7. гидродинамика

3.2 Элементы гидродинамики
355
3.2 Элементы гидродинамики
3.2.1 С какой скоростью понижается уровень воды в баке с
площадью поперечного сечения S = 1 м2, если скорость истечения воды через отверстие диаметром d = 2 см, просверленное в
стенке бака равна v = 2м/с?
Решение:
1 В соответствии с уравнением неразрывности идеальной
жидкости
Su = sv ,
(1)
где u – скорость понижения уровня воды в баке, s – площадь поперечного сечения истекающей струи.
2 С учётом значения площади струи уравнение (1) можно переписать следующим образом
u=
πd 2 v
≅ 6⋅10 –4 м/с.
4S
(2)
3.2.2. Из брандспойта бьет струя воды под углом α = 300 к горизонту и падает на расстоянии xmax= 5 м. Сколько воды подаёт
брандспойт за τ = 10 с, если площадь его отверстия равна s = 2
см2. Сопротивление воздуха движению струи не учитывать.
Решение:
1 Если струю рассматривать как
y v
систему материальных точек, брошенных под углом к горизонту, то
для дальности полёта струи можно
записать следующее кинематичеα
ское уравнение
o
0
x max =
C
x max
g
v 02 sin 2α
,
g
B
(1)
откуда несложно определить начальную скорость струи
v0 =
x max g
.
sin 2α
(2)
x
3 Механика жидкости и газа
356
2 Массу жидкости вытекающей за время τ определим как
m = ρsv 0 τ = ρsτ
x max g
≅15,2 кг.
sin 2α
(3)
3.2.3 Через трубу радиусом r = 2 см, изогнутую под прямым
углом, за время τ = 10с протекает 100 кг воды. Определите силу
давления воды на трубу в месте её поворота, если колено лежит
в горизонтальной плоскости.
1
p1
1 p2
p1 Δ p
2
p2
2
Решение:
1 При течении воды по трубе ввиду
отсутствия сопротивления импульс р1 на
входе в колено будет равен по модулю
импульсу р2 на выходе.
2 Масса жидкости, протекающей в
через поперечное сечение трубы за указанное время определится как
(1)
m = ρπr 2 vτ .
откуда
v=
m
≅ 8,3 м/с.
ρπr 2 τ
(2)
3 Векторы импульсов с учётом (1) запишутся следующим образом
r
r
r
r
p1 = ρπr 2 vv1 , p 2 = ρπr 2 vv 2 ,
(3)
r r
где ρ - плотность воды, v1 , v 2 - векторы скорости в сечениях трубопровода 1-1 и 2-2.
3 Применим для движущейся жидкости теорему об изменении
импульса
r
r r
FΔt = p 2 − p1 ,
r
F = ρπr 2 v 2 τ 2 =1167,5 Н.
(4)
3.2.4 Какой мощностью обладает поток воздуха, набегающий
на автомобиль при скорости его движения 100 км/ч, если площадь его лобового сечения составляет s = 2,5 м2?
3.2 Элементы гидродинамики
357
Решение:
1 Определим силу сопротивления со стороны воздуха, как динамическое давление (скоростной напор), отнесённое к площади
поперечного сечения движущегося автомобиля
ρv 2s
Fs = p d s =
,
2
(1)
где ρ - плотность жидкости, v – скорость набегающего потока, s –
площадь.
2 Мощность силы сопротивления можно представить в виде
произведения модуля этой силы на скорость, т.е.
N = Fs v =
ρv 3s
= 34913 Вт ≅ 35 кВт.
2
(2)
3.2.5 Балластный резервуар подводной лодки объёмом V =
5м3 заполнен водой. Для сброса балласта в верхнюю часть резервуара компрессором подаётся сжатый воздух и вода через
трубопровод сечением s = 100 см2, расположенный в нижней части резервуара вытекает наружу. Какова должна быть мощность
компрессора, чтобы лодка, находящаяся на глубине 400т м могла
освободиться от балласта за τ = 50 с?
Решение:
1 Для того чтобы вытеснить жидкость
p0
из балластного резервуара необходимо,
прежде всего преодолеть гидростатическое
h
давление (атмосферное давление не учитывается т.к. оно одинаково действует как на
входной трубопровод, так и на выходной).
Мощность компрессора для этого должна
быть не меньше, чем
N1 = ρghQ = ρgh (V τ) ,
(1)
2 Чтобы вода покинула резервуар в заданное время, требуется
сообщить ей скорость, для этого требуется мощность
N 2 = pds =
ρv 2
s< v >,
2
(2)
где pd – динамическое давление, <v> - средняя скорость истече-
358
3 Механика жидкости и газа
ние жидкости из выходного трубопровода, ρ - плотность воды.
3 Среднюю скорость можно выразить через объём резервуара
площадь сечения выходного трубопровода и заданное время
< v >= V sτ .
(3)
4 Подставим (3) в (2)
N2 =
ρV 3
.
2s 2 τ3
(4)
5 Суммарная мощность компрессора необходимая для вытеснения воды за установленное время определится, таким образом,
в виде суммы (1) и (4)
N = N1 + N 2 = ρgh
V ρV 3
+
.
τ 2s 2 t 3
(5)
N≅ 410 кВт(557 л.с.).
3.2.7 Чему равна полезная мощность водяного двигателя КПД
которого составляет η = 80%, если известно, что вода поступает в
него со скоростью v1= 3 м/с. а выходит – с v2 = 1 м/с на уровне, на
h = 1,5 м ниже уровня входа? Секундный расход воды составляет
Q = 0,3 м3/с.
Решение:
1 Закон сохранения энергии в данном случае в форме уравнения Бернулли представится так:
ρv 2 ρv 2
ρgh + 1 = 2 + Δp ,
2
2
h
(1)
где Δp – потеря давление в двигателе.
2 Из уравнения (1) следует, что потеря давления
Δp = ρgh +
v1
ρv12 ρv 22
−
.
2
2
v2
(2)
3 Мощность двигателя с учётом его КПД определится в виде
произведения
N = ΔpQη = ρQη 2gh + v12 − v 22 ≅ 4560 Вт.
(3)
[
(
)]
3.2 Элементы гидродинамики
359
3.2.8 В сосуд налита вода высотой h1=0,5 м (ρ1=1000 кг/м3, поверх воды налит слой масла высотой h2=h1 (ρ2 = 800 кг/м3). В дне
сосуда образовалось отверстие, площадь которого существенно
меньше площади сосуда. Определите скорость истечения воды
из сосуда.
