(ν = 2) è ñôåðè÷åñêîé (ν = 3) ñèììåòðèé òå÷åíèÿ... Åñëè ïëîòíîñòü íåâîçìóùåííîé ñðåäû ïîñòîÿííà (ω = 0), òî γ

= 2) è ñôåðè÷åñêîé (ν = 3) ñèììåòðèé òå÷åíèÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3.
Åñëè ïëîòíîñòü íåâîçìóùåííîé ñðåäû ïîñòîÿííà (ω = 0), òî γs = 73.1395
äëÿ ν = 2 è γs = 3.05361 äëÿ ν = 3. Â ñâÿçè ñ ýòèì ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî
â ñôåðè÷åñêîì ñëó÷àå ïðè ω = 0 ýêñòðàïîëÿöèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [1]
äàåò çíà÷åíèå γs , áëèçêîå ê òðåì.
(ν
Öåëüþ ñòàòüè áûëî óêàçàòü íà äâà âîçìîæíûõ âàðèàíòà ðàçâèòèÿ
òå÷åíèÿ
â
îáëàñòè
ïåðåä
îòðàæåííîé
ÓÂ.
Ôîðìàëüíîå
ðåøåíèå
çàäà÷è î ñõîäÿùåéñÿ Ó ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ
çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
ν , ω, γ
[2]. Îäíàêî ôèçè÷åñêàÿ ñòîðîíà ïðîöåññà,
íàáëþäàåìîãî â îáëàñòè III äëÿ çíà÷åíèé
γs = γs (ν, ω) < γ ,
íå ÿñíà è
òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ.
Àâòîð áëàãîäàðèò È.À. ×åðíîâà çà âíèìàíèå ê ðàáîòå.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Âàëèåâ Õ.Ô. Îòðàæåíèå óäàðíîé âîëíû îò öåíòðà èëè îñè ñèììåòðèè ïðè
ïîêàçàòåëÿõ àäèàáàòû îò 1.2 äî 3 // ÏÌÌ. 2009. Âûï. 73, 3. Ñ. 397407.
2. Lazarus R.B. Self-similar solutions for converging shocks and collapsing cavities // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18, is. 2. P. 316371.
ÓÄÊ 539.3
Â.È. Êîïíèíà, Ì.Â. Îâ÷èííèêîâà
ÈÇÃÈÁ ÈÇÎÒÐÎÏÍÎÉ ÏËÈÒÛ,
ÎÑËÀÁËÅÍÍÎÉ ÊÂÀÄÐÀÒÍÛÌ ÎÒÂÅÐÑÒÈÅÌ
Ïóñòü
èìååòñÿ
èçîòðîïíàÿ
ïðÿìîóãîëüíàÿ
ïëèòà,
îñëàáëåííàÿ
êâàäðàòíûì îòâåðñòèåì (ñî ñòîðîíîé à). Öåíòð îòâåðñòèÿ ñîâïàäàåò ñ
íà÷àëîì ñèñòåìû êîîðäèíàò, êîòîðàÿ âûáèðàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïëîñêîñòü
OZ
XOY
ñîâïàäàåò ñî ñðåäèííîé ïëîñêîñòüþ ïëèòû, à îñü
íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç (ðèñóíîê). Ïëàñòèíêà íàõîäèòñÿ
ïîä äåéñòâèåì èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ èíòåíñèâíîñòè
ïàðàëëåëüíûõ îñè
îñè
OX .
OY ,
è èíòåíñèâíîñòè
M2
M1
íà ñòîðîíàõ,
íà ñòîðîíàõ, ïàðàëëåëüíûõ
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòóð îòâåðñòèÿ èëè æåñòêî çàäåëàí, èëè
ñâîáîäåí îò äåéñòâèÿ èçãèáàþùèõ íàãðóçîê.
Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ÍÄÑ òàêîé ïëèòû. Ñäåëàåì äâà
ïðåäïîëîæåíèÿ:
1) ðàçìåðû îòâåðñòèÿ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ñàìîé ïëèòû;
2) îòâåðñòèå íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêî îò êðà¼â ïëèòû (ïîðÿäêà
äâóõ-òðåõ äèàìåòðîâ).
