Многоуровневая система задач

Министерство образования и науки Самарской области
Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов
САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ
И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ
Итоговая работа
На курсах повышения квалификации
По ИОЧ ВБ
«Методические особенности обучения решению задач с параметрами в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
(18.11 - 22.11.2013г.)
Проектирование многоуровневой системы задач по теме:
«Решение квадратных уравнений, неравенств и
систем с параметром» в соответствии с требованиями ФГОС
Выполнила:
Егорова Елена Васильевна,
учитель математики
МБОУ СОШ № 105 г.о. Самара
Самара
2013 г.
Оглавление
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА............................................................................ 3
Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами: ....... 5
Многоуровневая система задач ............................................................................. 6
Примечание: ........................................................................................................... 12
Литература: ............................................................................................................ 14
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
1.
ФИО (полностью)
Егорова Елена Васильевна
2.
Место работы
Муниципальное
бюджетное
общеобразовательное
учреждение средняя общеобразовательная школа №105
г. о. Самара
3.
Должность
Учитель математики
4.
Предмет
Алгебра
5.
Класс
9-11
6. Цель: обучение умению решать квадратные уравнения, неравенства и системы с
параметрами различными способами.
7. Задачи:
- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и
формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую
цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения
задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование,
смысловое чтение;
-развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от
конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка
процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать
творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества:
способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости
мышления;
-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать
в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.
8.
Задачи с параметрами - это нестандартные задачи, т.е. необычные как по поста-
новке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза
для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся,
формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению
таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического
образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора
3
стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для
решения которых необходимо прежде всего умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения и исследования.
Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул,
необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в
решении, умении объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат.
Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач.
В настоящее время достаточно широкое распространение получила идея совмещения
обучения решению задач с обучением их конструированию. Под конструированием
задачи – мы будем понимать процесс создания новой задачи. В основе конструирования задачи – лежит умение составлять квадратный трехчлен. При этом используются
различные приемы: аналогия, варьирование коэффициентов квадратного трехчлена,
варьирование новой переменной, варьирование требования задач. В качестве коэффициентов и новой переменной могут выступать более сложные функции. Тем самым
можно использовать такой квадратный трехчлен, который поможет в организации
повторения более сложных функций: показательной, логарифмической, тригонометрической. С одной стороны нужно знать свойства квадратного трехчлена, а с другой
стороны повторяются свойства функции, тем самым достигается комбинированность
задачи.
Выбор задачи с параметрами для обучения их решению и конструированию, можно объяснить следующими обстоятельствами:

при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более
глубокое, прочное усвоение программных вопросов;

решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые
подходы к решению задач;

происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;

приобретаются навыки к исследовательским работам;

помощь при подготовке к экзаменам;

происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.
4
Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:
№
1.
2.
3.
4.
Этапы решения задач
Анализ условия (введение
буквенных обозначений)
Схематическая запись условия задачи в виде таблицы,
схемы, графа с введенными
буквенными обозначениями
Составление модели (поиск
аналога, привлечение из математики или физики известного закона)
Решение уравнения, системы
и т.д. (поиск неизвестного)
5.
Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)
6.
Исследование (обобщение
задачи или способа её решения для видоизмененных
условий, другие подходы к
решению)
7.
Рефлексия








































