Экзамен. Дифракция Фраунгофера

Экзамен. Дифракция Фраунгофера на одной щели.
Напомним, что дифракция Фраунгофера наблюдается на бесконечно
удаленном экране.
Пусть перпендикулярно экрану со щелью падает плоская
монохроматическая световая волна.
Мысленно разобьем площадь щели на вторичные источники света в виде
тонких полосок вдоль щели.
Рассмотрим вторичный источник света, находящийся на расстоянии y от
нижнего края щели. Рассмотрим излучение этого источника в направлении,
которое составляет угол α с нормалью к экрану. Все лучи, идущие в
направлении α , пересекаются на бесконечно удаленном экране. Нас
интересуют именно такие лучи, так как дифракционная картина при
наблюдении дифракции Фраунгофера локализована на бесконечности, и
расстояние до экрана не только гораздо больше ширины щели, но и гораздо
больше ее длины.
Точки пунктирной линии, наклоненной вправо от вертикали на угол α ,
находятся на одинаковом удалении от точки экрана, в которой пересекается
параллельный пучок лучей, дифрагирующий на щели под углом α . Тогда
∆ = y ⋅ sin (α ) — разность хода между лучом, который проходит щель на
высоте y , и лучом, который проходит через нижний край щели.
Для малых углов дифракции α не будем учитывать зависимость
коэффициента наклона от α :
i
i
− (1 + cos (α ) ) ≈ − .
2λ
λ
Для экрана, удаленного от щели на большое расстояние r >> D , где D —
1
в интеграле Кирхгофа
ширина щели, можно считать, что множитель
r
1
постоянен ≈ const .
r
Найдем зависимость комплексной амплитуды поля E от угла дифракции
α только с точностью до коэффициента пропорциональности, поэтому
постоянные сомножители в выражении для амплитуды нас интересовать не
будут.
В соответствии с теорией дифракции Кирхгофа:
D
1
ik ∆+ r
E (α ) = ⋅ ∫ E0 ⋅ e ( 0 ) ⋅ dy .
D
0
i
i
1 + cos (α ) ) ≈ − , так как
(
2λ
λ
постоянный сомножитель для нас несущественен. Вместо элемента площади
dS вторичного источника под интегралом стоит сомножитель dy , который
надо было бы умножить на длину щели, этот постоянный множитель нам не
1
важен, поэтому мы его не учитываем. Отброшен и сомножитель ≈ const , где
r
ikr
r — расстояние от щели до экрана. Сомножитель e
теории Кирхгофа
Здесь отброшен коэффициент наклона −
заменен нами сомножителем e ( 0 ) , где r = ∆ + r0 . Здесь r0 — расстояние от
нижнего края щели до точки на экране, где сходятся лучи, дифрагирующие под
углом α . Все отброшенные постоянные сомножители собраны в сомножитель
E0
, где D — ширина щели, введенная в выражение для согласования
D
размерностей левой и правой частей равенства.
ik ∆+ r
D
D
0
0
E0eikr0
1
ik ( ∆+ r0 )
iky⋅sin (α )
E (α ) = ⋅ ∫ E0 ⋅ e
⋅ dy =
⋅∫e
⋅ dy
D
D
Здесь в последнем равенстве учтено, что ∆ = y ⋅ sin (α ) .
D
E0eikr0
iky⋅sin (α )
E (α ) =
⋅∫e
⋅ dy =
D
E0eikr0
=
⋅
ikD ⋅ sin (α )
0
ikD⋅sin (α )
∫
e
iky⋅sin (α )
⋅ d ( iky ⋅ sin (α ) ) =
0
(
)
E0eikr0
ikD⋅sin (α )
e
=
−1
ikD ⋅ sin (α )
Введем обозначение
1
U ≡ kD ⋅ sin (α ) .
2
Тогда
E0eikr0
⋅ e2iU − 1 .
E (α ) =
2iU
Перейдем от комплексной
(
2
I (α ) ~ E (α ) .
)
амплитуды
к
интенсивности
света:
2
2
cos ( 2U ) + i ⋅ sin ( 2U ) − 1
e2iU − 1
= I0 ⋅
=
I (α ) = I 0 ⋅
2iU
2iU
= I0
2
1 − cos ( 2U ) ) + sin 2 ( 2U )
(
⋅
=I
1 − 2cos ( 2U ) + cos 2 ( 2U ) + sin 2 ( 2U )
0⋅
4U 2
4U 2
2 − 2 ⋅ cos ( 2U )
2 − 2cos 2 (U ) + 2sin 2 (U )
= I0 ⋅
= I0 ⋅
=
4U 2
4U 2
2sin 2 (U ) + 2sin 2 (U )
=
2
 sin (U ) 
= I0 ⋅
= I0 ⋅ 