Решение:
1 В соответствии с уравнением Даниила Бернулли, сумма
гидростатических давлений воды и масла должна быть равна
скоростному напору (динамическому давлению), естественно без
учёта скорости понижения уровня масла
ρv 2
,
g(ρ1h1 + ρ 2 h 2 ) =
2
откуда
v=
(1)
2g (ρ1h1 + ρ 2 h 2 )
≅ 4,25 м/с.
ρ1
(2)
3.2.9 Сосуд высотой h = 1 м доверху наполнен водой и подвешен на нерастяжимой нити к потолку. В дне сосуда открывается отверстие диаметром d = 1 см. Определите, на сколько изменится сила натяжения подвеса.
Решение:
1 При истечении воды из отверстия в дне сосуда
будет возникать сила, обусловленная динамическим
давлением жидкости. Реакция вытекающей струи
будет направлена в сторону противоположную силе
тяжести, т.е. будет уменьшать силу натяжения нити.
2 Скорость истечения жидкости через малое отверстие определится формулой Торричелли
v = 2gh ,
T
v
(1)
где ρ - плотность воды.
3 Импульс реакции струи
FΔt = Δmv = (ρsvΔt ) v = ρsv 2 Δt .
4 Величина силы, с учётом (1) определится как
ΔF = 2ρghs = 2 ≅ 0,7 Н.
h
d
(2)
(3)
3 Механика жидкости и газа
360
3.2.10 У дна лёгкого сосуда кубической формы объёмом V = 1
м3 сделано отверстие диаметром d = 1 см, закрытое пробкой. Сосуд доверху заполнен водой. При каком значении коэффициента
трения между сосудом и горизонтальной плоскостью он придёт в
движение при открытии отверстия?
а
С
v
mg
FТр
Решение:
1 Поскольку сосуд имеет форму куба,
то его ребро будет иметь длину а = 1м, а
масса воды в сосуде составит m = ρV=
1000 кг.
2 Сила давления струи при открытии
пробки определится из следующих сооб-
ражений
v = 2ga ;
FΔt = Δmv = ρsvΔtv = ρsv 2 Δt ;
F = ρs 2ga ⋅
πd 2 πd 2ρga
=
.
4
2
(1)
2 Сосуд придёт в движение, если сила реакции вытекающей
струи превысит по модулю силу трения, т.е.
πd 2ρga
> μmg ,
2
откуда
μ<
ρπd 2 a
< 1,5⋅10-4.
2m
(2)
3.2.11 Из трубы диаметром d = 2 см вертикально вверх бьет
струя воды. Определите диаметр струи на высоте h =1 м над отверстием струи, если расход воды составляет Q = 0,1 м3/с.
Решение:
1 Запишем уравнение Бернулли для сечений, находящихся на
срезе отверстия и на высоте h
ρv12 ρv 22
=
+ ρgh ,
2
2
(1)
где v1 – скорость течения на срезе трубы, v2 – скорость воды в
3.2 Элементы гидродинамики
361
струе на высоте h.
2 Для рассматриваемых сечений возможно записать так же и
уравнение неразрывности
πd12
πd 22
s1v1 = s 2 v 2 = Q, или
v1 =
v2 = Q .
4
4
(2)
3 Выразим из уравнений (2) величины скоростей
v1 =
4Q
,
πd12
v2 =
4Q
.
πd 22
(3)
4 Подставим значения скоростей в уравнение Бернулли (1)
Q2
Q 2 ρgh
=
,
+
π 2 d14 π 2 d 42
4
(4)
откуда несложно найти диаметр струи d2
d 2 = d1 4
4Q 2
≅ 1,12⋅10 -2 м.
2
2 4
4Q − π d1 ρgh
(5)
3.2.12 Поршень диаметром d1 = 1 см находится в горизонтально расположенном шприце с диаметром выходного сопла d2
= 1 мм. Ход поршня составляет L = 5 см. К поршню прикладывают
постоянную горизонтальную силу F = 1 H. Определите скорость и
время истечения воды из шприца.
Решение:
1 Определим площади поршня и
выходного отверстия
s1 = 0,25πd12 ≅ 8⋅10 –5 м2,
(1)
F
v
1
d
d
1
2
v
2
L
(2)
2 Запишем уравнение Бернулли и условие неразрывности
струи для случая горизонтального расположения шприца
s 2 = 0,25πd 22 ≅ 8⋅10 –7 м2.
F ρv12 ρv 22
,
+
=
s1
2
2
s1v1 = s 2 v 2 .
3 Решая совместно (3) и (4), получим
(3)
(4)
3 Механика жидкости и газа
362
2
F 1 ⎛ s2 ⎞ 2 1 2
+ ρ⎜ ⎟ v 2 = ρv 2 ,
s1 2 ⎜⎝ s1 ⎟⎠
2
(5)
откуда
v2 =
2Fs1
.
ρ s12 − s 22
(
)
(6)
4 Так как s1/s2 ≅ 100, то уравнение (6) можно несколько упростить
v2 ≅
2F
≅ 5 м/с.
ρs1
(7)
5 Время истечения воды из шприца определим, исходя из условия равенства объёма вытекающей воды объёму шприца
s 2 v 2 Δt = s1v1Δt = s1L .
(8)
6 Определим далее из (8) время истечения
Δt =
s1L s1L ρs1
=
≅ 1 с.
s 2 v 2 s 2 2F
(9)
3.2.13 В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 1м имеется отверстие диаметром d = 10 см. Определите значение скорости понижения уровня воды в сосуде, когда высота уровня станет равной h =1 м.
Решение:
1 Определим площади сосуда и отверстия в его
v
дне
1
D
h
d
s1 = 0,25πD 2 ≅ 0,8 м2,
s 2 = 0,25πd 2 ≅ 8⋅10 –3 м2.
(1)
(2)
2 Запишем уравнение Бернулли для двух сечений:
поверхности жидкости и отверстия
v
2
ρv12
ρv 22
,
+ ρgh =
2
2
(3)
v12 + 2gh = v 22 .
(4)
или
3.2 Элементы гидродинамики
363
3 Уравнение (4) содержит две неизвестные величины v1 и v2,
поэтому дополним его уравнением неразрывности
s1v1 = s 2 v 2 .
(5)
4 Совместное решение уравнений (4) и (5) относительно искомой скорости даёт следующее соотношение
v1 =
s 2 2gh
s12 − s 22
,
(6)
так как s1/s2 = 102, то (6) можно упростить
v1 ≅
s2
2gh ≅ 0,045 м/с.
s1
(7)
3.2.14 Сопло фонтана, производящего вертикальную струю
высотой H = 5 м, имеет форму усечённого конуса, сужающегося
кверху. Диаметр верхнего сечения d = 3 см, нижнего сечения – D
= 9 см. Высота сопла фонтана составляет h = 1 м. Определите
расход фонтаном воды и избыточное, по сравнению с атмосферным, давление в нижнем сечении сопла.
