Экзамен. Дифракция Френеля на краю экрана. Спираль

Экзамен. Дифракция Фраунгофера на одной щели (продолжение).
--------Рассмотрим теперь задачу дифракции Фраунгофера на одной щели
графически.
Разобьем щель на тонкие полоски вторичных источников.
Пусть высота расположения полоски относительно нижнего края щели y .
Если полоски имеют равную ширину δ y , то разность хода от соседних полосок
δ∆
δ∆ = δ y ⋅ sin (α ) ,
что следует из выражения ∆ = y ⋅ sin (α ) для разности хода между лучом,
который проходит щель на высоте y , и лучом, который проходит через нижний
край щели.
∆
Разность фаз связана с разностью хода соотношением ∆ϕ = 2π , тогда
δ ( ∆ϕ ) = 2π
δ∆
.
λ
λ
Подставим сюда δ∆ = δ y ⋅ sin (α ) и получим
δ ( ∆ϕ ) = 2π
δ y ⋅ sin (α )
— одинаковый фазовый сдвиг вкладов соседних
λ
полосок в комплексную амплитуду в точке наблюдения. Фазовый сдвиг равен
углу поворота вектора на комплексной плоскости сложения амплитуд. С учетом
этого картина сложения амплитуд на комплексной плоскости — дуга
окружности:
--------При изменении угла дифракции α вклад в суммарную амплитуду EP
каждой из полосок щели не изменяется по величине, но поворачивается из-за
изменения фазы вклада в точке наблюдения. При этом дуга на комплексной
плоскости несколько сворачивается без изменения своей длины.
На следующем рисунке приведены картины сложения амплитуд на
комплексной плоскости для разных направлений дифракции α .
Первый ноль амплитуды и интенсивности дифрагированного света
соответствует дуге, свернувшейся в окружность. При этом разность фаз
вкладов в комплексную амплитуду в точке наблюдения первой и последней
полосок равен ∆ϕ = 2π . Такой разности фаз соответствует разность хода
∆=λ.
Учитывая, что ∆ = y ⋅ sin (α ) , и, что для последней полоски y = D ,
получим
D ⋅ sin (α ) = λ
α≈
=>
λ
D
— величина угла дифракции для
первой темной полосы.
Полторы окружности на комплексной плоскости сложения амплитуд
соответствуют первому после нулевого максимуму зависимости интенсивности
от угла дифракции. Две окружности — второй ноль интенсивности и т. д.
Экзамен. Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии.
Пусть a и b — размеры отверстия по осям x и y . Тогда комплексная
амплитуда в точке наблюдения с точностью до постоянного сомножителя будет
иметь следующий вид:
a
b
1
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ E0eikr ' ,
EP =
ab 0 0
1
добавлен для согласования размерности; r ' —
ab
вектор, направленный из вторичного источника в плоскости отверстия в точку
наблюдения.
Пусть точка с координатами x = 0 и y = 0 находится в углу
прямоугольного отверстия. Пусть r — вектор из этого угла в произвольную
точку отверстия. Пусть r0 — вектор из того же угла в точку наблюдения
дифракционной картины. Тогда
r ' = r0 − r
=>
kr ' = k , r ' = k , r0 − k , r
=>
где сомножитель
(
) (
) ( )
ikr '
(
=E e
i k , r0
)e−i( k ,r ) = E eikr0 e−i ( k x x + k y y ) .
E0e
0
0
Подставим это в выражение для комплексной амплитуды EP в точке
наблюдение и получим
a
b
(
)
E eikr0
E eikr0 1
1
− ik y
−ik b
⋅ ∫ e−ik x x dx ⋅ ∫ e y dy = 0
⋅
EP = 0
1 − e −ik x a ⋅
1− e y .
ab
ab
ik x
ik y
0
0
(
)
Интенсивность света пропорциональна квадрату комплексной амплитуды
cn
2
I=
EP .
8πµ
Тогда интенсивность света в зависимости от направления дифракции
k 
 x
k =  k y  имеет вид:
k 
 z
2
2
 sin (U1 )   sin (U 2 ) 
I = I0 ⋅ 
 ⋅
 ,
 U1   U 2 
1
1
где U1 = k x a и U 2 = k yb .
2
2
Факультатив. Дифракция Фраунгофера и Фурье-образ амплитудного
коэффициента пропускания экрана.
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на отверстии произвольной формы
в плоском экране.
Для дифракции Фраунгофера на прямоугольном отверстии
a
b
1
EP =
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ E0eikr ' .