4U 2
 U 
Окончательно для дифракции Фраунгофера на одной щели получаем
зависимость интенсивности света I от угла дифракции α :
2
 sin (U ) 
I (α ) = I 0 ⋅ 
 ,
U


где I 0 — интенсивность света в направлении нулевого угла дифракции
α = 0,
1
U ≡ kD ⋅ sin (α ) ,
2
2π
k=
— волновое число,
λ
D — ширина щели.
Найдем величину угла дифракции α , соответствующую первой темной
полосе.
1
I (α ) = 0 => sin (U ) = 0 => U = π
=>
kD ⋅ sin (α ) = π =>
2
2π λ
α≈
= .
kD D
Большая часть света при дифракции на щели идет в угол 2
λ
, где D —
D
ширина щели. При дифракции света на любом препятствии характерный угол
λ
, где D — размер препятствия. Так напомним, что при
D
дифракции Фраунгофера на круглом отверстии угловой радиус первого темного
дифракции равен
кольца α = 1.22 ⋅
λ
D
.
--------Рассмотрим теперь задачу дифракции Фраунгофера на одной щели
графически.
Разобьем щель на тонкие полоски вторичных источников.
Пусть высота расположения полоски относительно нижнего края щели y .
Если полоски имеют равную ширину δ y , то разность хода от соседних полосок
δ∆
δ∆ = δ y ⋅ sin (α ) ,
что следует из выражения ∆ = y ⋅ sin (α ) для разности хода между лучом,
который проходит щель на высоте y , и лучом, который проходит через нижний
край щели.
∆
Разность фаз связана с разностью хода соотношением ∆ϕ = 2π , тогда
δ ( ∆ϕ ) = 2π
δ∆
.
λ
λ
Подставим сюда δ∆ = δ y ⋅ sin (α ) и получим
δ ( ∆ϕ ) = 2π
δ y ⋅ sin (α )
— одинаковый фазовый сдвиг вкладов соседних
λ
полосок в комплексную амплитуду в точке наблюдения. Фазовый сдвиг равен
углу поворота вектора на комплексной плоскости сложения амплитуд. С учетом
этого картина сложения амплитуд на комплексной плоскости — дуга
окружности:
---------
При изменении угла дифракции α вклад в суммарную амплитуду EP
каждой из полосок щели не изменяется по величине, но поворачивается из-за
изменения фазы вклада в точке наблюдения. При этом дуга на комплексной
плоскости несколько сворачивается без изменения своей длины.
На следующем рисунке приведены картины сложения амплитуд на
комплексной плоскости для разных направлений дифракции α .
Первый ноль амплитуды и интенсивности дифрагированного света
соответствует дуге, свернувшейся в окружность. При этом разность фаз
вкладов в комплексную амплитуду в точке наблюдения первой и последней
полосок равен ∆ϕ = 2π . Такой разности фаз соответствует разность хода
∆=λ.
Учитывая, что ∆ = y ⋅ sin (α ) , и, что для последней полоски y = D ,
получим
D ⋅ sin (α ) = λ
=>
α≈
λ
D
— величина угла дифракции для
первой темной полосы.
Полторы окружности на комплексной плоскости сложения амплитуд
соответствуют первому после нулевого максимуму зависимости интенсивности
от угла дифракции. Две окружности — второй ноль интенсивности и т. д.
Экзамен. Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии.
Пусть a и b — размеры отверстия по осям x и y . Тогда комплексная
амплитуда в точке наблюдения с точностью до постоянного сомножителя будет
иметь следующий вид:
a
b
1
EP =
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ E0eikr ' ,
ab 0 0
1
добавлен для согласования размерности; r ' —
ab
вектор, направленный из вторичного источника в плоскости отверстия в точку
наблюдения.
где сомножитель
Пусть точка с координатами x = 0 и y = 0 находится в углу
прямоугольного отверстия. Пусть r — вектор из этого угла в произвольную
точку отверстия. Пусть r0 — вектор из того же угла в точку наблюдения
дифракционной картины. Тогда
r ' = r0 − r
=>
kr ' = k , r ' = k , r0 − k , r
=>
(
(
i k , r0
) (
(
) ( )
) ( )
−i k x + k y
−i k , r
)
E0eikr ' = E0e
e
= E0eikr0 e x y .
Подставим это в выражение для комплексной амплитуды EP в точке
наблюдение и получим
a
b
(
)
E0eikr0
E0eikr0 1
1
− ik y y
−ik b
−ik x x
EP =
dx ⋅ ∫ e
dy =
1 − e −ik x a ⋅
1− e y .
⋅ ∫e
⋅
ab
ab
ik x
ik y
0
0
(
)
Интенсивность света пропорциональна квадрату комплексной амплитуды
cn
2
I=
EP .
8πµ
Тогда интенсивность света в зависимости от направления дифракции
k 
 x
k =  k y  имеет вид:
k 
 z
2
2
 sin (U1 )   sin (U 2 ) 
I = I0 ⋅ 
 ⋅
 ,
 U1   U 2 
1
1