Решение:
1 Скорость истечения воды из сопла определим
по высоте подъёма струи
v 2 = 2gH .
(1)
2 Объём воды, протекающий через сопло за 1с
с учётом (1) определится как
Q = v 2s 2 = 0,25πd 2 2gH .
(2)
3 Запишем далее уравнение Бернулли для нижнего и верхнего сечений сопла
ρgh +
ρv
ρv
+ p0 =
+ p,
2
2
2
2
2
1
H
d
h
D
(3)
где p0 – атмосферное давление, р – давление в трубопроводе, питающем сопло, v2 – скорость воды в верхнем сечении сопла, v1 –
скорость в нижнем сечении.
4 Разность давлений из уравнения (3) запишется следующим
образом
3 Механика жидкости и газа
364
Δp = p − p 0 = ρgh +
ρ 2
v 2 − v12 .
2
(
)
(4)
5 Уравнение (4) содержит две неизвестные величины v1 и v2,
поэтому дополним его уравнением неразрывности
v1s1 = v 2s 2 , ⇒ v1 =
v 2s 2 d 2
= 2 2gH .
s1
D
(5)
6 Подставляя в (4) значение v1 из (5) и v2 из (1), получим
⎛ d4 ⎞
Δp = ρgh + ρgH⎜⎜1 − 4 ⎟⎟ ≅ 6⋅104 Па.
⎝ D ⎠
(6)
3.2.15 Насос представляет собой горизонтально расположенный цилиндр с поршнем диаметра d1 = 0,1м. Поршень перемещается с постоянной скоростью силой F = 100 Н. Вода выбрасывается через отверстие диаметром d2 = 0,5 см, расположенное в
торце цилиндра. Определите скорость истечения воды из отверстия.
Решение:
1 Определим площади поперечного сечения насоса и выходного отверстия
s1 = 0,25πd12 ≅ 7,85⋅10 –3 м2,
(1)
s 2 = 0,25πd 22 ≅ 1,96⋅10 –7 м2.
(2)
2 Запишем уравнения Бернулли и неразрывности
F ρv12 ρv 22 ⎫
+
=
,⎪
s1
2
2 ⎬
⎪
s1v1 = s 2 v 2 .
⎭
(3)
3 Из второго уравнения системы (3) выразим скорость движения поршня v1 и подставим в первое уравнение
F ρ s 22 v 22 ρv 22
+
=
⇒ 2Fs1 + ρs 22 v 22 = ρs12 v 22 ,
2
s1 2 s1
2
v2 =
2Fs1
≅
ρ(s12 − s 22 )
2F
≅ 5 м/с.
ρs1
(4)
3.2 Элементы гидродинамики
365
3.2.16 Пластина массой m = 10 кг удерживается на месте в
горизонтальном положении струями воды, бьющими вертикально
вверх из n =4 одинаковых сопел, имеющих площадь поперечного сечения s = 3 см2 каждое. Скорость истечения жидкости постоянна и равна v1 = 5 м/с. На какой высоте удерживается пластина,
если струи после удара разлетаются строго в горизонтальной
плоскости.
Решение:
1 Сила, действующая со стороны одной
струи на пластину определится как
F=
Δp
= ρv 22s 2 .
Δs
v
2
(1)
2 Уравнение (1) для пластины массой m и
четырёх струй перепишется следующим образом
(2)
mg = nρv 22s 2 .
3 Выразим величину скорости v2 в сечении
струи s2, используя уравнение неразрывности
v1s1 = v 2s 2 ⇒ v 2 =
s2
mg
h
v1
s1
v1s1
,
s2
и перепишем с учётом этого уравнение (2)
mg = nρv 2 v1s1 .
(3)
4 запишем далее для сечений струи s1 и s2 уравнение Бернулли
ρv 22 ρv12
=
− ρgh ,
2
2
v 22 = v12 − 2gh .
5 Подставим (5) в (3)
(
(4)
(5)
)
mg = nρ v12 − 2gh v1s1 .
(6)
6 Разрешая уравнение (6) относительно высоты расположения
пластины относительно среза сопел, получим окончательно
1 ⎡ 2 ⎛ mg ⎞
⎟
⎢ v1 − ⎜⎜
h=
2g ⎢
nρv1s ⎟⎠
⎝
⎣
2
⎤
⎥ ≅ 1,25 м.
⎥⎦
(7)
366
3 Механика жидкости и газа
3.2.17 Насос пожарной машины обеспечивает в питающем
рукаве давление р1 = 5 атмосфер. Сопло брандспойта представляет собой усечённый конус с диаметром большего основания d1
= 6 cм, а меньшего – d2 = 3 см. Оцените, пренебрегая потерями и
сопротивлением, на каком максимальном расстоянии возможно
тушить пожар.
Решение:
1 Определим, пренебрегая потерями, скорость воды во входном сечении сопла
p1 =
ρv12
2p1
, ⇒ v1 =
≅ 10 м/с.
2
ρ
(1)
2 Используя уравнение неразрывности, найдём скорость жидкости на выходе из сопла
d2
πd12
πd 2
v1 = 2 v 2 , ⇒ v 2 = 12 v1 ≅ 40 м/с.
4
d2
4
(2)
3 Наибольшая дальнобойность струи будет наблюдаться при
направлении её под углом α = 450 к горизонту, в этом случае
x max =
v 22 sin 2α
≅ 160 м.
g
(3)
3.2.18 Оцените при какой скорости горизонтально дующего
ветра может перевернуться автомобиль массой m = 2 Т, если его
ширина равна b = 2 м, длина l = 4 м, высота автомобиля h = 2 м,
высота кузова hk = 1,6 м .
Решение:
1 Определим динамическое давление,
(скоростной напор) создаваемое ветром,
дующим с постоянной скоростью v перпендикулярно боковой поверхности автомобиля
F
F
ρv 2
p= =
=
,
s 0,8hl
2
b
v
h
F
(1)
где ρ =1,3 кг/м3 - плотность воздуха.
2 Будем считать далее, что сила дав-
mg
M(F)
3.2 Элементы гидродинамики
367
ления ветра приложена к центру масс автомобиля, а ее величина, в
соответствии с (1), определится уравнением
F=
ρv 2
h kl .
