Электромагнитные поля и волны

Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и
Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Контрольная работа №2
Электромагнитные поля и волны
Вариант
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Новосибирск, 2011
Задача №1
Плоская электромагнитная волна с частотой f падает по нормали из
вакуума на границу раздела с реальной средой. Параметры среды: εа=ε0ε,
µа=µ0µ, удельная проводимость σ. Амплитуда напряженности
электрического поля Eт.
1.Определить амплитуду отраженной волны.
2.Определить амплитуду прошедшей волны.
3.Определить значение вектора Пойнтинга отраженной волны.
4.Определить значение вектора Пойнтинга прошедшей волны.
5.Определить коэффициент стоячей волны.
6. Вычислить расстояние между минимумами поля в первой среде.
7.Рассчитать и построить график зависимости напряженности
электрического поля в первой среде в интервале -l < z < 0 и второй
среде в интервале 0 < z < 3Δ0, где Δ0- глубина проникновения во
вторую среду.
Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1
Em,В/м
ε
4,0
4,0
f,МГц
σ,См/м
1500
0,06
1200
0,02
Решение
Абсолютная диэлектрическая проницаемость первой среды (стр.16[1]):
εа1=ε0=10-9/36π= 8,85∙10-12 Ф/м
Абсолютная диэлектрическая проницаемость второй среды (1.2.10[1]):
εа2=ε0ε=8,85∙10-12∙4=35,4∙10-12Ф/м
Абсолютная магнитная проницаемость для среды 1 и 2 одинакова
(стр.20[1]):
µа=µ0=4π∙10-7=1,257∙10-6Гн/м
ω=2πf=2∙3,14∙1500∙106=9,42∙109 1/с
Волновое число в первой среде (15[4]):
𝑘1 = 𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 9,42 ∙ 109 ∙ √8,85 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6 = 31,42
Характеристическое сопротивление в первой среде (14[3]):
𝑍𝑐1
𝜔𝜇𝑎 9,42 ∙ 109 ∙ 1,257 ∙ 10−6
=
=
= 377 Ом
𝑘1
31,42
Тангенс угла диэлектрических потерь (13 [3]):
𝜎
𝑡𝑔 𝛿 =
𝜔𝜀а
-для первой среды:
𝑡𝑔 𝛿1 =
𝜎1
0
=
=0
𝜔𝜀𝑎1 9,42 ∙ 109 ∙ 8,85 ∙ 10−12
-для второй среды:
𝑡𝑔 𝛿2 =
𝜎2
0,06
=
= 0,18
𝜔𝜀𝑎2 9,42 ∙ 109 ∙ 35,4 ∙ 10−12
δ2=0,1781 рад
Коэффициент затухания α и фазовая постоянная β (5.6[4]):
-для первой среды:
𝛼1 = 9,42 ∙ 10 ∙ √
9
8,85 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6
(−1 + √1 + 02 ) = 0
2
-для второй среды:
35,4 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6
𝛼2 = 9,42 ∙ 10 ∙ √
(−1 + √1 + 0,182 ) = 5,63
2
9
35,4 ∙ 10−12 ∙ 1,257 ∙ 10−6
√
𝛽2 = 9,42 ∙ 10 ∙
(1 + √1 + 0,182 ) = 63,09
2
9
Волновое число во второй среде (5.15[4]):
𝑘2 = 𝛽2 − 𝑗𝛼2 = 63,09 − 𝑗5,63
Характеристическое сопротивление во второй среде:
𝜔𝜇𝑎 9,42 ∙ 109 ∙ 1,257 ∙ 10−6
=
=
= (189,18 + 𝑗16,88) Ом
𝑘2
63,09 − 𝑗5,63
𝑍𝑐2
𝛿2
𝑍𝑐2 = |𝑍𝑐2 |𝑒 𝑗 2 = √189,182 + 16,882 𝑒 𝑗
0,1781
2
= 189,9𝑒 𝑗0,089
Коэффициент отражения по электрическому полю (6.4[3]):
Г=
𝑍𝑐2 − 𝑍𝑐1 189,18 − 𝑗16,88 − 377
=
= −(0,3305 + 𝑗0,0397)
𝑍𝑐1 + 𝑍𝑐2 377 + 189,18 + 𝑗16,88
|Г| = √0,33052 + 0,03972 = 0,333
Коэффициент прохождения (6.4[3]):
𝑇=
2𝑍𝑐2
2(189,18 + 𝑗16,88)