где U1 = k x a и U 2 = k yb .
2
2
Экзамен. Принцип Бабине.
Согласно принципу Бабине
E0 = E1 + E2 , где
E0 — комплексная амплитуда светового поля в точке наблюдения при
отсутствии непрозрачного экрана,
E1 и E2 — комплексные амплитуды в точке наблюдения для двух
дополнительных друг другу непрозрачных экранов.
Пример дополнительных экранов — непрозрачный диск и непрозрачный
экран с круглым отверстием того же радиуса.
Принцип Бабине полностью согласуется с теорией дифракции Кирхгофа,
но сама теория неточна.
Поясним соответствие принципа Бабине теории дифракции Кирхгофа.
Рассмотрим три задачи и соответствующие им вторичные источники
света в общей для этих задач плоскости экранов.
1). Экранов нет. Вторичные источники находятся на всей плоскости
возможных непрозрачных экранов.
2). Экран с круглым отверстием. Вторичные источники находятся в
плоскости отверстия.
3). Экран в виде непрозрачного диска. Вторичные источники
расположены по всей плоскости снаружи диска.
Вторичные источники 2-ой и 3-ей задач в сумме дают вторичные
источники 1-ой задачи. Тогда интеграл Кирхгофа для первой задачи равен
сумме интегралов Кирхгофа для второй и третьей задач, что полностью
согласуется с принципом Бабине.
Рассмотрим
дифракцию
плоской
монохроматической
волны
перпендикулярной плоскости экранов. Если экранов нет, то для любого
направления, кроме исходного направления волны, света нет.
Тогда для дифракции Фраунгофера в любом направлении, кроме
исходного направления, получим
0 = E1 + E2
=>
E2 = − E1
=>
I1 = I 2 .
Интенсивности дифракционных картин для дополнительных экранов
равны для любого направления дифракции, кроме направления исходной
световой волны.
Факультатив. Дифракция Фраунгофера и Фурье-образ амплитудного
коэффициента пропускания экрана.
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на отверстии произвольной формы
в плоском экране.
Для дифракции Фраунгофера на прямоугольном отверстии
a
b
1
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ E0eikr ' .
EP =
ab 0 0
Аналогично для отверстия произвольной формы
1
ikr ' E0eikr0
−i ( k x + k y )
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ τ ( r ) ⋅ e x y ,
E k = ⋅ ∫ dS ⋅ E0τ ( r ) ⋅ e =
S S
S
где E0 — амплитуда поля волны перед экраном, τ ( r ) — амплитудный
коэффициент пропускания экрана в точке с радиус-вектором r , соответственно
E0τ ( r ) — комплексная амплитуда света прямо за экраном, r ' = r0 − r — вектор
из вторичного источника с радиус-вектором r в точку наблюдения с радиус
вектором r0 .
Здесь, как и раньше, начало координат выбрано в плоскости экрана, в
которой лежат оси координат x , y и вектор r , поэтому k , r = k x x + k y y .
( )
( )
∫ dx ∫ dy ⋅τ ( r ) ⋅ e
(
−i k x x + k y y
)
— двумерный Фурье-образ амплитудного
коэффициента пропускания τ ( r ) .
Окончательно
E0eikr0
−i ( k x + k y )
⋅ ∫ dx ∫ dy ⋅ τ ( r ) ⋅ e x y .
E k =
S
( )
Распределение амплитуды по углам дифракции пропорционально Фурьеобразу амплитудного коэффициента пропускания экрана.
Экзамен. Дифракция Френеля на краю экрана. Спираль Корню.
Пусть монохроматическая световая волна распространяется слева
направо в направлении оси z. Перпендикулярно направлению волны находится
непрозрачный экран в виде бесконечной полуплоскости. На другом экране
параллельном первому, находящемуся на расстоянии L , наблюдают
дифракционную картину. Оба экрана параллельны плоскости x , y . Пусть
граница непрозрачной полуплоскости совпадает с осью x . На границе
полуплоскости y = 0 .
Вторичные источники света на открытой полуплоскости мысленно
разобьем на полоски с координатой y ' и шириной δ y ' . Пусть произвольная
точка наблюдения имеет координату y и находится на расстоянии L ' от
полоски вторичного источника света.
В разные точки экрана y свет от разных вторичных источников y '
приходит в разных фазах. Можно доказать, что для вторичных источников в
виде тонких полосок разность фаз пропорциональна разности хода, как и в
случае точечного вторичного источника. Тогда
∆ 2π
2π
δϕ = 2π =
( L '− L ) =  L2 + ( y '− y )2 − L  =
λ λ
λ 

