рассмотрим равновесие б.м. элемента:
Рис. 3
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
3
Из рис. 3 следует, что напряжённое состояние в произвольной точке
плоское. Следовательно, для определения 2-х неизвестных напряжений
необходимо составить 2 уравнения равновесия.
Рассмотрим уравнения равновесия выделенного элемента. Первое из
них – это уравнение равновесия на нормаль n:
 Pn  0 ,
 pdS1dS2  2  dS2 sin
d
d
 2 m dS1 sin
 0,
2
2
dS1  R d 
,
dS 2  Rm d 
(1)
(2)
sin
d d
,

2
2
(3)
Для малых углов sin
d d

,
2
2
(4)
 pR d Rm d    Rm d d   m R d d  0 ,
pR Rm    Rm   m R  0 ,
В итоге,


p
 m
R Rm 
– уравнение Лапласа.
Оно содержит две неизвестные  и m, следовательно необходимо второе
уравнение. Его получаем, составляя уравнение равновесия части оболочки,
выделенной коническим окружным сечением. Этот конус – сечение имеет
ось вращения, совпадающую с осью вращения оболочки, а его образующая
перпендикулярна к образующей оболочки. Силы, действующие на одну из
частей оболочки (выделенную), проектируем на ось вращения оболочки.
Полученное уравнение содержит одну неизвестную – m, т.к. сечение
является окружным.
4
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
Пример 1 Сфера, нагруженная
равномерным внутренним давлением,
имеет радиус R и толщину . Определить напряжения в стенке.
Fig. 4
В данном случае R = Rm = R
Пример
2 Цилиндр,


p
pR
 m
  m   
.
R
R 
2
нагруженный
равномерным
давлением,
имеет
полусферические днища. Определить  и m в цилиндрической части .
Дано: , R, p. R = R, Rm =  – для цилиндрической части.
Как и ранеее

m
P
PR

 . Отсюда   
.

R
Rm   
2-е уравнение имеет вид
 Pz  0
2R m  R 2 P   m 
Рис. 5
PR
.
2
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
5
Пример 3
Дано:
Н, , , . Здесь  – удельный вес жидкости, заполняющей сосуд.
Определить: функции распределения напряжений , m по высоте сосуда
и найти их максимальные значения в произвольной точке с координатой z.
Рис. 6
1) определяем давление, действующее в точке А на глубине Н – z:
p ( z ) = ( H – z ) .
(1)
2) определяем радиус кривизны оболочки в т. А в широтном направлении:
Rm = ,
OA 
 z 
R ( z )  
 tg .
 cos  
z
,
cos
3) по формуле Лапласа
 ( z )
R ( z )

p( z )

R ( z ) p( z )  H  z  

;   z   


z
tg .
cos 
Определяем максимальное значение широтных напряжений:
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
6
d 
 0,
dz
tg
H  2 z   0  z  H
 cos
2
значения функции  ( z ) . В этом сечении
–
координата
максимального
H
 max      ...
 2
4) запишем выражение для  m ( z ) . Из условия равновесия части, отсеченной
коническим
сечением
(см.
рис. 7),
имеем
p(z) = (H – Z),
1
Vk ( z )   R 2 ( z ) z ,
3
R(z) = ztg,
1
Vk ( z )   z 3tg 2 ,
3
1
G ( z )   z 3tg 2 .
3
(2)
Уравнение равновесия нижней части
имеет вид:
 Pz  0 ,
Рис. 7
1
2 R( z ) m ( z )cos    H  z   R 2 ( z )   R 2 ( z ) z ,
3
 m ( z) 
1
1
 tg 
1 2











H
z
ztg
z
ztg
H
z
z
z .




 2 cos  
2 cos  
3
3 
d m
tg

dz
2 cos 
4
2 

H

z

z
0
H
z 0.
2




3
3 
3
3
3 
z  H , т.е. мах. значение m достигает при z  H .  mmax   m  H   
4
4
4 