=
= 0,6695 + 𝑗0,0397 =
𝑍𝑐1 + 𝑍𝑐2 377 + 189,18 + 𝑗16,88
=
√0,66952
+
0,0397
𝑗
2
0,0397 𝑒 0,6695
= 0,671 ∙ 𝑒 𝑗0,059
Амплитуда падающей волны равна (5.11[4]):
𝐸 0 𝐸𝑚
4
𝐻 =
=
=
= 0,01061 А/м
𝑍𝑐 𝑍𝑐1 377
0
Амплитуда отраженной волны (6.3[4]):
𝐸 − = Г𝐸 0 = 0,333𝑒 −𝑗0,12 ∙ 4 = 1,332𝑒 −𝑗0,12 В/м
Амплитуда прошедшей волны:
𝐸 + = 𝑇𝐸 0 = 0,671𝑒 𝑗0,059 ∙ 4 = 2,684 ∙ 𝑒 𝑗0,059 В/м
Вектор Пойнтинга отраженной волны:
Пср1
(𝐸 − )2 −2∙0∙𝑧
0 1,3322
=
𝑒
cos =
∙ 1 ∙ 1 = 2,353 ∙ 10−3 Вт/м2
2 ∙ 𝑍𝑐1
2 2 ∙ 377
Вектор Пойнтинга прошедшей волны:
Пср2
(𝐸 + )2 −2𝛼𝑧
𝛿
2,6842 −2∙5,63𝑧
0,1781
=
𝑒
cos =
𝑒
cos
=
2 ∙ 𝑍𝑐2
2 2 ∙ 189,9
2
= 0,01889𝑒 −11,26∙𝑧 Вт/м2
Коэффициент стоячей волны(20[3]):
КСВ =
1 + |Г| 1 + 0,333
=
= 1,9985
1 − |Г| 1 − 0,333
Поле в первой среде состоит из полей падающей и отраженной волн(15 [3]):
𝐸𝑥1 = 𝐸𝑥0 + 𝐸𝑥− = 𝐴𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝑘1𝑧) − 𝐵𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝑘1 𝑧)
Вещественные значения:
𝐸𝑥1 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑧) − 𝐵𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑧 + 𝜑0 ) =
= 4 cos(𝜔𝑡 − 31,42𝑧) − 1,332𝑒 0∙𝑧 cos (𝜔𝑡 + 31,42𝑧 +
0,1781
)=
2
= 4 cos(𝜔𝑡 − 31,42𝑧) − 1,332 cos(𝜔𝑡 + 31,42𝑧 + 0,089) В/м
Расстояние между минимумами поля в первой среде равно половине
падающей волны(13 [3]):
𝜆1 =
2𝜋 2 ∙ 3,14
=
= 0,1998 м
𝑘1
31,42
𝑙1 =
0,1998
= 0,0999 м
2
При t=0
𝐸𝑥1 = 4 cos(31,42𝑧) − 1,332 cos(31,42𝑧 + 0,089) В/м
Зависимость напряженности электрического поля в первой среде в
интервале - λ<z<0 приведены в таблице 2 и графике рис.1:
Таблица2
Z
-0,09
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
Ex1
-2,5
-2,1
-1,5
-0,7
0,12
0,89
1,67
2,23
2,57
2,67
Z
-0,19
-0,18
-0,17
-0,16
-0,15
-0,14
-0,13
-0,12
-0,11
-0,1
Ex1
2,5
2,1
1,5
0,7
-0,12
-0,89
-1,67
-2,23
-2,57
-2,67
Глубиной проникновения поля в среду называется расстояние, при
прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е
раз(9.2.22[1]):
∆0 =
1
1
=
= 0,1776 м
𝛼2 5,63
Отношение амплитуды напряженности электрического поля в точке с
координатой Z к напряженности электрического поля в точке с
координатой Z+1равно Em(Z)/Em(Z+1), поэтому амплитуда напряженности
электрического поля во второй среде:
𝐸𝑥2 = 𝐸 + 𝑒 −𝛼𝑧 = 2,684 ∙ 𝑒 −5,63𝑧
где 0 < Z < 3Δ0 (3Δ0=3∙0,1776=0,53)
Таблица 3.
Z, м
0
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,53
2
Ex ,
2,68 2,02 1,53 1,15 0,87 0,66 0,49 0,37 0,28 0,21 0,16 0,13
В/м
В первой среде Вы построили мгновенное распределение Е, во второй –
расределение амплитуды (не зависящее от времени). Сделайте уж одинаково,
лучше всего – и мгновенные, и амплитуды в обеих средах.
Работа над ошибками
Рассчитать и построить график зависимости напряженности
электрического поля в первой среде в интервале - λ < z < 0 и второй
среде в интервале 0 < z < 3Δ0, где Δ0- глубина проникновения во
вторую среду.
В первой среде происходит сложение векторов напряженности падающей и
