Применение метода активного планирования эксперимента в

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 4 8211. Государственная регистрация №042 1200025. ISSN 1994-0408
э л е к т р о н н ы й
н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й
ж у р н а л
Применение метода активного планирования эксперимента в
задачах синтеза гасителей вибрации проводов воздушных систем энергоснабжения
# 06, июнь 2014
DOI: 10.7463/0614.0715236
Иванов А. В.
УДК 534.1
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
Введение
Виброзащита от эоловых вибраций1 воздушных линий электроснабжения, а также
воздушных оптоволоконных каналов связи осуществляется с помощью многочастотных
гасителей вибрации, конструкция которых подобна виброгасителю Стокбриджа
(рис. 1) [1]. Такие гасители вибрации обеспечивают достаточно высокий уровень эффективности гашения колебаний проводов при низких затратах на их изготовление [2, 3].
Рис. 1. Конструкция оригинального гасителя вибраций Стокбриджа с бетонными грузами, закрепленными
на телеграфном проводе [1]
Корпус гасителя вибрации жестко закрепляется на проводе линии электропередачи
при помощи зажима. На обе стороны от корпуса параллельно проводу выпущены стальные канаты (демпфирующие упругие элементы) на которых закреплены грузы. В общем
случае расстояние от грузов до корпуса может быть различным, а центр масс грузов не
совпадать с осью канатов.
1
Эоловая вибрация — вызываемые ветром периодические колебания натянутого в пролете воздушной линии электропередачи провода, происходящие, главным образом, в вертикальной плоскости и образующие на
длине пролета стоячие волны [3].
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
279
Когда гаситель вибраций жестко закреплен на защищаемом проводе, то вибрация с
провода передается на грузы гасителя. Движение грузов вызывает изгиб демпфирующих
элементов, в результате чего энергия колебаний рассеивается за счет трения проводников
демпфирующих элементов друг об друга.
Мощность рассеивания энергии колебаний распределена в диапазоне частот колебаний проводов неравномерно, а полосами, коррелированными с собственными частотами
гасителей, и перекрывающими до десяти низших собственных рабочих частот колебаний
проводов воздушной линии. В связи с этим является актуальной задача увеличения числа
низших собственных частот гасителей, равномерно распределенных в интервале рабочих
частот. На основании этого гасители вибраций проектируют для работы на частотах от 3
до 100…150 Гц, т.е. частотах, которые соответствуют низшим частотам колебаний проводов воздушных линий с максимальной амплитудой. Так как верхний предел рабочего частотного диапазона определяется скоростью ветра, в идеальном случае частотные параметры гасителей должны соответствовать условиям эксплуатации и в первую очередь распределению ветровых нагрузок в конкретной местности [2…4].
Увеличить количество собственных частот гасителей можно путем конструкторских
мероприятий.
Оригинальный гаситель вибраций Стокбриджа (см. рис. 1) при малых размерах грузов имеет одну собственную частоту, связанную с колебаниями за счет изгиба демпфирующего элемента (рис. 2, а). Современные гасители вибраций с большими размерами
грузов имеют как минимум две низшие собственные частоты колебаний, на которых изгиб
демпфирующих элементов происходит с максимальной амплитудой, а, значит, с наибольшей эффективностью гашения колебаний (рис. 2) [5].
Рис. 2. Формы колебаний грузов гасителей вибраций с одной низшей частотой (а) и гасителей с двумя
низшими частотами (а, б) [5]
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
280
На рис. 3 показан один из современных гасителей вибраций с тремя низшими частотами. Помимо двух изгибных колебаний (см. рис. 2), грузы совершают крутильное колебание вокруг оси демпфирующего элемента. Наличие крутильного колебания обусловлено
отклонением центра масс грузов и вылетом значительного объема грузов в направлении
перпендикулярном оси демпфирующего элемента [1…3].
Рис. 3. Гаситель вибрации типа "собачья кость" с тремя низшими собственными частотами [2]
Применение в гасителях грузов-эксцентриков различной массы и демпфирующих
элементов неравной длины с различными геометрическими параметрами поперечного сечения позволяет увеличить число собственных низших частот до четырех (рис. 4), а в ряде
случаев до шести и до девяти [2].
Рис. 4. Несимметричный гаситель вибрации с четырьмя низшими собственными частотами колебаний [2]
Несимметричные гасители обеспечивают гашение вибрации в широком диапазоне
частот колебаний проводов, за счет чего снижается количество типоразмеров гасителей.
Однако, данное условие будет выполнено, если собственные частоты колебаний гасителей
будут равномерно распределены по всему рабочему диапазону частот. На практике может
оказаться, что две частоты будут расположены близко друг к другу или совпадать, в результате чего эффективность гашения колебаний упадет [5…9].
Хорошие динамические характеристики гасителей составляют основу длительной и
удовлетворительной эксплуатации проводов воздушных линий, в связи с чем изучение
динамики гасителей вибрации имеет большое значение для понимания условий их работы
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
281
и оценки эксплуатационных характеристик, как самих гасителей, так и защищаемых проводов.
Таким образом, проектирование гасителей, обеспечивающих эффективное демпфирование колебаний проводов в эксплуатационном диапазоне частот (от 3 до 100…150 Гц)
при минимальном количестве типоразмеров, представляет значительный практический и
научный интерес [6…9].
Традиционный подход к задаче проектирования гасителей вибраций основан на рассмотрении обратной задачи, то есть на анализе динамических параметров созданных натурных моделей гасителей. Ключевую роль при решении такой задачи играют экспериментальные исследования эффективности уже созданных моделей. По мере выяснения
особенностей моделей делается вывод об эффективности гасителей и производится корректировка конструкций с целью достижения требуемых параметров. Как правило, для
получения заданных собственных частот корректируется масса грузов, их форма, длина и
диаметр демпфирующих элементов. Необходимость такого подхода обусловлена тем, что
эффективность проектируемых гасителей вибраций зависит от опыта, интуиции и удачливости разработчика, так как поиск оптимального варианта на стадии проектирования ведется вслепую, а в ряде случаев и бессистемно.
Развитие вычислительной техники и численных методов анализа позволяет перейти
к решению прямой задачи, то есть к однозначному определению геометрических и массово-инерционных параметров гасителей вибраций по выходным показателям, заданных
конструктором, а именно по заданным собственным частотам. Решение этой задачи актуально, т.к. разработчику на стадии проектирования, как правило, известны собственные
частоты проектируемых гасителей, и такой подход позволит не только рассчитать динамические характеристики, но и оптимизировать конструктивные параметры гасителей с
целью увеличения диссипации энергии колебаний в широкой частотной области.
Выбор метода решения прямой задачи
Проектирование гасителей значительно упрощается, если удается провести анализ
уравнений, связывающих массово-инерционные и геометрические параметры гасителей с
их динамическими характеристиками. Систему этих уравнений можно составить всегда, а
полученные простые обоснованные зависимости между массово-инерционными, геометрическими и динамическими параметрами проектируемых гасителей вибраций позволят
получить большую информацию об их взаимосвязи и облегчат начальный этап проектирования. Кроме того, при переходе к машинным методам проектирования облегчается выбор начальной комбинации параметров и направления дальнейшего поиска. Однако исследование этих уравнений осложнено тем, что даже для двухчастотного гасителя вибраций связь между анализируемыми параметрами выражается функциями заданными неявно.
