Государственный университет - Высшая школа экономики Факультет Прикладная Математика и Кибернетика

Министерство экономического
развития и торговли РФ
Государственный университет Высшая школа экономики
Факультет Прикладная Математика и Кибернетика
Кафедра Прикладная Математика
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
На тему
____________Ионизация низкоразмерных систем в сильном внешнем поле.________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Студент группы М-94
Раевский Дмитрий
Николаевич
(Ф.И.О.)
Научный руководитель
Профессор, д. ф.-м. н.,
Эминов Павел Алексеевич
(должность, звание, Ф.И.О.)
Консультант
Профессор, к. ф.-м. н.,
Сезонов Юрий
Иванович
(должность, звание, Ф.И.О.)
Москва 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
§1.Введение…………………………………………………………………….3
§2.Ионизация двумерной квантовой точки полем линейно-поляризованной
волны…………………………………………………………………………..12
§3.Вычисление импульсного распределения и вероятности процесса
ионизации двумерной и трехмерной квантовой ямы суперпозицией
постоянного и переменного электрических полей………………………….27
§4.Вычисление скорости ионизации атома водорода с учетом кулоновского
взаимодействия
электрона
с
атомным
остовом
в
туннельном
режиме………………………………………………………………………...39
§5.Заключение………………………………………………………….……..50
Список использованной литературы………………………………………...52
2
1. Введение.
В последние годы актуально исследование квантовых эффектов в
низкоразмерных наноструктурах. Переход к системам пониженной
размерности приводит к новым физическим результатам, которые
отличаются как качественно, так и количественно от аналогичных
эффектов в трехмерном случае. В связи с этим возрастает потребность
детального количественного описания свойств низкоразмерных систем во
внешних электромагнитных полях.
Развитие нанотехнологий и успехи в создании мощных источников
когерентного излучения стимулируют теоретические и экспериментальные
исследования
процесса
ионизации
наноструктур
в
интенсивных
электромагнитных полях [1,2].
Методы теоретического описания явления нелинейной ионизации
связанной системы в поле интенсивной электромагнитной волны были
предложены в работах [1-4]. На основе этих методов, а также подходов,
развитых в [5-7], и в монографиях [8,9], проведены многочисленные
теоретические
исследования
фотоионизации
атомов,
ионов
и
полупроводников под действием как сильного лазерного излучения, так и в
электромагнитных полях сложной конфигурации (см., например, [1,2,5, 1214] и цитированную в этих работах литературу).
3
В работе [1] впервые было
показано, что туннельный эффект и
многофотонная ионизация в переменном электрическом поле 𝐹(𝑡) =
𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) являются двумя предельными случаями процесса нелинейной
фотоионизации, характер которой зависит от параметра Келдыша. Этот
параметр равен отношению частоты волны 𝜔 к частоте туннелирования
электрона 𝜔𝑡 :
𝛾=
𝜔 𝜔√2𝑚𝜔0
1
=
=
𝜔𝑡
𝑒𝐹
2𝐾0 ℇ
где 𝜔0 = 𝜅 2 𝑚𝑒 4 /2ℏ2 - энергия связи электрона, 𝐹 - амплитуда
напряженности электрического поля, ℇ = 𝐹/𝜅 3 𝐹𝑎 - приведенное поле, 𝐾0 =
𝜔0 /𝜔ℏ
-
параметр
многоквантовости
процесса,
определяющий
минимальное число фотонов, необходимых для ионизации,
𝐹𝑎 = 𝑚2 𝑒 5 /ℏ4 = 5,14 × 109 В ∙ см−1 – атомная единица напряженности
электрического поля
Далее будем использовать атомную систему единиц, в которой 𝑐 =
𝑚 = 𝑒 = ℏ = 1. В этой системе единиц 𝜅 = √𝜔0 /𝜔𝐻 - характерный
импульс связанного состояния, ℇ, 𝐾0 , а также параметр Келдыша 𝛾 безразмерные величины, 𝜔𝐻 = 𝑚𝑒 4 /2ℏ2 = 2,18 × 10−18 Дж = 13,6 эВ –
энергия связи атома водорода в основном состоянии. В теории Келдыша
предполагается выполнение условий 𝐾0 ≫ 1 и ℇ ≪ 1. Эти условия
являются
необходимыми
для
применимости
приближения.
4
квазиклассического
В работе [1] впервые было получено выражение для вероятности
ионизации атома, которое при низких частотах, когда 𝛾 ≪ 1 , переходит в
обычную формулу для туннельного эффекта, а при 𝛾 ≫ 1 описывает
многофотонное поглощение. Заметим, что при ионизации атомов и ионов
полем интенсивного инфракрасного или оптического лазера параметр
Келдыша принимает значения 𝛾 ≲ 1.
В методе Келдыша влиянием кулоновского поля ядра на процесс
ионизации пренебрегается, а конечное состояние электрона в амплитуде
вероятности перехода из исходного связанного состояния задается точным
решением уравнения Шредингера в поле электромагнитной волны.
Полученная Келдышем формула для вероятности ионизации атома в
переменном электрическом поле[1] правильно передает основные черты
явления: экспоненциальную зависимость вероятности ионизации от
амплитуды поля и пороговые особенности при частотах, отвечающих
поглощению 𝑛 квантов. Однако, при переходе к постоянному полю
(𝜔 → 0)полученное в [1] выражение не совпадало с известной формулой
[2] для скорости ионизации атома водорода в постоянном поле.
Для получения правильного предэкспоненциального множителя, как
отмечалось уже в самой работе [1], нужно знать волновую функцию
конечного состояния электрона, учитывающую также взаимодействие
фотоэлектрона с атомным остатком. Здесь следует отметить, что эта задача
не потеряла свою актуальность до настоящего времени [14].
5
Вскоре после появления работы [1] в статье [3] была исследована
простая одномерная модель ионизации связанного уровня в
потенциале
нулевого радиуса действия, допускающая асимптотически точное (при
𝐹 → 0) решение при любых частотах внешнего поля. Было показано, что
формула для вероятности ионизации содержит ту же экспоненту, что и
трехмерном случае. Также
были получены формулы для вероятности
ионизации связанной короткодействующими силами системы в случае
линейной
и
(𝐹(𝑡) = 𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))
+𝑒𝑦 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡))
поляризации
циркулярной
падающей
(𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) +
электромагнитной
волны
в
трехмерном случае.
Методы, предложенные в работах [1-5] были использованы при
исследовании процесса ионизации одномерной квантовой ямы сильными
внешними полями в полупроводниковых гетероструктурах (см.[9] стр. 86).
Однако,
как
отмечалось
выше,
для
получения
правильного
предэкспоненциального множителя, в случае ионизации реального
нейтрального атома, необходимо учесть кулоновское взаимодействие 𝑉𝑐 =
−𝑍/𝑟 (𝑍–заряд атомного остатка), существенно искажающее волновую
функцию электрона на больших расстояниях. Кулоновские поправки на
несколько порядков увеличивают скорость ионизации. В работе [10] была
получена кулоновская поправка к скорости ионизации атома в случае
линейной поляризации электромагнитной волны (электрическое поле
𝐹(𝑡) = 𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) направлено по оси ОХ). Было показано, что учет
6
кулоновского
взаимодействия
фотоэлектрона
с
атомным
остатком
приводит к появлению дополнительного члена в предэкспоненциальном
множителе
2𝐹0 2𝜆
𝑄=(
) ,
𝐹
где 𝐹0 = 𝜅 3 – характерная величина размерности поля для связанной
системы, 𝜆 = 𝑍/𝜅–эффективное главное квантовое число.
В
работе
[11]
исследован
процесс
ионизации
связанной
короткодействующими силами системы суперпозицией постоянного
электрического и постоянного магнитного полей.
Для монохроматической
электромагнитной
волны
с линейной
поляризацией импульсное распределение вероятности ионизации имеет
следующий вид[12]:
𝑝‖ 2
𝑝⊥ 2 𝑑 3 𝑝
𝑑𝑤(𝑝) = 𝑃𝑒𝑥𝑝 {−2𝐾0 [𝑓(𝛾) + 𝑐1 (𝛾) ( ) + 𝑐1 (𝛾) ( ) ]}
,
(2𝜋)3
𝜅
𝜅
где 𝑃–предэкспоненциальный множитель, а 𝑝‖ (𝑝⊥ ) – проекция импульса
фотоэлектрона
на
направление,
параллельное
(перпендикулярное)
напряженности электрического поля волны, 𝑓(𝛾) – функция Келдыша,
впервые полученная в работе [1]:
𝑓(𝛾) = (1 +
1
√1 +
arcsinh(𝛾)
−
)
2𝛾 2
2𝛾
7
𝛾2
2
1
𝛾 − 𝛾 3 , 𝛾 ≪ 1,
15
= {3
1
ln(2𝛾) − , 𝛾 ≫ 1.
2
рис.1
На рисунке 1 изображена зависимость функции Келдыша от
параметра адиабатичности.
Коэффициенты импульсного распределения фотоэлектронов равны:
𝑐1 (𝛾) = arcsinh(𝛾) −
𝛾
√1 + 𝛾 2
,
𝑐2 (𝛾) = arcsinh(𝛾).
В работе [13] вычислена кулоновская поправка к функционалу
действия и к скорости многофотонной ионизации атома в интенсивном
линейно поляризованном электромагнитном поле при больших значениях
параметра адиабатичности 𝛾.
Задача
об
ионизации
атома
в
низкочастотном
линейно
поляризованном электромагнитном поле, когда взаимодействие между
электроном и атомным остатком в конечном состоянии непрерывного
спектра нельзя рассматривать по теории возмущений, обсуждается в
работе [14].
8
Исследования процессов нелинейной ионизации атомов, ионов и
наноструктур актуально в связи с созданием мощных источников
когерентного излучения ультрафиолетового и рентгеновского диапазона
длин волн. Такие источники имеют в своей основе лазер на свободных
электронах
(ЛСЭ)
–
прибор,
преобразующий
энергию
ультрарелятивистских электронов, энергия которых во много раз
превышает их энергию покоя 0,511 МэВ = 0,8 × 10−13 ДЖ, в энергию
электромагнитного излучения. Они позволяют получать излучение на
любой длине волны в диапазоне от 0.1 нм до 1 мм.
Уникальная установка такого типа FLASH (Free electron LASer in
Hamburg)была построена и работает в лаборатории DESY(Гамбург,
Германия) [15].В 2002 г. Установка FLASH генерировала импульсы
электромагнитного излучения шириной около 100 нм, длительностью
порядка 100 фс и интенсивностью около 1011 − 1013 Вт/см2 . В 2008г. в
той
же
лаборатории
DESY
Технического
института
им.
проводились
эксперименты,
совместно
с
А.Ф.Иоффе
в
ходе
сотрудниками
Физико-
(Санкт-Петербург)
которых
был
[16]
изучен
фотоэлектрический эффект в коротковолновой части ультрафиолетового
диапазона (длина волны около 13,3 нм) при большой интенсивности
излучения. При этом достигалась рекордная для ультрафиолетового
диапазона интенсивность - 1016 Вт/см2 . Была исследована зависимость
скорости ионизации от мощности излучения, и наблюдавшаяся в
9
эксперименте степень ионизации оказалось неожиданно высокой – под
действием света из атома ксенона вырвалось до 21 электрона, то есть более
трети всех у него имеющихся.
В настоящее время строится Европейский рентгеновский лазер на
свободных электронах (EuropeanX-rayFEL) –международный проект по
строительству самого крупного в мире лазера на свободных электронах
при участии 12 стран при руководстве России и Германии. Он будет
расположен в Германии между землями Гамбург и Шлезвиг-Гольштейн.
Он будет значительно превосходить по своим техническим параметрам
аналогичные лазеры в США и Японии.
Целью выпускной квалификационной работы является теоретическое
исследование
процесса
ионизации
двумерной
квантовой
точки
и
водородоподобного атома в интенсивных внешних полях, когда нельзя
пользоваться
теорией
возмущений
и
требуется
точный
учет
взаимодействия электронной системы с внешним полем.
Удерживающий потенциал двумерной квантовой точки будем
моделировать потенциальной ямой вида [17]
−𝑈 , 𝜌 < 𝑎,
𝑈(𝜌) = { 0
0, 𝜌 > 𝑎,
(1)
где 𝑎 - радиус квантовой точки. В зависимости от вида латерального
удерживающего
потенциала
характерный
размер
квантовой
точки
меняется от десятков до нескольких сотен нанометров, а число электронов
в квантовой точке может контролируемо меняться от единиц до
10
нескольких сотен. Отметим, что другой термин, предлагаемый в
литературе для рассматриваемого в работе двумерного объекта –
двумерная квантовая яма.
Во 2 параграфе исследован процесс ионизации двумерной квантовой
точки полем линейно-поляризованной волны. В 3 параграфе методом
мнимого
времени
(ММВ)
вероятности ионизации
получено
импульсное
распределение
связанной системы в интенсивном поле
образованном суперпозицией постоянного и переменного электрических
полей. В 4 параграфе вычислена вероятность туннельной ионизации
водородоподобного атома суперпозицией постоянного и переменного
электрических
полей
с
учетом
фотоэлектрона с атомным остатком.