отраженной волны. С учетом параметра Г, уравнения для плоской
электромагнитной волны в первой среде можно записать следующим
образом (6.2[4]):
E1m - амплитуды электрического поля в первой среде
H1m - амплитуды магнитного поля в первой среде
e-j(ωt-kz)- волновой множетель
1 𝑗(𝜔𝑡−𝛽1 𝑧)
𝐸𝑥1 = 𝐸𝑚
𝑒
E1m - амплитуды электрического поля
𝐸𝑥1 = 4(1 − 0,333𝑒 𝑗2∙31,42𝑧 )𝑒 𝑗(𝜔𝑡−31,42𝑧)
1
𝐸𝑚
= 4 − 1,332 cos 62,84𝑧
При t=0 мгновенного распределения E
𝐸𝑥1 = (4 − 1,332 cos 62,84𝑧) cos 31,42𝑧
Таким образом, амплитуда поля в 1-й среде периодически изменяется
вдоль оси z. «Волнистость» зависит от величины Г, т.е. соотношения
волновых сопротивлений сред ZC1 и ZC2. Чем больше их различие, тем больше
Г и тем больше "волнистость".
m
m
Emin
сум   Eпад 1  Г   41  0,333  2.668В м  ,
m
m
Emax
сум   Eпад 1  Г   41  0,333  5.332В м 
Расстояние между соседними пучностями поля в первой среде равно
половине падающей волны(13 [3]): l = λ1/2 = 0,1998/2 = 0,0999( м).
Изображение амплитуды электрического поля в первой среде в интервале
- λ < z < 0 показана на рис.1:
В первой среде
С учетом параметра Т,поле во второй среде естественно искать в том же
виде что и для первой(6.2[4]). Первое слагаемое, пропорциональное А, дает
волну, распространяющуюся от границы z = 0 вглубь среды с εа2 , µа2.
Второе слагаемое, пропорциональное В, определяет волну,
распространяющуюся в обратном направлении, т.е. к границе z = 0. Из
физических соображений следует принять В = 0 (поскольку очевидно, что
волне во второй среде не от чего отражаться)(6.3[4]).
Тогда:
Коэффициент прохождения по электрическому полю (6.4[3]):
𝑇=
2𝑍𝑐2
2(189,18 + 𝑗16,88)
=
= 0,6695 + 𝑗0,0397
𝑍𝑐1 + 𝑍𝑐2 377 + 189,18 + 𝑗16,88
|Т| = √0,66952 + 0,03972 = 0,671
𝐻𝑥2 =
1
4 ∙ 0,671𝑒 −𝑗(63,09−𝑗5,63)𝑧 = 0,014𝑒 5,63𝑧 𝑒 −𝑗63,09𝑧
189,9
2
𝐻𝑚
= 0,014𝑒 5,63𝑧
𝐸𝑥2 = 4 ∙ 0,671𝑒 (5,63−𝑗63,09)𝑧 = 2,684𝑒 5,63𝑧 𝑒 −𝑗63,09𝑧
2
𝐸𝑚
= 2,684𝑒 5,63𝑧
При t=0 мгновенного распределения E
𝐸𝑥2 = 2,684𝑒 5,63𝑧 cos 63,09𝑧
Зависимость амплитуды напряженности электрического во второй среде в
интервале 0 < Z < 3Δ0 (3Δ0=3∙0,1776=0,53) приведены в таблице 3.
Изображение электрического поля во второй среде показана на рис.2:
Найдем длину волны во второй среде: λ2 = 2π:k2 = 2·3,14:63,34 =0,099 (м)
Во второй среде
Задача 2.
Цилиндрический резонатор имеет диаметр D, длина 0,05 м, заполнен
диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε.
1.Определить резонансную частоту колебания E010.
2.Определить резонансную частоту колебания H111.
3.Определить собственную добротность колебания E010 при значении
поверхностного сопротивления RS = 10-3 Сим/м.
4.Определить полосу пропускания резонатора на колебании E010.
5.Определить собственную добротность колебания H111, RS = 10-3 Сим/м.
Таблица 2
D, м
0,012
ε
1,0
2,5
Решение.
1. Резонансная длина волны для основного колебания Е010 из (12.3.2.1.) [1]
0E
010