ab 0 0
Аналогично для отверстия произвольной формы
1
ikr ' E0eikr0
−i ( k x + k y )
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ τ ( r ) ⋅ e x y ,
E k = ⋅ ∫ dS ⋅ E0τ ( r ) ⋅ e =
S S
S
где E0 — амплитуда поля волны перед экраном, τ ( r ) — амплитудный
коэффициент пропускания экрана в точке с радиус-вектором r , соответственно
E0τ ( r ) — комплексная амплитуда света прямо за экраном, r ' = r0 − r — вектор
из вторичного источника с радиус-вектором r в точку наблюдения с радиус
вектором r0 .
Здесь, как и раньше, начало координат выбрано в плоскости экрана, в
которой лежат оси координат x , y и вектор r , поэтому k , r = k x x + k y y .
( )
( )
∫ dx ∫ dy ⋅τ ( r ) ⋅ e
(
−i k x x + k y y
)
— двумерный Фурье-образ амплитудного
коэффициента пропускания τ ( r ) .
Окончательно
E0eikr0
−i ( k x + k y )
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ τ ( r ) ⋅ e x y .
E k =
S
Распределение амплитуды по углам дифракции пропорционально Фурьеобразу амплитудного коэффициента пропускания экрана.
( )
Экзамен. Принцип Бабине.
Согласно принципу Бабине
EP = E1 + E2 , где
EP — комплексная амплитуда светового поля в точке наблюдения при
отсутствии непрозрачного экрана,
E1 и E2 — комплексные амплитуды в точке наблюдения для двух
дополнительных друг другу непрозрачных экранов.
Пример дополнительных экранов — непрозрачный диск и непрозрачный
экран с круглым отверстием того же радиуса.
Принцип Бабине полностью согласуется с теорией дифракции Кирхгофа,
но сама теория неточна.
Поясним соответствие принципа Бабине теории дифракции Кирхгофа.
Рассмотрим три задачи и соответствующие им вторичные источники
света в общей для этих задач плоскости экранов.
1). Экранов нет. Вторичные источники находятся на всей плоскости
возможных непрозрачных экранов.
2). Экран с круглым отверстием. Вторичные источники находятся в
плоскости отверстия.
3). Экран в виде непрозрачного диска. Вторичные источники
расположены по всей плоскости снаружи диска.
Вторичные источники 2-ой и 3-ей задач в сумме дают вторичные
источники 1-ой задачи. Тогда интеграл Кирхгофа для первой задачи равен
сумме интегралов Кирхгофа для второй и третьей задач, что полностью
согласуется с принципом Бабине.
Рассмотрим
дифракцию
плоской
монохроматической
волны
перпендикулярной плоскости экранов. Если экранов нет, то для любого
направления, кроме исходного направления волны, света нет.
Тогда для дифракции Фраунгофера в любом направлении, кроме
исходного направления, получим
0 = E1 + E2
=>
E2 = − E1
=>
I1 = I 2 .
Интенсивности дифракционных картин для дополнительных экранов
равны для любого направления дифракции, кроме направления исходной
световой волны.
Экзамен. Дифракция Френеля на краю экрана. Спираль Корню.
Пусть монохроматическая световая волна распространяется слева
направо в направлении оси z. Перпендикулярно направлению волны находится
непрозрачный экран в виде бесконечной полуплоскости. На другом экране
параллельном первому, находящемуся на расстоянии L , наблюдают
дифракционную картину. Оба экрана параллельны плоскости x , y . Пусть
граница непрозрачной полуплоскости совпадает с осью x . На границе
полуплоскости y = 0 .
Вторичные источники света на открытой полуплоскости мысленно
разобьем на полоски с координатой y ' и шириной δ y ' . Пусть произвольная
точка наблюдения имеет координату y и находится на расстоянии L ' от
полоски вторичного источника света.
В разные точки экрана y свет от разных вторичных источников y '
приходит в разных фазах. Можно доказать, что для вторичных источников в
виде тонких полосок разность фаз пропорциональна разности хода, как и в
случае точечного вторичного источника. Тогда
∆ 2π
2π
δϕ = 2π =
( L '− L ) =  L2 + ( y '− y )2 − L  =
λ λ
λ 