2
(2)
3 Рассмотрим моменты сил, действующие относительно оси,
проходящей через переднее и заднее колесо (точка А на рисунке)
перпендикулярно плоскости чертежа
()
r
⎛ ρv 2 h k l ⎞ 1
r 1
⎟⎟ h . (3)
M A (mg ) = mgb, M A F = −⎜⎜
2
⎝ 2 ⎠2
4 Переворачивание автобуса становится возможным когда
r
ρv 2 hh k l mgb
M A (mg ) ≤ M A (F) ,
≥
,
4
2
откуда
v=
2mgb
≅ 60 м/с
ρ0,8h 2 l
(4)
5 Очевидно, что на практике скорость ветра, необходимая для
переворота автобуса будет выше, т.к. в расчётах по умолчанию
предполагалось, что автомобиль имеет профиль прямоугольной пластины с коэффициентом сопротивления с = 1,11. Современные автомобили имеют коэффициент сопротивления при боковом обтекании порядка сБ ≅ 0,2 – 0,4.
3.2.19 Насос представляет собой расположенный горизонтально цилиндр с поршнем диаметром D = 0,1 м и выходным отверстием диаметром d = 2 см, расположенным на оси цилиндра.
Определите скорость истечения струи воды из насоса, если поршень под действием постоянной силы F = 100 кН перемещается с
постоянной скоростью.
Решение:
1 Запишем уравнение Бернулли и уравнение неразрывности
для сечения совпадающего с плоскостью поршня и выходного
сечения
F ρv12 ρv 22
,
+
=
s1
2
2
v1s1 = v 2s 2 .
(1)
368
3 Механика жидкости и газа
2 Выразим из уравнения неразрывности скорость поршня v1 и
подставим это значение в уравнение Бернулли
2F s 22 v 22
+ 2 = v 22 , или v 2 =
s1ρ s1
2Fs1
,
⎛ s 22 ⎞
ρ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
⎝ s1 ⎠
(2)
откуда
v2 =
2πFD 2
≅ 1,24 м/с.
⎛ d4 ⎞
ρ⎜⎜1 − 4 ⎟⎟
⎝ D ⎠
(3)
3.2.20 Корабль получил пробоину корпуса на глубине h = 10м
ниже ватерлинии. Могут ли два матроса, прикладывая усилия по
F = 1000 Н каждый перекрыть доступ забортной воды, прижимая
к пробоине площадью s = 0,2 м2 деревянный щит?
Решение:
1 Действие струи на пластырь ( в данном случае на деревянный щит) будет обусловлено гидростатическим и динамическим
давлением
p Σ = p Дин + p Cтат = ρgh +
ρv 2
,
2
(1)
где v 2 = 2gh - квадрат скорости жидкости в струе.
2 Таким образом, сила давления на пластырь определится как
FCтруи = p Σs = 2ρghs ≅ 4⋅104 Н ,
(2)
что несомненно больше, чем могут себе позволить доблестные
моряки.
3.2.21 Ламинарная струя воды со скоростью v0 = 1 м/с вытекает вертикально вниз из трубы диаметром d1 = 2 см. Определите,
пренебрегая эффектами вязкости и сопротивления, диаметр
струи d2 на расстоянии h = 1 м ниже среза трубы.
Решение:
1 По мере удаления от среза трубы сечение струи будет
3.2 Элементы гидродинамики
369
уменьшаться вследствие увеличения скорости
жидкости, падающей без учёта вязкости и сопротивления свободно с ускорением g
v = v 0 + gt , ⎫
⎪
gt 2 ⎬
h = v0 t +
.⎪
2 ⎭
(1)
d1
v0 h
g
v
2 Вычислим из второго уравнения системы
(1) время падения жидкости в высоты h
t2 +
2v 0
2h
= 0,
t−
g
g
2
t1, 2
⎛ v ⎞ 2h
v
. t ≅ 0,26c .
= − 0 ± ⎜⎜ 0 ⎟⎟ +
g
g
⎝ g ⎠
(2)
3 Скорость жидкости в конце падения
v = v 0 + gt ≅ 3,6м / с .
(3)
4 Диаметр струи на удалении h от среза трубы определим с
помощью уравнения неразрывности
d 02 v 0 = d 2 v , ⇒ d = d 0
v0
≅ 1⋅10 – 2 м.
v
(4)
3.2.22 В середину деревянного прямоугольного бруска массой
m = 5кг, расположенного на горизонтальной шероховатой плоскости бьет струя воды площадью поперечного сечения s = 3,14 см2
под углом α = 450 к поверхности. Определите, будет ли брусок
перемещаться, если скорость воды в струе v = 10 м/с, коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,4, а струя после падения на
брусок распространяется горизонтально.
Решение:
1 Сила давления струи на брусок (см. задачу 3.2.16) опреде-
r
лится как: F = ρsv 2 , причём проекции этой силы на традиционное направление осей координат примут значения
Fx = ρsv 2 cos α , Fy = ρsv 2 sin α .
(1)
3 Механика жидкости и газа
370
y
2 Сила трения бруска о плоскость
FТр = μ mg + ρsv 2 sin α ≅ 28,4 Н. (2)
(
)
3 Горизонтальная составляющая
x
силы давления струи на брусок
2
Fx = ρsv cos α ≅ 21,3 Н.
(3)
4 Таким образом, брусок при заданных условиях будет находиться в покое.
s
v
F
Тр
Fy
F
3.2.23 Деревянная широкая прямоугольная доска массой m =
5 кг шарнирно закреплена за верхний конец. В нижней конец
доски бьёт струя воды сечением s = 1 см2, отклоняя его из положения равновесия. Оцените угол отклонения стержня при скорости воды в струе v = 5 м/с, если струя после удара растекается
параллельно плоскости доски.
Решение:
1 Отклонённый из положения равновесия стержень будет оставаться в покое в
том случае, если возникший момент силы
тяжести относительно оси подвеса будет
компенсироваться моментом силы давления струи на конец доски, т.е.
(1)
F L = mgh ,
L
α
h
C
mg
v
где h – плечо силы тяжести в отклонёнs
ном положении.
2 Подставляя в уравнение (1) значение
силы давления струи и разрешая полученное соотношение относительно h, получим
h=
FL ρsv 2 L
=
.
mg
mg
(2)
3 Приближённо, значение угла отклонения можно оценить из
прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна L/2, а
противолежащий катет равен h
α = arcsin
2ρsv 2
≅ 5,80.
mg
(3)
3.2 Элементы гидродинамики
371
3.2.23 Изогнутую трубу опустили в поток
воды, движущейся со скоростью v = 2,5 м/с.
Закрытый верхний конец трубки имеет небольшое отверстие и находится на высоте h0
= 12 см над поверхностью текущей жидкости.
На какую высоту h над верхним концом трубки
будет подниматься струя воды, вытекающая
из отверстия?
h
h0
v
Решение:
1 Запишем уравнение Бернулли для струи в верхней точке её
подъёма, т.е. на высоте (h + h0) относительно поверхности жидкости и плоскости втекания в трубу
ρv 2
= ρg (h + h 0 ) ,
2
(1)
откуда
h=
v2
− h 0 ≅ 0,193 м.