11
кулоновского
взаимодействия
2. Ионизация двумерной квантовой точки полем линейнополяризованной волны.
В настоящем параграфе исследован процесс ионизации двумерной
квантовой точки в поле плоской линейно-поляризованной волны.
Расчет
вероятности
ионизации
будет
проводиться
на
основе
квантово-механических методов, изложенных в работе [3,4].
Пусть
линейно-поляризованная
электромагнитная
волна
распространяется в направлении оси OZ, т.е. перпендикулярно к плоскости
квантовой точки, а длина волны много больше радиуса ямы. Тогда
электрическое поле можно считать однородным и направленным вдоль оси
OX:
𝐹(𝑡) = (𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡), 0),
где 𝐹 – амплитуда напряженности, 𝜔- частота волны.
Энергию связи электрона в двумерной квантовой точке обозначим
через 𝜔0 = 𝜅 2 /2, а действием магнитного поля волны на нерелятивистский
электрон будем пренебрегать.
Если напряженность электрического поля волны удовлетворяет
условию
𝐹𝑎 ≪ 𝜅 2 < 2𝑈0
(2)
то в первом приближении можно пренебречь влиянием поля волны на
движение электрона в потенциальной яме (𝐹 ≪ 𝑈0 /𝑎).
Рассмотрим нестационарное уравнение Шредингера в двумерной
потенциальной яме (1) в присутствии переменного электрического поля
𝑖
𝜕𝜓(𝜌⃗, 𝑡)
̂0 − 𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)) 𝜓(𝜌⃗, 𝑡);
= (𝐻
𝜕𝑡
̂0 - гамильтониан электрона в свободном случае:
здесь 𝐻
1
̂0 = − ∆2 + 𝑈0 (𝜌),
𝐻
2
где ∆2 – двумерный оператор Лапласа:
12
(3)
𝜕2
𝜕2
∆2 = 2 + 2 .
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Пусть в начальный момент времени электрон находился в основном
состоянии с энергией 𝐸0 = −𝜔0 = −𝜅 2 /2. Нестационарное уравнение
Шредингера в двумерной потенциальной яме (1) имеет следующий вид:
𝜕𝜓0 (𝜌⃗, 𝑡)
̂0 𝜓0 (𝜌⃗, 𝑡).
=𝐻
𝜕𝑡
Решение этого уравнения представляется в виде:
𝑖
𝜓0 (𝜌⃗, 𝑡) = 𝑒
𝑖𝜅2 𝑡
2
(4)
𝜑0 (𝜌⃗),
̂0 с
где 𝜑0 (𝜌⃗) является собственной функцией гамильтониана 𝐻
собственным значением 𝐸0 . Волновая функция стационарного состояния
определяется формулой
𝐴𝐽 (𝜆𝜌), 𝜌 < 𝑎,
𝜑0 (𝜌) = { 0
𝐵𝐾0 (𝜅𝜌), 𝜌 > 𝑎,
(5)
где 𝐽0 (𝑥) и 𝐾0 (𝑥)- функции Бесселя и Макдональда нулевого порядка
и приняты обозначения
𝜅 = √2|𝐸0 |,
𝜆 = √2(𝑈0 − |𝐸0 |).
Из условия непрерывностив точке 𝜌 = 𝑎 следует, что 𝐴𝐽0 (𝜆𝜌) =
= 𝐵𝐾0 (𝜅𝜌), откуда 𝐴 = 𝐵𝐾0 (𝜅𝜌)/𝐽0 (𝜆𝜌). Из условия нормировки находим
постоянную 𝐵:
𝐵=
𝜆
√2𝜋𝑈0 𝑎𝐾1 (𝜅𝑎)
.
(6)
Условия непрерывности волновой функции и ее производной в точке
𝜌 = 𝑎 приводят к уравнению
𝜆𝐽0′ (𝜆𝑎) 𝜅𝐾0′ (𝜅𝑎)
=
,
𝐽0 (𝜆𝑎)
𝐾0 (𝜅𝑎)
решение которого определяет энергию 𝐸0 (−𝑈0 < 𝐸0 < 0) основного
состояния электрона.
Окончательно получаем:
13
𝜓0 (𝜌⃗, 𝑡) = 𝑒
𝑖𝜅2 𝑡
2
1
2
𝑈0 − |𝐸0 |
1
(
)
{
𝑈0
√𝜋𝑎𝐾1 (𝜅𝑎)
𝐾0 (𝜅𝑎)𝐽0 (𝜆𝜌)
, 𝜌 < 𝑎,
𝐽0 (𝜆𝑎)
𝐾0 (𝜅𝜌), 𝜌 > 𝑎,
Временная функция Грина определяется, как решение неоднородного
дифференциального уравнения в виде
[𝑖
𝜕
− 𝐿̂(𝜌⃗)] 𝑔(𝜌⃗, 𝑡; 𝜌⃗′ , 𝑡) = 𝛿(𝜌⃗ − 𝜌⃗′ )𝛿(𝑡 − 𝑡 ′ ),
𝜕𝑡
где 𝐿̂(𝜌⃗) - эрмитов линейный дифференциальный оператор в
координатном представлении. Свертка с функцией Грина дает решение
неоднородного дифференциального уравнения: если 𝑔 - функция Грина
оператора 𝐿̂, тогда решение уравнения 𝐿̂𝑓 = ℎ задается так:
𝑓(𝑥) = ∫ ℎ(𝑠)𝑔(𝑥, 𝑠)𝑑𝑠.
Таким
образом,
функция
Грина
нестационарного
уравнения
Шредингера в области 𝜌 > 𝑎 является решением следующего уравнения:
𝜕 1 𝜕2
𝜕2
(𝑖 + ( 2 + 2 ) + 𝑥𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)) 𝐺(𝜌⃗, 𝑡; 𝜌⃗′ , 𝑡) = 𝛿(𝜌⃗ − 𝜌⃗′ )𝛿(𝑡 − 𝑡 ′ ).
𝜕𝑡 2 𝜕𝑥
𝜕𝑦
Для квазистационарного режима уравнение (3) приводится к
интегральному уравнению:
𝑡
𝜓(𝜌⃗, 𝑡) = −𝑖 ∫ 𝑑𝑡′ ∫ 𝑑𝜌⃗′ 𝐺(𝜌⃗, 𝑡; 𝜌⃗′ , 𝑡)𝑈0 (𝜌′) 𝜓(𝜌⃗′, 𝑡′).
(7)
−∞
Функция
Грина
𝐺(𝜌⃗, 𝑡; 𝜌⃗′ , 𝑡)
отвечает
движению
частицы
в
однородном поле, зависящем от времени, и легко находится переходом к
импульсному представлению:
𝑡
𝜃(𝑡 − 𝑡 ′ )
𝑖
′
′
𝐺(𝜌⃗, 𝑡; 𝜌⃗ , 𝑡) =
∫
𝑑𝑝
𝑑𝑝
exp
⃗
⃗(𝑡)𝜌
⃗
−
𝑖𝜋
⃗
⃗(𝑡′)𝜌
⃗
−
∫𝜋
⃗⃗ 2 (𝜏)𝑑𝜏}.
{𝑖𝜋
𝑥
𝑦
(2𝜋)2
2
𝑡′
Здесь 𝜃(𝑡) - функция Хевисайда,
14
𝑡
𝜋
⃗⃗(𝑡) = 𝑝⃗ − 𝐴⃗(𝑡),
𝐴⃗(𝑡) = − ∫ 𝐹(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ ,
𝑡0
𝜋
⃗⃗(𝑡) - обобщенный импульс для движения в однородном электрическом
поле,
𝐴⃗(𝑡)
-
векторный
потенциал
электрического
поля.
В
рассматриваемом случае переменного электрического поля, направленного
по оси ОХ, имеем:
𝐴⃗(𝑡) = (−
𝐹𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
, 0),
𝜔
𝜋
⃗⃗(𝑡) = (𝑝𝑥 +
𝐹𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
, 𝑝𝑦 ) .
𝜔
(8)
Величина
𝑡
𝜉(𝑡) = − ∫ 𝐴(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ ,
𝑡0
является классической траекторией частицы в поле 𝐹(𝑡).
Уравнение (7) является точным интегральным уравнением для
волновой
функции
𝜓(𝜌⃗, 𝑡).
Для
наших
целей
достаточно
найти
приближенное решение.При выполнении условия (2) отличие точной
волновой функции 𝜓(𝜌⃗′, 𝑡′) от функции 𝜓0 (𝜌⃗′, 𝑡′) пренебрежимо мало в
области 𝜌′ < 𝑎, а при 𝜌′ > 𝑎 (𝑎- радиус квантовой точки) функция 𝑈0 (𝜌′)
равна нулю. Тогда в формуле (7) функцию 𝜓(𝜌⃗′, 𝑡′) можно в первом
приближении заменить на волновую функцию 𝜓0 (𝜌⃗′, 𝑡′) связанного
состояния электрона в квантовой точке для свободного случая.
Используя стационарное уравнение Шредингера без учета влияния
внешнего поля, выделим произведение 𝑈0 (𝜌′)𝜓(𝜌⃗′, 𝑡′):
1
𝑈0 𝜓0 = (∆2 − 𝜅 2 )𝜑0 .
2
Подставив полученное выражение в уравнение (7), получаем:
𝑡
2 ′
+∞
𝑖𝜅 𝑡
𝑖
′𝑒 2
𝜓(𝜌⃗, 𝑡) = −
∫ 𝑑𝑡
∬ 𝑑𝑝⃗𝑑𝜌⃗ exp {𝑖𝜋
⃗⃗(𝑡)𝜌⃗ − 𝑖𝜋
⃗⃗(𝑡 ′ )𝜌⃗′ −
(2𝜋)2
−∞
−∞
15
𝑡
𝑡
2 ′
+∞
𝑖𝜅 𝑡
(𝑝̂ 2 − 𝜅 2 )
𝑖
𝑖
2 (𝜏)𝑑𝜏
′𝑒 2
(𝜌
− ∫𝜋
⃗⃗
𝜑0 ⃗′) = −
∫ 𝑑𝑡
∬ 𝑑𝑝⃗𝑑𝜌⃗ ×
}
2
2
2(2𝜋)2
𝑡′
−∞
−∞
𝑡
(−𝜋̂ 2 − 𝜅 2 )
𝑖
′ ′
2 (𝜏)𝑑𝜏
× exp {𝑖𝜋
⃗⃗(𝑡)𝜌⃗ − ∫ 𝜋
⃗⃗
𝜑0 (𝜌⃗′)𝑒 −𝑖𝜋⃗⃗(𝑡 )𝜌⃗⃗ .
}
2
2
(9)
𝑡′
Переходя далее к импульсному представлению волновой функции
𝜑0 (𝜌⃗′), получаем:
𝑡
+∞
2 ′
𝑡
𝑖𝜅 𝑡
𝑖
𝑖
′𝑒 2
𝜓(𝜌⃗, 𝑡) =
∫
𝑑𝑡
∬
𝑑𝑝
⃗𝑑𝑟
⃗exp
⃗
⃗(𝑡)𝜌
⃗
−
∫𝜋
⃗⃗ 2 (𝜏)𝑑𝜏} 𝑔0 (𝜋
⃗⃗(𝑡′)).
{𝑖𝜋
2
(2𝜋)
2
−∞
𝑡′
−∞
Здесь
+∞
(𝜋(𝑡)2 + 𝜅 2 )
′ ′
𝑔0 (𝜋
⃗⃗(𝑡′)) =
𝜑0 (𝜋
⃗⃗(𝑡′)), 𝜑0 (𝜋
⃗⃗(𝑡)) = ∫ 𝜑0 (𝜌⃗′)𝑒 −𝑖𝜋⃗⃗(𝑡 )𝜌⃗⃗ .
2
−∞
Зная
явный
вид
волновой
функции
𝜑0
в
координатном
представлении, вычислим
+∞
𝜑0 (𝜋
⃗⃗(𝑡)) = ∫ 𝜑0 (𝜌⃗′)𝑒 −𝑖𝜋⃗⃗(𝑡
′ )𝜌
⃗⃗′
.
−∞
Для вычисления этого интеграла, перейдем к полярным координатам
(𝜌, 𝜑). Чтобы не спутать обобщенный импульс 𝜋
⃗⃗(𝑡) от константы 𝜋, будем
обозначать первый как 𝜋
⃗⃗об
𝑎
2𝜋
𝐾0 (𝜅𝑎)𝐽0 (𝜆𝜌)
𝜑0 (𝜋
⃗⃗(𝑡)) = 𝐵 {∫
𝜌𝑑𝜌 ∫ 𝑒 −𝑖𝜋об𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑 +
𝐽0 (𝜆𝑎)
0
0
2𝜋
∞
𝑎
+ ∫ 𝐾0 (𝜅𝜌)𝜌𝑑𝜌 ∫ 𝑒 −𝑖𝜋об𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑} = 𝐵 ∫ 2𝜋
𝑎
0
0
𝑎
∞
+𝐵 ∫ 2𝜋𝐾0 (𝜅𝜌)𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌 = 2𝜋𝐵 ∫
𝑎
0
16
𝐾0 (𝜅𝑎)𝐽0 (𝜆𝜌)
𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌 +
𝐽0 (𝜆𝑎)
𝐾0 (𝜅𝑎)𝐽0 (𝜆𝜌)
𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌 +
𝐽0 (𝜆𝑎)
𝑎
∞
+2𝜋𝐵 ∫ 𝐾0 (𝜅𝜌)𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌 − 2𝜋𝐵 ∫ 𝐾0 (𝜅𝜌)𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌.
