свободные колебания подкрепленных ребрами конструктивно

ПРОБЛЕМИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МЕХАНІКИ
І МІЦНОСТІ КОНСТРУКЦІЙ
ISSN 2079–1836
2011, вип. 16
УДК 539.3
А. С. Каиров, д-р техн. наук, О. И. Власов
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ
РЕБРАМИ КОНСТРУКТИВНО НЕОДНОРОДНЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Приведены результаты исследований собственных частот и форм свободных
колебаний тонких упругих подкрепленных ребрами цилиндрических оболочек
вращения. Задача решается в линейной постановке методом Ритца с учетом
дискретного размещения ребер.
Ключевые слова: свободные колебания, цилиндрические оболочки, подкрепляющие
ребра.
Введение. Особое место в расчетной практике тонкостенных упругих
оболочек с конструктивными особенностями занимают задачи о свободных
колебаниях. Наличие ребер жесткости, присоединенных твердых тел и их
дискретное размещение создает локальную инерционную неоднородность
оболочечной конструкции и оказывает существенное влияние на ее основные динамические характеристики. Обзор исследований, посвященных данной проблеме, приведен в работах [1, 2, 6].
Целью работы является исследование влияния подкрепляющих ребер
на частоты и формы свободных колебаний тонких упругих конструктивно
неоднородных оболочек вращения.
Постановка задачи. Колебания и напряженно-деформированное состояние оболочки рассматриваются на основе линейной теории тонких упругих оболочек и стержней в рамках гипотез Кирхгофа-Лява и КирхгофаКлебша.
Подкрепленная оболочка рассматривается как система (рис.1), состоящая из гладкой тонкостенной оболочки и жестко соединенных с ней по линиям контакта I подкрепляющих стрингеров и J шпангоутов. Начало координат расположено на торце оболочки так, что ось x направлена вдоль образующей,  – по окружности. Система координат ребер совпадает по направлению с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки.
Подкрепляющие ребра рассматриваются как дискретные упругие стержни,
обладающие жесткостью на изгиб в радиальной и продольной плоскостях,
на растяжение-сжатие и крутильной жесткостью.
Согласно принятым гипотезам радиальные прогибы ребер и обшивки постоянны по высоте сечений, а соответствующие углы поворота нормали к
обшивке и закручивания ребер равны. Условия жесткого соединения ребер
и обшивки позволяют установить зависимости между компонентами перемещений их нейтральных осей, откуда:
____________________________
 А. С. Каиров, О. И. Власов, 2011
134
u1i  u1 ( x,  i )  η1i θ1 ( x,  i );
θ1i  θ1 ( x,  i );
u3i  u3 ( x,  i );
θ кp1i  θ 2 ( x,  i );
u 2 j  u2 ( x j , )  η2 j θ 2 ( x j , );
θ 2 j  θ 2 ( x j , );
(1)
u3 j  u3 ( x j , );
θ кp2 j  θ1 ( x j , ).,
где u1 ( x j ,  i ), u2 ( x j ,  i ), u3 ( x j ,  i ) – компоненты перемещений срединной
поверхности
гладкой
оболочки
на
линии
контакта
ребра;
θ1 ( x j ,  i ), θ 2 ( x j ,  i ) – углы поворота нормали к поверхности оболочки относительно координатных осей x и  ; θкp1 i , θ кp 2 j , θ1 i , θ 2 j – углы закручивания ребер и поворота их поперечных сечений; η1i , η 2 j – эксцентриситеты
ребер; x j ,  i – координаты линий сопряжения ребер с обшивкой.
Рис. 1 – Расчетная схема подкрепленной ребрами оболочки
Уравнения относительных деформаций оболочки вращения запишутся в
виде:
1 u2
u A2 u3
 1
 ;
A2  A1 A2 x
R
e1 
1 u1
;
A1 x
e4 
1   1 u3 
;
A1 x  A1 x 
e2 
e3 
1 u1 A2   u2 

;