2g
3.2.24 Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубке переменного сечения в местах, где сечения трубы
равны 5см2 и 3см2. Определите объём воды,
протекающей в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней воды в
манометрических трубках равна Δh = 0,2 м.
(2)
Δh
s1
s2
Решение:
1 Запишем уравнение Даниила Бернулли и уравнение неразрывности для сечений жидкости s1 и s2
ρv12
ρv 2
= ρgh 2 + 2 ,
2
2
s1v1 = s 2 v 2 .
ρgh1 +
(1)
(2)
2 Преобразуем уравнение (1) к виду
s12 v12
2Δh = v − v = v − 2 ,
s2
2
1
2
2
2
1
(3)
3 Механика жидкости и газа
372
и определим величину скорости v1
2Δhgs 22
v1 =
.
s12 − s 22
(4)
3 Так как секундный расход жидкости Q = v1s1, то
Q = s1s 2
2Δhg
≅ 6,4⋅10 –2 м3/с.
2
2
s1 − s 2
3.2.25 Трубка Пито, заполненная трутью установлена по оси газопровода, площадь поперечного сечения которого равна s1 = 0,2м2 .
Пренебрегая вязкостью газа, определите секундный объём, проходящий через сечение трубопровода, если плотность газа ρ0 = 10 кг/м3, а
разность уровней Δh = 0,5 м.
(5)
s
Δh
Решение:
1 Уравнение Бернулли для трубки Пито представится следующим образом
ρgΔh =
ρ0 v 2
2ρgΔh
, ⇒ v=
,
2
ρ0
(1)
где ρ = 13,6⋅103 кг/м3- плотность ртути, ρ0 – плотность газа.
2 Расход газа в единицу времени через трубопровод будет равен Q = v⋅s, или, с учётом (1)
Q=s
2ρgΔh
≅ 23 м3/с.
ρ0
(2)
3.2.26 Какую работу надо соверV
шить, чтобы действуя на поршень с
s
постоянной силой, выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за время τ = 11,2
с? Объём воды в цилиндре V = 1 м3 , площадь выходного сопла s
= 0,2 м2. Считать, что вязкость и сопротивление отсутствуют, а
площадь поршня много больше площади сопла.
3.2 Элементы гидродинамики
373
Решение:
1Определим работу по вытеснению жидкости традиционно,
через произведение давления на изменения объёма
ρv 2
⋅V.
A = p ⋅ ΔV =
2
(1)
2 С другой стороны, Q =V/τ = v⋅s, поэтому
v2 =
V2
ρV 3
,
⇒
≅ 100 Дж.
A
=
s 2 τ2
2s 2 τ 2
(2)
3.2.27 Цилиндрический сосуд высотой h = 2м с площадью основания s1 = 1 м2. В дне сосуда открыли отверстие площадью s2
=5 см2. Пренебрегая вязкостью воды, определить, через какой
промежуток времени τ вода покинет сосуд.
Решение:
1 Определим скорость истечения воды в начальный момент
времени с учётом того, что s1>>s2
v 2 = 2gh .
(1)
2 Уравнение неразрывности позволяет выразить скорость
опускания воды в сосуде
v1 =
2gh s 2
v 2s 2
=
.
s1
s1
(2)
3 С другой стороны, скорость понижения уровня воды может
быть выражена через объём сосуда V и время истечения τ
V τ = v1s1 , ⇒ v1 =
V
,
s1τ
(3)
таким образом, совмещая (2) и (3) получим
2gh s 2 s1h
=
,
s1
s1τ
τ=
s1
s2
h
s
= 1
2gh s 2
2h
≅ 632с ≅ 10,5 мин.
g
(4)
(5)
3 Механика жидкости и газа
374
L
3.2.28 Горизонтальная трубка АВ A
B
длины L вращается с постоянной угло- z
ω
вой скоростью ω вокруг неподвижной
оси z. В трубке находится идеальная
h
жидкость. В конце трубки В имеется маленькое отверстие. Определите, с какой скоростью относительно
трубки будет вытекать жидкость в зависимости от «высоты»
столба.
Решение:
1 Отметим, что истечение жидкости из отверстия будет происходить под действием силы инерции, а не силы тяжести, которая в данном случае направлена по оси z, т.е. перпендикулярно
вектору абсолютной скорости жидкости.
2 Определим уравнение давления, создаваемого в жидкости
силой инерции
pi =
Fi ma n ρsh ⋅ ω2 L
=
=
= ρω2 Lh
s
s
s
(1)
3 Частички идеальной жидкости на выходе из трубки участвуют в двух движениях: под действием силы инерции они покидают трубку с искомой скоростью vx и одновременно вращаются
с линейной скоростью v = ωh. Уравнение Бернулли, таким образом, примет следующий вид
ρv 2x ρv 2
+
= pi ,
2
2
(2)
или
v x = 2ω2 Lh − ω2 h 2 = ωh
2L
−1 .
h
(3)
3.2.29 С противоположных сторон широкого вертикального
сосуда, наполненного водой, открыли два одинаковых отверстия,
площадью s = 0,5 см2 каждое. Расстояние между отверстиями по
высоте равно Δh = 51 см. Определите результирующую силу реакции вытекающей струи.
Решение:
1 Определим скорости истечения воды из отверстий
v1 = 2gh1 ,
v 2 = 2gh 2 ,
(1)
3.2 Элементы гидродинамики
375
2 Силы реакции диаметрально противоположных струй
(2)
F1 = ρsv12 , F2 = ρsv 22 .
3 Результирующая реакция определится в виде разности сил,
определённых уравнениями (2)
ΔF = F1 − F2 = ρs v12 − v 22 = 2ρgsΔh ≅0,5 Н. (3)
(
)
3.2.30 В боковой стенке широкого цилиндрического вертикального сосуда высоты h = 75 см сделана узкая вертикальная
щель, нижний конец которой упирается в дно сосуда. Длина щели
L = 50 см, ширина щели b = 1 мм. Закрыв щель, сосуд наполнили
водой. Найдите результирующую силу реакции вытекающей воды.
Решение:
1 Скорости истечения жидкости из верхней и нижней точки прямоугольной щели
v1 = 2g (h − L) ,
b
v 2 = 2dh .
(1)
h
2 Сила реакции вытекающей воды определится как
(2)
F = ρs < v > 2 ,
где s = bL – площадь щели, <v> = (v1 + v2)/2.