0
0
С учетом известных соотношений для цилиндрических функций
𝑎
∫ 𝐽0 (𝜆𝜌)𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌 =
0
𝑎
(𝜋 𝐽 (𝜋 𝑎)𝐽 (𝜆𝑎) − 𝜆𝐽1 (𝜆𝑎)𝐽0 (𝜋об 𝑎)),
2
𝜋об
− 𝜆2 об 1 об 0
𝑎
∫ 𝐾0 (𝜅𝜌)𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌 =
0
𝑎(𝜋об 𝐽1 (𝜋об 𝑎)𝐾0 (𝜅𝑎) − 𝜅𝐾1 (𝜅𝑎)𝐽0 (𝜋об 𝑎)) + 1
,
2
𝜋об
+ 𝜅2
∞
∫ 𝐾0 (𝜅𝜌)𝐽0 (𝜋об 𝜌)𝜌𝑑𝜌 =
0
1
,
2
𝜋об
+ 𝜅2
функция 𝑔0 (𝜋
⃗⃗(𝑡)) представляется в следующем виде:
2
𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡))
= 𝜋𝑎𝐵[𝜋об
+ 𝜅 2 ] {−
об
+
(𝜋об 𝐽1 (𝜋об 𝑎)𝐾0 (𝜅𝑎) − 𝜅𝐾1 (𝜅𝑎)𝐽0 (𝜋об 𝑎))
2
𝜋об
+ 𝜅2
(𝜋об 𝐽1 (𝜋об 𝑎)𝐽0 (𝜆𝑎) − 𝜆𝐽1 (𝜆𝑎)𝐽0 (𝜋об 𝑎)) 𝐾0 (𝜅𝑎)
}
2
𝐽0 (𝜆𝑎)
𝜋об
− 𝜆2
(10)
2
Здесь 𝜋об = √𝜋
⃗⃗об
, а величина 𝐵 определяется формулой (6).
Подставляя в формулу (9) выражения для векторного потенциала и
обобщенного импульса (8), получаем:
𝑡
𝑖𝜅2 𝑡′
𝑖
𝐹
′
′)
𝜓(𝜌⃗, 𝑡) =
∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑝⃗𝑒 2 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡
)𝑒𝑥𝑝 {𝑖 [𝑝⃗𝜌⃗ + 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) −
об
2
(2𝜋)
𝜔
−∞
1 2
𝐹𝑝𝑥 (cos(𝜔𝑡) − cos(𝜔𝑡 ′ ))
𝐹2
′
(𝑡 − 𝑡 ′ ) +
− 𝑝⃗ (𝑡 − 𝑡 ) +
−
2
𝜔2
4𝜔 2
𝐹2
+ 2 (sin(2𝜔𝑡) − sin(2𝜔𝑡′))]},
8𝜔
(11)
Уравнение (11) можно записать и в другом, более простом и удобном
виде. С учетом формулы (8), а также уравнения, определяющим
классическую траекторию частицы 𝜉(𝑡) в поле 𝐹(𝑡), получаем:
17
𝑡
𝑖𝜅2 𝑡′
𝑖
′
′)
𝜓(𝜌⃗, 𝑡) =
∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑝⃗𝑒 2 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡
) 𝑒𝑥𝑝{𝑖[𝑝⃗𝜌⃗ − 𝐴(𝑡)𝑥 +
об
2
(2𝜋)
−∞
𝑡
1
1
+ 𝑝⃗2 (𝑡′ − 𝑡) + 𝑝𝑥 (𝜉(𝑡 ′ ) − 𝜉(𝑡)) − ∫ 𝐴2 (𝜏)𝑑𝜏]}
2
2
(12)
𝑡′
′)
где функция 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡
) определяется из (10).
об
Для вычисления вероятности ионизации в единицу времени надо
вычислить полный поток частиц через бесконечно удаленные(𝑥 → ±∞)от
центра квантовой точки прямые, перпендикулярные оси ОХ [3], т. е.
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑤 = 2 lim 𝐽(𝑥,
𝑡).
(13)
𝑥→+∞
В (13) черта означает усреднение по периоду волны. Поток
(14)
𝐽𝑥 (𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑑𝑦𝑗𝑥 (𝑝⃗, 𝑡),
а плотность потока частиц
𝑖
𝜕𝜓 ∗
𝜕𝜓
𝑗𝑥 (𝑝⃗, 𝑡) = [𝜓
− 𝜓 ∗ ],
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(15)
где символ ∗ означает комплексное сопряжение. Подставляя (12) в (15)
получаем выражение для плотности потока электронов:
𝑡
+∞
𝑖𝜅
1
′
′
𝑗𝑥 (𝑝⃗, 𝑡) =
∫ 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 ∫ 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 𝑒
2(2𝜋)4
−∞
2 (𝑡′ −𝑡′ )
1 2
2
′
′
𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡
об 1 ))𝑔0 (𝜋
об 2 )) ×
−∞
× [𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑥 −2𝐴(𝑡)]𝑒𝑥𝑝{𝑖[(𝑝1𝑥 − 𝑝2𝑥 )(−𝜉(𝑡) + 𝑥) + 𝑦(𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦 ) +
1 2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
+ (𝑝2𝑥
+ 𝑝2𝑦
− 𝑝1𝑥
− 𝑝1𝑦
+ 𝑝1𝑦
+ 𝑝2𝑦
)𝑡 + 𝑡1′ (𝑝1𝑥
) − 𝑡2′ (𝑝2𝑥
)+
2
2
2
𝑡1′
+𝑝1𝑥 𝜉(𝑡1′ ) − 𝑝2𝑥 𝜉(𝑡2′ ) +
1
∫ 𝐴2 (𝜏)𝑑𝜏]}
2
𝑡2′
18
(16)
Обозначим через 𝑗𝑥′ (𝑝⃗, 𝑡) ту часть плотности потока, которая не
зависит от координаты 𝑦, то есть 𝑗𝑥 (𝑝⃗, 𝑡) = 𝑗𝑥′ (𝑝⃗, 𝑡)𝑒𝑥𝑝 {𝑖 (𝑦(𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦 ))}.
Подставив это в формулу (14), получим следующую формулу для потока:
+∞
𝐽𝑥 (𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑗𝑥′ (𝑝⃗, 𝑡)𝑒𝑥𝑝 {𝑖 (𝑦(𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦 ))} = 2𝜋𝑗𝑥′ (𝑝⃗, 𝑡)𝛿(𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦 ),
−∞
где 𝛿(𝑥) – дельта-функция Дирака.
Воспользовавшись далее формулой
𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
об (𝑡 ))𝑒𝑥 𝑝 {−𝑖
𝜔0 2𝑝𝑥
1
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 2 𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡)]} = ∑ 𝐹𝑛 (𝑝⃗)𝑒 −𝑖𝑛𝜔𝑡 ,
[
𝜔 𝜅𝛾
4𝛾
𝑛
Где 𝛾 = 𝜔𝜅/𝐹- параметр Келдыша, поток 𝐽𝑥 (𝑥, 𝑡) можно представить в
следующем виде:
+∞
1
𝐽𝑥 (𝑥, 𝑡) =
∫ 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 𝛿(𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦 ) ∑ 𝐹𝑛1 (𝑝⃗)𝐹𝑛∗2 (𝑝⃗) [𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑥 −
3
2(2𝜋)
𝑛1 ,𝑛2
−∞
1 2
2
−2𝐴(𝑡)]𝑒𝑥 𝑝(𝑖[(𝑝1𝑥 − 𝑝2𝑥 )(𝑥 − 𝜉(𝑡)) + 𝜔𝑡(𝑛2 − 𝑛1 )]) / [ (𝑝1𝑥
+ 𝑝1𝑦
+
2
1
1 2
1
2
+𝜅 2 (1 + 2 ) − 2𝑛1 𝜔 − 𝑖𝜀] [ (𝑝1𝑥
+ 𝑝1𝑦
+ 𝜅 2 (1 + 2 ) − 2𝑛2 𝜔 + 𝑖𝜀].
2𝛾
2
2𝛾
Подынтегральное выражение имеет полюса в точках 𝑝 = ±𝑝𝑛 , где
1
1 2
𝑝𝑛 = [2𝑛𝜔 − 𝜅 2 (1 + 2 )] .
2𝛾
Величина
𝜅2
1
𝜔0
1
𝜈=
(1 + 2 ) =
(1 + 2 ).
2𝜔
2𝛾
𝜔
2𝛾
определяет порог ионизации – минимальное число квантов, поглощение
которых необходимо для ионизации системы. При 𝑛 < 𝜈 полюс 𝑝 = 𝑝𝑛
лежит на мнимой оси, при 𝑛 ≥ 𝜈 он находится на вещественной оси.
Учитывая соотношение
1
1
1
−
𝑒 𝑖𝑥𝑝𝑥
2
2
2
lim 2
= {𝜋𝑖𝐾 𝑒𝑥 𝑝 {𝑖𝐾 𝑥} 𝛿 (𝑝 − 𝐾 ) , 𝐾 > 0,
𝑥→+∞ 𝑝 − 𝐾 − 𝑖𝜀
0, 𝐾 < 0
19
и устремляя 𝑥 → +∞, получаем следующее выражение:
+∞
1
lim 𝐽𝑥 (𝑥, 𝑡)
∫ 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 𝛿(𝑝1𝑦 − 𝑝2𝑦 ) [𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑥 ] ∑ 𝐹𝑛1 (𝑝⃗)𝐹𝑛∗2 (𝑝⃗) ×
𝑥→+∞
4𝜋
𝑛1 ,𝑛2
−∞
1
× (𝐾1 𝐾2 )−2 𝑒𝑥𝑝{𝑖𝜔𝑡(𝑛2 − 𝑛1 ) + 𝑖𝑥(√𝐾1 − √𝐾2 )}𝛿(𝑝1𝑥 − √𝐾1 ) ×
× 𝛿(𝑝2𝑥 − √𝐾2 ).
Проинтегрировав это выражение по 𝑑𝑝2𝑥 и по 𝑑𝑝2𝑦 с помощью дельтафункций, получим, что 𝑝1𝑦 = 𝑝2𝑦 , 𝐾1 = 𝐾2 и 𝑝2𝑥 = 𝐾2 = 𝑝1𝑥 . Также учтем,
что при суммировании недиагональные члены этой суммы (𝑛1 ≠ 𝑛2 ) при
𝑥 → +∞ быстро осциллируют и взаимно компенсируются; конечный вклад
возникает лишь при 𝑛1 = 𝑛2 . Усредняя по периоду поля и домножая
полученное выражение на два, находим, что вероятность ионизации имеет
вид суммы вероятностей многофотонных процессов:
∞
𝑤 = ∑ 𝑤𝑛 (𝐹, 𝜔),
(17)
𝑛≥𝜈
где 𝑤𝑛 (𝐹, 𝜔) есть парциальная вероятность ионизации при поглощении
𝑛квантов волны с частотой 𝜔:
𝑤𝑛 (𝐹, 𝜔) =
1
1
1
∫ 𝑑𝑝⃗ 𝛿 ( [𝑝⃗2 + 𝜅 2 (1 + 2 ) − 2𝑛𝜔]) |𝐹𝑛 (𝑝⃗)|2 .
2𝜋
2
2𝛾
(18)
При этом выполняется закон сохранения энергии
1 2
1
1
𝑝𝑛 = − 𝜅 2 (1 + 2 ) + 𝑛𝜔.
2
2
2𝛾
В
этом
выражениичлен
𝜅 2 /4𝛾 2 = 𝐴2 (𝑡)/2
равен
средней
кинетической энергии колебательного движения электрона в поле 𝐹(𝑡).
Для нахождения точной формулы для вероятности ионизации плоской
двумерной квантовой точки, остается вычислить интеграл в (18), а значит
надо найти 𝐹𝑛 (𝑝
⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗) являются коэффициентами ряда Фурье, то
𝑛 Так как 𝐹𝑛 (𝑝
эту функцию можно представить в виде однократного интеграла:
20
𝜋
1
𝜔0 2𝑝𝑥
1
𝐹𝑛 (𝑝⃗) =
∫ 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛼))𝑒𝑥
𝑝
𝑐𝑜𝑠(𝛼)
+
𝑠𝑖𝑛(2𝛼) − 𝑛𝛼]} 𝑑𝛼,
{−𝑖
[
об
2𝜋
𝜔 𝜅𝛾
4𝛾 2
−𝜋
где 𝛼 = 𝜔𝑡, а функция 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛼))
определяется формулой (10), а 𝑛 можно
об
выразить из уравнения для 𝑝 = 𝑝𝑛
𝑝2 + 𝜅 2 (1 +
𝑛=
1
2𝛾2
)
2𝜔
=
𝜔0 𝑝 2
1
(( ) + 1 + 2 ).