Решить прямую задачу можно путем анализа динамических характеристик проектируемых гасителей с установлением однозначной взаимосвязи между массовоhttp://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
282
инерционными, геометрическими параметрами с собственными частотами. В этом случае
однозначная взаимосвязь заданных и искомых параметров гасителей является как бы единичным экспериментом. Целенаправленная постановка серии таких экспериментов при
соответствующей обработке результатов может привести к построению математической
модели задачи некоторой степени точности [10, 11].
Одним из методов, позволяющим решать подобные задачи является метод активного
планирования экспериментов [10…12]. Метод предлагает представить решение прямой
задачи в форме полинома 1…3 степени, коэффициенты которого определяются по результатам экспериментов при соответствующем планировании их условий, а также позволяет
последовательно усложнять задачу или решать ее как экстремальную.
Идеи метода планирования эксперимента – представление отклика в форме полинома, планирование условий эксперимента, определение коэффициентов модели – могут
быть с успехом применены к массово-инерционному и геометрическому синтезу гасителей вибраций, но оценка качества полученной математической модели не может быть
проведена методами математической статистики из-за равной точности измерения входных и выходных параметров проектирования и идеальной воспроизводимости результатов
численного эксперимента [10…12].
Решение прямой задачи проектирования гасителей вибраций состоит из следующих
этапов [13]:
1) выделение факторов эксперимента (геометрических, массовых и инерционных параметров гасителей) и функции отклика (собственных частот гасителей);
2) задание факторного пространства для ограничения величин параметров проектирования гасителей;
3) построение факторного эксперимента, например полного факторного эксперимента ПФЭ 3k , где k – число независимых факторов эксперимента. На этой стадии решения
устанавливается связь отклика и факторов эксперимента;
4) обработка результатов факторного эксперимента и определение вида математической модели взаимосвязи отклика и факторов эксперимента – уравнения регрессии;
5) анализ уравнения регрессии.
Одним из самых сложных этапов метода планирования является выбор области эксперимента. Эта процедура плохо формализуется, а в массово-геометрическом синтезе
особенно из-за особых точек в решении. Более того, аппроксимация отклика возможна
только при условии непрерывности и гладкости отклика.
Определенную сложность вызывает выполнение этапов, на которых устанавливается
связь выходных параметров (отклика) и входных параметров (факторов эксперимента).
Для проектируемых гасителей вибраций откликом будут их собственные частоты, а факторами эксперимента – геометрические и массово-инерционные параметры элементов гасителей. Зависимость собственных частот гасителей вибраций от их массовоинерционных и геометрических параметров в заданных точках плана эксперимента будем
искать численными методами, например с помощью метода конечных элементов (МКЭ)
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
283
[14, 15], реализованного в программе КЭ-моделирования ANSYS 10.0 [16], при выполнении модального анализа проектируемых гасителей. Выполнение модального анализа позволит оценить не только собственные частоты гасителей, но и определить моды (формы)
колебаний на этих частотах [17]. В принципе, решение этой задачи возможно и аналитическими методами. Более того, преимуществом аналитических методов является возможность получения непрерывных зависимостей искомых параметров во времени и идеальная
точность получаемых результатов. Однако, как было сказано ранее, эти методы широко
используются при исследовании несложных динамических систем с малым числом степеней свободы, как правило до двух, с линейной зависимостью параметров. При большем
числе степеней свободы и наличием распределенных параметров разрешающие уравнения
значительно усложняются, решение их представляется в иррациональном виде с наличием
трансцендентных уравнений, требуют специальных методов расчета и наличия специальных дорогостоящих математических программ.
Таким образом, оптимальным методом решения задач динамики механических систем большой размерности, со сложным (нелинейным) взаимодействием ее элементов и
наличием распределенных параметров, является численный анализ, базирующийся на высокоэффективных численных методах, таких как МКЭ.
Ниже излагаются результаты применения метода активного планирования эксперимента к проектированию гасителей вибраций по заданным значениям собственных частот.
Проектирование гасителей вибраций по заданным собственным частотам
Колебания грузов гасителей вибраций происходят на частотах, определяемых массово-инерционными и геометрическими параметрами деталей гасителей. При этом масса
грузов и их момент инерции не зависят от конструкции грузов. Отсюда можно сделать
важный вывод, что если массово-инерционные и геометрические параметры элементов
гасителей будут выходными параметрами поиска при решении прямой задачи проектирования, то рассчитанные массы грузов и их моменты инерции можно реализовать на гасителях любой конструкции.
Примерно так проводились эксперименты по поиску оптимальных параметров гасителей вибрации типа "собачья кость" (см. рис. 3), когда массово-инерционные и геометрические параметры будущих гасителей определялись на модели (рис. 5), имеющей также
три низших собственных частоты [2, 18]. Прототип гасителя "собачья кость" (далее "исследуемый гаситель") состоял из демпфирующих элементов, грузов со скобами, параметры которых менялись в зависимости от условий проведения эксперимента.
Исследуемый гаситель вибраций имеет пять низших частот – две частоты характеризуют изгибные колебания, возбуждаемые в горизонтальной плоскости гасителя, т.е. в
плоскости скоба – груз – корпус (см. рис. 5). Другие две частоты характеризуют изгибные
колебания в плоскости перпендикулярной плоскости скобы, т.е. в направлении качания
провода. Пятая частота характеризует крутильные колебания, появляющиеся при враще-
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
284
нии груза со скобой вокруг оси демпфирующих элементов. Очевидно, что при проведении
модального анализа в среде программы КЭ-моделирования ANSYS 10.0 будут учитываются частоты только трех колебаний, инициируемых качающимся проводом – колебаний
грузов в плоскости качания провода и крутильные колебания грузов вокруг оси демпфирующих элементов.
Рис. 5. Модель прототипа гасителя вибраций типа "собачья кость" [2, 18]
Построение конечноэлементных моделей гасителей в среде ANSYS и проведение модального анализа
Для построения КЭ-моделей исследуемого гасителя и выполнения модального анализа, в среде электронных таблиц MS Office Excel была написана программа, которая на
основе исходных данных формирует макрокоманду на языке программирования ANSYS
APDL [16].
Все детали рассчитываемых гасителей моделируются балочными конечными элементами с определенными геометрическими и материальными константами, величины
которых рассчитываются на основании исходных данных. Эти константы определяют
форму поперечных сечений деталей гасителей, их плотность и геометрические размеры.
Очевидно, что некоторые детали гасителей сложной формы, такие как корпус с зажимом,
при такой постановке моделируются с некоторыми допущениями, которые не оказывают
существенной погрешности на результаты решения. Другие элементы, такие как грузы,
скобы, и демпфирующие элементы моделируются балочными элементами без погрешности.
Наиболее важным этапом в проведении модального анализа гасителей вибраций является задание геометрических параметров сечения и механических характеристик демпфирующих элементов, изготавливаемых из стальных канатов. Это связано с тем, что канаты состоят из стальных проводов различного диаметра, расположенных каждый на своем
