СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ОБЩИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ

54
Вестник ХНАДУ, вып. 52, 2011
СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
УДК 625.7/.8:620.172.21
ОБЩИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
ДЕФОРМАЦИЙ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ РЕОЛОГИЧЕСКИХ
3-D МОДЕЛЕЙ
В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., В.К. Жданюк, профессор, д.т.н.,
С.В. Богомолов, инженер, ХНАДУ
Аннотация. Предложен общий метод получения исходных линейных дифференциальных уравнений для вязко-упругих 3-D моделей.
Ключевые слова: вязко-упругая модель, тензор, девиатор, шаровый тензор, деформации, напряжения.
ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД ОТРИМАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ
ДЕФОРМАЦІЙ ВІД НАПРУГИ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ РЕОЛОГІЧНИХ
3-D МОДЕЛЕЙ
В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.К. Жданюк, професор, д.т.н.,
С.В. Богомолов, інженер, ХНАДУ
Анотація. Запропоновано загальний метод отримання лінійних диференціальних рівнянь для
в’язко-пружних 3-D моделей.
Ключові слова: в’язко-пружна модель, тензор, девіатор, шаровий тензор, деформації, напруги.
THE GENERAL METHOD OF OBTAINING INITIAL LINEAR EQUASIONS
FOR 3-D VISCOUS-ELASTIC MODELS
V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor
of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU
Abstract. The general method of obtaining initial linear equasions for 3-D viscous-elastic models is
offered.
Key words: viscous-elastic model, tensor, deviator, spheric tensor, deformation, stress.
Введение
Современный уровень развития методов расчета напряженно-деформированного состояния сложных инженерных конструкций
предполагает применение метода конечных
элементов (МКЭ), который, в свою очередь,
дал очень широкие возможности для анализа
как упругих, так и вязко-упругих систем. Последние получают в настоящее время все
большее применение в самых различных направлениях инженерных расчетов.
Анализ публикаций
Применение МКЭ предполагает наличие математической модели, описывающей напряженно-деформированное поведение тела в
точке. Процедура составления такой модели
для вязко-упругого тела, как правило, требу-
Вестник ХНАДУ, вып. 52, 2011
55
ет в каждом отдельном случае вначале записать уравнение для простейших элементов
реологической модели [1, 2] и затем найти
способ объединения этих моделей в единую
[3]. Для многозвенных конструкций это не
всегда является достаточно удобной и простой задачей.
– после проведения алгебраических преобразований символ D заменяется знаком дифференцирования по времени.
Для упрощения этой процедуры при одноосном нагружении в [4] предложен символический метод, заключающийся в следующем.
Вводится символ D , имеющий смысл дифференцирования по времени, и далее все математические преобразования с этим символом проводятся как с обычной алгебраической величиной.
При использовании этого метода необходимо
выполнять следующие правила [4]:
– жесткость модели определяется как
E ( D) =
σ
,
ε
(1)
где σ и ε – напряжения и деформации в точке;
– все элементы модели считаются упругими;
упругость элемента Гука (рис. 1, а) равна
модулю упругости E , упругость вязкого элемента (рис. 1, б)
Eв = η p D ;
(2)
а
(3)
где E1П , E2П – жесткости параллельных
звеньев (для рис. 1, в E1П = E , E2П = η p D );
– суммарная жесткость последовательно соединенных элементов (например, рис. 1, г)
1
1
1
,
=
+
E ( D ) E1ПC E2ПC
(4)
где E1ПC , E2ПC – жесткости последовательно
соединенных звеньев (для рис. 1, г
1
1
1
1
);
= ;
=
E1ПC E E2ПC η p D
б
G, E, К
η , η p , ηV
G, E, К
в
η , η p , ηV
г
Рис. 1. Простейшие звенья реологической модели: а – упругий элемент Гука; б – вязкий элемент Ньютона; в – модель Кельвина; г – модель Максвелла; G, η – модуль упругости и коэффициент вязкости
при работе материала на срез; E , η p –
то же при растяжении-сжатии; К, ηV –
то же при объемном расширении
Например, для рис. 1, в
E ( D) = E + η p D =
– суммарная жесткость параллельно соединенных элементов (например, рис. 1, в) равна
E ( D) = E1П + E2П ,
η , η p , ηV
G, E, К
σ
;
ε
E ε + ηp
E ε + ηp D ε = σ ;
dε
= σ,
dt
(5)
что совпадает с выражениями, представленными в [1, 5 и др.].