A2  A1 x  A2 
e5 
1   1 u3 u2 
1 A2  1 u3 

  
; (1)
A2   A2  R  A1 A2 x  A1 x 
e6 
1   1 u3 u2 

 .
A1 x  A2  R 
Деформации ребер определяются через перемещения центров тяжести
поперечных сечений следующими зависимостями:
135
1 u1i
;
A1 x
e1i 
e2 j 
2
1  u3 j
e5 j 
2
A2 j

2

u3 j
R
2
1 u 2 j u3 j

;
A2 j 
R
;
e 6i 
e4i 
1  θ кp1i
;
A 1 x
1   1 u3i 
;
A1 x  A1 x 
e6 j 
1  θ кp 2 j
. (2)
A2 j

Коэффициенты первой квадратичной формы подкрепляющих ребер равны соответствующим характеристикам оболочки: A 1i  A 1 и A2 j  R j .
Метод решения. Задача решается методом Ритца. Согласно принципа
Остроградского – Гамильтона решение сводится к вариационному уравнению δ(Э)  0, где функционал Лагранжа Э  К  П для неоднородной оболочечной системы состоит из суммы составляющих функций обшивки Э (0) ,
стрингеров Э (1) и шпангоутов Э (2) ; К , П – потенциальная и кинетическая
энергии дискретно подкрепленной оболочки.
Составляющие обобщенной функции Лагранжа запишутся в виде:
3
6 6


 2

2

ρ
h
u

B
a
e
e
p
q
p
q
k

 A1 A2 dxd ;
k 1
p 1 q1
S 



α

I
3

 6 6

1
2
2 
 2 ρ  F
 A1dx ;
Э (1) 
u

I
θ

a
e
e
1
i
1
i
k
i
к
p
1
i
к
p
1
i
p
q
i
p
i
q
i




2
i 0 α  
 k 1
 p1 q 1

J 2 π
3

 6 6

1

2
2
 2 ρ  F


u

I
θ

a
e
e
2 j 2 j
kj
кp2 j кp2 j 
pq j p j q j A2 d .


2


j 0 0 
k 1

 p 1 q1

Э (0) 
1
2



Э (2)