2


2π 
 y '− y 
=
L 1+ 
 − L 
λ 
L




Будем считать, что y << L и y ' << L . Тогда
2
 2π ( y '− y )2 π ( y '− y )2
2π   ( y '− y ) 
2
 L 1 +
 − L =
~
'
δϕ ≈
y
y
⋅
=
−
(
)
 λ
λ  
λL
2L
2 L2 
 

δϕ ~ ( y '− y )
=>
2
Из последнего соотношения следует, что с увеличением разности ( y '− y )
запаздывание по фазе δϕ сначала нарастает медленно, а затем все быстрее и
быстрее.
При нарастании фазы с постоянной скоростью характерная картина
сложения амплитуд соответствует задачи со вторичными источниками света в
виде тонких колец и круглом отверстии в непрозрачном экране.
Если фаза нарастает с ускорением, то и поворот каждого малого
слагаемого на комплексной плоскости нарастает с ускорением. При этом
картина сложения амплитуд примет вид:
Такая картина сложения амплитуд получается при рассмотрении вкладов
полосок с ( y '− y ) одного знака. Каждому слагаемому с ( y '− y ) > 0
соответствует слагаемое с тем же модулем
y '− y , но с другим знаком
( y '− y ) < 0 , которое имеет тот же фазовый сдвиг и ту же длину вектора.
Картина сложения амплитуд ото всех возможных полосок примет
следующий вид.
Картина содержит две спирали. Вектор, проведенный из центра нижней
левой спирали в центр верхней правой спирали, — комплексная амплитуда в
точке наблюдения от всех полосок плоскости вторичных источников, то есть
комплексная амплитуда излучения без загораживающего часть света экрана.
Эта картина сложения амплитуд и называется спиралью Корню.
Для определенности договоримся считать, что левая часть спирали
Корню соответствует вкладам вторичных источников, для которых ( y '− y ) > 0 .
Рассмотрим картину сложения амплитуд на комплексной плоскости для
разных точек экрана: A, B, C
и рассмотрим соответствующие точки на спирали Корню.
Пусть точка A находится в области геометрической тени, следовательно,
y < 0 , а y ' > 0 для всех вторичных источников, поэтому ( y '− y ) > 0 для любой
точки наблюдения в области геометрической тени.
По нашей договоренности для ( y '− y ) > 0 вклады в комплексную
амплитуду соответствуют левому нижнему завитку спирали Корню. Для
рассматриваемой точки A в области геометрической тени нужно учитывать не
все вклады левого завитка. Вклады от центральной части левого завитка
спирали Корню соответствуют большим положительным значениям ( y '− y ) и
обязательно присутствуют. В результате получаем комплексную амплитуду в
виде вектора из центра левого завитка спирали Корню в некоторую точку A в
том же левом завитке.
Из спирали Корню видно, что при смещении точки наблюдения в область
геометрической тени амплитуда света, как и интенсивность, монотонно
убывают.
Для точки B , находящейся выше геометрической границы света и тени,
появляются вклады ( y '− y ) < 0 , соответствующие правой части спирали Корню.
Из рисунка спирали Корню видно, что при движении от точки A к точке
B и соответственно при движении вверх по экрану от границы геометрической
тени амплитуда и интенсивность возрастают монотонно.
При дальнейшем движении вверх по экрану от точки B к точке C
интенсивность света убывает, как видно из спирали Корню. Далее
интенсивность снова возрастает, затем снова убывает и т. д.
В освещенной области экрана интенсивность света осциллирует при
перемещении от границы геометрической тени.
На границе света и тени амплитуда равна половине всей амплитуды
падающей волны, а интенсивность, соответственно, равна четверти всей
интенсивности.
Пространственный период осцилляций интенсивности на экране имеет
порядок величины λL .
Факультативная вставка.
Спираль Корню в безразмерных переменных параметрически задается
парой уравнений:
η