2


2π 
 y '− y 
=
L 1+ 
 − L 

λ
 L 


Будем считать, что y << L и y ' << L . Тогда
2
 2π ( y '− y )2 π ( y '− y )2
2π   ( y '− y ) 
2
 L 1 +
 − L =
⋅
=
−
y
y
δϕ ≈
~
'
(
)
 λ
λ  
λL
2L
2 L2 
 

δϕ ~ ( y '− y )
2
=>
Из последнего соотношения следует, что с увеличением разности ( y '− y )
запаздывание по фазе δϕ сначала нарастает медленно, а затем все быстрее и
быстрее.
При нарастании фазы с постоянной скоростью характерная картина
сложения амплитуд соответствует задачи со вторичными источниками света в
виде тонких колец и круглом отверстии в непрозрачном экране.
Если фаза нарастает с ускорением, то и поворот каждого малого
слагаемого на комплексной плоскости нарастает с ускорением. При этом
картина сложения амплитуд примет вид:
Такая картина сложения амплитуд получается при рассмотрении вкладов
полосок с ( y '− y ) одного знака. Каждому слагаемому с ( y '− y ) > 0
соответствует слагаемое с тем же модулем
y '− y , но с другим знаком
( y '− y ) < 0 , которое имеет тот же фазовый сдвиг и ту же длину вектора.
Картина сложения амплитуд ото всех возможных полосок примет
следующий вид.
Картина содержит две спирали. Вектор, проведенный из центра нижней
левой спирали в центр верхней правой спирали, — комплексная амплитуда в
точке наблюдения от всех полосок плоскости вторичных источников, то есть
комплексная амплитуда излучения без загораживающего часть света экрана.
Эта картина сложения амплитуд и называется спиралью Корню.
Для определенности договоримся считать, что левая часть спирали
Корню соответствует вкладам вторичных источников, для которых ( y '− y ) > 0 .
Рассмотрим картину сложения амплитуд на комплексной плоскости для
разных точек экрана: A, B, C
и рассмотрим соответствующие точки на спирали Корню.
Пусть точка A находится в области геометрической тени, следовательно,
y < 0 , а y ' > 0 для всех вторичных источников, поэтому ( y '− y ) > 0 для любой
точки наблюдения в области геометрической тени.
По нашей договоренности для ( y '− y ) > 0 вклады в комплексную
амплитуду соответствуют левому нижнему завитку спирали Корню. Для
рассматриваемой точки A в области геометрической тени нужно учитывать не
все вклады левого завитка. Вклады от центральной части левого завитка
спирали Корню соответствуют большим положительным значениям ( y '− y ) и
обязательно присутствуют. В результате получаем комплексную амплитуду в
виде вектора из центра левого завитка спирали Корню в некоторую точку A в
том же левом завитке.
Из спирали Корню видно, что при смещении точки наблюдения в область
геометрической тени амплитуда света, как и интенсивность, монотонно
убывают.
Для точки B , находящейся выше геометрической границы света и тени,
появляются вклады ( y '− y ) < 0 , соответствующие правой части спирали Корню.
Из рисунка спирали Корню видно, что при движении от точки A к точке
B и соответственно при движении вверх по экрану от границы геометрической
тени амплитуда и интенсивность возрастают монотонно.
При дальнейшем движении вверх по экрану от точки B к точке C
интенсивность света убывает, как видно из спирали Корню. Далее
интенсивность снова возрастает, затем снова убывает и т. д.
В освещенной области экрана интенсивность света осциллирует при
перемещении от границы геометрической тени.
На границе света и тени амплитуда равна половине всей амплитуды
падающей волны, а интенсивность, соответственно, равна четверти всей
интенсивности.
Пространственный период осцилляций интенсивности на экране имеет
порядок величины λL .
Факультативная вставка.
Спираль Корню в безразмерных переменных параметрически задается
парой уравнений:
η

 πξ 2 
 Re ( EP ) = ∫ cos 
⋅ dξ
 2 



0

η
 πξ 2 

 ⋅ dξ
 Im ( EP ) = ∫ sin 
2


0

2
.
λL
Конец факультативной вставки.
Здесь η = y ⋅