Формируемые УУД
целеполагание;
выделение существенной информации;
формулирование задачи и прогнозирование способов решения;
абстрагирование;
аналогия;
классификация (типологизация);
знакосимволические действия.
планирование;
систематизация;
знакосимволические действия;
моделирование.
создание способа решения залачи;
корректировка условия;
моделирование в графическом виде.
анализ и выявление существенной информации;
выведение следствий;
построение цепи рассуждений;
выдвижение и проверка гипотез;
преобразование модели.
анализ;
выведение следствий;
конкретизация;
знакосимволическое действие (интерпретация).
анализ;
синтез;
поиск аналогов;
построение цепи рассуждений;
умение сжато передать содержание;
умение схемы, символы, модели;
создание способов решения проблем поискового,
творческого характера.
смыслообразование;
планирование;
контроль;
коррекция;
оценка;
волевая саморегуляция;
готовность к саморазвитию, к самообразованию;
умение самостоятельно определять цели своего
обучения;
ставить и формулировать для себя новые задачи;
развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.
5
Многоуровневая система задач
В основе методики обучения на базе многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том,
что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся
всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач.
Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов
содержания образования и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и
уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой.
Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам
учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы. Подобное табличное (матричное) представление системы задач
темы помогает осуществить полноценное наполнение на каждом уровне ее математического и деятельностного (формирование УУД) компонентов и тем самым реализовать
критерии предметной и деятельностной полноты (имея в виду познавательные УУД)
формируемой системы учебных задач. При этом если базовые задачи выполняют в системе роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть универсальные учебные действия (общие методы и приемы деятельности) в выделенных ситуациях.
Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер (используются такие общеучебные действия, как классификация,
подведение под понятие, выведение следствий, действия, построение логической цепи
рассуждений, доказательство и т.д.). Используемые при этом задачи отличаются явными
связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик
идентифицирует (распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий, применяет усвоенные знания в практическом плане
для некоторого известного класса задач и получает новую информацию на основе применения усвоенного образца деятельности
При решении задач второй строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а
реконструируются в несколько видоизмененных условиях (здесь проявляются такие общеучебные действия, как выделение и формулирование познавательной цели, поиск и вы6
деление необходимой информации, знаково-символические действия, включая математическое моделирование, структурирование знания).
Наконец, при решении задач третьей строки учебная деятельность носит исследовательский творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и
вырабатывать принципиально новые программы действий (выдвигать гипотезу, проверять: обосновывать или опровергать, выдвигать новую и т.д., осуществлять исследовательскую деятельность). Решение задач соответствующего блока требует от учащегося
обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; системного видения курса.
Вместе с тем, оно не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых
условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную
логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и
искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на
вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке
абитуриентов и в заданиях С3, С4, С5, С6 КИМов ЕГЭ.
7
Матричная модель системы задач
Квадратные неравенств
Квадратные
уравнения
При каких значениях p неравенство
Знакомая задача
При каких значениях пара-
Модифицированная задача
Системы уравнений
При каких значениях b система
x 2  2 px  2 p  3  0 верно для любого значения х?
имеет единственное ре-
метра, а квадратное уравне-
РЕШЕНИЕ:
ние не имеет действитель-
так как ветви параболы y  x  2 px  2 p  3
ных корней
расположены вверх, то условие задачи будет
х 2  2ах  2а 2  1  0
равносильно условию D/4 < 0 .
РЕШЕНИЕ:
Решая последнее неравенство, получаем:
x 2  2a  x  2a 2  1  0
D
 1 а2  0 :
4
 a 1
а2  1 
a  1
p2-2p-3<0,
При каких значениях пара-
При каких значениях p неравенство верно для любого
,
Замечание: ещё лучше решать эту задачу
графически, рассматривая условие
касания окружности и прямой.
Найдите все значения параметра а,