𝜔 𝜅
2𝛾
𝜋
Сделаем далее замену 𝛽 = − 𝛼 и перепишем формулу (8) для
2
обобщенного импульса в удобном виде:
𝜋
𝜋
⃗⃗(𝛽) = (𝑝𝑥 +
𝐹𝑠𝑖𝑛 ( − 𝛼)
2
𝜔
, 𝑝𝑦 ) = (𝑝𝑥 +
𝜅𝑐𝑜𝑠(𝛽)
, 𝑝𝑦 ).
𝛾
Преобразуем подынтегральное выражение:
𝜋
1
𝜔0 2𝑝𝑥
𝜋
𝐹𝑛 (𝑝⃗) =
∫ 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛼))𝑒𝑥
𝑝
𝑠𝑖𝑛
− 𝛽) + =
{−𝑖
[
(
об
2𝜋
𝜔 𝜅𝛾
2
−𝜋
𝜋
1
𝜋
𝑖𝑛
+ 2 𝑠𝑖𝑛(𝜋 − 2𝛽) − 𝑛 ( − 𝛽)]} 𝑑𝛽 =
∫ 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛼))
×
об
4𝛾
2
2𝜋
−𝜋
× 𝑒𝑥 𝑝 {−𝑖
𝜔0 2𝑝𝑥
1
𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 2 𝑠𝑖𝑛(2𝛽) + 𝑛𝛽]} 𝑑𝛽 =
[
𝜔 𝜅𝛾
4𝛾
𝜋
𝑖𝑛
𝜔0 2𝑝𝑥
1
=
∫ 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛼))𝑒𝑥
𝑝
𝑐𝑜𝑠(𝛽)
+
𝑠𝑖𝑛(2𝛽) +
{−𝑖
[
об
2𝜋
𝜔 𝜅𝛾
4𝛾 2
−𝜋
𝑝 2
1
+ (( ) + 1 + 2 ) 𝛽]} 𝑑𝛽 =
𝜅
2𝛾
𝛽
𝜋
𝑛
2
𝑖
𝜔0
𝜋
⃗⃗(𝛼)
=
∫ 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛼))𝑒𝑥
𝑝 {−𝑖
[∫ ([
] + 1) 𝑑𝛼 ]} 𝑑𝛽 .
об
2𝜋
𝜔
𝜅
−𝜋
0
В результате, имеем:
𝑛
𝛽
𝜋
2
𝑖
𝜋
⃗⃗(𝛼)
𝐹𝑛 (𝑝
⃗⃗⃗⃗⃗)
∫ 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛽))𝑒𝑥
𝑝 {−𝑖𝐾0 [∫ ([
] + 1) 𝑑𝛼 ]} 𝑑𝛽,
𝑛 =
об
2𝜋
𝜅
−𝜋
0
21
(19)
где 𝐾0 = 𝜔0 /𝜔 - параметр многоквантовости процесса ионизации.
В предельном случае 𝐾0 ≫ 1, когда для ионизации требуется
поглощение большого числа фотонов, интеграл (19) вычисляется методом
перевала.
Метод перевала используется при решении интегралов вида
𝐹(𝜆) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒𝑥𝑝{𝜆𝑆(𝑥)}𝑑𝑥 ,
𝛾
где 𝜆 - большой параметр, а 𝛾 - кривая в комплексной области (в общем
случае), 𝑓(𝑥) и 𝑆(𝑥) являются голоморфными на 𝛾.Если 𝛾 - конечный
контур,
то
в
первом
приближении
асимптотическое
решение
представляется в виде:
𝐹(𝜆) = √−
2𝜋
exp[𝜆𝑆(𝑥0 )][𝑓(𝑥0 ) + 𝑂(𝜆−1 )],
𝜆𝑆 ′′ (𝑥0 )
𝑆(𝑥) достигает своего максимума в единственной точке 𝑥0 , 𝑆 ′ (𝑥0 ) =
0, если 𝑥0 - простая перевальная точка, то есть 𝑆 ′′ (𝑥0 ) ≠ 0. Если
функция𝑆(𝑥)достигает максимума на данном контуре в нескольких точках,
то 𝐹(𝜆) определяется как сумма вкладов от всех перевальных точек.
В данном случае
𝛽
𝜆 = 𝐾0 , 𝑓(𝛽) = 𝑔0 (𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝛽)),
об
2
𝜋
⃗⃗(𝛼)
𝑆(𝛽) = −𝑖 [∫ ([
] + 1) 𝑑𝛼 ],
𝜅
0
тогда уравнение для перевальных точек принимает вид:
𝜋
2 (𝛽)
=
𝑝𝑦2
𝜅𝑐𝑜𝑠(𝛽) 2
+ (𝑝𝑥 +
) = −𝜅 2 .
𝛾
Подставим 𝜋(𝛽) = ±𝑖𝜅 в формулу (10):
1) 𝑔0 (𝑖𝜅) = 𝜋𝑎𝐵[(−𝑖𝜅𝐽1 (𝑖𝜅𝑎)𝐾0 (𝜅𝑎) + 𝜅𝐾1 (𝜅𝑎)𝐽0 (𝑖𝜅𝑎))] =
= 𝜋𝑎𝐵𝜅[𝐼1 (𝜅𝑎)𝐾0 (𝜅𝑎) + 𝐾1 (𝜅𝑎)𝐼0 (𝜅𝑎)] = 𝜋𝐵.
2) 𝑔0 (𝑖𝜅) = 𝜋𝑎𝐵[(𝑖𝜅𝐽1 (−𝑖𝜅𝑎)𝐾0 (𝜅𝑎) + 𝜅𝐾1 (𝜅𝑎)𝐽0 (−𝑖𝜅𝑎))] =
= 𝜋𝑎𝐵𝜅[𝐼1 (𝜅𝑎)𝐾0 (𝜅𝑎) + 𝐾1 (𝜅𝑎)𝐼0 (𝜅𝑎)] = 𝜋𝐵.
22
(20)
𝑔0 (±𝑖𝜅) = 𝜋𝐵,
(21)
где константа 𝐵 определяется формулой (6), а 𝐼0 (𝑥) и 𝐼1 (𝑥) – функции
Инфельда нулевого и первого порядков соответственно.
При интегрировании в (19) следует учитывать, что эффективные
значения 𝑝𝑥 и 𝑝𝑦 много меньше 𝜅. Поэтому все величины, входящие в
показатель экспоненты, нужно разложить в ряд Тейлора до 𝑝𝑥2 /𝜅 2 и
𝑝𝑦2 /𝜅 2 включительно.
Перепишем уравнение (20) в следующем виде:
𝑝𝑦2
𝜅𝑐𝑜𝑠(𝛽0 ) 2
+ (𝑝𝑥 +
) = −𝜅 2 ,
𝛾
(22)
где 𝛽0 - простая перевальная точка. Раскладывая функции, в которые
входят 𝑝𝑥 /𝜅 и 𝑝𝑦 /𝜅, до квадратичных членов найдем значения для 𝑐𝑜𝑠(𝛽0 ),
𝑠𝑖𝑛(𝛽0 ):
2𝑖𝛾 2 𝑝𝑥 𝛾 2 𝑝𝑥2 𝛾 2 𝑝𝑦2
𝑐𝑜 𝑠(𝛽0 ) = −𝛾 −
+ 2 − 2
𝜅
𝜅
𝜅
2
𝑠𝑖𝑛(𝛽0 ) = √1 + 𝛾 2 (1 +
𝛾 2 𝑝𝑦2
𝑖𝛾 2 𝑝𝑥
𝛾 2 𝑝𝑥2
−
+
)
𝜅(1 + 𝛾 2 ) 2𝜅 2 (1 + 𝛾 2 )2 2𝜅 2 (1 + 𝛾 2 )2
(23)
(24)
Подставим формулы (23) и (24) в интеграл (19). Следует отметить, что
экспоненциальный множитель при разных перевальных точках отличается
только знаком в мнимой части, реальная же часть совпадает. Учитывая это,
получаем:
|𝐹|2 =
𝑝𝑥 2
𝛾
𝑒𝑥𝑝 {−2𝐾0 [𝑓 (𝛾) + ( ) (𝐴𝑟𝑠ℎ(𝛾) −
)+
𝜅
2𝜋𝐾0 √𝛾 2 + 1
√𝛾 2 + 1
𝐶𝛾
𝑝𝑦 2
4𝑝𝑥 𝐾0 √𝛾 2 + 1
𝑛
+ ( ) 𝐴𝑟𝑠ℎ(𝛾)]} [1 + (−1) 𝑐𝑜𝑠 (
)],
𝜅
𝜅𝛾
где функция Келдыша [1]:
1
√𝛾 2 + 1
𝑓(𝛾) = (1 + 2 ) 𝐴𝑟𝑠ℎ(𝛾) −
2𝛾
2𝛾
23
(25)
и принято обозначение
𝐶 = (𝜋𝐵)2 .
Выражение (25) надо подставить в (18) и проинтегрировать,перейдя к
полярным координатам, при этом можно пренебречь вкладом от члена,
содержащего быстро осциллирующий множитель.
В итоге, для вероятности 𝑛–квантовой ионизации в поле линейнополяризованной волны нулевого уровня электрона в двумерной квантовой
точке с энергией связи 𝜔0 = 𝜅 2 /2 получаем формулу
𝑤𝑛 (𝐹, 𝑤) =
1
𝐶𝛾
(2𝜋)2 𝐾0 √𝛾 2 + 1
𝑒
−2𝐾0 𝑓(𝛾) −𝛼(𝑛−𝜈)
𝑒
∫
0
𝑑𝑡𝑒 −𝛽(𝑛−𝜈)𝑡
√𝑡 − 𝑡 2
,
(26)
где приняты обозначения
𝛼 = 2 (𝐴𝑟𝑠ℎ(𝛾) −
𝛾
√𝛾 2 + 1
),
𝛽=
2𝛾
√𝛾 2 + 1
.
Быстро растущая в показателе экспонента в формуле (26) величина
𝑓(𝛾) в поле линейно-поляризованной волны имеет такой же вид, как и в
трехмерном и одномерном случаях [2,9], и впервые она была получена в
работе [1].
В отличие как от одномерной модельной задачи об ионизации
связанного уровня в поле короткодействующих сил [2], так и от
аналогичной задачи в трехмерном случае [2,9], в рассматриваемом нами
двумерном
случае
формула
(26)
допускает
точное
проведение
суммирования по квантовому числу 𝑛, благодаря чему можно найти
вероятность ионизации в единицу времени:
∞
𝑤 = ∑ 𝑤𝑛 (𝐹, 𝜔) =
𝑛≥𝜈
𝐶𝛾𝑒 −2𝐾0𝑓(𝛾)
(2𝜋)2 𝐾0 √𝛾 2
1
∫
+ 1 0 √𝑡 −
𝑑𝑡
𝑡 2 (1 −
𝑒 −(𝛼+𝛽𝑡) )
(27)
Другой характерный только для двумерной задачи результат состоит
в том, для вероятности ионизации с поглощением 𝑛 фотонов в
квазиклассическом приближении, когда выполнены условия
24
𝐹 ≪ 𝐹0 = 𝜅 3 , 𝐾0 ≫ 1.
где 𝐹0 = 𝜅 3 - характерная величина размерности поля для связанной
системы, также удается получить точное аналитическое представление:
𝑤𝑛 (𝐹, 𝜔) =
𝐶𝛾𝑒 −2𝐾0𝑓(𝛾)
4𝜋𝐾0 √𝛾 2 + 1
𝑒
𝛽
2
−[𝛼+ ](𝑛−𝜈)
1
𝐼0 ( 𝛽(𝑛 − 𝜈))
2
(28)
Важным частным случаем рассматриваемой задачи является случай
адиабатического приближения, когда параметр 𝛾 ≪ 1. В этом случае для
вероятности процесса получаем следующую асимптотику:
𝑤 адиабат = (√3𝜋)
2
1
Сℇ𝑒 −3ℇ ,
4𝜋
(29)
где ℇ = 𝐹/𝜅 3 = 𝐹/𝐹0 –приведенное поле.
Зависимость
вероятности
процесса
от
параметра
ℇ
в
предэкспоненциальном множителе является линейной. Для сравнения,
соответствующие
расчеты
без
учета
кулоновских
поправок
дают
𝑤 адиабат ~ℇ1/2 в одномерном случае [1] и 𝑤 адиабат ~ℇ3/2 в трехмерном
случае для основного состояния электрона [1,3,12].
В другом предельном случае, когдапроцесс ионизации является
многофотонным и 𝛾 ≫ 1, вероятность ионизации задается формулой:
𝑤=
𝑙 𝑛(2𝛾)−1/2
1
−
ℇ𝛾
Сℇ𝑒
.
4𝜋
(30)
Сравнивая полученные выражения с полученными ранее результатами
для низкоразмерных наноструктурс короткодействующим удерживающим
потенциалом, хочется обратить внимание на то, что в адиабатическом
приближении в формуле для вероятности ионизациив постоянном
электрическом
зависимость
предэкспоненциального
множителя
от
параметра приведенного поля имеет (ℇ)𝑛−1/2 [1,19,20], в то время как в
переменном электрическом поле она имеет вид (ℇ)𝑛 [1,2,12], где ℇ приведенное поле и 𝑛- размерность системы.