 πξ 2 
 Re ( EP ) = ∫ cos 
⋅ dξ
 2 



0

η
 πξ 2 

 ⋅ dξ
 Im ( EP ) = ∫ sin 
2


0

2
.
λL
Конец факультативной вставки.
Здесь η = y ⋅
Дифракционная решетка.
Экзамен. Главные дифракционные максимумы решетки.
Дифракционная решетка может работать как в отраженном свете, так и в
прошедшем свете.
Рассмотрим решетку, работающую на пропускание. Такая решетка
состоит из чередующихся прозрачных и непрозрачных полосок.
Пусть a — ширина прозрачной полоски, b — ширина непрозрачной
полоски. Тогда величину a + b ≡ d — называют шагом дифракционной решетки
или шириной штриха решетки.
Будем рассматривать только дифракцию Фраунгофера, когда
дифракционная картина локализована на бесконечности. Будем рассматривать
возможные направления падающей световой волны только перпендикулярные
направлению штриха решетки.
Направление главного дифракционного максимума решетки — это
направление, в котором свет от разных штрихов приходит в одинаковой фазе.
Если свет приходит в одинаковой фазе, то разность хода кратна длине
волны.
∆ = mλ , где m = 0, ±1, ±2,... — порядок дифракции.
Из рисунка видно, что разность хода лучей, проходящих через два
соседних штриха, равна следующей величине
∆ = d ⋅ ( sin (α1 ) + sin (α 2 ) ) , где d — шаг решетки,
Здесь α1 — угол падения света на дифракционную решетку, α 2 — угол
дифракции.
Положительные направления для углов α1 и α 2 выбраны так, чтобы
поворот луча составлял угол (α1 + α 2 ) .
Для главного дифракционного максимума ∆ = mλ и, следовательно,
d ⋅ ( sin (α1 ) + sin (α 2 ) ) = mλ .
Это основное уравнение дифракционной решетки. Его можно
рассматривать, как уравнение для определения угла дифракции света α 2 при
заданных остальных параметрах.
Для каждой длины волны света λ основное уравнение дифракционной
решетки задает свое направление дифракции α 2 .
--------Дифракционную картину, локализованную на бесконечности, обычно
наблюдают в фокальной плоскости линзы, которую называют объективом, а
параллельный пучок света, падающий на решетку, формируется, как свет,
прошедший узкую щель и коллиматорную линзу, расположенную так, что щель
находится в фокальной плоскости коллиматорной линзы. Щель направлена
вдоль штрихов решетки. Тогда в фокальной плоскости объектива свет каждой
длины волны соберется в свою линию цветного изображения щели. Эти линии
образуют спектр света Iω . Это напоминает оптическую схему призменного
спектрометра. Просто роль призмы в этом случае играет дифракционная
решетка.
Спектр света, полученный с помощью дифракционной решетки, может
быть осложнен наложением друг на друга спектров разных порядков
дифракции.
Экзамен. Угловая ширина главного дифракционного максимума решетки.
Пусть для некоторого угла дифракции разность хода для соседних
штрихов почти кратна длине волны ∆ ≈ mλ , но несколько отличается от mλ .
Если разность хода кратна λ , то разность фаз кратна 2π . Такую разность
фаз можно не учитывать и считать нулевой.
Дифракционная решетка всегда содержит много штрихов от нескольких
сотен до десятков тысяч. В таком случае суммарная комплексная амплитуда в
точке наблюдения от вторичных источников всех штрихов — это сумма
большого числа векторов на комплексной плоскости. Векторы имеют
одинаковую длину и развернуты друг относительно друга на одинаковые малые
углы, так как разность фаз волн от соседних штрихов одинакова для всех
соседних пар штрихов. В таком случае картина сложения комплексных
амплитуд похожа на дугу окружности.
Количество слагаемых векторов равно N — числу штрихов решетки.
При изменении угла дифракции дуга изменяет радиус кривизны без
изменения длины дуги. При некотором угле дифракции дуга свернется в
окружность, и суммарная амплитуда окажется нулевой. Этот угол дифракции
будет примерно равен угловой ширине на половине высоты главного
дифракционного максимума решетки. Поясним это чуть позже, а сейчас найдем
величину угла.
Если дуга свернулась в окружность, то сдвиг фаз между первым и
последним N -ым слагаемым будет примерно равен 2π :
δϕ1N ≈ 2π .
Этот угол равен N − 1 углов между соседними векторами δϕ12 , тогда
δϕ
2π
δϕ12 = 1N =
.
N −1 N
Этой разности фаз комплексных амплитуд излучений двух соседних
штрихов решетки соответствует разность хода:
δϕ12 λ
λ 2π λ
=
δϕ12 =
⋅
= .
2π
2π
2π N N
Найдем, какое изменение угла дифракции δα 2 соответствует такому
изменению разности хода. Для этого продифференцируем уравнение
∆ = d ⋅ ( sin (α1 ) + sin (α 2 ) ) , считая, что переменные величины — это разность
хода ∆ и угол дифракции α 2 :
δ∆ = d ⋅ δ ( sin (α 2 ) ) = d ⋅ cos (α 2 ) ⋅ δα 2
=> δ∆ = d ⋅ cos (α 2 ) ⋅ δα 2 .
Заменим в этом равенстве δ∆ разностью хода от двух соседних штрихов
λ
∆12 =
и получим изменение угла дифракции δα 2 , соответствующее
N