уровне и навитых по спирали в различных направлениях с шагом навивки, зависящим от
уровня, и взаимодействующих друг с другом посредством силы трения. В первых конструкциях гасителей применялись демпфирующие элементы из стальных канатов с 7 проводниками [19]. В дальнейшем было установлено, что эффективнее использовать канаты с
большим числом проводников, например 19 (рис. 6) [20]. В этом случае поперечные сечения канатов при изгибе и кручении нельзя рассматривать сплошными. Автором были проhttp://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
285
ведены эксперименты, в результате которых удалось определить изгибную жесткость
демпфирующих канатов и геометрические характеристики их поперечных сечений.
Рис. 6. Внешний вид и схема поперечного сечения демпфирующего каната с 19 проводниками [20]
При выполнении модального анализа не учитывалась анизотропия механических
свойств канатов, связанная с зависимостью крутильной жесткости от направления навивки проводов слоев и зависимость импеданса механических колебаний от амплитуды колебаний грузов.
На рис. 7 показана конечноэлементная модель исследуемого гасителя вибраций.
Рис. 7. Конечноэлементная модель исследуемого гасителя вибраций
Используя встроенные возможности ANSYS рассчитывались собственные низшие
(до 150 Гц) частоты и формы колебаний исследуемого гасителя вибраций. Как говорилось
выше, таких частот пять. В табл. 1 приведены значения рассчитанных низших частот и
показаны формы соответствующих этим частотам колебаний, на фоне недеформированного контура гасителя со следующими параметрами: длина демпфирующего каната 110 мм с
механическими и геометрическими характеристиками, соответствующими канату, изображенному на рис. 6; диаметр стального груза 40 мм, его длина 50 мм; сечение стальной
скобы 6х40 мм; вылет скобы 65 мм, а длина рычага скобы 100 мм. Этим параметрам соответствуют определенные собственные моменты инерции и масса грузов со скобами. Для
исследуемого гасителя с перечисленными выше параметрами масса груза составляет 0,86
кг.
Выше было сказано, что для решения поставленной задачи нас будут интересовать
только те формы колебаний, которые инициируются вертикальным колебанием защищаемого провода, т.е. 2, 3 и 5 формы колебаний (табл. 1).
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
286
Таблица 1. Рассчитанные низшие частоты гасителя и формы колебаний соответствующие этим частотам
Форма собственных колебаний
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
Частота колебаний, Гц
Примечание
9,0
Колебания грузов в плоскости
скобы не инициируются колебанием защищаемого провода и нас не интересуют
9,5
Изгибные колебания грузов
инициируются колебанием
защищаемого провода
32,7
Крутильные колебания грузов
инициируются колебанием
защищаемого провода
56,1
Колебания грузов в плоскости
скобы не инициируются колебанием защищаемого провода и нас не интересуют
95,7
Изгибные колебания грузов
инициируются колебанием
защищаемого провода
287
Построение и анализ регрессионной модели.
Анализ конструкции исследуемого гасителя (рис. 8) показывает, что параметрами
проектирования (факторами эксперимента) в общем виде могут быть четыре неизвестных,
определяющие геометрические и массово-инерционные параметры грузов и гасителя в
целом: длина демпфирующего стального каната L , длины стержней скобы L1 и L2 , характеризующие длину рычага скобы и вылет скобы соответственно, и диаметр груза D .
Рис. 8. Основные геометрические параметры исследуемого гасителя вибраций
Рассмотрим процесс проектирования гасителей вибраций с демпфирующим элементом в виде каната, представленного на рис. 6, скобой сечением 6х40 мм и грузом длиной
50 мм.
Анализ возможных решений показал, что факторное пространство можно задать в
соответствии с табл. 2.
Таблица 2. Факторное пространство эксперимента
Уровень
xi
+1
0
-1
Интервал варьирования
Фактор
L , мм
95
110
125
15
L 1 , мм
L 2 , мм
D , мм
75
100
125
25
55
65
75
10
32
40
48
8
Откликом являются три низших частоты. В принципе, связь отклика и четырех факторов можно искать на уровне линейной модели в ПФЭ 34 , но в этом случае требуется
провести 81 численный эксперимент. Это значительно усложняет задачу и делает ее неэкономичной, т.е. план обладает большой избыточностью. Так же можно рассмотреть некомпозиционный план с выборкой из ПФЭ 3k , что позволит уменьшить число опытов, однако в данной работе связь отклика и четырех факторов будем искать на основе центрального композиционного плана второго порядка, обладающего определенными достоинствами [21]. В этом случае регрессионная модель (функция отклика) будет иметь вид полинома второго порядка:
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
288
k
k
k
i1
i , j 1
i1
y  b0  bi xi  bij xi x j  bii xi2 ,
j i.
(1)
Планирование экспериментов по центральному композиционному плану предусматривает проведение 25 опытов. Более того, наличие в строках матрицы планирования
большого числа нулей значительно упрощает вычисление коэффициентов модели (1).
Матрица центрального композиционного плана для четырех факторов с результатами экспериментов представлена в табл. 3
Таблица 3. Матрица центрального композиционного плана с результатами экспериментов
Номер
опыта
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
X2
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
X3
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
X4
0
0
0
0
0
0
0
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
X 1X 2 X 1X 3 X 1X 4 X 2X 3 X 2X 4 X 3X 4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
X 12
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X 22
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X 32
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X 42
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Собственная частота колебаний, Гц
Первая, f 1
Вторая, f 2
Третья, f 3
9.50
11.25
8.16
9.55
9.49
9.72
9.28
10.68
8.46
13.12
9.53
13.03
9.43
12.30
9.00
12.20
8.89
10.24
7.41
10.21
7.37
9.88
7.17
9.84
7.13
32.69
35.02
30.77
36.91
28.87
37.40
28.96
35.37
30.10
50.39
44.10
37.30
33.10
38.51
33.56
29.03
25.78
40.48
35.35
32.82
28.83
32.14
28.01
25.85
22.76
95.78
109.23
85.66
111.98
82.31
97.11
94.50
105.67
86.24
146.60
113.69
105.53
82.40
141.86
109.86
102.06
79.13
113.68
89.48
85.50
67.74
111.28
87.47
84.30
66.46
Для факторного пространства, представленного в табл. 2 коэффициенты уравнения
(1), найденные для определения первой собственной частоты исследуемого гасителя вибраций имеют значения, показанные на гистограмме рис. 9.
Рис. 9. Коэффициенты уравнения регрессии (1), найденные для определения первой собственной частоты
исследуемого гасителя вибрации (см. рис. 8) в соответствии с факторным пространством (см. табл. 2)
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
289
В связи с тем, что уравнение регрессии связывает члены полинома в безразмерном
виде, принимающие значения в интервале от -1 до +1, это дает возможность оценить степень влияния тех или иных факторов и их взаимодействий на искомый параметр, в данном
случае на значение первой собственной частоты. Кроме того, малозначимые факторы
можно исключить из уравнения регрессии приняв коэффициент уравнения регрессии перед малозначимым фактором равным нулю. Оценка качества модели методами математической статистики не представляется возможной из-за равной точности измерения входных и выходных параметров и идеальной воспроизводимости результатов численного
эксперимента. В этом случае дисперсия адекватности, характеризующая ошибку опыта,
равна нулю.
Пусть факторы и их комбинации будут значимыми, если абсолютные величины коэффициентов уравнения регрессии будут превышать значение 2% от суммы всех коэффициентов модели, кроме константы-нуля, то есть:
bi ,ij,ii
k
k