3 Подставляя в уравнение (2) значения
скоростей из уравнений (1), получим
v1
L
v2
2
⎛ v + v2 ⎞
F = ρbL⎜ 1
⎟ = ρgbL(2h − L) ≅ 5 Н.
⎝ 2 ⎠
(3)
3.2.31 Вода течёт со скоростью v = 10 м/с по изогнутой U –
образной трубке, диаметром d = 2 см, лежащей в горизонтальной
плоскости. Радиус закругления трубки R = 10 см. Определите: а)
суммарный импульс воды в закруглённой части трубки; б) модуль
силы, действующей со стороны текущей жидкости на стенки изогнутой трубки.
s
Решение:
v
1
R
1 В закруглённой части трубки вода бу-
дет иметь постоянную по модулю скорость,
но двигаться она будет с нормальным уско- v2
3 Механика жидкости и газа
376
рением, это обстоятельство позволяет массу жидкости, движущейся ускоренно, определить следующим образом
ρv 2 mv 2
=
, ⇒ m = ρsR .
2
Rs
(1)
2 Суммарный импульс жидкости движущейся по закруглённому участку будет равен изменению импульса на входе и выходе
r
p Σ = Δp = m[v1 − (− v 2 )] = 2mv = 2ρsRv ,
(2)
p Σ = 2ρ
πd 2
πρd 2 Rv
≅ 0,63 кг⋅м/с.
Rv =
2
4
(3)
3 Модуль силы, действующей со стороны жидкости на исследуемый участок трубки
r Δp πρd 2 Rv πρd 2 v 2
≅ 62,8 Н.
=
F=
=
2Δt
2
Δt
(4)
3.2.32 Вода вытекает из большого бака по
изогнутой под прямым углом трубке, внутренний
радиус которой r = 0,5 см. Длина горизонтальной части трубки L = 22 см. Расход воды равен
z
Q = 0,5 л/с. Определите момент сил реакции
вытекающей воды на стенки этой трубки относительно оси z, перпендикулярной плоскости рисунка.
L
v
Решение:
1 Выразим скорость истечения жидкости через расход Q и
сечение трубки
Q = sv, ⇒ v = Q s = Q πr 2 .
(1)
2 Сила реакции вытекающей струи
ρπr 2 Q 2 ρQ 2
= 2 .
F = ρsv =
πr
(πr 2 ) 2
2
(2)
3 Момент силы реакции относительно оси z
r ρQ 2 L
≅ 0,7 Н/м.
M z (F) =
πr 2
(3)
3.2 Элементы гидродинамики
377
3.2.33 Цилиндрический сосуд с водой вращается с постоянной
угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси. Определите: а)
форму свободной поверхности воды; б) распределение давления
на дне сосуда вдоль радиуса, если в центре оно равно р0.
Решение:
1 Будем полагать далее движение стационарным, что даёт основание считать давление р
в горизонтальной плоскости зависящим только
от радиуса r. Градиент давления в общем виде
можно выразить, считая вращающуюся жидкость трубкой тока
dp ρv 2
.
=
dr
2
z
ω
h
O
H
r
(1)
2 Используя уравнение Эйлера, заменим линейную скорость v
на угловую ω
dp
= ρω2 r .
dr
(2)
3 Разделим в уравнении (2) переменные и проинтегрируем в
соответствующих пределах
P1
r1
p0
0
2
∫ dp = ∫ ρω rdr , p1 − p0 =
p( r ) = p 0 +
ρω2 2
r1 ,
2
ρω2 2
r .
2
(3)
(4)
4 Из уравнения (4) видно, что давление в горизонтальном сечении сосуда увеличивается пропорционально квадрату расстояния от оси вращения. В соответствии с законом Паскаля давление
в каждой точке жидкости должно быть одинаковым по всем направлениям, поэтому уровень жидкости должен возрастать по
мере удаления от оси вращения. Изменение давления в вертикальном направлении возникает по гидростатическому варианту
ρgh =
ρω2 2
ω2 2
r1 , ⇒ h =
r1 ,
2
2g
(5)
таким образом, как видно из (4), свободная поверхность жидкости представляет собой параболоид вращения.
378
3 Механика жидкости и газа
3.2.34 Тонкий горизонтальный
ω
диск радиуса R = 10 см расположен
в цилиндрической полости с маслом, вязкость которого η = 8 мПа⋅с.
Зазоры между диском и горизонтальными стенками полости одинаковы и равны h = 1 мм. Определите мощность, которую развивают силы вязкости, действующие на диск при его вращении с постоянной угловой скоростью ω
= 60 рад/с. Краевыми эффектами пренебречь.
Решение:
1 Сила внутреннего трения в вязкой жидкости определяется
как
⎛ dv ⎞
Fη = η⎜ ⎟s .
⎝ dz ⎠
(1)
2 Градиент скорости найдём, используя величину средней
линейной скорости вращающегося диска
< v >=
ωR
, ⇒
2
dv ωR
=
.
dz 2h
(2)
3 Мощность силы внутреннего трения запишется как
ωR
⋅ 2πR 2 ⋅ ωR ,
2h
πηω2 R 4
N=
≅ 9Вт.
h
N = Fη v = η
3.2.35 Радиус сечения трубопровода монотонно уменьшается по закону r = r0 e-αx, где α = 0,5 м –1 ,x – расстояние от начала трубопровода.
Найдите отношение чисел Рейнольдса в сечениях, отстоящих друг от друга на расстоянии Δx = 3,2 м.
(3)
Δ
s0
o
r0
v0
s1
r1
v1
x
Решение:
1 Значение критерия Рейнольдса для сечений трубопровода s0
и s1 определится как
3.2 Элементы гидродинамики
Re 0 =
379
v 0 r0
vr
, Re1 = 1 1 .
ν
ν
(1)
2 Значение скорости потока в сечении s2 можно определить,
воспользовавшись уравнением неразрывности
v1 =
v 0s 0
v 0 πr02
v
=
= −1,06 2 ≅ 24,5v 0 .
− αΔx 2
s2
π(r0 e
)
(e )
(2)
3 Отношение критериев Рейнольдса, таким образом, будет
равно
Re1 24,5v 0 ⋅ r0 e −1, 6
≅ 5.
=
Re 0
v 0 r0
(3)
3.3.36 Прибор для измерения вязкости жидкостей (вискозиметр) представляет собой два коаксиальных цилиндра. один из
них, как правило, внешний диаметром D = 10,6 см, неподвижен, а
внутренний – диаметром d = 10,3 см вращается с постоянной частотой n = 62,1 об/мин. Исследуемая жидкость помещена в зазор
между цилиндрами до уровня h = 12 см. Определите вязкость
жидкости, если указанная частота вращения обеспечивается моментом Mz = 0,024 Н⋅м.