Для рис. 1, г
Eη p D
1
1
1
σ
= +
; E ( D) =
= ;
E + ηp D ε
E ( D) E η p D
Eσ + η p D σ = E η p Dε ;
Eσ + η p
dσ
dε
= E ηp
,
dt
dt
что также совпадает с [1, 5 и др.].
(6)
56
Вестник ХНАДУ, вып. 52, 2011
Для четырехэлементной модели (рис. 2, а)
1
1
1
;
=
+
E ( D) E1П E2П
1
1
1
=
+
;
E1П E1 η p1 D
E2П= E2 + η p 2 D ,
после соответствующих преобразований получим
E1 D 2 η p1η p 2 + E1 E2 Dη p1
D 2 η p1η p 2 + E1 Dη p1 + E1 Dη p 2 + E2 Dη p1 +E1 E2
=
σ
, или
ε
d 2σ
dσ
+( E1η p1 + E1η p 2 + E2 η p1 )
+
2
dt
dt
d 2ε
dε
+ E1 E2 σ = E1η p1η p 2 2 + E1 E2 η p1
, (7)
dt
dt
η p1η p 2
что совпадает с [2].
G1, E1, K1
η1, ηp1, ηV1
G2, E2, K2
η2, ηp2, ηV2
a
η1, ηp1, ηV1
G2, E2, K2
η2, ηp2, ηV2
G1, E1, K1
Цель и постановка задачи
Необходимо разработать аналогичную упрощенную схему для составления дифференциальных уравнений реологических 3-D моделей.
Девиатор и шаровый тензор
Как известно, для объемного (3-D) нагружения тела тензор напряжений удобно представлять в виде суммы [1, 5, 7]
TH = DН + DШ = DН + I σср ,
(8)
где DН , DШ – девиатор и шаровый тензор
напряжений; I – единичная матрица;
σx + σ y + σz
– среднее напряжение в
σср =
3
точке; σ x , σ y , σ z – нормальные напряжения
в точке, вдоль соответствующих декартовых
осей координат.
Таким образом, для решения поставленной
задачи необходимо уметь составлять два
уравнения: для девиатора и для σср .
Составление исходного дифференциального
уравнения для девиатора
Для материала с линейными характеристиками закон Гука в обобщенном виде может
быть записан как [8]
DH = 2GDд ,
(9)
где G – обозначено на рис. 1, 2; Dд – девиатор деформаций [1, 5, 7].
б
Закон Ньютона для вязкого тела в девиаторном виде [8]
G1, E1, K1
G2, E2, K2
η1, ηp1, ηV1
η2, ηp2, ηV2
в
Рис. 2. Четырехэлементные вязко-упругие модели: а – модель Бюргерса [6]; б – модель [6]; в – двухэлементная модель
Максвелла [6]
DH = 2ηD& д ;
(10)
где η – обозначено на рис. 1, 2; D& д – девиатор скоростей деформаций.
Таким образом, по аналогии с (1), можно
ввести следующее выражение с символом D
Вестник ХНАДУ, вып. 52, 2011
G ( D) =
57
DH
.
2 Dд
(11)
&& + (G η + G η ) D& + G G D =
η1η2 D
H
1 2
2 1
H
1 2 H
&&
= 2η η (G + G ) D + 2G G (η + η ) D& . (16)
К нему, вместо (2), добавим
1 2
Gв = ηD .
(12)
Остальные действия соответствуют тем, которые проводились с (3, 4).
Например, для рис. 1 (г)
D
1
1
1
G ηD
; G ( D) =
= +
= H ,
G ( D ) G ηD
G + ηD 2 Dд
откуда
1
2
д
1
2
1
2
д
Аналогично этому можно получить дифференциальные уравнения, связывающие девиаторы деформаций и напряжений для реологических схем любой сложности.
Составление исходного дифференциального
уравнения для шарового тензора
Как показано в (8), для того чтобы определиться с Dш , необходимо знать σср .
Известна зависимость [5, 8]
GDH + ηDDH = 2GηDDд ;
DH +
откуда
dD
η dDH
= 2η д ,
G dt
dt
(13)
что полностью совпадает с [5].