 k

b
,
b

0
,
0
2

b

b

 i ,ij,ii i ,ij,ii
  i  ij  bii
i , j 1
i 1

 i 1

k
k
 k



.
0
,
b

0
,
0
2

b

b

b



i
,
ij
,
ii
i
ij
ii



i

1
i
,
j

1
i

1




,


(2)
На гистограмме рис. 9 показана область существования незначимых коэффициентов
математической модели для определения первой частоты. Если значения коэффициентов
уравнения регрессии лежат в пределах границы области существования, то значения коэффициентов принимаются равными нулю. На гистограмме рис. 9 незначимые факторы
выделены синим цветом, а значимые – красным. Таким образом, к незначимым факторам
можно отнести факторы и их комбинации X2, X1X2, X1X3, X2 X3, X2 X4, X3 X4, X 22 , X 32 , X 42 .
После исключения этих факторов и повторного проведения регрессионного анализа уравнение регрессии (1) для определения первой собственной частоты f1 гасителя будет
иметь вид:
f1  9,521,55 X1  0,24 X3 1,14 X 4  0,17 X1 X 4  0,09 X3 X 4  0,26 X12 .
(3)
Уравнение (3) дает представление о характере взаимосвязи факторов. Анализ коэффициентов регрессионной модели, стоящих перед линейными и квадратичными членами
регрессионной модели показывает, что увеличение значений всех факторов приводит к
снижению первой собственной частоты гасителей. Несмотря на то, что перед линейными
членами коэффициенты отрицательные, а перед квадратичными положительные, влияние
квадратичных членов на величину частоты меньше, чем линейных. Это связано с тем, что
факторы нормированы, представлены в безразмерном виде и изменяются от -1 до +1. Очевидно, что произведение факторов и квадрат факторов также будет меняться от -1 до +1.
Однако коэффициенты перед квадратичными членами регрессии меньше, чем перед линейными, а значит, значение частоты в основном будет определяться значением линейных
членов уравнения регрессии (3). Из этого следует, что наибольшее влияние на величину
первой собственной частоты оказывает фактор X 1 , т.е. параметр L , характеризующий
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
290
длину демпфирующего элемента и фактор X 4 , характеризующий диаметр груза. Кроме
того, видно, что факторы X 2 и X 3 оказывают слабое влияние на величину первой частоты. Это не противоречит здравому смыслу, т.к. факторы X 2 и X 3 , характеризующие размер скобы, в заданных пределах изменения влияют в основном на момент инерции груза
со скобой, а первая частота изгибных колебаний (см. табл. 1) зависит от жесткости и массы механической системы, т.е. от факторов X 1 и X 4 .
Для оценки точности полученной математической модели (3) рассмотрим графики
рис. 10, на котором показано изменение первой собственной частоты в зависимости от
номера численного эксперимента в соответствии с табл. 3 и рассчитанной по (3), а также
относительная погрешность расчета. Анализ графиков рис. 10 показывает, что наблюдается хорошая сходимость результатов и на границе факторного пространства при комбинации факторов опыта №15 максимальное значение ошибки достигает 2…3%. Средняя
ошибка аппроксимации при определении первой собственной частоты по уравнению (3)
будет равна 0,5%.
Рис. 10. Значение собственной первой частоты в зависимости от номера численного эксперимента в
соответствии с табл. 3 и рассчитанной по (3), относительная погрешность расчета
Аналогично можно определить вид регрессионных моделей для второй и третьей
низших частот. На рис. 11 показаны гистограммы распределения коэффициентов уравнения регрессии (1), найденные для расчета второй (а) и третьей (б) собственных частот исследуемого гасителя (см. рис. 8) в соответствии с факторным пространством (см. табл. 2).
На гистограммах указана область существования незначимых коэффициентов уравнения.
Коэффициенты перед незначимыми факторами выделены синим цветом, а значимыми –
красным.
В уравнении регрессии, построенного для нахождения второй собственной частоты
на основании (2) незначимыми являются 6 факторов из 14, а в уравнении для нахождения
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
291
третьей частоты незначимых факторов 5. После исключения этих факторов из рассмотрения и повторного проведения регрессионного анализа получаем окончательный вид уравнений регрессии для нахождения второй и третьей собственных частот исследуемого гасителя:
f 2  32,82 2,18 X1  4,17 X 2  4,18 X 3  2,82 X 4 
 0,59 X 2 X 3  0,98 X 2 X 4  0,58 X 3 X 4  0,75 X 32 ,
f3  95,78 12,12 X1  15,03 X 2  1,38 X 3  10,81 X 4 
 1,95 X1 X 2  1,71 X1 X 4  2,81 X 2 X 4  1,84 X12  1,54 X 22 .
(4)
(5)
Анализ уравнений регрессии (4, 5) показывает, и это не противоречит действительности, что при увеличении всех факторов вторая и третья частоты будут уменьшаться.
На вторую собственную частоту, характеризующую крутильные колебания груза вокруг демпфирующего элемента, все факторы оказывают существенное влияние.
На третью собственную частоту оказывают наибольшее влияние три фактора X 1 ,
X 2 и X 4 , характеризующие длину демпфирующего троса L , длину рычага скобы L1 и
диаметр груза D . Этот вывод не подлежит сомнению, т.к. третья частота объединяет в себя два колебания – изгибные колебания демпфирующего элемента и крутильные колебания груза вокруг главной оси инерции, расположенной в плоскости скобы перпендикулярно демпфирующему элементу (см. табл. 1 вариант 5). В этом случае частоту изгибных
колебаний определяют факторы X 1 и X 4 (как для первой частоты), а частоту крутильных
колебаний определяет осевой момент инерции груза со скобой, величина которого зависит
от фактора X 2 , т.е. от длины рычага скобы и не зависит от вылета этого рычага.
а)
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
292
б)
Рис. 11. Коэффициенты уравнения регрессии (1), найденные для определения второй (а) и третьей (б)
собственных частот исследуемого гасителя вибрации (см. рис. 8) в соответствии с факторным
пространством (см. табл. 2)
На графиках рис. 12 показаны зависимости собственных второй (а) и третьей (б)
частот от номера численного эксперимента в соответствии с табл. 3 и рассчитанных по (5)
и (6), а также относительные погрешности расчета. Наблюдается хорошая сходимость результатов. На границе факторного пространства ошибка не превышает 5% при определении второй частоты, и 2% при определении третьей собственной частоты колебаний. В
центре факторного пространства во всех случаях ошибка минимальна и лежит в пределах
1%. Средняя ошибка аппроксимации при определении второй собственной частоты по
уравнению (4) будет равна 0,9%, а при определении третьей частоты по уравнению (5) –
0,5%.
а)
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
293
б)
Рис. 12. Значения второй (а) и третьей (б) собственных частот в зависимости от номера численного
эксперимента в соответствии с табл. 3 и рассчитанных по (4, 5), относительная погрешность расчета
Таким образом, для проектирования исследуемого гасителя вибраций с параметрами, находящихся в пределах факторного пространства (см. табл. 2), необходимо решить
систему, составленную из уравнений регрессии (3…5):
f1  9,52  1,55 X 1  0,24 X 3  1,14 X 4  0,17 X 1 X 4  0,09 X 3 X 4  0,26 X 12 ,
f 2  32,82  2,18 X 1  4,17 X 2  4,18 X 3  2,82 X 4  0,59 X 2 X 3  0,98 X 2 X 4 
 0,58 X 3 X 4  0,76 X 32 ,
(6)