Решение:
1 Линейная скорость частиц жидкости,
прилегающих к внутреннему вращающемуся
цилиндру
v = 2πnr .
(1)
2 Поскольку внешний цилиндр неподвижен, то градиент скорости жидкости в зазоре
определится как
gradv =
dv
2πrn
.
=
dz (R − r )
v
Δz
R
z
r
M (F) z
(2)
3 Поверхность жидкости, испытывающая внутреннее трение
s = 2πrh .
(3)
4 Постоянство частоты вращения указывает на равенство момента вращения моменту сил внутреннего трения
r
M z (F) = Fη ⋅ r ,
(4)
3 Механика жидкости и газа
380
или, с учётом значения силы вязкости Fη
r
2πrn
⋅ 2πrh ⋅ r ,
M z (F) = η ⋅ gradv ⋅ s ⋅ r = η
(R − r )
откуда
r
M z (F)(R − r )
≅ 7,6⋅10 –2 Па⋅с.
η=
4π 2 r 3nh
(5)
(6)
3.3.37 Получите уравнение для определения расхода воды
через трубопровод диаметром d = 1 см и длиной L = 15 м, если
изменение давления на его концах составляет Δр = 3,5 атм. Коэффициент вязкости η = 1⋅10 –3 Па⋅с.
Решение:
dv
1 Выделим элемент ламиFη = η
dr
нарно текущей вязкой жидкости радиуса r и протяжённости
r
dl. Если жидкость движется с
v
постоянной скоростью, то p
сумма сил, приложенных к
p + dp dl
этому объёму должна быть
dl
dl
равна нулю. Другими словами,
разность сил давления, приложенных к торцам цилиндра
⎡ ⎛
dp
dp ⎞⎤ 2
2
⎢p − ⎜ p + dl dl ⎟⎥ πr = − dl dl ⋅ πr ,
⎠⎦
⎣ ⎝
(1)
должна быть уравновешена силами внутреннего трения (вязкости), которые приложены к поверхности цилиндра
Fη = η
dv
dv
s = η 2πrdl .
dr
dr
(2)
2 Приравняем правые части уравнений (1) и (2)
−
dv
dp
dlπr 2 − η 2πrdl = 0 ,
dr
dl
(3)
после очевидных преобразований, получим
dp
dv
r = 2η .
dl
dr
(4)
3.2 Элементы гидродинамики
381
3 Величина градиента давления dp/dl не зависит от радиуса,
т.к. давление р в любом поперечном сечении одинаково. Уравнение (4) в этой связи позволяет определить распределение скорости по радиусу цилиндра. Разделим переменные и проинтегрируем в соответствующих пределах
r
v
dp
rdr = 2η∫ dv ,
dl R∫
0
(5)
где R – радиус трубопровода, r – текущий радиус, η - коэффициент вязкости.
4 После интегрирования:
(
)
1 dp 2
r − R 2 = 2η v ,
2 dl
(6)
или, относительно скорости
v=
(
)
1 ⎛ dp ⎞ 2 2
⎜− ⎟ R − r .
4η ⎝ dl ⎠
(7)
5 Скорость будет максимальной на оси трубы, при r = 0
v max
R 2 ⎛ dp ⎞
=
⎜− ⎟ .
4η ⎝ dl ⎠
(8)
6 Зная распределение скоростей можно определить объёмный
расход жидкости путём интегрирования (7)
R
Q = ∫ dQ = 2π ∫ vrdr ,
(9)
0
R
Q=
πR 4 ⎛ dp ⎞
2π ⎛ dp ⎞
2
2
(
)
−
−
=
R
r
rdr
⎜
⎟
⎜− ⎟ .
4η ⎝ dl ⎠ ∫0
8η ⎝ dl ⎠
(10)
7 Так как давление в трубе падает пропорционально длине, то
величину dp/dl можно определить как отношение разности давлений на входе и выходе трубы к её длине (p1 – p2)/l, c учётом
этого упрощения
Q=
πR 4 p1 − p 2
⋅
≅ 5,72⋅10 –4 Па⋅с.
8η
l
(11)
Уравнение (11) впервые было получено Пуазейлем (1799 – 1869)
и в настоящее время носит его имя.
382
3 Механика жидкости и газа
3.3.38 Скатывая палубу шлангом, практикант из числа курсантов КГТУ, для ускорения процесса, решил заменить шланг на другой, вдвое большего диаметра. Во сколько раз сократится время
уборки палубы, если все прочие параметры остаются без изменения?
Решение:
1 Время обработки заданной площади струёй воды τ пропорционально, при прочих равных условиях, объёмному расходу Q,
τ2 Q 2
=
,
τ1 Q1
(1)
что даёт основание воспользоваться формулой Пуазейля
Q1 =
πR 14 Δp
πR 22 Δp
, Q2 =
.
8ηL
8ηL
(2)
2 Совмещая (1) и (2), получим искомое соотношение времён
τ 2 ( 2R 1 ) 4
=
= 16 .
τ1
R 14
(3)
3.3.39 Радиус аорты равен примерно r ≅ 1 см, вязкость крови η
= 4⋅10 –3 Па⋅с. Оцените перепад давления на отрезке аорты протяжённостью L = 2 см при средней скорости крови v =30 см/с.
Решение:
1 Определим вначале объёмный расход крови в аорте
(1)
Q = πr 2 v .
2 Выразим перепад давления из формулы Пуазейля
Δp =
πr 2 8ηLv 8ηLv
= 2 ≅ 7,68 Па.
r
πr 4
3.3.40 Кровь, движущаяся по аорте диаметром d1 = 2 см со
скоростью v = 30 см/с попадает, затем в сеть капилляров, суммарная площадь которых составляет sΣ = 2000 см2. Оцените падение давления крови в капилляре диаметром d2 = 8,10-4 см на L=
10 см его длины, если вязкость крови составляет η = 4.10 –3 Па⋅с.
Решение:
1 Скорость движения крови в капилляре определим, исполь-
3.2 Элементы гидродинамики
383
зуя уравнение неразрывности
v 2 = v1s1 s 2 ≅ 5⋅10 –4 м/с.
(1)
2 Перепад давления определим из формулы Пуазейля
Q8ηL vπr12 8ηL 8ηLv
= 2 ≅ 7,5 Па.
=
Δp =
r1
πr14
πr24
(2)
3.3.41 Переливание крови, как обычно, осуществляют из специального сосуда поднятого на некоторую высоту. Кровь подаётся по трубке через иглу, введённую в вену. Внутренний диаметр
иглы составляет d1 = 0,5 мм, длина иглы L = 4 см. По медицинским показаниям кровь требуется вводить по Q = 4 см3/мин. На
какой высоте над уровнем иглы следует расположить сосуд с
запасом крови при её вязкости η = 4⋅10 –3 Па⋅с, если давление
крови в вене превышает атмосферное на Δр = 20 мм. рт. столба?