метра, а квадратное уравне-
значения х?
при
ние не имеет действитель-
2 log 1 p  3  2 x log 1 p  x 2  0
у  х 2  3х  3а
ных корней
РЕШЕНИЕ:
шение ?
2
РЕШЕНИЕ: выразив y через x из
второго уравнения и подставив его в
первое уравнение, получим:
Эта система имеет
единственное решение тогда и только
тогда, когда дискриминант первого
-1<p<3
уравнения
вен нулю, то есть когда
которых
ра-
парабола
и
прямая
РЕШЕНИЕ:
у  х  2 у  2 не имеют общих то-
Преобразуем данное неравенство:
чек.
x 2  2 x log 2 p  (2 log 2 p  3)  0
РЕШЕНИЕ:
Неравенство выполняется для любого х,
Парабола и прямая не имеют общих
2
2
8
x 2  2 log 2 a  х  2 log 22 a  1  0
если дискриминант неравенства отрицателен.
D
 1  log 22 a  0 :
4
 a2
2
1
log 2 a  1  
0  a  2
D
 log 22 p  2 log 2 p  3  0 
4
Т.е (log 2 p  3)(log 2 p  1)  0 
1
 1  log 2 p  3   p  8
2
Отсюда получаем
точек, таким образом
х 2  3х  3а  х  2а  2 
х 2  4х  а  4  0
Уравнение не имеет корней, когда
D<0  16  4а  16  0  а  0
Ответ: а  0 .
Ответ: 1;2;3;4;5;6;7
Незнакомая задача
Найти все значения параметра a , при которых уравнение
log 24 x  (6a  23) log 4 x 
Найти наибольшее целое значение параметра t, для кото-
Найти все значения параметра а, при
рого выполняется неравенство: (1 - t)x2 + 3x - t - 1 > 0.
каждом из которых либо число кор-
РЕШЕНИЕ:
ней уравнения
9a 2  69a  132  0
В левой части неравенства квадратный трехчлен, кото-
имеет два различных корня, рый будет всегда положительным при ветвях параболы,
3а  5  2а  5х
 а 2  2а равно чисх 1
равноудаленных от точки направленных вверх (т.е. 1 – t > 0 или t < 1) и отрица-
лу корней уравнения
x  40.
тельном дискриминанте:
3а  5х2  3ах  9  0 , либо оба эти
Решение:
уравнения не имеют решений.
Сделаем замену: log 4 x  t
РЕШЕНИЕ:
Так как уравнение
Тогда исходное уравнение
3а  5  2а  5х
 а 2  2а является
х 1
примет вид:
t 2  (6a  23)t  9a 2 
69a  132  0
D  (6a  23) 2  36a 2 
276a  528  1 
уравнение всегда имеет два
линейным, то у него может быть либо: один корень, бесчисленное мноИзобразим решения системы на числовой прямой:
жество корней или вообще не имеет
решений, в зависимости от параметра
9
корня
t1  3a  12 ,
а, а квадратное уравнение
3а  5х2  3ах  9  0 может иметь:
t 2  3a  11,
log 4 x  t , х=43а+12 и х=43а+11
Все
решений, также в зависимости от па-
43а+12+ 43а+11 = 40*2 и а=-3
Ответ: а=-3
один корень, два корня или не имеет
решения неравенства:
. Наибольшее це-
раметра а.
Исходя из этого нам нужно найти такие значения параметра а, при кото-
лое число -2, т.к.
Ответ: - 2
.
рых оба эти уравнения имеют один
корень, либо не имеют решений.
Рассмотрим уравнение
3а  5х2  3ах  9  0
5
9
1. Если а   , то х   , то есть
3
5
один корень; посмотрим сколько корней имеет уравнение
3а  5  2а  5х
 а 2  2а , при
х 1
5
а   , мы видим, что оно также
3
имеет один корень х 
тельно а  
1
. Следова16
5
удовлетворяет усло3
вию задачи.
10
5
2. Если а   . Нам нужно найти та3
кие значения параметра а, при которых уравнение 3а  5х 2  3ах  9  0
не имеет решений, следовательно
D<0.
D  9а 2  363а  5  0  a   10;2
Преобразуем теперь уравнение
3а  5  2а  5х
 а 2  2а , имеем
х 1
х
а 2  5а  5
. При а  5 и а  1 ,
а  5а  1
уравнение не имеет решений.
Объединяя оба этих решения, получаем, что при а  5 , оба уравнения не
будут иметь решения.
3.Найдем теперь такие значения параметра а, при которых уравнения
3а  5  2а  5х
 а 2  2а и
х 1
3а  5х2  3ах  9  0 имеют одно
решение.
11
Чтобы уравнение
3а  5х2  3ах  9  0 имело один
корень, нужно чтобы D=0, то есть
а  10; а  2 . Проверим, будет ли
при этих значениях параметра а,
уравнение
3а  5  2а  5х
 а 2  2а
х 1
иметь один корень.
а  10 , тогда подставим и видим,
что х  1 , но такого не может быть,
так как знаменатель исходного линейного уравнения обратится в нуль.
а  2 , тогда подставим и видим, что
х
1
, то есть а  2 - удовлетворяет
9
условию задачи.
5
Ответ: а   ; а  2; а  5.
3
Примечание:
Подбор серии уравнений.
12
Задача. Для каждого значения параметра а найти все решения уравнения.
1. 4 x  2a  22 x  3a  1  0
2. x 4  2a  2 x 2  3a  1  0
3. x  2a  2 x  3a  1  0
4. x 2  2a  2  x  3a  1  0
5. 4
x
 2a  22 x  3a  1  0
6. sin 2 x  2a  2 sin x  3a  1  0
....
Все уравнения соответствующей заменой переменной сводятся к квадратному уравнению t 2  2a  2t  3a  1  0. Далее находим множество
значений новой переменной и в зависимости от этого исследуем расположение корней квадратного уравнения относительно числа 0 (уравнения 1-4).
Относительно числа 1 (уравнение 5). Относительно чисел -1 и 1 (уравнение 6).
13
Литература:

Комплекты учебников/ Под ред. Н.Я. Виленкина, А.Г. Мордковича, А.В. Теляковского

Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий В.С., 2011.

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/metodika-ispolzovaniya-mnogourovnevoy-sistemyzadach-po-teme-procenty

Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО,
2011.-144 с.
14
15