f 3  95,78  12,12 X 1  15,03 X 2  1,38 X 3  10,81 X 4  1,95 X 1 X 2  1,71 X 1 X 4 
 2,81 X 2 X 4  1,84 X 12  1,54 X 22 .
В зависимости от количества входных параметров проектирования и характера ограничений, накладываемых на математическую модель (6), возможны различные постановки задач проектирования.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Определение собственных частот гасителей вибраций по заданным размерам (обратная задача проектирования).
Оценим собственные частоты двух исследуемых гасителей вибраций по их геометрическим параметрам. Размеры элементов гасителей, в соответствии с рис. 8, приведены в
табл. 4. В скобках указаны значения факторов эксперимента в соответствии с табл. 2.
Подставляя значения факторов в уравнения (6) определим собственные частоты гасителей
(табл. 4).
Таблица 4. Размеры элементов исследуемых гасителей.
Вариант 1
Вариант 2
L , мм  X 1 
L 1 , мм  X 2 
L 2 , мм  X 3 
D , мм  X 4 
125 (+1,0)
95 (-1,0)
75 (-1,0)
125 (+1,0)
70 (+0,5)
75 (+1,0)
24 (+1,0)
16 (-1)
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
f1
Частота, Гц
f2
f3
7,2
12,2
29,3
28,8
87,7
102,3
294
Пример 2. Определение размеров гасителей по заданным частотам колебаний (прямая задача проектирования).
f1  10 Гц,
Рассчитаем размеры исследуемого гасителя вибраций с частотами
f 2  30 Гц, f3 100 Гц.
Решение системы уравнений (6) показывает, что заданными по условию частотами
колебаний обладает целый ряд гасителей! В табл. 5 показаны результаты решения данной
задачи для трех произвольных гасителей.
Таблица 5. Результаты расчета геометрических параметров гасителей по заданным собственным частотам
Первая частота, Гц
Вторая частота, Гц
Третья частота, Гц
L , мм  X 1 
L 1 , мм  X 2 
L 2 , мм  X 3 
D , мм  X 4 
Задано
10
30
100
–
Гаситель №1
10
30
100
105,6 (-0,29)
Гаситель №2
10
30
100
108,4 (-0,1)
Гаситель №3
10
30
100
115,0 (+0,33)
–
115,3 (+0,61)
115,8 (+0,63)
116,4 (+0,65)
–
67,7 (+0,27)
68,0 (+0,3)
68,9 (+0,38)
–
19,6 (-0,095)
18,5 (-0,37)
16,0 (-0,99)
Таким образом установлено, что заданные три собственные частоты можно реализовать на целом множестве гасителей вибраций. На основании этого можно сделать важные
выводы:
1) в ряде случаев собственные частоты реализуются на гасителях с грузами и демпфирующими элементами разных форм и размеров;
2) в связи с тем, что в реальном случае нельзя точно построить гасители требуемых
размеров, а значит и реализовать на них заданные собственные частоты, за счет отклонений в геометрии, размерах и свойствах материала, необходимо вести речь о вероятностном характере взаимосвязи входных и выходных параметров проектирования. В этом случае целесообразно проводить расчет геометрических параметров гасителей не по точным
значениям частот, а допустимым интервалам изменения частот. Данный подход позволит
определить не только допуски на размеры деталей гасителей, в пределах которых будут
реализованы собственные частоты, но и выявить наличие особых точек при которых теряется однозначность решения, оценить чувствительность влияния параметров проектирования на выходные параметры, а также установить наличие существования решения при
заданных начальных условиях.
Для иллюстрации метода проектирования по заданным интервалам частот рассмотрим следующий пример 3.
Пример 3. Определение размеров гасителей вибраций по заданным интервалам собственных частот.
Рассмотрим принцип определения всех возможных размеров гасителей вибраций, у
которых собственные частоты будут находиться в пределах f1  9... 10 Гц, f 2  32... 33 Гц
и f3  95... 96 Гц. Очевидно, что решений задачи будет бесконечное множество.
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
295
Для наглядности рассмотрим шесть вариантов гасителей, у которых, исходя из конструктивных соображений входными параметрами будут:
Вариант №1. L2 (X3)  65 (0), D (X4 )  40(0) ;
Вариант №2. L1 ( X 2 )  100(0), D ( X 4 )  40 (0) ;
Вариант №3. L1 (X2 ) 100(0), L2 (X3)  65(0);
Вариант №4. L ( X1 )  110(0), D ( X 4 )  40 (0) ;
Вариант №5. L (X1) 110(0), L2 (X3)  65(0)
Вариант №6. L ( X1 )  110(0), L1 ( X 2 )  100(0) .
В каждом из шести вариантов искомыми, выходными параметрами будут два фактора, которые не являются входными (см. рис. 8).
Для решения таких прямых задач на языке VBA в приложении MS Office Excel [22]
была написана программа, позволяющая по заданным входным параметрам гасителей и
интервалам собственных частот определять допустимые отклонения размеров гасителей, в
пределах которых будут реализованы эти частоты.
Предлагается трехэтапная последовательность решения прямой задачи [13]:
1) На основе заданного интервала собственных частот определяется существование
хотя бы одного решения для искомых размеров гасителей. Если решение существует, то
оно является отправным, базовым решением для выполнения второй стадии расчета. Если
же решения не существует, то делается вывод о том, что ни при каких условиях нельзя
построить гасители с собственными частотами, лежащими в заданном интервале, и расчет
заканчивается. В этом случае, для поиска возможного решения необходимо изменить требования по интервалам собственных частот.
2) Рассчитываются поля допустимых размеров элементов гасителей, при которых гасители будут обладать собственными частотами, принадлежащими заданному интервалу.
В результате выявляется вид пространства переменных задачи оптимизации, т.е. k мерного пространства допустимых размеров с устойчивым решением ( k – число независимых факторов эксперимента). Учет особенностей конструкции проектируемых гасителей, материалов, технологических аспектов изготовления элементов гасителей и их сборки осуществляется составлением параметрических и функциональных ограничений, накладываемых на параметры объекта. Вид ограничений определяется требованиями рабочего процесса, особенностями конструкции, технологией изготовления гасителей и др.
3) Определяются оптимальные размеры элементов гасителей с таким расчетом, чтобы они не выходили за пределы найденного k -мерного пространства допустимых размеров. Алгоритм проведения третьего этапа определяется особенностями конструкции и
технологией изготовления гасителей.
Выполнение первого этапа основано на решении задачи нелинейного программирования. Это связано с тем, что функция взаимосвязи трех собственных частот гасителей и
их геометрических параметров (6) нелинейная относительно искомых размеров. Несмотря
на то, что запись выражения (6) позволяет применять методы оптимизации, используюhttp://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
296
щие производные, все же в данном случае использовался метод безусловной оптимизации
нулевого порядка без вычисления производных – метод прямого поиска Хука-Дживса
[23]. В любом случае, независимыми переменными проектирования являются размеры
элементов гасителей вибраций Li  L, L1, L2, D , однозначно определяющие три собственные частоты fi  f1, f2 , f3. Целевая функция составляется на основе анализа величин
трех собственных частот проектируемых гасителей, рассчитанных по (6), относительно
заданных интервалов по следующей схеме:
n
   i ,
(7)
i 1
где n – количество исследуемых собственных частот;
0,


i
i   f i  f max
, если

i

 f i  f min ,
i
i
f min
 f i  f max
,
i
f i  f max
,
(8)
i
f i  f min
,
i
i
где fmin
, fmax
, fi – соответственно нижнее и верхнее значение интервала допустимого из-
менения собственной частоты, Гц, и значение собственной частоты, рассчитанного по (6),
Гц.
Другими словами, целевая функция становиться равной нулю, если значение собственной частоты лежит в пределах заданного интервала. Таким образом, цель первого этапа – поиск таких размеров гасителей, при которых целевая функция принимает нулевые
значения. Выбор для выполнения первого этапа метода безусловной оптимизации нулевого порядка обусловлен тем, что определяется не экстремум функции (6), а координаты начальной точки поиска пространства переменных задачи оптимизации, когда целевая
функция (7) будет равна нулю. При этом таких точек может быть бесконечное множество,
а выбор единственной требуется только для подтверждения, что решение поставленной
задачи существует, и поиск пространства переменных оптимизации будет осуществляться
из найденной точки. Очевидно, что координаты начальной точки поиска и время их расчета зависят от начальных условий. При реализации процедуры выполнения всех трех этапов задачи в MS Excel, когда уравнения регрессии (6) будут разными в зависимости от исследуемой схемы гасителя вибраций и для исключения аналитического определения
функций производных, при выполнении первого этапа задачи может быть с успехом применен метод оптимизации нулевого порядка без вычисления производных.
На втором этапе осуществляется обход пространства допустимых размеров гасителей по методике расчета границ областей устойчивости [23]. Исходными данными для
второго этапа расчета являются размеры элементов гасителей, вычисленные на первом
этапе. Принятый метод обхода пространства позволяет определить границы при сложных
формах области, которая возникает из-за нелинейностей уравнений (6).
На третьем этапе определяются оптимальные размеры гасителей вибраций. Так как
граница области существования размеров нелинейная и многосвязаная, то одним из условий выбора оптимальных полей размеров является требование о возможности заключения
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
297
их в гиперквадрат с таким расчетом, чтобы они не выходили за пределы пространства переменных оптимизации.
В результате трехэтапного подхода удается рассмотреть весь спектр задач проектирования гасителей вибраций, включая оптимизационную.
На первом этапе решения поставленной задачи удалось установить, что решение для
всех шести вариантов гасителей существует, и были найдены начальные точки, от которых начинался обход пространства области допустимых значений (ОДЗ) размеров.
На рис. 13 показаны ОДЗ искомых параметров рассчитанные на втором этапе решения для шести вариантов гасителей.
Рис. 13. ОДЗ искомых параметров рассчитанные на втором этапе решения для шести вариантов гасителей
На рис. 13 границы шести областей выделены своим цветом, подписаны номером
варианта, соответствующим данной области с указанием выходных, искомых параметров
проектирования. Ось абсцисс соответствует изменению факторов с меньшим номером X i ,
а ось ординат X j с большим. Например, варианту №3 с входными параметрами
L1 (X2 ) 100(0), L2 (X3)  65(0) соответствует область В.3 с выходными параметрами X 1
и X 4 , при этом по оси абсцисс откладывается изменение параметра X 1 , а по оси ординат
– X4 .
Анализ ОДЗ искомых параметров, приведенных на рис. 13 показывает, что у гасителя варианта №6 с параметрами L ( X1 )  110(0), L1 ( X 2 )  100(0) возможностей по реали-
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
298
зации заданных частот больше чем у остальных гасителей. Это связано с тем, что ОДЗ искомых параметров у гасителя варианта №6 обширнее, чем у остальных.
Это дает возможность конструктору на следующем, третьем этапе решения, на основе найденного пространства допустимых размеров, выбирать оптимальные, с различных
точек зрения, величины выходных параметров проектируемых гасителей.
В поле двух параметров области оптимальных значений имеют вид прямоугольников. На рис. 14 показаны три возможные области оптимальных размеров, соответствующие различным целевым функциям для гасителя варианта №6, у которого искомыми параметрами являются вылет скобы L2 ( X 3 ) и диаметр груза D( X 4 ) .
Рис. 14. Области оптимальных размеров элементов исследуемого гасителя варианта №6, соответствующие
различным целевым функциям
Например, если стоимость гасителя в основном определяется стоимостью груза, которая в свою очередь зависит от точности исполнения размера D (см. рис. 8), то целесообразно допуск на диаметр груза принять более свободным, а допуск на размер, определяющий вылет скобы L2 , более жестким. В этом случае целевая функция будет иметь вид
1  max(D( X 4 )), а поле допустимых размеров вид, показанный на рис. 14 (поле  1 ).
Если же в процессе работы имеет место ослабление крепления скобы на грузе, то в
этом случае на стадии проектирования целесообразно принять более свободным допуск на
размер, определяющий вылет скобы L2 . Тогда процедуру поиска оптимального значения
размеров необходимо свести к максимизации целевой функции 2  max(L2 (X3)). В этом
случае поле допустимых размеров будет иметь вид, показанный на рис. 14 (поле  2 ).
Когда нет строгих ограничений на размеры и можно выбрать величины полей допустимых размеров пропорциональными размерам элементов гасителя, то для искомых
L2 ( X 3 )
и
D( X 4 )
(см. рис. 8) целевую функцию можно представить в виде
3  max(L2  nD) , где n – весовой коэффициент, учитывающий соотношение L2 и D .
Одно из решений, соответствующее этой целевой функции показано на рис. 14 (поле  3 ).
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
299
Пример 4. Определение размеров гасителей вибраций с собственными частотами,
равноудаленными друг от друга с интервалом 3 Гц.
Для этого примем, что f1  15... 16 Гц, f 2  18... 19 Гц, f3  21... 22 Гц.
Расчеты показывают, что в пределах принятого факторного пространства (см.
табл. 2) построить гаситель с заданными частотами не представляется возможным.
Заключение
В итоге можно отметить, что:
1) применение метода активного планирования эксперимента в задачах синтеза гасителей вибраций возможно;
2) достигнута удовлетворительная точность математической модели, связывающей