Решение:
1 Кровь будет поступать в вену в заданном количестве, если
гидростатическое давление на входе в иглу будет превышать давление в вене на вполне определённую величину. Разность этих давлений определяется формулой Пуазейля.
2 Формула Пуазейля в данном случае
h
запишется следующим образом
L
(ρgh − Δp)πr14
Q=
,
8ηL
(1)
откуда
h≥
⎞
1 ⎛ 8ηLQ
⎜⎜
+ Δp ⎟⎟ ≅ 0,3 м.
4
ρg ⎝ πr1
⎠
(2)
3.3.42 Чему должна быть равна разность давлений на концах
двухкилометрового нефтепровода, L =2 км диаметром 40 см, чтобы нефть с вязкостью η = 2 Па⋅с поступала в количестве Q = 400
см3/с?
Решение:
1 Разрешим формулу Пуазейля
3 Механика жидкости и газа
384
Q=
πR 4 Δp
,
8ηL
(1)
относительно разности давлений
Δp =
Q8ηL
≅ 2,7⋅105 Па.
4
πR
(2)
3.3.42 Какой диаметр должен иметь воздуховод длиной L =
30м, чтобы вентиляционно – отопительная система полностью
обновляла воздух в помещении размером 10 × 18 × 4 м каждые
10 минут? Компрессор системы создаёт избыточное давление Δp
= 4⋅10-4 атм.
Решение:
1 Определим секундный расход воздуха через трубопровод
Q = V Δt ≅ 1,2 м3/с .
(1)
2 Радиус воздуховода определится из уравнения Пуазейля
Q=
πR 4 Δp
,
8ηL
R=4
Q8ηL
≅ 0,08 м.
πΔp
(2)
Диаметр воздуховода, для обеспечения заданных параметров,
должен быть равен d = 16 см.
3.3.43 Деревянный шарик радиусом R = 1 см плотностью ρ =
500 кг/м3 всплывает в воде с постоянной скоростью. Определите
величину силы трения, действующей на шарик со стороны жидкости.
Решение:
1 На всплывающий с фиксированной скоростью v шарик действует система трёх сил: сила тяжести mg; сила Архимеда FA и
сила внутреннего трения (вязкости) Fη
4
4
mg = ρg πR 3 , FA = ρ0 g πR 3 ,
3
3
(1)
где ρ0 = 1000 кг/м3 – плотность воды
2 Уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось при этом примет вид
3.2 Элементы гидродинамики
4
4
ρ0 g πR 3 − ρg πR 3 − Fη = 0 ,
3
3
385
(2)
откуда
Fη =
4
πgR 3 (ρ0 − ρ) ≅ 2 Н.
3
(3)
3.3.44 Небольшая сфера диаметром d = 2 мм и плотностью ρ
= 1,5 г/см3 опускается в жидкости плотностью ρf =0,9г/см3 с постоянной скоростью v1 = 0,05 м/с. Определите коэффициент динамической вязкости жидкости.
Решение:
1 Определим силу вязкого трения, воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона
Fη =
4
πgr 3 (ρ − ρf ) = 6πηrv .
3
(1)
2 Коэффициент динамической вязкости η жидкости определится из (1) следующим образом
η=
Fη
6πrv
=
4πgr 3 (ρ − ρf ) gr 2 (ρ − ρf )
=
≅ 8⋅102 Па⋅с.
6πrv
1,5v
3.3.45 Хулиганы бросили кошку с балкона, которая падает
вниз растопырив лапы и распушив хвост, так что её эффективная
площадь поперечного сечения стала равна 450 см2 . Какую максимальную скорость может приобрести бедное животное, если её
масса составляет m = 2 кг, а коэффициент сопротивления равен
СХ =1,2, плотность воздуха ρ0 = 1,3 кг/м3?
Решение:
1 Как известно, кошки обладают завидным вестибулярным
аппаратом и падают всегда не допуская вращения туловища, т.е
сохраняя площадь поперечного сечения своего корпуса максимальной.
2Будем полагать, что сила лобового сопротивления кошки
прямо пропорциональна квадрату её скорости, т.е. разгон животного будет сопровождаться увеличением силы сопротивления.
Максимальной скорость будет в тот момент, когда сила сопро-
386
3 Механика жидкости и газа
тивления станет равной силе тяжести, кошка достигнет постоянной скорости, с которой и будет продолжать путешествие, т.е.
ρ0 v 2max
,
2
(1)
2mg
≅ 5 м/с.
C x ρ0
(2)
mg = C x
откуда
v max =
3.3.46 Дождевая капля радиусом r = 0,5 мм падает в воздухе,
с коэффициентом динамической вязкости η = 1,2⋅10 –5 Па⋅с. Какую
наибольшую скорость может приобрести капля?
Решение:
1 Без учёта силы Архимеда, в виду её малости в воздухе, на
каплю действуют две внешние силы: сила тяжести и сила сопротивления, возникающая вследствие вязкости воздуха. Сила сопротивления в данном случае может быть определена законом
Стокса
Fη = 6πrηv .
(1)
2 Сила сопротивления, как видно из (1), прямо пропорциональна скорости v, которая, в свою очередь зависит от времени
движения v = at. Другими словами, сила сопротивления по мере
движения капли будет увеличиваться до тех пор, пока не станет
равной по модулю силе тяжести mg . В этом случае капля будет
иметь максимальную скорость
4 3
πr ρg = 6πrηv ,
3
(2)
r 2 ρg
≅ 46 м/с.
4,5η
(3)
откуда
v max =
3.2 Элементы гидродинамики
387
Список использованной литературы
1 Задачи по физике: Учебное пособие / И.И. Воробьёв, П.И.
Зубов, Г.А. Кутузова, О.Я. Савченко, А.М. Трубачёв, В.Г. Харитонов; Под редакцией О.Я. Савченко. – 2-е издание, перераб. – М.: Наука, 1988
2 Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учебное пособие. –
2-е издание, пераб. – М.: Наука, 1988
3 Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике: Учебное
пособие для студентов вузов. – 5-е издание, перераб. и доп. –
М.: Высшая шк.,1988
4 Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике:
Учебное пособие. – 2 –е изд. перераб. – М.: Наука, 1988
5 Беликов Б.С., Михеев Н.И. Практический курс физики.
Учебное пособие для студентов вузов. – 7-е изд. перераб. – М.:
Российский научный центр физического образования,1999