σср = ε ср
2 Dд
1
1
1
1
,
=
+
+
=
G ( D) G1 η1 D G2 + η2 D DH
εx + ε y + εz
(17)
2G (1 + µ)
– объем3
3(1 − 2µ)
ный модуль упругости; µ – коэффициент
Пуассона при упругих деформациях.
где εср =
Для рис. 2 (а)
2G (1 + µ)
= εср 3K ,
(1 − 2µ)
; K=
Если вязкое сопротивление при объемном
расширении принять равным [9]
откуда
&& + (G η + G η + G η ) D& + G G D =
η1η2 D
H
1 1
1 2
2 1
H
1 2 H
&&
&
= 2G η η D + 2G G η D . (14)
1 1 2
д
1
2 1
д
Для рис. 2 (б)
1
1
=
+
G ( D) η1 D G +
1
1
=
1
1
1
+
G2 η2 D
2 Dд
DH
,
σср = 3ηV ε& ср ,
(18)
где ηV – объемный коэффициент вязкого
сопротивления.
То, по аналогии с (1, 11), можно использовать следующее выражение с символом D
K ( D) =
σcр
3εcр
.
(19)
К нему, вместо (2), добавим
откуда
&& + [G η + G (η + η )]D& + G G D =
η1η2 D
H
1 2
2
1
2
H
1 2 H
&&
= 2η η (G + G ) D + 2G G η D& . (15)
1 2
1
2
д
1
2 1
д
Для рис. 2 (в)
G ( D) =
D
1
1
+
= H ,
1
1
1
1
2 Dд
+
+
G1 η1 D G2 η2 D
K в = ηV D .
(20)
Остальные действия при составлении соответствующего дифференциального уравнения полностью совпадают с тем, как это проводилось с (3, 4).
Например, для рис. 1 (в)
58
Вестник ХНАДУ, вып. 52, 2011
K ( D) = K + ηV D =
σcр
3ε cр
или
,
&& cр + ( K1ηV2 + K 2 ηV1 )σ& cр + K1 K 2 σcр =
ηV 1ηV 2 σ
3ηV 1ηV 2 ( K1 + K 2 )&&
εcр +
откуда
σср = 3Kε cр + 3ηV ε& cр ,
(21)
(29)
+ 3K1 K 2 (ηV 1 + ηV 2 )ε& cр .
В теории линейной вязко-упругости чаще
всего предполагают [5, 8, 9], что в шаровом
тензоре деформаций ε& ср =0, тогда исходя из
что совпадает с [5].
Для рис. 1 (г)
3εcр
1
1
1
= +
=
,
K ( D ) K ηV D σcр
(22)
ηV σ& ср + Kσср = 3KηV ε& cр ,
(23)
(18), при определении K ( D) , нужно принимать ηV = ∞ .
В этом случае для рис. 1 (г) уравнение (23),
исходя из (22), вырождается в (17).
или
Для рис. 2 (а) из (24)
σср = 3K1ε cр .
что совпадает с [5].
(30)
Для рис. 2 (б) и 2 (в) из (26) и (28)
Для рис. 2 (а)
3ε cр
1
1
1
1
=
+
+
=
, (24)
K ( D ) K1 ηV1 D K 2 + ηV 2 D σcр
откуда
&& cр +( K1ηV1 + K1ηV2 + K 2 ηV1 ) σ& ср +
ηV 1 ηV 2 σ
+ K1 K 2 σср =3 K1ηV1 ηV2 &ε&cр +
(25)
+3 K1 K 2 ηV1 ε& cр .
σср = 3( K1 + K 2 )ε cр .
(31)
Из (14) для рис. 2 (а) можно легко получить
дифференциальную зависимость для случая
одноосного растяжения-сжатия, например,
вдоль оси x
&& x +( G1η1 + G1η2 + G2 η1 ) σ& x + G1 G2 σ x =
η1 η2 σ
(32)
=3 G1 η1 η2 &ε&x +3 G1 G2 η1 ε& x ,
которая при Ei = 3Gi и η pi = 3η i , см. [8], пол-
Для рис. 2 (б)
ностью совпадает с (7).