Таким образом, в настоящем параграфе получены аналитические
выражения,
описывающие
зависимости
25
как
скорости
ионизации
(см. рис.2), так и парциальных вероятностей процесса ионизации
двумерной квантовой точки от характерных параметров задачи.
рис. 2
Рисунок 2. Зависимость скорости ионизации от параметра Келдыша,
радиуса квантовой точки и глубины ямы: 1 − 𝑎 = 10 нм, 𝑈0 = 0,06 эВ,
2 − 𝑎 = 20 нм, 𝑈0 = 0,015 эВ, 3 − 𝑎 = 30 нм, 𝑈0 = 0,004 эВ.
26
3. Вычисление импульсного распределения и вероятности процесса
ионизации двумерной и трехмерной квантовой ямы
суперпозицией постоянного и переменного электрических полей.
В работах [21-23] рассматривалась многофотонная ионизация атома в
электрическом поле, представляющем суперпозицию постоянного и
электрического полей. Эта задача впервые обсуждалась в работе [22].
Количественное рассмотрение явления в случае отрыва электронов,
связанных короткодействующими силами, проведено в работе [21] для
внешнего поля, векторный потенциал которого задается формулой:
𝐴(𝑡) = 𝒜(𝜑) + 𝐸(𝑡), 𝐸(𝑡) = (0,0, 𝐸),
𝒜(𝜑 + 2𝜋) = 𝒜(𝜑),
Получена формула для дифференциальной вероятности процесса в
общем случае, когда напряженность постоянного поля направлена под
произвольным углом к оси, вдоль которой происходят колебания
электрического поля линейно-поляризованной волны (𝒜(𝜑) = 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜑)).
Также рассмотрен случай, когда векторный потенциалволны ортогонален
напряженности постоянного поля
В работах [21,22] было показано, что в случае относительно слабого
переменного поля волны присутствие умеренно сильного постоянного
поля может существенно увеличить вероятность ионизации.
Распад
связанного
короткодействующими
силами
притяжения
мелкого уровня в суперпозиции постоянного электрического поля и поля
электромагнитной
волны
исследовалсяв
работе
[24].
Вероятность
ионизации в этой работе определяется с помощью метода квазиэнергий, и
так же, как и в [21], для случая ортогональных полей, то есть исчезает
вклад
в
вероятность
ионизации
от
их
интерференции.
Анализ,
проведенный в [24], также показал, что приложение даже относительно
слабого
постоянного
поля
значительно
увеличивает
вероятность
ионизации уровня полем волны. В этой же работе для интерпретации
полученных результатов был предложен механизм туннелирования из
виртуального состояния: электрон поглощает определенное число квантов
27
волны и с энергией 𝜀𝑘 = 𝐸0 + 𝑘𝜔 < 0, где 𝜔 - частота волны, туннелирует
в постоянном поле. Такой процесс реализуется только в присутствии
высокочастотного поля и статического поля и не может происходить при
выключении постоянного поля [24].
Влияние переменного поля на туннелирование частицы через
потенциальный барьер, межзонное туннелирование в полупроводнике и
надбарьерное отражение в наиболее интересном случае коллинеарных
полей рассмотрено в работе [23] методом комплексных классических
траекторий Ландау. В этой работе использовалась простейшая модель
зонной
структуры
полупроводников
для
изучения
межзонного
туннелирования 𝐹(𝑡) = 𝐹1 + 𝐹2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) (нелинейный эффект ФранцаКелдыша). С экспоненциальной точностью вычислена вероятность
подбарьерного прохождения частицы через треугольный потенциал
(автоэлектронная эмиссия) в переменном поле. Показывается, что
вероятность квазиклассических процессов туннелирования под действием
переменного во времени возмущения резко увеличивается и дается анализ
того, каким образом с увеличением амплитуды
электрического поля
волны происходит последовательная смена режимов туннелирования.
Полученные в [23] формулы относятся к вероятности
проинтегрированной
фотоэлектронов
и
по
их
всем
значениям
направлений.
При
ионизации,
энергии
вылетающих
туннельной
ионизации
существенную информацию о процессе дают энергетические и угловые
распределения образующихся электронов [12], которые в [23] не
исследовались. К сожалению, в этой работе не приведены строгие условия
применимости полученного результата, которые должны быть получены
на основе исходного квантового рассмотрения.
Учитывая, что в указанных выше работах [21-24] предсказано
существенное
увеличение
вероятности
классически
запрещенных
процессов под влиянием электромагнитной волны, актуально дальнейшее
28
исследование процесса ионизации связанных систем в переменном
электрическом поле с постоянной составляющей.
В настоящем параграфе будет впервые исследован процесс ионизации
в двумерной и трехмерной квантовой точки суперпозицией постоянного и
переменного
электрических
экспоненциальной
полей
точностью
найдена
одинакового
также
направления.С
полная
вероятность
ионизации системы за единицу времени. В расчетах используется метод
мнимого времени (ММВ) [3,4,12-14]
Прохождение через потенциальный барьер является примером
процесса, который в классической механике вообще невозможен. В
квазиклассическом
же
случае
вероятность
таких
процессов
экспоненциально мала, а соответствующий показатель экспоненты может
быть найден следующим образом [12].
В комплексной плоскости переменной 𝑡подбарьерное движение для
экстремальной траектории происходит вниз по мнимой оси от 𝑡 = 𝑖𝜏0 до 0.
После
выхода
из-под
барьера,
движение
продолжается
вдоль
вещественной оси. Для более удобного описания подбарьерного движения,
удобно перейти к вещественному времени 𝜏 = −𝑖𝑡.
Точка 𝑡0 начала подбарьерного движения находится из уравнения для
точки перевала, найденного в предыдущей главе:
𝜋 2 (𝑡0 ) = −𝜅 2 ,
(31)
Где 𝜋(𝑡) = 𝑝 − 𝐴(𝑡) – обобщенный импульс
Далее, вычисляя укороченноедействие 𝑆(𝑡0 , 0), вероятность процесса
будет определяться формулой:
𝑤~𝑒𝑥𝑝{−2𝐼𝑚[𝑆(𝑡0 , 0)]}.
Как
известно,
в
случае
короткодействующего
(32)
потенциала
и
переменного электрического поля метод мнимого времени приводит к
тому
же
результату,
что
и
решение
уравнения
Шредингера
с
использованием метода перевала лишь на конечном этапе вычислений
[12]. Совпадают не только экспоненты в полной вероятности процесса, но
29
и выражения для импульсного и энергетического спектра электронов и
предэкспоненциальный множитель .
Для
определенности
рассмотрим
вначале
двумерный
случай.
Обозначим энергию связи электрона через 𝜔0 = 𝜅 2 /2, и пусть в начальный
момент времени электрон находился в основном состоянии с энергией
𝐸0 = −𝜔0 = −𝜅 2 /2. Для определения вероятности ионизации с помощью
ММВ необходимо вычислить укороченное действие. Электрическое поле
представляет собой суперпозицию постоянногои переменного полей:
𝐹(𝑡) = (𝐹1 + 𝐹2 𝑐𝑜 𝑠(𝜔𝑡) , 0),
(33)
где 𝐹1 – напряженность постоянного поля, 𝐹2 - амплитуда переменного
поля и 𝜔 - его частота. Векторный потенциал запишется в виде
𝑡
𝐴⃗(𝑡) = − ∫ 𝐹(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ = (−
𝑡0
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
− 𝐹1 𝑡, 0),
𝜔
(34)
и обобщенный импульс
𝜋
⃗⃗(𝑡) = 𝑝 − 𝐴(𝑡) = (𝑝𝑥 +
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
+ 𝐹1 𝑡, 𝑝𝑦 ).
𝜔
(35)
Вначале рассмотрим траекторию, которая дает наибольший вклад в
скорость ионизации. Для этого данная траектория должна минимизировать
функцию 𝑆(𝑡0 , 0). Учитывая формулы для обобщенного импульса (35) и
для момента времени, отвечающему за начало подбарьерного движения,
(31), можно сделать вывод, что функция укороченного действия 𝑆(𝑡0 , 0)
будет зависеть от 𝑝𝑥 и 𝑝𝑦 . Случай 𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 = 0 будет минимизировать
укороченное действие.
Экстремальная
подбарьерная
классическая
траектория,
минимизирующая мнимую часть укороченного действия 𝑆, соответствует
ситуации, когда частица выходит из-под барьера в момент времени 𝑡 = 0 с
нулевой скоростью, т.е. 𝑥̇ (0) = 0. Таким образом,полагая в момент
времени 𝑡0 координату равной нулю, экстремальная классическая
траектория определяется уравнением:
30
𝑥̈ = 𝐹1 + 𝐹2 𝑐𝑜 𝑠(𝜔𝑡),
𝑥̇ (0) = 0,
𝑥(𝑡0 ) = 0,
(36)
а момент времени 𝑡0 определяется из уравнения (31):
𝜋 2 (𝑡0 )
2
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡0 )
=(
+ 𝐹1 𝑡0 ) = −𝜅 2 .
𝜔
(37)
Также стоит обратить внимание, что если принять в начальный
момент времени координату равной нулю, то эффективная ширина барьера
будет равна 𝑙 = 𝑥(0).
Согласно ММВ, подбарьерное движение происходит в мнимом
времени сверху-вниз вдоль мнимой оси от точки 𝑡0 = 𝑖𝜏0 до 0. Удобно
перейти к вещественному времени 𝜏 = −𝑖𝑡. Перепишем операторы
дифференцирования для 𝜏:
𝑑
𝑑𝜏 𝑑
𝑑
𝑑2
𝑑 𝑑
𝑑𝜏 𝑑 𝑑
𝑑2
=
= −𝑖 ,
= ( ) = −𝑖
=− 2
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜏
𝑑𝜏 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝜏 𝑑𝜏
𝑑𝜏
Учитывая известные соотношения
𝑠𝑖𝑛(𝑖𝑥) = 𝑖𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥),
𝑐𝑜𝑠(𝑖𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥),
уравнения (36),(37) (точкой теперь обозначается дифференцирование по 𝜏)
запишутся в следующем виде:
𝑥̈ = −𝐹1 − 𝐹2 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏),
𝑥̇ (0) = 0,
𝑥(𝜏0 ) = 0,
(38)
𝐹2 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜔𝜏0 )
(39)
+ 𝐹1 𝜏0 = 𝜅.
𝜔
К сожалению, в общем случае уравнение (39) решить нельзя. Но при
адиабатическом или многофотонном предельных случаях, можно найти
приближенное решение. Решая уравнение (38), получаем:
𝜏02 − 𝜏 2 𝐹2
𝑥(𝜏) = 𝐹1
+ 2 (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 ) − 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏)).
2
𝜔
Для эффективной ширины барьера имеем следующую формулу:
1
𝐹2
𝑙 = 𝐹1 𝜏02 + 2 (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 ) − 1).
2
𝜔
31
(40)
(41)
Согласно ММВ, вероятность ионизации в единицу времени с
точностью до предэкспоненциального множителя определяется формулой
(32):
𝑤~𝑒𝑥𝑝{−2𝐼𝑚[𝑆(𝑡0 , 0)]},
(42)
где укороченное действие
𝑡0
𝜋
⃗⃗ 2
𝑆(𝑡0 , 0) = ∫ { + 𝜔0 } 𝑑𝑡 =
2
0
𝜏0
1
= ∫ {𝑝𝑦2 +
2
(𝑝𝑥 +
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
𝜔
2
0
2
+ 𝐹1 𝑡)
+ 𝜅 2 } 𝑑𝑡.
(43)
В литературе формулы (42),(43) также называются формулами
Ландау-Дыхне [12].
В рамках ММВ, перепишем формулу (43), переходя к вещественному
времени 𝜏 = −𝑖𝑡:
𝑡0
𝑖
𝐹2 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜔𝜏)
𝑆(𝑡0 , 0) = ∫ {𝑝𝑦2 + 𝜅 2 + 𝑝𝑥2 + 2𝑖𝐹1 𝜏𝑝𝑥 + 2𝑖
𝑝𝑥 − 𝐹12 𝜏 2 −
2
𝜔
0
𝐹22 𝑠𝑖𝑛ℎ2 (𝜔𝜏)
𝐹2 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜔𝜏)
−
−
2𝐹
𝜏} 𝑑𝜏.
1
𝜔2
𝜔
(44)
Вычислим мнимую часть укороченного действия для экстремальных
траекторий, когда 𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 = 0. В итоге, получаем:
𝑊0 = 𝑃0 𝑒𝑥𝑝{−𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅)},
(45)
где:
1 3 3
𝐹22
𝑠𝑖𝑛ℎ(2𝜔𝜏0 )
𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) = 𝜅 𝜏0 − 𝐹1 𝜏0 +
−
[𝜏
]+
3
2𝜔 2 0
2𝜔
2
+
2𝐹1 𝐹2 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜔𝜏0 )
− 𝜏0 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 )],
[
𝜔2
𝜔
(46)
а 𝑃0 – предэкспоненциальный множитель. Для нахождения импульсного
распределения электронов, необходимо учесть вклад траекторий, близких
к экстремальным, а именно вычислить мнимую часть укороченного
32
действия, раскладывая все величины в ряд Тейлора до 𝑝𝑥2 /𝜅 2 и 𝑝𝑦2 /𝜅 2
включительно. Перейдя к вещественному времени 𝜏 = −𝑖𝑡, перепишем
уравнение (31) в следующем виде:
𝑝𝑦 2
𝐹2 sinh(𝜔𝜏0 )
√
𝑖𝑝𝑥 + 𝐹1 𝜏0 +
=𝜅 1+( ) .