155
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ
èíòåãðèðîâàíèþ îäíîðîäíîãî áèãàðìîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ [1]:
▽2 ▽2 w(x, y) = 0
ê
(1)
îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ïðîãèáà òî÷åê ñðåäèííîé ïëîñêîñòè ïëèòû.
Äàííîå óðàâíåíèå äîëæíî áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíî ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé íà êîíòóðå êâàäðàòíîãî îòâåðñòèÿ. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò
âèä:
ïðè æ¼ñòêîé çàäåëêå
dw
= 0;
(2)
dn
ïðè ñâîáîäíîì îò äåéñòâèÿ èçãèáàþùèõ íàãðóçîê êðàå îòâåðñòèÿ
w = 0,
Mn = 0, Nn +
∂Hnt
= 0.
∂S
(3)
Çäåñü Mn èçãèáàþùèé ìîìåíò, äåéñòâóþùèé íà ïëîùàäêå ñ íîðìàëüþ
nt
n (n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê êîíòóðó îòâåðñòèÿ), Nn + ∂H
∂S îáîáùåííàÿ
ïåðåðåçûâàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òîé æå ïëîùàäêå[2]. Ââåäÿ
íàðÿäó ñ âåùåñòâåííûìè íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè x è y äâå
íåçàâèñèìûå êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå:
z = x + iy, z̄ = x − iy,
(4)
ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ïðîãèáà â ñëåäóþùåì âèäå [3]:
1
w(z, z̄) = Re[z̄ϕ(z) + χ(z)] = [z̄ϕ(z) + χ(z) + zϕ(z) + χ(z)],
2
156
(5)
ãäå ϕ(z) è χ(z) åñòü àíàëèòè÷åñêèå â îáëàñòè ïëèòû ôóíêöèè
êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ, ψ(z) = χ′(z).
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè æåñòêîé çàäåëêå è ñâîáîäíîì çàãðóæåíèè
ìîæíî îáúåäèíèòü, ïðåäñòàâèâ èõ â îáùåì âèäå (ñì. [3]):
k1 ϕ(t) + k2 [tϕ′ (t) + ψ(z)] = 0,
ãäå
(
(
k1 = 3+v
1−v
k2 = −1
(6)
â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî çàãðóæåíèÿ êðàÿ ïëèòû è
â ñëó÷àå æåñòêîé çàäåëêè.
Çàäà÷ó ðåøàåì ìåòîäîì íàëîæåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè
ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ýòîò ìåòîä ñîñòîèò â
ïðåäñòàâëåíèè ôóíêöèé ϕ(z) è ψ(z) â ñëåäóþùåì âèäå (ñì. [3]):
k1 = 1
k2 = 1
ϕ(z) = ϕ0 (z) + ϕ1 (z), ψ(z) = ψ0 (z) + ψ1 (z),
(7)
ãäå ϕ0(z) è ψ0(z) õàðàêòåðèçóþò ÍÄÑ ñïëîøíîé ïëàñòèíêè, à ϕ1(z) è
ψ1 (z) âëèÿíèå îòâåðñòèÿ íà ÍÄÑ ïëèòû.