1
1
=
+
K ( D ) ηV1 D K +
1
1
1
=
1
1
+
K 2 ηV 2 D
3εcр
σcр
, (26)
Для одноосного чистого среза по схеме
рис. 2, а, например, для τ yx
η1 η2 &τ& yx +( G1η1 + G1η2 + G2 η1 ) τ& yx +
или
+ G1 G2 τ yx = G1 η1 η2 &γ& yx + G1 G2 η1 γ& yx . (33)
&& cр + ⎡⎣ K1ηV2 + K 2 (ηV1 + ηV2 ) ⎤⎦ σ& ср +
ηV 1 ηV 2 σ
+ K1 K 2 σср = 3ηV1 ηV2 ( K1 + K 2 )&&
εср + (27)
+ 3K1 K 2 ηV1 ε& ср .
Для рис. 2 (в)
K ( D) =
Для рис. 2 (б) из (15)
&& x +[ G1η2 + G2 (η1 + η2 )]σ& x + G1G2 σ x =
η1 η2 σ
(34)
=3 η1 η2 ( G1 + G2 ) &ε&x +3 G1 G2 η1 ε& x ,
для одноосного чистого среза
1
1
1
+
K1 ηV1 D
+
1
1
1
+
K 2 ηV 2 D
=
σcр
3εcр
, (28)
η1 η2 &τ& yx +[ G1η2 + G2 (η1 + η2 )] τ& yx +
+ G1 G2 τ yx = η1 η2 ( G1 + G2 ) &γ& yx +
+ G1 G2 η1 γ& yx .
(35)
Вестник ХНАДУ, вып. 52, 2011
Для рис. 2 (в) из (16)
&& x +( G1η2 + G2 η1 )σ& x + G1G2 σ x =
η1 η2 σ
=3 η1 η2 ( G1 + G2 ) &ε&x +3 G1 G2 ( η1 + η2 ) ε& x, (36)
для одноосного чистого среза
η1 η2 &τ& yx +( G1η2 + G2 η1 ) τ& yx + G1 G2 τ yx =
η1 η2 ( G1 + G2 ) &γ& yx + G1 G2 ( η1 + η2 ) γ& yx . (37)
Выводы
Предложена методика составления дифферециальных уравнений реологических моделей
3-D нагруженных тел. Такие уравнения могут использоваться как в МКЭ, так и при
экспериментальных исследованиях вязкоупругих материалов.
Литература
1. Шульман З.П. Реофизика конгломератных
материалов / З.П. Шульман, Я.Н. Ковалев, Э.А. Зальцгендлер. – Минск : Наука
и техника, 1978. – 240 с.
2. Богомолов В.О. Реологічна модель роботи
асфальтобетону при стисканні / В.О. Богомолов, В.К. Жданюк, В.М. Ряпухін та
ін. // Автошляховик України. – 2010. –
№ 3. – С. 34–37.
3. Мейз Дж. Теория и задачи механики
сплошных сред / Дж. Мейз ; пер. с англ.
Е.И. Свешниковой. – М. : Мир, 1974. –
318 с.
59
4. Ржаницын А.Р. Теория ползучести /
А.Р. Ржаницын. – М.: Изд-во лит-ры по
строительству, 1968. – 416 с.
5. Богомолов В.А. Простейшие звенья линейной пространственной реологической модели асфальтобетона / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов
// Автомобильный транспорт : сб. научн.
тр. – 2010. – Вып. 27. – С.157–162.
6. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости
/ Д. Бленд ; пер. с англ. И.И. Гольберга,
Н.И. Малинина. – М. : Мир, 1965. –
199 с.
7. Лебедев А.А. Механические свойства конструкционных материалов при сложном
напряженном состоянии : справочник /
А.А. Лебедев, Б.И. Ковальчук, Ф.Ф. Гишняк, В.П. Ламашевский. – К: Наукова
думка, 1983. – 366 с.
8. Безухов Н.И. Основы теории упругости,
пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. – М.: Высшая школа, 1968. – 512 с.
9. Рейнер М. Деформация и течение / М. Рейнер ; пер. со втор. англ. изд. Л.Н. Никитина, А.М. Кочеткова, В.Н. Кунджанова.
– М. : Гос. научн.-техн. изд-во нефтян. и
горно-топливн. лит-ры, 1963. – 381 с.
Рецензент В.В. Филиппов, профессор, д.т.н.,
ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 5 октября
2010 г.