изменению амплитуды дифрагированной волны от максимума до нуля:
λ
δα 2 =
.
N d ⋅ cos (α 2 )
∆12 = λ
Из рисунка зависимости интенсивности дифрагированной волны от угла
λ
примерно равен угловой ширине
Nd ⋅ cos (α 2 )
главного дифракционного максимума на половине его высоты.
дифракции видно, что угол δα 2 =
Экзамен. Спектральное разрешение дифракционной решетки. Критерий
Рэлея.
Пусть в спектре света, падающего на решетку, есть две близкие
спектральные линии. В каких случаях дифракционная решетка позволяет
определить, что линии две, а в каких не позволяет?
По критерию Рэлея спектральные линии находятся на пороге разрешения,
если главный дифракционный максимум одной спектральной линии совпадает
с нулем интенсивности другой.
Имеется в виду ноль интенсивности соседний с главным дифракционным
максимумом, и подразумевается, что интенсивности двух спектральных линий
равны.
Рассмотрим два графика зависимости интенсивности света от угла
дифракции для каждой из двух спектральных линий.
Если спектральные линии близки, то нет возможности различить, где свет
одной линии, а где — другой. Регистрируется только суммарная интенсивность
двух спектральных линий. На пороге разрешения по критерию Рэлея контур
суммарной интенсивности имеет в центре примерно 20%-ый провал.
Провал суммарного контура интенсивности в 20% — второе определение
критерия Рэлея для предела спектрального разрешения.
Эти два определения критерия Рэлея для разрешающей способности
оптических приборов справедливы не только для дифракционных решеток, но и
для других спектральных приборов. Если зависимость интенсивности после
максимума не опускается до нуля, то пользуются вторым определением
критерия Рэлея для разрешающей способности оптического прибора.
--------Рассмотрим основное равенство дифракционной решетки
d ⋅ ( sin (α1 ) + sin (α 2 ) ) = mλ , где m — целое число — порядок дифракции.
Продифференцируем это равенство, считая, что угол дифракции α 2 —
функция длины волны λ , и получим
d ⋅ cos (α 2 ) ⋅ δα 2 = m ⋅ δλ , где δα 2 и δλ — дифференциалы.
Подставим в получившееся равенство выражение для угловой ширины
главного дифракционного максимума δα 2 =
решетки и получим
λ
N d ⋅ cos (α 2 )
дифракционной
d ⋅ cos (α 2 ) ⋅
λ
= m ⋅ δλ .
Nd ⋅ cos (α 2 )
Отсюда можно выразить отношение
δλ
:
λ
δλ
1
=
.
λ mN
Этому изменению δλ длины волны λ соответствует такое изменение
угла дифракции α 2 , которое для одной длины волны соответствует изменению
интенсивности дифрагированной волны от главного дифракционного
максимума до ближайшего нуля. По критерию Рэлея это изменение длины
волны равно спектральному разрешению решетки.
В результате получаем, что относительное спектральное разрешение
дифракционной решетки
δν δλ
1
=
=
,
ν
λ mN
где m — порядок дифракции, N — общее число штрихов решетки.
Экзамен. Побочные максимумы дифракционной решетки.
Напомним рассмотрение вопроса об угловой ширине главного
дифракционного максимума дифракционной решетки.
Как уже обсуждалось выше, на комплексной плоскости картина сложения
комплексных амплитуд излучения разных штрихов решетки похожа на дугу
окружности:
При изменении направления наблюдения света (угла дифракции)
изменяется радиус кривизны без изменения длины дуги. При монотонном
изменении угла дифракции дуга сначала сворачивается в окружность, а затем
— в полторы окружности. Вектор, проведенный из начала дуги в конец при
этом снова достигнет максимума. Этому максимуму амплитуды соответствует
максимум интенсивности.
Это и есть побочный максимум дифракционной решетки.
Длина дуги при сворачивании не изменяется, поэтому отношение
амплитуды побочного максимума к амплитуде основного максимума равно
отношению диаметра окружности к длине дуги в полторы окружности.
Напомним, что для главного дифракционного максимума решетки дуга
разворачивается в горизонтальный отрезок.
D
1
=
— отношение амплитуд максимумов. Тогда отношение
3
3
πD
π
2
2
интенсивностей в первом побочном максимуме и в главном максимуме
решетки будет равно:
I1
1
=
.
I 0  3 2
 π
2 
Следующие побочные максимумы получаются, когда дуга на
комплексной плоскости сложения амплитуд сворачивается в две с половиной
окружности, затем в три с половиной и т. д.
Интенсивности побочных максимумов относительно интенсивности
главного максимума принимают значения:
1
1
1
,
,
,...
2
2
2
3  5  7 
 π  π  π
2  2  2 
Экзамен. Дифракционная решетка с отсутствующими четными главными
дифракционными максимумами.
Свет дифрагирует на каждой прозрачной части штриха решетки, как на
одной щели.
Рассмотрим решетку, у которой прозрачная и непрозрачная части штриха
равны по ширине:
d
a=b= .
2
При нормальном падении света на решетку α1 = 0 рассмотрим второй
порядок дифракции m = 2 :
 d ⋅ ( sin (α1 ) + sin (α 2 ) ) = mλ