𝜔
𝜅
Раскладывая левую часть уравнения в ряд Тейлора, получаем
𝐹1
1 𝑝𝑦 2
𝑝𝑥
𝜔𝜏0 + 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜔𝜏0 ) = 𝛾 [1 + ( ) + 𝑖 ],
𝐹2
2 𝜅
𝜅
где
𝛾 = 𝜔𝜅/𝐹2
–
параметр
адиабатичности.
(47)
Введем
следующее
обозначение:
𝑓(𝑥) =
𝐹1
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥),
𝐹2
Тогда решение уравнения (47) можно записать в таком виде:
𝜔𝜏0 = 𝑓
−1
1 𝑝𝑦 2
𝑝𝑥
(𝛾 [1 + ( ) + 𝑖 ]).
2 𝜅
𝜅
(48)
Разложим правую часть в (48) до 𝑝𝑥2 /𝜅 2 и 𝑝𝑦2 /𝜅 2 включительно.
𝛾 𝑝𝑦 2
𝑝𝑥
1 𝛾𝑝𝑥 2 −1 ′′
𝜔𝜏0 = 𝑓 −1 (𝛾) + [ ( ) + 𝑖𝛾 ] (𝑓 −1 )′ (𝛾) − (
) (𝑓 ) (𝛾).
2 𝜅
𝜅
2 𝜅
(49)
По теореме о производной обратной функции, имеем
(𝑓 −1 )′ (𝛾) =
(𝑓 −1 )′′ (𝛾)
1
𝑓 ′ (𝑓 −1 (𝛾))
= 𝐹1
−𝑓 ′′ (𝑓 −1 (𝛾))
= ′ −1
=
(𝑓 (𝑓 (𝛾)))3
𝐹2
1
,
+ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑓 −1 (𝛾))
𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑓 −1 (𝛾))
3.
𝐹
(𝐹1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑓 −1 (𝛾)))
2
𝛾
𝜏0 =
𝑝𝑦 2
𝑖𝛾 𝑝𝑥
1 𝛾𝑝𝑥 2
( ) 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑢0 )
𝑢0
+ 𝐹1
+ 𝐹1 𝜔 𝜅
+2 𝜅
3,
𝜔
)
)
+ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0
+ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0
𝐹
𝐹2
𝐹2
(𝐹1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0 ))
( )
2𝜔 𝜅
(50)
2
где 𝑢0 является решением следующего уравнения
𝐹1
𝑢 + 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑢0 ) = 𝛾,
𝐹2 0
33
(51)
Учитывая формулу (50), выделяем мнимую часть укороченного
действия
ионизации
(44)
и
находим
двумерной
импульсное распределение
квантовой
ямы
с
вероятности
точностью
до
𝑝𝑦 2
2𝜔0
𝑝𝑥 2
𝑑𝑝⃗
𝑑𝑊 = 𝑃𝑒𝑥𝑝 {−𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) −
,
(𝛼 ( ) + 𝑢0 ( ) )}
(2𝜋)2
𝜔
𝜅
𝜅
(52)
предэкспоненциального множителя:
где 𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) определяется формулой (46), и принято обозначение
𝛾
𝛼 = 𝑢0 − 𝐹1
(53)
+ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0 )
𝐹2
Если в формулах (52),(53) положить 𝑝𝑦 = 0, то они будут описывать
импульсное распределение вероятности ионизации одномерной квантовой
ямы.
Заметим, что с точностью до предэкспоненциального множителя
формулы, полученные во втором параграфе, являются частным случаем
формул (52),(53), например, формула вероятности отрыва электрона полем
линейно-поляризованной волны. Например, при выключении постоянного
поля (𝐹1 → 0), из формулы (51) следует
𝑢0 = 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛ℎ(𝛾).
Подставляя это значение в формулы (52),(53), получаем
𝑑𝑊 = 𝑃𝑒𝑥𝑝{−𝑔(0, 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) −
𝑝𝑦 2 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦
2𝜔0
𝑝𝑥 2
−
,
(𝛼 ( ) + 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛ℎ(𝛾) ( ) )}
(2𝜋)2
𝜔
𝜅
𝜅
где
𝛼 = 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛ℎ(𝛾) −
𝛾
√1 +
𝛾2
,
𝜅2
1
√1 + 𝛾 2
𝑔(0, 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) =
[2𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛ℎ(𝛾) + 2 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛ℎ(𝛾) −
].
2𝜔
𝛾
𝛾
34
Если вынести общий множитель 2𝜔0 /𝜔, получим тот же самый
показатель экспоненты, что и для вероятности ионизации при поглощении
𝑛квантов в поле линейно-поляризованной волны.
Перейдем далее к трехмерному случаю. Трехмерный случай с
математической точки зрения мало чем отличается от рассматриваемого до
этого процесса ионизации в двумерной квантовой яме, но впоследствии
полученная формула более интересна практически, ведь ионизации
реальных атомов происходит в трехмерном пространстве. Формулы (33),
(34), (35) примут вид:
𝐹(𝑡) = (𝐹1 + 𝐹2 𝑐𝑜 𝑠(𝜔𝑡) , 0,0),
𝑡
𝐴⃗(𝑡) = − ∫ 𝐹(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ = (−
𝑡0
𝜋
⃗⃗(𝑡) = 𝑝 − 𝐴(𝑡) = (𝑝𝑥 +
(54)
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
− 𝐹1 𝑡, 0,0),
𝜔
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
+ 𝐹1 𝑡, 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ).
𝜔
(55)
(56)
Уравнение (31), определяющее начальный момент времени для
подбарьерного движения, записывается в виде:
𝑝𝑦2
+
𝑝𝑧2
2
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡0 )
+ (𝑝𝑥 +
+ 𝐹1 𝑡0 ) = −𝜅 2 ,
𝜔
(57)
а укороченное действие 𝑆(𝑡0 , 0):
𝜏0
1
𝑆(𝑡0 , 0) = ∫ {𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2 +
2
(𝑝𝑥 +
𝐹2 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
𝜔
2
+ 𝐹1 𝑡)
2
0
+ 𝜅 2 } 𝑑𝑡.
(58)
Раскладывая все величины до 𝑝𝑥2 /𝜅 2 , 𝑝𝑦2 /𝜅 2 и 𝑝𝑧2 /𝜅 2 , и проведя
аналогичные выкладки, что и для двумерного случая, получаем:
𝛾
𝜏0 =
𝑝𝑦 2
𝑖𝛾 𝑝𝑥
1 𝛾𝑝𝑥 2
( ) 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑢0 )
𝑢0
+ 𝐹1
+ 𝐹1 𝜔 𝜅
+2 𝜅
3+
𝜔
)
)
+ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0
+ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0
𝐹
𝐹2
𝐹2
(𝐹1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0 ))
( )
2𝜔 𝜅
2
35
𝛾
+ 𝐹1
𝐹2
𝑝𝑦 2
( )
2𝜔 𝜅
(59)
+ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0 )
Учитывая формулу (59), выделяем мнимую часть укороченного
действия
(58)
и
находим
импульсное распределение
вероятности
ионизации трехмерной квантовой ямы:
𝑝𝑦 2
2𝜔0
𝑝𝑥 2
𝑑𝑊 = 𝑃𝑒𝑥𝑝 {−𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) −
(𝛼 ( ) + 𝑢0 ( ) ) −
𝜔
𝜅
𝜅
−
2𝜔0
𝑝𝑧 2 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧
𝑢0 ( ) }
,
(2𝜋)3
𝜔
𝜅
(60)
где 𝛼 определяется уравнением (53).
Опять же, предельный случай 𝐹1 → 0 в формуле (60) дает уже
известный показатель экспоненты для импульсного распределения
вероятности ионизации в трехмерной квантовой яме.
Далее
приведены
график
зависимости
величины
𝜆=
𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅)/(𝐹1 = 0, 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) от параметра Келдыша (рис.3) и
график зависимости 𝑑𝑊(𝑝)/𝑑𝑊(0)от величины 𝑝𝑦 /𝜅 (рис.4), построенных
для различных значений отношения амплитуды переменного поля к
напряженности постоянного поля.
36
Рисунок 3. Зависимость отношения импульсного распределения
электронов к скорости ионизации для экстремальных траекторий от𝑝𝑦 /
𝜅при
значении
параметра
Келдыша
𝛾 = 1,
значении
параметра
многоквантовости 𝐾0 = 10 и при фиксированных значениях 𝑝𝑥 /𝜅 = 0,1
для различных значений отношения напряженности постоянного поля 𝐹1 к
амплитуде переменного поля 𝐹2 : 1 − 𝐹1 /𝐹2 = 10, 1 − 𝐹1 /𝐹2 = 1,
3 − 𝐹1 /𝐹2 = 0,1.
37
Рисунок
4.
Зависимость
отношения
скорости
ионизации
в
суперпозиции полей к скорости ионизации в переменном электрическом
поле от параметра Келдыша, для различных значений отношения
напряженности постоянного поля 𝐹1 к амплитуде переменного поля 𝐹2 : 1 −
𝐹1 /𝐹2 = 10, 1 − 𝐹1 /𝐹2 = 1, 3 − 𝐹1 /𝐹2 = 0,1.
38
4. Вычисление скорости ионизации атома водорода с учетом
кулоновского взаимодействия электрона с атомным остовом в
туннельном режиме.
При расчетах многофотонной ионизации атомов под воздействием
сильного внешнего поля по теории Келдыша [1] электромагнитное поле
волны учитывается точно, а кулоновским взаимодействием вылетающего
электрона с атомным остовом пренебрегается. На основе этой теории были
получены удобные аналитические формулы для вероятности ионизации и
импульсных спектров фотоэлектронов [1,3]. Но в случае нейтральных
атомов
кулоновское
взаимодействие
приводит
к
подавлению
потенциального барьера, через который туннелирует электрон, что
существенно (на несколько порядков) увеличивает скорость ионизации
атома.
Так, в работе [10] было учтено кулоновское взаимодействие,и было
установлено, что в случае линейно-поляризованной волны
(𝐹 (𝑡) = 𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))скорость ионизации 𝑤 для 𝑠-состояния атома
(𝑛 = 1, 𝑙 = 0, 𝑚 = 0)отличается от аналогичной величины 𝑤𝑠𝑟 для уровня в
короткодействующей яме [3,9] с той же энергией связи 𝜔0 следующим
множителем:
𝑤(𝐹)
2 2𝜆
𝑄=
=( ) ,
𝑤𝑠𝑟 (𝐹)
ℇ
(61)
где ℇ = 𝐹/𝐹0 - приведенное поле, 𝐹0 = 𝜅 3 – характерная величина
размерности поля для связанной системы, 𝐹 - амплитуда напряженности
переменного поля, 𝜆 = 𝑍/𝜅–эффективное главное квантовое число, а 𝑍 заряд атомного остова.
Также подробное рассмотрение процесса ионизации частиц в
интенсивном линейно-поляризованном электрическом поле при больших
значениях
параметра
Келдыша
𝛾≫1
взаимодействия было проведено в работе [13].
39
с
учетом
кулоновского
Энергия
кулоновского
взаимодействия
𝑉𝑐 = −𝑍/𝑟
приводит
к
появлению добавки к действию
𝑡0
𝑊𝑐 = −𝑍 ∫
0
𝑑𝑡
√𝑟 2 (𝑡)
(62)
.
Данная поправка пропорциональна заряду атомного остова 𝑍, и
интеграл можно вычислять вдоль невозмущенной кулоновским полем
траектории. На верхнем пределе интеграл логарифмически расходятся, и
требует сшивания с асимптотикой волновой функции. Процедура
сшивания подробна описана в работах [10,13,25]. В случае линейно-поляризованной волны, вычисление этого интеграла дает известный
результат (61).Обратим внимание, что поправка (61) оказывается
одинаковой для любых значений параметра адиабатичности 𝛾и формально
вообще не зависит от частоты, что, впрочем, характерно только для поля с
линейной поляризацией. В туннельном режиме эффект возрастания
вероятности ионизации легко интерпретировать, так как кулоновское поле
понижает высоту барьера, через который туннелирует электрон.
Эта добавка к укороченному действию учитывается в рамках ММВ
следующим образом:
𝑄 = 𝑒𝑥𝑝{−2𝐼𝑚𝑊𝑐 },
(63)
причем 𝑊𝑐 , как показывают расчеты, является логарифмической функцией.
В настоящее время выражения для скорости туннельной ионизации с
учетом
кулоновского
калибровки
взаимодействия
интенсивных
лазерных
широко
импульсов.
используются
Появились
для
новые
электронные приборы, физические характеристики которых определяются
взаимодействием электронов с электромагнитными полями различной
конфигурации. К числу таких устройств относятся диоды и триоды с
резонансным туннелированием электронов, джозефсоновские контакты.