(3)
В соотношениях (1) – (3) приняты следующие обозначения: ω – круговая
частота колебаний; S , h – площадь поверхности и толщина оболочки;
A1 , A2 – коэффициенты Ляме; F1i , I1 i , I кp1 i , θ кp1 i – площадь поперечного
сечения стрингера, его момент инерции относительно окружной координаты,
момент
инерции
при
кручении,
угол
закручивания;
F2 j , I 2 j , I кp 2 j , θ кp 2 j – аналогичные характеристики шпангоутов; a pq – коэффициенты жесткости оболочки и подкрепляющих ребер; E , G12 , ν , ρ –
механические характеристики и плотность материала оболочки; E1i , G1i , ρ1 i
– механические характеристики и плотность материала стрингеров;
E 2 j , G2 j , ρ 2 j – аналогичные физико-механические характеристики шпангоутов;
136
B = E h / (1 -  2 ) – параметр жесткости; e p i , e pj , uk i , u kj – компоненты
деформаций и перемещений подкрепляющих ребер ( p  1,6 ; k  1,3 ); α, α
– координаты торцов оболочки.
Для изотропной оболочки и подкрепляющих ребер коэффициенты жесткости a p qi и a p q j примут вид:
a11  a 22  1 ;
a12  a 21  ν ;
a 44  a 55  h 2 / 12 ;
a 45  a 54  νh 2 / 12 ;
a11 i  E1 i F1 i ;
a22 j  E2 j F2 j ;
a 33  G12 (1   2 ) /E ;
a66  G12 h 2 (1   2 ) / (3E ) ;
a44 i  E1 i I1 i ;
a66 i  G1 i I кp1 i ;
a55 j  E 2 j I 2 j ;
a66 j  G2 j I кp2 j .
Деформации оболочки и ребер запишутся в виде
3
M
N
(k ) ( k )
 ( ) pmn
  Cmn
e (p) 
( p = 1,2, ...,6;  = 0,1,2).
k 1 m 1 n 1
Базисные функции деформаций  (( k)) p mn зависят от геометрических параметров оболочки и приведены в унифицированной форме в работе [4].
Перемещения срединной поверхности оболочки ищем в виде системы
базисных функций
M
uk 
N
( k ) (k )
mn
  Cmn
( k  1, 2, 3 ),
(4)
m 1 n 1
k)
где (mn
= Wm(k ) ( x ) n(k ) () cos(ω t ) – линейно независимые базисные функ-
ции; Wm(k ) ( x) , n(k ) () – координатные функции перемещений, удовлетво(k )
ряющие граничным условиям на торцах; C mn
– коэффициенты собственных
форм. В качестве функций Wm(k ) ( x) применяются балочные функции, удовлетворяющие заданным краевым условиям на торцах, а функций n( k ) () –
тригонометрические ряды Фурье, удовлетворяющие условиям периодичности в окружном направлении. Сходимость рядов (4) понимается в смысле
обобщенных функций конечного порядка.
Применяя процедуру Ритца к функционалу Лагранжа из условия его стационарности, а именно
(k )
Э/Cmn
0
( k  1, 2, 3),
получим разрешающую систему однородных линейных алгебраических
уравнений:
137
M
N
3
( k ) ( ηk )
Amn  λ 2 Bmn(ηk )   0
 C mn
( η  1, 2, 3),
(5)
m 1 n 1 k 1
где λ 2  ω 2 ρ h/D – частотный параметр; D  E h 3 / (12(1  ν 2 )) – изгибная
жесткость оболочки.
При вычислении собственных чисел λ и векторов системы уравнений (5)
применяется обобщенный метод вращений. Алгоритм вычисления интегра(η k )
(η k )
лов при определении коэффициентов матриц Amn
и Bmn
выполняется
численно с использованием квадратурных формул Гаусса. Подставив най(k )
денные коэффициенты C mn
в соотношения (4), определяем формы собственных колебаний оболочки, характеризующиеся числом m полуволн в
продольном направлении и n волн в окружном направлении.
Результаты численных исследований. Численные исследования выполнены для цилиндрических оболочек из стали с относительными геометрическими характеристиками L/R = 3; R/h = 125, R = 0,075 м, где R , L , h –
радиус, длина и толщина оболочки. Оболочка регулярно подкреплена с наружной стороны равноотстоящими стрингерами 4×1 мм и шпангоутами
6×1 мм прямоугольного профиля.
а
б
Рис. 2 – Зависимость частотного параметра ω* от количества
наружных стрингеров (а) и шпангоутов (б)
На рис. 2, а для оболочек приведена зависимость безразмерного частотного параметра ω   ω R ρ (1  ν 2 ) /E , характеризующая низшую частоту
колебаний от количества стрингеров I , а на рис. 2, б – зависимость частотного параметра от количества шпангоутов J . Кривые 1, 2, 3 и 4 соответствуют граничным условиям на торцах оболочки: жесткое, шарнирное, жесткое закрепление – шарнирное опирание и консольное закрепление
контуров. Зависимость частотного параметра ω* от волновых чисел n
138
( m  1) оболочки, подкрепленной с наружи двумя равноотстоящими шпангоутами представлена на рис. 3. Полученные численные результаты хорошо
согласуются с экспериментальными данными [3, 5].
Рис. 3 – Зависимость частотного параметра
от волновых чисел
n
ω*
оболочки,
подкрепленной двумя шпангоутами