d ⋅ sin (α 2 ) = 2λ
=>
=>
m = 2
α = 0
 1
2λ
sin (α 2 ) =
.
d
Рассмотрим интенсивность света, дифрагированного в этом направлении
прозрачной частью одного штриха:
2
 sin (U ) 
1
I (α ) = I 0 
 , где U = ka ⋅ sin (α ) .
2
 U 
2λ
1
2λ 1 2π d 2λ
получим U = ka ⋅
= ⋅
⋅ ⋅
=π ,
Тогда с учетом sin (α 2 ) =
d
2
d 2 λ 2 d
2
 sin (U ) 
тогда sin (U ) = 0
=>
I (α 2 ) = I 0 
 = 0.
U


Следовательно, второй главный дифракционный максимум имеет
нулевую интенсивность для решетки с одинаковой шириной прозрачной и
d
непрозрачной части штриха a = b = .
2
Аналогично можно показать, что для такой решетки пропадают все
четные дифракционные максимумы. Пример дифракционной картины с такой
решеткой (зависимость интенсивности света от угла дифракции) приведен на
следующем рисунке.
Здесь пунктирной линией изображена зависимость интенсивности от угла
дифракции для одного штриха решетки. Главные дифракционные максимумы
решетки пронумерованы. Из рисунка видно, что четные главные максимумы
попадают на нули интенсивности дифракции на одной щели.