Ñíà÷àëà ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ϕ0(z) è ψ0(z), çàòåì,
ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6) ñ ó÷åòîì (7),
ïîëó÷àåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ϕ1(z) è ψ1(z). Òàê êàê îòâåðñòèå èìååò
êâàäðàòíóþ ôîðìó, òî ââåäåì îòîáðàæàþùóþ ôóíêöèþ âèäà (ñì. [3]):
z = ω(ξ) = R(ξ +
m
),
ξ3
(8)
êîòîðàÿ îòîáðàæàåò âíåøíîñòü åäèíè÷íîãî êðóãà γ â ïëîñêîñòè ξ íà
âíåøíîñòü êâàäðàòà â ïëîñêîñòè z. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âèäà ôóíêöèé ϕ1(z)
è ψ1(z) áóäåì èñïîëüçîâàòü èíòåãðàëû òèïà Êîøè. Óìíîæàÿ ñíà÷àëà
ãðàíè÷íîå óñëîâèå, à ïîòîì ñîïðÿæåííîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ÿäðî
dσ
Êîøè 2Πi1 σ−z
(|ξ| > 1) è èíòåãðèðóÿ ïî êîíòóðó åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè γ ,
ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ϕ1(z) è ψ1(z).  èòîãå ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûå
âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ϕ(z) è ψ(z) :
ϕ(z) = −
ψ(z) =
−(−
1
ξ
B1 R 1
M1 + M2
A1 Rm
+
z+ 3
,
4D(1 + v)
ξ k1
k1 − k2 m ξ
1 A1 R B1 Rm
M2 − M1
z+ (
+
)−
2D(1 − v)
k2 ξ
ξ3
+ mξ 3
1−
(9)
3m
ξ4
(3
B1 R 1
A1 Rm
−
) + a1 mξ),
ξ 4 k1
k1 − k2 m ξ 2
157
(10)
ãäå
A1 =
M1 − M2
M1 + M2
(k1 + k2 ), B1 =
k2 .
4D(1 + v)
2D(1 − v)
(11)
×èñëåííûå ðàñ÷åòû ÍÄÑ ïðÿìîóãîëüíîé èçîòðîïíîé ïëàñòèíêè,
îñëàáëåííîé îäíèì êâàäðàòíûì îòâåðñòèåì, áûëè ïðîâåäåíû äëÿ äâóõ
ñëó÷àåâ:
1) êðàé îòâåðñòèÿ ñâîáîäåí îò äåéñòâèÿ èçãèáàþùèõ íàãðóçîê;
2) êðàé îòâåðñòèÿ æåñòêî çàùåìëåí (òàáëèöà).
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
135◦
150◦
180◦
Îáùèé ñëó÷àé
2,425
3,117
4,083
3,192
2,491
4,083
3,117
2,425
×èñòûé èçãèá
1,639
2,103
2,722
2,103
1,639
2,722
2,103
1,639
0,853
1,089
1,361
1,014
0,786
1,361
1,089
0,853
Îáùèé ñëó÷àé
1,465
3,192
5,310
2,877
1,190
5,310
3,192
1,465
×èñòûé èçãèá
0,885
2,023
3,540
2,023
0,885
3,540
2,023
0,885
Îäíîñòîðîííèé èçãèá
0,305
0,854
1,770
1,169
0,580
1,770
0,854
0,305
Ñâîáîäíîå
çàêðåïëåíèå
(MΘ )
Îäíîñòîðîííèé èçãèá
Æåñòêàÿ çàäåëêà
(Mr )
Ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ïåðâîé è âòîðîé çàäà÷àõ,
ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
1) ñâîáîäíîå çàêðåïëåíèå ñíèæàåò êîíöåíòðàöèþ íàïðÿæåíèé âî âñåõ
ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ;
2) æåñòêîå çàêðåïëåíèå óâåëè÷èâàåò êîíöåíòðàöèþ íàïðÿæåíèé,
ðàçíèöà ìåæäó ìàêñèìàëüíûì è ìèíèìàëüíûì çíà÷åíèÿìè íàïðÿæåíèé
çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì ïðè ñâîáîäíîì çàêðåïëåíèè;
3) âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ è ïðè îáîèõ ñïîñîáàõ çàêðåïëåíèÿ
ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èçãèáàþùåãî ìîìåíòà äîñòèãàåòñÿ â óãëîâûõ
òî÷êàõ êâàäðàòà.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Ñàâèí Ã.Í. Êîíöåíòðàöèÿ íàïðÿæåíèé îêîëî îòâåðñòèé. Ì.: Ãîñ. èçä-âî òåõí.òåîð. ëèò., 1951.
2. Ëåõíèöêèé Ñ.Ã. Àíèçîòðîïíûå ïëàñòèíêè. Ì.: Ãîñ. èçä-âî òåõí.-òåîð. ëèò.,
1957.
3.
Ìóñõåëèøâèëè
Í.È.
Íåêîòîðûå
îñíîâíûå
óïðóãîñòè. Ì.: Íàóêà, 1966.
158
çàäà÷è
ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè