К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ТЕЧЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ

УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
То.мl/
удк
К
ЦАГИ
М4
1971
532.552
ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ
СВЕРХЗВУКОВОГО
ПОТОКА
ТЕЧЕНИЯ
ТОРМОЖЕНИЯ
ИДЕАЛЬНОГО
ГАЗА
В КАНАЛАХ С ПРОДОЛЬНЫМИ ПЕРЕГОРОДКАМИ
В. Т. Гринь, М. Я. Иванов, Н. Н. Князева,
А. П. Корзун, А. Н. Крайко
Рассматриваются некоторые вопросы исследования динамики
течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа в плоских
и кольцевых сужающихся - расширяющихся каналах. На стационар­
ном режиме в расширяющейся части канала локализован замыкающий
скачок уплотнения,
области
по­
тока. Начальный (или концевой) участок канала разделен на
канала продольной перегородкой конечной толщины. Ннешнее
два
не­
стационарное
разделяющий сверх-
и
Дозвуковую
возмущение задается во входном (или
соответственно
выходном) сечении одного из каналов, которые получаются в резуль­
тате такого разделения. Исследование основано на численном инте­
грировании уравнений нестационарного двумерного течения идеаль­
ного
газа.
в работах
нарном
[l] - [3]
режиме
для исследования динамики
содержит
численное
интегрирование
указанные
уравнения
замыкающий
уравнений
брались
в
скачок
потока, который
уплотнения,
нестационарного
квазиодномерном
на
было
течения.
стацио­
применено
В работе
приближении,
а
[1]
расчеты
велись по схеме Лакса [4]. В работах [2] и [3] использовалась разностная схема,
предложенная с. к. Годуновым [5], [6]. При этом предварительные расчеты, в
которых
интегрировались
в рассмотренных случаях
уравнения
эффекты
По этой причине в работах
[2]
и
[3]
осесимметричного
двумерности
по
играют
поперечной
течения,
показали,
что
второстепенную роль.
координате бралась всего
одна ячейка. верхняя и нижняя границы которой совпадают с отрезками обра­
зующих обечайки и центрального тела. Это при использовании уравнений
осесимметричного течения приводит к результатам, близким результатам одно­
мерного приближения. Ниже проведено исследование аналогичного течения
торможения для плоских и кольцевых каналов с продольной перегородкой
в окрестности входа или выхода. Учет двумерности необходим уже в силу
самой постановки задачи. Расчеты, как и в работах [2] и [3]. велись по разно­
стной схеме с. к. Годунова.
1. Рассмотрим течение идеального газа в кольцевом канале с цилиндри­
ческой верхней стенкой (обечайкой). Меридиональное сечение канала изобра­
жено на фиг. 1, а: ху - прямоугольные координаты, ось х совпадает с осью
симметрии, сечениям входа и выхода отвечают х
О и х
L, где L - длина
канала. Продольная перегородка справа разделяет канал на два - верхний и
нижний. Газ будем считать совершенным с показателем адиабаты "1.
1,4.
Пусть
время, р - давление, р - плотность, и и v - проекции вектора
скорости на оси х и у. Удобно считать, что все переменные - безразмерные
=
t-
108
=
=
величины. Это достигается
отнесением
пространственных
переменных к харак­
терной длине перегородки '*,скоростей
- к характерной скорости и*, времени - к
l*/и*, плотности - к характерной плотности Р* и давления - к р*и;. Как видно из
фиг. 1, а, в данном случае за 1* взят радиус цилиндрической стенки.
На входе в канал (х
=
О) поток считался сверхзвуковым, значения энтропии,
полной энтальпии и компонент скорости и принимались
v
постоянными, а
зада­
валось линейной функцией у так, чтобы в этом сечении на нижней и на верхней
стенках выполня~ось условие непротекания. За р* и и* брались критические
плотность и скорость при х = О, которые в силу сделанных предположений не
зависели от у и t. В качестве исходного стационарного потока было взято
стационарное
зуется
р
=р_
11;57'
2,Oг-~~-----+~--~--~~--~
1,5~4+:--l----J~~~~~~4-----~
i
течение,
u (О.
у)
которое
-- 1,52
Р+
и
(L, y)_I. Здесь индекс
реали­
(L,
у)­
.+" (.--")
употреблен с параметрами в
сечении
входа из верхнего
(нижнего)
канала.
Стационарное положение замыкающего
скачка дано на фиг. 1, а двойной линией.
Нестационарное течение
возника­
ло из-за внезапного увеличения р_ (L, у)
в момент времени t = О на
величину
IJ.p. При 0< t < Т давление в сечении
~5 ~5
~O
при
I
выхода
t=O
лось
из
нижнего
постоянным,
а
канала
затем
поддержива­
также
скачко­
образно падало до начальной величи­
ны р_ (L, у)
1. На выходе из верхнего
==
tJ
1
1
tJ
1
2
J
~
J
'.r
~ r;::;:~"~::::~:?:j
Il)
ох
Фиг.
Фиг.
канала
давление Р + (как
и
р_) при х
=L
во все моменты
2
времени считалось
постоянным по сечению. Зависимость р+ от времени при этом подби'ралась такой,
t -:::;;,.
чтобы при
О оказывалось неизменным осредненное по сечению число М.
Одномерный
аналог
данного граничного условия находит широкое распро­
странение при приближенном описании нестационарных течений в каналах в тех
случаях, когда канал заканчивается .коротким" соплом, работающим на крити­
ческом режиме [7] - [9].
для достаточно больших IJ.p, как и в примерах. рассмотренных в работе [3],
в окрестности сечения выхода из нижнего
канала наблюдается
изменение
направления потока (и
О). Здесь при х = L. кроме р_, требуется задавать еще
две величины, например вертикальный компонент скорости и полную энтальпию.
В таких случаях считалось, что V_ (L. у, t) - О нри и_ (L, у, t)
О, а полная
энтальпия та же, что в сечении входа (х = О).
Использованные для расчета уравнения
течения, записанные в
форме
интегральных .законов сохранения", приведены в работе [2]. Разностная схема
описана в работе [5], а детали и подробности, связанные с особенностями рас­
сматриваемых задач, даны в работах [2], [3], РО] и (11]. Расчеты проводились
при К
4 и N = 46, где 1( и N - числа разбиений по у и х. для оценки погреш­
ностей некоторые расчеты были выполнены при К
2 и N = 23, т. е. при четы­
<
<
=
=
рехкратном уменьшении общего количества расчетных ячеек. Сравнение пока­
зало, что погрешности счета при К
4 и
46 лежат в пределах точности
графического представления результатов.
Некоторые результаты расчетов для канала, изображенного на фиг. 1, а,
приведены на фиг. 1, б и на фиг. 2. На фиг. I даны распределения давления по
длине канала в разные моменты времени для возмущения амплитуды I!Jp
1 и
длительности Т = 3. Сплошные и штриховые кривые соответствуют длине пере­
=
N=
=
городки
1 = 2,
а
пунктирная
- 1 = 0,5.
Сплошные кривые и пунктирная показы­
вают распределение р около нижней стенки, а штриховые - у верхней (на
расстоянии
1/8 высоты канала в данном сечении слева от передней кромки
перегородки и 1/4 высоты верхнего или нижнего каналов - в противном случае).
109
Кривые, приведенные на фиг.
Q
нестационарных
повышения
при
процессах,
t=
О,
а
1,
б, дают
происходящих
затем
падения
достаточно
во
всем
t=
при
=
Т
полное представление
канале
из-за
давления
3
внезапного
в выходном
сечении нижнего канала. Видно, что после того как идущий влево скачок
уплотнения выходит из нижнего канала, в последнем образуется область пони­
женного давления. В то же время ударная волна, продолжающая движение
влево и ослабившаяся при дифракции на кромке перегородки, 1\ моменту времени
t
~
2,5
достигает
сечения
замыкающего
скачка. В
результате взаимодействия
образуется более сильный скачок, который движется также влево. усиливаясь
(ослабляясь) на участке канала справа (слева) от горла. При дифракции на
кромке,
кроме
того,
формируется
ударная
волна,
распространяющаяся
по
верхнему каналу вправо. давление в сечении выхода из этого канала, где
в силу использованного граничного условия фиксировано число М, растет в
данном случае до значения р+ ~ 1,4. Характер распространения возмущений
в канале существенно зависит от длины перегородки
Это видно из сравнения
1.
пунктирной и сплошной кривых, отвечающих одному и тому же моменту времени.
Видно, что четырехкратное уменьшение длины перегородки приводит к замет­
ному увеличению максимального уровня возмущений давления. Одновременно
растет dp+ - интенсивность возмущения на выходе из верхнего канала, которую
у добно характеризовать отношением
А
dp +
где для
_ dp +/dp _,
берется
макси­
мальное по t значение. Зависимость А от 1 дана на фиг. 2. Кривые 1 и 2 соответ­
ствуют dp_ = 0,5 и 1. Различие кривых 1 и 2 можно объяснить ростом диссипа­
тивных
потерь
в
скачках
уплотнения
при
увеличении !:!.р_.
Интенсивность возмущения на выходе из верхнего канала сильно зависит
также от времени действия внешнего возмущения, т. е. от Т. Расчеты, прове­
денные для dp_
1 и 1 1, показали, например, что при изменении Т в десять
раз (от 0,5 до 5) величина А возрастает от 0,15 до 0,6. При этом в случае
=
=
возмущений значительной продолжительности Т:>
шение сверхзвукового
течения
во
всем
наблюдалось полное
1
канале.
В то
разру­
же время, если Т
-< 0,5,
полного разрушения сверхзвукового течения не происходит. Это связано с тем,
что волна разрежения, возникающая после прекращения действия внешнего
возмущения,
успевает
ослабить
скачок, движущийся
влево,
и, следовательно,
изменить направление его скорости еще до достижения сечения х = О.
2. Наряду с каналом, имеющим перегородку на кольцевом участке, исследо­
вался случай, когда перегородка примыкает ко входному сечению. Рассматри­
вался плоский канал (фиг. 3); за характерный линейный размер взята половина
высоты канала в сечении выхода. Большинство вопросов, связанных с постанов­
кой граничных условий, обезразмериванием, числом расчетных ячеек и т. П., при
этом решалось так же, как и выше. Поэтому в дальнейшем обращается внимание
лишь на те моменты, которые, как и форма канала, отличают данный случай
от
предыдущего.
В качестве исходного стационарного потока бралось течение, реализующееся
при и+ (О, у) = и_ (О, у) = 1,63 и р (L, у) =0,86. Стационарные замыкающие скачки
в верхнем и нижнем каналах даны на фиг.3 для этих условий двойными линиями.
В момент t
О в начальном сечении одного или обоих каналов задавалось
внезапное повышение давления. Приращения других параметров в сечении
=
=
х
О находились при этом по соотношениям на ударной волне, движущейся
вправо и расположенной перпендикулярно оси х. действие такого (постоянного)
возмущения ограничивалось временем t
Т. При t
Т все параметры в сечении
х
О возвращались к своим исходным стационарным значениям также скачко­
образно,
а
затем
поддерживались постоянными. Подобный
скачкообразный
-<
=
переход к
первоначальному
состоянию,
хотя
=
и
соответствует
момент
ности
t
и
волны,
=
Т
полюсу
в
матизацию.
....__--L-_....LIJ
5
5.r
=
как
выходе
L
следует
некоторую
Граничное
х
на
случае
как
сечении
в
поверх­
центрированной
общем
рассматривать
О I----:!--~:--__!~~
совпадающим
контактной
схе­
условие
в
бралось таким же,
из
верхнего
ка­
нала в предыдущем разделе, т. е.
фиксировалось среднее по сече-
нию число М.
Некоторые результаты расче­
тов для канала, изображенного на
фиг.
На
3,
приведены
фиг.
4
на
фиг.
сплошными
4
и
5.
кривыми
даны траектории замыкающих скач­
Фиг.
110
3
ков в нижнем (кривая
1)
и в
верх-
,
х
,,
р
I
I
1,2
11,4
// v-.. \
/1
\/ ;/
А
о
\
-8,4
t,/г-~~г--г---+--~г---+----~
I
j' ~
,
Г\ '\
!/
10
14--t
~~г-~~---гr--+----~,.--+---~
!V
,
:
U,
~ j/
2
r\l\
!
l1.
""1
()
Фиг.
12
5
Фиг.
4
'() t
15
нем (кривая 2) каналах при наличии возмущения (увеличения давления в 1,7
раза при
Т
2) только на входе в нижний канал. По оси ординат на фиг.4
отложена величина Х
se -- s' г де s и se - текущее и стационарное (.рав­
новеСНОе") положения замыкающего скачка. Следует помнить, что из-за 9ффек­
тов .размазывания· моменты начала взаимодействия возмущений с замыкаю­
щими скачками
оказываются несколько более ранними, чем
в действитель­
ности. Исправленные начальные участки соответствующих кривых даны на фиг. 4
=
= .x
.x
.x
.x
штрихами.
для объяснения поведения кривых, изображенных
что
замыкающие
тельно стенок
волна,
скачки,
канала,
возникшая
при
которые
в
стационарном
относительно
внезапном
газа
на фиг.
состоянии
движутся
существенно,
4,
покоятся
относи­
влево. Напротив, ударная
повышении давления в сечении входа, а
вернее,
являющаяся причиной такого повышения, движется вправо и относительно
и относительно стенок
больше,
канала.
Поэтому
скорость
и
плотность
чем справа, причем скорость возрастает настолько, что,
слева
как
газа,
от
нее
видно
из
фиг. 4, поток начинает сносить замыкающий скачок* вправо. Этому отвечает
участок отрицательных, увеличивающихся по модулю значений Х кривой 1 на
фиг. 4. Ударная волна, идущая вправо быстрее замыкающего скачка, в резуль­
тате дифракции на кромке перегородки ослабляется, порождая волну разрежения,
которая
распространяется
и скачок уплотнения,
по нижнему
который
каналу . навстречу
движется
замыкающему скачку,
влево по верхнему каналу. При
этот скачок взаимодействует с замыкающим скачком, расположенным
=
t::::: 6
в верхнем
канале, вызывая движеиие последнего к сечению .х
О.
в то же время волны разрежения, которые образуются в нижнем канале
при дифракции ударной волны на кромке, а также в сечении входа в момент
t
Т, замедляют замыкающий скачок, а затем и меняют его направление в ниж­
нем канале так, что при 11
18 этот скачок оказывается ближе к сечению
входа, чем в стационарном ПОЛОJlj:енни. После взанмодействия с ннжним замыка­
ющим скачком и дифракции на кромке волна разрежения, возникшая в сечении
=
<«
входа нижнего канала, приходит в верхний канал, изменяя и здесь направление
движения
небольшие
соответствующего
колебания,
стационарному
скачка.
достаточно
Начиная
быстро
с
t::::20,
релаксируют
оба
к
скачка, совершая
своему
начальному
положению.
Описанный выше механизм распространения возмущений и движения скачков
подтверждают и .осциллограммы· (кривые зависимости р от (), приведенные на
фиг . 5. Сплошные (штриховые) кривые на 5 показывают изменение давления по
времени у нижней
отвечают кривые 1,
2
=
(верхней) стенки в сечениях х
0,1;
и 3 соответственно. Как видно из фиг.
1,9 и 5,9, которым
4 и 5, время t.::::: 20,
в течении которого в канаАе при весимметричном возмущенин наблюдаются зна­
чительные отклонения параметров от их стационарных значений, на порядок
превышает не только время действия возмущения t = Т
2, но н время t:::: 3, не­
обходимое возмущению, чтобы достигнуть выходное сечение.
=
* Здесь и ниже замыкающим называется тот из образующихся в результате
взаимодействия скачков, который движется относительно газа влево .
111
Для сравнения был
вида,
как
в
также рассчитан
рассмотренном
выше
случай, когда
возмущение такого же
случае, задавалось по всему
входному
сечению
(т. е. и в нижнем и в верхнем каналах). Траектории замыкающих скачков в этом
случае совпадают (на фиг. 4 покаэаны пунктиром). При наличии повышенного
давления в правой части канала разрежение, которое возникает при этом в
момент t
Т, ведет к выбиванию замыкающих скачков за сечение входа, т. е.
к полному разрушению сверхзвукового течения. Отметим, кроме того, что если
=
при
несимметричном
возмущении
максимальное
приращение
давления
в
сечении
выхода (отнесенное к невозмущенному давлению в том же сечении) равно 0,6,
то при симметричном возмущении эта величина равна 1,2. Во втором случае
давление
на
выходе
достигало
максимума
еще
до
момента
разрушения
сверх­
звукового течения .х = О.
в заключение заметим, что, как видно из фиг.
1 и 4, в общей части канала
уже на небольшом расстоянии от кромки перегородки распределение давления
слабо зависит от у. Это согласуется с оценкой роли эффектов двумерности,
сделанной в работах [2] и [3].
Расчеты
выполнялись на ЭUВМ М-220. Счет одного варианта занимает
0,5-1 час машинного времени. Оформление работы проведено Н. Е. Фоминой,
которой авторы выражают свою признательность.
ЛИТЕРАТУРА
1. М а у s R. А. Inlet dynamics and compressor surge. AIAA Paper,
N2 69-484, 1969.
2. Г Р и н ь В. Т., И в а н о в М. Я., К рай к о А. Н. Исследование
динамики
течения торможения
идеального
газа
с
замыкающим
скач-
ком уплотнения. МЖГ, .м 4, 1970.
3. Г Р и н ь В. Т., И в а н о в М. Я. К исследованию нестационар­
ного течения в канале при внезапном изменении условий в выходном
сечении. МЖГ,
N2 4,1971.
4. Lax Р. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations апд
jheir numerical computation. Соmmип. Pure and Аррl. Math., v. 7, No. J,
р. 159-193, 1954.
5. Г о д у н о в С. К. Разностный метод расчета разрывных
решений уравнений гидродинамики .• МатематическиЙ сборник", т. 47
(89), N2 3, 1959.
6. Г о д у н о в С. К., 3 а б р о Д и н А. В., Про к о п о в Г. П.
Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой
динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. ЖВМ МФ,
т. 1, Ng 6, 1961.
.
7. U
ы н к о в а
О. Э. Движение газа в каналах конечной
при переменном противодавлении.
и машиностроение", N2 3, 1959.
Изв. АН СССР,
длины
ОТН, .Механика
8. U ы н к о в а О. Э. Об автоколебаниях в сверхзвуковых диффу­
зорах. Изв. АН СССР, ОТН, .Механика и машиностроение", N2 5, 1959.
9. Mitchell С. Е., Crocco L., Sirignano W. А. Nonlinear
longitudinal instability in rocket motors with concentrated combustion.
Combustion Sci. апд Technology, v. 1, No. 1, р. 35-64, 1969 ..
10. И в а н о в М. Я., К рай к о А. Н. Численное решение прямой
задачи о смешанном течении в соплах. МЖГ, .м 5, 1969.
11. И в а н о в М. Я. К расчету течения газа в ударной трубе
переменного сечения. МЖГ, 1-& 3, 1970.
Ру"оnись поступила
19/Il 1971
г.