Из анализа приведенных зависимостей видно, что стрингеры оказывают
незначительное влияние на низшие частоты и формы колебаний, сужая амплитудные поля перемещений поверхности. В целом же формообразования
стрингерной и гладкой оболочек подобны, наблюдаются лишь локальные
искажения амплитудных полей перемещений. Для жестко закрепленных
оболочек низшие частоты незначительно повышаются, а для консольно закрепленных подкрепление продольными ребрами практически не влияет на
низшие частоты. Это объясняется тем, что ребра, обладая меньшей жесткостью при консольном закреплении, чем при жестком, вносят меньший
вклад в потенциальную энергию конструкции. В результате, увеличение количества стрингеров незначительно влияет на собственные частоты и формы колебаний.
Более эффективным является подкрепление оболочек шпангоутами, которые, значительно увеличивая изгибную жесткость в радиальной плоскости, оказывают заметное влияние на повышение собственных частот. Шпангоуты изменяют формообразования, понижая волновое число n для основной формы колебаний, и вносят также локальные искажения в амплитудные
поля виброперемещений поверхности оболочечной системы.
Заключение. На основе уточненной математической модели исследованы свободные колебания тонкостенных цилиндрических оболочек. Полученные результаты характеризуют влияние подкрепляющих ребер числа,
размещения и жесткости продольных и кольцевых подкрепляющих ребер на
частоты и формы свободных колебаний оболочек вращения. Выявлены
новые зависимости, закономерности и физико-механические эффекты, обусловленные конструктивными неоднородностями оболочечной системы.
139
Разработаны мероприятия по улучшению основных вибродинамических
характеристик конструктивно неоднородных оболочек, позволяющие повысить их несущую способность, надежность и долговечность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Амиро И. Я. Учет дискретного размещения ребер при изучении напряженнодеформированного состояния, колебаний и устойчивости ребристых оболочек / И.
Я. Амиро, В. А. Заруцкий // Прикл. механика. – 1998. – Т. 34, № 4. – С. 3 – 22.
2. Заруцкий В. А. О комплексных экспериментальных исследованиях устойчивости и
колебаний конструктивно-неоднородных оболочек / В. А. Заруцкий // Прикл. механика. –
2001. – Т.37, № 8. – С.38-67.
3. Каиров А. С. Экспериментальное исследование свободных колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек с присоединенными твердыми телами / А. С. Каиров,
Л. А. Латанская, В. А. Каиров // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій.
– Д.: ІМА-прес. – 2009. – Вып. 13. – С. 107 – 113.
4. Каиров А. С. Влияние отверстий на собственные колебания подкрепленных оболочек вращения / А. С. Каиров // Теорет. и прикл. механика. – Харьков: Основа. – 2000. –
Вып. 31. – С. 131 – 137.
5. Каиров А. С. О собственных колебаниях подкрепленных оболочек с присоединенными телами / А. С. Каиров, В. П. Шевченко // Збiрник наукових праць Укр. державного
морського технiчн. ун-ту. – Миколаїв: УДМТУ. – 2000. – № 5 (371). – С. 121 – 130.
6. Колебания ребристых оболочек вращения / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий, В. Н. Ревуцкий. – К.: Наук. думка, 1988. – 172 с.
Национальный университет кораблестроения
им. Адмирала С. О. Макарова
Николаев, Украина
Поступила в редколлегию 20.03.2011
О. С. Каіров, д-р техн. наук, О. І. Власов
ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ ПІДКРІПЛЕНИХ РЕБРАМИ
КОНСТРУКТИВНО НЕОДНОРІДНИХ
ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК
Приведено результати досліджень власних частот і форм вільних коливань
тонких пружних підкріплених ребрами циліндричних оболонок обертання. Задача
розв’язується в лінійній постановці методом Рітца з урахуванням дискретного
розміщення ребер.
Ключові слова: вільні коливання, циліндричні оболонки, підкріплюючі ребра.
A. S. Kairov, Professor, O. I. Vlasov
FREE VIBRATIONS OF STRUCTURALLY NONUNIFORM
CYLINDRICAL SHELLS WITH REINFORCED RIBS
The results of studies of natural frequencies and forms of free vibrations of thin
elastic cylindrical shells with reinforced ribs are presented. The solution of the problem
is constructed on the basis of the linear theory and the Ritz method with account of
discrete placing of ribs.
Keywords: free vibrations, cylindrical shells, reinforced ribs.
140