входные и выходные параметры проектирования (средняя ошибка аппроксимации не превышает 1%);
3) в зависимости от количества входных параметров и характера ограничений возможна различная постановка задач проектирования, в том числе оптимизационной задачи,
когда к ограничениям на параметры предъявляются противоречивые требования. Выбор
наилучшего, компромиссного решения зависит от предпочтений разработчика;
4) предложенный в работе оптимизационный метод решения прямой задачи проектирования позволяет определять непосредственно допустимые размеры элементов гасителей вибраций. Особенность предлагаемого метода заключается в возможности задания
произвольных собственных частот гасителей. При этом на начальной стадии анализа, основанной на методах нелинейного программирования, выявляются задачи, не имеющие
решения.
Список литературы
1. Vecchiarelli J. Aeolian Vibration of a Conductor with a Stockbridge-Type Damper. PhD.
University of Toronto, Canada, 1997. 264 p.
2. EPRI Transmission Line Reference Book: Wind-Induced Conductor Motion. Palo Alto, CA:
Electric Power Research Institute, 2006.
3. Шкапцов В.А. Методические указания по типовой защите от вибрации и субколебаний проводов и грозозащитных тросов воздушных линий электропередачи напряжением 35-750 кВ. М.: СПО «ОРГРЕС», 1991. 68 с.
4. Dulhunty P. Vibration dampers on AAC and AAAC conductors // Proc. of CIRED 2013:
22nd International Conference on Electricity Distribution (Stockholm, 10-13 June 2013).
Stockholm: CIRED, 2013. Paper no. 0464.
5. Akgun D., Cankaya I. Frequency response investigations of multi-input multi-output nonlinear systems using automated symbolic harmonic balance method // Nonlinear Dynamics.
2010. Vol. 61, no. 4. P. 803-818. DOI: 10.1007/s11071-010-9688-4
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
300
6. Lu M.L., Chan J.K. An efficient algorithm for Aeolian vibration of single conductor with
multiple dampers // IEEE Transactions on Power Delivery. 2007. Vol. 22, no. 3. P. 18221829. DOI: 10.1109/TPWRD.2007.899779
7. Данилин А. Н., Козлов К. С., Кузнецова Е. Л., Тарасов С.С. Моделирование колебаний
гасителя вибрации проводов воздушных систем энергоснабжения // Труды МАИ.
Электрон.
журн.
2013.
№
64.
Режим
доступа:
http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=36556 (дата обращения 10.03.2014).
8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.
9. Narisetti R. K., Ruzzene M., Leamy M. J. Study of wave propagation in strongly nonlinear
periodic lattices using a harmonic balance approach // Wave Motion. 2012. Vol. 49, no. 2. P.
394-410. DOI: 10.1016/j.wavemoti.2011.12.005
10. Головин А.А. Применение метода активного планирования эксперимента в синтезе
плоских рычажных механизмов // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. Теория машин и
механизмов. Вып. 408. 1984. С. 71-78.
11. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. М.: Машиностроение; София: Техника, 1980.
12. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске
оптимальных условий. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1976. 280 с.
13. Ivanov A., Golovin A., Maksimenko N. Definition of Optimum Tolerances for the Sizes of
Planar Mechanisms // Proc. of the 1st European Conference on Mechanism Science
(Obergurgl, Austria, 21-26 February 2006). Obergurgl: EuCoMeS, 2006. P. 1-11.
14. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. М.: Мир,
1986. 318 с.
15. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: пер. с англ. М.: Мир, 1984. 428 с.
16. ANSYS 10.0. ANSYS, Inc. Theory Reference, 2005.
17. Zhu Z., Meguid S.A. Modeling and simulation of aerial refueling by finite element method //
International Journal of Solids and Structures. 2007. Vol. 44, no. 24. P. 8057-8073. DOI:
10.1016/j.ijsolstr.2007.05.026
18. Cazzulani G., Resta F., Ripamonti F. The Active Modal Tuned Mass Damper (AMTMD) for
Vibration Suppression in Flexible Structures // Lecture Notes in Engineering and Computer
Science: Proceedings of the World Congress on Engineering 2011(WCE 2011) (London,
U.K., 6-8 July 2011). Vol. 3. London, 2011. P. 2221-2225. Available at:
http://www.iaeng.org/publication/WCE2011/WCE2011_pp2221-2225.pdf
,
accessed
01.05.2014.
19. Morgan V.T. The Detection and Damping of Overhead-Line Conductor Vibration // Proceedings of the IEE Part A: Power Engineering. 1962. Vol. 109, no. 3. P. 239-250. DOI:
10.1049/pi-a.1962.0040
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
301
20. Li L., Kong D.-Y., Long X.- H. and Fanq Q.-H. Numerical Analysis on Aeolian Vibration of
Transmission Lines with Stockbridge Dampers // Journal of Chongqing University. 2008.
No. 12. P. 44-65.
21. Box G.E.P., Behnken D.W. Some New Three Level Designs for the Study of Quantitative
Variables // Technometrics. 1960. No. 2. P. 455-475.
22. Кузьменко В.Г. VBA. М.: ООО «Бином-Пресс», 2009. 624 с.
23. Каган Б.M. Решение цифровых задач на ЭВМ. М.: Энергия, 1971. 263 с.
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
302
Regression analysis application for designing the vibration dampers
# 06, June 2014
DOI: 10.7463/0614.0715236
Ivanov A.V.
Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation
Multi-frequency vibration dampers protect air power lines and fiber optic communication
channels against Aeolian vibrations. To have a maximum efficiency the natural frequencies of
dampers should be evenly distributed over the entire operating frequency range from 3 to 150
Hz. A traditional approach to damper design is to investigate damper features using the full-
scale models. As a result, a conclusion on the damper capabilities is drawn, and design changes
are made to achieve the required natural frequencies.
The article describes a direct optimization method to design dampers. This method leads
to a clear-cut definition of geometrical and mass parameters of dampers by their natural frequencies. The direct designing method is based on the active plan and design experiment.
Based on regression analysis, a regression model is obtained as a second order polynomial
to establish unique relation between the input (element dimensions, the weights of cargos) and
the output (natural frequencies) design parameters. Different problems of designing dampers are