2r
 01 , где r – радиус резонатора, α01 = 2,405 – корень функции Бесселя
нулевого порядка.
0E
010

3,14  0,012
 15,66 103  м  ,
2,405
резонансная частота колебаний
E
f 0 010

c
0E010

3  108
15,66  10
3
 19,15  109  Гц  .
Резонансная частота колебания E010:
f
E 010

f 0E
010


19,15 109
1,0
 19,15 10 9  Гц 
2. Резонансная длина волны для колебания H111
0H
2

111
 111   1 
  

 r   L 
2
2
, где L – длина резонатора, β111 = 1,84 – корень
функции Бесселя.
0H
111
2

2
 1,84
  1 

 

3
,
14

0
,
006

  0,05 
2
 20,06 103  м  ,
резонансная частота
f
H 111
0

3 108

 14,95 109  Гц  .
3
20,06 10
c
0H
111
Резонансная частота колебания H111:
f
H 111

f 0H
111


14,95 109
1,0
 14,95 109  Гц 
3. Собственная добротность колебания
Q0 
Q0 
 a р
2 Rs

rl
, где для диэлектрика  a   0  4  10 7  12,56  10 7 .
r l
12,56 10 7  6,28 19,15 109 0,006  0,05

 4,046 105 .
3
0,006  0,05
2 10
4. Полоса пропускания резонатора на колебании Е010
010
f 0E
2f 
Q
19,15 10 9

 47330,7 Гц  .
4,046 10 5
5. Собственная добротность колебания Н111 (18.6.12) [1]
𝜋𝑓0 𝜇𝑎
𝑄0 =
∙
𝑅𝑆
∙
𝑟𝑙
𝐻 )2
𝑙(𝛽11
𝜆𝐻11 2
(2𝑟 − 𝑙) (
+ 𝐻 2
2𝑙 )
(𝛽11 ) − 1
0,006 ∙ 0,05
(0,012 − 0,05) (
2
10−3
20,06 ∙
2 ∙ 0,05
Использованная литература.
) +
3,14 ∙ 14,95 ∙ 109 ∙ 12,56 ∙ 10−7
=
∙
10−3
1,842
0,05 ∙
1,842 − 1
= 2,5476 ∙ 105
1.Техническая электродинамика. В.И.Вольман, Ю.В.Пименов. Связь, М.:1971.
2.Техническая электродинамика. О.И.Фальковский. Связь, М.:1978.
3.Электромагнитные поля и волны. Методические указания к контрольной
работе. Новосибирск 2001.
4.Электромагнитные поля и волны. Конспект лекций. Новосибирск 2001.
5.Техническая электродинамика. В.И.Вольман, Ю.В.Пименов, А.Д.Муравцов.
Радио и связь, М.:2000.