40
В настоящем параграфе будет рассмотрен процесс ионизации
водородоподобного атома суперпозицией постоянного и переменного
электрических полей. Учитывая результаты 2 параграфа, а также работ
[2,3,10,12,13,19], предэкспоненциальный множитель можно представить в
виде
𝑃 = 𝑄 ∙ 𝐶1 ∙ 𝐶2 ,
(64)
где:
а) 𝐶1 –множитель, возникающий при вычислении скорости ионизации в
случае удерживающего потенциала нулевого радиуса (в этом случае
удерживающий потенциал представляется в виде 𝑉(𝑟) =– 𝜅𝛿(𝑟)).
Таким образом, 𝐶1 определяетсяквадратом Фурье-образа волновой
функции электрона в исходном связанном состоянии (см. [10]).
б) 𝐶2 – множитель, возникающий при интегрировании методом перевала.
Его можно записать в явном виде:
2
𝐶2 = (√−
2𝜋
) ,
𝐾0 𝑆 ′′ (𝛽0 )
(65)
где 𝐾0 = 𝜔0 /𝜔 = 𝜅 2 /𝜔 - параметр многоквантовости, а точка 𝛽0 и
функция 𝑆(𝛽) определяются из следующих выражений:
𝛽
2
𝜋
⃗⃗(𝛼)
𝑆(𝛽) = −𝑖 [∫ ([
] + 1) 𝑑𝛼 ],
𝜅
(66)
0
2
𝜅𝑐𝑜𝑠(𝛽0 ) 𝜅𝐹1 𝜋
𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2 + (𝑝𝑥 +
+
( − 𝛽0 )) = −𝜅 2 .
𝛾
𝛾𝐹2 2
(67)
в) 𝑄 представляет собой множитель, возникающий в результате учета
дальнодействующего кулоновского поля. Эта поправка вычисляется
по формуле (62).
Найдем 𝐶1 . Чтобы вычислить эту константу, необходимо во втором
параграфе в формуле (21) осуществить предельный переход 𝜅𝑎 → 0. В
41
этом случае удерживающий потенциал двумерной квантовой точки
перейдет в потенциал нулевого радиуса 𝛿(𝑟). Для получения верного
результата, надо полученный результат поделить еще на𝜅.
Перепишем формулы (21) и (6):
1
𝑈0 − |𝐸0 | 2
1
𝑔0 (±𝑖𝜅) = 𝜋𝐵, 𝐵 = (
.
)
𝑈0
√𝜋𝑎𝐾1 (𝜅𝑎)
При предельном переходе к потенциалу нулевого радиуса, 𝑈0 → ∞.
Используя известную формулу:
lim 𝑥 𝐾1 (𝑥) = 1
𝑥→0
получаем, что 𝐵 = 𝜅/√𝜋. Так потенциал имеет вид – 𝜅𝛿(𝑟), то выражение
для множителя 𝐶1 принимает следующий вид:
𝐶1 = 𝜋
(68)
Теперь найдем постоянную 𝐶2 . Перепишем формулу для 𝑆 ′′ (𝛽0 ) с
учетом формулы (66):
𝑆 ′′ (𝛽0 )
−2𝑖𝜋экс (𝛽0 )𝜋экс ′ (𝛽0 )
=
,
𝜅2
(69)
где под 𝜋экс (𝛽0 ) подразумевается обобщенный импульс, который
раскладывается до нулевого порядка 𝑝/𝜅, то есть можно принять 𝑝 = 0.
Вычислим значения 𝜋экс (𝛽0 ) и 𝜋экс ′ (𝛽0 ):
𝜋экс (𝛽0 ) =
𝜅𝑐𝑜𝑠(𝛽0 ) 𝜅𝐹1 𝜋
+
( − 𝛽0 ),
𝛾
𝛾𝐹2 2
𝜋экс ′ (𝛽0 ) = −
𝜅𝑠𝑖𝑛(𝛽0 ) 𝜅𝐹1
−
.
𝛾
𝛾𝐹2
(70)
(71)
С учетом (70) и (71) уравнение (69) примет вид:
𝑆 ′′ (𝛽0 ) =
2𝑖
𝐹1 𝜋
𝐹1
)
)
𝑠(𝛽
+
−
𝛽
𝑛(𝛽
−
(𝑐𝑜
(
))
(𝑠𝑖
).
0
0
0
𝛾2
𝐹2 2
𝐹2
Из уравнения (67) получаем
𝑐𝑜 𝑠(𝛽0 ) +
𝐹1 𝜋
( − 𝛽0 ) = −𝑖𝛾;
𝐹2 2
42
(72)
К сожалению, найти точное значение 𝛽0 невозможно в общем случае
произвольного параметра Келдыша 𝛾. Но в предельных случаях
адиабатического и многофотонного процессов ионизации, значение 𝛽0
можно найти приближенно. Окончательно, формула для множителя 𝐶2
принимает следующий вид:
𝐶2 =
𝜋𝛾
(73)
𝐹1
𝐾0 (𝑠𝑖 𝑛(𝛽0 ) + 𝐹 )
2
Чтобы найти кулоновскую поправку 𝑄 необходимо учесть, что
внешнее поле направлено по оси ОХ, а значит в формуле (62) можно
подставить траекторию, определяемую уравнением (40), из третьей главы.
Заменяя мнимое время 𝑡 на вещественное 𝜏 = −𝑖𝑡, формулу для
добавочного действия 𝑊𝑐 представим в виде:
𝜏0
𝑊𝑐 = −𝑍𝑖 ∫
0
𝑑𝜏
𝐹1
𝜏02 −𝜏2
2
+
𝐹2
𝜔2
.
(74)
(𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 ) − 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏))
Для кулоновского потенциала этот интеграл расходится на верхнем
пределе, так как 𝑥(𝜏) → 0 при 𝜏 → 𝜏0 . Поэтому воспользуемся процедурой
сшивания с асимптотикой волновой функции электрона для свободного
атома, т.е. без учета поля волны:
𝜓 0 (𝑥)~(𝜅𝑥)𝜆 𝑒𝑥𝑝{−𝜅𝑥} = 𝑒𝑥𝑝{−𝜅𝑥 + 𝜆𝑙𝑛(𝜅𝑥)} = 𝑒𝑥𝑝{−𝐼𝑚𝑆̃(𝑥)},
(75)
где 𝑆̃(𝑥) = 𝜅𝑥 − 𝜆𝑙𝑛(𝜅𝑥) и 𝜆 = 𝑍/𝜅 – эффективное главное квантовое
число. Вводим точку сшивания 𝑥1 такую, что 𝜅 −1 ≪ 𝑥1 ≪ 𝑙, 𝑙 – ширина
барьера, определяемая формулой (41).Таким образом, (74) может быть
представлено в следующем виде:
𝜏1
𝑊𝑐 = −𝑖𝜆𝑙𝑛(𝜅𝑥1 ) − 𝑍𝑖 ∫
0
𝑑𝜏
𝐹1
𝜏02 −𝜏2
2
,
+ 2 (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 ) − 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏))
𝐹2
(76)
𝜔
причем здесь 𝑥(𝜏1 ) = 𝑥1 . Первый член в формуле (76) задает ту часть
действия, которая набирается на начальном (𝑥 < 𝑥1 ) участке подбарьерной
траектории электрона, где полем волны можно пренебречь.
43
В общем случае получить точное выражение для добавочного
действия
𝑊𝑐
оказывается
невозможным.
В
настоящем
параграфе
кулоновскую поправку вычислим в туннельном режиме, когда параметр
адиабатичности 𝛾 = 𝜔𝜅/𝐹2 ≪ 1, то есть в случае достаточно медленно
меняющихся полей.
Перепишем уравнение (41) для эффективной ширины барьера:
1
𝐹2
𝑙 = 𝐹1 𝜏02 + 2 (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 ) − 1).
2
𝜔
(77)
В адиабатическом приближении, когда 𝜔𝜏0 ~𝛾, используя разложение
функции 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜔𝜏0 ) в ряд Маклорена, находим следующее приближенное
решение уравнения (39):
𝜏0 =
𝛾
𝐹
𝜔 (1 + 𝐹1)
=
𝜅
.
𝐹1 + 𝐹2
(78)
2
Учитывая (78), в том же случае адиабатического приближения, для
эффективной ширины барьера получим следующую асимптотику.
2
1
𝐹2
1
𝜅
2
𝑙 = 𝐹1 𝜏0 + 2 (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 ) − 1) = 𝐹1 (
) +
2
𝜔
2
𝐹1 + 𝐹2
2
2
𝐹2
𝜔2
𝜅
1
𝜅
4
+ 2 (1 +
(
) + 𝑂(𝜔𝜏0 ) − 1) ≅ (
) (𝐹1 + 𝐹2 ) =
𝜔
2 𝐹1 + 𝐹2
2 𝐹1 + 𝐹2
=
𝑙≅
𝜔0
𝐹1 + 𝐹2
(79)
𝜔0
.
𝐹1 + 𝐹2
(80)
Переходим к безразмерным переменным 𝜉 = 𝑥/𝑙 и 𝜃 = 𝜔𝜏 (см.
[13,25]), где траектория 𝑥 определяется уравнением (40).В этом случае
уравнение (78) в переменной 𝜃 примет вид:
𝜔𝜅
𝜃0 =
.
𝐹1 + 𝐹2
(81)
Опять же, раскладывая гиперболические функции в ряд Маклорена,
получаем:
44
𝑥
𝐹1 + 𝐹2
𝜏02 − 𝜏 2 𝐹2
𝜉= =(
+ 2 (𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏0 ) − 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝜏))) ≅
) (𝐹1
𝑙
𝜔0
2
𝜔
2
2
(𝐹1 + 𝐹2 )
𝜅
𝜃
2𝐹2
≅(
𝐹
−
+
)
(
)
(1 +
1
(𝐹1 + 𝐹2 )2 𝜔 2
𝜅2
𝜔2
2
𝜔𝜅
(𝐹 +𝐹 )
1
2
2
𝜃2
−1− )
2
(
)
𝐹1
𝜃 2 𝐹1 (𝐹1 + 𝐹2 ) 𝐹2 𝜃 2 (𝐹1 + 𝐹2 )
𝐹2
=
−
−
+
=
(𝐹1 + 𝐹2 )
𝐹1 + 𝐹2
𝜅2𝜔2
𝜅2𝜔2
𝜃 2 (𝐹12 + 2𝐹1 𝐹2 + 𝐹22 )
𝜃 2 (𝐹1 + 𝐹2 )2
=1−
=1−
.
𝜅2𝜔2
𝜅2𝜔2
Окончательно:
𝜃2
𝜉 = 1 − 2.
𝜃0
(82)
Введем малый параметр:
𝜇=
𝑍
≪ 1.
𝑙𝜅 2
(83)
Этот параметр 𝜇, определяющий вклад кулоновского поля ядра в силу,
действующую на электрон, действительно оказывается мал; в поле
титан-сапфирового лазера (ℏ𝜔 = 1,55 эВ) 𝜇 = 0,057 для атома водорода,
𝜇 = 0,023 для атома 𝐻𝑒 и 𝜇 = 0,059 для иона 𝑋𝑒 + , а в поле рентгеновского
лазера с энергией фотона 20 эВ 𝜇 = 0,11 для иона 𝐿𝑖 + [25].
Перепишем уравнение (76) с учетов (81), (82) и (83):
𝜏1
𝜃1
𝑑𝜏
𝜇𝑙𝜅 2
𝜇𝑙𝜅 2
𝑑𝜃
𝑊𝑐 = −𝑖𝜆𝑙𝑛(𝜅𝑥1 ) − 𝑍𝑖 ∫
=−𝑖[
𝑙𝑛(𝜅𝜉1 𝑙) +
∫
]=
𝑥(𝜏)
𝜅
𝜔
𝜉(𝜃)𝑙
0
0
𝜇𝜅𝜔0
𝜅𝜔0 𝜉1
𝜇𝜅 2
𝜃1
= −𝑖 [
𝑙𝑛 (
𝜃0 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛ℎ ( )] =
)+
𝐹1 + 𝐹2
𝐹1 + 𝐹2
𝜔
𝜃0
𝜇𝜅𝜔0
𝜅𝜔0 𝜉1
𝜇𝜅 2 𝜔𝜅
𝜃1 + 𝜃0
= −𝑖 [
𝑙𝑛 (
𝑙𝑛 (
)+
)] =
𝐹1 + 𝐹2
𝐹1 + 𝐹2
2𝜔 𝐹1 + 𝐹2
𝜃1 − 𝜃0
𝜃
𝜃
𝜃
𝜅𝜔0 (1 − 1) (1 + 1) 1 + 1
𝜇𝜅𝜔0
𝜃0
𝜃0
𝜃0
−𝑖
𝑙𝑛 (
).
𝜃1
𝐹1 + 𝐹2
𝐹1 + 𝐹2
1−
𝜃0
45
Окончательно:
𝜇𝜅𝜔0
𝑊𝑐 = −𝑖
𝑙𝑛 (
𝐹1 + 𝐹2
𝜅𝜔0 (1 +
𝜃1 2
𝜃0
𝐹1 + 𝐹2
)
).