considered using developed regression models.
As a result, it has been found that a satisfactory accuracy of mathematical models, relating
the input designing parameters to the output ones, is achieved. Depending on the number of input
parameters and the nature of the restrictions a statement of designing purpose, including an optimization one, can be different when restrictions for design parameters are to meet the conflicting requirements.
A proposed optimization method to solve a direct designing problem allows us to determine directly the damper element dimensions for any natural frequencies, and at the initial stage
of the analysis, based on the methods of nonlinear programming, to disclose problems with no
solution.
The developed approach can be successfully applied to design various mechanical systems
with complicated nonlinear interactions between the input and output parameters.
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
303
Publications with keywords: design, regression analysis, the natural frequencies, regression
model, Vibration damper, optimal solution
Publications with words: design, regression analysis, the natural frequencies, regression model, Vibration damper, optimal solution
References
1. Vecchiarelli J. Aeolian Vibration of a Conductor with a Stockbridge-Type Damper. PhD.
University of Toronto, Canada, 1997. 264 p.
2. EPRI Transmission Line Reference Book: Wind-Induced Conductor Motion. Palo Alto, CA,
Electric Power Research Institute, 2006.
3. Shkaptsov V.A. Metodicheskie ukazaniya po tipovoy zashchite ot vibratsii i subkolebaniy
provodov i grozozashchitnykh trosov vozdushnykh liniy elektroperedachi napryazheniem 35750 kV [Methodological guidelines for typical protection from vibration and sub-oscillation of
wires and lightening ropes of overhead power lines with voltage of 35-750 kV]. Moscow,
SPO “ORGRES” Publ., 1991. 68 p. (in Russian).
4. Dulhunty P. Vibration dampers on AAC and AAAC conductors. Proc. of CIRED 2013: 22nd
International Conference on Electricity Distribution, Stockholm, 10-13 June, 2013. Stockholm, 2013, paper no. 0464.
5. Akgun D., Cankaya I. Frequency response investigations of multi-input multi-output nonlinear systems using automated symbolic harmonic balance method. Nonlinear Dynamics, 2010,
vol. 61, no. 4, pp. 803-818. DOI: 10.1007/s11071-010-9688-4
6. Lu M.L., Chan J.K. An efficient algorithm for Aeolian vibration of single conductor with
multiple dampers. IEEE Transactions on Power Delivery, 2007, vol. 22, no. 3, pp. 1822-1829.
DOI: 10.1109/TPWRD.2007.899779
7. Danilin A. N., Kozlov K. S., Kuznetsova E. L., Tarasov S.S. [Modeling of damper vibrations
for conductors of overhead power supply systems]. Trudy MAI, 2013, no. 64. Available at:
http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=36556 , accessed 10.03.2014. (in Russian).
8. Biderman V.L. Teoriya mekhanicheskikh kolebaniy [Mechanical vibrations theory]. Moscow,
Vysshaya shkola Publ., 1980. 408 p. (in Russian).
9. Narisetti R. K., Ruzzene M., Leamy M. J. Study of wave propagation in strongly nonlinear
periodic lattices using a harmonic balance approach. Wave Motion, 2012, vol. 49, no. 2, pp.
394-410. DOI: 10.1016/j.wavemoti.2011.12.005
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
304
10. Golovin A.A. [Application of active planning experiment method for the synthesis of planar
linkages]. Trudy MVTU im. N.E. Baumana. Teoriya mashin i mekhanizmov. Vyp. 408 [Proc.
of the Bauman MSTU. Mechanisms and machines theory. Iss. 408]. 1984, pp. 71-78. (in Russian).
11. Novik F.S., Arsov Ya.B. Optimizatsiya protsessov tekhnologii metallov metodami
planirovaniya eksperimentov [Planning experiments methods for process optimization of
metal technology]. Moscow, Mashinostroenie Publ.; Sofiya, Tekhnika Publ., 1980. (in Russian).
12. Adler Yu.P., Markova E.V., Granovskiy Yu.V. Planirovanie eksperimenta pri poiske
optimal'nykh usloviy [Experiment planning at finding optimal conditions]. Moscow, Nauka
Publ., 1976. 280 p. (in Russian).
13. Ivanov A., Golovin A., Maksimenko N. Definition of Optimum Tolerances for the Sizes of
Planar Mechanisms. Proc. of the 1st European Conference on Mechanism Science,
Obergurgl, Austria, 21-26 February, 2006. Obergurgl, EuCoMeS, 2006, pp. 1-11.
14. Zienkiewicz O.C., Morgan K. Finite elements and approximation. John Wiley & Sons, New
York, 1983.
(Russ. ed.: Zienkiewicz O.C., Morgan K. Konechnye elementy i
approksimatsiya. Moscow, Mir Publ., 1986. 318 p.).
15. Gallagher R.H. Finite Element Analysis. Fundamentals. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, 1975. (Russ. ed.: Gallagher R.H. Metod konechnykh elementov. Osnovy. Moscow,
Mir Publ., 1984. 428 p.).
16. ANSYS 10.0. ANSYS, Inc. Theory Reference, 2005.
17. Zhu Z., Meguid S.A. Modeling and simulation of aerial refueling by finite element method.
International Journal of Solids and Structures, 2007, vol. 44, no. 24, pp. 8057-8073. DOI:
10.1016/j.ijsolstr.2007.05.026
18. Cazzulani G., Resta F., Ripamonti F. The Active Modal Tuned Mass Damper (AMTMD) for
Vibration Suppression in Flexible Structures. Lecture Notes in Engineering and Computer
Science: Proceedings of the World Congress on Engineering 2011(WCE 2011), London,
U.K.,
6-8
July
2011,
vol.
3.
London,
2011,
pp.
2221-2225.
http://www.iaeng.org/publication/WCE2011/WCE2011_pp2221-2225.pdf
Available
,
at:
accessed
01.05.2014.
19. Morgan V.T. The Detection and Damping of Overhead-Line Conductor Vibration. Proceedings of the IEE Part A: Power Engineering, 1962, vol. 109, no. 3, pp. 239-250. DOI:
10.1049/pi-a.1962.0040
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
305
20. Li L., Kong D.-Y., Long X.- H. and Fanq Q.-H. Numerical Analysis on Aeolian Vibration of
Transmission Lines with Stockbridge Dampers. Journal of Chongqing University, 2008, no.
12, pp. 44-65.
21. Box G.E.P., Behnken D.W. Some New Three Level Designs for the Study of Quantitative
Variables. Technometrics, 1960, no. 2, pp. 455-475.
22. Kuz'menko V.G. VBA [Visual Basic Application]. Moscow, Binom-Press, 2009. 624 p. (in
Russian).
23. Kagan B.M. Reshenie tsifrovykh zadach na EVM [Digital tasks decision on a computer].
Moscow, Energiya Publ., 1971. 263 p. (in Russian).
http://technomag.bmstu.ru/doc/715236.html
306