условия локализации корней интервального полинома

УСЛОВИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ
КОРНЕЙ ИНТЕРВАЛЬНОГО ПОЛИНОМА
В ЗАДАННОМ СЕКТОРЕ
Гайворонский С.А., Замятин С.В.
Томский политехнический университет, г. Томск
В докладе рассматривается интервальный полином (ИП) с коэффициентами,
изменяющимися по заранее неизвестным законам в определенных интервалах. Корни
такого полинома мигрируют по комплексной плоскости, образуя области их
локализации. Ставится задача анализа секторной устойчивости ИП, заключающаяся в
проверке расположения всех его корней в заданном секторе левой полуплоскости.
Известная из теории робастной устойчивости реберная теорема позволяет
провести анализ секторной устойчивости ИП. Для этого необходимо отобразить все
ребра многогранника Pm, образованного m интервальными коэффициентами, на
плоскость корней и проверить попадание образов ребер в заданный сектор. Следуя
данной теореме и отображая ребра Pm на плоскость корней, можно точно определить
границы корневых областей ИП и, следовательно, решить поставленную задачу.
m −1
Однако процедура отображения всех ( m ⋅ 2
) ребер является достаточно
трудоемкой.
Как показывают рассмотренные авторами примеры, не все ребра Pm
отображаются на границы корневых областей ИП. Поэтому для облегчения анализа
секторной устойчивости ИП представляет интерес априорное знание существенных
вершин Pm, задающих граничный реберный маршрут. Для решения этой задачи
предлагается использовать многопараметрическое интервальное расширение метода
корневого годографа, при котором образами выходящих из вершины Pm ребер являются
реберные ветви корневых годографов по соответствующим коэффициентам ИП. В
результате рассмотрения свойств отображения ребер и вершин Pm определены условия,
при которых границы областей локализации корней ИП состоят из непересекающихся
реберных ветвей. Такой характер границ предполагает постоянство очередности углов
выхода реберных ветвей из граничных корневых узлов. На основе анализа
соотношения углов выхода реберных ветвей доказаны утверждения, позволяющие
определить набор существенных вершин Pm, задающих минимальный граничный
реберный маршрут из 2m ребер.
Однако анализ секторной устойчивости ИП непосредственным отображением на
корневую плоскость даже минимального числа ребер Pm требует нахождения корней
ИП на каждом шаге при обходе реберного маршрута. Поэтому желательно перейти от
отображения граничных ребер к отображению только их точек, соответствующих
максимальной колебательности ИП. В этом плане важным является установление
характера пересечения реберными ветвями лучей, выходящих из начала координат. На
основе диаграммы Вышнеградского для полинома n-го порядка, построенной в
параметрах показателей колебательности δ i , установлено, что при изменении любого
коэффициента полинома максимальная колебательность его корней достигается при
крайнем значении коэффициента. Из этого следует, что при отображении реберного
маршрута на плоскость корней реберная ветвь не может выходить из заданного сектора
и снова входить в него. Такой вывод означает, что максимальную колебательность ИП
имеет в вершинах граничного реберного маршрута.
Полученные результаты позволили сформулировать условия секторной
устойчивости ИП, основанные на отображении на корневую плоскость только 2(m-1)
существенных вершин Pm.