(84)
Устремляя 𝜃1 → 𝜃0 и, переходя к старым переменным 𝑍 и 𝑥,получаем:
𝜇𝜅𝜔0
𝜅𝜔0 (1 + 1)2
𝑍(𝐹1 + 𝐹2 )𝜅𝜔0
4𝜅 ∙ 𝜅 2
𝑊𝑐 = −𝑖
𝑙𝑛 (
𝑙𝑛 (
) = −𝑖 2
)=
𝐹1 + 𝐹2
𝐹1 + 𝐹2
𝜅 𝜔0 (𝐹1 + 𝐹2 )
2(𝐹1 + 𝐹2 )
𝑍
2𝜅 3
2𝐹0
= −𝑖 𝑙𝑛 (
) = −𝑖𝜆𝑙𝑛 (
),
𝜅
𝐹1 + 𝐹2
𝐹1 + 𝐹2
(85)
где 𝐹0 = 𝜅 3 - характерная величина связанной системы. Выражение (63)
для кулоновской поправки 𝑄 примет вид:
2𝐹0
2𝐹0 2𝜆
𝑄 = 𝑒𝑥𝑝{−2𝐼𝑚𝑊𝑐 } = 𝑒𝑥𝑝 {2𝜆𝑙𝑛 (
)} = (
) .
𝐹1 + 𝐹2
𝐹1 + 𝐹2
(86)
Заметим, что формула (86) не зависит ни от частоты переменного
поля, ни от параметра адиабатичности 𝛾, к тому же формула (61) является
частным случаем формулы (86). Так, при выключении постоянного поля
(𝐹1 → 0) формула (86) переходит в формулу (61) для кулоновской
поправки в поле линейно-поляризованной волны. Теперь вернемся к
формуле (73). В туннельном режиме уравнение (72) можно решить
приближенно, раскладывая 𝑐𝑜𝑠(𝛽0 ) в ряд Тейлора в точке 𝛽 = 𝜋/2:
𝜋
𝛾
𝛽0 ≅ + 𝐹1
𝑖
2
+1
(87)
𝐹2
Уравнение (72) решалось также численно и результат сравнивался с
асимптотическим решением (87). Уравнение решалось для значений
параметра адиабатичности от 𝛾 = 0,01 до 𝛾 = 1, и максимальная
погрешность составляла 1,1 ∙ 10−5 .
Подставляя (87) в 𝑠𝑖𝑛(𝛽0 ) и учитывая связь 𝑐𝑜𝑠(𝑖𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥),
получаем, что
46
𝜋
𝛾
𝛾
𝑠𝑖𝑛(𝛽0 ) = 𝑠𝑖𝑛 ( + 𝐹1
𝑖) = 𝑐𝑜𝑠 (𝐹1
𝑖) =
2
+1
+1
𝐹2
𝐹2
(88)
𝐹22 𝛾 2
= 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝐹1
.
)≅1+
2(𝐹12 + 𝐹22 )
+1
𝛾
𝐹2
Тогда формула (73) для множителя 𝐶2 принимает вид:
𝜋𝛾
𝜋𝛾
𝐶2 =
≅
.
2 2
𝐹
𝐾0 (𝑠𝑖 𝑛(𝛽0 ) + 𝐹1) 𝐾0 (1 + 𝐹22 𝛾 2 + 𝐹1)
2
2(𝐹 +𝐹 )
𝐹
1
2
(89)
2
Обратим внимание, что во втором параграфе аналогичная константа
будет выглядеть следующим образом:
2
𝐶2′
2𝜋
2𝜋𝛾 2
𝜋𝛾
= (√−
=
=
)
𝐾0 𝑆 ′′ (𝛽0 )
𝐾0 2𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝛽0 ) 𝑐𝑜𝑠(𝛽0 ) 𝐾0 √1 + 𝛾 2
В туннельном режиме, в формуле 𝐶2′ √1 + 𝛾 2 ~1 + 𝛾 2 /2. Из формул
(50) и (53) в случае 𝛾 ≪ 1 получаем:
𝛾
𝛾
𝛾
𝑢0 ≅
,
𝛼
=
−
𝐹
𝐹
𝐹1
(1 + 𝐹1)
(1 + 𝐹1)
+1+
2
2
𝐹22 𝛾2
2(𝐹12 +𝐹22 )
𝐹2
.
(90)
Окончательно, собирая все предэкспоненциальные множители из
формул (89),(86) и (68),учитывая (90) и подставляя все в формулу (60),
получаем:
𝜋𝛾 (
2𝜆
)
𝐹 +𝐹
𝑑𝑊 =
𝐾0 (1 +
−
2𝐹0
1
2
2
𝐹2 𝛾2
2(𝐹12 +𝐹22 )
𝐹
+ 1)
𝐹
.
𝜋
𝑒𝑥𝑝{−𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) −
(2𝜋)3
2
𝑝𝑦 2
2𝜔0
𝑝𝑥 2
𝛾
𝛾
𝑝𝑧 2
+
(𝛼 ( ) +
(
)
(
) )} 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧 ,
𝐹1
𝐹1
𝜔
𝜅
𝜅
𝜅
(1 + )
(1 + )
𝐹2
𝐹2
47
𝛾
𝑑𝑊 =
8𝜋𝐾0 (1 +
𝐹22 𝛾2
2(𝐹12 +𝐹22 )
2𝐹0 2𝜆
(
) 𝑒𝑥𝑝{−𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) −
𝐹1
𝐹
+
𝐹
1
2
+ )
𝐹2
𝑝𝑦 2
2𝜔0
𝛾
𝑝𝑧 2
−
(( ) + ( ) ) −
𝜔 (1 + 𝐹1) 𝜅
𝜅
𝐹2
2𝜔0
𝛾
𝛾
−
−
(
𝜔 (1 + 𝐹1) 𝐹1 + 1 +
𝐹2
2(𝐹12 +𝐹22 )
𝐹2
Формула (91) описывает
ионизации
нейтрального
𝐹22 𝛾2
𝑝𝑥 2
) ( ) } 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧 .
𝜅
(91)
импульсное распределение вероятности
атома
с
учетом
дальнодействующего
кулоновского поля в туннельном режиме.
Вычислим скорость ионизации в единицу времени. Выпишем
асимптотическую
формулу
в
адиабатическом
приближении
для
𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅):
𝜅2
1 2 𝑢03
𝐹22
𝑠𝑖𝑛ℎ(2𝑢0 )
𝑔(𝐹1 , 𝐹2 , 𝜏0 , 𝜔, 𝜅) = 𝑢0 − 𝐹1 3 +
−
[𝑢
]+
0
𝜔
3 𝜔
2𝜔 3
2
2𝐹1 𝐹2
𝜅2
2 𝐹1 2 𝑢03
[𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑢0 ) − 𝑢0 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0 )] =
[2𝑢0 − ( ) 2 +
+
𝜔3
2𝜔
3 𝐹2 𝛾
+
1
𝑠𝑖𝑛ℎ(2𝑢0 )
4𝐹1 𝐹2
[𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑢0 ) − 𝑢0 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0 )]
−
+
[𝑢
]
0
𝛾2
2
𝜔3
4𝐹1
2𝐹2 𝜅 2 𝛾
[𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑢0 ) − 𝑢0 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢0 )] =
+
+ 𝑂(𝛾 2 )
𝐹2
3(𝐹1 + 𝐹2 )𝜔
(92)
Перейдем далее к интегрированию по 𝑝⃗. Учитывая (92), вычисления
дают следующий результат:
1
2𝐹0 2𝜆
𝑤=
(
)
8𝜋 𝐹1 + 𝐹2
3
3
√3𝜋 2 𝜔 2 𝜅
𝜔0 √(𝐹
𝐹23
3
1 +𝐹2 )
𝛾
3
2
×
3
2𝐹2 𝜅 2 𝛾
3𝜋 2 2𝐹0 2𝜆−2
2𝐹0
× 𝑒𝑥𝑝 {−
}=√ 𝜅 (
𝑒𝑥𝑝 {−
)
}
3(𝐹1 + 𝐹2 )𝜔
2
𝐹1 + 𝐹2
3(𝐹1 + 𝐹2 )
48
(93)
Следует отметить, что при выключении постоянного поля (𝐹1 → 0)
формула (93) переходит в результат работ [3,10] для скорости ионизации
атома водорода полем электромагнитной волны в адиабатическом
приближении:
3
2𝐹0 2𝜆−2
2𝐹0
𝑤 = 𝜔0 √6𝜋 (
𝑒𝑥𝑝 {−
)
}.
𝐹2
3𝐹2
Из полученных результатов (46) и (93) следует, что имеет место
существенное увеличениескорости ионизации квантовой точки и атома
водорода в постоянном электрическом поле в присутствии слабого
переменного
электрического
поля,
и,
наоборот,
в
суперпозиции
переменного электрического поля и относительно слабого постоянного
поля (см.также рис.4).
Таким образом, в настоящем параграфе получены формулы,
описывающие зависимости
импульсного
распределения
от характерных
и
скорости
параметров системы
туннельной
ионизации
водородоподобного атома суперпозицией постоянного и переменного
электрических полей с учетом кулоновского взаимодействия электрона с
атомным остатком.
49
5. Заключение.
Подведем общие итоги проведенных в работе теоретических
исследований:
1. В квазиклассическом приближении получены аналитические выражения
для скорости фотоионизации и парциальных вероятностей процесса
ионизации двумерной квантовой точки, справедливые для любых значений
параметра Келдыша и параметров удерживающего потенциала.
2.Показано,
что
вадиабатическом
приближении
в
постоянном
электрическом поле зависимость предэкспоненциального множителя от
параметра приведенного поля ℇ имеет вид (ℇ)𝑛−1/2 , в то время как в
переменном электрическом поле она имеет вид (ℇ)𝑛 , где 𝑛- размерность
системы.
3.Методом мнимого времени
получено импульсное распределение
вероятности ионизации связанной короткодействующими силами системы
суперпозицией постоянного и переменного электрических полей.
4.Вычислена скорость туннельной ионизации водородоподобного атома
суперпозицией постоянного и переменного электрических полей с учетом
кулоновского взаимодействия фотоэлектрона с атомным остатком.
5.Показано,
что
имеет
место
существенное
увеличения
скорости
ионизации связанной системы (квантовая точка, водородоподобный атом)
в постоянном электрическом поле в присутствии слабого переменного
электрического
поля,
и,
наоборот,
в
суперпозиции
переменного
электрического поля и относительно слабого постоянного поля.
50
Выражаю благодарность своему научному руководителю профессору
Эминову Павлу Алексеевичу за постановку задач и помощь в написании
дипломной работы, а также консультанту профессору Сезонову Юрию
Ивановичу и всем сотрудникам кафедры «Прикладная математика» за
поддержку и внимание.
51
Список литературы.
1. Келдыш Л.В. ЖЭТФ 47 1945, 1964
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая Механика, Физматгиз, 1963
3. Переломов А.М., Попов В.С., М.В. Терентьев 50 1393, 1966
4. Никишов А.И., Ритус В.И. ЖЭТФ 52 223, 1967.
5. АммосовМ.В., Делоне Н.Б., Крайнов В.П. ЖЭТФ 912008,1986.
6. Becker A., Plaja L., Moreno P., Nurhuda M., F.H.M. Fasial, Phys. Rev.
A64 023408, 2001
7. Potvliege R.M., Comput. Phys. Comm. 114 42, 1998
8. Bauer D., Koval P., Comput. Phys. Comm. 174 396, 2006
9. Демиховский.
В.
Я,
Вульгатер
Г
А
Физика
квантовых
низкоразмерных структур, Логос, 2000.
10.Переломов А.М., Попов В.С. ЖЭТФ 52514, 1967.
11.Котова Л.П., Переломов А.М., Попов В.С. ЖЭТФ 54 1151, 1968.
12.Попов В.С. УФН 174 9, 2004.
13.Попруженко С.В., Попов В.С., Мур В.Д., Бауэр Д. ЖЭТФ 135 6
1092, 2009.
14.Крайнов В.П. ЖЭТФ1388196,2010.
15.http://flash.desy.de/
16.http://www.nkj.ru/archive/articles/13308/
17.SikorskyCh., MerktU.,Phys. Rev. Let.62 18 2164, 1987
18.Никишов А.И., Ритус В.И., ЖЭТФ 46 776, 1964
19.Эминов П.А.,Гордеева С.В. Квантовая электроника 42 8 733, 2012.
20.Ритус В. И., Никишов А. И., Квантовая электродинамика явлений в
интенсивном поле. Труды ФИАН т.111, Наука, 1979.
21.Никишов А. И. ЖЭТФ 62562,1972.
22.Арутюнян И. Н., Аскарьян Г. А. Письма в ЖЭТФ 12378, 1970.
23.Ивлев Б.И., Мельников В.И. ЖЭТФ 90 2208, 1986.
52
24.Манаков Н.Л., Файнштейн А.Г. ЖЭТФ79751, 1980.
25.Попруженко С.В., Попов В.С., Мур В.Д.Письма в ЖЭТФ 85 275,
2007.
26.Галицкий В.М., Часть I: Задачи по квантовой механике: Учебное
пособие для вузов – 3-е издание, исправленное и дополненное,
Едиториал УРСС, 2001.
27.Бейтмен Г, Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, том II:
функции
Бесселя,
функции
параболического
цилиндра,
ортогональные многочлены, «Наука», 1966.
28.Федорюк
М.В.,
Асимптотические
методы
дифференциальных уравнений, «Наука», 1983.
53
для
линейных